mh9s170nr6 a. x 1 = –9; x 2 = 1 b. x 1 = –4; x 2 = 1 c. x 1 = 1; x 2 = 2 d. leer e. x 1 = –15;...

30
Mh9S170Nr6 2 1;2 p p x q 2 2 a. x 1 = –9; x 2 = 1 b. x 1 = –4; x 2 = 1 c. x 1 = 1; x 2 = 2 d. leer e. x 1 = –15; x 2 = 4,2 f. x 1 = –3,53; x 2 = 1,28 g. leer h. x 1 = 0,2; x 2 = 2 i. x 1 = 0,46; x 2 = 6,54

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Mh9S170Nr62

1;2

p px q

2 2

a. x1= –9; x2 = 1b. x1= –4; x2 = 1c. x1= 1; x2 = 2d. leere. x1= –15; x2 = 4,2f. x1= –3,53; x2 = 1,28g. leerh. x1= 0,2; x2 = 2 i. x1= 0,46; x2 = 6,54

Mh9S170Nr72

1;2

p px q

2 2

a. x1= 1 ; x2 = 21b. x1= –6; x2 = -2c. leerd. x1= –3,5; x2 = 0,5 e. x1= –0,5; x2 = 1,5f. x1= –2,2; x2 = 2

Mh9S170Nr8

a. x1= -6,5 ; x2 = 8b. leerc. x1= -4,56 ; x2 = -0,44d. x1= –1,2; x2 = 2,67 e. leerf. x = 2,4g. x = -1,4h. x1= -6,45 ; x2 = -1,55i. leer

2

1;2

b b 4acx

2a

Mh9S170Nr9

a. D < 0 keine Lösungb. D = 9 zwei Lösungen c. D = 0 eine Lösung d. D = 4 zwei Lösungen e. D = -104 keine Lösungf. D = 900 zwei Lösungeng. D = 0 eine Lösungh. D = 16 zwei Lösungeni. D = 169 zwei Lösungen

D b² 4ac

Mh9S170Nr10

a. D = 289 zwei Lösungen 12 und -5b. D = 529 zwei Lösungen 14 und –9c. D = -16 keine Lösung j. D= -99,8 keine Lösungd. D = -9 keine Lösung k. D = 11,6 zwei Lösungen 0,83 und –0,3 e. D = 441 zwei Lösungen 21 und 0f. D = 74 zwei Lösungen 5 und –3,6g. D = 0 eine Lösung 1,9 l. D= 6889 zwei Lösungen 7,5 und –0,8 h. D = 0 eine Lösung 0,15i. D = 210 zwei Lösungen 6 und –8,5

D b² 4ac

Mh9S170Nr11 Schnittpunkte Parabel Gerade

Gesucht werden zunächst die x Koordinaten der Schnittpunkte:-7,3x –12 = x² Lösungen: x1 = -2,5 und x2 = -4,8 Die dazugehörigen y Koordinaten findet man durch Einsetzen:y1 = (-2,5)² = 6,25 und y2 = (-4,8)² = 23,04

Gemeinsame Punkte sind (-2,5; 6,25) und (-4,8; 23,04)

Parameter der p-q-Formel2

1;2

p px q

2 2

2

1;2

8a 8ax 7a²

2 2

D = 9a² 9a² > 0 zwei Lösungen a² >09a² = 0 eine Lösung a² =0; a =09a² < 0 keine Lösung (nicht möglich)

2

1;2

p px 1

2 2

D = p²/4 -1 p²/4 -1 > 0 zwei Lösungen p² > 4 p²/4 -1 = 0 eine Lösung p² = 4; p1= -2; p2=2 p²/4 -1 < 0 keine Lösung p² < 4

Mh9S170Nr12a Parameter und UngleichungenD b² 4ac

a. D = a² -16a Eine Lösung für 0 = a² - 16a = a(a-16) Also a1 = 0 a2 = 16Zwei Lösungen für a² - 16a > 0. Dies gilt füra < 0 und für a > 16 (Siehe Graph)Keine Lösung für a² - 16 < 0. Dies gilt für0<a<16

D

a

Keine Lösung

zwei L

ösungen

zwei L

ösungen

Eine Lösung

Mh9S170Nr12b Parameter und UngleichungenD b² 4ac

a

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

b. D = 4 –4aEine Lösung für 0 = 4(1-a). Also a = 1Zwei Lösungen für 4 – 4a >0 Also a < 1Keine Lösung für 4 – 4a <0 Also a > 1

D

Keine Lösung

zwei Lösungen

Eine Lösung

Mh9S170Nr13 Parameter

a. (1) a=1 x² -5x = 0 x1 = 0 x2 = 5(1) a=0 x² -0 = 0 x1 = 0 x2 = 0(1) a=-4 x² +20x = 0 x1 = 0 x2 = -20

b. D = 25a² zwei Lösungen für 25a² > 0; also a² >0 Das gilt für alle a R \ {0} eine Lösung für 25a² = 0; also a² = 0 Das gilt für alle a = 0 keine Lösung für 25a² < 0; also a² < 0 Das ist nicht möglich

c. x² -5ax = 0 x1;2 = 5a/2 ± Wurzel( 25a²/4 –0); x1 = 0 x2 = 5a. 5a = 6 für a= 6/5

D b² 4ac

Mh9S170Nr14 Parameter

a. Die Diskriminante für a. ist D = 4² - 4a·(-5) = 16 + 20aEine Lösung für D = 0, also 16 + 20a = 0 a = -0,8Zwei Lösungen für D > 0, also 16 + 20a > 0 a > -0,8Keine Lösung für D < 0, also 16 + 20a < 0 a < -0,8

b. Die Diskriminante für b. ist D = 8² - 4·a·a = 64 –4a² Eine Lösung für D = 0, also 64 – 4a² = 0 a1 = -4 und a2 = +4Zwei Lösungen für D > 0, also 64 – 4a² > 0 a² < 16Keine Lösung für D < 0, also 64 – 4a² < 0 a² > 16

D b² 4ac

Mh9S171Nr1 Übungen

a. x1= -0,5 x2 = 0,5b. x1= 0 x2 = -1 7/9c. x1= -2 x2 = 15d. x1= -4 x2 = -3,5e. x1= -11 x2 = 5

f. D < 0 IL = {}g. x1= -2 x2 = 20h. x1= -2 x2 = 2i. x1= 1 x2 = 8j. x1= -3,15 x2 =0,19

k. x1= 0 x2=2,4 l. D < 0 IL = {}m. x1= -2 x2 =0,5n. x1= -1,6 o. x1= -0,5 x2 = 1

Mh9S171Nr2

a. x1= -7 x2 = 5b. y1= -11 y2 = -1 7/9c. z1= -5 z2 = 12d. x1= -7,5 x2 = -0,8e. z1= -0,4 z2 = 1,25f. D < 0 IL={}g. x1= -2,25 x2 = -0,75h. D < 0 IL={}i. z1= -4,5 z2 = 2/3

MH9S171Nr3

a. x² - 8x = 0 x1= 0 x2 = 8 Fb. 3x² - 8x – 91 = 0 x1= 7 x2 = -13/3 Uc. 4x² + 2x – 6 = 0 x1=-1,5 x2 = 1 Sd. x² + 2x – 61 = 0 D < 0 IL ={} Se. x² -11x + 24 = 0 x1= 3 x2 = 8 Bf. x² + 7x – 8 = 0 x1= -8 x2 = -1 Ag. z² - 10z = 0 z1= 0 x2 = 10 Lh. z² + 0,504 = 0 D < 0 IL ={} L

Mh9S171Nr4

a. x·( x - 15 ) = 0 x1= 0 x2 = 15 b. x·( x + 9 ) = 0 x1= 0 x2 = -9c. x·(10x - 29) = 0 x1= 0 x2 = 2,9d. x·( 4x + 26) = 0 x1= 0 x2 = -8,5e. x·( x + 16 ) = 0 x1= 0 x2 = -16f. x·( x - 1) = 0 x1= 0 x2 = 1

Mh9S171Nr5

a. x² + 2x -80 = 0 x1= -10 x2 = 8 b. x² = 144 x1= -12 x2 =+12c. x² -12,4x + 24= 0 x1= 2,4 x2 = 10d. x² -1,4x – 18 = 0 x1= -3,6 x2 = 5 e. z² -13z + 6 = 0 z1= 4 z2 = 9 f. x² - x = 0 x1= 0 x2 = 1

Mh9S171Nr6

a. 2x² -x -10 = 0 x1= -2 x2 = 2,5; 2x – 5 = 0 x3 = 2,5 b. 25x²+20x+4= 0 x1= 0,4 x2 = 0,4; 10x +4 = 0 x3 = -0,4 c. y² + 4y +9 = 0 D < 0 IL={} ; 4y + 9 = 0 y3 = -2,25 d. 4x²-28x +49 = 0 D < 0 IL={} ; 7x + 2 = 0 x3 = -2/7e. x² + 2x - 63 = 0 x1= -9 x2 = 7 ; x²+6x-91 = 0 x3= -13 x4= 7 f. x² -40x +111= 0 x1= 3 x2 = 37 ; x²+2x-1 = 0 x3= -2,41 x4= 0,41 g. x² -7x - 30 = 0 x1= -3 x2 =10 ; x²+2x-15 = 0 x3= -5 x4= 3 h. z² -0,5z -,5 = 0 z1=-0,5 z2 =1 ; z²-3/4z+1/8 = 0 z3=0,5 z4=0,25

Mh9S171Nr7

...ein Faktor null ist. Das gilt nicht für 1!Annahme: Wenn ein Produkt 1 ist, dann ist ein Faktor gleich 1.Gegenbeispiel: 1/4 ·4/1=1Also ist die Annahme falsch. q.e.d.

x² -4x –1 = 0 hat die Lösungen x1;2=2 25(x -2+ 25)·(x -2- 25)= 0 heißen LinearfaktorenLinearfaktoren der quadratischen Gleichung

a. 2(4y²-28y+49)+9y²+12y+4-(16y²-24y+9)+3=0 y² - 20y +96 =0 y1= 8 y2 = 12

b. 9x² +48x +64 –2[4x²-49]-27=0x² +48x +135 = 0 x1= -45 x2 = -3

c. 21y² -12y +35y –20 –[88 –40y –44y+20y²] = 0y² +107y –108 = 0 y1= -108 y2 = 1

d. x-2+x²+6x+9=x²-2x+1-4x =0 13x=-6 x = -6/13

e. x² -8x +16 + x² +6x –9 = 64 –32x+4x² -0,5x 2x²-30,5x+57=0

f. x² +15x –7x –21 = 9-x-18x+2x²x² + 9x – 10 = 0 x1= -10 x2 = 1

Mh9S171Nr8

Mh9S172Nr2+3 Textaufgaben

2. Ansatz: x= Quadratseite rot x² = (2-x)·1,8 grün x² + 1,8x –3,6 = 0 x½= -0,9 2,1 x = 1,23. Ansatz: x = Kantenlänge (x+1)³ =x³ + 127 x² + x – 42 = 0 x½= -0,5 6,5 x = 6

Mh9S172Nr4

a. Ansatz: x= Kürzung neu (6-x)·(5-x) = 2/3·5·6 ursprünglich x² -11x +10=0 x½= 5,5 4,5 x = 1

b. Ansatz: x = Längenänderung y = Breitenänderung Flächeninhalt (6+x)·(5+y)=30 Umfang 2x + 2y = 1 x = 0,5 – y; y² - 1,5y –2,5 = 0 y1 = -1 y2=2,5 x1=1,5 x2=-2

Mh9S172Nr5

Ansatz: Grundseite x Grundfläche x² Seitenfläche 5xa. x² = 5x + 14 x= 7b. 2x² +4·5x = 48 x=2

Mh9S172Nr6

Ansatz: Länge x Breite y u=2(x+y) A = x·ya. 23=2(x+y) 30=x·y 30= x·(11,5-x) x²–11,5x+30=0 x1=4 x2=7,5 y1=7,5 y2=4 b. 17,28 =x·y x-y=1,2 17,28=x·(x-1,2) x² -1,2x –17,28 =0 x=4,8 y=3,6

Mh9S172Nr7+8

7. Ansatz: Länge x Breite y u=2(x+y) d²=x² + y² 625= x² + y² x-y=17 625= x² + (x-17)² 2x²–34x-336=0 x = 24

8. x² + 24 = 2x·(x-5) x² -10x –24=0 x=12

Mh9S172Nr9+10

9. Ansatz: 1. Kathete x 2. Kathete y 65²=x² + y² 150=x+y +65 y=85-x 4225= x² + (85-x)² 2x²–170x+3000=0 x1=25 x2=60 y1=60 y2=25 10. Ansatz: Hypotenusenabschnitte p und q 29=p+q 10²=p·q 100=p·(29-p) p² -29p +100=0 p1=4 p2=25 q1=25 q2=4

Mh9S172Nr11

x y4x + 4y = 132x² + y² = 549

x² -33x +270 = 0

x1= 15; x2 = 18 y1=18; y2 = 15

Mh9S172Nr12;13+14

12. Ansatz: 1. Kathete x 2. Kathete y 42,5=x² + y² 9=x+y y=9-x 42,5= x² + (9-x)² 2x²–18x-38,5=0 x1=3,5 x2=5,5 y1=5,5 y2=3,5 13. Ansatz: 1.Grundseite x; 2.Grundseite y; Höhe 6; Mantel 12x+12y=96; Volumen x·y·6=90 x+y=8 x·y=15 x·(8-x)=15 x²-8x+15=0 x1=3 x2=5 y1=5 y2=314. x+y=40 x²+y²=802 x² +(40-x)²=802 2x² -80x +798=0 x1=19 x2=21

Goldener Schnitt

A BTTM m

TT teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt, wenn gilt:Major : minor wie IABI : Major

Wählt man für IABI =1, so entstehen folgende Gleichungen:

(1) M + m = 1(2) M/m = 1/M

Löse die Gleichung nach M auf!

m = 1 – M und M² = m M² + M –1 = 0 1;2

1 1M 1

2 4 1 5

M2

M 0,6181/M 1,618

Mh9S176 Vieta

x²+px+q=0x1+x2=-p; x1·x2=qax²+bx+c=0x1+x2=-b/a; x1·x2=c/a

7 = 2,8·x2 x2 = 2,5

a. x1=-4 x2 = -6b. x1=-5 x2 = -7c. x1=-2 x2 = -7d. x1=-3 x2 = +5

e. x1=-1/3 x2 = -1/3f. x1=-1±13/5 x2 =-1 13/5 g. x1=1/2 x2 = 3/2d. x1=1/2 x2 = 1/3

Mh9S176Nr8;9 und 10 Übungen

a. x1= 7 x2 = -5b. x1=11 x2 = -9c. x1=5/2 x2 = -1/2d. x1=1,2 x2 = 0,8e. x1=1,8 x2 = 0,2

9.a. x²-2x-15=0; x²+2x-15=0 b. x²+11x+28=0; x²-11x+28=0 c. x²+10x+25=0; x²-2x3+3=0 d. x²+x+6/5=0; x²-3,6x+0,68=0 e. x²-2x-2=0; x²+6x+7=0

8.

XX

XX

XX

XX