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NÍVEL 3 Respostas sem justificativa não serão consideradas

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1. Durante as férias passadas, Gabriel, uma criança levada,

viajou de férias com seus pais para um hotel fazenda na

cidade de Jataí-GO. No quarto do hotel havia um cofre,

conforme ilustração, para os hóspedes guardarem seus

pertences. O trancamento do cofre é feito através da

inserção de uma senha com quatro dígitos escolhidos do

sistema decimal de numeração e a abertura do mesmo é feita

mediante à inserção da senha que foi utilizada para trancá-

lo.

Fonte: <https://rtmcofres.com.br/item/Cofre-Digital-Titanium.html>

Acesso em: 25 jul. 2016 (Adaptado)

Gabriel, na ausência de seus pais, inseriu uma senha e trancou o cofre. Ao retornar ao quarto, os pais da

criança precisaram abrir o cofre. Porém, não sabiam a chave (senha) inserida por Gabriel.

a) Admitindo não haver limite de tentativas para a abertura do cofre, determine quantas senhas no máximo

os pais de Gabriel deveriam inserir para a liberação do cofre.

b) Cristina, mãe do Gabriel, disse que conhecendo o seu filho provavelmente ele utilizou os algarismos

que fazem parte da data de seu aniversário, 28/11/2007, usando algarismos distintos para formar a

senha. Nessas condições, quantas senhas no máximo os pais de Gabriel deveriam inserir para a liberação

do cofre?

NOTA

NOTA

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c) Ao retornar ao quarto, Gabriel disse a seus pais que a senha inserida por ele era formada por números

da sua data de aniversário, 28/11/2007, e, que a senha era um número capicua par. Ele ainda explicou

que um número capicua é um número que se pode ler nos dois sentidos indistintamente, ou seja, da

esquerda para a direita ou da direita para a esquerda (exemplo 656). Porém, atrevido, o garoto ainda

disse que dada essa informação, seus pais teriam que descobrir a senha por ele inserida. Nessas

condições, quantas senhas no máximo os pais de Gabriel deveriam inserir para a liberação do cofre?

d) Considerando a informação fornecida por Gabriel, no item anterior, sobre a senha por ele inserida, qual

é a probabilidade de a chave criada por ele iniciar pelo algarismo 2?

NOTA

NOTA

TOTAL

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2. Nosso sistema de numeração é o decimal, ou seja, usamos dez algarismos para a representação dos

números, porque temos dez dedos em nossas mãos, assim, para contarmos logo após o número nove,

utilizamos os algarismos 1 e 0 para representar dez unidades, indicando que temos um par de mãos

completas e nenhum dedo adicional. Já o número trinta e dois, utilizamos os algarismos 3 e 2, para

representar três pares de mãos completas e mais dois dedos adicionais. No planeta OMI, os seres

possuem apenas três dedos em cada mão.

O sistema de numeração utilizado por eles é de base seis,

em que utilizam apenas seis algarismos para a representação

dos números, então, eles contam da seguinte maneira:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, ⋯. Ou seja, o 10

deles representa o nosso 6, pois considera-se um par de

mãos completas e nenhum dedo adicional, já o 32 do planeta

OMI representa três pares de mãos completas, isto é, 18

dedos e mais dois dedos adicionais, representando assim o

nosso número 20.

Fonte: <https://www.dreamstime.com/photos-images/cute-

robot.html#details3624866> Acesso em: 05 ago. 2016 (Adaptado)

a) Qual é a representação no planeta OMI dos números decimais 53, 87 e 139?

NOTA

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b) Qual é a representação decimal dos números 45, 51 e 234 do planeta OMI?

c) No planeta OMI um aluno do 8º ano deve resolver a seguinte adição e a seguinte subtração, qual é o

resultado encontrado por ele?

+ 241

− 432

345 345

d) Qual é o resultado da multiplicação 32 × 2543 no planeta OMI?

NOTA

TOTAL

NOTA

NOTA

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3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore

natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo.

𝟏

𝟏 𝟏𝟎

𝟏 𝟗 𝟒𝟓

𝟏 𝟖 𝟑𝟔 𝟏𝟐𝟎

𝟏 𝟕 𝟐𝟖 𝟖𝟒 𝟐𝟏𝟎

𝟏 𝟔 𝟐𝟏 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟓𝟐

𝟏 𝟓 𝟏𝟓 𝟑𝟓 𝟕𝟎 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟏𝟎

𝟏 𝟒 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟑𝟓 𝟓𝟔 𝟖𝟒 𝟏𝟐𝟎

𝟏 𝟑 𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟏 𝟐𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore.

NOTA

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b) Suponha uma árvore que tenha 𝑛 linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base

é dada por 𝑠(𝑛) =𝑛2−𝑛

2.

c) Considere ainda uma árvore com 𝑛 linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por

𝑆(𝑛) = 2𝑛 − 1.

NOTA

TOTAL

NOTA

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4. Observe a sequência das potências de base 2:

20 = 1; 21 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 24 = 16; 25 = 32; ⋯.

Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência

de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como

20 = 2² + 24 = 4 + 16, já o número 33 pode ser escrito por 33 = 20 + 25 = 1 + 32 = 33.

a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897.

b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer

número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência.

Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = 20 + 24 + 26 + 28 + 29, sendo assim, chamamos

de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das

potências de 2 em ordem decrescente.

Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e 897.

NOTA

NOTA

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c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número

OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, 9876543210. O segundo menor número OMI é o

do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3,

conforme tabela a seguir.

Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º?

Ordem (posição)

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º ⋯ 1023º

Número Natural

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 3 5 6 ⋯ 1023

Número OMI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 21 ⋯ 9876543210

NOTA

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d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela?

NOTA

TOTAL

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5. Considere uma circunferência de raio 𝑅, sobre esta circunferência marque 10 pontos distintos, de tal

forma que os arcos formados sejam congruentes.

a) Quantas retas podemos encontrar, unindo sempre dois desses pontos da circunferência?

b) Quantos triângulos podem ser formados, escolhendo como vértices três desses pontos dessa

circunferência?

NOTA

NOTA

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c) Quantos triângulos isósceles podem ser formados, escolhendo três desses pontos da circunferência?

NOTA

TOTAL