métrologie thermique

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Yves JANNOT Laboratoire d’Energétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) Séminaire de formation à la Métrologie Thermique Projet « Pôles d’Excellence Régionaux » soutenu par l’AUF Laboratoire d’Energétique Appliquée, Dakar, 12-18 novembre 2008

Author: roufa

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Mesures

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Sminaire de formation la Mtrologie Thermique Projet Ples dExcellence Rgionaux soutenu par lAUF Laboratoire dEnergtique Applique, Dakar, 12-18 novembre 2008

Yves JANNOTLaboratoire dEnergtique et de Mcanique Thorique et Applique (LEMTA)

METROLOGIE THERMIQUE

SOMMAIRE

NOMENCLATURE 1 LES DIFFERENTS TRANSFERTS A TRAVERS UNE PAROI 1.1 1.2 1.3 1.4 2 Diffusion de la chaleur Diffusion de la vapeur deau Diffusion de lair Analogie entre les diffrents transferts

4 5 5 7 8 9 11 11 12 12 13 14 15 21 21 24 27 27 27 27 28 29 29 30 30 30 31 31 31 32 34

MODELISATION DES TRANSFERTS DE CHALEUR 1D 2.1 2.22.2.1 2.2.2 2.2.3

Milieu temprature uniforme Milieu semi-infiniTemprature constante impose en surface Flux impos Coefficient de transfert impos

2.3 2.42.4.1 2.4.2

Transfert unidirectionnel dans des milieux limits : plaque Systmes complexes : mthode des quadriplesEcoulement unidirectionnel dans des murs plans Ecoulement radial

3

MESURE DES PROPRIETES THERMIQUES 3.13.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7

Mesure de la tempratureThermomtre colonne liquide Thermocouple Thermistance Rsistance de platine Dtecteur IR Camra IR Choix dune mthode de mesure

3.2 3.33.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

Mthode de la plaque chaude garde Mthode du fil chaudPrincipe de la mthode Modlisation du fil chaud Estimation des paramtres Ralisation pratique de la mesure

Sminaire PER AUF Mtrologie thermique , LEA Dakar, 12-18/11/08, Yves Jannot

2

3.43.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4

Mthode flashPrincipe de la mthode Modlisation de la mthode Flash Estimation de la diffusivit thermique Ralisation pratique de la mesure

35 35 35 37 41 41 41 42 43 45 46 46 46 50 53 53 53 54 56 59 59 60 60 61 64 65 67 69 70 70 72 74 75 77

3.53.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4

Mthode du plan chaud semi-infiniPrincipe de la mthode Modlisation du plan chaud semi-infini Estimation des paramtres Ralisation pratique de la mesure

3.6 Mthode du plan chaud avec mesure de deux tempratures 3.6.1 Principe de la mesure3.6.2 3.6.33.6.4

Modlisation Estimation de leffusivit et de la conductivit thermiqueRalisation pratique de la mesure

3.73.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

Mthode du ruban chaudPrincipe de la mthode Modlisation du ruban chaud Estimation de leffusivit et de la conductivit thermique Ralisation pratique de la mesure

3.8 3.93.9.1 3.9.2 3.9.3

Mthode du hot disc Mthode de la mini-plaque chaudePrincipe de la mesure Modlisation quadripolaire Evaluation des incertitudes sur lestimation de la conductivit thermique

3.9.4

Conclusion

BIBLIOGRAPHIE A.1: PROPRIETES PHYSIQUES DE CERTAINS CORPS A.2 : PROPRIETES PHYSIQUES DE LAIR ET DE LEAU A.3 : TRANSFORMATIONS INTEGRALES : LAPLACE, FOURIER, HANKEL A.4 : TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE A.5 : RACINES DE LEQUATION TRANSCENDANTE A.6 : CHOIX DES TRANSFORMATIONS INTEGRALES A.7 : EQUATIONS ET FONCTIONS DE BESSEL

Sminaire PER AUF Mtrologie thermique , LEA Dakar, 12-18/11/08, Yves Jannot

3

NOMENCLATUREa Bi c D e E Fo h L p pe Q r, R Rc S t T u V x, y, z Diffusivit thermique Nombre de Biot Capacit calorifique Diamtre Epaisseur Effusivit thermique Nombre de Fourier Coefficient de transfert de chaleur par convection Longueur Variable de Laplace Primtre Quantit de chaleur Rayon, Rsistance Rsistance thermique de contact Surface Temps Temprature Vitesse Volume Variables despace

Lettres grecques Densit de flux de chaleur Transforme de Laplace du flux de chaleur Flux de chaleur Conductivit thermique, longueur donde Viscosit dynamique Viscosit cinmatique Masse volumique Transforme de Laplace de la temprature

Sminaire PER AUF Mtrologie thermique , LEA Dakar, 12-18/11/08, Yves Jannot

4

1 LES DIFFERENTS TRANSFERTS A TRAVERS UNE PAROI1.1 Diffusion de la chaleur

Dans sa forme monodimensionnelle, elle dcrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers dun mur plan :

g xL

x+dx

Le

st

0

Is

x + dx

e

Figure 1.1 : Bilan thermique sur un systme lmentaireConsidrons un systme dpaisseur dx dans la direction x et de section daire S normalement la direction Ox. Le transfert de chaleur dans le solide seffectue par conduction, il est rgi par la loi de Fourier : T = S x o : S

Conductivit thermique (W.m-1.C-1) Section de passage du flux (m2) st

Le bilan dnergie sur ce systme scrit : x + g = x + dx + Avec :T T x = S et x + dx = S x x x x +dx g = q S dx

T t En reportant dans le bilan dnergie et en divisant par dx nous obtenons :

st = c S dx

T T S S x x x x +dx T + qS = c S t dx T T Soit : + q S = cS S t x x Et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons lquation de la chaleur dans le cas le plus gnral :

T T T T y + x + z +q = c x y x y z z t Cette quation peut se simplifier dans un certain nombre de cas : a) Si le milieu est isotrope : x = y = z

(1.1)

Sminaire PER AUF Mtrologie thermique , LEA Dakar, 12-18/11/08, Yves Jannot

5

b) Sil ny a pas de gnration dnergie lintrieur du systme : q = 0c) Si le milieu est homogne, nest fonction que de T. Les hypothses a) + b) +c) permettent dcrire : 2 2 2 T 2 T 2 T d T 2 T T T 2 + 2 + 2 + + + =c y x dT x z t y z d) Si de plus est constant (cart modr de temprature), nous obtenons lquation de Poisson :

a 2 T = T t

(1.2)

est appel la diffusivit thermique. c e) En rgime permanent, nous obtenons lquation de Laplace :

Le rapport a =

2T = 0

(1.3)

Par ailleurs, les hypothses a), c) et d) permettent dcrire : Equation de la chaleur en coordonnes cylindriques : 2 T + 1 T + 1 2 T + 2 T + q = 1 T r r a t r 2 z 2 r 2 2

(1.4)

Dans le cas dun problme symtrie cylindrique o la temprature ne dpend que de r et de t, cette1 T q 1 T quation peut scrire sous forme simplifie : + = r r r r a t Equation de la chaleur en coordonnes sphriques :2 sin T + 1 (r T ) + 2 T + q = 1 T 1 1 r 2 sin 2 2 r r 2 a t r 2 sin

(1.5)

Les conditions aux limites peuvent prendre lune des formes suivantes : 1. 2. At=0: En z = 0 : Si la rsistance au transfert de masse la surface est ngligeable Dans le cas contraire : T (x,0) = T0 (x )

(b) (c) (d)

T(0,t) = T0 T = h [T (0, t ) T ] x (0, t )

O :

h T

Coefficient de transfert convectif linterface (W.m-2.C-1) Temprature du fluide en contact avec le solide (C)Lim T ( x, t ) = T0 (x )

3.

Si le milieu est semi-infini :

x Si le milieu est dpaisseur 2e avec transfert sur les deux faces, la symtrie impose : T =0 x x = e / 2

(e)

(f)

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6

1.2

Diffusion de la vapeur deau

Considrons titre dexemple le transfert de vapeur unidirectionnel dun solide vers de lair travers une surface dchange plane : Air T, HR

0 x x + dx 2e

& q m (x )

Surface dchange

& q m (x + dx )

Solide, teneur en eau X(x,t) Le transfert de masse est rgi par la 1re loi de Fick qui scrit :

m = ms DAvec : m ms D X Densit de flux massique (kg.m-2.s-1) Masse volumique du solide sec (kg.m-3) Coefficient de diffusion massique (m2.s-1) Teneur en eau (kgeau.kgms-1)

dX dx

(1.6)

Effectuons un bilan de masse entre t et t + dt sur llment de volume compris entre x et x + dx :

[m (x ) m (x + dx )] S dt = ms S dx dXX X X soit : ms D = ms dx + ms D x x x x + dx t Do la seconde loi de Fick : X X D = x x t

(1.7)

Dans le cas o le coefficient de diffusion ne dpend pas de X, cette expression devient : 2 X 1 X = x 2 D t

(1.8)

Cette quation est aisment gnralisable un transfert tridimensionnel et scrit alors :

2X x2

+

2X y2

+

2X z2

=

1 X D t

Coordonnes cylindriques2X r 2 +

1 X r r

+

1 2X r 2 2

+

2X z 2

=

1 X D t

(1.9)

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7

Dans le cas dun problme symtrie cylindrique o la teneur en eau ne dpend que de r et de t, lquation 1 X 1 X r = (1.9) peut scrire sous forme simplifie : r r r D t

Coordonnes sphriques2X r2

+

1 X r r

+

1 2X r2

2

+

2X z2

=

1 X D t

(1.10)

Dans le cas dun problme symtrie sphrique o la teneur en eau ne dpend que de r, lquation (1.10) 1 2 (r X ) 1 X = peut scrire sous forme simplifie : 2 r r D t Les conditions aux limites peuvent prendre lune des formes suivantes : 1. 2. X(x,0) = X0 (x ) At=0: En x = 0 : Si la rsistance au transfert de masse la surface est ngligeable X(0,t) = Xeq X ms D Dans le cas contraire : = h m X (0, t ) X eq z ( 0, t )

(b) (c) (d)

[

]

O :

hm Xeq

Coefficient de transfert de masse linterface (kg.m-2.s-1) Teneur en eau dquilibre du produit avec lair (T, HR)

3.

x Si le milieu est dpaisseur 2e avec transfert sur les deux faces, la symtrie impose : X =0 x x = e / 2

Si le milieu est semi-infini :

Lim X * ( x, t ) = 0

(e)

(f)

1.3

Diffusion de lair

Considrons titre dexemple le transfert unidirectionnel dun gaz vers un solide : Gaz P1 0 x x + dx e

& q m (x )Milieu poreux, pression P(x,t)

& q m (x + dx )

Le transfert de masse est rgi par la loi de Darcy qui scrit :

ma =

k S dP dx

(1.12)

Avec : ma

Flux massique (kg.s-1)

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k P

Permabilit du solide (m2) Viscosit cinmatique du gaz Pression (Pa)

Effectuons un bilan de masse entre t et t + dt sur llment de volume compris entre x et x + dx :

[ma (x ) ma (x + dx )] dt = S dx do :

Porosit du solidek P k P = dx + x x x x + dx t R M 2P x2

soit :

En utilisant la loi des gaz parfaits : P =

T

il vient :

t

=

M P R T t

et sachant que : =

on en dduit :

P

=

P k t

(1.13)

Les conditions aux limites peuvent prendre les formes suivantes : 1. 2. At=0: P(x,0) = P0 (x ) En x = 0 : Si la rsistance au transfert de masse la surface est ngligeable Si le milieu est semi-infini : Lim P(x, t ) = P0

(b)P(0,t) = P

(c) (d)

3.

x Si le milieu est dpaisseur 2e avec transfert sur les deux faces, la symtrie impose : P =0 x x =e / 2

(e)

Si P0 est la pression uniforme dans un milieu poreux linstant t = 0 et si lon se place dans un intervalle de temps dans lequel P(t) a vari faiblement (quelques %), on peut crire lquation (1.13) sous la forme simplifie suivante : 2P x 2 = P k P0 t

(1.14)

1.4

Analogie entre les diffrents transferts

Les quations rgissant les transferts de chaleur, de vapeur deau et dair prsentent de fortes similitudes mises en vidence dans le tableau 1. Lvolution de la temprature, de lhumidit et de la pression lintrieur dun local rsulte des diffrents transferts qui se produisent travers ses parois. Le tableau 1 permet de faire linventaire des donnes physiques caractristiques de la paroi quil faut connatre pour calculer les diffrents flux la traversant : Conductivit thermique (W.m-2.C-1) Diffusivit thermique (m2.s-1) Coefficient de transfert de chaleur par convection (W.m-2.C-1) Diffusivit la vapeur deau (m2.s-1) Teneur en eau dquilibre Xeq (kgeau.kgms-1) Masse volumique du matriau sec (kg.m-3)

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Coefficient de transfert de masse (kg.m-2.s-1) Permabilit lair (m2) Porosit

Tableau 1.1 : Analogies entre les diffrents modes de transfertsChaleur Loi de Fourier T = S x Equation de la chaleur 1 T T = 2 a t x2

Vapeur eau 1re loi de Fick dX m = ms D S dx 2me loi de Fick X 1 X = D t x 22

Air Loi de Darcy k S dP ma = dx Si faible variation de P : 2P x2

=

P k P0 t

Conductivit thermique

Conductivit massique ms D

Conductivit massique k Diffusivit massique k P0 Effusivit massique E ma = k P0

Diffusivit thermique a

Diffusivit massique D

Effusivit thermique E = c = a

Effusivit massique E m = ms D m = h m S X X eq

Loi de Newton = h S (T T )

(

)

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2 MODELISATION DES TRANSFERTS DE CHALEUR 1D2.1 Milieu temprature uniforme

On va tudier le transfert de chaleur vers un milieu temprature uniforme, ce qui est a priori contradictoire car il est ncessaire quil y ait un gradient thermique pour quil se produise un transfert de chaleur. Cette approximation du milieu temprature uniforme peut nanmoins tre justifie dans certains cas que lon va prciser. Soit par exemple la trempe dune bille mtallique qui consiste immerger une bille initialement la temprature Ti dans un bain temprature T0 maintenue constante. Si lon suppose que la temprature lintrieur de la bille est uniforme, ce qui sera dautant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivit thermique leve, on peut crire le bilan thermique de cette bille entre deux instants t et t + dt : h S (T T0 ) = c V dT dt soit : hS dT = T T0 cV

Do :

hS T T0 = exp cV t Ti T0

(2.1)

On remarque que le groupement systme :

cV est homogne un temps, on lappellera la constante de temps du hS = cV hS(2.2)

Cette grandeur est fondamentale dans la T T0 t = exp physique, on a en effet : Ti T0

mesure o elle donne lordre de grandeur de temps du phnomne avec :

=

c V hS 1

0,37 0

t

Figure 2.1 : Evolution de la temprature dun milieu temprature uniformeIl est toujours intressant en physique de prsenter les rsultats sous forme adimensionnelle, deux nombres adimensionnels sont particulirement importants en rgime variable : l Rsisance thermiqueinterne S = Le nombre de Biot : Bi = nombre de Biot = , l est la dimension 1 Rsisance thermiqueexterne

hS caractristique du milieu, l = r pour une sphre. Soit :Bi = hl

(2.3)

Lhypothse duniformit de la temprature est justifie lorsque Bi < 0,1 .

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11

-

Le nombre de Fourier :

Fo =

at

l2

(2.4)

Le nombre de Fourier caractrise la pntration de la chaleur en rgime variable. La dfinition de ces deux nombres permet dcrire lexpression de la temprature de la bille sous la forme : T T0 = exp ( Bi Fo ) Ti T0

(2.5)

La connaissance des nombres de Biot et de Fourier permet de dterminer lvolution de la temprature de la sphre . On considre gnralement quun systme tel que Bi < 0,1 peut tre considr comme tant temprature uniforme, le critre Bi < 0,1 est appel le critre d accommodation thermique .

2.2

Milieu semi-infini

Un milieu semi-infini est une paroi dpaisseur suffisamment grande pour que la perturbation applique sur une face ne soit pas ressentie par lautre face. Un tel systme reprsente lvolution dun mur dpaisseur finie pendant un temps suffisamment court pour la perturbation cre sur une face nait pas atteint lautre face (vrai tout le temps que la temprature de lautre face na pas vari).

2.2.1 Temprature constante impose en surfaceMthode : Transforme intgrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. Le milieu semi-infini est initialement la temprature uniforme Ti. On impose brutalement la temprature T0 sur sa surface, cette condition limite est appele condition de Dirichlet :

T(x,t=0) = Ti T(x=0,t) = T0 0

x2T = 1 T a t x 2 T(x, 0) = Ti T(x=0, t) = T0 Lim T(x, t) = Ti x T Ti T0 Ti 1 T0 Ti 2T x2

Figure 2.2 : Schma du milieu semi-infini avec temprature de surface imposeLquation de la chaleur scrit :

(a) (b) (c) (d)

Avec les conditions aux limites :

On effectue le changement de variable suivant : T = Do : T x = 1 T0 Ti T x 2T x 2 , T2

x

2

=

et

T t

=

1 T0 Ti

T t

Lquation (a) peut alors scrire :

= 1 T a t

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12

T ( x , 0) = 0 Et les conditions aux limites deviennent : T ( x = 0, t ) = 1 Lim T ( x, t ) = 0 x temps scrit : (x, p) = L{T ( t )} = exp(p t ) T (x, t ) dt0

(b) (c) (d)

La transforme de Laplace (cf. annexe A.3 sur les transformations intgrales) de T ( x, t ) par rapport au

La transforme de Laplace de lquation (a) conduit : Cette quation est donc de la forme : d22

d 2 1 p T (x,0) = 0 avec a dx 2 avec q2 = p a

[

]

T ( x,0) = 0

dx Do : (x, p) = A e qx + B e + qx , la temprature garde une valeur finie quand x tend vers linfini donc 1 p e qx p

q2 = 0

B = 0, nous en dduisons que (x, p) = A e qx p Lutilisation des tables de la transforme de Laplace inverse prsentes en annexe A.4 conduit au rsultat suivant : x T (x, t ) T0 = erf 2 at Ti T0

La transforme de Laplace de lquation (c) conduit : (0, p) =

1

do

A=

et

=

(2.6)

Avec : erf (u ) =

2

exp( u ). du , la fonction erf est aussi appele la fonction erreur.2

2.2.2 Flux imposMthode : Transforme intgrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. Considrons la mme configuration mais en imposant brutalement une densit de flux de chaleur la surface du milieu semi-infini, cette condition limite est appele condition de Neumann.

0

T( x = 0, t ) x

Milieu semi-infini

Milieu ambiant T

Ti = T(x, t=0) 0

x

Figure 2.3 : Schma du milieu semi-infini avec flux surfacique imposLquation de la chaleur scrit : 2 T = 1 T a t x 2

(a)

T(x, 0) = Ti (b) T(, t) = Ti (c) T (0, t ) = 0 (d) x Cette dernire condition traduit la conservation du flux de chaleur au niveau de la surface du milieu semiinfini. Avec les conditions aux limites :

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13

On effectue le changement de variable suivant : T = T TiDo : T T = x x , 2T 2T = x x 2T x2

et = 1 T t

T T = t t

Lquation (a) peut alors scrire :

T ( x , 0) = 0 Et les conditions aux limites deviennent T (, t ) = 0 T (0, t ) = 0 x d 22

(b) (c) (d)

La transforme de Laplace de lquation (a) conduit : Do : ( x, p ) = A e qx + B e + qx

T ( x,0) = 0 dx , la temprature garde une valeur finie quand x tend vers linfini donc

1 p T ( x ,0) = 0 avec a

[

]

B = 0, et nous en dduisons que ( x, p ) = A e qx La transforme de Laplace de lquation (d) scrit : Do : A =

0p

=

d (x = 0) dx

0pq

pq Lutilisation des tables de la transforme de Laplace inverse prsentes en annexe A.4 conduit au rsultat suivant :T (x, t) = T(x, t) Ti = 2 0 x a t ierfc 2 at

et

(x, p ) =

0

e

qx

(2.7)

Avec :

ierfc (u ) =

1

exp u 2 u [ 1 erf (u )]

( )

2.2.3 Coefficient de transfert imposMthode : Transforme intgrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables.On considre le cas o le coefficient de transfert de chaleur par convection h entre le milieu semi-infini et le milieu ambiant est impos, cette condition limite est appele condition de Newton : Lquation de la chaleur scrit : 2 T = 1 T a t x 2 Ti = T(x, t=0) Milieu ambiant T h [T T(x = 0, t )]

(a)

T (x = 0, t ) x

Milieu semi- infini

0

x

Figure 2.4 : Schma du milieu semi-infini avec coefficient de transfert convectif impos

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14

Avec les conditions aux limites :

T(x, 0) = Ti T(, t) = Ti T (0, t ) = h [T T( x = 0, t )] x

(b) (c) (d)

On effectue le changement de variable suivant : T = T Ti Do : T T = x x , 2T = x 2T x et T T = t t

2 Lquation (a) peut alors scrire : T = 1 T a t x 2

T ( x , 0) = 0 Les conditions aux limites deviennent : T (, t ) = 0 T (0, t ) x dx 2 = h [T ( x = 0, t ) (T Ti )]

(b) (c) (d)

La transforme de Laplace de lquation (a) conduit :

d 2

1 p T ( x ,0) = 0 avec T (x ,0) = 0 a

[

]

Do : ( x, p ) = A e qx + B e + qx La temprature garde une valeur finie quand x tend vers linfini donc B = 0 et ( x, p ) = A e qx h (Ti T ) d (0, p) = h (0, p ) + La transforme de Laplace de lquation (d) scrit : dx p h (Ti T ) pet ( x , p ) = l (Ti T ) e q x h h

Soit : A q = h A +

do : A =

(Ti

T )

h p + q

p (q + l ) Lutilisation des tables de la transforme de Laplace inverse prsentes en annexe A.4 conduit au rsultat suivant :T T Ti T2 x + exp h x + a h t erfc x + h a t = erf 2 2 at 2 at

o l =

(2.8)

2.3

Transfert unidirectionnel dans des milieux limits : plaque

On considre le cas dune plaque dpaisseur 2L et de dimensions latrales suffisamment grandes pour que lon puisse considrer que le transfert de chaleur est unidirectionnel. Ltude de ce cas permettra dillustrer les diffrentes mthodes utilises pour rsoudre lquation de la chaleur monodimensionnelle en rgime variable. Pour illustrer les diffrentes mthodes de rsolution utilisables, nous traiterons ici le cas dune plaque avec temprature constante impose en surface 1re mthode : Transforme de Laplace, dveloppement en srie et inversion terme terme par les tables. Lquation de la chaleur scrit :

2 T = 1 T a t x 2

(a)

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15

Ti = T (x,0)

T0 = T (-L, t)

T0 = T (L, t)

-L

0

+L

x

Figure 2.5 : Schma dune plaque avec temprature impose en surface

Avec les conditions aux limites :

T(x, 0) = Ti T(L, t) = T (-L, t) = T0 T (0, t ) = 0 x

(b) (c) (d)

On effectue le changement de variable suivant : T = T Ti do : T T = x x 2 T = 1 T a t x 2 T ( x , 0) = 0 T ( x = L, t ) = T ( x = L, t ) = T0 Ti T (0, t ) = 0 x

Lquation (a) peut alors scrire :

(b) (c) (d)

Et les conditions aux limites deviennent :

La transforme de Laplace de T ( x, t ) par rapport au temps scrit : (x, p) = L{T ( t )} = exp(p t ) T (x, t ) dt0

La transforme de Laplace de lquation (a) conduit : Cette quation est donc de la forme : d 2 dx 2 q2 = 0

d 2

dx

2

1 a

[p T (x ,0)] = 0 avecq2 = p a

T ( x,0) = 0

avec

Do : ( x, p ) = A cosh(qx ) + B sinh(qx)

La transforme de Laplace de lquation (d) conduit :

d dx

(x = 0) = 0 T0 Ti p

do B = 0 et = A cosh(qx) do A= T0 Ti p cosh(qL)

La transforme de Laplace de lquation (c) conduit : (L, p) = et ( x, p ) =

(T0 Ti ) cosh(qx)p cosh(qL)

=

T cosh(qx ) p cosh(qL) 1 1 + e 2 q L pour crire (x,p) sous la forme :

Nous pouvons utiliser un dveloppement en srie de ( x, p ) = ( x, p ) = T T p e qx + e qx

p e qL 1 + e 2 qL

(

)

=

T p

[e

q ( L x )

+ e q ( L+ x ) ( 1) e 2 nqLn =0

]

n

n =0

( 1) e q[(2n +1)L x ] +

n

T p

n =0

( 1) e q[(2n +1)L + x ]

n

La transformation inverse de Laplace terme terme (proprit de linarit) conduit :

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16

n n (2n + 1) L x ( 2n + 1) L + x = ( 1) erfc + (T0 Ti ) ( 1) erfc n =0 T0 Ti n =0 2 at 2 at

T Ti

(2.9)

Cette solution converge rapidement pour les faibles valeurs de t. 2me mthode : Dcomposition de la temprature en un produit de fonctions et superposition des solutions.

Ti = T (x,0)

T0 = T (0, t)

T0 = T (2L, t)

0

2L

x

Figure 2.6 : Schma dune plaque avec temprature impose en surface

Lquation de la chaleur scrit : Avec les conditions aux limites :

2 T = 1 T a t x 2 T(x, 0) = Ti T(0, t) = T (2L, t) = T0

(a)(b) (c)

On effectue le changement de variable suivant : T = T T0 Lquation (a) peut alors scrire : Et les conditions aux limites deviennent : 2 T = 1 T a t x 2 T ( x,0) = Ti T0 T ( x = 0, t ) = T (x = 2L, t ) = 0(b) (c)

On peut aussi considrer par raison de symtrie une plaque dpaisseur L en prenant une condition de flux T (L, t ) = 0 (d) nul en x = L soit pour la seconde condition limite : x On effectue une dcomposition de la temprature en un produit de fonctions sous la forme : T (x , t ) = X( x )Y(t ) . Lquation de la chaleur conduit lquation suivante :X " Y = 1 XY ' a ou : X" = 1 Y ' = 2 X a Y

O est une constante car les deux fonctions X et Y dpendent lune de x et lautre de t. Nous en dduisons : X"+ 2 X = 0 X = A 1 cos(x ) + B1 sin (x )2 Y'+ a 2 Y = 0 Y = Ce a t

2 Et T ( x, t ) = e a t [A cos (x ) + B sin (x )]

La condition limite T (0, t ) = 0 scrit alors : A =0

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2 do : T ( x, t ) = B sin(x )e a t , les fonctions n ( x ) = sin ( n x ) sont les fonctions propres du systme. T ( L, t ) La condition limite = 0 pour tout t scrit alors : B cos (L ) = 0 x avec Cette quation admet une infinit de solutions que lon appelle les valeurs propres : n = ( 2n + 1) 2L n variant de 0 linfini. Le thorme de superposition des solutions permet dcrire la solution gnrale de (a) sous la forme :

T ( x, t ) = D n sin( n x ) exp a n 2 tn =0

(

)L 0

La mthode gnrale de rsolution est la suivante : Si le premier terme de la srie est une constante non nulle on le dtermine en calculant T ( x,0) dx de deux manires : - En remplaant T ( x,0) par son expression dduite des donnes du systme ltat initial : T ( x,0) = Ti ( x ) (e) EnL 0

remplaant L

T ( x,0)

par

T ( x,0) = D n sin( n x ) ,n =0

on

obtient

la

somme

infinie :

T (x,0 ) dx = D n n ( n x ) dx0 0

(f)

dont on montre aprs intgration que seul le premier terme D0 est non nul. On dtermine la valeur de D0 en galant les expressions (e) et (f). Dans lexemple trait, la srie ne comporte pas de terme constant. Les autres termes Dn sont dtermins en calculant T ( x,0 ) m ( n x )dx de deux manires :0 L

-

En remplaant T ( x,0) par son expression dduite des donnes du systme ltat initial : T ( x,0) = Ti ( x ) (g) T ( x,0) T ( x,0) = D n sin( n x ) , on obtient la somme infinie :n =0

-

En remplaantL 0 L

par

T (x,0) dx = D n n ( n x ) m ( m x )dx0 0 L 0

On montre que si n m alors n ( n x ) m ( m x ) dx = 0 (orthogonalit des fonctions propres)L

donc :

0

2 T (x,0 ) dx = D n m ( m x ) dx (h) 0

L

On dtermine la valeur des constantes Dm en galant les expressions (g) et (h). Appliquons cette mthode lexemple trait : On a : T ( x,0) m ( n x )dx = (Ti T0 ) sin( n x ) dx =0 0 L 0 L 0 L 0 L L

Ti T0 n L 2

et : T ( x,0) m ( m x )dx = D m sin 2 ( m x ) dx = D m sin 2 ( m x ) dx = D m On en dduit : D m et finalement : T ( x, t ) = 2 (Ti T0 ) 4 (Ti T0 ) = = (2n + 1) n L

T( x, t ) T0 4 x 2 a t 1 sin (2 n + 1) = exp (2 n + 1) 2 n =0 2 n + 1 Ti T0 2 L 4 L2

(2.7)

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18

Cette solution converge pour un petit nombre de termes pour les valeurs leves de t (le premier terme peut suffire pour t lev). Remarque : Dans le cas de lutilisation des coordonnes cylindriques on calculera plutt lintgrale :L 0

T (r,0 ) r m ( n r ) dr pour dterminer la valeur des constantes Dm.T ( x,0) = Ti T0 sous la forme :

Une autre mthode moins gnrale consiste crire la condition limite

x T ( x,0) = Ti T0 = D n sin (2n + 1) et utiliser ensuite un dveloppement en srie de Fourier de la 2 L n =0 condition initiale sur le domaine.

En effet, une fonction f dfinie sur [0,L] peut scrire sous forme dune srie de Fourier en sinus : 2 L n x n x f ( x ) = b n sin avec b n = f ( x ) sin dx L0 L L n =1 Nous pouvons effectuer un dveloppement en srie de Fourier en sinus de f(x) = (Ti - T0) sur lintervalle [0,2L] : Ti T0 = n =0

1 2 L nu nx 1 (Ti T0 ) 2L = du sin (Ti T0 )sin n L 0 2L 2L n = 0 L 2 (Ti T0 ) n

nu nx sin cos 2L 0 2L

2L

Ti T0 = Ti T0 =

n =0

[1 cos (n)] sin

4 (Ti T0 ) 1 (2n + 1)x sin 2L n = 0 2n + 1 Dn =

nx 2 (Ti T0 ) (2n + 1)x 2 sin = 2L 2L n =0 (2n + 1)

Par identification, nous en dduisons :

4 (Ti T0 ) , nous retrouvons le rsultat tabli prcdemment. (2n + 1)

3me mthode : Utilisation dune transformation intgrale sur la variable despace. Principe de lutilisation dune transforme intgrale la rsolution de lquation de la chaleur : On applique lquation de la chaleur et aux quations rsultantes des conditions aux limites une transformation intgrale permettant dobtenir une nouvelle quation diffrentielle dont la rsolution (plus aise) conduit lexpression de la temprature dans lespace transform. On applique ensuite la transformation inverse pour obtenir lexpression de la temprature T dans lespace rel. Le choix de la transformation intgrale la mieux adapte dpend de la configuration et des conditions aux limites. Si la temprature dpend de la variable despace r, on choisit une transformation du type suivant : () = w (r )T (r, ) T (r, t ) dr o D est le domaine de dfinition de la temprature et T (r, t ) est une fonction propre solution du systme form par lquation de la chaleur et les conditions aux limites pour un nombre infini de valeurs n (n = 1, 2,..). Lquation dont les n sont solutions est appele lquation transcendante. La fonction w(r) est choisie constante et gale 1 en gomtrie rectangulaire et gale r en gomtrie cylindrique. La formule gnrale dinversion est alors la suivante : T ( n , r ) 2 T(r , t ) = n ( n ) avec : N( n ) = T ( n , r ) w (r ) dr n n =1 N( ) D nD

[

]

N(n) est appele la norme de la fonction propre T (r, t ) .

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On trouvera en annexe A.3 la dfinition et les proprits des transformations les plus utilises : Laplace, Fourier et Hankel. On trouvera galement en annexe A.6 un tableau donnant les fonctions propres et leurs normes, les quations transcendantes et les valeurs propres pour les cas de figure les plus courants. On applique cette mthode au cas de figure schmatis sur la figure 3.9. Lquation de la chaleur scrit : 2 T = 1 T a t x 2 T(x, 0) = Ti T(0, t) = T (2L, t) = T0(a)

Avec les conditions aux limites :

(b) (c)

On effectue le changement de variable suivant : T = T Ti nx Selon lannexe A.6, la fonction propre est T (x, t ) = sin , on applique donc une transformation (finie L car le milieu est fini) de Fourier en sinus (cf. annexe A.3) lquation (a) :

Fs [a ] do :

2 2 L (T0 Ti ) 1 ( 1) n + A exp n at n L2 n 2 2 a t L (T0 Ti ) La condition limite T (x, t = 0) = 0 conduit : s (n ) = 1 ( 1)n + 1 exp n L2 La transforme inverse permet de calculer T(x,t) :

n T (0 ) ( 1)n T (L ) n 2 2 (n ) = 1 d s (n ) avec s a dt L L2 2 2 n (T0 Ti ) d s 1 ( 1)n 1 n s (n ) = 1 (n ) 2 L a dt L

[

]

T (x = 0) = T (x = 2L ) = T0 Ti

[

]

La solution gnrale de cette quation scrit : s (n ) =

[

]

[

]

n 2 2 a t sin nx T (x , t ) = 2 L 1 ( 1)n + 1 exp 2 L n = 1 n L L 2 2 4 (T0 Ti ) 1 1 exp (2n + 1) a t sin [2n + 1]x T (x , t ) = L n = 0 2n + 1 L2

[

]

Un dveloppement de la fonction constante et gale 1 en srie de sinus permet de retrouver le rsultat de la 2me mthode. 4me mthode : Transformation de Laplace, rsolution et inversion par la mthode de Stehfest . Nous avons montr en appliquant la 1re mthode que la transforme de la temprature T(x,t) Ti scrit : (x, p ) =

(T0 Ti ) cosh(qx) p cosh (qL )

=

T cosh(qx ) p cosh (qL )

avec q =

p a

La temprature T(x,t) peut sen dduire en appliquant la mthode de Stehfest pour trouver la transforme de Laplace inverse de (x,p) : T(x, t) = Ti + ln(2) tN j ln(2) V j x , j=1 t

(2.11)

Un nombre de termes N=10 est suffisant pour obtenir une prcision satisfaisante. Les valeurs des coefficients Vj correspondants sont donns en annexe A.4.

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Comparaison des mthodes : La mthode permettant darriver le plus simplement une valeur de T(x,t) est la 4me mthode qui ne fournit toutefois quune solution numrique approche de la solution et qui nest pas labri dinstabilits numriques dans certains cas trs particuliers. Un nombre de termes N = 10 dans la formule (2.11) permet dobtenir une prcision satisfaisante. Viennent ensuite par ordre de difficult croissante la 1re mthode puis la 2me et la 3me mthode. Le premier terme de la formule (2.9) reprsente bien la temprature aux temps courts alors que le premier terme de la formule (2.10) reprsente bien la temprature aux temps longs. T( x, t ) Ti On trouvera titre dillustration sur la figure 2.8 la reprsentation de la temprature rduite T0 Ti 2,5 cm du bord dune plaque dpaisseur 10cm pour un matriau de diffusivit a = 10-6 m2.s-11.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1000 2000 3000 4000 (3.15) avec N=10 (3.13) avec 1 terme (3.14) avec 1 terme

Figure 2.8 : Temprature rduite dans une plaque calcule par les diffrentes relations

2.4

Systmes complexes : mthode des quadriples

Dans ce paragraphe, on notera : (x,p) la transforme de Laplace de la temprature T(x,t). - (x,p) la transforme de Laplace du flux de chaleur (x,t). On trouvera en annexe A.7 un rcapitulatif des matrices quadripolaires associes aux systmes les plus couramment rencontrs dans la pratique.

2.4.1 Ecoulement unidirectionnel dans des murs plansMur simpleOn considre le cas dun transfert de chaleur unidirectionnel dans un mur dpaisseur e. 2 (a) La temprature T(x,t) au sein du mur vrifie lquation : T = 1 T a t x 2 2 p En appliquant la transformation de Laplace lquation (a) on obtient : d = (b) 2 a dx O (x,p) est la transforme de Laplace de la temprature T(x,t) (cf. annexe A.3.1).

si T(x,0) = 0. p a

Lquation (b) admet une solution de la forme : (x, p) = k 1 (p) cosh (q x) + k 2 (p) sinh(q x) avec q 2 = La transforme de Laplace du flux en un point quelconque du mur scrit : ( x, p ) = L S T ( x, t ) = S L T ( x, t ) = S d ( x, p ) x dx x Cette relation permet dexprimer (x,p) en fonction de k1(p), k2(p) et x :

(c)

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( x, p ) = S k 1 q sinh(q x ) S k 2 q cosh (q x ) Les relations (b) et (d) peuvent tre crites en x = 0 et en x = e, on obtient : (0, p ) = k 1 (0, p ) = S k 2

(d)

(e, p ) = k 1 cosh (q e ) + k 2 sinh(qe )

(e, p) = S q k 1 sinh(q e ) S q k 2 cosh (q e )

Il est possible dliminer k1 et k2 entre ces 4 quations ce qui revient par exemple exprimer (1, 1) en fonction de (2, 2), on aboutit : 1 sinh(q e ) (e, p ) (0, p ) cosh (q e ) = qS ( 0, p) (e, p ) q S sinh(q e ) cosh (q e ) Matrice quadripolaire M

(2.12)

On a la proprit : det (M) = 1 ce qui permet dtablir la relation rciproque : 1 sinh(q e ) (0, p ) (e, p ) cosh (q e ) = qS ( e, p ) (0, p ) - q S sinh(q e ) cosh (q e ) On peut par ailleurs tablir une analogie entre la propagation dun courant en rgime sinusodal et le transfert thermique unidirectionnel en rgime transitoire : Intensit du courant lectrique I Potentiel lectrique U Impdance lectrique Z Flux de chaleur dans lespace de Laplace (x,p) Temprature dans lespace de Laplace (x,p) Impdance thermique Z

La loi dOhm U1 - U2 = R I se traduit par : T1 T2 = Rt La loi des noeuds :

I = 0 se traduit par : = 01 Z1 3 1 3 Z3 2 Z2 2

Moyennant ces notations, la relation quadripolaire (2.12) peut tre reprsente par le schma lectrique quivalent de la figure 2.9.

Figure 2.9 : Schma lectrique quivalent un mur simple en rgime variableAvec dans le cas du mur plan : Z1 = Z 2 = cosh (q e ) 1

S q sinh(q e )

et

Z3 =

1

S q sinh(q e )

Mur avec change convectifOn considre le cas dun mur changeant de la chaleur par convection avec un fluide (cf. figure 2.10) La relation = h S T T(x =0 )

[

]

peut aussi scrire : T =

hS

+ T(x =0 ) que lon peut traduire dans lespace

de Laplace par : = ( x =0 ) + hS Laplace de la temprature T.

si est la transforme de Laplace du flux et la transforme de

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T Convection = hS [T - T(x=0)]0 e

x Figure 2.10 : Schmatisation dun mur simple avec transfert convectifOn peut donc crire sous forme matricielle quadripolaire: 1 = 0 1 h S ( x =0 ) ( x =0 ) 1

(2.13)

Rsistance de contact entre 2 mursConsidrons maintenant le cas du transfert de chaleur travers une rsistance de contact R linterface entre deux milieux solides tel que reprsent sur la figure 2.11. T1 (x =0 ) T2 (x =0 ) peut aussi scrire : T1 (x =0 ) = R + T2 (x =0 ) que lon peut Le flux de chaleur scrit = R traduire dans lespace de Laplace par : 1 (x =0 ) = 2 (x = 0 ) + R si est la transforme de Laplace du flux et i la transforme de Laplace de la temprature Ti. Rsistance de contact T1 T2

Figure 2.11 : Schma de deux murs avec rsistance de contact

x

On peut donc crire sous forme matricielle quadripolaire: 1 1 R 2 = 1 0 1 2

(2.14)

Mur multicouches avec convection et rsistances de contactR12 e1 Fluide 1 Tf1 Convection, h1 Convection, h2 Fluide 2 Tf2 x1 x2 x3 e2 R23 e3

Figure 2.12 : Schma dun mur multicouches avec convection et rsistances de contact

0

x

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Les quations matricielles quadripolaires prcdemment tablies nous permettent dcrire : f1 1 1 A1 B1 1 R 12 A 2 B2 1 R 23 A 3 B3 1 1 h1S h 2 S f2 = C D 0 1 C D 1 C1 D1 0 1 2 1 2 2 3 0 1 0 3 avec : A i = D i = cosh (q i e i ) ; Ci = i q i S sinh(q i e i ) ; Bi = sinh(q i e i )iq i S

et q i =

p ai

La description du problme sous forme matricielle permet den obtenir une formulation trs simple ce qui montre tout lintrt de la mthode des quadriples.

Milieu semi-infiniIl a t dmontr que la temprature dans l'espace de Laplace d'un milieu semi-infini s'crit : p ( x, p ) = A e q x o q = a On en dduit la valeur de la transforme de Laplace du flux en un point du milieu semi-infini : d ( x , p ) = S = q S e q x = q S dx Avec q= p = a cp cp S = c S p = E S p

peut donc aussi s'crire : = q S =

O E est l'effusivit thermique. On pourra donc crire en tout point d'un milieu semi-infini :

= E S p

(2.15)

Mur temprature uniformeDans le cas d'un "systme mince" : mur dont l'paisseur et/o la conductivit thermique permettent de considrer sa temprature comme uniforme (Bi < 0,1), la diffrence entre le flux de chaleur entrant et le flux de chaleur sortant du systme s'crit simplement : 1 2 = c V dT soit en appliquant la transforme de Laplace : 1 2 = c V p dtCe qui peut se traduire sous forme quadripolaire par la relation :

0 2 1 1 = c V p 1 2 1

(2.16)

2.4.2 Ecoulement radialCylindre creuxL r2

r1

Figure 2.13 : Schma du cylindre creux

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On montre de la mme manire (Maillet et al, 2000) que les tempratures et les flux dans lespace de Laplace peuvent tre relis par une relation quadripolaire : (r1 , p ) A B (r2 , p) (r , p) = C D (r , p ) 2 1 A = q r2 [K 1 (q r2 ) I 0 (q r1 ) + K 0 (q r1 ] I1 (q r2 ) B= L 2l

[K 0 (q r1 ) I 0 (q r2 ) K 0 (q r2 ) I 0 (q r1 )]

(2.17)

C = 2 L c p r1 r2 [K 1 (q r1 ) I1 (q r2 ) K 1 (q r2 ) I1 (q r1 )] D = q r1 K 0 (q r2) I1 (q r1 ) + K 1 (q r1 )I 0 (q r2 )

[

]

I0, I1, K0 et K1 tant des fonctions de Bessel (cf. Annexe A7). Le dterminant de la matrice quadripolaire est gal 1.

Cylindre creux semi-infiniComme dans le cas du mur plan, on montre que l'on peut crire en tout point d'un cylindre creux semiinfini (r2 ) (Maillet et al, 2000) : q r1 K 1 (q r1 ) = 2 L K 0 (q r1 ) (2.18)

Sphre creuse

1 1 2

r1

r2

Figure 2.14 : Schma de la sphre creuse

On montre de la mme manire que pour un mur plan (Maillet et al, 2000) que les tempratures et les flux dans lespace de Laplace peuvent tre relis par une relation quadripolaire : (r1 , p ) A B (r2 , p) (r , p ) = C D (r , p ) 2 1 r2 sinh(p ) A= cosh ( p) r1 q r1 B= sinh( p ) 4 q r1 r2 (2.19)

r 1 C = 4 r2 1 1 cosh ( p ) + q r1 sinh(p ) r q r2 2 r1 sinh( p) D= cosh ( p ) + r2 q r2

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Le dterminant de la matrice quadripolaire est gal 1.

Sphre creuse semi-infinieComme dans le cas du mur plan, on montre que l'on peut crire en tout point d'une sphre creuse semiinfinie (r2 ) : = 4 r (1 + q r ) 1 1 (2.20)

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3 MESURE DES PROPRIETES THERMIQUES3.1 Mesure de la temprature

3.1.1 Thermomtre colonne liquideOn utilise la dilatation linaire dun liquide en fonction de la temprature.

3.1.2 ThermocoupleOn utilise leffet Seebeck : lorsque les deux jonctions de deux fils de nature diffrentes sont portes des tempratures diffrentes, il nat une diffrence de potentiel qui crot avec la diffrence de temprature : Fil matriau 1 U k (T2-T1) T2 Fil matriau 2 T1

Figure 3 .1 : Schma de principe dun thermocouple.Des tables donnent pour chaque type de thermocouple la tension U(T) dlivre lorsque la jonction froide est 0C et la jonction chaude T. La fonction U(T) peut tre linarise sur des intervalles rduits de temprature ainsi que le montre le tableau 3.1.

Tableau 3.1 : Valeur de U(T) pour un thermocouple de type T (Cuivre-Constantan).

Les principaux types de thermocouples et la gamme de temprature dans laquelle ils sont utilisables sont les suivants : Type T : Type K : Type R : Type G : - 185 +300 C 0 1100 C 0 1600C 20 2360C Cuivre-Constantan Nickel-Nickel Chrome Platine-Platine Rhodium Tungstne-Tungstne Rhenium

Dans les mthodes instationnaires de mesure des proprits thermiques, la connaissance de la temprature absolue ne prsente pas dintrt, on a seulement besoin de mesurer une lvation de temprature entre deux instants. On peut constituer une temprature de rfrence en ralisant deux blocs de matriau trs effusifs (cuivre, aluminium par exemple) dont on pourra considrer la temprature constante pendant la dure de la mesure compte tenu de leur forte capacit calorifique. On perce un trou de petit diamtre dans chaque bloc et on ralise la jonction entre chaque fil du thermocouple et deux fils de cuivre dans les trous pratiqus dans les deux blocs. On mesure ainsi aux bornes des deux fils de cuivre la tension aux bornes dun thermocouple dont la

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soudure froide est la temprature (constante) des blocs et dont la soudure chaude est la temprature que lon veut mesurer. On en dduit la variation de temprature en assimilant la courbe temprature = f (tension) une droite sur de petits intervalles de temprature. Il est impratif disoler les blocs lectriquement (les entourer de ruban ou de vernis isolant) et prfrable de les isoler thermiquement (les entourer de polystyrne par exemple). Fils de cuivre relis un enregistreur de tension

Blocs en aluminium isols lectriquement

Isolant thermique Fils dun thermocouple

Figure 3.2 : Dispositif de ralisation dune jonction temprature constante.La ralisation de la soudure de deux fils pour raliser un thermocouple est dlicate, on peut se contenter pour les fils de faible diamtre de les torsader. Dans ce cas la temprature mesure est celle du dernier point de contact entre les deux fils. La mesure dune temprature de surface est dlicate cause du contact imparfait entre la soudure (ou la torsade) des extrmits des fils et la surface dont on veut mesurer la temprature. Il subsiste toujours une rsistance thermique de contact entre les deux qui fausse plus ou moins la mesure. Il est prfrable de raliser un contact spar en appliquant (par un morceau de ruban adhsif si la temprature le permet) les extrmits des deux fils du thermocouple sur la surface une distance de quelques mm. Le contact lectrique est alors ralis par la surface elle-mme condition quelle soit conductrice (si elle ne lest pas on la recouvre dune fine couche laque dargent conductrice). On mesure ainsi la moyenne des tempratures des deux points de contact en tant sr quil nexiste pas de rsistance de contact, lexistence dun dfaut de contact est facilement reprable car il conduit une tension nulle aux bornes du thermocouple (circuit ouvert). Lors de mesures en rgime transitoire rapide, il est important que le thermocouple prsente un temps de rponse le plus faible possible. Plus les fils sont fins, plus le temps de rponse est faible, on a donc toujours intrt utiliser les fils les plus fins possibles. On utilise souvent des fils dun diamtre de lordre de 0,1mm achets en bobine prsentant un temps de rponse de lordre de 0,1s, exemples de fournisseurs : http://www.omega.fr/default_fr.asp , http://www.tcdirect.fr/ .

3.1.3 Thermistance

Figure 3.3 : Vue dune thermistanceC'est un composant passif en matriau semi-conducteur. Si l'auto-chauffement par effet Joule est ngligeable, sa rsistance varie avec la temprature selon la loi : R(T) = R(T0).exp [B (1/T - 1/T0)] Les tempratures sont exprimes en degrs Kelvin, B et T0 sont des constantes caractristiques du composant. Comme la rsistance diminue avec la temprature on nomme parfois les thermistances rsistances CTN (pour coefficient de temprature ngatif). La caractristique courant-tension prsente pour les courants faibles une partie linaire puis un plateau et enfin pour les courants plus intenses une zone pente ngative qui correspond l'auto-chauffement du composant. La gamme dutilisation est -50C 200C.

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3.1.4 Rsistance de platineOn utilise une rsistance de platine sous forme de fil dont la rsistance augmente quasi-linairement avec la temprature, on a par exemple pour une rsistance Pt100 : R = 100 + 0,3864 T Avec : R T Rsistance () Temprature (C)

Tableau 3.2 : Valeur de la rsistance dun fil de platine en fonction de la temprature

La gamme de temprature dans laquelle ils sont utilisables est de -200C +850C.

3.1.5 Dtecteur IRCe sont des dtecteurs optiques (photovoltaques) de quelques mm2 qui gnrent un courant quand ils sont exposs un rayonnement infrarouge. Placs proches de la surface dont on veut mesurer la temprature, ils dlivrent un signal proportionnel la temprature de surface si les carts de temprature sont faibles (linarisation possible du flux radiatif proportionnel T4). Leur intrt est de permettre une mesure sans contact donc sans perturbation de la surface dont on veut mesurer la temprature. Ils prsentent galement un temps de rponse pratiquement nul ce qui permet dtudier des phnomnes transitoires de quelques ms. Ils ncessitent dtre maintenus temprature constante la plus basse possible par utilisation dazote liquide ou dlment Peltier, leur cot est relativement lev. Exemple :

Les dtecteurs J10D sont des photodiodes l'Antimoniure d'Indium (InSb) de haute qualit fournissant une excellente performance dans la rgion de longueur d'onde de 1 5,5 m. La technologie mono cristal jonction p-n produit des dtecteurs de grand vitesse et de faible bruit avec une excellente uniformit, linarit et stabilit. Applications Imagerie Thermique, Guidage par Infrarouge Radiomtres, Spectromtrie

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29

3.1.6 Camra IRCes cameras permettent de mesurer non plus une temprature ponctuelle mais un champ de grandeurs proportionnelles la temprature. Un calibrage partir dun corps temprature contrle et dmissivit connue est ncessaire pour remonter aux tempratures. Le nombre dinformations traiter devient trs important et ncessite dutiliser des techniques de traitement du signal performantes. Les applications sont multiples : dtection de dfauts dans des plaques, mesure de champ de diffusivit thermique Exemple :

Thermography Camera PV320T Electrophysics' PV320T is a calibrated thermal camera incorporating a high resolution (320x240) uncooled focal plane array.

Features: -10 to 500C calibration 2% accuracy USB2.0 high speed output 0.08C sensitivity Broadband 3-14m

3.1.7 Choix dune mthode de mesureDans les applications de mtrologie thermique instationnaire, le thermocouple prsente lavantage dune taille plus faible par rapport la thermistance et la possibilit de mesurer une temprature ponctuelle par rapport la rsistance de platine qui est plutt utilise pour mesurer une temprature moyenne sur une ligne ou sur une surface. La grandeur mesurer est une tension mesurable facilement condition toutefois de disposer dun bon amplificateur compte tenu des faibles valeurs (de lordre de 0,04mV par C) mesurer.

3.2

Mthode de la plaque chaude garde

Cest une mthode de mesure stationnaire de la conductivit thermique des matriaux isolants. Son schma de principe est reprsent sur la figure 3.4. Les plaques extrieures en matriau trs conducteur (cuivre, aluminium) sont maintenues temprature constante par circulation dun fluide issu dun bain thermostat. Une plaque chauffante dlivre une puissance de chauffe 0 uniforme et constante qui est transmise aux plaques extrieures travers les chantillons dont on veut mesurer la conductivit thermique. On sassure du transfert 1D dans la zone centrale de mesure en entourant la zone chauffe par un anneau de garde auquel on fournit un flux 1 tel que la temprature de lanneau soit gale la temprature de la plaque chauffante. On sassure ainsi galement que tout le flux 0 passe travers lchantillon. Le flux 1 est suprieur au flux 0 pour compenser les pertes latrales convectives. Lanneau de garde et la plaque chauffante sont spars par une mince couche dair. Des thermocouples sont placs sur les deux faces des chantillons pour en mesurer les carts de temprature T et T .

Plaque mtallique froide Echantillon

TChauffe 0 Garde 1

Bain thermostat

Garde 1 Echantillon

TPlaque mtallique froide

Figure 3.4 : Schma de principe de la mthode de la plaque chaude garde.

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30

La conductivit thermique sen dduit par :

=

e 0 S (T + T )

(3 .1)

O S est la surface de la plaque chauffante. Cette mthode nest applicable quaux isolants pour lesquels on peut ngliger les rsistances de contacts par rapport la rsistance du matriau. Ils permettent par ailleurs dobtenir des carts de temprature entre les deux faces relativement importants donc mesurables avec une bonne prcision. On peut utiliser de la graisse conductrice pour diminuer les rsistances de contact entre les chantillons et les plaques. Cette mthode est difficilement applicable haute temprature et le rsultat peut tre biais par les pertes latrales si la surface de lchantillon est insuffisante par rapport lpaisseur. Elle a fait lobjet dune normalisation ISO 8302 :1991, NF EN 1946-2.

3.3

Mthode du fil chaud

3.3.1 Principe de la mthode

Figure 3.5 : Vue dune sonde de type fil chaudOn place un fil chauffant entre les surfaces de deux chantillons du matriau caractriser. On applique un chelon de flux de chaleur constant ( = 0 si t < t0 et = 0 si t > t0 ) au fil chauffant et on relve lvolution de la temprature Ts(t) de ce fil. Pendant le temps o la perturbation na pas atteint les autres faces des chantillons, c'est--dire o lhypothse du milieu semi-infini est valide, on peut considrer que le transfert au centre de lchantillon autour du fil est radial. La modlisation de ce transfert de chaleur permet de calculer lvolution de la temprature au centre de lchantillon. On applique une mthode destimation de paramtres pour calculer les valeurs de : - La conductivit thermique , - La capacitance thermique (mc)s de lensemble sonde + rsistance chauffante, - La rsistance de contact Rc linterface sonde/chantillon, qui minimisent lcart entre les courbes Ts(t) thoriques et exprimentales.

Fil chauffant

Echantillon

Thermocouple T0(t)

Figure 3.6 : Schma du montage de la mthode du fil chaud.

3.3.2 Modlisation du fil chaud

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31

Le voisinage du fil chauffant peut tre schmatis de la manire suivante : Rsistance de contact Rc Echantillon = cylindre creux rayon intrieur r0, rayon extrieur infini

Fil chauffant : rayon r0, temprature Ts(t)

Temprature T(t)

Figure 3.7 : Schma des transferts autour du fil chaudLquation de la chaleur scrit dans lchantillon : 2T r2

+

1 T r r

=

1 T a t

(a) (b) (c) (d) (e)

T(x, 0) = Ts(0) = Ti T(, t) = Ti avec les conditions aux limites : h Ts (t ) T(0, t ) = 0 = m c

[

]

T (0, t ) r

dTs + h S [Ts (t ) T (0, t )] dt

La rsolution de ce systme laide du formalisme des quadriples permet dcrire lexpression de la transforme de Laplace de Ts(t) sous la forme : 0 A 0 + (A 0 R c + B 0 ) / Z p C 0 + (C 0 R c + D 0 ) / Z 1 cs r0 L p2

s = I0 (q r0 )

(3.2) q r0 I0 (q r0 ) 2 I1 (q r0 )

avec A 0 = 1 ; B0 = o : s Rc cs a p r0 L 0 I0, I1, K0, K1

2L q r0 I1 (q r0 )

1

; C0 = cs r0 2 L p ; D0 =

Transforme de Laplace de la diffrence Ts(t) Ts(t=0) Transforme de Laplace de la diffrence T (t) T (t=0) Rsistance de contact linterface rsistance chauffante / chantillon Capacit calorifique du thermocouple+rsistance Conductivit thermique de lchantillon Diffusivit thermique de lchantillon Variable de Laplace Rayon du fil chauffant Longueur du fil chauffant Puissance dissipe dans la rsistance chauffante Fonctions de Bessel

3.3.3 Estimation des paramtresChoix de lintervalle de temps pour lestimation

Le premier problme consiste connatre le temps t de chauffage pendant lequel lhypothse du milieu semiinfini est valide. On calcule pour cela lvolution de la temprature Te(t) sur un rayon gal lpaisseur de lchantillon (r = e) laide des paramtres estims sur un temps t arbitraire. Si la temprature Te(t) calcule diffre de la temprature initiale Te(0) de plus de 0,1C on reprend le calcul destimation des paramtres sur un temps plus court.

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32

Etant donn que lon cherche simplement estimer le temps pendant lequel le milieu reste semi-infini, on peut se contenter de le faire dans le cas simple (et le plus dfavorable) o la rsistance de contact et la capacitance thermique de lensemble sonde + rsistance chauffante sont nulles et o le rayon de la sonde r0 est trs faible. On montre que pendant le temps o le milieu est semi-infini on peut calculer e par : e(p ) = 0 C + D p Z

(3.3)

Avec les valeurs suivantes : C = 2 L c p r0 e [K 1 (q r0 ) I1 (q e ) K 1 (q e ) I1 (q r0 )]D = q r0 [K 0 (q e ) I1 (q r0 ) + K 1 (q r0 )I 0 (q e )] 1 = 2Lq r 0 Z K 1 (q r0 ) K 0 (q r0 )

e est calculable en appliquant la mthode de Stehfest la formule (3.3). Cette formule est valable tout le temps que la temprature e n'a pas vari. Elle peut donc tre utilise pour dterminer (en utilisant la mthode de Stehfest) l'instant partir duquel e va commencer varier mais ne permettra pas de dterminer l'volution de Te aprs cet instant. Exemple : Dtermination de la conductivit thermique dun carbure laide dun fil chaud de longueur 5 cm dlivrant un flux gal 3,03 W. Les figures 3.8 et 3.9 reprsentent le graphe de la temprature exprimentale T0 obtenue avec un chantillon dpaisseur 2,5cm, celle-ci tant enregistre toutes les 0,05s. On a fait figurer sur ce mme graphe : - La temprature Te de la face non-chauffe calcule par la formule (3.3) en prenant comme valeur de leffusivit thermique E = 5000 SI. - La temprature T0c calcule par un modle simplifi aux temps longs aprs estimation de la conductivit thermique par rgression linaire de la courbe T0(t) =f[ln(t)] entre les temps t1 et t2 (dtail ci-aprs). La figure 3.8 correspond une estimation entre 20 et 80s conduisant une valeur = 10,1 W.m-1.C-1. La figure 3.9 correspond une estimation entre 2 et 20s conduisant une valeur = 19,7 W.m-1.C-1. Le graphe de la temprature Te(t) calcule ainsi que la forme de la courbe exprimentale Ts(t) - Ts(0) qui subit une modification de pente t = 20s nous montre que la premire estimation de (entre 20 et 80s) nest pas valide car elle est ralise sur des temps o lhypothse du milieu semi-infini nest plus valable (la perturbation a atteint lautre face). La valeur de obtenue par rgression linaire entre 2 et 20s est quant elle obtenue dans des conditions satisfaisantes : zone de linarit de la courbe Ts(t) - Ts(0) = f[ln(t)] et temprature de la face non chauffe constante. Lincertitude sur cette estimation provient principalement de lincertitude sur la temprature : lestimation est ralise sur une lvation de temprature de lordre de 1C alors que lincertitude sur la temprature est de lordre de 0,1C. Ceci montre les limites de la mthode du fil chaud pour lestimation des conductivits thermiques leves.Carbure 12Carbure 20

T0c

T0c10 ) C ( e r u t a r p m e T 8 6

T015 ) C ( e r u t a 10 r p m e T 5

T0

4 2

estim = 10,1 W.m-1.C-1

estim = 19,7 W.m-1.C-1

Te0 10-1

Te0 10-1

10

0

10 t(s)

1

10 t(s)

0

10

1

Figure 3.8 : Thermogramme fil chaud pour un carbure, estimation entre 20 et 80s.

Figure 3.9 : Thermogramme fil chaud pour un carbure, estimation entre 2 et 20s.

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33

Estimation simplifie aux temps longs

La temprature du fil scrit dans lespace de Laplace : s =

0 A 0 + (A 0 R c + B 0 ) / Z p C 0 + (C 0 R c + D 0 ) / Z

avec A 0 = 1 ; B 0 = 1 Z = 2 L q r0

K 0 (q r0 )

K 1 (q r0 )

2L q r0 I1 (q r0 )

1

I 0 (q r0 )

1 c s r0 L p2

; C 0 = c s r0 2 L p ; D 0 =

q r0 I 0 (q r0 ) 2 I1 (q r0 )

Si lon considre un fil fin (r0 petit) et si lon se place aux temps longs (p0), nous pouvons utiliser les dveloppements limits des fonctions de Bessel au voisinage de 0 : K1(x) 1/x ; I0(x) 1 ; I1(x) x/2 K0(x) - ln(x) ; Qui conduisent A 0 = 1 ; B 0 = 0 ; C 0 = c s r0 2 L p ; D 0 = 1 ; On en dduit : r ln r p ln 0 0 0 ln( p ) 0 0 0 Z+ Rc a a + Rc + Rc s = (Z + R c ) p 4 L p m s c s p (R c + Z ) + 1 p p 2 L 4 L Lutilisation des tables de la transforme de Laplace temprature Ts(t) aux temps longs : r 0 ln 0 0 0 a Ts (t ) Ts (0 ) ln (t ) + R c 0 4 L 4L 2Lo = 0,57721 est la constante dEuler. r ln 0 0 a + Ts (t ) Ts (0 ) ln (t ) + 0 R c 2 L 4 L 4 L

1 Z

=

ln(q r0 )

2 L

inverse (cf. annexe A.4) permet de calculer la

soit finalement :

(3.4)

0 dont la dtermination 4 L permet de calculer la conductivit thermique . Linertie de la sonde et la rsistance de contact ninfluent pas sur la temprature aux temps longs. Pour appliquer cette mthode destimation, il faut sassurer que lhypothse du milieu semi-infini reste valable sur lintervalle destimation choisi. Les bruits de mesure sur les valeurs des tempratures aux diffrents temps de mesure tant constants et non corrls, on utilise la mthode des moindres carrs linaires pour estimer la pente. Le trac de Ts(t) Ts(t=0) en fonction de ln(t) est donc une droite de pente

3.3.4 Ralisation pratique de la mesureCette mthode de mesure de la conductivit thermique peut tre applique aussi bien pour les solides que pour les liquides (voire les gaz). Dans le cas des solides indformables, le fil chauffant est insr entre deux feuilles plastiques trs minces. Un thermocouple plat est insr dans une feuille plastique au centre du fil chauffant. Dans le cas des solides pulvrulents (grains, poudres), le fil chauffant est plac avec le thermocouple dans un

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cylindre de trs petit diamtre. Ce cylindre est insr dans le matriau caractriser avant de dmarrer le chauffage et lacquisition de la temprature. Ces montages permettent dobtenir un profil linaire pour la courbe Ts (t ) Ts (0 ) = f [ln (t )] et dvaluer ensuite avec une bonne prcision la valeur de la conductivit thermique . La principale source dincertitude est 0 la valeur de la densit linique de flux de chaleur , la mesure de la puissance lectrique est prcise, mais il L faut utiliser une longueur de chauffe suffisante pour diminuer lincertitude sur S. La mise en uvre de la mthode ncessite en outre une alimentation stabilise et un dispositif denregistrement de la tension dlivre aux bornes du thermocouple. Un enregistrement dune dure de 120 secondes aprs le dbut du chauffage est en gnral suffisant pour dterminer la conductivit thermique avec une bonne prcision. Il est important comme cela a t montr ci-dessus de bien choisir lintervalle destimation sur lequel les conditions suivantes doivent tre respectes : linarit de la courbe Ts(t) - Ts(0) = f[ln(t)] et temprature de la face non chauffe constante. Informations techniques : http://www.smee.fr/fr/accueil_ctmetre.htm

3.4

Mthode flash

3.4.1 Principe de la mthodeCette mthode permet destimer la diffusivit thermique des solides. Son schma de principe est dcrit sur la figure 2.9. On envoie sur lune des faces dun chantillon faces parallles un flux lumineux de forte puissance pendant un temps trs court. Un thermocouple en contact avec la face arrire permet denregistrer llvation de sa temprature partir du moment o la face avant a reu le flash. Une modlisation des transferts de chaleur dans lchantillon a permis plusieurs auteurs de proposer des mthodes destimation de la diffusivit thermique partir du thermogramme exprimental. La simplicit de certaines de ces mthodes a rendu la mthode flash trs populaire, un certain nombre de prcautions exprimentales doivent toutefois tre respectes pour atteindre une bonne prcision. Flash : Eclairement trs bref de la surface par des lampes de forte puissance

Thermocouple T2(t)

Figure 3.10. Schma de principe de la mthode flash

3.4.2 Modlisation de la mthode FlashLes hypothses suivantes sont gnralement retenues : - Uniformit du flux radiatif absorb sur toute la surface de lchantillon, - Temprature uniforme et gale la temprature ambiante t = 0, - Coefficient dchange convectif identique sur toutes les faces. Nous ferons dans un premier temps lhypothse que les pertes latrales ont une influence ngligeable sur la temprature mesure au centre de la face arrire ce qui est vrai si lpaisseur est faible par rapport aux autres dimensions. Nous verrons en fin de paragraphe comment ces pertes latrales peuvent tre incluses dans le modle tabli.

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Flux radiatif (flash), densit 0, dure t0

Convection Coefficient h Convection Coefficient h Convection Coefficient h

T1(t) Convection Coefficient h T2(t)

Figure 3.11 : Schmatisation des flux de chaleur dans la mthode flash.En posant : 1(p) = L[T1(t)-Ta] , 2(p) = L[T2(t)-Ta] , 1(p) = L[1(t)] et 2(p) = L[2(t)], la mthode des quadriples permet dcrire : 1 sinh(qe ) 2 (p ) A B 2 ( p) 1 ( p ) cosh (qe ) qS = (p ) = C D ( p ) 1 ( p ) 2 2 qSsinh(qe ) cosh (qe )

Nous pouvons crire le bilan thermique de la face avant : 0(t) = 1(t) + h [T1(t)-Ta] Puis celui de la face arrire : 2(t) h [T2(t)-Ta] = 0 Do dans lespace de Laplace : 1(p) = L[0(t)] h 1(p) o 0(t) = 0 si t < t0 et 0(t) = 0 si t > t0. Daprs les proprits de la transformation de Laplace:

0 (p ) = L[ 0 ( t )] =En combinant ces relations, on arrive au rsultat : 2 (p ) = 0

0 p

[1 exp( pt 0 )]

1 - exp(-pt 0 )

p C + 2Ah + Bh 2

(3.5)

Cas particuliers

Dure de flash trs courte On peut assimiler le flux une fonction de Dirac et crire 0 (p ) = 1 Convection ngligeable Cest le cas au dbut du thermogramme ou pour les matriaux trs diffusifs. En analysant les courbes thoriques prsentes sur la figure 3.12, on retiendra que les modles ne prenant pas en compte les pertes latrales ne peuvent tre utiliss que pour les matriaux forte diffusivit thermique comme les mtaux ou au dbut du thermogramme. Convection non ngligeable y compris sur les parois latrales Il a t montr dans la modlisation du plan chaud que les pertes latrales peuvent tre prises en compte dans le modle quadripolaire en remplaant la variable p par le groupement p + pe Primtre de lchantillon h a pe S o :

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36

-

S a

Conductivit thermique Surface de la face chauffe. Diffusivit thermique de lchantillon.

Cette formulation conduit toutefois une surestimation de linfluence des pertes latrales sur la mesure de la temprature au centre de la face arrire, elle est dautant plus exacte que la conductivit thermique est leve.Thermogrammes mthode flash pour a = = 2,3.10-7 m2.s-1 Thermogrammes mthode flash pour a 2,3.10 m .s1.0-7 2 -1

Thermogrammes mthode flash pour a = 5,36.10 2 m .s -6 -1Thermogrammes mthode flash pour a = 5,36.10 m .s 0.3

-6

2

-1

0.80.2

C) T 2 (

0.6

h= 00.4

C) T 2 (

h= 0 h=10 h=200.1

h=3 h=6 h=9

0.2

0.0 0 10 20 30 40 t(s) 50 60 70 80

0.0 0 10 20 30 40 t(s) 50 60 70 80

Polythylne

Acier inox

Figure 3.12 : Thermogrammes pour deux matriaux diffrents et plusieurs valeurs du coefficient de convection

En analysant les courbes thoriques prsentes sur la figure 3.13, on retiendra que les pertes latrales ont une trs faible influence sur le thermogramme mme pour un matriau de faible diffusivit thermique. On notera galement que les relations utilises surestiment linfluence des pertes latrales sur la temprature mesure au centre de lchantillon et que ceci est dautant plus vrai que les dimensions latrales de lchantillon sont grandes par rapport son paisseur. En conclusion, en choisissant un chantillon de largeur au moins gale 6 fois son paisseur on pourra ngliger linfluence des pertes convectives latrales. Il a de plus t montr que ces pertes latrales sont proportionnelles aux pertes convectives sur la face avant.Thermogrammes mthode flash pour a = 2,3.10-2 m .s -7Thermogrammes mthode flash pour a = 2,3.10 m1.0-7 2 -1

0.8

0.6

C) T (

h=hl= 0 0.4 h=5, hl=0 h=hl=5 0.2

0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80

t(s)

Figure 3.13 : Influence des pertes convectives latrales sur le thermogramme du polythylne.

3.4.3 Estimation de la diffusivit thermiqueLanalyse du thermogramme exprimental enregistr sur la face non irradie permet de dterminer, en utilisant des techniques de dpouillement dj existantes, la diffusivit thermique de lchantillon.

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Mthode de Parker (Parker , 1961)

Cette mthode ne sapplique que dans le cas o la dure de lclair de flash est trs petite et o les pertes thermiques sur les diffrentes faces de lchantillon sont ngligeables. La diffusivit thermique est calcule partir du temps t1/2 ncessaire pour la temprature T2(t) de la face arrire soit gale la moiti de la temprature maximale atteinte T2m : a= 1,38 e 2 2 t 12

(3.6)

Thermogramme mthode flash 1

0.75C) T2/ Tm 2 (

0.5

0.25

0 0

10 t 1/2 20

30 t (s)

40

50

60

Figure 3.14: Courbe thorique de la temprature rduite de la face arrire.Mthode des temps partiels (Degiovanni, 1977)

Cette mthode prend en compte les pertes thermiques mais ne sapplique toutefois que dans le cas o la dure de lclair de flash est trs petite. Son principe repose sur lutilisation de quatre points du thermogramme reprsents sur la figure 3.15. La diffusivit thermique peut tre obtenue par les formules suivantes (Degiovanni, 1977) : a= t e2 1,131 1,222 2 3 t5 t 56 6

(3.7)

t1 t1 e2 a= 0,954 1,581 2 + 0,558 2 t5 t5 t5 6 6 6

2

(3.8)

t1 t1 e2 a= 0,818 1,708 3 + 0,885 3 t5 t5 t5 6 6 6 O :

2

(3.9)

- e est lpaisseur de lchantillon en m - t est le temps coul depuis lexcitation pour que la temprature la face arrire slve de fois son lvation maximale au cours de lexprience (voir figure 3.15).

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Thermogramme rduit mthode flash 15/6

0.75C) T2/ T2m (2/3

0.51/3

0.25

0 0 10

t1/2

20

30

40 t (s)

50

60

70

80

t1/3

t2/3

t5/6

Figure 3.15 : Courbe thorique de la temprature rduite de la face arrire

On retient en gnral une moyenne des trois valeurs obtenues. Cette mthode est plus prcise que la mthode de Parker car elle prend en compte les pertes convectives mais prsente linconvnient de nutiliser quun nombre trs rduit de points du thermogramme.

Mthode des moments temporels (Degiovanni et Laurent, 1986)

Cette mthode prend en compte les pertes thermiques mais ne sapplique toutefois que dans le cas o la dure de lclair de flash est trs petite. Elle prsente lavantage par rapport la mthode des moments partiels dutiliser tous les points du thermogramme dans la mthode destimation travers le calcul dintgrales. La diffusivit thermique est calcule par : F(M 1 ) M0 O M0 et M-1 sont les moments partiels dordre 0 et 1 dfinis par :

a = e2

(3.10)

M0 =

t 0, 8 t 0,1

T2 ( t ) T2 m

dt

et

M 1 =

t 0,8 t 0 ,1

1 T2 ( t ) t T2 m

dt

Avec :

F(x)= 0,08548 0,314 (0,5486 x) + 0,5 (0,5486 x)2,63 F(x)= -0,08519 + 0,305 x

pour x > 0,27 pour x > 0,44

Les intgrales figurant dans le calcul de M0 et M-1 sont calcules numriquement partir de lensemble des points du thermogramme exprimental. Le thermogramme peut tre recalcul laide dune expression modifie sous la forme :(p ) = Q q sinh (q e ) + 2 Bi Bi 2 cosh (q e ) + sinh (q e) e q e2

(3.11)

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39

La mthode des moments temporels partiels permet en effet destimer galement le nombre de Biot he Bi = par lexpression suivante dans laquelle x = M-1 : Bi = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 (3.12)

Les valeurs des coefficients ai sont donnes dans le tableau 3.3. Tableau 3.3 : Coefficients pour le calcul du nombre de Biot i 0 1 2 3 4 0,504 < x < 0,56 8,438722459.102 -6,380615082.103 1,812577990.104 -2,291931835.104 1,088033541.104 0,44 < x < 0,56 1,085995148.102 -8,014914481.102 2,25713259.103 -2,867489088.103 1,382587042.103

Il suffit alors destimer le seul paramtre inconnu Q pour pouvoir recalculer la temprature en appliquant la mthode de Stehfest pour calculer la transforme de Laplace inverse de la relation (3.11).Mthode des moments temporels (Degiovanni et Laurent, 1986)

Cette mthode prend en compte les pertes thermiques mais ne sapplique toutefois que dans le cas o la dure de lclair de flash est trs petite. Elle prsente lavantage par rapport la mthode des moments partiels dutiliser tous les points du thermogramme dans la mthode destimation travers le calcul dintgrales. La diffusivit thermique est calcule par : a = e2 F(M 1 ) M0 O M0 et M-1 sont les moments partiels dordre 0 et 1 dfinis par : M0 = t 0, 8 t 0,1

(3.13)

T2 ( t ) T2 m

dt

et

M 1 =

t 0,8 t 0 ,1

1 T2 ( t ) t T2 m

dt

Avec :

F(x)= 0,08548 0,314 (0,5486 x) + 0,5 (0,5486 x)2,63 F(x)= -0,08519 0,305 x

pour x > 0,27 pour x > 0,44

Les intgrales figurant dans le calcul de M0 et M-1 sont calcules numriquement partir de lensemble des points du thermogramme exprimental.Estimation partir du modle complet

Cette mthode sapplique dans tous les cas de figure, y compris si la dure t0 de lclairement est longue. On applique la mthode de Levenberg-Marquart ou du simplex pour dterminer les valeurs de la diffusivit thermique a, du flux de chaleur 0 et du coefficient de transfert par convection h qui minimisent la somme des carts quadratiques entre les points exprimentaux Texp (ti) et les points Tmod (ti) calculs par inversion numrique de Laplace de la relation (3.5).Exemple dapplication

Eclairement pendant 30s laide dune lampe halogne de 500W dun chantillon de brique de terre stabilise dpaisseur 5 cm. On trouvera sur la figure 3.16 la reprsentation de la courbe exprimentale (Meukam, 2004) et de la courbe thorique trace laide des paramtres estims par la mthode complte dcrite ci-dessus.

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40

T (C)

t (s)

Figure 3.16 : Thermogrammes exprimental et thorique avec un clairement dune dure de 30s.

3.4.4 Ralisation pratique de la mesureRalisation de lclairement : Pour obtenir un clairement de trs forte puissance pendant une dure trs courte, on utilise des lampes clats alimentes par la dcharge dune batterie de condensateurs ou un laser. La dure de lclairement peut tre infrieure 10ms (Hladik, 1990). On peut galement utiliser de manire plus rustique une simple lampe halogne avec une dure dclairement qui peut alors atteindre plusieurs dizaines de secondes pour obtenir une quantit de flux rayonn suffisante. Lestimation des paramtres doit alors tre effectue partir du modle complet. Quelque soit le mode dclairement utilis, il faut sassurer que lclairement ne peut pas atteindre les faces latrales et la face arrire par rflexion. Pour les chantillons rflecteurs, on recouvre la face avant dune fine couche de peinture noir mat. Mesure de la temprature de la face arrire Llvation de temprature de la face arrire pouvant tre faibles, la temprature est mesure de prfrence avec un thermocouple ayant un fort pouvoir thermolectrique : on utilise souvent le tellure de bismuth (Bi2Te3) ayant un pouvoir thermolectrique de 360V.C-1 20C et de 400V.C-1 80C. On utilise la mthode du thermocouple contacts spars : les extrmits des deux fils du thermocouple ne se touchent pas, ils sont maintenus en contact par pression avec la face arrire en deux points proche du centre de lchantillon et distants de quelques mm. Le contact lectrique entre les deux fils du thermocouple est assur par la face arrire de lchantillon. Si lchantillon nest pas conducteur lectrique, on recouvre la face arrire dune trs fine couche de laque dargent. Llvation de temprature de la face arrire peut galement tre mesure laide dun dtecteur optique qui mesure une grandeur proportionnelle au flux de chaleur mis par cette face. Ce flux peut tre considr comme proportionnel llvation de temprature pour les trs faibles variations mesures. Lavantage de ce dispositif est le temps de rponse trs court ce qui est un avantage par rapport au thermocouple dans le cas dun matriau trs diffusif dont le thermogramme flash peut tre extrmement court. On peut galement utiliser une camra infra-rouge moins prcise mais qui permet dobtenir un champ de temprature.

3.5

Mthode du plan chaud semi-infini

3.5.1 Principe de la mthodeOn applique un chelon de flux de chaleur constant ( = 0 si tt0 ) la rsistance chauffante et on relve lvolution de la temprature Ts(t) au centre de cette mme rsistance dans ou sur laquelle a t plac un thermocouple. Pendant le temps o la perturbation na pas atteint les autres faces c'est--dire o lhypothse du milieu semi-infini est valide (temps pendant lequel Te(t) na pas vari), on peut considrer que le transfert au centre de lchantillon est unidirectionnel. La modlisation de ce transfert de chaleur permet de

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calculer lvolution de la temprature au centre de lchantillon. On applique une mthode destimation de paramtres pour calculer les valeurs de : Leffusivit thermique E = c , La capacitance thermique (mc)s de lensemble sonde + rsistance chauffante, La rsistance de contact Rc linterface sonde/chantillon,

qui minimisent lcart entre les courbes Ts.(t) thoriques et exprimentales. Te(t)

Rsistance chauffante plane

Echantillon

Thermocouple Ts(t)

Figure 3.17 : Schma du montage de la mthode du plan chaud.

3.5.2 Modlisation du plan chaud semi-infiniConsidrons maintenant le dispositif du plan chaud o une rsistance lectrique de faible paisseur, de masse ms, de capacit calorifique cs, soumise une densit de flux de chaleur et de temprature suppose uniforme Ts est place entre deux chantillons du matriau caractriser : x Echantillon T(x,t) /2 0 Rsistance de contact Rc =1/hS Rsistance chauffante Ts Figure 3.18 : Schmatisation dun plan chaud et notations.

T(x, 0) = Ts(0) = Ti T(, t) = Ti avec les conditions aux limites : h Ts (t ) T(0, t ) =

[

]

T (0, t ) x

(b) (c) (d) (e)

dTs S = ms cs + h S [Ts (t ) T(0, t )] 2 dt

La relation (d) traduit la conservation du flux de chaleur au niveau de la surface du milieu semi-infini et la relation (e) traduit la conservation du flux de chaleur au niveau de la rsistance lectrique. On effectue le changement de variable suivant : T = T Ti do : T T = x x , 2T 2T = x x 2T x2

et 1 T t

T T = t t

Lquation (a) peut alors scrire :

=

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T ( x , 0) = 0 Et les conditions aux limites deviennent T (, t ) = 0 h Ts (t ) T (0, t ) = S 2 La transforme de Laplace de lquation (a) conduit : Do : ( x, p ) = A e qx + B e + qx = ms cs d 2 dTs dt

(b) (c)

[

]

T (0, t ) x

(d)

+ h S Ts (t ) T (0, t )

[

]

(e)

1 p T ( x ,0) = 0 avec T ( x,0) = 0 a dx 2 , la temprature garde une valeur finie quand x tend vers linfini donc B = 0,

[

]

et nous en dduisons que ( x, p ) = A e qx avec A = (0,p). Les transformes de Laplace des quations (d) et (e) scrivent : h s (p ) (0, p ) = S

[

]

(0, p ) x

=

p a

(0, p ) = E p (0, p )

= m s c s p s (p ) + h S s (p) (0, p ) 2p En liminant (0,p) entre ces deux quations, on aboutit au rsultat suivant : s (p ) = 0 S 1+ R c E S p (3.14)

[

]

2 p ms cs p + R c ms cs p +1 E S p

[

]

o :

s Rc ms cs E p S 0

Transforme de Laplace de la temprature Ts de la rsistance chauffante Rsistance de contact linterface rsistance chauffante / chantillon Masse thermocouple + rsistance chauffante Capacit calorifique thermocouple + rsistance chauffante Effusivit thermique de lchantillon Variable de Laplace Surface de la rsistance chauffante Densit de flux dissipe dans la rsistance chauffante

Les paramtres inconnus dterminer exprimentalement sont : - Leffusivit E de lchantillon, - La rsistance thermique de contact Rc entre la sonde et lchantillon, - La capacitance thermique (mc)s de la sonde.

3.5.3 Estimation des paramtresChoix de lintervalle de temps pour lestimationLe premier problme consiste connatre le temps t de chauffage pendant lequel lhypothse du milieu semiinfini est valide. On calcule pour cela lvolution de la temprature Te(t) une distance gale lpaisseur de lchantillon laide des paramtres estims sur un temps t arbitraire. Si la temprature Te(t) calcule diffre de la temprature initiale Te(0) de plus de 0,1C on reprend le calcul destimation des paramtres sur un temps plus court. Etant donn que lon cherche simplement estimer le temps pendant lequel le milieu reste semi-infini, on peut se contenter de le faire dans le cas simple (et le plus dfavorable) o la rsistance de contact et la capacitance thermique de lensemble sonde + rsistance chauffante sont nulles. La temprature dans le milieu semi-infini une distance e de la surface chauffe scrit alors : Te(t) = Te(0) + 20 at ierfc e 2 at

(3.15)

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43

O :

exp u 2 u [1 erf (u )] On peut aussi placer un thermocouple sur la face non chauffe de lchantillon. ierfc(u ) = 1

( )

Estimation simplifie aux temps longsLa temprature au centre scrit dans lespace de Laplace : s (p ) = 0 1+ R c E S p

p (m c )s p + R c (m c )s p + 1 E S p

[

]

Aux temps longs (p0), cette expression devient : s (p ) = 0 S 1+ R c E S p = 0 2E p3/ 2

2 p (m c )s p + E S p 0 2E p3/ 2

1+ R c E S p 1+

(m c )sES

=

0 2 Ep3/ 2

(1 + R c E S p ) 1 (m c)s

p

ES

p

soit : s (p ) =

(m c)s 1 + R c E S ES

0 (m c)s p= + 0 Rc 3/ 2 2E p (E S)2 2p

do :

(m c)s 0 Ts (t ) Ts (0 ) = 0 S R c + (E S)2 E t est donc une droite de pente 0

t

(3.16)

dont la dtermination permet E de calculer leffusivit thermique E. Linertie de la sonde et la rsistance de contact ninfluent pas sur la temprature aux temps longs. Pour appliquer cette mthode destimation, il faut sassurer que lhypothse du milieu semi-infini reste valable sur lintervalle destimation choisi.

Le trac de Ts(t) Ts(0) en fonction de

Estimation partir du modle completLa temprature T(t) peut se calculer en appliquant la mthode Stehfest la relation (3.14). On peut alors utiliser la mthode de Newton pour estimer les valeurs des paramtres E, Rc et mc qui minimisent la somme des carts quadratiques entre la courbe thorique et les points exprimentaux. Cette mthode destimation plus prcise que la mthode destimation aux temps longs. On trouvera sur la figure (3.19) un exemple de thermogramme exprimental obtenu avec du PVC dpaisseur 0,5cm. On constate quentre 5 et 60s, la courbe reprsentant T0(t) T0(0) en fonction de t est assimilable une droite dont on obtient la pente par rgression linaire : = 0,671C.s-1/2 . La surface de la sonde tant de 0,00243 m2, sa rsistance de 231,7 et la tension dalimentation 19V, on en dduit par application de la formule (3.16) la valeur de leffusivit thermique : E = 526,6 J.m-2.C-1.s-1/2 . On peut remarquer sur ce thermogramme que le temps pendant lequel le modle plan chaud sapplique ( 60s) est nettement suprieur au temps au bout duquel la temprature T2(t) de la face non chauffe de lchantillon commence varier ( 30s). Une valeur plus prcise peut ensuite tre estime entre 0 et 60s de la manire suivante : - On fixe des valeurs de dpart des paramtres E (estim par utilisation de la relation 3.16), Rc1 et mc. - On utilise dans un tableur la mthode de Stehfest dinversion de la transforme de Laplace pour calculer la diffrence T0(t) T0(0) partir de la formule (3.14). On utilise le solveur du tableur (utilisant la mthode de Newton) pour dterminer la valeur des paramtres E, Rc1 et mc qui minimisent lcart entre la courbe exprimentale et la courbe calcule par inversion de (3.14).

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10 T0 mod 8 6T(t)

y = 0.671x - 0.1082 R = 0.9973 y = 0.671x - 0.108 2 r = 0.9973

T0 exp T2 exp

4 2 0 0 2 4 6 rac(t) 8 10 12

Figure 3.19 : Courbes exprimentales T0(t) et T2(t) et rgression linaire de la courbe T0(t) entre 5 et 50s.On trouve dans le cas de lexemple tudi : E = 540,8 J.m-2.C-1.s-1/2 , Rc1 = 2,5.10-3 C.m-2.W-1 , mc = 0,90 J.C-1. On observe une trs bonne concordance entre la courbe exprimentale ( T0 exp. ) et la courbe thorique ( T0 mod. semi-infini ) sur tout lintervalle de temps [0, 60s] ainsi que le montre la figure 3.20. La divergence des 2 courbes au-del de 60s indique que lhypothse du milieu semi-infini nest plus valable aprs 60s et quil faut alors appliquer le modle complet.10 8 6T0 exp. T0 mod. semi-infini T0 mod. complet

T(t)4 2 0 0 30 60 t (s) 90 120 150

Figure 3.20 : Courbe T0(t) exprimentale et courbes simules par les modles semi-infini et complet.

3.5.4 Ralisation pratique de la mesureCette mthode peut tre mise en oeuvre de manire extrmement simple en utilisant une rsistance chauffante plate (rectangulaire ou circulaire) de surface suffisante (au moins 25 cm2). On scotche au centre de cette rsistance un thermocouple ralis en fils fins (diamtre < 0,2 mm) : les deux fils spars du thermocouple sont poss sur la rsistance une distance denviron 5mm puis recouvert dun film adhsif en aluminium qui assurera la fois un bon contact entre le thermocouple et la rsistance, le contact lectrique entre les deux fils du thermocouple (dit dans ce cas contacts spars) et une homognisation de la temprature au voisinage du thermocouple. Ce montage relativement rustique permet dvaluer avec une bonne prcision la valeur de leffusivit thermique E. La principale source dincertitude est la valeur de la densit de flux de chaleur 0 , la mesure de la puissance lectrique est prcise, mais il faut utiliser une surface de chauffe suffisante pour diminuer lincertitude sur S. La mise en uvre de la mthode ncessite en outre une alimentation stabilise et un dispositif denregistrement de la tension dlivre aux bornes du thermocouple. Un enregistrement dune dure de 60 secondes aprs le dbut du chauffage permet dobtenir une bonne prcision sur leffusivit thermique E.

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3.6

Mthode du plan chaud avec mesure de deux tempratures

3.6.1 Principe de la mesure

Matriau isolant deffusivit Ei T3(t) Thermocouple T2(t) T1(t) Thermocouple T0(t) Matriau caractriser Rc2 Rc1 Matriau caractriser Rsistance chauffante plane, largeur Matriau isolant deffusivit Ei

Figure 3.21 : Schma du montage de la mthode du plan chaud avec deux chantillons.On place une rsistance chauffante plane de faible paisseur entre deux chantillons du matriau caractriser. On applique un chelon de flux de chaleur constant ( = 0 si tt0 ) la rsistance chauffante et on relve lvolution de la temprature T0(t) au centre de cette mme rsistance dans ou sur laquelle a t plac un thermocouple. On relve galement la temprature T2(t) de la face non-chauffe dun chantillon sur laquelle on aura fix un thermocouple. Si les dimensions transversales de la rsistance sont grandes devant lpaisseur de lchantillon, on peut considrer que le transfert de chaleur reste unidirectionnel au centre et le modliser laide de la mthode des quadriples. On applique ensuite une mthode destimation de paramtres pour calculer les valeurs de : Leffusivit thermique E = c et la conductivit thermique du matriau caractriser, La capacitance thermique (mc)s de lensemble sonde + rsistance chauffante, Les rsistances de contact Rc1 linterface sonde/chantillon et Rc2 linterface chantillon/matriau connu, qui minimisent lcart entre les courbes T0(t) thoriques et exprimentales. -

3.6.2 ModlisationLa modlisation du systme laide du formalisme des quadriples permet dcrire (Jannot et al, 2006) : 0 1 0 1 R 3 = mc c1 A B 1 R c 2 0 E S p p 1 0 1 C D 0 1 i 3 2 p 2 1 sinh(q e ) p A B cosh ( q e ) = q= O : avec qS a C D q S sinh (q e ) cosh (q e ) Avec : 0 Transforme de Laplace de la diffrence T0(t) T0(t=0) Transforme de Laplace de la diffrence T3(t) T3(t=0) 3 Rc1 Rsistance de contact linterface rsistance chauffante / matriau caractriser Rsistance de contact linterface chantillon / matriau connu Rc2 m Masse thermocouple + rsistance chauffante c Capacit calorifique thermocouple + rsistance chauffante E Effusivit thermique du matriau caractriser a Diffusivit thermique du matriau caractriser p Variable de Laplace

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S 0

Surface de la rsistance chauffante Puissance dissipe dans la rsistance chauffante 0 = A 03 0 C 2 p 03

Do : O :A 03 C 03

B 03 3 E S p D 03 i 3

(A + R c1 C