mÉtodos estatÍsticos aplicados ao seguro agrÍcola copyright vitor ozaki 2006

MEacuteTODOS ESTATIacuteSTICOS APLICADOS AO SEGURO

AGRIacuteCOLA

Copyright Vitor Ozaki 2006

1 Problemas no mercado de seguro agriacutecola2 Complexa precificaccedilatildeo3 Tendecircncia e heteroscedasticia4 Modelagem Estatiacutestica5 Caacutelculo Atuarial6 Metodologias Atuariais

61 O modelos Gaussiano62 Mistura finita de distribuiccedilotildees63 Modelo temporal64 Modelo espacial65 Modelo espaccedilo-temporal

7 Resultados8 Conclusotildees

Outline

RISCO MORAL

bull As seguradoras satildeo incapazes de monitorar perfeitamente os segurados

bull Produtores podem mudar suas praacuteticas culturais apoacutes a contrataccedilatildeo do seguro

bull O seguro subvencionado resulta em aumento do risco

Problemas no mercado de seguro agriacutecola


Erros na precificaccedilatildeo Implicaccedilotildees para a SELECcedilAtildeO ADVERSA

bull Se a seguradora precificar com base no risco meacutedio dos produtores entatildeo ocorrem duas situaccedilotildees

bull a seguradora iraacute cobrar um precircmio maior do que aquele que os produtores de baixo risco estaratildeo dispostos a pagar e

bull a seguradora estaraacute cobrando um precircmio menor do que aquele que os produtores de alto risco estaratildeo dispostos a pagar



bull Consequumlentemente os produtores de baixo risco seratildeo desencorajados a comprar o seguro restando apenas aqueles com maior risco

bull As indenizaccedilotildees aumentam resultando em perdas para a seguradora



RISCO SISTEcircMICO

bull Para o mercado segurador a ocorrecircncia de tais eventos catastroacuteficos dificulta sobremaneira a continuidade das seguradoras no ramo de atividade

bull No caso agriacutecola esses eventos apresentam elevada severidade e sua ocorrecircncia atinge natildeo apenas uma propriedade rurais mas milhares de propriedades em uma grande extensatildeo territorial



bull Por esse motivo diz-se que o risco eacute altamente correlacionado

bull Esse fato viola um dos princiacutepios baacutesicos do mercado de seguros as unidades expostas devem ser homogecircneas e independentes



bullComo lidar com isso

Resseguro (O mercado consegue assimilar)

Constituir reservas Resseguro governamental

bullPara a seguradora constituir reservas e ressegurar suas operaccedilotildees podem natildeo ser o suficiente para suportar um evento catastroacutefico



bull Complexa precificaccedilatildeo bull Alta exposiccedilatildeo catastroacuteficabull Alto custo de fiscalizaccedilatildeo e peritagembull Graves problemas de fraudesbull Severa antiseletividadebull Inexperiecircncia e falta de profissionais

especializados no ramobull Ausecircncia de normatizaccedilatildeobull Falta de dados estatiacutesticos



bull A metodologia deve levar em conta diversas idiossincrasias presentes nos dados de produtividade agriacutecola

bull Dificuldades de ordem amostral

Neste caso o tamanho das seacuteries histoacutericas de produtividade eacute relativamente pequeno impossibilitando a detecccedilatildeo de qualquer tipo de padratildeo e a aplicaccedilatildeo dos testes estatiacutesticos convencionais

Complexa Precificaccedilatildeo


bull Problemas de correlaccedilatildeo espacial

Decorre do fato de que propriedades (municiacutepios) mais proacuteximas apresentam maior dependecircncia espacial em relaccedilatildeo a propriedades (municiacutepios) mais afastadas



Existem versotildees alternativas do Teorema do Limite Central para processos espaciais que suportam a suposiccedilatildeo de normalidade

A suposiccedilatildeo de normalidade eacute aceitaacutevel quando a dependecircncia espacial se reduz rapidamente quando a distacircncia aumenta (Guyon 1995)



bull Correlaccedilatildeo serial

Quando a produtividade em anos anteriores estaacute correlacionada com a produtividade no ano atual

bull Presenccedila de tendecircncia

A produtividade observada em 1980 por exemplo natildeo pode ser comparada com a produtividade observada em 2004



bull Heteroscedasticidade

Situaccedilatildeo em que os dados apresentam variabilidade natildeo constante Todos estes fatores dificultam sobremaneira a anaacutelise dos dados

bull Ignoraacute-los podem levar a resultados completamente equivocados



bull O problema eacute que o processo gerador dos dados de produtividade natildeo eacute constante mas varia com o tempo

bull O niacutevel da produtividade agriacutecola muda com o passar do tempo

bull A proacutexima figura ilustra as peculiaridades supramencionadas

Tendecircncia e Heteroscedasticidade


y

t



bull Se os desvios da tendecircncia satildeo proporcionais ao niacutevel da produtividade agriacutecola entatildeo a suposiccedilatildeo de coeficiente de variaccedilatildeo constante eacute suportada

bull Nesse caso erros proporcionais εt seratildeo calculados dividindo o termo de erro ut pelo seu respectivo valor predito



bull Os valores resultantes seratildeo homoscedaacutesticos (Goodwin e Ker 1998)

bull Para expressar a produtividade em termos da tecnologia de 2005 multiplicar (1 + erros proporcionais) pela produtividade observada em 2005 resultando em produtividades normalizadas yn

yn = (1 + εt) y2004



bull Por outro lado se os erros forem natildeo proporcionais ao niacutevel da produtividade (coeficiente de variaccedilatildeo natildeo-constante)

bull Entatildeo a produtividade normalizada seraacute calculada somando o termo de erro agrave produtividade observada em 2005

yn = ut + y2004



bull A modelagem estatiacutestica de dados de produtividade agriacutecola tem sido um ponto bastante controverso

bull Diversas abordagens tecircm sido consideradas

Modelagem estatiacutestica dos dados de produtividade agriacutecola


bull Meacutetodos Semiparameacutetricos (Ker and Coble 2003)

bull Modelos Natildeo-parameacutetricos (Goodwin and Ker 1998 Turvey and Zhao 1999 Ozaki 2005) and

bull Bayes Empiacuterico natildeo-parameacutetrico (Ker and Goodwin 2000)



bull Dentro da abordagem parameacutetrica diversos autores concluem que a produtividade agriacutecola segue uma distribuiccedilatildeo Normal (Just and Weninger 1999)

bull Entretanto outros pesquisadores encontraram evidecircncias contra a Normalidade (Day 1965 Taylor 1990 Ramirez 1997 and Ramirez et al 2003)



Outras abordagens incluem

bull A distribuiccedilatildeo Beta (Nelson and Preckel 1989)

bull Transformaccedilotildees Seno Hiperboacutelico Inverso (Moss and Shonkwiler 1993) and

bull Distribuiccedilotildees Gamma (Gallagher 1987)



Caacutelculo Atuarial

bull Antes de abordar a metodologia atuarial eacute interessante explorar os componentes da taxa de precircmio

bull Sabe-se que

Precircmio = (taxa de precircmio) x (responsabilidade)

Taxa de precircmio

custo esperadoda perda

custos adicionais=

responsabilidade+



bull Ainda

custos adicionais

=

custo da perda

indenizaccedilatildeo=

responsabilidade

reservas fundo de cataacutestrofe

custo admin retornos+ + +


Custo esperado da perda

bull Geralmente para longas seacuteries de dados o custo histoacuterico da perda eacute usado como estimativa para o custo esperado da perda

bull Exemplo $30 milhotildees em indenizaccedilotildees para cada $100 milhotildees em responsabilidade rarr custo esperado da perda = 03



bull Para riscos catast (seca) a variacircncia ao redor de 3 seria alta e provavelmente assimeacutetrica para a direita

bull Caso a seca ocorra o custo da perda eacute alto

bull Caso a seca natildeo ocorra o custo da perda eacute baixo



Reservas

bull As reservas financeiras satildeo necessaacuterias caso as indenizaccedilotildees superem os precircmios recolhidos em dado ano

bull Quanto maior a variacircncia ao redor do custo esperado da perda maior a necessidade de se constituir reservas

bull Consequentemente para cobrir riscos considerados catast essas reservas seratildeo maiores do que riscos natildeo-catastroacuteficos



Fundo de cataacutestrofe

bull Essa reserva deve ser adicionada agrave taxa quando os eventos satildeo considerados correlacionados

bull Nesse contexto o custo da perda pode natildeo representar precisamente as perdas futuras

bull Eventos de baixa-frequecircncia alta-severidade podem ser subestimados ou superestimados



Retorno ao investimento

bull Quanto mais variaacutevel o retorno ao investimento maior deveraacute ser a taxa meacutedia de retorno demandado pelo investidor (seguradora)

bull Consequentemente as seguradoras requerem uma taxa de retorno maior para os ramos de seguro de alta variabilidade tais como o seguro agriacutecola



bull Correlaccedilotildees positivas entre unidades seguradas reduzem consideravelmente as propriedades de agregaccedilatildeo vitais para o seguro

bull As seguradoras satildeo forccediladas a aumentar suas reservas e constituir um fundo catastroacutefico



bull Os custos administrativos satildeo relativamente maiores e haacute a exigecircncia de elevado retorno do investimento

bull Todos esses fatores aumentam a taxa de precircmio no seguro agriacutecola



A taxa de precircmio pura do seguro agriacutecola seraacute dado por

e

eeY

eY

y

yyYyEyF

)]|([)(

Em queE eacute o operador de esperanccedila e F a distribuiccedilatildeo cumulativa da produtividade

O precircmio do seguro eacute obtido multiplicando-se a taxa de precircmio pelo valor segurado



bull Alguns paracircmetros de interesse

Produtividade esperada Variacircncia (risco) da produtividade e Distribuiccedilatildeo de probabilidade da produtividade

bull E (perda) = Pr (perda) x E (perda|perda ocorreu)

bull Taxa de precircmio = E (perda) produtividade garantida



2 Anaacutelise parameacutetrica claacutessicabull Distribuiccedilatildeo Gaussiana e Beta

4 Modelos Bayesianos

3 Abordagem Natildeo-parameacutetricabull Kernel Estimator

1 Meacutetodo empiacuterico

Metodologias Atuariais


bull Usualmente utiliza-se o meacutetodo empiacuterico para precificar contratos de seguro

bull Esse meacutetodo consiste em dividir a perda meacutedia sobre a responsabilidade resultando em taxas empiacutericas

1 Meacutetodo Empiacuterico


bull Desvantagens

ndash Para refletir precisamente o custo da perda eacute necessaacuterio seacuteries histoacutericas longas

ndash Mesmo se existissem tais seacuteries para o seguro agriacutecola seria difiacutecil captar perdas catastroacuteficas com grande precisatildeo

ndash Este meacutetodo natildeo leva em consideraccedilatildeo nenhuma anaacutelise estatiacutestica



Ajuste atraveacutes das Distribuiccedilotildeesbull Gaussiana

bull Beta

)1(

)1()( yyyf

22 2)(exp2

1)(

yyf

Com paracircmetros estimados pelo meacutetodo da maacutexima verossimilhanccedila

2 Anaacutelise Parameacutetrica Claacutessica


produtividade




produtividade




O estimador kernel da densidade f(y) pode ser representada como uma convoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo amostral utilizando-se uma funccedilatildeo kernel K representada por

Em que K h (v) = 1hK(vh) and Fn(v) eacute a funccedilatildeo de distribuiccedilatildeo amostral

)()()(ˆ vdFvyKyf nh

3 Abordagem Natildeo-parameacutetrica


bull O estimador kernel eacute a soma de ldquosaltosrdquo (bumps) localizados em cada observaccedilatildeo A funccedilatildeo kernel determina a forma destes saltos e a janela sua largura

bull Quanto maior o valor da janela maior o alisamento da seacuterie (os detalhes tendem a desaparecer)

bull O inverso tambeacutem eacute vaacutelido quanto menor o valor da janela os saltos teratildeo uma forma de pico tornando mais pronunciado os detalhes na densidade



bull Seja A B e C vizinhos ao municiacutepios D O seguinte esquema aumenta o nuacutemero de observaccedilotildees em cada seacuterie

DADBDCD

bull Em outras palavras D teraacute peso 47 e o resto (ABC) 17

A

B

C

D



bull De modo geral os pesos seratildeo iguais a

Municiacutepio central = (N +1) (2N + 1) Municiacutepios vizinhos = 1 (2N + 1)

Em que N eacute o nuacutemero de municiacutepios vizinhos



0

05

1

15

2

25

3

35




bull A abordagem Bayesiana assume inicialmente que as observaccedilotildees satildeo condicionalmente independentes dado os paracircmetros do modelo e

bull Em em segundo estaacutegio a dependecircncia eacute incorporada atraveacutes da atribuiccedilatildeo de distribuiccedilotildees agrave priori aos paracircmetros


bull A estrutura hieraacuterquica do modelo permite incorporar de maneira relativamente simples e intuitiva o efeito espacial o efeito temporal e permite a interaccedilatildeo destes dois efeitos resultando em modelos espaccedilo-temporais

bull Pode-se por aninhar o efeito espacial dentro do efeito temporal (permitindo assim examinar os padrotildees do efeito espacial no tempo)




bull Considerando a meacutedia como sendo idecircntica a E(yit) onde i representa o indexador da variaacutevel espacial e t a variaacutevel temporal tal que i = 1 2 S t = 1 2 T e yit seraacute a produtividade no municiacutepio i no tempo t



bull O objetivo entatildeo seraacute modelar o paracircmetro de meacutedia tal que capte as covariaacuteveiso efeito temporal a variaccedilatildeo espacial da produtividade agriacutecola e o efeito espaccedilo-temporal

bull Diversos modelos podem ser explorados

bull Trataremos apenas de alguns


bull A meacutedia μit foi suposta ser proveniente de duas subpopulaccedilotildees ou grupos um grupo catastroacutefico e outro natildeo-catastroacutefico

bull Entende-se por catastroacutefico o evento climaacutetico que venha a ocorrer em determinado ano tal como seca excesso de chuva granizo etc

41 Mistura de distribuiccedilotildees


bull Desta forma caso venha a ocorrer um evento climaacutetico adverso a produtividade agriacutecola seraacute considerada proveniente do grupo catastroacutefico

bull Caso contraacuterio considera-se a produtividade como do grupo natildeo-catastroacutefico



bull Caso ocorra um evento climaacutetico adverso a produtividade seraacute proveniente do grupo catastroacutefico

bull Caso contraacuterio a produtividade seraacute designada ao grupo natildeo-catastroacutefico

bull Assim pode-se pensar na produtidade como proveniente de uma mistura finita de duas distribuiccedilotildees

41 Mistura de distribuiccedilotildees41 Mistura de distribuiccedilotildees


bull Isso porque eventos catastroacuteficos podem ser considerados muito menos frequentes e a produtividade observada nestes anos ser muito inferior a de anos regulares (normais)

bull Sendo assim espera-se que o primeiro grupo tenha massa menor comparado ao segundo grupo e tal concentraccedilatildeo se situe na calda inferior da primeira



bull O modelo misto geral pode ser descrito como

Em que θj eacute o vetor de paracircmetros j eacute o nuacutemero de componentes tal que j = 1 2 J e γj o paracircmetro representando a proporccedilatildeo da populaccedilatildeo atribuiacuteda ao componente j

1 1 1( | ) ( | )

J

j j j jjf y f y



bull No caso em que f (y | ) representa uma distribuiccedilatildeo gaussiana a eq (1) pode ser escrita como


j

jjjjjj yNyf )()( 22


bull Alternativamente pode ser introduzido uma variaacutevel indicadora natildeo observada que identifica qual componente cada observaccedilatildeo eacute designada

bull Esta variaacutevel indicadora I recebe valores iguais a i quando y eacute sorteada do j-eacutesimo componente



bull Deste modo equivalentemente o modelo misto em pode ser representado como



y | I ~ f(y | I)

I | ~ DCat ( )



bull Uma distribuiccedilatildeo agrave priori categoacuterica foi atribuiacuteda agrave I

1

)(

)()(

j

jjjj

j jqf



bull A priori conjugada seraacute a distribuiccedilatildeo Dirichlet com hiper-paracircmetro α

t

p

l

llt ut

1

t = ut-1 + ut

t = yt-1 + 0 + 1t + 2t2 + ut

42 Os Modelos Temporais


bull Modelos de tendecircncia determiniacutestica

bull Modelos de tendecircncia estocaacutestica

bull Modelos determiniacutesticos e estocaacutesticos

43 Os Modelos Espaciais

A variaacutevel espacial Φi pode ser designada como Φi = ξi + vi em que

vi eacute denominada variaacutevel latente natildeo-estruturada espacialmente (heterogeneidade) e

ξi a variaacutevel latente estruturada ou correlacionada espacialmente (clustering)



A variaacutevel natildeo-estruturada segue uma distribuiccedilatildeo Normal de modo que

e a variaacutevel estrutura espacialmente ξi

condicional a ξj onde j ne i eacute modelada de modo que

onde eacute a meacutedia dos ξirsquos e i pertence as aacutereas adjancentes

vi ~ N( 2 )

i ~ N( i 2 ni)

i


ij

jijiiji )(21exp~| 22

where φi ge 0 is a ldquosample sizerdquo associated with region i and ij ge 0 is

the weight reflecting the influence of j on the conditional mean of i

We let ωij = 1 if j is neighbor of i and 0 otherwise and set φi equal the number of neighbors of i Thus the conditional distribution ξi | ξj simplifies to i ~ N( i 2

ni) where i is the average of the j rsquos in

which j indexes the neighboring sites of i



44 Os Modelos Espaccedilo-Temporais Devido agrave permutabilidade condicional dado o tempo a

distribuiccedilatildeo agrave priori resultante pode ser representada por

)(ti

iid

~ N( )(2)( tt )

Considerou-se para o efeito espacial )(ti na i-eacutesima regiatildeo no

ano t a priori CAR dado o tempo t

Assim )(ti ~ N( )(t

i )(2 t ni) onde )(t

i eacute a meacutedia das j-eacutesimas

aacutereas adjancentes a i

Distribuiccedilotildees Inversa Gama foram consideradas como hiper-

prioris para )(2 t e )(2 t


A little different spatio-temporal model was fitted to the data set We

also allow the spatial effects to be nested within the temporal

process such that the parameters of the deterministic trend ( rsquos) are

modeled using the CAR prior

Intuitively one can think of the trend parameters as being correlated

across space given time Thus we have the following general

expression for the mean component itiii

it utt 2)(2

)(1

)(0 As

was described in the previous subsection we can incorporate the

stochastic term in the general expression


44 Os Modelos Espaccedilo-Temporais

bull No modelo a variaacutevel espacial estaacute aninhada ao efeito temporal (permitindo checar a variaccedilatildeo espacial no tempo)

bull Geralmente utiliza-se o algoritmo MCMC para estimar os paracircmetros do modelo

bull Apoacutes a estimaccedilatildeo deve-se checar a convergecircncia e mistura de todos os paracircmetros



bull Trabalhando no espaccedilo de preditivas a penalidade surge sem a necessidade de definiccedilotildees assintoacuteticas

bull Intuitivamente pode-se dizer que bons modelos devem realizar prediccedilotildees proacuteximas ao que foi observado em experimentos idecircnticos

5 Seleccedilatildeo de Modelos

bull O objetivo eacute minimizar a perda preditiva a posteriori denominada erro predito quadraacutetico

bull A distribuiccedilatildeo preditiva agrave posteriori eacute mostrado abaixo

dMyMpMyfyyf obsnewobsnew )|()|()|(


bull Em que M representa o conjunto de todos os paracircmetros em certo modelo e ynew eacute a reacuteplica do vetor de dados observados yobs

bull O objetivo eacute escolher aquele que minimiza a esperanccedila da funccedilatildeo de discrepacircncia condicional a yobs e Mi onde o subscrito i representa todos os paracircmetros em determinado modelo i


bull Para modelos gaussianos a funccedilatildeo de discrepacircncia e Dm respectivamente eacute dada por


d(xnew xobs) = (xnew - xobs)T(xnew - xobs)



bull Modelo BayesianoMODEL for (i in 1M) for (t in p+1N) y[i t] ~ dnorm(mu[i t] tau) mu[i t] lt- rho[i] y[i t - 1] + beta0[i] + beta1[i] (t - 7) Exchangeable prior for the rhos rho[i] ~ dnorm(rho0 taur) beta0[i] ~ dnorm(0010E-6) beta1[i] lt- zeta1[i] + b1 Compute the predictive error prederror[i] lt- y[iN-1]-y[iN-2] Premium rates by counties for(j in 15) PR1[ij] lt- max(1-(y[iN-1](lmda[j]y[iN-2]))0) CAR priors for the zetas zeta1[1 M] ~ carnormal(neigh[ ] weig[ ] num[ ] tauS) Weights for the CAR prior for (k in 1Sum) weig[k] lt- 1 Priors for fixed effects rho0 ~ dnorm(0 01) taur ~ dgamma(01 01) b1 ~ dnorm(00 10E-3) tau ~ dgamma(01 0001) sigma lt- 1sqrt(tau) tauS ~ dgamma(aS bS) sigmaS lt- 1sqrt(tauS) Mean squared predictive error MSPE lt- inprod(prederror[] prederror[])M


Premium Rate (PR) = e

eee

y

yyyyEyF

)]|([)(

If y = yαye

PR = P(y lt 1)[1 ndash E(y| y lt 1)]

If U = 1 - y

PR = P(U gt 0)[(1 ndash E(1 ndash U|1 ndash U lt 1)]

PR = P(U gt 0)[(1 ndash E(1 ndash U|U gt 0)]

PR = P(U gt 0) E(U|U gt 0)

0

0

f(u)du

f(u)duu

0) U|E(U

PR = P(U gt 0)

0

0

f(u)du

f(u)duu

But P(U gt 0) =

0

f(u)du

PR =

0

f(u)duu

PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]

Derivaccedilatildeo da Taxa de Precircmio


for(t IN 2 T) for(i IN 1 S)

sigma

tau

kappasigma

kappatau

c

rhotau

rhomu

kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico


Resultados dos modelos


Tabela 1 Taxas de precircmio () para soja no municiacutepio de Cascavel calculadas pelo

meacutetodo empiacuterico

Seacuterie Ajustada Seacuterie Natildeo-ajustada NC

d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614

Taxas de precircmio ndash soja



meacutetodo natildeo-parameacutetrico


d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

80 04244 05561 17041 20766 12288 29264

85 08518 10213 24641 30094 19712 44149

90 15062 17025 34764 42388 31059 63614



Tabela 3 Taxas empiacutericas de precircmio () para milho no municiacutepio de Guarapuava


d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 3224 2260 27038 54815 2083 3635

75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

80 5797 4960 42889 80417 3778 6217

85 7643 6280 50048 91484 4901 7963

90 9403 7450 63087 101873 6330 9815

Taxas de precircmio ndash milho


Tabela 4 Taxas de precircmio () para milho no municiacutepio de Guarapuava calculadas pelo



d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 4518 3270 27993 64311 2083 3635

75 5706 4280 36722 75549 2791 4739

80 7021 5400 45412 86799 3778 6217

85 8431 6540 55478 99206 4901 7963

90 9906 7790 67250 112357 6330 9815



Tabela 5 Taxas empiacutericas de precircmio () para o trigo no municiacutepio de Tibagi


d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

75 37435 30671 36470 30301 17825 34711

80 46911 39635 47255 41162 25453 47907

85 57267 49860 60738 54861 35976 64816

90 71103 64530 75325 69222 49642 84299

Taxas de precircmio ndash trigo


Tabela 6 Taxas de precircmio () para o trigo no municiacutepio de Tibagi calculadas pelo



d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

75 43912 37330 47152 40751 17825 34711

80 54253 46800 58450 51020 25453 47907

85 65087 58878 70129 64051 35976 64816

90 78486 72912 84467 78854 49642 84299



Tabela 7 Taxas de precircmio atuarialmente justas () calculadas para os municiacutepios de

Castro Ponta Grossa Marilacircndia do Sul Tibagi Catanduvas e Rolacircndia

atraveacutes do modelo Bayesiano

α () Municiacutepio

70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000

Marilacircndia do Sul 001284 007567 031400 089860 200700

Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

Rolacircndia 000104 001288 006320 022030 059290

Tibagi 001630 009599 035610 098040 212000



2Taxas de Precircmiomuniciacutepios natildeo incluiacutedos1291 - 34793479 - 56665666 - 78547854 - 1004110041 - 12229

100 0 100 200 Miles

N

EW

S

Milho Proc1 40 NP 90

Taxas de precircmio ndash Meacutetodo NP


Taxas de precircmio ndash Meacutetodo Bayesiano


bull Under the Bayesian approach spatial and temporal dependence can be modeled as part of the model

bull Premium rates can be determined directly through the MCMC simulation

bull Thus uncertainty is taking into account when calculating rates

bull Insurance companies must consider all the special features of the agriculture when pricing a crop insurance contract

6 Abordagem Bayesiana




d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614

Implicaccedilotildees para as seguradoras


bull Implicaccedilotildees na praacutetica

ndash 90 da produtividade esperada assegurada

ndash Responsabilidade meacutedia segurada em uma carteira composta por 1 mil produtores R$ 1 mi

ndash Taxa de precircmio (meacutetodo empiacuterico) 130

ndash O precircmio meacutedio seraacute igual a R$ 13000

ndash Taxa de precircmio (meacutetodo parameacutetrico)311


ndash Perda meacutedia no precircmio R$ 18100

PERDAS TOTAIS R$ 181 milhotildees



Obrigado


1 Problemas no mercado de seguro agriacutecola2 Complexa precificaccedilatildeo3 Tendecircncia e heteroscedasticia4 Modelagem Estatiacutestica5 Caacutelculo Atuarial6 Metodologias Atuariais

61 O modelos Gaussiano62 Mistura finita de distribuiccedilotildees63 Modelo temporal64 Modelo espacial65 Modelo espaccedilo-temporal

7 Resultados8 Conclusotildees

Outline

RISCO MORAL
















RISCO SISTEcircMICO
















































y

t









yn = (1 + εt) y2004





yn = ut + y2004
























bull Sabe-se que


Taxa de precircmio


custos adicionais=

responsabilidade+



bull Ainda

custos adicionais

=

custo da perda


responsabilidade














Reservas


























e

eeY

eY

y

yyYyEyF

)]|([)(





















bull Desvantagens







bull Beta

)1(

)1()( yyyf

22 2)(exp2

1)(

yyf




produtividade




produtividade















DADBDCD


A

B

C

D








0

05

1

15

2

25

3

35






































1 1 1( | ) ( | )

J

j j j jjf y f y





j

jjjjjj yNyf )()( 22









y | I ~ f(y | I)

I | ~ DCat ( )




1

)(

)()(

j

jjjj

j jqf




t

p

l

llt ut

1

t = ut-1 + ut

t = yt-1 + 0 + 1t + 2t2 + ut
















vi ~ N( 2 )

i ~ N( i 2 ni)

i


ij











)(ti

iid

~ N( )(2)( tt )



Assim )(ti ~ N( )(t














it utt 2)(2

)(1

)(0 As




























eee

y

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)]|([)(

If y = yαye


If U = 1 - y




0

0

f(u)du

f(u)duu

0) U|E(U

PR = P(U gt 0)

0

0

f(u)du

f(u)duu

But P(U gt 0) =

0

f(u)du

PR =

0

f(u)duu

PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]




sigma

tau

kappasigma

kappatau

c

rhotau

rhomu

kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

80 04244 05561 17041 20766 12288 29264

85 08518 10213 24641 30094 19712 44149

90 15062 17025 34764 42388 31059 63614





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 3224 2260 27038 54815 2083 3635

75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

80 5797 4960 42889 80417 3778 6217

85 7643 6280 50048 91484 4901 7963

90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 4518 3270 27993 64311 2083 3635

75 5706 4280 36722 75549 2791 4739

80 7021 5400 45412 86799 3778 6217

85 8431 6540 55478 99206 4901 7963

90 9906 7790 67250 112357 6330 9815





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

75 37435 30671 36470 30301 17825 34711

80 46911 39635 47255 41162 25453 47907

85 57267 49860 60738 54861 35976 64816

90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

75 43912 37330 47152 40751 17825 34711

80 54253 46800 58450 51020 25453 47907

85 65087 58878 70129 64051 35976 64816

90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

Rolacircndia 000104 001288 006320 022030 059290

Tibagi 001630 009599 035610 098040 212000




100 0 100 200 Miles

N

EW

S














d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado


RISCO MORAL
















RISCO SISTEcircMICO
















































y

t









yn = (1 + εt) y2004





yn = ut + y2004
























bull Sabe-se que


Taxa de precircmio


custos adicionais=

responsabilidade+



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custos adicionais

=

custo da perda


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Reservas


























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produtividade




produtividade















DADBDCD


A

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1 1 1( | ) ( | )

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mu[i t] y[it-1]

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Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

80 04244 05561 17041 20766 12288 29264

85 08518 10213 24641 30094 19712 44149

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 3224 2260 27038 54815 2083 3635

75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

80 5797 4960 42889 80417 3778 6217

85 7643 6280 50048 91484 4901 7963

90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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75 5706 4280 36722 75549 2791 4739

80 7021 5400 45412 86799 3778 6217

85 8431 6540 55478 99206 4901 7963

90 9906 7790 67250 112357 6330 9815





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

75 37435 30671 36470 30301 17825 34711

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

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Tibagi 001630 009599 035610 098040 212000




100 0 100 200 Miles

N

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado












RISCO SISTEcircMICO
















































y

t









yn = (1 + εt) y2004





yn = ut + y2004
























bull Sabe-se que


Taxa de precircmio


custos adicionais=

responsabilidade+



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=

custo da perda


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Reservas


























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produtividade




produtividade















DADBDCD


A

B

C

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1 1 1( | ) ( | )

J

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y | I ~ f(y | I)

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vi ~ N( 2 )

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If y = yαye


If U = 1 - y




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PR = P(U gt 0)

0

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But P(U gt 0) =

0

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0

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PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]




sigma

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kappasigma

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kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

80 03813 05099 14970 16848 12288 29264

85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

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90 15062 17025 34764 42388 31059 63614





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 3224 2260 27038 54815 2083 3635

75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 4518 3270 27993 64311 2083 3635

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

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90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

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100 0 100 200 Miles

N

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado













































y

t









yn = (1 + εt) y2004





yn = ut + y2004
























bull Sabe-se que


Taxa de precircmio


custos adicionais=

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=

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Reservas


























e

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produtividade




produtividade















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A

B

C

D








0

05

1

15

2

25

3

35






































1 1 1( | ) ( | )

J

j j j jjf y f y





j

jjjjjj yNyf )()( 22









y | I ~ f(y | I)

I | ~ DCat ( )




1

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)()(

j

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j jqf




t

p

l

llt ut

1

t = ut-1 + ut

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vi ~ N( 2 )

i ~ N( i 2 ni)

i


ij











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Assim )(ti ~ N( )(t














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y

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If y = yαye


If U = 1 - y




0

0

f(u)du

f(u)duu

0) U|E(U

PR = P(U gt 0)

0

0

f(u)du

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But P(U gt 0) =

0

f(u)du

PR =

0

f(u)duu

PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]




sigma

tau

kappasigma

kappatau

c

rhotau

rhomu

kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

80 5797 4960 42889 80417 3778 6217

85 7643 6280 50048 91484 4901 7963

90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

75 43912 37330 47152 40751 17825 34711

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







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Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

Rolacircndia 000104 001288 006320 022030 059290

Tibagi 001630 009599 035610 098040 212000




100 0 100 200 Miles

N

EW

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Obrigado








yn = (1 + εt) y2004





yn = ut + y2004
























bull Sabe-se que


Taxa de precircmio


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Reservas


























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sigma

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rho[i]

mu[i t] y[it-1]

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Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

75 37435 30671 36470 30301 17825 34711

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90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

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Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


Ponta Grossa 000564 003877 017770 055270 132600

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100 0 100 200 Miles

N

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














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produtividade




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DADBDCD


A

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1 1 1( | ) ( | )

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0

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PR = P(U gt 0)

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But P(U gt 0) =

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PR = E[U I(U gt 0)]




sigma

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rho[i]

mu[i t] y[it-1]

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num

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

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85 07263 09049 20600 25404 19712 44149

90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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100 0 100 200 Miles

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produtividade




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0

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Modelo Graacutefico







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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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90 15062 17025 34764 42388 31059 63614





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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70 75 80 85 90

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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75 4355 3470 35492 68271 2791 4739

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

75 00830 02118 10840 11121 06965 18961

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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N

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Modelo Graacutefico







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Castro 001389 008361 031770 089650 204100

Catanduvas 001684 009556 034150 090490 192000


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But P(U gt 0) =

0

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PR =

0

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PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]




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c

rhotau

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rho[i]

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y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







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But P(U gt 0) =

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Modelo Graacutefico







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70 75 80 85 90

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Modelo Graacutefico







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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

80 04244 05561 17041 20766 12288 29264

85 08518 10213 24641 30094 19712 44149

90 15062 17025 34764 42388 31059 63614





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Modelo Graacutefico







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Modelo Graacutefico







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Modelo Graacutefico







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Modelo Graacutefico







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Modelo Graacutefico







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Modelo Graacutefico







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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

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Modelo Graacutefico







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mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

Castro 001389 008361 031770 089650 204100

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100 0 100 200 Miles

N

EW

S














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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado

























eee

y

yyyyEyF

)]|([)(

If y = yαye


If U = 1 - y




0

0

f(u)du

f(u)duu

0) U|E(U

PR = P(U gt 0)

0

0

f(u)du

f(u)duu

But P(U gt 0) =

0

f(u)du

PR =

0

f(u)duu

PR = 0)f(u)duu(u I

PR = E[U I(U gt 0)]




sigma

tau

kappasigma

kappatau

c

rhotau

rhomu

kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

neigh

wei

num

Modelo Graacutefico







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 4518 3270 27993 64311 2083 3635

75 5706 4280 36722 75549 2791 4739

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90 9906 7790 67250 112357 6330 9815





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 29897 23477 27410 21906 11889 24382

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90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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70 75 80 85 90

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100 0 100 200 Miles

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado



sigma

tau

kappasigma

kappatau

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kappa[i]

zeta2[i] zeta1[i]

rho[i]

mu[i t] y[it-1]

y[i t]

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wei

num

Modelo Graacutefico







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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 4518 3270 27993 64311 2083 3635

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70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

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70 75 80 85 90

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100 0 100 200 Miles

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado







d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00513 01169 06120 06759 03501 11364

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90 9403 7450 63087 101873 6330 9815






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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75 37435 30671 36470 30301 17825 34711

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90 71103 64530 75325 69222 49642 84299






d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 34987 28571 37526 31213 11889 24382

75 43912 37330 47152 40751 17825 34711

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90 78486 72912 84467 78854 49642 84299







70 75 80 85 90

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100 0 100 200 Miles

N

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d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

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90 13001 15077 29120 35944 31059 63614














Obrigado





d = 30 d = 40 d = 30 d = 40 Normal Beta

70 00689 01400 07198 08979 03501 11364

75 01807 02819 11814 14252 06965 18961

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90 15062 17025 34764 42388 31059 63614





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