MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD

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Tema 8: Gráficos de Control con Memoria

1. Introducción2. Gráfico EWMA3. Gráfico de Medias Móviles 4. Gráfico CUSUM

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 3

Parte III: Control de productos terminados

Parte I: Diseño de experimentos

Parte II: Control estadístico de procesos

Diseño ProducciónProducto final

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Materia prima Producto

Conjunto de procesos intermedios

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Control de los procesos intermedios

Proceso 1 Control de la calidad del proceso 1

Proceso 2 Control de la calidad del proceso 2

Control de la calidad del proceso J

Proceso J

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Control de los procesos intermedios

Proceso 1 Control de la calidad del proceso 1

Evolución de la variable controlada

ALARMA!!!

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1. Introducción

Pero pueden tardar mucho en detectar un cambio más pequeño

Tema 6:Gráficos de Control por Variables

Tema 7:Gráficos de Control por Atributos

Muy útiles para detectar cambios en la media de más de 2 desviaciones típicas

Supongamos que X es una característica de calidad que si el proceso está bajo control verifica que

( )E X µ=2( )Var X σ=

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Supongamos que X es una característica de calidad que si el proceso está bajo control verifica que

Gráficos de Control con Memoria

• CUSUM ...

• EWMA

• Medias Móviles

Son más rápidos en detectar un cambio pequeño,

pero más lentos en detectar un cambio grande

1. Introducción

( )E X µ=2( )Var X σ=

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Supongamos que X es una característica de calidad que si el proceso está bajo control verifica que

Gráfico de Control por Variables:

(bien con observaciones individuales o muestras independientes -mutuamente excluyentes-)

Gráfico de Control con Memoria:

La información se va acumulando...

... un pequeño desajuste acaba detectándose

( )E X µ=2( )Var X σ=

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Tema 8: Gráficos de Control con Memoria

1. Introducción2. Gráfico CUSUM 3. Gráfico EWMA 4. Gráfico de Medias Móviles

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2. Gráficos CUSUM

Vamos a ver dos tipos: • CUSUM algorítmico

• Plantilla V

Sea x la variable de calidad de interésEn estado de control...

Construimos el siguiente estadístico Ci para acumular la información:

Acumulación de Acumulación de desviacionesdesviaciones

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2. Gráficos CUSUM

Los gráficos CUSUM se basan en la evolución de Ci

Si el proceso está bajo control

CiCi evoluciona evoluciona alrededor del alrededor del

cerocero

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... por tanto, si el proceso está bajo control, Ci evoluciona de forma aleatoria alrededor de una horizontal de nivel cero

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2. Gráficos CUSUM

Por el contrario, si el proceso se desajusta y la media pasa a valer...

Aparece una tendencia Aparece una tendencia lineal, lineal, creciente si k>0, o

decreciente si k<0

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... por tanto, si el proceso se desajusta, Ci evoluciona de forma aleatoria alrededor de una pendiente

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2. Gráficos CUSUM

CUSUM Algorítmico

Este gráfico CUSUM tiene las siguientes particularidades:

• Dibuja por separado las desviaciones positivas (aumentos en la media del proceso) y las negativas (disminuciones en la media del proceso)

• Sólo tiene en cuenta desviaciones que superen cierto umbral mínimo

Vamos a ver dos tipos: • CUSUM algorítmico

• Plantilla V

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2. Gráficos CUSUM

CUSUM Algorítmico:

Monitoriza la evolución de los siguientes estadísticos

Para detectar aumentos Para detectar aumentos en la mediaen la media

Para detectar disminuciones Para detectar disminuciones en la mediaen la media

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2. Gráficos CUSUM

Monitoriza la evolución de los siguientes estadísticos

Sólo computa desviaciones que superen el umbral K

CUSUM Algorítmico

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CUSUM Algorítmico

2. Gráficos CUSUM

Monitoriza la evolución de los siguientes estadísticos

El valor del umbral K determina la sensibilidad del gráfico. Para detectar el desajustese suele tomar

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Valor de la variable de interés

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26.1-25=1.1 (C0=0)+

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Max[0,(1.1-2.5)]=0

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Valor de la variable de interés

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0+(19.9-25)=-5.1

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 25

Max[0,(-5.1-2.5)]=0

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Los límites de control se ponen a distancia

Generalmente

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Momento en el que parece que se ha producido el desajuste

Alarma

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CUSUM Algorítmico:

Decisiones que debe tomar el analista:• Sensibilidad K

• Intervalo H

• Sensibilidad K

Si lo expresamos en función del proceso: K=kσ

Si queremos detectar desviaciones

se suele elegir2

kδ=

1 0µ µ δσ= +

(maximiza la probabilidad de detectar ese desajuste)

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CUSUM Algorítmico:

Decisiones que debe tomar el analista:• Sensibilidad K

• Intervalo H

• Intervalo HSi lo expresamos en función del proceso: H=hσSu valor ideal depende de k (K=kσ )

Si no hay desajuste, Probabilidad de estar por debajo de H es aprox. 0.997

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CUSUM Algorítmico:

Decisiones que debe tomar el analista:• Sensibilidad K

• Intervalo H

• Intervalo HSi lo expresamos en función del proceso: H=hσSu valor ideal depende de k (K=kσ=δ/2 σ )

1.611.992.523.344.778.01h=

1.51.2510.750.50.25k=

(basado en el algoritmo de Hawkins)

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2. Gráficos CUSUM

El segundo gráfico que veremos es el CUSUM con Plantilla V (V-mask)

Este gráfico CUSUM tiene las siguientes particularidades:

• Dibuja la evolución de Ci

V-Mask

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2. Gráficos CUSUM

El segundo gráfico que veremos es el CUSUM con Plantilla V (V-mask)

Este gráfico CUSUM tiene las siguientes particularidades:

• Utiliza una plantilla en V como límites de control

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Intersección con Intersección con la la plantilla=fueraplantilla=fuera

de controlde control

Alarma

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Momento en el que probablemente se produjo el desajuste

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d

w

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d

w

δ: sensibilidad 1 0µ µ δσ= +

n: tamaño muestral medio

a: Probabilidad de falsa alarma

β: Probabilidad de no detectar el desajuste

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Tema 8: Gráficos de Control con Memoria

1. Introducción2. Gráfico CUSUM 3. Gráfico EWMA 4. Gráfico de Medias Móviles

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3. Gráfico EWMA

EWMA=Exponentially Weighted Moving Average(Medias móviles con ponderación exponencial)

Sea X la variable de calidad de interés. El gráfico EWMA representa la evolución de

con

(Factor de olvido, lo decide el analista)

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Sustituyendo sucesivamente...

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Sustituyendo sucesivamente...

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0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009

ii-1i-2i-3. . .

0.9

Los pesos decaenexponencialmente

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 44

0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009

ii-1i-2i-3. . .

0.9

Además, decaen muy rápido

El pasado tiene poco valor

La memoria es corta

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 45

0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009

ii-1i-2i-3. . .

0.9

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ii-1i-2i-3. . .

0.1

0.1 0.09 0.081 0.079 0.0656

Los pesos decaenexponencialmente

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 47

ii-1i-2i-3. . .

0.1

0.1 0.09 0.081 0.079 0.0656

Ahora decaen muy despacio

El pasado tiene mucho valor

La memoria es larga

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 48

ii-1i-2i-3. . .

0.1

0.1 0.09 0.081 0.079 0.0656

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Si queremos detectar un desajuste pequeño, necesitaremos acumular la información de muchos periodos para que el desajuste pueda apreciarse

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Si queremos detectar un desajuste grande, bastará con la información inmediatamente posterior al desajuste. No debemos esperar a acumular mucha información

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Gráfico EWMA

iY iY

iY

iY iY

iY

iY

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Gráfico EWMA

Van aumentando

iY iY

iY

iY iY

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad. Profesor: Ismael Sánchez 53

Van aumentando

AlarmaAlarma

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Tema 8: Gráficos de Control con Memoria

1. Introducción2. Gráfico CUSUM 3. Gráfico EWMA 4. Gráfico de Medias Móviles

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Sea x la variable de calidad de interés. El gráfico de medias móviles representa la evolución del estadístico

4. Gráfico de Medias Móviles

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Por ejemplo, si m=3Bajo control

La varianza aumenta hasta que se han analizado m observaciones

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Gráfico de Medias Móviles

Límites constantes

Los límites van disminuyendo

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Alarma