metodogrma de la mama

PROCESAMIENTODIGITALDESEÑALESDSP

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RESUMEN En esta práctica se implementaran unos algoritmos para obtener la respuesta en frecuencia, la modulación en amplitud y frecuencia y un análisis espectral; esto siendo aplicada a una función predeterminada y la cual será procesada con la Transformada Rápida de Fourier (FFT), esto será llevado a cabo mediante el software MATLAB. Palabras claves: transformada rápida de Fourier (FFT), transformada Hilbert.

OBJETIVOS • Implementar la transformada rápida de

Fourier (FFT) para obtener información característica de la señal que se quiere procesar mediante MATLAB, aplicando modulación en amplitud y frecuencia y así obteniendo las respectivas graficas de los diferentes análisis, como magnitud y espectro y finalmente realizar un análisis espectral mediante un periodograma.

• Corroborar las diferentes aplicaciones y funciones de la transformada de Fourier por medio de Software Matlab.

INTRODUCCIÓN Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo

considerados hoy como problemas muy difíciles.

MARCO TEORICO FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales o los algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros. El algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. Por ejemplo: la señal de la que se tomaron muestras y que se va a transformar debe consistir de un número de muestras igual a una potencia de dos. La mayoría de los analizadores TRF permiten la transformación de 512, 1024, 2048 o 4096 muestras. El rango de frecuencias cubierto por el análisis TRF depende de la cantidad de muestras recogidas y de la proporción de muestreo.

Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es la transformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático básico y de frecuente empleo. La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue una piedra angular en la historia de la informática. Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples. Es la base de muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utilización. Además, proporciona un medio oportuno para

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE ELECTRONICA

INFORME Nº4 APLICACIONES DE FOURIER

MARIO ANDRES CASTAÑEDA MEDINA 20112104052 OSCAR ALEJANDRO ARDILA 2009287270

JULIANA ANDREA MENDEZ MARULANDA 20121108683


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mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes.

DESARROLLO PRÁCTICO

RESPUESTA EN FRECUENCIA USANDO (FFT)

Obtener la Transformada Rápida de Fourier - FFT de una señal senoidal de 20 Hz sumada a una señal tipo chirp con un desplazamiento desde 5 hasta 40 Hz en un tiempo D. a) Para un intervalo de D= 1 seg y N=128

muestras, generar una señal senoidal de 20 Hz sumada a una señal chirp con un desplazamiento desde 5 hasta 40 Hz en el intervalo D.

D=1; %Intervalo N=128;%Número de muestras ts=D/N; d=ts/2; t=0:ts:D-d;%Rango tiempo de muestreo x=sin(2*pi*20*t)+chirp(t,5,D,40);%Señal tipo chirp con desplazamiento entre 5 a 40Hz % Gráfica de la señal generada figure; plot(t,x,'-g') xlabel('Tiempo(s)'); %Etiqueta eje x ylabel('x(t)');%Etiqueta eje y title('x(t)=sin(2*pi*20*t)+chirp(5-40)');%Título de la imagen grid on Función del código: Es crear una función senoidal con los requerimientos solicitados graficar una señal de barrido de frecuencia.

b) Aplicar la Transformada Rápida de Fourier

a la señal y graficar el espectro de magnitud.

X=fft(x); %Reordenar X M=N/2; Xaux=X; X(M+1:N)=Xaux(1:M); X(1:M)=Xaux(M+1:N); Xm=abs(X)/N; Xf=unwrap(angle(X))*180/pi; %Reordenar los índices k faux(M+1:N)=0:M-1; faux(1:M)=-M:-1; f=faux/D; % Graficar fft de xn figure; stem(f,Xm,'r') xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('|X(k)|'); title('Espectro de Magnitud |X(k)|'); grid on Función del código: Es calcular la transformada rápida de Fourier de la señal obtenida en el punto anterior, y además se grafica el espectro de la magnitud. Para lograr exitosamente esto debemos corregir las fases de los ángulos y así al momento de mostrar la secuencia de datos discretos obtener mejores resultados.

c) Graficar el espectro de fase. % Gráfica de la fase figure; stem(f,Xf,'g') xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('Fase (º)'); title('Fase de Coeficientes Espectrales X(k)'); grid on


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Funcíon del código: Es obtener la gráfica del espectro de fase a partir de la transformada rápida de Fourier para así visualizar los coeficientes espectrales de la señal en términos de frecuencia.

d) Reconstruir la señal a partir de los X(k).

Utilizar el mayor número de puntos, por ejemplo, fs=500.

figure fs=500; ts=1/fs; d=ts/2; t=0:ts:D-d; Ns=length(t); % x: Señal original x=sin(2*pi*20*t)+chirp(t,5,D,40); % xr: Señal a reconstruir xr=zeros(1,Ns); for i=1:Ns for k=1:N xr(i)=xr(i)+X(k)*exp(j*2*pi*f(k)*ts*(i-1))/N; end end subplot(211) plot(t,x,'g-'); title('Señal original x(t)'); xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)'); grid on subplot(212) plot(t,xr,'r--');zoom; title('Señal reconstruida usando X(k)'); xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)'); grid on Función del código: Es volver a la señal original a partir de 500 puntos frecuenciales, ya teniendo

la transformada rápida de Fourier y con los coeficientes X(k) y apoyándose de un ciclo iterativo for.

MODULACIÓN EN AMPLITUD

Obtener la FFT de una señal exponencial modulada en amplitud con una frecuencia portadora de 200 Hz. N es el número de puntos de muestreo durante D segundos de la señal. Se requiere una frecuencia de muestreo de por lo menos 400 Hz, N/D>400 a) Generar la señal y graficarla. clear all; close all N=128; D=0.2; ts=D/N; d=ts/2; t=0:ts:D-d; x=exp(-2*t).*sin(2*pi*200*t); %Gráfica de la señal modulada figure; plot(t,x,'-g');zoom; title('x(t)=exp(-2t)·sin(2·pi·200·t)'); xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)'); grid on Función del código: Es obtener la transformada rápida de Fourier a partir de una señal exponencial modulada en amplitud, con una frecuencia dada y una frecuencia de muestreo de 640Hz.


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b) Aplique la Transformada de Fourier a la

señal y obtenga los espectros de magnitud y fase

X=fft(x); %Reordenar X M=N/2; Xaux=X; X(M+1:N)=Xaux(1:M);X(1:M)=Xaux(M+1:N); %Espectros Xm=abs(X)*ts; Xf=unwrap(angle(X))*180/pi; %Reordenar los índices k faux(M+1:N)=0:M-1;faux(1:M)=-M:-1; f=faux/D; %Gráfica de los espectros figure; subplot(211) plot(f,Xm,'-r') title('Coeficientes espectrales de x(t)'); xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('|X(k)|'); grid on subplot(212) stem(f,Xf,'-b');zoom; title('Fase de los coeficientes espectrales X[k]'); xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('Fase X[k]'); grid on Función del código: Es obtener el espectro de magnitud y fase a partir de la transformada rápida de Fourier, cabe recalcar que nuevamente es muy importante corregir las fases de los ángulos para obtener mejores resultados.

MODULACIÓN EN FRECUENCIA a) Generar una señal modulada en frecuencia

de duración de 0.5 sg con 256 muestras. clear all; close all D=0.5;N=256; ts=D/N; d=ts/2; t=0:ts:D-d; x=sin(2*pi*200*t+5*sin(2*pi*2*t)); figure; plot(t,x,'-g');zoom; title('x(t)=sin(2·pi·200·t+10·sin(2·pi·2·t)'); xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)'); grid on Función del código: Es generar una señal modulada en frecuencia, con características de una duración de 0.5 segundos y con 256 muestras.

b) Aplique la Transformada de Fourier a la

señal y grafique sus espectros. X=fft(x); %Reordenar X M=N/2;


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Xaux=X;X(M+1:N)=Xaux(1:M); X(1:M)=Xaux(M+1:N); %Espectros Xm=abs(X)*ts; Xf=unwrap(angle(X))*180/pi; %Reordenar los índices k faux(M+1:N)=0:M-1;faux(1:M)=-M:-1; f=faux/D; %Gráfica de los espectros figure; subplot(211) stem(f,Xm,'-r');zoom; title('Coeficientes espectrales de x(t)'); xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('|X[k]|'); grid on subplot(212) stem(f,Xf,'-b');zoom; title('Fase de los coeficientes espectrales X[k]'); xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('Fase X[k]'); grid on Función del código: Nuevamente se aplica la transformada rápida de Fourier y a partir de ella se obtienen los espectros de magnitud y fase de la señal modulada en frecuencia.

ANÁLISIS ESPECTRAL El análisis espectral describe la distribución en función de la frecuencia de la potencia contenida en una señal, basado en un conjunto finito de datos. En términos generales, la manera de estimar la PSD (densidad de potencia espectral) de un proceso es encontrar la Transformada de Fourier discreta DFT (usando la FFT) y tomar la magnitud al cuadrado del resultado. Esta estimación es llamada Periodograma.

clear all; close all fs=1000; t=0:1/fs:0.3; x=cos(2*pi*t*200)+randn(size(t)); %Añade ruido aleatorio Hs=spectrum.periodogram('Hamming'); psd(Hs,x,'Fs',fs) % Potencia promedio Hdsp=psd(Hs,x,'Fs',fs); Pow = avgpower(Hdsp) % Pow = 1.6727 Función del código: Es generar una señal con frecuencia de 200Hz, a la misma se le añade ruido aleatorio y luego se determina la densidad de potencia espectral, para esto se utiliza la transformada rápida de Fourier, luego se genera un periodograma y allí observar el análisis espectral de la señal.

TRANSFORMADA COSENO DISCRETO

(DCT)

Generar una secuencia senoidal de 25 Hz con frecuencia de muestreo de 1000 Hz, calcular la DCT y reconstruir la señal usando solamente los componentes con valor mayor a 0.9 (17 coeficientes de los 1000 originales) t = (0:1/999:1); % 1000 puntos x = sin(2*pi*25*t); y = dct(x); % calcula la dct y2 = find(abs(y) < 0.9); y(y2) = zeros(size(y2)); %size(y2)=983, solo se usarán 17 componentes z = idct(y); % reconstruir señal


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subplot(211); plot(t,x); title('Original Signal') grid on subplot(212); plot(t,z), axis([0 1 -1 1]) title('Señal reconstruida') grid on Función del código: Es generar una transformada de coseno discreto, esto se logra basándose en la transformada de Fourier discreta pero utilizando solamente números reales. Primero se calcula la transformada de coseno discreto y luego se reconstruye la señal con 17 coeficientes solamente.

TRANSFORMADA DE HILBERT Calcula la transformada de una secuencia de entrada real x(n) y retorna un resultado complejo de igual longitud. Para aproximarse a la señal analítica, Hilbert calcula la FFT de la secuencia de entrada, remplaza los coeficientes que corresponden a las frecuencias negativas con ceros y calcula la IFFT del resultado. La parte real es el dato real y la parte imaginaria es la transformada. La transformada o parte imaginaria tiene un desfase de 90º. t = 0:1/1023:1; x = sin(2*pi*60*t); subplot(211) plot(t,x) title('Señal original') grid on y = hilbert(x); subplot(212) plot(t(1:50),real(y(1:50))) hold on grid on

plot(t(1:50),imag(y(1:50)),'r') hold off ylim([-1 1]) legend('Real','Imag') grid on Función del código: Es calcular la transformada de Hilbert, a partir de la transformada rápida de fourier, se tiene en cuenta que la parte imaginaria es la que se toma debido a que ésta es la correspondiente con la tranformada. Cabe recalcar que gracias a ésta transformada, podemos calcular el contenido en frecuencia de una señal de energía o de potencia.

ANALISIS DE RESULTADOS

Mediante la aplicación de las series de Fourier y aún más aplicando su transformada rápida podemos ver y analizar los diferentes comportamientos de las señales y cómo podemos obtener información detallada de estas y gracias a esto y al procesamiento de señales digitales tenemos hoy en día un sin número de aplicaciones que nos proporcionan conocimiento y comodidad . Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples. Usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un


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sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

CONCLUSIONES

• Las series de Fourier nos permiten obtener una representación en el dominio de la frecuencia de una señal periódica en su equivalente en sumatoria o simplemente en un sistema discreto.

• La transformada rápida de fourier (FFT) es de gran utilidad para calcular el contenido frecuencial de una función y su magnitud, además de proporcionarnos un análisis espectral de gran utilidad.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

v http://abcmatematico.blogspot.com.co/2009

/04/como-y-donde-se-aplican-las-series-de.html

v https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

v https://prezi.com/yfdh3vvjuloa/series-de-fourier/

v http://es.slideshare.net/alexjaviercito56/10-transformada-fourier

v https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

v https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_r%C3%A1pida_de_Fourier

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