metodo pegaso

23
Método Pégaso Emanuele Santos Monday, December 17, 12

Upload: abm007

Post on 18-Dec-2014

457 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Metodo Pegaso

Método PégasoEmanuele Santos

Monday, December 17, 12

Page 2: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Bisseção:Descrição• Seja uma função f(x) contínua no intervalo [a,b], sendo ξ a única

raiz de f(x) = 0 neste intervalo• O método da bisseção consiste em reduzir a amplitude do

intervalo que contém a raiz [a,b] até se atingir a precisão requerida: (b-a) < ε, subdividindo o intervalo ao meio a cada iteração

2

Monday, December 17, 12

Page 3: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Bisseção:Graficamente

3

x

f(x)

ξb=b0

a=a0

x0

Iteração 1x0 =

a0 + b0

28<

:

f(a0) > 0f(b0) < 0f(x0) < 0

9=

; ⇒

8><

>:

⇠ 2 (a0, x0)a1 = a0

b1 = x0

Monday, December 17, 12

Page 4: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Bisseção:Graficamente

4

x

f(x)

ξb=b0

a=a0a1

x0

b1

Iteração 2

x1

8<

:

f(a1) > 0f(b1) < 0f(x1) > 0

9=

;

x1 =a1 + b1

2

8><

>:

⇠ 2 (x1, b1)a2 = x1

b2 = b1

Monday, December 17, 12

Page 5: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Bisseção:Graficamente

5

x

f(x)

ξb=b0

a=a0a1

x0b1

b2

Iteração 3

x1a2

x2

8<

:

f(a2) > 0f(b2) < 0f(x2) > 0

9=

;

8><

>:

⇠ 2 (x2, b2)a3 = x2

b3 = b2

x2 =a2 + b2

2

E assim sucessivamente até que (bk-ak) < ε

Monday, December 17, 12

Page 6: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Posição Falsa:Descrição• De maneira similar ao método da bisseção, o método da posição

falsa consiste em reduzir a amplitude do intervalo [a,b] que contém a raiz

• Ao invés de usar o ponto médio do intervalo, o método da posição falsa usa o ponto onde a reta secante unindo (ak, f(ak)) e (bk, f(bk)) cruza o eixo-x e o seleciona para ser uma nova extremidade do intervalo

6

Monday, December 17, 12

Page 7: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no

intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo

• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x

7

x

f(x)

ξb=b0

a=a0

x0

Monday, December 17, 12

Page 8: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no

intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo

• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x

8

x

f(x)

ξb=b0

a=a0a1

b1=x0x1

Monday, December 17, 12

Page 9: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Equação da reta secante• A equação da reta secante que

passa pelos pontos de coordenadas (a, f(a)) e (b,f(b)) é dada por:

9

x

f(x)

ξ b

a x0

(b,f(b))

(a,f(a))

b� x0

f(b)=

x0 � a

�f(a)x0(f(b)� f(a)) = a(f(b))� b(f(a))

x0 =a(f(b))� b(f(a))

f(b)� f(a)

Monday, December 17, 12

Page 10: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo• f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

10

x

f(x)

ab

Monday, December 17, 12

Page 11: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

11

x

f(x)

ab x

f(x)

ab

x00.5

x0-0.099

bisseção posição falsa

Monday, December 17, 12

Page 12: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

12

x

f(x)

ab x

f(x)

ba a a x1

0.332

x11.25

bisseção posição falsa

Monday, December 17, 12

Page 13: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

13

x

f(x)

a bb x

f(x)

baa a ax2

0.875 0.639x2

bisseção posição falsa

Monday, December 17, 12

Page 14: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

14

x

f(x)

a bb x

f(x)

ba a aa

0.839x3

1.062x3

aa

bisseção posição falsa

Monday, December 17, 12

Page 15: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

15

raiz: 1.078313raiz: 1.077148

Monday, December 17, 12

Page 16: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método Pégaso:Descrição

16

• De maneira similar ao método da posição falsa, o método Pégaso consiste em reduzir a amplitude do intervalo [a,b] que contém a raiz

• Ao invés de apenas usar o ponto onde a reta secante unindo (xk-1, f(xk-1)) e (xk, f(xk)) cruza o eixo-x, o método também reduz o valor de f(xk-1) por um fator de f(xk)/(f(xk)+f(xk+1))

Monday, December 17, 12

Page 17: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método Pégaso:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no

intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo

• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x

17

x

f(x)

ξb=x1

a=x0

x2

Monday, December 17, 12

Page 18: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no

intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo

• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x

• Se fx * fb > 0:‣ fa = fa * fb/(fb+fx)

18

x

f(x)

ξb=x1

a=x0x1

b=x2x3

Monday, December 17, 12

Page 19: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

19

x

f(x)

ab

x0-0.099

x

f(x)

ab

x0-0.099

pégasoposição falsa

Monday, December 17, 12

Page 20: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

20

x

f(x)

aa b x1

0.332

x

f(x)

ba a x1

0.332

pégasoposição falsa

Monday, December 17, 12

Page 21: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

21

x

f(x)

aba b 0.828x2

x

f(x)

baa a 0.639x2

pégasoposição falsa

Monday, December 17, 12

Page 22: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01

22

x

f(x)

ba a

0.839x3aa

x

f(x)

aba b

1.115x3

b

pégasoposição falsa

Monday, December 17, 12

Page 23: Metodo Pegaso

UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2

23

raiz: 1.078892raiz: 1.078313raiz: 1.077148

Monday, December 17, 12