METODO DE NEWTON RAPHSON PARA FLUJO UNIFORME EN CANALES

1. OBJETIVOS:

Utilizar la ecuación que permite el flujo (ecuación de Maning). Utilizar un método numérico de Newton Raphson para calcular el tirante de agua. Hacer uso de código computacional en matlab.

2. MARCO TEORICO:

2.1. FLUJO UNIFORME

Se dice que un flujo es uniforme cuando su velocidad del flujo en la profundidad es constante.

En el diseño de canales abiertos sería ideal que se tuvieran flujos uniformes por que se tendría un canal con una altura constante.

Para que el flujo permanezca uniforme es necesario tener una pendiente, la sección transversal y su rugosidad en la superficie no presente ningún cambio y si la pendiente del fondo aumentase y a su vez aumentase la velocidad inmediatamente disminuirá su profundidad

Cuando el flujo es constante, las condiciones de velocidad, presión y sección transversal pueden ser distintas de un punto a otro, pero no cambian con el tiempo.Si en algún punto dentro del fluido las condiciones cambian con el tiempo, el flujo se describe como variable.

En la práctica, siempre habrá leves variaciones de velocidad y presión, pero si los valores medios son constantes, el flujo se considera constante.

TIPOS DE FLUJO

Si combinamos las condiciones de flujo antes descritas podemos identificar cuatro tipos generales de flujo:

Flujo constante y uniforme:Las condiciones no cambian ni con la posición en el río ni con el tiempo.

Flujo constante y no uniforme:Las condiciones cambian de un lugar a otro del río, pero no con el tiempo.

Flujo variable y uniforme:En un momento dado, las condiciones son iguales en todos los puntos, pero cambian con el tiempo.

Flujo variable y no uniforme:Las condiciones del flujo pueden cambiar de un punto a otro y, en cada punto, con el tiempo.

2.2. ECUACION DE MANNING:

La ecuación de Manning es la ecuación más utilizada para analizar los flujos de canal abierto.

Es una ecuación semi-empírica para la simulación de los flujos de agua en los canales y alcantarillas, donde el agua está abierto a la atmósfera, es decir, no fluye bajo presión, y se presentó por primera vez en 1889 por Robert Manning.

La ecuación de Manning fue desarrollado para flujo estacionario uniforme es la pendiente de la línea de energía y S = h f / L, donde h f es la energía (cabeza) pérdida y L es la longitud del canal o alcance. Para flujos constantes uniformes, la línea de energía = la pendiente de la superficie del agua = la pendiente de la parte inferior del canal.

El producto A / P también se conoce como el radio hidráulico, R h .

DONDE:

Q: Caudal en m3/s n : Coeficiente de rugosidad A: Área hidráulica en m2 R: Radio hidráulico S: Pendiente longitudinal del canal

En la fórmula de Manning la mayor dificultad está en la determinación del coeficiente de rugosidad, n, ya que no hay un método exacto para seleccionarlo. Su selección significa estimar la resistencia al flujo en un canal dado, lo cual es materia de intangibles.

Q =1n*A*(R^(2/3))*S^(1/2)

Para los ingenieros veteranos, esto significa un ejercicio de reflexión y experiencia, en los jóvenes, esto puede ser no más que adivinanzas y diferentes ingenieros pueden obtener diferentes resultados. La tabla es una guía que ayuda en la selección inicial del coeficiente de rugosidad de Manning, no descartando por supuesto otras fuentes de información en este tópico.

Valores de la rugosidad según Manning.

2.3. Método de Newton-Raphson

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Se dice que esté método es capaz de obtener resultados fiables con pocas iteraciones en comparación con otros métodos matemáticos.

El método de Newton-Raphson requiere evaluar la primera derivada de la ecuación f(x) para hallar un nuevo valor de x y así acercarse al resultado real, es decir llegar a la raíz de la ecuación aproximando en cada iteración a su resultado, tomando en cuenta el criterio de convergencia con el cual poder encontrar el resultado de la raíz.

n SUPERFICIE0.010 Muy lisa, vidrio, plástico, cobre0.011 Concreto muy liso0.013 Madera suave, metal, concreto0.017 Canales de tierra, buenas condiciones0.020 Canales naturales de tierra, libres de vegetación0.025 Canales naturales con alguna vegetación y piedras en el fondo0.035 Canales naturales con abundante vegetación0.040 Arroyos de montaña con muchas piedras

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA:

Se tiene una sección trapezoidal en la cual se pide determinar el tirante de agua, si se sabe que el caudal es 2.3m3/s, el ancho de solera (b) es 1.5 metros y el talud es 1.5 con un coeficiente de rugosidad de 0.014.

SOLUCION DEL PROBLEMA:

En primer lugar, debemos establecer la forma de la función. Por tanto la función a tratar será:

F=AR2/3−(Qn

S12

)… (2)

F=A3 R2−(Qn

S12

)3

… (3)

COMO R= A/P

F= (A¿¿5 /P2)−(Qn /S12)¿¿¿… (4)

D = A4

P3∗(5 PT−4 AL )… (5 )

Donde:

A =bh + zh^2

p =b+2hL

T =b+2zh

L =(1+z^2)^(1/2)

La aproximación a la solución o raíz de la función es mediante la operación (valor inicial menos el cociente de la función evaluada en valor inicial entre la derivada de función evaluada en el valor inicial como se muestra en:

hi+1 = hi - f (hi)f '(hi)… (6)

La función establecida en (4), su derivada será:

F = A5

P2– (

Qn

S( 12))3 dF =5

A4∗dADh

∗P2− A5∗P∗dPdh

P4… (7)

Las derivadas de A y P con respecto a (h)

dADh=¿b + 2zh = T … (8) dPd h=2L … (9)

Sustituyendo las derivadas en 8 y 9 en la derivada en (7)

DF = A4

P3∗(5 PT−4 A)

El punto de partida para aproximar a la solución será:

h0 = b2=1.52

=0.750

DIAGRAMA DE FLUJO:

INICIO

Q,b,Z,n,s,E

|d| > E

A = bh + zh2

P = b + 2zL

L = (1 + z2) ½

T = b + 2z h

F = A5

P2−¿

DF = A4

P3(SPT−4 AL )

d = F/D

hi+1 = ho – d

hi = hi + 1

Escribirhi

FIN

GRAFICO DEL PROGRAMA EN GUIDE:

CODIGO COMPUTACIONAL MATLAB

Q=str2double(get(handles.edit1,'string'));b=str2double(get(handles.edit2,'string'));Z=str2double(get(handles.edit3,'string'));s=str2double(get(handles.edit4,'string'));n=str2double(get(handles.edit5,'string'));E=str2double(get(handles.edit8,'string'));h=b/2;d=0.01;while abs(d)>E T=b+2*Z*h; L=(1+Z^2)^0.5; A=b*h+Z*h^2; P=b+2*h*L; F=(A^5/P^2)-(Q*n/s^0.5)^3; D=(A^4/P^3)*(5*P*T-4*A*L); d=F/D; h1=h-d; h=h1;endset(handles.edit7,'string',h1);

set(handles.edit9,'string',A);set(handles.edit10,'string',T);

CONCLUSIONES:

- En este trabajo pretendemos facilitar el cálculo del problema presentado.- Se habló sobre flujos uniformes en canales ya que nuestro fin es crear un

sistema de canal semejante para la conservación de los recursos hídricos.