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Método das Cordas
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
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Método das CordasMétodo das Cordas
Seja f(x) uma função contínua que tenha a segunda derivada com sinal constante no intervalo [a,b] sendo que f(a).f(b)<0 e que existe somente uma raiz para função neste intervalo.
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Método das CordasMétodo das CordasO método da cordas equivale a substituir a função y=f(x) por uma corda que passa pelos pontos
A=(a , f(a) ) e B=( b, f(b) ).
Vamos desenvolver o processo para calcular as aproximações para o zero da função
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Método das CordasMétodo das CordasSupondo que f’’ tenha sinal constante no intervalo [a,b], temos quatro situações:Se f’’(x)>0
f(a)<0 e f(b)>0 f(a)>0 e f(b)<0 caso 1 caso 2
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Método das CordasMétodo das CordasSe f’’(x)<0
f(a)<0 e f(b)>0 f(a)>0 e f(b)<0
caso 3 caso 4
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Método das CordasMétodo das CordasPara os casos 1 e 3 a solução em cada iteração é dado por:
).()()(
)(1 bx
bfxf
xfxx n
n
nnn
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Método das CordasMétodo das CordasPara os casos 2 e 4 a solução em cada iteração é dado por:
).()()(
)(1 ax
afxf
xfxx n
n
nnn
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Método das CordasMétodo das Cordas
O que diferencia a forma geral nos casos 1, 2, 3 e 4 é o ponto fixado no ínicio ou no término da corda. O ponto fixado (a ou b) é aquele no qual o sinal da função f coincide com o sinal da segunda derivada de f. Vamos chamar esse ponto de c.
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Método das CordasMétodo das CordasAssim, a solução geral será dada por:
).()()(
)(1 cx
cfxf
xfxx n
n
nnn
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Método das CordasMétodo das Cordas
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Método das CordasMétodo das Cordas
Exemplo 1: Calcular a raiz da equação f(x)=ex - sen(x) – 2 com 5 iterações.
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Método das CordasMétodo das CordasVamos considerar o intervalo [0,5; 1,5]
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Método das CordasMétodo das Cordas
Início
f(0,5)= - 0.830704268 < 0
f(1,5)= 1.484194083 > 0
c = 1,5
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Método das CordasMétodo das CordasIteração k=0
370,85885129
)5,15,0(12,31489835
80,830704265,0
).()()(
)(
5,0
1
1
00
001
0
x
x
cxcfxf
xfxx
x
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Método das CordasMétodo das CordasIteração k=0
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Método das CordasMétodo das Cordas
Iteração k=1
830.99406136
)5,1370,85885129(21.88083901
90.39664492370,85885129
).()()(
)(
370,85885129
2
2
11
112
1
x
x
cxcfxf
xfxx
x
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Método das CordasMétodo das Cordas
Iteração k=1
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Método das CordasMétodo das Cordas
91,03654750
)5,1830,99406136(01,62025480
70,13606071830,99406136
).()()(
)(
830,99406136
3
3
22
223
2
x
x
cxcfxf
xfxx
x
Iteração k=2
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Método das CordasMétodo das Cordas
Iteração k=2
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Método das CordasMétodo das Cordas
11,04906076
)5,191,03654750(31,52537944
00,0411853691,03654750
).()()(
)(
91,03654750
4
4
33
334
3
x
x
cxcfxf
xfxx
x
Iteração k=3
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Método das CordasMétodo das Cordas
Iteração k=3
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Método das CordasMétodo das Cordas
81,05267360
)5,111,04906076(71,49618122
40,0119871411,04906076
).()()(
)(
11,04906076
5
5
44
445
4
x
x
cxcfxf
xfxx
x
Iteração k=4
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Método das CordasMétodo das Cordas
Iteração k=4
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Método das CordasMétodo das Cordas
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