Konsep Peluang

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Dept. Statistika IPB, 2015

1

THE ROLE OF PROBABILITYIN STATISTICS

• Probability and statistics are related in an

important way.

• Probability is used as a tool; it allows you

to evaluate the reliability of your

conclusions about the population when

you have only sample information.

2

Pendahuluan

• Suatu fenomena dikatakan “acak” (random) jikahasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti

• Fenomena “acak” sering mengikuti suatu polatertentu

• Keteraturan “acak” dalam jangka panjang dapatdidekati secara matematika

• Studi matematika mengenai “keacakan” TEORI PELUANG – peluang merupakan suatu bentukmatematika dari sifat acak tersebut

3

Teori Peluang• Ada dua tipe percobaan:

Deterministik :

Suatu percobaan yang menghasilkan output yang sama

Probabilistik : Hasil dari percobaan bisasembarang kemungkinanhasil yang ada

We are waiting the bus

Lama menunggu sampai bus datang

4

• Bagaimana menghitung banyaknyakemungkinan?

perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI

dapat dihitung peluang kejadian dari suatupercobaan

5

Ruang Contoh (Sample Space)

• Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

–Notasi dari ruang contoh adalah sebagaiberikut:

• S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknyahasil

• n bisa terhingga atau tak terhingga

6

Ilustrasi (1)

• Pelemparan sebutir dadu yang seimbang

•

• Pelemparan coin setimbang

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={1,2,3,4,5,6}

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={G, A}

7

lanjutan…..

• Jenis Kelamin Bayi

• Pelemparan dua keping coin setimbang

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={Laki-laki,Perempuan}

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={GG, GA, AG, AA}

8

Ruang Kejadian (Event Space)

Ruang Kejadian merupakan anak gugus dariruang contoh, yang memiliki karakteristiktertentu.

– Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan hurufkapital E1, E2, dst

9

Ilustrasi (2)

• Percobaan : pelemparan 2 coin setimbangKejadian : munculnya sisi angka

• Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi enamsetimbangKejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu I

E={GA, AG, AA}

E = {(1,1), (1,2), …, (5,6)}

Ruang

Kejadian

10

Bagaimana cara menghitungbanyaknya ruang contoh dan

ruang kejadian?

11

Mengingat kembali apa itu Faktorial

• Jika n adalah bilangan bulat positif, maka

n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1)

n! = n (n-1)!

• Kasus khusus 0! 0! = 1

• Contoh :

• 4! = 4.3.2.1 = 24

• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120

• 6! =6.5! = 720

• 7! =7.6! =

• 10! =……………..12

Penggandaan (1)

– Pengandaan dapat digunakan jika setiapkemungkinan dibentuk dari komponen-komponenyang saling bebas.

n(S) = n1 x n2 x … x n1

n(S) adalah banyaknya elemen pada ruang contoh S

– Contoh

Melempar 3 buah mata uang:

n(S) = 2 x 2 x 2 = 8

Melempar 2 buah dadu

n(S) = 6 x 6 = 3613

Permutasi (2)

–Permutasi merupakan kejadian dimanaSUSUNAN/URUTAN OBJEK yang terpilihDIPERHATIKAN.

–Misalkan memilih orang untuk membentukkepengurusan suatu organisasi, dimana jikaSi A terpilih menempati posisi ketuaberbeda maknanya dengan Si A terpilihmenempati posisi wakil ketua.

14

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapatdirumuskan sebagai berikut:

Lanjutan Permutasi (2)

– Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunanpengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, danBendahara :

)!(

!

rn

nPn

r

Permutasi tingkat 3 dari 5 objek

60!2

!2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!55

3

P

15

Kombinasi (3)

– Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN

– Misalkan memilih sejumlah orang untukmenempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadiperhatian.

16

Lanjutan Kombinasi (3)

– Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untukmasuk ke dalam tim cepat tepat

!)!(

!

rrn

n

r

nCn

r

10!3!2

!3.4.5

!3!2

!5

!3)!35(

!5

3

5

Kombinasi tingkat r dari n unsur/objekdapat dirumuskan sebagai berikut:

Kombinasi 3 dai 5

A B C

A B D

A B E

A C D

A C E

A D E

B C D

B C E

B D E

C D E

17

Ilustrasi (3)• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4

perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari2 orang laki-laki dan seorang perempuan untukmewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk!

404101

4

2

5

x

Solusi : kombinasi dan penggandaan

• Ilustrasi lain: Mendenhall (Example 4.12, 4.14) hlm. 140

18

Definisi Peluang

19

Peluang Klasik

• Pendekatan klasik terhadap penentuan nilaipeluang diberikan dengan menggunakan nilaifrekuensi relatif.

• Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n N kali maka peluang A didefinisikan sebagaiP(A) = n/N

20

Hukum Bilangan Besar

• P(A) m/n

Jika suatu proses atau percobaan diulang sampaibeberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jikakarakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan mendekati peluang dari A

21

Peluang Subyektif

• Berapa peluang hidup di mars?

• Berapa peluang dapat bertahan hidupdalam kondisi dingin?

22

Aksioma Peluang

• Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:1. 0 p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n

2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruangcontoh adalah 1,

3. p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jikaA1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.

1)(1

n

i

ixp

23

Ilustrasi (4):

1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6

jika setiap sisi seimbang maka peluangnya

p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2. Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan kejadianyang diharapkan adalah sisi yang muncul kurangatau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:

A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4

Maka peluang kejadian A adalah:

P(A) = 4/6 = 2/324

Lanjutan Ilustrasi (4)

• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan, akan dipilih suatu tim yang terdiri dari 3 orang. Berapa peluang bahwa tim yang terbentuk terdiridari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan ?

404101

4

2

5

x 84

!6!3

!6.7.8.9

!6!3

!9

3

9

Misalkan A = kejadian terbentuknya timyang terdiri 2 laki-laki dan 1 perempuan

n(A) = n(S) =

21

10

84

40

)(

)()(

Sn

AnAP

25

Hukum Penjumlahan dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B makaP(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)

A B

A BA B

26

Kejadian Saling Bebas(Independent)

• Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

• Peluang dari dua buah kejadian yang salingbebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

27

Kejadian Saling Lepas(Mutually Exclusive)

• Dua kejadian saling lepas apabila dua kejadiantersebut tidak memiliki irisan

• Peluang dari dua buah kejadian yang salinglepas adalah:

P(AB) = 0

28

29

Ilustrasi (5)

Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?

P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

30

Peluang Bersyarat

• Peluang bersyarat adalah peluang suatukejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahuitelah terjadi.

• Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A|B), dimana: P(A|B) = P(AB) / P(B)

• Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,

P(A|B)=P(AB) / P(B)

=P(A).P(B)/P(B)=P(A)

31

Ilustrasi (5):

Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpapemulihan. Berapakah peluang bola keduaberwarna merah jika pada pengambilanpertama diketahui berwarna biru.

32

P(IIM |IB)= P(IIM IB)/P(IB)

= (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4

I

II

3/5

2/4

MIsalkan :

IB = pada pengambilan pertama terambil bola biru

IIM = pada pengambilan kedua terambil bola merah

M

B

33

Ilustrasi Lain

• Mendenhall (Example 4.18) hlm. 148

• Mendenhall (Example 4.21) hlm. 152

34

Teorema Bayes

35

Contoh (6)

Kota Bogor disebut kota hujan karena peluangterjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siapdengan membawa payung (P). Peluang seorangmahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.

Berapa peluang hari akan hujan jika diketahuimahasiswa membawa payung?

36

Misalkan :

H = Bogor hujan, HC = Bogor tidak hujan

P = mahasiswa membawa payung

P(H) = 0.6 P(HC) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8

P(P|HC) = 0.4

Ditanya : P(H|P)

Jawab :

64.0

48.0

16.048.0

48.0

4.04.08.06.0

8.06.0)|(

)|()()|()(

)/()(

)()(

)(

)(

)()|(

xx

xPHP

HPPHPHPPHP

HPPHP

PHPPHP

PHP

PP

PHPPHP

CCC

Teorema Bayes

Sesuai hukum perkalian peluang

37

Teorema Bayes

• Suatu gugus universum disekat menjadi beberapaanak gugus B1, B2, …, Bn dan A suatu kejadian padaU dengan p(B)0 maka,

P(A) = P(Bi)P(A|Bi)

• Peluang Bk bersyarat A, dapat dihitung sebagaiberikut:

P(Bk|A) = P(BkA)/ P(A)

38

• Perhatikan diagram berikut:

– Ruang contoh dipecah menjadikejadian B1, B2,…,Bn salingterpisah

– Disamping itu ada kejadian A, yang dapat terjadi pada kejadianB1, B2,…,Bn. Dengan demikian, A=(AB1) + (AB2) + …. + (ABn)

– Peluang kejadian A adalah: P(A)=P(AB1) + P(AB2) + …. + P(ABn)

– Dengan memanfaatkan sifatpeluang bersyarat, diperolehpeluang Bk bersyarat A adalah:

B1 ………. Bn

Kejadian A

P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/ P(Bi)P(A|Bi)

39

Materi ini bisa di-download di:

kusmans.staff.ipb.ac.id

40

Terima Kasih