metode simpleks simplex method metoda simpleks –membuat salah satu variabel basis menjadi variabel...

28
2/11/2008 1 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 2 Materi Bahasan Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku Pemecahan sistem persamaan linier Prinsip-prinsip metode simpleks

Upload: voque

Post on 11-May-2018

243 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

1

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Metode Simpleks

(Simplex Method)

Kuliah 03

TI2231 Penelitian Operasional I 2

Materi Bahasan

① Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk

baku

② Pemecahan sistem persamaan linier

③ Prinsip-prinsip metode simpleks

Page 2: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

2

TI2231 Penelitian Operasional I 3

① Rumusan Pemrograman Linier

dalam Bentuk Baku

TI2231 Penelitian Operasional I 4

Rumusan Pemrograman Linier dalam

Bentuk Baku

Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

.

.

.

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

x1≥0, x2≥0,…, xn≥0

b1≥0, b2≥0,…, bm≥0

dengan pembatas

Memaksimumkan (Meminimumkan)

Page 3: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

3

TI2231 Penelitian Operasional I 5

Karakteristik Rumusan Bentuk Baku

• Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau

meminimumkan

• Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan

• Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak

negatif

• Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas

adalah tak negatif

TI2231 Penelitian Operasional I 6

Notasi Matriks-Vektor (1)

Z = cxMaks (Min)

Ax = b

x ≥ 0

b ≥ 0

dg pembatas

A : matriks (m x n)

x : vektor kolom (n x 1)

b : vektor kolom (m x 1)

c : vektor baris (1 x n)

Page 4: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

4

TI2231 Penelitian Operasional I 7

Notasi Matriks-Vektor (2)

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

nx

x

x

2

1

x

mb

b

b

2

1

b nccc 21c

TI2231 Penelitian Operasional I 8

Reduksi ke Bentuk Baku

• Metode simpleks untuk memecahkan masalah

PL memerlukan bahwa masalah dinyatakan

dalam bentuk baku.

• Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku

– Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint).

– Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in

sign of variables)

Page 5: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

5

TI2231 Penelitian Operasional I 9

Pembatas Pertidaksamaan (1)

• Karena bentuk baku memerlukan semua

pembatas harus dinyatakan dengan dalam

persamaan, pembatas pertidaksamaan harus

diubah ke persamaan.

• Ini dilakukan dengan penambahan variabel

baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri

dan kanan pada tiap pertidaksamaan.

• Variabel baru tersebut disebut slack variable

TI2231 Penelitian Operasional I 10

Pembatas Pertidaksamaan (2)

2x1 + 5x2 ≥ 18 ⇒ 2x1 + 5x2 – x4 = 18

x4 ≥ 0

x1 + 4x2 10 ⇒ x1 + 4x2 + x3 = 10

x3 ≥ 0

Page 6: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

6

TI2231 Penelitian Operasional I 11

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (1)

• Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel

yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)

• Karena bentuk baku PL memerlukan semua

variabel adalah tak negatif, maka variabel yang

tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua

variabel tak negatif

TI2231 Penelitian Operasional I 12

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (2)

x1 + x5 = 50

x1 ≥ 0

x5 tak dibatasi tanda

x5 = x6 – x7

x1 + x6 – x7 = 50

x1 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0

Page 7: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

7

TI2231 Penelitian Operasional I 13

Definisi Dasar (1)

• Suatu solusi layak (feasible solution) adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b.

• Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis,

S = {x | Ax = b, x ≥ 0}

Jika himpunan layak S adalah kosong maka masalah PL dikatakan tak layak (infeasible)

TI2231 Penelitian Operasional I 14

Definisi Dasar (2)

• Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu

vektor x* yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx*)

lebih besar dari semua solusi layak yang lain.

Secara matematis,

x* adalah optimal x* S dan cx* ≥ cx, x S

• Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL adalah

nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi

optimal. Jika Z* adalah nilai optimal maka Z* = cx*

Page 8: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

8

TI2231 Penelitian Operasional I 15

Definisi Dasar (3)

• Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).

• Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal.

• Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z +, maka PL dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution)

TI2231 Penelitian Operasional I 16

② Pemecahan Sistem Persamaan Linier

Page 9: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

9

TI2231 Penelitian Operasional I 17

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (1)

• Permasalahan matematis utama dalam

pemrograman linier adalah mendapatkan solusi

dari suatu sistem persamaaan linier yang

memaksimumkan atau meminimumkan suatu

fungsi tujuan linier.

• Sistem persamaan linier dapat diselesaikan

dengan menggunakan prosedur klasik Gauss-

Jordan elimination.

TI2231 Penelitian Operasional I 18

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (2)

x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2

x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4

Sistem dengan dua persamaan dengan lima

variabel yang tak diketahui

•Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak

diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai

lebih dari satu solusi.

•Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem

disebut himpunan solusi (solution set)

(S1)

Page 10: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

10

TI2231 Penelitian Operasional I 19

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (3)

• Sistem ekivalen (equivalent system)

– Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika

kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang

sama.

• Metode untuk memecahkan suatu sistem

persamaan adalah mendapatkan suatu sistem

ekivalen yang mudah untuk dipecahkan.

TI2231 Penelitian Operasional I 20

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (4)

• Terdapat dua tipe operasi baris elementer

untuk mendapatkan sistem ekivalen

– Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem

dengan suatu bilangan positif atau negatif.

– Menambahkan ke sebarang persamaan dengan

suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol)

ke sebarang persamaan yang lain.

Page 11: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

11

TI2231 Penelitian Operasional I 21

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5)

x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2

x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2

x1 – x3 – 2x4 – 4x5 = 6

x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2

(S2)

(S3)

x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2

x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4(S1)

TI2231 Penelitian Operasional I 22

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (6)

• Sistem S1, S2 dan S3 adalah ekivalen, yaitu solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain.

• Untuk sistem S3, x4 = x5 = x6 = 0 akan memberikan x1 = 6, x2 = 2.

• Sistem S3 disebut sistem kanonik (canonical system).

• Variabel x1 dan x2 dari sistem kanonik disebut variabel basis (basic variable).

Page 12: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

12

TI2231 Penelitian Operasional I 23

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (7)

• Variabel basis (basic variable)

– Variabel xi dikatakan sebagai variabel basis jika dalam

suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada

persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain.

• Variabel non basis (nonbasic variable)

– Variabel yang bukan variabel basis.

• Operasi pivot (pivot operation)

– Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu

sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk

menghasilkan variabel basis.

TI2231 Penelitian Operasional I 24

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (8)

• Solusi basis (basic solution)

– Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik

dengan menetapkan nilai variabel non basis sama

dengan nol dan memecahkan variabel basis.

• Solusi basis layak (basic feasible solution)

– Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah

tak negatif.

Page 13: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

13

TI2231 Penelitian Operasional I 25

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (9)

• Dengan m pembatas dan n variabel, jumlah

maksimum dari solusi basis bagi PL dalam

bentuk baku adalah terbatas dan diberikan oleh

!!

!

mnm

n

m

n

• Per definisi, setiap solusi basis layak adalah

solusi basis, maka jumlah maksimum solusi

basis layak adalah juga terbatas dengan

hubungan ini.

TI2231 Penelitian Operasional I 26

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (10)

• Dari kesimpulan dengan metode grafis:

– Jika terdapat suatu solusi optimal dari model PL, salah satu

titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi

optimal.

• Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik

pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi

basis layak dari persamaan pembatas.

• Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari model PL

dapat diperoleh hanya dengan memeriksa solusi basis

layaknya.

Page 14: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

14

TI2231 Penelitian Operasional I 27

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (11)

• Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan

masalah PL (yang mempunyai solusi optimal)

dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis

layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan

menentukan solusi basis layak mana yang

memberikan nilai fungsi tujuan terbaik.

• Dengan metode simpleks (simplex method),

pemecahan lebih efisien karena hanya memeriksa

sebagian solusi basis layak.

TI2231 Penelitian Operasional I 28

③ Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Page 15: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

15

TI2231 Penelitian Operasional I 29

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (1)

• Metode simpleks (simplex method), yang dikembangkan oleh G.B. Dantzig, merupakan prosedur iteratif untuk memecahkan masalah PL dengan mengekspresikannya dalam bentuk baku.

• Metode simpleks memerlukan bahwa semua pembatas dinyatakan dalam bentuk sistem kanonik dimana suatu solusi basis layak dapat langsung diperoleh.

TI2231 Penelitian Operasional I 30

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (2)

• Langkah umum:

– Mulai dengan suatu solusi layak basis.

– Perbaiki solusi awal jika mungkin dengan mencari solusi layak basis yang mempunyai nilai fungsi tujuan yang lebih baik.

– Lanjutkan untuk mencari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi, maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal dan metode simpleks berhenti.

Page 16: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

16

TI2231 Penelitian Operasional I 31

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (3)

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2 6

2x1 + x2 8

– x1 + x2 1

x2 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

TI2231 Penelitian Operasional I 32

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (4)

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2 + x3 = 6

2x1 + x2 + x4 = 8

– x1 + x2 + x5 = 1

x2 + x6 = 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0,

Page 17: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

17

TI2231 Penelitian Operasional I 33

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (5)

Variabel basis : x3, x4, x5, x6

Dengan menetapkan x1 = x2 = 0, maka diperoleh

solusi basis :

x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2

Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0

TI2231 Penelitian Operasional I 34

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (6)

Memperbaiki solusi basis layak

• Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x1 = x2 = 0, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 dengan Z= 0, metode simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar.

• Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal.

• Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) dengan nilai Z yang lebih besar.

Page 18: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

18

TI2231 Penelitian Operasional I 35

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (7)

• Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent

basic feasible solution) berbeda dengan solusi

basis layak (basic feasible solution) saat ini

hanya tepat satu variabel basis.

TI2231 Penelitian Operasional I 36

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (8)

• Untuk mendapatkan solusi basis layak tetangga, metoda simpleks

– Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis

– Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

• Permasalahannya adalah memilih solusi basis dan solusi non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan maksimum pada nilai fungsi tujuan.

Page 19: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

19

TI2231 Penelitian Operasional I 37

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (9)

• Dalam solusi basis layak– Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif

– Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol

• Membuat variabel non basis menjadi variabel basis adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif.

• Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z

• Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z.

TI2231 Penelitian Operasional I 38

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (10)

Misalkan variabel non basis x1 dinaikkan 1 unit

x1 + x3 = 6

2x1 + x4 = 8

– x1 + x5 = 1

0x1 + x6 = 2

x1 = 1, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 2, x6 = 2

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x1

Z = 3 – 0 = 3

Page 20: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

20

TI2231 Penelitian Operasional I 39

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (11)

Misalkan variabel non basis x2 dinaikkan 1 unit

2x2 + x3 = 6

x2 + x4 = 8

x2 + x5 = 1

x2 + x6 = 2

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 7, x5 = 0, x6 = 1

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(0)+2(1)+0(4)+0(7)+0(0)+0(1)= 2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x2

Z = 2 – 0 = 2

TI2231 Penelitian Operasional I 40

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (12)

• Karena Z positif untuk x1 dan x2 nilai

fungsi tujuan dapat dinaikkan.

• Karena Z untuk x1 > Z untuk x2 maka

menaikkan x1 lebih baik.

• Sampai seberapa jauh x1 dapat dinaikkan?

• Jika x1 dinaikkan maka nilai variabel basis : x3, x4, x5, x6 akan turun dan nilainya harus tak negatif

agar tetap layak.

Page 21: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

21

TI2231 Penelitian Operasional I 41

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (13)

Batas peningkatan x1:

x1 + x3 = 6 x1 = 6

2x1 + x4 = 8 x1 = 4

– x1 + x5 = 1 x1 =

0x1 + x6 = 2 x1 =

Maksimum peningkatan x1 = minimum (6, 4, , ) = 4

TI2231 Penelitian Operasional I 42

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (14)

x1 dinaikkan ke 4, maka x4 menjadi variabel non basis

x1 = 4, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 6, x5 = 5, x6 = 2 dan Z = 12

Page 22: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

22

TI2231 Penelitian Operasional I 43

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (15)

x1 + 2x2 + x3 = 6

2x1 + x2 + x4 = 8

– x1 + x2 + x5 = 1

x2 + x6 = 2

3/2x2 + x3 –1/2 x4 = 2

x1 + 1/2x2 +1/2x4 = 43/2x2 + 1/2x4 + x5 = 5

x2 + x6 = 2

Variabel basis : x1, x3, x5, x6;

Variabel non basis: x2, x4

TI2231 Penelitian Operasional I 44

(5)

(6)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

AB

C

DE

F

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (16)

Page 23: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

23

TI2231 Penelitian Operasional I 45

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (17)

3/2x2 + x3 = 2

x1 + 1/2x2 = 43/2x2 + x5 = 5

x2 + x6 = 2

Misalkan variabel non basis x2 dinaikkan 1 unit

x1= 7/2, x2 = 1, x3 = 1/2, x4 = 0, x5 = 7/2, x6 = 1

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(7/2)+2(1)+0(1/2)+0(0)+0(7/2)+0(1)= 121/2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x2

Z = 121/2 – 12 = 1/2

TI2231 Penelitian Operasional I 46

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (18)

x3 –1/2 x4 = 2

x1 +1/2x4 = 4

+ 1/2x4 + x5 = 5

0x4 x6 = 2

Misalkan variabel non basis x4 dinaikkan 1 unit

x1= 7/2, x2 = 0, x3 = 5/2, x4 = 1, x5 = 9/2, x6 = 2

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(7/2)+2(0)+0(5/2)+0(1)+0(9/2)+0(2)= 101/2

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x4

Z = 101/2 – 12 = – 3/2

Page 24: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

24

TI2231 Penelitian Operasional I 47

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (19)

• Karena Z positif untuk x2 nilai fungsi

tujuan dapat dinaikkan

• Karena Z negatif untuk x4 nilai fungsi

tujuan tidak dapat dinaikkan

• Sampai seberapa jauh x2 dapat dinaikkan?

• Jika x2 dinaikkan maka nilai variabel basis : x1, x3, x5, x6 akan turun dan nilainya harus tak negatif

agar tetap layak.

TI2231 Penelitian Operasional I 48

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (20)

Batas peningkatan x2:

Maksimum peningkatan x2 = minimum (4/3, 8, 10/3, 2) = 4/3

3/2x2 + x3 = 2 x2 = 4/3

x1 + 1/2x2 = 4 x2 = 83/2x2 + x5 = 5 x2 = 10/3

x2 + x6 = 2 x2 = 2

Page 25: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

25

TI2231 Penelitian Operasional I 49

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (21)

x2 dinaikkan ke 4/3, maka x3 menjadi variabel non basis

x1 = 10/3, x2 = 4/3, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 3, x6 = 2/3 dan Z = 122/3

TI2231 Penelitian Operasional I 50

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (22)

3/2x2 + x3 –1/2 x4 = 2

x1 + 1/2x2 +1/2x4 = 43/2x2 + 1/2x4 + x5 = 5

x2 + x6 = 2

x2 + 2/3x3 – 1/3 x4 = 4/3

x1 – 1/3x3 + 2/3x4 = 10/3

– x3 + x4 + x5 = 3

– 2/3x3 + 1/3x4 + x6 = 2/3

Variabel basis : x1, x2, x5, x6;

Variabel non basis: x3, x4

Page 26: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

26

TI2231 Penelitian Operasional I 51

(5)

(6)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

AB

C

DE

F

TI2231 Penelitian Operasional I 52

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (24)

x2 + 2/3x3 = 4/3

x1 – 1/3x3 = 10/3

– x3 + x5 = 3

– 2/3x3 + x6 = 2/3

Misalkan variabel non basis x3 dinaikkan 1 unit

x1= 11/3, x2 = 2/3, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 4, x6 = 4/3

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(11/3)+2(2/3)+0(1)+0(0)+0(4)+0(4/3)= 121/3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x3

Z = 121/3 – 122/3 = – 1/3

Page 27: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

27

TI2231 Penelitian Operasional I 53

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25)

Misalkan variabel non basis x4 dinaikkan 1 unit

x1= 8/3, x2 = 5/3, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 2, x6 = 1/3

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(8/3)+2(5/3)+0(0)+0(1)+0(2)+0(1/3)= 111/3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x4

Z = 111/3 – 122/3 = – 4/3

x2 – 1/3 x4 = 4/3

x1 + 2/3x4 = 10/3

x4 + x5 = 31/3x4 + x6 = 2/3

TI2231 Penelitian Operasional I 54

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25)

• Karena Z negatif untuk x3 dan x4 nilai

fungsi tujuan tidak dapat dinaikkan

• Karena tidak ada variabel non basis yang dapat

dinaikkan yang dapat memberikan peningkatan

pada nilai fungsi tujuan Z maka solusi saat ini

adalah optimal.

Page 28: Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis

2/11/2008

28

TI2231 Penelitian Operasional I 55

Prinsip-prinsip Metode Simpleks (26)

• Untuk masalah maksimisasi:

– Suatu solusi basis layak adalah optimal jika profit

relatif (Z) dari variabel non basis adalah negatif

atau nol.