Metode Numerik

Moch. Arif Wicaksono SSi. MT.

Mencari akar persamaan

Metode akolade (tertutup) Bisection Method (metoda

bagi dua) Posisi Salah atau palsu

Metode terbuka Iterasi satu titik sederhana Newton Rhapson Secant

Metode Bisection

f(x)

xl

xu

f(xl)

f(xu)

xr

f(xr)

xu = xr

f(xu)

f(xl)*f(xr) < 0 ; xu = xr

xr

f(xr)

f(xl)*f(xr) > 0 ; xl = xr

xl = xr

f(xl)

xr = (xl + xu)/2

sc = |(xr baru – xr lama)/ xr baru) * 100%jika sc < εr maka x dicari adalah xr

jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya

xr

Bisection method

Algoritma:1. Tentukan dua buah tebakan awal xl dan xu

2. Cari nilai tengah antara xl dan xu, dengan rumusan xr = (xl + xu)/23. Hitung f(xl) dan f(xr)4. Jika f(xl) * f(xr) > 0 maka xl baru = xr

5. Jika f(xl) * f(xr) < 0 maka xu baru = xr

6. Ulangi langkah 2 s.d. 57. Bandingkan harga xr yang lama dengan yang baru8. Jika harga perbandingan (harga kesalahan relatif) sudah lebih kecil

dari yang dinginkan maka harga x (akar persamaan dicari) adalah harga xr terakhir

9. Jika belum memenuhi syarat maka ulangi langkah 1 s.d. 6 sampai syarat no. 7 terpenuhi

Posisi salah atau palsu (Regula Falsi)

f(x)

xr = (xu f(xl) - xl f(xu)) / (f(xl)-f(xu))

f(xl)*f(xr) > 0 ; xl = xr

xl

xu

f(xl)

xr

f(xu)

f(xr)

xl = xr

f(xl)

xr

sc = |(xr baru – xr lama)/ xr baru) * 100%jika sc < εr maka x dicari adalah xr

jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya

Posisi salah atau palsu

Cari nilai xr dengan rumus

xr = (xuf(xl)-xlf(xu))/(f(xl)-f(xu))

Selanjutnya gunakan algoritma bisection

Iterasi satu titik sederhana

x0x1 x2x3

f(x)

f(x)

f(x)=0;x=g(x)

sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1

jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya

Iterasi satu titik sederhana

1. Buat fungsi sehingga menjadi f(x)=02. Gunakan aljabar sehingga fungsi menjadi

x = g(x)3. Ubah fungsi di atas menjadi

xi+1 = g(xi)4. Lakukan iterasi pertama dengan harga xi = harga tebakan awal5. Lakukan iterasi kedua dengan menggunakan harga x yang diperoleh dari

iterasi pertama6. Bandingkan hasil yang diperoleh dari iterasi kedua dgn iterasi pertama7. Jika hasilnya masih di atas dari kesalahan relatif yang dikehendaki ulangi

langkah ke 4 s.d. ke 68. Jika hasilnya di bawah kesalahan relatif yg dikehendaki akhiri perhitungan9. Hasil akhir adalah nilai x terakhir yang diperoleh

Newton Rhapson

f(x)

x0

x1

f(x0)

f(x1)

x2

xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi)

f(x2)

sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1

jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya

Newton Rhapson

1. Cari turunan dari f(x)2. Buat tebakan awal xi

3. Cari nilai dari f(xi) dan f’(xi)4. Cari nilai xi+1 dengan rumus sbb:

xi+1 = xi – f(xi)/f’(xi)5. Ulangi langkah 3 dengan harga x yang didapat pada iterasi

pertama6. Bandingkan nilai x terakhir dengan x sebelumnya7. Jika kesalahan relatif lebih besar dari yang dikehendaki, ulangi

langkah 3 s.d. 68. Jika kesalahan relatif sudah lebih kecil dari yang dikehendaki

berhenti menghitung9. Nilai x yang dicari adalah nilai x yang terakhir

Secant

f(x)

x -1

x0

f(x -1)

f(x0)

x1

f(x1)

x2

xi+1=xi – (f(xi)(xi – xi-1))/(f(xi) – f(xi-1))

sc = |(xi+1 – xi)/ xi+1) * 100%jika sc < εr maka x dicari adalah xi+1

jika sc > εr maka ulangi langkah sebelumnya

Secant

1. Tentukan nilai xi dan xi-1

2. cari nilai f(xi) dan f(xi-1)

3. Cari nilai xi+1 dengan rumus sbb:

xi+1=xi – (f(xi)(xi – xi-1))/(f(xi) – f(xi-1))

4. Lakukan langkah langkah seperti metode newton rhapson (5 s.d. 9)