Pertemuan 7 – Aljabar Linear & Matriks

1

Metode invers matriks untuk menyelesaikan persamaan linier

Matriks Non-invertible (Singular)

• Matriks yang tidak mempunyai invers atau tidak invertible (singular)

juga dapat diketahui jika pada saat dikenai operasi elementer baris

maka dapat menghasilkan baris atau kolom yang semua elemennya

nol.

• Misalnya matriks A berikut ini:

Jika pada matriks tsb dikenakan operasi baris elementer dalam

usaha untuk mencari inversnya, maka akan diperoleh:

2

521

142

461

A

Perhatikan bahwa semua elemen baris ke-3 bernilai nol

Ini berarti bahwa matriks A merupakan matriks singular

(tidak mempunyai invers)

3

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

• Jika A adalah matriks nxn yang invertible, untuk setiap matriks b

dengan ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b

mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu

x = A-1 b

• Contoh

Selesaikan sistem persamaan linier berikut menggunakan metode

invers matriks.

4

Dalam bentuk matriks Ax = b maka dari sistem persamaan linier

tsb diperoleh:

Invers matriks A (sesuai yang telah diperoleh pada contoh yang

sebelumnya) adalah:

maka dengan menggunakan invers matriks A dapat diperoleh:

5

Sehingga x1 = 1, x2 = -1, dan x3 = 2

Teorema

Jika Ax1 = b1, Ax2 = b2, Ax3 = b3, …, Axk = bk maka

x1 = A-1 b1, x2 = A-1 b2, x3= A-1 b3, …, xk = A-1 bk

Sejumlah sistem persamaan linier yang seperti itu dapat dinyatakan

Dalam bentuk matriks augmentasi sebagai berikut:

[ A | b1 | b2 | … |bk ]

6

Contoh:

Selesaikan dua sistem persamaan linier berikut:

Penyelesaian:

Matriks augmentasi yang dapat diperoleh dari soal adalah sbb:

operasi elementer baris

Berapa harga-harga x untuk masing-masing sistem persamaan?

Coba selesaikan menggunakan invers matriks A!

7

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah sebuah matriks bujursangkar dimana semua

elemen selain pada diagonal utama bernilai nol. Secara umum dapat

dinyatakan sebagai:

Contoh:

8

• Invers matriks diagonal

Matriks diagonal invertible jika dan hanya jika semua elemen

diagonalnya tidak sama dengan nol, dan jika demikian maka

inversnya adalah:

• Perpangkatan matriks diagonal

Perpangkatan matriks diagonal dengan suatu bilangan bulat k

didefinisikan sebagai:

9

• Perkalian dengan matriks diagonal

Perkalian dengan matriks diagonal sangat mudah untuk dihitung.

Ilustrasi:

10

Matriks Segitiga

• Matriks bujursangkar dimana semua elemen di atas diagonal utama

bernilai nol disebut matriks segitiga bawah.

• Matriks bujursangkar dimana semua elemen di bawah diagonal

utama bernilai nol disebut matriks segitiga atas.

11

Sifat-sifat matriks segitiga:

• Transpose matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas.

Demikian pula sebaliknya.

• Hasil kali dengan matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

• Hasil kali dengan matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga

bawah.

• Sebuah matriks segitiga dapat diinverskan jika dan hanya jika semua

elemen diagonalnya tidak sama dengan nol.

• Invers matriks segitiga atas juga berbentuk matriks segitiga atas.

• Invers matriks segitiga bawah juga berbentuk matriks segitiga bawah.

12

Contoh:

13

Matriks Simetris

Sebuah matriks bujursangkar A disebut simetris jika AT = A.

Contoh:

14

3

2

1

00

00

00

705

034

541

53

37

d

d

d

Quiz 30 Minutes

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode invers matriks.

a.

b.

c.

15

Referensi

• Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984.

• Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005.

• AljabarLinier, Yuliant Sibaroni,2002

Peraturan UTS Aljabar Linier & Matriks

17

• Sifat ujian: close book, close device elektronik, close internet.

• Again: dilarang menggunakan hp saat ujian berlangsung.

• Tidak ada ujian susulan kecuali alasan yang sifatnya darurat (harus memberitahukan pada jam dan hari saat ujian berlangsung).