METODA KONAČNIH ELEMENATA Tabela 1.1. Fizičke osobine koje karakterišu različite inženjerske sisteme [2]

Vrsta problema Primjeri parametara koji karakterišu sistem

Primjeri mehanike čvrstog tijela

rešetka

modul elastičnosti, E

elastična ploča

modul elastičnosti, E

greda

modul elastičnosti, E; moment inercije poprečnog presjeka I

osovina

modul krutosti, G; polarni moment inercije poprečnog presjeka, J

Opterećenje

E

E Opterećenje

Opterećenje

E, I

Obrtni moment

G, J

1

Primjer prenosa topline

koeficijent prolaza topline, k

Primjer protoka fluida

cjevovodi

viskozitet, ν

Tabela 1.2. Parametri koji utiču na razne inženjerske sisteme [2]

Vrsta problema Primjeri parametara koji utiču na sistem Mehanika čvrstog tijela vanjske sile i momenti Prenos topline temperaturna razlika; utrošak topline Protok fluida i cjevovodi razlika pritiska; brzina protoka 1.2. Numeričke metode Suština aproksimacije kontinuuma po metodi konačnih elemenata, sastoji se u sljedećem [1]:

1. Razmatrani domen kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površi, dijeli se na određeni broj poddomena konačnih dimenzija. Pojedini poddomeni se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cio domen sistem ili mreža konačnih elemenata.

2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju čvorne tačke ili čvorovi,

3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomjeranja, deformacija, naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih funkcija i konačnog broja parametra u čvorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veličine u metodi konačnih elemenata.

Poznate su dvije klase numeričkih metoda: (1) metoda konačnih razlika i (2) metoda konačnih elemenata.

visoka temp.

k toplinski

tok niska temp.

zid

visoki pritisak

niski pritisak

2

Tabela 1.3. Primjeri mogućnosti ANSYS softwarea [2,8]

Prenos topline u V6 motoru, korišten u automobilima s pogonom na prednje točkove, je analiziran pomoću ANSYS softwarea. Analizu s ciljem poboljšanja osobina proizvoda je obavila firma Analysis & Design Appl.Co.Ltd. (ADAPCO) za potrebe američkog proizvođača automobila. Na slici su prikazane konture toplotnog napona u bloku motora.

Mogućnosti otkrivanja velikih pomaka pomoću ANSYS-a su iskoristili inženjeri u firmi za proizvodnju igračaka, Today’s Kids, kako bi utvrdili kritična mjesta na preopterećenom dječijem toboganu prikazanom na gornjoj slici. Ova mogućnost nelinearne analize je potrebna za otkrivanje napona zbog strukturnog ponašanja proizvoda.

Elektromagnete mogućnosti ANSYS-a, koje obuhvataju vektorske i skalarne potencijale međusobno vezane preko specijalnih elemenata, kao i trodimenzionalno grafičko prikazivanje rasipanja el.mag. polja pomoću beskonačnih graničnih elemenata su dati u analizi ploče na gornjoj slici.

Korporacija za strukturnu analizu je koristila ANSYS da odredi frekvenciju rotora kod sklopa disk kočnice. U ovoj analizi je pronađeno da postoji 50 oblika vibracije u rotoru kočnice kamioneta.

3

1.4. Osnovni koraci u MKE Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po metodi konačnih elemenata uvijek se svode na tzv. proces korak po korak (Step by step process). Osnovni koraci svake analize konačnih elemenata se sastoje od sljedećeg [2]: Pretprocesna faza

1. Diskretizacija kontinuuma - stvoriti i diskretizirati domen rješenja u konačne elemente, odnosno podijeliti problem u čvorišta i elemente.

2. Izbor interpolacionih funkcija - pretpostaviti oblik funkcije koji predstavlja fizičko ponašanje elementa, odnosno pretpostavi se aproksimativna funkcija kontinuiteta za predstavljanje rješenja elementa.

3. Sračunavanje karakteristika elementa - razviti jednačinu elementa. 4. Formiranje jednačina za mrežu konačnih elemenata - spojiti elemente tako da

predstavljaju cjelokupan problem. Formirati globalnu matricu krutosti. 5. Primjeniti granične uslove, početne uslove i opterećenje.

Faza rješavanja

6. Rješavanje sistema jednačina - riješiti skup linearnih ili nelinearnih algebarskih jednačina kako bi se dobila rješenja u čvorovima, npr. vrijednosti pomijeranja u različitim čvorovima.

Postprocesna faza

7. Proračun potrebnih uticaja - pribaviti ostale važne informacije, kao npr. vrijednosti glavnih napona.

4

ANALIZA MAŠINSKIH ELEMENATA 2.1.1. Veze deformacije – pomjeranja Veza između komponenata tenzora deformacije i komponenata vektora pomjeranja date su izrazima [1]:

5

(ij u=ε21 )i,jj,i u+ (2.8)

odnosno: ( )xyxy ,v,u +=ε

21

x,u=ε xx ( )yzyz ,w,v +=ε

21

yyy ,v=ε

( )xzxz ,w,u +=ε21

zzz ,w=ε

xuu,x ∂

∂=gdje indeks iza zareza uz osnovnu oznaku znači diferenciranje, npr. . Zavisnost (2.8), s obzirom na (2.3) i (2.4), mogu se prikazati u matričnom obliku ε = L u (2.9) gdje je: L - matrica operator u – vektor pomjeranja

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢ ∂∂

=L⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

x0zyz0

0xyz00

0y000x

(2.10) Pored tenzora deformacije εij uvodi se i tenzor rotacije ωij:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωωωωωω

=ω0

00

2321

1312

ij

3231čije su komponente date u zavisnosti od pomjeranja:

( )i,jj,i uu −21

ij =ω (2.11) Pošto je ωij kososimetričan tenzor (ωij = -ωji), on se može prikazati kao vektor koji ima samo tri komponente

( )jirijr =ω 1 (2.12)

e ω2

erij – pseudo tenzor čije su komponente +1, za slučaj parnih, odnosno –1 neparnih permutacija brojeva 1, 2, 3 koje uzimaju indeksi r, i, j.

2.1.2. Uslovi kompatibilnosti deformacija Komponente tenzora deformacije nisu međusobno zavisne, već moraju ispunjavati uslove kompatibilnosti Saint-Venant-a [1]: εil, jk + εjk, il - εik, jl - εjl, ik = 0 (2.13) Matrični oblik uslova kompatibilnosti L1 ε = 0 (2.14) gdje je L1 – matrica operator:

⎥⎥⎥⎥

6

⎥⎢⎢

∂∂∂−∂∂∂∂∂∂∂∂∂−∂∂

=yxxz0zyzx200z

22221L⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂

∂∂−∂∂

∂∂∂−∂∂∂∂∂∂∂−∂∂∂∂

zyzxzyx00yyxyz0zx0

x00x

0zy20yz000yx20xy

22222

22222

2

22222

22222

22222 (2.15) 2.1.3. Uslovi ravnoteže Uslovi ravnoteže vanjskih i unutrašnjih sila koji se uspostavljaju na elementu diferencijalno malih dimenzija, sl. 3.1, su dati izrazom: σij, j + Fi = 0 (2.16) odnosno u matričnom obliku L2 σ + F = 0 (2.17) gdje je L2 matrica operator:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢

= 00L (2.18)

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xy0

z00

zx0

y

z0

y00

x

2

Na osnovu poređenja (3.10) i (3.18) slijedi:

L2 = LT (2.19) Indeks T označava traspoziciju matrice. Uslovi ravnoteže između unutrašnjih i spoljašnjih sila, na dijelu konture gdje su konturni uslovi zadati po silama, dati su jednačinama Cauchy-a: σij λj = pi (2.20) odnosno: σxx l + σxy m + σxz n = px σyx l + σyy m + σyz n = py σzx l + σzy m + σzz n = pz gdje su: λj (l, m, n) kosinusi uglova koje normala n u tačkama konturne površi zaklapa sa osama x, y, z. Jednačine (2.20) mogu da se prikažu kao: Gσ - p = 0 (2.21) gdje je G matrica čiji su elementi kosinusi uglova

7

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

lnl

l

m0n0000mn0m00

⎢⎢= 0G (2.22)

Ako se uporede izrazi (2.18) i (2.22) lako je uočiti da se matrica G može dobiti preko matrice L2 ako se na mjesto simbola za diferencijale po koordinatima stave kosinusi uglova normale sa odgovarajućim koordinatnim osama.

ww

~u~u

=

=Na dijelu konture Su, geometrijski konturni uslovi su:

~vv = (2.23)

uu ~= u~ili kraće kao: , gdje je - vektor zadanih pomjeranja.

2.1.4. Veze između napona i deformacija Jednačine koje predstavljaju konstitutivne veze komponenata napona i deformacija za elastičan materijal u opštem obliku su [1]: σij = Dijkl εkl (2.24) Ovaj izraz predstavlja generalizaciju Hook-ovog zakona. Napisan u matričnom obliku će biti: σ = D ε (2.25)

gdje je: D simetrična matrica koju nazivamo matrica krutosti materijala. Ova matrica ima 36 koeficijenta, a s obzirom na simetriju, samo je 21 koeficijent međusobno različit:

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

5655

464544

3433

2625242322

161514131211

d.simetrdd

dddddddddddddddd

⎥⎢= 3635

ddD (2.26)

Inverzni oblik (2.25) ε = D-1 σ = C σ (2.27) gdje je: C – matrica fleksibilnosti. Za tijela sa ortotropnim osobinama, tj. osobinom simetrije u odnosu na tri međusobno normalne ravni, broj međusobno različitih koeficijenata u matrici D svodi se na devet, pa imamo:

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

33

2322

131211

d.simetr0d00d

0d000dd000ddd

⎥⎥

⎢⎢

=00

D (2.28)

U slučaju homogenih izotropnih elastičnih tijela elementi matrice D i C mogu da se prikažu pomoću Lame-ovih koeficijenata λ i μ:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

μμ

μμ+λ

λμ+λλλμ+λ

.simetr000

200020002

⎥⎢=

000D (2.29)

8

ili Young-ovim modulom elastičnosti E i Poisson-ovim koeficijentom ν:

( )

( )

( )

9

( )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

ν−

νν−ν−

ν−ν−ν−

ν+

1.simetr01001

21

000221

12212121

12

⎢νν− 2 ⎤ν 0002⎡ 12

⎥⎥

ν−ν−

= 0001221ED (2.30)

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢

=0001C

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

ν+ν+

ν+

ν−ν−ν−

12.simetr0120012

100010001

E

(2.31) Poznate veze između koeficijenata su:

( )ν+12

( )

==μ EG

μ+λμ+λμ= 3E ( )

2μ+λ

λ=ν2 (2.33)

∫∫∫ δ=δ+δ=Λ TTT dvdsdv σεpuFc (2.48)

VSV

gdje je komplementarni rad izražen preko spoljašnjih odnosno unutrašnjih sila.

u

uSV

) (2.32)

( )( ν−ν+ν=λ

211E

ili:

odnosno u matričnom obliku

Ako se pretpostavi da je varijacija zapreminskih sila (δF = 0), a s obzirom da je δp = 0 na dijelu konture gdje su konturni uslovi zadati po silama, jednačina (2.47) postaje

0=δ−δ ∫∫ TT dsdv puσε (2.49)

i sa pomoćnim jednačinama: (δσij),j = 0 u D (2.50) δpi = 0 na Sσ definiše princip komplementarnog rada.

Na sl. 2.2. data je geometrijska interpretacija za deformacioni rad Λ(ε) i komplementarni rad Λc(δ).

Slika 2.2. Prikaz deformacionog Λ(ε) i komplementarnog Λc(δ) rada [1]

10

5. MODELIRANJE KONZOLNOG NOSAČA I PLOČE SA OTVOROM U ovom poglavlju ćemo izvršiti analizu zakrivljene konzole primjenom programa za modeliranje metodom konačnih elemenata, ANSYS. Prije izrade zadatka razmotrićemo neke osnovne koncepte ANSYS programa. ANSYS je sveopšti paket modeliranja metodom konačnih elemenata za numeričko rješavanje širokog spektra mehaničkih problema [8]. Ovi problemi obuhvataju: statičke/dinamičke strukturne analize (linearne i nelinearne), probleme prenosa topline i fluida, kao i akustični i eletromagnetni problemi. Program je organiziran u dva nivoa [2]: (1) Početni nivo (Begin level) i (2) Procesorski nivo (Processor level). Početni nivo služi za ulazak/izlazak u/iz ANSYS procesora, sl. 5.1.

Ulaz Izlaz

POČETNI NIVO

Slika 5.1. Organizacija ANSYS programa [2] Uopšte, rješavanje metodom konačnih elemenata se može podijeliti u sljedeće tri faze [8]:

1. Pretprocesiranje: definisanje problema (PREP7), osnovni koraci pretprocesiranja su sljedeći:

- definisanje ključnih tačaka/linija/površina/zapremina - definisanje vrste elementa i osobina materijala, kao i

geometrijske osobine - izrada mreže linija/površina/zapremina

Broj potrebnih detalja će zavisiti od vrste analize (tj. 1D, 2D, 3D). 2. Rješenje: postavljanje opterećenja, ograničenja i rješavanje (SOLUTION); u

ovoj fazi zadajemo opterećenja (koncentrisano ili kontinualno), ograničenja (translaciona i rotaciona) i na kraju rješavamo dobiveni skup jednačina.

3. Postprocesiranje: dodatno procesiranje i pregled rezultata (POST1 ili POST26); u ovoj fazi može se vidjeti:

- lista čvornih pomjeranja - sile i momenti elementa - prikaz deformacija/ugiba - dijagram napona

PROCESORSKI NIVO

PREP7 SOLUTION POST1 POST26 Opšti

pretprocesor Opšti

postprocesor Vremenski-Historijski

postprocesor

Procesor Itd.

11

5.1. Opis problema Problem koji ćemo modelirati u ovom primjeru jeste konzolni nosač izrađen iz čelične ploče prikazan na sljedećoj slici, sl. 5.2. Potrebno je odrediti pomjeranja, kao i mjesta koncentracije napona nosača.

Slika 5.2. Opterećeni konzolni nosač Nosač je učvršćen za dva manja otvora na lijevoj strani i opterećen na većem otvoru koncentrisanom silom F = 1000 N. Pri svakom ispitivanju nove vrste analize, potrebno nam je nešto (tj. analitičko rješenje ili eksperimentalni podatak) sa čime možemo usporediti dobivene rezultate. Na ovaj način možemo biti sigurni da smo dobili ispravnu vrstu analize, jedinice, faktor razmjere, itd. Pojednostavljena verzija, koja će se koristiti za ovaj problem, jeste ravna pravougaona ploča sa otvorom, prikazana na sljedećoj slici, sl. 5.3.:

Slika 5.3. Opterećena pravougaona ploča sa otvorom

12

5.2. Dvodimenzionalni elementi 5.2.1. Pravougaoni elementi

Slika 5.4. Opisivanje dvodimenzionalne temp. raspodjele pomoću pravougaonih elemenata [2]

x, y lokalni koord. sistem X, Y globalni koord. sistem

Slika 5.5. Tipični pravougaoni element [2]

T Tn Tm Ti

Tj

X

Y

baza i j

n m

Tn

Ti T Tj Tm

y

m n

w Y x

i j

X

l

13

6.1.3.1. Konvergencija u ANSYS programu U ovom stadiju potrebno je pronaći da li je konačni rezultat konvergirao ili ne. To ćemo postići promatrajući otklon i napon u određenim čvorovima pri promjeni veličine elementa mreže. Izvršićemo provjeru napona u tački u kojoj smo analitički dobili njegovu maksimalnu vrijednost – vrh otvora. Najprije trebamo naći broj čvora na vrhu otvora u ploči, a to ćemo učiniti tako što ćemo prikazati i numerisati sve čvorove ploče, kao na sl. 6.3.a.

Slika 6.3.a. Numerisani čvorovi modela Traženi čvor je numerisan brojem 49 i označen crvenim kvadratom, sl. 6.3.b.

Slika 6.3.b. Čvor u kojem se pretpostavlja maksimalni napon

14

Na osnovu ispisa vrijednosti komponentnih napona u čvorovima, sl. 6.4.a i sl. 6.4.b, gdje su po kolonama:

- NODE, broj čvora, - S1, naponi u pravcu x-ose, - S2, naponi u pravcu y-ose, - S3, naponi u pravcu z-ose, - SINT, ukupni intenzitet napona, - SEQV, ekvivalentni/von Mises napon,

vidimo da je maksimalna vrijednost (MAXIMUM VALUES) napona upravo u pretpostavljenom čvoru br. 49, koji se nalazi na vrhu otvora, i iznosi SMX = 3.0530MPa.

Slika 6.4.a. Ispis vrijednosti napona u čvorovima

15

Slika 6.4.b. Ispis vrijednosti napona u čvorovima (nastavak)

Pošto se u zadatku tražilo da se odrede i pomjeranja, to ćemo pretpostaviti da se njihova maksimalna vrijednost nalazi u središtu desnog kraja ploče, sl. 6.5.

Slika 6.5. Numerisani čvorovi s označenim čvorom u kojem se pretpostavlja maksimalno pomjeranje

16

Ispisom rezultata, sl. 6.6.a i sl. 6.6.b, gdje su po kolonama: - UX, pomjeranja u pravcu X-ose, - UY, pomjeranja u pravcu Y-ose, - UZ, pomjeranja u pravcu Z-ose, - USUM, ukupno pomjeranje,

potvrđeno je da se max. vrijednost (MAXIMUM ABSOLUTE VALUES) pomjeranja nalazi u čvoru br. 22 i iznosi DMX = 0.0012257 mm.

Slika 6.6.a. Ispis vrijednosti pomjeranja u čvorovima

Slika 6.6.b. Ispis vrijednosti pomjeranja u čvorovima (nastavak)

17

Pošto smo dobili maksimalne vrijednosti napona 3.0530 MPa, odnosno pomjeranja .0012257 mm, pokušaćemo koristiti manje elemente da bismo dobili tačnije rješenje. Te nove vrijednosti napona i pomjeranja ćemo prikazati grafički, sl. 6.7.

B

C

A

D

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

50 100 150 200 250 300

Broj elemenata

Nap

on (M

Pa)

0,001215

0,001220

0,001225

0,001230

0,001235

0,001240

0,001245

Pom

jera

nje

(mm

)

Slika 6.7. Konvergiranje napona i pomjeranja sa povećanjem broja elemenata

Slika 6.8.a. Deformisani i nedeformisani oblik modela Sa slike vidimo da je najveća deformacija tijela oko otvora u ploči i iznosi DMX = 0.00124 mm. Slika 6.8.b. daje uvećani prikaz deformisanog i nedeformisanog (isprekidane linije) oblika otvora.

18

Slika 6.8.b. Deformacija otvora ploče

Slika 6.9. Pomjeranja modela

19

Na prethodnoj slici možemo, na osnovu dijagrama i spektra boja, primjetiti da su svi translacioni stepeni slobode jednaki nula na lijevom kraju ploče, dok se max. pomak dat crvenom bojom nalazi na desnoj strani.

Slika 6.10.a. Raspored napona modela Upravo kako smo i pretpostavili, maksimalna vrijednost napona (SMX = 3.894 MPa) se nalazi na gornjem i donjem vrhu otvora, što je prikazano crvenom bojom, sl.6.10.a i sl. 6.10.b. Minimalna vrijednost napona je označena sa SMN = 0.31619 MPa i nalazi se sa lijeve strane otvora.

Slika 6.10.b. Uvećan prikaz napona oko otvora ploče

20

6.2. Model konzolnog nosača debljina = 20 mm

modul elastičnosti, E = 200 GPa

Poisson-ov koef., ν = 0.3

150

80

60

100

60

20

R20

Slika 6.11. Dimenzije konzolnog nosača

21

Nakon ovih podataka izrađuje se mreža od 289 elemenata čime bi se dobila sljedeća slika, sl. 6.12.

Slika 6.12. Izgled nosača nakon generiranja mreže Faza rješavanja: Ova faza obuhvata zadavanje ograničenja stepena slobode u otvorima manjeg prečnika (plavi trokutovi) i postavljanje vertikalne sile od F = 1000 N u pravcu Y-ose na dno većeg otvora (crvena strelica), sl. 6.13. Radi boljeg uočavanja ograničenja i sile generirana mreža je prikazana pomoću čvorova u vidu bijelih tačaka.

Slika 6.13. Izgled nosača nakon zadavanja ograničenja i opterećenja

22

U cilju analiziranja na slici 6.14. dati su uvećano numerisani čvorovi na dnu većeg otvora nosača gdje se usljed djelovanja sile (crvena strelica) očekuju koncentracija napona i maksimalna pomjeranja.

Slika 6.14. Numerisani čvorovi na dnu otvora nosača Postprocesiranje - pregled rezultata: Da bi se potvrdile iznešene pretpostavke, izvršićemo ispis maksimalnih vrijednosti rezultata napona i pomjeranja. Na temelju rezultata uočava se da se maksimalni napon nalazi u čvoru br. 164 i iznosi SMX = 12.104 MPa, sl. 6.15.

Slika 6.15. Ispis maksimalne vrijednosti napona i broja čvora u kojem se nalazi Isto tako, dobiva se broj čvora 8 u kojem vrijednost pomaka dostiže maksimalnu vrijednost, DMX = 0.0035469 mm, sl. 6.16.

Slika 6.16. Ispis maksimalne vrijednosti pomaka i broja čvora u kojem se nalazi Preostaje da se još grafički prikažu traženi rezultati analize modela nosača metodom konačnih elemenata:

- deformacije, sl. 6.17, - pomjeranja, sl. 6.18, i - naponi, sl. 6.19.a i sl. 6.19.b.

23

Na sljedećoj slici, sl. 6.17., upoređen je deformisani i nedeformisani oblik (prikazan isprekidanom linijom) i data vrijednost maksimalnog pomjeranja (DMX = 0.003547 mm). Također, model pokazuje da mreža elemenata nije deformisana oko otvora manjeg promjera zbog zadanog ograničenja u slobodi kretanja.

Slika 6.17. Deformisani i nedeformisani oblik nosača

Plastičan prikaz vrijednosti pomjeranja dat je na slici 6.18., krećući se od nulte vrijednosti na lijevoj strani nosača i oko manjih otvora – oznaka MN na plavoj podlozi, do maksimalne (DMX = 0.003547 mm) na desnom donjem zaobljenju nosača – oznaka MX na crvenoj podlozi.

Slika 6.18. Prikaz pomjeranja modela

24

Vrijednosti napona na našem modelu možemo vizuelno odrediti sa slike 6.19.a na osnovu dijagrama boja. Ukoliko je potrebno odrediti tačne vrijednosti napona na pojedinim mjestima modela, tada jednostavno vršimo ispis svih čvorova sa njihovim odgovarajućim naponima. Maksimalna vrijednost napona iznosi SMX = 12.104 MPa, minimalna SMN = 0.054325 MPa, a njihovi položaji na slici modela su označi sa MX, odnosno MN, respektivno. Uvećan prikaz dna većeg otvora, gdje je i koncentrisan napon usljed djelovanja sile, dat je na slici 6.19.b.

25

Slika 6.19.a. Raspored napona nosača

Slika 6.19.b. Uvećani prikaz položaja max. napona MX na dnu većeg otvora nosača