metoda backtracking

METODA BACKTRACKING

1.PROBLEME

1. Problema reginelorSă se determine toate posibilităţile de aranjare a n regine pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât reginele să nu se atace reciproc. Regina atacă piesele aflate pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală.

o Recursiv

type vector=array [1..30] of integer;

var x: vector;

n: integer;

procedure solutie;

var i,j : integer;

begin writeln

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

if x[i]=j then write (‘*’)

else write (‘_’);

writeln;

end;

end;

function continuare (k:integer):boolean;

var i:integer;

ok:boolean;

begin

ok:=true;

for i:=1 to k-1 do

if (x[k]=x[i]) or ( abs(x[k] – x[i]) = (k-1)) then ok:=false

continuare:=ok;

end;

procedure back(k:integer);

var i: integer;

begin

if (k=n+1) then solutie

else

begin

for i:=1 to n do

begin

x[k]:=i;

if continuare(k) then back (k+1);

end;

end;

end;

begin

write(‘n=‘); readln(n);

back(1); readln;

end;.

o Iterativ

var solutie: array [1..9] of integer;

n:integer;

function valid (k: integer): boolean;

var i: integer;

begin

valid:=true;

for i:= 1 to k-1 do

if (sol [k] = sol [i]) or (abs(sol [k] – sol [i])=abs(k-1)) then valid:=false

end;

procedure back(k:integer);

var i:integer;

begin

if k=n+1 then begin

for i:=1 to n do

write (sol [i]);writeln;

end

else begin

sol[k]:=0;

while sol [k] < n do

begin

sol [k] :=sol [k] +1;

if valid (k) then back (k+1)

end;

end;

end;

begin

write(‘n’); readln(n);

back(1)

end.

2.Plata unei sume cu bancnote de valori dateSe dau suma S şi n tipuri de bancnote având valori a1,a2,…,an lei. Se cer toate modalităţile de plată a sumei S utilizând aceste bancnote. Se presupune că se dispune de un număr suficient din fiecare tip de bancnotă.

o Recursiv

const=7;

const a: array[1..n] of integer=(1,5,10,50,100,200,500);

type vector= array [1..n] of integer;

var x:integer;

suma, s: integer;

procedure solutie;

var i: integer;

begin

for i:=1 to n do

if x[i] >0 then write (x[i], ‘bacnote de’, a [i], ‘lei’);

writeln (‘============‘);

end;

function continuare (k:integer): boolean;

begin

continuare:=(x [k]* a [k] + s < suma) and (k<=n);

end;

procedure back (k:integer): integer;

begin

if ( s= suma) then solutie

else begin

x[k]:=1;

while continuare(k) do

begin

x[k]:=x [k]+1

s:=s+x[k]*a[k];

back(k+1);

s:=s-x [k] *a [k];

end;

end;

end;

begin

write (‘suma=‘); readln (suma);

back(1);

readln(1);

end.

3.Problema colorării hărţilorFiind data o hartă cu n ţări, se cere toate soluţiile de colorare a hărţii, utilizând cel mult 4 culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorate diferit.

o Recursiv

const c: array [1..4] of char= (‘G’,’R’,’A’,’V’);


matrice=array [1..50,1..50] of integer;

var a:matrice; x:vector; n:integer;

procedure citire (var n: integer; var a:matrice);

var i,j:integer;

begin

write(‘n=‘);readln(n);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

write (‘a[‘, i, ‘,’ , j, ‘]=‘); readln (a[i,j] )

end;

end;

procedure solutie;

var i: integer;

begin

for i:=1 to n do

writeln (‘tara’, I, ‘:’, c [x [i]]);

end;

funtion continuare (k: integer): boolean;

var i: integer;

begin

continuare:= true;

for i:=1 to k-1 do

if (a[i,k]=1) and (x[i]=x [k]) then continuare :=false’

end;

procedure back (k:integer);

var i:integer;

begin


else for i:= 1 to 4 do

begin

x[k]:=1;

if continuare (k) then back (k+1);

end;

end;

begin

citire (n,a);

back(1);

end;.

4.Săritura caluluiSe consideră o tablă de şah nxn şi un cal plasa tî ncolţul din stânga, sus. Se cere să se afişeze un drum al calului pe table de şah, astfel încât să treacă o singură dată prin fiecare pătrat al tablei.

o Recursiv


matrice=array [1..20,1..20] of integer;

coust dx:array [1..8] of integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2);

dy:array[1..8] of integer=(-1,-2,-2,-1,1,2,2,1);

var a:matrice; x,y: vector; n:integer;

procedure solutie

var i,j: integer;

begin writeln

for i:=1 to n do

begin

for i:=1 to n do

write (a[I,j], ‘ ‘); writeln;

end;

end;

function continuare (k:integer):boolean;

var ok: boolean;

begin

ok::=true;

if (x [k]<1) or (x [k]>n) or (y [k]<1) or (y [k]k>n) or (a[x[k], y[k]]>0) then ok:= false;

continuare:=ok;

end;


var i:integer;

begin

if (k= n*n+1) then solutie

else begin

for i:= 1 to 8 do

begin

x [k]:= x [k-1] +dx [i];

y [k]:= y [k-1] +dy [i] ;

a [x [k],y [k] ]:=k;

if contiuare (k) then begin

back(k+1);

a [x [k], y [k] ]:=0;

end;

end;

end;

end;

begin


x[i]:=1; y[1]:=1; a[1,1]:=1;

back (2);

end.

5.Generarea permutărilor unui vectorSe citesc cele n elemente ale unui vector a de numere întregi. Să se genereze permutările de n elemente ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=3.

Recursiv

type vactor=array [1..20] of integer;

var a,x: vector; n:integer;

procedure citire(var n: integer; var a: integer);

var i: integer;

begin

write (‘n=‘); readln(n);

for i:= 1 to n do

begin

write(‘a[‘, i, ‘]=‘); readln (a[i]);

end;

end;

procedure solutie;

var I :integer;

begin

for i := 1 to n do

write (a [x [i] ], ’ ‘); writeln;

end;

function continuare (k: integer): boolean;

var i:integer;

begin

continuare := true;

for i:= 1 to k-1 do

if x[i]=x[k] then continuare:= false;

end;


var i: integer;

begin


else for i:= 1 to n do

begin

x[k]:=I;

if continuare (k) then back ( k+1);

end;

end;

begin

citire(n,a);

back(1);

end.

Rezolvare pentru n=3

= 3! = 2 * 3= 6

(1,2,3) (2,1,3) (3,1,2)

(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

6.Generarea aranjamentelor de n elemente luate câte p ale unui vectorSe citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate aranjamentele de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2.

o Recursiv


var x: integer;

n,p: integer;

procedure solutie

var i: integer;

begin

for i:=1 to p do

write (x[i], ‘ ‘];

end;

function continuare ( k:integer): boolean;

var i:integer;

begin

continuare := true;

for i:=1 to k-1 do

if x[i]=x[k] then continuare := false;

end;

procedure back (k: integer);

var i: integer;

begin

if (k=p+1) then solutie

else for i:=1 to n do

begin

x[k]:=I;

if continuare (k) then back(k+1);

end;

end;

begin


write (‘p=‘); readln(p);

back(1);

end.

Rezolvare pentru n=4 si p=2

= = = = = 12

(1,2) (2,1) (3,1) (4,1)

(1,3) (2,3) (3,2) (4,2)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,3)

7.Generarea combinărilor de n elemente luate câte p ale unui vectorSe citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate combinările de n elemente luate câte p ale mulţimii{a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2.

o Recursiv

type vector=array [0..20] of integer;var x:vector; n,p: integer;

procedure solutie;var i: integer; begin for i:= 1 to p do write (x[i], ‘ ‘); writeln; end;


var i:integer;

begin if (k=p+1) then solutie

else for i:= x[k-1] +1 to n do

begin

x [k]:= i;

back (k+1);

end;

end;

begin


write (‘p=‘); readln(p);

back(1);

end.

Rezolvare pentru n=4 si p=2

= = = = 6

(1,2) (2,3)

(1,3) (2,4)

(1,4) (3,4)

8.Generarea partiţiilorFie mulţimea A={1,2,…,n}. Se numeşte partiţie a mulţimii A, un set de kn mulţimi care îndeplines ccondiţiile de mai jos:a) A1UA2U…UAk=Ab) AiAj=, i,j{1,2,…,n}

o Iterativ

var sol: array [0..10] of integer;

n,i, j,max: integer;

procedure tipar;

begin

max:=1;

for i:=2 to n do

if max< sol[i] then max:= sol[i];

writeln(‘Partitie’);

for i:=1 to max do

begin

for j:=1 to n do

if sol[j]=1 then write(j, ’ ‘);

writeln;

end;

end;


var i, j, maxprec: integer;

begin

if k=n+1 then tipar

else begin

maxprec:=0;

for j:=1 to k-1 do

if maxprec< sol[j] then maxprec:= sol[j];

for i:=1 to maxprec+1 do

begin

sol [k]:=i;

back(k+1)

end;

end;

end;

begin


back(1);

end.

2.GRILE

Varianta 16

Un algoritm generează în ordine crescătoare toate numerele de n cifre, folosind doar cifrele3, 5 şi 7. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 33333, 33335, 33337,33353, 33355, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării.

Rezolvare:

Ultimele trei solutii generate in ordinea generarii sunt: 77773, 77775, 77777.

Varianta 17

Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre ele având cifrele

în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5 soluţii generate sunt 56789,46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3 soluţii generate, în ordinea generării.

Rezolvare:

Ultimele trei solutii generate in ordinea generarii sunt: 12347, 12346, 12345.

Varianta 19

Un algoritm generează în ordine

crescătoare, toate numerele de n cifre

(n<9), cu cifre distincte,care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 10325, 10327, 10329, 10345, 10347, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate,în ordinea obţinerii lor.

Rezolvare:

Următoarele 3 soluţii generate în ordinea obţinerii lor sunt: 10349, 10352, 10354.

Varianta 20

Un algoritm generează în ordine

descrescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict

crescătoare, care nu au două cifre pare

alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5

soluţii generate sunt 56789, 45789,

45679, 45678, 36789, precizaţi care sunt următoarele 3 soluţii generate,în ordinea obţinerii lor.

Rezolvare:

Următoarele 3 soluţii generate,în ordinea obţinerii lor sunt: 35789, 35689, 35679.

Varianta 21

Următoarele probleme se referă la mulţimea de numere reale M={x1, x2, …, xn} (n>1000).Care dintre acestea, comparativ cu celelalte, admite un algoritm care se încheie după un număr minim de paşi?

Rezolvare:

c. determinarea elementului minim al mulţimii M

Varianta 22

In timpul procesului de generare a permutărilor mulţimii {1,2,…,n} prin metoda backtracking, în tabloul unidimensional x este plasat un element xk (1≤k≤n). Acesta este considerat valid dacă este îndeplinită condiţia:

Rezolvare:

a. xk {x1, x2, …, xk-1}∉

Varianta 32

În vederea participării la un concurs, elevii de la liceul sportiv au dat o probă de selecţie, în urma căreia primii 6 au obţinut punctaje egale. În câte moduri poate fi formată echipa selecţionată ştiind că poate avea doar 4 membri, aleşi dintre cei 6,şi că ordinea acestora în cadrul echipei nu contează?

a. 24 b. 30 c. 15 d. 4

Rezolvare:

= = 15

c) 15

Varianta 34

Completarea unui bilet de LOTO presupune colorarea a 6 numere dintre cele 49, înscrise pe bilet. O situaţie statistică pe o anumită perioadă de timp arată că cele mai frecvente

numere care au fost extrase la LOTO sunt: 2, 20, 18, 38, 36, 42, 46, 48. Câte bilete de 6 numere se pot completa folosind doar aceste valori, ştiind că numărul 42 va fi colorat pe fiecare bilet?

a. 21 b. 6! c. 42 d. 56

Rezolvare:

= = 21

a) 21

Varianta 38

Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 9 ca sumă a cel puţin două numere naturale nenule distincte. Termenii fiecărei sume sunt în ordine strict crescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+2+6, 1+3+5, 1+8, 2+3+4, 2+7, 3+6 şi 4+5.Se aplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 8.Câte soluţii vor fi generate?

a. 3 b. 4 c. 6 d. 5

Rezolvare:

1+2+5

1+3+4

1+7 d) 5

2+6

3+5

Varianta 40

Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 6 ca sumă a cel puţin două numere naturale nenule. Termenii fiecărei sume sunt în ordine crescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+2, 1+1+1+3, 1+1+4, 1+5, 2+2+2, 2+4 şi 3+3. Se aplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 9. Câte soluţii de forma 2+... vor fi generate? (4p.)

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5

Rezolvare:

2+2+2+3

2+2+5

2+3+4 c) 4

2+7

Varianta 45

Utilizând metoda backtracking se generează toate cuvintele de câte 3 litere din mulţimea {a,b,c}. Dacă primele patru cuvinte generate sunt, în acestă ordine: aaa, aab, aac, aba, care este cel de-al optulea cuvânt generat?

a. acb b. acc c. aca d. bca

Rezolvare:

5. abb

6. abc

7. aca

8. acb

a) acb

Varianta 49

Se generează în ordine strict crescătoare numerele de câte şase cifre care conţin: cifra 1 o singură dată, cifra 2 de două ori şi cifra 3 de trei ori. Se obţin, în această ordine, numerele: 122333, 123233, 123323, …, 333221. Câte numere generate prin această me-todă au prima cifră 1 şi ultima cifră 2?

a. 1 b. 3 c. 4 d. 8

Rezolvare:

123332

132332

133232

133322

c) 4

Variante 54

Utilizând metoda backtracking se generează în ordine lexicografică toate anagramele cuvântului caiet ( cuvinte formate din aceleaşi litere, eventual în altă ordine). Care este a şasea soluţie?

a. catei b. actie c. actei d. catie

Rezolvare:

caiet -> 12345

1. 12345

2. 12354

3. 12435

4. 12453

5. 12534

6. 12543

a) catei

Varianta 74

Prin metoda backtracking se gene-rează toate anagramele (cuvintele obţi-nute prin permutarea literelor )unui cuvânt dat.Ştiind că se aplică această metodă pentru cuvântul solar,precizaţi câte cuvinte se vor genera astfel încât prima şi ultima literă din fiecare cu-vânt generat să fie vocală(sunt consi-derate vocale caracterele a, e, i , o, u)?

a. 24 b. 6 c. 10 d. 12

Rezolvare:

aslro asrlo

arslo arlso

alrso alsro

6*2=12 d) 12

Varianta 69

Construim anagramele unui cuvânt c1c2c3c4 prin generarea în ordine lexicografică a permutărilor indicilor literelor cuvântului şi obţinem c1c2c3c4 c1c2c4c3 c1c3c2c4 … c4c3c1c2 c4c3c2c1. Pentru anagra-mele cuvântului pateu, după şirul paetu, paeut, paute cuvintele imediat următoare sunt:

a. pauet şi ptaeu b. ptaeu şi ptaue

c. pauet şi ptaue d. ptaeu şi patue

Rezolvare:

paute -> 12534

12543 -> paute

13245 -> ptaeu

a) pauet şi ptaeu

Varianta 57

Se utilizează metoda backtracking pentru a genera în ordine lexicografică toate cuvintele de câte patru litere din mulţimea {d,a,n,s}, astfel încât în niciun cuvânt să nu existe două litere alăturate identice. Ştiind că primele trei cuvinte generate sunt, în ordine, adad, adan şi adas, care va fi ultimul cuvânt obţinut?

a. snns b. nsns c. snsn d. dans

Rezolvare:

adad, adam, adas,..., snsn

c) snsn

Varianta 63

Se generează, prin metoda backtracking, toate partiţiile mulţimii A={1,2,3} obţinându-se următoarele soluţii:{1}{2}{3};{1}{2,3};{1,3}{2};{1,2}{3};{1,2,3}. Se observă că dintre acestea prima soluţie e alcătuită din exact trei submulţimi.Dacă se folo-seşte aceeaşi metodă pentru a ge-nera partiţiile mulţimii {1,2,3,4} sta-biliţi câte dintre soluţiile generate vor fi alcătuite din exact trei submulţimi.

a.3 b.12 c. 6 d.5

Rezolvati:

{1,2}{3}{4}; {1}{2,3}{4}; {1}{2}{3,4}

a) 3

Varianta 70

Pentru rezolvarea cărei probleme dintre cele enumerate mai jos se poate utiliza metoda backtracking ?

a. determinarea reuniunii a 3 mulţimi

b. determinarea tuturor divizorilor unui număr din 3 cifre

c. determinarea tuturor elementelor mai mici decât 30000 din şirul lui Fibonacci

d. determinarea tuturor variantelor în care se pot genera steagurile cu 3 culori (din mulţimea:”roşu”, ”galben”, ”albastru” şi ”alb”), având la mijloc culoarea ”galben”

Rezolvare:

d. determinarea tuturor variantelor în care se pot genera steagurile cu 3 culori (din mulţimea:”roşu”, ”galben”, ”albastru” şi ”alb”), având la mijloc culoarea ”galben”

Varianta 58

Se utilizează metoda backtracking pentru a genera în ordine lexicografică toate cuvintele de câte trei litere distincte din mulţimea {d,a,n,s}. Care este cel de-al treilea cuvânt obţinut?

a. ads b. ans c. dan d. and

Rezolare:

1. adn

2. ads

3. ans

b) ans

Varianta 55

Se generează în ordine crescătoare, toate numerele naturale de 5 cifre distincte, care se pot forma cu cifrele 2,3,4,5 şi 6. Să se precizeze numărul generat imediat înaintea şi numărul generat imediat după secvenţa urmă-toare : 34256, 34265, 34526, 34562.

a. 32645 şi 34625 b. 32654 şi 34655

c. 32654 şi 34625 d. 32645 şi 34655

Rezolvare:

34256 -> 23145 => 32654, 34256

34562 -> 23451 => 34561, 34625

c) 32654 si 34625

Realizator: ALBU DANIELA

Clasa : a XI-a B

metoda backtracking

Documents