methodische erfahrungen im schulversuch mit algebra-taschenrechnern an der realschule

Methodische Erfahrungen im Schulversuch mit Algebra-

Taschenrechnern an der Realschule

Zentralstelle für Computer im UnterrichtAugsburg

Detlev Kirmse

Zentralstelle für Computer im Unterricht

• ist als Behörde dem Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus unterstellt

• berät alle Schulen in Bayern bei Einsatz von Computern im Unterricht

• entwickelt technische, softwaremäßige und didaktische Einsatzkonzepte

• vertreibt Unterrichtssoftware und schriftliche Materialien

• betreibt den bayerischen Schulserver• gibt die Zeitschrift „BUS“ heraus

Detlev Kirmse, Zentralstelle für Computer im Unterricht, Augsburg / Thurnau, April 2000


Schertlinstraße 9 Durchwahl: (08 21) 2 59 19 3586159 Augsburg Zentrale: (08 21) 2 59 19 0

Fax: (08 21) 2 59 19 19e-mail: [email protected]

Homepage: http://www.zs-augsburg.deBay. Schulserver: http://www.schule.bayern.de

b@sis: http://www.schule.bayern.de/basis.htmForum Graphische Taschenrechner:

http://www.zs-augsburg.de/rs/fgtr/fgtr.htm


ab 1992 erste Versuchseinsätze von GTR an Gymnasium und Realschule

1995-1997 Arbeitskreis mit Fachlehrern aus Gymnasium, Realschule, Fachoberschule

1995-1998 Schulversuch an Gymnasien, Realschulen, Fachoberschule

Juni 1997 erste Abschlußprüfung an Versuchs-Realschulen und FOS mit GTR

1997 positives Votum des AK für Zulassung des GTR an allen Schularten

Dez. 1997 Aussprachetagung GTR, Zentralstelle

Juli 1998 allgemeine Zulassung von GTR an Realschulen

1998/99 Multiplikatorenfortbildungen für GTR an Realschulen

Einsatz numerischer graphischer Taschenrechner


ab 1996 sporadische Versuchseinsätze von SGTR an Gymnasien

Nov. 1996 Aussprachetagung CAS, Zentralstelle

ab 1997 Schulversuch an Realschulen mit SGTR (Texas Instruments TI-92)

ab 1998 Arbeitskreis SGTR mit Fachlehrern aus Realschule

Sept. 1999 Ausweitung des Schulversuchs mit Casio FX 2.0 Algebra und Hewlett Packard HP49G

Juni 2000 erste Abschlußprüfung an Realschulen mit SGTR

Sept. 2000 Arbeitskreis SGTR mit Fachlehrern aus Gymnasium (ISB)

Einsatz symbolischer graphischer Taschenrechner


Lehrplaninhalte der bayerischen Realschule (Auszug)

...

Elementare Geometrie im Koordinatensystem (7)

Terme, Gleichungen (8,9)

Funktionen (9)FunktionsgleichungenGraphen

Abbildungen im Koordinatensystem (10)

...


Methodische Aspekte

1. Trennung von Strategie und Kalkül2. Black-Box/White-Box Strategie3. variabler Abstraktionsgrad von Verfahren4. Dynamisierung5. informatische Aspekte6. alternative Darstellungen

alternative Lösungswegealternative Lernwege

7. schülergesteuertes Vorgehen


Erreichte Ziele

• Dualität von Geometrie und Algebra verdeutlichenAlgebraisierung der Geometrie

Veranschaulichung der Algebra

• Geringere Bedeutung des Kalküls, höhere Bedeutung der Strategie

• mehr Einsicht, mehr Verstehen

• Begriffsbildung wird unterstützt

• „Werkzeugkompetenz“, IT-Bildung


bare ___

1. Trennung von Strategie und Kalkül (I)

Bestimme die Lösungsmenge: 5 x + 4 = 19

|-5

5²x-1=14

|:5

5²x+4=19

5 5

|-4

5²x=15 |:5

x=3


Black Box:

solve(5x+4=19,x) x=3

1. Trennung von Strategie und Kalkül (II)(1) x + 2y = 1

(2) -2x + y = 3


solve(x+2*y=1,x) x=-2*y+1solve(-2*x+y=3,y)|x=-2*y+1 y=1

x=-2*y+1|y=1 x=-1oder:

x+2*y=1»gl1-2*x+y=3»gl2solve(gl2,x)solve(gl2,y)|ans(1)ans(2)|ans(1)

x=-2*y+1

x=-1

y=1

2. Selbstdefinierte Funktion (Black Box)

solve2(gl1,gl2,var1,var2)FuncLocal zw1,zw2solve(gl1,var1)»zw1solve(gl2,var2)|zw1»zw2zw1|zw2»zw1

{zw1,zw2}EndFunc

Vereinbarung

Aufrufsolve2(x+2y=1,-2x+y=3,x,y) {x=-1 y=1}


f1 : y 14x

2 32x

14

Z0I 74 ; k 1

3 f2

a) Ermittle die Scheitelpunkte und der Ur- und Bildparabel und S1 S2 f1 f2

b) Ermittle die Funktionsgleichung der Bildparabel .f2

c) Zeichne beide Graphen in ein Koordinatensystem.

d) Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.

e) Für eine weitere Abbildung gleichen Typs seien und von Ur- und S1 S2Bildparabel unverändert, jedoch .Z 1I- 1

2 Gib für diesen Fall k an und die Gleichung der Bildparabel . Begründe f2deine Aussage durch Rechnung.

Johann-Winklhofer-Realschule, Landsberg Klasse 10ASchuljahr 1999/2000, Mathematik 29.03.005. Stegreifaufgabe Name:

3. Strategie (Stegreifaufgabe)


3. Vorbereitung von Werkzeugen (zur Lösung der Stegreifaufg.)

Funktion „Zentrische Streckung“[[k,0][0,k]]*op+(1-k)*oz » zentstr(op,oz,k)

Funktion „x eliminieren“elim(a)Func ¨ Parameter a: Vektor mit zwei Termen von x Local temp solve(xx=a[1,1],x)»temp ¨ Gl(1) nach x auflòsen a[2,1]|temp»temp ¨ in Gl(2) einsetzen temp|xx=x ¨ xx ersetzenEndFunc


3. Strategie (Lösung Stegreifaufg.)

a) fMax(f1(x),x) x=-3f1(-3) 2zentstr([-3;2],[0;-7/4],-1/3) [1;-3]

b) zentstr([x;f1(x)],[0;-7/4],-1/3) ...elim(ans(1))

c) DrawFunc f1(x)DrawFunc f2(x)

d) solve(f1(x)=f2(x),x) x=-§(2) or x=§(2) f1(-§(2)) ...f1(-§(2)) ...

e) zentstr([-3;2],[0;-7/4],k)=[1;-3] ...solve(ans(1)[1,1],k) k=-1


3. Graphische Lösung Stegreifaufg.


4. Dynamisierung

• Kurve als Punktmenge im trace-Modus• Kurvenschar statt Einzelkurve• Parameter als zusätzliche Variable• Klassen von Objekten statt einzelner Repräsentanten• Frage: „Was passiert, wenn...?“• (Zuggeometrie)

• ... führt leichter zu Verallgemeinerungen• ... unterstützt Abstraktion durch „Anschauung“


5. Informatische Aspekte

• Algebraische Variable

• Formale Sprache


• Informatische Variable

• Formale (Programmier-) Sprache

• Funktion als Abbildung

• Algorithmen in Programmiersprache

• Algorithmen in freier Formulierung

• Klassen von Objekten • Datentypen

• Funktion als formaler Operator

Mathematik Informatik

x x-+- 2 3

-5 »x

(1) 2x + 4 = 0(2) x - 2y = 2

2x+4=0»gl1

IL={...} solve(gl1,x)

... für positive Diskriminante ...

If dn>0 Then

zentstr(op,oz,k)

6. alternative Darstellungen alternative Lösungswege alternative Lernwege

• Mehrere äquivalente Darstellungen- ermöglichen Wahl des Lernwegs- kommen individuellem Lerntyp entgegen- festigen Lernstoff- fördern die Begriffsbildung- regen zur Abstraktion an

• Visualisierung der AlgebraAlgebraisierung der Geometrie

• Auch schwache Schüler finden eine adäquate Darstellung


7. Schülerzentriertes Vorgehen

• Wahl des Werkzeugs• Wahl des Weges• Individueller Arbeits-/Lernfortschritt

• Ständige Verfügbarkeit des Werkzeugs

• Unterrichtsorganisation?

Offene Fragen

• Hard- und Softwareplattformen• Preis/Finanzierung• „Ordnungsrahmen“

Lehrpläne, Meßbarkeit, Abschlußprüfung/Abitur• weitere Entwicklung von Unterrichtsmaterialien,

Prüfungsaufgaben und -formen• Diffusion im Unterrichtsbetrieb,

Lehreraus- und -fortbildung


Schertlinstraße 9 Durchwahl: (08 21) 2 59 19 3586159 Augsburg Zentrale: (08 21) 2 59 19 0

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Prospekte für „BUS“-Abo liegen aus...

4. Stegreifaufgabe

1. Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius r = 4,5 cm. Die Abwicklungdes Mantels ist ein Kreissektor mit einem Mittelpunktswinkel von = 250°.

a) Berechne den Radius s des Kreissektors.b) Zeichne einen Achsenschnitt des Kegels.

c) Berechne den Winkel , den eine Mantellinie des Kegels mit der Grundflä-che des Kegels bildet und das Volumen V des Kegels.d) Dem Kegel wird eine Kugel einbeschrieben. Trage einen Achsenschnitt derKugel in die Zeichnung von b) ein und berechne das Volumen V* der Kugel.

Lösungsmuster:

1. a) ; ; UGK 2 r b 360o 2 s UGK b 2 r

360o 2s s r 360o

s 4,5 cm250o 360o 6, 48 cm

b)

A B

S

D

M

rKu

r

c) ADS rechtw.: ; cos rs cos r

r 360o cos

360o 46,02o

; ; ; V 3 r

3 h h s2 r2 h 4,66 cm V 98, 88 cm3

d) ADM rechtw.: ; ; ; tan2 rKu

r rKu r tan2 VKu 4

3 r tan2 3

VKu 29, 23 cm3

Johann-Winklhofer-Realschule, Landsberg Klasse 10ASchuljahr 1999/2000, Mathematik 19.01.20004. Stegreifaufgabe Zeit: 12 min.

6 4 § ( 2 ) s i n ( ‘ ) / ( 3 s i n ( 3 0 + ‘ ) ) = 8 § ( 2 )6 4 s i n 2

3 s i n 3 0 8 2

a n s ( 1 ) * g e t D e n o m ( l e f t ( a n s ( 1 ) ) )6 4 s i n 2 2 4 s i n 3 0 2

a n s ( 1 ) / ( 2 4 * § ( 2 ) )8 s i n

3 s i n 3 0 A d d i t i o n s t h e o r e m v o n H a n d a n w e n d e n :8 * s i n ( ‘ ) / 3 = s i n ( ‘ ) c o s ( 3 0 ) + c o s ( ‘ ) s i n ( 3 0 )

8 s i n 3

c o s 2

s i n 32

( s . B u c h S . 1 2 3 g r ü n e r K a s t e n )6 4 2 s i n 3 s i n ( 3 0 o ) 8 2

6 4 2 s i n 8 2 3 s i n ( 3 0 o )

A d d i t i o n s t h e o r e m83 s i n s i n ( 3 0 o )

83 s i n 1

2 c o s 3

2 s i n

s i n 0 , 2 7 8 c o s F a l l 1 : F a l l 2 : c o s 0 c o s 0 9 0 0

b )

U m f o r m u n g d e r G l e i c h u n g v o n H a n d d u r c h f ü h r e n

t a n ° ( 5 * t a n ( 3 0 ) - 1 ) - 3 0 3 2 . 0 8 . . .

2 s i n 2 t a n 3 0 o c o s 2 5 t a n 3 0 o

t a n 3 0 o c o s 2 s i n 2 2 s i n 2 5 t a n 3 0 o

1

t a n 3 0 o 5 3

3 1 1 , 8 9; 3 0 o 6 2 , 0 8 o 3 2 , 0 8 o

a )2

V o r e i n s t e l l u n g e n : A n g l e 2 : D E G R E Ee s e m p f i e h l t s i c h , e i n n e u e s V e r z e i c h n i s a n z u l e g e n , z . B . s a 3

s i n ( 4 0 ) * 8 / 6 . 5 0 . 7 9 1 1 . . .s i n ° ( a n s ( 1 ) ) 5 2 , 2 9 . . .1 8 0 - ( a n s ( 1 ) ) 1 2 7 , 7 1 . . .1 8 0 - 4 0 - a n s ( 2 ) 8 7 , 7 1 . . .1 8 0 - 4 0 - a n s ( 2 ) 1 2 , 2 9 . . .s o l v e ( a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * c o s ( ) , b ) | a = 6 . 5 a n d c = 8a n d = 4 0o d e rs o l v e ( 6 . 5 ^ 2 = b ^ 2 + 8 ^ 2 - 2 * b * 8 * c o s ( 4 0 ) , b )

b = 1 0 . 1 0 4 . . . o r b = 2 . 1 5 3 . . .

S i n u s s a t z :s i n c s i n

a

s i n s i n ca

s i n s i n 4 0 o 86 , 5 0 , 7 9 1 1

1 5 2 , 2 9 o ; 2 1 2 7 , 7 1 o

W i n k e l s u m m e i m D r e i e c k :

1 8 0 o

; 1 1 8 0 o 4 0 o 5 2 , 2 9 o 8 7 , 7 1 o

2 1 8 0 o 4 0 o 1 2 7 , 7 1 o 1 2 , 2 9 o

K o s i n u s s a t z :

a 2 b 2 c 2 2 b c c o s b 2 2 c c o s b a 2 c 2 0

b 2 2 8 c o s 4 0 o b 6 , 5 2 8 2 0; b 1 1 0 , 1 0 c m b 2 2 , 1 5 c m

1

a m T I - 9 2s c h r i f t l i c h

J o h a n n - W i n k l h o f e r - R e a l s c h u l e , L a n d s b e r g K l a s s e 1 0 AS c h u l j a h r 1 9 9 9 / 0 0 , M a t h e m a t i k 2 7 . 0 1 . 1 9 9 84 . S c h u l a u f g a b e , L ö s u n g s m u s t e r S e i t e 1


4. Schulaufgabe

methodische erfahrungen im schulversuch mit algebra-taschenrechnern an der realschule

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