mestrado profissional em...
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Mestrado Profissional em Administração
Disciplina: Análise Multivariada
Professor: Hedibert Freitas Lopes
1º trimestre de 2015
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2
Leitura de Artigo 1) The use of Logit and Probit models in strategic management research: critical issues. Strat. Mgmt. J., v. 28, p. 331-343 (2007). 2) A estatística multivariada na análise econômico-financeira de empresas. Rev. FAE, v. 5, n. 3, p. 51-59 (2002). Entrega do resumo e discussão: 10/03
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3
Regressão Logística
Manly, Cap. 8 HAIR et al., Cap. 5
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4
Modelos de regressão
Y: variável dependente (quantitativa).
X1, X2, ..., Xp: variáveis independentes.
Objetivo: estabelecer uma relação f u n c i o n a l e n t r e a s v a r i á v e i s independentes e a dependente.
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5
Regressão linear simples
Y = β0 + β1 X + ε
! E(ε) = 0 e Var(ε) = σ2
! ε ~ N(0, σ2)
! E(Y) = β0 + β1 X ! Observações independentes
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6
Regressão logística
Y: variável resposta dicotômica
⎩⎨⎧
=possui não se 0,
interesse, de ticacaracterís a possui se Y
,1
E(Y) = P(Y = 1) = P(indivíduo possuir a característica)
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7
Regressão logística
Exemplos:
" indivíduo ser consumidor de determinado produto;
" ocorrer sinistro numa apólice de seguro;
" cliente pagar empréstimo;
" empresa ir à falência;
" óbito de paciente com determinada doença.
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8
Modelo de regressão
Y = variável dependente dicotômica
X1, X2, ... Xp = variáveis independentes
Objetivo encontrar uma relação funcional entre P(Y = 1) e X1, X2, ... Xp (regressão pela média).
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9
Exemplo – Comportamento do consumidor
40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
rendimento anual (em milhares de reais)
Con
sum
idor
(dum
my)
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10
Ajuste de um modelo linear
40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
rendimento anual (em milhares de reais)
Con
sum
idor
(dum
my)
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11
Problemas
Modelo linear: P(Y= 1) = β0 + β1 X
Linearidade do modelo.
Dependendo do valor de X, podemos prever, com base no modelo, que P(Y=0) < 0 ou P(Y=1) > 1.
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12
Regressão logística
x)x
x
e1e1e1)P(Y
1010
10
(1
ββββ
ββ
+−+
+
+=
+==
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13
Modelo logístico tende a 1 quando x aumenta
tende a 0 quando x diminui
Forma de S
Caso crescente β1>0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
π↑′
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14
Modelo logístico tende a 1 quando x diminui
tende a 0 quando x aumenta
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
α=0 β=−1Caso decrescente
β1<0
Forma de S invertido
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15
β1 = 1 e β0 = -1, 0 e 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
α=0 β=1α=−1 β=1α=1 β=1
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16
β0 = 0 e β1 = 0,5; 1; 2 e 3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
α=0 β=1α=0 β=0,5α=0 β=2α=0 β=3
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17
β0 = 0 e β1 = -1; 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
α=0 β=1α=0 β=−1
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18
Modelo de regressão
Y = variável dependente dicotômica
X1, X2, ... Xp = variáveis independentes
Objetivo: encontrar uma relação funcional entre P(Y = 1) e X1, X2, ... Xp (regressão pela média).
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19
Regressão logística
x)x
x
e1e1e1)P(Y
1010
10
(1
ββββ
ββ
+−+
+
+=
+==
Modelar o logaritmo neperiano (ln) da chance de ocorrência do evento de interesse:
( )( ) xYPYP
1001ln ββ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
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20
Estimação do modelo
Uma variável independente: Amostra: (Yi, xi), i= 1, …, n, independentes;
Yi: variável de Bernoulli; xi: variável independente fixa.
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21
Estimação do modelo
Método da máxima verossimilhança
ii y-1i
yi )p(1-p ),L( =10 ββFunção de
verossimilhança
x
x
i e1e1)P(Yp
10
10
ββ
ββ
+
+
+===
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22
Estimação do modelo Estimadores obtidos a partir da solução do seguinte sistema:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂
∂
=∂
∂
0
) ,L(
0
) ,L(
1
10
0
10
βββ
βββ
Não há fórmula fechada
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23
Dados sobre consumidores de trator.
⎩⎨⎧
=for não se 0,
consumidorfor i indivíduo o se 1,Yi
xi: rendimento anual (em milhares de reais)
Exemplo – Comportamento do consumidor
n=24 (tamanho amostral)
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24
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25
Ajuste de um modelo logístico
40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
rendimento anual (em milhares de reais)
Con
sum
idor
(dum
my)
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26
Interpretação dos parâmetros
x
x
x e1ep
10
10
ββ
ββ
+
+
+=
x
x
x ep1-p
10 ββ += : Chance (odds)
xp1-
p lnx
x10 ββ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛: Logito (logit)
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27
Interpretação dos parâmetros
xp1-
p lnx
x10 ββ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
0
0
0
p1pe
p1p ln
−=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= 00
ββ
exp(β0) = chance de alguém com valor zero na variável explicativa possuir a característica de interesse, comparado a que não a possui.
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28
Interpretação dos parâmetros
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= +
+
+
+
x
x
1x
1x
x
x
1x
1x
p1-pp1-
p
ln p1-
p ln - p1-
p ln 1β
x
x
1x
1x
p1-pp1-p
e +
+
=1βexp(β1) = razão de chances (odds
ratio) de se possuir a característica de interesse, ao comparar alguém com valor da variável explicativa uma unidade acima de outra pessoa.
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29
Interpretação dos parâmetros
1 - exp(β1) = variação na chance de uma pessoa ter a característica de interesse em relação a não ter, quando aumentamos o valor da variável explicativa em uma unidade.
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= +
+
+
+
x
x
1x
1x
x
x
1x
1x
p1-pp1-
p
ln p1-
p ln - p1-
p ln 1β
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30
Interpretação dos parâmetros
Parâmetro Estimativa exp (estimativa)
β0 -5,79 0,003β1 0,09 1,094
A chance de uma pessoa ser consumidora em relação a não ser aumenta 9,4% a cada aumento de mil reais na renda.
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31
Ajuste de um modelo logístico
14 16 18 20 22
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tamanho do lote (em hectares)
Con
sum
idor
(dum
my)
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32
( )321
321
xxx
xxx
e1econsumidorP
3210
3210
ββββ
ββββ
+++
+++
+=
Y: 1=consumidor, 0=não consumidor x1: rendimento anual (em milhares de reais) x2: tamanho do lote (em hectares) x3: 1=se há criação de gado, 0=caso contrário
MODELO
Exemplo – Comportamento do consumidor
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33
Ajuste do modelo completo
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34
Ajuste do modelo x1,x2
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35
Interpretação dos parâmetros
A chance de uma pessoa ser consumidora em relação a não ser aumenta 11,72% a cada aumento de mil reais na renda anual, mantida a área do lote constante e 162,16% a cada aumento de um hectare no tamanho do lote, mantida a renda constante.
Parâmetro Estimativa exp (estimativa)β0 -25.9382 0.0000β1 0.1109 1.1172β2 0.9638 2.6216
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36
Qual a probabilidade de um indivíduo com renda anual igual a 90 mil reais e com lote de 21 hectares ser consumidor do trator?