mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,dunp

Download Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

Post on 01-Mar-2018

239 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    1/160

    DRAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU

    MERA I INTEGRAL

    (beleke sa predavanja i vebi dr Denisa Puia)

    skripta

    Obradio, redigovao i uredio:Enes Kaapor

    Novi Pazar, 2016.

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    2/160

    Predgovor

    Ova skripta su najpre namenjena studentima matematike koji izu-avaju meru i integral, kako bi lake pripremili i poloili ispit iz is-toimenog predmeta. Napisana su prema predavanjima i vebamadr Denisa Puia koji godinama dri nastavu na osnovnim i masterakademskim studijama iz predmetaMera i integralna Dravnom uni-verzitetu u Novom Pazaru. Gradivo je podeljeno na etiri glave, od

    kojih prve tri ine uglavnom teorijski deo predmeta, dok je etvrtaglava zamiljena kao dodatak i podsetnik nekih osnovnih stvari iz ma-tematike analize, a uz to sadri i odreen broj karakteristinih za-dataka koji su veinom detaljno uraeni i obrazloeni. Na taj nain

    je obuhvaen i taj praktini deo, ime je studentima uveliko olakanospremanje pismenog dela ispita.

    Literatura koju je profesor koristio u toku dranja predavanja ivebi, a koju sam i ja donekle koristio prireujui ova skripta, data je

    na kraju. Korisnim sugestijama i savetima pri pisanju ovih skripataprofesor je doprineo njihovom jo boljem kvalitetu, na emu mu setoplo zahvaljujem.

    U Novom Pazaru, 28.04.2016. Enes Kaapor

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    3/160

    Sadraj

    1 -algebre. Merljive funkcije 11.1 -algebre. Merljiv prostor . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Proireni skup realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Proireno-realne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Borelove-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Merljivost niza funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2 Mera 302.1 Definicija i osobine mere . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Spoljna mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Kompletni merljivi prostori . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Karateodorijev metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Primeri mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3 Lebegov integral 603.1 Proste funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.1.1 Standardna reprezentacija proste funkcije. . . . 623.1.2 Merljivost proste realne funkcije . . . . . . . . . 65

    3.2 Integral proste nenegativne merljive funkcije . . . . . . 663.3 Integral nenegativne merljive funkcije . . . . . . . . . . 753.4 Integral realne i kompleksne merljive funkcije. . . . . . 86

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    4/160

    Sadraj

    4 Dodatak 974.1 Skupovi mere nula. Odgovarajua terminologija . . . . 974.2 Rimanov i Lebegov integral . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3 Odabrani zadaci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    Literatura 156

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    5/160

    Glava 1

    -algebre. Merljive funkcije

    1.1 -algebre. Merljiv prostor

    Definicija 1.1.1. Neka je X=proizvoljan skup. KolekcijuT pod-skupova skupa Xnazivamo topologijomna skupu Xako zadovoljavasledee uslove:

    (T1) X, T

    (T2) Unija proizvoljne kolekcije elemenata izT je element izT, tj.vai

    {U:

    A} T AU T(T3) Presek bilo koja dva elementa izTje element izT, tj. vai

    U, V T U V T.Ureeni par(X, T)je topoloki prostor, a elemente topologijeT nazi-vamo otvorenim skupovima.

    1

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    6/160

    2 1. -algebre. Merljive funkcije

    Definicija 1.1.2. Kolekciju M P(X) nazivamo -algebrom(-poljem) ako zadovoljava sledee uslove:

    (1) X M

    (2) Unija prebrojive kolekcije elemenata izM je element izM, tj.vai

    {Aj :j

    N

    } M

    +

    j=1

    Aj M

    (3) Komplement bilo kojeg elementa izMje element izM, tj. vaiA M Ac =X\A M.

    Ureeni par (X, M) je merljiv prostor ili prostor sa -algebrom, aelemente izMnazivamo merljivim skupovima.

    Uslov (2) predstavlja zapravozatvorenost kolekcijeM

    u odnosu naprebrojivu uniju svojih elemenata, dok je uslov (3)zatvorenost kolekcijeMu odnosu na komplementiranje svojih elemenata. Napomenimo da

    je uslov (2) ekvivalentan sa uslovom

    niz (Aj )jN izM +j=1

    Aj M.

    Ako uslov (2) iz prethodne definicije zamenimo uslovom

    (2) (n N) A1, A2, . . . , An M n

    j=1

    Aj M,

    tada kolekciju A P(X)koja zadovoljava uslove (1), (2) i (3) zovemoalgebrom (poljem). Odavde neposredno sledi: svaka -algebra jestealgebra.

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    7/160

    1.1. -algebre. Merljiv prostor 3

    Ako neka kolekcijaR P(X)zadovoljava uslove (2) i (3), tada tukolekciju zovemo -prstenom. Analogno gore navedenom, ako kolek-cijaR P(X)zadovoljava uslove (2) i (3), tada tu kolekciju zovemoprstenom.

    Lako se pokazuje da je kolekcijaD =P(X)jedna -algebra. Njunazivamo diskretnom-algebrom na X, i primeujemo da je ona naj-bogatija merljivim skupovima. S druge strane, i kolekcija

    J =

    {, X

    }predstavlja jednu -algebru, koju nazivamoantidiskretnom-algebromna X.

    Navedimo neke posledice definicije kroz sledeu lemu.

    Lema 1.1.1. Neka je(X, M) merljiv prostor. Tada vai sledee:

    (a) M

    (b) niz(Aj )jN izM +j=1

    Aj M

    (c) (n N) A1, A2, . . . , An M n

    j=1

    Aj M

    (d) (n N) A1, A2, . . . , An M n

    j=1

    Aj M

    (e)A, B M A\B, B\A, AB M.

    Dokaz. (a)Neka je X M. Tada, na osnovu uslova (3) iz definicije-algebre vai X\X= M.

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    8/160

    4 1. -algebre. Merljive funkcije

    (b)Za svaki niz (Aj)jNvai

    +j=1

    Aj =

    +j=1

    Aj

    cc=

    +j=1

    Acj

    c M,

    jer iz Aj M (j N)sledi Acj M (j N), pa na osnovu uslova(2) iz definicije-algebre imamo

    +

    j=1Ac

    j M. Sada na osnovu uslova(3) iz definicije -algebre vai nj=1 Acj

    c

    M.

    (c)Neka je(n N) A1, . . . , An M iAj = zaj {n+1, n+2, . . .}.Tada vai

    +j=1

    Aj =A1 A2 . . . An . . . An+1An+2...

    =n

    j=1

    Aj M,

    jer su Aj Mzaj N.

    (d)Neka jen

    j=1

    Aj =

    n

    j=1

    Aj

    cc=

    n

    j=1

    Acj

    c.

    Tada iz (j N) A1, A2, . . . , Aj M sledi (j N) Ac1, Ac2 . . . , AcjM, pa na osnovu (c) imamonj=1 Acj M. Sada na osnovu uslova(3) iz definicije -algebre vai

    n

    j=1 Ac

    j

    c

    M.

    (e)Neka su A, B M. Tada su i njihovi komplementi Ac, Bc M,pa je A\B =A Bc Mkao presek dva elementa izM. Analognoimamo da jeB\A= B Ac M, pa jeAB= (A\B) (B\A) Mkao konana unija elemenata izM. Napomena. Oznaku

    koristimo za obinu uniju elemenata, dok

    oznaku

    koristimo za disjunktnu uniju elemenata.

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    9/160

    1.1. -algebre. Merljiv prostor 5

    Definicija 1.1.3. KolekcijuE P(X) nazivamo polualgebrom (ele-mentarnom familijom) ako zadovoljava sledee uslove:

    (PA1) E

    (PA2)A, B E A B E

    (PA3) Komplement od A je jednak konanoj disjunktnoj uniji ele-

    menata izE, tj. vaiA E Ac =

    aj=1

    Aj, Aj E, j {1, . . . , a}.

    Elementi izEsuelementarni (osnovni) skupovi.Teorema 1.1.1. Neka jeE polualgebra iA kolekcija konanih dis-

    junktnih unija elemenata izE. Tada jeA algebra.

    Dokaz. Treba pokazati da vae uslovi (1), (2) i (3) iz definicije al-gebre. Poto je E, to na osnovu (PA3) imamo da je X\ = Xkonana disjunktna unija elemenata izE, pa X A, tj. vai uslov(1).

    Elemente izE emo oznaavati sa: B, C, Bj , Bm, Cj, Cm, . . ., aelemente izAsa: A, Aj , Am, . . .Neka su A1, A2, . . . , An izA, gde jeAm=

    Jm

    j=1 Bjm, B

    jm E, (j N) (m N) 1 mn, 1jJm.

    Treba dokazati uslov (2), tj.

    (n N) A1, A2, . . . , An A n

    m=1

    Am=n

    m=1

    Jm

    j=1

    Bjm

    A.

    Kod poslednje jednakosti primeujemo da su konane unije elemenataizA zapravo konane unije elemenata izE. Dokaemo li da sve ko-nane unije elemenata izEpripadajuA, dokazali smo uslov (2) za

  • 7/25/2019 Mera i integral..skripta,beleke sa predavanja,DUNP

    10/160

    6 1. -algebre. Merljive funkcije

    definiciju algebre. U tom cilju, dokaimo da razlika svaka dva elementaizEpripadaA. Neka su B1, B2 E. Tada je

    B1\B2=B1 Bc2=B1 J2

    j=1

    Cj2 =

    J2j=1

    B1 Cj2

    A,jer se radi o konanoj disjunktnoj uniji elemenata izE(iz (PA2) sledida B1 Cj2 E).

    Matematikom indukcijom emo pokazati da konane unije eleme-nata izEpripadajuA. Neka su B1, B2 E. Zan= 2imamoB1 B2=B1 (B2\B1) A,

    jer se radi o konanoj disjunktnoj uniji elemenata iz E. Pretpostavimoda to vai zan1, i dokaimo da vai i zan. Neka suB1, B2, . . . , BnE. Imamo

    B1 B2 . . . Bn1 ABn =B 1 B

    2 . . . B

    N Bn =

    =Bn (B1\Bn) (B

    2\Bn) . . . (B

    N\Bn).Ovo je takoe konana disjunktna unija elemenata izE, pa na osnovumatematike indukcije, iz poslednje jednakosti sledi da konane unijeelemenata izEpripadajuA. Prema tome,

    (n N) A1, A2, . . . , An A n

    m=1

    Am=n

    m=1

    Jm

    j=1

    Bjm

    A,