mef partea1

8/2/2019 MEF partea1

1/43

1 Curs MEF A. Pascu

MetodaMetoda elementului finitelementului finit (MEF)(MEF)

Prof.dr. ing. Adrian PASCU

Catedra Organe de maini i Tribologie

2 ore curs + 2 ore laborator


2/43

Curs MEF A. Pascu

Formarea notei:

Lucrri laborator: 40% Test final laborator: 20% Bonificaie prez. curs 20%

Test final curs : 20%


3/43

Curs MEF A. Pascu

Although the finite element methodcan make a good engineer better, it

can make a poor engineer moredangerous.

{n timp ce metoda elementului finitpoate face ca un inginer bun s` devin`

mai bun, ea poate face ca un inginerslab s` devin` mai periculos.


4/43Curs MEF A. Pascu

BibliografieBibliografie

Bathe, K.-J.:Finite-Elemente-Methoden.Berlin, Heidelberg,NewYork: Springer 1986

Zienkiewicz, O.C.:

The Finite Element Method.McGraw-Hill 1977

Huebner, H. K. :The Finite Element Methodfor Engineers

John Willey & Sons 1975

Blumenfeld, MIntroducere [n metoda elementelorfiniteEd. Tehnica, 1995

G@rbea , D.Analiz` cu elemente finiteEd. Tehnic`, 1990

Gafi\anu, M. ].a.Elemente finite ]i de frontier` cuaplica\ii la calculul organelor de

ma]iniEd. tehnic` , 1987 Pascariu, I.

Elemente finite Concepte-Aplica\iiEd. Militar` , 1985



Scurt istoricScurt istoric

1940: Utilizarea metodelor matriciale [n calculul structurilor(Hrennicoff -1941 ]i formulare varia\ional` R.Courant- 1943) 1950: Introducerea procedurilor de calcul bazate pe metoda

deplas`rilor ]i respectiv a rigidit`\ilor pentru calculul

structurilor complexe din avia\ie - formularea energetic` -Argyris-1954)

1980: Metoda c@]tig` teren ]i [n alte domenii: mecanicafluidelor, electromagnetism etc.

1970: Utilizarea efectiv` ]i eficient` a MEF pentru calculul

structurilor [n industria aerospa\ial` (NASA) ]i apoi [n ceaconstructoare de automobile ( NASA->NASTRAN)

1960: Impunerea termenului de element finit FiniteElement- R.Clough-1960

1990: FEM se impune ca unealt` standard (numeric`)pentru calculele inginere]ti



Organigrama etapelor la realizarea unei piese mecanice

Studiul comportamentului mecanic

Experimentare Simulare numeric`

Optimizare

Concep\ie

Prototip Modelare

Validare

Produc\ie Modific`ri



Proiectarea modern` trebuie s` fac` fa\` multor cerin\e

O sarcin` major` este determinarea comport`rii uneistructuri mecanice sau a unor elemente structurale sub

efectul ac\iunilor exterioare

SistemAc\iuni R`spuns

Concret, intrebarea esen\ial` este : care este r`spunsulstructurii atunci c@nd este supus` ac\iunilor exterioare(varia\ii de for\e, de temperaturi etc.)



STAREA GLOBAL~ STAREA LOCAL~A STRUCTURII (macro) A MATERIALULUI (micro)

AC|IUNI MECANICE(for\e, momente)

TENSIUNI(normale , tangen\iale)

DEPLAS~RI(lineare, unghiulare)

DEFORMA|II(specifice lineare, unghiulare)

3 1

4

2



l {} = [D] * {} l* = E *

2 {} = [B ] * {} 2* = (1/ L) l

3 { Fi} = [ K] * {i} 3* F = (E*A/ L) l

4 { } = [ D] * [B ] *{i} 4*

= F / A

Rela\ii generale Particularizare pentru obar` simpl` solicitat` axial

([n condi\iile accept`rii unei discretiz`ri]i a unei func\ii predefinite pentru deplas`ri )

([n condi\iile accept`rii unei discretiz`ri ]i aunei func\ii predefinite pentru deplas`ri )

F = k u



Direc\ia de ac\iune

x

y

z

Direc\ia normalei la planul [ncare ac\ioneaz`

zy

zxzy

z

Tensorul tensiunilor

x xy xz

yx y yz

zx zy z

yz

xz

xy

z

y

x



Rela\ia deforma\ii specifice-deplas`ri

z

v

y

w

z

w

x

w

z

u

y

v

x

v

y

u

x

u

yzz

xzy

xyx

+==

+==

+==

u, v, w , sunt componentele deplas`rii dup`direc\iile x, y ]i z.


12/43

Curs MEF A. Pascu

{ }

=

=

),,(

),,(

),,(

0

0

0

00

00

00

zyx

zyx

zyx

yz

xz

xy

z

y

x

w

v

u

yz

xz

xy

z

y

x

{ } [ ]{ }),,( zyx B=

Sub form` matricial`:

Rela\ia deforma\ii specifice-deplas`ri


13/43

Curs MEF A. Pascu

Rela\ia tensiuni-deforma\ii specifice(legea lui Hooke generalizat`)

=

yz

xz

xy

z

y

x

yz

xz

xy

z

y

x

d

ddsim

ddd

ddddddddd

dddddd

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

{ } [ ]{ } D=

Sub form` matricial`:


14/43

Curs MEF A. Pascu

Pentru materiale omogene, izotrope, cucomportare linear`:

)1(2 = EGNot`:

( ) ( )

1

1 0 0 01 0 0 0

1 2

0 0 0 0 021 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 02

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E

=


15/43

Curs MEF A. Pascu

neglijeazase

E

yxzz +== )(0

rezult`:

2

1 0

1 0

(1 ) 10 0

2

x x

y y

xy xy

E

=

Pentru starea plan` de tensiuni:


16/43

Curs MEF A. Pascu

[ ]neglijeazase

E

yxzz

+

+== )1(

)21()1(0

+=

xy

y

x

xy

y

x

E

2

2100

01

01

)21()1(

Pentru starea plan` de deforma\ii:


17/43

Curs MEF A. Pascu

- Rela\ii analitice directe se pot ob\ine numai pentru cazuri

particulare simple, cum sunt structurile tip bar` supuse lasolicit`ri simple. Cel mai simplu exemplu este bara solicitat`axial:

F

u

E, AL L + LA

F=L = u

uLL

L 1==

=E

uL

AE

F

= uF = k


18/43

Curs MEF A. Pascu

Metode de calcul numericMetode de calcul numeric

Programe speciale care prelucreaz` ]i adapteaz`formulele de calcul de ex. metodologii de calcul standardizate, nomograme

Programe matematice generale: Mathcad, Mathematica,Maple, Matlab

Metode numerice

Metoda diferen\elor finite Metoda elementelor de frontier`

Metoda elementelor finite (MEF) (FEM)

P i i i l d b ` l d ilPrincipiul de baz` al procedurilor


19/43

Curs MEF A. Pascu

Principiul de baz` al procedurilorPrincipiul de baz` al procedurilor

numericenumerice Ecua\iile diferen\iale descriu comportarea structurii la nivelulunei particule infinitezimale

pt. probleme de rezisten\` > Teoria elasticit`\ii pt. mecanica fluidelor > Ecua\iile Navier-Stokes pt. c@mpuri magnetice > Ecua\iile Maxwell

pt. transfer de c`ldur` [n solide > Ecua\ia Fourier

Func\ia pe care o descrie ecua\ia diferen\ial` este o m`rimecaracteristic`: pt. probleme de rezisten\` > deplasarea pt. mecanica fluidelor > viteza, presiunea pt. c@mpuri magnetice > poten\ialul magnetic pt. transfer de c`ldur` > temperatura

P i i i l d b ` l d ilP i i i l d b ` l d il


20/43

Curs MEF A. Pascu

Principiul de baz` al procedurilorPrincipiul de baz` al procedurilor

numericenumerice Scopul este s` ob\in` solu\ia pentru aceast` func\ie.Celelalte m`rimi rezult` din prelucrarea func\iei

Prin procedurile specifice metodelor de rezolvare

numeric` (Utilizarea diferen\elor, a dezvolt`rilor [n serieetc.- care implic` discretizarea) problema descris` deecua\ia diferen\ial` se transform` [ntr-un sistem de

ecua\ii algebrice.

Pentru solu\ionarea ecua\iilor diferen\iale se stabile]te oreprezentare aproximativ` pentru func\ia necunoscut`.

Prin solu\ionarea sistemului de ecua\ii se determin`valorile m`rimii caracteristice[ntr-un num`r finit de

puncte ]i respectiv coeficien\ii care permit definireaconcret` a func\iei de aproximare.


21/43

Curs MEF A. Pascu

Metoda Elementului Finit (MEF)Metoda Elementului Finit (MEF)

Discretizarea - Func\ia de define]te numai pentru domeniimici. Aceasta permite ca pentru descrierea comport`rii ei

[n interiorul domeniului s` se poat` alege func\ii de form`

simple, de ordin inferior. Func\ia de aproximare pentru [ntreaga structur` rezult` dinasamblarea func\iilor domeniilor individuale, par\iale, mici.

1 2 1 2+ =

Aceste domenii individuale sunt denumite elemente.Punctele [n care se realizeaz` leg`tura dintre elemente suntdenumite noduri.


22/43

Curs MEF A. Pascu

O analogie: determinarea ariei unui cerc, consider@nd c`se cunoa]te numai formula de calcul a ariei unui triunghi:

Atr

= b h/2 Acerc =

de re\inut:- utilizarea unei aproxim`ri bazat` pe folosirea deelemente mai simple, pentru care avem la dispozi\ie osolu\ie;

- sporirea exactit`\ii calculului prin rafinarea discretiz`rii

=

n

i

itrA

1


M d El l i Fi i (MEF)M d El l i Fi i (MEF)


23/43

Curs MEF A. Pascu

Se pot analiza astfel structruri cu forme mai complexe


Entit`\ile cu care opereaz` Metoda elementului


24/43

Curs MEF A. Pascu

Entit`\ile cu care opereaz` Metoda elementuluifinit sunt nodurilenodurile ]i elementeleelementele

Exemplu:

F

u

Pentru nodul unui element destructur` solicitat uniaxial,singura deplasare ce intervineeste u

Pentru un nod, ca ]i pentru un corp exist`6 deplas`ri posibile, denumite ]i grade delibertate (DOF): trei transla\ii, notate u,v,w]i trei rotiri, notate rx,ry,rz. Pentru cazuriparticulare num`rul acestor deplas`ri estemai redus.

M`rimea fizic` urm`rit` pentru calculul structurilor mecaniceeste deplasarea. - [n urma discretiz`rii : deplasareanodurilor.

Pentru noduri care intervin [n condi\iile de frontier`:


25/43

Curs MEF A. Pascu

\

{n plan preia for\e Fy, nupreia momente ]i Fx

X

Y

v=0Sunt permise rz ]i transla\ia u

Rezemarea simpl` (2D)

Preia [n plan for\eFx ]i Fy, nu preia

momenteu=0; v=0 Este permis rz

Articula\ia (2D)

X

Y

z


26/43

Curs MEF A. Pascu

{n plan preia for\e Fy ]iprecum ]i momente Mz

Ghidarea

X

Y

z

v=0; rz =0 Permite numai transla\ia u

Nu permite nici o deplasare

X

Y

u=0; v=0; rz =0

{ncastrarea

{n plan preia for\e Fx ]i

Fy precum ]i momente


27/43

Curs MEF A. Pascu

Sprijinirea plan`

v=0; rx =0;ry =0X

Y

z Permite deplasarile u ]i vprecum ]i rota\ia ry

Preia for\e verticaleFy ]i momente Mx,Mz

Articula\ia sferic`

X

Y

z

u=0; v=0; w=0Permite toate rota\iile, nupermite nici o deplasare

Preia for\e dup`toate direc\iile, nu

preia momente

ElementeleElementele se diferen\iaz`:


28/43

Curs MEF A. Pascu

ElementeleElementele se diferen\iaz`:- dup` geometrie

- dup` tipul de [nc`rcare suportat- legea de comportare a materialului

Mas` concentrat` (se abstractizeaz` cu un punct )

Exemple Modelare element finit

Element cu 1

nod - mass

Structur` din bare articulate( sunt abstractizate ca linii)

Element bar` cu 2 noduri(tip linie) - truss


29/43

Curs MEF A. Pascu

Structur` din profile sudate ( se modeleaz`

cu grinzi, abstractizate ca linii)

y

x

z

Element grind` cu 2noduri (tip linie) - beam

Structur` plan` sub\ire, solicitat` [nplanul ei (se modeleaz` ca o suprafa\`)

Element de stare plan`de tensiuni cu trei noduri

(tip suprafa\` ) - triang


30/43

Curs MEF A. Pascu

Element de stare plan` dedeforma\ii cu 4 noduri (tipsuprafa\` ) - quad -Plane2D

p

Structur` cu l`\ime mare, pentru care se poate considerac` deforma\ia ]i solicitarea este identic` [n toatesec\iunile transversale (stare plan` de deforma\ii)

Element de solid de revolu\iecu [nc`rcare axial-simetric`Element cu 4 noduri (tipsuprafa\` ) - quad -Plane2D

Solid de revolu\ie cu [nc`rcare simetric`

p


31/43

Curs MEF A. Pascu

Pies` din tabl` ( se modeleaz` ca osuprafa\`)

Element de [nveli] -shell (tip suprafa\`)cu 3 noduri

Pies` masiv` (se modeleaz` 3D)

Element de solid -tetra (tip volum) cu

4 noduri



32/43

Curs MEF A. Pascu


{Fi} = [K] * {i}

Sistem de ecua\ii cu n necunoscute[K] = Matricea de rigiditate a structurii{i } = Vectorul deplas`rilor [n nodurile

structurii

{Fi } = Vectorul [nc`rc`rilor structurii( aplicate [n noduri)

ContinuumDiscretizare

Material

Geometriaelementului

Condi\ii defrontier`

{nc`rc`ri

Grind` [ncastrat`, solicitat` de o for\` transversal` concentrat`


33/43

Curs MEF A. Pascu

\bxhxL = 20x10x100 [mm]; E= 2,1105 [MPa]; F = 100 [N]

Variante de abstractizare]i discretizare

Elemente de plac` cu grosimea h

- shell 120 elemente 147 noduri

Elemente de stare plan` de deforma\ii

Plane2D- 100 elemente 127 noduri

Elemente tip linie, de grind` solicitat`

la [ncovoiere, (caracterizat` de I = bh3/12)beam - 20 elemente 21 noduri

Elemente paralelipipedice de volum

solid- 600 elemente 1175 noduri



34/43

Curs MEF A. Pascu

Solu\ia analitic` corespunz`toareteoriei de bar`:

[ ]mm

EI3FL

3

0952,0

1020101,23

1210010035

3

max

=

=

==f

Rezultate pentru deplas`ri



35/43

Curs MEF A. Pascu

Rezultate pentru

tensiunile x

Solu\ia analitic` corespunz`toareteoriei de bar`:

[ ]MPa

/6bhLF2

301020

6100100

2

max

=

=

===WM


36/43

Curs MEF A. Pascu

Simularea [nc`rc`rii]asiului pe un banc de

prob` (50.000 nodes)

* FE-Kongress Baden-Baden, 1998


37/43

Curs MEF A. Pascu

Static Load Transfer

Limit`ri: de exemplu la analiza tensiunilor


38/43

Curs MEF A. Pascu

Persist` probleme pentruanaliza modelelelor de tip

solid: un exemplu concret -arborele cotit

m`rimeamodelului : chiar ]i

1.000.000 noduri se dovedesc afi o discretizare prea grosier`pentru zonele cu concentratoride tensiuni - de exemplu zonaracord`rii marcat` [n medalion

Limit`ri: de exemplu la analiza tensiunilor

Astfel de aspecte pot fi tratate eficient pentru p`r\i ale modelului


39/43

Curs MEF A. Pascu


40/43

Curs MEF A. Pascu

Modelul original PATRAN/NASTRANpentru aceasta caroserie a fost citit


41/43

Curs MEF A. Pascu

pentru aceasta caroserie a fost cititde translatorul de date NASTRAN -ADINA ]i convertit [n modelulprezentat [n figur`.


42/43

Curs MEF A. Pascu

Compara\ie a rezultatelor experimentale cu datelefurnizate de ADINA pentru modelul analizat


43/43

Curs MEF A. Pascu

furnizate de ADINA, pentru modelul analizat

mef partea1

Documents