mecnica de fluidos i - beneyto

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Aeronuticos

Universidad Politcnica de Madrid

Mecnica de Fluidos I

Jaime Beneyto Gmez de Barreda

Curso 2011-2012

[email protected]

Imagen de portada: Chorro de aceite que rebota dos veces (!) al ser vertido en un depsito de aceite en movimiento. Este fenmeno se denomina efecto Kaye y fue descubierto en los aos 60.

Introduccin, consejos y cuestiones varias Qu es esto? Como bien dice la portada, son los apuntes de la asignatura Mecnica de Fluidos I que se imparte en el primer cuatrimestre del tercer curso en la ETSI Aeronuticos de la UPM. Los apuntes corresponden a las clases impartidas por Oscar Sanz (aprovecho para mencionar que Oscar es el mejor profesor de academia que hay) en la academia JC durante el curso 2011-2012. Soy alumno de la EIAE, me sirven estos apuntes? Por supuesto. Los tomos I y II de los apuntes disponibles en publicaciones para los alumnos de Mecnica de Fluidos de la EIAE son exactamente los mismos, salvo las tapas, que los apuntes de la ETSIA. Se entiende que el temario se va a mantener o reducir y por lo tanto estos apuntes son vlidos (excluyo la posibilidad de que el temario aumente porque sera una locura y no tendra ningn sentido). El tomo III corresponde a los apuntes de la EUITA (sobre todo fluidos ideales) Qu es la Mecnica de Fluidos? La Mecnica de Fluidos es la parte de la fsica que estudia la esttica y la dinmica de los fluidos (lquidos y gases). En Mecnica de segundo aprendimos a estudiar la esttica y la dinmica de un slido rgido y en Elasticidad y Resistencia de Materiales las de un slido deformable. Pues bien, los fluidos son muchsimo ms complejos de estudiar que los slidos pues las partculas que los forman no tienen que mantener las distancias entre s, o no existe una relacin sencilla que ligue las distancias entre las partculas con las fuerzas o momentos aplicados. Y es muy difcil? S, no nos vamos a engaar. De hecho si hubiese que escoger una asignatura representativa de la dificultad de la carrera esta sera una seria candidata. Qu miedo! Voy a suspender!... no? No. Por muy difcil que sea, la Mecnica de Fluidos es una asignatura a la que se le coge cario. Y es que muchos de los alumnos que la han estudiado (yo incluido) afirman que es la asignatura que ms les ha gustado y que ms han disfrutado estudiando. No es slo por el hecho de que sea una asignatura interesante por s misma, sino porque tambin justifica toda la preparacin anterior de los primeros cursos (Aaah! Qu eso de los autovectores serva para algo!) y deja entrever lo que viene despus. Es un puente entre las asignaturas tericas de primero (lgebra Lineal,

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Clculo, etc.) y las asignaturas aplicadas y de contenido eminentemente aeronutico de cuarto y quinto (Aerodinmica, Mecnica del Vuelo etc.). As pues, hay que enfrentarse a esta asignatura con ganas, ilusin y con la actitud de disfrutarla, querer comprenderla y asimilarla. Con estos apuntes apruebo? Depende de ti. De entrada si ests en esta carrera la capacidad intelectual necesaria para aprender Mecnica de Fluidos la tienes de sobra. Desde luego que si te tomas la asignatura como dije en el prrafo anterior y la estudias como dir ms adelante tus probabilidades de aprobar sern muy elevadas. Si por el contrario intentas superar esta asignatura con el mnimo esfuerzo para no obtener ni una dcima ms del 5.0 e intentando aprender cuanto menos mejor suspenders seguro. Qu conocimientos previos debera tener? Si reuniramos las 22 asignaturas que constituyen los dos primeros cursos de la carrera (quitando Economa, Circuitos y alguna otra) y las juntramos en una nica asignatura cuatrimestral de 6 horas lectivas semanales y 9 crditos, el resultado no distara mucho de lo que hoy es la asignatura Mecnica de Fluidos I. Lo que quiero decir con esta exageracin es que en Mecnica de Fluidos hace falta una buena base matemtica y fsica. Los que disearon el plan de estudios lo saban perfectamente y por eso asignaron esta asignatura al tercer curso y no al primero o al segundo. Como en el nuevo plan de estudios de la EIAE la asignatura ha pasado al segundo curso es posible que muchos alumnos no tengan los conocimientos previos ideales. Por ello he incluido en los anexos unos apuntes de Clculo Vectorial, en particular de los operadores diferenciales, que constituyen una herramienta matemtica de uso continuo en la asignatura y conviene tenerlos interiorizados. La ctedra asume que tenemos una vida anterior como estudiantes y dan por sabidos muchos conceptos que tal vez hayamos olvidado. No se van a parar a explicar cmo se hace una derivada parcial, cmo se calcula un autovalor y su espacio propio asociado o cmo se integra por partes. Si, por ejemplo, en algn momento nos atascamos haciendo una integral la actitud ms inteligente es invertir el tiempo que haga falta en desatascarnos, repasando incluso nuestros apuntes de matemticas si es necesario. Si lo dejamos pasar confiando en que ese problema en concreto no caer en el examen, estaremos tentando a la suerte Y cmo es el examen? El examen consiste en dos problemas y una parte de teora. Cada problema cuenta 1/3 de la nota, y la parte de teora tambin 1/3. No hay mnimos, lo que quiere decir que se suman todos los puntos obtenidos, se dividen entre la puntuacin mxima y si el resultado es mayor o igual a 1/2 se aprueba. Todo esto es vlido para la asignatura de la

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ETSIA en la que slo hay un examen final sin parciales ni evaluacin continua de ningn tipo. Cada problema suele ser de 75 minutos de duracin. En ellos nicamente se pueden utilizar los apuntes oficiales de la ctedra y una calculadora (que puede ser programable como la HP). Hasta el ao 2009 se poda llevar todo lo que se quisiera pero como la gente cargaba maletones con todos los problemas resueltos desde el ao 250 a.C. aquello se haba convertido en un a ver quin tiene la mejor coleccin de problemas y copia ms rpido. A la ctedra no le hace ninguna gracia que la gente apruebe sin entender la asignatura y por ello tomaron esta medida. La parte de teora (de 60-75 minutos de duracin) consiste en dos o tres terico-prcticos que pueden ser teora pura y dura y/o un problema corto. En esta parte no se permiten apuntes de ningn tipo. En caso de tratarse de una cuestin de teora pura, lo ms probable es que sea una de las siete cuestiones recurrentes (disponibles en los anexos) que conviene estudiar de memoria poco antes del examen. Los problemas cortos de esta parte slo se diferencian de los problemas largos en su duracin y en que no se permiten apuntes. La asignatura tiene un temario muy extenso y en un examen de unas 4 horas de duracin la ctedra intenta cubrir lo mximo posible del mismo. Hay que llevar toda la asignatura bien preparada. Esto no es como Fsica General II (por poner un ejemplo), donde el examen consiste en dos problemas que siempre son uno de electrosttica y otro de induccin magntica. Aqu un problema puede cubrir 3 temas y el otro problema otros 3, y junto con la parte de teora cubrir casi todo el programa. En general, el tiempo disponible es muy escaso y rara vez se consigue terminar el problema. Es parte del examen trabajar bajo la presin temporal. Es evidente que para poder hacer cualquier actividad rpido y bien se requieren muchas horas de preparacin as es que cuantas ms horas hayamos dedicado en casa a resolver problemas tanto mejor rendiremos en el aula de examen el da del examen.

Cmo enfrentarse a esta asignatura

Se puede decir que el departamento de Motopropulsin y Termofluidodinmica (al que pertenece la asignatura) funciona satisfactoriamente. Los profesores son los mejores en su campo y adems son, en general, buenos docentes. Los apuntes oficiales de Amable Lin son excelentes, de hecho los apuntes de teora incluidos aqu son los de Lin con unas pocas modificaciones. Por tanto esta es una asignatura a la que da gusto ir a las clases de la escuela, lo cual recomiendo encarecidamente. Tambin recomiendo acudir a las tutoras ya que los profesores se muestran dispuestos a ayudar. As pues, estos apuntes deben tomarse como un COMPLEMENTO a la escuela, nunca como un sustituto. Como dije antes, esta puede ser la asignatura ms difcil de la carrera. No es una asignatura que se pueda estudiar en 10 das (ni en 30) antes del examen corriendo y

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deprisa. Tiene un temario muy amplio, quizs excesivo para un cuatrimestre y requiere tiempo para estudiarla y para ir asimilando los conceptos poco a poco. Es mejor estudiar 1 hora cada da que 10 horas el fin de semana. Lo ms importante de esta asignatura es LLEVARLA AL DA. No puedo dejar de insistir en este ltimo punto. Adems, no slo con objeto de aprobar el examen conviene estudiar de forma continua, sino en vista a que la asignatura deje un poso que nos sirva para el resto de la carrera, tanto la acadmica como la profesional (vergenza debera darnos si dentro de 20 aos alguien nos preguntara en qu consiste el teorema del transporte de Reynolds y no supiramos responder)

La cultura es el remanente que queda despus de olvidar lo aprendido

Cmo estudiar estos apuntes De un vistazo al ndice puede comprobarse que he intercalado teora y problemas. Lo he hecho as porque me parece lo ms lgico y porque permite estudiar los apuntes en el orden en el que estn. Primero la teora y despus los problemas (nunca al revs). Para la parte de teora, hay tres fuentes, a saber: los apuntes oficiales de la ctedra (guiones), los apuntes de teora de JC y los apuntes tomados en clase en JC. Como el da del examen slo nos dejan llevar los guiones es vital familiarizarse con ellos. Recomiendo el siguiente estudio de la teora en cuatro fases. Este es el mtodo que a m personalmente me ha sido de utilidad y que por ello aconsejo, pero ya se sabe, cada maestrillo tiene su librillo: Primero leer comprensivamente los apuntes de teora de JC que estn incluidos aqu. A continuacin referirse a los apuntes de clase para ver en qu conceptos se enfatiz as como para seguir algunas deducciones que pueden estar explicadas ms detenidamente (o de forma ms prctica o visual). Despus estudiar los guiones de la escuela y completarlos (en los mrgenes, en las pginas en blanco etc.) con aquellos detalles, pasos matemticos o incisos oportunos (los apuntes de JC son prcticamente los mismos que los de Lin, frecuentemente hasta las ecuaciones tienen la misma numeracin). Finalmente hacerse un resumen propio con todo lo importante del tema en cuestin. Lo importante de esto ltimo no es el resumen en s, sino el hecho de hacerlo uno mismo. Sintetizando la materia estudiada se adquiere un mapa mental de la misma y se aclaran las ideas. He adjuntado mis propios resmenes en los anexos de estos apuntes, pero lo he hecho por no tirarlos y repito que estos me sirvieron slo a m cuando los hice, dudo mucho que le sean de utilidad a nadie puesto que no aportan nada nuevo sobre los apuntes de JC o de Lin. En ningn caso hay que aprenderse nada de memoria, al menos en el da a da durante el cuatrimestre. Las deducciones (sobre todo en el tema de Ecuaciones Generales) no suelen preguntarse en el examen pero conviene comprenderlas y ser capaces de razonarlas (que no recitarlas) puesto que ello ayuda a interiorizarlas, importantsimo para poder trabajar rpido a la hora de hacer un problema. Es esencial saber siempre qu significa fsicamente cada trmino de cada ecuacin y comprender la fsica sin perderse

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en la matemtica (evitar que los rboles nos impidan ver el bosque). Por ejemplo, si echamos ahora un vistazo a la ecuacin de cantidad de movimiento en forma integral nos asustaremos ante tantas integrales volumtricas y de superficie y momentneamente pensaremos quin me mandaba meterme aqu!. Lo que nunca hay que perder de vista es que esta ecuacin representa el clsico F=ma que todos conocemos desde nuestra ms tierna infancia, y que el miembro izquierdo de la ecuacin representa el ma mientras que el miembro derecho representa la F. Visto as todo parecer ms fcil. Despus de estudiar la teora vienen los problemas. Lo mejor es hacerlos en orden cronolgico (orden en que se hizo cada problema en la academia atendiendo a las fechas que religiosamente he ido sealando). Hay que procurar hacer los problemas ayudndose nicamente de los guiones oficiales. Cada vez que en los guiones falte algn dato, que casi siempre es algo recogido en los anexos (por ejemplo, la expresin de la divergencia de un tensor en cilndricas), se aade en un hueco del guin. As poco a poco se ir completando para que al final no haga falta usar otros apuntes de teora ms que los guiones. Si bien en el examen slo se dispone de 75 minutos por problema, durante la etapa de estudio el tiempo no debe nunca ser una preocupacin. Cada problema ocupa de media cuatro caras y puede ser necesario dedicarle dos, tres o hasta cuatro horas. En cualquier caso hay que dedicar siempre el tiempo que haga falta y terminar los problemas con la seguridad de haberlos comprendido correctamente. Es infinitamente mejor hacer 20 problemas bien hechos, que hojear 200 problemas. Al principio es comprensible que haga falta echar mano de la solucin, pero a medida que se vaya avanzando en cada tema habr que ir evitndolo. Los problemas de autocontrol o los resueltos se dejarn para el final y se harn sin ms ayuda que los guiones SIN mirar la solucin hasta haberlos terminado.

Por dnde empiezo? Antes de empezar con cinemtica, recomiendo dedicar una tarde a repasar (o aprender) clculo vectorial con el libro de Marsden Tromba. En particular familiarizarse con los operadores diferenciales gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano. De este libro repasar tambin los teoremas integrales de Gauss o de la divergencia y de Stokes o del rotacional, as como las aplicaciones fsicas a la mecnica de fluidos. Todo esto lo he incluido en los apndices (extrado de la tercera edicin y van por la quinta). Una vez hecho esto, comenzar a estudiar la teora de cinemtica y despus resolver los terico-prcticos y lo que queda ya es self-explanatory. Yo slo puedo mostrarte el camino, eres t el que ha de recorrerlo.

Bibliografa Si con las clases, las tutoras, los apuntes de Amable Lin y con todo lo que contiene este tocho no tienes suficiente enhorabuena! Eres una persona curiosa y con ansias de aprender de distintas y variadas fuentes, aprobars esta asignatura con nota y

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llegars lejos en la vida! Aqu indico las referencias que he usado y me han sido tiles, todas ellas disponibles en la biblioteca de la escuela:

- An Album of Fluid Motion van Dyke. Es bsicamente un lbum de fotos con multitud de imgenes muy chulas y motivadoras.

- Fundamentos y aplicaciones de la Mecnica de Fluidos A. Barrero, M. Prez-Saborid. Es casi idntico a los apuntes de Lin. Los temas de cinemtica, ecuaciones generales y fluidoesttica estn bien desarrollados.

- Introduccin a la dinmica de fluidos G. K. Batchelor. Es el texto de referencia en Mecnica de Fluidos. Est disponible tanto en espaol como en ingls en nuestra biblioteca. Es de todo menos una simple introduccin.

- Modern Compressible Flow J. D. Anderson. Excelente para la parte de ondas de choque y expansiones de Prandtl-Meyer (en estos temas podran haberse extendido algo ms en los guiones). Tambin explica muy bien la deduccin de las ecuaciones generales (pero sin trminos viscosos). Este libro es mecnica de fluidos aplicada a la aeronutica.

- Clculo Vectorial Marsden, Tromba. Como se ha mencionado antes, este libro suplir las carencias en operadores y teoremas diferenciales.

- Anlisis Matemtico Vol. II Julio Rey Pastor. Una joya proveniente de uno de los ms importantes matemticos espaoles. En particular son de inters los epgrafes 91-93

Existen ttulos, como el White, que son demasiado bsicos para el nivel que se exige en esta asignatura. Otros, como el Landau Lifschitz, son demasiado tericos y de nivel superior. Con los libros que he mencionado a cualquiera debera bastarle (y de sobra).

Enlaces de inters

1) Pgina web del departamento, con problemas y apuntes 2) Ficha con el programa de la asignatura 3) Artculo en Wikipedia 4) Coleccin de videos del NCFMF sobre mecnica de fluidos 5) Advanced Fluid Mechanics web de la asignatura del MIT 6) Apuntes de J.L. Vzquez, profesor de fluidos en la UAM 7) Real Academia de la Ciencia publicaciones de G. Milln y A. Lin 8) Journal of Fluid Mechanics Cambridge University Press 9) Artculo interesante sobre el efecto Kaye (imagen de la portada) 10) Foro de alumnos de la ETSIA 11) La cafetera de la escuela (sitio web con apuntes varios) 12) Foroaviones.com interesante foro de aviacin para cogerle gustillo al asunto xD 13) TCAS Blog de ancdotas interesantsimas narradas por pilotos

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Un comentario final El curso est comenzando y todava ests en la fase de encontrar buenos tochos, averiguar cules son los mejores profesores, dejarte aconsejar por los alumnos mayores en fin, te ests asentando. Si ests leyendo esto es porque se te ha ocurrido tal vez debera empezar a ir mirndome algo, pero con la calma. Quieres empezar tranquilamente porque, qu diablos!, no te vas a poner a estudiar 8 horas diarias nada ms acabar los exmenes del cuatrimestre pasado. Esa no es la actitud correcta. La actitud correcta es voy a aprobar todas las asignaturas de este cuatrimestre por mis santos cojones!. Con esta actitud ahora ya habras estudiado el tema de cinemtica, y cuando lleguen los exmenes aprobars todo y con buenas notas. Si por el contrario decides ir con la mentalidad de la semana que viene empiezo con la calma, no sea que me despeine te vers apurado en febrero, te dejars asignaturas para septiembre, aprobars con cincos raspados o peor, suspenders; te tirars todo el verano estudiando y mientras tus compaeros estarn de juerga haciendo viajes y viviendo la vida loca porque se lo habrn merecido (y t no obviamente). Y despus de todo ello te arrepentirs y pensars Por qu no me pondra a estudiar antes? Por qu nadie me avis? Esas semanas de octubre que no di un palo al agua que bien me habran venido!. La buena noticia es que todava ests a tiempo, as que:

PONTE A ESTUDIAR YA!!!

Quedas avisado. Si suspendes no vayas a llorarle a tu abuelita para que te consuele con un tranquilo hijo, tu carrera es muy dura, es normal suspender.

Nota: Si has descargado estos apuntes desde la web de la delegacin de alumnos en formato djvu y quieres el archivo original en pdf (sin comprimir, mejor calidad, marcadores, enlaces que funcionan etc) no tienes ms que pedrmelos por email (ver portada) y te facilitar un enlace de descarga Tambin quiero que me avises de las erratas que encuentres, para dejarlas indicadas en el pdf y que as los siguientes lectores estn avisado.

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Cmo funciona el movimiento de los fluidos?

Introduccin cualitativa a las ecuaciones de Navier-Stokes

En este artculo pretendo explicar de forma descriptiva en qu consisten las ecuaciones de Navier-Stokes, ecuaciones que gobiernan la mecnica de los fluidos. El lector podra errneamente pensar que esto es un asunto de poca relevancia prctica y que solamente los fsicos o matemticos aburridos se entretienen con este conjunto de ecuaciones tan, a priori, complejas. Pensar de tal forma sera un grave error ya que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen aplicacin en multitud de fenmenos fsicos y son las que nos permiten realizar actividades que hoy en da damos por supuesto como volar en avin, consultar una previsin meteorolgica, conducir un coche o navegar en un velero, o en general, cualquier fenmeno fsico en el que los fluidos tengan importancia. Es por ello que el conocimiento de estas ecuaciones y el saber aplicarlas correctamente permite avanzar en aras de una mayor eficiencia en el sentido ms amplio de la palabra.

Qu es un fluido?

Primero de todo empiezo definiendo un trmino que vengo usando suponiendo ingenuamente que todo el mundo est familiarizado con l. Un fluido es una sustancia de la materia que no resiste esfuerzos cortantes o tangenciales. Qu quiere decir esto? A ver, t coge un palo, sujtalo por un extremo y aplica una ligera fuerza perpendicular al mismo por el otro extremo. El palo se dobla verdad? Afirmativo. Pero a que no se dobla indefinidamente? No, se dobla hasta un punto y ah se queda; si voy aumentando la fuerza (pero mantenindola por debajo de un cierto lmite para evitar la rotura) el palo se dobla cada vez ms, pero con una fuerza constante llega hasta un punto y deja de doblarse. Exacto! Pues esa es precisamente la propiedad de la cual carecen los fluidos. A un fluido le aplicas una ligera fuerza como la descrita, y el fluido se "dobla" indefinidamente y sin parar, vamos que no resiste los esfuerzos tangenciales. Esta caracterstica de los fluidos los hace especialmente antipticos pues resultan infinitamente ms complejos de analizar que los slidos. Ejemplos de fluidos: las natillas, la miel, la glicerina, el nitrgeno, la gasolina, el caf.... y otros menos conocidos como el agua y el aire.

Los fluidos se dividen en dos tipos: lquidos y gases. Los lquidos se diferencian de los gases en que stos no se dejan comprimir mientras que aquellos se comprimen muy fcilmente, por ello los lquidos suelen tomarse como fluidos incompresibles, esto es, su densidad (que no su presin) es constante y no vara (o vara muy poco). En algunas ocasiones no resulta del todo evidente la frontera entre lquido y slido, sobre todo en el caso de lquidos de altsima viscosidad (qu ser eso de la viscosidad?). Por ejemplo, el vidrio de las ventanas o botellas podra tomarse como un lquido extremadamente denso y viscoso. En cualquier caso, esto no debera suponernos problemas puesto que en la mayora de las aplicaciones prcticas se trabaja con agua, aire o dems sustancias de carcter claramente fluido.

Otra clasificacin importante de los fluidos consiste en distinguir entre aquellos cuya viscosidad se puede considerar constante y aquellos cuya viscosidad vara con la temperatura o con la fuerza cortante aplicada. A los primeros se les denomina fluidos newtonianos y a los segundos, fluidos no-newtonianos. Ejemplos de fluidos que pueden

considerarse newtonianos para grandes rangos de temperatura y presin son el agua, el aire y la gasolina mientras que fluidos no-newtonianos son las pinturas, la sangre, algunos lubricantes o la plastilina.

La mecnica de los fluidos es entonces la parte de la fsica que se interesa en el estudio del movimiento de los fluidos (lquidos o gases), tales como el estudio del aire al atravesar un motor a reaccin, el movimiento de un lquido como el petrleo al ser transportado por una oleoducto, el movimiento del aire al entrar a travs de las vlvulas en un cilindro, el flujo de aire alrededor de un gran rascacielos o alrededor de un ala en vuelo supersnico

Por ltimo conviene indicar que para la mecnica de fluidos, los tomos no existen. Cmo que no existen!? Entonces no sirve de nada lo que contaron en qumica en el colegio sobre molculas, tomos y dems historias!? Efectivamente, aqu el modelo atmico no nos va a servir para nada y adems por un buen motivo. Las escalas que son de inters en mecnica de fluidos son enormes en comparacin con el tamao caracterstico molecular, es por ello que imaginamos al fluido como si fuera un continuo en el espacio en vez de un conjunto muy grande de tomos ms o menos dispersos. Este modelo fsico es de enorme ayuda pues nos permite trabajar con valores continuos de las variables (que ahora definiremos) en vez de valores discretos (asignar un valor a cada tomo), lo cual sera completamente inviable. La mecnica de los fluidos es tambin parte de la ms amplia mecnica de los medios continuos, la cual estudia todos los medios que pueden considerarse continuos a escala macroscpica. As pues no podremos aplicar las ecuaciones de la mecnica de fluidos en problemas de escala atmica. Esta limitacin no nos supondr ningn problema salvo en rarsimas excepciones, como el caso de gases enrarecidos y dems fenmenos en que los tamaos caractersticos son del mismo orden de la distancia entre tomos del fluido.

Qu es lo que nos interesa conocer para determinar completamente el movimiento de un fluido?

Lo que necesitamos es conocer las siguientes 4 magnitudes: El vector velocidad (en sus 3 componentes x, y, z) del fluido, la presin, la densidad y la temperatura del mismo en todos los puntos del espacio que ocupa el fluido, y en todo instante. Tenemos por tanto 6 incgnitas, las 3 del vector velocidad, la presin, la densidad y la temperatura. Una vez que conozcamos estas 6 incgnitas podremos afirmar que sabemos exactamente lo que hace el fluido. Ahh, slo es eso! Pues qu fcil!, no? jeje, aguarda hombre, que ya vers que esto se complica un poco.

Qu quiere decir lo ltimo que he dicho, "en todos los puntos y en todo instante"?

Pues quiere decir que estas incgnitas no son "numeritos" que debemos calcular como cuando despejamos la x en "x+4=9", sino que dependen del punto del fluido en el que nos fijamos (un punto en el espacio viene dado por sus 3 coordenadas) y del tiempo. En el caso ms general posible, si nos movemos de un punto a otro del fluido en un instante dado, las magnitudes (por ejemplo la temperatura) cambiarn. Esto es evidente, todos sabemos desde pequeitos que la temperatura de la sopa no es igual en el centro del plato que en los bordes. Adems, si nos fijamos en un punto concreto del fluido y dejamos pasar el tiempo, lo ms normal es que las magnitudes vayan cambiando. En el ejemplo de la sopa segn pasa el tiempo, se va enfriando. As pues nuestras incgnitas son funciones

de 4 variables, las 3 coordenadas espaciales y el tiempo. Se va complicando un poco la cosa no? Ay Pedrn, saca el libro de clculo en varias variables que te va a hacer falta!

Vale, ya sabemos lo que queremos (las 6 magnitudes fluidas en funcin de las 4 variables), ahora viene la pregunta del milln:

Cmo obtenemos las 6 magnitudes en funcin de las 3 variables espaciales y la variable temporal?

El movimiento de un fluido est gobernado por las ecuaciones de Navier - Stokes, que son un conjunto de 6 ecuaciones en derivadas parciales, de segundo orden, NO lineales (esto de por s ya tiene tela) y para rematar, est acopladas (vamos que todas las incgnitas aparecen en todas las ecuaciones). Que las ecuaciones sean en derivadas parciales quiere decir que las "derivadas" que en ellas aparecen son respecto de las 4 variables (no respecto de una sola variable) y que las derivadas parciales sean de segundo orden quiere decir que las magnitudes se relacionan respecto de sus variables DOS veces. Ay la leche! Se complica esto un poco no? Pues espera que hay ms! Que las ecuaciones sean NO lineales quiere decir que las magnitudes aparecen multiplicndose entre s.

Por ejemplo, todos aprendimos a resolver de pequeitos un sistema de 2 ecuaciones lineales como el siguiente:

x - 3y = 4

5x + 2y = -5

Pero si ahora la primera ecuacin la cambio por "xy - 3yy = 4y". A que se complica bastante el sistema slo con esa multiplicacin tan inocente? Pues el hecho de que las ecuaciones de Navier-Stokes sean un sistema de ecuaciones NO lineales complica el asunto de su resolucin un huevo...

"Bueno vale, el sistema ser matemticamente todo lo complicado que t quieras, pero en esencia es un problema cerrado no? Tenemos 6 incgnitas y 6 ecuaciones, basta que le tiremos el problema a una jaura de matemticos y nos lo resuelven" Si y no. Veamos, tenemos 6 incgnitas y 6 ecuaciones diferenciales, por tanto el problema est resuelto A FALTA de imponer condiciones iniciales y de contorno. Si le tiramos el problema a una jaura de matemticos al momento nos preguntaran Oye, qu pasa con las condiciones de integracin?!

Todos los que en su da aprendimos a calcular integrales en el colegio, sabemos que al integrar una ecuacin aparece una "constante de integracin", y que para determinar lo que vale dicha constante tenemos que imponer una CONDICIN. (Por ejemplo, que la solucin pase por el origen de coordenadas).

Pues bien, TODOS los movimientos de TODOS los fluidos vienen determinados por las ecuaciones de Navier Stokes. Lo que realmente distingue a unos movimientos de otros son las condiciones que imponemos a los mismos. Una condicin puede ser, el fluido est en contacto con un slido como puede ser una tubera, o el fluido inicialmente est en reposo (fluidoesttica), el fluido fluye nicamente en una direccin (movimiento unidireccional), el movimiento del fluido no depende del tiempo (flujo estacionario). Las millones de posibilidades son las que diferencian unos movimientos de otros.

En resumen, si les decimos a la jaura de matemticos: "Oye, vosotros tomad condiciones genricas, y resolvis el problema para un caso general". Entonces si los matemticos lo consiguen habrn resuelto la cuadratura del crculo. Es imposible dar una solucin genrica del problema pues no es posible encontrar expresiones analticas de velocidad, presin, densidad y temperatura que resuelvan la papeleta en todas las situaciones. En la gran mayora de las veces la solucin se obtiene mediante mtodos numricos, y aqu es donde entra en juego la mecnica de fluidos computacional o CFD (computational fluid dynamics). Esto quiere decir, grosso modo, que introducimos el sistema en un ordenador muy potente, con sus respectivas condiciones de contorno, y el ordenador va escupiendo las soluciones en forma de "numeritos". La CFD tiene actualmente una altsima importancia pues con el gran avance de los mtodos numricos y la potencia de clculo moderna es posible encontrar soluciones de problemas que hace 40 aos hubieran tomado millones de horas de operacin continua para su solucin.

Y an con todo, la CFD no es capaz de resolver las ecuaciones en todas las situaciones de flujo posibles. Existen tipos de flujo de tantsima complejidad, como aquellos que involucran fenmenos de turbulencia, separacin, interaccin de fluidos entre otros, que slo son resolubles mediante mtodos estadsticos o experimentales. Es por ello que los ensayos de laboratorio se siguen haciendo hoy en da y en base a ellos se sacan conclusiones para desarrollar una teora coherente. Tambin en la industria se emplean mtodos experimentales, por ejemplo en los ensayos en tneles aerodinmicos en los cuales se ensayan maquetas a escala y se comparan los resultados calculados con los experimentales.

Vale vale, pero basta ya de tanta chchara, al lo...

Cuales son las dichosas ecuaciones de Navier - Stokes?

Las ecuaciones de Navier-Stokes se derivan de los principios de conservacin bien establecidos y conocidos de la mecnica clsica y de la termodinmica. No vamos a deducir aqu las ecuaciones, pero si indicar que realmente no aaden nada nuevo a la fsica. Constituyen una aplicacin de la fsica conocida a los fluidos.

Reciben su nombre en honor a los fsicos George Gabriel Stokes y Claude-Louis Navier quienes las definieron a principios del siglo XIX.

Las ecuaciones son 3 ecuaciones escalares y 1 ecuacin vectorial. La ecuacin vectorial se descompone a su vez en 3 ecuaciones escalares, que junto con las otras da las 6 ecuaciones que llevamos diciendo todo el rato. Hay que tener en cuenta que hay quin cuando habla de las ecuaciones de Navier-Stokes se refiere nicamente a las tres ecuaciones de cantidad de movimiento.

Todas las ecuaciones tienen una formulacin integral y una formulacin diferencial, esto quiere decir que se pueden aplicar tanto a un volumen de fluido finito (forma integral) o a un volumen infinitamente pequeo, llamado partcula fluida (forma diferencial).

Venga venga, cules son?

- Ecuacin de la continuidad: Esta es una ecuacin escalar que impone la conservacin de la masa. Bsicamente lo que dice es que si nos fijamos en un recinto del espacio, la

variacin de la masa en ese recinto se debe a que por las superficies que limitan nuestra regin "entra y sale" masa. Fsicamente es una condicin muy obvia y se ve muy bien con el siguiente ejemplo: Si tomamos un autobs urbano como nuestro recinto que queremos estudiar, y la suma de todas las personas que hay en el autobs la llamamos "masa", la variacin de la masa en el autobs se deber a la suma de las personas que entran en el autobs y salen del mismo en cada parada. Una herramienta fundamental para definir esta ecuacin (y todas las de Navier-Stokes realmente) es el Teorema del Transporte de Reynolds que relaciona expresiones integrales sobre masas de control (volmenes cerrados o fluidos) con expresiones integrales sobre volmenes de control. - Ecuacin de la cantidad de movimiento: Esta es la segunda ley de Newton, la que todos conocemos como F=ma. Es una ecuacin vectorial porque nos da 3 ecuaciones escalares, una para cada direccin del espacio. La aceleracin de un conjunto de partculas de nuestro fluido se debe a las fuerzas que actan sobre dicho conjunto, y el anlisis de estas fuerzas es bastante complejo. Las fuerzas son de 2 tipos, las fuerzas de largo alcance (como la gravedad) y las fuerzas de contacto que el resto del fluido ejerce sobre el conjunto de partculas que nosotros estudiamos. Estas ltimas son las ms complejas, en ellas entran los esfuerzos de viscosidad y de presin, un berenjenal de mucho cuidado. Pero lo importante es quedarse con que esta ecuacin es en esencia el "F=ma" que todos conocemos de nuestra tierna infancia. Como curiosidad, el Teorema de Bernouilli que tanto se menciona cuando se habla de "porqu vuela un avin", no es ms que la ecuacin de la cantidad de movimiento pero MUY simplificada.

- Ecuacin de la energa: Esta es la ecuacin de la conservacin de la energa conocida de la Termodinmica y viene a decir que la variacin de la energa de un conjunto de partculas de nuestro fluido se debe a la suma del calor que "entra o sale" de nuestro conjunto de partculas y del trabajo que las fuerzas de contacto y las fuerzas de largo alcance ejercen sobre el conjunto de partculas que estudiamos. Vamos que si pones una sopa al fuego la variacin de la energa de la sopa se debe al calor que recibe la misma debida al fuego. Si adems nos dedicamos a remover la sopa mientras la calentamos, estaremos realizando un trabajo sobre la misma que tambin hace variar su energa. Por tanto la variacin global de la energa que contiene la sopa se debe a la suma de nuestro trabajo removiendo y del calor que recibe debido al fuego.

- Ecuacin trmica de estado: Esta ecuacin nos la da la Termodinmica. Casi todos aprendimos en qumica del colegio la famosa formulita "pV=RnT" Esta es la ecuacin de estado para gases perfectos y en unos rangos muy especficos de presin y temperatura, una ecuacin muy simplificada. En general, si podemos determinar 2 variables de estado (como presin o temperatura) la termodinmica nos dar todas las dems en funcin de ests mediante ecuaciones de estado.

La resolucin de estas 6 ecuaciones, atendiendo a las condiciones de contorno que dependen de cada movimiento concreto, nos llevar a determinar la velocidad, la presin, la temperatura y la densidad de nuestro fluido en cada punto del espacio y en cada instante. Si bien puede parecer muy complicado, la fsica que hay detrs no es para tanto y se entiende muy bien (de hecho con palabras se entiende bastante bien), pero se requiere de un profundo conocimiento de las matemticas para poder abordar el problema analticamente. Tal es as que estas ecuaciones se estudian en muchas facultades de matemticas como ejemplo de matemtica aplicada y son muchos los matemticos que se dedican a ellas.

En la vida real, este conjunto de ecuaciones es un pepino que ni el japons ms listo lo resuelve. Entonces lo que se hace es meter simplificaciones a tutipln, por ejemplo que el movimiento no depende del tiempo, que la viscosidad del fluido es despreciable, que el movimiento es plano, que no hay fuerzas de largo alcance, que no hay transferencias de calor etc, porque de lo contrario esto sera imposible de resolver en la prctica.

De hecho, los ingenieros estudian Mecnica de Fluidos casi nica y exclusivamente para aprender las situaciones ms tpicas (fluidoesttica, movimiento unidireccional etc.) en las que poder simplificar las ecuaciones todo lo posible. Meter un sistema de ecuaciones matemticamente cerrado en un ordenador para que lo resuelva numricamente no tiene demasiado mrito. Lo que tiene mrito de verdad es darse cuenta de que en tal problema podemos despreciar la viscosidad porque no es importante frente a la aceleracin, o que podemos asumir que el lquido se mueve en una sola direccin o yo que s.... y por ello la Mecnica de Fluidos nos ensea a estimar rdenes de magnitud, que consiste en ESTIMAR cmo de importante es cierta magnitud frente a las dems. Pegada a la chepa de la estimacin de rdenes de magnitud vienen todos los nmeros adimensionales que casi siempre resultan de "comparar" trminos, por ejemplo, el "famoso" nmero de Reynolds compara los trminos inerciales frente a los viscosos en la ecuacin de cantidad de movimiento y por tanto en movimientos con nmeros de Reynolds enormes (mucho mayores que 1) la viscosidad es despreciable. As hay muchos nmeros adimensionales, el de Bond (que mide la importancia relativa de las fuerzas de tensin superficial frente a la gravedad), el de Strouhal (relaciona el tiempo de residencia de las partculas fluidas en el recinto de estudio con el tiempo caracterstico en que se modifican apreciablemente las condiciones en ese recinto), el de Mach (compara la velocidad del flujo con la velocidad del sonido) etc. y casi todos "comparan" dos trminos para decir cul es importante frente a cul (o si ambos son igual de importantes).

Con esta breve introduccin cualitativa espero haber allanado el terreno sobre el que ha de cimentarse el complejo edificio de la Mecnica de Fluidos. Me he propuesto no usar ni una sola expresin matemtica en esta introduccin con el convencimiento de que la fsica del problema ha de poder entenderse mediante palabras. Luego ya la matemtica podr ser todo lo compleja que uno quiera, pero ello no nos supondr ningn dolor de cabeza si tenemos bien claro el trasfondo fsico del asunto.

As que nimo, valor y al toro!

ndice de contenidos

Cinemtica 1.1 Concepto de Fluido...27 1.2 Hiptesis de medio continuo. Concepto de partcula fluida.27 1.3 Descripcin Lagrangiana y Euleriana...28 1.4 Derivada local y sustancial...29 1.5 Visualizacin del campo de velocidades..30 1.6 Movimiento estacionario. Movimiento uniforme.32 1.7 Sistemas fluidos33 1.8 Vector diferencial de desplazamiento...34 1.9 Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.35 1.10 Teorema del transporte de Reynolds...36 1.11 Ecuacin de continuidad..39 1.12 Funcin de corriente41 1.13 Funcin material (no entra)..43 1.14 Vorticidad. Lneas y tubos de vorticidad.43 1.15 Circulacin. Movimientos irrotacionales o potenciales...44 1.16 Teorema de Bjerkness Kelvin...45 1.17 Anlisis del campo de velocidades en el entorno de un punto45 TP-1 CIN Septiembre 2006 30.09.201160 TP-2 CIN Septiembre 2004 07.10.201161 TP-3 CIN Febrero 2004 11.10.2011..62 TP-4 CIN Septiembre 2004 21.10.201162 TP-5 CIN Septiembre 2004 14.10.201163 TP-6 CIN Septiembre 2004 Autocontrol...63 TP-7 CIN Septiembre 2004 Resuelto64 TP-8 CIN Septiembre 1999 Resuelto65

Ecuaciones Generales 2.1 Fuerzas en el seno de un fluido. Tensor de esfuerzos..95 2.2 Fuerza resultante sobre una superficie..98 2.3 Equilibrio termodinmica local. Ecuaciones de estado98 2.4 Relaciones constitutivas.100 3.1 Ecuacin de la continuidad (conservacin de la masa)..111 3.2 Ecuacin de la cantidad de movimiento. Ecuacin del momento cintico111 3.3 Ecuacin de la energa mecnica113 3.4 Ecuacin de Bernoulli114 3.5 Ecuacin de la energa total (conservacin de la energa)..114

10

3.6 Ecuacin de la energa interna116 3.7 Ecuacin de la entalpa...117 3.8 Ecuacin de la entropa...117 3.9 Ecuacin de la entalpa de remanso118 3.10 Ecuacin de la vorticidad (no entra).118 3.11 Planteamiento general de un problema.119 3.12 Condiciones iniciales127 3.13 Condiciones de contorno (tensin superficial).127 P-1 EG-FD Febrero 2002 25.10.2011 Inyector141 P-2 EG-FD Febrero 2007 28.10.2011.142 P-3 EG-FD Septiembre 1998 04.11.2011143 P-4 EG-FD Septiembre 2001 10.11.2011 Chorro144 P-5 EG-FI Febrero 1998 Resuelto...145 P-6 EG-FD Septiembre 2005 11.11.2011148 P-7 EG-FD Septiembre 1994 Autocontrol..149

Fluidoesttica y Anlisis Dimensional 4.1 Introduccin182 4.2 Ecuaciones generales de la fluidoesttica...182 4.3 Condiciones iniciales y de contorno...183 4.4 Condiciones de equilibrio...184 4.5 Equilibrio de gases perfectos. Atmsfera estndar (no entra)186 4.6 Hidrosttica.188 4.7 Fuerzas sobre una superficie. Principio de Arqumedes (no entra)195 TP-9 AD Septiembre 2009 15.11.2011...198 TP-10 AD Febrero 2010 22.11.2011 - Barra metlica...198 TP-11 AD Febrero 2005 Autocontrol..198 TP-12 AD Febrero 2011 25.11.2011 Perfil..199 TP-13 AD Febrero 2006 24.11.2011...200 TP-14 AD Febrero 2001 Resuelto Burbuja de aire..200 TP-15 AD Febrero 1985 Resuelto Termmetro...201 TP-16 FEST Febrero 2001 17.11.2011 Teora de la FEST..214 TP-17 FEST Septiembre 2003 18.11.2011..214 TP-18 FEST Febrero 1997 Resuelto...214 TP-19 FEST Febrero 2008 18.11.2011...214 TP-20 FEST Junio 1999 22.11.2011 Pompa de jabn215 TP-21 FEST Septiembre 2002 22.11.2011 Tubo capilar.215 TP-22 FEST Febrero 2006 24.11.2011 Gota de aceite.215 P-1 FEST Septiembre 2000 29.11.2011..228 P-2 FEST Febrero 1999 01.12.2011 Cucurucho..229 P-3 FEST Septiembre 2003 02.12.2011..230 P-4 FEST Marzo 2011 09.12.2011..231 P-5 FEST Febrero 2004 Autocontrol...232

11

Movimientos unidireccionales de fluidos incompresibles 5.1 Introduccin252 5.2 Ecuaciones, condiciones iniciales y de contorno252 5.3 Corriente de Couette...254 5.4 Corriente de Poiseuille en un tubo..257 5.5 Corriente en conductos de seccin transversal no circular (no entra)260 5.6 Movimientos unidireccionales no estacionarios de fluidos incompresibles...261 TP-23 MU Septiembre 2008 Resuelto273 TP-24 MU Septiembre 2007 Autocontrol..274 P-1 MU Febrero 2006 08.12.2011..277 P-2 MU Febrero 2011 13.12.2011 Manmetro...278 P-3 MU Febrero 2008 15.12.2011..279 P-4 MU Febrero 2007 16.12.2011..280 P-5 MU Febrero 2002 Resuelto..281 P-6 MU Febrero 2010 10.01.2012..285 P-7 MU Septiembre 2011 22.12.2011 - Disco duro...286 P-8 MU Septiembre 2009 Resuelto Viscosmetro...287 P-9 MU Febrero 2003 Autocontrol288

Fluidos ideales Conceptos Generales 8.1 Introduccin324 8.2 Movimientos a altos nmeros de Reynolds324 8.3 Ecuaciones de Euler para fluidos ideales...328 8.4 Velocidad del sonido. Movimientos subsnico y supersnico...329 8.5 Movimientos isoentrpicos y homoentrpicos...330 8.6 Ecuacin de Euler Bernouilli...331 8.7 Magnitudes de remanso..333 8.8 Magnitudes fluidas crticas.334 8.9 Movimientos casi-estacionarios.335 Movimientos Irrotacionales 9.1 Movimientos irrotacionales. Definicin.337 9.2 Condiciones suficientes de irrotacionalidad...337 9.3 Ecuaciones del movimiento irrotacional340 9.4 Condiciones iniciales y de contorno...341 Superficies de discontinuidad (ondas de choque) 10.1 Introduccin..344

12

10.2 Discontinuidades fuertes...344 10.3 Ecuaciones del salto a travs de una onda de choque...346 10.4 Relacin de Hugoniot. Irreversibilidad y sentido de la transformacin...348 10.5 Ondas de choque normales...351 10.6 Ondas de choque oblicuas354 10.7 Relacin de Prandtl (no entra)..355 10.8 Ondas de choque muy dbiles..355 10.9 Ondas de choque muy intensas.356 10.10 Ondas de choque adheridas y desprendidas...357 10.11 Reflexin de ondas de choque en una pared slida358 10.12 Espesor de las ondas de choque (no entra).358 10.13 Interaccin de ondas (no entra)..359 Expansiones de Prandtl Meyer 11.1 Corriente plana radial de Prandtl Meyer366 11.2 Ecuacin del potencial de velocidades en coordenadas polares...366 11.3 Anlisis de la deflexin infinitesimal de una corriente supersnica372 11.4 Expansiones consecutivas.373 11.5 Expansiones alrededor de una pared curva...373 11.6 Interaccin entre una onda de choque y una expansin de Prandtl Meyer373 11.7 Reflexin de onda de choque sobre superficie de discontinuidad tangencial..374 Toberas, Descarga y carga de depsitos 12.1 Introduccin..381 12.2 Diferencias de comportamiento entre corrientes sub- y supersnicas..382 12.3 Conceptos generales sobre toberas...383 12.4 Determinacin del gasto msico en una tobera384 12.5 Tobera convergente divergente (tobera de Laval).385 12.6 Descarga de un depsito...394 12.7 Carga de un depsito396 Tablas para problemas de ondas de choque, EPM y toberas.....407-448 P-1 Septiembre 2011 19.01.2011450 P-2 Septiembre 2009 19.01.2011 Perfil triangular...451 P-3 Septiembre 2008 26.01.2011 Pistn en tubo..452 P-4 Febrero 2005 20.01.2011..453 P-5 Febrero 2008 24.01.2011 Vehculo supersnico...454 P-6 Febrero 2007 01.02.2011..455 P-7 Febrero 2010 30.01.2011 Jeringuilla.456 P-8 Septiembre 2008 Resuelto457 P-9 Febrero 2011 04.02.2011 Descarga de tobera (aplicacin teora).458 P-10 Febrero 2006 Autocontrol...459 TP-25 FI-CG Septiembre 2009 Resuelto.504 TP-26 FI-CG Febrero 2009 Resuelto..507 TP-27 FI-CG Septiembre 2011 Resuelto.509 TP-28 FI-CG Febrero 2008 (sin solucin)...510

13

TP-29 FI-OC Septiembre 2007 Resuelto.510 TP-30 FI-OC Febrero 2010 Resuelto..530

Introduccin a la turbulencia 13.1 Introduccin..517 13.2 Valores medios. Reglas de clculo de valores medios.518 13.3 Ecuaciones de Reynolds del mvto. turbulento de un fluido incompresible..519 13.4 Viscosidad Turbulenta..522 13.5 Movimiento turbulento de lquidos en tubos de seccin circular constante.526 13.6 Movimiento turbulento en conductos de seccin variable...534 TP-31 TURB Febrero 1999 Resuelto..548 TP-32 TURB Febrero 2003 Resuelto..548 TP-33 TURB Febrero 2011 Resuelto..549

Anexos

- Apndice 1: Operadores diferenciales...556 - Apndice 2: Ecuaciones generales562 - Resmenes de teora..571 - Siete cuestiones de teora recurrentes en examen..630 - Repaso de operadores vectoriales..641 - Examen del 07 de Febrero de 2012...671 - Examen del 11 de Septiembre de 2012.684

JC lngemera, Arquitectura,

Formacin Tcnica.

~

Ingenieros Aeronuticos Mecnica de Fludos 1

z. 9.

MECNICA DE FLUIDOS (1)

Cuestiones Generales y Consejos.

Temario asignatura.

Preguntas tericas de examen.

Estudio de la teora a travs de los resmenes.

Calendario.

Osear Sanz.

15

~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 l ~JC Profesor lngef

~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 ~JC Profesor lngejerla, Arquitectura,

e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. Fonnacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~/

3.- Temario de la asignatura.

Tema Subte mas Lecciones Resmenes en JC (ETSI~

Cinemtica de Fluidos 9J~~~-~~~~i~~--------------- ------~~~----- _

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5. Epgrafes de teora imprescindibles para el desarrollo de la asignatura.

TEORA IMPORTANTE DE CINEMTICA DE FLUIDOS (1) V (11).

Apartado Epigrafe Comentario

1.4 1.4 Estudiar para diferenciar claramente entre los conceptos de variacin local y variacin convectiva de una magnitud fluida.

1.5 1.5.1, 1.5.2 y 1.5.3 Muy importante los conceptos de trayectorias, sendas y lneas de corriente para terico prcticos de Cinemtica.

1. 7 1.7.1 y 1.7.2 Muy importante los conceptos de lneas y superficies fluidas para terico prcticos de Cinemtica.

1.8 1.8 Se deben saber de memoria los factores de escala para los diferenciales de desplazamiento en todos los sistemas de coordenadas curvilneas ortogonales.

1.9 1.9 Leer detenidamente para entender de forma clara el concepto de flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.

1.10 1.10 Slo es preciso conocer la relacin que establece el Teorema del Transporte de Reynolds entre las variaciones temporales de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido y a un volumen de control ..

1.11 1.11 Conocer de memoria la Ecuacin de Continuidad en forma integral para un volumen de control (significado fisico de los trminos) y diferencial en sus dos formatos.

1.12 1.12 Muy importante el concepto de funcin de corriente para terico prcticos de Cinemtica.

1.15 1.15 Slo es preciso conocer los conceptos de circulacin y movimiento irrotacional. Su aplicacin se ver en los teorico- prcticos de Cinemtica.

1.16 1.16 Slo conocer la expresin del Teorema de Bjerkness- Kelvin.

1.17 1.17.1 y 1.17.2 Conocer las definiciones del tensor de velocidades de deformacin y del tensor de rotacin, a la vez que su influencia en el movimiento de las partculas fluidas en torno a un punto.

- 3 - Consejos generales. Temario. Planificacin. 18

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TEOR(A IMPORTANTE DE ECUACIONES GENERALES. (RELACIONES CONSTITUTIVAS, ECUACIONES DE LA DINAMICA, CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO)

Apartado Eplgrafe Comentario

2.1.1 Conocer de memoria todas la expresin de las fuerzas mslcas que pueden aparecer en la asignatura.

2.1 2.1.2 Conocer los conceptos de esfuerzos de presin y esfuerzos viscosos; significado fsico y cuando aparecen.

2.1.3 y 2.1.4 Entender el concepto de direcciones principales de esfuerzos. Saber cmo se calculan.

2.4.1 Conocer de memoria la expresin de la Ley de Navier - Poisson y la expresin de la resultante de las fuerzas viscosas sobre la unidad de volumen.

2.4

2.4.2 Conocer de memoria la expresin de la Ley de Fourier de la conduccin del calor y saber calcular el calor recibido por un volumen fluido apoyndonos en dicha ley.

3.2 3.2.1 y 3.2.2 Conocer de memoria la Ecuacin de la Cantidad de Movimiento en forma integral y diferencial (muy importante conocer el significado fsico de los trminos). Conocer las expresiones alternativas de la aceleracin convectiva.

3.3. 3.3 Leer detenidamente para conocer la ecuacin. Servir para deducir otros conceptos tericos de relevancia que si sern usados en la parte de fluidos ideales.

3.4 3.4 Leer detenidamente para conocer la ecuacin. Se aplicar en terico - prcticos de Cinemtica y en problemas de la parte de Turbulencia.

3.5 3.5 Conocer de memoria la Ecuacin de la Energa Total en forma integral (muy importante conocer el significado fsico de los trminos). Aparecer en problemas de Ecuaciones Generales.

3.6 3.6 Conocer de memoria la Ecuacin de la Energa Interna (muy importante conocer el significado fsico de los trminos). Aparecer en problemas de Ecuaciones Generales.

3.8 y 3.9 3.8y 3.9 Slo sern ecuaciones que utilizaremos en la parte de Fluidos Ideales.

3.11 3.11 Slo es preciso leer este epgrafe en el que se plantea de forma general el modo de atacar un problema. Se explicar detenidamente en el desarrollo de los problemas.

3.13 3.13 Conocer perfectamente todas las condiciones de contorno (cinemticas, dinmicas y energticas) que pueden aparecer en el desarrollo de un problema. No es preciso conocer su demostracin.

- 4 - Consejos generales. Temario. Planijicaci6n. 19

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TEOR(A IMPORTANTE DE FLUIDOESTTICA.

Apartado Epgrafe Comentarlo

4.2 4.2 Conocer de memoria las ecuaciones que establecen el equilibrio mecnico de los fluidos. Pueden ser necesarias en terico- prcticos.

4.2 4.4 Conocer la condicin que deben cumplir las fuerzas msicas en la fluidoesttica y las consecuencias que de ello se derivan. Pueden ser necesarias en terico- prcticos .

4.5 . 4.5 Importante el equilibrio de gases para los terico- prcticos.

Todo el apartado de Hidrosttlca es fundamental en los problemas de examen que se 4.6 4.6 ponen de esta parte. Especial atencin debe prestarse al epgrafe 4.6.2, estudio del

equilibrio de lquidos, con presencia de una interfase de separacin con un gas, para distintos casos limite del nmero de Bond ..

TEORIA IMPORTANTE DE MOVIMIENTOS UNIDIRECCIONALES Y CASI- UNIDIRECCIONALES (EFECTOS DE LA ENTRADA) DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

Apartado Epgrafe

5.2 5.2.1

5.3 5.3

5.4 5.4

5.6 5.6.2y 5.6.3

5.7 5.7.x

5.8 5.8.2.x

Comentario

Conocer de memoria las ecuaciones que gobiernan el movimiento unidireccional de fluidos incompresibles. Pueden ser necesarias en terico- prcticos.

Conocer las hiptesis del movimiento de Couette y la ecuacin diferencial que gobierna el movimiento. No es preciso conocer el estudio trmico de este movimiento.

Conocer las hiptesis del movimiento de Poiseuiile y la ecuacin diferencial que gobierna el movimiento. No es preciso conocer el estudio trmico de este movimiento.

Conocer las hiptesis de los movimientos de Stokes y Rayleigh y las ecuaciones diferenciales que gobierna estos movimientos. Muy importante saber integrarlas y entender el concepto de solucin de semejanza de la corriente de Rayleigh. Conocer los rdenes de magnitud de todos los trminos de la ecuacin de cantidad de movimiento en el movimiento de fluidos incompresibles en conductos de seccin lentamente variable. Conocer las simplificaciones de estas ecuaciones en funcin del orden de magnitud de los nmeros de Re, St y ReSt.

Conocer las simplificaciones del movimiento en funcin del orden de magnitud del nmero Re.

- 5 - Consejos generales. Temario. P/anificaci6n. 20

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TEORIA IMPORTANTE DE FLUIDOS IDEALES.

Leccin 1 Subtema Epigrafe Comentarlo Leer detenidamente para conocer los criterios que deben darse para despreciar los

8.2: Movimientos a Re>> 1. efectos viscosos y de la conduccin del calor. Recordar el caso casi- estacionario (St 1),

Fluidos Ideales. sin fuerzas msicas. Particularizacin de las ecuaciones de Navier

Conceptos generales. 8.3: Ecuaciones de Euler. -

Stokes para fluidos ideales. Se deben conocer.

8.5: Mov. lsoentrpicos y Homoentrpicos. Leer su definicin y saber diferenciarlos.

8.6: Ecuacin de Euler- Bernouilli. Ignorar, pero esta es una de las deducciones tericas que podran ser preguntadas. 8. 7 y 8.8: Magnitudes de remanso y criticas. Estudiar detenidamente. 9.2: Condiciones suficientes Leer detenidamente para conocer de Fluidos Ideales. para que un memoria las condiciones suficientes bajo las movimiento sea irrotacionalidad.

Movimientos lrrotacionales. cuales el movimiento es irrotacional. Slo es preciso conocer las ecuaciones de un

9.3: Ecuaciones de un mov. irrotacional. movimiento homoentrpico irrotacional de gases (pg. 17)

13.2: Ecuaciones para el flujo de fluidos ideales en Slo es preciso conocer el resultado de la Fluidos Ideales. ecuacin de la energa para compresores,

Flujo a travs de turbomquinas. turbomquinas turbinas y bombas. Concepto de altura manomtrica en bombas

13.3: Efectos reales en turbomquinas hidrulicas. y altura neta de succl6n en turbinas. Conocer los parmetros de los que dependen.

10.1: Introduccin. Leer detenidamente. Fluidos Ideales. 10.2: Discontinuidades fuertes. Leer detenidamente.

Superficies de discontinuidad. 10.3: Ondas de choque. Estudiar detenidamente. 10.4: Sentido de la transformacin. Estudiar detenidamente. 10.5 y 10.6: O. C. Normales y Oblicuas. Se explicarn los rficos en clase.

11.2.1: Estudiar detenidamente. 11.2.3: Estudiar detenidamente.

Expansiones Prandtl- Meyer. 11: Expansiones de Prandtl- Meyer. 11.2.4: Estudiar detenidamente. 11.2.5: Estudiar detenidamente. 11.2.6,11.2.7,11.4 y 11.5: Se vern sobre los problemas.

12.1: Introduccin. 12.2: Comportamiento subsnico 1 supersnico.

Estudiar detenidamente. 12.3: Conceptos generales sobre toberas. 12.4: Determinacin del gasto msico.

12.5: Tobera convergente- divergente. Son todos los casos de toberas; se explicarn en clase. . Leer detenidamente las pgs. 57 - 58

Fluidos Ideales. para conocer lo que ocurre en el interior Toberas y Depsitos. 12.6: Descarga de depsitos. de un depsito que se descarga.

. Estudiar de memoria las ecuaciones (1) y (2)de una descarga (pg. 59)

. Leer detenidamente la pg. 59 para conocer lo que ocurre en el interior de un

12.7: Carga de depsitos. depsito que se carga. . Estudiar de memoria las ecuaciones (3) y

(4) de una carga (pg. 60)


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TEORA IMPORTANTE DE TURBULENCIA (LiQUIDOS Y GASES).

Apartado Epigrafe Comentarlo

1 1 Leer bien para entender las caractersticas de un movimiento turbulento.

3 3.1, 3. 2 y 3. 3 Leer bien el concepto de "Esfuerzos aparentes de Reynolds".

5.2 Estudiar zonas del movimiento turbulento en tubos de seccin recta constante (subcapa laminar, zona transicin, ncleo turbulento).

5

5.3y5.4 Concepto de "Coeficiente de Darcy- Welsbach, A." y su relacin con la calda de presin entre dos secciones del conducto. Concepto de "Radio hidrulico".

6.1 y 6.2 Leer detenidamente para conocer el significado fisico de todos los trminos de las ecuaciones que gobiernan el movimiento turbulento.

6.5 Ecuaciones del movimiento turbulento de liquldos en tubos de seccin constante

6 (muy Importante).

6.6 Movimiento turbulento y estacionario de gases en tubos de seccin constante, adiabtico y con friccin (Leer detenidamente).

6.7 Movimiento turbulento y estacionario de gases en tubos de seccin constante, no adiabtico y sin friccin (Leer detenidamente).


~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 rJc Profesor

lngon1erfa, Arquitectura, e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid.

Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www .academ iajc.com OscarSanz ~/ 6.- Fechas de clase en la academia, no coincidentes con el calendario lectivo de la escuela.

La clase A1 de L-05/Dic se dar el J-08/Dic, de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-06/Dic se dar el V-09/Dic, de 19:30 a 21 :30. Esta semana se impartirn las clases 81, 82, C1 y C2 en sus horarios habituales.

--- -------------~---~. --------------~-~---- ----------~----------~-- -- SEPTIEMBRE 1 OCTUBRE OCTUBRE 1 NOVIEMBRE DICIEMBRE

L M X J -V 1 S L X V 1 S L P.(j i 1 J 1 V ~--- -- ~ 29 - -36 --- 1 - - ! 5 11 ___ 1 T- ~ 3--

3 f 4 1 5 6 1 8 1 10 11 112-1-1ol 11 - --13 14 115 14 17 11a- - 19 1 12 , f3- :-14- 15 1 is 1 1i

1

1 10 ~f~w~~ 21 u_,24 :~:..:.~.:..:.:j

Lo ,.., A1 do L-31/0't" d.,:-J::7/0,t, (-~::::;~:::~::::,:::: B1 de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-1/Nov 82, C1 y C2 en sus horarios habituales. se dar V-28/0ct, de 19:30 a 21:30

Vuelta a las clases tras la Navidad 1 Ex. Mtodos Matemticos 11 (9:00 h) 1

ENERO FEBRERO L M X J V S L 1M X J

1 2 11111111111111116 llis 9 ' 10

10 11 12 13 ' 14 13 14 15 16 17 16 17 18 19 20 21 20 21 22 23 24

1 23 24 25 30 IEIIl

11 18 25

1 Ex. Vibraciones (9:00 h) ~ j

Fechas Incidencia Modificacin 1 Observaciones M-12/0et Fiesta Nacional No afecta a las clases en la academia.

1

M -01/ Nov Fiesta Nacional La clase A1 de L-31/0ct se dar J-27/0ct, de 17:30 a 19:30. La clase A2 de M-1/Nov se dar V-28/0ct, de 19:30 a 21:30. La clase A 1 de L-05/Dic se dar el J-08/Dic, de 17:30 a

1 Happy week Cachondeo ETSIA 19:30. La clase A2 de M-06/Dic se dar el V-09/Dic, de (del L-05/ Die al V-9/ Die) 19:30 a 21:30. Esta semana se impartirn las clases 81, 82, C1 y C2 en sus horarios habituales.

2 Happy week Cachondeo ETSIA Esta semana se impartirn las clases A1, A2, 81, 82, C1 y (del L-19/ Die al V-23/ Die) C2 en sus horarios habituales. L - 9 1 Ene. 1 2012 Vuelta a clase en la academia. --------------------------------------V- 27/ Ene. Fiesta Universitaria Se impartirn las clases C1 y C2 de los Viernes en el horario habitual. M- 31/ Ene. Ex. Vibraciones (9:00 h). No afecta a las clases en la academia. V- 3/ Feb. Ex. Mtodos Mat. 11 (9:00 h). No afecta a las clases en la academia.

M - 07 1 02 1 2012 Examen Final -----------------------------


Cinemtica

24

Cinemtica 1.1 Concepto de Fluido27 1.2 Hiptesis de medio continuo. Concepto de partcula fluida..27 1.3 Descripcin Lagrangiana y Euleriana28 1.4 Derivada local y sustancial29 1.5 Visualizacin del campo de velocidades...30 1.6 Movimiento estacionario. Movimiento uniforme..32 1.7 Sistemas fluidos33 1.8 Vector diferencial de desplazamiento...34 1.9 Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.35 1.10 Teorema del transporte de Reynolds...36 1.11 Ecuacin de la continuidad (conservacin de la masa)...39 1.12 Funcin de corriente41 1.13 Funcin material (no entra)..43 1.14 Vorticidad. Lneas y tubos de vorticidad.43 1.15 Circulacin. Movimientos irrotacionales o potenciales...44 1.16 Teorema de Bjerkness Kelvin...45 1.17 Anlisis del campo de velocidades en el entorno de un punto45 TP-1 CIN Septiembre 2006 30.09.201160 TP-2 CIN Septiembre 2004 07.10.201161 TP-3 CIN Febrero 2004 11.10.2011..62 TP-4 CIN Septiembre 2004 21.10.201162 TP-5 CIN Septiembre 2004 14.10.201163 TP-6 CIN Septiembre 2004 Autocontrol...63 TP-7 CIN Septiembre 2004 Resuelto64 TP-8 CIN Septiembre 1999 Resuelto65

25

JC Ingenieros Aeronuticos Mecnica de Fludos 1

lngemera, Arquitectura, Formacin Tcnica.

~ 'Z..

CONCEPTOS BSICOS. CINEMTICA (1).

1.1.- Concepto de fluido.

1.2.- Hiptesis de medio continuo. Concepto de partcula fluida.

1.3.- Descripcin Lagrangiana y Euleriana.

1.4.- Derivada local y sustancial.

1.5.- Visualizacin del campo de velocidades.

Pg.

1

1-2

2-3

3-4

1.5.1.- Trayectorias. 4 1.5.2.- Sendas. 4 1.5.3.- Lneas de corriente. Diferencia con las sendas. Representacin. 5-6 1.5.4.- Superficies de corriente. 6

1.6.- Movimiento estacionario. Movimiento uniforme. 6

1. 7.- Sistemas fluidos.

1. 7.1.- Lneas fluidas. 1. 7.2.- Superficies fluidas. Velocidad normal de avance.

1.8.- Vector diferencial de desplazamiento.

1.9.- Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva. 1.1 0.- Derivacin de integrales extendidas a volmenes fluidos.

*Teorema del transporte de Reynolds.

G

7 7-8

8

9

10

Osear Sanz.

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~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 .. J JC Profesor el Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid.

lngen erla, Arquitectura, OscarSanz Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com ~/ 1.1.- Concepto de fluido.

Teniendo en cuenta la respuesta de la materia a un esfuerzo cortante aplicado sobre ella (punto de vista macroscpico), la Mecnica de Fluidos distingue entre:

Slidos: resisten los esfuerzos cortantes (tangenciales) mediante una defonnacin esttica permanente (la deformacin esttica est relacionada con el esfuerzo cortante aplicado).

Fluidos: no resisten los esfuerzos cortantes, ya que stos provocan la deformacin continua del fluido, es decir, sometido a un esfuerzo cortante el fluido responde deformndose continuamente mientras perdure el esfuerzo aplicado (la velocidad de deformacin est relacionada con el esfuerzo

- cortante aplicado) 1 A esta propiedad se le llama fluidez. Por lo tanto para que un fluido est en reposo debe estar en un estado de esfuerzo cortante nulo en cualquiera de sus puntos.

Teniendo en cuenta la estructura molecular de la materia y las fuerzas intermoleculares se puede realizar una distincin en los fluidos entre lquidos y gases. Si se representa la fuerza entre dos molculas aisladas tpicas en funcin de la distancia entre ellas observamos que para distancias de orden do (do "' 10 -to m en una molcula tpica) o menores la fuerza es repulsiva mientras que para valores de d >> do la fuerza es de atraccin dbil.

En los gases, en general y en condiciones normales, las molculas son pequeas, hay gran distancia entre ellas y las fuerzas intermoleculares son despreciables frente a la energa cintica, por lo que tienden a ocupar todo el espacio disponible hasta encontrar unas paredes que lo limiten (en primera aproximacin las molculas se mueven con independencia unas de otras; es lo que llamamos modelo de gas perfecto).

En los lquidos, en general y en condiciones normales, las molculas son grandes, hay poca distancia entre ellas (del orden del tamao molecular) y las fuerzas intermoleculares son fuertes, por lo que tienden a ocupar un volumen finito.

Macroscpicamente hay que destacar dos diferencias impot1antes entre lquidos y gases. En primer lugar, los lquidos tienen una densidad mucho mayor que los gases, del orden de pq "' 103 Pgaso por lo que se precisan fuerzas mucho mayores en los lquidos que en los gases para producir aceleraciones del mismo orden de magnitud 2 En segundo lugar la compresibilidad es muy diferente entre ambos, ya que los gases se comprimen mucho ms fcilmente que los lquidos, y por tanto, en aquellos movimientos en los que las variaciones de presin sean importantes el cambio en la densidad del gas es muy superior al de los lquidos, casi es inapreciable.

1.2.- Hiptesis de medio continuo. Concepto de partcula fluida. Todas las sustancias se componen de un gran nmero de molculas que actan entre si mediante

colisiones y fuerzas intermoleculares. Describir el comportamiento de una muestra de fluido en tnninos de la dinmica de sus molculas no resulta prctico debido al gran nmero de ellas. Por ello la Mecnica de Fluidos estudia el comportamiento a escala macroscpica, considerando que las distancias de inters prctico en nuestras aplicaciones son grandes frente a las distancias intermoleculares, suponiendo que las propiedades fsicas de la materia contenida en un pequeo volumen estn repat1idas uniformemente a travs de l, en lugar de estar concentradas en algunas pat1es, pudiendo por tanto describir el compot1amiento del fluido mediante las propiedades que ste toma en dichos volmenes elementales, consideradas como funciones continuas del espacio -tiempo, p( x , t), p( x , t), T( x , 1), etc. (modelo de medio continuo).

La validez del modelo de medio continuo se justifica cuando el camino libre medio entre colisiones de las molculas, A, es mucho menor que la longitud caracterstica, Le, de las variaciones macroscpicas de las magnitudes fluidas, es decir, el nmero de Knudsen, Kn = A!Lc

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e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~/

Bajo la hiptesis anterior podremos considerar en cada instante un elemento de volumen dV, grande a escala microscpica y pequeo a escala macroscpica, A

4 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 rJc Profesor el Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. lnge~erfa, Arquitectura, OscarSanz Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com ~/

* Descripcin Euleriana. Esta descripcin se centra en determinar la evolucin temporal de las magnitudes fluidas en un punto

cualquiera del espacio fsico, x, independientemente del hecho de que en cada instante haya una partcula fluida distinta ocupando dicho punto. Esta es la descripcin utilizada por defecto, puesto que en la Mecnica de Fluidos no se est tan interesado en las trayectorias como en conocer las magnitudes fluidas en cualquier posicin espacial, x, y en cualquier instante, t. Por tanto en la descripcin Euleriana las variables independientes son ( x , t).

Se dir que se dispone de una descripcin Euleriana del movimiento si se conocen las ecuaciones,

v=v(x,t); J= J(x, t), (1.3) para todas las magnitudes fluidas,/, que nos interesen.

Descripcin Var. independientes Var. dependientes

Lagrangiana CXo' t) .X =xr ( .X0 , t) Y f=f(Xo,t) Euleriana c.x, t) v =v (.X, t) y J= J(x, t)

El paso de una descripcin a otra del movimiento requiere el conocimiento de las trayectorias de las partculas fluidas, es decir, .X= Xr ( x0 , t).

1.4.- Derivada sustancial. Supongamos que disponemos de una descripcin Euleriana del campo fluido, es decir, conocemos

v = v (.X, t) y f= f (.X, t). Se est interesado en conocer la variacin temporal de cualquier magnitud fluida intensiva,, en un punto cualquiera del espacio. Para ello, se definen dos variaciones temporales:

Derivada local: es la variacin temporal de la magnitud f asociada a la partcula fluida en el instante t como si dicha partcula ocupase siempre la posicin .X (en un punto dado), es decir

a 1. (t..!) 1. (f(x, t)- f(x, t + t..t)) -= 1111 - = 1111 , at HO f../ x~cte HO f..t

y no representa toda la variacin que sufre la magnitud f asociada a la pmicula fluida debido a que la pmicula slo ocupa esa posicin instantneamente.

Derivada sustancial (o derivada total): es la variacin temporal de la magnitud f asociada a la partcula fluida en el instante t, manteniendo x0 constante, es decir, siguiendo a la partcula fluida en su movimiento,

_D J[x(.Xo,t),t]= lim (-t..!) =-a +_a_(_ax_) = aaift +vVf, Dt HO f..t xu~cte at ax at xu~cte (1.4)

y por tanto, la derivada sustancial es igual a la derivada local ms el producto contrado del campo de velocidades por el gradiente espacial de la magnitud fluida/ _,

La derivada local tiene en cuenta las variaciones temporales de f en un punto fijo del espacio, debido al carcter no estacionario de los flujos, mientras que la derivada convectiva tiene en cuenta la posible variacin espacial de J, en cada instante t, al moverse la partcula fluida entre dos posiciones adyacentes (este carcter convectivo se debe al movimiento de la partcula en el seno de un campo fluido no uniforme).

- 3 - Conceptos bsicos. Ciuemtica de fluidos. 29

----'!U-

~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 )~JC Profesor e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. lngen era, Arquitectura, OscarSanz Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com ~/

A la vista de estas derivadas, la derivadas sustancial del vector de posicin de cada partcula fluida es, por definicin, la velocidad,

_ Dx v=-

Dt '

y la derivada sustancial del vector velocidad de cada partcula fluida es, por definicin, la aceleracin,

_ DV ov -n-a=-=-+v vv,

Dt at (1.5)

donde "V v es un tensor de segundo orden que, en un sistema de coordenadas cartesianas, se expresa por,

(Vv) .. = avj JI a

xi

- - av. (vVv). =V.-1 , 1 J a

xi

mientras que en un sistema de coordenadas curvilneas ortogonales (polares, cilndricas, esfricas, etc.) tendremos otra expresin de la aceleracin, ya que V . 'lv = V ( v2 1 2)- V X (V X v) ' y por tanto,

_ DI! 811 (v2l _ _ a =- = + V - - v x (V x v) .

Dt ar 2 (1.6)

El trmino v "V v es un trmino no lineal en las componentes del campo de velocidades y origina dificultades matemticas en el anlisis diferencial de los flujos.

1.5.- Visualizacin del campo de velocidades.

1.5.1.- Trayectorias. Son aquellas curvas dadas por x = xT ( x0, t), es decir, el lugar geomtrico de los puntos del espacio

recorridos por cada partcula fluida (cada una identificada por x0 , en t = t0) en (uncin del tiempo. Es un concepto Lagrangiano, y en realidad representa la "lev horaria" con la que se mueve cada partcula fluida.

Desde un punto de vista Euleriano, conocido el campo de velocidades v = v ( x , t), las trayectorias se calcularn resolviendo un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden, donde el t es la variable independiente, y que en coordenadas curvilneas ortogonales admite la forma:

1.5.2.- Sendas. Se llaman sendas a las "travectorias reales" seguidas por las partculas fluidas, es decir, a las

ecuaciones implcitas del lugar geomtrico descrito por cada partcula fluida en su movimiento (con independencia de cmo lo recorren con t). Se obtienen a partir de las trayectorias eliminando el tiempo.

Eliminando el tiempo, t

- 4- Conceptos bsicos. Cinemtica de fluidos. 30

~ ! Ingenieros Aeronuticos 1! Fluidos 1 1 rJc Profesor

lngefterla, Arquitectura, e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid.

Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~/ 1.5.3.- Lneas de corriente.

Son aquellas curvas del espacio que, en un instante dado, son tangentes en todos sus puntos al correspondiente vector velocidad local. Concepto Euleriano, y el tiempo hace las (unciones de parmetro.

Para su determinacin matemtica utilizamos su definicin, imponiendo el paralelismo entre los vectores d x y v = v ( x , t), admitiendo en coordenadas curvilneas ortogonales la forma,

h1dx1 h2dx2 h3dx3 - - ,

v1(x1,x2 ,x3 ,t) v2 (x1,x2 ,x3 ,t) v3 (x1,x2 ,x3 ,t)

teniendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden que permiten calcular dos cualesquiera de las variables X en funcin de una tercera y de dos constantes de integracin, que en general sern funciones de t (familia de curvas biparamtrica); las constantes de integracin se determinarn si se desea calcular la lnea de corriente que en cierto instante to pasa por el punto x0 , es decir,

{x 2 = x 2 (x,a1,a2 ,t) x3 =x3 (x1,a,a2 ,t) {

Xz = Xz (x, Xo ,to) x3 = x3 (x,x0 ,t0 )

Diferencias entre lneas de corriente y sendas.

(siendo t un parmetro)

Considerando intervalos de tiempo muy pequeos, dt, cada pattcula fluida se mueve sensiblemente a lo largo de su vector velocidad, por lo que se tendr la impresin de que todas las partculas fluidas de una lnea de corriente se mueven a lo largo de ella durante un tiempo dt. Pero para intervalos de tiempo finitos, si el campo de velocidades vara con el tiempo, lo mismo ocurrir con las lneas de corriente, defmmndose continuamente.

Por tanto, las lneas de corriente nos indican cmo se mueven muchas partculas durante un intervalo de tiempo muy pequeo, mientras que las sendas nos muestran el movimiento de cada paticula durante un tiempo muy grande.

En un instante determinado las lneas de corriente son tangentes en cada punto, a la senda de la partcula que en ese instante ocupa dicho punto (ver figura 1 ).

Coincidencia entre lneas de corriente y sendas. ? t. u.::~.~ Hay dos situaciones en el movimiento de un fluido en el que se produce una coincidencia entre las

lneas de corriente y las sendas, que son: Movimiento estacionario, v = v ( x ). --:> diMiwtd"'- "' o Campo de velocidades no estacionario del tipo, v =V (X )f(t).

Linea de corriente

Fig. 1

- 5 - Conceptos bsicos. Cinemtica de fluidos. 31

4 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 ~JC Profesor lnge~erla, Arquitectura, el Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~/

Representacin de lneas de corriente. La representacin de las lneas de corriente pennite conocer el movimiento de las partculas fluidas en

pequeos intervalos de tiempo y por tanto ayuda al estudio de las causas que dominan el comportamiento de las mismas. Un amplio conocimiento de la dinmica de los fluidos es esencial a la hora de representar las lneas de corriente, pero a ttulo orientativo conviene tener en cuenta los siguientes aspectos:

Es muy interesante calcular el comportamiento de las lneas de corriente en el entorno de algunos puntos singulares, como pueden ser: en el infinito aguas arriba y aguas abajo, puntos de remanso, puntos singulares (manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes), etc ..

Las lneas de corriente slo pueden cortarse en puntos de remanso o puntos de velocidad "infinita" (como manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes, etc.).

A las lneas de corriente que pasan por los puntos de remanso se les llama lneas de corriente divisorias. Tienen tanta importancia que en gran parte de las situaciones basta conocerlas para comprender el movimiento del fluido.

Si hay un cuerpo slido e impermeable sumergido en el fluido, su contorno ser lnea de corriente 5

1.5.4.- Supeicies de corriente. Son aquellas superficies del espacio que, en un instante dado, estn formadas por todas aquellas

lneas de corriente que, en ese instante, se apoyan en una curva fija del espacio, Yo= Yo (A). Concepto Euleriano, y el tiempo hace las (unciones de parmetro.

Para su determinacin matemtica basta con calcular la familia biparamtrica que constituyen las lneas de corriente e imponer que en cierto instante 10 stas pasen por los puntos y0 (A), obtenindose la superficie de corriente en forma paramtrica,

o bien en forma implcita,f(x, x2, X3, lo)= O.

Si en un instante t = lo,

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1.7.- Sistemas fluidos.

1.7.1.- Lneas fluidas. Se llaman lneas fluidas a toda curva en el espacio que est formada en todo instante por las

mismas partculas fluidas. Concepto Lagrangiano.

Consideremos todas las partculas fluidas que en un instante t = t0 forman la curva x0 = x0 (A), de modo que para cada valor del parmetro A tenemos una partcula fluida. Siguiendo a cada una de las partculas que la forman en su movimiento, dejando pasar el tiempo, cada partcula realiza una trayectoria, de modo que para un instante posterior t = t 1 > t0, forman otra curva, distinta en general. Por tanto, la determinacin de la lnea fluida en un instante cualquiera posterior, t > t0 vendr dada, conociendo las trayectorias de las partculas, por x = x [ x0 (A), t], de modo que para cada valor de t se tiene la ecuacin de una curva en el espacio (ver figura 2).

de Mj;f!- d.\"' Si una lnea fluida es cerrada en t = t0, admitiendo la continuidad del cam_Qo de velocidades, ser

cenada en cualquier instante posterior t1 > t0

X= X 1 X,, (,\), 1 1 -----

t=t, \ Trayectoria de P Fig. 2

1. 7 .2.- Supeicies flqidas.

LF(t=t, >1,)

--\ Trayectoria de P

X =x 1 X, (,1, ,p,), 11

Fig. 3

Se llaman superficies fluidas a toda superficie en el espacio que est formada en todo instante por las mismas partculas fluidas. Concepto Lagrangiano.

Consideremos todas las partculas fluidas que en un instante t = lo forman la superficie x0 = x0 (A, J1), de modo que para cada valor de los parmetros A y J1 tenemos una partcula fluida. Siguiendo a cada una de las partculas que la forman en su movimiento, dejando pasar el tiempo, cada paticula realiza una trayectoria, de modo que para un instante posterior t = t 1 > t0 , fonnan otra superficie, distinta en general. Por tanto, la determinacin de la superficie fluida en un instante cualquiera posterior, t > t0 vendr dada, conociendo las trayectorias de las partculas, por ~:X:= x [ x0 (A, J1), t], de modo que para cada valor de t se tiene la ecuacin de una superficie en el espacio (ver figura 3).

Si una superficie fluida es cerrada en t = 10 , admitiendo la continuidad del campo de velocidades, ser cerrada en cualquier instante posterior 11 > t0 . Por ser superficie fluida cerrada, encierra un volumen, llamado volumen {luido, que contiene en todo instante el mismo nmero de paticulas fluidas, es decir, la masa presente en un volumen fluido es invariante con el tiempo 7.

7 Si el fluido presente en el volumen fluido es un gas, aunque la masa sea constante en su interior, puesto que la densidad p puede variar, variara el volumen ocupado por dicha masa a lo largo de su movimiento.

- 7- Conceptos bsicos. Cinemtica de fluidos. 33

~ 1 Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 ~JC Profesor lngen' at

_ a Df Vfv +-=-=0.

ot Dt (1. 7)

Se llama velocidad normal de avance de una superficie (luida a la proyeccin de la velocidad local de los puntos de dicha superficie fluida sobre la normal/oca/ a dicha superficie, es decir,

_ v 1 a V =V--=-----

11 v v ot

1.8.- Vector diferencial de desplazamiento. El vector diferencial de desplazamiento (longitud) en un sistema de coordenadas ortogonales genrico

viene dado por:

donde los /t son los factores de escala que afectan a todas aquellas coordenadas no lineales. Para calcular los factores /t asociados a las coordenadas X, se "congelan" el resto de las coordenadas Xj, damos un desplazamiento infinitesimal, pasando del punto P(x) al punto P'(x + dx), y el factor /t toma el valor:

h = desp. infinitesimal 1 dx

El siguiente cuadro muestra las coordenadas miogonales X y sus respectivos factores /t ms frecuentes en la prctica.

Coordenadas Xt Xz X3 ht hz h3 Cartesianas X y z 1 1 1 Cilndricas r (} z 1 r 1 Esfricas 1 r

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lngejerfa, Arquitectura, el Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid.

Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~__/ 1.9.- Flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva.

Sea una magnitud fluida extensiva ligada al fluido, y su magnitud especfica por unidad de volumen asociada. Se llama flujo convectivo de una magnitud extensiva ligada al fluido, a travs de una superficie fija al sistema de referencia, L( x ), a la cantidad de dicha magnitud que "atraviesa", con el fluido, dicha superficie en la unidad de tiempo (ver figura 4), es decir,

Flujo convectivo de = J~ (v ) dcr, 1:(x)

Fig.4 siendo e! vector unitario normal exterior a L( x ). Si el valor de la integral anterior es positivo se dice que el flujo es "saliente"; si es negativo, se dice que el flujo es "entrante".

Si L es una superficie mvil, L( x , t), habr que tener en cuenta que el volumen de fluido que atraviesa d(T' por unidad de tiempo no es ( v d(T'), sino [( v -vJ d(T'], es decir, considerando la velocidad normal de avance de la superficie, de modo que el flujo convectivo ser,

Flujo convectivo de = J~ ((v-ve) ) dcr, 1:(.1',1)

siendo ve la velocidad local de desplazamiento de la superficie L( x , t). Si L es una superficie fluida, Lr ( x, t), puesto que debe estar formada por las mismas partculas fluidas

en todo instante, la superficie se debe mover como lo hace el fluido, v =ve , y por tanto,

Flujo convectivo de = f~ ((v -vJ ) dcr =O, l:r(x.t)

Si L es una superficie de corriente, el flujo convectivo de a travs de ella es nulo puesto que - -v == O y ve =O .

Si L es una superficie cerrada (fija o mvil), I:( x, t), y (v-ve) es continua y derivable en todos los puntos de L y del volumen encerrado por ella, podremos aplicar el teorema de la divergencia (Gauss) para el clculo de la integral que nos proporciona el flujo convectivo, de modo que:

VM' MleX~ f f .- Si es un escalar: ~ ((v- vJ ) dcr == V (~(v- vJ) dO.. (magnitud escalar)

l:(.i',t) V(.'i,t)

.- Si es un vector: f~ ((v- vJ ) dcr == fv (~(v-ve)) dO. . (magnitud vectorial) l:(x.t) V(x,l)

donde ~ (V -vJ es un tensor (2 orden), cuya divergencia vale: {v. [~(v- vJ] L== a:.[~ (v- ve)J J

Como casos particulares de flujos convectivos de uso frecuente podemos mencionar: .- Si = V, flujo convectivo volumtrico o Caudal: Q = f ((v-ve) ) dcr.

l:(x,l)

.- Si =m, flujo convectivo msico o Gasto msico: G = G = f p ((v-ve) ) dcr. l:(x,t)

- 9- Conceptos bdsicos. Cinemdtica de fluidos. 35

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e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid. Formacin Tcnica. Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com OscarSanz ~

1.10.- Derivacin de integrales extendidas a volmenes fluidos. Al estudiar el comportamiento de un fluido podemos estar interesados en el anlisis de:

Volmenes fluidos: Este anlisis estudia la evolucin de una masa constante, masa de control (aunque el volumen que ocupe sea variable); visin Lagrangiana del estudio de un fluido.

Volmenes de control: Este anlisis estudia la evolucin del fluido a su paso por una regin especfica del espacio, que puede ser fija o mvil (la masa presente en el interior de dicha regin es distinta en cada instante); es una visin Euleriana del estudio de un fluido.

Las leyes de la Mecnica, la Termodinmica y los postulados de estado fueron deducidos para masas de control (volmenes fluidos), y puesto que en la Mecnica de Fluidos interesa un planteamiento Euleriano, se debe buscar el vnculo matemtico que nos permita evaluar las variaciones temporales de las magnitudes fluidas ligadas a un volumen fluido, examinando dichas variaciones en un volumen de control que coincida instantneamente con el volumen fluido.

Sea el>( x , t) una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido, Vr (t), y t/J( x , t) su magnitud intensiva por unidad de volumen asociada. Deseamos calcular la variacin temporal de la magnitud ci> ligada al volumen fluido en su movimiento, es decir,

!!_rJJ(x,r) = !!___ f~c:r,r)dn. dt dt 1',(1)

Se demuestra que dicha variacin es,

!!__ f~(x,t)dn = f a~(x,r) dn + f~ ligada a un volumen de control cualquiera, Vc(t), variable con el tiempo, es decir,

d f~cx,t)dn. dt l'c(t)

Se demuestra que dicha variacin es,

(1.9)

Si consideramos un volumen de control, Vc(t), que coincida en el instante considerado con el volumen fluido Vr(t), tal que I:r (t) = I:c(t), por diferencia entre las expresiones ( 1.8) y (1.9), tendremos,

!!__ f~ en el volumen de control que coincide en el instante considerado con el volumen fluido ms el flujo convectivo de ci> a travs de la superficie, I:c(t), de dicho volumen de control que se mueve como ve (puesto que nosotros elegimos el volumen de control, nosotros fijaremos cmo se desplaza, es decir, como es ve).

La expresin ( 1.1 O) se llama teorema del transporte de Revnolds.

- 1 o- Conceptos bsicos. Cinemtica de fluidos. 36

JC lngemera, Arquitectura,

Formacin Tcnica.

Ingenieros Aeronuticos Mecnica de Fluidos 1

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2.1. \0

3,4

CONCEPTOS BSICOS. CINEMTICA (11).

1.11.- Ecuacin de continuidad (conservacin de la masa). * En forma integral. En forma diferencial.

1.12.- Funcin de corriente.

1.13.- Funcin material. -?

1.14.- Vorticidad. Lneas y tubos de vorticidad. -/

1.15.- Circulacin. Movimientos irrotacionales o potenciales.

1.16.- Teorema de Bjerkness - Kelvin.

1

1.17.- Anlisis del campo de velocidades en el entorno de un punto. -? L.EER.

1.17.1.- Influencia del tensor de rotacin. 2.5. e:> 1.17.2.- Influencia del tensor de velocidades de deformacin.

Pg.

11-12

13-14

15

15-16

16-17

17

17

18 18-20

Osear Sanz.

37

1A d.tz 'E>$ o de c.:~~ e~

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~ l Ingenieros Aeronuticos 11 Fluidos 1 1 J JC Profesor e/ Almirante Francisco Moreno, 5, 1 lzda., 28040 Madrid.

lngen erfa, Arquitectura, OscarSanz Formacin Tcnica, Tlfno: 91 535 75 29 www.academiajc.com ~/ o 1.11.- Ecuacin de continuidad (conservacin de la masa). (4.A

* En forma integral. La ecuacin de continuidad no es ms que el principio de conservacin de la masa para un volumen

fluido, Vr (t). Considerando como magnitud fluida extensiva = m, ser l/J( x ,t) = p( x, t), e imponiendo la conservacin de la masa en un volumen fluido se tendr

mecnica de fluidos i - beneyto

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