mechanik ii: deformierbare körper
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Prof. D. Mohr
Mechanik II: Deformierbare Körper für D-BAUG, D-MAVT
Informationen zur Zwischenprüfung am 24.04.2020
Die Prüfung besteht aus Deckblatt und 7 Aufgabenteilen (A-G) auf
12 Seiten.
Sie haben 90 Minuten Zeit zur Bearbeitung der Aufgaben.
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Mechanik II: Deformierbare Körper Aufgabenblatt
für D-BAUG, D-MAVT Zwischenprüfung 24/4/2020
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Teil A – Spannungen
Gegeben sei der Spannungstensor im x-y-z-Koordinatensystem:
0 3 1
3 0 0
1 0 0xyz
T k
mit 0k
Frage A1 (2 Punkte):
Man bestimme die maximale Hauptnormalspannung 1 (3D Fall):
A1. 8
mögliche
Antworten 1 8k
1 10k 1 3k 1 8k
1 4k 1 2k 1 6k 1 0
Frage A2 (2 Punkte):
Man bestimme die Normalspannung p , die auf ein Flächenelement wirkt, das durch den
Normalenvektor 1
1
1xyz
p
im x-y-z Koordinatensystem definiert ist
A2. 8
mögliche
Antworten
2p
k 4
3p
k 2
3p
k pk
3p
k 10
3p
k 8
3p
k 4p
k
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Frage A3 (2 Punkt):
Man bestimme den Betrag der Schubspannung p , die auf ein Flächenelement wirkt, das
durch den Normalenvektor 1
0
0xyz
p
im x-y-z Koordinatensystem definiert ist.
A3. 8
mögliche
Antworten
4p
k 2p
k 8p
k 6p
k
10p
k 3p
k 0p
7p
k
Frage A4 (2 Punkt):
Gegeben sei 1 0 3
0 1 0
3 0 1xyz
T k
mit 0k
Man bestimme die minimale Hauptspannung 3 .
A4. 8
mögliche
Antworten 3 2k 3 4k 3 k 3 3k
3
1
2k 3
3
2k 3
3
4k 3 2k
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Teil B - Verzerrungen:
Frage B1 (1 Punkt):
Für eine Scheibe wurde aus Messungen das folgende ebene Verschiebungsfeld ermittelt:
3 3
0
3 3
0
( , ) 2 10 6 10
( , ) 2 10 3 10
u x y u x y
v x y v x y
Man bestimme die Komponenten des Verzerrungstensors im x-
y-Koordinatensystem.
B1. 8
mögliche
Antworten 3
2 410
4 3xyE
32 4
104 3xy
E
3
2 610
6 3xyE
32 4
104 3xy
E
32 6
106 3xy
E
32 6
106 3xy
E
32 4
104 3xy
E
32 6
106 3xy
E
Frage B2 (2 Punkt):
Gegeben sei der Dehnungstensor E im x-y-z-Koordinatensystem:
4
12 3 0
3 4 0 10
0 0 0xyz
E
Man bestimme die dem Betrag nach maximale Winkeländerung max
:
B2. 8 mögliche
Antworten 4
max13 10
4
max12 10
4
max6 10
4
max3 10
4
max
310
2
4
max8 10
4
max9 10
4
max10 10
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Teil C - Stoffgesetz: Frage C1 (1.5 Punkte):
An einem Materialpunkt im Inneren eines Körpers wurde mit Hilfe von
Tomographiebildern der folgende Verzerrungstensor im xyz-Koordinatensystem
bestimmt: {𝐸}𝑥𝑦𝑧 = [ 2 1 −21 1 0−2 0 4 ] 𝜀0 mit 𝜀0 > 0
Man bestimme die Normalspannung in y-Richtung unter der Annahme linear-elastischen
Stoffverhaltens (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl 𝜈 = 13). C1.
8 mögliche
Antworten 06y E 02y E
0y 08y E
0
9
5y E
0
33
4y E
0
27
4y E 03y E
Frage C2 (2 Punkte):
Ein elastischer Quader (der Höhe ℎ, Breite 𝑎 und Tiefe 𝑏 im
unverformten Zustand) wird durch die Kraft 00 AP in einen
Hohlraum derselben Querschnittsfläche 𝐴 = 𝑎𝑏 gepresst. Sowohl der
Stempel wie auch die schraffiert dargestellten Wände können als starr
angenommen werden (die Reibung mit der Wand ist zu vernachlässigen).
Wie gross ist die axiale Dehnung des Quaders entlang der y-Richtung?
(Vorzeichenkonvention: 0y
für Verlängerung, 0y
für Verkürzung) unter der
Annahme linear-elastischen Stoffverhaltens (Elastizitätsmodul E, Querkontraktionszahl 𝜈 = 14). C2.
8 mögliche
Antworten 01
3y
E
0y
E
01
2y
E
07
8y
E
02
3y
E
01
6y
E
07
9y
E
05
6y
E
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Teil D - Querschnittseigenschaften:
Gegeben sei ein rechteckiger Querschnitt (der Breite 2a und
der Höhe 3a) aus dem ein Kreis (Durchmesser a)
ausgeschnitten wurde. Die Punkte auf der Unterseite liegen
auf der -Achse )0( .
Frage D1 (1.5 Punkte):
Man ermittle die Koordinate s des Schwerpunktes im dargestellten -
Koordinatensystem. (Bemerkung: in der obigen Abbildung ist die y-Achse lediglich
schematisch dargestellt; der exakte Abstand der parallelen y- und -Achsen kann nicht aus
der Abbildung abgelesen werden). Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die beste
Näherung?
D1.
8 mögliche
Antworten
36
24s a
9
6s a
3
6s a
18
12s a
36
24s a
9
6s a
3
6s a
18
12s a
Frage D2 (1.5 Punkte):
Man bestimme das Flächenträgheitsmoment A
z dAyI2 für den dargestellten Querschnitt.
Die y-und z-Achsen seien Hauptachsen. Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die
beste Näherung?
D2.
8 mögliche
Antworten 42
32zI a
4132
zI a
41
64zI a
46
32zI a
43
32z
I a
436
24zI a
4264
zI a
46
64zI a
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Teil E - Verformbare Strukturen:
Eine Tragkonstruktion besteht aus einem Biegebalken (Element B-C, Biegesteifigkeit zEI )
und zwei dünnen Drähten (Draht B-D, Draht D-C) mit gleicher Steifigkeit EA. Das System
wird durch die am Balken B-C angreifende Vertikalkraft 0F belastet. Im Biegebalken ist
die Verformung infolge der Normalkraft zu vernachlässigen, d.h. BCEA . Des Weiteren
ist das Eigengewicht aller Komponenten zu vernachlässigen.
Frage E1 (1 Punkt):
Man bestimme die horizontale Kraft HB , die durch das Lager an der Stelle B aufgenommen wird
(Vorzeichenkonvention: 0HB für Zugkraft, 0HB für Druckkraft).
E1.
8 mögliche
Antworten 5/FBH FBH
1
8H
B F 1
3H
B F
1
2H
B F 5
6H
B F 3
4H
B F 1
6H
B F
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Frage E2 (1.5 Punkte):
Man bestimme die Normalkraft DCN im Draht D-C (Vorzeichenkonvention: 0DCN für
Zugkraft, 0DCN für Druckkraft).
E2.
8 mögliche
Antworten 3 2
DCN F FNDC
3
2DC
N F FN DC2
5
FNDC 5 1
2DC
N F 3
2 2DC
N F 0DC
N
Frage E3 (1.5 Punkte):
Man bestimme die Längenänderung BDl im Draht B-D (Vorzeichenkonvention: 0 BDl für
Verlängerung, 0 BDl für Verkürzung).
E3.
8 mögliche
Antworten 4BD
Fll
EA
6BD
Fll
EA
2BD
Fll
EA
BD
Fll
EA
3
4BD
Fll
EA
5
8BD
Fll
EA
7
8BD
Fll
EA
3
2BD
Fll
EA
Frage E4 (2 Punkte):
Man bestimme den Betrag cv , um den sich der Punkt C nach unten (in y-Richtung) verschiebt.
Welche der vorgeschlagenen Antworten ist die beste Näherung?
E4.
8 mögliche
Antworten 2 2c
Flv
EA
3
2 2c
Flv
EA
2c
Flv
EA
3
2c
Flv
EA
2
c
Flv
EA
3
4c
Flv
EA
1
4c
Flv
EA 0
cv
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8/12
Frage E5 (1 Punkt):
Man bestimme den Verlauf des Biegemoments )(xM z im Balken B-C.
E5.
8
mögliche
Antworten
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9/12
Teil F – Spezielle Biegung
Der Balken A-B (Biegesteifigkeit zEI ) der Länge L ist an der Stelle A eingespannt. Am Ende
B ist ein Hebelarm der Länge L/4 angeschweisst an dessen Ende (Stelle C) eine Horizontalkraft
F angreift. Die Verformung des Hebelarms sei zu vernachlässigen (EI im Bereich B-C).
Frage F1 (1 Punkt):
Man bestimme den Verlauf des Biegemomentes ( )zM x im Balken A-B.
F1.
8
mögliche
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10/12
Frage F2 (2 Punkte):
Man bestimme die Vertikalverschiebung Bv (in y-Richtung) des Punktes B.
F2.
8 mögliche
Antworten
33
8B
z
FLv
EI
3
2B
z
FLv
EI
3
4B
z
FLv
EI
3
8B
z
FLv
EI
33
4B
z
FLv
EI
33
2B
z
FLv
EI
35
8B
z
FLv
EI
3
B
z
FLv
EI
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Teil G – Allgemeine Biegung
Ein Balken A-D der Länge 2L mit quadratischem Vollquerschnitt (a=L/10) ist an der Stelle A
eingespannt. Er wird an der Stelle C durch eine Vertikalkraft mit dem Betrag F>0 belastet.
Des Weiteren greift an der Stelle D eine Horizontalkraft mit dem Betrag 10F>0 an.
Frage G1 (1.5 Punkte):
Welches der folgenden Bilder zeigt die beste Näherung für den Verlauf der Normalspannung
in x-Richtung im Querschnitt an der Stelle C? Hinweis: Oberseite (y=-a/2), Unterseite (y=a/2)
G1.
8 mögliche
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12/12
Frage G2 (1.5 Punkte):
Man bestimme die dem Betrag nach maximale Normalspannung, maxI x , im ganzen
Balken.
G2.
8 mögliche
Antworten 270I
F
a
240I
F
a
220I
F
a
230I
F
a
2
10I
F
a
215I
F
a
242I
F
a
280I
F
a