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Matematica e Fisica classe quinta

Meccanica quantisticaMeccanica quantisticaLo schema è dei capp. 51 e 52 del testo: Halliday, Resnick, Krane, Fisica vol. 2, CEA, Milano 1994,

integrati con i capp. 39-41 del testo: Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica - Fisica moderna, Zanichelli, Bologna 2001

Prerequisiti: Spettro di corpo nero e ipotesi di Planck; Quanti di luce ed effetto fotoelettrico; Effetto Compton; L’atomo di H di Bohr

Onde elettromagnetiche e onde di probabilità

YOUNG, VERSIONE STANDARD

Young, 1801: figura a fiancoSe apro solo una fenditura ottengo le figure (a) o (b), la cui somma è diversa dalla figu-ra ottenuta con entrambe le fenditure aperte.

Ciò che si somma è la funzione d’onda. La densità di probabilità dipende dal quadratodel modulo della funzione risultante:

Per fasci coerenti: A+B (EA+EB)2

Per fasci incoerenti: A+B EA2 + EB

2

Le funzioni d’onda che passano da A o da B sono coerenti (stesso fascio o stessaonda).

Einstein, 1905; cosa cambia?Fotoni comportamento ondulatorio (passaggio fenditure) Fotoni (ticchettiorivelatore)Vengono rivelati più fotoni dove l’intensità dell’onda è maggiore:

La probabilità che un fotone venga intercettato nel tempo dt, in un qualun-que volumetto elementare dV centrato in un punto P, è proporzionale alquadrato dell’ampiezza del vettore campo elettrico dell’onda in quel punto.

Attenzione: E⃗ non è più visto solo come un campo di forze in vibrazione, maanche come una funzione di probabilità (per lo meno E2).

Che succede se invece di uno “sciame” di fotoni mando un fotone alla volta?

YOUNG, VERSIONE A FOTONE SINGOLO

Taylor, 1909: fotoni separati da tempi “lunghi”, misure raccolte per un mese

Fotone onda fotone

Autointerferenza del fotone con se stesso.

Inoltre:

Se cerco di capire, modificando in qualsiasi modo l'esperimento, da che fenditura è passato, distruggo l'interferenza e ho due fasci incoerenti che passano dalle due fenditure: la somma delle figure (a) e (b).

Appunti di fisica pag. 1


YOUNG, VERSIONE A FOTONE SINGOLO AD AMPIO RAGGIO

E se mando un fotone alla volta in direzioni quasi opposte per separare la funzione d’onda?

Lai - Diels, 1992Una molecola S emette fotoni singoli nello spazio.Fotone Onda fotoneVa da 1 o da 2?L’esperimento rivela che l’onda va in tutte le direzioni: l’onda “esplora” lo spazio e viene rivelata dove l’interferenza è co-struttiva.

Particella e onda di materia

De Broglie, 1924Per la luce «quantistica» p = h/c = h/ (Einstein, figura a lato)Il dualismo onda-corpuscolo riguarda solo le onde?

Esigenza di simmetria: elettrone = onda di materia. Anche per particelle =h/p ?

Se si suppone che un elettrone (orbitale) sia un’onda di materia la cui λ è legata alla suap, la legge di Bohr deriva naturalmente dall’idea che gli elettroni stabili nell’atomosiano quelli associati a onde stazionarie lungo la circonferenza orbitale:

{ λn=hpn

2 π rn=nλn

Ln=m vn rn=pn r n=hλn

r n=nℏ

Verifiche sperimentali

Davisson – Germer, 1927: fascio di elettroni su cristallo di Ni, si osserva diffrazione.

G.P. Thomson, 1927: stesse figure di diffrazione per raggi X ed elettroni uguale λ (54 eV per elettroni, 7 keV per X).

Fermi - Marshall, 1947: diffrazione dei neutroni (scoperti nel 1932).



X, e- su polveri di Al, figura di diffrazione circolare.

Curiosa storia di Nobel:

J.J. Thomson è stato premio Nobel 1906 per la fisica per aver dimostrato, nel 1899, che l’elettrone è una particellaG.P. Thomson, suo figlio, è stato premio Nobel 1937 per aver dimostrato, nel 1927, che l’elettrone è un’onda.

ONDA E PARTICELLA

Tracce di e- in camera a bolle:

A, B e C sono “osservazioni” di e-

Le “onde” di particella da A “esplorano” tutti i possibili percorsi.

I percorsi non rettilinei interferiscono distruttivamente.Rimane non annullato solo il percorso ABC.

L’elettrone esiste come corpuscolo solo nel momento in cui interagisce (e viene osservato) (Heisenberg, 1925, nel parco di Copenhagen)


luce e- lenti, e- veloci, X n, p

CBAe-

BA

e-, X


Un corpuscolo deve essere descritto da un’onda. Ma come caratterizzare la sua località spaziale? Nelle figure l’onda, prima distribuita uniformemente in uno spazio x infinito ma con un numero d’onda k esattamente definito, viene poi “localizzata” entro uno spazio Δx finito, ma a prezzo di caratterizzarla con un insieme di numeri d’onda che si estendono di Δk.

ONDA O PARTICELLA?

Einstein e Feynman rifiutarono, in tempi diversi e con motivazioni diverse la descrizione di una particella come campo (dunquecome onda di campo) ma in tempi diversi dovettero ricredersi: Einstein con R.G. dove il soggetto è il campo; Feynman con campi quantistici (oscillazioni del vuoto) (Wilczek 103).


Important steps on the way to understanding the uncertainty principle are wave-particle duality and theDe Broglie hypothesis. As you proceed downward in size to atomic dimensions, it is no longer valid to consider a particle like a hard sphere, because the smaller the dimension, the more wave-like it becomes. It no longer makes sense to say that you have precisely determined both the position and momentum of such a particle.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mod1.html#c1


IL PRINCIPIO DI HEISENBERG, 1927

La relazione tra le dispersioni Δx e Δk è semplice: dall’analisi di Fourier si dimostra che Δx · Δkx ≈ 1.Lo stesso discorso vale per il confinamento temporale (sostituendo nei grafici sopra x con t e k con ω) e implica una dispersionenelle pulsazioni ω: Δt · Δω ≈ 1.Quanto sopra vale per qualsiasi tipo di onda e dunque anche per le onde materiali di De Broglie.

Poiché k=2πλ =

2πhp ω=2π f=

2 πhE le proprietà divengono: Δ x⋅Δ px⩾

12ℏ Δ t⋅Δ E⩾

12ℏ

I segni ≥ indicano che si tratta delle dispersioni (indeterminazioni) minime che si possono accettare. Il coefficiente 1/2 deriva da una stima più precisa delle dispersioni. Le coppie di grandezze (x, px), …, (t, E) di dicono incompatibili. Tra esse ci sono

anche la misura di un angolo e il momento angolare: Δθx⋅Δ Lx⩾12ℏ (θ nel piano y,z).

Diffrazione da una fenditura

{ λd =yl

p y

p=

yl

λ p=h

Ma py = py e d = y e dunque: hyp y

Nane bianche

Nelle fasi finali dell’evoluzione stellare, quando la pressione della fusione all’interno non è più in grado di bilanciare lapressione gravitazionale, inizia un’implosione della stella che si ferma per effetti quantistici. Si arriva comunemente a densitàun miliardo di volte quelle solari (e terrestri), come se la massa del Sole fosse contenuta in un corpo grande quanto la Terra,dell’ordine della tonnellata per cm³. In questo plasma di nuclei ed elettroni per il principio di Heisenberg gli elettroni confinatiin spazi molto ridotti posseggono quantità di moto e dunque energie cinetiche enormi che contrastano l’implosione.

Stati instabili

Poiché Δt · ΔE ≥ ½ħ e lo stato fondamentale di un atomo è stabile (ha una durata infinita), l’incertezza sull’energia è nulla. Viceversa, uno stato instabile con vita media Δt è sempre accompagnato da un’incertezza minima sulla sua energia ΔE.Nel 1974 fu scoperta la particella ψ e fu osservata con un’incertezza sull’energia ΔE di 0.063 MeV. Poiché la sua massa, molto grande, è di 3097 MeV, era attesa una vita media molto piccola (durata tra la creazione e il decadimento). Ma il principio di

Heisenberg prevedeva un tempo lungo (rispetto ai tempi di decadimento di sistemi instabili): Δ t≈ ℏ2Δ E

≈5.2⋅10−21 s

Effetto tunnel e radiazione di buco nero

Sempre da Δt · ΔE ≥½ħ, si ottiene la possibilità di violare il principio di conservazione dell’energia: per un tempo Δt sufficientemente piccolo è possibile “creare” una energia ΔE in violazione al principio di conservazione.Applicazioni nell’effetto tunnel e nell’evaporazione dei buchi neri (radiazione di Hawking).

Lo stato fondamentale dell’atomo di H

Perché l’elettrone non può essere confinato a una distanza dal nucleo minore del raggio di Bohr? Lo spazio occupato corrisponde all’indeterminazione nella posizione Δr: se occupasse un Δr minore, dovrebbe avere (per Heisenberg) una quantità

di moto maggiore. L’energia totale del sistema E=p2

2m−k

e2

rdeve essere minima sotto la condizione dell’equazione di

Heisenberg pr=ℏ/2 . Cercando il minimo si ottengono le soluzioni dello stato fondamentale semiclassico di Bohr:

p=me2

ϵ0hr=

ϵ0h2

πme2E= me4

8ϵ02h2

Sia la relazione di De Broglie (p λ = h) che quella di Heisenberg contengono la legge di quantizzazione di Bohr (II legge).


dp

py


La funzione d’onda

Rispetto alle onde meccaniche ed elettromagnetiche la funzione d’onda materiale

(x,y,z,t) è più complicata perché trasporta m e q: (x,y,z,t) ha valori in C.

Ampiezze di probabilità

Nell’esperimento di Taylor la probabilità classica non vale più.Se π(P) è la probabilità che la particella arrivi in un punto P dello schermo e A (B) sonogli eventi “passaggio dalla fenditura A (B)”, in probabilità classica si avrebbe:π(P) = π(P|A) π(A) + π(P|B) π(B) che non è più vero se A e B sono contemporaneamente aperti e non controllo dovepassa il fotone.

L’intensità in P dovrebbe essere ℑ(P )÷π(P) ma, come con le onde e.m.

(descritte dal vettore E e con ℑ(P )÷|E⃗ (P )|2 ), le probabilità di P non possono essere espresse da un solo numero,

occorre modulo e fase. Abbiamo due strumenti: i vettori rotanti oppure i numeri complessi.La fisica quantistica viene descritta sempre nel campo complesso.

Tutto funziona se la probabilità di P è il quadrato del modulo di un numero complesso, o vettore, l’ampiezza di

probabilità Ψ di un evento: π(P)=|ψ(P )|2

Nel nostro caso:P = “una particella colpisce il punto P dello schermo”,A (B) = “La particella è passata da A (B)”

Ψ(P) è un numero complesso, dato dalla somma di due complessi:ψ(P)=ψ(P /A)ψ(A)+ψ(P /B) ψ(B)

π(P)=|ψ(P )|2=|w+z|2 ψ(P) , w , z∈ℂ

La somma w + z si esegue nel piano di Argand-Gauss con ilteorema di Carnot:Se θ = 0°, w, z concordi e π(P) > π(AP) + π(BP). In particolarese w = z : π(P) = 4 π(AP) (interf. costruttiva)

Se θ = 180°, w, z discordi e π(P) < π(AP)+π(BP). In particolare se w = -z : π(P) = 0 (interf. distruttiva)

L’ampiezza di probabilità Ψ è una funzione di stato per una particella.

A che serve?

In analogia con le onde e.m. (probabilità dP di avere un fotone in dV in dt E²), la probabilità dP di avere la particella negli intervalli (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz), (t, t+dt), vale:

dP(x , y , z , t ) = |Ψ|2 dV dt = Ψ Ψ̄ dV dt (Born, 1926)

dove il numero reale |Ψ|2 è l’ampiezza di probabilità di avere particella nel volume dV nel tempo dt.



Nei casi più semplici, nei quali Epot non dipende da t, (stati stazionari), ha la forma:

(x,y,z,t) = (x,y,z) e-iωt ( |(x,y,z,t)|2 = |(x,y,z)|2 ) Per gli stati stazionari si può isolare la probabilità “spaziale”:

dP(x , y , z) = |ψ|2 dV = ψψ̄ dV

dove ||2 = densità (o ampiezza) di probabilità di avere particella nel volume dV.

La probabilità che una particella venga intercettata in un qualunque volumetto elementare dV, centrato in un punto P, nel tempo dt è proporzionale a ||2 in quel punto e istante.

Come si trova?

Per le onde acustiche risolvendo l’equazione di Newton (F = dp/dt)per le onde elettromagnetiche risolvendo le equazioni di Maxwell

per le onde di materia risolvendo l’equazione di Schrödinger, 1926

Forma semplificata per stati stazionari con particella lungo direzione x, dotata di energia meccanica totale E (cinetica + potenziale, ma senza, in questa approssimazione non relativistica, l’energia di massa) in un campo descritto da Epot(x):

d 2ψdx2

+ 2m

ℏ2(E −E pot (x))ψ = 0

d 2ψdx2

+ k2ψ= 0 con k 2(x )=2m

ℏ2 (E −E pot )

Condizioni sulla funzione Ψ

Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger devono rispettare alcune condizioni di regolarità:

1. Ψ continua2. Ψ derivabile

3. 0)(lim

xx

(infinitesimo di ordine opportuno per rispettare la condizione 4)

4.

1)(1 22 dxxdVV

(la condizione di normalizzazione: la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte deve valere 1)5. Se Epot presenta discontinuità, anche Ψ può essere discontinua, ma con poli di ordine inferiore al primo.



CASO 1: EPOT(X) = 0 – PARTICELLA LIBERA

Consideriamo una particella è libera in moto versop destra lungo l’asse x. Allora x, Epot(x) = 0:

d 2ψdx2

+2m

ℏ2(12

mv2)ψ=0d 2ψdx2

+ m2 v2

ℏ2ψ=0 ψ ' ' + k 2ψ=0 (k=2 π

λ )

Il caso già noto del moto armonico

Abbiamo già incontrato l’equazione differenziale x” + 2x = 0 (derivata seconda rispetto a t).Aveva la soluzione x=x0 cost

In C, l’equazione del moto armonico ha la soluzione x = Aeit + Be-it

Ma, essendo eit = cost + i sen t,x = A(cost + i sen t) + B(cost - i sen t) = (A+B)cost + i(A-B) sentSe si vogliono ritrovare le soluzioni reali deve essere A = BChiamando x(0) = x0 si trova A=B=½x0 e la funzione d’onda elementare x=x0 cost

Nel caso di una particella libera invece:

(1) ci troviamo in C e(2) la derivata seconda è rispetto alla variabile x.

In questo caso la soluzione più generale dell’equazione è:

(x) = Aeikx + Be-ikx e quindi la funzione completa: (x,t) = Aei(kx-t) + Be-i(kx+t)

Il primo addendo rappresenta un’onda progressiva (nel verso dell’asse x), il secondo è l’onda regressiva (verso opposto).

Se ci interessa una particella libera in moto verso destra sull’asse x, dobbiamoscegliere B=0 e, chiamando A=0 :

= 0 eikx

||2 = |0 eikx|² = 0² |eikx|² = 02 = costante

Stessa probabilità di trovare la particella in ogni ascissa. Coerente con il principio di Heisenberg (abbiamo assunto nota esattamente k, dunque λ edunque p : l’indeterminazione sulla posizione è infinita).


02

||2

x


CASO 2: E > EPOT(X) – BUCA DI POTENZIALE INFINITA

Si può realizzare una trappola per elettroni con cilindri cavi coassiali, come in figura.

V=0 V=-V=-

All’esterno della buca l’unica soluzione possibile è ψ(x) = 0.Potremmo risolvere Schrödinger all’interno della buca partendo da (1) eimponendo le condizioni ψ(0) = ψ(l) = 0, ma, in modo più rapido, sappiamo chela funzione d’onda, per analogia con le corde, appartiene alla famiglia:

ψn(x)=A sin(nπl x)La densità di probabilità di trovare l’elettrone in dV è:

|ψn(x)|2=A2 sin2(n πl x)

L’elettrone non è presente in ogni punto con la medesima probabilità, ma:

L’elettrone soggiorna più a lungo in certe parti della buca che in altre

Nel comportamento dell’elettrone all’aumentare di n si legge il principio di corrispondenza di Bohr:

All’aumentare di n la meccanica quantistica è asintotica alla classica


0 l

Ee

E

x

Epot=+ Epot=+Epot=0


Confinamento di un’onda e stati energetici

Riassumendo, per l’onda di una particella libera lungo asse x, così come accade alle onde sulle corde di lunghezza l :

l = (caso 1) anche in un solo verso: si può stabilire qualsiasi λ

l limitato (caso 2): solo onde stazionarie caratterizzate da l

nkn

lnl

22

2

Il confinamento di un’onda porta alla quantizzazione degli stati energetici

La quantizzazione di λ si estende a E (livelli energetici discreti):

2

22

8

2

2

2

ml

hnE

l

hnp

nl

mEh

p

n

n

Nel caso di un’onda non confinata, tutti gli stati energetici, a partire da E=0,sono possibili (livelli continui).

Energia del punto zero

Lo stato di energia minima di un sistema legato corrisponde a E1=h2

8ml2che si chiama energia del punto zero.

Perché non è E1 = 0 (che potrebbe corrispondere a n = 0)?

Perché si avrebbe:

ψn2(x)=A2sin2(n πl x) ψ0

2(x)=0

Dunque 02 (x) = 0, non normalizzabile, implicherebbe che la particella non esista.

Non possono esistere sistemi confinati con E1 = 0

Solo se larghezza della buca l → ∞, allora E1 → 0

L'elettrone in una buca di potenziale non può essere a riposo


Ek, h2/8ml2

p, h/2l

25

16

9

54321

Ek, h2/8ml2

p, h/2l1

4

0 l

Epot

E

x


CASO 3: E < EPOT(X) – BUCA DI POTENZIALE FINITA

d 2dx2

2mℏ2 E−E pot x =0

Dove E > Epot ” + k2 = 0:” e discordi concava verso x esponenziale e-ikx o sen kx può attraversare più volte l’asse x

Dove E < Epot ” - k2 = 0:” e concordi convessa verso x esponenziale ekx o cosh kx non può attraversare l’asse x (ricordare che deve essere infinitesima all’infinito)

Esempio

Buca di -30 eV, larga 100 pm (diametro H).Costruire i grafici di n=1, 2, 3.

Oltre n=3 si ha E>30 eV: sopra 30 eV livelli continui.



Effetto tunnel

Barriera di potenziale di altezza Epot tra ascissa 0 e ascissa L.Dovrebbe riflettere gli elettroni con E < Epot che avrebbero Ek < 0tra 0 e L).

Risolvo Schrödinger per le tre regioni e trovo rispettivamente lesoluzioni: sen x, ex, costante.

Applico le condizioni di continuità e derivabilità ai confini.

Fattore di trasmissione T della barriera:

T=e−2kL k=√2 m

ℏ2 (E pot −E)

Applicazione: microscopio a scansione



IL PARADOSSO EPR

«Nel 1935 Einstein, coi suoi colleghi Boris Podolsky e Nathan Rosen, si dedicò allostudio della quantomeccanica del sistema a due particelle. Proposero un esperimentoconcettuale il cui risultato previsto era talmente strano che Einstein lo rifiutò affer-mando che si era aperta una profonda incrinatura nella fisica quantistica. Questo esperimento fu effettivamente condotto negli anni ’80 e i bizzarri risultati previsti furono confermati.Esamineremo ora l’esperimento di Einstein-Podolsky-Rosen nelle sue linee essenziali e poi lo illustreremo con un’analogia.Nella figura una sorgente S emette due fotoni, indicati con A e B, simultaneamente e in opposte direzioni. Ciascun fotone ha una certa pro-prietà X che può assumere due valori, X1 e X2. La proprietà è, per la cronaca, la direzione di polarizzazione dell’onda di probabilità quantisti-ca associata al fotone, ma questo dettaglio non è essenziale. Date le modalità con cui i fotoni sono stati emessi (simultanei con emissione coordinata) è sempre vero che, se il fotone A ha valore X1 il fotone B deve avere valore X2 e viceversa. In questo non c’è nulla di strano.Questi due fotoni, considerati assieme, costituiscono un singolo sistema quantistico, che può sussistere in due stati: li chiameremo stato (AX1, BX2) e stato (AX2, BX1). Prima di procedere a qualunque misura, la meccanica quantistica prevede che lo stato effettivo di questo siste-ma di due fotoni è un’intima miscela in parti uguali di entrambi gli stati. Potete immaginare il sistema come oscillante tra i due stati, che pas-sa metà del tempo in ciascuno dei due. Conducendo opportune misure sul fotone A uno sperimentatore può scegliere di rivelare o il valore X1 o il valore X2 per quel fotone. Suppo-niamo che lo sperimentatore scelga di rilevare X1. Ne consegue che il sistema di due particelle non è più una miscela dei due stati. L’atto stesso di misura ha costretto il sistema a «collassare» nel solo stato (AX1, BX2). Una misurazione sul fotone B potrebbe rilevare solo il valore X2. In sintesi, il genere di misura che si conduce su A (una questione di scelta arbitraria) automaticamente impedisce la scelta sullo stato di B.La meccanica quantistica prevede che ciò avvenga anche se i due fotoni sono distanti tra loro (anche kilometri) quando si effettua la prima misura; non c’è da meravigliarsi dunque che Einstein abbia chiamato questo fenomeno «azione a distanza di fantasmi».Ciò nondimeno gli esperimenti eseguiti negli anni ‘80 hanno dimostrato che tutto ciò avviene veramente. La maggior parte dei fisici accetta questi risultati come un’impressionante conferma della validità della meccanica quantistica.Passiamo a illustrare un’analogia. Supponete che una caramella possa esistere in due forme: verde o rossa. Supponiamo che Alice si incontri a Vienna con Rodolfo. Alice parte poi per Helsinki con due caramelle in tasca, una per ciascun colore. Rodolfo si trasferisce invece ad Ateneportando anch’egli con se due esemplari diversi di caramelle. A un certo punto Alice, senza minimamente comunicare con Rodolfo, decide di mangiare una caramella e supponiamo che scelga quella rossa. Dopo questo momento Rodolfo, senza guardare, estrae dalla sua tasca una caramella: sarà inevitabilmente verde. Inoltre la caramella verde di Alice e quella rossa di Rodolfo semplicemente spariscono: il sistema col-lassa nel suo stato (Alice-rosso, Rodolfo-verde).Se Alice avesse scelto di mangiare la caramella verde, il sistema sarebbe collassato nello stato opposto e le due caramelle rimanenti sarebbe-ro svanite. Sicché nella nostra analogia la scelta arbitraria di Alice ad Helsinki determina il colore della caramella che Rodolfo si ritrova in tasca ad Atene. Davvero sorprendente!Un simile esperimento non riuscirebbe ovviamente come noi l’abbiamo descritto; questa storia è solo un’analogia. Affinché fosse realistica dovremmo fornire ad Alice e Rodolfo «caramelle quantistiche», ciascuna delle quali dovrebbe essere verde e rossa nello stesso tempo, e cam-biare alternativamente colore con estrema rapidità in modo coordinato. Un comportamento quantistico di questo genere è talmente irrilevanteper oggetti grandi come caramelle, che vana sarebbe ogni speranza di verificarlo. A livello quantistico invece siffatti fenomeni avvengono per davvero. Può sembrare bizzarro, ma cosi è fatto il mondo!»

(Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica, Fisica moderna, p. 911)


S

A B


Atomo di H

d 2dx2

2m

ℏ2 E 14 0

e2

r =0

En=−me4

80 h2

1n2=−13.6

n2eV

Allo stato fondamentale:

Bohrdiraggiopmme

hae

ar a

r

531

)(20

2

23

Probabilità di trovare l’elettrone allo stato fondamentale:

ar

ar

eradr

drrrrP

drera

drrrdV

2

2

23

22

23

222

44)()(

44)(

Ogni stato di un elettrone atomico è caratterizzato nella sua funzione d’onda da 4 numeri quantici.

Numero quantico Simbolo Valori permessi Associato con

principale n 1, 2, 3, … distanza dal nucleoazimutale l 0, 1, 2, 3, …, (n-1) momento angolare orbitale Lmagnetico ml 0, 1, 2, …, l momento angolare orbitale L, componente zspin ms ½ momento angolare di spin, componente z

MOMENTO ANGOLARE ORBITALE

L=r×p=mr×v ∣L∣=l l1 ℏ

MOMENTO MAGNETICO ORBITALE

Lm

e

mvrL

evrT

rerr

T

eiS

orborb

22

12

22

I momenti magnetici atomici si misurano in magnetoni di Bohr, B=e ℏ2m

=9.724⋅10−24 J /T



COMPONENTI z DEI MOMENTI ORBITALI

Sono gli unici momenti angolari e magnetici misurabili. La direzione z può esseredata anche da un campo elettrico o dalla velocità dell’atomo.

Lz=ml ℏorb , z=−mlB

MOMENTO ANGOLARE DI SPIN,MOMENTO MAGNETICO DI SPIN E COMPONENTI z

Per particelle con s = ½:

∣S∣=s s1 ℏ=32

ℏ

S z=msℏ=±12ℏ

s , z=−2m s B=±B

MOMENTO ANGOLARE TOTALE

Per ogni elettrone e per l’intero atomo, il momento angolare totale J = L + S

Il valore di J definisce il comportamento dell’atomo in un insieme di atomiidentici.

Se è semidispari, l’atomo (o la particella) si comporta da fermione: vale il principio di esclusione di Pauli, non ci saranno ato-mi in un sistema di atomi identici con gli stessi numeri quantici.

Se è intero, si compora da bosone: non vale Pauli e tutti gli atomi possono occupare lo stesso stato (ad esempio, quello fonda-mentale).

PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI

Non possono esistere in un atomo due o più elettroni aventi gli stessi numeri quantici

PRINCIPIO DI SPIN E STATISTICA (ESTENSIONE DEL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE)

I sistemi di fermioni identici obbediscono al principio di esclusione, mentre i sistemi di bosoni non vi obbedi-scono.


Lz

6 h

z

+2h

+h

-2h

-h

0

l=2L=6 h

Sz

3/2 h

z

+B

-B

+h/2

-h/2

s=1/2S=3/2 h


L’INTERPRETAZIONE DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Posizioni filosofiche ad inizio ‘900 (G.C. Ghirardi, Un’occhiata alle carte di Dio, pp. 112-113)

Idealismo

La realtà esterna è in qualche modo il prodotto della mente• Versione minima: le rappresentazioni della mente hanno uno statuto di esistenza più elevato degli

oggetti reali• Versione media: gli oggetti reali sono creati dalla mente• Versione estrema: non esiste altro che la mente

Realismo

Gli oggetti reali hanno una loro esistenza indipendente dalla mente o dal processo diosservazione.

• Versione estrema del realismo ingenuo: gli oggetti vengono percepiti per quello che essi sono (maci sono gli errori e le illusioni percettive

• Versione moderata: la mente media o interpreta le percezioni e questo processo può falsare laconoscenza dell’oggetto, ma comunque l’oggetto ha la sua esistenza indipendente

Materialismo

Tutto ciò che esiste è subordinato o può venir ridotto agli oggetti materiali o alle lororelazioniNon esiste una specificità dei processi mentali, anche la mente è elemento di materia esoggetta alle leggi della materia.

Positivismo e positivismo logico

Il metodo scientifico è la sola fonte di conoscenza. Nega valore a ogni metafisica. Prioritàdella osservazione e verificabilità diretta. Vanno evitate asserzioni, eventi, ipotesi nondirettamente verificabili. In questo senso Mach nega l’atomismo di Boltzmann.

I fisici della meccanica quantistica si muovono tra il realismo moderato (Einstein,Schrödinger) e il positivismo logico (Bohr, Heisenberg, Born). Bohr cerca di trovare unavisualizzazione della teoria, mentre Heisenberg lo ritiene inutile: conta solo che il modellofunzioni.


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