Meccanica 21 marzo 2011

Cinematica in una dimensione

Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme

Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato

Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi

Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza

Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico

Cinematica del punto materiale

• E ` la parte piu` elementare della meccanica: studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause

• Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo

• Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione

• Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate:– Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z– Polare (2 dimensioni): , – Cilindrico (3 dimensioni): , , z– Sferico (3 dimensioni): r, , 2

Cinematica

• Conoscere il moto significa conoscere ogni coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria:– x(t), y(t), z(t) – (t), (t)– (t), (t), z(t)– r(t), (t), (t)

• Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo– Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento

al tempo

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Traiettoria e legge oraria

• P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1a legge di Keplero):

• Questa e` una funzione e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate e (un’ellisse per la precisione)

• Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie (t), (t)

cos11

ep

4

Cinematica• Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e`

pero`, in generale, cosa facile• Nelle pagine seguenti saranno introdotte due

grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione• Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non

contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni:

• Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni

.,,

,,

ecctata

tatata zyx

5

Cinematica

• Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono– Spazio – s, l, x, r…– Tempo - t– Velocita` - v– Accelerezione - a

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Moto rettilineo

• Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari

• Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria• Il moto del corpo e` descrivibile con una sola

funzione x(t)• La funzione puo` essere rappresentata sul

cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x

x

t

O

O

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Velocita`

• Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x1 al tempo t1 e nella posizione x2 al tempo t2

• Lo spostamento e` la differenza delle posizioni: x= x2 -x1

• L’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: t= t2 -t1

• La velocita` media e`, per definizione, il rapporto:

t

xvm

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Esercizi

• Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale

• Trovare la velocita` media di un’auto che percorre una distanza L a 180 km/h e la successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h

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Velocita`• Immaginiamo di considerare intervalli di tempo

sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero

• La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite:

• Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo• La velocita`, in generale, e` funzione del tempo:

v=v(t)• Nel caso in cui sia invece costante, il moto

(rettilineo) e` detto uniforme

txdt

dx

t

xv

t

'

0lim

10

Relazioni tra posizione e velocita`

• Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due:• ovvero• La relazione inversa e` la relazione integrale

• Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p.e. nel moto uniforme)

• x-x0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti

dt

dxtv dttvdx

t

t

x

x

dttvxxdx0

0

0

11

Relazione tra velocita` media e istantanea

• Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita` istantanea:

• Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita` istantanea

t

t

m dttvtttt

xxv

000

0 1

12

Moto rettilineo uniforme

• Lo spazio e` funzione lineare del tempo

• La velocità istantanea è uguale alla velocità media:

00

0

0 ttvxdtvxtxt

t

mvv

13

Accelerazione

• Quando la velocita` varia nel tempo il moto e` detto accelerato

• Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto:

• E come accelerazione istantanea il limite:

• Ovvero la derivata della velocita` rispetto al tempo

t

v

tt

vvam

12

12

tvdt

dv

t

va

t

'

0lim

14

Accelerazione

• L’accelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t)

• Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato

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Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale

• Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo:

2

2

2

2

dt

txdtx

dt

dtx

dt

d

dt

dtv

dt

d

dt

tdva

16

Relazioni tra velocita` e accelerazione

• Abbiamo visto la relazione differenziale tra le due: ovvero

• La relazione inversa e` la relazione integrale

• Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel moto uniformemente accelerato)

a t dvdt

dv a t dt

dvv0

v

v v0 a t dtt0

t

17

Moto rettilineo uniformemente accelerato

• La velocità e` funzione lineare del tempo

• L’accelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media:

• Lo spostamento è funzione quadratica del tempo:

v t v0 a dtt0

t

v0 a t t0

aam

x t x0 v t dtt 0

t

x0 v0 a t t0 dtt 0

t

x0 v0 t t0 12a t t0 2

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Moto di un grave nel campo di gravità

• Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove verso il basso con un’accelerazione costante g=9.8 m/s2

• Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato

• Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso l’alto, l’accelerazione a è negativa: a=-g

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Moto di un grave nel campo di gravità

• Specifichiamo le formule per il moto uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0

• La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0:

v t v0 a t t0 gt

x t h 1

2gt 2

t 2h

g20

Moto di un grave nel campo di gravità

• Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra:

• Spesso si omette il segno meno:

• intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita`

v t 2gh

ghtv 2

21

Moto armonico

• In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione:

• Ove compaiono tre costanti:– A l’ampiezza– la pulsazione– la fase iniziale (cioe` al tempo 0)

• Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t1, t2, che soddisfano la relazione seguente

• corrispondera` uno stesso valore della coordinata

21212 ntttt

tAtx sin

22

Moto armonico

• Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo

• Questa relazione e` molto importante perche’ lega la pulsazione al periodo:

• La frequenza e` l’inverso del periodo:

212 Ttt

2

TT

2

T

1 2

23

Soluzione di equazioni differenziali

• Risolvere l’equazione differenziale che definisce la velocita`

• significa passare dalla funzione v alla funzione x• Similmente, risolvere l’equazione differenziale

che definisce l’accelerazione • significa passare dalla funzione a alla funzione v• Questo passaggio vien fatto mediante

un’operazione di integrazione, per cui si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere

dt

dxtv

a t dvdt

24

Soluzione di equazioni differenziali

• Piu` in generale risolvere un’equazione differenziale significa abassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni

• Questo accade quando, p.e., l’accelerazione e` nota non in funzione del tempo, ma della posizione

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Accelerazione come funzione della posizione

• Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x)

• Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di definizione dell’accelerazione per la velocita`:

• Integriamo ambo i membri rispetto a t:

• Ricordiamo che dalla definizione di velocita`

t

t

t

t

dtdt

dvvavdt00

dt

dvvav

dxvdt

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Accelerazione come funzione della posizione

• Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v:

• A conti fatti otteniamo:

• Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro, abbiamo abbassato l’ordine di derivazione dell’equazione

• Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v:

20

2

0 2

1

2

1vvdxxa

x

x

v

v

x

x

vdvdxxa00

x

x

dxxavv0

20 2

27

Un esempio importante

• Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile come segue:

• Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione

• Applicando la formula generale, abbiamo:

• Risolvendo rispetto a v:

xxa 2

2022220

2

2

1

2

1

00

xxxdxdxxavvx

x

x

x

2

22222220

220 1

A

xAxAxxvv

28

Un esempio importante

• Abbiamo integrato un’equazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo ordine

• Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili

• e integriamo tra la posizione x0 e la posizione generica x:

tx

x

dtd

Ax

A

dx

022

001

1

2

1

A

xA

dt

dxv

dt

Ax

A

dx

2

1

29

Un esempio importante

• L’integrale di destra e` immediato

• L’ integrale al centro lo troviamo su una tabella

• E quindi• Risolvendo infine

rispetto a x• Ritroviamo cioe` il

moto armonico

tdtt

0

A

xdarcsinarcsin

10

2

tA

x arcsin

tAx sin

30

Moto armonico

• Possiamo calcolare la velocita` nel moto armonico

• E l’accelerazione

• Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione

• Ovvero tale relazione e` valida se e solo se il moto e` armonico

tAtAdt

d

dt

dva sincos 2

tAtAdt

d

dt

dxv cossin

xa 2

31

Esercizi

• 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v0 dall’altezza h1

– Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra

• 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo t tra t1=2s e t2=5s – Trovare a) la velocita` media in t; b) l’accelerazione

media in t; c) lo spazio percorso in t

smtv /52 2

32

Esercizi

• 3) dato un moto armonico– Determinare le costanti A e in base alle condizioni

iniziali

• 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false

tAtx sin

0

0

0

0

vv

xx

00

.

00

av

constacrescenteacrescentev

av

33