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Mécanique des fluides et transferts Document rédigé par Olivier BONNEFOY Mail : [email protected] Version : 3.0 du 31 juillet 2018 Dernière version : ici Version destinée aux étudiants.

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Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne

Mécanique des fluideset transferts

Document rédigé par Olivier BONNEFOYMail : [email protected]

Version : 3.0 du 31 juillet 2018Dernière version : ici

Version destinée aux étudiants.

Une mise à jour de ce document pourra bientôt être téléchargée sur :http://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/MecaFlu-EMSE.pdf

2

Introduction

Le présent document est destiné aux étudiants de l'Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne.Il présente les bases de la mécanique des uides.

Bonne lecture.

Olivier Bonnefoy

Nota Bene : ce document est en cours d'élaboration. Il peut évidemment comporter des inexactitudes ou des

erreurs. Merci de bien vouloir en avertir l'auteur ([email protected]). Il vous en sera reconnaissant et intégrera vos

remarques dans les mises à jour (voir adresse en couverture).

i

Introduction

ii

Table des matières

1 Analyse dimensionnelle 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Former des grandeurs adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Adimensionner une loi physique inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Adimensionner une loi physique connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Transposer des résultats d'une échelle à l'autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Identier l'importance d'un phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Application à la mécanique des uides et aux transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.1 Echelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.2 Phénomènes les plus fréquents et temps caractéristiques associés . . . . . . . . . . . . 101.7.3 Nombres adimensionnés les plus fréquents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.4 Adimensionnement de l'équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.5 Corrélations empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.5.1 Ecoulement en conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.5.2 Ecoulement le long d'un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.5.3 Ecoulement autour d'une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Cinématique, forces et contraintes 172.1 Approches Lagrangienne et Eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Dérivées partielles et particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Représentations graphiques du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Décomposition du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Forces et contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.1 Force et vecteur-contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 Pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.4 Tenseur des contraintes de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Bilans locaux 293.1 Forme générale d'un bilan local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Application aux grandeurs usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Bilan local de quantité de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1.1 Pour chaque constituant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1.2 Pour le uide dans son ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Bilan local de quantité de mouvement (linéaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Bilan local de quantité de mouvement (angulaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.4 Bilan local d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.5 Bilan local d'enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.6 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

Introduction

3.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Conditions de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3 Conditions de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Bilans macroscopiques 41

4.1 Les diérents volumes de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Expression générale du bilan macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Volume de contrôle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.2 Volume de contrôle matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.3 Volume de contrôle imaginaire xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Application aux grandeurs usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1 Bilan macroscopique de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2 Bilan macroscopique de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.3 Bilan macroscopique d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.4 Bilan macroscopique d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.5 Bilan macroscopique d'énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés 47

5.1 Propriétés (thermodynamiques) des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1.1 Inuence de la température (dilatabilité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1.2 Inuence de la pression (compressibilité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.2 Capacités caloriques et coecient adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.3 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Equations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Considérations générales sur les relations force-ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.2 Comportement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.3 Comportement chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.4 Comportement mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.4.1 Fluide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.4.2 Fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.4.3 Fluides complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Classication des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 Critères géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1.1 Dimension spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1.2 Interne vs. externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2 Critères cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2.1 Stationnaire vs. instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2.2 Isovolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2.3 Rotationnel vs. irrotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2.4 Subsonique vs. supersonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.2.5 Laminaire vs. turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.2.6 Compressible vs. incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Formes simpliées des bilans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.1 Bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.2 Bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.3 Bilan d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.3.1 Bilan local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.3.2 Bilan macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Données numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iv

Introduction

6 Annexes 636.1 Symboles de Kronecker et Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Convention sur la construction du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Théorèmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.1 Théorème de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.2 Théorème du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.3 Théorème de transport de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.1 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . 676.4.2 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Calcul tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5.1 Conventions sur la notation ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.6 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6.1 Bilan des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6.2 Bilan des couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.6.3 Systèmes électro-magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6.4 Systèmes en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6.5 Théorème Π de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.6.5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.6.5.2 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6.5.3 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7 Bilans en coordonnées cartésiennes (~ex, ~ey, ~ez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.1 Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.2 Bilan local de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.7.4 Tenseur des vitesses de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.7.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.7.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . . . . . . . . . 78

6.8 Bilans en coordonnées cylindriques (~er, ~eθ, ~ez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.8.1 Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.8.2 Bilan local de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.8.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.8.4 Tenseur des vitesses de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.8.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.8.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . . . . . . . . . 81

6.9 Bilans en coordonnées sphériques (~er, ~eθ, ~eφ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.9.1 Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.9.2 Bilan local de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.9.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.9.4 Tenseur des vitesses de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.9.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.9.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) . . . . . . . . . . . 85

6.10 Ecoulement en conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.11 Ouvrages de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

v

Introduction

vi

Chapitre 1

Analyse dimensionnelle

I have often been impressed by the scanty 1 attention paid even by original workers in physicsto the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form of "laws"are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicteda priori after a few minutes' consideration.

- Lord Rayleigh, Nature (1915)

1.1 Introduction

L'analyse dimensionnelle est un ensembe de techniques permettant de : diminuer le nombre de grandeurs nécessaires à la description d'un phénomène physique minimiser le nombre de mesures nécessaires à la détermination d'une loi physique inconnue étudier les solutions asymptotiques d'une loi physique en identiant les termes prépondérants établir un lien entre des mesures obtenues sur le dispositif réel et sur un modèle réduit

Dénitions

Dans un problème de physique, plusieurs grandeurs physiques xi interviennent : diamètre, vitesse,durée, masse, . . . Elles sont liées par une loi physique qui, bien souvent, permet de connaître la réponsedu système lorsqu'une sollicitation lui est appliquée :

f (x1, . . . , xn) = 0

Dans certains cas particuliers, la théorie permet d'établir une expression analytique de cette loi. Parexemple, la vitesse de vidange d'un réservoir sous l'eet de la gravité est donnée par la formule de Torricelliv =√

2gh et l'intensité du courant électrique I induit par la diérence de potentiel U est donnée par la loid'Ohm I = U/R. Dans la grande majorité des situations intéressantes pour un ingénieur, toutefois, on saitque les grandeurs sont liées mais il n'est pas possible d'écrire explicitement une équation ou de la résoudre.Par exemple, la puissance P requise pour qu'un avion vole à la vitesse ~v dans une zone étendue de turbulencesn'est pas calculable par une équation simple. On peut simplement écrire f (~v,P, . . . ) = 0.

Chaque grandeur peut s'exprimer avec un nombre inni d'unités. Par exemple, le diamètre d'une sphèrepeut s'exprimer en µm, cm, pouces, miles, km, année-lumière, . . . Il est important d'être très vigilant sur lesunités car les conséquences d'une erreur peuvent être funestes. A titre d'illustration, la sonde spatiale "MarsClimate Orbiter" (193 millions de dollars) n'a pas atteint sa cible car les unités étaient Foot-Pound-Secondchez le constructeur (Lockheed Martin) et Mètre-Kilogramme-Seconde chez le gestionnaire des communica-tions entre le satellite et le centre de contrôle de Pasadena (Jet Propulsion Laboratory).

1. scanty = peu abondante, insusante

1

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

En revanche, il existe un nombre ni de dimensions. Pour toute la physique, on en recense seulementsept. Le choix des sept dimensions de base comporte une part d'arbitraire. Celles retenues par le SystèmeInternational sont : masse (M), longueur (L), temps (T ), température (θ), intensité électrique (I), intensitélumineuse (J) et quantité de matière (N).

L'équation aux dimensions d'une grandeur quelconque x relie sa dimension, notée [x] à celles desdimensions de base. Dans le Système International, la forme générale est :

[x] = Ma1La2T a3θa4Ia5Ja6Na7

De manière triviale, une grandeur sans dimension est telle que tous les exposants ai sont nuls2.

Grandeur Symbole Unité SI Equation aux dimensionsLongueur L m LSurface S m2 L2

Volume V m3 L3

Fréquence f Hz T−1

Durée ∆t s TVitesse v m/s L.T−1

Accélération a, g m/s2 L.T−2

Masse m kg MMasse volumique ρ kg/m3 M.L−3

Quantité de mouvement ~P kg.m/s M.L.T−1

Pression, contrainte p, σ, τ Pa M.L−1.T−2

Force F N M.L.T−2

Couple C N.m M.L2.T−2

Puissance P W M.L2.T−3

Energie E,Ec J M.L2.T−2

Viscosité dynamique µ Pa.s M.L−1.T−1

Tension supercielle σ J/m2 M.T−2

Conductivité thermique λ W/m/K M.L.T−3.θ−1

Coecient d'échange de chaleur h W/m2/K M.T−3.θ−1

Capacité calorique massique cp J/K/kg L2.T−2.θ−1

Viscosité cinématique ν m2/s L2.T−1

Coecient de diusion moléculaire DAB m2/s L2.T−1

Diusivité thermique α m2/s L2.T−1

Gradient, divergence ∇ m−1 L−1

Laplacien ∆ m−2 L−2

Table 1.1 Equations aux dimensions des grandeurs usuelles en mécanique des uides.

Exercice

Question : en utilisant le Système International, donner l'équation aux dimensions du produit ρ.V 2 et duproduit ρ.ν2. Commenter.Réponse : l'équation aux dimensions du produit ρ.V 2 est [ρ.V 2] = M.L−1.T−2. On constate que ce dernierproduit est homogène à une pression. Celle du produit ρ.ν2 est [ρ.ν2] = M.L.T−2. On constate que ce dernierproduit est homogène à une force.

2. On remarquera qu'il existe des grandeurs sans dimension mais avec une unité. Par exemple, l'angle est le rapport de deuxlongueurs (l'arc divisé par le rayon) et s'exprime en radian.

2

1.2. Former des grandeurs adimensionnées

1.2 Former des grandeurs adimensionnées

Méthode

On décrit ici la procédure pour construire un ensemble de p grandeurs adimensionnées à partir de n grandeursphysiques. Cette procédure est inspirée du théorème Π de Vaschy-Buckingham (démonstration en page 74).

1. identier les n grandeurs physiques xi du problème. Il peut s'agir de paramètres constants, de fonctionsou de variables. Il est important de toutes les recenser.

2. écrire l'équation aux dimensions de chaque grandeur xi :

[xi] =

M∏m=1

Damim

3. construire la matrice dimensionnelle A dénie par :

A ≡

a11 . . . a1n

.... . .

...aM1 . . . aMn

4. calculer le rang r de la matrice dimensionnelle

5. choisir r grandeurs de base que l'on notera bi. Ces grandeurs doivent être dimensionnellementindépendantes. On peut choisir les bi parmi les xi si xi est invariant (par exemple la gravité). Si xiest une fonction ou une variable, on peut utiliser les conditions aux limites ou bien les conditionsinitiales (qui sont des constantes). Il est parfois astucieux de former des grandeurs de base en prenantdes produits, quotients ou puissances des xi.

6. former n échelles caractéristiques Xi. Pour cela, identier les r − 1 coecients αji tels que lesdimensions de Xi et xi soient les mêmes :

Xi ≡∏j 6=i

bαjij tel que [Xi] = [xi]

Dans un problème donné, il est possible d'avoir plusieurs échelles caractéristiques de même dimension(deux temps caractéristiques, deux longueurs caractéristiques, . . .).

7. former n grandeurs sans dimension en prenant le ratio xi/Xi :

La grandeur adimensionnéexiXi

est notée

Ni lorsque xi est un paramètre constantx∗i lorsque xi est une fonction ou une variable

8. éliminer les r grandeurs adimensionnées sans intérêt : constantes, multiples ou puissances d'un autrenombre adimensionné, . . .

Il reste les p ≡ n− r grandeurs adimensionnées recherchées.

Exemple

Considérons un objet sphérique chutant dans le vide sous l'eet de la gravité et essayons de prévoir ladurée de chute. Les grandeurs physiques a priori pertinentes sont la durée de la chute τ , la hauteur initialeh0, la vitesse initiale v0, le diamètre d, la masse m et l'accélération de la pesanteur g. Le nombre n degrandeurs est égal à 6. La loi physique s'énonce ainsi :

f (τ, h0, d,m, g, v0) = 0

La matrice dimensionnelle peut s'écrire sous la forme d'un tableau :

3

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

τ h0 d m g v0

M 0 0 0 1 0 0L 0 1 1 0 1 1T 1 0 0 0 -2 -1θ 0 0 0 0 0 0I 0 0 0 0 0 0J 0 0 0 0 0 0N 0 0 0 0 0 0

Le rang r de cette matrice est égal à 3. Nous choisissons autant de grandeurs de base dimensionnellementindépendantes ; par exemple m, g et v0. En utilisant ces grandeurs de base, formons maintenant autant denombres adimensionnés qu'il y a de variables physiques 3 :

N1 ≡ τv0.g−1

N2 ≡ h0

v20 .g−1

N3 ≡ dv20 .g

−1

N4 ≡ mm

N5 ≡ gg

N6 ≡ v0v0

Les trois dernières grandeurs adimensionnées sont des constantes, égales à l'unité, et n'ont aucun intérêt.Le nombre p de grandeurs adimensionnées pertinentes est donc égal à 3, ce qui était prévisible (p ≡ n− r).

Exercices

Question : la puissance P nécessaire au fonctionnement d'une pompe axiale dépend de la masse volumiqueρ du uide, de la vitesse angulaire Ω et du diamètre D du rotor, du débit volumique Q et de la chargehydraulique ∆H qui est générée (égale à l'augmentation de pression ∆p divisée par le produit ρ.~g). Quelssont les nombres adimensionnés pertinents ?Réponse : la matrice dimensionnelle peut s'écrire sous la forme d'un tableau :

P ρ Ω D Q ∆HM 1 1 0 0 0 0L 2 -3 0 1 3 1T -3 0 -1 0 -1 0

Le rang r de cette matrice est égal à 3. Nous choisissons autant de grandeurs de base dimensionnellementindépendantes ; par exemple ρ, Ω et D. En utilisant ces grandeurs de base, formons maintenant autant denombres adimensionnés qu'il y a de variables physiques :

N1 ≡ Pρ.Ω3.D5

N2 ≡ ρρ

N3 ≡ ΩΩ

N4 ≡ DD

N5 ≡ QΩ.D3

N6 ≡ ∆HD

Les grandeurs adimensionnées N2, N3 et N4 sont des constantes, égales à l'unité, et n'ont aucun intérêt. Lenombre p de grandeurs adimensionnées pertinentes est donc égal à 3, ce qui était prévisible (p ≡ n−r). Pour

3. On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss en supplément à l'intuition.

4

1.3. Adimensionner une loi physique inconnue

caractériser le fonctionnement de ce type de pompe, on cherchera la corrélation entre les trois grandeurssuivantes :

P

ρ.Ω3.D5= f

(Q

Ω.D3,

∆H

D

)Question : trouver la vitesse caractéristique d'un uide s'écoulant dans un milieu poreux sous l'eet d'ungradient de pression. Application à de l'eau s'égouttant par gravité dans un pot de eur.Réponse : les grandeurs physiques sont :

matériau liquide : viscosité dynamique µ matériau solide : taille des pores d sollicitation : gradient de pression ∆p/L ou bien gravité g réponse : vitesse v

L'analyse montre qu'il y a un nombre adimensionné : ∆p/Lµ.v/d2 . Il est donc constant. Si l'on considère qu'il

est proche de l'unité, alors une première estimation de la vitesse est donnée par v ≈ ∆pL .

d2

µ . Application

numérique : v ≈ ρgd2

µ ≈ 1000.9,81.(10−4)2

10−3 ≈ 0, 1m.s−1.

1.3 Adimensionner une loi physique inconnue

Méthode

Considérons une loi physique faisant intervenir n grandeurs physiques x1, . . . , xn :

f (x1, . . . , xn) = 0 (1.1)

Si cette loi est inconnue, on cherchera à établir une corrélation empirique entre ces grandeurs. Pour minimiserle nombre d'expériences ou de simulations numériques, on peut avantageusement former p grandeurs adi-mensionnées selon la procédure décrite dans la section précédente. En eet, la loi physique sera équivalente 4

à l'équation suivante, dite "loi physique adimensionnée" :

g (N1, . . . , Np) = 0 ⇔ N1 = h (N2, . . . , Np) (1.2)

dont le nombre de variables est strictement inférieur à n. Dans le cas particulier où il n'y a qu'un nombreadimensionné (p = 1), alors cette équation s'écrit simplement N1 = constante. De manière générale, lorsqueles diérents phénomènes sont découplés, les corrélations ont souvent la forme d'un produit de fonctions,elles-mêmes souvent lois de puissance :

N1 = A.h2 (N2) .h3 (N3) . . . avec hi (Ni) = Nkii

Lorsque les phénomènes sont couplés, l'expression analytique des corrélations est plus dicile à établir.

Exemple

Dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, on peut écrire les équivalences suivantes :

f (τ, h0, d,m, g, v0) = 0 ⇔ N1 = h (N2, N3) avec

N1 ≡ τ.g

v0

N2 ≡ h0.gv20

N3 ≡ d.gv20

On peut formuler quelques commentaires : la loi adimensionnée ne fait intervenir que 3 grandeurs alors que la loi physique en fait intervenir 6. l'analyse dimensionnelle montre que la masse n'inuence pas la durée de chute dans le vide, en accord

avec les observations faites par Galilée (1564-1642).

4. Pour établir cette équivalence, on peut essayer d'isoler la grandeur adimensionnée faisant apparaître la sollicitation dusystème. Cette dernière est en principe unique. La réponse (physique) du système à cette sollicitation est souvent unique maispeut présenter diérentes solutions si le système est dans un état métastable ou instable.

5

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

l'analyse dimensionnelle ne permet pas d'en savoir davantage. Seules des expériences, des simulationsnumériques ou un calcul théorique permettront de préciser la forme de l'équation N1 = h (N2, N3). Enl'occurence, on verrait que N3 n'a aucune inuence sur N1 (la taille de l'objet n'a pas d'inuence surla durée de chute dans le vide). La loi physique se résumerait alors à N1 = h (N2). Graphiquement,la corrélation serait représentée par une courbe maîtresse dans le plan N1 −N2.

1.4 Adimensionner une loi physique connue

Méthode

Lorsque la loi physique est connue, on peut facilement établir l'expression analytique de la loi physiqueadimensionnée. Il sut pour cela de remplacer chaque occurence de xi par :

le produit x∗i .Xi s'il s'agit d'une fonction ou d'une variable le produit Ni.Xi s'il s'agit d'un paramètre constant

puis de réaliser les simplications nécessaires pour éliminer les échelles caractéristiques Xi.

Dans le cas où la loi physique fait intervenir une dérivée ou une intégrale, on utilise les règles suivantes :

dx1

dx2=X1

X2.dx∗1dx∗2∫

x1.dx2 = X1.X2.

∫x∗1.dx

∗2

L'adimensionnement d'une loi physique connue permet réduire le nombre de grandeurs et donc de faciliter soncalcul. Quand la loi se présente sous la forme d'une somme de plusieurs termes, l'adimensionnement permetégalement d'évaluer l'ordre de grandeur des diérents termes et ainsi, plus facilement, de considérer les casasymptotiques où l'un ou l'autre des termes, et donc des phénomènes physiques associés, est négligeable ouprépondérant devant les autres.

Exemple

Toujours dans le prolongement de l'exemple de la section précédente, la théorie permet de relier le dépla-cement de l'objet à la durée de chute. Il sut d'appliquer le principe fondamental de la dynamique et deréaliser une intégration :

x(t) tel quedx

dt= g.t+ v0

Parmi les 4 grandeurs physiques (x1, x2, x3, x4) = (x, t, g, v0), les deux premières sont des fonctions ou desvariables tandis que les deux dernières sont des paramètres constants. Ces quatre grandeurs font intervenirdeux dimensions (L et T ) et le rang de la matrice dimensionnelle est r = 2. Pour les deux grandeurs de base,il est naturel de choisir les paramètres constants : (b1, b2) = (g, v0). Cela permet de construire les échellescaractéristiques Xi et les grandeurs sans dimension suivantes :

X1 ≡ v20g

X2 ≡ v0g

X3 ≡ gX4 ≡ v0

et

x∗ ≡ x

X1

t∗ ≡ tX2

N3 ≡ gX3

N4 ≡ v0X4

En remplaçant les grandeurs physiques xi par les produits x∗i .Xi ou Ni.Xi, on peut réécrire la loi physique :

dx

dt= g.t+ v0 ⇔ d (x∗.X1)

d (t∗.X2)= (N3.X3) . (t∗.X2) + (N4.X4)

6

1.5. Transposer des résultats d'une échelle à l'autre

Ce qui conduit, en remplaçant les échelles caractéristiques Xi par leur valeur puis en divisant membre àmembre par v0 à la loi physique adimensionnée :

x∗(t∗) tel quedx∗

dt∗= t∗ + 1

Cette équation permet de voir que pour les temps courts (t∗ 1), la vitesse reste quasiment identique à savaleur initiale et, que pour des temps longs (t∗ 1) la vitesse croît proportionnellement au temps. De plus,cette démarche permet de dénir le temps caractéristique v0

g .

Exercices

Question : évaluer le temps caractéristique de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.Réponse : la tension est donnée par dV

dt + 1RC .V = E ce qui permet de dénir le temps τ ≡ RC.

Question : évaluer le temps caractéristique des oscillations d'un pendule oscillant obéissant à la loi θ +gL . sin θ = 0.

Réponse : τ ≡√

Lg .

Question : considérons une EDP de convection-diusion-réaction :

∂c

∂t+ V.∇c = D.∇2c− k.c

Adimensionner cette équation. Mettre en évidence trois temps caractéristiques du système physique repré-senté par cette équation. Faire apparaître ces temps caractéristiques dans la dénition des nombres adimen-sionnés pertinents. Quelle approximation peut-on faire dans le cas où la réaction a lieu dans un réacteur d'unlitre alimenté en continu par de l'eau circulant à 10 cm/s (on prendra un coecient de diusion de 3.10−9

m2.s−1) ?Réponse courte : les transferts de matière par diusion sont extrêmement lents par rapport aux transfertsconvectifs. Il sut de résoudre ∂c∗

∂t∗ + V ∗.∇∗c∗ = −N6.c∗ avec N6 = k

V0/L0

1.5 Transposer des résultats d'une échelle à l'autre

Méthode

En ingénierie, la conception d'un nouveau système, sa construction et son utilisation présentent parfoisdes risques humains, techniques ou nanciers. C'est le cas lorsque les connaissances manquent et notammentlorsque les équations gouvernant son évolution (i) ne sont pas connues (ii) sont connues mais non solubles oubien (iii) sont connues et solubles mais leur solution (théorique ou numérique) n'a pas été validée expérimen-talement. Dans ces situations, il est parfois judicieux de mener des expériences préalables sur des maquettes,qui sont souvent de taille réduite mais peuvent également être plus grandes que le prototype (système àtaille réelle). Si certaines conditions sont respectées, l'analyse dimensionnelle permet de transposer les ré-sultats d'une échelle à l'autre. Cette approche est fréquemment mise en oeuvre lorsque des uides sont enécoulement. Dans ce cas, les maquettes sont placées dans des soueries aérodynamiques (voitures, avions,hélicoptères, drones, fusées, navettes), des bassins des carènes (navires et sous-marins) ou autre (réacteurchimique, pompe, hydrologie uviale ou maritime).

Considérons un problème de physique dont la loi adimensionnée, connue ou inconnue, s'énonce de lamanière suivante :

N1 = h (N2, . . . , Np) (1.3)

Puisque la loi physique est la même quelle que soit la taille du système considéré, l'égalité des nombresadimensionnés N2, . . . , Np aux deux échelles entraîne l'égalité de N1 aux deux échelles. Dans la littérature, lesystème à pleine échelle est souvent appelé prototype et les grandeurs associées sont désignées par l'exposant

7

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

P ou bien 1 (écoulement principal, premier écoulement) tandis que le système modèle est appelé maquette(exposant M ou 2 pour "second écoulement"). NP

2 = NM2

......

NPp = NM

p

⇒ NP1 = NM

1

Similitude complète : on dit que deux systèmes sont similaires, ou en complète similitude, lorsque lesconditions suivantes sont remplies :

tous les nombres adimensionnés sont identiques les conditions aux limites adimensionnées sont identiques les conditions initiales adimensionnées sont identiques (pour les états instationnaires)

De la première condition, on peut déduire que la forme géométrique est invariante : dans une similitudecomplète, les deux systèmes sont homothétiques l'un de l'autre. Parmi toutes les invariances, certains au-teurs distinguent la similitude géométrique (invariance des rapports de longueur), la similitude cinématique(invariance des rapports de vitesse) et la similitude dynamique (invariance des rapports de force).

Similitude incomplète : on parle de similitude incomplète lorsqu'au moins une condition de similituden'est pas remplie. Cette situation se rencontre notamment lorsque :

les matériaux imposés par la similitude sont trop malcommodes d'emploi ou bien tout simplementn'existent pas

les sollicitations ne peuvent pas être contrôlées. Par exemple, l'intensité de la force de gravitationest la même quelle que soit la taille du système (sauf chute libre, centrifugation et changement deplanète).

un phénomène est négligeable à une échelle et prépondérant, ou au moins inuant, à une autre échelle.Par exemple, l'eet de la tension supercielle jouera probablement un rôle important pour un systèmemillimétrique mais sera négligeable pour un système de la taille de l'océan.

L'extrapolation des résultats n'est alors pas justiable rigoureusement d'un point de vue mathématique. Enpratique, il arrive toutefois que cette diculté puisse être négligée ou contournée :

si la fonction N1 = h (N2, . . . , Np) reste quasi-constante quelle que soit la valeur de Np (sur R ou unintervalle de R), l'extrapolation sera correcte même si Np n'est pas identiques pour les deux systèmes,

en renonçant à une pure homothétie et en introduisant une distorsion géométrique (par exemple uneéchelle de largeur et une de longueur), on peut tout de même obtenir des résultats.

Exemple

Cherchons à évaluer la puissance consommée par un sous-marin opérant à VP=2,6 m.s−1 dans une eaude mer de masse volumique ρP=1010 kg.m−3 et de viscosité cinématique νP=1,3.10

−6 m2.s−1. Pour cela,on construit un modèle réduit dans un rapport LM/LP = 1/20 que l'on place dans un canal d'eau douce(ρM=988 kg.m−3 et νM=0,65.10−6 m2.s−1). En se plaçant dans des conditions de similitude, on mesure laforce de poussée FM qui s'exerce sur la maquette ; elle est de 500 kN.

Le problème est décrit par n = 5 grandeurs physiques : la taille L et la vitesse V du sous-marin, la massevolumique ρ et la viscosité cinématique ν du uide, la force de traînée F . Ces grandeurs font intervenirr = 3 dimensions (L,M,T). La loi physique du problème relie donc p = n − r = 2 nombres adimensionnés.Choisissons r = 3 grandeurs de base dimensionnellement indépendantes ; par exemple la taille L [L], la vitesseV [L.T−1] et la force F [M.L.T−2]. Nous pouvons construire n = 5 nombres sans dimension :

N1 ≡ LL

N2 ≡ VV

N3 ≡ ρF.L−2.V −2

N4 ≡ νL.V

N5 ≡ FF

8

1.6. Identier l'importance d'un phénomène

On voit que seuls deux nombres adimensionnés sont pertinents : N3 et N4. La similitude entre le sous-marinà pleine échelle et la maquette impose l'égalité des nombres adimensionnés pertinents :

NP3 = NM

3

NP4 = NM

4soit

ρP

FP .L−2P .V −2

P

= ρMFM .L

−2M .V −2

MνP

LP .VP= νM

LM .VM

De la deuxième équation, on tire la vitesse (très rapide) que doit avoir la maquette :

VM = VP .νMνP

.LPLM

d'où VM = 26 m.s−1

De la première équation, on tire la force de traînée du sous-marin à pleine échelle :

FP = FM .ρPρM

.

(νPνM

)2

d'où FP = 2045 kN

En utilisant la formule P = F.V , on trouve que la puissance consommée par le sous-marin réel est de 5,32MW. On verra dans la section 1.7 que, à un coecient près, les nombres adimensionnés N3 et N4 sont lesinverses du coecient de traînée Cx et du nombre de Reynolds Re respectivement.

Exercices

Question : on considère un modèle réduit au tiers de la pompe étudiée dans la section 1.2. Calculer lapuissance PP nécessaire pour faire tourner le prototype à 300 rpm ainsi que son débit sachant que la puis-sance PM consommée par la maquette est de 2 hp lorsque cette dernière fonctionne edans des conditions desimilitude caractérisées par : ΩM = 900 rpm, DM = 5 in, ∆HM = 10 ft, QM = 3 ft3.s−1.Réponse courte : la puissance nécessaire est de 18 hp et le débit est de 27 ft3.s−1.

1.6 Identier l'importance d'un phénomène

Méthode

Dans certains situations, il arrive qu'un phénomène soit négligeable devant un autre. Cela permet desimplier la modélisation et de faciliter sa résolution. Pour identier l'importance relative de deux phéno-mènes, on peut ré-écrire les nombres adimensionnels sous la forme d'un ratio de deux durées caractéristiques,chacune étant associée à un phénomène. Cela est souvent possible. Si le nombre adimensionné est proche del'unité, cela signie que les deux phénomènes ont des durées caractéristiques comparables. Ils se déroulentsur des domaines spatiaux d'étendue comparable en des temps comparables ; on dit alors que le couplage estfort. En revanche, si le ratio des deux temps caractéristiques s'éloigne beaucoup de l'unité, on dit que lesphénomènes sont découplés : un phénomène rapide (constante de temps faible) coexiste avec un phénomènelent (constante de temps élevée).

Dans cette situation de découplage, le comportement du système est piloté par un seul des deux phéno-mènes, c'est-à-dire qu'une variation d'un paramètre intervenant dans le temps caractéristique de ce phéno-mène a une inuence directe (le plus souvent proportionnelle ou inversement porportionnelle) sur le compor-tement de ce système. Deux cas principaux sont à distinguer :

Deux phénomènes en parallèle (1/τ = 1/τrapide + 1/τlent ≈ 1/τrapide) : le système est piloté par lephénomène le plus rapide. On peut négliger la contribution du phénomène lent.

Deux phénomènes en série (τ = τrapide + τlent ≈ τlent) : le système est piloté par le phénomène le pluslent. On peut négliger la contribution du phénomène rapide.

Ces réexions sont à la base des stratégies d'intensication des procédés : adapter la taille des systèmes, lesmatériaux et les conditions opératoires de manière à maximiser l'ecacité 5.

5. Lire par exemple page 84 de "Green Process Engineering : From Concepts to Industrial Applications" By Martine Poux,Patrick Cognet, Christophe Gourdon 2015, ISBN : 1482208172.

9

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Exemple

Considérons le transfert de chaleur d'un solide vers un uide. On distingue trois phénomènes : phénomène n°1 : conduction dans le solide (temps caractéristique : τ1 ≡ ...) phénomène n°2 : conduction dans le uide (temps caractéristique : τ2 ≡ ...) phénomène n°3 : convection dans le uide (temps caractéristique : τ3 ≡ ...)

L'importance relative de ces phénomènes peut être évaluée par les trois nombres adimensionnés suivants : Nu ≡ (Nusselt) pour caractériser la conduction dans le uide vs. la convection dans le uide Bi ≡ (Biot) pour caractériser la conduction dans le solide vs. la convection dans le uide N ≡ (sans nom) pour caractériser la conduction dans le uide vs. la convection dans le solide

1.7 Application à la mécanique des uides et aux transferts

1.7.1 Echelles caractéristiques

En mécanique des uides, les échelles caractéristiques sont presque toujours parmi les suivantes : longueur (L) vitesse (V ) pression (∆p ou ρ.V 2) force (F ou ρ.ν2) diérence de température ∆T

1.7.2 Phénomènes les plus fréquents et temps caractéristiques associés

Les phénomènes les plus souvent rencontrés en mécanique des uides possèdent chacun une durée carac-téristique donnée dans le tableau 1.2.

Phénomène Temps caractéristique

Diusion de chaleur τdi therm ≡ L2

α

Diusion de matière τchim ≡ L2

DAB

Diusion de QDM τvisc ≡ L2

ν

Convection de QDM τconv ≡ LV

Onde gravitaire τgrav ≡ L√gL

Onde acoustique τson ≡ Lc

Freinage visqueux τfrein ≡ ρs.d2s

18.µ

Convection de chaleur τconv therm ≡ L.ρ.cph

Tension de surface τsurf ≡√

ρ.L3

σ

Table 1.2 Durée caractéristique des diérents phénomènes.

1.7.3 Nombres adimensionnés les plus fréquents

A partir de ces dernières, on peut construire un certain nombre de grandeurs adimensionnées qui com-parent l'intensité relative de deux phénomènes. Le tableau 1.3 présente les dénitions les plus fréquentes.Il est à noter que, pour un jeu de n grandeurs physiques xi, il existe plusieurs jeux de p nombres sansdimension Ni. On passe aisément de l'un à l'autre en constituant des produits, quotients ou puissances. Parexemple, à la place du couple (N1, N2), on pourrait utiliser le couple

(N3

1 , N2

)ou(4.N1,

√N2

)ou encore

10

1.7. Application à la mécanique des uides et aux transferts

(N1.N2, N2/N1). Pour certains nombres adimensionnés N , le tableau 1.4 indique la terminologie spéciqueutilisée pour désigner l'état du système lorsque les valeurs de N sont très petites ou très grandes devantl'unité (situation de découplage).

Les grandeurs utilisées dans ces tableaux sont les suivantes : vitesse V , distance L, diamètre d, coecientde diusion DAB , viscosité cinématique ν, masse volumique du uide ρ, pression p, gravité g, vitesse duson c, tension supercielle σ, aire de section A, diusivité thermique α, coecient de transfert de chaleur h,capacité calorique massique cp, conductivité thermique λ, ...

Système Nom Symbole Expression Ratio de temps

Un uide Reynolds Re ρ.V.Lµ = V.L

ν τvisc/τconv

Peclet Pe V.LDAB

τchim/τconv

Schmidt Sc νDAB

τchim/τvisc

Euler Eu ∆p12ρV

2 n/a

Froude Fr V√g.L

τgrav/τconv

Mach Ma = M Vc τson/τconv

Deux uides Weber We ρ.L.V 2

σ (τsurf/τconv)2

Bond Bo ∆ρ.g.L2

σ (τsurf/τgrav)2

Capillaire Ca µ.Vσ (τsurf)

2/ (τconv.τvisc)

Ohnesorge Oh µ√ρ.σ.L

τsurf/τvisc

Fluide+Solide Stokes StρS .d

2S .V

µ.L τfrein/τconv

Coe de traînée Cx = CDF/A12ρ.V

2 n/a

Fluide+Thermique Prandtl Pr να τdi therm/τvisc

Peclet thermique PeθV.Lα τdi therm/τconv

Lewis Le αDAB

τchim/τdi therm

Nusselt Nuh.Lfλf

τdi therm/τconv therm

Table 1.3 Nombres adimensionnés classiques en mécanique des uides et transferts.

1.7.4 Adimensionnement de l'équation de Navier-Stokes

L'écoulement de uide newtonien incompressible (avec λ = 0 et viscosité µ constante) est décrit par l'équationde Navier-Stokes (équation 5.26 en page 56) :

ρ

(∂

∂t+ ~v · ∇

)~v = −∇p+ µ.∆~v + ρ~g

Les grandeurs physiques sont au nombre de n = 7 : ~v, p, x, t pour les fonctions ou variables et ρ, µ, ~g pourles paramètres constants. Comme le rang r de la matrice dimensionnelle est égal à 3, il faut trouver trois

11

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Nom N N 1 N 1 Intérêt / domaine

Reynolds Re Laminaire Turbulent Régime d'écoulement

Stokes St Particules pilotéespar uide

Deux phases décou-plées

Couplage entre les deux phases d'unesuspension

Froude Fr Subcritique (uvial) Supercritique (tor-rentiel)

Régime d'écoulement à surface libre,hydraulique uviale et maritime

Mach Ma Subsonique Supersonique Eet de la compressibilité du uide,aérodynamisme

Peclet Peθ Particules soumises àagitation brownienne

Particules entraî-nées par uide

Rhéologie

Table 1.4 Domaines asymptotiques.

grandeurs de base bi. Comme on va le constater, il s'avère pratique de choisir L, V et ρV 2. Les échellescaractéristiques Xi et les grandeurs adimensionnées sont alors :

v∗ ≡ vX1

avec X1 ≡ V

p∗ ≡ pX2

avec X2 ≡ ρV 2

x∗ ≡ xX3

avec X3 ≡ L

t∗ ≡ tX4

avec X4 ≡ LV

N5 ≡ ρX5

avec X5 ≡ ρV 2

V 2

N6 ≡ µX6

avec X6 ≡ ρV 2.LV

N7 ≡ gX7

avec X7 ≡ V 2

L

On s'aperçoit que les nombres adimensionnés N6 et N7 sont liés à des nombres classiques :

N6 =1

Reavec Re ≡ ρ.V.L

µ

N7 =1

Fr2avec Fr ≡ V√

gL

En remplaçant les grandeurs physiques xi par les produits x∗i .Xi ou Ni.Xi, l'équation de Navier-Stokesdevient :

∂~v∗

∂t∗+ (~v∗ · ∇∗)~v∗ = −∇∗p∗ +

1

Re.∆∗~v∗ +

1

Fr2.~g

‖~g‖

avec les opérateurs ∇∗ ≡ L.∇ et ∆∗ ≡ L2.∆. L'étude des solutions asymptotiques est facilitée. Par exemple,en régime stationnaire et en négligeant la gravité, l'équation de Navier-Stokes devient :

∇∗p∗ = − (~v∗ · ∇∗)~v∗ +1

Re.∆∗~v∗

Pour un nombre de Reynolds très grand devant l'unité, l'équation de Navier-Stokes devient l'équation d'Euler,valable pour un uide parfait (µ = 0) mais aussi pour un uide réel dans un écoulement turbulent (Re→∞) :

∇∗p∗ = −~v∗∇∗~v∗

12

1.7. Application à la mécanique des uides et aux transferts

Pour un nombre de Reynolds très petit devant l'unité, l'écoulement est dominé par les forces visqueuses etl'on parle d'écoulement rampant (creeping ow) ou écoulement de Stokes. Dans ce cas, l'équation se réduità :

∇∗p∗ =1

Re.∆∗~v∗ +

1

Fr2.~g

‖~g‖

1.7.5 Corrélations empiriques

1.7.5.1 Ecoulement en conduite

La longueur d'entrée hydrodynamique (nécessaire à l'établissement d'un prol de vitesse invariant par trans-lation) est :

Lhydd

=

Re20 pour un écoulement laminaire

4, 4.Re1/6 pour un écoulement turbulent

Figure 1.1 Longueur d'entrée hydrodynamique (cas laminaire et turbulent). Source : Larousse.

Le coecient de perte de charge linéique λ est déni par la relation :

∆p = λ.L

d.

(1

2ρV 2

)(1.4)

La gure 1.2 synthétise une grande masse de données expérimentales. Il s'agit du diagramme de Moody.λ = 64

Re pour un écoulement laminaire (théorie)

1√λ

= −2.Log10.(

2,51

Re.√λ

+ ε/d3,7

)pour un écoulement turbulent (Colebrook, 1939)

1√λ

= −1, 8.Log10.

(6,9Re +

(ε/d3,7

)1,11)

pour un écoulement turbulent (Haaland, 1983)

13

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Figure 1.2 Diagramme de Moody permettant de calculer une perte de charge en conduite cylindrique.

Considérons les transferts de chaleur entre un uide circulant dans le tube à température constante. Lalongueur d'entrée thermique (nécessaire à l'établissement d'un prol de température invariant par translation)est :

Lthermd

=

Re.Pr20 pour un écoulement laminaire

10 pour un écoulement turbulent

Pour un écoulement laminaire, le coecient de transfert de chaleur moyen peut être calculé par :

Nu = 1, 86.

(Re.Pr

L/D

)1/3

.

(µbulkµparoi

)0,14

pour z < Ltherm (Sieder et Tate, 1936)

Nu = 3, 66 +0, 065.Re.Pr.DL

1 + 0, 04.(Re.Pr.DL

)2/3 pour tout z (Mills)

Notons que la valeur Nu∞ = 3, 66 est celle mesurée pour un écoulement laminaire complètement développé.Pour un écoulement turbulent dans un tube lisse et long (L > 60.D), avec un uide tel que 0, 7 < Pr < 160,on utilise la formule :

Nu = 0, 023.Re0,8.P rn pour Re > 10000 (Dittus et Boelter) avec n =

0, 3 si le uide est refroidi

0, 4 si le uide est réchaué

Toutes les propriétés physiques doivent être évaluées à la température bulk moyenne du uide (moyennearithmétique entre la température bulk à l'entrée et à la sortie).

1.7.5.2 Ecoulement le long d'un plan

Transfert de chaleur dans le cas d'une paroi à température constante Lorsque la température dela paroi est constante, le coecient moyen de transfert de chaleur s'obtient par intégration (à Pr constant) :

14

1.7. Application à la mécanique des uides et aux transferts

Nux = 2.Nux. Les valeurs du coecient local sont les suivantes.

Pour une couche limite laminaire (Rex < 5.105) :

Nux =0, 3387.Re

1/2x .P r1/3[

1 +(

0,0468Pr

)2/3]1/4 Churchill (1976) - Rose (1979)

Pour une couche limite turbulente (Rex > 5.105) :

Nux =

0, 0296.Re4/5x .P r1/3 si Rex < 107

1, 596.Rex. (LnRex)−2,584

.P r1/3 si Rex > 107Colburn-Schlichting

1.7.5.3 Ecoulement autour d'une sphère

On dénit le coecient de traînée CD par la relation :

FD = CD.1

2ρv2.S

L'inuence du nombre de Reynolds particulaire Re ≡ ρvdµ est résumée graphiquement sur la gure 1.3 et

peut être calculée par les formules suivantes :

CD =24

Resi Re < 2 (loi de Stokes)

CD =24

Re.(1 + 0, 15.Re0,687

)pour 1 < Re < 1000 (Schiller et Nauman)

CD ≈ 0, 44 pour 103 < Re < 3.105 (Newton)

CD =24

Re+

2, 6.(Re5,0

)1 +

(Re5,0

)1,52 +0, 411.

(Re

2,63.105

)−7,94

1 +(

Re2,63.105

)−8,00 +0, 25.

(Re106

)1 +

(Re106

) pour Re < 106 (Morrisson 2013)

15

Chapitre 1. Analyse dimensionnelle

Figure 1.3 Coecient de frottement CD d'une sphère.

16

Chapitre 2

Cinématique, forces et contraintes

2.1 Approches Lagrangienne et Eulérienne

Cette section a pour objectif d'établir le lien entre les descriptions Lagrangienne et Eulérienne. Commel'illustrent les gures 2.1 et 2.2, on parle de description Lagrangienne lorsque l'on suit la trajectoire d'uneparcelle de uide bien identiée au cours du temps (Cf. le pêcheur qui suit une feuille du regard) et l'onparle de description Eulérienne lorsque l'on s'intéresse à ce qui se passe dans un volume géométrique biendéni de l'espace (Cf. le pêcheur qui voit un tourbillon arriver dans une zone à proximité d'un rocher puisen repartir).

Figure 2.1 Approches Lagrangienne (gauche) et Eulérienne (droite). Source.

2.2 Dérivées partielles et particulaires

Pour établir un lien entre ces deux descriptions, nous allons considérer un écoulement où la vitesse duuide à la position x et à l'instant t est notée ~v (x, t). Nous allons ensuite considérer un point M de l'espacequi suit une trajectoire xM (t). Ce point peut être xe (à une distance connue du rocher) ou bien être laposition d'une parcelle de uide bien particulière ou bien encore être décidée arbitrairement par l'observateur(son regard peut décrire un cercle à la surface d'un euve s'écoulant paisiblement). On se place tout d'aborddans ce cas général et l'on cherche à calculer l'évolution temporelle d'une grandeur f sur un petit volumeautour du point M (par exemple la concentration en colorant ou la vitesse ou encore la masse volumique).Cette vitesse de variation est appelée dérivée totale de f et est notée df/dt.

17

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Figure 2.2 Approches Lagrangienne (gauche) et Eulérienne (droite). Source.

Si l'on note ux la vitesse de déplacement du point de mire M , ce dernier passe de la position x à l'instant tà la position x+ ux.dt à l'instant t+ dt. Par conséquent, la vitesse de variation est :

df

dt=f (x+ ux.dt, t+ dt)− f (x, t)

dt

Pour dt susamment petit, cette vitesse est égale :

df

dt=f (x+ ux.dt, t+ dt)− f (x, t+ dt)

dt+f (x, t+ dt)− f (x, t)

dt

Le deuxième terme du membre de droite est égal à la dérivée partielle ∂f∂t . Concernant le premier, on peut

écrire le développement limité :

f (x+ ux.dt, t+ dt) = f (x, t+ dt) +∂f

∂x.ux.dt

En généralisant à trois dimensions, cela permet d'écrire :

M quelconque⇒ df

dt=∂f

∂t+ (~u · ∇) f (2.1)

Le dernier membre de cette expression est (~u · ∇) f qui traduit l'application de l'opérateur ~u · ∇ (produitscalaire entre ~u et l'opérateur ∇) à la grandeur f . L'utilisation de parenthèses permet d'éviter la confusionavec la grandeur ~u · ∇f qui peut être interprétée à tort comme le produit entre le vecteur ~u et la grandeur∇f . En eet, cette expression n'a pas de sens mathématique (sauf si f est scalaire). La forme développée decet opérateur, dit opérateur d'advection est :

~u · ∇ = ux.∂

∂x+ uy.

∂y+ uz.

∂z(2.2)

Cette dénition est valable quel que soit l'ordre tensoriel de f (scalaire, vecteur, tenseur d'ordre 2, . . .).L'opérateur (~u · ∇) s'applique sur chacun des termes du tenseur f (par exemple ρ, vx ou bien σyz).

18

2.3. Représentations graphiques du champ de vitesse

Figure 2.3 Représentation graphique des dérivées partielle et matérielle.

Cas particulier n°1 : le point de mire M est xe (~u = ~0). On est alors dans une description Eulérienneet la vitesse de variation de f est égale à la dérivée partielle, notée ∂f/∂t :

M xe⇒ df

dt=∂f

∂t(2.3)

Cas particulier n°2 : le point de mire est attaché à une molécule de uide (~u = ~v). On est alors dans unedescription Lagrangienne et la vitesse de variation de f est égale à ce qu'on appelle la dérivée particulaireou dérivée matérielle ou dérivée en suivant le mouvement, notée Df/Dt :

M uide⇒ df

dt=Df

Dtavec

Df

Dt≡ ∂f

∂t+ (~v · ∇) f (2.4)

Interprétation : l'équation 2.4 fait apparaître deux contributions dans la variation de la quantité f attachéeà une parcelle de uide qui se déplace :

une variation temporelle à position donnée ∂f∂t . Lorsque le uide est au repos, le taux de variation de

f attachée à la particule n'est rien d'autre que celui du champ de f une variation spatiale à instant donné (~v · ∇) f . Lorsque l'état est stationnaire (le premier terme estalors nul), la variation de f est indiquée par le gradient de f car Df ≈ (~v · ∇) f.Dt ≈ gradf.d~x.

La gure 2.4 représente la trajectoire d'une parcelle de uide dans un écoulement stationnaire. Elle représenteégalement le champ de température (iso-valeurs et gradient). Au point A, la vitesse vecvA et le gradient detempérature sont orthogonaux. Par conséquent, le terme (~v · ∇)T est nul, ce qui signie que la températurede la parcelle de uide n'évolue pas lorsqu'elle passe au voisinage de ce point. En revanche, elle augmentelorsqu'elle passe au niveau du point B.

2.3 Représentations graphiques du champ de vitesse

Dans une approche Eulérienne, pour représenter un champ de vitesse ~v(~x, t) à un instant t précis, il existetrois représentations habituelles, illustrées sur le tableau de gures 2.1 :

une cartographie où la couleur indique la norme de la vitesse (gauche) des èches indiquant la direction et la norme de la vitesse (centre) des lignes de courant Ψ(~v, t), tangentes en tout point au vecteur vitesse (droite)

Un tube de courant est un ensemble de lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé. On précisequ'une ligne de courant ne se confond avec la trajectoire d'une parcelle de uide que si l'écoulement eststationnaire (càd que le champ de vitesse ne dépend pas du temps).

19

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Figure 2.4 Illustration de l'opérateur d'advection.

Table 2.1 Représentations classiques du champ de vitesse : intensité, vecteurs, lignes de courant.

2.4 Décomposition du champ de vitesse

Pour analyser le champ de vitesse plus en détail, nous allons nous appuyer sur la gure 2.6. A un instantt donné, nous allons nous intéresser à une parcelle de uide en ~x et possédant la vitesse ~v, ainsi qu'à unedeuxième parcelle, proche de la première, en ~x+ d~x ayant la vitesse ~v+ d~v. Pour passer de l'une à l'autre, ilfaut eectuer des déformations que nous allons préciser dans cette section.

Ecrivons un développement limité de la vitesse au 1er ordre. Puisque grad ~v = (∇⊗ ~v)T, on a :

~v (~x+ d~x) = ~v (~x) + (∇⊗ ~v)T.d~x + Résidu (2.5)

Le produit dyadique ∇⊗ ~v est parfois noté ∇~v. Il s'agit d'un tenseur d'ordre 2 déni dans le tableau 6.4 enpage 71. Sa transposée est :

(∇⊗ ~v)T ≡

∂vx∂x

∂vx∂y

∂vx∂z

∂vy∂x

∂vy∂y

∂vy∂z

∂vz∂x

∂vz∂y

∂vz∂z

Comme tout tenseur d'ordre 2, il est possible de l'exprimer sous la forme d'une somme d'un tenseur symé-trique d et d'un tenseur anti-symétrique r :

(∇⊗ ~v)T

= d+ r avec

d ≡ 1

2 .[(∇⊗ ~v)

T+∇⊗ ~v

]soit dij ≡ 1

2 .[∂vi∂xj

+∂vj∂xi

]

r ≡ 12 .[(∇⊗ ~v)

T −∇⊗ ~v]

soit rij ≡ 12 .[∂vi∂xj− ∂vj

∂xi

] (2.6)

20

2.4. Décomposition du champ de vitesse

Figure 2.5 Illustration d'un tube de courant. En chaque point, la vitesse est tangente à la surface du tube.

Figure 2.6 Décomposition de la déformation totale.

Pour des raisons que nous allons préciser ci-après, le tenseur d est appelé tenseur des taux de déforma-tions. Le tenseur r ne porte pas de nom particulier mais est associé au mouvement de rotation. Notons quedans certains ouvrages, le symbole ⊗ est omis et l'on trouve l'expression suivante du tenseur des taux dedéformations : d ≡ 1

2 .[∇~v +∇~vT

].

2.4.1 Rotation

On dénit le vecteur tourbillon (ou simplement tourbillon) par la relation suivante 1. Par construction,la norme du vecteur tourbillon est la vitesse angulaire.

~Ω ≡ 1

2.rot ~v avec rot ~v = ∇× ~v ≡

∂vz∂y −

∂vy∂z

∂vx∂z −

∂vz∂x

∂vy∂x −

∂vx∂y

(2.7)

On note que le vecteur tourbillon ainsi déni 2 est lié au tenseur r des taux de déformation en rotation parla relation :

~Ω =

rzy

rxz

ryx

On parle d'écoulement tourbillonaire lorsqu'il existe au moins un endroit où le vecteur tourbillon n'estpas nul. A contrario, on parle d'écoulement non tourbillonaire lorsque le vecteur tourbillon est nul par-tout dans le volume étudié.

1. Nous utilisons la notation × pour désigner le produit vectoriel. Cette notation est d'un emploi bien plus général que lanotation française ∧.

2. A titre anecdotique, les anglos-saxons utilisent souvent la notion de vorticité incarnée par la grandeur ω ≡ rot ~v.

21

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Compte-tenu de la dénition du tenseur r (équation 2.6) et du vecteur ~Ω (équation 2.7), on obtient :

r.d~x = ~Ω× d~x (2.8)

Le calcul de la vorticité, par exemple avec des logiciels de CFD (Computational Fluid Dynamics), revêt unegrande importance pratique car c'est souvent dans les tourbillons que l'énergie se dissipe le plus. Le designdes appareils peut alors être optimisé.

Table 2.2 Par imitation avec un faucon en vol à faible vitesse, ajout d'un aileron pour contrôler laséparation des tourbillons et augmenter la portance d'un facteur 2. La couleur représente ωz (la vorticitéselon z) en rouge pour une vorticité positive (sens trigonométrique) et en bleu pour une vorticité négative.Source : web.

Table 2.3 Illustration des vortex en bout d'aile.

2.4.2 Déformations

Nous décrivons la déformation totale (d) comme la somme d'une expansion isotrope (dexp) et d'un cisaillementà volume constant (dcis) :

d ≡ dexp + dcis (2.9)

Expansion. La gure 2.7 montre qu'au cours du laps de temps dt, le volume de matière V ≡ dx.dy.dzévolue de la quantité suivante :

dV =

(∂vx∂x

.dx.dt

).dy.dz +

(∂vy∂y

.dy.dt

).dx.dz +

(∂vz∂z

.z.dt

).dx.dy

Il s'ensuit que la variation relative de volume s'écrit :

dV

V=

(∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

).dt soit

dV

V= (∇ · ~v) .dt (2.10)

22

2.4. Décomposition du champ de vitesse

Figure 2.7 Illustration des déformations "Expansion+Cisaillement". Source Wikipedia.

La composante du tenseur des taux de déformations d associée à l'expansion sera notée dexp et, logiquement,proportionnelle à la divergence de la vitesse :

dexp ≡∇ · ~vD

.I soit dexp,ij ≡∇ · ~vD

.δij (2.11)

On verra plus tard qu'un uide incompressible est caractérisé par ∇ · ~v = 0. Cela implique que le tenseurd'expansion est nul (pas de changement de volume), ce qui est cohérent avec la notion d'incompressibilité.

Cisaillement On note dcis le tenseur obtenu par diérence entre d et dexp. En notant D la dimensionspatiale du système étudié et I la matrice identité, on a donc :

dcis ≡ d− dexp soit dcis,ij ≡1

2.

[∂vi∂xj

+∂vj∂xi

]− ∇ · ~v

D.δij (2.12)

Puisque la trace de d et la trace de dexp sont toutes deux égales à la divergence de la vitesse, le tenseur dcisest de trace nulle. Comme d, le tenseur dcis est symétrique. Son sens physique est associé aux déformationsangulaires (cisaillement à volume constant). Pour illustrer ce point, dénissons tout d'abord le tenseur destaux de cisaillement γ par la relation :

γ ≡ 2.d et donc γij =∂vi∂xj

+∂vj∂xi

(2.13)

Pour i 6= j, la valeur de γij peut se visualiser par un angle (voir gure 2.7). A titre d'exemple, la valeur γxy

représente le changement d'angle entre les axes x et y. En eet, l'angle initial BAC vaut π2 et l'angle nal

bac vaut π2 − (α+ β). En utilisant des règles élémentairs de trigonométrie, on montre que α ≈ ∂uy/∂x et

β ≈ ∂ux/∂y, ce qui permet d'écrire :

γxy = α+ β

Une valeur élevée de γ est associée à des déformations élevées. Au nal, la grandeur dxy est égale à l'angleα+β

2 . C'est pour cette raison que le tenseur dcis est associé aux déformations angulaires. Le tableau 2.4 donnel'ordre de grandeur de γ pour quelques procédés ou instruments.

23

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Procédé ou instrument Gradient de vitesse typique γ [s−1] Durée caractéristique

Sédimentation, uage 10−6 - 10−4 1 jour

Egouttage, coulure 10−2 - 101 1 seconde

Rhéomètre à rotation 100 - 103 10 ms

Malaxage, pompage 101 - 102 10 ms

Extrusion 101 - 105 1 ms

Pulvérisation 103 - 106 0,1 ms

Table 2.4 Ordre de grandeur du taux de cisaillement γ.

Figure 2.8 Schéma d'une extrudeuse bi-vis pour granulation de polymère. Le taux de cisaillement γ esttrès élevé (entre 10 et 105 s−1). Source : web.

2.4.3 Synthèse

Dans ce qui précède, on a décomposé la déformation d'une parcelle de uide en diérentes composantes.On peut maintenant réécrire l'équation 2.5 sous la forme :

~v (~x+ d~x) = ~v (~x)︸︷︷︸Translation

+∇ · ~vD

.d~x︸ ︷︷ ︸Expansion

+ dcis.d~x︸ ︷︷ ︸Cisaillement

+ ~Ω× d~x︸ ︷︷ ︸Rotation

+ Résidu (2.14)

2.5 Forces et contraintes

2.5.1 Force et vecteur-contrainte

Considérons un volume de contrôle et notons d~Fext/int la force que l'environnement extérieur exerce surla matière à l'intérieur du volume à travers une surface (imaginaire ou réelle) d'aire dS. La force est unegrandeur extensive (proportionnelle à dS) qui s'exprime en [N]. Pour manipuler une grandeur intensive, on

dénit couramment le vecteur-contrainte ~T par la relation suivante. Par construction, le vecteur-contraintes'exprime [N/m2] c'est-à-dire en Pascal [Pa].

~T ≡ limdS→0

d~Fext/int

dS(2.15)

24

2.5. Forces et contraintes

Figure 2.9 Schéma d'une atomisation par spray-drying. Une suspension (particules dans liquide) estpulvérisée par une buse et pénètre dans une tour à haute température où le solvant s'évapore. Le taux decisaillement γ est très élevé (entre 103 et 106 s−1). Source : web.

2.5.2 Tenseur des contraintes

Pour dénir le tenseur des contraintes σ, nous allons travailler dans un repère cartésien orthonormé, debase (~ex, ~ey, ~ez). Le vecteur normal sortant, dirigé de l'intérieur du volume de contrôle vers l'environnementextérieur, sera noté ~nout.

Pour ~nout = ~ex, le vecteur-contrainte est noté ~Tx et ses composantes sont : ~Tx ≡

T xx

T yx

T zx

Pour ~nout = ~ey, le vecteur-contrainte est noté ~Ty et ses composantes sont : ~Ty ≡

T xy

T yy

T zy

Pour ~nout = ~ez, le vecteur-contrainte est noté ~Tz et ses composantes sont : ~Tz ≡

T xz

T yz

T zz

(2.16)

A partir de ces trois vecteurs ~Ti particuliers (i ∈ x, y, z), on peut construire ce qu'on appelle le tenseurdes contraintes (de Cauchy) et que l'on note σ :

σ ≡

~Tx

~Ty

~Tz

soit

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

≡T xx T xy T xz

T yx T yy T yz

T zx T zy T zz

(2.17)

25

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

De la sorte, on peut calculer le vecteur-contrainte ~T pour une orientation ~nout quelconque par :

~T = σ · ~nout (2.18)

et en déduire la force ~Fext/int qu'exerce l'environnement sur l'intérieur du volume de contrôle à travers lasurface d'aire S (et de normale unitaire sortante ~nout) :

~Fext/int =x

σ · ~nout.dS d'où Fext/int,i =

D∑j=1

xσij .nout,j .dS (2.19)

Avec les choix qui sont les nôtres 3, nous retiendrons la convention suivante, illustrée sur la gure 2.10 :

Le terme σij .dS est la composante selon la direction ~ei de la force d~F qu'exerce l'environnementextérieur sur un volume de matière à travers l'élément de surface d'aire dS et de normale sortante dedirection ~ej .

Considérons maintenant un volume de matière délimité par une surface dont la normale sortante est dedirection ~ex. Lorsque σxx > 0, alors l'environnement exerce sur le volume de matière une force dont lacomposante selon ~ex est positive. Cela signie que l'environnement "tire" la matière qui se trouve "entraction". Inversement, lorsque σxx < 0, l'environnement "pousse" la matière qui se trouve "en compression".

Figure 2.10 Notations utilisées pour le tenseur des contraintes : σij est la composante selon l'axe i de laforce exercée sur la face de normale j.

3. D'autres choix sont possibles. Ils sont exposés dans la section 6.2.1 en page 63.

26

2.5. Forces et contraintes

2.5.3 Pression hydrostatique

Lors d'un changement de base, l'expression du tenseur des contraintes change. Toutefois, la directionet l'intensité des forces qui s'exercent sont des grandeurs physiques et ne dépendent donc pas du choixfait par l'utilisateur d'un repère orthonormé. Il est donc logique que le tenseur des contraintes possède desinvariants, c'est-à-dire des grandeurs qui sont indépendantes de la base. Les invariants d'un tenseur A sontles coecients du polynôme caractéristique P (λ) ≡ Det (A− λI). Pour un tenseur d'ordre deux (2 indices)en trois dimensions (chaque indice va de 1 à 3), ce polynôme s'écrit P (λ) = −λ3 + I1.λ

2 − I2.λ + I3 et lesinvariants sont :

I1 ≡ σxx + σyy + σzz

I2 ≡ σxx.σyy + σyy.σzz + σxx.σzz − σ2xy − σ2

yz − σ2zx

I3 ≡ σxx.σyy.σzz + 2.σxy.σyz.σzx − σ2xy.σzz − σ2

yz.σxx − σ2zx.σyy

(2.20)

On voit que I1 = Tr (σ) et que I3 = Det (σ). Les dimensions de I1, I2 et I3 sont respectivement Pa, Pa2 et Pa3.

La pression hydrostatique p est une grandeur particulièrement utile en mécanique des uides. Elle estconstruite à partir du premier invariant du tenseur des contraintes, ce qui rend sa valeur indépendantedu choix du repère. Plus précisément, sa dénition s'énonce :

p ≡ ε.I1D

avec ε ≡

−1 si la normale à la surface est sortante

+1 si la normale à la surface est entrante(2.21)

où D est la dimension spatiale du problème (1, 2 ou 3). Avec cette dénition, quelle que soit la conventionchoisie (normale sortante ou sortante), un matériau en compression est caractérisé par une valeur positive dela pression, identique à la pression dénie en thermodynamique. Notons également qu'un uide est toujoursen compression : contrairement à un solide qui peut résister à la traction, un uide ne le peut pas. Dans lecas d'une normale sortante, on retiendra la dénition suivante de la pression hydrostatique :

p ≡ −Trace (σ)

D(2.22)

2.5.4 Tenseur des contraintes de cisaillement

Le tenseur des contraintes de cisaillement τ est la partie déviatorique du tenseur des contraintes σ. End'autres termes, il est construit de telle manière que sa trace soit nulle. Vu la dénition de la pression(équation 2.21), on a :

σ ≡ τ + ε.p.I avec ε ≡

−1 si la normale à la surface est sortante

+1 si la normale à la surface est entrante(2.23)

Dans ce document, nous retiendrons que le tenseur des contraintes de cisaillement τ est lié au tenseur descontraintes σ par la relation :

σ ≡ τ − p.I (2.24)

où I est le tenseur identité en dimension D. Le tenseur des contraintes de cisaillement est souvent appelétenseur des contraintes visqueuses car, comme on le verra dans la section . . .il est directement lié à la viscositédu uide. Il possède également trois invariants notés J1, J2, J3. Ils sont dénis de la même manière que pourle tenseur des contraintes, comme coecients du polynôme caractéristique.

J1 ≡ τxx + τyy + τzz

J2 ≡ τxx.τyy + τyy.τzz + τxx.τzz − τ2xy − τ2

yz − τ2zx

J3 ≡ τxx.τyy.τzz + 2.τxy.τyz.τzx − τ2xy.τzz − τ2

yz.τxx − τ2zx.τyy

(2.25)

27

Chapitre 2. Cinématique, forces et contraintes

Par construction, le premier invariant J1 est nul. Cette condition particulière, et le fait que le tenseur descontraintes de cisaillement τ est symétrique (démonstration en page 73), permet d'exprimer les invariantsd'une autre manière :

J1 = 0

J2 = 13 .I

21 − I2 = 1

6 .[(σxx − σyy)

2+ (σyy − σzz)2

+ (σzz − σxx)2]

+ σ2xy + σ2

yz + σ2zx

J3 = 227 .I

31 − 1

3 .I1.I2 + I3

(2.26)

Il est parfois utile de résumer le tenseur des contraintes par un scalaire unique, que l'on nomme "contrainteeective". Diérentes propositions ont été formulées : Tresca, Rankine et von Mises. Ci-dessous l'expressionde la contrainte eective de von Mises :

σvMe ≡√

3.J2

28

Chapitre 3

Bilans locaux

Lorsque l'on cherche à résoudre un problème où interviennent des transferts de masse, énergie, quantitéde mouvement,. . .il est naturel de faire un bilan de ces grandeurs extensives. Ces bilans portent parfois lenom d'équations de conservation même si certaines grandeurs ne se conservent pas (ex :dissipation d'éner-gie mécanique par frottement visqueux). Dans ce chapitre, les bilans sont établis à l'échelle locale. Dans lechapitre suivant, ils seront intégrés sur des volumes macroscopiques.

Forme générale d'un bilan

Remarquons tout d'abord que les bilans ne concernent que les grandeurs extensives. En eet, des grandeurstelles que la température ou la couleur d'un objet ne s'ajoutent pas et ne peuvent donc pas faire l'objet d'unecomptabilité.

Le bilan d'une grandeur extensive F prend la forme très générale suivante :

Variation de la grandeur

contenue dans le volume Ω=

Flux entrant par

la frontière ∂Ω+

Création dans le coeur

du volume Ω(3.1)

Un tel bilan peut être établi pour un volume de contrôle macroscopique (ni) ou un volume de contrôlemicroscopique (innitésimal). Dans le premier cas, le terme de variation est dF/dt tandis que dans le deuxièmecas, nous allons voir qu'il est égal à ∂f/∂t où la densité volumique f est dénie par :

f ≡ limV→0

F

Vc'est-à-dire F(t) =

y

Ω(t)

f(t).dV (3.2)

Convention sur la normale à une surface. En s'appuyant sur la gure 3.1, on considère un volume Ωde l'espace, séparé de son environnement par la surface ∂Ω. Le vecteur ~n désigne le vecteur unitaire normalà la surface ∂Ω. Traditionnellement, en physique, mécanique des uides et simulation numérique, la normaleest sortante tandis qu'en génie des procédés et en thermodynamique, elle est entrante. Dans ce document,lorsque le vecteur ~n apparaît sans indice, il faut considérer que la normale est sortante. Autant que fairese peut, nous recommandons l'usage d'indice. Nous désignons par ~nin la normale entrante et par ~nout lanormale sortante, l'une et l'autre étant liées par ~nin = −~nout.

3.1 Forme générale d'un bilan local

Considérons une grandeur extensive F , scalaire ou vectorielle, et écrivons le bilan de cette grandeur surun volume quelconque Ω. La vitesse de variation de F se présente comme la somme d'un terme Φ qui est le

29

Chapitre 3. Bilans locaux

Figure 3.1 Représentation schématique d'un volume de contrôle Ω, de sa frontière ∂Ω avec l'environnementet les normales entrante (~nin) et sortante (~nout) à la frontière.

ux net entrant à travers la frontière ∂Ω et le terme Σ qui est la source nette au sein du volume Ω :

dF

dt= Φ + Σ (3.3)

Par dénition de la densité volumique f , on a :

F ≡y

Ω

f.dV (3.4)

Par dénition de la densité volumique de source s, on peut écrire :

Σ ≡y

Ω

s.dV (3.5)

Par dénition de la densité de ux ϕ, le ux net entrant à travers la frontière ∂Ω est :

Φ ≡

∂Ω

ϕ.~nin.dS (3.6)

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky (équation 6.7 en page 64), on obtient :

Φ = −y

Ω

(∇ · ϕ) .dV (3.7)

L'équation 3.3 se présente nalement sous la forme d'une égalité faisant intervenir trois intégrales triples.Cette égalité étant vraie pour tout volume Ω, cela signie que l'on peut écrire :

∂f

∂t= −∇ · ϕ+ s (3.8)

On peut vérier que ce résultat est indépendant de la convention choisie pour l'orientation de la normale àune surface.

L'expérience montre qu'il existe trois modes de transfert d'une grandeur extensive :

la convection (macroscopique) : il s'agit d'un simple transport de la grandeur extensive qui est "atta-chée" à la matière en mouvement. Par exemple, les passagers d'un wagon sont convectés (advectés)par le train. Ils ont la vitesse du train.

la diusion (microscopique) : elle peut s'ajouter à la convection et sera décrite plus en détail dans cequi suit.

le rayonnement : il ne concerne que la chaleur et ne sera pas décrit dans cet ouvrage.

En l'absence de rayonnement, le ux total est la somme d'un ux diusif et d'un ux convectif.

ϕ ≡ ϕconv + ϕdi avec ϕconv ≡ f~v (3.9)

30

3.2. Application aux grandeurs usuelles

En l'absence de rayonnement, le bilan local peut prendre les deux formes suivantes. La première est issuedes équations 3.8 et 3.9. La deuxième fait, en plus, usage de la dérivée particulaire (équation 2.4).

Bilan local :

(forme Eulérienne) ∂f∂t = −∇ · (f~v + ϕdi) + s

(formes Lagrangiennes) DfDt = −f. (∇ · ~v)−∇ · ϕdi + s

ρD fρ

Dt = −∇ · ϕdi + s pour f 6= ρ

(3.10)

On rappelle que la notation ∇ · z désigne la divergence de la grandeur z (vectorielle ou matricielle). Lesexpressions détaillées sont données dans le tableau 6.4 en page 71.

3.2 Application aux grandeurs usuelles

3.2.1 Bilan local de quantité de matière

On considère le cas général où le uide contient plusieurs constituants Ak de masse molaire Mk quipeuvent réagir entre eux selon r équations chimiques :∑

νrkAk = 0

3.2.1.1 Pour chaque constituant

Si la grandeur F est la masse mk du constituant k, alors la densité volumique f est la masse volumique(partielle) ρk. La fraction massique ωk de chaque constituant est dénie par :

ωk ≡mk∑mk

Par conséquent, la masse volumique partielle est égale à :

ρk = ρ.ωk

En notant Wr la vitesse de la réaction r, le taux algébrique de production de masse du constituant k enkg.m−3.s−1 s'écrit :

sk =∑r

νrk.Mk.Wr

Lavoisier a postulé en 1789 que la masse totale est une grandeur conservative. Cela est vrai dans la plupartdes systèmes physiques, à l'exception des systèmes relativistes et des réactions nucléaires pour lesquels lamasse peut évoluer en vertu de l'équivalence masse-énergie. Par conséquent, la somme des termes sourcesest nulle : ∑

k

sk = 0 (3.11)

On note ~vk la vitesse du constituant k dans le référentiel xe. Il ne s'agit pas de la vitesse instantanée d'unemolécule particulière de Ak mais de la vitesse moyenne de toutes les molécules de Ak dans un petit volume.La vitesse moyenne (en masse) associée au mélange est égale à :

~v ≡∑k

ωk.~vk (3.12)

Le ux total massique (en kg.m−2.s−1) s'écrit sous la forme d'une somme de deux termes, l'un convectif etl'autre diusif :

ϕk ≡ ϕconv,k + ϕdi,k avec

ϕconv,k ≡ ρk.~v

ϕdi,k ≡ ρk. (~vk − ~v)

31

Chapitre 3. Bilans locaux

Tout bien considéré, le bilan local de masse du constituant k s'énonce :

B.L. de masse du constituant k :

∂ρ.ωk∂t

= −∇ · (ρ.ωk.~v + ϕdi,k) +∑r

νrk.Mk.Wr

ρ.DωkDt

= −∇ · ϕdi,k +∑r

νrk.Mk.Wr

(3.13)

La section 5.2.3 en page 49 présente une courte discussion sur les diérents mécanismes de diusion ainsique l'équation de Fick liant ϕdi,k aux concentrations massiques dans le cas d'un mélange binaire.

3.2.1.2 Pour le uide dans son ensemble

Si la grandeur F est la masse m, alors la densité volumique f est la masse volumique ρ. En ajoutantmembre à membre les bilans locaux de chacun des constituants et en utilisant les équations 3.11 et 3.12,on obtient le bilan local de masse qui porte le nom d'équation de continuité. On trouve ci-dessous lesexpressions Eulérienne et Lagrangienne respectivement :

B.L. de masse (équation de continuité) :

∂ρ∂t = −∇ · (ρ~v)

DρDt = −ρ. (∇ · ~v)

(3.14)

3.2.2 Bilan local de quantité de mouvement (linéaire)

Si la grandeur F est la quantité de mouvement m~v, alors sa densité volumique f est égale à ρ~v. Plusieursméthodes sont possibles pour établir le bilan local de quantité de mouvement. L'une d'elles consiste à écrirele bilan des forces sur un petit élément de volume dont on suit la trajectoire (voir démonstration en page 72).Ce bilan des forces prend le nom d'équation de Cauchy. Pour un système sans force électro-magnétique,on a :

ρD~v

Dt= ∇ · σ + ρ~g (3.15)

où σ représente le tenseur des contraintes totales. Ce bilan des forces peut être ré-écrit 1 :

∂ρ~v

∂t= ∇ · (σ − ρ~v ⊗ ~v) + ρ~g (3.16)

où le symbole ⊗ désigne le produit dyadique déni en page 68 2. Par analogie avec la forme canonique dubilan local (équation 3.10), cette formulation montre que le ux diusif de quantité de mouvement est égalau tenseur des contraintes et que le terme source est égal à la somme des forces volumiques qui s'exercent àdistance (gravité, force électrostatique, force électromagnétique, . . .).

Dans le chapitre précédent, on avait déni par la pression p par la relation 2.22 et le tenseur des contraintesde cisaillement τ par la relation 2.24. Pour une normale sortante, et en notant D la dimension spatiale dusystème étudié (usuellement 2 ou 3), on rappelle leurs dénitions ci-dessous :

p ≡ −Trace (σ)

Det σ ≡ τ − p.I (3.17)

1. Cela peut être réalisé à titre d'exercice. Il sut d'utiliser la dénition de la dérivée particulaire (équation 2.4), l'équationde continuité et la relation générale ∇ · (ρ~v ⊗ ~v) = (ρ~v · ∇)~v + ~v. [∇ · (ρ~v)].

2. Le produit ~u⊗ ~v est parfois noté ~u~v sans symbole entre les vecteurs. Nous n'adoptons pas cette dernière notation car elleporte à confusion.

32

3.2. Application aux grandeurs usuelles

Avec ces notations, le bilan local de quantité de mouvement s'écrit de l'une ou l'autre manière :

B.L. de qté de mouvement (éq. de Cauchy) :

∂ρ~v∂t +∇ · (ρ~v ⊗ ~v) = ∇ · τ −∇p+ ρ~g

ρ.[∂~v∂t + (~v · ∇)~v

]= ∇ · τ −∇p+ ρ~g

ρD~vDt = ∇ · τ −∇p+ ρ~g

(3.18)

Cette expression est valable dans un référentiel inertiel (galiléen). Si l'on travaille dans un référentiel nongaliléen, il faut ajouter quelques forces dont la force de Coriolis. Ce cas est présenté en annexe (équation6.16 en 74).

3.2.3 Bilan local de quantité de mouvement (angulaire)

à remplir

3.2.4 Bilan local d'énergie

On considère quatre formes d'énergie. L'énergie totale E est la somme de l'énergie cinétique Ec, de l'éner-gie potentielle Ep et de l'énergie interne U . On note respectivement e, ec, ep et u leurs densités volumiques.On a les relations suivantes :

E = Ec + Ep + U d'où e =1

2v2 + Ψ + u

Energie cinétique. On note Ec ≡ 12mv

2 l'énergie cinétique et ec ≡ 12ρ.v

2 sa densité volumique. Si l'onmultiplie par ~v le bilan local de quantité de mouvement exprimé par la relation 3.15, on arrive à :

ρD ec

ρ

Dt= (∇ · σ + ρ~g) .~v (3.19)

En utilisant l'expression générale d'un bilan local (3.10), on peut donner une version Eulérienne du précédentbilan :

∂ec∂t

= (∇ · σ + ρ~g) .~v −∇ ·(

1

2ρv2.~v

)Compte-tenu de l'égalité entre scalaires ∇ · (σ.~v) = ~v. (∇ · σ) + σ : (∇⊗ ~v), on peut écrire le bilan locald'énergie cinétique sous sa forme canonique :

B.L. d'énergie cinétique :∂ec∂t

= −∇ ·

1

2ρv2.~v︸ ︷︷ ︸

Flux convectif

− σ.~v︸︷︷︸Flux diusif

+ ρ~g.~v − σ : (∇⊗ ~v)︸ ︷︷ ︸Source

(3.20)

Le terme source peut se ré-écrire ρ~g.~v − τ : (∇⊗ ~v) + p. (∇ · ~v). Le premier terme est positif si le uidedescend. Le terme τ : (∇⊗ ~v) est parfois appelé fonction de dissipation visqueuse. Il est toujours positifpour un uide newtonien. Cela traduit le fait que le cisaillement d'un uide visqueux dissipe de l'énergiemécanique en chaleur, de manière irréversible. Le troisième terme est négatif en cas de compression (champde vitesse convergent, ∇ · ~v < 0) et positif en cas de dilatation (champ de vitesse divergent, ∇ · ~v > 0).

Cette expression est valable dans un référentiel inertiel (galiléen). Si l'on travaille dans un référentiel nongaliléen, il faut ajouter un terme lié à la force d'inertie. Ce cas est présenté en annexe (équation 6.17 en 74).

33

Chapitre 3. Bilans locaux

Energie potentielle. L'énergie potentielle Ep = m.Ψ est le produit de la masse m par le potentiel gra-vitationnel Ψ. On note ep ≡ ρ.Ψ sa densité volumique. Le potentiel gravitationnel étant constant dans letemps, on a :

∂ep∂t

= Ψ.∂ρ

∂t

D'après le bilan local de masse (équation 3.14), on a :

∂ep∂t

= −Ψ.∇ · (ρ~v)

On peut faire apparaître la divergence d'un produit et ainsi écrire :

∂ep∂t

= −∇ · (ρ~v Ψ) + ρ~v.∇Ψ

Dans l'objectif d'établir une formulation Lagrangienne, on utilise le fait que la force de pesanteur dérive dupotentiel Ψ pour écrire ~g = −∇Ψ et donc :

∂ep∂t

= −∇ · (ep.~v)− ρ.~g.~v

Dans le membre de droite, on voit apparaître un terme de ux convectif et un terme source. Le bilan locald'énergie potentiel prend donc la forme suivante :

B.L. d'énergie potentielle :

∂ep∂t = −∇ · (ep.~v)− ρ.~g.~v

ρ.DepDt = −ρ.~g.~v

avec

ep ≡ ρ.Ψ

~g ≡ −∇Ψ(3.21)

Energie mécanique. On note Em ≡ Ec + Ep l'énergie mécanique et em sa densité volumique. En addi-tionnant membre à membre les deux équations 3.20 et 3.21, on obtient la première expression du bilan locald'énergie mécanique.

B.L. d'énergie mécanique :

∂em∂t = −∇ ·

(12ρv

2.~v + ep.~v − σ.~v)− σ : (∇⊗ ~v)

ρ.DemDt = [∇ · τ −∇p] .~v

(3.22)

Energies interne et totale. On note U l'énergie interne et u sa densité volumique. Le bilan local d'énergieinterne s'écrit :

∂u

∂t= −∇ · (u.~v + ϕU,di) + sU (3.23)

Pour simplier les expressions et être cohérent avec de très nombreux ouvrages dans la littérature, nousutiliserons le symbole ~q pour désigner la grandeur vectorielle ϕU,di. Comme on le verra par la suite, il s'agitde la densité de ux de chaleur par conduction :

~q ≡ ϕU,di (3.24)

Comme il n'y a pas création d'énergie, le bilan d'énergie totale a un terme source sE nul et s'écrit donc :

∂e

∂t= −∇ · (e.~v + ϕE,di) (3.25)

Par ailleurs, si l'on additionne membre à membre les bilans d'énergie cinétique, potentielle et interne, onobtient :

∂e

∂t= −∇ · (e.~v + ~q − σ.~v)− σ : (∇⊗ ~v) + sU (3.26)

34

3.2. Application aux grandeurs usuelles

Par identication entre les équations 3.25 et 3.26, on peut écrire :sU = σ : (∇⊗ ~v)

ϕE,di = ~q − σ.~v

On en déduit le bilan local d'énergie interne :

B.L. d'énergie interne :∂u

∂t= −∇ · (u.~v + ~q) + σ : (∇⊗ ~v) (3.27)

ainsi que le bilan local d'énergie totale :

B.L. d'énergie totale :∂e

∂t= −∇ · (e.~v + ~q − σ.~v) (3.28)

3.2.5 Bilan local d'enthalpie

L'enthalpie massique h et l'énergie interne massique u sont liées par :

h ≡ u+p

ρ(3.29)

En notant que u = u/ρ et que σ = τ − pI, le bilan d'énergie interne (équation 3.27) s'écrit ainsi :

ρDu

Dt= −∇ · ~q + τ : (∇⊗ ~v)− p. (∇ · ~v)

En utilisant les règles classiques de dérivation puis le bilan local de masse (équation 3.14), on peut établir :

D

Dt

(p

ρ

)=

1

ρ.Dp

Dt− p

ρ2.Dρ

Dt=

1

ρ.Dp

Dt+p

ρ. (∇ · ~v)

d'où l'expression du bilan local d'enthalpie :

ρDh

Dt= −∇ · ~q + τ : (∇⊗ ~v) +

Dp

Dt(3.30)

Il est parfois pratique de connaître l'évolution de la température. Pour ce faire, il sut de connaître l'équationd'état h = h (T, p) spécique au matériau étudié. En eet, on peut écrire :

Dh

Dt=

(∂h

∂T

)p

.DT

Dt+

(∂h

∂p

)T

.Dp

Dt

Les cours de thermodynamique nous apprennent que :

(∂h∂T

)p

= cp

(∂h∂p

)T

= v. [1− α.T ] = 1ρ .

[1 +

(∂ ln ρ∂ lnT

)p

]

où cp représente la capacité calorique massique et v = 1/ρ le volume massique et α ≡ −1ρ .(∂ρ∂T

)ple

coecient de dilatation. Par conséquent, le bilan d'enthalpie peut prendre la forme suivante. Notons bien

35

Chapitre 3. Bilans locaux

que la température n'étant pas une grandeur extensive, il ne s'agit pas d'un bilan local de température. Cetteéquation est connue sous le nom d'équation de la chaleur.

ρcp.DT

Dt= −∇ · ~q + τ : (∇⊗ ~v)−

(∂ ln ρ

∂ lnT

)p

.Dp

Dt(3.31)

De la thermodynamique, on rappelle la relation de Mayer cp− cv = T.α2

ρ.κT, la dénition du coecient adiaba-

tique γ ≡ cpcv

et son lien avec la vitesse du son γ = c2s.ρ.κT .

36

3.2. Application aux grandeurs usuelles

3.2.6 Synthèse

Les tableaux 3.1 et 3.2 donnent l'expression du bilan local pour plusieurs grandeurs extensives F . Cesexpressions sont très générales. Elles s'appliquent à tous les matériaux (solide, liquide, gaz) et ne font pasd'approximations autres que l'absence de force électro-magnétique.

∂f

∂t= −∇ · (f~v + ϕdi) + s ou bien ρ

D fρ

Dt= −∇ · ϕdi + s pour f 6= ρ

Formulation Eulérienne Formulation Lagrangienne

Masse ∂ρ∂t = −∇ · (ρ~v) Dρ

Dt = −ρ. (∇ · ~v)

QDM ∂ρ~v∂t = −∇ · (ρ~v ⊗ ~v − σ) + ρ~g ρD~vDt = ∇ · σ + ρ~g

E. cin. ∂ec∂t = −∇ · (ec.~v − σ.~v) + ρ~g.~v − σ : (∇⊗ ~v) ρDecDt = ∇ · (σ.~v) + ρ~g.~v − σ : (∇⊗ ~v)

E. pot.∂ep∂t = −∇ · (ep.~v)− ρ.~g.~v ρ

DepDt = −ρ~g.~v

E. int. ∂u∂t = −∇ · (u.~v + ~q) + σ : (∇⊗ ~v) ρDuDt = −∇ · ~q + σ : (∇⊗ ~v)

E. tot. ∂e∂t = −∇ · (e.~v + ~q − σ.~v) ρDeDt = −∇ · (~q − σ.~v)

Enth. ∂h∂t = −∇ · (h.~v + ~q) + τ : (∇⊗ ~v) + Dp

Dt ρDhDt = −∇ · ~q + τ : (∇⊗ ~v) + DpDt

ρcp.DTDt = −∇ · ~q + τ : (∇⊗ ~v)−

(∂ ln ρ∂ lnT

)p.DpDt

Table 3.1 Bilans locaux, dans leur formulation Eulérienne et Lagrangienne. Les densités volumiques sontec ≡ 1

2ρv2, ep ≡ ρΨ. Les grandeurs barrées f désignent les densités massiques : f ≡ f/ρ.

Grandeur F = f.V f ϕdi s

Masse m ρ ~0 0

Q. de mouv. m~v ρ~v −σ ρ~g

En. cin. 12mv

2 12ρv

2 −σ.~v ρ~g.~v − τ : ∇⊗ ~v + p.∇ · ~v

En. pot. mgz ρgz ~0 −ρ~g.~v

En. int. U u ~q τ : ∇⊗ ~v − p.∇ · ~v

En. tot. 12mv

2 +mgz + U 12ρv

2 + ρgz + u ~q − σ.~v 0

Enthalpie H h ~q DpDt + τ : ∇⊗ ~v

Table 3.2 Eléments pour écrire le bilan local. On rappelle que σ ≡ τ − pI.

37

Chapitre 3. Bilans locaux

3.3 Conditions aux limites

Considérons deux milieux 1 et 2, uide ou solide, séparés par une frontière ∂Ω. Dans certains cas degure, une grandeur f telle que la vitesse, la température ou la concentration d'une espèce est imposée.On parle alors de condition de Dirichlet. Dans d'autres cas, c'est une valeur du ux de f qui est imposé(force/contrainte, ux thermique, ux de matière). On s'aidera de la gure 3.2 pour repérer les deux milieux,le vecteur unitaire ~n normal à l'interface et le vecteur unitaire ~t tangent à l'interface. Le tableau 3.3 résumeles diérentes situations qui seront explicitées ci-dessous.

Figure 3.2 Conditions aux limites entre deux uides.

Variables conjuguées Dirichlet Neumann

Mécanique ~v/~P Vitesse [m/s] Flux de Qté de Mvt. [(kg.m.s−1).m−2.s−1] =[Pa]

Thermique T/S ou T/U Température [K] Flux de chaleur [J.m−2.s−1]=[W.m−2]

Chimique µi/Ni ou ci/Ni Concentration [mol.m−3] Flux de matière [mol.m−2.s−1]

Table 3.3 Conditions aux limites de Dirichlet (valeur imposée) ou de Neumann (ux imposé).

3.3.1 Conditions de Dirichlet

Mécanique. Si les milieux 1 et 2 ne traversent pas la frontière (absence d'interpénétration), alors on peutécrire :

~v1.~n = ~v2.~n

Si les milieux 1 et 2 adhèrent l'un à l'autre (ce qui sera le cas pour les uides visqueux mais pas pour lesuides parfaits), alors on peut écrire :

~v1.~t = ~v2.~t

Thermique. Sauf s'il y a une réaction chimique exothermique ou endothermique à l'interface (exemple :oxydation d'un métal par un gaz oxydant), il y a continuité de la température :

T1 = T2

Chimique. Sauf s'il y a une réaction chimique à l'interface, on écrit l'égalité des potentiels chimiques. Danscertains congurations, cette égalité implique l'égalité des concentrations (voir cours de thermodynamiques).On retiendra :

µ1 = µ2

38

3.3. Conditions aux limites

3.3.2 Conditions de Neumann

Mécanique. Rappelons que la densité de ux de quantité de mouvement est une contrainte. L'égalité descontraintes normales (la pression) s'exprime simplement par p1 = p2 si l'interface entre les milieux 1 et 2 estplane. Dans le cas général d'une interface courbe, il faut faire intervenir la tension supercielle par la loi deLaplace :

p2 = p1 + γ12.

[1

R+

1

R′

]où γ12 est la tension de surface entre les milieux 1 et 2 et où R et R′ sont les rayons de courbure principaux del'ellipsoïde qui tangente l'interface. La pression est toujours plus élevée à l'intérieur de la concavité. L'égalitédes contraintes tangentielles se traduit par :

~T1.~t = ~T2.~t

où ~Ti est le vecteur-contrainte déni par l'équation 2.15 en page 24. Pour mémoire, ce vecteur contrainteest lié au tenseur des contraintes par la relation 2.18 qui s'énonce ~T = σ · ~n. Par analyse dimensionnelle, onpeut montrer que le vecteur contrainte est proportionnelle à la viscosité dynamique. Par conséquent, pourun couple (X/uide parfait) ou bien (milieu dense/gaz), alors l'un des vecteurs contraintes est nul ou très

faible devant l'autre et l'on écrire ~T = ~0.

Thermique. Sauf s'il y a une réaction chimique exothermique ou endothermique à l'interface (exemple :oxydation d'un métal par un gaz oxydant), il y a continuité du ux de chaleur :

~q1 = ~q2

Si un des deux milieux est isolant thermique (conductivité thermique inniment faible), on parle de conditionsadiabatiques et l'on a ~q = ~0.

Chimique. On écrit l'égalité des ux de matières (en mol/m2/s) sauf s'il y a une réaction chimique àl'interface qui consomme ou produit le constituant étudié.

3.3.3 Conditions de Robin

Il s'agit d'une condition mixte :

Sur la frontière : ~n. (∇ · ~v) + α.~v = Une valeur imposée

avec α une constante.

39

Chapitre 3. Bilans locaux

40

Chapitre 4

Bilans macroscopiques

Dans de nombreux contextes liés à la mécanique des uides, on cherche à calculer des grandeurs telles quedes débits, des températures, des forces, des puissances mécaniques ou thermiques. Dans ces situations, iln'est pas particulièrement utile de connaître le champ de température ou de vitesse en tout point du volumede contrôle. Au contraire, une grandeur macroscopique est souvent susante, au moins dans une premièreétape de dimensionnement.

Le schéma 4.1 montre un système macroscopique délimité par des pointillés rouges. Le uide qu'il contientreçoit une puissance mécanique externe W0 (par exemple par un ensemble arbre+hélice en rotation ou bienpar un barreau magnétique mis en mouvement à distance) ainsi qu'une puissance thermique externe Q0 (parexemple par contact avec un échangeur de chaleur situé au coeur du système ou bien par excitation desmolécules par des micro-ondes). Le système est alimenté par plusieurs conduites. Les parois solides exercent

sur le uide interne une force ~Fs/f et chauent le uide (densité de ux de chaleur par conduction ~q).

Figure 4.1 Représentation schématique d'un système macroscopique quelconque.

41

Chapitre 4. Bilans macroscopiques

4.1 Les diérents volumes de contrôle

Le volume de contrôle Ω est la région de l'espace qui nous intéresse. Cette région est séparée de sonenvironnement par une frontière notée ∂Ω se déplaçant à la vitesse ~v∂Ω. Il s'avère commode de distinguertrois types de volumes de contrôle :

volume matériel : il s'agit du volume occupé par de la matière a priori en mouvement. Dans ce cas,la vitesse de déplacement de la frontière est égale à la vitesse de déplacement (des molécules) de lamatière : ~v∂Ω = ~v

volume imaginaire : il s'agit d'une zone de l'espace qui est dénie géométriquement, c'est-à-direindépendamment de la matière qu'il peut contenir. On distingue deux situations : frontière xe : la vitesse de la frontière est nulle : ~v∂Ω = ~0 frontière mobile : la vitesse de la frontière est une fonction arbitrairement choisie par la personne

qui étudie le système : ~v∂Ω = f (t).

Figure 4.2 Les trois types de volumes de contrôle macroscopiques.

4.2 Expression générale du bilan macroscopique

Dans le cas général, on étudie une grandeur extensive F associée au volume de contrôle. Cette grandeurest typiquement la masse m de ce volume, sa quantité de mouvement m~v ou bien son énergie E. Le bilanmacroscopique établit un lien entre la variation temporelle dF

dt et les diérents termes de ux et termessources. Dans un premier temps, nous allons établir son expression pour un volume de contrôle quelconque(= imaginaire et mobile). Ensuite, nous étudierons les deux cas particuliers où le volume de contrôle estmatériel ou bien imaginaire xe.

4.2.1 Volume de contrôle quelconque

Connaissant le lien entre F et f (équation 3.2), l'expression du bilan local (équation 3.10) et le théorèmede transport de Reynolds (équation 6.10 en page 66), on peut écrire :

dF

dt=

y

Ω(t)

(s−∇ · (ϕdi + f~v)) .dV +

∂Ω(t)

f~v∂Ω.~nout.dS + Fext (4.1)

où s désigne la densité volumique de source. On a donc :

dF

dt=

y

Ω(t)

s.dV −y

Ω(t)

(∇ · ϕdi) .dV −y

Ω(t)

(∇ · (f~v)) .dV +

∂Ω(t)

f~v∂Ω.~nout.dS + Fext (4.2)

En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky (équation 6.7 en page 64), l'expression devient :

dF

dt=

y

Ω(t)

s.dV +

∂Ω(t)

ϕdi.~nin.dS +

∂Ω(t)

f (~v − ~v∂Ω) .~nin.dS + Fext (4.3)

42

4.3. Application aux grandeurs usuelles

4.2.2 Volume de contrôle matériel

Dans ce cas particulier, on peut écrire ~v∂Ω = ~v et donc :

dF

dt=

y

Ω(t)

s.dV +

∂Ω(t)

ϕdi.~nin.dS + Fext (4.4)

Malgré les apparences de simplicité, cette équation n'est pas évidente à mettre en oeuvre. En eet, dans denombreux cas pratiques, on ne connaît pas l'évolution des frontières du volume matériel (exemple typique :écoulement turbulent).

4.2.3 Volume de contrôle imaginaire xe

Dans ce cas particulier, on peut écrire ~v∂Ω = ~0 et donc :

dF

dt=

y

Ω

s.dV +

∂Ω

ϕdi.~nin.dS +

∂Ω

f~v.~nin.dS + Fext (4.5)

Quoique plus longue, cette expression est très utilisée en pratique car les intégrales se calculent sur desdomaines connus et invariants dans le temps.

4.3 Application aux grandeurs usuelles

Dans ce qui suit, on considère un volume de contrôle imaginaire xe. Le bilan 4.5 est décliné pour lagrandeur F d'intérêt. Une deuxième expression est ensuite établie dans le cas particulier où l'écoulement estconsidéré comme unidimensionnel (les grandeurs p, T,~v, ρ sont considérées comme uniformes sur la sectionS des conduites connectées au système étudié). L'indice i désigne le numéro de la conduite d'arrivée/sortie.

4.3.1 Bilan macroscopique de masse

Lorsque F est la masse m ≡t

ρ.dV du système, ce bilan permet de calculer des débits. Compte-tenudu fait qu'il n'y a pas de création ni de diusion de masse, il s'écrit :

dm

dt=

∂Ω

ρ~v.~nin.dS (4.6)

Dans l'approximation unidimensionnelle, on a :

dm

dt=∑i

mi,in avec mi,in ≡ ρi.Si.~vi.~ni,in (4.7)

où mi,in désigne le débit massique du uide (de masse volumique ρi) entrant par la section Si de la conduiteà la vitesse moyenne ~vi. Par construction, il s'agit d'une grandeur algébrique : le débit est positif si la vitesseest dirigée vers l'intérieur du système et négatif sinon.

4.3.2 Bilan macroscopique de quantité de mouvement

Lorsque F est la quantité de mouvement ~P ≡t

ρ~v.dV du système, ce bilan permet de calculer desforces ou des puissances mécaniques. Il s'écrit :

d~P

dt= m~g +

∂Ω

(−σ).~nin.dS +

∂Ω

(ρ~v ⊗ ~v) .~nin.dS + ~Fext (4.8)

où ~Fext est une force extérieure, par exemple apportée par un moteur ou évacuée par un turbo-alternateurou bien encore apportée par un champ magnétique sur un uide constitué de charges électriques.

43

Chapitre 4. Bilans macroscopiques

Lorsque la frontière imaginaire xe ∂Ω du système peut être considérée comme l'union de la frontière ∂Ωsentre le uide interne et les parois solides et de la frontière ∂Ωf entre le uide interne et le uide externe,on obtient :

d~P

dt= m~g +

∂Ωs

σ.~nout.dS︸ ︷︷ ︸T1

+

∂Ωf

σ.~nout.dS︸ ︷︷ ︸T2

+

∂Ωs

(ρ~v ⊗ ~v) .~nin.dS︸ ︷︷ ︸T3

+

∂Ωf

(ρ~v ⊗ ~v) .~nin.dS︸ ︷︷ ︸T4

+~Fext (4.9)

Le terme T1 représente la force ~Fs/f que les parois solides exercent sur le uide contenu dans le système(voir équation 2.19 en page 26). C'est souvent la grandeur que l'on cherche à calculer. Compte-tenu du faitque σ = τ − pI et que la contrainte de cisaillement τ est souvent négligeable en norme à la pression p d'unuide 1, le terme T2 se simplie en une intégrale sur la surface de p.d~S. Lorsque les parois sont imperméables,la vitesse du uide à leur contact est nulle. Par conséquent, le terme T3 est identiquement nul. On en déduitl'expression suivante du bilan macroscopique de quantité de mouvement :

d~P

dt= m~g + ~Fs/f +

∂Ωf

(pI + ρ~v ⊗ ~v) .~nin.dS + ~Fext (4.10)

Etudions le cas particulier du régime stationnaire. Dans ce cas, la résultante ~Ftot/f des forces qui s'appliquentsur le uide (gravité + parois solides + pression du uide) est égale et opposée au débit de quantité demouvement entrant dans le système. Il s'ensuit que l'équation 4.10 se simplie et prend la forme suivante,appelée théorème d'Euler :

~Ftot/f = −

∂Ωf

(ρ~v ⊗ ~v) .~nin.dS avec ~Ftot/f ≡ m~g + ~Fs/f +

∂Ωf

p.~nin.dS + ~Fext (4.11)

Dans l'approximation unidimensionnelle, le bilan 4.10 se simplie en :

d~P

dt= m~g + ~Fs/f +

∑i

pi.Si.~ni,in +∑i

mi,in~vi + ~Fext (4.12)

4.3.3 Bilan macroscopique d'énergie

Lorsque F est l'énergie totale E ≡ 12mv

2 + mgz + mu du système, ce bilan permet de calculer destempératures ou des puissances thermiques. Partant du bilan local d'énergie totale (équation 3.28), on peutécrire :

dE

dt= ΣE +

∂Ω

(~q − (τ − pI) .~v) .~nin.dS +

∂Ω

(1

2ρv2 + ρgz + ρu

)~v.~nin.dS (4.13)

où la source (macroscopique) d'énergie ΣE est égale à la somme de la puissance mécanique W0 (autre queles forces de pression et de pesanteur) et de la puissance thermique Q0. Comme la contrainte de cisaillementτ est souvent négligeable, en norme, à la pression p d'un uide, on peut réorganiser les termes et donnerl'expression générale du bilan macroscopique d'énergie :

dE

dt= W0 + Qtot +

∂Ω

(1

2ρv2 + ρgz + ρh

)~v.~nin.dS (4.14)

où l'intégrale sur la surface inclut le travail des forces de pression et de pesanteur. Dans l'équation 4.14,l'enthalpie massique h est liée à l'énergie interne massique u par la relation h = u + p/ρ 2 et la puissance

1. Pour un uide newtonien 1000 fois plus visqueux que l'eau (µ = 1 Pa.s) et une vitesse de cisaillement typique d'unprocédé "gentil" (γ = 102 s−1), la contrainte de cisaillement τ est de l'ordre de 102 Pa, ce qui est négligeable devant la pressionatmosphérique (105 Pa).

2. Cette relation s'obtient en divisant par m la relation connue H = U + pV .

44

4.3. Application aux grandeurs usuelles

thermique totale Qtot contient le terme Q0 lié à la chaleur apportée directement au coeur du système et unautre terme lié au ux conductif ~q intégré sur la surface de contrôle :

Qtot ≡ Q0 +

∂Ω

~q.~nin.dS (4.15)

Dans l'approximation unidimensionnelle, le bilan macroscopique d'énergie peut s'écrire :

dE

dt= W0 + Qtot +

∑i

mi,in.

(1

2v2i + gzi + hi

)(4.16)

Dans le cas particulier d'un régime stationnaire (dEdt = 0) dans une conduite (W0 = 0) adiabatique (Qtot = 0),on a conservation de la grandeur macroscopique 1

2v2 + gz + h. Bien souvent, l'enthalpie massique h n'est

pas connue. Il s'avère alors plus commode de faire apparaître explicitement les grandeurs dont elle dépend(température, pression ou entropie).

Bilan d'énergie avec les variables T et p Lorsque les grandeurs T et p sont imposées, on peut considérerl'enthalpie comme une fonction de T et p et écrire :

dh =

(∂h

∂T

)p

.dT +

(∂h

∂p

)T

.dp avec

(∂h∂T

)p

= cp(∂h∂p

)T

= 1ρ .

[1 +

(∂ ln ρ∂ lnT

)p

] (4.17)

Bilan d'énergie avec les variables s et p Bien souvent, la température n'est pas connue à l'avance et savaleur dépend des irréversibilités dans l'écoulement (le cisaillement visqueux transforme l'énergie mécaniqueen énergie thermique). Dans ce cas, il est plus judicieux de considérer l'enthalpie comme une fonction de lapression p et de l'entropie s pour écrire :

dh =

(∂h

∂s

)p

.ds+

(∂h

∂p

)s

.dp avec

(∂h∂s

)p

= T(∂h∂p

)s

= 1ρ

(4.18)

Graphiquement, la température T étant strictement positive, les isobares h (s, p0) sont des fonctions crois-santes de s. Par ailleurs, la masse volumique étant aussi strictement positive, l'isobare (s, pHigh) se situeraau dessus de l'isotherme (s, pLow) dans le diagramme h− s.

4.3.4 Bilan macroscopique d'énergie cinétique

Lorsque F est l'énergie cinétique Ec ≡ 12mv

2 du système, on peut utiliser le bilan local d'énergie cinétique(équation 3.20) pour écrire :

dEcdt

=

∂Ω

1

2ρv2.~v.~nin.dS −

∂Ω

σ.~v.~nin.dS +y

Ω

ρ~g.~v.dV −y

Ω

σ : (∇⊗ ~v) .dV + ΣextEc

où ΣextEc désigne la source (macroscopique) d'énergie cinétique extérieure (par exemple amenée par une agi-tation mécanique ou bien un champ électro-magnétique). Compte-tenu du fait que le tenseur des contraintespeut être décomposé selon σ = τ − p.I et que l'on a l'égalité σ : (∇⊗ ~v) = τ : (∇⊗ ~v)− p. (∇ · ~v), on a :

dEcdt

=

∂Ω

(1

2ρv2 + p

).~v.~nin.dS +

y

Ω

ρ~g.~v.dV −

∂Ω

τ.~v.~nin.dS −y

Ω

(τ : (∇⊗ ~v)− p. (∇ · ~v)) .dV + ΣextEc

Puisque ~g = −∇Ψ, on peut utiliser le théorème de Green-Ostrogradski (équation 6.3.1 en page 64) pourécrire :

dEcdt

=

∂Ω

(1

2ρv2 + p+ ρ.Ψ

).~v.~nin.dS +

y

Ω

[Ψ.∇ · (ρ~v) + p. (∇ · ~v) + (∇ · τ) .~v] .dV + ΣextEc (4.19)

45

Chapitre 4. Bilans macroscopiques

4.3.5 Bilan macroscopique d'énergie mécanique

Lorsque F est l'énergie mécanique Em ≡ 12mv

2 + mgz du système, on peut utiliser la formulationeulérienne du bilan local d'énergie mécanique (équation 3.22) pour écrire :

dEmdt

=

∂Ω

(1

2ρv2.~v + ρ.Ψ.~v − σ.~v

).~nin.dS −

y

Ω

σ : (∇⊗ ~v) .dV + ΣextEc

où ΣextEc désigne la source (macroscopique) d'énergie cinétique extérieure (par exemple amenée par une agi-tation mécanique ou bien un champ électro-magnétique). Compte-tenu du fait que le tenseur des contraintespeut être décomposé selon σ = τ − p.I et que l'on a l'égalité σ : (∇⊗ ~v) = τ : (∇⊗ ~v)− p. (∇ · ~v), on a :

dEmdt

=

∂Ω

P.~v.~nin.dS −

∂Ω

τ.~v.~nin.dS +y

Ω

p. (∇ · ~v) .dV −y

Ω

τ : (∇⊗ ~v) .dV + ΣextEc

où P désigne la pression généralisée :

P ≡ p+1

2ρv2 + ρ.Ψ (4.20)

La deuxième intégrale sur la surface peut être décomposée en une somme de deux termes : le premier sur lasurface solide-uide ∂Ωs (où la vitesse du uide est égale à celle du solide s'il y a adhérence) et le deuxièmesur la surface uide-uide ∂Ωf . Le premier est nul si l'interface solide-uide est au repos. Le deuxième estgénéralement négligeable (voir note de bas de page 1 en page 44). Pour un uide au contact d'un solideimmobile, le bilan macroscopique d'énergie mécanique s'énonce donc :

dEmdt

=

∂Ω

P.~v.~nin.dS +y

Ω

p. (∇ · ~v) .dV − Pvisc. + ΣextEc

où le terme Pvisc. représente la vitesse à laquelle l'énergie mécanique est dégradée (en énergie thermique) parles frottements visqueux :

Pvisc. ≡y

Ω

τ : (∇⊗ ~v) .dV (4.21)

46

Chapitre 5

Fluides particuliers, lois constitutives,

bilans approchés

La première section présente les propriétés thermodynamiques des matériaux. Ces propriétés sont valablesà l'équilibre et peuvent être calculées à partir de l'équation d'état complète du matériau.

La deuxième section présente les propriétés de transfert des matériaux. Dans la notion de transfert secache la notion de cinétique (et non plus de thermodynamiques). En eet, ces propriétés caractérisent lavitesse à laquelle un matériau réagit à une sollicitation (exemple : intensité du ux de chaleur pour unediérence de température imposée).

5.1 Propriétés (thermodynamiques) des matériaux

5.1.1 Masse volumique

La thermodynamique 1 nous apprend que la masse volumique dépend de la température et de la pression :

dρ =

(∂ρ

∂T

)p

.dT +

(∂ρ

∂p

)T

.dp

Souvent, on utilise deux coecients thermo-élastiques pour ré-écrire l'équation précédente :

ρ= −α.dT + κT .dp avec

α ≡ −1

ρ .(∂ρ∂T

)p

Coe. de dilatation thermique

κT ≡ 1ρ .(∂ρ∂p

)T

Compressibilité isotherme

(5.1)

On voit que la modication de la masse volumique est due à deux contributions : la dilatabilité (induite parune modication de température) et la compressibilité (induite par une modication de pression). On notepar ailleurs la dénition du coecient de compressibilité adiabatique κS :

κS ≡1

ρ.

(∂ρ

∂p

)S

(5.2)

1. Voir cours de thermodynamique disponible à l'adresse http://www.emse.fr/~bonnefoy/Public/Thermo-EMSE.pdf.

47

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

5.1.1.1 Inuence de la température (dilatabilité)

Lorsqu'on étudie la convection naturelle (mise en mouvement du uide causé par un gradient de tempé-rature), on utilise une équation d'état simpliée qui prend le nom d'approximation de Boussinesq :

ρ (T, p) = ρ0. [1− α0. (T − T0)] (5.3)

où α0 est le coecient d'expansion thermique déni dans l'équation 5.1 et calculé pour la température deréférence T0. On utilise cette expression de la masse volumique dans le bilan de quantité de mouvement 3.18qui prend alors le nom d'équation de Boussinesq. Pour un gaz parfait, on peut montrer que le coecientde dilatation thermique α est égal à 1/T (soit environ 3,4.10−3 K−1 à 20°C). Pour l'eau, il est égal à 2,07.10−4

K−1 à 20°C.

5.1.1.2 Inuence de la pression (compressibilité)

La compressibilité isotherme des gaz dépend en premier lieu de l'état physique de la matière :

• gaz : 10−5 Pa−1

• liquides : 10−10-10−9 Pa−1

• solides : 10−11-10−10 Pa−1

Des valeurs plus précises sont données dans le tableau 5.1 en page 59 pour certains matériaux.

5.1.2 Capacités caloriques et coecient adiabatique

Les capacités caloriquesmassiques à pression et volume constants sont notées cp et cV respectivement.En notant s l'entropie massique, elles sont dénies par les relations :

cp ≡ T.(∂s∂T

)p

cV ≡ T.(∂s∂T

)V

(5.4)

La thermodynamique nous apprend que : cp =

(∂h∂T

)p

cV =(∂u∂T

)V

(5.5)

Le coecient adiabatique est déni par :

γ ≡ cpcV

Le coecient adiabatique γ vaut 5/3 pour un gaz parfait monoatomique et 7/5 pour un gaz parfait diato-mique. Pour une substance absolument quelconque, on peut montrer la relation :

γ =κTκS

5.1.3 Vitesse du son

Pour un corps absolument quelconque (solide, liquide ou gaz), la vitesse du son cs est dénie par ladérivée partielle de la pression p par rapport à la masse volumique ρ, à entropie S constante :

c2s ≡(∂p

∂ρ

)S

soit cs ≡√

1

ρ.κS(5.6)

48

5.2. Equations constitutives

Dans le cas particulier du gaz parfait de masse molaire M , l'équation d'état pV = NRT permet d'établirque :

cs =

√γ.R.T avec R ≡ R

M(5.7)

Il est à noter que la vitesse du son est plus petite que la vitesse moyenne des particules. Cela n'a rien d'éton-nant car une onde sonore ne peut pas se propager plus vite que les particules elles-mêmes. Notons aussi quela vitesse du son ne dépend que de la température. Par conséquent, elle sera constante lorsque le systèmemodélisé sera athermique.

5.2 Equations constitutives

5.2.1 Considérations générales sur les relations force-ux

Les bilans décrits plus haut, qu'ils soient locaux ou macroscopiques, possèdent une certaine universalitédans la mesure où leur expression ne dépend pas des matériaux en écoulement. La spécicité de ces derniersintervient dans ce qu'on appelle des lois constitutives. Elles établissent un lien entre une force motrice et unux. Pour chaque loi constitutive, il y a, plus ou moins caché, un couple de grandeurs conjuguées.

Lorsque les champs de température, de vitesse et de concentration sont uniformes dans un système (i.e.même valeur en chaque point de l'espace), alors ce dernier est au repos et son état ne varie pas au cours dutemps. En revanche, s'il existe des inhomogénéités spatiales, alors on observe l'apparition de ux qui tendentà les réduire. Pour de faibles inhomogénéités, les ux sont diusifs. S'ils dépassent un certain seuil, il peut yavoir des ux convectifs également.

Si les inhomogénéités ne sont pas trop grandes, alors on se trouve dans le domaine linéaire, c'est-à-dire que le ux diusif d'une grandeur extensive est proportionnel à la force motrice (le gradient de sagrandeur conjuguées). Les relations force-ux ont été identiées par les grands noms de la Science dans descongurations simples.

5.2.2 Comportement thermique

On observe le lien de causalité suivant : une diérence de température génère un ux de chaleur ouplus précisément un ux d'énergie interne. Par conséquent, le couple de variables conjuguées est T/U ouT/S. La loi de Fourier établit un lien de proportionnalité entre le ux diusif d'énergie interne ϕU,di(qui n'est rien d'autre que le ux de chaleur conductif ~q) et le gradient de température ∇T . La constantede proportionnalité est notée λ et s'appelle conductivité thermique. Elle s'exprime en W.m−1.K−1. Lesgures 5.1 et 5.2 montrent la conductivité thermique de diérents matériaux courants.

Loi de Fourier : ~q = −λ.∇T (5.8)

5.2.3 Comportement chimique

On observe le lien de causalité suivant : une diérence de potentiel chimique génère un ux de matière.Dans la pratique, les lois constitutives établissent plutôt un lien entre le ux de matière et la fraction mas-sique (ou la concentration) des constituants, plus facile à mesurer ou calculer que le potentiel chimique.

Plusieurs mécanismes diusifs ont été identiés : la diusion de concentration (également appelée diu-sion de masse ou diusion ordinaire), la diusion thermique qui résulte d'un gradient de température, ladiusion de pression qui résulte d'un gradient de pression et la diusion forcée qui est causée par des forcesextérieures s'appliquant inégalement sur chaque constituant (exemple : force électrostatique). Dans les casusuels, la diusion de concentration est prépondérante.

49

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

Figure 5.1 Conductivité thermique de diérents matériaux.

Dans le cas particulier d'un système binaire, la loi de Fick dresse un lien de proportionnalité entre leux diusif de matière ϕdi,k (en kg/m−2.s−1) et le gradient de fraction massique ∇ωk. La constante deproportionnalité est notée Dk et s'appelle coecient de diusion moléculaire. Elle s'exprime en m2.s−1.

Loi de Fick (massique) : ϕdi,k = −ρ.Dk.∇ωk (5.9)

5.2.4 Comportement mécanique

On observe le lien de causalité suivant : une diérence de vitesse génère un ux de quantité de mouvement.Par conséquent, le couple de variable conjuguées est ~v/~P où ~P ≡ m~v est la quantité de mouvement. End'autres termes, la force motrice d'un ux de quantité de mouvement est le gradient de vitesse, c'est-à-direle tenseur des taux de déformation ∇⊗ ~v :

σ = f (∇⊗ ~v)

Cette relation est particulière à chaque uide. Toutefois, on peut établir une règle générale sur la forme decette relation. En eet, on a établi trois choses :

le tenseur des contraintes σ est symétrique pour des systèmes non magnétiques (équation 6.15 en page73)

par construction, le tenseur des contraintes de cisaillement τ possède les mêmes symétries que σ(équation 2.13 en page 23)

le tenseur des taux de déformation ∇⊗~v peut s'écrire comme la somme d'un tenseur symétrique (notéd) et d'un tenseur anti-symétrique (noté r) (équation 2.6 en page 20)

On en déduit que le tenseur τ est une fonction de cette composante symétrique d ou, ce qui revient au même,à γ qui est un tenseur d'ordre 2 déni par γ ≡ 2d. On a donc :

τ = f (γ) avec γ ≡ ∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)T

(5.10)

L'expression de f est spécique à chaque uide. Dans ce qui suit, nous allons voir le cas simple d'une relationlinéaire (uide newtonien), d'une relation générale (uides complexes) et d'une fonction identiquement nulle(uide parfait).

50

5.2. Equations constitutives

Figure 5.2 Conductivité thermique de diérents matériaux.

5.2.4.1 Fluide newtonien

On a vu dans l'équation 2.9 en page 22 que le tenseur des taux de déformations d peut être écrit comme lasomme de deux contributions : un cisaillement à volume constant dcis et une expansion isotrope dexp :

d = dcis + dexp avec dexp ≡∇ · ~vD

.I

Le tenseur des contraintes de cisaillement peut également être vu comme la somme de ces deux contributions :

τ = τcis + τexp

On appelle uide newtonien un uide caractérisé par une simple relation de proportionnalité entre τcis etdcis d'une part et entre τexp et dexp d'autre part :

τcis ≡ µ.2.dcis

τexp ≡ λ.D.dexp

(5.11)

où λ est la viscosité de volume 2 et D la dimension spatiale. La grandeur µ est la viscosité de cisaillement 3,communément appelée viscosité dynamique, et s'exprime en Pa.s. Au nal, le tenseur des contraintes decisaillement d'un uide newtonien s'écrit :

τ = µ.

[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T − 2

D.(∇ · ~v).I

]+ λ.(∇ · ~v).I (5.12)

où I représente la matrice identité. Sous forme développée, on a :

τij ≡ µ.[∂vi∂xj

+∂vj∂xi− 2.δij

D(∇ · ~v)

]+ λ.δij(∇ · ~v) avec ∇ · ~v ≡

D∑j=1

∂vi∂xi

(5.13)

On vient d'établir la forme particulière de la relation τ = f (γ) pour un uide newtonien. On voit que, pourun uide newtonien et incompressible (∇ ·~v = 0), on a une relation simple de proportionnalité entre la forcemotrice (le gradient de vitesse γ) et la densité de ux de quantité de quantité de mouvement. Il s'agit de laloi de Newton, dont l'expression fait écho à la loi de Fourier et à la loi de Fick.

Loi de Newton : τ = µ.γ (5.14)

2. Second viscosity coecient en anglais.3. Shear viscosity ou First viscosity coecient en anglais.

51

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

5.2.4.2 Fluide parfait

Le uide parfait est un uide dont le tenseur des contraintes de cisaillement est identiquement nul. Ils'agit d'un uide qui n'existe pas dans la nature.

5.2.4.3 Fluides complexes

De nombreux uides tels que les pâtes de dentifrice, les gels, le miel, les huiles lourdes, . . .s'écoulentcomme un liquide si la contrainte de cisaillement dépasse une valeur critique et se comportent comme unsolide dans le cas contraire. Dans le domaine naturel, les boues (eau + particules cohésives d'argile) sont unautre exemple de uide non newtonien, c'est-à-dire caractérisé par une relation non linéaire entre τij et dij .Il est du ressort de la rhéométrie que de caractériser le comportement rhéologique de ces uides. La gure5.3 donne l'allure des courbes τ (γ).

Figure 5.3 Rhéogramme = signature rhéologique de diérents uides non newtoniens.

5.3 Classication des écoulements

5.3.1 Critères géométriques

5.3.1.1 Dimension spatiale

Bien évidemment, on peut identier la dimension spatiale :

1D : parfois utilisable pour un écoulement en conduite. 2D : plus simple à résoudre qu'en 3D, par exemple dans le cas d'invariance selon une direction de

l'espace 3D : le cas général

52

5.3. Classication des écoulements

5.3.1.2 Interne vs. externe

Un écoulement est qualié d'interne lorsqu'il est complètement conné par des parois solides (conduite,pompe, compresseur, turbine, milieu poreux, . . .) ou bien écoulement en canal ouvert (euves, canaux d'ir-rigation, . . .).

Un écoulement est qualié d'externe lorsqu'il est autour d'un objet immergé dans un uide sans limite(sous-marin en plongée, avion en vol, balle de golf, fusée,. . .).

Figure 5.4 Ecoulement externe (autour de la navette spatiale américaine).

5.3.2 Critères cinématiques

5.3.2.1 Stationnaire vs. instationnaire

Un écoulement sera qualié de stationnaire si, en tout point de l'espace, ses propriétés sont constantesdans le temps. Concrètement, toutes les dérivées partielles par rapport au temps ∂

∂t sont nulles.

Il sera qualié d'instationnaire s'il existe un ou plusieurs endroits où les propriétés de l'écoulement varientdans le temps.

5.3.2.2 Isovolume

Un écoulement est dit isovolume ou solénoïdal lorsque la divergence de la vitesse est nulle. Les anglos-saxons parlent de "divergence-free ow". Il est dit "non-solénoïdal" dans le cas contraire.

5.3.2.3 Rotationnel vs. irrotationnel

Dans un écoulement rotationnel, le vecteur tourbillon ~Ω n'est pas nul partout dans le uide (dénition2.7 en page 21).

A contrario, dans un écoulement irrotationnel, le rotationnel de la vitesse est nul. Si le domaine del'écoulement est dénué de "trous" (simplement connexe), alors il existe une fonction scalaire Φ appeléepotentiel des vitesses, vériant :

~v = −∇Φ

53

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

Si, de plus, l'écoulement est à divergence nulle (∇ · ~v = 0), alors le Laplacien du potentiel est nul. Il s'agitde l'équation de Laplace qui facilite la résolution de certains problèmes.

∆Φ = 0

5.3.2.4 Subsonique vs. supersonique

Considérons un uide dans lequel la vitesse du son (dénie dans la section 5.1.3 en page 48) est cs. Unécoulement de ce uide sera qualié de subsonique (resp. supersonique) si sa vitesse V est inférieure (resp.supérieure) en tout point à la vitesse du son. On utilise souvent le nombre de Mach, dont la dénition estdonnée dans les tableaux 1.2 et 1.3 en page 10 :

Ma ≡ τsonτconv

avec

τson ≡ Lcs

τconv ≡ LV

c'est-à-dire :

Ma ≡ V

csou bien Ma = V.

√ρ.κS (5.15)

Le tableau 5.1 en page 59 donne la valeur de la vitesse du son et de la compressibilité pour un certain nombrede matériaux.

5.3.2.5 Laminaire vs. turbulent

Un écoulement est laminaire lorsque l'ensemble du uide s'écoule plus ou moins dans la même direction,de manière régulière, en couches parallèles glissant les unes sur les autres. Il n'y a pas de mouvements trans-verses à la direction de l'écoulement.

Un écoulement est turbulent lorsque le uide s'écoule de manière désorganisée, avec des tourbillons quiprovoquent un mélange du uide et/ou des couches uides qui se décollent les unes des autres.

Le nombre de Reynolds permet de quantier l'importance relative des forces visqueuses (qui tendent àrendre l'écoulement laminaire) et des forces inertielles (qui tendent à rendre l'écoulement turbulent). Onrappelle sa dénition, donnée dans les tableaux 1.2 et 1.3 en page 10 :

Re ≡ τviscτconv

avec

τvisc ≡ L2

ν

τconv ≡ LV

où τvisc est le temps caractéristique du transport diusif de la quantité de mouvement et τconv celui dutransport convectif de la quantité de mouvement. Compte-tenu de la dénition de la viscosité cinématiqueν ≡ µ/ρ, on peut aussi écrire le nombre de Reynolds en faisant intervenir la viscosité dynamique µ :

Re ≡ ρ.V.L

µ(5.16)

5.3.2.6 Compressible vs. incompressible

Dans un écoulement incompressible, le volume d'une parcelle de uide n'évolue au cours de son mouve-ment. Cela signie que la masse volumique est uniforme dans l'espace. Dans un écoulement compressible, levolume d'une parcelle de uide peut changer avec sa position. Cela implique que la masse volumique n'estpas uniforme dans l'espace.

Pour quantier l'importance de la compressibilité, on adoptera la dénition suivante :

L'écoulement est incompressible ssiδρ

ρ 1 (5.17)

54

5.4. Formes simpliées des bilans

En utilisant la compressibilité κS (équation 5.2 en page 47), on peut faire apparaître la pression et distinguerensuite trois cas :

δρ

ρ= κS .δp

Fluide incompressible. Puisque la masse volumique est mathématiquement constante, le rapport δρ/ρest identiquement nul :

Pour un uide incompressible :δρ

ρ= 0 (5.18)

Ecoulement dominé par l'inertie. Dans ce cas où le nombre de Reynolds est élevé, les écarts de pressionδp sont de l'ordre de grandeur de ρ.V 2. Compte-tenu de la dénition 5.15 du nombre de Mach, il s'ensuitque :

Pour un écoulement inertiel :δρ

ρ∝Ma2 (5.19)

Ecoulement dominé par la viscosité. Dans ce cas où le nombre de Reynolds est faible, les écarts depression sont de l'ordre de grandeur de µ.V/L. Compte-tenu de la dénition du nombre de Reynolds et deMach, il s'ensuit que :

Pour un écoulement visqueux :δρ

ρ∝ Ma2

Re(5.20)

Synthèse. On retiendra que l'écoulement est incompressible dans les trois cas suivants :

uide incompressible (exemple : la plupart des liquides) uide compressible (exemple : les gaz) avec la condition : à fort nombre de Reynolds : Ma < 0, 3 à faible nombre de Reynolds : Ma <

√Re

5.4 Formes simpliées des bilans

5.4.1 Bilan de masse

Pour un uide incompressible, la masse volumique ρ est une constante (dans le temps et l'espace). Parconséquent, le bilan de masse (équation 3.14 en page 32) se simplie en :

∇ · ~v = 0 (5.21)

5.4.2 Bilan de quantité de mouvement

De manière la plus générale, le bilan de quantité de mouvement est donné par l'équation de Cauchy 3.18en page 33 que l'on rappelle ici :

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p+∇ · τ (5.22)

Pour un uide newtonien (dénition en page 51), le tenseur des contraintes de cisaillement a la formesuivante :

τ = µ.

[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T − 2

D.(∇ · ~v).I

]+ λ.(∇ · ~v).I (5.23)

On en déduit l'expression de ∇ · τ pour un uide newtonien :

∇ · τ = ∇ ·(µ.[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T])

+∇[(λ− 2µ

D

).(∇ · ~v)

](5.24)

55

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

Lorsque la viscosité dynamique µ et la viscosité de volume λ sont uniformes dans l'espace, alors on peut

utiliser l'égalité ∇ ·(∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T)

= ∆~v +∇ (∇ · ~v) 4 pour écrire :

∇ · τ = µ.∆~v +

(λ+

D − 2

).∇ (∇ · ~v) (5.25)

Dans de très nombreux cas pratiques, on peut considérer que λ = 0. Cette hypothèse, dite de Stokes,revient à dire que la contrainte d'expansion dexp est négligeable devant la contrainte de cisaillement dcis (voiréquation 5.11). Cette hypothèse n'est pas valide dans des situations telles que l'amortissement des pulsationsde volume produites par une brusque variation de pression ou l'amortissement d'ondes ultrasonores.

L'équation 5.25 peut être simpliée dans le cas d'un écoulement incompressible (voir dénition en page54). En eet, on a alors de très faibles variations relatives de masse volumique δρ/ρ 1 et l'on peut fairel'approximation que la masse volumique est constante. D'après le bilan local de masse, équation 3.14 en page32, cela implique la nullité de la divergence du champ de vitesse. L'équation 5.22 peut alors se simplier.Cette expression du bilan de quantité de mouvement, (valable pour un uide newtonien, avec λ = 0 et µuniforme, ainsi qu'un écoulement incompressible), porte le nom d'équation de Navier-Stokes :

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p+ µ.∆~v (5.26)

Le terme µ.∆~v est le produit de la viscosité et du Laplacien de la vitesse qui est une mesure de la courburelocale du champ de vitesse. Il est nul pour un prol de vitesse linéaire. La gure 5.5 illustre le fait queles forces visqueuses ont pour eet de linéariser le prol de vitesse en accélérant/entraînant les parcellesuides en retard et en freinant/ralentissant les parcelles uides en avance par rapport à un prol linéaire.En d'autres termes, on retiendra que les forces visqueuses agissent comme une force de rappel et stabilisentl'écoulement en linéarisant les prols de vitesse.

Figure 5.5 Les forces visqueuses tendent à homogénéiser le champ de vitesse en le rapprochant d'un prollinéaire.

Cas particulier des écoulements à fort nombre de Reynolds. Ce cas se rencontre pour un écoulementtrès turbulent (vitesse très élevée) ou bien un uide parfait (viscosité nulle). Dans l'équation de Navier-Stokes,le terme visqueux est négligeable et l'on obtient l'équation d'Euler ci-dessous. Notons qu'elle n'est pasvalable à proximité d'une interface uide-solide. En eet, comme la vitesse relative du uide est nulle aucontact du solide, il existe nécessairement une zone de faible vitesse où les eets visqueux ne peuvent êtreignorés.

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p (5.27)

4. En coordonnées cartésiennes, la i-ième composante du Laplacien ∆~v est ∆vi = ∂2vi∂x2 + ∂2vi

∂y2 + ∂2vi∂z2

.

56

5.4. Formes simpliées des bilans

Cas particulier des écoulements stationnaires à faible nombre de Reynolds. Lorsque les eetsvisqueux prédominent sur les eets inertiels et que l'écoulement est stationnaire, on parle d'écoulementrampant (creeping ow). Dans ce cas, l'équation de Navier-Stokes se simplie et prend le nom d'équationde Stokes :

0 = ρ~g −∇p+ µ.∆~v (5.28)

5.4.3 Bilan d'énergie cinétique

5.4.3.1 Bilan local

Dissipation d'énergie par frottements visqueux. Le bilan local d'énergie cinétique est donné dansl'équation 3.20 en page 33. Il fait intervenir le terme σ : (∇⊗ ~v) que nous allons exprimer diéremment pourmieux saisir sa signication physique. Lorsque le tenseur des contraintes est symétrique (absence de forcemagnétique), on peut jouer sur les indices et montrer que :

σ : (∇⊗ ~v) ≡∑i

∑j

σij .∂vi∂xj

=∑i

∑j

1

2σij .

(∂vj∂xi

+∂vj∂xi

)Pour un uide newtonien et un coecient λ = 0, on peut aller un peu plus loin et utiliser la dénition dutenseur γ des taux de cisaillement (équation 2.13 en page 23). Elle nous permet d'écrire la relation suivantequi montre que le terme σ : (∇⊗ ~v) est la part d'énergie cinétique qui est dissipée par les frottementsvisqueux sous forme d'énergie interne [W.m−3] :

σ : (∇⊗ ~v) =1

2µ. (γ : γ) avec γ : γ ≡

∑i

∑j

γ2ij (5.29)

Equation de Bernoulli (locale). On considère un écoulement incompressible (∇ · ~v = 0) avec une forcevolumique qui dérive d'un potentiel scalaire Ψ (par exemple ~g = −∇Ψ). En utilisant la dénition de ladérivée particulaire et la décomposition σ ≡ τ − p.I, le bilan local d'énergie cinétique (équation 3.19 en page33) se transforme en :

∂ec∂t

= ~v. (∇ · τ −∇P)

où l'on a déni la pression généralisée P par la relation :

P ≡ 1

2ρv2 + p+ ρΨ

Dans le cas particulier d'un état stationnaire, le membre de gauche est nul et l'on peut ré-écrire le membrede droite en faisant apparaître la dérivée particulaire de la pression généralisée :

DPDt

= ~v. (∇ · τ)

Le membre de gauche représente la variation temporelle de la grandeur scalaire 12ρv

2 + p + ρΨ au coursdu déplacement d'une parcelle de uide le long d'une ligne de courant (tangente en tous points au vecteurvitesse). Pour un uide newtonien tel que λ = 0 et µ constante, on a ∇ · τ = µ.∆~v. Si l'on considère deuxpoints 1 et 2 le long d'une ligne de courant, alors la variation de pression généralisée ∆P ≡ P2 − P1 est lasuivante :

∆P =

∫ 2

1

µ.∆~v.d~l (5.30)

Dans le cas général, on voit ainsi que la pression généralisée varie le long d'une ligne de courant. Par exemple,pour un écoulement visqueux et laminaire entre deux plans xes, la vitesse est orientée selon l'axe Ox pa-

rallèle aux deux plans et l'on observe un prol parabolique : ~v = vx(y).~ex avec vx(y) = vmax.[1−

(2yH

)2].

La courbure est telle que le Laplacien est négatif. Par conséquent, la pression généralisée diminue le long dela ligne de courant. Puisqu'ici ∆P = ∆p, on retrouve bien la notion de perte de charge : ∆p

L = − 8.µ.vmaxH2 .

57

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

L'équation 5.30 montre que la pression généralisée reste constante dans deux situations. La première serencontre lorsque le champ de vitesse est à Laplacien nul (que le uide soit visqueux ou parfait). C'est parexemple le cas dans les écoulements laminaires cisaillés plans. La deuxième situation se rencontre lorsque laviscosité est nulle, c'est-à-dire lorsque le uide est parfait. L'équation prend alors le nom de théorème deBernoulli :

P ≡ 1

2ρv2 + p+ ρ.Ψ = est constante le long d'une ligne de courant (5.31)

Figure 5.6 Zones de validité (en blanc) et d'invalidité (en rose) de la relation de Bernoulli. Source : MajidBahrami, Simon Fraser University (lien).

5.4.3.2 Bilan macroscopique

Le bilan macroscopique d'énergie cinétique a été donné dans l'équation 4.19 en page 45. On le rappelleci-dessous :

dEcdt

=

∂Ω

(1

2ρv2 + p+ ρ.Ψ

).~v.~nin.dS +

y

Ω

[Ψ.∇ · (ρ~v) + p. (∇ · ~v) + (∇ · τ) .~v] .dV + ΣextEc

Dans le cas d'un écoulement stationnaire, on a évidemment dEcdt = 0 et le bilan local de masse (équation

3.14 en page 32) indique que le terme ∇ · (ρ~v) est nul. Par ailleurs, pour un uide incompressible, ce mêmebilan local de masse indique que ∇ · ~v est également nul. Enn, pour un uide newtonien tel que λ = 0 etµ constante, on a ∇ · τ = µ.∆~v. Par conséquent, en l'absence de source externe d'énergie cinétique, pourun uide newtonien incompressible en écoulement stationnaire, le bilan macroscopique d'énergie cinétiquese réduit à :

∂Ω

(1

2ρv2 + p+ ρ.Ψ

).~v.~nin.dS = −µ.

y

Ω

~v.∆~v.dV

Dans l'approximation unidimensionnelle, l'équation précédente s'énonce :∑i

(1

2v2i +

piρi

+ Ψi

).mi,in = −µ.

y

Ω

~v.∆~v.dV

Si, en plus de toutes les hypothèses précédentes, le uide est parfait (µ = 0) et s'il y a une entrée et une sortie,alors le bilan d'énergie cinétique prend la forme suivante, que l'on peut qualier d'équation de Bernoullimacroscopique :

Pentrée = Psortie avec P ≡ 1

2ρv2 + p+ ρ.Ψ (5.32)

5.5 Données numériques

Le tableau 5.1 contient quelques propriétés de transfert de certains matériaux classiques.

58

5.5. Données numériques

ρ µ λ DAB cp α κT cs

Air (20°C) 1,204 1,825.10−5 0,0251 10−5 1007 2,07.10−5 1p ≈ 10−5 343

Eau (20°C) 998 1,002.10−3 0,598 2,3.10−9 4182 1,43.10−7 4,6.10−10 1482

Ethanol (20°C) 789 1,144.10−3 0,169 1,1.10−9 2399 8,93.10−8 1,1.10−9 1144

Glycérol (20°C) 1264 1,519 0,286 2386 9,48.10−8 2,5.10−10 1920

Huile moteur 888 0,837 0,145 1881 8,68.10−8 7.10−10 1461

Mercure (25°C) 13534 1,534.10−3 8,51 1,6.10−9 139 4,51.10−6 3,7.10−11 1450

Métaux liquides 2.103-2.104 10−4-10−3 1-102 10−9-10−8 103 10−6-10−4

Liquides organiques 103 10−4-10−3 0,15 10−10-10−7 103-3.103 10−8-10−7

Sels fondus 2.103 10−3 10−1-1 10−10 103-4.103 10−7 1850

Huiles silicones 103 10−2-103 0,1 10−13-10−9 2.103 10−7

Verre fondu (800 K) 3.103 10 10−2 10−12 103 10−6

Table 5.1 Valeurs typiques de la masse volumique ρ [kg.m−3], de la viscosité dynamique µ [Pa.s], de laconductivité thermique λ [W.m−1.K−1], du coecient de diusion moléculaire DAB [m2.s−1], de la capacitécalorique massique cp [J.K

−1.kg−1], de la diusivité thermique α = λ/(ρ.cp) [m2.s−1], de la compressibilité

isotherme κT [Pa] et de la vitesse du son cs [m.s−1].

59

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

Figure 5.7 Viscosités de certains uides.

60

5.6. Méthodologie

5.6 Méthodologie

Pour répondre à une question de Mécanique des Fluides et Transferts, on peut s'inspirer de la méthodologiesuivante, en l'adaptant aux spécicités du problème étudié :

Méthodologie

1. dénir le système étudié et son état initial• dénir sans ambiguïté un volume de contrôle Ω par sa frontière ∂Ω avec l'environnement(gure 3.1 en page 30). En particulier, bien clarier si cette frontière est immobile, advectéepar le uide ou bouge de manière dé-corrélée du uide (gure 4.2 en page 42).

• dénir les conditions aux limites (page 38)• dénir l'état initial du système• identier la nature de l'information recherchée : locale (chapitre 3) ou macroscopique(chapitre 4)

2. identier les équations• recenser les phénomènes physiques à l'oeuvre• établir les bilans des grandeurs extensives pertinentes bilan de masse (local page 32 et global page 43) : nécessaire si uide en mouvement,

calcul de débit bilan de quantité de mouvement (local page 33 et global page 44) ou bilan d'énergie

cinétique (local page 57) : nécessaire si uide en mouvement, calcul de forces bilan d'énergie totale (local page 35 et global page 44) ou bilan d'enthalpie (local page

36) : nécessaire si calcul de ux thermique et de température• écrire les équations constitutives (=spéciques au matériau) : masse volumique (page 47) : compressibilité (κ, Ma), dilatabilité (α) quantité de mouvement (page 50) : loi rhéologique (τ(γ)) énergie (page 50) : conduction de chaleur (cp, λ) quantité de matière : diusion d'espèces dans un mélange

3. simplier, modéliser• simplications d'ordre géométrique (pour chaque grandeur séparément) : invariance par translation selon une direction de l'espace invariance par rotation autour d'un axe ou d'un point invariance par retournement autour d'un plan

• simplications d'ordre physiques (avec l'aide de l'analyse dimensionnelle) : stationnaire/instationnaire compressible/incompressible (page 54) : nombre de Mach (éq. 5.15) laminaire/turbulent (page 54) : nombre de Reynolds (éq. 5.16) uide newtonien/complexe/parfait (page 51)

4. résoudre mathématiquement• choisir le système de coordonnées pertinents (pages 66) : cartésien, cylindrique ou sphérique• choisir un volume élémentaire qui simplie la résolution mathématique tout en capturantla physique intéressante

• intégrer le bilan local sur le petit volume, en tenant compte des conditions aux limites

61

Chapitre 5. Fluides particuliers, lois constitutives, bilans approchés

MASSE

QUANTITEDE

MOUVEMENT

ENERGIE

MECANIQ

UE

ENERGIE

INTERNE

Eq.decontinuité

(3.14page32)

Dt

=−ρ.(∇·~v

)

Eq.deCauchy

(3.18page33)

ρD~v

Dt

=ρ~g

+∇·σ

Biland'énergieinterne

(3.27page35)

ρDu

Dt

=−∇·~q

:(∇⊗~v

)

Eq.deNavier-Stokes

(5.26page56)

ρ.D

~vDt

=ρ~g−∇p

+µ.∆~v

Eq.d'Euler

(5.27page56)

ρ.D

~vDt

=ρ~g−∇p

Eq.deStokes

(5.28page57)

ρ~g−∇p

+µ.∆~v

=~ 0

Biland'énergiemécanique

(3.22page34)

ρDe m Dt

=[∇·τ−∇p].~v

Biland'énergiecinétique

(3.20page33)

ρDe cDt

=[∇·τ−∇p

+ρ~g].~v

Biland'enthalpie

(3.30page35)

ρDh

Dt

=−∇·~q

:

(∇⊗~v

)+

Dp

Dt

Th.deBernoulli

(5.31page58)

1 2ρv

2+p

+ρgz

=cst.

Eq.dela

chaleur

(3.31page36)

ρc p.D

TDt

=−∇·~q

:

(∇⊗~v

)−( ∂ln

ρ∂

lnT

) p.D

pDt

Isovolume

(5.21page55)

∇·~v

=0

e p=cst

Fluideparf.

ρcst.

stat.

nophase

change

ρcst

ρcst.

µcst.

Fluidenew

t.

Fluide

parfait

Re

=0

stat.

h≡u

+p ρ

62

Chapitre 6

Annexes

6.1 Symboles de Kronecker et Levi-Civita

Le symbole de Kronecker δij est déni par la relation suivante :

δij ≡

1 si i = j

0 si i 6= j(6.1)

Le symbole de permutation de Levi-Civita εijk est déni par la relation suivante :

εijk ≡

+1 si (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) ou (3, 1, 2) (permutation paire)

−1 si (i, j, k) = (3, 2, 1), (1, 3, 2) ou (2, 1, 3) (permutation impaire)

0 si i = j ou j = k ou k = i (autre)

(6.2)

6.2 Conventions

6.2.1 Convention sur la construction du tenseur des contraintes

Dans ce document, nous avons adopté deux conventions : l'orientation de la normale à une surface est donnée par ~nout, le vecteur unitaire normal sortant le tenseur des contraintes est construit en assemblant les vecteurs ~Ti verticalement

D'autres dénitions du tenseur des contraintes sont possibles. Cela porte à confusion car les auteurs n'utilisentqu'un seul et même symbole σ. Pour éliminer toute ambiguïté, il faudrait donc préciser la manière dont onconstruit le tenseur des contraintes. Dans ce document, le tenseur des contraintes est :

σ ≡ outverσ

Convention entrant/sortant. Le choix dépend beaucoup de la communauté : les géophysiciens et lesthermodynamiciens utilisent souvent la normale entrante ; les mécaniciens du solide et les informaticiensla normale sortante. En mécanique des uides, les deux se rencontrent. Quoiqu'il en soit, les auteurs quiadoptent la convention 'normale entrante' sont conduits à dénir le tenseur des contraintes in

verσ, qui estl'opposé du nôtre :

inverσ = − σ

Avec cette dénition, le vecteur-contrainte n'est pas calculé par l'équation 2.18 mais par :

~T = inverσ · ~nin (6.3)

Puisque ~nin = −~nout, on calcule bien la même grandeur ~T . Notons pour nir qu'avec la convention "normaleentrante", inverσxx > 0 implique que la matière est "en compression".

63

Chapitre 6. Annexes

Convention vertical/horizontal. De nombreux auteurs anglo-saxons dénissent le tenseur des contraintes

en assemblant les vecteurs ~Ti horizontalement :

outhorσ ≡

( ~Tx )

( ~Ty )

( ~Tz )

=

T xx T yx T zx

T xy T yy T zy

T xz T yz T zz

(6.4)

Leur tenseur des contraintes est le transposé du nôtre :

outhorσ = σT

Avec le tenseur des contraintes ainsi déni, le vecteur-contrainte n'est pas calculé par l'équation 2.18 maispar :

~T = ~nout · outhorσ (6.5)

Cette dernière expression n'est pas très correcte syntaxiquement. En Europe, on utilise l'écriture ( outhorσ)

T ·~noutpour désigner la même grandeur (ce qui est bien égal à σ · ~nout).

6.2.2 Synthèse

Quelle que soit la convention adoptée, on a : les grandeurs d~F et ~T sont identiques (car elles ont un sens physique immédiat) un matériau en compression est caractérisée par une pression p positive

Par ailleurs, on rappelle les formules de passage :

~nin = −~nouthoroutσ = (veroutσ)

T

horin σ = − (veroutσ)

T

verin σ = −ver

outσ

(6.6)

6.3 Théorèmes importants

6.3.1 Théorème de Green-Ostrogradsky

Le théorème de Green-Ostrogradsky est également connu sous le nom de théorème de ux-divergence 1. Il permet de transformer l'intégrale d'un champ vectoriel ~u sur un volume Ω en une intégralesur la frontière ∂Ω séparant ce volume de son environnement. Ce théorème s'applique pour un volume Ωabsolument quelconque (matériel ou imaginaire, xe ou mobile). La grandeur ∇ · ~u représente la divergencede ~u dont la dénition sera rappelée sur la gure 6.5.

y

Ω

(∇ · ~u) .dV =

∂Ω

~u.~nout.dS (6.7)

6.3.2 Théorème du gradient

Le théorème du gradient permet de transformer l'intégrale d'un champ scalaire f sur un volume Ωen une intégrale sur la frontière ∂Ω séparant ce volume de son environnement. Il s'obtient en appliquant lethéorème de Green-Ostrogradsky au champ vectoriel ~u = f.~u0 avec ~u0 un vecteur constant. La grandeur ∇freprésente le gradient de f . y

Ω

∇f.dV =

∂Ω

f.~nout.dS (6.8)

64

6.3. Théorèmes importants

Normale ~n entrante Normale ~n sortante

Assemblage vertical

σ ≡

T xx T xy T xz

T yx T yy T yz

T zx T zy T zz

~n = ~nin

σ =verin σ

~T = σ · ~n

Compression⇔ σ > 0

p = Trace(σ)D

σ = τ + p.I

σij .dS est la composante selon ~ei de

la force d~F qu'exercel'environnement extérieur sur un

volume de matière à travers l'élémentde surface d'aire dS et de normale

entrante de direction ~ej

~n = ~nout

σ =verout σ

~T = σ · ~n

Compression⇔ σ < 0

p = −Trace(σ)D

σ = τ − p.Iσij .dS est la composante selon ~ei de

la force d~F qu'exerce l'environnementextérieur sur un volume de matière àtravers l'élément de surface d'aire dSet de normale sortante de direction ~ej

Assemblage horizontal

σ ≡

T xx T yx T zx

T xy T yy T zy

T xz T yz T zz

~n = ~nin

σ =horin σ

~T = ~n · σ

Compression⇔ σ > 0

p = Trace(σ)D

σ = τ + p.I

σij .dS est la composante selon ~ej de

la force d~F qu'exerce l'environnementextérieur sur un volume de matière àtravers l'élément de surface d'aire dSet de normale entrante de direction ~ei

~n = ~nout

σ =horout σ

~T = ~n · σ

Compression⇔ σ < 0

p = −Trace(σ)D

σ = τ − p.Iσij .dS est la composante selon ~ej de

la force d~F qu'exerce l'environnementextérieur sur un volume de matière àtravers l'élément de surface d'aire dSet de normale sortante de direction ~ei

Table 6.1 Diérentes conventions. Dans ce document, on adopte la convention en haut à droite : assemblagevertical et normale sortante.

65

Chapitre 6. Annexes

Figure 6.1 Illustration 1D du théorème de Green-Ostrogradsky.

La gure 6.1 illustre graphiquement ce théorème, souvent utilisé en identiant f à la pression p.

∫ b

a

(∇f)x .dx =

∫ b

a

(∂f

∂x

).dx =

∫ b

a

df = f (b)− f (a) =∑

x∈a,b

[f (x) .~ex] .~nout,x (6.9)

6.3.3 Théorème de transport de Reynolds

Le théorème de transport de Reynolds donne l'expression du taux de variation temporelle d'unegrandeur extensive F pour un volume Ω absolument quelconque (matériel ou imaginaire, xe ou mobile). Onnote f la densité volumique de F et ~v∂Ω la vitesse de déplacement de la surface de contrôle ∂Ω. Le vecteurunitaire normal à la surface de contrôle et pointant vers l'extérieur du volume Ω est noté ~nout.

dF

dt=

y

Ω(t)

∂f

∂t.dV +

∂Ω(t)

f.~v∂Ω.~nout.dS avec F(t) =y

Ω(t)

f(t).dV (6.10)

6.4 Systèmes de coordonnées

Trois systèmes de coordonnées sont classiquement utilisés en mécanique des uides pour repérer la positiond'un point dans l'espace : les coordonnées cartésiennes (x, y, z), les coordonnées cylindriques (r, θ, z) ou lescoordonnées sphériques (r, θ, φ). Pour simplier l'expression des équations, il est judicieux de choisir unsystème de coordonnées en fonction de la géométrie du système physique étudié.

Pour passer des coordonnées cylindriques ou sphériques aux coordonnées cartésiennes, on utilise :x

y

z

︸ ︷︷ ︸

Cartésiennes

=

r. cos θ

r sin θ

z

︸ ︷︷ ︸Cylindriques

=

r. sin θ. cosφ

r sin θ. sinφ

r. cos θ

︸ ︷︷ ︸

Sphériques

1. On trouve aussi les dénominations théorème de Green ou théorème de Gauss car sa découverte fut faite indépen-damment par ces chercheurs

66

6.4. Systèmes de coordonnées

Figure 6.2 Principaux systèmes de coordonnées.

6.4.1 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques

Pour un vecteur ~u et un tenseur d'ordre 2 σ quelconques, on a les formules de passage :

~ucyl = PT .~ucart

σcyl = PT .σcart.Pavec P ≡

cos θ − sin θ 0

sin θ cos θ 0

0 0 1

6.4.2 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques

Pour un vecteur ~u et un tenseur d'ordre 2 σ quelconques, on a les formules de passage :

~usph = PT .~ucart

σsph = PT .σcart.Pavec P ≡

sin θ. cosφ cos θ. cosφ − sinφ

sin θ. sinφ cos θ. sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

67

Chapitre 6. Annexes

6.5 Calcul tensoriel

En mécanique des uides, on est amené à manipuler un certain nombre de quantités qui sont autant detenseurs (voir illustration en gure 6.3). Les plus fréquemment rencontrés sont :

scalaires (ordre tensoriel = 0) : température, pression, énergie, . . . vectorielles (ordre tensoriel = 1) : vitesse, ux, quantité de mouvement, . . . matricielles (ordre tensoriel = 2) : tenseur des contraintes, des déformations, . . .

Figure 6.3 Un tenseur d'ordre n est caractérisé par n indices (Source : Wikipedia).

On peut appliquer diérentes opérations à ces tenseurs. Si l'on note a et b deux tenseurs et α et β leurordre respectif, le tableau 6.2 indique l'ordre tensoriel du résultat de l'opération et le tableau 6.3 donnel'expression des éléments scalaires du tenseur résultant. Nous utiliserons les notations anglo-saxonnes car lesnotations françaises ne sont utilisées qu'en France 2.

Notation Ordre tensoriel Nom

a± b α = β Somme ou diérence

a× b α+ β − 1 Produit vectoriel

a⊗ b α+ β Produit tensoriel

a · b α+ β − 2 Produit tensoriel simplement contracté

a : b α+ β − 4 Produit tensoriel doublement contracté

Table 6.2 Ordre tensoriel des diérentes opérations tensorielles.

Certains produits sont fréquemment utilisés et portent de ce fait un nom particulier :

~u · ~v : produit scalaire (dot/inner product) ~u× ~v : produit vectoriel (cross product) ~u⊗ ~v : produit dyadique (outer product)

Par ailleurs, il faut noter l'existence de deux dénitions diérentes (lien) pour le produit tensoriel doublementcontracté σ : τ . Ce produit est égal à

∑i

∑j σijτij selon la première dénition et à

∑i

∑j σijτji selon la

deuxième. Lorsque les deux tenseurs sont symétriques (ce qui est souvent le cas en mécanique des milieuxcontinus), ces deux dénitions conduisent au même résultat. Dans ce polycopié, nous suivrons le choixfait par Bird, Lightfoot & Stewart dans leur ouvrage "Transport phenomena" en choisissant la deuxièmedénition. Elle permet d'écrire que le produit doublement contracté s'obtient en prenant le contracté duproduit simplement contracté.

2. En France, le produit vectoriel de deux vecteurs ~a et ~b est désigné par ~a ∧~b.

68

6.5. Calcul tensoriel

Produit Ordre Expression Expression développée

fg scalaire A = fg fg

f~u vecteur Ai = f.ui

f.u1

f.u2

f.u3

fτ matrice Aij = f.τij

f.τ11 f.τ12 f.τ13

f.τ21 f.τ22 f.τ23

f.τ31 f.τ32 f.τ33

~u · ~v scalaire A =∑i ui.vi u1.v1 + u2.v2 + u3.v3

~u× ~v vecteur Ai =∑j,k εijk.uj .vk

u2.v3 − u3.v2

u3.v1 − u1.v3

u1.v2 − u2.v1

~u⊗ ~v matrice Aij = ui.vj

u1.v1 u1.v2 u1.v3

u2.v1 u2.v2 u2.v3

u3.v1 u3.v2 u3.v3

σ · ~u vecteur Ai =∑j σij .uj

σ11.u1 + σ12.u2 + σ13.u3

σ21.u1 + σ22.u2 + σ23.u3

σ31.u1 + σ32.u2 + σ33.u3

σ ⊗ τ ordre 4 Aijkl = σij .τkl

σ · τ matrice Aij =∑k σik.τkj

∑k σ1k.τk1

∑k σ1k.τk2

∑k σ1k.τk3∑

k σ2k.τk1

∑k σ2k.τk2

∑k σ2k.τk3∑

k σ3k.τk1

∑k σ3k.τk2

∑k σ3k.τk3

σ : τ scalaire A =∑i

∑j σij .τji

∑j σ1j .τj1 +

∑j σ2j .τj2 +

∑j σ3j .τj3

Table 6.3 Eléments des produits tensoriels. Les grandeurs f, g désignent des scalaires, les grandeurs ~u,~v desvecteurs et les grandeurs σ, τ des matrices. Le symbole εijk désigne le symbole de permutation de Levi-Civita(équation 6.2).

69

Chapitre 6. Annexes

Produits tensoriels

~u ⊗ ~v ≡ [ui.vj ]

(vec,vec) → (mat)

Produit dyadique

f ⊗ g ≡ fg

(scal,scal) → (scal)

Produit entre réels

σ ⊗ τ ≡ [σijτkl]

(mat,mat) → (ordre 4)

Produit tensoriel

~u · ~v ≡ C (~u⊗ ~v)

=∑i ui.vi

(vec,vec) → (scal)

Produit scalaire

σ · τ ≡ C (σ ⊗ τ)

= [∑k σik.τkj ]

(mat,mat) → (mat)

Produit tensorielsimplement contracté

σ : τ ≡ C (C (σ ⊗ τ))

=∑i

(∑j σij .τji

)(mat,mat) → (scal)

Produit tensorieldoublement contracté

Contraction Contraction

Contraction

Figure 6.4 Vue d'ensemble des diérents produits tensoriels.

6.5.1 Conventions sur la notation ∇L'opérateur nabla (del en anglais) est noté ∇. La forme de triangle évoque la harpe, dont nabla est la

traduction grecque. Cet opérateur permet de simplier certaines expressions. En coordonnées cartésiennes,l'opérateur nabla est déni par ∇ ≡ (∂ /∂x, ∂ /∂y, ∂ /∂z). Lorsqu'il s'applique à un scalaire ou un vecteur,il y a peu d'ambiguités dans la dénition des opérations tensorielles associées. Quand il s'applique à untenseur d'ordre 2 ou plus, on rencontre plusieurs dénitions dans la littérature.

Pour pouvoir écrire le bilan local de quantité de mouvement sous la forme ρD~vDt = ρ~g+∇·σ, la dénitionde ∇ · σ est imposée par le mode de construction du tenseur des contraintes. Avec celui que nous avonspris dans ce document (voir page 65), la grandeur ∇ · σ désigne nécessairement le vecteur dont la i-ième

composante est∑j∂σij∂xj

. Ce choix apparaît dans le tableau 6.4.

70

6.5. Calcul tensoriel

Gradient d'un scalaire f

gradf est un vecteurde composante ∂f

∂xi

df = grad f · ~dxgrad f = ∇f

Gradient d'un vecteur ~u

grad ~u est un tenseur d'ordre 2de composante ∂ui

∂xj

d~u = grad~u · ~dxgrad ~u = (∇⊗ ~u)

T

Gradient d'un tenseur σ

grad σ est un tenseur d'ordre 3de composante

∂σij∂xk

dσ = grad σ · ~dx

Divergence d'un vecteur ~u

div ~u est un scalaireégal à

∑i∂ui∂xi

div ~u = ∇ · ~u

Divergence d'un tenseur σ

div σ est un vecteurde composante

∑j∂σij∂xj

div σ = ∇ · σ

Laplacien d'un vecteur ~u

∆~u est un vecteurde composante ∆ui

∆~u = ∇2~u = (∇ · ∇) ~u

Laplacien d'un scalaire f

∆f est un scalaire

égal à∑i∂2f∂x2i

∆f = ∇2f = (∇ · ∇) f

Rotationnel d'un vecteur ~u

rot ~u est un vecteurde composante

∑j

∑k εijk

∂uk∂xj

rot ~u = ∇ × ~u

Figure 6.5 Gradient, divergence, laplacien et rotationnel de champs scalaire f , vectoriel ~u et tensoriel σ.Le symbole εijk est le symbole de Levi-Civita (équation 6.2).

Nabla Ordre Expression Autre notation

∇f vecteur Ai = ∂f∂xi

gradf

∇2f scalaire A = ∂2f∂x2i

∆f

∇ · ~u scalaire A =∑i∂ui∂xi

div ~u

∇× ~u vecteur Ai =∑j,k εijk.

∂uk∂xj

rot ~u

∇⊗ ~u matrice Aij =∂uj∂xi

(grad ~u)T

∇2~u vecteur Ai = ∆ui ∆~u

∇ · σ vecteur Ai =∑j∂σij∂xj

div σ

Table 6.4 Conversion depuis l'opérateur nabla vers les opérateurs classiques. Les grandeurs f , ~u et σdésignent un scalaire, un vecteur et un tenseur d'ordre 2 respectivement.

71

Chapitre 6. Annexes

6.6 Démonstrations

6.6.1 Bilan des forces

Le bilan local de quantité de mouvement se résume à un bilan des forces. Considérant le volume élémen-taire décrit sur la gure 2.10 en page 26, on peut écrire :

m.D~v

Dt= ~Fcontact + ~Fvolumique

où m est la masse. En projection sur l'axe Ox, on obtient :

m ≡ ρ.dx.dy.dz

~Fcontact ≡(σxx|x+dx − σxx|x

).dy.dz +

(σxy|y+dy − σxy|y

).dx.dz +

(σxz|z+dz − σxz|z.dx.dy

).

~Fvolumique ≡ m.gx

Etendu aux deux autres directions, ceci permet d'écrire le bilan des forces sous la forme :

ρ.D~v

Dt= ∇ · σ + ρ.~g (6.11)

où ∇ · σ désigne la divergence du tenseur des contraintes, un vecteur dont la composante i des termes est∑j∂σij∂xj

.

6.6.2 Bilan des couples

Le bilan des forces de l'équation 6.11 est établi en considérant la vitesse de translation. De manièresimilaire, on peut considérer la vitesse de rotation et établir un bilan des couples. On considère un cubeélémentaire de dimensions dx.dy.dz qui est cette fois centré en (x, y, z). On a :

I.D~ω

Dt= Couples de contact + Couple volumique (6.12)

où D~ω/Dt est l'accélération angulaire. Le moment d'inertie selon l'ae Oz est déni par la relation suivante :

Iz ≡∫ dx

2

−dx2

∫ dy2

−dy2

∫ dz2

−dz2

ρ.r2.dx.dy.dz avec r2 ≡ x2 + y2

L'intégration spatiale permet d'obtenir :

Iz =ρ.[(dx)

2+ (dy)

2]

12.dx.dy.dz (6.13)

Le couple de contact est le fruit des forces qui s'exercent sur les faces du volume élémentaire. Le coupleautour de l'axe Oz est :

Tz = 2.

[(σyx.dx.dz) .

dy

2

]+ 2.

[(−σxy.dy.dz) .

dx

2

]soit Tz = (σyx − σxy) .dx.dy.dz

Par construction, le couple de volume est le produit d'une constante kz nie et du volume élémentaire :

Kz = kz.dx.dy.dz

Après division par dx.dy.dz, la vitesse angulaire θz du cube autour de l'axe Oz est :

ρ.[(dx)

2+ (dy)

2]

12.DθzDt

= (σyx − σxy) + kz

72

6.6. Démonstrations

Pour que la vitesse angulaire reste nie lorsque dx et dy tendent vers zéro, il faut que le membre de droitesoit identiquement nul. On a donc :

σyx = σxy + kz (6.14)

La force gravitationnelle est une force volumique qui ne crée par de couple. On a donc ~k = ~0. En revanche,dans les uides magnétiques (gaz stellaires, noyau liquide de la terre, autres systèmes technologiques,. . .), leterme kz peut être non nul. Nous retiendrons qu'en dehors des systèmes magnéto-hydrodynamiques, cetteconstante est nulle et donc que le tenseur des contraintes est symétrique.

Le tenseur des contraintes σ est symétrique (sauf systèmes magnétiques) : σij = σji (6.15)

6.6.3 Systèmes électro-magnétiques

L'expression locale du bilan de quantité de mouvement a été donnée dans l'équation 3.2.2 en page 32pour des systèmes simples. Lorsqu'il y a un champ magnétique ~B et que la matière contient des chargesélectriques, alors la force de Lorentz s'exerce et il faut l'ajouter à la gravité.

Pour une particule ponctuelle de charge q, son expression est ~F = q(~E + ~v × ~B

). Pour une distribution de

charge continue, de densité volumique ρe (en C.m−3), la force volumique (en N.m−3) s'exprime par :

~f = ρe.(~E + ~v × ~B

)Comme la densité de courant électrique ~J (en A.m−2) est dénie par ~J ≡ ρe~v, on peut écrire :

~f = ρe. ~E + ~J × ~B

L'évolution temporelle du champ magnétique est donnée par l'équation d'induction, dont la forme complèteest complexe. Lorsque le nombre de Reynolds magnétique est très grand devant 1 (ce qui est très souvent lecas en astrophysique et dans les machines de fusion), alors on est dans le cadre de la MHD idéale et la loid'induction prend la forme simpliée suivante :

∂ ~B

∂t≈ rot

(~v × ~B

)D'après les équations de Maxwell, on a rot ~B = µ0

~J + ε0µ0∂ ~E∂t . Dans le cas particulier où la vitesse caracté-

ristique de l'écoulement est très faible devant la vitesse de la lumière, les eets relativistes sont négligeableset l'approximation suivante est valable :

rot ~B ≈ µ0~J

6.6.4 Systèmes en rotation

L'équation de Navier-Stokes 5.26 en page 56 a été établie dans un référentiel inertiel (on dit aussi ga-liléen). Par dénition, dans un référentiel inertiel, le principe d'inertie est vérié : un corps sur lequel larésultante des forces est nulle, est en mouvement de translation rectiligne uniforme, ou au repos.

Lorsque l'on étudie l'écoulement d'un objet en rotation, il s'avère pratique de se placer dans le référentiellié à l'objet. Ce référentiel n'est pas inertiel et le bilan des forces doit être ré-écrit. Cette situation se rencontrepar exemple lorsque l'on étudie la circulation des océans ou bien le noyau uide de la terre ou bien encorel'écoulement dans une éprouvette placée dans une centrifugeuse ou bien l'atomisation d'une nappe de liquiderésultant de l'impact d'un jet sur une surface plane tournante.

On considère tout d'abord un repère xe R d'origine O et un repère mobile R′ d'origine O′. Dans lerepère xe, le centre O′ du repère O′ est à la position ~r(O′), se déplace à la vitesse ~v(O′) et possède une

accélération ~a(O′). On appelle ~Ω le vecteur rotation instantanée de R′ par rapport à R, avec ~Ω = θ.~k et θ lavitesse angulaire de rotation. Précisons que la rotation de R′ par rapport à R est le changement de direction

73

Chapitre 6. Annexes

des seuls axes (O′x′, O′y′, O′z′) par rapport aux axes (Ox,Oy,Oz), sans rapport avec la trajectoire du pointO′. On considère ensuite un point M particulier de l'espace dont la position, la vitesse et l'accélération sontnotées ~r, ~v et ~a dans le repère xe R et ~r ′, ~v ′ et ~a ′ dans le repère mobile R′. On peut établir trois lois decomposition de mouvement :

Position : ~r = ~r ′ + ~rO′

Vitesse : ~v = ~v ′ + ~vO′ + ~Ω× ~r ′

Accélération : ~a = ~a ′ + ~aO′ + ~Ω×(~Ω× ~r ′

)+ d~Ω

dt × ~r′ + 2~Ω× ~v ′

Dans le référentiel xe, la seconde loi de Newton s'énonce :

m~a = ~Fvraie

où ~Fvraie est la résultante des vraies forces. En vertu de la loi de composition des accélérations, on a :

m~a ′ = ~Fvraie + ~FCentrifuge + ~FEuler + ~FCoriolis −m.~aO′

où l'on a déni les forces ctives suivantes :Force centrifuge : ~FCentrifuge ≡ −m.~Ω×

(~Ω× ~r ′

)Force d'Euler : ~FEuler ≡ −m.d~Ωdt × ~r

Force de Coriolis : ~FCoriolis ≡ −m.2~Ω× ~v ′

Application 1 : dans le référentiel inertiel, le bilan local de quantité de mouvement (équation 3.18 en page33) s'énonce :

ρD~v

Dt= ∇ · σ + ρ~g

Si l'on souhaite travailler dans le référentiel mobile, il prendra donc la forme suivante :

ρ.D~v ′

Dt= ∇ · σ + ρ~g + ~FCentrifuge + ~FEuler + ~FCoriolis −m.~aO′ (6.16)

Application 2 : dans le référentiel inertiel, le bilan local d'énergie cinétique (équation 3.20 en page 33) peuts'écrire :

DecDt

= (∇ · σ + ρ~g) .~v

En multiplions l'équation 6.16 par ~v ′, on trouve :

ρ.De′cDt

= ~v ′.(∇ · σ + ρ~g + ~FCentrifuge + ~FEuler −m.~aO′

)(6.17)

Notons ici que le terme ~v ′. ~FCoriolis n'apparaît pas parce qu'il identiquement nul par construction : la forcede Coriolis ne travaille pas.

6.6.5 Théorème Π de Vaschy-Buckingham

6.6.5.1 Notations

Notons D1, . . . , DM les dimensions de base. On a vu dans la section 1.1 en page 1 que M = 7 pour laphysique et que le Système International était basé sur le choix (D1, . . . , D7) = (M,L, T, θ, I, J,N).

Considérons une grandeur physique x. Son équation aux dimensions s'écrit :

[x] =

M∏m=1

Damm (6.18)

74

6.6. Démonstrations

Par exemple, si x est une vitesse, on aura [x] = L.T−1 et (a1, . . . , aM ) = (0, 1,−1, 0, 0, 0, 0).

La dimension du produit de deux grandeurs x et y ainsi que d'une puissance de x s'établit facilement :

[x.y] = [x] . [y] (6.19)

[xk]

= [x]k

(6.20)

Par ailleurs, on peut établir les équations aux dimensions suivantes :[dx

dy

]=

[∂x

∂y

]=

[x]

[y](6.21)

[∫y(x).dx

]= [y] . [x] (6.22)

[∇x] =[x]

L(6.23)

[∇2x

]= [∆x] =

[x]

L2(6.24)

Par exemple, la dimension du produit d'un diamètre par une vitesse est celle d'une longueur au carré diviséepar un temps soit [d.V ] = L2.T−1. De même, la dimension d'une vitesse élevée au cube est celle d'une longueurau cube divisée par un temps au cube soit [V 3] = L3.T−3 et l'ensemble des exposants est (0, 3,−3, 0, 0, 0, 0).

6.6.5.2 Enoncé

Considérons un ensemble de n grandeurs physiques x1, x2, . . . , xn. Pour chacune d'elle, l'équation aux di-mensions est [xi] =

∏Mm=1D

amim . Notons r le rang de la matrice A dénie par :

A ≡

a11 . . . a1n

.... . .

...

aM1 . . . aMn

Le théorème Π stipule que l'on peut former n− r nombres adimensionnés indépendants.

6.6.5.3 Démonstration

Considérons un ensemble de n coecients k1, . . . , kn et formons la grandeur N en multipliant des puis-sances de xi :

N ≡n∏i=1

xkii

Cherchons les conditions à réunir pour que N soit sans dimension. Pour cela, écrivons son équation auxdimensions :

[N ] =

[n∏i=1

xkii

]=

n∏i=1

[xi]ki

ou encore :

[N ] =

n∏i=1

(M∏m=1

Damim

)ki=

n∏i=1

M∏m=1

Dami.kim =

M∏m=1

n∏i=1

Dami.kim =

M∏m=1

D

n∑i=1

ami.ki

m

75

Chapitre 6. Annexes

Les jeux de coecients ki rendant la grandeur N sans dimension sont tels que l'exposant de chacun des Dm

est nul, c'est-à-dire lorsque les M équations suivantes sont observées :

n∑i=1

a1i.ki = 0

. . . = 0n∑i=1

aMi.ki = 0

En utilisant une forme matricielle, on peut écrire :

N ≡n∏i=1

xkii est sans dimension ⇐⇒ A.k = 0 avec k ≡

k1

...

kn

Il s'agit d'un système sous-déterminé (le nombre n d'inconnues est supérieur au nombre M d'équations) ethomogène (second membre nul). En algèbre linéaire, on a vu que, si le déterminant de la matrice A est nonnul, alors il existe n− r solutions linéairement indépendantes, où r est le rang de la matrice.

76

6.7. Bilans en coordonnées cartésiennes (~ex, ~ey, ~ez)

6.7 Bilans en coordonnées cartésiennes (~ex, ~ey, ~ez)

6.7.1 Opérateurs tensoriels

Le gradient d'un scalaire s est le vecteur :

grad s = ∇s =

∂s∂x

∂s∂y

∂s∂z

(6.25)

Le Laplacien d'un scalaire s est le scalaire :

∆s =∂2s

∂x2+∂2s

∂y2+∂2s

∂z2

La divergence d'un vecteur ~u est le scalaire :

div ~u = ∇ · ~u =∂ux∂x

+∂uy∂y

+∂uz∂z

Le rotationnel d'un vecteur ~u est le vecteur :

rot ~u = ∇× ~u =

∂uz∂y −

∂uy∂z

∂ux∂z −

∂uz∂x

∂uy∂x −

∂ux∂y

Le gradient d'un vecteur ~u est le tenseur d'ordre 2 :

grad ~u = (∇⊗ ~u)T

=

∂ux∂x

∂ux∂y

∂ux∂z

∂uy∂x

∂uy∂y

∂uy∂z

∂uz∂x

∂uz∂y

∂uz∂z

(6.26)

La divergence du tenseur τ est le vecteur :

div τ = ∇ · τ =

∂τxx∂x +

∂τxy∂y + ∂τxz

∂z

∂τyx∂x +

∂τyy∂y +

∂τyz∂z

∂τzx∂x +

∂τzy∂y + ∂τzz

∂z

6.7.2 Bilan local de masse

Notation compacte (voir équation 3.14 en page 32) :

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 ou bien

Dt= −ρ. (∇ · ~v)

Notation développée :

∂ρ

∂t+

[∂ (ρvx)

∂x+∂ (ρvy)

∂y+∂ (ρvz)

∂z

]= 0 ou bien

Dt= −ρ.

[∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

]77

Chapitre 6. Annexes

6.7.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général)

Notation compacte (voir équation 3.18 en page 33) :

ρ.

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)= −∇p+∇ · τ + ρ~g ou bien ρ

D~v

Dt= −∇p+∇ · τ + ρ~g

Notation développée (sans faire l'hypothèse de la symétrie de τ) :

ρ

(∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

+ vz∂vx∂z

)= −∂p

∂x+

[∂τxx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

]+ ρgx

ρ

(∂vy∂t

+ vx∂vy∂x

+ vy∂vy∂y

+ vz∂vy∂z

)= −∂p

∂y+

[∂τyx∂x

+∂τyy∂y

+∂τyz∂z

]+ ρgy

ρ

(∂vz∂t

+ vx∂vz∂x

+ vy∂vz∂y

+ vz∂vz∂z

)= −∂p

∂z+

[∂τzx∂x

+∂τzy∂y

+∂τzz∂z

]+ ρgz

6.7.4 Tenseur des vitesses de déformation

Notation compacte (voir équations 2.9, 2.11 et 2.6 en page 20 et suivantes) :

dcis = d− dexp soit dcis =1

2.[(∇⊗ ~v)

T+∇⊗ ~v

]− ∇ · ~v

D.I

Notation développée (pour D = 3) :

dcis,xx = ∂vx∂x −

∇·~vD

dcis,yy =∂vy∂y −

∇·~vD avec ∇ · ~v = ∂vx

∂x +∂vy∂y + ∂vz

∂z

dcis,zz = ∂vz∂z −

∇·~vD

dcis,xy = dcis,yx = 12 .(∂vx∂y +

∂vy∂x

)dcis,yz = dcis,zy = 1

2 .(∂vy∂z + ∂vz

∂y

)dcis,zx = dcis,xz = 1

2 .(∂vz∂x + ∂vx

∂z

)

6.7.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien

Notation compacte (voir équation 5.12 en page 51) où la dimension spatiale est notée D :

τ = 2µ.dcis + λ.D.dexp soit τ = µ.

[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T − 2

D.(∇ · ~v).I

]+ λ.(∇ · ~v).I

Notation développée (pour D = 3) :

6.7.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes)

Notation compacte (voir équation 5.26 en page 56) pour un uide newtonien, incompressible dont la viscositédynamique µ est uniforme dans l'espace :

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p+ µ.∆~v

78

6.7. Bilans en coordonnées cartésiennes (~ex, ~ey, ~ez)

τxx = µ.[2∂vx∂x

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τyy = µ.[2∂vy∂y

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v) avec ∇ · ~v ≡ ∂vx

∂x +∂vy∂y + ∂vz

∂z

τzz = µ.[2∂vz∂z

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τxy = τyx = µ.[∂vx∂y +

∂vy∂x

]τyz = τzy = µ.

[∂vy∂z + ∂vz

∂y

]τzx = τxz = µ.

[∂vz∂x + ∂vx

∂z

]

Notation développpée :

ρ

(∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

+ vz∂vx∂z

)= −∂p

∂x+ µ

[∂2vx∂x2

+∂2vx∂y2

+∂2vx∂z2

]+ ρgx

ρ

(∂vy∂t

+ vx∂vy∂x

+ vy∂vy∂y

+ vz∂vy∂z

)= −∂p

∂y+ µ

[∂2vy∂x2

+∂2vy∂y2

+∂2vy∂z2

]+ ρgy

ρ

(∂vz∂t

+ vx∂vz∂x

+ vy∂vz∂y

+ vz∂vz∂z

)= −∂p

∂z+ µ

[∂2vz∂x2

+∂2vz∂y2

+∂2vz∂z2

]+ ρgz

79

Chapitre 6. Annexes

6.8 Bilans en coordonnées cylindriques (~er, ~eθ, ~ez)

6.8.1 Opérateurs tensoriels

Le gradient d'un scalaire s est le vecteur :

grad s = ∇s =

∂s∂r

1r .∂s∂θ

∂s∂z

Le Laplacien d'un scalaire s est le scalaire :

∆s =1

r.∂

∂r

(r∂s

∂r

)+

1

r2.∂2s

∂θ2+∂2s

∂z2

La divergence d'un vecteur ~u est le scalaire :

div ~u = ∇ · ~u =1

r.∂(r.ur)

∂r+

1

r.∂uθ∂θ

+∂uz∂z

Le rotationnel d'un vecteur ~u est le vecteur :

rot ~u = ∇× ~u =

1r .∂uz∂θ −

∂uθ∂z

∂ur∂z −

∂uz∂r

1r .[∂(r.uθ)∂r − ∂ur

∂θ

]

Le gradient d'un vecteur ~u est le tenseur d'ordre 2 :

grad ~u = (∇⊗ ~u)T

=

∂ur∂r

1r∂ur∂θ −

uθr

∂ur∂z

∂uθ∂r

1r∂uθ∂θ + ur

r∂uθ∂z

∂uz∂r

1r∂uz∂θ

∂uz∂z

La divergence du tenseur τ est le vecteur :

div τ = ∇ · τ =

1r∂(rτrr)∂r + 1

r∂τrθ∂θ −

τθθr + ∂τrz

∂z

1r2∂(r2τθr)

∂r + 1r∂τθθ∂θ + ∂τθz

∂z + τrθ−τθrr

1r∂(rτzr)∂r + 1

r∂τzθ∂θ + ∂τzz

∂z

6.8.2 Bilan local de masse

Notation compacte (voir équation 3.14 en page 32) :

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 ou bien

Dt= −ρ. (∇ · ~v)

Notation développée :

∂ρ

∂t+

1

r

∂ (rρvr)

∂r+

1

r

∂ (ρvθ)

∂θ+∂ (ρvz)

∂z= 0 ou bien

Dt= −ρ.

[1

r

∂ (rvr)

∂r+

1

r

∂vθ∂θ

+∂vz∂z

]80

6.8. Bilans en coordonnées cylindriques (~er, ~eθ, ~ez)

6.8.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général)

Notation compacte (voir équation 3.18 en page 33) :

ρ.

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)= −∇p+∇ · τ + ρ~g ou bien ρ

D~v

Dt= −∇p+∇ · τ + ρ~g

Notation développée (sans faire l'hypothèse de la symétrie de σ) :

ρ(∂vr∂t + vr

∂vr∂r + vθ

r∂vr∂θ −

v2θr + vz

∂vr∂z

)= −∂p∂r +

[1r∂(rτrr)∂r + 1

r∂τrθ∂θ −

τθθr + ∂τrz

∂z

]+ ρgr

ρ(∂vθ∂t + vr

∂vθ∂r + vθ

r∂vθ∂θ + vrvθ

r + vz∂vθ∂z

)= − 1

r∂p∂θ +

[1r2∂(r2τθr)

∂r + 1r∂τθθ∂θ + ∂τθz

∂z + τrθ−τθrr

]+ ρgθ

ρ(∂vz∂t + vr

∂vz∂r + vθ

r∂vz∂θ + vz

∂vz∂z

)= −∂p∂z +

[1r∂(rτzr)∂r + 1

r∂τzθ∂θ + ∂τzz

∂z

]+ ρgz

6.8.4 Tenseur des vitesses de déformation

Notation compacte (voir équations 2.9, 2.11 et 2.6 en page 20 et suivantes) :

dcis = d− dexp soit dcis =1

2.[(∇⊗ ~v)

T+∇⊗ ~v

]− ∇ · ~v

D.I

Notation développée (pour D = 3) :

dcis,rr = ∂vr∂r −

∇·~vD

dcis,θθ = 1r∂vθ∂θ + vr

r −∇·~vD avec ∇ · ~v = 1

r .∂(r.vr)∂r + 1

r .∂vθ∂θ + ∂vz

∂z

dcis,zz = ∂vz∂z −

∇·~vD

dcis,rθ = dcis,θr = 12 .(

1r∂vr∂θ −

vθr + ∂vθ

∂r

)dcis,θz = dcis,zθ = 1

2 .(

1r∂vz∂θ + ∂vθ

∂z

)dcis,zr = dcis,rz = 1

2 .(∂vz∂r + ∂vr

∂z

)

6.8.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien

Notation compacte (voir équation 5.12 en page 51 avec λ = 0) où la dimension spatiale est notée D :

τ = 2µ.dcis soit τ = µ.

[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T − 2

D.(∇ · ~v).I

]Notation développée :

6.8.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes)

Notation compacte (voir équation 5.26 en page 56) pour un uide newtonien, incompressible dont la viscositédynamique µ est uniforme dans l'espace :

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p+ µ.∆~v

81

Chapitre 6. Annexes

τrr = µ.[2∂vr∂r

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τθθ = µ.[2(

1r∂vθ∂θ + vr

r

)]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v) avec ∇ · ~v = 1

r∂(rvr)∂r + 1

r∂vθ∂θ + ∂vz

∂z

τzz = µ.[2∂vz∂z

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τrθ = τθr = µ.[

1r∂vr∂θ −

vθr + ∂vθ

∂r

]τθz = τzθ = µ.

[∂vθ∂z + 1

r∂vz∂θ

]τzr = τrz = µ.

[∂vz∂r + ∂vr

∂z

]

Notation développée :

ρ

(∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ− v2

θ

r+ vz

∂vr∂z

)= −∂p

∂r+ µ

[∂

∂r

(1

r

∂r(rvr)

)+

1

r2

∂2vr∂θ2

− 2

r2

∂vθ∂θ

+∂2vr∂z2

]+ ρgr

ρ

(∂vθ∂t

+ vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

+vrvθr

+ vz∂vθ∂z

)= −1

r

∂p

∂θ+µ

[∂

∂r

(1

r

∂r(rvθ)

)+

1

r2

∂2vθ∂θ2

+2

r2

∂vr∂θ

+∂2vθ∂z2

]+ρgθ

ρ

(∂vz∂t

+ vr∂vz∂r

+vθr

∂vz∂θ

+ vz∂vz∂z

)= −∂p

∂z+ µ

[1

r

∂r

(r∂vz∂r

)+

1

r2

∂2vz∂θ2

+∂2vz∂z2

]+ ρgz

82

6.9. Bilans en coordonnées sphériques (~er, ~eθ, ~eφ)

6.9 Bilans en coordonnées sphériques (~er, ~eθ, ~eφ)

6.9.1 Opérateurs tensoriels

Le gradient d'un scalaire s est le vecteur :

grad s = ∇s =

∂s∂r

1r .∂s∂θ

1r. sin θ .

∂s∂φ

(6.27)

Le Laplacien d'un scalaire s est le scalaire :

∆s =1

r2.∂

∂r

(r2.

∂s

∂r

)+

1

r2. sin θ.∂

∂θ

(sin θ

∂s

∂θ

)+

1

r2. sin2 θ.∂2s

∂φ2

La divergence d'un vecteur ~u est le scalaire :

div ~u = ∇ · ~u =1

r2.∂(r2.ur)

∂r+

1

r. sin θ.∂(uθ sin θ)

∂θ+

1

r. sin θ.∂uφ∂φ

Le rotationnel d'un vecteur ~u est le vecteur :

rot ~u = ∇× ~u =

1

r sin θ .[∂(uφ sin θ)

∂θ − ∂uθ∂φ

]1r .[

1sin θ .

∂ur∂φ −

∂(ruφ)∂r

]1r .[∂(r.uθ)∂r − ∂ur

∂θ

]

Le gradient d'un vecteur ~u est le tenseur d'ordre 2 :

grad ~u = (∇⊗ ~u)T

=

∂ur∂r

1r∂ur∂θ −

uθr

1r. sin θ .

∂ur∂φ −

uφr

∂uθ∂r

1r∂uθ∂θ + ur

r1

r. sin θ .∂uθ∂φ −

uφ cos θr sin θ

∂uφ∂r

1r∂uφ∂θ

1r. sin θ .

∂uφ∂φ + ur

r + uθ cos θr sin θ

La divergence du tenseur τ est le vecteur :

div τ = ∇ · τ =

1r2

∂∂r

(r2τrr

)+ 1

r sin θ∂∂θ (τrθ sin θ) + 1

r sin θ∂τrφ∂φ −

τθθ+τφφr

1r3

∂∂r

(r23τθr

)+ 1

r sin θ∂∂θ (τθθ sin θ) + 1

r sin θ∂τθφ∂φ +

(τrθ−τθr)−τφφ cot θr

1r3

∂∂r

(r3τφr

)+ 1

r sin θ∂∂θ (τφθ sin θ) + 1

r sin θ∂τφφ∂φ +

(τrφ−τφr)−τθφ cot θr

6.9.2 Bilan local de masse

Notation compacte (voir équation 3.14 en page 32) :

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 ou bien

Dt= −ρ. (∇ · ~v)

Notation développée :

∂ρ

∂t+

1

r2

∂(r2ρvr

)∂r

+1

r sin θ

∂ (ρvθ sin θ)

∂θ+

1

r sin θ

∂ρvφ∂φ

= 0

ou bien

Dt= −ρ.

[1

r2

∂(r2vr

)∂r

+1

r sin θ

∂ (vθ sin θ)

∂θ+

1

r sin θ

∂vφ∂φ

]

83

Chapitre 6. Annexes

6.9.3 Bilan local de quantité de mouvement (cas général)

Notation compacte (voir équation 3.18 en page 33) :

ρ.

(∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

)= −∇p+∇ · τ + ρ~g ou bien ρ

D~v

Dt= −∇p+∇ · τ + ρ~g

Notation développée (sans faire l'hypothèse de la symétrie de τ) :

ρ

(∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ

+vφ

r sin θ

∂vr∂φ−v2θ + v2

φ

r

)

= −∂p∂r

+

[1

r2

∂r

(r2τrr

)+

1

r sin θ

∂θ(τrθ sin θ) +

1

r sin θ

∂τrφ∂φ− τθθ + τφφ

r

]+ ρgr

ρ

(∂vθ∂t

+ vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

+vφ

r sin θ

∂vθ∂φ

+vrvθ − v2

φ cot θ

r

)

= −1

r

∂p

∂θ+

[1

r3

∂r

(r3τθr

)+

1

r sin θ

∂θ(τθθ sin θ) +

1

r sin θ

∂τθφ∂φ

+(τrθ − τθr)− τφφ cot θ

r

]+ ρgθ

ρ

(∂vφ∂t

+ vr∂vφ∂r

+vθr

∂vφ∂θ

+vφ

r sin θ

∂vφ∂φ

+vrvφ + vφvθ cot θ

r

)= − 1

r sin θ

∂p

∂φ+

[1

r3

∂r

(r3τφr

)+

1

r sin θ

∂θ(τφθ sin θ) +

1

r sin θ

∂τφφ∂φ

+(τrφ − τφr)− τθφ cot θ

r

]+ ρgφ

6.9.4 Tenseur des vitesses de déformation

Notation compacte (voir équations 2.9, 2.11 et 2.6 en page 20 et suivantes) :

dcis = d− dexp soit dcis =1

2.[(∇⊗ ~v)

T+∇⊗ ~v

]− ∇ · ~v

D.I

Notation développée (pour D = 3) :

dcis,rr = ∂vr∂r −

∇·~vD

dcis,θθ = 1r∂vθ∂θ + vr

r −∇·~vD

dcis,φφ = 1r. sin θ .

∂vφ∂φ + vr+vθ cot θ

r − ∇·~vD

dcis,rθ = dcis,θr = 12 .(r ∂∂r

(vθr

)+ 1

r∂vr∂θ

)dcis,θφ = dcis,φθ = 1

2 .(

sin θr

∂∂θ

( vφsin θ

)+ 1

r sin θ∂vθ∂φ

)dcis,φr = dcis,rφ = 1

2 .(

1r sin θ

∂vr∂φ + r ∂∂r

( vφr

))

6.9.5 Tenseur des contraintes pour un uide newtonien

Notation compacte (voir équation 5.12 en page 51) où la dimension spatiale est notée D :

τ = 2µ.dcis + λ.D.dexp soit τ = µ.

[∇⊗ ~v + (∇⊗ ~v)

T − 2

D.(∇ · ~v).I

]+ λ.(∇ · ~v).I

Notation développée :

84

6.9. Bilans en coordonnées sphériques (~er, ~eθ, ~eφ)

τrr = µ.[2∂vr∂r

]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τθθ = µ.[2(

1r∂vθ∂θ + vr

r

)]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τφφ = µ.[2(

1r sin θ

∂vφ∂φ + vr+vθ cot θ

r

)]+(λ− 2µ

D

). (∇ · ~v)

τrθ = τθr = µ.[r ∂∂r

(vθr

)+ 1

r∂vr∂θ

]τθφ = τφθ = µ.

[sin θr

∂∂θ

( vφsin θ

)+ 1

r sin θ∂vθ∂φ

]τφr = τrφ = µ.

[1

r sin θ∂vr∂φ + r ∂∂r

( vφr

)]

6.9.6 Bilan local de quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes)

Notation compacte (voir équation 5.26 en page 56) pour un uide newtonien, incompressible dont la viscositédynamique µ est uniforme dans l'espace :

ρ.D~v

Dt= ρ~g −∇p+ µ.∆~v

Notation développpée :

ρ

(∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ

+vφ

r sin θ

∂vr∂φ−v2θ + v2

φ

r

)

= −∂p∂r

+ µ

[1

r2

∂2

∂r2

(r2vr

)+

1

r2 sin θ

∂θ

(sin θ

∂vr∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2vr∂φ2

]+ ρgr

ρ

(∂vθ∂t

+ vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

+vφ

r sin θ

∂vθ∂φ

+vrvθ − v2

φ cot θ

r

)

= −1

r

∂p

∂θ+µ

[1

r2

∂r

(r2 ∂vθ∂r

)+

1

r2

∂θ

(1

sin θ

∂θ(vθ sin θ)

)+

1

r2 sin2 θ

∂2vθ∂φ2

+2

r2

∂vr∂θ− 2

r2

cos θ

sin2 θ

∂vφ∂φ

]+ ρgθ

ρ

(∂vφ∂t

+ vr∂vφ∂r

+vθr

∂vφ∂θ

+vφ

r sin θ

∂vφ∂φ

+vrvφ + vφvθ cot θ

r

)= − 1

r sin θ

∂p

∂φ+µ

[1

r2

∂r

(r2 ∂vφ

∂r

)+

1

r2

∂θ

(1

sin θ

∂θ(vφ sin θ)

)+

1

r2 sin2 θ

∂2vφ∂φ2

+2

r2 sin θ

∂vr∂φ

+2 cos θ

r2 sin2 θ

∂vθ∂φ

]+ρgφ

85

Chapitre 6. Annexes

6.10 Ecoulement en conduite

Pour un écoulement en conduite cylindrique, le coecient de perte de charge linéique λ (friction factoren anglais) est déni par la relation 1.4 en page 13 que l'on rappelle ici :

∆p = λ.L

d.

(1

2ρV 2

)(6.28)

La gure 6.6 synthétise une grande masse de données expérimentales. Il s'agit du diagramme de Moody.On constate que les valeurs expérimentales de λ dans le domaine turbulent sont supérieures à la valeur

Figure 6.6 Diagramme de Moody permettant de calculer une perte de charge en conduite cylindrique.

prédite par la loi de Blasius pour le domaine laminaire. On en déduit qu'un écoulement turbulent dissipe(beaucoup) plus d'énergie mécanique qu'un écoulement laminaire.

Elément à déplacer au bon endroit (où ?) : la perte de charge est associée à une dissipation del'énergie mécanique en chaleur par les frottements visqueux. L'équation 5.30 permet de calculer la variationde pression généralisée ∆P. Si l'écoulement était laminaire (ce n'est pas le cas), le prol de vitesse dans letube serait ~v = vz(r).~ez avec vz(r) = 2.v.

[1−

(2rd

)]. Pour un écoulement axisymétrique, le Laplacien est égal

à ∆~v =(∂2vz∂r2 + 1

r .∂vz∂r

).~ez. Compte-tenu du prol parabolique de vitesse, cela conduit à : ∆~v = −32.v

d2 .~ez.

On en déduit la perte de pression généralisée ∆P = −32.v.µd2 .L. Cette grandeur est ici égale à la variation de

pression ∆p car la vitesse est uniforme et la conduite horizontale. Au nal, si l'écoulement était laminaire,la perte de charge serait égale à ∆p = −128.µ.Q

π.d4 .L soit 12,7 Pa. Cette valeur est à comparer à 171 Pa : unécoulement turbulent dissipe beaucoup plus d'énergie mécanique qu'un écoulement laminaire.

86

6.11. Ouvrages de référence

6.11 Ouvrages de référence

Computational Fluid Dynamics. John Anderson, McGraw-Hill Education, 1 févr. 1995, 547 pages.https://docs.google.com/file/d/0B22gXRXF8TssaGN5N2c4MHJsVkU/edit

87

Chapitre 6. Annexes

88

Littérature complémentaire

Le lecteur curieux pourra consulter les ouvrages suivants : Transferts de chaleur : livre au format pdf, avec mise à jour accessible sur le site web de l'auteur.Adresse : http ://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

89

Chapitre 6. Annexes

90