1. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina ii

2. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina iReacciones en los soportes y conexiones para una estructura tridimensionalF FBolaSuperficie sin friccinFuerza con lnea de accin conocida (una incgnita)Fuerza con lnea de accin conocida (una incgnita)CableFyFz Rodillo sobre superficie rugosaDos componentes de fuerzaRueda sobre rielFy FxFzTres componentes de fuerza Superficie rugosaRtula (bola y cuenca) MyFy Mx Fz Junta o unin universalFyFxTres componentes de fuerza y un parMzFzMx FxTres componentes de fuerza y tres paresApoyo fijo(My) Fy (Mz)Bisagra y cojinete que soportan slo carga radialFzDos componentes de fuerza (y dos pares; vase la pgina 192)(My) Fy (Mz)Pasador y mnsulaBisagra y cojinete que soportan empuje axial y carga radialFzFxDos componentes de fuerza (y dos pares; vase la pgina 192) 3. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina ii 4. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina iiiMECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica 5. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina ivREVISIN TCNICA ARGENTINA Ricardo BoscoUniversidad Tecnolgica Nacional, Buenos AiresCOLOMBIA Carlos Eduardo Muoz Rodrguez Jaime Guillermo Guerrero Casadiego Rubn Daro Arboleda Vlez Wilson Rodrguez CaldernPontificia Universidad Javeriana, Bogot Universidad Nacional de Colombia Universidad Pontificia Bolivariana, Medelln Universidad de la Salle, BogotMXICO Antonio Rubn Bentez Gasca Carlos Mellado Osuna Constantino Anaya Hill Danelia Hernndez Surez Eduardo Soberanes Lugo Francisco Tern Arvalo Gerardo Gaytn Guerra Gladys Karina Ruiz Vargas Ignacio Ramrez Vargas Jos Antonio Corona Lpez Jos Luis Carranza Santana Juan Abugaber Francis Juan Ocriz Castelazo Klara Goiz Hernndez Luis Adolfo Torres Gonzlez Martn Daro Castillo Snchez Ral Escalante Rosas Ral Soto Lpez Roberto Carlos Tinoco GuevaraUniversidad Veracruzana Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus La Marina Instituto Tecnolgico de Culiacn Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad Obregn Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Instituto Tecnolgico Regional de Chihuahua Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Universidad Anhuac, campus Norte Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo Instituto Tecnolgico de Veracruz Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Universidad Nacional Autnoma de Mxico Universidad Autnoma de Sinaloa Universidad Iberoamericana, campus Len Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Universidad Nacional Autnoma de Mxico Universidad de Occidente, campus Culiacn Universidad Iberoamericana, campus Ciudad de Mxico 6. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina vNovena edicinMECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh UniversityE. RUSSELL JOHNSTON, JR. University of ConnecticutDAVID F. MAZUREK U.S. Coast Guard AcademyELLIOT R. EISENBERG The Pennsylvania State UniversityRevisin tcnica:Javier Len Crdenas Universidad La Salle, campus Ciudad de MxicoFelipe de Jess Hidalgo Cavazos Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey campus MonterreyMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO 7. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina viDirector Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin: Jess Elmer Murrieta Murrieta MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTTICA Novena edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Corporativo Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 La seccin de crditos de este libro comienza en la pgina 603 y es considerada como una extensin de la pgina legal. ISBN-13: 978-607-15-0277-3 (ISBN: 970-10-6103-9 edicin anterior) Traducido de la novena edicin de Vector mechanics for engineers. Statics, ninth edition. Copyright 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 0-07-352923-0 1234567890109876543210Impreso en MxicoPrinted in Mexico 8. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina viiAcerca de los autores Los autores de esta obra con frecuencia son cuestionados acerca de cmo fue que, estando uno en Lehigh y otro en la University of Connecticut, empezaron a escribir sus libros juntos y cmo logran seguir colaborando en las revisiones subsecuentes. La respuesta a estas preguntas es sencilla. Russ Johnston inici su carrera acadmica en el departamento de ingeniera civil y mecnica de Lehigh University y all conoci a Ferd Beer, quien haba comenzado a trabajar en ese departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cursos de mecnica. Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven contratado para impartir cursos de ingeniera estructural a nivel de posgrado no slo estaba dispuesto, sino tambin ansioso por ayudarlo a reorganizar los cursos de mecnica. Ambos crean que dichos cursos deberan impartirse a partir de unos cuantos principios bsicos, y que los distintos conceptos involucrados seran mejor comprendidos y recordados por los estudiantes si se les presentaban en forma grfica. Juntos escribieron apuntes para las clases de esttica y dinmica, a los cuales posteriormente agregaron problemas que supusieron resultaran interesantes para los futuros ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la primera edicin de Mecnica para ingenieros. Al publicarse la segunda edicin de Mecnica para ingenieros y la primera de Mecnica vectorial para ingenieros, Russ Johnston estaba en el Worcester Polytechnic Institute y para las ediciones subsecuentes en la University de Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asumido funciones administrativas en sus respectivos departamentos y se dedicaban a la investigacin, la consultora, y a asesorar estudiantes de posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y vibraciones aleatorias y Russ en la de estabilidad elstica y en diseo y anlisis estructurales. Sin embargo, su inters por mejorar la enseanza de los cursos bsicos de mecnica no haba disminuido y continuaron impartindolos mientras revisaban sus libros y comenzaban a escribir el manuscrito de la primera edicin de Mecnica de materiales. La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado muchos aos y muchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las contribuciones de Ferd y Russ a la educacin en ingeniera los han hecho acreedores de numerosas distinciones y reconocimientos. Recibieron el Western Electric Fund Award por parte de sus respectivas secciones regionales de la American Society for Engineering Education por su excelencia en la instruccin de estudiantes de ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award de la divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001, el reconocimiento denominado New Mechanics Educator Award de la divisin de mecnica ha sido nombrado Beer and Johnston en honor a estos autores.vii 9. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina viiiviiiAcerca de los autoresFerdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia y Suiza, obtuvo una maestra en La Sorbona y un doctorado en ciencias en el rea de mecnica terica en la Universidad de Ginebra. Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito francs durante la primera parte de la Segunda Guerra Mundial, e imparti clases por cuatro aos en el Williams College en el programa conjunto de ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en el Williams College, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University donde ense durante 37 aos. Ocup varios puestos, incluyendo el de profesor distinguido de la universidad y director del departamento de mecnica e ingeniera mecnica. En 1995 recibi un grado honorario de Doctor en Ingeniera por la Lehigh University. E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ posee un ttulo de ingeniero civil de la University of Delaware y un doctorado en ciencias en el rea de ingeniera estructural del Massachusetts Institute of Technology. Imparti clases en Lehigh University y en Worcester Polytechnic Institute antes de ingresar al profesorado de la University of Connecticut, donde ocup el puesto de director del departmento de ingeniera civil y ense durante 26 aos. En 1991 recibi el Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecticut, que otorga la American Society of Civil Engineers. David F. Mazurek. Posee una licenciatura en ingeniera ocenica y una maestra en ingeniera civil del Florida Institute of Technology, adems de un doctorado en ingeniera civil de la University of Connecticut. Fue empleado por la Electric Boat Division of General Dynamics Corporation e imparti clases en Lafayette College antes de pertenecer a la U. S. Coast Guard Academy, en donde ha estado desde 1990. Ha prestado sus servicios en American Railway Engineering y Maintenance of Way Associations Committee 15Steel Structures durante los ltimos 14 aos. Su inters profesional incluye la ingeniera de puentes, torres esbeltas, ciencia forense estructural y diseo resistente a explosiones. Elliot R. Eisenberg. Posee una licenciatura y una maestra en ingeniera, ambas de la Cornell University. Elliot ha enfocado sus actividades en el servicio profesional y la enseanza; en 1992 su trabajo fue reconocido por la American Society of Mechanical Engineers al distinguirlo con la medalla Ben C. Sparks por sus contribuciones a la ingeniera mecnica y a la educacin en tecnologa de la ingeniera mecnica, as como por sus servicios en la American Society for Engineering Education. Elliot imparti clases durante 32 aos, incluyendo 29 en Penn State donde se le han otorgado premios por enseanza y asesora. 10. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina ixContenido PrefacioxivLista de smbolosxxi1 INTRODUCCIN 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6Qu es la mecnica 2 Conceptos y principios fundamentales 2 Sistemas de unidades 5 Conversin de un sistema de unidades a otro Mtodo para la solucin de problemas 11 Exactitud numrica 13102 ESTTICA DE PARTCULAS 15 2.1Introduccin162.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11Fuerzas en un plano 16 Fuerza sobre una partcula. Resultante de dos fuerzas 16 Vectores 17 Adicin o suma de vectores 18 Resultante de varias fuerzas concurrentes 20 Descomposicin de una fuerza en sus componentes 21 Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios Adicin de fuerzas sumando sus componentes x y y 30 Equilibrio de una partcula 35 Primera ley del movimiento de Newton 36 Problemas relacionados con el equilibrio de una partcula. Diagramas de cuerpo libre 362.12 2.13Fuerzas en el espacio 45 Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio 45 Fuerza definida en trminos de su magnitud y dos puntos sobre su lnea de accin 4827ix 11. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xxContenido2.14 2.15Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio Equilibrio de una partcula en el espacio 57Repaso y resumen del captulo 2 Problemas de repaso 67 Problemas de computadora 7049643 CUERPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZA 73 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 *3.21Introduccin 74 Fuerzas externas e internas 74 Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes 75 Producto vectorial de dos vectores 77 Productos vectoriales expresados en trminos de componentes rectangulares 79 Momento de una fuerza con respecto a un punto 81 Teorema de Varignon 83 Componentes rectangulares del momento de una fuerza 83 Producto escalar de dos vectores 93 Producto triple mixto de tres vectores 95 Momento de una fuerza con respecto a un eje dado 97 Momento de un par 107 Pares equivalentes 108 Adicin o suma de pares 110 Los pares pueden representarse por medio de vectores 110 Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza en O y un par 111 Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par 122 Sistemas equivalentes de fuerzas 123 Sistemas equipolentes de vectores 124 Otras reducciones de un sistema de fuerzas 124 Reduccin de un sistema de fuerzas a una llave de torsin o torsor 127Repaso y resumen del captulo 3 146 Problemas de repaso 151 Problemas de computadora 1544 EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS 157 4.1 4.2Introduccin 158 Diagrama de cuerpo libre1594.6 4.7Equilibrio en dos dimensiones 160 Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una estructura bidimensional 160 Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones 162 Reacciones estticamente indeterminadas. Restricciones parciales 163 Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas 182 Equilibrio de un cuerpo sujeto a tres fuerzas 1834.8Equilibrio en tres dimensiones 190 Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones4.3 4.4 4.5190 12. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xi4.9Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructura tridimensional 190Repaso y resumen del captulo 4 211 Problemas de repaso 213 Problemas de computadora 2165 FUERZAS DISTRIBUIDAS : CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD 219 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 *5.8 *5.9 5.10 5.11 5.12Introduccin220reas y lneas 220 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional 220 Centroides de reas y lineas 222 Primeros momentos de reas y lneas 223 Placas y alambres compuestos 226 Determinacin de centroides por integracin 236 Teoremas de Pappus-Guldinus 238 Cargas distribuidas en vigas 248 Fuerzas sobre superficies sumergidas 249 Volmenes 259 Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. Centroide de un volumen 259 Cuerpos compuestos 262 Determinacin de centroides de volmenes por integracin262Repaso y resumen del captulo 5 274 Problemas de repaso 278 Problemas de computadora 2816 ANLISIS DE ESTRUCTURAS 285 6.1 6.2 6.3 6.4 *6.5 *6.6 6.7 *6.8 6.9 6.10 6.11 6.12Introduccin286Armaduras 287 Definicin de una armadura 287 Armaduras simples 289 Anlisis de armaduras mediante el mtodo de los nodos 290 Nodos bajo condiciones especiales de carga 292 Armaduras en el espacio o espaciales 294 Anlisis de armaduras por el mtodo de secciones 304 Armaduras formadas por varias armaduras simples 305 Armazones y mquinas 316 Estructuras que contienen elementos sujetos a fuerzas mltiples 316 Anlisis de un armazn 316 Armazones que dejan de ser rgidos cuando se separan de sus soportes 317 Mquinas 332Repaso y resumen del captulo 6 345 Problemas de repaso 348 Problemas de computadora 350Contenidoxi 13. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xiixii7ContenidoFUERZAS EN VIGAS Y CABLES 353 *7.1 *7.2Introduccin 354 Fuerzas internas en elementos*7.3 *7.4 *7.5 *7.6Vigas 362 Diferentes tipos de cargas y apoyos 362 Fuerza cortante y momento flector en una viga 363 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector 365 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector*7.7 *7.8 *7.9 *7.10Cables 383 Cables con cargas concentradas Cables con cargas distribuidas Cable parablico 385 Catenaria 395354373383 384Repaso y resumen del captulo 7 403 Problemas de repaso 406 Problemas de computadora 4088 FRICCIN 411 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 *8.7 *8.8 *8.9 8.10Introduccin 412 Leyes de la friccin seca. Coeficientes de friccin 412 ngulos de friccin 415 Problemas que involucran friccin seca 416 Cuas 431 Tornillos de rosca cuadrada 431 Chumaceras. Friccin en ejes 440 Cojinetes de empuje. Friccin en discos 442 Friccin en ruedas. Resistencia a la rodadura o rodamiento Friccin en bandas 450443Repaso y resumen del captulo 8 461 Problemas de repaso 464 Problemas de computadora 4679 FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA 471 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 *9.8 *9.9 *9.10Introduccin472Momentos de inercia de reas 473 Segundo momento, o momento de inercia, de un rea 473 Determinacin del momento de inercia de un rea por integracin 474 Momento polar de inercia 475 Radio de giro de un rea 476 Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner 483 Momentos de inercia de reas compuestas 484 Producto de inercia 497 Ejes principales y momentos principales de inercia 498 Crculo de Mohr para momentos y productos de inercia 506 14. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xiii9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 *9.16 *9.17 *9.18Momentos de inercia de masas 512 Momento de inercia de una masa 512 Teorema de los ejes paralelos 514 Momentos de inercia de placas delgadas 515 Determinacin del momento de inercia de un cuerpo tridimensional por integracin 516 Momentos de inercia de cuerpos compuestos 516 Momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario que pasa por el punto O. Productos de inercia de masa 531 Elipsoide de inercia. Ejes principales de inercia 532 Determinacin de los ejes y los momentos principales de inercia de un cuerpo de forma arbitraria 534Repaso y resumen del captulo 9 545 Problemas de repaso 551 Problemas de computadora 55410 MTODO DEL TRABAJO VIRTUAL 557 *10.1 *10.2 *10.3 *10.4 *10.5 *10.6 *10.7 *10.8 *10.9Introduccin 558 Trabajo de una fuerza 558 Principio del trabajo virtual 561 Aplicaciones del principio del trabajo virtual 562 Mquinas reales. Eficiencia mecnica 564 Trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito Energa potencial 580 Energia potencial y equilibrio 581 Estabilidad del equilibrio 582Repaso y resumen del captulo 10 Problemas de repaso 595 Problemas de computadora 598578592Apndice FUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACIN EN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS 601 Crditos de las fotografas ndice analtico603605Respuestas a problemas615Contenidoxiii 15. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xivPrefacio OBJETIVOSEl objetivo principal de un primer curso de mecnica debe ser desarrollar en el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquier problema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucin unos cuantos principios bsicos perfectamente comprendidos. Se espera que este texto, diseado para un primer curso de esttica, as como el libro complementario, Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica, permitirn que el profesor alcance este objetivo.ENFOQUE GENERALEn la parte inicial del texto se introduce el anlisis vectorial, el cual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios fundamentales de la mecnica. Los mtodos vectoriales se usan tambin para resolver diversos problemas, especialmente en tres dimensiones, donde estas tcnicas permiten obtener la solucin de un modo ms conciso y simple. Sin embargo, el nfasis del libro se mantiene en el correcto aprendizaje de los principios de la mecnica y su aplicacin para resolver problemas de ingeniera, por lo que el anlisis vectorial se presenta, primordialmente, como una herramienta prctica. Se introducen aplicaciones prcticas desde una etapa inicial. Una de las caractersticas del enfoque usado en estos tomos esque la mecnica de partculas se ha separado en forma clara de la mecnica de cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible considerar aplicaciones prcticas simples en una etapa inicial y posponer la introduccin de los conceptos ms avanzados. Por ejemplo: xivEn Esttica, la esttica de partculas se estudia primero (captulo 2), despus de haber presentado las reglas para la suma y resta de vectores, y el principio de equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a situaciones prcticas que involucran slo fuerzas concurrentes. La esttica de cuerpos rgidos se considera en los captulos 3 y 4. En el captulo 3 se introducen los productos escalar y vectorial de dos vectores y se utilizan para definir el momento de una fuerza con respecto a un punto y a un eje. La 16. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xvpresentacin de estos nuevos conceptos es seguida por la exposicin rigurosa y completa de los sistemas de fuerzas equivalentes que conducen, en el captulo 4, a muchas aplicaciones prcticas que involucran el equilibrio de cuerpos rgidos bajo la accin de sistemas generales de fuerzas. En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los conceptos bsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y energa, y de impulso y momentum, y se aplican en primera instancia a la resolucin de problemas que slo involucran partculas. De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse por s mismos con los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica, y aprender sus respectivas ventajas antes de enfrentar las dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rgidos.Los conceptos nuevos se presentan en trminos simples. Como este texto est diseado para un primer curso sobre esttica, los conceptos nuevos se presentan en trminos simples y cada paso se explica en forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una madurez definitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los problemas considerados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad general. Por ejemplo, los conceptos de restricciones parciales y de indeterminacin esttica se introducen al principio del texto para ser usados en todo el libro. Los principios fundamentales se ubican en el contexto de aplicaciones simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es,esencialmente, una ciencia deductiva que se basa en algunos principios fundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su secuencia lgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin embargo, en virtud de que el proceso de aprendizaje es primordialmente inductivo, las aplicaciones ms simples se consideran primero. Por ejemplo: La esttica de partculas antecede a la esttica de cuerpos rgidos, y los problemas que involucran fuerzas internas se posponen hasta el captulo 6. En el captulo 4 se consideran primero los problemas de equilibrio que involucran slo a fuerzas coplanares, y se resuelven por medio del lgebra ordinaria, mientras que los problemas que involucran fuerzas tridimensionales, los cuales requieren el uso completo del lgebra vectorial, se exponen en la segunda parte de dicho captulo.Se emplean diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y expresar la equivalencia de sistemas de fuerzas. Los diagramas de cuerpo libre se introducen al principioy se enfatiza su importancia a lo largo de todo el texto. No slo se emplean para resolver problemas de equilibrio sino tambin para expresar la equivalencia de dos sistemas de fuerzas o, de modo ms general, de dos sistemas de vectores. La ventaja de este enfoque se vuelve evidente en el estudio de la dinmica de cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver problemas tridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una comprensin ms intuitiva y completa de los princi-Prefacioxv 17. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xvixviPrefaciopios fundamentales de la dinmica al poner mayor nfasis en las ecuaciones de diagramas de cuerpo libre en lugar de en las ecuaciones algebraicas estndar de movimiento. Este enfoque, introducido en 1962 en la primera edicin de Mecnica vectorial para ingenieros, ha obtenido hasta la fecha una amplia aceptacin entre los profesores de mecnica en Estados Unidos. Por tanto, para la resolucin de todos los problemas resueltos de este libro, se prefiere su utilizacin en lugar del mtodo de equilibrio dinmico y de las ecuaciones de movimiento. Se utilizan presentaciones en distintos tonos para distinguir los vectores. El color se ha usado no slo para mejorar la ca-lidad de las ilustraciones, sino tambin para ayudar a los estudiantes a distinguir entre los diversos tipos de vectores que pueden encontrar. En virtud de que no haba intencin de establecer un cdigo de color para el texto, en un captulo dado se utiliza el mismo color para representar el mismo tipo de vector. Por ejemplo, a lo largo del tomo de Esttica, el rojo se utiliza en forma exclusiva para representar fuerzas y pares, mientras que los vectores de posicin se muestran en azul y las dimensiones en negro. Esto vuelve ms fcil para los estudiantes identificar las fuerzas que actan sobre una partcula o cuerpo rgido dados y comprender los problemas resueltos y otros ejemplos proporcionados en el libro. Se mantiene, en forma consistente, un cuidadoso balance entre las unidades SI y unidades de uso comn en Estados Unidos. Debido a la tendencia que existe en la actualidad en el gobier-no y la industria estadounidenses de adoptar el Sistema Internacional de Unidades (unidades mtricas SI), las unidades SI que se usan con mayor frecuencia en mecnica se introducen en el captulo 1 y se emplean en todo el libro. Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y 60 por ciento de los problemas de tarea estn planteados en este sistema de unidades, mientras que el resto se proporciona en las unidades de uso comn en Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque es el que se adecuar mejor a las necesidades de los estudiantes, quienes, como ingenieros, tendrn que dominar los dos sistemas de unidades. Tambin se debe reconocer que el uso de ambos sistemas de unidades significa ms que aplicar factores de conversin. Como el sistema de unidades SI es absoluto basado en el tiempo, la longitud y la masa, mientras que el sistema ingls es un sistema gravitacional basado en el tiempo, la longitud y la fuerza, se requieren diferentes enfoques para la solucin de muchos problemas. Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, por lo general, un cuerpo se especifica mediante su masa expresada en kilogramos; en la mayor parte de los problemas de esttica ser necesario determinar el peso del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un clculo adicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades de uso comn en Estados Unidos, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras y, en problemas de dinmica, se requerir un clculo adicional para determinar su masa en slugs (o lb . s2/ft). Por tanto, los autores creen que los problemas que se les asignen a los estudiantes deben incluir ambos sistemas de unidades. 18. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xviiEn las secciones opcionales se tratan temas avanzados o especializados. En el libro se incluye un gran nmero de seccionesopcionales identificadas mediante asteriscos y, por tanto, se distinguen fcilmente de aquellas que constituyen la parte fundamental de un curso bsico de esttica. Estas secciones pueden omitirse sin perjudicar la comprensin del resto del texto. Entre los temas cubiertos en las secciones adicionales se encuentran la reduccin de un sistema de fuerzas a una llave de torsin, aplicaciones a hidrosttica, diagramas de fuerza cortante y momento flector, equilibrio de cables, productos de inercia y crculo de Mohr, la determinacin de los ejes principales y momentos de inercia de un cuerpo en forma arbitraria, y el mtodo del trabajo virtual. Las secciones sobre vigas son especialmente tiles cuando el curso de esttica es seguido inmediatamente por un curso de mecnica de materiales, mientras que las partes que tratan acerca de las propiedades de inercia de cuerpos tridimensionales fueron pensadas primordialmente para los estudiantes que despus estudiarn, en dinmica, el movimiento tridimensional de cuerpos rgidos. El material presentado en el libro y la mayor parte de los problemas no requieren conocimiento matemtico previo superior al lgebra, la trigonometra y el clculo elemental; todos los conocimientos de lgebra elemental necesarios para comprender el texto se presentan con detalle en los captulos 2 y 3. En general, se pone mayor nfasis en la comprensin adecuada de los conceptos matemticos bsicos incluidos que en la manipulacin de frmulas matemticas. Al respecto, se debe mencionar que la determinacin de los centroides de reas compuestas precede al clculo de centroides por integracin, lo cual posibilita establecer firmemente el concepto de momento de un rea antes de introducir el uso de integrales.ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y CARACTERSTICAS PEDAGGICASCada captulo comienza con una introduccin que establece el propsito y los objetivos del mismo, y en donde se describe en trminos sencillos el material que ser cubierto y sus aplicaciones en la resolucin de problemas de ingeniera. Los lineamientos del captulo proporcionan a los estudiantes una visin previa de los tpicos que ste incluye.Introduccin del captulo.Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido en unidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones de teora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de problemas de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien definido que, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin embargo, en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable dedicar ms de una leccin a un tpico en particular. Problemas resueltos. Los problemas resueltos se plantean de manera muy similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvan los problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplen el doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de traba-Prefacioxvii 19. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xviiixviiiPrefaciojo clara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en sus propias soluciones. Resolucin de problemas en forma independiente. Entre los problemas resueltos y los de tarea, para cada leccin se incluye una seccin titulada Resolucin de problemas en forma independiente. El propsito de estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar mentalmente la teora ya cubierta en el texto y los mtodos de resolucin de los problemas resueltos, de manera que puedan resolver con mayor xito los problemas de tarea. Adems, en estas secciones tambin se incluyen sugerencias y estrategias especficas que les permitirn enfrentar de manera ms eficiente cualquier problema que se les asigne. Series de problemas de tarea. La mayora de los problemas son de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del estudiante de ingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el material presentado en el texto y para ayudar a los estudiantes a comprender los principios de la mecnica. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las partes del material que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente. Los problemas que requieren atencin especial estn sealados con asteriscos. Al final del texto se proporcionan las respuestas correspondientes a 70 por ciento de los problemas propuestos; y aquellos para los cuales no se da respuesta se indican en el libro escribiendo su nmero en cursivas. Repaso y resumen del captulo. Cada captulo finaliza con un repaso y un resumen del material cubierto en el mismo. Las notas al margen se utilizan para ayudar al estudiante a organizar su trabajo de revisin, adems se han incluido referencias cruzadas para ayudarlos a encontrar las partes de material que requieren atencin especial. Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye un grupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los estudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms importantes presentados en el captulo. Problemas de computadora. Cada captulo incluye un grupo de problemas diseados para ser resueltos mediante programas de computadora. Muchos de estos problemas son importantes para el proceso de diseo. En esttica, por ejemplo, pueden implicar el anlisis de una estructura para diferentes configuraciones y cargas o la determinacin de las posiciones de equilibrio de un mecanismo que puede requerir un mtodo iterativo de solucin. El desarrollo del algoritmo necesario para resolver un problema de mecnica dado beneficiar a los estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayudar a lograr una mejor comprensin de los principios de la mecnica involucrados; 2) les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habilidades con la computadora para encontrar la solucin de un problema relevante de ingeniera. MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de stos, 20. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xixmismos que se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. CONEXIN CON LA INGENIERA DE McGRAW-HILLLa conexin de McGraw-Hill con la ingeniera (McGraw-Hill Connect Engineering) es una plataforma de tareas y evaluacin que proporciona a los estudiantes los medios para conectarse de mejor manera con su curso, sus profesores y los conceptos importantes que necesitarn conocer para su xito en la actualidad y en el futuro. Mediante la Conexin con la Ingeniera, los profesores pueden entregar con facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Los estudiantes pueden practicar habilidades importantes a su propio ritmo y de acuerdo con su propio programa. La Conexin con la Ingeniera de Mecnica vectorial para ingenieros est disponible en www.mhhe.com/beerjohnston e incluye problemas algortmicos del texto, presentaciones en PowerPoint, un banco de imgenes y animaciones. OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICOLos libros electrnicos son una forma innovadora de ahorrarle dinero a los estudiantes y al mismo tiempo crear un medio ambiente ms verde. Un libro electrnico puede ahorrarles a los estudiantes cerca de la mitad del costo de un libro de texto tradicional y ofrece caractersticas nicas como un poderoso dispositivo de bsqueda, texto resaltado y la capacidad de compartir notas con compaeros de clase que usan libros electrnicos. McGraw-Hill ofrece dos opciones de libros electrnicos: la compra de un libro descargable de VitalSource o una suscripcin al libro de CourseSmart. Para conocer ms acerca de las opciones de libros electrnicos, contacte a su distribuidor de McGraw-Hill o visite los sitios en www.vitalsource.com y www.coursesmart.com. AGRADECIMIENTOSLos autores desean agradecer de manera especial a Amy Mazurek del Williams Memorial Institute que verific las soluciones y respuestas de todos los problemas de esta edicin y despus prepar las soluciones del Manual para el instructor y de soluciones adicional al texto; Yohannes Ketema de la University of Minnesota; David Oglesby de la University of Missouri-Rolla; y Daniel W. Yannitell de la Lousiana State University. Es un placer reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine Line Illustrations por las artsticas ilustraciones que contribuyen en gran medida a la efectividad del texto. Los autores agradecen a las diferentes compaas que proporcionaron fotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer el esfuerzo determinado y la paciencia de Sabina Dowell, quien seleccion las fotografas. Un agradecimiento tambin a los miembros de la organizacin de McGraw-Hill por su apoyo y dedicacin durante la preparacin dePrefacioxix 21. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xxxxPrefacioesta nueva edicin. En particular se agradecen las contribuciones del editor responsable Bill Stenquist, la editora de desarrollo Lora Neyens y la gerente de proyecto Sheila Frank. Por ltimo, los autores desean expresar su gratitud por los numerosos comentarios y sugerencias que han sido proporcionados por los usuarios de las ediciones anteriores de Mecnica vectorial para ingenieros. E. Russell Johnston, Jr. David F. Mazurek Elliot R. Eisenberg 22. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xxiLista de smbolos a A, B, C, . . . A, B, C, . . . A b c C d e F g G h i, j, k I, Ix, . . . I Ixy, . . . J k kx, ky, kO k l L m M MO R MO M MOL N O p P Q r r RConstante; radio; distancia Reacciones en apoyos y uniones Puntos rea Ancho; distancia Constante Centroide Distancia Base de logaritmos naturales Fuerza; fuerza de friccin Aceleracin de la gravedad Centro de gravedad; constante de gravitacin Altura; flecha de un cable Vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados Momentos de inercia Momento de inercia centroidal Productos de inercia Momento polar de inercia Constante de un resorte Radios de giro Radios de giro centroidal Longitud Longitud; claro Masa Momento par Momento con respecto al punto O Momento resultante con respecto al punto O Magnitud de un par o de un momento; masa de la Tierra Momento con respecto al eje OL Componente normal de una reaccin Origen de coordenadas Presin Fuerza; vector Fuerza; vector Vector de posicin Radio; distancia; coordenada polar Fuerza resultante; vector resultante; reaccinxxi 23. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xxiixxiiLista de smbolosR s s S t T T U V V w W, W x, y, z x z , y , , , r U Radio de la Tierra Vector de posicin Longitud de arco; longitud de un cable Fuerza; vector Espesor Fuerza Tensin Trabajo Producto vectorial; fuerza constante Volumen; energa potencial; cortante Carga por unidad de longitud Peso; carga Coordenadas rectangulares; distancias Coordenadas rectangulares del centroide o centro de gravedad ngulos Peso especfico Elongacin Desplazamiento virtual Trabajo virtual Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin Densidad ngulo de friccin; ngulo 24. 00Frontmetters-BEER-Esttica.qxd:BEER Prelim.qxd 24/11/09 09:01 AM Pgina xxiiiMECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Esttica 25. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina xxivA finales del siglo XVII, Sir Isaac Newton estableci los principios fundamentales de la mecnica, los cuales constituyen la base de gran parte de la ingeniera moderna.xxiv 26. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 11 1 CAPTULOIntroduccin1 27. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 21.1. QU ES LA MECNICA? CAPTULO 1INTRODUCCIN1.1 Qu es la mecnica? 1.2 Conceptos y principios fundamentales 1.3 Sistemas de unidades 1.4 Conversin de un sistema de unidades a otro 1.5 Mtodo para la solucin de problemas 1.6 Exactitud numricaLa mecnica se puede definir como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas. Se divide en tres partes: la mecnica de cuerpos rgidos, la mecnica de cuerpos deformables y la mecnica de fluidos. La mecnica de cuerpos rgidos se subdivide en esttica y dinmica; la primera estudia los cuerpos en reposo y la segunda los cuerpos en movimiento. En esta parte del estudio de la mecnica se supone que los cuerpos son perfectamente rgidos. Sin embargo, las estructuras y las mquinas reales nunca lo son y se deforman bajo las cargas a las que estn sometidas. Estas deformaciones casi siempre son pequeas y no afectan de manera apreciable las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideracin. Pero son importantes cuando se tiene en cuenta la resistencia de la estructura a las fallas y se estudian en la mecnica de materiales, que es una parte de la mecnica de cuerpos deformables. La tercera parte de la mecnica, la de fluidos, se subdivide en el estudio de los fluidos incompresibles y el de los fluidos compresibles. La hidrulica es una subdivisin importante en el estudio de los fluidos incompresibles y trata problemas relativos a los lquidos. La mecnica es una ciencia fsica puesto que estudia fenmenos fsicos. Sin embargo, algunos la asocian con las matemticas, mientras que otros la consideran un tema de ingeniera. Ambos puntos de vista se justifican parcialmente. La mecnica es la base de la mayora de las ciencias de la ingeniera y es un requisito indispensable para estudiarlas. Sin embargo, no tiene el carcter emprico propio de algunas ciencias de la ingeniera, es decir, no se basa slo en la experiencia u observacin; por su rigor y la importancia que da al razonamiento deductivo se parece a las matemticas. Pero tampoco es una ciencia abstracta, ni siquiera una ciencia pura; es una ciencia aplicada. Su propsito es explicar y predecir los fenmenos fsicos y poner las bases para aplicarlas en ingeniera. 1.2. CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALESAunque el estudio de la mecnica se remonta a los tiempos de Aristteles (384-322 a.C.) y de Arqumedes (287-212 a.C.), se tuvo que esperar hasta Newton (1642-1727) para encontrar una formulacin satisfactoria de sus principios fundamentales, los cuales fueron expresados despus en forma modificada por dAlembert, Lagrange y Hamilton. Su validez permaneci inclume hasta que Einstein formul su teora de la relatividad (1905). Si bien ahora se han reconocido las limitaciones de la mecnica newtoniana, sta an es la base de las actuales ciencias de la ingeniera. Los conceptos bsicos que se emplean en la mecnia son espacio, tiempo, masa y fuerza. Estos conceptos no pueden ser definidos en forma exacta; deben aceptarse sobre las bases de nuestra intuicin y experiencia y emplearse como un marco de referencia mental en el estudio de la mecnica. El concepto de espacio se asocia con la nocin de posicin de un punto P. La posicin de ste puede definirse por tres longitudes medidas desde cierto punto de referencia u origen, en tres direcciones dadas. Estas longitudes se reconocen como coordenadas de P. Para definir un evento, no es suficiente con indicar su posicin en el espacio sino que debe darse tambin el tiempo del evento. El concepto de masa tiene la funcin de caracterizar y comparar los cuerpos con base en ciertos experimentos mecnicos fundamenta-2 28. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 3les. Por ejemplo, dos cuerpos que tengan la misma masa seran atrados por la Tierra de igual forma; tambin presentarn la misma resistencia a un cambio en su movimiento traslacional. Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por contacto real o a distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y magnticas. Una fuerza se caracteriza por su punto de aplicacin, magnitud y direccin y se representa con un vector (seccin 2.3). En la mecnica newtoniana, espacio, tiempo y masa son conceptos absolutos e independientes entre s (esto no es as en la mecnica relativista, donde el tiempo de un evento depende de su posicin y la masa de un cuerpo vara con su velocidad). Por otra parte, el concepto de fuerza no es independiente de los otros tres. En realidad, uno de los principios fundamentales de la mecnica newtoniana, que se enuncian ms adelante, indica que la fuerza resultante que acta sobre un cuerpo se relaciona con la masa de ste y con la forma en que vara su velocidad en el tiempo. Se estudiarn las condiciones de reposo o movimiento de partculas y cuerpos rgidos a partir de los cuatro principios bsicos que se han expuesto. Por partcula se entiende una pequesima cantidad de materia que ocupa un punto en el espacio. Un cuerpo rgido es la combinacin de un gran nmero de partculas que ocupan posiciones fijas entre s. El estudio de la mecnica de las partculas es un requisito previo al de los cuerpos rgidos. Adems, los resultados obtenidos para una partcula pueden usarse directamente en muchos problemas que tratan de las condiciones de reposo o movimiento de cuerpos reales. El estudio de la mecnica elemental descansa sobre seis principios fundamentales basados en la evidencia experimental. La ley del paralelogramo para la adicin de fuerzas. Establece que dos fuerzas que actan sobre una partcula pueden ser sustituidas por una sola fuerza llamada resultante, que se obtiene al trazar la diagonal del paralelogramo que tiene los lados iguales a las fuerzas dadas (seccin 2.2). El principio de transmisibilidad. Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rgido permanecern inalteradas si una fuerza que acta en un punto del cuerpo rgido se sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma direccin, pero que acte en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma lnea de accin (seccin 3.3). Las tres leyes fundamentales de Newton. Fueron formuladas por Sir Isaac Newton a finales del siglo XVII y pueden enunciarse como sigue: PRIMERA LEY. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se mover con velocidad constante en lnea recta (si originalmente estaba en movimiento) (seccin 2.10). SEGUNDA LEY. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero, la partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y en la direccin de sta. Como se ver en la seccin 12.2 esta ley puede expresarse asF ma (1.1)La alusin a la seccin 11 y posteriores corresponde al tomo Dinmica, del mismo autor.1.2. Conceptos y principios fundamentales3 29. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 44donde F, m y a representan, respectivamente, la fuerza resultante que acta sobre la partcula, la masa de sta y la aceleracin de la misma, expresadas en un sistema consistente de unidades.IntroduccinTERCERA LEY. Las fuerzas de accin y reaccin de cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestos (seccin 6.1). La ley de gravitacin de Newton. Establece que dos partculas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y F (figura 1.1), de magnitud F dada por la frmulaMm F G r2mrFFM Figura 1.1(1.2)donde r la distancia entre las dos partculas G la constante universal llamada constante de gravitacin La ley de gravitacin de Newton introduce la idea de una accin ejercida a distancia y extiende el alcance de aplicacin de la tercera ley: la accin F y la reaccin F en la figura 1.1 son iguales y opuestas y tienen la misma lnea de accin. Un caso de gran importancia es el de la atraccin que la Tierra ejerce sobre una partcula situada en su superficie. La fuerza F ejercida por la Tierra sobre la partcula se define como el peso W de la partcula. Tomando M igual a la masa de la Tierra, m igual a la masa de la partcula, y r igual al radio R de la Tierra e introduciendo la constanteGM g R2(1.3)la magnitud W del peso de una partcula de masa m puede expresarse comoW mgFotografa 1.1 Cuando estn en la rbita terrestre, se dice que las personas y los objetos no tienen peso, aun cuando la fuerza gravitacional que acta sobre ellos es aproximadamente 90% de la que se experimenta en la superficie de la Tierra. Esta aparente contradiccin se resolver en el captulo 12, cuando se aplica la segunda ley de Newton al movimiento de partculas.(1.4)El valor de R en la frmula (1.3) depende de la elevacin del punto considerado; tambin depende de su latitud, puesto que la Tierra no es realmente esfrica. As que el valor de g vara con la posicin del punto en cuestin. Mientras el punto permanezca sobre la superficie de la Tierra, en la mayora de los clculos de ingeniera es suficientemente preciso suponer que g es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2. Los principios que se acaban de enunciar se irn explicando en el curso del estudio de la mecnica conforme sea necesario. El estudio de la esttica de partculas se realiza en el captulo 2 y se basa slo en la ley del paralelogramo para la adicin y en la primera ley de Newton. El principio de transmisibilidad se expondr en el captulo 3, al comenzar el estudio de la esttica de cuerpos rgidos, y la tercera ley de Newton se expone en el captulo 6, cuando se analicen las fuerzas ejercidas entre los diferentes elementos que forman una estructura. En el estudio de la dinmica se introducirn la segunda ley de Newton y la ley de gravitacin. All se mostrar que la primera ley de Newton es un caso particular de la segunda ley (seccin 12.2), y que el principio de transmisibilidad podra derivarse de los otros principios y por lo misUna definicin ms precisa del peso W debe tomar en cuenta la rotacin de la Tierra. 30. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 5mo quedar eliminado (seccin 16.5). Por ahora, las primera y tercera leyes de Newton, la ley del paralelogramo para la adicin y el principio de transmisibilidad proporcionarn las bases necesarias y suficientes para el estudio completo de la esttica de partculas, de cuerpos rgidos y de sistemas de cuerpos rgidos. Como se dijo antes, los seis principios fundamentales enunciados antes se basan en la evidencia experimental. A excepcin de la primera ley de Newton y el principio de transmisibilidad, todos son principios independientes y no se pueden obtener matemticamente de los dems ni de cualquier otro principio fsico elemental. En ellos descansa la mayor parte de la intrincada estructura de la mecnica newtoniana. La aplicacin de estos principios fundamentales ha permitido resolver, por ms de dos siglos, un gran nmero de problemas relacionados con las condiciones de reposo y movimiento de cuerpos rgidos, cuerpos deformables y fluidos. Muchas de las soluciones obtenidas pueden comprobarse mediante experimentos que proporcionan una verificacin ulterior de los principios en que se basaron. Fue slo hasta el siglo pasado que se encontr que la mecnica de Newton tiene deficiencias en el estudio del movimiento de los tomos y en el de ciertos planetas, y que debe complementarse con la teora de la relatividad. Pero en la escala humana o en la escala de la ingeniera, donde las velocidades son mucho ms pequeas que la velocidad de la luz, la mecnica de Newton an no ha sido refutada. 1.3. SISTEMAS DE UNIDADESCon los cuatro conceptos fundamentales introducidos en la seccin anterior se asocian las llamadas unidades cinticas, es decir, las unidades de longitud, tiempo, masa y fuerza. Estas unidades no pueden escogerse de manera independiente si la ecuacin (1.1) ha de satisfacerse. Tres de ellas pueden definirse en forma arbitraria; se les llama unidades bsicas. La cuarta unidad, en cambio, debe escogerse de acuerdo con la ecuacin (1.1) y se le identifica como unidad derivada. Se dice que las unidades cinticas as seleccionadas forman un sistema consistente de unidades. Sistema Internacional de Unidades (Unidades del SI). En este sistema, que ser de uso universal cuando Estados Unidos complete su conversin, las unidades bsicas son las de longitud, masa y tiempo, y se llaman, respectivamente, metro (m), kilogramo (kg) y segundo (s). Las tres estn definidas de manera arbitraria. El segundo, que de manera original se eligi para representar 1/86 400 del da solar medio, se define ahora como la duracin de 9 192 631 770 ciclos de la radiacin emitida en la transicin entre dos niveles del estado fundamental del tomo de cesio-133. El metro, definido en forma original como la diezmillonsima parte de la distancia del ecuador a un polo, se define ahora como 1 650 763.73 longitudes de onda de la luz naranja-roja correspondiente a cierta transicin en un tomo de criptn-86. El kilogramo, que es aproximadamente igual a la masa de 0.001 m3 de agua, se define como la masa de un patrn de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Svres, cerca de Pars, Francia. La unidad de fuerza es una unidad derivada y se llama newton (N). Se le define como la fuerza que proporciona una SI significa Systme International dUnits (francs).1.3. Sistemas de unidades5 31. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 66aceleracin de 1 m/s2 a una masa de un kilogramo (figura 1.2). A partir de la ecuacin (1.1) se escribeIntroduccin1 N (1 kg)(1 m/s2) 1 kg m/s2a = 1 m /s 2 m = 1 kgF=1NFigura 1.2Se dice que las unidades del SI forman un sistema absoluto de unidades; esto significa que las tres unidades bsicas seleccionadas son independientes del lugar en donde se utilicen las medidas. El metro, el kilogramo y el segundo se pueden usar en cualquier lugar de la Tierra; incluso pueden usarse en otro planeta y siempre tendrn el mismo significado. El peso de un cuerpo, o la fuerza de gravedad ejercida sobre l, debe expresarse en newtons, como cualquier otra fuerza. De la ecuacin (1.4) se obtiene que el peso de un cuerpo de masa 1 kg (figura 1.3) esW mg (1 kg)(9.81 m/s2) 9.81 Nm = 1 kga = 9.81 m /s 2 W = 9.81 N(1.5)Los mltiplos y submltiplos de las unidades fundamentales del SI se pueden obtener con el uso de los prefijos que se definen en la tabla 1.1. Los mltiplos y submltiplos de las unidades de longitud, masa y fuerza de mayor uso en ingeniera son, respectivamente, el kilmetro (km) y el milmetro (mm); el megagramo (Mg) y el gramo (g); y el kilonewton (kN). De acuerdo con la tabla 1.1, se tiene1 km 1 000 m 1 mm 0.001 m 1 Mg 1 000 kg 1 g 0.001 kg 1 kN 1 000 NFigura 1.3La conversin de estas unidades a metros, kilogramos y newtons, respectivamente, puede realizarse con slo recorrer el punto decimal tres lugares a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, para convertir 3.82 km en metros, se recorre el punto decimal tres lugares a la derecha:3.82 km 3 820 m En forma semejante, 47.2 mm se convierten en metros recorriendo el punto decimal tres lugares a la izquierda:47.2 mm 0.0472 m Con el uso de la notacin cientfica, se puede escribir3.82 km 3.82 103 m 47.2 mm 47.2 103 m Los mltiplos de la unidad de tiempo son el minuto (min) y la hora (h). Puesto que 1 min 60 s y 1 h 60 min 3 600 s, estos mltiplos no pueden convertirse tan fcilmente como los otros. Con el uso del mltiplo o submltiplo adecuado de cierta unidad, se puede evitar la escritura de nmeros muy grandes o muy pequeos. Tambin conocida como tonelada mtrica. 32. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 7Tabla 1.1. Prefijos del SI1.3. Sistemas de unidadesFactor multiplicativoPrefijo000 10 000 109 000 106 000 103 100 102 10 101 0.1 101 0.01 102 0.001 103 0.000 001 106 0.000 000 001 109 0.000 000 000 001 1012 0.000 000 000 000 001 1015 0.000 000 000 000 000 001 1018 1 000 000 000 1 000 000 1 000 112Smbolotera giga mega kilo hecto* deca* deci* centi* mili micro nano pico femto atoT G M k h da d c m n p f a*Debe evitarse el uso de estos prefijos, excepto en las medidas de reas y volmenes y para el uso no tcnico del centmetro, como en las medidas referentes a la ropa y al cuerpo.Por ejemplo, por lo general se escribe 427.2 km en lugar de 427 200 m, y 2.16 mm en lugar de 0.002 16 m.Unidades de rea y volumen. La unidad de rea es el metro cuadrado (m2), que representa el rea de un cuadrado de 1 m de lado; la unidad de volumen es el metro cbico (m3), que es igual al volumen de un cubo de 1 m de lado. Para evitar valores numricos excesivamente pequeos o demasiado grandes en el clculo de reas y volmenes, se usan sistemas de subunidades que se obtienen elevando, respectivamente, al cuadrado y al cubo no slo el milmetro sino tambin dos submltiplos intermedios del metro, llamados decmetro (dm) y centmetro (cm). Entonces, por definicin, 1 dm 0.1 m 101 m 1 cm 0.01 m 102 m 1 mm 0.001 m 103 m los submltiplos de la unidad de rea son1 dm2 (1 dm)2 (101 m)2 102 m2 1 cm2 (1 cm)2 (102 m)2 104 m2 1 mm2 (1 mm)2 (103 m)2 106 m2 y los submltiplos de la unidad de volumen son1 dm3 (1 dm)3 (101 m)3 103 m3 1 cm3 (1 cm)3 (102 m)3 106 m3 1 mm3 (1 mm)3 (103 m)3 109 m3 Debe observarse que cuando se usan ms de cuatro dgitos a ambos lados del punto decimal para expresar una cantidad en unidades del SI (como en 427 200 m o en 0.002 16 m) deben usarse espacios, no comas, para separar los dgitos en grupos de tres. Esto es con el fin de evitar confusiones con la coma, que se usa en muchos pases en lugar del punto decimal.7 33. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 88IntroduccinDebe notarse que cuando se mide el volumen de un lquido, el decmetro cbico (dm3) se conoce en forma usual como un litro (L). En la tabla 1.2 se muestran otras unidades derivadas del SI, que se usan para medir el momento de una fuerza, el trabajo de una fuerza, etc. Aunque estas unidades se introducirn en captulos posteriores conforme se vayan necesitando, es necesario describir una regla importante en esta fase: cuando se obtiene una unidad derivada con la divisin de una unidad bsica entre otra unidad bsica, debe usarse un prefijo en el numerador de la unidad derivada pero no en su denominador. Por ejemplo, la constante k de un resorte que se elonga 20 mm bajo una carga de 100 N se expresar como100 N 100 N k 5 000 N/m 20 mm 0.020 mok 5 kN/mpero nunca como k 5 N/mm. Unidades de uso comn en Estados Unidos. La mayora de los ingenieros practicantes estadounidenses todava utiliza un sistema en el que las unidades bsicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo. Estas unidades son, respectivamente, el pie (ft), la libra (lb) y el segundo (s). El segundo es idntico a la correspondiente unidad del SI. El pie se define como 0.3048 m. La libra se define como el peso de un patrn de platino, llamado libra estndar, que est en el National InstituteTabla 1.2. Principales unidades del SI usadas en mecnica CantidadUnidadAceleracinMetro por segundo al cuadrado ngulo Radin Aceleracin angular Radin por segundo al cuadrado Velocidad angular Radin por segundo rea Metro cuadrado Densidad Kilogramo por metro cbico Energa Joule Fuerza Newton Frecuencia Hertz Impulso Newton-segundo Longitud Metro Masa Kilogramo Momento de una fuerza Newton-metro Potencia Watt Presin Pascal Esfuerzo Pascal Tiempo Segundo Velocidad Metro por segundo Volumen Slidos Metro cbico Lquidos Litro Trabajo Joule Unidad suplementaria (1 revolucin 2 rad 360). Unidad bsica. SmboloFrmula. . .m/s2rad . . .. . . . . . . . .rad/s m2 kg/m3J N Hz . . . m kg . . . W Pa Pa s . . .Nm kg m/s2 s1 kg m/s. . . L Jrad/s2 Nm J/s N/m2 N/m2 m/s m3 103 m3 Nm 34. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 9of Standards and Technology en las afueras de Washington, su masa es de 0.453 592 43 kg. Como el peso de un cuerpo depende de la atraccin gravitacional de la Tierra, la cual vara con la ubicacin, se especifica que la libra estndar debe estar localizada al nivel del mar y a una latitud de 45 para definir en forma apropiada una fuerza de una libra. Es claro que las unidades de uso comn en Estados Unidos no forman un sistema de unidades absoluto. Por su dependencia de la atraccin gravitacional de la Tierra constituyen un sistema de unidades gravitacional. Aun cuando la libra estndar se emplea tambin como unidad de masa en transacciones comerciales en Estados Unidos, no puede usarse as en clculos de ingeniera, debido a que no sera consistente con las unidades bsicas definidas en el apartado anterior. De hecho, cuando una fuerza de 1 lb acta sobre la libra estndar, es decir, cuando est sujeta a la gravedad, recibe la aceleracin de la gravedad, g 32.2 ft/s2 (figura 1.4), sta no es la unidad de aceleracin que se requiere segn la ecuacin (1.1). La unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa que recibe una aceleracin de 1 ft/s2 al aplicrsele una fuerza de 1 lb (figura 1.5). Esta unidad, algunas veces llamada slug, puede derivarse de la ecuacin F ma despus de sustituir 1 lb y 1 ft/s2 para F y a, respectivamente. Se escribe (1 slug 32.216).F ma1.3. Sistemas de unidadesm = 1 lb a = 32.2 ft /s 2Figura 1.4a = 1 ft /s 2 m = 1 slug (= 1 lb s 2/ft)1 lb (1 slug)(1 ft/s ) 2y se obtiene1 lb 1 slug 1 lb s2/ft 1 ft/s2Figura 1.5(1.6)Comparando las figuras 1.4 y 1.5 se concluye que el slug es una masa 32.2 veces mayor que la masa de la libra estndar. El hecho de que en el sistema de uso comn en Estados Unidos, los cuerpos se caractericen por su peso en libras en lugar de por su masa en slugs, ser ventajoso en el estudio de la esttica, en donde se tratar en forma continua con pesos u otras fuerzas, y slo en ocasiones con masas. Sin embargo, en el estudio de la dinmica, donde intervienen fuerzas, masas y aceleraciones, la masa m de un cuerpo se expresar en slugs cuando su peso W est dado en libras. Recordando la ecuacin (1.4) se escribeW m g(1.7)donde g es la aceleracin de la gravedad (g 32.2 ft/s2). Otras unidades de uso comn en Estados Unidos que se presentan en forma frecuente en problemas de ingeniera son la milla (mi), igual a 5 280 ft; la pulgada (in.), igual a 1 ft, y la kilolibra (kip), igual 12 a una fuerza de 1 000 lb. La tonelada se usa con frecuencia para representar una masa de 2 000 lb pero, al igual que la libra, debe convertirse a slugs en los clculos de ingeniera. La conversin en pies, libras y segundos de cantidades expresadas en otras unidades de uso comn en Estados Unidos, en forma general es ms complicada y requiere mayor atencin que la operacin correspondiente en las unidades del SI. Por ejemplo, si se da la magnitud de En este caso se alude a la tonelada corta, ya que la tonelada larga equivale a 2 240 lb.F = 1 lbF = 1 lb9 35. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 1010Introduccinuna velocidad como v 30 mi/h, se convierte en ft/s de la siguiente manera. Primero se escribemi v 30 h Puesto que se quieren convertir millas en pies, se debe multiplicar el miembro derecho de la ecuacin por una expresin que contenga millas en el denominador y pies en el numerador. Pero, como no se quiere cambiar el valor del miembro derecho, la expresin implicada debe tener un valor igual a uno; el cociente (5 280 ft)(1 mi) es una expresin de este tipo. Haciendo una operacin semejante para transformar la unidad hora en segundos, se escribemi v 30 h5 280 ft1h 3 600 s 1 miRealizando los clculos numricos y cancelando las unidades que aparecen tanto en el numerador como en el denominador, se obtieneft v 44 44 ft/s s 1.4. CONVERSIN DE UN SISTEMA DE UNIDADES A OTROExisten muchas situaciones en las que un ingeniero necesita convertir en unidades del SI un resultado numrico obtenido en unidades de uso comn en Estados Unidos o viceversa. Como la unidad de tiempo es la misma en ambos sistemas, slo se necesita convertir dos unidades cinticas bsicas y, puesto que todas las otras unidades cinticas pueden derivarse de estas unidades bsicas, slo se requiere recordar dos factores de conversin. Unidades de longitud. Por definicin, la unidad de longitud de uso comn en Estados Unidos es1 ft 0.3048 m(1.8)De aqu se tiene que1 mi 5 280 ft 5 280(0.3048 m) 1 609 m o bien1 mi 1.609 km(1.9)Tambin 1 in. 12 ft 1(0.3048 m) 0.0254 m 1 12o bien1 in. 25.4 mm(1.10)Unidades de fuerza. Recordando que la unidad de fuerza de uso comn en Estados Unidos (la libra) se define como el peso de una libra estndar (de masa 0.4536 kg) al nivel del mar y a una latitud de 45 (donde g 9.807 m/s2) y usando la ecuacin (1.4), se escribeW mg 1 lb (0.4536 kg)(9.807 m/s2) 4.448 kg m/s2 36. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 11o, recordando la ecuacin (1.5),1.5. Mtodo para la solucin de problemas1 lb 4.448 N(1.11)Unidades de masa. La unidad de masa de uso comn en Estados Unidos (el slug) es una unidad derivada. As, con el uso de las ecuaciones (1.6), (1.8) y (1.11), se puede escribir1 lb 4.448 N 1 slug 1 lb s2/ft 14.59 N s2/m 1 ft/s2 0.3048 m/s2 y por medio de la ecuacin (1.5),1 slug 1 lb s2/ft 14.59 kg(1.12)Aunque no puede usarse como unidad consistente de masa, recordando que la masa de la libra estndar es, por definicin,1 libra masa 0.4536 kg(1.13)Esta constante se puede usar para determinar la masa en unidades del SI (kilogramos) de un cuerpo que est caracterizado por su peso en unidades de uso comn en Estados Unidos (libras). Para convertir una unidad derivada de uso comn en Estados Unidos en unidades del SI, simplemente se multiplica o se divide por los factores de conversin apropiados. Por ejemplo, para convertir la magnitud del momento de una fuerza que ha sido encontrada como M 47 lb in. en unidades del SI, se usan las frmulas (1.10) y (1.11) y se escribeM 47 lb in. 47(4.448 N)(25.4 mm) 5 310 N mm 5.31 N m Los factores de conversin dados en esta seccin se pueden usar tambin para convertir un resultado numrico obtenido en las unidades del SI a unidades de uso comn en Estados Unidos. Por ejemplo, si la magnitud del momento de una fuerza se encontr como M 40 N m, con el procedimiento usado en el ltimo prrafo de la seccin 1.3, se escribe1 lb M 40 N m (40 N m) 4.448 N 0.3048 m 1 ftAl realizar los clculos numricos y cancelar las unidades que aparecen tanto en el numerador como en el denominador, se obtieneM 29.5 lb ft Las unidades de uso comn en Estados Unidos que se emplean con mayor frecuencia en la mecnica, y sus equivalentes en las unidades del SI, se enlistan en la tabla 1.3. 1.5. MTODO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMASUn problema en mecnica debe abordarse de la misma manera en que se planteara un problema real de ingeniera. Si se toma como base la experiencia y la intuicin propias, ser ms fcil entender y formular el problema. Sin embargo, una vez que el problema se ha establecido en forma clara, no hay sitio para suposiciones particulares. La solucin se debe basar en los seis principios fundamentales establecidos en la seccin 1.2 o11 37. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 1212IntroduccinTabla 1.3. Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SI CantidadUnidad de uso comn en EU Equivalente del SIAceleracinft/s2 in./s2 ft2 in.2 ft lb kip lb oz lb s ft in. mi oz masa lb masa slug short ton (tonelada corta) lb ft lb in.rea Energa Fuerza Impulso Longitud MasaMomento de una fuerza Momento de inercia de un rea de una masa Cantidad de movimiento Potencia Presin o esfuerzo VelocidadVolumen Lquidos Trabajoin.4 lb ft s2 lb s ft lb/s hp lb/ft2 lb/in.2 (psi) ft/s in./s mi/h (mph) mi/h (mph) ft3 in.3 gal qt ft lb0.3048 m/s2 0.0254 m/s2 0.0929 m2 645.2 mm2 1.356 J 4.448 kN 4.448 N 0.2780 N 4.448 N s 0.3048 m 25.40 mm 1.609 km 28.35 g 0.4536 kg 14.59 kg 907.2 kg 1.356 N m 0.1130 N m 0.4162 106 mm4 1.356 kg m2 4.448 kg m/s 1.356 W 745.7 W 47.88 Pa 6.895 kPa 0.3048 m/s 0.0254 m/s 0.4470 m/s 1.609 km/h 0.02832 m3 16.39 cm3 3.785 L 0.9464 L 1.356 Jen los teoremas derivados de stos. Cada paso debe estar justificado con estas bases. Deben seguirse reglas estrictas que conduzcan a la solucin de una manera casi automtica, sin dejar lugar para la intuicin o sentimientos particulares. Despus de obtener una respuesta, sta debe verificarse. Aqu, de nuevo, se puede utilizar el sentido comn y la experiencia personal. Si el resultado obtenido no es completamente satisfactorio, debe verificarse en forma cuidadosa la formulacin del problema, la validez del mtodo utilizado para su solucin y la exactitud de los clculos. El planteamiento de un problema debe ser claro y preciso y contener los datos proporcionados, as como indicar la informacin que se requiere. Debe incluirse un dibujo claro que muestre todas las cantidades involucradas, as como un diagrama para cada uno de los cuerpos que participan, que indique en forma clara las fuerzas que actan sobre ellos. A estos diagramas se les conoce como diagramas de cuerpo libre y se describirn en detalle en las secciones 2.11 y 4.2. Los principios fundamentales de la mecnica que se enlistan en la seccin 1.2 se emplean para escribir ecuaciones que expresen las con- 38. BEER 01-ok:BEER 01 08/10/09 08:10 PM Pgina 13diciones de reposo o movimiento de los cuerpos considerados. Cada ecuacin debe estar relacionada en forma clara con uno de los diagramas de cuerpo libre. Despus se proceder a resolver el problema, observando en forma estricta las reglas usuales de lgebra y con el registro minucioso de los diferentes pasos dados. Despus de haber obtenido la respuesta, sta debe comprobarse con todo cuidado. Con frecuencia se pueden detectar errores en el razonamiento mediante la verificacin de las unidades. Por ejemplo, para determinar la magnitud del momento de una fuerza de 50 N sobre un punto a 0.60 m de su lnea de accin, se escribira (seccin 3.12)M Fd (50 N)(0.60 m) 30 N m La unidad N m que se obtiene al multiplicar newtons por metros es la unidad correcta para el momento de una fuerza; si se hubiera obtenido alguna otra unidad, se sabra que se cometi un error. Los errores de clculo por lo general se encontrarn al sustituir los valores numricos en una ecuacin que no haya sido usada y verificar si la ecuacin es correcta. No es posible exagerar la importancia de los clculos correctos en ingeniera. 1.6. EXACTITUD NUMRICALa exactitud en la solucin de un problema depende de dos factores: 1) la exactitud de los datos proporcionados y 2) la de los clculos desarrollados. La solucin no puede ser ms exacta que el menos exacto de estos dos factores; por ejemplo, si se sabe que la carga de un puente es de 75 000 lb con un posible error de 100 lb, el error relativo que mide el grado de precisin del dato es100 lb 0.0013 0.13 por ciento 75 000 lb Entonces, al calcular la reaccin en uno de los soportes del puente no tendra sentido anotarla como 14 322 lb. La exactitud de la solucin no puede ser mayor de 0.13 por ciento, sin importar con qu exactitud se realicen los clculos, y el error posible en la respuesta puede ser tan grande como (0.13100)(14 322 lb) 20 lb. La respuesta debera escribirse como 14 320 20 lb. En los problemas de ingeniera los datos rara vez se conocen con una exactitud mayor a 0.2 por ciento, por lo que casi nunca se justifica escribir las respuestas a dichos problemas con una exactitud mayor a 0.2 por ciento. Un criterio prctico es utilizar cuatro cifras para registrar nmeros que inicien con un 1 y tres cifras en todos los otros casos. A menos que se indique otra cosa, los datos proporcionados en un problema deben asumirse como conocidos con un grado de exactitud comparable. Por ejemplo, una fuerza de 40 lb se debera leer 40.0 lb, y una fuerza de 15 lb se debera leer 15.00 lb. Los ingenieros y estudiantes de ingeniera comnmente usan las calculadoras electrnicas de bolsillo. La exactitud y velocidad de stas facilita los clculos numricos en la solucin de muchos problemas. Sin embargo, los estudiantes no deben registrar ms cifras significativas de las que se pueden justificar, slo porque stas se pueden obtener fcilmente. Como se mencion con anterioridad, una exactitud mayor que 0.2 por ciento rara vez es necesaria o significativa en la solucin de problemas prcticos de ingeniera.1.6. Exactitud numrica13 39. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 14Muchos problemas de ingeniera se resuelven al tomar en cuenta el equilibrio de una partcula. En el caso de esta excavadora, que se estiba en un barco, puede obtenerse una relacin entre las tensiones de los diferentes cables empleados, al considerar el equilibrio del gancho con el que se unen los cables.14 40. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 15CAPTULO2Esttica de partculas15 41. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 162.1. INTRODUCCIN CAPTULO 2 ESTTICA DE PARTCULAS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.112.12 2.132.14 2.15Introduccin Fuerza sobre una partcula. Resultante de dos fuerzas Vectores Adicin o suma de vectores Resultante de varias fuerzas concurrentes Descomposicin de una fuerza en sus componentes Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios Adicin de fuerzas sumando sus componentes X y Y Equilibrio de una partcula Primera ley del movimiento de Newton Problemas relacionados con el equilibrio de una partcula. Diagramas de cuerpo libre Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio Fuerza definida en trminos de su magnitud y dos puntos sobre su lnea de accin Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio Equilibrio de una partcula en el espacioEn este captulo se estudiar el efecto de las fuerzas que actan sobre las partculas. Primero se aprender a sustituir dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula por una sola fuerza que tenga el mismo efecto que ellas. Esta fuerza equivalente sola es la resultante de las fuerzas varias que actan sobre la partcula. Despus se derivarn las relaciones que existen entre las distintas fuerzas que actan sobre una partcula en un estado de equilibrio y se usarn para determinar algunas de las fuerzas que actan sobre dicha partcula. El uso de la palabra partcula no significa que este captulo se limite al estudio de pequeos corpsculos. Quiere decir que el tamao y la forma de los cuerpos en consideracin no afectar en la solucin de los problemas tratados en este captulo, y que todas las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo dado se supondrn aplicadas en un mismo punto. Puesto que tal suposicin se verifica en muchas aplicaciones prcticas, se podrn resolver un buen nmero de problemas de ingeniera. La primera parte de este captulo est dedicada al estudio de las fuerzas obtenidas en un mismo plano y la segunda al anlisis de las fuerzas en el espacio tridimensional.FUERZAS EN UN PLANO 2.2. FUERZA SOBRE UNA PARTCULA. RESULTANTE DE DOS FUERZASUna fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicacin, magnitud o mdulo y direccin. Pero las fuerzas sobre una partcula tienen el mismo punto de aplicacin. Por tanto, cada fuerza considerada en este captulo estar completamente definida por su magnitud o mdulo y direccin. La magnitud o mdulo de una fuerza se caracteriza por cierto nmero de unidades. Como se indic en el captulo 1, las unidades del SI usadas por los ingenieros para medir la magnitud de una fuerza son el newton (N) y su mltiplo el kilonewton (kN), igual a 1 000 N, mientras que las unidades del sistema de uso comn en Estados Unidos, empleadas con el mismo fin, son la libra (lb) y su mltiplo la kilolibra (kip), igual a 1 000 lb. La direccin de una fuerza se define por la lnea de accin y el sentido de la fuerza. La lnea de accin es la lnea recta infinita a lo largo de la cual acta la fuerza; se caracteriza por el ngulo que forma con algn eje fijo (figura 2.1).10lb30AFigura 2.11610a)lb30Ab) 42. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 17La fuerza en s se representa por un segmento de esa lnea; mediante el uso de una escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representar la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definicin de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las mostradas en las figuras 2.1a y b, que tienen la misma magnitud y la misma lnea de accin pero diferente sentido, tendrn efectos opuestos sobre una partcula. La evidencia experimental muestra que dos fuerzas P y Q que actan sobre una partcula A (figura 2.2a) pueden sustituirse por una sola fuerza R que produce el mismo efecto sobre la partcula (figura 2.2c). A esta fuerza se le llama resultante de las fuerzas P y Q y puede obtenerse, como se muestra en la figura 2.2b, construyendo un paralelogramo con P y Q como lados. La diagonal que pasa por A representa la resultante. Esto se conoce como la ley del paralelogramo para la adicin de dos fuerzas, y se basa en la evidencia experimental; no puede probarse ni derivarse de manera matemtica.2.3. VectoresPAQ a)PARQ b)2.3. VECTORESEn apariencia las fuerzas no obedecen las reglas de la adicin definidas en la aritmtica o en el lgebra ordinaria. Por ejemplo, dos fuerzas que actan formando un ngulo recto, una de 4 lb y otra de 3 lb, suman una fuerza de 5 lb y no una de 7 lb. La fuerzas no son las nicas cantidades que siguen la ley del paralelogramo para la adicin. Como se ver ms adelante, los desplazamientos, velocidades, aceleraciones y momentos son otros ejemplos de cantidades fsicas que poseen magnitud y direccin y que se suman siguiendo la ley del paralelogramo. Estas cantidades pueden representarse matemticamente por vectores, mientras que aquellas cantidades fsicas que no tienen direccin, como volumen, masa o energa se representan por nmeros ordinarios o escalares. Los vectores se definen como expresiones matemticas que poseen magnitud, direccin y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan por flechas en las ilustraciones y se distinguen de las cantidades escalares en este texto mediante el uso de negritas (P). En la escritura a mano, un vector puede caracterizarse dibujando una pequea flecha arriba de la letra usada para representarlo (P) o subrayando la letra (P). El l timo mtodo es preferible puesto que el subrayado tambin puede usarse en una mquina de escribir o computadora. La magnitud de un vector determina la longitud de la flecha correspondiente. En este libro se usarn letras cursivas para representar la magnitud de un vector. As, la magnitud del vector P se representa como P. Un vector con el que se representa una fuerza que acta sobre una partcula tiene un punto de aplicacin bien definido, a saber, la partcula misma. A tal vector se le llama vector fijo o ligado, y no puede cambiarse su posicin sin modificar las condiciones del problema. Sin embargo, otras cantidades fsicas, como los pares (vase captulo 3), se pueden representar por vectores que pueden moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les conoce como libres. Existen otras cantidades fsicas, como las fuerzas sobre un cuerpo rgido (vase captu-R A c) Figura 2.217 43. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 1818Esttica de partculasP PFigura 2.4lo 3), que estn representadas por vectores que pueden moverse o resbalar a lo largo de su lnea de accin; a stos se les conoce como vectores deslizantes. Dos vectores de la misma magnitud, direccin y sentido se dice que son iguales, tengan o no el mismo punto de aplicacin (figura 2.4); los vectores iguales pueden representarse por la misma letra. El vector negativo de un vector P se define como aquel que tiene la misma magnitud que P y una direccin opuesta a la de P (figura 2.5); el negativo del vector P se representa por P. A los vectores P y P se les llama vectores iguales y opuestos. Se tienePP (P) 0 2.4. ADICIN O SUMA DE VECTORESP Figura 2.5P P+Q AQFigura 2.6En la seccin anterior se vio que, por definicin, los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. As, la suma de dos vectores P y Q se obtiene uniendo los dos vectores al mismo punto A y construyendo un paralelogramo que tenga por lados a P y a Q (figura 2.6). La diagonal que pasa por A representa la suma vectorial de P y Q, y se representa por P Q. El hecho de que el signo se use para representar tanto la suma vectorial como la escalar no debe causar ninguna confusin, si las cantidades vectoriales y escalares siempre se distinguen con cuidado. De esta manera, se debe notar que la magnitud del vector P Q no es, en general, igual a la suma P Q de las magnitudes de los vectores P y Q. Puesto que el paralelogramo construido con los vectores P y Q no depende del orden en que P y Q se seleccionen, se concluye que la adicin de dos vectores es conmutativa, y se escribePQQP(2.1)A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro mtodo para determinar la suma de dos vectores. Este mtodo llamado Algunas expresiones tienen magnitud y direccin pero no se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Aunque tales expresiones se pueden representar por medio de flechas, no se pueden considerar vectores. Un grupo de expresiones de este tipo son las rotaciones finitas de un cuerpo rgido. Coloque un libro cerrado enfrente de usted sobre una mesa de manera que se encuentre en la forma habitual, con la portada hacia arriba y el lomo hacia la izquierda. Ahora rote el libro 180 con respecto a un eje paralelo al lomo (figura 2.3a); esta rotacin puede ser representada por una flecha orientada, como se muestra en la figura, cuya longitud es igual a 180 unidades. Tomando el libro tal y como se encuentra en su nueva posicin, rtelo=180=180 a) Figura 2.3 Rotaciones finitas de un cuerpo rgidob) 44. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 19regla del tringulo se obtiene como sigue: considrese la figura 2.6, donde la suma de los vectores P y Q ha sido determinada por la ley del paralelogramo. Puesto que el lado del paralelogramo opuesto a Q es igual a Q en magnitud y direccin, se podra dibujar slo la mitad del paralelogramo (figura 2.7a). De esta manera, la suma de los dos vectores puede encontrarse colocando P y Q de punta a cola y uniendo la cola de P con la punta de Q. En la figura 2.7b se considera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el mismo resultado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial es conmutativa. La resta de un vector se define como la adicin del vector negativo correspondiente. De manera que el vector P Q que representa la diferencia de los vectores P y Q se obtiene agregndole a P el vector negativo Q (figura 2.8). Se escribeQPAPa)a)yxc)180x180 zz d)PQahora 180 alrededor de un eje horizontal perpendicular al lomo (figura 2.3b); esta segunda rotacin puede ser representada por medio de una flecha cuya longitud es igual a 180 unidades, orientada como se muestra en la figura. Sin embargo, el libro podra haberse colocado en esta posicin final aplicando una sola rotacin de 180 con respecto a un eje vertical (figura 2.3c). Se concluye que la suma de las dos rotaciones de 180 representadas por flechas rgidas, respectivamente, a lo largo de los ejes z y x, es una rotacin de 180 representada por una flecha dirigida a lo largo del eje y (figura 2.3d). Es obvio que las rotaciones finitas de un cuerpo rgido no obedecen la ley del paralelogramo para la adicin; por tanto, stas no pueden ser representadas por medio de vectores.180QQPEn forma semejante, la suma de cuatro vectores se obtiene agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Por consiguiente, la suma de cualquier nmero de vectores se puede obtener al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean sustituidos por uno solo.=PQ(2.3)=QFigura 2.7Figura 2.8180+b)Aqu se debe observar otra vez que aunque se usa el mismo signo para representar tanto la sustraccin vectorial como la escalar, se evitarn confusiones si se tiene cuidado en distinguir entre cantidades vectoriales y escalares. Ahora se considerar la suma de tres o ms vectores. La suma de tres vectores P, Q y S se obtendr por definicin, sumando primero los vectores P y Q y agregando el vector S al vector P Q. De manera queyQPA(2.2)P Q S (P Q) S+PP Q P (Q)2.4. Adicin o suma de vectoresb)19 45. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 20Si los vectores dados son coplanares, es decir, si estn contenidos en el mismo plano, su suma puede obtenerse fcilmente en forma grfica. En ese caso, se prefiere la aplicacin repetida de la regla del tringulo en vez de la ley del paralelogramo. En la figura 2.9 la suma de los tres vectores P, Q y S se obtuvo de esta forma: la regla del tringulo se aplic primero para obtener la suma P Q de los vectores P y Q; y volvi a aplicarse para obtener la suma de los vectores P Q y S. Sin embargo, la determinacin del vector P Q pudo haberse omitido; obtenindose directamente la suma de los tres vectores, como se muestra en la figura 2.10, acomodando los vectores en la forma de cola a punta y conectando la cola del primer vector con la punta del ltimo. sta se conoce como la regla del polgono para la adicin de vectores. Se observa que el resultado obtenido permanecer sin cambio si, como se muestra en la figura 2.11, los vectores Q y S se hubieran reemplazado por la suma de Q S. Entonces se puede escribirEsttica de partculasQ+QSPP20P+Q+SA Figura 2.9QSP P+P Q S (P Q) S P (Q S)S Q+(2.4)esta ecuacin expresa el hecho de que la adicin de vectores es asociativa. Es importante recordar que ya se demostr que la suma vectorial de dos vectores es tambin conmutativa, por lo que se escribeA Figura 2.10QP Q S (P Q) S S (P Q) S (Q P) S Q PS Q+SP P+Q+(2.5)Esta expresin, junto con otras que pudieran obtenerse en la misma forma, muestra que el orden en que se sumen varios vectores no importa (figura 2.12).SA Figura 2.11QSS Q+ P+ +P +Q =SPA SQFigura 2.12P1.5 P2 P Figura 2.13PProducto de un escalar y un vector. Como es conveniente representar la suma P P como 2P, a la suma P P P como 3P, y en general a la suma de n vectores P iguales como el producto nP, se definir el producto nP de un entero positivo n y un vector P, como un vector que tiene la misma direccin que P y magnitud nP (lase n veces P). Al ampliar esta definicin para incluir a todos los escalares y si recordamos la definicin de un vector negativo dada en la seccin 2.3, se define el producto kP de un escalar k y un vector P como un vector que tiene la misma direccin y sentido que P (si k es positivo), o la misma direccin pero sentido opuesto al de P (si k es negativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k (figura 2.13). 2.5. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTESConsidrese una partcula A sujeta a varias fuerzas coplanares, es decir, a varias fuerzas contenidas en el mismo plano (figura 2.14a). Como todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas que actan sobre A pueden sumarse con la regla del polgono (figura 2.14b). Puesto que el uso de la regla del polgono es equivalente a la aplicacin repetida de la ley del paralelogramo, el vector R obtenido representa la resultante de las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre la partcula A que las fuerzas dadas. Como se in- 46. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 212.6. Descomposicin de una fuerza en sus componentesQ P PSS AQQRFA a)Qb)Figura 2.14F AAPPb)a)dic antes, no importa el orden en el que se sumen los vectores P, Q y S que representan las fuerzas sobre la partcula. Q F2.6. DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTESSe ha visto que dos o ms fuerzas que actan sobre una partcula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partcula. De la misma manera, una sola fuerza F que acta sobre una partcula puede reemplazarse por dos o ms fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partcula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposicin de la fuerza F en sus componentes. En este sentido, para cada fuerza F existe un nmero infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos componentes P y Q son los ms importantes en cuanto a aplicaciones prcticas se refiere. Pero aun en este caso, el nmero de formas en las que una fuerza F puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (figura 2.15). Dos casos son de especial inters:1. Una de las dos componentes, P, se conoce. La segunda componente, Q, se obtiene aplicando la regla del tringulo y uniendo la punta de P a la punta de F (figura 2.16); la magnitud, la direccin y el sentido de Q se determinan grficamente o por trigonometra. Una vez que Q se ha determinado, ambas componentes P y Q deben aplicarse en A. 2. Se conoce la lnea de accin de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y trazando lneas, por la punta de F, paralelas a las lneas de accin dadas (figura 2.17). De esta forma se obtienen dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse grficamente o por trigonometra aplicando la ley de los senos. Pueden encontrarse muchos otros casos; por ejemplo, cuando la direccin de una de las componentes se conoce y se busca que la magnitud de la otra sea lo ms pequea posible (vase problema resuelto 2.2). En todos los casos se traza un tringulo o un paralelogramo adecuado que satisfaga las condiciones.A P c) Figura 2.15Q PFAFigura 2.16Q F A PFigura 2.1721 47. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 22Q = 60 N 25PROBLEMA RESUELTO 2.1P = 40 NLas dos fuerzas P y Q actan sobre el perno A. Determnese su resultante.20ASOLUCIN Solucin grfica. Dibuje a escala un paralelogramo con lados iguales a P y Q. La magnitud y la direccin de la resultante se miden y se encuentra que son R 98 N 35 R 98 N a35RQPATambin puede usarse la regla del tringulo. Las fuerzas P y Q se dibujan de punta a cola y otra vez se obtienen la magnitud y la direccin de la resultante por medicin directa.aR 98 NR2 P2 Q2 2PQ cos B R2 (40 N)2 (60 N)2 2(40 N)(60 N) cos 155 R 97.73 NQPAhora con la aplicacin de la ley de los senos, se escribe sen A sen B Q R25155 a 20(1)(60 N) sen 155 sen A 97.73 NQ = 60 NRsen A sen 155 97.73 N 60 NAl resolver la ecuacin (1) para el seno de A, se tieneCAR 98 N a35Solucin trigonomtrica. Se usa otra vez la regla del tringulo; los dos lados y el ngulo que se forma entre ellos se conocen. Se aplica la ley de los cosenos.RA 35Con la calculadora se obtiene primero el cociente, luego su arco seno y el resultado es A 15.04 20 A 35.04B P = 40 NCon el uso de tres cifras significativas para escribir el reultado (vase seccin 1.6): R 97.7 N a35.0C 25.36Q = 60 N 25RSolucin trigonomtrica alternativa. Se construye el tringulo rectngulo BCD y se calcula CD (60 N) sen 25 25.36 N BD (60 N) cos 25 54.38 NDB Aa 20 4054.38Al usar entonces el tringulo ACD, se obtiene94.3825.36 N tan A 94.38 N 25.36 R sen A Otra vez,22A 15.04 R 97.73 N 20 A 35.04R 97.7 N a35.0 48. 02Chapter02-Beer-Esttica.qxd:Beer 02.qxd 08/10/09 08:23 PM Pgina 23PROBLEMA RESUELTO 2.2 A 1BUn lanchn es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5 000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchn, determine: a) la tensin en cada una de las cuerdas, sabiendo que 45, y b) el valor de tal que la tensin en la cuerda 2 sea mnima.30 a2 CSOLUCIN T1a) Tensin para .54 Solucin grfica. Se emplea la ley del paralelogramo; la diagonal