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Mecânica Quântica & Tecnologia
Escola de Verão de Física 2011
Bruno Amorim
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Resumo do curso
Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda As Regras do Jogo Tecnologia Quântica
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Porquê Mecânica Quântica?
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“Quantum mechanics is the description of the behaviour of matter and light in all its details and, in particular, of the happenings on an atomic scale. Things on a very small scale behave like nothing that you have any direct experience about. They do not behave like waves, they do not behave like particles, they do not behave like clouds, or billiard balls, or weights, or like anything that you have ever seen.”
em The Feynman Lectures on Physics
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“There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement.”
Lord Kelvin (?)
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Final século XIX – Início do século XX
Três problemas... Átomo de hidrogénio Radiação de corpo negro Efeito fotoeléctrico
Porquê mecânica quântica?
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Átomo de hidrogénioPorquê mecânica quântica?
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Átomo de hidrogénio
1909, Geigner-Marsden:
átomo é constituído por núcleo rodeado de electrões
Modelo de Rutherford: átomo é análogo a sistema solar
Problemas Não explica riscas do espectro Átomo devia ser instável
Porquê mecânica quântica?
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Radiação de Corpo NegroPorquê mecânica quântica?
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Radiação de Corpo Negro
Um corpo quando aquecido emite radiação À medida que o corpo aquece o brilho torna-se
mais intenso e azulado Um corpo negro é um objecto que absorve toda
a radiação que nele incide, também é um radiador perfeito
Porquê mecânica quântica?
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Radiação de Corpo NegroPorquê mecânica quântica?
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Radiação de Corpo Negro
Em 1900, Max Planck consegue
explicar o espectro observado Recorre à ideia de osciladores
em equilíbrio com radiação Postulado de Planck:
Energia dos osciladores é um múltiplo da quantidade
E=h ν
Constante de Planckh=6,6×10−34 J.s
Porquê mecânica quântica?
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Radiação de Corpo Negro
Radiação cósmica de fundo é o corpo negro mais perfeito conhecido
Porquê mecânica quântica?
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Efeito fotoeléctricoPorquê mecânica quântica?
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Efeito fotoeléctrico
Descoberto em 1887 por Hertz. Explorado por Philipp Lenard em 1900
O que se esperava: Energia dos electrões
proporcional a intensidade de luz
Emissão de electrões ocorre para qualquer frequência da luz
Porquê mecânica quântica?
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Efeito fotoeléctrico
O que se verificou: Energia dos electrões é
independente de intensidade
Não há emissão de electrões abaixo de uma frequência característica do metal
Δ t<10−9 s
Número de electrões é proporcional a intensidade da luz
Emissão é instantânea ( )
Porquê mecânica quântica?
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Efeito fotoeléctrico
Em 1905, Einstein explicou
efeito fotoeléctrico Levou mais longe a ideia de quantificação de
Planck Luz existe em pacotes discretos, quanta (mais
tarde designados por fotões) Cada quantum tem energia Equação de Einstein:
E=h ν
eV s=12
m v2=h ν−ϕ
Porquê mecânica quântica?
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Luz, que se pensava ser uma onda, parece comportar-se como uma partícula!
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Mas afinal o que é uma partícula?
E o que é uma onda?
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Partícula vs Onda
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Partícula vs Onda
Construtiva Destrutiva
Sobreposição de ondas Interferência!
Ondas: Interferência
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Partícula vs Onda
Partículas: Contáveis Podemos contar berlindes (1, 2, 3...) Não faz sentido falar em meio berlinde Quando dois berlindes colidem, não dão
origem a um berlinde maior, nem se aniquilam
Partículas são contáveis!
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Partícula vs Onda
Experiência da Dupla Fenda
Fonte
Fenda 1
Fenda 2
Alvo
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Experiência da Dupla Fenda
Com balas (partículas)
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Com balas (partículas)
N 1
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Com balas (partículas)
N 2
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Com balas (partículas)
N 1,2=N 1+N 2
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Com ondas
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Intensidade é proporcional a Altura2
Com ondas
I 1
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Intensidade é proporcional a Altura2
Com ondas
I 2
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Intensidade é proporcional a Altura2
Com ondas
I 1,2≠ I 1+ I 2
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Interferência construtiva
Com ondas
Δ x=n λ
Partícula vs Onda
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Experiência da Dupla Fenda
Interferência destrutiva
Com ondas
Δ x=(n+12 )λ
Partícula vs Onda
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O que acontece se fizermos a experiência da dupla fenda com electrões?
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Experiência da Dupla Fenda
Com electrões
Um de cada vez!
Fonte de electrões
Partícula vs Onda
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Partícula vs Onda
Electrões chegam em pacotes individuais – Partículas
Temos um padrão de interferência – Ondas Onde o próximo electrão é detectado é
independente dos electrões anteriores
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Partícula vs Onda
Electrão interfere consigo próprio Impossível dizer por qual fenda passou Modificação: Introduzir detectores nas fendas
para detectar por qual o electrão passou Padrão de interferência desaparece! Electrão passa só pela fenda onde foi detectado
Colapso
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Partícula vs Onda
Más notícias: Electrões não de comportam como
partículas nem como ondas!
Boas notícias: Electrões comportam-se como fotões,
neutrões, buckyballs (C60
), ...
Dualidade Onda - Partícula
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As Regras do Jogo
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As Regras do Jogo
Dualidade Onda-Partícula O que ondula no electrão??
, Função de Ondaψ(x)
Função de onda evolui de acordo com Equação de Schrödinger
= Probabilidade de electrão ser detectado na posição x
∣ψ(x)∣2
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As Regras do Jogo
Em Mecânica Quântica só podemos calcular a probabilidade de obter um certo resultado numa medição
Desistimos de tentar prever o que acontece entre medições
(e achamos que tal é impossível...) Quando fazemos uma medição, o electrão fica
no estado em que obtemos na medição
Colapso da Função de Onda
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As Regras do Jogo
Qual é o comprimento de onda
de um electrão?
λ=hp
Momento linearp=m v
Em 1927, Davisson e Germer confirmam:
electrões a incidir em níquel cristalino
Em 1924, Louis de Broglie propõe:
λ
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As Regras do Jogo
Electrão tem associada onda A frequência e comprimento de onda são
dados por:
ψ(x)
E=h ν p=hλ
Relação de Planck-Einstein Relação de de Broglie
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Princípio da Incerteza
Facto matemático: Funções (porreiras) podem ser escritas como uma
soma de senos e cossenos
Quanto mais localizada uma função no espaço for, mais senos e cossenos temos de somar!
Princípio de Incerteza de Fourier
Δ x.Δ k⩾12
(k=2πλ )
As regras do jogo
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Princípio da Incerteza
Recordando a relação de de Broglie:
Limite fundamental às medições que podemos fazer
Melhorar os aparelhos de medida não resolve isto!
Princípio de Incerteza de Heisenberg
Δ x.Δ p⩾h
4 π
As regras do jogo
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Partícula numa caixa
Ondas estacionárias:
As regras do jogo
λ
L=n λ2
Quantificação de energia
E n=h2
8 m L2 n2 ,
n=1
n=2
n=3
n=4
ψn(x)=√ 2L
sin (πL
n x )
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Partícula numa caixa
Ondas estacionárias:
As regras do jogo
λ
L=n λ2
Quantificação de energia
E n=h2
8 m L2 n2 ,
n=1
n=2
n=3
n=4
ψn(x)=√ 2L
sin (πL
n x )Número quântico
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Átomo de hidrogénio
Movimento circular
Onda estacionária
Relação de de Broglie
F centrípta=F elétrica⇒mv2
R=k
e2
R2
2π R=nλ
m v=h /λ
Quantificação de Energia
E n=12
m v²−ke2
R=−
RH
n2 , RH=2π
2 k 2 e4 mh2 ≈13,6eV
As regras do jogo
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Átomo de hodrogénio
Linhas espectrais:
h ν=hcλ
=Δ E=RH ( 1
n2−1
m2 )
Estado fundamental
Electrão livre
−RH
−RH /4
−RH /9
E
As regras do jogo
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Átomo de hidrogénio
Solução completa → Equação de Schrödinger Números quânticos: n, l, m, s ψ( r⃗)=Rn , l (r)Y l
m(θ ,ϕ)
l=0
l=1
l=2
As regras do jogo
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Spin Número quântico s ?? Spin do electrão → Momento angular
intrínseco (“rotação”)
Cada electrão actua como um pequeno íman!
As regras do jogo
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Spin
Alinhamento de spins electrónicos → Ferromagnetismo!
As regras do jogo
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Efeito de túnelAs regras do jogo
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Efeito de túnel
Partícula clássica: , Ondas: Conseguem atravessar barreiras (de
material diferente) Mecânica quântica:
E=Ec+E p Ec⩾0⇒ E⩾E p
E>E p Função de onda oscila
E<E p Função de onda decai
Há uma probabilidade de partícula atravessar barreira!
As regras do jogo
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![Page 62: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/62.jpg)
Efeitos quânticos no dia-a-dia?
Constante de Planck é muito pequena!
Comprimento de onda de uma pessoa: 1 m/s 70 kg
h=6,6×10−34 J.s
λ=h
m v=
6,6×10−34
70×1∼10−35 m
As regras do jogo
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Tecnologia Quântica
Quantum dots Laser Microscópio electrónico de varrimento Microscópio de efeito de túnel Metais, Isoladores & Semicondutores Supercondutividade Computação quântica
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Quantum dots
Confinamento 3D de electrão Níveis de energia quantificados
Estruturas fabricadas com algumas centenas - milhares de átomos5 - 50 nm
E∝n2
L2
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Quantum dots
Aplicações Computação quântica Células fotovoltaicas LED's Imagiologia em biologia e medicina
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Quantum dots
![Page 67: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/67.jpg)
Laser
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
1960, primeiro laser funcional De rubi, por Theodore H. Maiman
Laser permite obter: Coerência Brilho Direcionalidade Monocromaticidade (uma frequência) Impulsos de curta duração
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Laser
Interacção luz-matéria: Absorção Emissão espontânea Emissão estimulada
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Laser
Absorção
h ν=Δ E=E 2−E1
Fotão
Electrão
νE1
E 2
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Laser
Absorção
ν
h ν=Δ E=E 2−E1
E1
E 2
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Laser
Absorção
h ν=Δ E=E 2−E1
E1
E 2
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Laser
Absorção
h ν=Δ E=E 2−E1
E1
E 2
![Page 73: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/73.jpg)
Laser
Emissão espontânea
E1
E 2
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Laser
Emissão espontânea
E1
E 2
![Page 75: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/75.jpg)
Laser
Emissão espontânea
E1
E 2
h ν=Δ E=E 2−E1
Fotão ν
Fotão é emitido em direcção aleatória
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Laser
Emissão estimulada
E1
E 2
h ν=Δ E=E 2−E1
ν
![Page 77: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/77.jpg)
Laser
Emissão estimulada
E1
E 2
h ν=Δ E=E 2−E1
ν
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Laser
Emissão estimulada
E1
E 2
h ν=Δ E=E 2−E1
ν
ν
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Laser
Emissão estimulada
E1
E 2
h ν=Δ E=E 2−E1
ν
ν
Fotão é emitido com a mesma frequência e na mesma direcção que o fotão incidente!
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
Bombagem
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
Bombagem
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
Bombagem
![Page 83: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/83.jpg)
Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
![Page 84: Mecânica Quântica & Tecnologia - A Escolae-fisica.fc.up.pt/edicoes/7a-edicao/...tecnologia/MecanicaQuantica.pdf · Resumo do curso Porquê Mecânica Quântica? Partícula vs Onda](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022021721/5bf3ce7409d3f2be5a8bdad7/html5/thumbnails/84.jpg)
Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3Decaimento rápidoEmissão espontânea
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3Decaimento rápidoEmissão espontânea
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
h ν=Δ E=E 2−E1
Emissão estimulada
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3 Emissão estimulada
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3 Emissão estimulada
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Laser
Mecanismo (laser de 3 níveis)
E1
E 2
E3
Reacção em cadeia!
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Laser
Cavidade
Espelho 100%
Bombagem
Espelho <100%
Meio activo
Feixe de laser
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Laser
Aplicações Corte Soldadura Medicina Sensores Comunicação óptica …
,
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Microscópio electrónico de varrimento
Usa electrões em vez de fotões
Energia dos electrões:
0,5 a 40 keV (~10 keV)
Resolução de 1 a 20 nm
Ampliação de 10 a 500 000 vezes
λ=h
√2 m E∼10−11 m=0.01 nm
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Microscópio electrónico de varrimento
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Microscópio electrónico de varrimento
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Microscópio de efeito de túnelInventado em 1981 por Gerd Binnig & Heinrich Rohrer
(prémio Nobel 1986)
Varrimento da ponta Altura constante → densidade de carga
Currente constante → altura
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Microscópio de efeito de túnel
Também pode ser usada para manipular átomos individuais
35 átomos de Xénon sobre Níquel
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Microscópio de efeito de túnel
Átomos de Ferro sobre Cobre
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Interlúdio: Fermiões & Bosões
Facto da Natureza:
Há dois tipos de partículas: Fermiões
Só pode existir uma partícula num dado estado (orbital + spin) – Princípio de exclusão de Pauli
Ex: electrão Bosões
Podem existir várias partículas no mesmo estado
Ex: fotão
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Metais, Isoladores & Semicondutores
Num cristal, electrões de valência são partilhados por todos os átomos
Cristal perfeito (periódico): função de onda do electrão espalha-se por todo o cristal
Energia do electrão quase não é afectada pelo cristal
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Metais, Isoladores & Semicondutores
Em equilíbrioAplicando diferença de potencial
E
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Metais, Isoladores & Semicondutores
Efeito do cristal é importante quando
Surge hiato de energia
λ=2a
a a
Δ
E
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Metais, Isoladores & Semicondutores
E
Δ Δ
Metal Isolador
Δ
Semicondutor
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Metais, Isoladores & Semicondutores
Metal
Resistência tem origem em choques com:
Impurezas Vibrações térmicas da rede cristalina
Semicondutor
Energia térmica é suficiente para promover electrões para banda de condução
Dopar com outros átomos → aumenta condutividade
Esta na base da electrónica moderna: junções p-n, transístor
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Supercondutividade
Descoberta em 1911, por Kammerlingh Onnes Resistividade de mercúrio vai a zero aos 4,2 K
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Supercondutividade
Condutores perfeitos: conseguem manter uma corrente, mesmo sem voltagem aplicada
Tempo de vida da corrente: Evidência experimental: 100 000 anos Previsões teóricas: superior à idade do universo
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Supercondutividade
Efeito de Meissner: expulsão de campo magnético
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Supercondutividade
Interacções entre electrões → formação de pares de Cooper
Destruir par de Cooper custa energia
A baixa temperatura, energia térmica não consegue destruir par
Pares de Cooper condensam
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Supercondutividade
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Supercondutividade
Aplicações
Ímanes supercondutores: Ressonância magnética Aceleradores de partículas
SQUID (Superconducting Quantum Interference Device): magnetómetro
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Computação quântica
Computação clássica informação é armazenada em bits
Estados possíveis: 0 ou 1
Ex: 17 em binário é 10001
Computação quântica Informação armazenada em qubits (quantum bit)
Estados possíveis: sobreposições de 0 e 1
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Computação quânticaO que pode ser um qubit?
Spin de um electrão / núcleo Polarização de um fotão Níveis de energia de um átomo
Possíveis implementações físicas de um computador quântico:
Armadilhas de iões Ressonância magnética nuclear (NMR) Quantum dots Computadores quânticos ópticos Supercondutores
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Computação quântica
Critérios de David DiVicenzo: Escalável (aumentar número de qubits) Inicializar qubits para certo valor Operações (gates) mais rápidos do que tempo de
decoerência Conjunto de operações universal Fácil leitura de qubits
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Computação quântica
Estado de um qubit:
∣ψ⟩=α∣0 ⟩+β∣1 ⟩ ∣α∣2+∣β∣2=1,
Esfera de Bloch:
∣ψ⟩=cos ( θ2 )∣0 ⟩+ei ϕsin (θ2 )∣1 ⟩
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Exemplo de sobreposição quântica:
Polarização de um fotão
Computação quântica
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Exemplo de sobreposição quântica:
Polarização de um fotãoBase Horizontal / Vertical
Computação quântica
∣H ⟩ ∣V ⟩
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Exemplo de sobreposição quântica:
Polarização de um fotãoBase +45º / -45º
Computação quântica
∣+45º ⟩ ∣−45º ⟩
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Exemplo de sobreposição quântica:
Polarização de um fotão
Computação quântica
∣+45º ⟩=1
√2(∣H ⟩+∣V ⟩ ) ∣−45º ⟩=
1
√2(∣H ⟩−∣V ⟩ )
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Computação quântica
Potenciais usos: Algoritmo de Shor: factorização de números Algoritmo de Groover: procura numa base de
dados Simulação quântica de muitos corpos
2001, grupo da IBM Implementação do algoritmo de Shor:
Conseguem factorizar 15 = 5 x 3
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Computação quântica
Algoritmo de Deutsch-Jozsa Temos uma função, f, o oráculo que lê uma lista X
de N bits e devolve 0 ou 1 Sabemos que f é de um de dois tipos:
Constante: mesmo resultado para todos as listas Equilibrado: devolve 0 para metade das listas
possíveis e 1 para as restantes
Exemplo académico
Algoritmo de Deutsch-Jozsa Temos uma função, f, o oráculo que lê uma lista X
de N bits e devolve 0 ou 1 Sabemos que f é de um de dois tipos:
Constante: mesmo resultado para todos as listas Equilibrado: devolve 0 para metade das listas
possíveis e 1 para as restantes
Computador quântico necessita de avaliar f apenas UMA vez!
Computador clássico necessita de avaliar f 2N-1+1 vezes (pior dos casos)
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Computação quântica
H :∣0 ⟩ →1
√2(∣0 ⟩+∣1 ⟩ )
H :∣1 ⟩→1
√2(∣0 ⟩−∣1 ⟩ )
Resultado da medição:
∣00. ..0 ⟩ f é constante
f é equilibrado outro
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Computação Quântica
Encontrar sistemas físicos que permitam implementar computador quântico
Desenvolver algoritmos quânticos (que tiram proveito da sobreposição de estados)
Desenvolver códigos quânticos de correcção de erros
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Mecânica Quântica é fixe!!!