Mecânica Quântica: A equação de SchrödingerMecânica Quântica: A equação de Schrödinger

A nova mecânica deveria ter uma formulação A nova mecânica deveria ter uma formulação compatível compatível com os fatos:com os fatos:

1)1) quantização da radiação emitida por um corpo quantização da radiação emitida por um corpo negronegro

2)2) a quantização do átomo de Bohra quantização do átomo de Bohr

3)3) dualidade onda-partícula tanto para a luz quanto dualidade onda-partícula tanto para a luz quanto para o elétronpara o elétron

4)4) princípio da incerteza de Heizenbergprincípio da incerteza de Heizenberg

A primeira formulação para esta novaA primeira formulação para esta novateoria foi proposta pelo físico austríaco teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin SchrödingerErwin Schrödinger em em 19261926. .

De acordo com De acordo com SchrödingerSchrödinger devido a dualidade devido a dualidade onda-partícula da matéria, mesmo que uma partícula onda-partícula da matéria, mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará se mova em uma trajetória definida ela estará

distribuída distribuída em todo o espaçoem todo o espaço como uma onda. como uma onda.

Neste sentido, uma Neste sentido, uma ondaonda na mecânica quântica na mecânica quântica equivaleria ao conceito de equivaleria ao conceito de trajetóriatrajetória na mecânica na mecânica clássica e seria representada por uma função clássica e seria representada por uma função denominada função de onda, denominada função de onda, (psi). (psi).

Na Na mecânica de oscilaçõesmecânica de oscilações um movimento um movimento ondulatório é descrito por:ondulatório é descrito por:

Onde é o Onde é o número de ondanúmero de onda::

0)()( 2

2

2

xykdx

xyd

2

k

022

2

kdx

d

p

h

pk

22

h

p

m

pE

2

2

2h

mEp 2mE

k2

• Substituindo y(x) pela função de onda (x) temos:

)()(

2

0)(2)(

2

22

22

2

xEdx

xd

m

xmE

dx

xd

Esta é a equação de Schrödinger Schrödinger estacionária estacionária para partículas livres não relativísticas de massa para partículas livres não relativísticas de massa mm e energia e energia EE

Se a partícula está sujeita a ação de um Se a partícula está sujeita a ação de um campo de campo de forçasforças, associado a uma , associado a uma energia potencialenergia potencial V(x)V(x) temos:temos:

)(2

2

xVm

pE

)()()()(

2 2

22

xExxVdx

xd

m

Esta é a equação de Schrödinger Schrödinger para estadospara estados estacionários de energia estacionários de energia E E na presença de na presença de energia potencial energia potencial V(x)V(x)..

Não basta formular uma equação de ondas. E Não basta formular uma equação de ondas. E preciso saber preciso saber interpretá-lainterpretá-la::

1) A que corresponde a amplitude e a intensidade 1) A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda?da onda?

2) Qual a relação entre a onda e a partícula a ela 2) Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada?associada?

3) As soluções da equação são fisicamente 3) As soluções da equação são fisicamente aceitáveis?aceitáveis?

O problema consiste em associar novos conceitos O problema consiste em associar novos conceitos físicos relacionados a mecânica da escala físicos relacionados a mecânica da escala atômica.atômica.

Sendo o potencial constante uma possível Sendo o potencial constante uma possível soluçãosolução para para a equação a equação de SchrödingerSchrödinger, a qual pode ser obtida por , a qual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma:forma:

onde onde ii é um é um número complexo imaginárionúmero complexo imaginário. .

A solução da equação de A solução da equação de Schrödinger Schrödinger é portanto, uma é portanto, uma função de onda complexafunção de onda complexa. .

Como Como é uma função complexa (imaginária) ela não é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter deve ter significado físicosignificado físico e, portanto não pode ser e, portanto não pode ser medida em laboratóriomedida em laboratório. .

Apenas as grandezas ou observáveis Apenas as grandezas ou observáveis reaisreais têm têm significado físico e podem ser medidas em laboratório. significado físico e podem ser medidas em laboratório.

)sin()cos()( kxikxex ikx

Max BornMax Born foi o primeiro a dar uma foi o primeiro a dar uma interpretação, não a função de onda interpretação, não a função de onda em si mas ao seu em si mas ao seu quadradoquadrado..

O módulo da função de onda ao O módulo da função de onda ao quadrado quadrado é uma grandeza é uma grandeza não não complexacomplexa, portanto ele deve ter , portanto ele deve ter significado físicosignificado físico..

De acordo com De acordo com Max BornMax Born, para , para movimentos em uma única dimensão movimentos em uma única dimensão x,x, ele é uma probabilidade por ele é uma probabilidade por unidade unidade xx isto é: é a isto é: é a probabilidade probabilidade de que se encontre a partícula em de que se encontre a partícula em uma posição entreuma posição entre x e x + dxx e x + dx..

A mecânica quântica não é A mecânica quântica não é determinísticadeterminística, mas , mas probabilísticaprobabilística. Ela nos força a abandonar a noção . Ela nos força a abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e no espaço. no tempo e no espaço.

Devemos falar em termos de Devemos falar em termos de probabilidadesprobabilidades como como alternativa a configurações do sistema. alternativa a configurações do sistema.

Esta interpretação de Esta interpretação de fornece uma conexão fornece uma conexão estatísticaestatística entre a partícula e onda a ela associada; entre a partícula e onda a ela associada; ela nos diz onde a partícula ela nos diz onde a partícula provavelmenteprovavelmente estará e estará e não onde de fato está. não onde de fato está.

Para uma dada carga nuclear, à medida que o número Para uma dada carga nuclear, à medida que o número quântico principal aumentaquântico principal aumenta, as regiões de , as regiões de alta alta densidade eletrônicadensidade eletrônica se estendem cada vez mais se estendem cada vez mais além além do núcleodo núcleo. Pela mecânica quântica, encontramos que . Pela mecânica quântica, encontramos que o valor médio do raio é dado por:o valor médio do raio é dado por:

Orbitais do tipo sOrbitais do tipo s

O orbital com O orbital com n = 1n = 1, , l = 0l = 0, , m = 0m = 0 representa o representa o estado estado fundamental fundamental ou de mais baixa energia o ou de mais baixa energia o qual é descrito pela função de onda:qual é descrito pela função de onda:

Como este orbital depende apenas da Como este orbital depende apenas da coordenada coordenada rr então, ele é um orbital então, ele é um orbital esfericamente simétricoesfericamente simétrico. .

São mostradas duas alternativas de representar a nuvem eletrônica de um orbital s:

Probabilidade de encontrar o elétron (representada pela densidade de pontos) diminui à medida que nos afastamos do núcleo.

Representa o volume esférico no qual o elétron passa a maior parte do tempo.

Orbital tipo p A forma geométrica dos orbitais p é a de duas

esferas achatadas até o ponto de contato (o núcleo atômico ) e orientadas segundo os eixos de coordenadas.

Molécula de CMolécula de C22HH22

Partículas FundamentaisPartículas Fundamentais

A matéria que compõe todas as coisas no A matéria que compõe todas as coisas no universo é na verdade um conglomerado de universo é na verdade um conglomerado de alguns blocos alguns blocos fundamentaisfundamentais de construção da de construção da natureza.  natureza. 

""fundamentalfundamental"" é a palavra chave é a palavra chave

Os blocos fundamentais de construção são Os blocos fundamentais de construção são objetos que são objetos que são simples e sem estruturasimples e sem estrutura - não - não são constituídos por nada menor.  são constituídos por nada menor. 

O Núcleo é Fundamental?O Núcleo é Fundamental?

Por parecer Por parecer pequeno, sólido e densopequeno, sólido e denso, os pensou-, os pensou-se originalmente que o núcleo era se originalmente que o núcleo era fundamentalfundamental. .

Mais tarde, descobriram que ele era feito de Mais tarde, descobriram que ele era feito de prótons (p),prótons (p), que são carregados positivamente, e que são carregados positivamente, e nêutrons (n),nêutrons (n), que não têm carga. que não têm carga.

Os prótons e os nêutrons são Os prótons e os nêutrons são fundamentais?fundamentais?

Não!!Não!! Prótons e nêutrons são compostos de Prótons e nêutrons são compostos de partículas ainda menores, chamadas partículas ainda menores, chamadas quarksquarks. .

Até onde sabe-seAté onde sabe-se, os , os quarksquarks são como os pontos são como os pontos na geometria. Eles não são compostos de nada na geometria. Eles não são compostos de nada mais.  mais. 

Atualmente, suspeita-se que os quarks e o elétron são fundamentais.

Modelo atômico moderno.Modelo atômico moderno.

Os Os elétronselétrons estão em constante movimento em estão em constante movimento em torno do torno do núcleonúcleo; os ; os prótonsprótons e os e os nêutrons nêutrons vibram vibram dentro do núcleo e os dentro do núcleo e os quarks quarks vibram dentro dos vibram dentro dos prótons e nêutrons. prótons e nêutrons.

A Escala do ÁtomoA Escala do Átomo

A figura anterior está bastante A figura anterior está bastante distorcida. Para desenhar o átomo em distorcida. Para desenhar o átomo em escala comescala com prótons prótons e e nêutronsnêutrons com um com um centímetro de diâmetro, então os centímetro de diâmetro, então os elétronselétrons e e quarksquarks deveriam ter um deveriam ter um diâmetro menor do que o de um diâmetro menor do que o de um fio de fio de cabelocabelo e o diâmetro do átomo inteiro e o diâmetro do átomo inteiro deveria ser maior que o comprimento de deveria ser maior que o comprimento de trinta campos de futeboltrinta campos de futebol! !

99,999999999999%99,999999999999% do volume de um do volume de um átomo é apenas espaço vazio!átomo é apenas espaço vazio!

    O núcleo é dez mil vezes menor que o O núcleo é dez mil vezes menor que o

átomo, e os átomo, e os quarksquarks e e elétronselétrons são pelo são pelo menos dez vezes menores que eles. menos dez vezes menores que eles.

Não sabe-se exatamente quão menores Não sabe-se exatamente quão menores os os quarksquarks e e elétronselétrons são; eles são são; eles são definitivamente definitivamente menores que 10menores que 10-18-18 metrosmetros. .

O Modelo PadrãoO Modelo Padrão

A teoria chamada A teoria chamada Modelo PadrãoModelo Padrão,, explica o que explica o que é é o mundoo mundo e o que e o que o mantém unidoo mantém unido. .

É uma teoria simples e compreensível que explica É uma teoria simples e compreensível que explica todas as centenas de partículas e interações todas as centenas de partículas e interações complexas com apenas: complexas com apenas:

6 quarks6 quarks. .  6 léptons6 léptons. O lépton mais conhecido é o elétron.   . O lépton mais conhecido é o elétron.   Partículas transportadoras de forçaPartículas transportadoras de força, como o , como o

fóton. fóton.

Todas as partículas de matéria conhecidas são Todas as partículas de matéria conhecidas são compostas de compostas de quarksquarks e e léptonsléptons, e elas interagem , e elas interagem trocando trocando partículas transportadoras de forçapartículas transportadoras de força..

Quarks e LéptonsQuarks e Léptons

Tudo ao nosso redor, desde galáxias até Tudo ao nosso redor, desde galáxias até montanhas e moléculas, são feitas de montanhas e moléculas, são feitas de quarksquarks e e léptonsléptons. .

QuarksQuarks comportam-se diferentemente dos comportam-se diferentemente dos léptonsléptons, e para cada tipo de partícula de , e para cada tipo de partícula de matériamatéria há uma partícula de há uma partícula de antimatériaantimatéria correspondente. correspondente.

Matéria e Antimatéria Matéria e Antimatéria

Para cada tipo de partícula de matéria Para cada tipo de partícula de matéria que nós encontramos, existe uma que nós encontramos, existe uma partícula correspondente de partícula correspondente de antimatériaantimatéria ou uma ou uma antipartículaantipartícula..   

As As antipartículasantipartículas são iguais as suas são iguais as suas correspondentes partículas de matéria, correspondentes partículas de matéria, exceto pelo fato de terem exceto pelo fato de terem cargas opostascargas opostas. .

Por exemplo, um Por exemplo, um próton é eletricamente próton é eletricamente positivopositivo, ao passo que um , ao passo que um antipróton é antipróton é eletricamente negativoeletricamente negativo. A gravidade afeta . A gravidade afeta a matéria e a antimatéria do mesmo a matéria e a antimatéria do mesmo modo. Uma partícula de matéria tem modo. Uma partícula de matéria tem também a também a mesma massamesma massa de uma de uma antipartícula. antipartícula. 

Quando uma partícula de Quando uma partícula de matériamatéria e uma e uma partícula de partícula de antimatériaantimatéria se encontram, se encontram, elas se aniquilam em energia! elas se aniquilam em energia! 

Se a Se a antimatériaantimatéria e a e a matéria matéria são exatamente são exatamente iguais, mas opostas, então por que há muito mais iguais, mas opostas, então por que há muito mais matéria do que antimatéria no universo?matéria do que antimatéria no universo?

Mas podemos comprovar a existência de antimatéria nesta foto de uma câmara de bolhas.

O campo magnético nessa câmara faz com que as partículas negativas se curvem para a esquerda e as partículas positivas se curvem para a direita. Muitos pares elétron-pósitron aparecem nessa foto

QuarksQuarks

QuarksQuarks são um tipo de partícula de matéria. A maior são um tipo de partícula de matéria. A maior parte da matéria que vemos em nossa volta é feita parte da matéria que vemos em nossa volta é feita de de prótonsprótons e e nêutrons,nêutrons, os quais são compostos de os quais são compostos de quarksquarks. .

Existem Existem seis quarksseis quarks, mas os físicos usualmente , mas os físicos usualmente falam em termos de três pares:falam em termos de três pares:

up/down up/down  charmoso/estranhocharmoso/estranho top/bottom. top/bottom.

(para cada um desses (para cada um desses quarksquarks, existe um , existe um antiquark antiquark correspondente.)correspondente.)

Os Os quarksquarks têm a característica não usual de têm a característica não usual de possuírem uma carga elétrica possuírem uma carga elétrica fracionáriafracionária, , diferente da do diferente da do prótonpróton e do e do elétronelétron, que têm , que têm cargas inteiras de cargas inteiras de +1+1 e e -1-1, respectivamente., respectivamente.

O quark mais difícil de ser O quark mais difícil de ser

encontrado, o encontrado, o quark topquark top, foi , foi

descoberto em 1995 depois descoberto em 1995 depois

de ter sido previsto teoricamente de ter sido previsto teoricamente

por 20 anos.  por 20 anos. 

Hádrons, Bárions, MésonsHádrons, Bárions, Mésons

Os Os quarksquarks existem somente em grupos. existem somente em grupos. Partículas compostas por quarks são Partículas compostas por quarks são denominadas:denominadas:

HÁDRONSHÁDRONS

Embora os Embora os quarks individuaisquarks individuais tenham cargas tenham cargas elétricas elétricas fracionáriasfracionárias, eles se combinam de tal , eles se combinam de tal maneira que os maneira que os hádronshádrons possuem possuem cargas cargas elétricas inteiraselétricas inteiras. .

Existem duas classes de hádrons:Existem duas classes de hádrons: HÁDRONSHÁDRONS

BÁRIONSBÁRIONS MÉSONS MÉSONS

São hádrons compostos por três quarks (qqq)

Como os prótons são constituídos por dois quarks up e um quark down (uud), E assim também são os nêutrons (udd). 

São hádrons compostos por um quark (q) e um antiquark ( )

Um exemplo de méson é o píon, que é composto por um quark up e um antiquark down.

• Como os mésons são constituídos por uma partícula e uma antipartícula, eles são bastante instáveis.

• Outra curiosidade sobre os hádrons é que somente uma pequeníssima parte da massa de um hádron é devida à existência de quarks nele. 

• A maior parte da massa que nós observamos num hádron vem de sua energia cinética e potencial. Essas energias são convertidas na massa do hádron como é descrito por E = mc2  

Léptons Léptons

Existem seis tipos de Existem seis tipos de léptonsléptons, três dos quais , três dos quais possuem carga elétrica e três que não. possuem carga elétrica e três que não.

Eles parecem ser partículas puntiformes sem Eles parecem ser partículas puntiformes sem estrutura interna. estrutura interna.

O lépton mais conhecido é o O lépton mais conhecido é o elétronelétron. Os outros dois . Os outros dois léptonsléptons são o são o múonmúon e o e o tautau, que são carregados , que são carregados como os elétrons, mas têm muito mais massa. (tau como os elétrons, mas têm muito mais massa. (tau 3000x)3000x)

Os outros Os outros léptonsléptons são os três tipos de são os três tipos de neutrinosneutrinos. . Eles não possuem carga, têm massa muito pequena Eles não possuem carga, têm massa muito pequena e são difíceis de serem detectados. e são difíceis de serem detectados.

OsOs quarks quarks são sociáveis e existem apenas em são sociáveis e existem apenas em partículas compostas com outros quarks, ao passo partículas compostas com outros quarks, ao passo que osque os léptons léptons são partículas solitárias. são partículas solitárias.

Neutrinos Neutrinos Neutrinos são Neutrinos são léptonsléptons que não possuem carga que não possuem carga

forte ou elétrica quase forte ou elétrica quase nunca interagemnunca interagem com com quaisquer outras partículas. quaisquer outras partículas.

A maioria dos neutrinos passa A maioria dos neutrinos passa direto através da direto através da TerraTerra sem interagir com um único átomo dela. sem interagir com um único átomo dela.

Uma vez que os Uma vez que os neutrinosneutrinos foram produzidos em foram produzidos em grande grande abundânciaabundância no início do universo e raramente no início do universo e raramente interagem com a matéria; então, existem interagem com a matéria; então, existem muitos deles muitos deles no Universono Universo. A pequeníssima massa, mas o grande . A pequeníssima massa, mas o grande número, deve contribuir para a massa total do número, deve contribuir para a massa total do Universo e afetar sua expansão. Universo e afetar sua expansão. 

A Geração de MatériaA Geração de Matéria

Toda matéria visível no universo é feita Toda matéria visível no universo é feita

da da primeira geraçãoprimeira geração de partículas de matéria de partículas de matéria

quarks up, quarks down e elétrons.quarks up, quarks down e elétrons.

Isso porque todas as partículas da segunda e Isso porque todas as partículas da segunda e

terceira gerações de partículas são instáveis terceira gerações de partículas são instáveis

e decaem, tornando-se partículas de primeira e decaem, tornando-se partículas de primeira

geração, a única geração estável.  geração, a única geração estável. 

Se as gerações acima da primeira decaem Se as gerações acima da primeira decaem rapidamente, são raramente observadas e não rapidamente, são raramente observadas e não compõem nenhuma matéria estável ao nosso redor, compõem nenhuma matéria estável ao nosso redor, então por que elas existem?então por que elas existem?

As Quatro Interações ou O que mantém o As Quatro Interações ou O que mantém o universo unido?universo unido?

O universo que conhecemos existe porque as O universo que conhecemos existe porque as partículas fundamentais partículas fundamentais interageminteragem. .

Existem quatro interações fundamentais entre as Existem quatro interações fundamentais entre as partículas, e partículas, e todas as forças podem ser todas as forças podem ser atribuídas a essas quatro interações!atribuídas a essas quatro interações!

Como a Matéria Interage?Como a Matéria Interage?

Como dois ímãs Como dois ímãs "sentem""sentem" a presença um do a presença um do

outro e se atraem ou se repelem de acordo com outro e se atraem ou se repelem de acordo com

a situação? Como o Sol a situação? Como o Sol atrai atrai a Terra?a Terra?

O que O que sãosão as forças de as forças de "magnetismo""magnetismo" e e

"gravidade"gravidade""????????      

Em um nível fundamental, a força não é apenas Em um nível fundamental, a força não é apenas algo que algo que aconteceacontece para as partículas. para as partículas. "É uma "É uma coisa que é trocada entre duas partículas". coisa que é trocada entre duas partículas".

Descobriu-se que todas as interações que afetam Descobriu-se que todas as interações que afetam as partículas da matéria são devidas a uma troca as partículas da matéria são devidas a uma troca de de partículas transportadoras de forçapartículas transportadoras de força, um , um tipo completamente diferente de partícula. tipo completamente diferente de partícula.

Essas partículas são como bolas de basquete Essas partículas são como bolas de basquete atiradas atiradas entre as partículas da matériaentre as partículas da matéria (que são (que são como jogadores de basquete). como jogadores de basquete).

O que nós pensamos normalmente como O que nós pensamos normalmente como "forças""forças" são, na verdade, os são, na verdade, os efeitos das partículas efeitos das partículas transportadoras de força sobre as partículas da transportadoras de força sobre as partículas da matéria. matéria. 

Diferentes interações, suas partículas Diferentes interações, suas partículas transportadoras de força e em que partículas transportadoras de força e em que partículas elas atuam:elas atuam:

Além do Modelo PadrãoAlém do Modelo Padrão O Modelo Padrão responde a muitas das perguntas sobre O Modelo Padrão responde a muitas das perguntas sobre

a estrutura e a estabilidade da matéria com seus seis tipos a estrutura e a estabilidade da matéria com seus seis tipos de de quarksquarks, seis tipos de , seis tipos de léptonsléptons, e , e quatro forçasquatro forças. Mas . Mas ainda existem muitas perguntas sem resposta. ainda existem muitas perguntas sem resposta.

Por que vemos mais matéria do que antimatéria se Por que vemos mais matéria do que antimatéria se deveríamos ter simetria (igualdade) entre as duas no deveríamos ter simetria (igualdade) entre as duas no Universo?  Universo? 

Os quarks e léptons são realmente fundamentais, ou são Os quarks e léptons são realmente fundamentais, ou são constituídos de partículas mais fundamentais? constituídos de partículas mais fundamentais?

Como a gravidade se encaixa em tudo isso?Como a gravidade se encaixa em tudo isso? Em nosso cotidiano, observamos apenas a primeira Em nosso cotidiano, observamos apenas a primeira

geração de partículas (elétrons, neutrinos e- e quarks geração de partículas (elétrons, neutrinos e- e quarks up/down). Por que a natureza  "precisa" das outras duas up/down). Por que a natureza  "precisa" das outras duas gerações?  gerações? 

O que é toda esta matéria extra no universo que não O que é toda esta matéria extra no universo que não podemos explicar usando métodos normais?podemos explicar usando métodos normais?

Por que o Modelo Padrão não pode prever a massa de Por que o Modelo Padrão não pode prever a massa de uma partícula? (O Modelo Padrão não consegue explicar uma partícula? (O Modelo Padrão não consegue explicar por quêpor quê algumas partículas são do jeito que são ) algumas partículas são do jeito que são )

Referências:Referências:

http://www.cepa.if.usp.br/aventuradasparticulas/http://www.cepa.if.usp.br/aventuradasparticulas/index.htmlindex.html

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