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  • Mecnica dos fl uidos

    LIVRO

    UNIDADE 1

  • Luis Eduardo Zampar Filho

    Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos

  • 2018 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrnico ou mecnico, incluindo fotocpia, gravao ou qualquer outro tipo

    de sistema de armazenamento e transmisso de informao, sem prvia autorizao, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A.

    2018Editora e Distribuidora Educacional S.A.

    Avenida Paris, 675 Parque Residencial Joo PizaCEP: 86041-100 Londrina PR

    e-mail: [email protected]: http://www.kroton.com.br/

  • Unidade 1 | Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos

    Seo 1.1 - Mtodos de anlise e classificao dos movimentos de fluidos.

    Seo 1.2 - Leis bsicas para um sistema

    Seo 1.3 - Relao entre sistema e volume de controle

    6

    8

    23

    36

    Sumrio

  • Caro aluno!

    A disciplina Mecnica dos fluidos trata de uma das principais cincias da Engenharia, uma vez que apresenta aplicaes importantes em diversas reas. Os engenheiros mecnicos utilizam princpios de mecnica dos fluidos para os projetos de bombas, compressores, turbinas, equipamentos de calefao e resfriamento. J os engenheiros qumicos e de petrleo aplicam essa cincia para projetar equipamentos usados na filtragem, no bombeamento e na mistura de fluidos. Alm da rea de Engenharia, os princpios da mecnica dos fluidos so usados na biomecnica e na meteorologia etc.

    Neste livro didtico, o nosso objetivo que voc compreenda os principais conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos, mediante o uso das equaes bsicas na forma integral aplicadas em um volume de controle e da anlise diferencial dos movimentos dos fluidos. Esperamos tambm que voc saiba aplicar a conservao de massa, a equao da quantidade de movimento e a equao de Bernoulli, assimilando os conceitos de escoamento interno e externo viscoso e incompressvel.

    Na Unidade 1, estudaremos os principais conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos, como as equaes bsicas, os mtodos de anlise, a descrio e a classificao dos movimentos de fluido e a relao entre sistema e volume de controle. Essa unidade vai lhe dar a base necessria para aprofundar seus conhecimentos nas prximas unidades.

    Na Unidade 2, enfocaremos a conservao de massa, o princpio da quantidade de movimento linear e angular e a primeira e a segunda lei da termodinmica, a fim de aplic-las em um volume de controle.

    Na Unidade 3, realizaremos uma anlise diferencial dos movimentos dos fluidos por meio da conservao de massa e da quantidade de movimento. Estudaremos tambm o escoamento incompressvel de fluidos no viscosos, utilizando, para isso, as equaes de Euler e a equao de Bernoulli.

    Palavras do autor

  • Por fim, na Unidade 4, aprenderemos sobre o escoamento interno e externo viscoso e incompressvel, introduzindo conceitos importantes, como a regio de entrada e o escoamento completamente desenvolvido em tubos e dutos, os mtodos de medio de vazo, a camada-limite e as foras de arrasto e sustentao.

    Todos esses assuntos tm como objetivo lev-lo a se apropriar de conhecimentos que so vistos como essenciais aos estudos no campo da mecnica dos fluidos, constituindo-se, portanto, em um ponto de partida para que voc busque um aprendizado mais amplo e aprofundado sobre o assunto, alm de estar apto a resolver diversos problemas da realidade profissional dessa rea.

    Bons estudos!

  • Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos

    Caro aluno, nesta unidade, estudaremos os conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos. O conhecimento de princpios bsicos assume um papel importantssimo para voc compreender os diversos problemas da Engenharia envolvendo fluidos. Quando trabalhamos com fluido, no estamos interessados apenas no comportamento de uma nica partcula, mas, sim, de um conjunto de partculas que o compem. Dessa maneira, necessrio descrever esses tipos de problemas de forma correta, utilizando mtodos de anlise adequados para cada tipo em questo. Saber classificar os tipos de escoamento vital para apontarmos a direo que devemos seguir para clculos em fluidos, uma vez que cada escoamento admite uma determinada simplificao do problema.

    Nesta unidade, voc, aluno, deve compreender os conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos, a fim de aplic-los na resoluo de problemas tericos e prticos. Para isso, voc deve assimilar o que um fluido, o que estuda a mecnica dos fluidos, alm de conhecer as equaes bsicas, os mtodos de anlise, descrio e classificao dos escoamentos e a relao entre sistema e volume de controle.

    Nesta unidade, trataremos de uma empresa multinacional, no ramo de mecnica dos fluidos, que concluiu um processo de trainee no qual voc, aluno, obteve xito e foi selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas da empresa. No cargo de trainee, voc ter de solucionar alguns problemas de Engenharia, utilizando o seu raciocnio crtico.

    Convite ao estudo

    Unidade 1

  • Para atingir os objetivos desta unidade, voc deve estar apto a:

    1. Descrever e classificar um escoamento de fluido atravs de um bocal cnico, utilizado em processos da indstria qumica.

    2. Estimar o comprimento de pista e o tempo mnimo necessrios, para que uma aeronave atinja sua velocidade de decolagem.

    3. Utilizar o teorema do transporte de Reynolds, a fim de deduzir a equao de conservao de massa para um volume de controle.

    Para isso, sero tratados nas sees desta unidade os mtodos de anlise e classificao dos movimentos de fluidos, as leis bsicas aplicadas a um sistema, a relao entre as derivadas do sistema e a formulao para volume de controle e o teorema de transporte de Reynolds.

    Est preparado para esses grandes desafios? Vamos l!

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos8

    Os aspectos tericos e prticos da mecnica dos fluidos so fundamentais para a soluo de diversos problemas encontrados na Engenharia, tanto nas atividades dirias, relacionadas ao escoamento de gua por uma mangueira de jardim ou chuva que escoa pelos telhados das casas, quanto no projeto de sistemas modernos de Engenharia, tais como motores combusto interna, sistemas de propulso a jato, bombas hidrulicas e turbinas elicas. Por isso, muito importante que voc, futuro engenheiro, compreenda os referidos princpios, visando aprimorar esses conceitos e aplic- -los na resoluo de problemas tericos e prticos que aparecero durante sua jornada profissional.

    Lembre-se de que voc foi aprovado no processo de trainee de uma empresa multinacional no ramo de mecnica dos fluidos, sendo selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas dessa empresa. No cargo de trainee, voc ser desafiado a solucionar alguns problemas de Engenharia, utilizando o seu raciocnio crtico.

    Nesta seo, imagine-se alocado na rea de escoamentos em tubulaes industriais, onde seu superior solicita-lhe a resoluo do seguinte dilema:

    Em um processo da indstria qumica, tetracloreto de carbono a 20 C escoa atravs de um bocal cnico de dimetro de entrada D mme = 50 para um dimetro de sada Ds . A rea varia linearmente

    com a distncia ao longo do bocal, e a rea de sada 15

    da rea de

    entrada; o comprimento do bocal 250 mm. A vazo Q L min= 2 . Para o processo, importante que o escoamento na sada seja turbulento. Isso realmente acontece? Em caso afirmativo, a partir de

    Mtodos de anlise e classificao dos movimentos de fluidos

    Dilogo aberto

    Seo 1.1

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 9

    que ponto, ao longo do bocal, o escoamento torna-se turbulento? Entregue a anlise para o seu superior, na forma de apresentao aos gestores da rea.

    Para solucionar esse desafio, voc deve compreender o que e o que estuda a mecnica dos fluidos, conhecer as equaes bsicas em mecnica aplicveis e os mtodos de anlise de movimentos de fluido, alm de saber descrever e classificar os movimentos de fluido, com base em caractersticas em comum.

    Est preparado para esse desafio? Bons estudos!

    Escopo da mecnica dos fluidos

    Caro aluno, a mecnica dos fluidos uma cincia, ou seja, conhecimento profundo de algo, ou o estudo do mundo natural, baseado em fatos aprendidos por meio de experimentos ou observaes. Dentro da cincia, encontramos a Biologia, a Qumica, a Fsica, a Histria, e todas as outras reas do conhecimento. A Matemtica, nesse contexto, pode ser inserida como uma ferramenta, criada pelo homem, para auxiliar na compreenso de todas as demais.

    A mecnica dos fluidos est inserida na Fsica clssica, que contempla quase todas as disciplinas estudadas no curso de Engenharia. A Fsica clssica dividida em mecnica, termodinmica e eletromagnetismo. A mecnica, por sua vez, subdivide-se em cinemtica, esttica e dinmica.

    Vamos, ento, relembrar os conceitos dessas trs ltimas. A cinemtica estuda o movimento, sem se preocupar com as foras atuantes ou com a massa do corpo. A esttica trata das foras atuantes em corpos em repouso, ou seja, corpos em equilbrio esttico. Este acontece quando a fora resultante que atua no sistema (somatrio das foras aplicadas) igual a zero. A dinmica tambm aborda os corpos em movimento, mas, leva em conta as suas causas, genericamente foras aplicadas em determinada massa.

    Finalmente, definimos mecnica dos fluidos como o ramo da cincia que estuda os fluidos em repouso ou em movimento. Logo,

    No pode faltar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos10

    o estudo da mecnica dos fluidos dividido basicamente em dois ramos, a hidrosttica e a hidrodinmica. A hidrosttica (ou esttica dos fluidos) versa sobre a fora exercida por e sobre fluidos em repouso, j a hidrodinmica (ou dinmica dos fluidos) enfoca a geometria do movimento do fluido, considerando as foras que nele atuam.

    A mecnica dos fluidos desempenha um papel principal no projeto e anlise de aeronaves, embarcaes, submarinos, foguetes, motores a jato, turbinas elicas, dispositivos biomdicos, refrigerao de componentes eletrnicos e sistemas de transporte de gua, leo e gs natural. Diversos fenmenos naturais como ciclo de chuvas, padres de clima, ventos e ondas dos oceanos tambm so governados pelos princpios da mecnica dos fluidos. (ENGEL; CIMBALA, 2015, p. 5)

    Assimile

    Equaes bsicas de mecnica de fluidos

    Para a anlise de qualquer problema de mecnica dos fluidos, fundamental que voc, aluno, conhea as leis bsicas que governam seu movimento. As leis bsicas aplicveis a qualquer fluido so:

    1. A conservao da massa.

    2. O princpio da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton).

    3. O princpio da quantidade de movimento angular.

    4. A primeira lei da termodinmica;

    5. A segunda lei da termodinmica.

    No so necessrias todas essas leis bsicas para resolver um problema qualquer, algumas vezes, apenas uma lei, ou a combinao de duas leis, suficiente para solucion-lo. Contudo, em muitos problemas, preciso buscar relaes adicionais que descrevam o comportamento dos fluidos sob determinadas condies.

    Essas leis bsicas so as mesmas utilizadas na mecnica e na termodinmica. Nesse contexto, nossa tarefa ser formul-las de modo adequado, voltadas para a resoluo de problemas envolvendo escoamento de fluidos e, ento, aplic-las a uma grande variedade de situaes.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 11

    Mtodos de anlise de movimentos de fluido

    O primeiro passo na resoluo de qualquer problema de Engenharia definir o sistema que est sendo analisado. Na mecnica bsica, utilizamos de forma intensa o DCL Diagrama de Corpo Livre, que consiste na representao grfica de todas as foras agindo sobre determinado corpo rgido. Para refrescar sua memria, um exemplo de DCL apresentado na Figura 1.1.

    Figura 1.1 | Exemplo de um DCL

    Fonte: elaborada pelo autor.

    A Figura 1.1 traz um problema no qual um corpo de massa m descola-se em um plano com inclinao q , em que so representadas todas as foras atuantes no corpo: a fora peso, a fora normal e a fora de atrito, que tem sentido oposto ao deslocamento.

    Na mecnica dos fluidos, no estamos interessados no comportamento de um corpo rgido, mas, sim, no escoamento do fluido atravs de tubulaes, bombas e turbinas, asas de avio etc. importante, ento, delimitar uma regio no espao para o estudo. Isso pode ser feito por meio da definio de um sistema ou um volume de controle.

    Lembre-se de que fluido uma substncia que se deforma continuamente quando submetida aplicao de uma fora de cisalhamento, no atingindo, portanto, uma condio de equilbrio esttico.

    Assimile

    Sistema uma quantidade de massa fixa que escolhemos como objeto de estudo. Esta quantidade de matria delimitada por uma fronteira do sistema por meio da qual no h fluxo de massa, j o volume pode variar. No clssico exemplo conjunto pisto-cilindro, ilustrado na Figura 1.2(a), o gs dentro do cilindro o sistema. Voc pode notar que o volume do gs pode variar.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos12

    Volume de controle, por sua vez, uma quantidade de volume que escolhemos como objeto de estudo. Esta quantidade de volume delimitada por uma superfcie de controle por meio da qual h fluxo de massa, energia e demais quantidades associadas ao escoamento. A Figura 1.2(b) mostra um exemplo de volume de controle selecionado atravs do escoamento de um fluido por uma juno de tubos.

    Figura 1.2 | (a) O sistema pisto-cilindro e (b) Escoamento de um fluido atravs de uma juno de tubos

    Fonte: adaptado de Fox; Pritchard; McDonald (2014, p. 8-9).

    muito importante que se tenha cuidado na escolha de um sistema ou de um volume de controle, bem como na delimitao da superfcie de controle, porque esse procedimento influencia bastante a formulao matemtica (diferencial ou integral) que ser utilizada.

    Procure por livros de termodinmica para relembrar e aprimorar seus conhecimentos sobre sistema e volume de controle. Uma boa opo :

    MORAN, Michael J. et al. Princpios de termodinmica para Engenharia. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. cap. 1, p. 2-5.

    Pesquise mais

    Tanto em sistemas quanto em volumes de controle, podemos aplicar as equaes na forma diferencial ou na forma integral. Na formulao diferencial, trabalhamos com sistemas ou volumes de controle infinitesimais, j na formulao integral, os sistemas e volumes de controle so finitos. Em ambas as situaes, a formulao matemtica ser diferente, da a importncia de saber escolher qual utilizaremos para cada tipo de problema.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 13

    Na formulao diferencial, utilizamos as equaes diferenciais, cuja soluo nos fornece um comportamento detalhado do escoamento. Um bom exemplo para entender essa definio a distribuio de presso sobre a superfcie de uma asa, mostrada na Figura 1.3(a).

    A formulao diferencial utilizada quando desejamos conhecer ponto a ponto de determinado escoamento. No exemplo anterior, sabemos a presso aplicada em cada ponto desse perfil de asa. Em muitos casos, no queremos obter o comportamento detalhado do escoamento, mas, sim, o do todo, no qual utilizamos a formulao integral.

    Na formulao integral, empregamos equaes na forma de integrais, cuja soluo nos fornece um comportamento global do escoamento. Continuando com o mesmo exemplo do escoamento ao redor de um perfil de asa, mas, agora, com a formulao integral, obtemos a fora resultante aerodinmica, representada pela Figura 1.3(b).

    Figura 1.3 | (a) Distribuio de presso em um perfil de asa e (b) Resultante aerodinmica em um perfil de asa

    Fonte: elaborada pelo autor.

    O clculo diferencial e integral, tambm conhecido como clculo infinitesimal, ou apenas clculo, surgiu graas Geometria e lgebra. Por meio dele, podemos estudar taxas de variaes de uma grandeza ou acumulao de uma quantidade, por exemplo. Voc capaz de relembrar quais so as principais regras e propriedades de derivadas e integrais?

    Reflita

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos14

    O estudo do escoamento dos fluidos , em geral, realizado por um dos seguintes mtodos clssicos de descrio: o mtodo de Lagrange ou o mtodo de Euler. O mtodo de Lagrange, tambm chamado de lagrangiano, descreve o movimento de cada partcula, acompanhando-a em sua trajetria real. As caractersticas do escoamento so descritas pela especificao dos parmetros necessrios em funo do tempo. Esse mtodo apresenta grande dificuldade nas aplicaes prticas de mecnica dos fluidos, uma vez que impraticvel acompanhar todas as partculas de um fluido durante um intervalo de tempo suficientemente grande.

    O mtodo de Euler, ou euleriano, consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seo ou volume de controle no espao e considerar todas as partculas que passam por este local. As caractersticas do escoamento so descritas pela especificao dos parmetros necessrios em funo das coordenadas espaciais, alm do tempo. Esse mtodo preferencial para estudar o movimento dos fluidos, porque coleta informaes sobre o escoamento por meio de pontos fixos em instantes diferentes, sem se preocupar com o movimento realizado por partcula.

    Exemplificando

    Imagine que voc queira medir a temperatura dos gases de exausto de uma chamin industrial. Utilizando o mtodo de Lagrange, um termmetro teria que ser instalado em cada uma das partculas que saem pela chamin, e o valor de sua temperatura registrado ao longo de seu movimento seria algo impensvel de se obter. Ainda pensando no exemplo da chamin, porm, desta vez, utilizando o mtodo de Euler, agora um termmetro seria instalado perto da abertura e indicaria a temperatura de diversas partculas em instantes diferentes. Assim, seria obtida a variao da temperatura nesse ponto, em funo de suas coordenadas espaciais e do tempo. Vrios termmetros instalados em pontos fixos do escoamento forneceriam seu campo de temperatura.

    Descrio e classificao dos movimentos de fluido

    Voc j sabe que a mecnica dos fluidos a cincia que estuda o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento. Existe uma grande variedade de tipos de problemas sobre o escoamento de fluidos, que abrangem do escoamento do ar ao redor de uma

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 15

    bola de futebol at o escoamento da gua, atravs das turbinas de uma grande hidroeltrica, por exemplo. Cada tipo de problema exige uma viso adequada; dessa maneira, conveniente dividir os escoamentos em grupos, com base em caractersticas em comum.

    Escoamento uni, bi e tridimensional

    Imagine uma partcula de fluido movendo-se com velocidade

    V em um escoamento qualquer. Em um dado instante, a velocidade dessa partcula ser uma funo das coordenadas espaciais e do tempo. Selecionando um volume de controle para o estudo e utilizando o mtodo de descrio Euleriano, obtemos o campo de

    velocidade do escoamento

    V V x y z t= ( , , , ).

    Um escoamento uni, bi ou tridimensional em funo do nmero de coordenadas espaciais necessrias para se especificar o campo de velocidade. Se o campo de velocidade depender apenas de uma coordenada espacial para ser especificado, o escoamento ser unidimensional. Se o campo de velocidade depender de duas coordenadas espaciais, o escoamento consistir em bidimensional. Por fim, se o escoamento for especificado utilizando as trs coordenadas espaciais, esse escoamento ser tridimensional.

    Escoamento estacionrio e no estacionrio

    Os termos estacionrio e no estacionrio so bastante utilizados na mecnica dos fluidos, sendo muito importante compreender seus significados. Essa classificao ocorre em funo da dependncia ou no do tempo na variao pontual das suas propriedades (massa especfica, velocidade, temperatura etc.). No escoamento estacionrio, no h mudana das propriedades, ao longo do tempo; dizemos que o escoamento est em regime permanente. Se houver alguma mudana no decorrer do tempo, esse escoamento ser no estacionrio.

    muito importante salientar que, em regime permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto para ponto, porm todas as propriedades permanecem constantes com o tempo em cada ponto. Em outras palavras, as propriedades podem variar com as coordenadas espaciais, mas devem permanecer constantes com o tempo.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos16

    Escoamento interno e externo

    O escoamento classificado como interno quando ocorre em um espao confinado, isto , quando o fluido est inteiramente limitado por superfcies slidas. o caso do escoamento em tubulaes ou dutos, ou atravs de bombas ou turbinas.

    O escoamento externo um escoamento no confinado de um fluido sobre uma superfcie. Corpos imersos em um fluido esto sujeitos a esse tipo de escoamento. O escoamento do ar sobre seu carro durante uma viagem enquadra-se nessa classificao.

    Escoamento viscoso e no viscoso

    Conforme voc j aprendeu, a viscosidade uma medida da resistncia do fluido em se movimentar, relacionando-se com as foras de atrito no seu interior, as quais impedem diferentes pores dos fluidos de escorregarem entre si livremente. No existe fluido com viscosidade nula, mas existem situaes em que esta pode ser desconsiderada.

    Escoamentos viscosos so aqueles em que os efeitos da viscosidade so significativos. Quando esse efeito se torna desprezvel, classificamos esse escoamento como no viscoso ou invscido. Em um primeiro momento, voc pode pensar ao contrrio, mas existem inmeros problemas nos quais podemos adotar o fluido como invscido, o que simplifica bastante a anlise sem perder a preciso da soluo.

    Escoamento compressvel e incompressvel

    Esta classificao depende da variao da massa especfica do fluido durante o escoamento. Se a variao da massa especfica for desprezvel, ou seja, se a massa especfica do fluido permanecer aproximadamente constante ao longo do tempo, esse escoamento ser incompressvel. Contudo, quando a variao da massa especfica no for desprezvel, o escoamento ser denominado compressvel.

    A massa especfica dos lquidos essencialmente constante. Por isso, os lquidos so chamados de substncias incompressveis.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 17

    Consequentemente, todo escoamento de lquidos considerado incompressvel. Por outro lado, os gases so altamente compressveis, entretanto, em geral, eles tambm podem comportar-se como fluidos incompressveis, desde que a velocidade do escoamento seja pequena em relao velocidade do som. Os efeitos de compressibilidade para os gases podem ser desprezados para velocidades abaixo de 100 m s/ .

    Escoamento laminar e turbulento

    No escoamento laminar, as partculas do fluido movem-se em camadas, ou lminas, ao longo do escoamento, em trajetrias bem definidas e ordenadas. No escoamento turbulento, as partculas do fluido rapidamente se misturam, enquanto se movimentam ao longo do escoamento, descrevendo trajetrias irregulares e desordenadas. Existe ainda um outro tipo de escoamento, o transitrio, que se altera entre laminar e turbulento, sendo a transio entre estes.

    No caso do escoamento de fluidos incompressveis em dutos (escoamento interno), sua natureza determinada pelo valor do nmero de Reynolds (Re ), adimensional, definido pela expresso:

    Re VD VD= =

    ,

    na qual r kg m3 a massa especfica do fluido; V m s[ ] a

    velocidade mdia de escoamento do fluido dentro do duto; D m[ ] o dimetro do duto; N s m

    2 a viscosidade dinmica ou

    absoluta do fluido e n m s2 a viscosidade cinemtica do fluido.

    O nmero de Reynolds no qual o escoamento torna-se turbulento chamado de crtico, Recr . O valor deste diferente para cada geometria e condio de escoamento. Para o escoamento interno em um tubo circular, o valor geralmente aceito Recr = 2300. Certamente, so desejveis valores precisos do nmero de Reynolds laminar, de transio e turbulento, mas isso no acontece na prtica. Na maioria das situaes, o escoamento laminar quando Re < 2300, transitrio quando 2300 4000 Re e turbulento quando Re> 4000.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos18

    Lembramos que, nesta seo, estamos analisando uma empresa multinacional, no ramo de mecnica dos fluidos, que concluiu um processo de trainee no qual voc, aluno, obteve xito e foi selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas da empresa. No cargo de trainee, voc ter de solucionar alguns problemas de Engenharia, utilizando o seu raciocnio crtico.

    Nesta seo, voc foi alocado na rea de escoamentos em tubulaes industriais, onde seu superior solicita-lhe a resoluo do seguinte dilema:

    Em um processo da indstria qumica, tetracloreto de carbono a 20 C escoa atravs de um bocal cnico de um dimetro de entrada D mme = 50 para um dimetro de sada Ds . A rea varia linearmente

    com a distncia ao longo do bocal, e a rea de sada 15

    da rea de

    entrada; o comprimento do bocal 250 mm. A vazo Q L min= 2 . Para o processo, importante que o escoamento na sada seja turbulento. Isso realmente acontece? Em caso afirmativo, a partir de que ponto, ao longo do bocal, o escoamento torna-se turbulento?

    Podemos combinar as equaes do nmero de Reynolds e de vazo volumtrica para encontrar uma expresso de Reynolds, em termos do dimetro e da vazo.

    Q V A

    Re V DRe D Q

    AD Q

    DRe Q

    =

    =

    = =

    =

    2

    4

    4 D

    .

    Sabemos que a rea de sada do bocal 15

    da rea de entrada, ento:

    AA D D

    DD

    se s e

    se= = =

    5 4 415 5

    2 2p p.

    Assim:

    D mm mms = =505

    22 4, .

    Sem medo de errar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 19

    Calculamos, agora, o valor do nmero de Reynolds na entrada e na sada do bocal, adotando Recr = 2300 como referncia, por se tratar de um escoamento interno de seo circular.

    Entrada:

    Sada:

    Re QD

    Re QD

    ee

    ss

    =

    =

    4

    4

    Para isso, precisamos dos valores da massa especfica e da viscosidade absoluta para o tetracloreto de carbono a 20 C . De acordo com Fox, Pritchard e McDonald (2014), = 10 3 2N s m . Assim, obtemos que a densidade relativa do tetracloreto de carbono

    1,595, ou seja, r = 1595 3kg m .

    Portanto:

    Entrada:

    Sada:

    Re QD

    LAMINAR

    Re QD

    ee

    s

    =

    =

    =

    4 1354

    4

    ss

    TURBULENTO= 3027

    Como adotamos Recr = 2 300. Recr = 2300 como referncia, o escoamento na sada turbulento, conforme desejado.

    Para encontrar o ponto, ao longo do bocal, onde o escoamento torna-se turbulento, primeiro calculamos o dimetro:

    Re QD

    D Q mmcrcr

    cr=

    =

    =4 4

    230029 4

    , .

    A rea varia linearmente com a distncia ao longo do bocal. Dessa forma:

    LL

    D DD D

    L LD DD D

    mmcr cr es e

    crcr e

    s e

    =

    =

    = 186

    Finalmente, a informao obtida foi entregue ao seu superior, na forma de apresentao, que ser feita aos gestores da rea, de maneira que o desafio foi concludo com xito.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos20

    Descrio e classificao de um escoamento fluido

    Descrio da situao-problema

    Imagine que voc trabalha em uma empresa que instala tubulaes em ambientes industriais, e parte de seu trabalho inclui analisar, classificar e descrever escoamentos. Um cliente solicitou uma tubulao com dimetro constante de 200 mm e comprimento 100 m, por onde ir escoar gua a 20 C, em regime permanente, com velocidade de 10m s. Como proceder para classificar esse escoamento?

    Resoluo da situao-problema

    O escoamento interno porque ocorre dentro de uma tubulao.

    Como o fluido em questo um lquido, esse escoamento incompressvel.

    A gua escoa em regime permanente, ou seja, suas propriedades so constantes ao longo do tempo. Dessa forma, o escoamento estacionrio.

    Por se tratar de um escoamento estacionrio em uma tubulao de dimetro constante, a velocidade permanece a mesma ao longo do tubo, variando apenas em relao ao seu raio. Assim, esse escoamento unidimensional.

    Para saber se o escoamento laminar ou turbulento, devemos calcular o nmero de Reynolds. As propriedades da gua podem ser encontradas no livro Introduo mecnica dos fluidos Tabela A.7 (FOX; PRITCHARD; McDONALD, 2014, p. 793).

    Re VD VDmmsms

    = = =

    =

    10 0 2101 10

    198 1066

    2

    ,,

    ,

    Portanto, o escoamento turbulento.

    Para essa questo, por se tratar de um escoamento por uma longa tubulao, devemos levar em conta os efeitos da viscosidade que geram perdas de carga. Por isso, esse escoamento viscoso.

    Dessa forma, o escoamento foi completamente descrito, e voc solucionou com sucesso mais esse desafio.

    Avanando na prtica

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 21

    1. Na mecnica dos fluidos, no estamos interessados no comportamento de um corpo rgido, mas, sim, no escoamento do fluido atravs de tubulaes, bombas, turbinas, asas de avio etc. importante, ento, delimitar uma regio no espao para o estudo, o que pode ser feito por meio da definio de um sistema ou um volume de controle.

    Complete as lacunas da sentena a seguir:

    Sistema uma quantidade de que escolhemos como objeto de estudo. Esta quantidade de matria delimitada por uma fronteira do sistema, por meio da qual fluxo de massa e o volume

    variar. Volume de controle, por sua vez, uma quantidade de volume que escolhemos como objeto de estudo. Esta quantidade de volume delimitada por uma superfcie de controle, por meio da qual

    fluxo de massa, energia e demais quantidades associadas ao escoamento.

    Agora, assinale a alternativa correta.

    a) massa fixa no h pode h.

    b) massa varivel h pode h.

    c) massa fixa h no pode no h.

    d) massa varivel h no pode no h.

    e) massa fixa no h no pode no h.

    2. Existe uma grande variedade de tipos de problemas sobre o escoamento de fluidos, e cada um deles requer uma viso adequada. Dessa forma, conveniente saber descrev-los e classific-los.

    Considere o escoamento descrito: Ar, a 20 C n = ( )15 10 5 2, m s , escoa em regime permanente, com velocidade de 20 m/s, por uma tubulao com dimetro constante de 100 mm.Sobre esse escoamento, avalie as afirmaes a seguir.

    I. O escoamento incompressvel.

    II. O escoamento estacionrio.

    III. O escoamento laminar.

    correto o que se afirma em:

    a) I, apenas.

    b) II, apenas.

    c) I e II, apenas.

    d) II e III, apenas.

    e) I, II e III.

    Faa valer a pena

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos22

    3. Na mecnica dos fluidos, no estamos interessados no comportamento de um corpo rgido, mas, sim, no escoamento do fluido atravs de tubulaes, bombas, turbinas, asas de avio etc. importante, ento, saber descrever cada tipo de escoamento.

    Avalie o trecho a seguir.

    Este mtodo consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seo ou volume de controle no espao e considerar todas as partculas que passam por este local. As caractersticas do escoamento so descritas pela especificao dos parmetros necessrios em funo das coordenadas espaciais, alm do tempo.

    Assinale a alternativa que apresenta o mtodo de descrio ao qual o trecho se refere.

    a) Mtodo de Lagrange.

    b) Mtodo de Euler.

    c) Mtodo de Newton.

    d) Mtodo de Reynolds.

    e) Mtodo de Bernoulli.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 23

    Caro aluno!

    Na seo anterior, estudamos os mtodos de anlise de problemas em Engenharia, para sua correta abordagem. Dessa maneira, aprendemos a descrever e classificar corretamente os tipos de escoamentos de fluido. Agora, nesta seo, abordaremos sobre as leis bsicas aplicadas para um sistema.

    De acordo com Halliday, Resnick e Walker (2012), a Fsica envolve o estudo do movimento dos objetos, incluindo a acelerao, que a variao de velocidade, a causa da acelerao e a energia associada ao movimento. A causa da acelerao sempre uma fora, definida como o agente fsico capaz de alterar o estado de repouso ou de movimento uniforme de um corpo. A velocidade de um objeto muda quando uma fora age sobre ele. Por exemplo: na largada de uma prova de Frmula 1, uma fora exercida pela pista sobre os pneus traseiros provoca a acelerao dos veculos. Quando um carro colide com um poste, uma fora exercida pelo poste faz com que o carro pare bruscamente. As revistas de Cincia, Engenharia, Direito e Medicina esto repletas de artigos sobre as foras a que esto sujeitos os objetos, entre os quais podem ser includos os seres humanos. Como todos sabem, nenhum movimento pode ser iniciado sem algum tipo de energia. Para atravessar o Oceano Pacfico a bordo de um avio, precisamos de energia. Para transportar um computador para o ltimo andar de um edifcio ou para uma estao espacial em rbita, precisamos de energia. Gastamos verdadeiras fortunas para obter e utilizar energia. Na verdade, nossa civilizao depende da sua obteno e do seu uso eficiente.

    Lembre-se de que, nesta unidade, voc foi aprovado no processo de trainee de uma empresa multinacional no ramo de mecnica dos fluidos, sendo selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas dessa empresa. Nessa nova fase, voc, aluno, foi

    Leis bsicas para um sistema

    Dilogo aberto

    Seo 1.2

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos24

    transferido para a rea de projetos de aeronaves e deparou-se com o seguinte desafio: um novo jato comercial est sendo projetado pela equipe da qual voc faz parte, e, neste momento, necessrio estimar o comprimento de pista e o tempo mnimo necessrio para que essa aeronave atinja sua velocidade de decolagem. Cabe a voc essa responsabilidade, portanto, esperamos que desenvolva o seu raciocnio crtico para a soluo de problemas. Quais so as variveis relevantes para esses clculos? Quais as consideraes necessrias para a simplificao do problema? Quais equaes bsicas devemos utilizar?

    Para isso, voc deve conhecer e saber trabalhar com as leis bsicas aplicadas em sistemas, tais como: a conservao de massa; o princpio da quantidade de movimento linear; o princpio da quantidade de movimento angular; a primeira lei da termodinmica e a segunda lei da termodinmica.

    Est preparado para este novo desafio? Bons estudos!

    Leis bsicas para um sistema

    Todas as leis da mecnica so escritas para um sistema, que definido como uma quantidade de massa de identidade fixada. Tudo o que for externo a esse sistema recebe o nome de vizinhana, sendo o sistema separado de suas vizinhanas pela sua fronteira. Essas leis estabelecem, ento, o que ocorre quando h interao entre o sistema e suas vizinhanas.

    As leis bsicas aplicveis aos fluidos devem ser escritas para um volume de controle, e so fundamentais para a anlise de qualquer sistema envolvendo mecnica dos fluidos. Vamos, na sequncia desta seo, compreender cada uma delas, listadas a seguir:

    1. A conservao da massa.

    2. O princpio da quantidade de movimento linear.

    3. O princpio da quantidade de movimento angular.

    4. A primeira lei da termodinmica.

    5. A segunda lei da termodinmica.

    No pode faltar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 25

    A derivada representa a taxa de variao instantnea de uma funo, um exemplo tpico a velocidade que representa a taxa de variao da funo espao no tempo.

    Assimile

    Para transformar essas leis aplicadas em sistemas em equaes equivalentes que possam ser aplicadas em volumes de controle, devemos expressar cada uma das leis citadas como uma equao de taxa, utilizando o conceito de derivada.

    A lei da conservao de massa to bvia em problemas de mecnica dos slidos que, frequentemente, a esquecemos. Por que em mecnica dos fluidos precisamos prestar ateno conservao de massa e analis-la para que ela seja satisfeita?

    Reflita

    Nosso objetivo, portanto, relacionar a taxa de variao de uma propriedade arbitrria, N, do sistema com quantidades associadas ao volume de controle. Da definio de derivada, a taxa de variao de N dada por:

    dNdt

    N Ntt

    t t t

    +lim

    00 0 .

    Vamos, na sequncia, trabalhar com cada uma das leis bsicas e express-las como uma equao de taxa.

    Conservao de massa

    Voc j aprendeu que um sistema uma quantidade de massa fixa que escolhemos como objeto de estudo. Dessa definio, M constante em todo o tempo. Para expressar essa relao como uma equao de taxa, escrevemos:

    dMdt

    = 0,

    em que a massa total do sistema definida em termos de sua massa especfica r e do seu volume V , da seguinte forma:

    M dm dVSistema Sistema

    = = r .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos26

    Princpio da quantidade de movimento linear e angular

    O produto da massa e da velocidade de um corpo chamado de quantidade de movimento linear ou apenas quantidade de movimento.

    A segunda lei de Newton, tambm conhecida como princpio fundamental da dinmica, estabelece que a fora resultante,

    F, agindo sobre um sistema de referncia inercial, igual taxa de variao temporal da sua quantidade de movimento linear

    P :

    F dPdt

    = .

    Vdm a quantidade de movimento linear de uma partcula com massa dm . Dessa forma, o momento linear total do sistema dado por:

    P V dm V dVSistema Sistema

    = = r .

    Um referencial inercial aquele para o qual a primeira lei de Newton vlida. Em outras palavras, para o referencial inercial, se uma partcula no est sujeita a nenhuma fora, ento ela est parada ou movimentando-se em linha reta e com velocidade constante.

    Assimile

    A fora resultante,

    F, inclui todas as foras de campo,

    FC , e de superfcie,

    FS , atuando sobre o sistema:

    F F FC S= + .

    As foras de superfcie, como o prprio nome j sugere, agem sobre as superfcies do sistema, por exemplo, a fora de compresso, de cisalhamento e de frico. A fora de superfcie tambm chamada de fora de contato, pois, neste caso, existe o contato entre a fora e o corpo. Por sua vez, as foras de campo agem em todo o volume do sistema, por exemplo, a fora peso, a fora de Coriolis e as foras de natureza eletromagntica. So foras de longo alcance, tambm chamadas de fora de volume, porque atuam no volume do corpo como um todo. Em geral, essas foras so provenientes das aes dos campos gravitacional, eltrico e magntico.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 27

    O efeito de Coriolis ou a fora de Coriolis um sistema com referencial em rotao uniforme, em que os corpos em movimentos lineares, quando vistos por um observador no mesmo referencial, aparecem sujeitos a uma fora perpendicular direo do seu movimento. O vdeo a seguir explica de maneira simples o efeito de Coriolis. Vale a pena conferir!

    MELLO, Diego. Acelerao e efeito de Coriolis. Disponvel em: . Acesso em: 29 out. 2017. (Vdeo do Youtube)

    Pesquise mais

    Uma partcula de massa 10 kg move-se horizontalmente com velocidade de 5 m/s, quando se choca com uma parede vertical e ricocheteia com velocidade de 2 m/s. Sabendo que a coliso durou apenas 0,2 segundo, qual o mdulo da fora causada por esse impacto?

    Soluo:

    Como a partcula possui massa constante, o mdulo da variao do momento linear calculado como:

    P m V m Vinicial final= ,

    em que

    V m sinicial = 5 e

    V m sfinal =2 (sentido oposto).

    Dessa forma:

    P kg m s m s kg m s= ( ) = 10 5 2 30 .

    Portanto, o mdulo da fora causada pelo impacto :

    FP

    t sNkg m s= = =

    300 2

    150,

    .

    Exemplificando

    O princpio da quantidade de movimento angular o equivalente segunda lei de Newton para sistemas em rotao e afirma que o torque resultante,

    T , agindo sobre o sistema, igual taxa de variao temporal da quantidade de movimento angular

    H :

    T dHdt

    = .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos28

    Essa equao vlida para uma quantidade fixa de massa e um referencial inercial. A quantidade de movimento angular do sistema o produto vetorial entre o vetor posio

    r e a quantidade de movimento linear

    P aplicado:

    H r V dm r V dVSistema Sistema

    = = r .

    O torque,

    T , pode ser produzido por foras de superfcie e de campo e, tambm, por eixos que cruzam a fronteira do sistema:

    T r F r F TS C eixo= + + .

    Se considerarmos apenas o campo gravitacional atuando no sistema, teremos:

    F gdm g dVC = = r .

    Uma partcula sofre ao de dois torques em relao origem, o primeiro tem mdulo de 2 0, N m e aponta no sentido positivo do eixo x, e o segundo tem mdulo de 4 0, N m e aponta no sentido negativo do eixo y. A taxa de variao da quantidade de movimento angular pode ser calculada como:

    dHdt

    T T T N m i N m j

    = = + = ( ) ( )1 2 2 0 4 0, , .

    Portanto, o mdulo do vetor dH dt

    :

    .dHdt

    N m N m N m

    = ( ) ( ) = 2 0 4 0 4 52 2, , , .

    Logo, essa partcula sofre o torque total de 4,5 N.m.

    Exemplificando

    Primeira e segunda lei da termodinmica

    A primeira lei da termodinmica um enunciado do princpio da conservao de energia, que estabelece que a quantidade total de energia em um sistema isolado permanece constante. De forma simplificada, a variao da energia, E, contida em um sistema

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 29

    expressa por meio da diferena entre a quantidade de calor, Q, trocada com o meio ambiente e o trabalho, W, realizado durante a transformao do sistema:

    dE Q W= d d .

    Essa equao pode ser escrita na forma de taxa como:

    dEdt

    Q W= ,

    em que Q a taxa lquida na qual a energia transferida para dentro do sistema por transferncia de calor no tempo t , e W a taxa lquida na qual a energia transferida para fora do sistema por trabalho no tempo t .

    A energia total do sistema dada por:

    E edm e dVSistema Sistema

    = = r ,

    em que:

    e u V gz= + +2

    2.

    Nessa equao, u a energia interna especfica, V a velocidade e z a altura de um sistema de massa dm.

    Considerando a energia cintica Ec( ), a energia potencial Ep( ) e a energia interna U( ), a taxa temporal de variao da energia contida no sistema dada por:

    dEdt

    dEdt

    dEdt

    dUdt

    c p= + +

    A taxa de transferncia de calor Q positiva quando o calor adicionado ao sistema pela sua vizinhana, e negativa quando o calor removido do sistema. A taxa de trabalho W positiva quando o trabalho realizado pelo sistema sobre sua vizinhana, e negativa quando o trabalho realizado pela vizinhana.

    Assimile

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos30

    A seguir, temos um exemplo prtico que traz o clculo da transferncia de calor lquida em um processo.

    Um sistema cilindro-pisto contm 0,4 kg de um certo gs que se comporta como um gs ideal. Quando o sistema realiza um trabalho de 17,6 kJ, ocorre uma variao da energia interna especfica de 55 kJ/kg. Sabendo que no h variao significativa da energia cintica ou potencial, qual a transferncia de calor lquida para esse processo?

    Soluo:

    Um balano de energia para o sistema adquire a forma:

    E E E U Q Wc p= + + = ,

    na qual os termos das energias cinticas e potencial tornam-se nulos. Ento, reescrevendo U , em termos das energias internas especficas, o balano de energia torna-se:

    m u Q W = .

    Resolvendo para Q:

    Q m u W kg kJ kg kJ kJ= = ( )+ = 0 4 55 17 6 4 4, , ,

    Portanto, o sistema perde 4,4 kJ em forma de calor.

    Exemplificando

    A segunda lei da termodinmica expressa, de forma concisa, que a quantidade de entropia de qualquer sistema isolado termodinamicamente tende a aumentar com o tempo, at alcanar um valor mximo. Se uma quantidade de calor dQ for transferida para um sistema temperatura T, a variao de entropia dS do sistema satisfar a relao:

    dS QT

    d

    .

    Essa equao pode ser escrita na forma de taxa como:

    dSdt

    QT

    ,

    em que a entropia total do sistema dada por:

    S sdm s dVSistema Sistema

    = = r .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 31

    No h apenas um enunciado da segunda lei que aborde cada um dos seus muitos aspectos. Trs enunciados alternativos so citados por Moran et al. (2013) e apresentados a seguir.

    i. Enunciado de Clausius: impossvel para qualquer sistema operar de tal maneira que o nico resultado seja a transferncia de energia sob a forma de calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente.

    ii. Enunciado de Kelvin-Planck: impossvel para qualquer sistema operar em um ciclo termodinmico e fornecer uma quantidade lquida de trabalho para a sua vizinhana enquanto receber energia por transferncia de calor de um nico reservatrio trmico.

    iii. Enunciado da entropia: impossvel para qualquer sistema operar de uma maneira que a entropia seja destruda.

    As dedues da segunda lei levam a muitas aplicaes importantes, como: prever o sentido de processos; estabelecer condies de equilbrio; determinar o melhor desempenho terico de ciclos, motores e outros dispositivos, e avaliar quantitativamente os fatores que impedem o alcance do melhor nvel de desempenho terico. Alm da termodinmica aplicada Engenharia, a segunda lei e as dedues com base nela tm sido utilizadas na Economia, na Filosofia e em outras disciplinas.

    Para saber mais sobre a segunda lei da termodinmica e a utilizao da entropia, sugerimos a leitura dos captulos 5 e 6 do livro indicado a seguir:

    MORAN, Michael J. et al. Princpios de termodinmica para Engenharia. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.

    Pesquise mais

    Agora que j vimos as cinco leis bsicas expressas como equaes de taxa para um sistema, nosso trabalho desenvolver expresses equivalentes que possam ser aplicadas em um volume de controle. Isso ser feito na sequncia deste livro.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos32

    Uma empresa multinacional, no ramo de mecnica dos fluidos, concluiu um processo de trainee no qual voc, aluno, obteve xito e foi selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas da empresa. Neste momento, voc foi transferido para a rea de projetos de aeronaves e deparou-se com o seguinte desafio: um novo jato comercial est sendo projetado pela equipe da qual voc faz parte, sendo necessrio estimar o comprimento de pista e o tempo mnimo necessrio para que essa aeronave atinja sua velocidade de decolagem. Cabe a voc essa responsabilidade, portanto, esperamos que desenvolva o seu raciocnio crtico para a soluo de problemas.

    Para cumprir sua tarefa, considere a massa da aeronave totalmente carregada m, a fora F exercida pelas turbinas como constante, a velocidade de decolagem V e toda resistncia desprezvel.

    O princpio da quantidade de movimento linear dita que:

    F dPdt

    d m V

    dtdmdt

    V m dVdt

    F dmdt

    V meixo x x= =( )= + = + x dV

    dtx .

    Tendo em vista que a massa da aeronave permanece constante durante a decolagem, temos dm dt = 0. Assim:

    F mdVdtxx= .

    Pela regra da cadeia, podemos, ento, reescrever o princpio da quantidade de movimento linear da seguinte forma:

    F mdVdt

    mdVdx

    dxdt

    m VdVdxx

    x xx

    x= = = .

    Portanto:

    F m VdVdxx x

    x= .

    Separando as variveis dessa equao e integrando, obtemos o comprimento de pista mnimo, x, para decolagem:

    F dx m V dV F dx m V dV xm VFx x x x x x

    Vxx

    x

    = = = 00

    2

    2.

    Sem medo de errar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 33

    Para o clculo do tempo, retornamos equao da quantidade de movimento linear:

    F mdVdtxx=

    Separando as variveis dessa equao e integrando, obtemos o tempo mnimo para decolagem:

    F dt m dV F dt m dV tm VFx x x x

    x

    x

    Vt = = =

    00 .

    Vale a pena salientar que as resistncias aerodinmicas e de rolamento iriam aumentar significantemente ambos os resultados.

    Pronto! Com essas informaes em mos, voc j pode reportar ao seu gestor a soluo da tarefa que lhe foi concedida. Dessa forma, voc finalizou com sucesso mais um desafio.

    Clculo do coeficiente de atrito

    Descrio da situao-problema

    Imagine que voc trabalha em uma empresa que analisa a segurana no trfego de automveis. Sua tarefa rotineira verificar o comportamento de veculos em curvas acentuadas. Para isso, um determinado veculo com massa m posto para trafegar com uma velocidade constante, V , por uma curva acentuada, de raio, R , uniforme. Qual deve ser o coeficiente de atrito, , mnimo, entre o asfalto e os pneus do automvel, antes da perda de trao?

    Resoluo da situao-problema

    Aplicando o princpio da quantidade de movimento linear, temos:

    F dmdt

    V m dVdt

    = + .

    A massa do carro permanece constante durante todo o tempo, e a nica acelerao envolvida a centrpeta, assim:

    F m a m VRc

    = = 2

    .

    Avanando na prtica

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos34

    Para que o carro no perca trao, a fora de atrito deve ser suficientemente grande para manter o carro na pista, portanto:

    = m g m VR

    2

    .

    Finalmente, podemos encontrar o valor mnimo do coeficiente de atrito antes da perda de trao:

    =VR g

    2

    .

    Por meio desses clculos, so obtidos os valores do coeficiente de atrito para diversas velocidades e raios de curvatura. Com esses dados, voc pode dar um feedback montadora sobre a correta seleo dos pneus para a segurana apropriada dos veculos.

    1. O conhecimento das leis bsicas aplicveis fundamental para a anlise de qualquer sistema envolvendo mecnica dos fluidos.

    Avalie o trecho a seguir.

    A fora resultante que age sobre um sistema de referncia inercial igual taxa de variao temporal da sua quantidade de movimento linear.

    A lei bsica a qual o trecho se refere a:

    a) Primeira lei de Newton.

    b) Segunda lei de Newton.

    c) Terceira lei de Newton.

    d) Primeira lei da termodinmica.

    e) Segunda lei da termodinmica.

    2. Uma aeronave comercial de 10 toneladas viaja com uma velocidade de cruzeiro de 200 m/s altitude de 10.000 m. Devido a uma falha momentnea dos motores, a aeronave perde altitude, chegando a 9.000 m de altura.

    Qual ser a velocidade do avio nessa nova altitude? Considere a acelerao da gravidade igual a 9 8 2, /m s .a) 203 m/s.

    b) 244 m/s.

    c) 298 m/s.

    d) 312 m/s.

    e) 354 m/s.

    Faa valer a pena

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 35

    3. Uma massa de 10 kg percorre uma trajetria retilnea com velocidade de 5 m/s. Em um determinado momento, uma fora F age sobre ela no sentido contrrio ao movimento, fazendo-a reduzir sua velocidade de 20% em 10 segundos.

    O mdulo da fora F, para reduzir a velocidade da massa, de:

    a) 1 N.

    b) 2 N.

    c) 3 N.

    d) 4 N.

    e) 5 N.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos36

    Grande parte do comportamento de um fluido baseada na conservao de massa, no princpio da conservao da energia e no princpio da conservao da quantidade de movimento. Essas leis foram formuladas originalmente para uma partcula, de acordo com a abordagem lagrangeana. Contudo, para a aplicao na mecnica dos fluidos, precisamos obter um meio de converter essas leis da sua descrio lagrangeana para a euleriana. Essa converso para um sistema de partculas feita por meio do Teorema do Transporte de Reynolds. Nesta seo, formalizaremos esse teorema, uma vez que o usaremos na prxima unidade para desenvolver a equao da continuidade e as equaes da energia e da quantidade de movimento aplicadas a um volume de controle, que so amplamente utilizadas tanto na resoluo de problemas prticos e tericos quanto no projeto de mquinas e equipamentos que trabalham com fluidos.

    Lembre-se de que, nesta unidade, voc foi aprovado no processo de trainee de uma empresa multinacional, no ramo de mecnica dos fluidos, sendo selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas dessa empresa. Nesse cargo de trainee, voc est passando agora pela ltima etapa do job rotation, na rea de modelamento matemtico de fluidos. Voc j conhece as leis bsicas para um sistema; essas leis so fundamentais para a anlise de qualquer sistema envolvendo mecnica dos fluidos, desenvolvendo o seu raciocnio crtico na soluo de problemas. Seu objetivo agora utilizar o Teorema do Transporte de Reynolds, junto aos seus conhecimentos j adquiridos sobre as leis bsicas, a fim de deduzir a equao geral de conservao de massa para um volume de controle inercial qualquer. O resultado dessa deduo poder ser aplicado na resoluo dos mais diversos tipos de problemas sobre fluidos. Como transformar uma lei aplicada a um sistema em uma equao equivalente aplicada a um volume de controle? Quais propriedades extensivas so importantes nesse caso? E quais suas respectivas propriedades intensivas? Feito isso, voc ter finalizado com sucesso seu processo de trainee.

    Relao entre sistema e volume de controle

    Dilogo aberto

    Seo 1.3

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 37

    Para isso, voc deve compreender como associar as equaes aplicadas a um sistema com as equaes para volume de controle, por meio da relao entre as derivadas do sistema e a formulao para volume de controle, utilizando o Teorema do Transporte de Reynolds.

    Est preparado para este novo desafio? Bons estudos!

    Relao entre as derivadas do sistema e a formulao para volume de controle

    Caro aluno!

    Na seo anterior, ns obtivemos as cinco leis bsicas para um sistema expressas como equaes de taxa. Nosso objetivo aqui desenvolver uma expresso geral para converter essas equaes de taxa, aplicadas a um sistema, em equaes equivalentes aplicadas a um volume de controle.

    Antes de continuarmos, precisamos relembrar dois conceitos importantes da Fsica: a propriedade intensiva e a propriedade extensiva. As propriedades intensivas so propriedades fsicas que no dependem da extenso do sistema, ou seja, so independentes do tamanho ou da quantidade de matria, ou da massa, de um dado sistema. Como exemplos, podemos citar a velocidade, a temperatura e a presso.

    Por outro lado, as propriedades extensivas dependem da extenso do sistema; em outras palavras, variam de forma proporcional com o tamanho ou a quantidade de matria, ou a massa, existente em um dado sistema. A massa, o volume e a quantidade de movimento so exemplos de propriedades extensivas.

    Toda propriedade extensiva tem uma propriedade intensiva a ela correspondente. Dessa forma, podemos relacionar as propriedades da seguinte maneira: usaremos o smbolo N para representar qualquer uma das propriedades extensivas do sistema e h para sua propriedade intensiva correspondente, portanto:

    h =dNdm .

    No pode faltar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos38

    Separando as variveis e integrando, obtemos:

    N dm dVSistema Sistema

    = = .

    Exemplificando

    Tabela 1.1 | Propriedades extensivas e intensivas

    Fonte: elaborada pelo autor (2017).

    Propriedade extensiva, N Propriedade intensiva, h

    [ ]M kg 1

    kg mPs

    mVs

    2kg mHs

    2mr Vs

    [ ]E J Jekg

    JSK

    Jskg K

    Analisando as leis bsicas, podemos encontrar as propriedades extensivas e suas correspondentes propriedades intensivas. Essas propriedades so apresentadas na Tabela 1.1.

    Como podemos, ento, deduzir uma equao geral para descrever o comportamento de um volume de controle com base em um sistema?

    Para tanto, selecionaremos uma poro arbitrria de um fluido em escoamento no tempo t0 , conforme ilustra a Figura 1.1(a). Nesse instante, o sistema ocupa exatamente todo o volume de controle, que fixo no espao em relao s coordenadas xyz. Decorrido um tempo infinitesimal t, o sistema ter se movido, devido ao escoamento, para uma nova posio no espao em t t0 + , continuando o volume de controle fixo na mesma regio do espao, conforme mostra a Figura 1.1(b).

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 39

    Todas as leis bsicas que ns discutimos at aqui se aplicam apenas ao sistema, tanto em t0 como em t t0 + . Por exemplo, a massa do sistema permanecer constante, respeitando a conservao de massa.

    Com base na geometria do par sistema-volume de controle, nos tempos t0 e t t0 + , e utilizando tcnicas de derivao, podemos, ento, obter as formulaes das leis bsicas para um volume de controle.

    Figura 1.1 | Configuraes para sistema e volume de controle

    Fonte: Fox; Pritchard; McDonald (2014, p. 102).

    Derivao do sistema

    Vamos, agora, com base na Figura 1.1, compreender como obteremos a expresso geral para converter as equaes de taxa para um sistema em equaes equivalentes aplicadas a um volume de controle.

    Observando a Figura 1.1(b), identificamos trs regies importantes, I, II e III. As regies I e II juntas formam o volume de controle fixo, VC; as regies I e II juntas tambm formam o sistema no tempo t0 , e as regies II e III juntas compem o sistema no tempo t t0 + .

    Da definio de derivada, a taxa de variao de uma propriedade extensiva em um sistema, Ns , dada por:

    dNdt

    N N

    ts ts t t s t

    ) )

    +lim

    00 0 .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos40

    Pela geometria da Figura 1.1:

    N Ns t VC t) = ( )0 0e

    N N N N N Ns t t II III t t VC I III t t) = +( ) = +( )+ + +0 0 0 .

    Substituindo na definio de derivada, obtemos:

    dNdt

    N N N N

    ts tVC I III t t VC t

    =

    +( ) ( )

    +lim

    00 0 .

    Lembrando que o limite da soma igual soma dos limites, podemos escrever:

    dNdt

    N N

    ts tVC t t VC t

    =

    ( ) ( )

    +lim

    00 0

    Termo ( 1 )

    +

    ( )

    +lim

    tIII t tN

    t00

    Termo ( 2 )

    ( )

    +lim

    tI t tN

    t00

    Termo ( 3 )

    Vamos, agora, avaliar os termos (1), (2) e (3) da equao anterior.

    O termo (1) determina a taxa de variao com o tempo da propriedade extensiva dentro do volume de controle, e pode ser simplificado para:

    lim

    tVC t t VC t VC

    VC

    N N

    tNt t

    dV

    +( ) ( )

    == 0

    0 0 .

    O termo (2) calcula o fluxo da propriedade extensiva atravs da superfcie de controle III, e pode ser escrito como:

    lim

    tIII t t

    SC

    N

    tV dA

    III

    +( )

    = 00

    .

    Finalmente, o termo (3) calcula o fluxo da propriedade extensiva atravs da superfcie de controle I, e pode ser expresso da seguinte maneira:

    lim

    tI t t

    SC

    N

    tV dA

    I

    +( )

    = 00

    .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 41

    O vetor elemento de rea dA

    tem mdulo do elemento de rea da superfcie de controle, e seu sentido o da normal superfcie para fora do elemento de rea. O vetor velocidade

    V pode estar entrando ou saindo do volume de controle e sempre estar fazendo um ngulo qualquer com relao a dA

    .

    Para compreender a simplificao da equao:

    dNdt

    N N

    ts tVC t t VC t

    =

    ( ) ( )

    +lim

    00 0

    Termo ( 1 )

    +

    ( )

    +lim

    tIII t tN

    t00

    Termo ( 2 )

    ( )

    +lim

    tI t tN

    t00

    Termo ( 3 )

    para:

    dNdt t

    dVs VC

    =

    Termo ( 1 )

    +

    V dA

    SCIII

    Termo ( 2 )

    V dA

    SCI

    Termo ( 3 )

    ,

    sugerimos a leitura das pginas 202 a 204 do seguinte livro:

    FOX, Robert W.; PRITCHARD, Philip J.; McDONALD, Alan T. Introduo mecnica dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.

    Nesse livro, mostrado passo a passo, com o auxlio de figuras, como obter cada um dos termos (1), (2) e (3) indicados.

    Pesquise mais

    Teorema do Transporte de Reynolds

    Podemos substituir os termos (1), (2) e (3), obtidos anteriormente, na equao da derivada do sistema:

    dNdt t

    dVs VC

    =

    Termo ( 1 )

    +

    V dA

    SCIII

    Termo ( 2 )

    V dA

    SCI

    Termo ( 3 )

    .

    Rearranjado os termos, ficamos com:

    dNdt t

    dV V dA V dAs VC SC SCI III

    =

    + +

    .

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos42

    Avaliando a Figura 1.1(b), as superfcies de controle I e III, somadas, constituem a superfcie de controle inteira. Dessa forma, as duas ltimas integrais podem ser combinadas em uma nica integral que representa a superfcie de controle total, SC. Assim:

    dNdt t

    dV V dAs VC SC

    =

    +

    .

    Finalmente, essa a equao geral que buscvamos obter: a relao geral entre a taxa de variao de qualquer propriedade extensiva, N, de um sistema e as variaes dessa propriedade associadas a um volume de controle, conhecida como o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR).

    Ao utilizar a equao do Teorema do Transporte de Reynolds, voc deve tomar muito cuidado na avaliao do produto escalar

    entre os vetores velocidade e rea,

    V dA . Por definio, o vetor rea sempre perpendicular e direcionado para fora do volume de controle, j o vetor velocidade pode estar direcionado para fora ou para dentro do volume de controle. Essa diferena de direo faz com que o resultado do produto escalar seja positivo ou negativo, dependendo do caso em questo, como ilustrado na Figura 1.2, que demonstra ambas as situaes.

    Figura 1.2 | Avaliao do produto escalar

    V dA

    Fonte: adaptada de Fox; Pritchard; McDonald (2014, p.104).

    A multiplicao escalar entre dois vetores calculada como o produto entre os mdulos dos vetores e o cosseno do ngulo entre eles. Para o caso de uma sada normal, o ngulo entre os vetores de 0, e o produto assume um valor positivo. Para uma entrada normal, o ngulo entre os vetores de 180, por consequncia o produto escalar ser negativo.

    Assimile

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 43

    Interpretao fsica dos termos do Teorema do Transporte de Reynolds

    Com o auxlio do Teorema do Transporte de Reynolds, podemos converter as equaes de um sistema para equaes equivalentes aplicadas em um volume de controle. Para isso, basta substituirmos na equao do teorema os valores de N e h pela propriedade extensiva que se deseja estudar e sua respectiva propriedade intensiva. Por ser uma equao fundamental no estudo das leis bsicas, ela ser repetida a seguir, a fim de enfatizar a sua importncia:

    dNdt t

    dV V dAs VC SC

    =

    +

    .

    Antes de voc aplicar essa equao, vamos compreender o significado de cada termo.

    dNdt s

    Taxa de variao da propriedade extensiva N do sistema.

    Por exemplo, se N M= , obtemos a taxa de variao com o tempo da massa.

    t dVVC

    Taxa de variao da propriedade extensiva dentro do volume de controle.

    Por exemplo, se N H=

    , ento h =

    r V ,

    r V dVVC r calcula a quantidade total de

    quantidade de movimento angular dentro

    do volume de controle e

    t r V dVVC

    r

    calcula a taxa de variao dessa quantidade total.

    SC

    V dA

    Taxa lquida de fluxo da propriedade extensiva atravs da superfcie de controle.

    Por exemplo, se N P=

    , ento h =

    V e

    V V dASC

    r calcula a taxa lquida de fluxo de quantidade de movimento linear atravs da superfcie de controle.

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos44

    Qual seria o significado de cada termo da equao do Teorema do Transporte de Reynolds para cada uma das leis bsicas?

    Reflita

    importante destacar que a velocidade sempre medida com relao ao volume de controle. Se o volume de controle estacionrio ou move-se com uma velocidade linear constante, ele constituir um sistema inercial, e as leis bsicas que j descrevemos podero ser aplicadas sem nenhum problema. Para um volume de controle em acelerao, a segunda lei de Newton deve ser modificada antes de aplicada. Faremos isso mais adiante neste material.

    Uma empresa multinacional no ramo de mecnica dos fluidos concluiu um processo de trainee no qual voc, aluno, obteve xito, sendo selecionado para realizar um job rotation, nas diversas reas da empresa. Voc, no cargo de trainee, est passando agora pela ltima etapa do job rotation, na rea de modelamento matemtico de fluidos. J conhecendo as leis bsicas para um sistema, estas sero fundamentais para a anlise de qualquer sistema envolvendo mecnica dos fluidos, desenvolvendo o seu raciocnio crtico na soluo de problemas. Seu objetivo agora utilizar o Teorema do Transporte de Reynolds, junto aos seus conhecimentos j adquiridos sobre as leis bsicas, a fim de deduzir a equao geral de conservao de massa para um volume de controle inercial qualquer. O resultado dessa deduo ser aplicado na resoluo dos mais diversos tipos de problemas sobre fluidos.

    Para transformar uma lei bsica aplicada a um sistema em uma equao equivalente vlida para um volume de controle qualquer, utilizamos o Teorema do Transporte de Reynolds.

    Com base no Teorema do Transporte de Reynolds, temos:

    dNdt t

    dV V dAs VC SC

    =

    +

    ,

    em que N uma propriedade extensiva e h sua propriedade intensiva correspondente.

    Sem medo de errar

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 45

    Devemos, ento, substituir os valores de N e h pela propriedade extensiva de interesse e sua respectiva propriedade intensiva. Pela Tabela 1.1, verificamos que, para a conservao da massa N M= e h = 1, substituindo obtemos:

    dMdt t

    dV V dAs VC SC

    =

    + r r

    .

    Mas, pela definio de sistema, sabemos que a massa M no varia com o tempo, portanto:

    dMdt s

    = 0.

    Finalmente, a equao geral de conservao de massa para um volume de controle qualquer expressa da seguinte forma:

    + = t dV V dAVC SCr r

    0.

    Com essa equao, modelamos qualquer problema em mecnica dos fluidos, utilizando o conceito de volume de controle. Dessa forma, voc retornou ao seu superior com a deduo correta e finalizou seu processo de trainee com xito.

    Aplicao do Teorema do Transporte de Reynolds

    Descrio da situao-problema

    Voc trabalha em uma empresa fabricante de bocais para mangueiras de incndio e um dos principais problemas enfrentados pela sua equipe a fixao desses bocais na sada da mangueira, visto que ela est sujeita a elevadas presses. Seu gerente solicitou-lhe que encontrasse, ento, uma expresso geral para o clculo da fora exercida sobre o bocal, a fim de ele seja projetado e fixado de maneira correta na mangueira. Como desenvolver esse equacionamento e encontrar a soluo?

    Resoluo da situao-problema

    Pelo Teorema do Transporte de Reynolds, temos:

    dNdt t

    dV V dAs VC SC

    =

    +

    .

    Avanando na prtica

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos46

    Devemos, ento, substituir os valores de N e h pela propriedade extensiva de interesse e sua respectiva propriedade intensiva. Pela anlise da Tabela 1.1, verificamos que, para o princpio da quantidade

    de movimento linear N P=

    e h =

    V , substituindo obtemos:

    dPdt t

    V dV V V dAs VC SC

    =

    + r r

    A segunda lei de Newton, tambm conhecida como princpio fundamental da dinmica, estabelece que a fora resultante,

    F, agindo sobre um sistema de referncia inercial, igual taxa de variao temporal da sua quantidade de movimento linear

    P , portanto:

    F dPdt

    = .

    Finalmente, o princpio da quantidade de movimento linear para um volume de controle expresso da seguinte forma:

    FtV dV V V dA

    VC SC

    =

    + r r .

    Logo, possvel calcular a fora exercida sobre os mais variados tipos de bocais produzidos pela empresa. Feito isso, voc retornou ao seu gerente com a resposta e solucionou com sucesso mais esse desafio.

    1. A respeito do Teorema do Transporte de Reynolds, analise as afirmaes a seguir e julgue-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

    ( ) O Teorema do Transporte de Reynolds til para transformar as equaes de taxa de suas formas de volume de controle para suas formas de sistema.

    ( ) O Teorema do Transporte de Reynolds aplica-se apenas aos volumes de controle fixos.

    ( ) O Teorema do Transporte de Reynolds pode ser aplicado a quantidades escalares e vetoriais.

    Assinale a alternativa que apresenta a sequncia correta.

    a) F, V, V.

    b) F, F, V.

    c) V, F, F.

    d) V, V, F.

    e) F, F, F.

    Faa valer a pena

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos 47

    2. O Teorema do Transporte de Reynolds utilizado para transformar as equaes bsicas aplicadas a sistemas em equaes equivalentes que podem ser aplicadas a volumes de controle. O princpio da quantidade de movimento angular o equivalente segunda lei de Newton para sistemas em rotao. Tal princpio aborda que o torque resultante,

    T, agindo sobre o sistema, igual taxa de variao temporal da quantidade de movimento angular

    H .Qual a expresso equivalente para o clculo do torque em um volume de controle?

    a)

    Tt

    r dV r V dAVC SC

    =

    + r r

    b)

    Tt

    r V dV r V V dAVC SC

    =

    + r r

    c)

    Tt

    r V dV r V dAVC SC

    =

    + r r 2

    d)

    TtV dV V V dA

    VC SC

    =

    + r r

    e)

    Tt

    r V dV r V V dAVC SC

    =

    + r r

    3. A Figura 1.3, a seguir, mostra uma regio no espao selecionada para o estudo do escoamento de um fluido qualquer. As reas A1 e A2 so as reas das superfcies de controle abertas por onde h fluxo de alguma propriedade extensiva, h ; as demais superfcies de controle so fechadas.

    Figura 1.3 | Volume de controle selecionado para estudo

    Fonte: elaborada pelo autor.

    Se V m s2 10= , qual a expresso para o fluxo de uma propriedade extensiva pela rea A2? a) -8 66, . Ab) -7 07, . Ac) 8 66, . A

    d) 7 07, . Ae) 5 00, . A

  • U1 - Conceitos fundamentais em mecnica dos fluidos48

    RefernciasENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecnica dos fluidos: fundamentos e aplicaes. 3. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2015.

    FOX, Robert W.; PRITCHARD, Philip J.; McDONALD, Alan T. Introduo mecnica dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.

    HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Fsica Mecnica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 1.

    MORAN, Michael J. et al. Princpios de termodinmica para Engenharia. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.