mecanica de fluidos. streeter

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capítulo 5 Análisis dimensional y similitud dinámica Los parámetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro sobre los fe nómenos del flujo de fluidos en forma analoga al caso del donde la relación entre los diámetros del pistón, un número que es independiente del tamaño real del gato. determina la ven taja mecaruca. Estos pacimelros permiten que resuhados experimentales limitados se:m aplic.ados a que involucran dimensiones fís icas diferentes y a menudo propiedades flUidas diferentes. Los co nc eptos de análisis adimensional introducidos en capítulo con un entendimiento de la mecánica del lipa de flujo bajo es tudiO hacen pOSible generalizar la infonnación experime nt al. La consecuencia de tal generalización es múltiple, debido a que ahora es posible describir el fe nómeno y n? se restrin ge a la discusión del experimento especializado Por c?nslguiente, es posible llevar a cabo menos, aunque altamente select iVOs, expenmentos con el fin de descubri r las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr impor1antes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse tambien a o tros ingenieros y científicos en forma más compacta y signific:ni va con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que. a través de esta presentación inc isiva y ordenada de inf0l111ación los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles. En el sigUiente capítulo, el cual trata principalmente los efectos viscosos, el número de Reynolds es un par:imetro altamente importante. En el CJpítulo 12. relacionado con canales ab iertos. el número de Fraude tiene la mayor importancia. Muchos de los parámetros adimensionales pueden ser vistos como la relación de un par de fuerzas fluidas. cuya magnitud relativa indica la importancia re lativa de una .de las fuerzas con respecto a la Olr:J. Si algunas fuerzas en una situación de flujo parucular son mucho más grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto las fuerzas menores y tratar el fenómeno como si estuviera completamente por tas fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar proced.,mlcntos matemáticos y e:<perimeIHales más si mples , a un que no necesanamente faciles, para resolver el problema. En aquellas si tuaciones con varias .con la misma magnitud, tales como fuerzas inerciales, viscosas y se requieren técnicas especiales. Después de una discusión de pr.esenta n el análisis dimensional y los parámetros adimensionales, la smuütud dmruruca y los estudios en modelos. Aná li sis dimensional y simi litud dinámica 225 S.l HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES Para resolver problemas prácticos de diseño en mecanica de fluidos. usualmente se requiere ta nlOde desarrollos teóricos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parámetros adimensionales. es posible reducir el nlÍmero de variables y hacer que este result ado compacto (ecuaciones o gráfic:lS de datos) sea aplicab le a otras situaciones similares. Si uno fuera a escribir la ecuación de movimiento F = ma para un paquete de fluido, incluyendo todos lo s tipos de fuerza que pueden actuar sobre el paquete, tales como las fue rzas de gravedad , de presión. viscosas. elásticas y de tensión superficial. resultaóa una ecuación donde la suma de es ta s fuerz.:ts es igual a ma. la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada ténnino debe tener las mismas dimensiones. en este caso de fuerza. La divisi ón de cada ténninode la ecuación por uno cualquiera de los otros haría que la ecuación fuera .:tdimensional. Por ejemplo. dividiendo por el término de fuerza inercial, resultaría en la suma de parámetros adimensionales igual a la unidad. El tamaño rdativo de cada parámetro, respecto a la unidad, indicaría su impor1anc ia. Si se fuera a dividir la ecuación de fuerza por un ténnino diferente, por ejemplo el término de fuerzas viscosas, se obtendría Olro conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia en el tipo de flujo es difícil determinar qué parámetros serían los s útiles. Un t!jemplo para el uso del analisis dimensional y sus ve nt ajas está dado mediante la cons ide rac ión del resalto hidr.íuUco, tratado en la sección 3.8. Para este caso la ecuación de momentum puede reescribirse como yyl2 _ ni 2 2 (V; - g ; y , '[1 -( l'l ) ' 1 = vi .L y ,(1 - l'l ) l'l - g ( 5.1.1 ) Claramente. el lado derecho de la ecuación representa las fuerzas inerciales y el izquierdo las fuerzJs de presión debidas a la gravedad. Estas dos fuerzas son iguales en magnitud, debido a que una detennina la otra en esta ecuación. Es más, el término '!Y112 tiene dimensiones de fue rza por unidad de ancho y multiplica un número adimensional que está especificado por la geometría del resalto hidráulico. Si se divide esta ecuación por el término geométrico 1- Y/Y I y un número representativo de las fuerzas gravitacionales, se liene Vi = .!.l'l(1 + l'l) gy¡ 2 YI YI (5.1.2) Ahora es claro que el lado izquierdo es la relación entre las fuerzas inercia le s y las gravitacionales, aunque la representación explícita de las fuerzas se ha oscurecido debido a la cancelac ión de términos comunes en el numerador y en el denominador. Esta relación es equivalente a un parámetro adimensional, el cuadrado del número de Fraude , el cual se discutirá posteriormente con más deta lle en este capítu lo. También es interesante notar que esta relación de fuerza se co noc e una vez qu e la relación Y/Y I esté dada, sin importar los valo re s de Y2 y YI' De esta observación se puede ver que el alcance de la ecuación (5.1.2) se ha incrementado con respecto a la ecuación (5.1.1) a pesar de qu e es solamente un reordenamiento de la otra. Al escribir la ecuación de momentum que condujo a la ecuación (5.1.2). sólo se inclu ye ron las fuerzas inerciales y gravitacionales en el en un ciado del problema original. Pero otras fuerz as , tales

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ANALISIS DIMENSIONAL

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capítulo

5 Análisis dimensional y similitud dinámica

Los parámetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro entend~mient? sobre los fenómenos del flujo de fluidos en forma analoga al caso del ga~o hl~r:iulico , donde la relación entre los diámetros del pistón, un número ad,~e~siOnal que es independiente del tamaño real del gato. determina la ven taja mecaruca. Estos pacimelros permiten que resuhados experimentales limitados se:m aplic.ados a situ.acion~s que involucran dimensiones fís icas diferentes y a menudo propiedades flUidas diferentes. Los conceptos de análisis adimensional introducidos en es~e capítulo j~nto con un entendimiento de la mecánica del lipa de flujo bajo estudiO hacen pOSible generalizar la infonnación experimental. La consecuencia de tal generalización es múltiple, debido a que ahora es posible describir el fe nómeno cOI~ple[amente y n? se restringe a la discusión del experimento especializado reaJ¡z~do. Por c?nslguiente , es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectiVOs, expenmentos con el fin de descubri r las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr impor1antes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse tambien a otros ingenieros y científicos en forma más compacta y signific:niva con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que. a través de esta presentación incisiva y ordenada de inf0l111ación los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el conocimient~ del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se deb~it~a si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles. En el sigUiente capítulo, el cual trata principalmente los efectos viscosos , el número de Reynolds es un par:imetro altamente importante. En el CJpítulo 12. relacionado con canales abiertos. el número de Fraude tiene la mayor importancia.

Muchos de los parámetros adimensionales pueden ser vistos como la relación de un par de fuerzas fluidas. cuya magnitud relativa indica la importancia re lativa de una .de las fuerzas con respecto a la Olr:J. Si algunas fuerzas en una situación de flujo parucular son mucho más grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto ~e las fuerzas menores y tratar el fenómeno como si estuviera completamente dcte rml.na~o por tas fuerzas mayores. Esto signi fica que se pueden utilizar proced.,mlc nt os matemáticos y e:<perimeIHales más si mples , a un que no necesanamente faciles, para resolver el problema. En aquellas si tuaciones con varias fuer~as .con la misma magnitud, tales como fuerzas inercia les, viscosas y g~a\'na~lOnales, se requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dlm.en~~ones,.sc. pr.esentan el análisis dimensional y los parámetros adimensionales, la smuütud dmruruca y los estudios en modelos.

Análisis dimensional y simi litud dinámica 225

S.l HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES

Para resolver problemas prácticos de diseño en mecanica de fluidos. usualmente se requiere tanlOde desarrollos teóricos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parámetros adimensionales. es posible reducir el nlÍmero de variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o gráfic:lS de datos) sea aplicable a otras situaciones similares.

Si uno fuera a escribir la ecuación de movimiento F = ma para un paquete de fluido, incluyendo todos los tipos de fuerza que pueden actuar sobre el paquete, tales como las fue rzas de gravedad, de presión. viscosas. elásticas y de tensión superficial. resultaóa una ecuación donde la suma de estas fuerz.:ts es igual a ma. la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada ténnino debe tener las mismas dimensiones. en este caso de fuerza. La divis ión de cada ténninode la ecuación por uno cualquiera de los otros haría que la ecuación fuera .:tdimensional. Por ejemplo. dividiendo por el término de fuerza inercial, resultaría en la suma de parámetros adimensionales igual a la unidad. El tamaño rdativo de cada parámetro, respecto a la unidad, indicaría su impor1ancia. Si se fuera a dividir la ecuación de fuerza por un ténnino diferente, por ejemplo el término de fuerzas viscosas, se obtendría Olro conjunto de parámetros adimensionales . Sin experiencia en el tipo de flujo es difícil determinar qué parámetros serían los más útiles.

Un t!jemplo para el uso del analisis dimensional y sus ventajas está dado mediante la consideración del resalto hidr.íuUco, tratado en la sección 3.8. Para este caso la ecuación de momentum

puede reescribirse como

yyl2 _ ni 2 2

~Ylr (V; - ~) g

; y,'[1 - (l'l)' 1 = vi .L y,(1 - l'l)l'l - Y¡ g YIY~

(5.1.1 )

Claramente. el lado derecho de la ecuación representa las fuerzas inerciales y el izquierdo las fuerzJs de presión debidas a la gravedad. Estas dos fuerzas son iguales en magnitud, debido a que una detennina la otra en esta ecuación. Es más, el término '!Y112 tiene dimensiones de fue rza por unidad de ancho y multiplica un número adimensional que está especificado por la geometría del resalto hidráulico.

Si se divide esta ecuac ión por el término geométrico 1- Y/YI y un número representativo de las fuerzas gravitacionales, se liene

Vi = .!.l'l(1 + l'l) gy¡ 2 YI YI

(5.1.2)

Ahora es claro que el lado izquierdo es la relación entre las fuerzas inerciales y las gravitacionales, aunque la representación explícita de las fuerzas se ha oscurecido debido a la cancelac ión de términos comunes en el numerador y en el denominador. Esta relación es equivalente a un parámetro adimensional, el cuadrado del número de Fraude , el cual se discutirá posteriormente con más detalle en este capítulo. También es interesante notar que esta relación de fuerza se conoce una vez que la relación Y/Y I esté dada, sin importar los valores de Y2 y YI' De esta observación se puede ver que el alcance de la ecuación (5.1.2) se ha incrementado con respecto a la ecuación (5.1.1) a pesar de que es solamente un reordenamiento de la otra.

Al escribir la ecuación de momentum que condujo a la ecuación (5.1.2). sólo se inclu yeron las fuerzas inerciales y gravitac ionales en el enunciado del problema original. Pero otras fuerzas, tales

226 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

como la tensión superficial y la viscosidad, están presentes. Éstas se despreciaron por ser pequeñas en comparación a las fuerzas gravitacionales e inerciales; sin embargo, sólo la experiencia con el fenómeno o con fenómenos similares justificaría tal simplificación inicial. Por ejemplo, si se hubiese incluido la viscosidad debido a que no se estaba seguro de la magnitud de su efecto, la ecuación de momentum hubiera sido

con el resultado que

Este planteamiento es más completo que el dado por la ecuación (5.1.2). Sin embargo, la experimentación hubiera demostrado que el segundo término del lado izquierdo de la ecuación usualmente es una pequeña fracción del primer término, por tanto puede ser despreciado al hacer las pruebas iniciales de un resalto hidráulico.

En la última ecuación la relación Y/Y I puede considerarse como la variable dependiente determinada para cada uno de los valores de las relaciones de fuerza Vr/gy, y Fvi=/"fjf, las cuales son las variables independientes. Del análisis precedente parece que la última variable juega sólo un papel menor al determinar los valores de Y/Y

I• Sin embargo, si se observa que la relación de fuerzas,

V1lgy, y F.is.«=/"fjr tiene los mismos valores en dos pruebas diferentes, se esperaría, con base en la última ecuación, que los valores de Y/Y

I sean los mismos en las dos situaciones. Si la relación para

V1/gy, es la misma en las dos pruebas pero la relación FviKO • ./"hI' que sólo tiene una influencia menor para este caso, no lo fuera, se podría concluir que los valores de Yfyl para los dos casos serían casi iguales.

Lo anterior es la clave para mucho de lo que sigue. Si se pudiera crear un modelo experimental con la misma geometría y las relaciones de fuerza que ocurren en la unidad a escala completa, entonces la solución adimensional para el modelo es válida también para el prototipo. A menudo, tal como se verá, no es posible tener todas las relaciones iguales en modelo y prototipo. Por consiguiente se debe planear la experimentación de tal forma que las relaciones entre fuerzas dominantes sean tan cercanas como sea posible. Los resultados obtenidos en tal modelación incompleta usualmente son suficientes para describir el fenómeno en el detalle que se desea. . Escribir la ecuación de fuerza para una situación compleja puede no ser posible, por consiguiente Se utiliza otro proceso, el análisis dimensional, si se conocen las cantidades pertinentes que entran en el problema.

En una situación dada, varias de las fuerzas pueden tener poca importancia, dejando tal vez dos o tres fuerzas con el mismo orden de magnitud. Con tres fuerzas del mismo orden de magnitud, se obtienen dos parámetros adimensionales; un conjunto de datos experimentales, tomados de un modelo geométricamente similar, dan las relaciones entre parámetros para todos los casos similares de flujo.

EJERCICIO

5.1.1 Entre los siguientes numerales, seleccionar un parámetro adimensional común en mecánica de f1~dos: (a) velocidad an~ular; (b) viscosidad cinemática; (e) densidad relativa; (el) peso específico; (e) nmguna de estas respuestas.

. Análisis dimensional y similitud dinámica 227

5.2 DIMENSIONES Y UNIDADES

Las dimensiones de la mecánica son: fuerza, masa, longitud y tiempo; éstas se relacionan mediante la segunda ley de movimiento de Newton,

F = ma (5.2.1)

Las unidades de fuerza y masa se discuten en la sección 1.2. Para todos los sistemas físicos, probablemente sería necesario introducir otras dos dimensiones, una relacionada con el electromagnetismo y la otra con los efectos térmicos. Para la gran mayoría del trabajo en este texto, no es necesario incluir una unidad térmica, debido a que las ecuaciones de estado relacionan presión, densidad y temperatura.

En forma dimensional, la segunda ley de movimiento de Newton es

F = MLT-2 (5.2.2)

la cual demuestra que únicamente tres dimensiones son independientes. F es la dimensión de fuerza, M la dimensión de masa, L la dimensión de longitud y TIa dimensión de tiempo. Un sistema común utilizado en el análisis dimensional es el sistema MLT0, donde e es la dimensión de temperatura.

La tabla 5.1 indica algunas de las cantidades utilizadas en el flujo de fluidos, junto con sus símbolos y dimensiones. Con el fin de evitar confusiones, se ha denominado la temperatura como T para este capítulo únicamente.

Tabla 5.1 Dimensiontn y cantidades ~sicas utilizadas en mecánica de Huidos

. ·~\">~~*~r,<\i;~::·:·;.~,··· Vérocidild .... ';;:.,<:;., Aceternci6n:::::::::'r ' 'Áréa. ~. , A .

Caudal ." . _. ~ ::. Presión p

':' '::[;' 1';':

't'

:¡'ci-l.' ", 'LT'I

-.:-d:',:·· V

:_L~~':

Gravedad g U:1

Densidad p. ML"

~~~~í~~~:;~~(:.:.; :"."'::; .. : ,/.)!. '.' '.' e: ....• ~~~~. y:~d.~.~!~~~:, . ~... :,,1': ML"l" , 'f1SJ~j~~~f1 .. , .~ .... '~ " r. . L~

: -~~~~~~:~Ij~~~~:; ..... -: :-".:~:;":.~"'.~.~ :":,~~~~~~~'.':: .,!,~~,~:,~~~...:,; . .-::':; -_'>~ :" . T 8 ConCclitiación-dc ~. . . e . -ML~

;iit,~~i,t~,:\i:;·;:'~~?·:\·:'lt.~ :rasaderé:ú:ci~,'.~~.~~·;:: ;. '.0::. -. ' .. ;. : - t, ' 1"1

228 e A p ¡TU L o 5 Mecánica de fluidos

EJERCICIO

5.2.1 Una combinación adimensional de tlp, p, I Y Q es

(b) pQ . t1p12 '

(e) pi . t1pQ2 '

5.3 EL TEOREMAI1: MOl\1ENTUM y ENERGíA

El teorema de n Buckingham [l]t prueba que en un problema físico que incluye n cantidades en las cuales hay m dimensiones, las cantidades pueden reordenarse en n-m parámetros adimensionales independientes. Sean Al' A!, AJ, ••• , AlIlas cantidades involucradas, tales como presión, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales para la solución y por consiguiente debe existir alguna relación funcional

F(A., ~,AJ' ... , .4,.) = O (5.3.1)

Si ni' nl .... , representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A l' Al' AJ, ••• , entonces con las m dimensiones involucradas, existe una ecuación de la fonna

(5.3.2)

La prueba del teorema n puede encontrarse en [1, 2]. El método para determinar los parámetros n consiste en seleccionar m de las A cantidades, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones, y utilizarlas como variables repetitivas junto con una de las otras cantidades A para cada n *. Por ejemplo, sean A l' A2, AJ, que contienen M, L Y T, no necesariamente cada una de ellas, sino en fonna colectiva. Entonces el primer parámetro rr se define como

(5.3.3)

el segundo como

~ así sucesivamente, hasta que

nn_ur = A¡tn--Af""· Ai'-" A" En estas ecuaciones se deben determinar los exponentes de tal manera que cada n sea adimensional. Las dimensiones de las cantidades A se sustituyen y los exponentes de M, L y T se igualan a O respectivamente. Esto produce tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro rr, de tal manera que se pueden detenninar los exponentes x, y, 4 y, por consiguiente, el parámetro n.

Si solamente están involucradas dos dimensiones, entonces se seleccionan dos de las cantidades A como variables repetitivas y se obtienen dos ecuaciones para los exponentes desconocidos, para cada término n.

En muchos casos la agrupación de los términos A es tal que el número adimensional es evidente mediante inspección. El caso más simple es cuando dos de las cantidades tienen las mismas

I t las referencias numerados se encuentran al Rnal del capítulo. • Es esencial que ninguna de las m cantidades seleccionados pan:¡ ser ulilizoclas como yoriables repetiliYOs se puedan deducir ele otros YOriables rapeIitiwIs.

./

Análisis dimensional y similitud dinámica 229

dimensiones, por ejemplo, longitud, la relación de los dos términos es el parámetro n. El procedimiento se ilustra mejor mediante algunos ejemplos.

El caudal a través de un tubo capilar horizontal depende de la caída de presión por unidad Ejemplo S.l de longitud, del diámetro y de la viscosidad. Encontrar la fonna de la ecuación.

Solución

Las cantidades y sus dimensiones se enumeran a continuación:

cantidad . Símbolo DlmensfoneS

"Caudal Q' Ll1"1

CaíC!J¡; de presi6ir por longitud ~/1 ML-n~·l

, DiáIÍtetro:. D" L'

VISCOSidad -- p. ML-I'["I

Entonces

~ Q, i, D, ~ ) = O

Se utilizan tres dimensiones, y con cuatro cantidades solamente existe un parámetro n:

(t1p),'l

n=Q"fJ T D:'~

Sustituyendo las dimensiones se llega a

n = (DT-I).fJ(ML-IT-2)-'1 L=IML-IT-I = MOLoTo

Los exponentes de cada dimensión deben ser los mismos en ambos lados de la ecuación. Con L primero

y similarmente para M y T

YI + 1 = O

-XI - 2YI - 1 = O

de donde XI = 1, Y 1 = -1. 41 = -4 Y

Después de resolver para Q,

Q = Ct1p [)' 1 ~

El análisis dimensional no da infonnación acerca del valor numérico de la constante adimensional C. Los experimentos (o análisis) demuestran que éste es n/128 (ecuación (6.3.l0a)].

230 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

Cuando se utiliza el análisis dimensional, se deben conocer las variables en un problema. Si en el último ejemplo se hubiera utilizado la viscosidad cinemática en lugar de la viscosidad dinámica, se hubiera encontrado una fórmula incorrecta.

IEjemplo 5.2 Un vertedero en Ves una placa vertical con una muesca de ángulo q, cortada en su parte superior y localizada en un canal abierto. El liquido en el canal es represado y forzado a pasar a través de la muesca. El caudal Q es una función de la elevación H de la superficie del liquido aguas arriba, por encima del fondo del vértice de la muesca. Adicionalmente, el caudal depende de la gravedad y de la velocidad de aproximación Vo al vertedero. Determinar la forma de la ecuación del caudal.

Solución

Una relación funcional

F(Q, H, g, Vo' ~) = O

debe ser reagrupada en parámetros adimensionales. Debido a que q, es adimensional. es uno de los parámetros IT. Sólo se utilizan dos dimensiones L y T. Si g Y H son las variables repetitivas

Entonces

IT I = H-'lg"Q = VI (LT-2)-"1 DT-I

IT2 = H-\1g.l1Vo = V!(LT-~)-''2 LT-I

XI + YI + 3 :: O

-2YI - l = O

X,! + Y2 + 1 = O

-2Y2 - 1 = O

de donde XI = -5/2. YI = -1/2, x2 = -112, Y2 = -1/2, Y

n Q n Yo I = --¡:-;;;;; , = r::u

...¡gHSl2 - ...¡gH

o

Esto puede escribirse como

en la cual tanto f como 1. son funciones desconocidas. Después de despejar Q.

Q = ,¡g H'" 1.( ~. , ) Se requieren ya sea experimentos o análisis adicionales para obtener la función!.. Si H Y Vo se hubieran seleccionado como las variables repetitivas en lugar de g y H,

ITI = H-'IVcj"Q = VI (LT-I}'I VT-I

n2 = Ht~Vo"lg = LS2(LT-I)-,'2 LT-2

.." !

I

./

Análisis dimensional y similitud dinámica 231

Entonces

XI + JI + 3 = O

- JI - 1 = O

de donde XI = -2, JI = -1, x! = 1, y! = -2, Y

Xl + J1 + 1 = O

-J1 - 2 = O

o

j Q gH "') _ O J l ¡PVo ' V5' 'f' -

Debido a que cualquiera de los parámetros n puede ser invertido o elevado a cualquier potencia sin afectar su estatus adimensional, entonces

La función desconocida.!; tiene los mismos parámetros que/¡, pero no puede ser la misma función. La última forma no es muy útil en general, debido a que frecuentemente Vo puede ser despreciada en vertederos en V. Esto demuestra que un término de importancia menor no se debe seleccionar como una variable repetitiva.

Otro método para determinar conjuntos alternativos de parámetros n podría ser la recombinación arbitraria del primer conjunto. Si se conocen 4 parámetros n independientes nI' IT2. n) y n~. el término

ITo = IT~I ni lli n:4

con los exponentes escogidos a voluntad, daría un nuevo parámetro. Entonces ni' n2, IT} y n~ constituirían un nuevo conjunto. Este procedimiento podría continuar hasta encontrar todos los conjuntos posibles.

Las pérdidas apll en flujo turbulento, a través de una tubería horizontal lisa, dependen de la Ejemplo 5.31 velocidad V, del diámetro D, de la viscosidad dinámica ¡J. y de la densidad p. Utilizar el análisis dimensional para determinar la forma general de la ecuación

~ i, V, D, p, P ) = O

Solución

Si V, D Y P son las variables repetitivas, entonces

III = VtlDYlp:¡p = (LT-')sl L"I(ML-J)=I ML-IT-I

XI + YI - 3z, - 1 = O

-XI - 1 = O ZI + 1 = O

232 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

de donde XI = -l. YI = -1. z, = -1, Y

II2 = VZ2 Dn. p;'J.!f = (LT-I)Z2 L"l (ML-l )'-2 ML-2T-2

~ + Y2 - 3z2 - 2 = O

-Xl - 2 = O

z2+ 1 =0

de donde x2 = -2. Y2 = 1 y; = -1. Entonces

II - L II _ Ilpll , - VDp 2 - pV2/D

,f VDp, Ilpll) = O "l /J pV2/D

debido a que las cantidades II pueden invertirse si se desea. El primer parámetro, VDp/ p., es el número de Reynolds R, uno de los parámetros adimensionales más importantes en mecánica de fluidos. Su tamaño determina la naturaleza del flujo. El número de Reynolds se tratará en la sección 6.1. Después de despejar ~pll, se tiene

La ecuación usual es

o, en términos de pérdida de cabeza,

IIp = f(R) pV2 1 2D

tlh I VI - =f(R)--I D 2g

E¡emplo S.4 Una situación de flujo de un fluido depende de la velocidad V; de la densidad p; de algunas dimensiones lineales 1, 1, Y 12; de la caída de presión ~p; de la gravedad g; de la viscosidad p.; de la tensión superficial (T, y del módulo de elasticidad volumétrico K. Aplicar el análisis dimensional a estas variables para encontrar el conjunto de parámetros "

F(V, p, 1, 11, 4, IIp. g, /J. (j. K) = O

Solución

Debido a que se involucran 3 dimensiones, se s::leccionan 3 variables repetitivas. Para situaciones complejas. generalmente V, p Y 1 son útiles. Existen siete parámetros ":

"1 = V.q plll:'1lp

"1 = VZ2p·"lI;'J.g

II3 = V·flp·~I:)/J

". = VX4pY4 1ó.4(j

fl, = V:tsp'"5¡:SK

1 "6 = -II 1

II7 = l;

Análisis dimensional y similitud dinámica 233

Expandiendo las cantidades " en dimensiones,

", = (LT-I}'I(ML-3)JI L:.MJ.;IT-2

XI - 3y, + ZI - 1 = O

-XI - 2 = O

+ 1 = O

de donde XI = -2, YI = -1 Y ZI = O.

"2 = (LT-I)Xl(ML-3)}"!L:2LT-2

X2 - 3Y2 + Z2 + 1 = O

-Xl - 2 = O

YI = O

de donde x2 = -2. Y2 = O Y ; = 1.

") = (LT-I)Xl(ML-l)n DJML-IT-I

x) - 3y) + z) - 1 = O

-Xl - 1 = O

Yl + 1 = O

de donde Xl = -1, Y1 = -1 y; =-1.

"4 = (LT-I)X4{ML-l).'4 Ló.4MT-2

X4 - 3Y4 + Z4 = O

-2=0

+ 1 = O

de donde x4 = -2, Y4 = -1 Y Z4 =-1.

II, = (LT-IYS(ML-l).', DsML-'T-2

x, - 3y, + Zs - 1 = O

-x, - 2 = O

y, + 1 = O

II, = (LT-I)-fs(ML-J)Ys L:sML-IT-2

de donde x, = -2, Y, = -1 Y z, = O.

y

II - ~ , - pV2

K II -­, - pVl

{pt· ~. ~p' ;p¡' p~. f· 1;) = O

Es conveniente invertir algunos de los parámetros y tomar algunas raíces cuadradas,

234 e A P í TUL o 5 Mecánica de fluidos

(~ ~ Vlp V2 pl , _V_, i, .!..] = O f. pV2' fii' ¡J' C1 .JKiP 1I 12

El primer parámetro, usualmente escrito como Ap/(pVl/2), es el coeficiente de presión, el segundo parámeu'o es el número de Froude F; el tercero es el número de Reynolds R; el cuarto es el número de Weber W; y el quinto es el número de Maeh M. Por consiguiente.

10(;" r, R, W, ~ f, *) = O

Después de despejar la caída de presión,

flp = PV'¡'( r, R, W, M, f, *) en la cual.!; y f~ deben determinarse utilizando análisis o experimentos. Seleccionando otras variables repetitivas, se podría obtener otro conjunto diferente de parámetros n.

La figura 6.20 es una representación de una relación funcional del tipo dado anteriormente aplicado al flujo en tuberías. En este caso los parámetros F. W y M se desprecian por ser poco importantes; I es el diámetro de la tubería D. JI es la longitud de la tubería L y 12 es una dimensión que representa la altura efectiva de la rugosidad superficial de la tubería y está dada por E. Luego,

p~2 = h( R i· iJ) El hecho de que la caída de presión en la tubería varíe linealmente con la longitud (es decir, duplicando la longitud de la tubería. dobla la caída en presión) parece razonable, de tal manera que

o

El término del lado izquierdo de la ecuación se denota usualmente comofl2. como en la figura 6.21. La curva mostrada en esta figura tiene f y R como las ordenadas y las abscisas respectivamente, y €ID asume un valor determinado en cada curva. La naturaleza de estas curvas fue determinada mediante experimentos. Tales eleperimentos demuestran que cuando el parámetro R es menor que 2000, todas las curvas para los diferentes valores de €ID colapsan en una sola. Por consiguiente,fes independiente de €ID. y el resultado es

f = J;(R)

Esta relación será predicha en el capítulo 6 con base en consideraciones teóricas, pero se necesita una verificación eleperimental de estas predicciones para indicar el poder de los métodos teóricos.

Ejemplo 5.5 El empuje debido a cualquier familia de hélices de aeroplanos geométricamente similares se va a determinar experimentalmente a partir de una prueba en túnel de viento sobre un modelo. Utilizar el análisis dimensional para encontrar los parámetros apropiados para graficar los resultados de las pruebas.

Solución

El empuje Fr depende de la velocidad de rotación w, de la velocidad de avance Yo' del

~ 1

I i

I

Análisis dimensional y similitud dinámica 235

diámetro D, de la viscosidad del aire J,L. de la densidad p y de la velocidad del sonido c. La función

F(FT , "o, D, (i), p, p. e) = O

se puede reordenar en 4 parámetros adimensionales. debido a que existen siete cantidades y tres

dimensiones. Empezando con la selección de p. w y D como las variables repetitivas

111 = p.c'(i).rID:tFT = (ML-l)-fl(T-I)YIDIMLT-l

n2 = p.rz(i)·'1D~Vo = (ML-l).rz(T-I).''!L=2LT-1

II) = p Xl(i).I'JDt3p = (ML-l)XJ(T-I)Y3L=lML-IT-1

II4 = p.f4(i).t4D~e = (ML-3)X4(T-I)-r4L~LT-1

Escribiendo ecuaciones simultáneas en x" Y" '" etc. tal como se hizo antes y resolviéndolas se encuentra que

n - ..!i 2 - (J)[)

Resolviendo para el parámetro de empuje se llega a:

Fr (Va p{J)[)2 e) pm2D4 = f. (J)[)' -¡J-' wD

e n~ =

(J)[)

Debido a que los parámetros pueden recombinarse para obtener otras formas. el segundo término se reemplaza por el producto del primero y segundo términos, VDpI J,L, y el tercero se reemplaza por el primero dividido por el tercero, V/e; entonces,

~ =h(..!i, VaDp, Va) p(i)2 [)' - (J)[) p e

De los parámetros adimensionales. probablemente el primero es el de mayor importancia dado que relaciona la velocidad de avance con la velocidad de rotación. El segundo parámetro es un número de Reynolds y tiene en cuenta los efectos viscosos. El último parámetro, la velocidad de avance dividida por la velocidad del sonido es el número de Mach. el cual sería importante para velocidades cercanas o mayores a la velocidad del sonido. Los efectos de Reynolds usualmente son pequeños, de tal manera que una gráfica de F I ¡xd-D' versus V J wD debería ser la más informativa.

Los pasos en un análisis dimensional pueden resumirse como sigue:

1. Seleccionar las variables pertinentes. Esto requiere algún conocimiento del proceso.

2. Escribir las relaciones funcionales. por ejemplo, F(V, D, p, ¡J. c. H) = O

3. Seleccionar las variables repetitivas. (No incluir la cantidad dependiente como una variable repetitiva). Estas variables deben contener todas las m dimensiones del problema. Usualmente se escoge una variable porque especifica la escala y otra porque especifica las condiciones cinemáticas. En los casos de mayor interés en este capítulo, una variable que relaciona las fuerzas o las masas del sistema. por ejemplo, D, Vo p es escogida.

4. Escribir los parámetros II en función de exponentes desconocidos, por ejemplo, II, = Vof I D.l1p!l¡J = (LT-')X' ¿rr(ML-J)!, ML-'T-I

5. Para cada una de las expresiones n, escribir las ecuaciones de los exponentes. de tal manera que la suma de los exponentes de cada dimensión sea cero.

236 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

6. Resolver simultáneamente las ecuaciones. 7. Sustituir nuevamente en las expresiones TI del paso 5. los exponentes para obtener los parámetros

adimensionales TI.

8. Establecer la relación funcional ¡;(TII • TIl • TI) •.•.• TI"_,,,) = O

o despejar explícitamente uno de los TI: TI2 = ¡;(TII' TI) •...• TI,,_I/I)

9. Recombinar. si se desea, para alterar las formas de los parámetros TI. manteniendo el mismo número de parámetros independientes.

Formulación alternativa de los parámetros rr Un método rápido para obtener los parámetros IT. desarrollado por Hunsaker y Rightmire [3]. utiliza las variables repetitivas como las cantidades primarias y resuelve para M. L Y T en función de ellas. En el ejemplo 5.3 las variables repetitivas son V. D y p; por consiguiente

V = LT-I D = L P = ML-J (5.3.4)

L = D T = DV-' M = pD3

Ahora, utilizando las ecuaciones (5.3.4).

p. = ML-'T-' = pD3D-I[)-IV = pDV

por consiguiente, el parámetro TI es

IT I = L pDV

Las ecuaciones (5.3.4) pueden utilizarse directamente para encontrar los otros parámetros TI. Para TI!

g = LT-2 = D[)-2V2 = V2 D-'

y

TI2

= _g_ gD V2[)-1 V2

Este método no requiere la solución repetitiva de las tres ecuaciones con tres incógnitas para la dettrminación de cada parámetro n.

Coeficiente de presión

El coeficiente de presión Ap/(plfl/2) es la relación de la presión con respecto a la presión dinámica. Cuando el coeficiente de presión se multiplica por el área, el producto es la relación de las fuerzas de presión con respecto a las fuerzas inerciales, ya que (pVZI2)A sería la fuerza necesaria para reducir la velocidad a cero. También se puede escribir como Ah/(VZl2g) dividiéndolo por 'Y. Para flujo en tuberías, la ecuación de Darcy-Weisbach relaciona las pérdidas h, con la longitud de la tubeIÍa L. el diámetro D y la velocidad V mediante un factor de fricción adimensionalft

L V2 h, =/-­

D2g o / L = _h,_ = ¡'(R. F, W, M, i, i)

D Vl l2g - I1 4

t Existen varios foctores de Fricci6n de uso generol. Esle es el factor de Fricción de Darcy-Weisboch. que es .. veces el valor del factor de Fricción de Fonning, también conocido como ,.

~ I i

Análisis dimensional y similitud dinámica 237

como se ha demostrado que! UD es igual al coeficiente de presión (ver ejemplo 5.4). En el flujo en tuberías, la gravedad no tiene influencia sobre las pérdidas; por consiguiente F puede despreciarse. Similarmente, la tensión superficial no tiene efecto y W se ignora. Para el flujo permanente de un líquido la compresibilidad no es importante y M se deja de lado; 1 se refiere a D; I

1 se refiere a la

altura de la proyección de la rugosidad € en la pared de la tubería; y 12 hace referencia al espaciamiento El. Por consiguiente,

fL _ (R ~ ~) D -h · D' D (5.3.5)

En los capítulos 6 y 12 se tratarán los problemas del flujo en tuberías. Si la compresibilidad es importante,

~ = h( R. M, i. ~) (5.3.6)

Con el flujo en orificios, estudiado en el capítulo 10. V = Cu~2gH y

----- WM--H 1 ( 1 1) V212g - CI) - h R, , • ~' ~ (5.3.7)

en la cual I puede referirse al diámetro del orificio y II Y 12

a las dimensiones de aguas arriba. La viscosidad y la tensión superficial no son importantes para orificios grandes y fluidos de baja viscosidad debido a que los numeradores de los números de Reynolds y Weber son muy grandes comparados con sus denominadores. Los efectos de compresibilidad no son importantes cuando el número de Mach es pequeño con relación a 1. Éstos se vuelven importantes a medida que el número de Mach se aproxima o es mayor que la unidad.

En el flujo pennanente uniforme en canales abiertos, tratado en el capítulo 6, la ecuación de Chézy relaciona la velocidad promedio V, la pendiente del canal S y el radio hidráulico de la sección transversal R (el área de la sección dividida por el perímetro mojado) mediante

V = c.JRS = C~R~ (5.3.8)

donde C es un coeficiente que depende del tamaño, la forma y la rugosidad del canal. Entonces

~ - 2gL...!.. _ ¡ (F R i i) V!/2g - R C2 - J2 ' , /

1' ~ (5.3.9)

debido a que usualmente los efectos de tensión superficial y compresibilidad son poco importantes. El arrastre F sobre un cuerpo se expresa mediante F = CoApVZI2 en donde A es un área típica del

cuerpo, usualmente la proyección del cuerpo en un plano perpendicular al flujo. Entonces F/A es equivalente a Ap y

AP~2f2 = CD = ¡,( R.F. M. t· i) (5.3.10)

El término R se relaciona con el arrastre de fricción superficial debido a los esfuerzos viscosos al igual que el arrastre defomUl. o perfil, resultante de laseparación de las líneas de corriente del flujo del cuerpo; F está relacionado con el arrastre de onda si existe una superficie libre; para números de Mach grandes C o puede variar en forma más notoria con relación a M que con respecto a los otros parámetros; y las relaciones de longitud pueden referirse a la fonna o rugosidad de la superficie.

1

238 e A p j TUL o 5 Mecánica de fluidos

TEt n~;ro ~~ R~y;~lds El número de Reynolds VDpI JL es la rel~i~~ eI!~~ .merzas inerciales...y_lasJllerzas viscps.¡s. Un número de Reynolds crítico distingue entre los diferentes regímenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías. en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds. .-----_ .. _- ... - - ._.

El número de Froude -------'""Elñiimero de Froude VI.fii, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por pA, es una

relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales. Con un flujo a superficie líquida libre (donde 1 se reemplaza por y, la profundidad) la naturaleza del flujo (rápidot o tranquilo) depende de si el número de Froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.

El número de Weber -----_ .. _ .. --_ ... - --~--El número de Weber V21p/u es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial (evidente cuando el numerador y el denominador se multiplican por 1). Éste es importante en interfases gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensión superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas. y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas. El efecto de la tensión superficial sobre la propagación de ondas se muestra en la figura 5.1. A la izquierda del mínimo de la curva, la velocidad de onda está controlada por la tensión superficial (las ondas se conocen como risos), y a la derecha del mínimo de la curva los efectos gravitacionales son dominantes.

I , . - -- --/ ! El numero de Mach ¡

La velocidad del sonido e~ un lí~ se escribe como fKlP si K es el módulo de elasticidad volumétrica (sección 1.8) o e = ..)kRT donde k es la relación de calor específico y Tia temperatura absoluta para un gas perfecto. Vle o VI fKlP es el número de Mach. Es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando V/e se eleva al cuadrado y se multiplica por pAI2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la

Longitud de ondll

Figura 5.1 velocidad de onda venus longitud de onda para ondas supemciaLn.

t Un Rujo en un canol abierto con profundidad yes rápido cuando la velocidad del Rujo es mayor que la velocidad ..f9i de una onda elemental en el Ruido quielo. El Rujo tranquilo ocurre cuando lo velocidad del flujo es menor que ..f9i.

Análisis dimensional y similitud dinámica 239

fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con respecto a la energía interna del fluido, Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

EJERCICIOS

5.3.1 Una recombinación arbitraria incorrecta de los parámetros n

i!. P':'. ~) =0

estádadopor(a) i~; ~D. ~) = O (b) i!. pe:'. ~) = O

,f Vo Yoep PCD) O ,f Vo,u YoPD~) - O (e)'~QJ[)' {J),u' -¡;- = (ti)'~{J)2D3p',u 'wD -

(e) ninguna de estas respuestas.

5.3.2 Las variables repetitivas en un análisis dimensional deberían (a) incluir la variable dependiente; (b) tener dos variables con las mismas dimensiones si es posible; (e) excluir una de las dimensiones de cada variable si es posible; (ti) incluir las variables no consideradas como factores muy importantes: (e) no satisfacer ninguna de estas respuestas.

5.3.3 Dentro de los siguientes literales, seleccionar la cantidad que no es un parámetro adimensional: (a) coeficiente de presión; (b) número de Froude; (e) factor de fricción de Darcy-Weisbach: (d) viscosidad cinemática; (e) número de Weber.

5.3.4 ¿Cuántos parámetros n se necesitan para expresar la función F(a, V, t, v, L) = O ? (a) 5; (b)

4; (e) 3; (ti) 2; (e) 1.

5.3.5 ¿Cuál de los siguientes literales podría ser un parámetro n para la función F(Q, H. g, ~l' <j»

= O cuando Q y g se toman como las variables repetitivas? (a) Q2/gH\ (b) VJIg2Q. (e) Qlg<j>!, (ti) Q I .[iii, (e) ninguna de estas respuestas.

5.3.6 ¿Cuál de los siguientes literales tiene la forma de un número de Reynolds?

(a) ~ (b) ~ (e) f (d) ft¡ (e) 7 5.3.7 El número de Reynolds puede definirse como la relación de (a) fuerzas viscosas a fuerzas inerciales; (b) fuerzas viscosas a fuerzas gravitacionales; (e) fuerzas gravitacionales a fuerzas inerciales: (ti) fuerzas elásticas a fuerzas de presión; (e) ninguna de estas respuestas.

5.3.8 El coeficiente de presión puede tomar la forma (a) *; (b) ~; (e) ~; (ti) tJ.p-f¡¡; (e)

ninguna de estas respuestas.

5.3.9 El coeficiente de presión es la relación de las fuerzas de presión con respecto a (a) fuerzas viscosas; (b) fuerzas inerciales; (e) fuerzas gravitacionales; (ti) fuerzas de tensión superficial; (e)

fuerzas de energía elástica.

5.3.10 Seleccionar aquella situación en la cual las fuerzas inerciales serían no importantes: (a) el flujo sobre la cresta de un vertedero; (b) el flujo a través de una transición en canal abierto; (e) olas chocando contra un tajamar; (d) el flujo a través de un tubo capilar largo; (e) el flujo a través de una válvula medio abierta.

240 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

5.3.11 ¿Cuál de los siguientes pares de fuerzas es el más importante para un flujo laminar entre dos placas paralelas poco separadas? (o) inerciales y viscosas; (b) de presión e inerciales; (e) gravitacionales y de presión; (ti) viscosas y de presión; (e) ninguna de estas respuestas.

5.3.12 Si la elevación capilar Ah de un líquido en un tubo circular de diámetro D depende de la tensión superficial u y del peso específico 'Y, la ecuación para la elevación capilar podría tomar la

forma (o) 8h = #F(~)(b)8h = e(~r (e) 8h = eD(t)" (ti) 8h = #F(~)(e)ningunade estas respuestas.

5.4 EL TEOREMA n: TRANSPORTE DE CALOR Y DE MASA

El procedimiento de fI Buckingham puede extenderse al caso de transporte de calor y de masa similarmente; a continuación se muestran algunos ejemplos ilustrativos. El ejemplo 5.6 considera el aparato intercambiador de calor.

Ejemplo 5.6 Es deseable encontrar una serie de grupos adimensionales que permitirían relacionar el calor llevado hacia fuera por la velocidad promedio, en una tubería intercambiadora con otras variables relevantes.

Solución

Se supone que las variables relevantes son el diámetro de la tubería D, la densidad del fluido p, la viscosidad /L, la capacidad de calor cp' la velocidad Y, el coeficiente de transferencia de calor h y la conductividad de calor k. Esencialmente el coeficiente de transferencia de calor es la variable desconocida y tiene dimensiones de [MI"1€) J. Debido a que existen siete variables y cuatro dimensiones independientes, M. L, Ty e, es necesario encontrar tres grupos adimensionales. Si D, k, /L Y V se escogen como las variables repetitivas, se fonna el siguiente sistema de ecuaciones

III

= D~IJl..\l Y:'k"1cp

O2 = D·"1Jl..'1Y:!k"1P

Il1 = D·')Jl.!lY:~k"1h

Mirando a fI) en detalle expandiendo las potencias de las dimensiones se encuentra que

L : x) - y) + 'l + w1 = O

M : - y) + 'l + w) + 1 = O

T : - y) - zJ - 3wJ - 3 = O

e : - wJ - 1 = O

la cual se resuelve fácilmente para llegar a x) = 1, Yl = Zl = O, w) = -1

o hD

fI) = T (5.4.1)

Similarmente se pueden encontrar los otros dos números

DV v

(5.4.3) (5.4.2)

Análisis dimensional y similitud dinámica 241

Mientras que fI 2 se reconoce como un número de Reynolds. el nuevo grupo fI) se denomina como el número de Nusselt. N y es una medida de la intensidad de la convección respecto a la conducción en los mecanismos de ~sporte de calor. El grupo fI I se denomina como el número de Prondtl, P,. el cual representa la relación de la difusión de calor con la difusión de momentum. Si tanto el numerador como el denominador de II

I se multiplican por p. entonces fIl se convierte en v/k, el número de

PrandU formado por la relación de las difusibidades de momentum y calor. Para el problema ejemplo. se requieren experimentos de laboratorio para correlacionar

N" = f(R, P,)

Las lagunas de enfriamiento, los lagos, las lagunas, etc .• están sujetas a un intenso calentamiento radiactivo durante las estaciones de primavera y verano. Rápidamente el calor se acumula en la superficie y las velocidades inducidas por el viento y los esfuerzos cortantes mezclan el calor hacia las aguas profundas. La mezcla por viento no es lo suficientemente fuerte para mezclar completamente la columna de agua a una temperatura uniforme. Consecuentemente, resulta una estratificación caracterizada por un fuerte gradiente vertical de temperatura. Si se supone una relación lineal entre la densidad y la temperatura [ecuación (1.5.10) J, entonces las variables relevantes son la profundidad d, la viscosidad /L. la velocidad u, el coeficiente de expansión 13. la diferencia de temperatura entre la superficie y el fondo AT, la aceleración de la gravedad g, la densidad p y la conductividad ténnica modificada k· = k/c . Encontrar los grupos adimensionales que relacionan la intensidad de

p

la estratificación con respecto a las variables relevantes.

Solución Existen ocho variables y cuatro dimensiones lo cual arroja cuatro grupos adimensionales. Si se seleccionan d, ¡.L, 13 y g como las variables repetitivas, entonces los cuatro grupos adimensionales se definen como

fI, = d"1 Jl. .... f3:1 g"1 p

O2 = d·t'ljJ.-'"lf3=1g"'-u

Il) = d·t1Jl.nf3Z>g'I"lAT'

fI4 = d·t4Jl.!4f3~gu·4k·

Después de algunas transformaciones algebraicas los cuatro grupos se convierten en

d3l2 g 112p fIl = ---

Jl. n~ = _u_ = F

• dl12g 112

o =1!..=P ~ k· ,

Fácilmente se puede ver que fI2

es el número de Froude mientras que. ~4 es el número .de Prandtl. Sin pérdida de rigor fI 1 puede elevarse al cuadrado para e~ar las potenCIas fraccionarias, y debido a que fI) ya es adilnensional, se puede multIplicar con fI, para encontrar un nuevo número conocido como el número de Grashof, G"

f3d)p2gAT' Ils = G = n211) = , I Jl.2

El número de Grashof es un grupo adimensional común que se utiliza cuando se analiza el efecto potencial de la convección introducida por grandes diferencias de temperatura o grandes gradientes de densidad. Por COnsiguiente, si se deseaba establecer una relación

Ejemplo 5.71

(5.4.4)

242 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

entre la estratificación (es decir, AT) Y las variables del problema, entonces la relación funcional entre G,. F Y Pr debería ser establecida en el laboratorio, es decir,

Gr ::;: ¡(F, Pr )

Ir¡emplo 5.8 La concentración de oxígeno disuelto en el fondo de un embalse para el suministro de agua es una función de procesos tanto físicos como químicos. La cantidad de oxígeno disuelto intercambiado entre los sedimentos cercanos a la superficie, C , y la columna de agua por

. C b encuna, ..... ' es una función de la diferencia de concentración entre los dos, es decir, C,,-CM"'· La concentración e M'C también se afecta debido al decaimiento y muerte de fitoplancton y zooplancton que consumen oxígeno disuelto de acuerdo con una tasa de reacción de primer orden -kIC ...... Las siguientes variables se consideran esenciales para el problema: profundidad d, densidad p, velocidad v, viscosidad cinemática v, difusividad de masa qj),

coeficiente de transferencia de masa h y la tasa de decaimiento k,. Encontrar una relación entre las variables que demuestre la importancia del término fuente-sumidero.

Solución

Como existen siete variables y tres dimensiones, se requieren cuatro grupos adimensionales. Si 0J, p y d se utilizan como las variables repetitivas, entonces

La solución algebraica arroja

ni

0 1 = d·rl p.'l !!D=. v O

2 ::;: d~ p.'"2 qj)=! h

n, = dA) p.'1 qj)=J V

n.¡ = d·rep.rJqj):.tk.

dv

0J dh qj)

n) ::;: ~ n _ d2k.

qj) 4- 0J El grupo n2 se conoce como el número de Shenvood, Sh' o número de masa de Nusselt y, al igual que el caso térmico, contrasta las intensidades relativas del transporte de convección y el transporte difusivo. n) es el número de Schmidl, S~, que contrasta las difusividades de momentum y masa. y si ni se divide por n 1 el resultado es el número de Reynolds, R. Finalmente, el grupo n 4 no tiene nombre en sí mismo; sin embargo, si n.¡ se divide por n. entonces se define el número de Damkohler, OH . Entonces los cuatro grupos finales son

OH ::;: kld V (5.4.5)

S _ dh h - qj) (5.4.6)

S ::;: ~ '" qj) (5.4.7)

R::;: dv v (5.4.8)

El número de Nusselt y el número de Sherwood

N. y Sh comparan las intensidades relativas de los procesos de convección o advección con respecto a la difusión molecular de calor o de masa. Son similares al número de Reynolds en el sentido en que

1 I

Análisis dimensional y similitud dinámica 243

son variables fundamentales de diseño cuando se traza una geometría de flujo y transporte para alcanzar tasas específicas de intercambio de calor o de flujo de masa.

Número de Prandtl y número de Schmidt

Pr y S'I comparan propiedades del fluido. Pr compara la difusividad de momentum con respecto a la

difusividad de calor, y Sh compara la difusividad de momentum con respecto a la difusividad de masa. Mientras que son números importantes para el diseño de procesos de flujo y transporte, su importancia en corrientes naturales es pequeña en comparación con otros agentes de transporte.

Todos los números anteriores son fundamentales para cualquier problema de transporte de calor o de masa. Los dos números siguientes describen procesos que no son necesariamente universales.

Número de Grashof

G r compara las intensidades relativas de convección en campos de transporte. Originalmente aplicado a la convección natural debida a campos de temperatura o densidad inestable, su uso se ha vuelto más amplio en el análisis de todos aquellos flujos con grandes gradientes espaciales de densidad.

Número de Damkohler

° N simplemente contrasta la intensidad de la transformación química o biológica con respecto a un cambio en la concentración de masa ocasionado por advección. Su uso se ha extendido al diseño de procesos industriales pero ha tenido poco reconocimiento en análisis de transporte ambiental.

5.5 ANÁLISIS ADIMENSIONAL DE ECUACIONES RECTORAS

Normalización con una sola escala

Tal como se anotó en la introducción y en la sección previa. el análisis dimensional se puede utilizar con dos objetivos: descubrir la forma inicial de correlaciones previamente desconocidas entre vari­ables, y comparar el tamaño o importancia relativa de la mecánica del fluido o de un proceso de transporte con respecto a otro. En esta sección se aborda la segunda meta y se presume un conocimiento total de la física del problema expresado a través de la ecuación diferencial rectora, deducida en el capítulo anterior.

El proceso se basa en la normalización de todas las variables dependientes e independientes. La normalización en este contexto significa relacionar todas las cantidades en la ecuación con respecto a valores constantes que se presuponen como los máximos valores encontrados en el problema. En este sentido se crean nuevas variables dependientes e independientes que varían en un rango que va de ± 1 a O. Al insertar estas nuevas definiciones de variables en las ecuaciones rectoras, y esforzándose para encontrar una consistencia o similitud total entre las nuevas ecuaciones transformadas y las ecuaciones originales, resultan medidas cuantitativas en forma de parámetros adimensionales. Estos grupos o números adimensionales permiten una evaluación directa de la importancia de los diferentes procesos en el problema. .

Por ejemplo, es deseable detellninar las caractelÍsticas de calor, oxígeno disuelto y campos de flujo en un embalse para suministro de agua. La longitud del embalse es 20 km, la máxima temperatura es 1',,, y la máxima concentración de oxígeno disuelto es C ",. El análisis dimensional empieza definiendo los parámetros de escala de las dimensiones dadas y nuevas variables adimensionales. Las variables dependientes son ti,

v, w,p, Ty C. las cuales son adimensionalizadas en la siguiente fonna: u.=ulu." v., = v/um , w. =w/ulII'Po = plp trI T.::;: TIT,,, Y C.::;: C/C ... Aquí'"m es la velocidad de referencia. la cual tiene que ser especificada, y p rr( es la presión de referencia que también tiene que ser especificada. Las variables independientes son x, y, Z

Y t las cuales se normalizan como sigue: x.=xlL ,y.= ylL. z.= vL y t.= t/t,T{.

244 e A p ¡TU LOS Mecánica de fluidos

El empleo de las nuevas definiciones para las variables en los siguientes tres tipos de operaciones requiere algún cuidado. Las derivadas se transforman primero redefiniendo la variable independiente. Por consiguiente. utilizando el cálculo la derivada temporal se transforma en

q () dt. 1 ()

al = dt. ai = ttrl dt. (5.5.1)

En esta ecuación dt.ldt = l/trq' En forma similar se encuentran las derivadas espaciales, es decir,

() q iJx. 1 () (5.5.2)

iJx iJx.iJx L iJx. y

()I () () 1 () d 1 dI iJx2 = iJxiJx L iJx. iJx L2 iJx:

(5.5.3)

Luego se insertan las variables dependientes en estas tres clases de diferenciaciones. Si, por ejemplo, se utiliza la concentración, entonces la derivada temporal es

de = ...!...~(C.C ) = c,,, de. dt ttrl dt. m trq dt.

mientras que la derivada espacial se transforma en

y

de = .!.~(C e ) = C'" de. dx L dx. • m L dx.

dlC 1 d2 e d2C. dx l = L2 dx: (C.c,,,) = L; dx:

Si la ecuación diferencial rectora original [ecuación (4.8.10)] es

dC +udC +v()C +w()C =~[d2C + d2 C + d2 C]+S dt dx dy dz dx2 dy2 d'l.2 ~

(5.5.4)

(5.5.5)

(5.5.6)

ento~es utilizando las operaciones de transformación en las ecuaciones (5.5.1) a (5.5.6) se llega a

(C_)de. (U",Cm) dC. (UmCm } de. (u e) de. - - + -- u.- + -- -- + ~ w -ItrI dt L d x. L· dy. L· (}z.

= ~ [(Cm ) ()2C. + (Cm ) ()2C. + (Cm )d2C.] (S)S

L2 iJx: L2 dy: V dz: + me e-(5.5.7)

Recolectando los términos se llega a

( Ct~)~· + (u"'LCm}v • . V.)e. = ~ Cm V"C S S "1 Ul D ; · + ( ~) e- (5.5.8)

En la ecuación (5.5.8), V. y V: son versiones adimensionales de los operadores, por ejemplo, ¡; ¡; q

V. = i- + j- + k-dx. iJy. ik. (5.5.9)

1 Análisis dimensional y similitud dinámica 245

Las ecuaciones de continuidad, de momentum y de transporte de calor para un fluido incompresible pueden transformarse en forma similar. La ecuación de continuidad es

(~ )V .. v. = O (5.5.10)

La ecuación de momentum es

(um )dV. (U!} V) - - + - v.' • v. = ItrI dt. L

-( ~1 )v.p. -gV.h. + (v;_ f!v. (5.5.11)

Y la ecuación de transporte de calor es

( T", J dT. (u",T", t. . V 1. - (aI", )VIT. (S)S ttrl dt + L r' · · - L2 •• + mT ro (5.5.12)

En esta etapa, cada término entre paréntesis se considera como un factor de escala que sirve para expandir o contraer cada ténnino diferencial para igualar su valor original en el caso no transformado. La virtud de esta forma es que los ténninos diferenciales ahora varían en el rango de O a 1.

Otros dos comentarios antes de proseguir. En primer lugar, al dividir la ecuación de continuidad por umlL se llega a una ecuación de continuidad transformada que es exactamente idéntica en forma a la ecuación no transformada. Esto es así debido a que el volumen y por consiguiente la masa deben ser idénticamente preservadas sin importar la transformación.

En segundo lugar, el término gravitacional de la ecuación (5.5.11) fue transformado formalmente, pero debido a que ya era adimensional (un ténnino de coseno) no se requería.

Con el fin de comparar los tamaños e importancia de cada conjunto de términos diferenciales con respecto a los otros, se deben comparar los factores de escala. Una comparación común es relacionar todos los ténninos de factores de escala en paréntesis con el factor de escala para la escala de aceleración inercial. Por consiguiente, dividiendo la ecuación de momentum por ( u!/L ),la ecuación (5.5.11) se convierte en

(_L_JdV. + (v •. V.)v. = _(Prt; )V.P. -(g~)v.h. +(_v_)v:v. (5.5.13) U.,ltrI dt. pU", u. u",L

Algunos ítems son evidentes en forma inmediata. El primero y más importante es que todos los términos entre paréntesis son no dimensionales o adimensionales. De hecho la comparación con la sección 5.4 revela que estos números son idénticos a los deducidos empíricamente mediante el procedimiento de rr Buckingham. La ecuación (5.5.13) se reescribe como

[St]~: + (v •. V.)v. = -[E]V.p. - [;y V.h. + [~] V:v.

donde

S = Uu t i es una forma del número de Strouhal i = Ptrl "'¡'pu! es el número de Euler F = ~u! I gL es el número de Froude R = u.Uv es el número de Reynolds

(5.5.14)

Esencialmente estos números penniten que la "potencia" de cada término se compare con el término de inercia. Por ejemplo. el número de Euler es la relación entre el término de presión y el término de inercia, el número de Reynolds es la relación de los términos de inercia con el término viscoso, y el número de Froude es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas gravitacionales.

246 e A p ¡TU L o 5 Mecánica de fluidos

Conservar el número de Strouhal pennite la comparación de un fenómeno periódico con un término de aceleración temporal fuerte, por ejemplo una onda de gravedad movida por el viento, puede ser comparado con el ~nnino de aceleración inercial originado por un proceso completamente diferente. por ejemplo la circulación movida por el viento. Sin embargo, es usual seleccionar la base de tiempo, t en el número de Strouhal como liulI/ con lo cual S, = 1 Y la aceleración adimensional es completari:ente idéntica o similar a la aceleración euleriana original.

Es altamente deseable el tener una similitud completa entre las ecuaciones originales y las normalizadas. Sin embargo, ocurre un conflicto severo si se intenta seleccionar valores para L y u", que permitan que los números adimensionales que quedan colapsen a l. Mirando las definiciones

R = umL E = Prrt F _ um v pu; - Jil

rápidamente se ve que R y F nunca pueden reducirse simultáneamente debido a que R es proporcional a L DÚentras que F oc .JI. Consecuentemente. la máxima reducción posible es dejar la ecuación final en términos ya sea de R o F.

Considerando ahora las ecuaciones de concentración y transporte de calor, las ecuaciones de factor de escala. ecuaciones (5.5.8) y (5.5.12), también se dividen por el factor de escala de advección. resultando en una ecuación de concentración de

(5.5.15)

y de transporte de calor de

[S/]ar. + (v •. V.)T. = -[ 1 ]V:C. + [<1»,] S,. dt. PI'

(5.5.16)

Una vez más aparece el número de Strouhal en el término de gradiente temporal, y si al igual que antes t se selecciona como Uu ,entonces el número de Strouhal es igual a 1.

El ~gundo término entre co;chetes de la ecuación (5.5.15) es el inverso del número de Peder de masa. P ,que se define como u Uq];/. Similarmente, en la ecuación (5.5.16) umUa se conoce como et"número de Pedet, P . ~bos números permiten calcular la transferencia por difusión. Usualmente los números de Peclet se reescriben en términos del número de Reynolds, tal como sigue:

donde

donde

Pr = v/a

p ... , = RS~

Se = v/<!JJ

(5.5.17)

(5.5.18)

El número de Prandtl, P y el número de Schmidt. Se' calculan la importancia relativa de la "difusividad de momentumtt paramelrlzada por la viscosidad cinemática con respecto a la difusión molecular de calor y de masa, respectivamente.

Finalmente. los grupos adimensionales de fuente-sumidero <1» e y <P T se definen como

(5.5.19)

Análisis dimensional y similitud dinámica 247

(5.5.20'

Sin embargo, hasta este momento son grupos sin nombre debido a que existen numerosas formas de <1» y <1» dependiendo de la forma funcional del término fuente-sumidero. Por consiguiente existen t~tos ;ombres para los grupos como formas funcionales. Por ejemplo, si el término fuente-sumidero en la forma dimensional fuera la tasa de reacción de primer orden parametrizada por una constante kp entonces Se = klC. Smr en la ecuación (5.5.19) se convierte en klCm ,y el número [klliu..,] es una forma del número de Damlcohler que calcula la importancia de la generación química de C con respecto al transporte advectivo.

Normalización de dos escalas: la capa límite

Una capa límite se define cuando existen dos escalas de longitud en el problema. Típicamente la escala horizontal es varios órdenes de magnitud mayor que la escala vertical. Algunos ejemplos incluyen los flujos que ocurren naturalmente a gran escala en lagos, ríos, estuarios y en la atmósfera. Todos los flujos de ingenie~a cerca de fronteras sólidas, tales como paredes sólidas. superficies de alas o cascos de buque, presentan capas límite. Utilizando los métodos de normalización anteriormente descritos con las dos escalas de longitud, se obtienen las ecuaciones de las capas límite siempre presente, que serán analizadas en el capítulo 7.

5.6 ESTUDIOS EN MODELOS Y SIl\1ILITUD

Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructuras y máquinas hidráulicas propuestas como una ayuda en el diseño. Éstos permiten una observación visual del flujo y hacen posible obtener cierta información numérica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo. distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y pérdidas.

Si se desea obtener información cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud dinámica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere (1) que exista similitud geométrica exacta y (2) que la relación de presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante. Este segundo requerimiento también puede expresarse como una similitud cinemática. es decir, que las líneas de corriente deben ser geométricamente similares.

La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un décimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad debe tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las DÚsmas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los números de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo.

Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1: 1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. La discusión de algunos casos aclarará este concepto.

Como una ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real) y modelo se muestran en la figura 5.2. Por supuesto, la similjtud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de D,,/D p. Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala.

248 e A p i r u L o 5 Mecánica de nuidos

Prototipo. P

P".P,. V'@J'D .. - -" . _ _ .;"'1',.

-P"", P .. , V ..

Similitud ¡,'Cllmetnc:J

Similitud cil1C ,"::ItiC"~

Similitud din:lmic~

Modelo. M

~.: VO ---

Figura 5.2 Similitud geométrico y dinémico pera el Ru jo sobre uno dero.

La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de "fuerza" en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera están actuando tres fuerzas netas, la fuerza de presión,.t;.; la fuerz:l viscosa o de corte. l y la fue rza inercial debida a la aceleración, ¡;. Estas fuerzas deben formar un polígono cerrado tal como se muestra para el prototipo de la figura 5.2. El polígono de fuerzas para el modelo debe ser simiJar al del protOtipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud. la relación de cada lado debe mantenerse, es dec ir,

[nrOlOtiPO = [~ Lodelo (5.6.1)

y

[¡,] [t,] ¡; prototipo = -¡ modelo

(5 .6.2)

Nótese que estas relaciones están formadas por las agrupaciones adimensionales de la sección pre­via. Los polígonos de fuerza se consideran similares si

E, R,

E. (5.6.31

15 ••• 4)

En otras palabras, el asegurar la igualdad entre los polígonos de fuerzas de modelo y prototipo, se consig ue igualar los números adimensionales entre modelo y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmeme es algo imposible de alcanzar, a menos que la relación de escala sea 1: l. A conrinu:lción se preseman algunos casos ejemplo para ilustrar estos requerimientos.

Pruebas en túneles de viento yagua

Este equipo se utiliza para ez'(aminar las líneas de corrienle y las fuerzas que son inducidas a medida que el fl uido pasa alrededor de un cuerpo completamente sumergido. El tipo de prueba realizada y la disponibilidad del equipo determina qué tipo de tunel debe ser usado. Debido a que la viscosidad cinemática del agua es alrededor de 1/ 10 de la del aire. un túnel de agua puede utilizarse para estudiar modelos con números de Reynolds relativamcOIe altos. ¡El efecto de arrastre de diferentes tipos de paracaídas fue estudiado en un túnel de agua! A velocidades muy alias los efectos de compresibilidad. y consecuentemente el número de Mach. deben tenerse en consideración y ciertamente pueden ser la

1 Análisis Gllhcnsional y simililUd dinámica 249

razón principal para llevar a cabo la investigación. La figura 5.3 muestra el modelo de un portaviones que está siendo probado en un túnel de baja velocidad para esmdiar el patrón del flujo alrededor de la superestructu ra del buque. El modelo se encuentra invertido y suspendido del techo, de tal manera que los trozos de lana puedan utilizarse para dar una indicación de la dirección del flujo. Detrás del modelo se encuentra un aparato para medir la velocidad del aire y su dirección en diferentes lugares de la trayectoria de planeo del ponaviones.

Flujo en tuberías

En el flujo pennaneme en una tubena las fuerzas viscosas e inerciales son las que tienen consecuencias importantes; por consiguiente , cuando se cumple la similirud geométrica. tener el mismo número de Reynolds en el modelo y el prototipo asegura la similirud dinámica. Los diferentes cocñcienles de presión correspondientes son los mismos . Para pruebas co n fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática en modelo y prototipo, el producto, VD, debe ser el mismo. Frecuemcmente esto requ iere velocidades muy altas en modelos pequeños.

Estructuras hidráulicas abiertas

Estructuras tales como vertederos, piscinas de discipación, transiciones en canales y vertederos, generalmente tienen fuerzas debidas a la gravedad (causadas por cambios en la elevación de superfi­cies de los líquidos) y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y de esfuerzo cortante turbulento. En estos casos la similitud geométrica y el mismo valor del número de Fraude en

Figura 5.3 Pnrelxu en 1Uf1e! de 'lienta poro lo ~upere~lrvd\Ira de un porlo"-tione~. El modela ~ encuentra ¡f1vertido y Mpendido del lecho. Ita fotografía se tomé en lo~ Laboratorios de Ingenierio Aeroelpocial de la UniWlr\;dod de Michigon paro lo Corparoc¡6n Dyno $cienccsl.

250 e A p i r u L o 5 Mecánica de fluidos

el modelo y el prototipo producen una buena aproximación a la similitud dinámica. es decir

V' V' - "- = -'-g.,.l", gpl"

Debido a que la gravedad es la misma, la relación de velocidad varia según la raíz cuadrada de la

relación de !!scala ,\ = l fI . , . V, = V • .JI

Los tiempos correspondientes para eventos que ocurren (por ejemplo para elliempo de viaje de una panícula a través de Ulla transición) !!stán relacionados; luego

( = 1- /1' !..-V'· /1' = 1", !..-," Vv'~ t,,, JI ,. V. " ,.,

La relación de c:lUdales º/º .. es

Qr = 1:.l t" = Asr. Q. ' ,~/ I,.

Las relaciones de fuerza por ejemplo sobre cOmpUeflJS F/ F. , son

F;. = Y",.f~ = Al F. y".I~

donde" es la cabeza. En fotnm similar, otras relaciones peninentes pueden derivarse de tal manera que los resultados del modelo sean interpretados como componamientos del pro ~oli po.

La figura 5.4 muestra una prueba sobre un moddo Llevada a cabo para detemunar el efecto de un rompeolas sobre la formación de ondas en un puerto.

Figuro 5.4 pruebo\ \Obre modelo de un pyerto. {Deporlomenkl dI! Ingenierio Ciyi!, Univer\idod dI! Mithigon).

• Análisis dimensional y similitud dinámica

Resistencia de bU(lues

La resistencia al movimiento de un buque a través del agua está compuesta por el arrastre de presión. la fricción superficial y la resistencia debida a las ondas. Los estudios en modelos se complican por los tres tipos de fuerzas que son importantes: inerciales. viscosas y gravitJcionales. Los esrudios sobre fricción superficial deben basarse en mlmeros de Reynolds iguales en el modelo y el prototipo. pero la resislencia de las ondas depende del número de Fraude. Para sati sfacer ambos requerimientos. el modelo y el prototipo deberian ser del mismo tamaño.

Esta dificultad puede superarse utilizando un modelo pequeño y midiendo el arrastre total sobre éste cuando es remolcado. Luego, se calcula la fricción superficial para el modelo y se sustrae del arrastre total. El arrastre restante es escalado hacia el tamaño del prototipo. utilizando modelac ión de Froude, y la fricción superficial del protOlipo se calcula y añade para obtener la resistencia total debida al agua. La figura 5.5 muestra el c:unbio dramático en el perfil de la onda que resulta con unn proa rediscñnda. De tales pruebas es posible predecir, utilizando modelacióll de Froude, la formación de la onda y el arrastre que ocurrirá en el prototipo.

Maquinaria hidráulica

La velocidad rotacional de la maquinaria hidráulica introduce una variable extra. Las partes móviles en ulla máqu ina hidráulica requieren un parámetro extra para asegurar que los patrones de líneas de corriente sean similares l!n el modelo y en el protOlipo. Este parámetro debe relacionar el flujo que pasa a través (descarga). con la velocidad de las partes móviles. Para máquinas geométricJ.mente similares. si los ruagrJ.mas de velocidJ.d de entrada o de salida de las partes móviles son similares, entonces las unidades son homólogas, es decir para propósitos práclicos existe similimd dinámica. El número de Froude no es importante, pero los efectos del nú mero de Reynolds (conocidos como efectos de escala debido a que es imposib le mantener el mismo número de Reynolds en unidades homólogas) puede causar una discrepancia del 2 al 3 por ciento de la eficiencia entre el mode lo y el prototipo. El número de Mach también es importante en compresores de flujo a:<...Íal y turbinJ.s de gas .

El coeficiente de válvula K = Ó.pl(p V~!2) para una válvula de 600 mm de di ámetro tiene que determinarse de pruebas sobre una válvula geométricamente similar de 300 mm de diámetro, utilizando aire aunosférico a 800 E El rango de las pruebas debe ser para un flujo de agua a 70°F y desde la 2.5 mis. ¿Cuáles son los rangos necesarios de flujo de aire?

Solución

El rango para el número de Reynolds para la válvula prototipo es

(VD) = (1 mls)(0.6m) = 610.000 v _ (1.059 X 10-' pies '/s)(0.J048 mlpie)'

( V~ L = 6 lO, 000(2.5) 1,525,000

Para pruebas con aire a 80°F

v = (1.8 X IO~ pies '/s)(0.J048 m/pie)' 1.672 X 10-' In ! Is

Ejemplo 5,9

252 e A ~ ¡TU lOS

figuro 5.5

Mecánica de fluidos

~rvebos sobra modelos mostrando la inRuencio de uno proa efl lormo de bulbo ~e lo ImmodOn de ondoso (Dcportomento de ArquileclurO NOVQI e tngenierio Morino, Univellidod de Mithigon).

Análisis dimensional y similitud dinámica 253

Entonces los rangos para las velocidades de aire son

EJERCICIOS

V.;.(0.3 m) = 610.000

1.672 X 10-' rnl/s

V~.(O.3 m) = 1,525,000

1.672 X 10-' m2/s

Q,.. =

Q... =

~ -(0.3 m)'(30.6 mJs) = 2.16 m'/s 4 ~ -(0.3 m)'(S5 mJs) = 6.0 m'/s 4

v... = 30.6 mJs

V~ = SS mJs

5.6.1 ¿Qué velocidad debe tener el aceite. p = 1.6 slugslpie1 y JL = 0.20 P. en una tubería de 1 pulg de diámetro para que sea din:imica.rnente similar a una velocidad de agua de 10 pies/s a 68°F en una. tubería de t pulg de diametro? (a) 0.60 pies/s; (b) 9.6 pies/s; (e) 4.0 pies/s; (d) 60 pies/s; (e) ninguna de estas respuestas.

5.6.2 La velocidad en un punto de un modelo de la cresta de una presa fue medida como I mis. La correspondiente velocidad del prototipo para Á = 25 es. en metros por segundo. (a) 25; (h) S. (e) 0.2; (ti) 0.04; (e) ninguna de estas respuestas.

5.6.3 Se ba encontrado que la altura de un resalto bidráulico en una piscina de disipación fue de 4.0 pulg en un modelo, ,\ = 36. La altura del resalto en el prototipo es (a) 12 pies; (b) 2 pies: (e) no se puede detenninar con la infonnación dada: (d) menor que 4 pulg ; (e) ninguna de estas respuestas.

5.6.4 Un modelo de un buque, a escala 1: 100, tiene una resistencia de onda de 10 N a su velocidad de diseño. La correspondiente resistencia de onda del prototipo. en kilonewtons. es (a) lO: (h) 100; (e) 1000; (d) 10.000: (e) ninguna de estas respuestas.

5.6.5 Un modelo a escala 1:5 de un proyectil tiene un coeficiente de alT3stre de 3.5 a M = 2.0. ¿Cuántas veces mayor debería ser la resistencia del prototipo cuando se dispara al mismo numero de Macb en ai re con la misma temperatura y la mitad de su densidad? (a) 0.312; (b) 3.12: (e) 12.5; (ti) 25: (e) ninguna de estas respuestas.

PROBLEMAS

5.1 Demostrar que las ecuaciones (4.5.11), (4.6.5) Y (3.7.1) son dimensionalmente homogéneas.

5.2 Ordenar el siguiente grupo en parámetros adimensionales: (a) óp, p y V; (b) p. g. V Y F; (e) JL. F, ap y l.

5.3 Mediante inspección. reordenar los siguientes grupos en parámetros adiI!Jensionales (a) a, { y ( ; (b) v, 1 y t; (e) A, Q y w; (el) K, u y A.

5.4 Derivar la unidad de masa consistente con unidades de pulgadas. minutos y toneladas.

~.~ En lénrunos deM. L y T, detenninar las dimensiones de radianes. veloc idad angu lar. potencia. trabajo, torque y momento de momentum.

5.6

5.7

Enconlrar las dimensiones de las cantidades dadas en el problema 5.5 en el sistema FLT.

Resolver el ejemplo 5.2 utilizando Q y H como las variables repetitivas.

254 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

5.8 Utilizando las variables Q, D, AHIl. p./L Y g como las variables pertinentes en el flujo. en una tubería lisa, ordenarlas en parámetros adimensionales con Q, p y J.I. como las variables repetitivas.

5.9 Si se sabe que el esfuerzo cortante r depende de la viscosidad y la tasa de deformación angular du/dy en un flujo laminar unidimensional. determinar la forma de la ley de viscosidad de Newton, utilizando razonamiento dimensional.

5.10 Se sabe que la variación de presión tJ.p en líquidos estáticos depende del peso específico 'Y y de la diferencia de elevación tJ.z. Mediante razonamiento dimensional, determinar la forma de la ley hidrostática de variación de la presión.

5.11 Cuando se desprecian los efectos viscosos y de tensión superficial, la velocidad V del flujo de salida del líquido de un embalse depende de la caída de presión tJ.p del líquido y de su densidad p. Determinar la forma de la expresión para V.

5.12 Se piensa que la fuerza de boyamiento F 8 sobre un cuerpo depende de su volumen sumergido 'TI y de la fuerza gravitacional que actúa sobre el fluido. Determinar la forma de la ecuación de la fuerza de boyamiento.

5.13 En un fluido que rota como un sólido alrededor de un eje vertical con una velocidad angular w, el aumento de presión p en la dirección radial depende de la velocidad w, del radio r y de la densidad del fluido p. Obtener la forma de la ecuación para p.

5.14 En el ejemplo 5.3 encontrar otros dos conjuntos de parámetros adimensionales recombinando los parámetros adimensionales dados.

5.15 Encontrar los parámetros adimensionales para el ejemplo 4.4 utilizando tJ.p, p Y 1 como las variables repetitivas.

5.16 El número de Mach M para el flujo de un gas perfecto, en una tubería, depende de la relación de calor específico k (adimensional), de la presión p, de la densidad p y de la velocidad V. Mediante análisis dimensional, obtener la forma de la expresión del número de Mach.

5.17 Encontrar la escala para el torque T sobre un disco de radio r que rota en un fluido con viscosidad /L con una velocidad angular w y una luz y entre el disco y la placa fija.

5.18 La velocidad en un punto de un modelo de un rebosadero de una presa es 1 mis. Para una relación prototipo a modelo de 10: 1, ¿cuál es la velocidad en el punto correspondiente del prototipo bajo condiciones similares?

5.~9 La potencia de entrada a una bomba depende del caudal Q, del aumento de presión tJ.p, de la densidad del fluido p, del tamaño D y de la eficiencia e. Encontrar la expresión para la potencia, utilizando el análisis dimensional.

5.20 El torque desarrollado por una turbina de agua depende del caudal Q, la cabeza H, el peso específico 'Y, la velocidad angular w y de la eficiencia e. Determinar la forma de la ecuación para el torque.

5.21 Estudios experimentales extensos sobre el problema de transferencia convectiva de calor en barras cilíndricas han revelado que el coeficiente de transferencia de calor, he' depende del conjunto de variables listadas en la siguiente tabla:

Sfmboro ' Nomb~ ':: '

::z :';);~:a:t~~.)·:; ,,';;:i:·(>.:. á Diá!lteirO 1 Conductívid:ld ténnic:l c; Calor es-peCmco h. Coeficiente de Il'llllsferenciadeCaror

Unidades

'.':;~, ... , ~kgín1.~,

,ro kg·~ss·K

m:/sl·K kgÍs"[(

,. l. ,.

Análisis dimensional y similitud dináu'tica 255

Utilizando las anteriores variables, encontrar todos los números adimensionales necesarios que podrían utilizarse para describir tales condiciones físicas.

5.22 Se requiere establecer la relación funcional entre los números adimensionales encontrados en el problema 5.21. Describir cómo sería posible determinar en forma cuantitativa la relación funcional, y qué información es esencial para las condiciones dadas en el problema 5.21.

5.23 El conjunto de variables que describe la transferencia de calor transiente en planchas infinitas, sin generación de calor, son el coeficiente de transferencia de calor he' la difusividad térmica a, la distancia x. la conductividad térmica k, la temperatura T, la temperatura de referencia T trf Y el tiempo ,. Para este problema determinar todos los parámetros adimensionales posibles.

5.24 Reformular el problema 5.23 considerando una fuente de calor y por consiguiente generación de calor, qlf

5.25 El enfriamiento de un pequeño lingote (un proceso variable en el tiempo) que se saca de un horno con una temperatura uniforme, Tr y sumergido súbitamente en agua fría con .,!!,na temperatura unifonne. T.., se describe mediante el coeficiente de transferencia de calor promedio h •. , la difusividad térmica a. la conductividad térmica k, la densidad del lingote p, el área superficial del lingote A y, finalmente, la longitud L. Determinar todos los parámetros adimensionales para este problema.

5.26 Se sabe que el coeficiente de transferencia de masa, k., depende de las siguientes variables:

51mbolo Nombre

• U:,;, - Vd~íInd'

., p,o, ::"~f~d"" " 'V"1SCÓsi~, .

L " ,tri' tOng¡tiJd dl:~cia

' ......... ~ ~ - . - ~

g) , I

t,

Encontrar todos los parámetros adimensionales.

Unidades,

,~s,

';'!cs'mJ •

: kivm·s"

5.27 La sedimentación en separadores de filtro depende de las características de las partículas y del medio, tales como el diámetro de partícula ds' la densidad de la partícula Ps' la velocidad terminal de la partícula w" el coeficiente de difusión de la partícula 2b

J• la velocidad del gas u, la densidad p,

la viscosidad J.I., el diámetro de la fibra del filtro dI' y de la aceleración de la gravedad g. ¿Cuáles son los parámetros adimensionales para la sedimentación en separadores de filtro?

5.28 Deducir la fonna no dimensional para la ecuación de transporte bidimensional (en el plano xy) de calor, utilizando la normalización de escala única. Mostrar todos los detalles.

5.29 En flujos alrededor de cuerpos sólidos, la fuerza ejercida por el fluido en movimiento sobre el cuerpo depende de la velocidad del fluido u, de la densidad p, de la viscosidad J.I. y de la dimensión principal del cuerpo L. ¿Cuáles son los parámetros adimensionales para las condiciones dadas?

5.30 El coeficiente de arrastre, C D' representa la relación del esfuerzo cortante superficial con respecto a la energía cinética de corriente libre. Cuando fluye agua sobre una superficie plana, con una dimensión principal L, y el esfuerzo cortante local está dado por

r(x) = 0.3 (pplX)If2 U312

donde x es la distancia desde el borde de ataque y U es la velocidad de corriente libre. De la anterior ecuación obtener las relaciones adimensionales para los coeficientes de arrastre local y promedio, CD•

256 e A p í TUL o 5 Mecánica de fluidos

5.31 Hacer una gráfica con los parámetros adimensionales, R y Pr , con respecto a la temperatura para agua, utilizando una longitud característica de L = 4.5 m y una velocidad característica U = 3.2 mis.

5.32 Para flujos sobre placas horizontales se sabe que existe la siguiente correlación: Nu = aRIJ Pr7, donde los números adimensionales se evalúan a lo largo de la longitud, L, de la placa. Evaluaciones futuras de tales flujos requieren el conocimiento de las constantes, a, {3 y 'Y. Determinar la información experimental requerida para evaluar eficientemente estos coeficientes.

5.33 Suponer que en el problema 5.32 está disponible un conjunto de información experimental y un ingeniero necesita encontrar los valores de los coeficientes a, (3 y 'Y. Sugerir un procedimiento para la determinación de estos coeficientes.

5.34 Se ha sugerido la siguiente relación para la distribución de concentración de la especie A, para ser utilizada en cuerpos grandes de agua.

C,,(z, t) = aCAor

-:2

/D:t

donde a es un factor de corrección que tiene en cuenta los cambios de temperatura. ¿Está la ecuación en forma adimensional? Si no, ¿cuál es su representación adimensional?

5.35 Evaluar los parámetros adimensionales, R~/2 Prl13 y Nu .. utilizando la siguiente información para agua a 45°C que fluye sobre una placa delgada: x = 25 pies, c = 4176 Jlkg . K, h = 3.0 BtuIh·pie2 • °F, k = 0.369 BtuIh· pie· °F Y u = 3.31 pies/s. p e

5.36 Evaluar los parámetros adimensionales, R, Pr y (R . Pr)112 para agua que fluye sobre una placa delgada de longitud 3 ID, utilizando la siguiente información: T = 80°F, c

p = 0.997 Btu/lbm .oF,

he = 3.0 Btu/h· pie2 • °F, k = 0.615 W/m· K Y u = 2.18 mis.

5.37 Un modelo de un medidor vénturi tiene dimensiones lineales iguales a una quinta parte del prototipo. El prototipo opera con agua a 20°C y el modelo con agua a 95°C. Para un diámetro de garganta de 600 mm y una velocidad en la garganta de 6 mis en el prototipo, ¿cuál es el caudal necesario a través del modelo para tener similitud?

5.38 El arrastre F sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad V del proyectil, de la densidad del fluido p, de la velocidad acústica c, del diámetro de proyectil D y de la viscosidad ¡.L.

Desarrollar una expresión para el arrastre.

5.3? El arrastre de onda sobre el modelo de un buque es 16 N a una velocidad de 3 mis. Para un prototipo 15 veces más grande, ¿cuál será la velocidad y el arrastre correspondientes, si el líquido es el mismo en cada caso?

5.40 Determinar la densidad relativa de partículas esféricas, D = 0.13 mm, que caen en aire a O°C con una velocidad U de 0.1 mis. La fuerza de arrastre sobre una esfera pequeña en movimiento laminar está dada por 3 H pJJU.

5.41 Una pequeña esfera líquida de radio 'o y densidad Po cae con una velocidad U en un segundo líquido de densidad p y viscosidad JL. Las pruebas se llevan a cabo dentro de tubos verticales de radio r. Mediante análisis dimensional, determinar un conjunto de parámetros adimensionales para ser utilizado en la determinación de la influencia de la pared del tubo en la velocidad de sedimentación.

5.42 Las pérdidas en una Yen un sistema de tuberías de 1.2 m de diámetro que mueve gas (p = 40 kglm3, JL = 0.002 P Y V = 25 mis) se deben determinar mediante las pruebas en un modelo con agua a 20°C. El laboratorio tiene una capacidad de agua de 75 Uso ¿Qué escala de modelo se debería utilizar y cómo se convierten los resultados en pérdidas en el prototipo?

Análisis dimensional y similitud dinámica 257

5.43 Los rizos (pequeñas ondas superficiales) tienen una velocidad de propagación que depende de la tensión superficial y de la densidad del fluido, al igual que de la longitud de onda. Mediante análisis dimensional justificar la forma de la figura 5.1 para pequeñas longitudes de onda.

5.44 En agua muy profunda la velocidad de propagación de ondas depende de la longitud de onda, pero en aguas poco profundas ésta es independiente de esa dimensión. ¿De qué variables depende la velocidad de avance de las ondas en aguas poco profundas? ¿La figura 5.1 está de acuerdo con este problema?

5.45 Si un conducto circular vertical que no se encuentra lleno gira a alta velocidad, el fluido se pegará uniformemente a las paredes interiores del tubo a medida que fluye hacia abajo (v~r sección 2.9). Bajo estas condiciones la aceleración radial del fluido crea un campo de fuerza radial que es similar a la atracción gravitacional y por consiguiente puede ocurrir un resalto hidráulico dentro de la tubería, en donde el espesor del fluido cambia abruptamente. Determinar un conjunto de parámetros adimensionales para estudiar este resalto hidráulico rotante.

5.46 Una gota de fluido casi esférica oscila a medida que cae. La tensión superficial juega un papel dominante. Determinar un parámetro adimensional significativo para esta frecuencia natural.

5.47 Los coeficientes de sustentación y arrastre para un ala se muestran en la figura 7.17. Si el ala tiene una cuerda de 10 pies, determinar la sustentación y el arrastre por pie de longitud cuando el ala se encuentra operando con un ángulo de ataque de cero y un número de Reynolds, basado en la longitud de cuerda, de 4.5 X 107 en aire a 50°F. ¿Qué fuerza debería existir en un modelo a escala 1 :20 si las pruebas se desarrollaran en aguas a 70°F? ¿Cuál debería ser la velocidad del agua? Comentar sobre la conveniencia de llevar a cabo las pruebas del modelo en agua.

5.48 Se desea probar un modelo a escala 1:5 de un sistema de tuberías de una estación de bombeo de agua para detenninar las pérdidas de cabeza. Se encuentra disponible aire a 25°C y 1 atto. Para una velocidad del prototipo de 500 mmls en una sección de 4 m de diámetro con agua a 15°C, determinar la velocidad y la cantidad de aire necesarias, y cómo se convertirían las pérdidas determinadas en el modelo a pérdidas en el prototipo.

5.49 Se van a hacer pruebas a escala completa en un túnel de viento para la sustentación y el arrastre sobre los hidropatines de un barco. El barco viajará a 55 kmJb a través de agua a 15°C. ¿Qué velocidad de aire (p = 200 kPa abs y T = 32°C) se requiere para determinar la sustentación y el arrastre? Nota: El coeficiente de sustentación C

L es adimensional. Sustentación = CLApVZ/2.

5.50 Se va a determinar la resistencia al ascenso de un globo, estudiando el ascenso de un modelo a escala 1 :50 en agua. ¿Cómo se debería desarrollar tal estudio en modelo y cómo se convertirían los resultados a comportamiento de prototipo?

5.51 Se va a estudiar el momento ejercido sobre un submarino por su timón en un modelo a escala 1 :20 en un túnel de agua. Si el torque medido en el modelo es 5 N . m para una velocidad en el túnel de 15 mis, ¿cuáles son el torque y la velocidad correspondientes para el prototipo?

5.52 Para que dos máquinas hidráulicas sean homólogas, éstas deben ~a) ser geométrica.me~te similares, (b) tener el mismo coeficiente de descarga cuando se mlfan como un onficlo, Q¡I(A, ~2gH,) = Q/~ ~2gHl ,y (e) tener la misma relación de velocidad periférica a velocidad del fluido, wD/(Q/A). Demostrar que las relaciones de escala pueden expresarse como Q/NDl = constante y H/(ND)2 = constante. N es la velocidad de rotación.

5.53 Utilizar las relaciones de escala del problema 5.52 para determinar la cabeza y el caudal de un modelo 1:4 de una bomba centrífuga que produce 600 Us a una cabeza de 30 m cuando rota a 240 rpm. El modelo opera a 1200 rpm.

258 e A P ¡TU L o 5 Mecánica de fluidos

REFERENCIAS

1. E. Buckingbam, "Model Experiments and the Form of Empirical Equations," Trans. ASME, vol. 37, pp. 263-296, 1915.

2. L. 1. Sedov, Similarity and Dimensional Methods in Mechanics (translated by M. Holt), Academic Press, New York, 1959.

3. 1. C. Hunsaker and B. G. Rigbtmire, Engineering Applications 01 Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1961.

LECTURAS ADICIONALES

Bridgeman, P. W.: Dimensional Analysis, Yale University Press, New Haven, Coon., 1931. (The paperback Y-82, 1963.)

Hansen, A.: Similarity Analyses 01 Boundary Value Problems in Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1964.

Holt, M.: "Dimensional Analysis", seco 15 in V. L. Streeter (ed.), Handbook 01 Fluid Dynamics, McGraw-Hill, New York, 1961.

Hydraulic Models, ASeE Man. Eng. Pracl. 25, 1942.

Ipsen, D. C.: Units. Dimensions. and Dimensionless Numbers, McGraw-Hill, New York, 1960.

Kline, S. 1.: Similitude and Approximation Theory, McGraw-Hil1, New York, 1965.

Langhaar, H. L.: Dimensional Analysis and Theory 01 Models, John Wtley, New York, 1951.

Seshadri, R. and Na, T. Y.: Group Invariance in Engineering Boundary Va/ue Problems, Springer Verlag, New York, 1985.

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capítulo

6 Flujo viscoso: tuberías y canales

En los capítulos 3 y 4 se estudiaron las ecuaciones básicas utilizadas en el análisis de situaciones de flujo de fluidos. Este capítulo trata fluidos reales, es decir, situaciones en las cuales las irreversibilidades son importantes. La viscosidad es la propiedad del fluido que causa los esfuerzos cortantes en fluidos en movimiento. La viscosidad también es uno de los medios mediante el cual se desarrollan pérdidas. En flujos turbulentos, los movimientos aleatorios de fluidos superpuestos al promedio, crean esfuerzos cortantes aparentes que son más importantes que aquellos debidos a los esfuerzos cortantes viscosos. Estos tópicos son el tema central en el capítulo. En primer lugar se desarrolla el concepto del número de Reynolds, introducido en el capítulo 5. Se presentan las características que distinguen el flujo laminar del turbulento, y se clasifican los flujos en internos y externos. Este capítulo se concentra en los casos de flujos internos. En primer lugar se desarrollan los flujos permanentes, laminares incompresibles, debido a que en éstos las pérdidas pueden calcularse analíticamente. Luego se examina la resistencia debida a flujo permanente, uniforme, incompresible turbulento para conductos abiertos y cerrados. Se introduce el flujo a superficie libre en canales abiertos, seguido por un tratamiento más detallado del flujo en tuberías.