mecánica clásica

Mecanica cl asica

Vıctor Hugo Ponce

Dedicado a Yoli, por todoy porque este libro no hubiera sido posible

sin su apoyo.

AgradecimientosDeseo agradecer a los docentes del Instituto Balseiro que me hicieron conocer la Mecanica

clasica: Jose Cotignola, Leonardo Mascheroni y Nicolas Martinic, a todos los colegas con los quecompartı las catedras de Mecanica: Andres Garcıa, Cristina Terrile, Marıa Teresa Causa, ManuelTovar, Horacio Wio, Norberto Vaieretti, Alberto Oliva, Jorge Regollini, Pablo Fainstein, EnzoDari, Veronica Garea, Gustavo Demarco, Sergio Grillo, Griselda Garcıa, Henry Herce, CeciliaVentura, Gabriela Puente, Mario Scheble, Marıa Teresa Malachevsky, Agustın Rauschert, Guiller-mo Pregliasco, y en especial a los alumnos con los que aprendimos Mecanica con placer y esfuerzoa lo largo de tantas horas en el aula.

A la Universidad Nacional de Cuyo por haber hecho posible la publicacion de este libro, enespecial a los Doctores Carlos Passera, Manuel Tovar y a los Profesores Rene Gotthelf y MarıaDelia Vivante.

A Anabella Procopio y Emilio Figueroa por su ayuda en la preparacion del manuscrito.

ContenidoPrologo......................................................................................................................................1

Capıtulo 1: Fundamentos de la Mecanica clasica.....................................................................3

Capıtulo 2: Formulacion lagrangiana de la Dinamica clasica................................................47

Capıtulo 3: Problema de dos cuerpos con fuerzas centrales...................................................85

Capıtulo 4: Fısica de Colisiones...........................................................................................109

Capıtulo 5: Cuerpos rıgidos. Tensor de inercia....................................................................135

Capıtulo 6: Dinamica del cuerpo rıgido...............................................................................169

Capıtulo 7: Oscilaciones......................................................................................................215

Capıtulo 8: Pequenas oscilaciones.......................................................................................229

Capıtulo 9: Formulacion hamiltoniana de la Mecanica clasica...........................................259

Capıtulo 10: Oscilaciones no lineales. Caos........................................................................301

Capıtulo 11: Teorıa especial de la Relatividad....................................................................315

Bibliografıa..........................................................................................................................375

Indice alfabetico..................................................................................................................379

Indice general .....................................................................................................................383

PrologoEste libro fue gestandose a lo largo de tres decadas de cursos de Mecanica clasica dictados en

el Instituto Balseiro a estudiantes de las carreras de Fısica e Ingenierıa Nuclear. Es el resultado finalde las sucesivas notas de clase que en el transcurso de ese tiempo fueron creciendo al incorporarnuevos temas y aplicaciones y enriqueciendose con los aportes de mis colegas de catedra y losalumnos que tomaron este curso.

El proposito que me guio al darle forma final a estas notas es en primer lugar transmitir alas generaciones venideras de docentes y alumnos la experiencia adquirida al ensenar y aprenderMecanica clasica, unido al intento de compartir el placer y la belleza que encierra este capıtulodel conocimiento humano. Nacida en su forma presente con los aportes que Galileo realizaraa comienzos del siglo XVII, revelo todo su potencial en la descripcion de la Naturaleza en losinicios del siglo XVIII cuando Newton enuncio las leyes que rigen el movimiento de los cuerpossometidos a interacciones mutuas. Los comienzos del siglo XIX fueron propicios para potenciar elformalismo matematico y generalizar el campo de aplicacion de la Mecanica Newtoniana a travesde las contribuciones, entre otros, de Lagrange, Euler y Hamilton. Finalmente, las dos primerasdecadas del siglo XX fueron testigos de laultima gran revolucion de la Fısica clasica introducidapor Einstein con sus teorıas de la Relatividad que ampliaron elambito de aplicacion de la Mecanicaclasica a todo el rango de velocidades y masas de los cuerpos macroscopicos.

El libro esta dividido en once capıtulos donde se desarrollan los metodos formales dirigidos apredecir la evolucion de cuerpos macroscopicos sometidos a interacciones mutuas, y a presentarlas principales aplicaciones.

Un par de textos que han sido referentes basicos para escribir este libro y constituyen lecturasrecomendadas a la hora de aclarar o ampliar los temas desarrollados sonMecanica ClasicadeHerbert Goldstein[1] yMecanicade Lev D. Landau y Evgenii M. Lifshitz[2].

Los temas tratados en este libro y las aplicaciones presentadas excederıan el tiempo habitual declases de un semestre de las carreras de grado de Fısica e Ingenierıa. Algunos temas identificadoscomo opcionales son desarrollados con mayor detenimiento y profundidad que lo habitual enbeneficio de aquellos lectores especialmente interesados en ellos, y de otros cuya curiosidad porver de que tratan espero pueda ser recompensada con el placer que encontre al escribirlos.

Cada capıtulo se completa con la presentacion de ejemplos donde se trata con detalle la apli-cacion del formalismo a problemas concretos. Porultimo, se proponen ejercicios a resolver por ellector que le permitiran tener una medida de su manejo del tema. No esta demas subrayar la impor-tancia tanto de comprender los razonamientos y deducciones que llevan a resolver los ejemplos,como la de ejercitar lo aprendido con la resolucion de los ejercicios propuestos.

Todas las referencias bibliograficas pueden consultarse en la Biblioteca del Instituto Balseiro-Centro Atomico Bariloche.

Este libro presupone que el lector posee conocimientos basicos de analisis vectorial,algebralineal y calculo diferencial e integral en una o mas variables.

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MECANICA CL ASICA

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Capıtulo 1

Fundamentos de la Mec anica cl asica

1.1. Introducci on

La Mecanica clasica es un intento del hombre por comprender el mundo que lo rodea. Para ello,se erige en observador del resto del universo mas alla de sı mismo. Observar significa aquı mediry conservar el registro de lo medido. Pero la intencion no es la de tener ”fotografıas” de partes deluniverso en diferentes momentos y circunstancias, sino la de comprender las razones del cambioen esas imagenes. Nada es inmutable, todo se modifica en torno al observador.

El observador debe tener elementos para registrar con la mayor precision posible los otroscomponentes del universo. Debe separar entonces los objetos que van a ser motivo de su estu-dio de aquellos que usara como instrumentos de medida. Definimos entonces tres componentes:observador, instrumentos de medicion y sistema fısico.

Para que el estudio del sistema fısico sea lo mas preciso posible es necesario que la pertur-bacion que sobreel causa el instrumento de medida sea mınimo. De la misma forma debe serminimizada la influencia del observador sobre el instrumento de medida. En el Complemento Ial final de este Capıtulo analizaremos en mas profundidad las perturbaciones causadas sobre unobjeto al realizar una medicion de alguna de sus propiedades.

¿Cuales son los objetos que forman el universo de la Mecanica clasica? Usando la capacidadde observacion del hombre hasta fines del siglo diecinueve, dichos objetos son los cuerpos ma-teriales, que ocupan un lugar en el espacio tridimensional percibido por nuestros sentidos. Estoscuerpos pueden subdividirse sucesivamente en fracciones cada vez mas pequenas hasta alcanzarun elemento basico que llamaremos partıcula o punto material. Estos puntos materiales no puedensuperponerse, y por yuxtaposicion constituyen todos los cuerpos conocidos. Existen diferentestipos de materia, que se manifiestan en las propiedades de un cuerpo y en la forma en que loscuerpos vecinos perciben su presencia.

EL OBJETIVO BASICO DE LA MECANICA CL ASICA ES DETERMINAR EL MECANISMO POR EL QUE LOS

CUERPOS INTERACTUAN ENTRE SI , Y PREDECIR LA FORMA EN QUE EVOLUCIONARAN A CAUSA DE

DICHAS INTERACCIONES.

La Mecanica clasica deja de lado otro componente basico del mundo tal como lo perciben enforma directa los sentidos del hombre, cual es la luz. Se asume que la luz no participa ni modifica

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MECANICA CL ASICA

las interacciones entre cuerpos materiales. Veremos al final de este curso que en realidad la luzposee muchas de las propiedades que en primer lugar se asignaron a la materia, y que no siemprees posible realizar estudios separados de estos dos componentes del mundo en que vivimos.

1.2. Espacio y tiempo

Los conceptos fundamentales de la fısica son los de espacio y tiempo. La posicion de cadapartıcula de un cuerpo material queda determinada por tres numeros reales en el espacio tridimen-sional. La forma mas simple de definir estos numeros es mediante las coordenadas cartesianasortogonales: se elige un punto O y tres direcciones mutuamente ortogonales que pasan por elmismo y llamadas ejes coordenados: las coordenadas(x, y, z) son las distancias entre los planosdefinidos por pares de dichos ejes y planos paralelos a los mismos que pasan por el punto A. Esostres numeros ordenados(x, y, z) definen lo que llamamos el vector posicion de la partıcula:

−→r ≡ (x, y, z)

y graficamente representa el segmento orientado que nace en el origen de coordenadas O y terminaen el punto P, tal como lo muestra la figura 1.1

Figura 1.1:Coordenadas cartesianas ortogonales

Compararemos las coordenadas de la partıcula con las de un testigo que se repita periodica-mente, por ejemplo la posicion del sol en el cielo. Esto es lo que llamamos un reloj y dicha posi-cion se identifica con una variable llamada tiempo. Suponemos que tanto las coordenadas como eltiempo son variables continuas representadas por numeros reales.

La velocidad del cuerpo en cada una de las tres direcciones se define como la tasa de variacionde la coordenada respectiva en relacion al tiempo transcurrido. Empleando el concepto de derivada,el cuerpo posee tres velocidades dadas por:

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FUNDAMENTOS DE LA MECANICA CL ASICA

dx/dt = lımt2−t1→0

x(t2)− x(t1)t2 − t1

(1.1)

con expresiones similares para las velocidades en direccion y y z. El vector velocidad quedadefinido por:

−→v = (dx

dt,dy

dt,dz

dt)

Las componentesx, y, z del vector posicion o lasdxdt ,dydt ,

dzdt del vector velocidad dependen

de la forma en que elijamos las direcciones de los ejes coordenados. Dado un origen O tenemosinfinitas ternas de direcciones mutuamente ortogonales que pasan por el mismo, y para cada unade ellas habra diferentes componentes que definan el mismo vector.

En la figura 1.2 representamos el caso mas sencillo de un vector en un plano, definido en dossistemas coordenados.

Figura 1.2:Rotacion de ejes coordenados en el plano

La rotacion de los ejes ortogonales en unanguloθ produce una transformacion en las compo-nentes que definen el mismo vector:

−→a = (x, y)−→a ′ = (x′, y′)

donde:

x′ = x cos θ + y sin θy′ = y cos θ − x sin θ

Esta es una transformacion lineal en las componentes del vector, y representa la rotacion delsistema de ejes coordenados.

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MECANICA CL ASICA

1.3. Objetivos de la Mec anica cl asica

La Mecanica clasica estudia el movimiento de los cuerpos macroscopicos que se mueven convelocidades muy pequenas frente a la de la luz; quedan fuera de su descripcion los cuerpos delorden del tamano atomico. La Mecanica cuantica generaliza la Mecanica clasica de modo que sepuedan describir fenomenos al nivel atomico. La Teorıa especial de la Relatividad de Einstein pro-duce la generalizacion de la Mecanica clasica para cuerpos que se mueven a velocidades cercanasa la de la luz.

LA MECANICA CL ASICA ES UNA TEORIA QUE PERMITE DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DE LOS

CUERPOS Y PREDECIR SU EVOLUCION.

Como toda teorıa, esta fundamentada en principios surgidos de la observacion de los fenomenosfısicos. Proponemos un conjunto de principios, el mınimo posible, y a partir de ellos deducimospropiedades de la evolucion de los cuerpos. Mientras nuestras predicciones coincidan con lo queobservamos en la naturaleza esos principios se asumen validos. Cuando se note una discrepanciadeberan ser modificados o reemplazados.

Un concepto basico de toda teorıa es que no debe tener elementos arbitrarios. Por ejemplono debe haber puntos privilegiados en el espacio sin razon para ello. Supondremos entonces quelas leyes de la Fısica tendran la misma forma en todos los puntos del espacio (esto significa porejemplo quefuerza = masa×aceleracion vale como relacion en todo el universo, pero la fuerzapuede y en general es diferente segun cual sea el punto que consideremos). Concretamente, lasleyes en que se basa la teorıa tienen una forma independiente del origen de coordenadas elegido:por ejemplo, la segunda ley de Newton:

−→F (−→r , t) = m

d2

dt2−→r (t)

es una expresion independiente del origen elegido para describir el vector posicion−→r (t). En elmismo sentido, cuando existen dos observadores en movimiento relativo el uno respecto del otro,no hay razon logica para decidir quien esta en reposo y quien en movimiento. Esto nos lleva aenunciar el

PRINCIPIO DE RELATIVIDAD : LA FORMA QUE ADOPTAN LAS LEYES DE LA FISICA ES LA MISMA PARA

TODOS LOS OBSERVADORES EN MOVIMIENTO UNIFORME RELATIVO ENTRE SI .

No es el mismo caso cuando se consideran observadores en marcos de referencia acelerados,donde cambiara por ejemplo la forma de la segunda ley de Newton a traves de la aparicion defuerzas ficticias, ligadas a la aceleracion de quien observa el movimiento de los cuerpos.

1.4. Sistemas de referencia

El sistema de coordenadas cartesianas ortogonales describe el vector posicion de un puntocomo la combinacion lineal de tres vectores unitarios a lo largo de direcciones mutuamente orto-gonales:

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−→r = xex + yey + zez

Este sistema no es elunico ni en ocasiones el mas conveniente para describir la evolucionde un punto. Si por ejemplo dicho punto esta limitado a moverse sobre una superficie esfericasera mas conveniente el sistema de coordenadas esfericas, y en otras circunstancias podra serlo elde coordenadas cilındricas.

En coordenadas esfericas presentadas en la figura 1.3 los vectores unitarios soner, eθ, eϕ,dirigidos en las direcciones de maximo crecimiento de las coordenadasr, θ, ϕ :

−→r = rer

Por ello, estas direcciones dependen del punto considerado:

der = dθeθ + sin θdϕeϕ

deθ = −dθer + cos θdϕeϕ

deϕ = − sin θdϕer − cos θdϕeθ

Figura 1.3:Coordenadas esfericas

En coordenadas cilındricas de figura 1.4 los vectores unitarioseρ, eϕ estan dirigidos en lasdirecciones de maximo crecimiento de las coordenadasρ, ϕ del plano normal al ejez. Ahora las

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MECANICA CL ASICA

direccioneseρ, eϕ dependen del punto considerado en tanto queez es fija, independiente de dichopunto:

deρ = dϕ.eϕ

deϕ = −dϕ.eρ

Figura 1.4:Coordenadas cilındricas

Dejamos como un ejercicio expresar la posicion, velocidad y aceleracion de un punto en estostres sistemas. Los resultados son:

−→r (t) = xex + yey + zez

−→v (t) =d−→r (t)dt

=dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez

−→a (t) =d2−→r (t)dt2

=d2x

dt2ex +

d2y

dt2ey +

d2z

dt2ez

−→r (t) = r(t)er

−→v (t) =d−→r (t)dt

=dr

dter + r

dθ

dteθ + r sin θ

dϕ

dteϕ

8


−→a (t) =d2−→r (t)dt2

= [d2r

dt2− r(

dθ

dt)2 − r sin θ(

dϕ

dt)2]er

+[2dr

dt

dθ

dt+ r

d2θ

dt2− r sin θ cos θ(

dϕ

dt)2]eθ +

[2 sin θdϕ

dt

dr

dt+ 2r cos θ

dθ

dt

dϕ

dt+ r sin θ

d2ϕ

dt2]eϕ

−→r (t) = ρ(t)eρ + z(t)ez

−→v (t) =d−→r (t)dt

=dρ

dteρ + ρ

dϕ

dteϕ +

dz

dtez

−→a (t) =d2−→r (t)dt2

= [d2ρ

dt2− ρ(

dϕ

dt)2]eρ

+[2dρ

dt

dϕ

dt+ ρ

d2ϕ

dt2]eϕ +

d2z

dt2ez

1.5. Cinem atica de una partıcula

La evolucion de una partıcula en el espacio tridimensional queda determinada por dos vectoresindependientes uno del otro: su posicion −→r (t) y su velocidad−→v (t). La aceleracion −→a (t) va aquedar determinada por la segunda ley de Newton.

La posicion−→r (t) esta definida por el vector radialr(t)er , en tanto que la velocidad−→v =vrer + vtet tendra en general una componente radialdr

dt er y una tangencialvtet tal como vemosen la figura 1.5

La componente tangencial define junto con−→r un plano. Un observador en el origen ve undesplazamiento de la orientacion de la partıcula que puede representar por una rotacion alrededorde un ejeen normal al plano(et, er), con velocidad angular

Ω =vtr

=v. sinαr

Tanto la direccion del eje de rotacion como la magnitud de la velocidad quedan determinadaspor el vector llamado velocidad angular

−→Ω =−→r ×−→vr2

(1.2)

donde vemos que−→Ω tiene la direccion en normal al plano de rotacion. Ademas, el sentido de

la rotacion queda definido por el sentido de movimiento del tirabuzon que gira desde el vector−→r hacia el−→v . A su vez, si conocemos el vector velocidad angular

−→Ω podemos determinar lavelocidad tangencial:

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MECANICA CL ASICA

Figura 1.5:Posicion y velocidad de una partıcula en tres dimensiones

−→vt = −→Ω ×−→r

Dado un cuerpo que sigue una trayectoria−→r (t) pasante por un punto−→r (t0), podemos suponerque instantaneamente se mueve en el plano definido por−→r (t0),−→v (t0). Su aceleracion en esepunto tiene una componente radialarer . Podemos aproximar la trayectoria en las cercanıas delpunto−→r (t0) por un cırculo que pasa por−→r (t0), que es tangente a−→v (t0) y que tiene por radio elvalorR0 tal quear = v2(t0)/R. De esta forma se describen exactamente la posicion, velocidad yaceleracion radial de la partıcula por el solo hecho de moverse en el cırculo de radioR0. Este esel llamado eje instantaneo de rotacion (figura 1.6)

1.6. Leyes de Newton

La fısica aristotelica suponıa que a cada forma de materia le correspondıa una posicion naturalen el universo, y si se la alejaba de esa ubicacion tendıa a retornar a la misma a menos que unaaccion externa se lo impidiera. A los cuerpos terrestres les correspondıa el centro del universo, demodo que una piedra lanzada por los aires tendıa caer y acercarse todo lo que pudiera a ese centro.La primera ley de Newton reemplaza la hipotesis de Aristoteles y tiene como antecedente obser-vaciones de Galileo, manifestando que para cualquier observador en movimiento no acelerado un

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Figura 1.6:Eje instantaneo de rotacion

cuerpo que no esta sometido a acciones externas conserva el estado de movimiento en que se en-cuentra: permanece en reposo o en movimiento uniforme. Como la velocidad de un cuerpo es unconcepto relativo (depende del estado de movimiento del observador), la primera ley de Newtondice estrictamente que

UN CUERPO NO SOMETIDO A ACCIONES EXTERNAS CONSERVA EL ESTADO DE MOVIMIENTO EN QUE

SE ENCUENTRA CUANDO SE LO OBSERVA DESDE UN SISTEMA INERCIAL, ES DECIR NO

ACELERADO.

Expresada de esta forma, la primera ley de Newton es una prescripcion para determinar unmarco de referencia inercial: si un cuerpo aislado del resto del universo se mueve con velocidaduniforme, es que lo estamos observando desde un sistema inercial.

La segunda ley de Newton indica que cuando hay acciones externas aplicadas al cuerpo,estemodifica su estado de movimiento uniforme variando su velocidad. La variacion de velocidad de-pende del agente externo actuante sobre el cuerpo. En general todos los generadores de fuerzasson otros cuerpos: sera la interaccion gravitatoria entre las masas de dos cuerpos, o la interaccionelectromagnetica si estan cargados, o un resorte que los une. A la intensidad de la accion se lallama fuerza, es un vector pues modifica las tres componentes de la velocidad del cuerpo. Si hace-mos actuar la fuerza generada por un cuerpo sucesivamente sobre otros cuerpos de diferente tamaopero con las mismas propiedades (por ejemplo la misma carga electrica), encontramos experimen-talmente que las aceleraciones producidas tienen la misma direccion y sentido pero diferentesintensidades. La segunda ley de Newton dice entonces que:

V ISTO DESDE UN MARCO DE REFERENCIA INERCIAL, EL CAMBIO EN LA VELOCIDAD DE UN

CUERPO ES PROPORCIONAL A LA FUERZA EJERCIDA SOBREEL, SIENDO LA CONSTANTE DE

PROPORCIONALIDAD UN ESCALAR CARACTERISTICO DEL CUERPO LLAMADO MASA INERCIAL:

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MECANICA CL ASICA

md2−→rdt2

= −→F (−→r , t) (1.3)

Se comprueba por observaciones de las acciones de varios cuerpos sobre uno dado el principiode superposicion de fuerzas:

EL CUERPO EVOLUCIONA COMO SOMETIDO A UNAUNICA FUERZA OBTENIDA DE LA SUMA

VECTORIAL DE LAS FUERZAS INDIVIDUALES.

La segunda ley de Newton es una definicion de fuerza: para determinar el campo vectorial defuerzas producido por un ente (por ejemplo varios cuerpos) colocamos un cuerpo en cada puntodel espacio y medimos la aceleracion que sufre;esta es proporcional a la fuerza actuante en esepunto.

La masa inercial es una propiedad del cuerpo. El mismo valorm identifica la masa gravitatoria,que aparece en la definicion de la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos:

−→f 12 = −gm1m2

−→r 12

r312

donde−→f 12 es la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el 2 y−→r 12 = −→r 2 −−→r 1 el vector con origen

en 1 y extremo en 2.g es una constante positiva. Mediciones cuidadosas muestran que la masainercial y la gravitatoria son identicas con una precision de una parte en1012.

La tercera ley de Newton es la mas sustanciosa, nos dice que

LAS ACCIONES MUTUAS QUE DOS CUERPOS EJERCEN ENTRE SI ESTAN REPRESENTADAS POR

FUERZAS DE IGUAL MAGNITUD Y DIRECCION Y DE SENTIDOS OPUESTOS:

−→f 12 = −−→f 21

donde−→f ij representa la fuerza sobre el cuerpo j producida por la accion del cuerpo i.

Esta ley no es estrictamente valida si consideramos que las interacciones se propagan convelocidad finita (por ejemplo las interacciones electromagneticas o gravitatorias se propagan conla velocidad de la luzc = 3× 108m/s). Se definen dos formas para esta ley de accion y reaccionentre cuerpos: la forma fuerte donde las fuerzas ademas de iguales y de sentido contrario soncolineales (figura 1.7), y la forma debil donde no lo son y por lo tanto definen una cupla (figura1.8).

Las interacciones gravitatorias pertenecen a la forma fuerte, las electromagneticas a la debil.La interaccion entre dos cuerpos debe depender solamente de las propiedades del par: su coor-

denada relativa−→r 12 = −→r2−−→r1 , eventualmente su velocidad relativa−→v 12 = −→v2−−→v1 , y propiedadesinternas de los cuerpos (cargas, momentos magneticos, etc.). En el caso de la forma fuerte las

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Figura 1.7:Fuerzas colineales

fuerzas estan aplicadas en la direccion−→r 12 y no pueden depender de otras direcciones como lade la velocidad relativa. Por el contrario, las fuerzas electromagneticas dependen de la posicion yvelocidad relativa del par de cargas.

Un analisis riguroso de las leyes de Newton y una interpretacion alternativa de las mismaspuede encontrarse en el texto de Jose y Saletan,[3] y en el artıculo de Eisenbud[4].

1.7. Sistemas de una partıcula

Si tenemos el caso de una partıcula moviendose en un campo de fuerzas conocido, la segundaley de Newton permite determinar la posicion de la partıcula como funcion del tiempot. Para elloes necesario conocer las condiciones iniciales del movimiento, y por ser la segunda ley de Newtonuna ecuacion diferencial lineal de segundo orden debemos fijar la posicion y velocidad al tiempoinicial t0 < t :

md2−→rdt2

= −→F (−→r , t)

−→r (t0) = −→r0d−→rdt

| t=t0 = −→v0

En el caso general de un sistema de n partıculas donde actua una fuerza sobre cada una de ellas,producida por acciones externas y por interacciones entre las partıculas, tendremos un sistema den ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas entre sı:

md2−→r idt2

= −→F i(−→r 1,−→r 2, ...−→r n, t), i = 1, 2, ...n

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MECANICA CL ASICA

Figura 1.8:Fuerzas no colineales

−→r i(t0) = −→r i0d−→r idt

| t=t0 = −→v i0

Va a ser mucho mas dificultoso encontrar las soluciones−→r i(t), y en general sera necesariorecurrir a la integracion numerica de las ecuaciones diferenciales acopladas. Tal es el caso delproblema de los tres cuerpos sometidos a atracciones gravitatorias mutuas.

Hay ocasiones en que la dificultad no reside en obtener las funciones−→r i(t) con la precisiondeseada, sino que estas soluciones son inestables respecto de los valores fijados para las condi-ciones iniciales: un pequeno cambio en una posicion o velocidad inicial

| −→r i(0)−−→r ′i(0) || −→r i(0) |

produce para un tiempo de evolucion lo suficientemente grande una divergencia entre las posi-ciones:

| −→r i(t)−−→r ′i(t) | / | −→r i(0)−−→r ′i(0) |→ ∞

En estos casos el movimiento es caotico y carece de sentido el calculo de la evolucion para undado conjunto de valores fijados de posicion y velocidad iniciales, pues en la practicaestas no sepueden fijar con precision absoluta. Solo tendra relevancia un analisis estadıstico de la evoluciondel sistema. Por el momento consideraremos problemas con soluciones estables, dejando para masadelante el tratamiento del caos.

La unicidad de la solucion de las ecuaciones de Newton frente a las condiciones inicialesimpuestas es analizada en el trabajo de A. Dhar[5], quien determina las condiciones necesarias ysuficientes para esta unicidad.

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1.7.1. Teoremas de conservaci on

Los teoremas de conservacion son consecuencia directa de las leyes de Newton y su verifi-cacion experimental sirve para comprobar aquellas. Para el caso de un cuerpo de masam

EL IMPULSO LINEAL , DEFINIDO POR−→P = m−→v , ES CONSTANTE EN UNA DIRECCION EN QUE LA

FUERZA APLICADA ES NULA.

La verificacion es trivial a partir de la segunda ley de Newton:

md2xi(t)dt2

= Fi(−→r , t)

Pi = mdxi(t)dt

= constante

si Fi(−→r , t) = 0.El impulso lineal, tambien conocido como cantidad de movimiento o momentum, puede uti-

lizarse para reescribir las tres leyes de Newton de una manera mas compacta. Las dos primerasleyes se resumen diciendo que el impulso lineal de un sistema deN partıculas no sometido aacciones externas se conserva:

−→P =

N∑i=1

mi−→v i(t) = constante

Para el caso de dos partıculas se reduce a:

−→P = m1

−→v 1(t) +m2−→v 2(t) = constante

que implica:

−→P 1(t) +−→P 2(t) = constante

entonces:

d

dt

−→P 1(t) +

d

dt

−→P 2(t) = 0 (1.4)

La variacion del impulso lineal de cada una se debe a la presencia de la otra, y puede depen-der de la distancia relativa entre las partıculas, su velocidad relativa y parametros propios de lasmismas tales como la masami, carga electricaqi, etcetera. Al vector que representa esa accion lollamaremos fuerza ejercida por una partıcula sobre la otra:

d

dt

−→P 1(t) = −→

f 21

y de (1.4) obtenemos la expresion de la tercera ley de Newton:

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MECANICA CL ASICA

−→f 12 = −−→f 21

Definiremos el torque de una fuerza respecto de un punto cualquiera como el producto vecto-rial:

−→N = −→r ×−→F

y de la misma forma el impulso angular es el producto vectorial:

−→L = −→r ×−→P

= m−→r ×−→v (1.5)

donde−→r es la distancia de dicho punto a la partıcula. Comparando (1.5) con la expresion (1.2)para la velocidad angular vemos que el impulso angular esta ligado al movimiento de rotacion dela partıcula. Multiplicando vectorialmente la ecuacion de Newton 1.3 por−→r :

−→r ×−→F = −→r ×md−→vdt

=d(−→r ×−→P )

dt− d−→r

dt×−→P

El ultimo termino es nulo, por lo que resulta:

−→N =

d−→L

dt

De aquı obtenemos un nuevo teorema de conservacion:

EL IMPULSO ANGULAR DE UNA PARTICULA ES CONSTANTE EN UNA DIRECCION EN QUE EL TORQUE

APLICADO ES NULO.

El tercer teorema de conservacion requiere de la definicion de trabajo realizado sobre lapartıcula por las fuerzas actuantes sobre ella: cuando la partıcula se mueve a lo largo de la trayec-toria entre dos puntos 1 y 2 como mostramos en la figura 1.9, el trabajo realizado por las fuerzasse define por:

W12 =∫ 2

1

−→F d−→r

Esta es una integral curvilınea a lo largo de la trayectoria seguida por la partıcula. Usando lasegunda ley de Newton:

−→F d−→r = m

d−→vdt−→v dt =

12mdv2

dtdt = d(

12mv2)

entonces:

W12 =12mv2 |21= T2 − T1 (1.6)

dondeT = 12mv

2 se denomina energıa cinetica de la partıcula.

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Figura 1.9:Trabajo realizado por la fuerza aplicada

EL TRABAJO REALIZADO POR LAS FUERZAS ACTUANTES SE TRADUCE EN LA VARIACION DE LA

ENERGIA CIN ETICA.

Cuando la fuerza actuante es tal que el trabajo realizado entre los puntos 1 y 2 es independientedel camino seguido se dice que esa fuerza es conservativa, en cuyo caso el trabajo realizado en uncircuito cerrado es nulo:

WC =∮C

−→F d−→r = 0

Si es posible definir una superficie cerrada S para la que la frontera sea la curva C, entonces sepuede aplicar el teorema de Stokes:∮

C

−→F d−→r =

∫S(−→∇ ×−→F )d−→s (1.7)

Definiendo un circuito cerradoC infinitesimal rodeando un punto del espacio, como (1.7) valeindependientemente del punto y la forma de la curva, debe ser:

−→∇ ×−→F = 0

Por ultimo, un campo vectorial cuyo rotor es nulo puede siempre representarse como el gra-diente de una funcion escalar, entonces las fuerzas que llamaremos conservativas se expresan por:

−→F = −−→∇−→r V (−→r ) (1.8)

donde explicitamos el signo menos por conveniencia para la posterior definicion del papel quejugara la funcionV , llamada energıa potencial.

La expresion (1.8) indica que

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MECANICA CL ASICA

LA FUERZA CONSERVATIVA ACTUANTE EN UNA DIRECCION CUALQUIERA ES LA DERIVADA DE LA

ENERGIA POTENCIAL EN ESA DIRECCION (ESTO ES: EL GRADIENTE) CON SIGNO CAMBIADO.

Volviendo a la expresion (1.6) para el trabajo realizado por la fuerza conservativa, obtenemosqueT1 + V1 = T2 + V2, es decir:

T (−→r ) + V (−→r ) = constante = E (1.9)

La suma de energıa cinetica mas energıa potencial se llamara energıa total, y el tercer teoremade conservacion (1.9) dice entonces que

SI LAS FUERZAS ACTUANTES SON CONSERVATIVAS, LA ENERGIA TOTAL ES CONSTANTE EN EL

CURSO DE LA EVOLUCION TEMPORAL DE LA PARTICULA .

Es conveniente notar que solo estan definidas variaciones de la energıa potencial y no el valorabsoluto, y lo mismo para la energıa cinetica que cambia con el sistema inercial usado.

1.8. Ejemplos

1.8.1. Proyectil movi endose en el vacıo

Vamos a estudiar el movimiento de proyectiles que se mueven a alturas muy pequenas frenteal radio terrestre, de forma que podamos suponer que experimentan una aceleracion constante−g en la direccion de la vertical local. La atmosfera ejerce una resistencia al movimiento delproyectil manifestada en una fuerza opuesta a la direccion del movimiento y que es una funcionde la velocidad del cuerpo. En primer lugar dejamos de lado esta fuerza por lo que consideramosun proyectil de masam moviendose en el vacıo que es disparado desde la superficie con unavelocidad−→v 0 y direccionθ0 conocidas tal como lo mostramos en la figura 1.10.

Las ecuaciones del movimiento en las dos coordenadasx, y son

m..x= 0 (1.10)

m..y= −mg (1.11)

con condiciones iniciales:

x(t = 0) = 0 (1.12)

y(t = 0) = 0 (1.13)

.x (t = 0) = v0 cos θ0 (1.14)

.y (t = 0) = v0 sin θ0 (1.15)

18


Figura 1.10:Trayectoria de un proyectil disparado en el vacıo

donde usamos la notacion dxdt =

.x, etc. Las soluciones de las ecuaciones 1.10, 1.11 que satis-

facen las condiciones iniciales son:

x(t) = v0t cos θ0 (1.16)

y(t) = −12gt2 + v0t sin θ0 (1.17)

Podemos obtener la trayectoria del proyectily = f(x) eliminandot entre (1.16) y (1.17):

y = − gx2

2v0 cos2 θ0+ x tan θ0

Esta es la ecuacion de una parabola que pasa por el origen de coordenadas, tal como vemos enla figura 1.10. El alcancea del disparo es el valor dex(6= 0) para el quey = 0:

a =v20

gsin 2θ0

en tanto la alturah se alcanza al tiempo en que se anula.y:

.y= −gt+ v0 sin θ0

th =v0g

sin θ0

19

MECANICA CL ASICA

entonces:

h = y(th) =v20

2gsin2 θ0

El alcance maximo se obtiene para una inclinacionθ0 = 45o:

amax =v20

g

en tanto la altura maxima se logra paraθ0 = 90o:

hmax =v20

2g

1.8.2. Proyectil movi endose en la atm osfera. (Opcional)

Al moverse en la atmosfera el proyectil colisiona con las moleculas del aire transfiriendolesimpulso y energıa. La consiguiente reduccion en la velocidad del proyectil se describe por mediode una fuerza de frenamiento dirigida en la direccion de la misma y actuando en el sentido opuesto,que no depende de la posicion cuando el proyectil se mueve en un medio homogeneo. La tasa detransferencia de impulso depende de la velocidad del proyectil respecto de las moleculas del aire,por lo tanto la fuerza de frenamiento es una funcion

−→F ret = −→

f (−→v ).Observaciones experimentales y descripciones de la interaccion entre el fluido y el proyectil

justifican el uso de una ley de potencias para la fuerza de retardo:

−→F ret = −kvn

−→vv

Para velocidades pequenas menores a25m/s es aceptable una funcion linealn = 1; paravelocidades mayores hasta la del sonido en el gas (330m/s para aire a presion y temperaturanormales) es mas adecuada una funcion cuadratican = 2; de allı en mas la dependencia de lafuerza de frenamiento en la velocidad se acerca nuevamente a la linealidad[10].

Consideremos el caso de dependencia lineal de la fuerza de frenamiento con la velocidad delcuerpo. Las ecuaciones (1.10,1.11) se reemplazan por:

..x= −k′ .x (1.18)

..y= −g′ − k′

.y (1.19)

dondek′ = k/m, g′ = g/m; operando sobre (1.18):

d.x.x

= −k′dt

ln.x= −k′t+ C

20


Figura 1.11:Trayectorias de un proyectil sometido a una fuerza de frenamiento lineal con la velocidad, enfuncion del coeficiente de frenamiento y para dos valores delangulo de disparo

.x (t) = eCe−k

′t

Fijamos el factor constante para que se satisfaga la condicion inicial (1.14):

.x (t) = v0 cos θ0e−k

′t

Integrando nuevamente obtenemos:

x(t) =v0k′

cos θ0(1− e−k

′t)

(1.20)

La ecuacion (1.19) puede integrarse una vez:

dy

dt+ k′y = −g′t+ C1

La constanteC1 resultante de la cuadratura se fija a traves de las condiciones iniciales (1.13,1.15):

dy

dt+ k′y = v0 sin θ0 − g′t (1.21)

Esta es una ecuacion diferencial inhomogenea de primer orden; su solucion general es la sumade la solucion de la ecuacion homogeneadydt + k′y = 0:

yh(t) = Ce−k′t (1.22)

21

MECANICA CL ASICA

Figura 1.12:Alcance y energıa perdida por friccion en el aire como funcion del coeficiente de rozamiento

mas una solucion particular que se propone de la forma

yp(t) = f(t)e−k′t

Reemplazando en (1.21):

df

dt= ek

′t (v0 sin θ0 − g′t)

resulta:

f(t) = ek′t[v0k′

sin θ0 +g′

k′2

(1− k′t

)]Finalmente, la solucion general es:

y(t) = Ce−k′t +

v0k′

sin θ0 +g′

k′2

(1− k′t

)y la de nuestro problema con condicion inicialy(t = 0) = 0:

y(t) =1k′

(v0 sin θ0 +

g′

k′

)(1− e−k

′t)− g′

k′t (1.23)

El frenamiento del aire disminuira tanto el alcance como la altura del proyectil. Ahora laecuacion de laorbita no es tan sencilla como en el caso de tiro en el vacıo:

22


y(x) =(v0 sin θ0 +

g′

k′

)x

v0 cos θ0

+g′

k′2ln(

1− k′x

v0 cos θ0

)y el alcance dado pory(x = a) = 0 conviene obtenerlo en forma numerica. En la figura 1.11presentamos las trayectorias para una velocidad inicialv0 y diferentes valores del coeficiente defrenamientok′ y del angulo de disparoθ0.

Figura 1.13:Alcance en funcion delangulo de inclinacion para un coeficientek′ = 0,1s−1 de frenamientolineal env. El alcance maximo se presenta paraθ0 = 41o22′

Naturalmente, el alcance disminuye a medida que aumenta el coeficiente de frenamientok′ dela misma forma que aumenta la energıa cedida por el proyectil al aire. La figura 1.12 muestra losresultados obtenidos.

Porultimo, la figura 1.11 muestra que para valores apreciables del coeficiente de frenamientok′ es de esperar que el alcance maximo se produzca paraangulos de disparoθ0 menores que45o,la figura 1.13 muestra el alcance como funcion deθ0 parak′ = 0,1s−1.

La razon reside en que en ausencia de frenamiento el alcance maximo ocurre a45o. Al moverseen la atmosfera la energıa cedida por el proyectil al aire crece con el camino recorrido, el que a suvez aumenta con elangulo de disparo. Por lo tanto el maximo se corre aangulos menores a45o.

1.8.3. Problema del cohete

Consideremos un cohete que posee una masam, compuesta de la masa propiam0 mas la masade combustiblemg. El quemado del combustible produce una expulsion de gas con velocidad

23

MECANICA CL ASICA

constantev respecto del cohete, y supondremos que la masa expulsada por unidad de tiempo esconstante. Estudiaremos el problema suponiendo que no existen fuerzas externas actuando sobreel cohete por lo que el impulso lineal total del cohete mas gases expulsados es constante (ver figura1.14):

P = Pc(t) + Pg(t) = constante

Figura 1.14:Cohete en movimiento al tiempot y diferenciales de masa de gas expulsados a tiemposanteriores

La variacion en el impulso lineal del cohete presenta un termino debido a la disminucion demasa y otro producido por un probable cambio en su velocidad:

dPcdt

=dmc

dtvc(t) +mc

dvcdt

(t)

dmc

dt< 0

en tanto que el impulso lineal del gas expulsado varıa en el intervalot, t + dt por el agregado demasa−dmc

dt dt con velocidadvc(t)− v

dPgdt

= −dmc

dt(vc(t)− v)

La conservacion del impulso lineal total:

dPcdt

+dPgdt

= 0

determina que:

mcdvcdt

+dmc

dtv = 0 (1.24)

que se integra facilmente:

vc(t)− vc(0) = −v lnmg(t) +m0

mg(0) +m0

dondem0 es la masa propia del cohete, sin combustible. La velocidad final alcanzada cuando sequema todo el combustible resulta ser:

24


vc(∞) = vc(0) + v lnmg(0) +m0

m0

Analicemos ahora el problema desde otro punto de vista: ¿Por que se acelera el cohete?: nohay fuerzas externas por lo que son las fuerzas internas los agentes productores del movimiento.La magnitud de estas fuerzas internas puede obtenerse mediante la siguiente consideracion: en elinstantet podemos considerar al cohete constituido por dos cuerpos moviendose con la mismavelocidad como se muestra en la figura 1.15, uno de masam0 + mg(t + dt) y otro es la masa| dm | de combustible que sera expulsada at+dt: el cambio en el impulso del diferencial de masade combustible es− | dm | v, por lo que la fuerza de reaccion sobre el resto del cohete es:

F =| dm |dt

v

Figura 1.15:Fuerzas de accion y reaccion entre el cohete y el diferencial de masa de gas expulsado eltiempot

La segunda ley de Newton para el cohete de masam(t) = m0 +mg(t) es:

F = m(t)dvc(t)dt

y resulta:

| dm |dt

v = m(t)dvc(t)dt

que es equivalente a (1.24).La primera descripcion considera al cohete como un cuerpo de masa variable, la segunda

supone que en cada instante son dos cuerpos que se separan por accion de las fuerzas internas.

1.9. Sistemas de partıculas

1.9.1. Coordenadas del centro de masas

Consideramos un sistema deN partıculas como el de figura 1.16, estando cada una de ellassujeta a fuerzas externas y a las fuerzas que el resto de las partıculas ejercen sobre la misma.Esta esla representacion general de uno o varios cuerpos macroscopicos, que consideramos constituidos

25

MECANICA CL ASICA

por la union mas o menos rıgida de partıculas o puntos materiales. Definimos la masa total y elpunto centro de masas por las relaciones:

M =N∑i=1

mi

−→R =

N∑i=1

mi−→r i/M

Figura 1.16:Sistema de partıculas, donde se muestra el vector centro de masasR y un vector relativo entrepartıculasrij

Definimos los impulsos lineal, angular y energıas cinetica y potencial totales del sistema comola suma de dichas magnitudes sobre lasN partıculas. Podemos hallar esas expresiones en terminosde la coordenada del centro de masas y las coordenadas relativas de las partıculas respecto de dichopunto. Siendo:

−→r i = −→R +−→r ′i

encontramos que:

N∑i=1

mi−→r ′i = 0 (1.25)

26


entonces el impulso lineal total es:

−→P =

N∑i=1

mid−→r idt

=N∑i=1

mi[d−→R

dt+d−→r ′idt

] (1.26)

= M−→V +

d

dt

N∑i=1

mi−→r ′i = M

−→V

EL IMPULSO LINEAL TOTAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA

PARTICULA DE MASA M MOVI ENDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA.

El impulso angular total tambien se simplifica usando (1.25):

−→L =

N∑i=1

mi[−→R +−→r ′i]× [

d−→R

dt+d−→r ′idt

]

= −→R ×−→P +

N∑i=1

mi−→r ′i ×

d−→r ′idt

EL IMPULSO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA

PARTICULA DE MASA M MOVI ENDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA, MAS EL IMPULSO

ANGULAR DE LAS PARTICULAS RELATIVO AL CENTRO DE MASAS.

La energıa cinetica total del sistema de partıculas es:

T =12

N∑i=1

mi(−→V +−→v ′i)2

=12

N∑i=1

mi(V 2 + 2−→V −→v ′i + v′2i )

donde:−→V = d

−→Rdt ,

−→v ′i = d−→r ′i

dt . El termino cruzado es:

N∑i=1

mi−→V −→v ′i = −→

VN∑i=1

mid−→r ′idt

= −→Vd

dt

N∑i=1

mi−→r ′i = 0

27

MECANICA CL ASICA

Luego:

T =12MV 2 +

12

N∑i=1

miv′2i (1.27)

LA ENERGIA CIN ETICA TOTAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ES EQUIVALENTE AL DE UNA MASA

M MOVI ENDOSE CON EL CENTRO DE MASAS DEL SISTEMA, MAS LA ENERGIA CIN ETICA DE LAS

PARTICULAS RELATIVA AL CENTRO DE MASAS.

Analizaremos ahora el trabajo realizado por las fuerzas actuantes sobre las partıculas cuan-do el sistema evoluciona de una configuracion a otra, representadas por las posiciones de lasNpartıculas :

1 ≡ −→r i(1)2 ≡ −→r i(2)

La fuerza total actuante sobre una partıcula es:

−→Fi = −→

Fe

i +N∑j=1

−→fji

donde−→Fe

i es la fuerza externa aplicada a la partıcula i , y−→fji la fuerza que la partıcula j ejerce

sobre lai.Vamos a considerar el caso en que todas las fuerzas actuantes son conservativas, es decir

derivables del gradiente de una funcion escalar de las posiciones:

−→Fe

i = −−→∇riVi(−→r i)

−→f ji = −−→∇riVji(−→r i,−→r j)

Ademas, por la tercera ley de Newton:

−→f ji = −−→f ij

Calculamos el trabajo realizado por el par de fuerzas internas−→fij y

−→fji cuando desplazamos

las partıculasi, j desde sus posiciones iniciales−→r i(1),−→rj (1) a las finales−→r i(2),−→rj (2). El trabajototal realizado por dichas fuerzas al pasar el sistema de partıculas de la configuracion1 a la2 es:

Wij(1,2) =∫ 2

1

−→fji(−→r i,−→rj )d−→r i +

∫ 2

1

−→fij(−→r i,−→rj )d−→rj

=∫ 2

1

−→fij(−→r i,−→rj )(d−→r j − d−→r i)

=∫ 2

1

−→fij(−→r i,−→rj )d−→r ij

28


La fuerza interna−→fij(−→r i,−→rj ) puede generarse como el gradiente de una funcion energıa po-

tencialVij(−→r i,−→rj ). Por ser una fuerza entre partıculasi y j no puede depender en forma indepen-diente de las posiciones−→r i,−→rj de las partıculas respecto del origen de coordenadas elegido, solopuede depender del vector relativo−→r ij = −→r j − −→ri representado en la figura 1.16. Mas aun, sumagnitud no puede depender de las componentesxij = xj − xi puesestas estan referidas a lasorientaciones elegidas para los ejes coordenados que son elementos externos al par de partıculasi, j. La energıa potencialVij podra depender entonces derij y en general de magnitudes escalarescomo la carga electrica y la masa (independientes del marco de referencia externo).

Vij = Vij(rij)

y la fuerza resulta:

−→fij = −−→∇−→r j

Vij(rij) = −dVij(rij)drij

−→∇−→r jrij

= −dVij(rij)drij

−→r ijrij

Retornemos al trabajo realizado por el par de fuerzas internas−→fij ,

−→fji cuando son conservati-

vas:

Wij(1,2) = −∫ 2

1

dVij(rij)drij

−→r ijrij

d−→r ij (1.28)

y siendo:−→r ij

rijd−→r ij = 1

rij12d(r

2ij) = drij

Wij(1,2) = −∫ 2

1

dVij(rij)drij

drij

= Vij(rij(1))− Vij(rij(2)

El trabajo de todas las fuerzas actuantes sobre lasN partıculas es la suma de los realizadospor las fuerzas externas mas los realizados por los pares de fuerzas internas recien calculados:

W TOTAL(1,2) =N∑i=1

WEXTi (1,2) +

N∑i,j=1(i>j)

Wij(1,2)

Para fuerzas externas e internas conservativas resulta:

W TOTAL(1,2) =N∑i=1

[Vi(1)− Vi(2)]

+N∑

i,j=1(i>j)

[Vij(1)− Vij(2)]

29

MECANICA CL ASICA

Definiendo la energıa potencial total como la suma de las energıas potenciales generadoras delas fuerzas externas sobre cada partıcula, mas las energıas potenciales entre pares de partıculas:

V =N∑i=1

Vi(−→r i) +∑

i,j(i<j)

Vij(rij) (1.29)

Concluımos que

PARA FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS CONSERVATIVAS, EL TRABAJO REALIZADO POR LAS

MISMAS SE PUEDE EXPRESAR COMO MENOS EL INCREMENTO DE LA FUNCION ENERGIA POTENCIAL

TOTAL .

Resulta entonces:

W TOTAL12 = V (1)− V (2) (1.30)

Finalmente, definimos la energıa total como la suma de (1.27) y (1.29):

E = T + V (1.31)

1.9.2. Ecuaciones del movimiento y teoremas deconservaci on para un sistema de partıculas

Las ecuaciones del movimiento de un sistema de partıculas son las que provienen de la apli-cacion de la segunda ley de Newton a cada una de ellas:

d−→Pidt

= −→Fext

i +N∑

j=1,j 6=i

−→f ji (1.32)

De esas N ecuaciones podemos extraer una que de cuenta de la evolucion del impulso linealtotal: sumandolas

d−→P

dt≡

N∑i=1

d−→Pidt

=N∑i=1

−→Fext

i (1.33)

Las fuerzas internas no aparecen porque se anulan de a pares. Reemplazando en (1.33) elresultado (1.26) obtenemos la ecuacion de evolucion:

Md2−→Rdt2

=N∑i=1

−→Fext

i (1.34)

EL CENTRO DE MASAS SE MUEVE COMO SI LAS FUERZAS EXTERNAS ESTUVIERAN APLICADAS

SOBRE UNA PARTICULA DE MASA M EN DICHO PUNTO.

30


Definimos:

CONSTANTE DEL MOVIMIENTO O INTEGRAL DEL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ES

TODA FUNCION DE LAS COORDENADAS Y VELOCIDADES QUE SE MANTIENE CONSTANTE DURANTE

LA EVOLUCI ON TEMPORAL DEL SISTEMA.

Las integrales del movimiento mas faciles de identificar y que son masutiles para describirdicha evolucion son la energıa, el impulso lineal e impulso angular. Aplicando esta definicion a(1.34) vemos que:

EL IMPULSO LINEAL TOTAL SERA UNA INTEGRAL DEL MOVIMIENTO EN UNA DIRECCI ON EN QUE LA

PROYECCION DE LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS EXTERNAS SE ANULE.

Para obtener la ecuacion de evolucion del impulso angular total multiplicamos vectorialmentelas ecuaciones del movimiento (1.32) por el vector posicion−→r i y sumamos sobre las N partıculas:

N∑i=1

−→r i ×d−→Pidt

=d

dt

N∑i=1

−→r i ×−→Pi =

d−→L

dt

=N∑i=1

−→r i ×−→Fext

i +N∑

i,j(i6=j)

−→r i ×−→fji

Hacemos explıcita en la doble suma aquella sobre pares de fuerzas−→fij = −−→fji:

N∑i,j(i6=j)

−→r i ×−→fji =

N∑i,j(i<j)

−→r i ×−→fji +

N∑i,j(i>j)

−→r i ×−→fji

=N∑

i,j(i<j)

[−→r i −−→rj ]×−→fji

que se anula cuando las fuerzas de accion y reaccion sean colineales (condicion fuerte de la terceraley de Newton). En este caso obtenemos

d−→L

dt=

N∑i=1

−→r i ×−→Fext

i

que es la ecuacion de evolucion del impulso angular total. Concluimos entonces que

PARA FUERZAS DE ACCION Y REACCION COLINEALES, EL IMPULSO ANGULAR TOTAL SE

CONSERVA EN UNA DIRECCION EN QUE LA PROYECCION DEL TORQUE DE LAS FUERZAS EXTERNAS

SEA NULO.

31

MECANICA CL ASICA

El teorema de conservacion para la energıa total (1.31) del sistema de partıculas se obtiene apartir de la ecuacion del movimiento para cada partıcula:

mid−→vidt

= −→Fiext

+N∑j=1

−→fji

El trabajo de las fuerzas aplicadas es:

W12 =N∑i=1

∫ 2

1[−→Fi

ext(−→r i) +

N∑j=1(j 6=i)

−→fji]d−→r i

=N∑i=1

∫ −→r i(2)

−→r i(1)mid−→vidt

d−→r i

=N∑i=1

∫ −→vi (2)−→vi (1)

mi12dv2i

=12

N∑i=1

mi[vi(2)2 − vi(1)2]

= T2 − T1

Este resultado, unido a la expresion 1.30 valida para fuerzas conservativas provee el teoremade conservacion de la energıa total:

SI LAS FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS SON CONSERVATIVAS LA ENERGIA TOTAL E = T + V DEL

SISTEMA ES UNA CONSTANTE DEL MOVIMIENTO.

1.10. Ejemplos

1.10.1. El problema del hombre y el bote

Un problema de dinamica elemental con un resultado aparentemente inesperado es el siguiente[6]:Un hombre se encuentra en un extremo de un bote, y en el instantet = 0 comienza a moversehacia el otro extremo donde se detiene. Debemos encontrar el desplazamiento total del bote con-siderando dos situaciones:

a) que no hay fuerzas de rozamiento con el agua, yb) que existe roce y dicha fuerza es proporcional a la velocidad del bote.Este es un problema de dos cuerpos sujetos a moverse en una dimension.

Caso a):No hay fuerzas externas, por lo que el centro de masas del sistema debe permanecer en reposo.

Tal como se muestra en la figura 1.17, tomamos un bote de longitud2` con su centro de masas enel punto medio, y fijamos el origen del sistema inercial de coordenadas coincidente con ese puntoen el instante inicial.

32


Figura 1.17:Estados inicial y final de hombre y bote cuando no hay fuerzas externas actuantes

La posicion del centro de masas totalXCM es:

XCM =mh`

M(1.35)

M = mh +mb

y luego del desplazamiento del hombre:

XCM =mbXb +mhXh

M(1.36)

Igualando los segundos miembros de (1.35) y (1.36), y teniendo en cuenta que:

Xb −Xh = `

obtenemos:

Xb =2mh`

M

que es la respuesta del caso a).

Caso b):Cuando existe fuerza de roce externa, el centro de masas total no permanecera en reposo, sino

que obedecera la siguiente ecuacion del movimiento:

MdVCM (t)

dt= −kVb(t) (1.37)

dondeVCM , Vb son las velocidades del centro de masas y el bote. Integrando desde el tiempot = 0 :

33

MECANICA CL ASICA

M [VCM (t)− VCM (0)] = −k[Xb(t)−Xb(0)] (1.38)

y como la velocidad del centro de masas es nula al iniciarse el movimiento del hombre, y tambienlo es un largo tiempo despues de haberse detenidoeste:

Xb(∞) = Xb(0) = 0 (1.39)

Encontramos que el bote sufre un desplazamiento nulo cuando actua una fuerza de roceF =kVb(t), independientemente del valor de la constantek.

La figura 1.18 presenta los estados inicial y final de la evolucion del sistema hombre-bote.

Figura 1.18:Estados inicial y final de hombre y bote cuando hay una fuerza externa de roce actuanteproporcional a la velocidad del bote respecto del agua

La paradoja surge de que con una fuerza de roce, por pequena queesta sea, el desplazamientodel bote es nulo, mientras que sin fuerza de roce el desplazamiento es finito. Para aclarar estepunto describamos en detalle el movimiento del bote: al comenzar a moverse el hombre el botese desplaza en sentido contrario y en ausencia de rozamiento con el agua el impulso lineal totales nulo a todo tiempo. Cuando hay rozamiento aparece un impulso lineal neto en el sentido delmovimiento del hombre y cuandoeste se detiene respecto del bote, como el impulso lineal del cen-tro de masas (1.37) es una funcion continua del tiempo el conjunto hombre-bote debera continuarel movimiento con ese impulso, entonces el bote debera cambiar el sentido de su movimiento yvolvera sobre sus pasos. La velocidad con que el bote inicia este nuevo desplazamiento es la co-rrespondiente al centro de masas total en el instantet0 en que el hombre se detiene; de la ecuacion(1.38):

Vb(t0) = VCM (t0) = − k

MXb(t0) (1.40)

A partir de ese instante la evolucion del sistema hombre-bote estara dada por la ecuacion

34


MdVb(t)dt

= −kVb(t)

cuya solucion es:

Vb(t) = Vb(t0).e−k(t−t0)/M

y:

Xb(t) = Xb(t0).e−k(t−t0)/M (1.41)

donde hemos hecho uso de la relacion (1.40).El analisis matematico del resultado (1.41) indica que si tomamosk = 0 (no hay roce en

absoluto) el bote permanece desplazado la distancia que recorrio hasta que el hombre se detuvo.En cambio si suponemos que el roce existe pero es muy pequeno, el bote quedara desplazado lacantidadXb(t0) para cualquier valor del tiempo tal que

t− t0 <<M

k

pero tiende luego lentamente a retornar a su posicion inicial. La posicion a tiempo infinito para unrozamiento pequeno que se lo hace tender a cero esta dada por el lımite:

lımk→0

lımt→∞

Xb(t0).e−k(t−t0)/M = 0

Este es el caso de rozamiento debil que tiende a cero pero que no es cero. La posicion a tiempoinfinito para un rozamiento que es cero esta dada por el resultado (1.39), pero tambien puedeobtenerse de (1.41) haciendo tender primero a cero el parametro k, y luego a infinito el tiempo:

lımt→∞

lımk→0

Xb(t0).e−k(t−t0)/M = lımt→∞

Xb(t0) = Xb(t0)

Vemos en este ejemplo la relevancia que tiene el orden en que se toman los lımites en funcionesde varias variables.

La descripcion fısica es que una fuerza de rozamiento debil casi no frena el movimiento delbote, por lo que la velocidad del centro de masas sera muy pequena al detenerse el hombre. SiendoVb(t0) = VCM (t0) el bote se mueve lentamente, el frenamiento producido por el roce es suave yel bote se detiene justo al llegar a la posicion inicial. Este retorno exacto a la posicion inicial soloocurre para fuerzas de rozamiento lineales con la velocidad.

1.10.2. El problema de la cu na y la masa deslizante

Vamos a considerar el problema mostrado en la figura 1.19 de una cuna en forma de triangulorectangulo de masaM , apoyada en uno de sus catetos sobre un piso horizontal y sometida ala accion de la fuerza de gravedad. Sobre su hipotenusa desliza una masam. No hay fuerzasdisipativas de rozamiento. La cuna desliza sin roce sobre un plano horizontal, en tanto la masa,

35

MECANICA CL ASICA

tambien sin roce, lo hace sobre la hipotenusa de la cuna. Actua la fuerza de gravedad. Queremoscalcular:

a) El tiempo que emplea la masam en caer desde una alturah respecto del suelo, partiendodel reposo tantom comoM .

b) Deseamos conocer la trayectoria dem yc) la fuerza de reaccion que la cuna ejerce sobre ella.Vamos a emplear varios caminos para llegar a estos resultados. Usaremos ahora las leyes de

Newton de la dinamica, y empleando las facilidades que brindan las constantes del movimientoresolveremos todos los puntos planteados.

Solucion a partir de las leyes de Newton y/o integrales del movimiento

Comenzamos planteando el problema, cuerpos en juego, coordenadas a utilizar y posiblesrestricciones entre estas coordenadas (condiciones de vınculo o ligadura):

El sistema consiste de 2 cuerpos que podemos suponer estan limitados a moverse en un planovertical. Necesitamos ası 4 coordenadas, que por ser las fuerzas externas verticales conviene ele-girlas como coordenadas cartesianas ortogonales.

El sistema coordenado debe ser inercial para que enel valgan las leyes de la dinamica. Por ellosu origen no estara ligado a la cuna sino fuera e independiente de ella.

El piso ejerce una fuerza sobre la cuna de modo que cancele la componente vertical de lasfuerzas actuantes sobreesta, e impone que solamente pueda deslizarse en direccion horizontal.Esta es una condicion de vınculo que limita los grados de libertad de la cuna: solo tiene comocoordenada libre la abscisaX de uno de sus puntos.

Figura 1.19:Coordenadas independientes x,y,X

Por su parte, la masam no puede ubicarse en cualquier punto del plano, solamente puede ha-cerlo sobre los puntos(x, y) situados sobre la hipotenusa de la cuna. Esto restringe las coordenadas

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independientes a 2, que vamos a tomar como las(x, y) dem; la coordenadaX de la cuna quedadefinida por(x, y) pues:

X = x+ y cotα (1.42)

Resulta ası que tenemos un sistema con dos grados de libertad, y hemos propuesto las coorde-nadas cartesianas(x, y) de la masam para describir su evolucion. Nuestra meta sera hallarx(t),y(t).

Analicemos ahora la posible existencia de integrales del movimiento que nos faciliten el calcu-lo dex(t), y(t). Veamos las fuerzas externas actuantes: ellas son la de la gravedad actuando sobrem y M , y la de reaccion del piso sobreM . No hay fuerzas en la direccion horizontal, por lo queel impulso lineal total en direccionx se conserva:

MdX

dt+m

dx

dt= constante (1.43)

Como al tiempot = 0 ambas masas estan en reposo, la constante es nula.Reescribimos la ecuacion (1.43) en terminos de las coordenadas independientesx, y:

Mdx

dt+M

dy

dtcotα+m

dx

dt= 0 (1.44)

Esta ecuacion puede integrarse inmediatamente para darnos la ecuacion de la trayectoria, estoesy = f(x):

(M +m)dx+M cotαdy = 0

y = −M +m

M cotα(x− x0) + h (1.45)

donde ya hemos incorporado las condiciones iniciales:

x(t = 0) = x0

y(t = 0) = h

Una conclusion interesante del resultado (1.45) es que la trayectoria es rectilınea (ver figura1.20), y su pendiente esta entre la pendiente− tanα del caso del plano inclinado (cuna fijao masaM →∞), y la caıda libre vertical cuandoM/m→ 0:

Necesitamos otra ecuacion para tener totalmente determinadas las coordenadasx, y como fun-ciones del tiempo. Recurrimos al hecho de que las fuerzas externas son conservativas, y las fuerzasinternas de accion y reaccion satisfacen la tercera ley de Newton: la accion de la cuna sobre lamasam es igual y de signo contrario a la reaccion de la masam sobre la cuna. Vemos ademasde la figura 1.20 que la fuerza

−→F v de la cuna sobre la masam, que para cuerpos en contacto que

deslizan sin rozamiento debe ser normal a la superficie de contacto, realiza un trabajo a lo largo dela trayectoria de la masa m. Ese trabajo sera igual y de signo contrario al que realiza la reacciondem sobre la cunaM .

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MECANICA CL ASICA

Figura 1.20:Trayectoria de la masa m

Podemos calcular el valor de la fuerza de vınculo−→F v, pues sabemos que es normal a la

hipotenusa y que junto a la fuerza de gravedad−mgy produce una resultante en la direccionde la trayectoria; de la figura 1.20 encontramos las siguientes relaciones entre las componentes demgy,

−→F v y la resultante

−→F R :

mg − FR. sinβ = Fv. cosαFR. cosβ = Fv. sinα

donde: tanβ = M+mM tanα.

DespejamosFv reemplazando en la primera ecuacionFR = Fv. sinα/ cosβ

Fv. cosα = mg − Fv. sinα. tanβ

Fv =mg

cosα+ sinα. tanβ

=mg. cosα

cos2 α+ M+mM sin2 α

que podemos reducir a:

Fv =mg. cosα

1 + mM sin2 α

Vemos que este resultado satisface las situaciones lımites conocidas:siM/m→ 0 tenemos caıda libre y no hay fuerza de reaccion de la cuna sobre m:

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Fv = 0

Si m/M → 0 tenemos el equivalente a una cuna fija, y la fuerza de reaccion cancela lacomponente del peso en direccion normal al plano:

Fv = mg. cosα

Ademas vemos que la fuerza de vınculo es independiente del tiempo, de acuerdo con la trayec-toria rectilınea que sigue la masam.

Siendo las fuerzas externas conservativas, y nulo el trabajo de las fuerzas internas desconoci-das, la energıa mecanica del sistema se conserva, que es la energıa cinetica de las masas mas laenergıa potencial de las fuerzas aplicadas: la de la gravedad y la reaccion del piso (estaultima norealiza trabajo porque el desplazamiento del cuerpo es normal al sentido de la fuerza):

E =12MdX

dt

2

+12m(

dx

dt

2

+dy

dt

2

) +mgy

y el valor constante de la energıa es el inicial:E = mgh. Escribimos esta expresion usando lacondicion de vınculo (1.42) y la de la trayectoria (1.45); con la primera:

E =12M(

dx

dt+ cotα.

dy

dt)2 +

12m(

dx

dt

2

+dy

dt

2

) +mgy

=12(M +m)

dx

dt

2

+12(m+M cot2 α)

dy

dt

2

(1.46)

+M cotα.dx

dt.dy

dt+mgy

y de la segunda:

dx

dt= − M

M +mcotα.

dy

dt

obtenemos finalmente:

E =12(m+M cot2 α)(

dy

dt)2 +mgy = mgh

Esta es la ecuacion diferencial buscada para determinary(t):

dy

dt= −A.

√h− y

con:

A =√

2g1 + M

M+m cot2 α

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MECANICA CL ASICA

El signo menos proviene de que la velocidaddydt es siempre negativa de acuerdo a las condiciones

iniciales.La integral es inmediata:

dy√h− y

= −Adt

−√h− y |y(t)y(t=0)= −A

2.t

Integramos entret = 0 que corresponde ay = h y t = T que es el tiempo de arribo de la masam al piso:y = 0

√h =

A

2.T

Entonces el tiempo que tarda en caer es:

T =

√2hg

[1 +M

M +mcot2 α] (1.47)

En la situacion lımiteM/m→ 0 encontramos el resultado esperado para caıda libre:

T =

√2hg

Tambien encontramos este resultado cuando la pendientetanα = ∞ (α = π2 ).

Un complemento para la resolucion de problemas de Mecanica clasica partiendo de las leyesde Newton y los teoremas de conservacion es el excelente texto Mecanica elemental de Juan G.Roederer.[7]

1.11. Complemento I: El proceso de medici on. (Opcional)

En Mecanica clasica las mediciones requeridas son las de posicion, velocidad y aceleracion delos puntos materiales que conforman un cuerpo. Con la medicion de la posicion−→r (t) a tiempossucesivos podemos construir la trayectoria seguida por cada partıcula y por consiguiente la delcuerpo. Luego podemos comparar esta informacion con la prediccion que a partir de las condi-ciones iniciales provee el formalismo teorico, verificando la validez de los principios en que sebasa nuestro formalismo

A partir del valor de−→r (t) en dos instantes sucesivos podemos obtener el vector velocidad−→v (t) ' (−→r (t2) − −→r (t1))/(t2 − t1) con una precision que dependera de cuan cercanas en eltiempo sean las mediciones de la posicion. Repitiendo el procedimiento con la velocidad podemosconocer una aproximacion a la aceleracion−→a (t) ' (−→v (t2) − −→v (t1))/(t2 − t1). Esta mediciones importante porque a traves de la aceleracion de una partıcula de masa conocidam podemosdeterminar el valor del campo de fuerzas presente en cada punto del espacio. La medicion de lamasa de un cuerpo se realiza por comparacion de aceleraciones de dicha masa y de la masa (del

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mismo tipo de material) que es tomada como unidad y ubicada en el mismo punto de un campode fuerzas; la balanza es el instrumento que realiza esta comparacion en el campo gravitatoriogenerado por la Tierra.

¿Cual es la precision con la que puede medirse la posicion y velocidad de una partıcula? Enprincipio dependen de la menor subdivision que pueda observarse en la regla usada para medirla posicion, y en la precision del reloj empleado para medir el intervalo temporal. Si fuera ası,no habrıa lımite en la posibilidad de mejorar la precision, pero como veremos a continuacion larealidad es otra.

Toda medicion consiste en registrar mediante el ojo desnudo o un instrumento la coincidenciade dos puntos materiales: la aguja del reloj sobre una marca de la esfera, o la del punto materialsobre una division de la regla. La informacion obtenida queda guardada en la memoria del obser-vador o como una marca indeleble en el papel o en la memoria electronica de un instrumento demedida. Por ejemplo, la partıcula al pasar por un punto puede activar un mecanismo que al mismotiempo deje una marca en la regla y detenga el reloj. La accion que produce estos registros deacuerdo a las leyes de la dinamica esta acompanada de una reaccion equivalente sobre la partıcula,perturbando por consiguiente su movimiento ulterior.

Es dable imaginar que la menor perturbacion se producira cuando el agente productor delregistro de la posicion sea la luz, eliminando ası el contacto mecanico entre partıcula e instrumentode medida. Pero aun ası existe una perturbacion sobre la trayectoria: la cantidad elemental de luzes una entidad llamada foton, que actua como una partıcula en su interaccion con el punto material.La figura 1.21 presenta un esquema del dispositivo para registrar la posicion:

Figura 1.21:Observacion optica de un objeto

La extension espacial mınima de cualquier onda es del orden de su longitud de onda; por ello,la dimension espacial mınima de un foton de luz de frecuencia circularν es∆x = c/ν , dondeces la velocidad de la luz. Por consiguiente, dicho foton determinara la posicion del punto materialcon una precision

∆x = c/ν

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MECANICA CL ASICA

El impulso lineal de dicho foton esp = hν/c dondeh = h/2π = 1, 055 × 10−34J × s(Joule× segundo) es la constante de Planck. Al reflejarse, el cambio de impulso del foton es delorden dep

∆p ≈ p = hν/c

con lo que resulta la siguiente relacion entre la precision con que conocemos la coordenada de lapartıcula y la dispersion que generamos en su impulso:

∆p∆x ≈ h (1.48)

Entonces, cuanto mejor midamos la posicion mas indeterminacion tendremos en el impulso dela partıcula, y viceversa.Esta es la famosa relacion de indeterminacion de Heisenberg, obtenidapor nosotros para un caso particular de medicion de posicion por medio de dispersion de luz, perovalida en una situacion general[8][9].

Veamos cuales son los errores relativos en la medicion de la posicion y velocidad de un cuerpoaegun lo que indica la relacion de indeterminacion de Heisenberg. Elegimos un cuerpo esfericode10−6 metros de radio (1micron) con una densidad de103 kg/m3 (equivalente a la del agua); sumasa resultam ∼= 4× 10−15Kg. . Es un cuerpo microscopico pero aun grande comparado con lasdimensiones de unatomo, cuyo radio es del orden de10−10metros. Proponiendo medir la posicioncon una precision∆x = 10−9 metros, la relacion 1.48 produce

∆p ≈ h

∆x≈ 10−25Kg ×m/s

de modo que el error relativo en la medicion del impulso lineal es

∆pp

=∆vv≈ 10−10

v

Aun para un cuerpo tan pequeno como el propuesto, hallamos precisiones altısimas en lasmediciones de coordenada y velocidad, mientras no pretendamos considerar velocidades menoresquev = 10−5m/s.

Entonces supondremos de ahora en mas que nuestras partıculas son lo suficientemente masivasy rapidas como para despreciar la relacion de indeterminacion de Heisenberg, y considerar que encada instante podemos conocer con precision arbitraria tanto su posicion como su velocidad.

1.12. Complemento II: Sistemas de unidades

Usaremos preferentemente las unidades Standard Internacionales SI. Las magnitudes funda-mentales son masa, tiempo y longitud, que en este sistema son el kilogramo, segundo y metro:

Masa→Kilogramo [kg]Tiempo→Segundo [s]Longitud→Metro [m]Agregando la unidad de corriente electrica como magnitud fundamental podemos luego de-

ducir todas las unidades subsidiarias requeridas en los problemas donde se pongan en juego inte-racciones gravitacionales o electromagneticas:

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Corriente electrica→Ampere [A]Las unidades subsidiarias son:Fuerza→Newton= 1 kg.m/s2 [N]Energıa→Joule= 1 N.m [J]Potencia electrica→Watt= 1 J/s [W]Carga electrica→ Coulomb= 1 A.s [C]Presion→ Pascal= 1 N/m2 [Pa]Es habitual usar otra unidad de fuerza relacionada al ”peso ”de los cuerpos en la superficie

terrestre. Esta definida por la fuerza ejercida por la atraccion terrestre sobre un kilogramo, se lallama kilogramo-fuerza y vale:

1 kilogramo-fuerza=9,80665 [N]

1.13. Problemas

1. Se lanza una piedra desde el suelo en direccion vertical estando sometida a la fuerza degravedad. ¿En que punto de su trayectoria tiene la piedra su valor maximo de aceleracion? Con-sidere dos casos:

a) No hay resistencia del aire.b) La fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad.

2. Un canon se encuentra ubicado a una alturah respecto del suelo. Calcular elangulo dedisparo para tener el alcance maximo.

3. Calcular la velocidad lımite que alcanza un proyectil de masaM atraıdo por la Tierra ysometido a la friccion producida por el aire. Considere:

a. Una fuerza de friccion lineal env: F = −k−→v .b. Una fuerza de friccion cuadratica env: F = −kv−→v .c. Indique las razones por las que la velocidad lımite depende (o no) de la velocidad inicial del

cuerpo.

4. Dos personas se encuentran en la proa y popa de un bote, el conjunto de los tres cuerpostiene una masa de400Kg.. Despreciando el rozamiento con el agua analizar el movimiento delbote cuando la persona a proa lanza un cuerpo de10Kg. con una velocidad de10m/s hacia laotra persona, que lo detiene. Indicar que pasa con el bote cuando el cuerpo se mueve por el aire yen el instante en que es detenido por la persona a popa.

5. Un proyectil de0, 1Kg disparado por un arma se incrusta en un bloque de madera de10Kgque cuelga en reposo de un hilo fijo al techo (figura 1.22). Luego del impacto el bloque mante-niendo tenso el hilo incrementa su altura respecto del piso en0, 20m. Determine la velocidad delproyectil antes del impacto. ¿Cambiarıa en algo la respuesta si a causa del impacto aumentase latemperatura del conjunto bloque-proyectil?

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MECANICA CL ASICA

Figura 1.22:Problema 5: Proyectil impactando sobre un bloque de madera suspendido

6. Un bloque de masam desliza sin friccion por una superficie como la de la figura 1.23sometido a un campo de fuerzas gravitacional constante.

a) Indique las integrales del movimiento.b) determine desde que altura mınima se lo debe dejar caer para que el bloque alcance el punto

B moviendose en contacto con la superficie.c) Determine la velocidad del bloque en ese punto.

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Figura 1.23:Problema 6: Masa m deslizando sin roce por una curva plana

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MECANICA CL ASICA

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Capıtulo 2

Formulaci on Lagrangiana de la Din amica cl asica

2.1. Introducci on

En el Capıtulo 1 determinamos la evolucion de un sistema de partıculas a partir del conocimien-to de las fuerzas que actuan sobre cada una de ellas. Las situaciones en que podemos conocer todaslas fuerzas que actuan sobre cada partıcula de un sistema fısico son mas bien la excepcion y nola regla; por ejemplo para un cuerpo macroscopico rıgido conocemos que las distancias entre laspartıculas que lo forman permanecen constantes, pero no conocemos las fuerzas entre ellas queproducen ese resultado. Entonces, el caso mas general es aquel en que se conocen parte de lasfuerzas actuantes y el efecto en la evolucion causado por aquellas que desconocemos.

En este Capıtulo vamos a presentar un metodo practico para resolver este problema, dondehayN partıculas cuyos movimientos estan restringidos por la presencia de fuerzas desconocidas.Este formalismo fue dado a conocer por el matematico y fısico italiano Joseph-Louis de Lagrangeen 1788, quien previamente habıa alcanzado un generalizado reconocimiento de la comunidadcientıfica europea como autor del calculo de variaciones (metodo para la busqueda de maximos ymınimos de funcionales).

El formalismo de Lagrange para resolver sistemas de partıculas como los que nos ocupanfue la piedra angular sobre la que se cimentaron los desarrollos posteriores, que trascendieron elambito de la Mecanica newtoniana al resto de la Fısica clasica y a la actual Mecanica cuantica.

Este formalismo permite iniciar un estudio sistematico de las llamadas integrales del movimien-to, las que ya hemos presentado en el Capıtulo anterior. Corresponden a la conservacion de ciertasmagnitudes en sistemas fısicos y en general en el mundo natural, que han adquirido con el tiem-po un nivel de confianza y estatus de inviolabilidad aun superior a la de las leyes basicas delmovimiento.

Para una mejor comprension o profundizacion del tema recomendamos los textos de H. Goldstein[1]y Landau y Lifshitz[2].

2.2. Vınculos

Un sistema deN partıculas posee3N coordenadas independientes. La evolucion de cada unade ellas queda determinada por una ecuacion de movimiento del tipo

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MECANICA CL ASICA

mid2−→r idt2

= −→Fe

i +N∑j 6=i

−→fij

Un sistema de partıculas o los cuerpos macroscopicos tienen habitualmente limitado el numerode coordenadas independientes o el espacio disponible para su evolucion debido a condiciones devınculo (tambien llamadas condiciones de ligadura) impuestas por el entorno o actuantes entrelos cuerpos del sistema. Ası, un cuerpo rıgido mantiene constantes las distancias entre todos suspuntos, o un gas en un recipiente tiene limitada la posicion de las moleculas componentes.

LOS VINCULOS SON AGENTES PRODUCTORES DE FUERZAS, EXTERNAS O INTERNAS DEL SISTEMA,PERO EN LUGAR DE CONOCER EL VALOR DE ESAS FUERZAS CONOCEMOS AHORA EL EFECTO QUE

PRODUCEN SOBRE LOS CUERPOS DEL SISTEMA EN ESTUDIO.

Matematicamente, los vınculos son relaciones entre las coordenadas que limitan el numero devariables independientes. Cuando la relacion entre las coordenadas es una ecuacion del tipo:

f(−→r1 ,−→r2 , ....−→rN , t) = 0 (2.1)

el vınculo se denomina holonomo. Cuando no es posible establecer una ecuacion de este tipo, sinoque tenemos una desigualdad o ecuacion diferencial a satisfacer donde aparte de las coordenadasaparecen sus velocidades, el vınculo es no holonomo. Ademas, segun que la relacion dependa ex-plıcitamente o no del tiempo el vınculo se clasificara en reonomo o escleronomo respectivamente:

Holonomos

f(−→r 1,−→r 2, ....−→r N ) = 0 : Escleronomosf(−→r 1,−→r 2, ....−→r N , t) = 0 : Reonomos

No− holonomos

f(−→r 1,−→r 2, ....−→r N , t) > 0f(−→r 1, d−→r 1/dt, ...., t) = 0

Las ecuaciones (2.1) pueden emplearse para definir un nuevo conjunto de coordenadas quesean independientes entre sı:

f(x1, y1, z1, x2, ....., xN , yN , zN , t) = 0 (2.2)

que nos permite despejar por ejemplox1 en terminos del resto de las coordenadas:

x1 = f1(y1, z1, x2, ....., xN , yN , zN , t) (2.3)

reduciendo en uno el numero de coordenadas independientes.Si existenK condiciones de este tipo tenemos solamente3N−K coordenadas independientes

que constituyen los grados de libertad del sistema. Es posible obtener las coordenadas−→r i ≡xi, yi, zi como funciones explıcitas de3N −K variables independientesqn:

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FORMULACION LAGRANGIANA DE LA DINAMICA CL ASICA

xi = Fxi(q1, q2, ....q3N−K , t)yi = Fyi(q1, q2, ....q3N−K , t)zi = Fzi(q1, q2, ....q3N−K , t) (2.4)

Resolver el problema consiste en hallar la evolucion de las3N −K coordenadasqi.Estas nuevas variables se denominan coordenadas generalizadas, no necesariamente son coor-

denadas cartesianas ortogonales y pueden no tener dimensiones de longitud.Cuando los vınculos son holonomicos es posible definir coordenadas generalizadas, en este

caso el problema dinamico consiste en hallar la evolucion temporal de las mismas; para ello esnecesario definir3N − K ecuaciones del movimiento que amalgaman las leyes de Newton paralasN partıculas y lasK condiciones de vınculo. Una dificultad adicional es el desconocimiento delas fuerzas generadas por los vınculos. Seguidamente vamos a derivar un metodo sistematico paratratar este problema. No existe en cambio un metodo sistematico para tratar sistemas con vınculosno holonomicos.

2.3. Principio de los Trabajos Virtuales

SE DENOMINA DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE UN SISTEMA A UN CAMBIO INFINITESIMAL EN LAS

COORDENADAS DE LAS PARTICULAS O CUERPOS QUE LO COMPONEN, QUE ES COMPATIBLE CON LAS

CONDICIONES DE VINCULO A UN DADO TIEMPO T.

La diferencia importante con un desplazamiento real reside en queeste se lleva a cabo en unintervalo de tiempo, pudiendo entonces producirse cambios en las condiciones de vınculo. Vemosen figura 1.21 para una partıcula sujeta a deslizarse sobre un alambre a su vez en movimiento(vınculo reonomo) la diferencia entre ambos desplazamientos:

Las fuerzas externas generadas por los vınculos son en general normales al desplazamientopermitido a las partıculas, solo en el caso de fuerzas no conservativas (de roce) habra resultantesno nulas en la direccion del movimiento.

En el caso de fuerzas internas producidas por los vınculos, por ejemplo una ligadura que fijala distancia entre dos partıculas, por el principio de accion y reaccion esos pares de fuerzas devınculo son iguales, colineales y de sentidos opuestos. Un desplazamiento virtual del par se puededescomponer en una traslacion

−→∆t de un punto cualquiera seguida de una rotacion−→∆r alrededor

de este punto, como muestra la figura 2.2La rotacion produce desplazamientos virtuales normales a las fuerzas de vınculo y es cero el

trabajo realizado, en tanto que para la traslacion es diferente de cero el trabajo virtual de cadafuerza por separado pero se cancelan mutuamente.

Vamos a concentrar nuestro estudio de la dinamica a aquellos sistemas donde las fuerzas devınculo no realizan trabajo durante un desplazamiento virtual de las partıculas. De hecho, si unvınculo realizara trabajo se modificarıa su energıa interna y deberıa ser considerado como parteintegrante del sistema de cuerpos en estudio. Entonces los problemas que estudiaremos de ahoraen mas se refieren a

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MECANICA CL ASICA

Figura 2.1:Desplazamientos virtual y real de una partıcula

SISTEMAS MECANICOS: DONDE EL TRABAJO DE LAS FUERZAS DE VINCULO ES NULO AL

REALIZAR UN DESPLAZAMIENTO VIRTUAL DE LAS PARTICULAS DEL SISTEMA:

N∑i=1

−→Fv

i .δ−→r i = 0 (2.5)

Cuando un sistema de partıculas esta en equilibrio, la fuerza total actuante sobre cada una debeser nula:

−→F i = −→

Fa

i +−→F v

i = 0

−→Fa

i : fuerza aplicada sobre la partıcula, resultante de todas las fuerzas externas e internas que nosean de vınculo.

−→Fv

i : fuerza producida por los vınculos sobre la partıculai.Multiplicando cada fuerza

−→F i por el desplazamiento virtual de la partıcula y sumando sobre

el sistema:

N∑i=1

[−→F a

i +−→F v

i ].δ−→r i = 0

y haciendo uso de la hipotesis de que el trabajo virtual de las fuerzas de vınculo es nulo, ecuacion2.5, obtenemos:

N∑i=1

−→Fia.δ−→r i = 0 (2.6)

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Figura 2.2:Desplazamiento virtual de dos partıculas unidas rıgidamente

que es el

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES: CUANDO UN SISTEMA ESTA EN EQUILIBRIO EL

TRABAJO DE LAS FUERZAS APLICADAS A LO LARGO DE UN DESPLAZAMIENTO VIRTUAL ES NULO.

En el caso de vınculos independientes del tiempo (escleronomos) los desplazamientos posiblesde las partıculas coinciden con los desplazamientos virtuales, entonces la condicion de equilibrioobtenida que nos dice que el trabajo de las fuerzas aplicadas es nulo, es equivalente en el caso defuerzas conservativas a que la energıa potencial sea un extremo (maximo o mınimo).

Los desplazamientos virtualesδ−→r i no son linealmente independientes debido a la presencia decondiciones de vınculo. En cambio sı lo son los desplazamientos de las coordenadas generalizadasqj , que son incrementosδqj en dichas coordenadas realizados sobre el sistema de partıculas paraun dado valor del tiempo. La relacion entre ambos desplazamientos es:

δ−→r i =3N−K∑j=1

∂−→r i∂qj

δqj (2.7)

y reemplazando en (2.6) obtenemos:

3N−K∑j=1

(N∑i=1

−→Fa

i .∂−→r i∂qj

)δqj = 0

Debido a que tanto las coordenadasqj como sus desplazamientosδqj son independientes entresı, cada uno de los coeficientes de losδqj debe ser nulo, lo que genera3N −K ecuaciones a sersatisfechas por las coordenadas generalizadasqj en la configuracion de equilibrio:

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MECANICA CL ASICA

N∑i=1

−→Fa


= 0, j = 1, 2..,3N −K

Estas ecuaciones nos permiten, conocidas las fuerzas aplicadas, determinar las posiciones delas partıculas en la configuracion de equilibrio estatico. Habra casos en que no exista dicha confi-guracion o que haya mas de una. Las ecuaciones tambien permiten conocer el valor que se debeasignar a alguna de las fuerzas para que el sistema alcance una dada configuracion de equilibrio.

2.4. Ejemplo: Equilibrio de un p endulo doble

Consideremos un pendulo doble como el de la figura 2.3, donde ademas de la fuerza degravedad actua una fuerza en la direccion horizontal sobre la masa externa. Calculemos la confi-guracion de equilibrio del sistema.

Figura 2.3:Pendulo doble: el movimiento esta limitado a un plano, la partıculam1 esta sujeta a un punto ylam2 tiene fijada su distancia a la anterior. Actuan la fuerza de gravedad y una fuerza externa en direccionhorizontal sobrem2

Este es un sistema con dos grados de libertad, las coordenadas generalizadasq1, q2 mas conve-nientes para representarlos son losangulosϕ1, ϕ2 de la figura. Las posiciones de las masas−→r1 ,−→r2en terminos de estas coordenadas son:

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−→r 1 ≡

x1 = `1 sinϕ1

y1 = −`1 cosϕ1

(2.8)

−→r 2 ≡

x2 = `1 sinϕ1 + `2 sinϕ2

y2 = −`1 cosϕ1 − `2 cosϕ2

Las fuerzas aplicadas en este caso son, para la partıcula 1:

−→Fa

1 = −m1gey

y para la partıcula 2:

−→Fa

2 = −m2gey + F ex (2.9)

La condicion de nulidad del trabajo virtual de las fuerzas aplicadas, expresado por (2.3), nosprovee con dos ecuaciones correspondientes a los dos grados de libertad del problema.

−m1g∂y1

∂ϕ1−m2g

∂y2

∂ϕ1+ F

∂x2

∂ϕ1= 0

−m1g∂y1

∂ϕ2−m2g

∂y2

∂ϕ2+ F

∂x2

∂ϕ2= 0

y utilizando las relaciones (2.8-2.9) obtenemos:

−m1g`1 sinϕ1 −m2g`1 sinϕ1 + F`1 cosϕ1 = 0−m2g`2 sinϕ2 + F`2 cosϕ2 = 0

Un sistema de dos ecuaciones que permite determinar los valoresϕ01, ϕ

02 del equilibrio estatico del

sistema:

tanϕ01 =

F

(m1 +m2)g

tanϕ02 =

F

m2g

Este resultado reproduce los valores de equilibrio de los casos extremos, por ejemplo: a) cuan-doF = 0 el equilibrio se produce paraϕ1 = ϕ2 = 0, b) cuandom1 = 0 debe serϕ2 = ϕ1.

Finalmente, los valores de equilibrioϕ1, ϕ2 no dependen de la longitud de los pendulos, yaque para que cada masa este en reposo es necesario que la resultante de las fuerzas aplicadas sobrecada una de ellas se compense con la fuerza ejercida por el vınculo (hilo o varilla que fija lasdistancias 1, `2), por consiguiente dicha resultante debe actuar en la direccion del vınculo y ensentido opuesto, y el equilibrio no depende de las longitudes`1, `2.

53

MECANICA CL ASICA

2.5. Principio de d’ Alembert

Para tratar un caso dinamico en que la configuracion del sistema varıa con el tiempo haremosuso de la segunda ley de Newton para cada partıcula del sistema:

mid2−→r idt2

= −→Fa

i +−→F v

i

y usando la condicion (2.5) de trabajo nulo de las fuerzas de vınculo:

N∑i=1

[−→F a

i −mid2−→r idt2

].δ−→r i = 0 (2.10)

que es el principio de d’Alembert. Este principio es valido para los sistemas mecanicos: aquellosque satisfacen el principio de los trabajos virtuales.

2.6. Ecuaciones de Lagrange

Debido a que las coordenadas−→r i no son independientes entre sı no es posible obtener ecua-ciones sencillas directamente del principio de d’Alembert expresado en la ecuacion (2.10). Ten-dremos que hacer uso de las ecuaciones de vınculo (2.4). Consideramos en primer lugar vınculosholonomos. Definimos3N−K nuevas variablesqj que seran las coordenadas generalizadas elegi-das para el caso.

Tomando el desplazamiento virtual como un diferencial de primer orden y recordando queestos desplazamientos se realizan a tiempo constante, tenemos la relacion (2.7):

δ−→r i =3N−K∑j=1

∂−→r i∂qj

δqj

que reemplazado en el primer termino de (2.10) nos permite definir la fuerza generalizadaQj :

N∑i=1

−→Fa

i .δ−→r i =

3N−K∑j=1

N∑i=1

−→Fa


δqj

≡3N−K∑j=1

Qjδqj (2.11)

El mismo reemplazo en el segundo termino de (2.10) produce:

N∑i=1

mid2−→r idt2

.δ−→r i =N∑i=1

3N−K∑j=1

mid2−→r idt2

.∂−→r i∂qj

δqj (2.12)

=N∑i=1

3N−K∑j=1

ddt

[mid−→r idt

.∂−→r i∂qj

]−mid−→r idt

.d

dt[∂−→r i∂qj

]δqj

54


Vamos a trabajar sobre el termino ∂−→r i∂qj

; asumiendo valido el intercambio en el orden de dosoperaciones de diferenciacion:

d

dt

∂−→r i∂qj

=∂−→v i∂qj

donde la velocidad−→v i es:

−→v i =3N−K∑j=1

∂−→r i∂qj

.qj +

∂−→r i∂t

con lo que obtenemos:

∂−→v i∂

.qj

=∂−→r i∂qj

(2.13)

donde:

.qj=

dqjdt

Reemplazando este resultado en (2.12):

N∑i=1

mid2−→r idt2

.δ−→r i =N∑i=1

3N−K∑j=1

ddt

[mi−→v i.

∂−→v i∂

.qj

]−mi−→v i.

∂−→v i∂qj

δqj

=3N−K∑j=1

ddt

∂

∂.qj

N∑i=1

12miv

2i −

∂

∂qj

N∑i=1

12miv

2i δqj

Utilizando este resultado y la definicion (2.11) de fuerza generalizada en el principio de d’Alem-bert (2.10) obtenemos:

n∑j=1

ddt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qjδqj = 0 (2.14)

Siendo lasqj un conjunto de variables independientes, para que se satisfaga (2.14) es necesarioque se anule cada uno de los coeficientes de los diferencialesδqj :

d

dt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj = 0

j = 1, ..,3N −K (2.15)

Si el sistema de partıculas ademas de ser un sistema mecanico con vınculos holonomos (satis-face el principio de d’Alembert) esta sometido a fuerzas externas e internas conservativas:

55

MECANICA CL ASICA

Qj =N∑i=1

−→Fa


= −N∑i=1

−→∇−→r iV (−→r 1,−→r 2, ...−→r N ).

∂−→r i∂qj

= − ∂

∂qjV (−→r 1,−→r 2, ...−→r N )

donde el potencial total

V =N∑i=1

Ui +N∑

i,j=1(i>j)

Uij

es la suma de los potenciales externos mas los potenciales internos entre pares. Podemos entoncescompactar las ecuaciones (2.15)

d

dt

∂L

∂.qj− ∂L

∂qj= 0

j = 1, ..,3N −K (2.16)

donde

L(q, .q) = T (q,

.q)− V (q)

es el Lagrangiano (o Lagrangiana) del sistema dependiente de las coordenadas generalizadasq yvelocidades generalizadas

.q. L es igual a la diferencia entre las energıas cinetica y potencial del

mismo. Las ecuaciones de Lagrange (2.15o 2.16) resuelven el problema de un sistema mecanicode partıculas sometido a condiciones de vınculo holonomicas, eliminando la necesidad de conocerlas fuerzas de vınculo.

2.7. Calculo de variaciones. Principio de Hamilton

Vamos a resaltar el papel que juega el Lagrangiano en la descripcion de un sistema clasico,mostrando que en realidad las ecuaciones del movimiento (2.16) son las condiciones requeridaspara que la siguiente integral, llamada accion del sistema

I =∫ t2

t1L(q,

.q, t)dt (2.17)

sea un extremo, especıficamente un mınimo. Este es el principio de Hamilton o principio de mıni-ma accion. Las ecuaciones de Newton para lasN partıculas mas las condiciones de vınculo estanentonces condensadas en la forma deL y en el principio de mınima accion. Los tiempost1, t2definen los extremos del intervalo temporal en el que las funcionesqj(t) minimizan la acciondefinida por (2.17).

Estableceremos la conexion entre ecuaciones de Lagrange y el principio de mınima accionpartiendo del conocimiento de los valores extremosqj(t1,2). Vamos a usar el calculo de variacionespara probar esa conexion: estamos interesados en hallar los valores estacionarios de la integral

56


I =∫ t2

t1f(y,

.y, t)dt

respecto de variaciones en la o las funcionesy(t), de las que conocemos solo los valores extremosy(t1,2). Producimos un cambio arbitrarioδy(t) conδy(t1,2) = 0; la variacion producida enf es:

δf =∂f

∂yδy +

∂f

∂.yδ.y

Entonces:

δI =∫ t2

t1[∂f

∂yδy +

∂f

∂.yδ.y]dt

Intercambiamos operaciones de diferenciacion en el termino

δ.y= δ

dy

dt=

d

dtδy

e integramos por partes ese termino:

∫ t2

t1

∂f

∂.y

d

dtδydt =

∂f

∂.yδy |t2t1 −

∫ t2

t1δyd

dt

∂f

∂.ydt

donde el primer termino se anula puesδy(t1,2) = 0. Obtenemos

δI =∫ t2

t1[∂f

∂y− d

dt

∂f

∂.y]δydt

Para queI sea estacionarioδI debe anularse para variaciones arbitrariasδy en el intervalo, yello solo es posible si el integrando es identicamente nulo:

∂f

∂y− d

dt

∂f

∂.y

= 0

Estas son las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange, hay una por cada funcion diferentey(t)presente enf y coinciden con las ecuaciones de Lagrange derivadas del principio de d’Alembertpara un sistema mecanico. Queda ası probado el

PRINCIPIO DE HAMILTON : LA DEPENDENCIA TEMPORAL DE LAS COORDENADAS

GENERALIZADAS qj(t) ES TAL QUE SE MINIMIZA EL VALOR DE LA ACCI ON EN EL INTERVALO

TEMPORAL ELEGIDO.

57

MECANICA CL ASICA

2.8. Vınculos no hol onomos

Cuando las condiciones de vınculo no pueden expresarse como relaciones entre las coorde-nadas del tipo

f(−→r 1,−→r 2...−→r N , t) = 0

sino que aparecen desigualdades o relaciones que involucran derivadas temporales de las coorde-nadas:

f(−→r 1,−→r 2...−→r N , t) > 0

f(−→r 1,−→r 2...−→r N ,d−→r 1

dt,d−→r 2

dt...d−→r Ndt

, t) = 0

los vınculos se dice que son no holonomos. Ya no vale el formalismo precedente que condujoa las ecuaciones de Lagrange, y en principio es necesario resolver cada caso por separado.

Supongamos la presencia deK condiciones de vınculo holonomicas, lo que nos permitedefinir 3N − K coordenadas generalizadasqj . Consideremos el caso particular deP vınculosno holonomicos definidos por ecuaciones diferenciales lineales:

3N−K∑j=1

a`j(q, t)dqj + a`t(q, t)dt = 0 (2.18)

1 ≤ ` ≤ P

Vınculos no holonomos como el presentado aparecen en multitud de situaciones donde haycuerpos en contacto. Un caso especial de vınculo entre cuerpos en contacto es el definido por lacondicion de rodadura: en el punto de contacto la velocidad local relativa entre los cuerpos es nula.

Consideramos el ejemplo de la rodadura de un disco sobre un plano horizontal: el disco tieneun espesor pequeno pero suficiente para mantenerlo en posicion vertical. Las variables necesariaspara fijar la posicion del disco son las coordenadas de su centro en el planox, y, el anguloϕ quefija la orientacion de una lınea marcada en el disco respecto de la vertical y elanguloθ que fija laorientacion del plano del disco respecto de un plano de referencia, tal como lo muestra la figura2.4

La condicion de rodadura requiere que el punto de contactoA entre disco y plano tenga unavelocidad instantanea nula: en la practica significa que el disco no resbala sobre el plano. Estavelocidad−→v A puede expresarse como la suma de la velocidad del centro del disco

−→v C =.x ex+

.y ey

y la velocidad relativaR.ϕ eϕ deA respecto deC:

−→v A = −→v C +R.ϕ eϕ = 0

58


Figura 2.4:Vınculo no holonomo: condicion de rodadura

Proyectando sobre los ejesx, y

.x +R

.ϕ cos θ = 0

.y +R

.ϕ sin θ = 0 (2.19)

que tambien pueden expresarse en forma diferencial

dx+R cos θdϕ = 0dy +R sin θdϕ = 0 (2.20)

Las ecuaciones (2.19)o (2.20) describen dos condiciones de vınculo no holonomicas. No esposible despejar un par de coordenadas en funcion de las otras dos como ocurre con vınculosholonomicos: ahora es necesario resolver primero el problema dinamico para conocer las veloci-dades de las coordenadasdxdt ,

dydt ,

dϕdt y recien entonces imponer las restricciones (2.20) sobre los

diferenciales.

2.8.1. Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Vamos a resolver el caso particular de vınculos no holonomos definidos por ecuaciones dife-renciales lineales del tipo (2.18)

59

MECANICA CL ASICA

3N−K∑j=1

a`jdqj + a`tdt = 0 (2.21)

1 ≤ ` ≤ P

donde losajk son funciones generales de las coordenadas y el tiempo.Los desplazamientos virtualesδqj son diferenciales definidos manteniendo el tiempo constan-

te, por lo tanto deben satisfacer las condiciones (2.21) condt = 0:

3N−K∑j=1

a`jδqj = 0 (2.22)

1 ≤ ` ≤ P

EstasP condiciones sobre los3N −K desplazamientos virtualesδqj hace que solamente3N −K − P de ellos sean linealmente independientes.

Para hallar las ecuaciones de Lagrange de este caso con vınculos no holonomos recurrimos aun artificio matematico conocido como metodo de los multiplicadores de Lagrange, y que consisteen multiplicar cada una de las ecuaciones (2.22) por un factor arbitrarioλ`(t) y sumarlas:

P∑`=1

λ`

3N−K∑j=1

a`jδqj = 0

Agregamos ahora este termino identicamente nulo a cada ecuacion de Lagrange (2.14):

3N−K∑j=1

ddt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj +

P∑`=1

λà`jδqj = 0 (2.23)

De entre los3N−K desplazamientos virtualesδqj solo 3N−K−P de ellos son linealmenteindependientes. Entonces podemos elegir en forma arbitraria por ejemplo los primeros3N −K − P , y siendo ellos arbitrarios para que valga la identidad a cero en (2.23) deben anularse losrespectivos coeficientes:

d

dt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj +

P∑`=1

λà`j = 0 (2.24)

1 ≤ j ≤ 3N −K − P

La ecuacion (2.23) queda reducida a una combinacion lineal de losP desplazamientos vir-tualesδqj con3N −K − P + 1 ≤ j ≤ 3N −K :

3N−K∑j=3N−K−P+1

ddt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj +

P∑`=1

λà`jδqj = 0 (2.25)

60


Estos desplazamientos virtuales ya no son independientes, sino que estan totalmente determi-nados por los primeros3N −K − P . Lo que hacemos es elegir losP valores arbitrarios deλ` demodo que se anulen dichos coeficientes en (2.25). Obtenemos ası 3N −K ecuaciones de la forma(2.24):

d

dt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj +

P∑`=1

λà`j = 0 (2.26)

1 ≤ j ≤ 3N −K

o:

d

dt

∂L

∂.qj− ∂L

∂qj+

P∑`=1

λà`j = 0 (2.27)

1 ≤ j ≤ 3N −K

cuando las fuerzas aplicadas son conservativas.Estas ecuaciones (2.26)o (2.27), mas lasP ecuaciones diferenciales de vınculo

3N−K∑j=1

a`jdqj + a`tdt = 0

1 ≤ ` ≤ P

determinan las3N −K coordenadasqj(t) y losP multiplicadores de Lagrangeλ`(t).Las ecuaciones (2.26) son las mismas que hallarıamos en ausencia de vınculos no holonomos si

a las fuerzas generalizadas actuantes sobre la coordenadaqj le agregaramos el termino∑P`=1 λà`j .

De esta forma encontramos el significado fısico del termino: representa la fuerza generalizada pro-ducida por los vınculos no holonomos sobre la coordenada j, ya que el resultado matematico esequivalente a reemplazar las ligaduras por fuerzas generalizadas adicionales del tipo:

Qvj =p∑`=1

λà`j (2.28)

1 ≤ j ≤ 3N −K

Es conveniente puntualizar que las coordenadas generalizadasqj no tienen en general dimen-siones de longitud, por lo que las fuerzas generalizadas no tienen en general dimensiones de fuerza.Por ejemplo, cuandoqj es unangulo la fuerza generalizadaQj es un torque.

2.8.2. Fuerzas producidas por los vınculos

La ecuacion (2.28) representa la fuerza generalizada en la coordenadaqj producida por losvınculos no holonomicos. Los vınculos holonomos

61

MECANICA CL ASICA

fk(q1, q2, ...qP , t) = 0

pueden transformarse en no holonomicos:

P∑j=1

∂fk∂qj

dqj +∂fk∂t

dt = 0 (2.29)

1 ≤ k ≤ K

Esto nos permite calcular la fuerza generalizada producida sobre la coordenadaqj por el vınculoholonomicofk: usando las ecuaciones (2.28,2.29) obtenemos:

Qvk,j = λk∂fk∂qj

(2.30)

que depende del multiplicador de Lagrange asociado al vınculofk, expresado en forma de ecuaciondiferencial en (2.29).

Concluimos que por cada fuerza de un vınculoQk que nos interese calcular deberemos incre-mentar en uno el numero de ecuaciones junto al de incognitas a determinar.

2.9. Teoremas de conservaci on en la formulaci onlagrangiana

Un sistema que poseen grados de libertad esta descrito porn ecuaciones de Lagrange (2.15)o (2.16). Estas son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo para las coordenadasqj .Ocurre a menudo que algunas de las ecuaciones diferenciales puede reemplazarse o transformarseen una ecuacion de primer orden

f(q1, q2, ...qn,.q1,

.q2, ...

.qn, t) = 0

con lo que se reduce a la mitad el trabajo de integracion de la ecuacion diferencial. El conocimientode estas integrales del movimiento encierra para algunas de ellas un importante sentido fısico.

Vamos a definir el impulso generalizado o momento canonico correspondiente a la coordenadaqj :

pj =∂L

∂.qj

que coincide con la definicion de impulso lineal cuandoqj es una coordenada cartesiana ortogonalde la partıcula. Ademas llamaremos coordenada cıclica a la que no aparece explıcitamente en elLagrangiano del sistema, entonces:

∂L

∂qj= 0

62


si qj es cıclica. De las ecuaciones de Lagrange y de las definiciones precedentes encontramos queen este caso:

d

dt

∂L

∂.qj

= 0

que puede integrarse inmediatamente

d

dtpj = 0 (2.31)

pj es constante, por lo que

EL IMPULSO CANONICO CORRESPONDIENTE A UNA COORDENADA CICLICA ES CONSTANTE.

Las integrales del movimiento (2.31) son mas generales que los teoremas de conservacionprobados previamente, e incluyen aestos como casos particulares.

Estudiaremos las condiciones de conservacion del impulso lineal, impulso angular y energıatotal para fuerzas aplicadas conservativas.

2.9.1. Impulso lineal

Consideremos una coordenadaqn que describe traslaciones del sistema como un todo, puedeser por ejemplo una componente del vector centro de masas. Se cumple entonces que:

∂−→r i∂qn

= n (2.32)

donden representa la direccion en que se traslada el sistema al variarqn. El momento canonicocorrespondiente aqn, usando el resultado (2.13),

pn =∂L

∂.qn

=N∑i=1

mi−→vi∂−→v i∂

.qn

(2.33)

=N∑i=1

mi−→v i

∂−→r i∂qn

= nN∑i=1

mi−→v i

resulta ser el impulso lineal total del sistema en la direccion n. Concluimos que:

SI LA COORDENADA QUE DESCRIBE UNA TRASLACION DEL SISTEMA COMO UN TODO ES

CICLICA , EL IMPULSO LINEAL TOTAL EN ESA DIRECCION ES UNA CONSTANTE DEL MOVIMIENTO.

La energıa cinetica total es en general una funcion de las coordenadas generalizadas y ve-locidades generalizadas, pero no dependera de una coordenada como laqn (2.32) que describetraslaciones del sistema como un todo, ya que la energıa cinetica debe ser independiente del ori-gen de coordenadas elegido. Por consiguiente, la coordenadaqn sera cıclica si la energıa potencialde las fuerzas aplicadas no depende de ella. Veamos que significa esta independencia:

63

MECANICA CL ASICA

∂V

∂qn=

N∑i=1

−→∇−→r iV.∂−→r i∂qn

= nN∑i=1

−→∇−→r iV (2.34)

= −nN∑i=1

−→Fia

SI LA COORDENADA QUE DESCRIBE TRASLACIONES DEL SISTEMA EN UNA DIRECCION ES CICLICA

ENTONCES LA FUERZA APLICADA SOBRE EL SISTEMA EN ESA DIRECCION ES NULA.

Los resultados (2.33) y (2.34) nos dicen que la ecuacion de Lagrange correspondiente a lacoordenadaqn

d

dt

∂L

∂.qn− ∂L

∂qn= 0

resulta:

dpndt

= Fn

que es la conocida ecuacion de evolucion del impulso lineal total del sistema en direccion n.

2.9.2. Impulso angular

Un tratamiento similar nos permitira reencontrar la ley de conservacion del impulso angulartotal: consideremos una coordenadaϕ que describe la posicion angular del sistema respecto de unejen tal como se muestra en la figura 2.5:

δ−→r i = ri sin θδ−→ϕ

∂−→r i∂ϕ

= n×−→r i

El momento canonico conjugado aϕ es, usando nuevamente (2.13),

pϕ =∂L

∂.ϕ

=N∑i=1

mi−→vi∂−→vi∂

.ϕ

=N∑i=1

mi−→vi∂−→r i∂ϕ

que produce:

pϕ =N∑i=1

mi−→vi .n×−→r i = n.

N∑i=1

mi−→r i ×−→vi (2.35)

El momento canonico conjugado a una coordenada que describe rotaciones del sistema comoun todo es la componente del impulso angular a lo largo del eje de rotacion. Encontramos que

64


Figura 2.5:Rotacion del vectorri en torno de una direccionn

SI UNA COORDENADA QUE DESCRIBE ROTACIONES DEL SISTEMA COMO UN TODO ES CICLICA , SE

CONSERVA EL IMPULSO ANGULAR TOTAL EN LA DIRECCION DEL EJE DE ROTACION.

La energıa cinetica del sistema de partıculas no depende de la orientacion del sistema de coor-denadas elegido para describirla, por lo tanto no dependera de coordenadas angulares de rotacioncomo laϕ que usamos en el punto anterior. Entonces, si la variableϕ es cıclica se debe solamentea que la energıa potencial de las fuerzas aplicadas es independiente deϕ. QueV no dependa deϕes equivalente a que el torque en direccion n de las fuerzas aplicadas sea nulo, pues:

∂V

∂ϕ=

N∑i=1

−→∇−→r iV.∂−→r i∂ϕ

=N∑i=1

−→∇−→r iV.n×−→r i (2.36)

= −n.N∑i=1

−→r i ×−→F ai

SI LA COORDENADA QUE DESCRIBE ROTACIONES DEL SISTEMA ALREDEDOR DE UN EJE ES CICLICA

ENTONCES EL TORQUE APLICADO SOBRE EL SISTEMA EN ESA DIRECCION ES NULO.

Reemplazando (2.35) y (2.36) en la ecuacion de Lagrange paraϕ :

65

MECANICA CL ASICA

d

dt

∂L

∂.ϕ− ∂L

∂ϕ= 0

resulta:

dpϕdt

= −∂V∂ϕ

que es la ya conocida ecuacion de evolucion del impulso angular total, pues de (2.35) espϕ = Lny de (2.36)∂V∂ϕ = Mn (componente del torque en direccion n) :

dLndt

= Mn

2.9.3. Energıa

Para hallar la conservacion de la energıa total de un sistema con fuerza aplicadas conservativasvamos a hallar la derivada temporal del Lagrangiano

dL

dt=

N∑j=1

∂L∂qj

.qj +

∂L

∂.qj

..qj +

∂L

∂t (2.37)

Si nos limitamos por el momento al caso en que el Lagrangiano no depende explıcitamentedel tiempo sera ∂L

∂t = 0. Esta condicion es satisfecha, entre otros, por vınculos escleronomos.Reemplazamos∂L∂qj = d

dt∂L∂

.qj

en (2.37):

dL

dt=

N∑j=1

ddt

(∂L

∂.qj

).qj +

∂L

∂.qj

..qj (2.38)

=d

dtN∑j=1

∂L

∂.qj

.qj

Entonces la funcion:

H =N∑j=1

∂L

∂.qj

.qj −L (2.39)

llamada funcion hamiltoniana (o mas usualmente el Hamiltoniano) es una integral del movimiento.Probaremos que el Hamiltoniano es equivalente a la energıa T + V del sistema cuando los

vınculos son escleronomos. Demostraremos en primer lugar queT es una funcion homogeneacuadratica de las velocidades generalizadas

.q. Partimos de:

T =12

N∑i=1

mi−→vi 2

66


y usamos la dependencia del vector posicion en las coordenadas generalizadas para el caso devınculos escleronomos:

−→r i = −→fi (q1, q2, ...qn)

−→vi =N∑k=1

∂−→r i∂qk

.qk

−→vi 2 =N∑

k,`=1

∂−→r i∂qk

∂−→r i∂q`

.qk

.q`

Como∂−→r i∂qk

∂−→r i∂q`

depende solamente de las coordenadas generalizadas y no de sus velocidades,queda probado que

PARA V INCULOS ESCLERONOMOST ES UNA FUNCION CUADRATICA HOMOGENEA EN LAS

VARIABLES q.

Para una funcionf homogenea de ordenn en lasvariablesxi se cumple que

N∑i=1

∂f

∂xixi = nf (2.40)

entonces, para fuerzas conservativas en que el potencial no depende de las velocidades:

N∑j=1

∂L

∂.qj

.qj=

N∑j=1

∂T

∂.qj

.qj= 2T

Reemplazando este resultado en el Hamiltoniano (2.39):

H = 2T − L = T + V

por lo que

LA CONSTANCIA DEL HAMILTONIANO PARA V INCULOS ESCLERONOMOS IMPLICA LA

CONSERVACION DE T + V .

Solamente en el caso de vınculos escleronomos la energıa total del sistema esE = T + V yaque el potencialV no genera las fuerzas de vınculo, y el trabajo real realizado por estas fuerzases nulo cuando, ademas de cumplirse el principio de los trabajos virtuales sean coincidentes losdesplazamientos reales y virtuales de las partıculas, lo que acontece para vınculos escleronomossolamente.

67

MECANICA CL ASICA

De acuerdo al resultado (2.38) paradLdt , y a la definicion (2.39) del Hamiltoniano,este es unaconstante del movimiento toda vez queL no dependa explıcitamente del tiempo:

dH

dt= 0

si∂L

∂t= 0

Entonces, aun para vınculos reonomos se conservaraH si ∂L∂t = 0, pero en este casoH 6= T + V.

Resumimos este analisis de las integrales del movimiento diciendo que cada una de ellasesta asociada a una simetrıa del sistema de partıculas:

A : CUANDO EL SISTEMA NO ALTERA SU EVOLUCION SI LO TRASLADAMOS COMO UN TODO EN UNA

DIRECCION, SE CONSERVA EL IMPULSO LINEAL TOTAL EN ESA DIRECCION.

B: CUANDO EL SISTEMA PERMANECE INVARIANTE ANTE ROTACIONES ALREDEDOR DE UN EJE, SE

CONSERVA EL IMPULSO ANGULAR TOTAL EN ESA DIRECCION.

C: CUANDO EL SISTEMA ES INVARIANTE ANTE TRASLACIONES EN EL TIEMPO SE CONSERVA EL

HAMILTONIANO .

D: SI LAS FUERZAS APLICADAS Y LAS DE VINCULO SON CONSERVATIVAS(NO HAY DISIPACION EN

CALOR U OTRA FORMA ENERGETICA), SE CONSERVA LA ENERGIA TOTAL DEL SISTEMA (INCLUIDA

LA ENERGIA POTENCIAL DE LAS FUERZAS DE VINCULO).

E: SI LOS VINCULOS SON ESCLERONOMOS LA ENERGIA POTENCIAL DE LAS FUERZAS DE

VINCULO ES CONSTANTE Y LA INTEGRAL DEL MOVIMIENTO ES LA ENERGIA MECANICA T + V ,V : ENERGIA POTENCIAL DE LAS FUERZAS APLICADAS, NO INCLUYE LAS DE VINCULO.

2.10. Teorema del Virial. (Opcional)

Vamos a obtener una expresion muyutil que liga los valores medios de la energıa cinetica y laenergıa potencial de un sistema deN partıculas sometido a fuerzas externas e internas conserva-tivas, es decir derivables de un potencial. Vamos a considerar los casos en que estasN partıculasforman un estado ligado, es decir las coordenadas relativas entre las partıculas permanecen aco-tadas a lo largo de la evolucion temporal del sistema.

La energıa cinetica escrita en funcion de los vectores posicion de lasN partıculas es:

T =12

N∑i=1

mi

(d−→r idt

)2

que podemos reescribir de la forma

68


T =12d

dt

(N∑i=1

mi−→r i

d−→r idt

)

−12

(N∑i=1

mi−→r i

d2−→r idt2

)

Usamos la segunda ley de Newton para reemplazar la aceleracion de cada partıcula por lafuerza total actuante sobre ella

mid2−→r idt2

= −→F i

y hallamos el valor medio temporal de la energıa cinetica, definido por:

〈T 〉 =1τ

∫ τ

0dt

′T (t

′)

=1τ

12

N∑i=1

mi−→r i.

d−→r idt

∣∣∣∣∣τ

0

− 12

⟨N∑i=1

−→r i.−→F i

⟩(2.41)

Como las velocidades y posiciones de las partıculas estan acotadas para un estado ligado,tomando el intervalo temporalτ lo suficientemente grande el primer termino del segundo miembrode (2.41) se puede hacer tan pequeno como se desee. Resulta entonces la relacion:

2 〈T 〉 = −⟨

N∑i=1

−→r i.−→F i

⟩(2.42)

que lleva el nombre de teorema del virial.Este resultado conecta en forma muy sencilla los valores medios de energıa cinetica y potencial

cuandoesta es una funcion homogenea de las posiciones de las partıculas. Este es por ejemplo elcaso de masas interactuando a traves de la fuerza gravitatoria, o el de cargas electricas a traves defuerzas de Coulomb. La forma general del potencial total en estos casos es:

V = −N∑i=1

airi−

N,N∑i>j=1

bijrij

= −N∑i=1

airi− 1

2

N∑i=1

N∑j=1(j 6=i)

bijrij

conbij = bji, que produce:

−→∇−→r iV =

air3i

−→r i +N∑

j=1(j 6=i)

bijr3ij

−→r ij

69

MECANICA CL ASICA

Entonces:

−⟨

N∑i=1

−→r i.−→F i

⟩=

n∑i=1

−→r i.−→∇−→r i

V

=N∑i=1

airi

+N∑i=1

N∑j=1(j 6=i)

bijr3ij

−→r ij−→r i (2.43)

Trabajamos sobre el segundo termino:

N∑i=1

N∑j=1(j 6=i)

bijr3ij

−→r ij−→r i

=N,N∑i>j=1

bijr3ij

−→r ij−→r i +N,N∑j>i=1

bijr3ij

−→r ij−→r i

=N,N∑i>j=1

(bijr3ij

−→r ij−→r i +bjir3ji

−→r ji.−→r j)

=N,N∑i>j=1

bijr3ij

(−→r ij−→r i +−→r ji.−→r j)

=N,N∑i>j=1

bijr3ij

−→r ij .(−→r i −−→r j)

=N,N∑i>j=1

bijrij

que reemplazado en (2.43) produce:

−⟨

N∑i=1

−→r i.−→F i

⟩=

n∑i=1

−→r i.−→∇−→r i

V

=N∑i=1

airi

+N,N∑i>j=1

bijrij

= −V (2.44)

Finalmente, usando (2.42) y (2.44) el teorema del virial produce para el caso de potencialeshomogeneos como los gravitatorios o electrostaticos:

2 〈T 〉+ 〈V 〉 = 0

En general,V = V (−→r 1,−→r 2...−→r N ) es una funcion homogenea de ordenn cuando satisfacela siguiente condicion:

70


N∑i=1

−→r i.−→∇−→r i

V (−→r 1,−→r 2...−→r N )

= nV (−→r 1,−→r 2...−→r N )

Entonces, los potenciales gravitatorios o electrostaticos entreN partıculas son funciones ho-mogeneas de orden -1 segun vemos de la condicion (2.44)

n∑i=1

−→r i.−→∇−→r i

V = −V

Para el caso general de un potencial homogeneo de ordenn el teorema del virial produce lasiguiente relacion entre los valores medios de las energıas cinetica y potencial:

2 〈T 〉 − n 〈V 〉 = 0

2.11. Aplicaciones

2.11.1. El problema de la cu na y la masa deslizante

Vamos a considerar nuevamente el problema de la cuna y la masa deslizante, donde queremoscalcular:

a) El tiempo que emplea la masam en caer desde una alturah respecto del suelo, partiendodel reposo tantom comoM .

b) Deseamos conocer la trayectoria dem yc) la fuerza de reaccion que la cuna ejerce sobre ella.Usaremos ahora el formalismo de las ecuaciones de Lagrange para responder a las tres pre-

guntas planteadas, encontrando (obviamente) los mismos resultados que partiendo de las leyes deNewton.

Solucion empleando la formulacion lagrangiana

Hemos visto que el sistema tiene dos grados de libertad, vamos a tomar las coordenadas(x, y)de la masam como coordenadas generalizadas. La energıa cinetica esta dada por (ver ecuacion1.46):

T =12(M +m)

.x2 +

12(m+M cot2 α)

.y2

+M cotα.x.y

por lo que el Lagrangiano del sistema es:

L =12(M +m)

.x2 +

12(m+M cot2 α)

.y2

+M cotα.x.y −mgy

y las ecuaciones del movimiento:

71

MECANICA CL ASICA

d

dt

∂L

∂.q− ∂L

∂q= 0

resultan, para la coordenadax:

(M +m)..x +M cotα

..y= 0 (2.45)

Como la coordenadax es cıclica se conserva su momento canonico conjugado, y esta ecuacionexpresa ese hecho; vemos de (1.44) que el momento canonico conjugado es el impulso lineal totalen la direccionx:

Px = (M +m).x +M cotα

.y (2.46)

Como el impulso lineal al tiempo inicial es nulo:

M cotα.y= −(M +m)

.x

y:

.y= −M +m

Mtanα

.x

la relacion entre las componentes de la velocidad resulta independiente del tiempo, luego la trayec-toria de esta masa es una recta de pendiente−M+m

M tanα, coincidiendo con el resultado previo(1.45).

La ecuacion del movimiento en la coordenaday es:

(m+M cot2 α)..y +M cotα.

..x +mg = 0

Reemplazando el resultado (2.45) desacoplamos las variables:

(m+M cot2 α)..y −M

2 cot2 αM +m

..y +mg = 0

esto es:

..y= B (2.47)

con:

B =−g

1 + MM+m cot2 α

La integracion de (2.47) es inmediata:

y = Bt2

2+ h (2.48)

donde hemos usado las condiciones inicialesy(t = 0) = h,.y (t = 0) = 0.

El tiempo que tarda la masa m en caer hasta el piso es:

72


T =

√−2hB

=

√2hg

[1 +M

M +mcot2 α]

que coincide con el resultado (1.47) obtenido previamente.

Calculo de las fuerzas de vınculo usando multiplicadores de Lagrange

En lugar de utilizar la condicion de vınculo dada por la ecuacion (1.42)

X = x+ y cotα (2.49)

vamos a considerar los tres grados de libertad(X,x, y) junto con una condicion diferencial, conapariencia de ligadura no holonomica

a1XdX + a1xdx+ a1ydy = 0

que resulta de diferenciar la condicion (2.49):

dX − dx− cotαdy = 0

El Lagrangiano es:

L =12M

.X

2+

12m(

.x2 +

.y2

)−mgy

y las ecuaciones de Lagrange adoptan ahora la forma:

d

dt

∂L

∂.q− ∂L

∂q− λa1q = 0

q ≡ X,x, y

Explıcitamente:

M..X +λ = 0 (2.50)

m..x −λ = 0 (2.51)

m..y +mg − λ cotα = 0 (2.52)

Estas ecuaciones mas la condicion de vınculo (2.49) son las cuatro ecuaciones que nos per-miten determinarX,x, y y λ.

73

MECANICA CL ASICA

Los terminos enλ representan las fuerzas que ejerce el vınculo. Las fuerzas de vınculo actuan-tes sobre la masam aparecen en sus ecuaciones del movimiento; de (2.51):

m..x= λ

λ es la componente horizontal de la fuerza de la cuna sobre la masam

Fv,x = λ

y de (2.52):

m..y +mg = λ cotα

vemos queλ cotα es la componente vertical de dicha fuerza:

Fv,y = λ cotα

Vemos que la direccion de la fuerza de vınculo sobrem es normal a la hipotenusa de la cuna,y su magnitud es:

Fv =√F 2v,x + F 2

v,y =λ

sinα

Para obtener el valor deλ reemplazamos las aceleraciones de las ecuaciones (2.50-2.52) en laderivada segunda de la condicion de vınculo (2.49):

..X − ..

x −..y cotα = 0

− λ

M− λ

m+ (g − λ

mcotα) cotα = 0

que determinaλ :

λ = mgsinα. cosα

1 + mM sin2 α

y la fuerza de vınculo sobrem:

Fv = mgcosα

1 + mM sin2 α

que coincide con el resultado previo (1.46). Debido a que la trayectoria es rectilınea la fuerza devınculo es independiente del tiempo; en un caso general tanto el parametroλ como la fuerza devınculo variaran en el tiempo y la trayectoria sera en general curvilınea.

Finalmente, las ecuaciones del movimiento (2.50-2.52) pueden integrarse facilmente paraobtenerx(t), y(t), X(t):

y = (λ

mcotα− g)

t2

2+ h

74


que podemos ver coincide con el resultado previo (2.48) pues:λm cotα− g = B ,

x =λ

m

t2

2+ x(t = 0)

y:

X = − λ

M

t2

2+X(t = 0)

2.11.2. Un problema con vınculos dependientes del tiempo

Vamos a resolver el problema que presentamos en la figura 2.6:

Figura 2.6:La partıcula desliza sin roce por un aro sin masa sujeto a girar en direccion vertical convelocidad angular constante. Actua la fuerza de gravedad

La masam desliza sin friccion por el aro, yeste esta sometido a una rotacion de velocidadangular constanteω en la direccion n situada en dicho plano.

Las condiciones de vınculo sobre las tres coordenadas de la masa son la permanencia de lamisma en el plano que gira con velocidadω, y la restriccion a moverse sobre la circunferencia.Resulta un problema con un solo grado de libertad, que podemos describir por elanguloθ.

La energıa cinetica de la partıcula es:

T =12m(

.x2 +

.y2

+.z2)

75

MECANICA CL ASICA

dondex, y, z son las coordenadas cartesianas de la partıcula, relacionadas aθ por:

x = a sin θ cosωty = a sin θ sinωtz = −a cos θ

entoncesT como funcion deθ y.θ resulta:

T =12m(a2

.θ2

+a2ω2 sin2 θ)

La energıa potencial es:

V = mgz = −mga cos θ

por lo que el Lagrangiano resulta:

L(θ,.θ) =

12m(a2

.θ2

+a2ω2 sin2 θ) +mga cos θ

De aquı podemos obtener inmediatamente la ecuacion diferencial que debe satisfacerθ, perovamos a tratar de hallar previamente alguna integral del movimiento. El impulso canonico conju-gado aθ no es constante puesθ no es cıclica. En cambio, por no dependerL(θ,

.θ) explıcitamente

del tiempo se conserva el Hamiltoniano:

H =∂L

∂.θ

.θ −L

=12ma2

.θ2 −1

2ma2ω2 sin2 θ −mga cos θ

Esta integral del movimiento no es la energıa mecanica del sistema pues el termino

−12ma2ω2 sin2 θ

tiene el signo inadecuado. Ello se debe a que hay un vınculo, movimiento sobre un plano que rota,que varıa con el tiempo. Entonces, si la masa se mueve sobre la circunferencia varıa su velocidadtangencial al variar el radio de giro. Esta aceleracion de la masa se debe a que la fuerza de vınculonormal al plano realiza trabajo cuando la masa se aleja del eje de rotacion.

Vamos a estudiar el problema unidimensional equivalente, es decir aquel sistema unidimen-sional cuya energıa posee la misma forma funcional en la coordenadaθ que el Hamiltonianoconservado de nuestro sistema real:

”E” =12ma2

.θ2 −1

2ma2ω2 sin2 θ −mga. cos θ

La energıa potencial de este problema unidimensional es:

76


Vefectivo(θ) = −ma[12aω2 sin2 θ + g. cos θ]

cuya derivada:

dVefdθ

= −ma[aω2 sin θ. cos θ − g sin θ]

se anula enθ = 0, θ = π y cuandog < aω2 existe una tercera raız enθ0 = arc cos( gaω2 ). Existen

ademas raıces para valores negativos deθ : θ = −θ0, θ = −π pues el potencialVef es una funcionpar deθ. Los extremos seran maximos o mınimos segun como sea el signo de la derivada segundaen cada uno de esos valores deθ :

d2Vefdθ2

= −ma[aω2(cos2 θ − sin2 θ)− g cos θ]

Podemos ver que

d2Vefdθ2

| θ=0 = ma(g − aω2)

d2Vefdθ2

| θ=π = −ma(g + aω2)

y cuandog < aω2:

d2Vefdθ2

|θ=0= ma2ω2[1− (g

aω2)2]

Entonces cuandog > aω2 hay dos extremos, el deθ = 0 es un mınimo y el deθ = π unmaximo. Cuando hay tres extremos, los deθ = 0 y θ = π corresponden a maximos, y el deθ = arc cos( g

aω2 ) es un mınimo.En la figura 2.7 representamos el potencial para las dos posibilidades:g < aω2 o g > aω2.

Analizando el movimiento para pequenos valores de la velocidad de rotacion angularω en-contramos que el puntoθ = 0 es un punto de equilibrio estable del problema unidimensional

equivalente. En cambio cuando se consideren valoresω >√

ga el punto de equilibrio estable se

desplaza alangulo:

θ0 = arc cos(g

aω2)

En este caso la trayectoria de la partıcula en el problema real es una circunferencia de radior0 = a. sin θ0. La orbita circular es estable, pues si le asignamos a la partıcula como condicionesinicialesθ(t = 0) = θ0 y un valor pequeno pero no nulo a la velocidad

.θ (t = 0), vemos del

potencial efectivo de la figura que el sistema realizara pequenas oscilaciones alrededor del valorθ0.

En el lımiteω →∞ el punto de equilibrioθ0 → π2 .

77

MECANICA CL ASICA

Figura 2.7:Las dos clases de potencial efectivo posibles segun queg/aω2 sea mayor o menor que la unidad

2.12. Potencial generalizado. (Opcional)

Las ecuaciones de Lagrange (2.15):

d

dt

∂T

∂.qj− ∂T

∂qj−Qj = 0

j = 1, ..,3N −K

pueden ponerse en la forma (2.16):

d

dt

∂L

∂.qj− ∂L

∂qj= 0 (2.53)

j = 1, ..,3N −K

L(q, .q) = T (q,

.q)− V (q)

aun en ciertos casos en que las fuerzas actuantes no sean conservativas. Por ejemplo, se puedenobtener ecuaciones del tipo 2.53) si las fuerzas son derivables de una funcionU que depende delas coordenadas y velocidades de la forma siguiente:

78


Qj = −∂U∂qj

+d

dt

∂U

∂.qj

(2.54)

Definiendo el Lagrangiano comoL = T−U , las ecuaciones del movimiento retienen la forma(2.53). La funcionU se denomina potencial generalizado o dependiente de la velocidad.

Un ejemplo practico de aplicacion lo constituye el movimiento de una partıcula en un campoelectromagnetico, donde la fuerza actuante depende del campo electrico

−→E e induccion magnetica−→

B :

−→F = q(−→E +−→v ×−→B )

dondeq es la carga de la partıcula y−→v su velocidad. Esta es la llamada fuerza de Lorentz. Lasecuaciones de Maxwell relacionan los vectores

−→E y

−→B con las densidades de cargaρ y corriente−→

j presentes. La induccion magnetica tiene divergencia nula (debido a la no existencia de cargamagnetica):

−→∇−→r .−→B (−→r ) = 0

Esta ecuacion es satisfecha automaticamente si representamos a−→B como el rotor de un vector,

que llamamos vector potencial:

−→B (−→r ) = −→∇−→r ×

−→A (−→r ) (2.55)

Por su parte, el campo electrico tiene divergencia proporcional a la carga electrica presente:

−→∇−→r .−→E (−→r ) =

1ε0ρ(−→r )

dondeε0 es una constante (llamada permitividad del vacıo). El campo electrico ademas satisfacela ley de induccion magnetica de Faraday que define el rotor de

−→E :

−→∇−→r ×−→E (−→r ) = −∂

−→B (−→r )∂t

Las dos condiciones precedentes definen unıvocamente el campo electrico, que puede ser ex-presado de la siguiente forma:

−→E (−→r ) = −−→∇−→r φ(−→r )− ∂

−→A (−→r )∂t

(2.56)

dondeφ es el potencial electrostatico que da cuenta de la componente (irrotacional) de campoelectrico producida por las cargas presentes:

∇2φ(−→r ) = − 1ε0ρ(−→r )

Los resultados (2.55) y (2.56) permiten expresar la fuerza de Lorentz en terminos de los po-tenciales electricoφ y magnetico

−→A :

79

MECANICA CL ASICA

−→F = q[−−→∇−→r φ(−→r )− ∂

−→A

∂t+−→v ×−→∇−→r ×

−→A ] (2.57)

Haciendo uso de la relacion:

−→v ×−→∇−→r ×−→A = −→∇−→r (−→v .−→A )− (−→v .−→∇−→r )−→A

y recordando que

d−→A

dt=∂−→A

∂t+ (−→v .−→∇−→r )−→A

podemos escribir (2.57) de la forma:

−→F = q−−→∇−→r [φ(−→r )−−→v .−→A ]− d

−→A

dt (2.58)

Como los potencialesφ y−→A no dependen de−→v , es valido efectuar el siguiente reemplazo:

−→A = −→∇−→v (−→v .−→A )

con lo que (2.58) resulta:

−→F = q−−→∇−→r [φ(−→r )−−→v .−→A ] + q

d

dt

−→∇−→v [φ(−→r )−−→v .−→A ] (2.59)

Hemos encontrado entonces el potencial generalizado:

V (−→r ,−→v , t) = qφ(−→r )− q−→v .−→A (2.60)

que reproduce segun la ecuacion (2.54) la fuerza a la que esta sometida una partıcula de cargaq en un campo electromagnetico definido por el potencial electricoφ y el magnetico

−→A. Este es

un resultado de extrema importancia dada la trascendencia de las fuerzas electromagneticas en lafısica macro y microscopica.

2.13. Problemas

1. Utilizando el principio de los trabajos virtuales hallar la posicion de equilibrio de la barrahomogenea de la figura 2.8. No hay roce.

2. Escribir el Lagrangiano de un pendulo de masaM cuyo punto de suspension es en realidadotra masam que puede deslizar sin roce en direccion horizontal. Ver figura 2.9. No hay roce.

a) Determinar las ecuaciones de movimiento.b) Encuentre alguna integral del movimiento.c) Resuelva el problema en el regimen de pequenas oscilaciones en torno del punto de equi-

librio.

80


Figura 2.8:Problema 1

3. Una partıcula de masam desliza sin roce desde el punto mas alto de una esfera de radioR.Ver figura 2.10.

a) Calcular la altura a la que la partıcula se separa de la esfera.b) Calcular el valor de la fuerza de vınculo hasta el despegue usando multiplicadores de La-

grange.

4. Dos partıculas de masasm1 ym2 estan unidas por un hilo, como muestra la figura 2.11.m1

desliza sobre la mesa sin rozamiento ym2 solo se mueve verticalmente. En el instante inicialm1

se encuentra a distanciar0 del orificio y se le imprime una velocidadv0 perpendicular al hilo.a) Escriba las ecuaciones de Lagrange y determine las integrales del movimiento.b) Grafique el potencial efectivo que puede definir a partir del problema unidimensional equi-

valente.c) Halle la tension del hilo.

5. Una esferita de masam esta enhebrada en un alambre recto rıgido y puede deslizar sinrozamiento (figura 2.12). Actua la fuerza de gravedad.

La masam desliza por el alambre sujeta a la fuerza de gravedad.5.1: Cuando el alambre esta forzado a rotar en un plano vertical con velocidad angular cons-

tanteω:a) Escriba el Lagrangiano y determine las ecuaciones del movimiento.

81

MECANICA CL ASICA


b) Indique si se conservan el Hamiltoniano y/o la energıa.5.2: Repita el analisis cuando el alambre puede rotar libremente en el plano vertical por lo que

se agrega un grado de libertad angular. Indique que magnitudes dinamicas se conservan en estecaso.

El alambre se ve forzado a girar en el plano vertical en torno del puntoO en el primer caso, ypuede rotar libremente en torno de ese punto en el segundo.

6. Una partıcula se mueve en el campo gravitatorio partiendo con velocidad inicial nula desdeun punto(x1, y1) hasta un punto(x2, y2) a menor altura. Encontrar el camino que permite a lapartıcula realizar el trayecto en el menor tiempo posible.

7. Enoptica geometrica la trayectoria de los rayos de luz en un medio deındice de refraccionn(−→r ) entre dos puntosA y B se determina a partir del Principio de Fermat: la trayectoria es unextremo de la siguiente funcional:

I =∫ B

An(−→r )dS

dondedS es la longitud del elemento de arco. El tiempo que tarda la luz en ir deA aB es engeneral un mınimo respecto de caminos cercanos al que efectivamente sigue el rayo.

7.1 Probar la Ley de Snell a partir del Principio de Fermat.7.2 Demostrar que la trayectoria de un rayo de luz en un medio inhomogeneo deındice de

refraccionN(−→r ) satisface la ecuacion diferencial

d

dS(nd−→rdS

) = ∇n

82




83

MECANICA CL ASICA


84

Capıtulo 3

Problema de dos cuerpos con fuerzas centrales

3.1. Introducci on

La aplicacion mas trascendental de las ecuaciones de Newton ha sido sin dudas la que realizarael mismo Newton para interpretar las leyes sobre el movimiento de los planetas enunciadas porKepler. Dado que las fuerzas entre planetas son muy debiles frente al campo de fuerzas generadopor el Sol, el problema a resolver es aproximadamente el de dos cuerpos aislados sometidos a lafuerza interna de accion y reaccion. La consistencia entre las leyes de la dinamica propuestas porNewton y las de Kepler extraıdas de las observaciones determino la forma funcional de la fuerzade gravedad, llamada ley de gravitacion universal.

En este Capıtulo y el siguiente trataremos el sistema de dos partıculas sometidas a fuerzasinternas colineales, dirigidas a lo largo de la recta definida por sus vectores de posicion.

La bibliografıa recomendada tiene en primer lugar el libro Mecanica de Landau y Lifshitz[2],que conjuga sıntesis, claridad y rigor en la descripcion de la cinematica de la colision entre doscuerpos. Otras recomendaciones son Mecanica Clasica de Goldstein[1] y Classical Dynamics ofParticles and Systems de Marion y Thornton[10].

3.2. Problema de una partıcula equivalente

Estudiaremos un sistema consistente en dos partıculas que interactuan mediante fuerzas con-servativas dependientes solamente de la distancia que las separa y orientadas en la direccion defini-da por la recta que pasa por las partıculas fuerzas centrales). Tenemos seis coordenadas indepen-dientes que pueden ser los vectores−→r ′1,−→r ′2 de la figura 3.1, pero es mas conveniente elegir tresellas como las coordenadas

−→R del centro de masas:

Aplicando la formulacion lagrangiana al problema y recordando que la energıa cinetica es lacorrespondiente al centro de masas mas la relativa al mismo (ecuacion 1.27):

L =12(m1 +m2)

.−→R

2

+12m1

.−→r12

+12m2

.−→r22−V (r)

Debido a la inclusion de−→R entre las variables, los vectores−→r1 y −→r2 no son independientes:

m1−→r 1 +m2

−→r 2 = 0

85

MECANICA CL ASICA

Figura 3.1:Vectores posicion de dos partıculas referidos a un punto externo y al centro de masas

y es conveniente elegir a−→r = −→r 1 −−→r 2 como el otro vector definitorio del sistema:

−→r1 =m2

m1 +m2

−→r

−→r2 = − m1

m1 +m2

−→r

Entonces:

L =12(m1 +m2)

.−→R

2

+12

m1m2

m1 +m2

.−→r2−V (r) (3.1)

Vemos que−→R es una coordenada cıclica; hay por lo tanto tres constantes del movimiento que

son las tres componentes del impulso lineal total

(m1 +m2).−→R= constante

EL CENTRO DE MASAS SE MUEVE CON VELOCIDAD UNIFORME Y EL PROBLEMA SE REDUCE A

ENCONTRAR LA EVOLUCION DE LAS COORDENADAS DE UNA PARTICULA RESPECTO DE LA OTRA.

Debido a que el Lagrangiano no presenta terminos que mezclan−→R y −→r , las ecuaciones del

movimiento para estaultima coordenada no dependen de la presencia del primer termino de (3.1),que puede ignorarse en el futuro:

86

PROBLEMA DE DOS CUERPOS CON FUERZAS CENTRALES

L(−→r ,.−→r ) =

12µ

.−→r2−V (r)

µ =m1m2

m1 +m2(3.2)

EL LAGRANGIANO (3.2) ES EL MISMO QUE CORRESPONDE A UNA PARTICULA DE MASA µMOVI ENDOSE EN UN CAMPO CENTRALV(r), POR LO TANTO LA SOLUCION SERA LA MISMA EN

AMBOS CASOS.

La solucion−→r = −→r (t) da la posicion de la partıcula 2 respecto de la 1. Este es el problemade una partıcula equivalente al problema de los dos cuerpos, el vector posicion−→r de esta partıculaesta referido a un sistema inercial.

3.3. Constantes del movimiento

Ya vimos que de la homogeneidad del espacio en que se mueven las partıculas surgio la con-servacion del impulso lineal total y por consiguiente la uniformidad del movimiento del centro demasas. Ahora vamos a estudiar las constantes del movimiento para el problema equivalente, enque una partıcula de masaµ se mueve en el campo de fuerzas centralV (r); el impulso lineal dela partıcula no es una constante del movimiento pues hay una fuerza externa aplicada al sistema:el espacio no es homogeneo (la partıcula diferencia puntos con diferentes valores de r), pero siguesiendo isotropico (son equivalentes todos los puntos sobre una esfera) y por lo tanto se conservael impulso angular total de la partıcula: verificamosesto porque estando la fuerza orientada en ladireccion de−→r el torque referido al centro de fuerzas es nulo:

−→N = −→r ×−→F = −→r × C(r).−→r = 0

Siendo la direccion del vector impulso angular−→ = −→r × µ

.−→r constante,

EL VECTOR POSICION−→r SOLAMENTE PODRA EVOLUCIONAR EN UN PLANO NORMAL A−→

QUE

QUEDARA ESPECIFICADO POR LA VELOCIDAD INICIAL DE LA PARTICULA .

Definiendo un sistema de coordenadas polaresr, θ en dicho plano obtenemos la siguienteexpresion para el Lagrangiano (3.2):

L(r,.r, θ,

.θ) =

12µ(

.r2 +r2

.θ2)− V (r)

La coordenadaθ es cıclica, y vemos que el momento canonico conjugado es el modulo delimpulso angular:

∂L

∂.θ

= µr2·θ= ` (3.3)

87

MECANICA CL ASICA

Porultimo, haremos uso de la constancia de la energıa por ser la fuerza conservativa para en-contrar otra ecuacion diferencial de primer orden que junto con (3.3) permita resolver el problema:

E =12µ(

.r2 +r2

.θ2) + V (r) (3.4)

=12µ

.r2 +

12`2

µr2+ V (r)

3.4. Problema unidimensional equivalente

La forma (3.4) de la energıa total admite la interpretacion del termino centrıfugo 12`2

µr2asociado

a la rotacion de la partıcula como perteneciente al potencial:

Vef (r) = V (r) +12`2

µr2(3.5)

quedando la energıa cinetica reducida al termino radial12µ·r2;

LAS ENERGIAS CINETICA Y POTENCIAL SON LAS MISMAS QUE CORRESPONDEN A UNA PARTICULA

DE MASA µ MOVI ENDOSE EN EL POTENCIAL UNIDIMENSIONALVef (r).

Este es el problema unidimensional equivalente al problema de una partıcula en un campocentral de fuerzas, siendo su ecuacion del movimiento

µ..r= Fef (r) = −dVef (r)

dr(3.6)

Haciendo uso de esta similitud vamos a obtener algunas propiedades del movimiento de unapartıcula en un campo central, determinadas a partir de la conservacion de la energıa total (3.4).Una vez conocido el valor del impulso angular para el sistema real en estudio, podremos hallar elpotencial efectivo (3.5) para el problema unidimensional equivalente:

El termino centrıfugo provee un potencial repulsivo que para una energıaE constante dismi-nuye el valor de la energıa cinetica radial12µ

.r2; ello se debe a que para mantener un valor fijo del

impulso angular la velocidad de rotacion r.θ debera ser proporcional a1/r, por lo que contribuye

proporcionalmente a1/r2 al valor de la energıa cinetica.La naturaleza de laorbita seguida por la partıcula dependera de la energıa totalE (tomamos

la energıa potencial igual a cero parar → ∞). Si la energıa es mayor que cero existe un valormınimo r1 para la coordenada r mientras que no hay lımite superior para la misma, por lo que laorbita es no acotada. Para energıas negativas existira un lımite superiorr′2 y uno inferiorr′1 para ladistancia de la partıcula al centro de potencial llamados puntos de retorno, y laorbita es acotadapero no necesariamente cerrada. Demostraremos al final de este capıtulo que para potenciales deltipoKrn+1 se obtienenorbitas cerradas paran = 1 y n = −2. Existe un caso lımite de energıas:aquel en que el valor de la coordenada radial es constante:r = r′′1 ; la orbita sera entonces unacircunferencia, y estamos en un mınimo del potencial efectivo por lo que la fuerza actuante sobrela partıcula en el sistema unidimensional equivalente es nula:

88


Figura 3.2:Potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente. Se considera V(r)=-1/r

Fef = −∂Vef∂r

= 0 = −∂V∂r

+`2

µr3(3.7)

El termino `2

µr3se llama fuerza centrıfuga, para la partıcula de masaµmoviendose en el poten-

cial V (r) dicho termino representa el producto de la masa por la aceleracion radial de la partıcula:

`2

µr3= µr

.θ2

Si el potencial no varıa monotonicamente como en la figura 3.2, se presenta una mayor varie-dad deorbitas posibles como vemos en el ejemplo de la figura 3.3.

Veamos los diferentes tipos deorbitas que produce el potencial para diferentes valores de laenergıaE e impulso angular :

E > E1 : orbita no acotada, pasa por el origen.E < E1, region I: orbita acotada, pasa por el origen.0 < E < E1, region II: orbita no acotada, no pasa por el origen.E2 < E < 0 region III: orbita acotada, no pasa por el origen.E = E1: circunferencia,orbita inestable.E = E2: circunferencia,orbita estable.El caso en que la energıaE coincide con el maximoE1 del potencial del problema unidimen-

sional equivalente se produce la orbitacion de la partıcula:esta incide desde infinito y al acercarse

89

MECANICA CL ASICA

Figura 3.3:Ejemplo de potencial unidimensional equivalente. Se consideraV (r) = − 1r3 + 2

r2 − 1r

al maximo disminuye su velocidad radial hasta anularse en el lımite r → rM . La partıcula con-serva su velocidad angular constante en ese lımite dado que el impulso angular es una integraldel movimiento, y por lo tanto laorbita es una espiral que tiende a una circunferencia de radior = rM . La figura 3.4 presenta la trayectoria de orbitacion para el potencial de la figura 3.3.

3.5. Ecuaciones del movimiento y de la orbita

La constancia del impulso angular y la energıa de una partıcula moviendose en un campocentral nos ayudan a encontrar la dependencia temporal de las dos coordenadasr(t), θ(t): enlugar del segundo orden de las ecuaciones de Newton tenemos ecuaciones diferenciales de primerorden

` = µr2.θ (3.8)

E =12µ

.r2 +

12`2

µr2+ V (r) (3.9)

La energıaE provee una ecuacion (3.9) exclusivamente enr que permite resolver el problema,ya que conocidor como funcion del tiempor = r(t) reemplazandola en (3.8) determinaθ = θ(t).La ecuacion diferencial satisfecha porr es:

dr

dt= ±

√2µ

[E − 12`2

µr2− V (r)] (3.10)

90


Figura 3.4:Fenomeno de orbitacion para el potencial central de la figura3.3

que puede integrarse de inmediato agrupando la dependencia enr en un solo miembro de laecuacion

dt = ± dr√2µ [E − 1

2`2

µr2+ V (r)]

(3.11)

produciendo la solucion

t− t0 = ±∫ r

r0

dr√2µ [E − 1

2`2

µr2+ V (r)]

(3.12)

r0 = r(t0) es una condicion inicial requerida para describir el sistema fısico. Invirtiendo la funcion(3.12) obtenemos la dependencia temporal buscadar = r(t). Reemplazando luegor(t) en laecuacion (3.8) generada por la constancia del impulso angular determinamosθ(t):

θ(t)− θ0 =∫ t

t0dt

`

µr2(t)

El doble signo de la ecuacion (3.10) proviene de que la energıa determina solamente el modulode la velocidad radial. Las condiciones iniciales para que la solucion de la ecuacion de Newtonsea unıvoca piden conocer el valor der y de la velocidaddr/dt al tiempot0; debemos entoncesincorporar en (3.12) el signo que tienedr/dt al tiempot0.

Al realizar esta integral llegaremos a un valor der donde el denominador, que representa laenergıa radial del movimiento, se anula. Ese es un punto de retorno de la trayectoria, y a partirde allı cambia el signo de la velocidad radial. La razon de estos cambios de signo en la ecuacion

91

MECANICA CL ASICA

(3.11) es entonces muy sencilla:dr es negativo o positivo segun cual sea el signo de la velocidadradial mientras que el tiempo solo puede crecer:dt > 0.

La orbita o trayectoria de la partıcula es la relacion que liga a las coordenadas

r = r(θ)

La ecuacion diferencial que la determina es similar a la que satisfacer(t), pues vemos de (3.8)que

dθ =`

µr2dt

reemplazada en (3.11):

dθ = ± `dr

µr2√

2µ [E − 1

2`2

µr2+ V (r)]

nos da la relacion r ↔ θ buscada

θ(r)− θ(r0) = ±∫ r

r0

`dr

µr2√

2µ [E − 1

2`2

µr2+ V (r)]

(3.13)

Concluımos que es sencillo encontrar la solucion al movimiento de una partıcula en un campocentral: dependiendo de la ley de fuerzasV (r) las integrales (3.12) y (3.13) se resuelven en formaanalıtica, de lo contrario la solucion requiere de una simple cuadratura numerica.

El resultado (3.13) nos permite hallar una importante propiedad de laorbita cual es su simetrıade reflexion respecto de la direccion definida por el centro de fuerzas y un punto de retorno; parasimplificar el analisis tomamos esta direccion como origen de la coordenada angular:θ(r0) = 0.Vemos que la cuadratura del segundo miembro de (3.13) hasta un dado valor der produce elmismo valor deθ salvo por el cambio de signo segun estemos en la rama entrante o saliente de laorbita. Encontramos entonces que

r(θ) = r(−θ)

probando la simetrıa de reflexion de laorbita respecto de las direcciones definidas por el origen ylos diferentes puntos de retorno, de maximo acercamiento o alejamiento:

LA ORBITA DE UNA PARTICULA EN UN CAMPO CENTRAL DE FUERZAS TIENE COMO EJES DE

SIMETRIA A TODAS LAS DIRECCIONES DEFINIDAS POR EL CENTRO DE FUERZAS Y LOS PUNTOS DE

RETORNO.

La figura 3.5 muestra graficamente esta propiedad para un caso especıfico deorbita acotada yabierta.

92


Figura 3.5:Orbita acotada no cerrada producida por un potencial que tiene un mınimo a una distanciafinita del centro de fuerzas

3.6. Aplicaci on a potenciales del tipo 1/r

Consideraremos el caso de potencialesV (r) = −k/r que comprenden dos interacciones fun-damentales de la Fısica clasica: la ley de Coulomb entre cargas electricas y la ley de gravitacionuniversal entre masas.

Partiendo de un punto(r0, θ0) integremos la ecuacion (3.13) para este potencial entre ese puntoy uno generico(r, θ). El resultado es analıtico:

θ − θ0 = arc cos[αr − 1ε

]− arc cos[αr0− 1ε

] (3.14)

donde

α =`2

µk(3.15)

ε =

√1 +

2E`2

µk2(3.16)

siendo el radicando siempre mayor o igual a cero. Tomando el origenθ0 para medirθ tal que

θ0 = arc cos[αr0− 1ε

]

la ecuacion de laorbita (3.14) se reduce a

93

MECANICA CL ASICA

α

r= 1 + ε cos θ (3.17)

que es la expresion de una seccion conica con un foco en el origen (centro de fuerzas).[11][12]Las secciones conicas son elipses, parabolas o hiperbolas, definidas por el valor que adopte laexcentricidadε. El anguloθ en (3.17) se mide a partir de la direccion de maximo acercamiento dela partıcula al centro de fuerzas.

El parametroα se denomina latus-rectum (ver figura 3.6) y representa la distancia del foco alpunto de la conica en la direccion normal al eje de simetrıa de laorbita (pues paracos θ = 0 esr = α).

La excentricidadε depende del valor de la energıaE y el impulso angular. La seccion conicasera una elipse (orbita cerrada) siε < 1, lo que implicaE < 0; tendremos una parabola cuandoε = 1 que se obtiene conE = 0; si ε > 1 la trayectoria sera una hiperbola y corresponde aE > 0.La figura 3.6 muestra esta variedad deorbitas para el caso en que todas ellas comparten un puntoen comun y tienen diferentes valores de la energıa. Siε = 0 la orbita es una circunferencia, lo cualocurre para

1 + 2E`2

µk2= 0

es decir

E = −µk2

2`2(3.18)

Podemos probar queese es el mınimo valor del potencial efectivo:

E = − k

rm+

`2

2µr2m= Vef (rm) (3.19)

comorm corresponde al mınimo deVef debe satisfacer:

dVef (r)dr

=k

r2m− `2

µr3m= 0

que produce:

rm =`2

µk

Reemplazando este valor en (3.19):

E = −µk2

2`2

que verifica la condicion (3.18) paraorbitas circulares.

94


3.7. Conexi on entre energıa y orbita para elpotencial gravitatorio. (Opcional)

La ecuacion 3.17 define laorbita que sigue una partıcula en un potencial del tipo−k/r. Enesta Seccion vamos a estudiar las trayectorias que surgen al variar las condiciones iniciales delmovimiento, que pueden fijarse mediante la posicion y velocidad inicial de la partıcula. Tomamoscomo posicion inicial−→r 0 un puntoO de retorno (apside) de la trayectoria referida al centro defuerzas, por lo que la velocidad inicial−→v T sera perpendicular al vector posicion inicial. Obtene-mos:

E = − k

r0+

12µv2

T

` = µr0vT

y los parametrosα y ε resultan las siguientes funciones der0, vT :

α =µr20v

2T

k

ε =

√1− 2µr0v2

T

k+µ2r20v

4T

k2

=

∣∣∣∣∣1− 2µr0v2T

k

∣∣∣∣∣Comenzamos considerando la mınima energıa que puede poseer la partıcula ubicada en el

puntor0, que corresponde avT = 0:

α = 0 , ε = 1

que impone como restriccion para los puntos de la trayectoria

cos θ = −1

representada por la curva A en la figura 3.6. La partıcula es atraıda al centro de fuerzas, la trayec-toria pasa por el mismo y oscila entre los puntos extremos±−→r 0. Este de impulso angular` = 0es un caso lımite de movimiento en un campo central no comprendido en la primera ley de Keplerpara el movimiento planetario pues la trayectoria no es una elipse con el centro de fuerzas en unode los focos.

Cuando le asignamos un valor pequeno pero no nulo a la velocidad inicial

α ∼= αB =µr20v

2T

k

95

MECANICA CL ASICA

ε ∼= εB = 1− 2µr0v2T

k+ o(v4

T )

el parametroα es un infinitesimo de segundo orden envT en tanto la excentricidadε difiere de launidad tambien en un infinitesimo de ese orden. Dado que la energıa es negativa laorbita sera unaelipse

αBr

= 1 + εB cos θ

que tiene como distancias de acercamiento y alejamiento maximos los valores:

rmın =α

1 + εB(3.20)

rmax =α

1− εB(3.21)

esto es:

rmın∼=αB2

rmax∼= −αBµk

2

EB`2B= − k

EB∼= r0

El puntor0 es el apocentro (afelio en movimiento planetario) o sea el punto mas alejado delcentro de fuerzas. La elipse descrita se asemeja mucho a una trayectoria rectilınea, pero ahorala orbita no pasa por el centro de fuerzas sino que lo rodea acercandose a una pequena distancia

rmın = µr20v2T

2k del mismo. La trayectoria es la B de la figura 3.6.Para valores crecientes de la velocidad inicialvT la excentricidad

ε = 1− 2µr0v2T

k

disminuye hasta alcanzar el mınimo absolutoε = 0. Las distancias de maximo acercamiento yalejamiento, que determinan las posiciones de los focos de la elipse, comienzan a acercarse comovemos de las ecuaciones (3.21), y cuando la excentricidad se anula

vT = vC =

√k

2µr0(3.22)

la orbita se transforma en una circunferencia segun vemos de la ecuacion (3.17) de la trayectoria

α

r= 1

En este lımite, los focos de la elipse definidos en (3.21) se funden en un punto que es el centrode la circunferencia C, como vemos en la figura 3.6.

96


Figura 3.6:Orbitas de diferentes energıas en un potencial−k/r que comparten un punto (uno de losapsides), el centro de fuerzas se situa en uno de los focos en el caso de elipses, o en el foco en el caso deparabolas o de hiperbolas, siendo un punto diferente para cadaorbita

Para valores superioresvT > vC la excentricidad ahora es

ε =2µr0v2

T

k− 1

y comienza a crecer desde cero hasta alcanzar la unidad parax = 2µr0v2Tk = 2. En este rango la

distancia de maximo acercamiento de la partıcula al origen de coordenadas es:

rmın =α

1 + ε= r0

indicando que ahora el centro de fuerzas esta ubicado en el foco de la elipse mas cercano a laposicion inicial.

Se alcanza el valor unitario de la excentricidad cuando:

ε = 1 ⇒ vT =

√k

µr0(3.23)

para este valor de la velocidad inicial la energıa del movimiento resulta:

E = − k

r0+

12µv2

T = 0

97

MECANICA CL ASICA

y la trayectoriaP correspondiente es una parabola. Para valores mayores al de (3.23) de la veloci-dad tangencial la excentricidad es

ε > 1

y las trayectoriasH son hiperbolas.En nuestro analisis de la trayectoria partiendo de la mınima energıa potencial de la partıcula

en el punto de retornoO, vemos que el focoG de la elipse donde no se encuentra el centro defuerzas comienza a moverse desde su posicion inicial (Ec.3.21)

rGO =µr20v

2T

2kpara

vT → 0

y se cruza con el centro de fuerzas (Ec.3.22):

rGO = r0vT =

√k

2µr0

para

vT =

√k

2µr0La dependencia funcional de la distanciaGO convT es:

rGO =µr20v

2T

2k − 2µr0v2T

hasta el lımite de energıa nula (Ec.3.23) donde laorbita elıptica se transforma en una parabola y:

rGO →∞

para

vT →√

k

µr0

La figura 3.7 muestra la funcion rGO(vT ).

3.8. Ley de fuerzas entre masas a partir de lasleyes de Kepler. (Opcional)

En esta Seccion vamos a mostrar como a partir de la observacion del movimiento de los pla-netas en susorbitas en torno del Sol se puede deducir rigurosamente la ley de fuerzas entre masas,llamada ley de gravitacion universal.

Johannes Kepler (1571-1630) se dedico al estudio de la Astronomıa en tiempos donde GalileoGalilei y Tycho Brahe eran los referentes en este campo. Esteultimo poseıa las compilaciones mas

98


Figura 3.7:Distancia entre el punto de retornoO y el focoG de la elipse que no corresponde al centro defuerzas

precisas del movimiento de los planetas resultado de sus observaciones a ojo desnudo a lo largode muchos anos, en tanto Galileo introdujo el uso del telescopio en observaciones astronomicas.A partir de los datos de Brahe sobre la posicion del planeta Marte en el cielo nocturno Keplerenuncio sus famosas tres leyes sobre el movimiento de los planetas entre 1609 y 1619. Partiendode estas leyes pudo Newton determinar la forma funcional de la fuerza de interaccion entre doscuerpos o ley de gravitacion universal.

Vamos a utilizar las dos primeras leyes de Kepler para determinar la dependencia funcional dela fuerza atractiva entre masas;estas dicen:

1. LAS ORBITAS SEGUIDAS POR LOS PLANETAS SON ELIPSES CON ELSOL UBICADO EN UNO DE LOS

FOCOS.

2. EL AREA BARRIDA POR UNIDAD DE TIEMPO POR EL VECTOR QUE VA DELSOL A UN PLANETA ES

CONSTANTE: LA VELOCIDAD AREOLAR r2.

θ ES CONSTANTE, COMO RESULTADO DE LA

CONSERVACION DEL IMPULSO ANGULAR.

Consideremos unaorbita elıptica definida por la relacion r = r(θ) y estudiemos la dinamicadel movimiento en la region de losapsides,estos son los puntos de maximo acercamiento (peri-centro) y maximo alejamiento ( apocentro) respecto del centro de fuerzas (Figura 3.8).

En el caso de unaorbita planetaria en torno del Sol, losapsides se denominan perihelio y afeliorespectivamente. En dichos puntos es

.r= 0 y ademas

.θ es un extremo debido a la constancia del

impulso angular:

.θ=

`

µr2

por lo tanto..θ= 0. La ecuacion del movimiento es:

99

MECANICA CL ASICA

Figura 3.8:Orbita planetaria

F (r1) = m(..r1 −r1

.θ1

2) (3.24)

Analizamos la aceleracion radial empleando aθ como variable intermedia:

dr

dt=dr

dθ

dθ

dt

d2r1dt2

|θ1=0=

(d2r1dθ2

1

.θ1

2+dr1dθ1

..θ1

)|θ1=0=

d2r1dθ2

1

.θ1

2|θ1=0

entonces, en la region del perihelio la ecuacion de Newton (3.24) resulta:

F (rmın) = m(d2r1dθ2

1

− r1).θ1

2|r1=rmın,θ1=0

mientras que para el afelio vamos a usar el par de coordenadas(r2, θ2). Aquı tambien esr2 = rmın

F (rM ) = m(d2r2dθ2

2

− r2).θ2

2|r2=rmın,θ2=0

Es evidente que por simetrıa de la elipse el termino entre parentesis es el mismo en ambasexpresiones. Entonces:

F (rm)F (rM )

=

.θ1

2|r1=rm,θ1=0

.θ2

2|r2=rm,θ2=0

(3.25)

100


Por otro lado, por definicion las velocidades angulares en esta region satisfacen la relacion:

rmax

.θ1|θ1=π= rmın

.θ2|θ2=0

esto es:

.θ2|θ2=0=

rmax

rmın

.θ1|θ1=π (3.26)

Empleando la segunda ley de Kepler que indica la constancia de la velocidad areolar, tambiendebe cumplirse que:

r2max

.θ1|θ1=π= r2mın

.θ1|θ1=0

entonces:

.θ1|θ1=π=

r2mın

r2max

.θ1|θ1=0 (3.27)

y reemplazando (3.27) en (3.26):

.θ2|θ2=0=

rmın

rmax

.θ1|θ1=0

Este resultado permite expresar la relacion de fuerzas en losapsides (3.25) en terminos de lasdistancias al centro de fuerzas:

F (rmın)F (rmax)

= (rmax

rmın)2 (3.28)

Si las orbitas cerradas generadas por el centro de fuerzas son elipses, dandoles condicionesadecuadas a las constantes del movimientoE, ` podemos hacer que la elipse pase por un punto−→r cualquiera yeste sea el punto mas alejado del centro de fuerzas (afelio). La distancia de maxi-mo acercamiento la podemos elegir arbitrariamente; tomandola constante independientemente delpunto−→r elegido obtenemos de (3.28)

F (r) =[F (rmın)r2mın]

r2=C

r2(3.29)

Para los puntos del plano conr < rmın podemos tomarrmın como la distancia de maximoalejamiento y definir una elipse cuyo perihelio sea el punto−→r , segun mostramos en la figura 3.9.

De esta manera la expresion (3.29) es una formula valida para cualquier punto del plano yrepresenta la ley de fuerzas. Hemos demostrado entonces la condicion necesaria para que losplanetas describan elipses con el Sol en uno de sus focos y evolucionen conservando constante lavelocidad areolar: que la ley de fuerzas sea proporcional al inverso del cuadrado de la distanciaentre ambos.

La constanteF (rmın)r2mın no depende del valorrmın elegido segun vemos de la misma ecuacion(3.28), pero podra depender de parametros propios de los cuerpos. Se prueba experimentalmenteque la fuerza de atraccion entre dos partıculas de masasm1 y m2 es

101

MECANICA CL ASICA

Figura 3.9:La elipse menor tiene un afelio (apocentro) igual al perihelio (pericentro) de la mayor. Variandoel afelio de la mayor y el perihelio de la menor las elipses cubren todos los puntos del plano

F (r) = −gm1m2

r2(3.30)

dondeg es una constante universal:

g = 6, 67× 10−11

[Newton.m2

Kg2

]

3.9. ¿Que potenciales producen orbitas cerradas? Teoremade Bertrand. (Opcional)

Vamos a probar que losunicos potenciales centrales cuyasorbitas acotadas son cerradas sonel gravitatorio (o Coulombiano)−k/ry el armonico kr2. La demostracion esta inspirada en eltrabajo de Lowell S. Brown[13], en tanto quien presento este resultado por primera vez fue M. J.Bertrand[14].

Consideramosorbitas acotadas que no pasan por el centro de fuerzas, ya que usando la simetrıade laorbita frente a la inversion del tiempo se puede probar que aquellas que pasan por este puntoson cerradas. Si laorbita es acotada y no pasa por el centro de fuerzas, el potencial efectivo debepresentar un mınimo para un valorr0 de la coordenada radial; existe entonces unaorbita circulardonde la fuerza efectiva dada por (3.7) es nula:

Fef (r0) = F (r0) +`20µr30

= 0 (3.31)

102


Esta es obviamente unaorbita cerrada; veamos siorbitas vecinas obtenidas de la anteriormediante una pequena modificacion `

′del impulso angular tambien son cerradas: cuando`0 →

` = `0 + `′

la coordenada radial cambia en forma acorde:r0 → r = r0 + r′. Ahora la fuerza

efectiva no es mas constante, y para pequenos desvıos de laorbita circular:

Fef (r0 + r′) =

(dF (r0)dr0

− 3`20µr40

)r

′(3.32)

La ecuacion radial (3.6) resulta la de un oscilador armonico:

µ..

r′= −kr′

donde:

k =3`20µr40

− dF (r0)dr0

(3.33)

La coordenada radial oscila alrededor del valorr0 con frecuencia

ω0 =√k/µ (3.34)

La orbita sera cerrada si luego deP giros en torno del centro de fuerzas la partıcula realizoQoscilaciones radiales, dondeP y Q son numeros enteros. LosP giros son realizados en un tiempoT de modo que

2πP =∫ T

0dt

.θ (t)

=⟨ .θ⟩T

donde⟨ .θ⟩

es la velocidad angular media en el intervalo de tiempoT . Por su parte, lasQ oscila-ciones son efectuadas en el mismo tiempo

2πQ =∫ T

0dtω0

= ω0T

La condicion deorbitas cerradas es entonces

Q⟨ .θ⟩

= Pω0 (3.35)

Conservando hasta terminos lineales enr′, `′ :

·θ =

`

µ(r0 + r′)2

∼=`

µr20− 2`0r

′

µr30(3.36)

103

MECANICA CL ASICA

obtenemos ⟨ .θ⟩

=`

µr20

pues la contribucion del termino enr′

es nula para un numero entero de oscilaciones radiales.Usando (3.33,3.34) la condicion deorbita cerrada (3.35) resulta:

Q2 `2

µr40= P 2

(3`2

µr40− dF (r0)

dr0

)

que podemos expresar como una ecuacion diferencial en la ley de fuerzasF (r)

dF (r0)dr0

=`2

µr40[3− Q2

P 2]

= −F (r0)r0

[3− Q2

P 2]

donde hicimos uso de la relacion (3.31) y despreciamos terminos del orden de′. La solucion es

una potencia der con exponente racional:

F (r) = Crα (3.37)

dondeC es una constante (negativa para que la fuerza sea restitutiva y produzcaorbitas acotadas),y

α = (Q/P )2 − 3 (3.38)

La frecuencia de oscilacion radialω0 en torno de laorbita circular de radior0 e impulsoangular 0 puede expresarse como funcion del exponenteα, reemplazando (3.37) en (3.33,3.31),(3.34) produce:

ω20 = (3 + α)

`20µ2r40

Hemos demostrado hasta aquı que los potenciales cuyasorbitas acotadas son cerradas pertenecena las funciones potencias racionales der.

Para explicitar cuales potencias producenorbitas cerradas nos alejaremos un poco mas de laregion de las condiciones deorbita circular, conservando otros terminos del desarrollo en serie dela fuerza efectiva:

Fef (r) = Crα +`2

µr3

que para las condiciones de orbita circular satisface

Fef (r0) = 0 → Crα0 = − `20µr30

104


Fef (r)− Fef (r0)

=dFef (r0)dr0

r′+

12d2Fef (r0)

dr20r

′2 +16d3Fef (r0)

dr30r

′3 + ...

= Fef (r0)[(α+ 3)r

′

r0+

12(α2 − α− 12)(

r′

r0)2 +

+160

(α3 − 3α2 + 2α+ 60)(r

′

r0)3 + ...]

≡ −µω20r

′ − µar′2 − µbr

′3

donde:

ω20 = −F (r0)

µ

α+ 3r0

(3.39)

a = −F (r0)µ

α2 − α− 122r20

=ω2

0

2r0(α− 4) (3.40)

b = −F (r0)µ

α3 − 3α2 + 2α− 606r30

=ω2

0

6r20(α2 − 6α+ 20) (3.41)

que reemplazada en la ecuacion del movimiento radial (3.6) produce:

..

r′= −ω2

0r′ − ar

′2 − br′3 (3.42)

Esta es la ecuacion de un oscilador anarmonico que resolveremos en el capıtulo de Pequenasoscilaciones. Su solucion en potencias de la amplitudA es:

r′(t) = −aA

2

2ω2+A cosωt+

aA2

6ω2cos 2ωt]

+A3

16ω2[a2

3ω2+b

2] cos 3ωt+ ϑ(A4)

con frecuencia de oscilacion

ω = ω0 +A2[3b8ω0

− 512a2

ω30

] + ϑ(A3) (3.43)

La condicion deorbitas cerradas (3.35) es ahora

Q⟨ .θ⟩

= Pω (3.44)

105

MECANICA CL ASICA

Conservamos en la velocidad angular media hasta terminos cuadraticos enr′, `

′

.θ =

`

µ(r0 + r′)2

∼=`

µr20− 2`r

′

µr30+

3`0r′2

µr40

y calculamos la velocidad angular media. Ahorar′

contribuye a traves del termino constante−aA2

2ω2 , y der′2 solo debe considerarse la contribucion proveniente deA cosωt, siendo las demas

de orden superior:

⟨ .θ⟩

=`

µr20[1 +

aA2

r0ω20

+3A2

2r20] (3.45)

Reemplazando (3.43,3.45) en la condicion deorbitas cerradas (3.44):

Q`

µr20[1 +

aA2

r0ω20

+3A2

2r20]

= Pω0[1 +3bA2

8ω20

− 5A2a2

12ω40

] (3.46)

La condicion deorbitas cerradas tambien se cumple a orden cero (ecuacion 3.35)

Q`

µr20= Pω0

entonces (3.46) resulta:

a

r0ω20

+3

2r20=

3b8ω2

0

− 512a2

ω40

(3.47)

Reemplazando los valores dados por (3.39,3.40,3.41) de los coeficientesa, b y la frecuenciaω0 como funciones del exponenteα , la condicion deorbitas cerradas (3.47) produce

α− 42r20

+3

2r20=

548r20

(α− 4)2 − 348r20

(α2 − 6α+ 20)

que se reduce a la ecuacion cuadratica:

2α2 + 2α− 4 = 0

limitando los potenciales que producenorbitas cerradas al gravitatorio o coulombiano(α = −2)y al del oscilador armonico(α = 1). Mas adelante resolveremos explıcitamente estos potenciales,y veremos que para el caso general deorbitas alejadas de la circular ellas siguen siendo cerradas.Como acabamos de demostrar que no existen otros potenciales cuyasorbitas sean cerradas, el teo-rema de Bertrand prueba que

106


Solamente el potencial coulombiano o gravitatorio

V (r) = −| C |r

y el del oscilador armonico

V (r) =| C | r2

producenorbitas cerradas.

Volviendo a la ecuacion (3.38) que relaciona el numero de oscilacionesQ en la coordenadaradial con el numero de girosP en torno del centro de fuerzas:

α = (Q/P )2 − 3

resulta

Q = P

paraα = −2

Q = 2P

paraα = 1En el caso del potencial coulombiano hay una oscilacion por giro, en tanto que en el oscilador

armonico son dos oscilaciones por giro.

3.10. Problemas

1. Determinar si en un potencial de la forma

V (r) = − k

r3

se puede tener unaorbita circular para algun valor de la energıaE.HallarE como funcion del radio de laorbita y estudiar la estabilidad de la misma.

2. Una partıcula de masam se mueve en unaorbita circular en un campo de central fuerzas

F (r) = − k

r2

Muestre que si el parametrok decrece subitamente a la mitad de su valor laorbita de la partıcu-la se transforma en parabolica.

107

MECANICA CL ASICA

3. Determine la distancia de maximo acercamiento de una partıcula que con energıaE e im-pulso angular incide sobre un centro de fuerzas Coulombiano. Considere las dos posibilidadesde fuerza repulsiva y atractiva.

4. Una partıcula de masam = 1 esta sometida a un campo central de fuerzas cuyo potencialcentral es

V (r) =1r6− 3r4

a) Indique que tipos deorbitas son posibles para diferentes valores del impulso angular` y laenergıaE.

b) Si la partıcula se acerca desde el infinito, indique en una grafica del potencial efectivo sies posible el movimiento de orbitacion. ¿Puede decir que diferencia existe entre esta trayectoria yunaorbita circular?

c) Determine el rango de valores del impulso angular` para el que son posibles lasorbitascirculares.

5. Demuestre que la forma mas efectiva de cambiar la energıa de un satelite enorbita elıptica,cuando se dispone de un motor que puede encenderse durante un intervalo de tiempo muy corto,es encendiendolo en la direccion del movimiento en el perigeo de laorbita.

108

Capıtulo 4

Fısica de Colisiones

4.1. Introducci on

En este Capıtulo estudiaremos la colision entre dos partıculas, que inicialmente se encuentranseparadas y con una velocidad relativa que las lleva a un tiempo posterior a interactuar entre ellas;se produce ası un intercambio de energıa e impulso que determina las direcciones y velocidadesfinales del movimiento.

El conocimiento de la estructura microscopica de la materia se ha concretado fundamental-mente a traves de experimentos donde se dirige hacia el cuerpo objeto del estudio (blanco) un hazde partıculas (proyectiles) con velocidad inicial conocida.

La solucion de este problema para formas conocidas de la interaccion es de gran interes for-mal pues el avance en el conocimiento de la estructura microscopica de la materia (cristales,ato-mos, nucleos atomicos, partıculas subatomicas) ha sido logrado a traves de experimentos dondese bombardea el material (llamado blanco) con un haz de partıculas (proyectiles). A partir delconocimiento de la interaccion entre proyectil y blanco, la forma en que se dispersan estas partıcu-las permite inferir cual es la estructura del blanco. El ejemplo mas famoso es el bombardeo deuna lamina delgada de oro con nucleos atomicos de helio (partıculas alfa) realizado en 1911 porel equipo de investigadores de Ernest Rutherford, que permitio inferir la estructura atomica de lamateria con la existencia de un nucleo muy pequeno que provee casi toda la masa delatomo ytoda la carga electrica positiva, y de electrones muy livianos que contribuyen con la carga negativarequerida para tener unatomo neutro.

Tambien es de gran utilidad el estudio de las colisiones entre dos partıculas cuando se conocesu estructura interna y se desconoce la forma funcional de la interaccion mutua.

Como referencia general de este tema recomendamos el libro de Landau y Lifshitz[2], paraquienes desean profundizar el uso de la teorıa clasica de colisiones al caso deatomos y moleculasmencionamos el libro Theory of Atomic Collisions de Mc Dowell y Coleman[15].

4.2. Cinem atica de la colisi on entre dos partıculas

Consideremos dos partıculas inicialmente alejadas entre sı, de modo que no haya interaccionmutua, y con velocidades tales que al cabo de un tiempo interactuan de modo que se modifiquen

109

MECANICA CL ASICA

sus velocidades iniciales. Vamos a hacer uso de las leyes de conservacion del impulso lineal y laenergıa para obtener conexiones entre las velocidades antes y despues de la colision.

Sin perder generalidad vamos a tomar las velocidades iniciales en la misma direccion, lo cualpuede lograrse eligiendo convenientemente el sistema de referencia. Un sistema donde la colisionse describe en forma muy simple es el del centro de masas, donde el impulso lineal total es cero:luego de la interaccion las partıculas deberan tener impulsos iguales y opuestos, y elangulo que lavelocidad final de una partıcula hace con la direccion de incidencia dependera de la ley de fuerzasy las condiciones iniciales del movimiento:

Figura 4.1:Colision de dos partıculas en el sistema del centro de masas

La condicion de conservacion del impulso lineal indica que:

m1−→v′1cm +m2

−→v′2cm = 0

que vamos a expresar en terminos de la velocidad relativa entre las partıculas:

−→v ′ =−→v′1cm −

−→v′2cm

−→v′1cm =

m2

m1 +m2

−→v′

−→v′2cm = − m1

m1 +m2

−→v′

110

FISICA DE COLISIONES

Si la energıa interna de las partıculas es constante durante la interaccion se dice que la colisiones elastica, y la conservacion de la energıa total es:

Einicial =12m1v1cm

2 +12m2v2cm

2

=12

m1m2

m1 +m2v2

Efinal =12m1v

′1cm

2 +12m2v

′2cm

2

=12

m1m2

m1 +m2v′2

Einicial = Efinal

de donde deducimos que el modulo de la velocidad relativa no es alterado por una colision elastica.

Consideremos un caso mas general en que el sistema de coordenadas no es el del centro demasas, sino que se mueve respecto de aquel con velocidad constante en la direccion de incidenciade las partıculas. Las velocidades observadas en este nuevo sistema son, antes de la colision:

−→v1 = −→v1cm +−→V cm

−→v2 = −→v2cm +−→V cm

donde la velocidad del centro de masas es:

−→V cm =

m1−→v1 +m2

−→v2m1 +m2

Despues de la colision seran:

−→v ′1 =m2−→v ′

m1 +m2+m1−→v1 +m2

−→v2m1 +m2

−→v ′2 = − m1−→v ′

m1 +m2+m1−→v1 +m2

−→v2m1 +m2

Podemos expresar estas relaciones usando los impulsos lineales en lugar de las velocidades delas partıculas. Los impulsos lineales iniciales son:

−→p1 = m1−→v1

111

MECANICA CL ASICA

−→p2 = m2−→v2

Obtenemos los finales:

−→p ′1 = µ−→v ′ +m1

−→p1 +−→p2

m1 +m2(4.1)

−→p ′2 = −µ−→v ′ +m2

−→p1 +−→p2

m1 +m2(4.2)

donde:

µ =m1m2

m1 +m2

Los impulsos finales dependen de las condiciones iniciales del movimiento y de dos variablesdeterminadas por la dinamica de la colision, que son losangulos que fijan la orientacion de−→v ′. Silas fuerzas internas son centrales las trayectorias de las partıculas estan en un plano, por lo que−→v ′estara en ese plano y queda una sola variable a fijar por las ecuaciones del movimiento: elanguloθCM de la figura siguiente. Vamos a hacer una representacion grafica de las ecuaciones (4.1) y(4.2) considerando la constancia del modulo de la velocidad relativa para colisiones elasticas. Por

lo tanto, los extremos del vector−→v′ estaran situados en una circunferencia tal como se muestra en

la figura 4.2, donde:

Figura 4.2:Relacion entre los impulsos lineales iniciales y finales en una colision elastica

−→AO = m1

−→p1 +−→p2

m1 +m2

112


−−→OC = m2

−→p1 +−→p2

m1 +m2

entonces:

−→p ′1 = −−→AB

−→p ′2 = −−→BC

El sistema de coordenadas del laboratorio se define como aquel en que una de las partıculasesta inicialmente en reposo, si elegimos la 2 es−→p2 = 0 y −→v = −→v1 , por lo tanto el vector

−−→OC =

m2−→p1

m1 +m2= µ−→v

representa un radio de la circunferencia, y el punto A estara dentro del cırculo sim1 < m2 (figura4.3)

−→AO =

m1

m2µ−→v

Figura 4.3:Sistema del laboratorio: caso en quem1 < m2

y fuera sim1 > m2 (figura 4.4).De estos graficos podemos obtener toda la informacion que la conservacion de impulso lineal y

energıa pueden brindarnos. Obtenemos la relacion entre losangulos de dispersion en los sistemasdel centro de masas y laboratorio

113

MECANICA CL ASICA

Figura 4.4:Sistema del laboratorio. Caso en quem1 > m2

tan θ1 =m2 sin θCM

m1 +m2 cos θCM(4.3)

θ2 =12(π − θCM )

El angulo de dispersion θ1 no esta acotado param1 < m2, en cambio si la masam1 delproyectil es mayor que lam2 del blanco hay un valor lımite

sin θ1,max =OB

AO=m2

m1

La mayor transferencia de energıa del proyectil al blanco en el sistema del laboratorio ocurrecuandop′2 es maximo, es decirθCM = π que corresponde a un choque frontal

E2,max =p′22,max

2m2=

2µ2v2

m2

=4m1m2

(m1 +m2)2E1,inicial

De aquı podemos hallar la relacion entre las masasm1,m2 para la que se transfiere el mayorporcentaje de energıa cinetica, que se produce param1 = m2.

114


4.3. Direcci on de dispersi on y angulo de deflexi on

El vector relativo−→r entre dos partıculas interactuantes de masasm1,m2 tiene la misma evolu-ci’on temporal que el vector posicion de una partıcula de masaµ = m1m2/(m1 +m2) sometidaa un campo de fuerzas centrado en el origen de coordenadas, como el que genera las fuerzas deaccion y reaccion entre las dos partıculas. La partıcula de masaµ sigue una trayectoria planar quepodemos describir mediante coordenadas polares(r, χ).

La direccion de dispersion θCM en el sistema del centro de masas del parm1,m2, que dala orientacion final del vector−→r relativa a la direccion inicial de incidencia, esta directamenterelacionada con elangulo de deflexionχ0 de la partıcula de masaµ en el problema de un cuerpoequivalente. Vemos en la figura 4.5 diferentes relaciones entre dichosangulos.

Figura 4.5:Trayectorias para diferentes relaciones entre losangulos de dispersion y deflexion

La direccion de dispersion θCM puede situarse entre0 y π radianes, en tanto elangulo dedeflexionχ0 ≤ π y no esta limitado para valores negativos (figura 4.6).

Nos dedicaremos a estudiar la dependencia deχ0 con las condiciones iniciales del movimientoy la relacion entreχ0 y θCM .

La partıcula en estudio sigue una trayectoria no acotada pues inicialmente se encuentra infini-tamente alejada del centro de fuerzas, alcanza un punto de maximo acercamiento al origen y luegose aleja nuevamente hacia el infinito. Hemos probado en la Seccion 3.5 que las dos ramas de latrayectoria son simetricas respecto de la direccion de maximo acercamiento tal como se muestraen la figura 4.7.

El angulo de deflexion χ0 del problema de una partıcula equivalente ( que coincide con elangulo de deflexion en el sistema del centro de masas del problema original de dos partıculasinteractuantes a traves de un campo central) sera igual a

115

MECANICA CL ASICA

Figura 4.6:Multiplicidad de valores deχ0 que corresponden a un valor deθCM

χ0 = π − 2φ0

donde

φ0 =∫ ∞

rmın

`dr

r2√

2µ[E − V (r)]− `2/r2

Vemos que para un dado potencialV (r) el angulo de deflexion es una funcion de la energıaEy el impulso angular . Es conveniente introducir en lugar de` al parametro de impactoρ, que esel brazo de palanca de la velocidad inicial de la partıcula:

` = µvρ

entonces:

χ0 = χ0(E, ρ)

4.4. Definici on de Secci on eficaz

Consideremos la siguiente situacion: una partıcula de masam1 y velocidad−→v 1 se dirige haciala posicion de otra partıcula de masam2 que inicialmente esta en reposo. El parametro de impactoρ, definido como la distancia de maximo acercamiento entre ambas en ausencia de fuerzas, deter-mina la direccion final de movimiento de cada una de ellas, por ejemplo laθ1 de la partıcula1.Esta direccion final depende deρ,−→v 1,m1,m2 y del potencial de interaccionV (r).

Existen en la Naturaleza multitud de situaciones donde el proceso basico consiste en la disper-sion (colision) entre pares de partıculas:

116


Figura 4.7:Trayectoria en un campo central mostrando la simetrıa respecto de la direccion de maximoacercamiento

1. Las moleculas de un gas interaccionan entre sı de modo que el intercambio de energıae impulso en cada colision binaria es el proceso elemental que conforma las transformacionesmacroscopicas observadas. La teorıa cinetica de los gases fundamentada en estas colisiones bina-rias genera una descripcion microscopica de las leyes de la termodinamica y la fısica estadıstica.

2. Partıculas como nucleos atomicos y electrones forman parte de la radiacion cosmica queincide sobre la atmosfera, las colisiones con las moleculas del aire producen la dispersion y fre-namiento de estos rayos cosmicos que aun ası pueden llegar a la superficie terrestre y ser detecta-dos.

La colision entre dos cuerpos puede llevar a un cambio en la estructura interna de los mismos.Estas son colisiones inelasticas, donde parte de la energıa inicial de movimiento se transforma enenergıa interna. En otros casos podemos considerar que no se modifica el estado interno de loscuerpos y la colision es elastica, un ejemplo prototıpico son las colisiones entre las bolas del juegode billar.

Ademas, la colision entre dos partıculas es una herramienta fundamental para estudiar la leyde fuerzas entre dichas partıculas, su estructura interna y en general verificar las leyes y principiosbasicos de la Fısica. A traves de experimentos de colisiones Rutherford, Geiger y Marsden en1911 determinaron la existencia del nucleo atomico, y con el mismo tipo de experimentos en anosrecientes se encontro que partıculas que se suponıa elementales como el proton y el neutron eran enrealidad estados ligados de otras partıculas (quarks) que hasta el presente sı se pueden considerarcomo elementales.

El problema de los dos cuerpos que deseamos estudiar en el laboratorio corresponde en generala partıculas de dimensiones atomicas, donde la escala de longitud relevante es el nanometro. Esobvio que resulta imposible en la practica definir el parametro de impactoρ de la colision conesa precision. Por ello, el experimento basico trata estadısticamente la colision enviando un hazde partıculas1, de ahora en mas los proyectiles, con una distribucion uniforme de valores deρincidiendo con una velocidadv sobre partıculas2 que llamaremos los blancos, ya que en general

117

MECANICA CL ASICA

no es posible o practico tener unaunica partıcula2 aislada.El haz de proyectiles y el material del blanco deben ser lo suficientemente diluidos como para

despreciar las interacciones internas entre proyectiles1 y entre blancos2, y ademas las colisionesde un proyectil con mas de un blanco . En esas condiciones losunicos procesos relevantes son lascolisiones binarias1 → 2 motivo de nuestro estudio.

La disposicion geometrica del experimento es la que presenta la figura 4.8.

Figura 4.8:Esquema de un aparato para medir secciones eficaces.Los proyectiles colimados penetran en laregion que contiene los blancos y una fraccion de ellos es dispersada en diferentes direcciones arribando alos detectores. La dimensiond de la camara que contiene los blancos debe ser mucho menor que la distanciaa donde se ubican los detectores

Queremos definir un valor numerico que de cuenta de la intensidad con que los proyectiles sondispersados en una direccionθL en el sistema que con total propiedad llamamos ahora del labora-torio. Un detector ubicado en una direccionθL a una distancia muy grande del blanco registrara unnumero∆n(θL) de proyectiles arribados. Ese numero crece linealmente con el flujo de proyectilesI , con el numeroN de blancos presentes y con elangulo solido subtendido por el detector. Paratener un valor numerico que sea independiente de las caracterısticas particulares del experimentomontado, definimos la seccion eficaz diferencialσL(θL) para dispersion en la direccion θL comoel numero de proyectiles detectados∆n(θL) dividido por: a) elangulo solido ∆Ω(θL) subtendidopor el detector, b) el numero de blancosN presente y c) el flujoI de proyectiles:

σL(θL) =∆n(θL)

IN∆Ω(θL)(4.4)

118


Dado que launica cantidad que posee dimensiones en esta definicion es el flujoI (partıcu-las/area), la seccion eficaz tiene dimensiones dearea: representa elarea del flujo de proyectilesque se dispersan en la direccion θL. El significado fısico de esta magnitud con dimensiones dearea esta mejor representado por el nombre que se le asigna en idioma ingles ”cross section”, cuyatraduccion literal es seccion transversal:σL(θL) es la seccion transversal del haz de proyectilesque se dispersa en la direccionθL por blanco y por unidad deangulo solido.

4.5. Calculo de la Secci on eficaz

Hemos visto que elangulo de dispersion en el sistema del centro de masas (CM) para unacolision entre dos partıculas se puede obtener haciendo uso del problema de una partıcula equi-valente, lo que simplifica el calculo ya que tenemos que trabajar con solamente dos grados delibertad: las coordenadas polares(r, χ) en el plano donde se ubica la trayectoria de la partıculade masaµ = m1m2/(m1 + m2). Por consiguiente, procederemos a obtener la seccion eficazdiferencial en el CM del par proyectil-blanco y luego transformaremos el resultado al marco dellaboratorio (L), donde se realizan las mediciones.

El angulo de deflexion χ0 es el mismo para todos los proyectiles que inciden con el mismoparametro de impactoρ: sus trayectorias tienen simetrıa cilındrica en torno del eje en la direcciondel flujo incidente que pasa por el centro dispersor, segun vemos en la figura 4.9.

Figura 4.9:Simetrıa cilındrica del flujo de proyectiles que inciden con el mismo parametro de impactosobre un potencial central

El numero de proyectiles que se dispersan entre las direcciones|θCM | y |θCM + dθCM | es elque ingresa a la region de interaccion con parametros de impacto entreρ y ρ+dρ cuando solamente

119

MECANICA CL ASICA

un parametro de impacto produce dispersion en la direccion |θCM | (veremos mas adelante el casogeneral), ese numero es:

2πIρ | dρ | (4.5)

entonces, la seccion eficaz diferencial en el CM se obtiene dividiendo el valor (4.5) por el flujoincidenteI, y por elangulo solido dΩ subtendido por la region anular a traves de la que pasan laspartıculas dispersadas en la direccion |θCM |.

dΩ = 2π | sin θCMdθCM |

entonces:

σCM (θCM , E) =dN

IdΩ=

ρ

| sin θCM || dρ

dθCM| (4.6)

La direccion de dispersion θCM es elangulo de la direccion asintotica final del movimientomedida respecto de la direccion de incidencia.

El anguloθCM tiene siempre un valor positivo entre0 y π. Los angulos de deflexion quecontribuyen a la dispersion en direccionθCM son los siguientes (ver figura 4.6):

χ0 = +θCM ,+θCM − 2π,+θCM − 4π...+ θCM − 2nπ...χ0 = −θCM ,−θCM − 2π,−θCM − 4π...− θCM − 2nπ...

El angulo de deflexion sera siempre menor o igual aπ, mientras que puede ser tan negati-vo como se quiera cuando se produce el fenomeno de orbitacion. Esto ocurre cuando el potencialefectivo presenta un maximo de modo que para una partıcula con1

2µ.r2= V maximo

ef (rm) la veloci-dad radial tiende a cero y la partıcula, acercandose asintoticamente a la distanciarM del maximo,comienza a orbitar en una circunferencia.

Para un potencial que es atractivo a distancias apreciables y repulsivo en las cercanıas delcentro de fuerzas lasorbitas tendran formas como las graficadas en la figura 4.10.

En este caso la dependencia funcional delangulo de deflexion con el parametro de impactoesta presentada en la figura 4.11.

Un detector que reciba partıculas en la region anular de la figura 4.9 no solo registrara partıcu-las deflectadas en elanguloχ0 = θCM sino tambien aquellas con deflexion negativa−χ0 = θCMy todas las que sean deflectadas enangulosθCM − 2πn y −θCM − 2πn. La definicion adecuadade seccion eficaz diferencial para dispersion en la direccionθCM sera entonces:

σTCM (θf , E) =∑i

ρi| sin θCM |

| dρidθCM

| (4.7)

donde debemos sumar sobre todos los parametros de impactoρi que produzcan deflexionesχ = θCM − 2πn y −θCM − 2πn conn = 0, 1, 2, 3...

Es de interes notar que la formula (4.6) de la seccion eficaz diferencial presenta singularidadesparaangulos de deflexionχ0 = χr y χ0 = 0 o π llamados respectivamenteangulos de arco iris yde gloria (o halo). En la proxima Seccion trataremos en detalle estos casos.

120


Figura 4.10:Trayectorias posibles para un potencial atractivo a largas distancias y repulsivo a cortas distan-cias. Hemos usado el potencial de Lennard JonesV (r) = ε((r0/r)12−(r0/r)6), empleado para describir lainteraccion entreatomos neutros, dondeε y r0 son parametros que dependen del par deatomos considerado

El sistema de coordenadas representativo de las observaciones experimentales es el del labo-ratorio, donde una de las partıculas se encuentra en reposo al comienzo de la colision. Vamos areescribir la formula (4.7) en funcion de la direccion de dispersion θL medida en el sistema dellaboratorio: ambas direcciones estan relacionadas por la ecuacion (4.3)

θL ≡ f(θCM ) = arctan[m2 sin θCM

m1 +m2 cos θCM]

Las partıculas que se dispersan en la aperturadθL en el laboratorio son las mismas que salenen la apertura correspondientedθCM en el problema de una partıcula equivalente:

dN = I.σCM (θCM )dΩCM = I.σL(θL)dΩL

donde

dΩCM = 2π |sin θCMdθCM |dΩL = 2π |sin θLdθL|

obteniendo entonces:

σL(θL) = σCM (θCM )∣∣∣∣sin θCMsin θL

dθCMdθL

∣∣∣∣4.6. Los efectos Arco iris y Gloria

Analicemos la dependencia delangulo de deflexion con el parametro de impacto para un po-tencial dispersor como el de la figura 4.11. Para parametros de impacto grandes la partıcula percibe

121

MECANICA CL ASICA

Figura 4.11:Dependencia delangulo de deflexion con el parametro de impacto para un potencial atractivoa largas distancias y repulsivo a cortas

un potencial atractivo y elangulo de deflexion es negativo, a medida que disminuye el parametrode impacto aumenta la deflexion negativa hasta alcanzar su valor mınimoχmın. A menores valoresdeρ la trayectoria se interna en la region de fuerza repulsiva y se alcanza el valorχ = 0 donde secompensan los efectos de atraccion y repulsion. Finalmente, cuando nos acercamos al valorρ = 0la deflexion es positiva y tiende al valor lımiteχ = π. Los parametros de impacto que contribuyenal valor de la seccion eficaz en elanguloθCM estan representados en la figura 4.12

ρ(θCM ) es una funcion multivaluada, hay tres valores deρ para cada valor deθCM < |χmın|.La seccion eficaz puede diverger para ciertos valores delangulo de dispersion. ParaθCM =

|χmın| la divergencia aparece porquedθCM/dρ|θCM=|χmın| = 0, lo que hace queσTCM (θCM =|χmın| , E) →∞ en ecuacion 4.7. Fısicamente, los proyectiles que inciden en el anillo de radioρy espesordρ se concentran al dispersarse en una apertura angulardθ dρ.

4.7. Los fen omenos atmosf ericos de arco iris y gloria.(Opcional)

4.7.1. Modelo corpuscular de la luz

La observacion diaria de nuestro entorno macroscopico nos ha llevado a considerar luz y mate-ria como componentes basicos del Universo y de naturaleza claramente diferentes. Una partıculade materia ocupa un punto en el espacio y puede trasladarse con velocidades que van desde elreposo hasta valores arbitrariamente grandes. Por el contrario, la luz ocupa un lugar mas o menosextenso del espacio, se parece a las ondas excitadas en la superficie de un lıquido o las ondas depresion en un fluido (sonido). La velocidad de la luz varıa segun el medio en el que se propague,y alcanza su valor maximoc en el vacıo que veremos mas adelante es tambien el valor lımite develocidad que puede alcanzar un cuerpo material.

122


Figura 4.12:Dependencia del parametro de impacto con elangulo de deflexion para un potencial atractivoa largas distancias y repulsivo a cortas

El estudio del mundo microscopico de losatomos requiere una generalizacion de las leyesde la Fısica clasica.Esta es la Fısica cuantica, cuyas conclusiones van a contramano de nuestraexperiencia como observadores de fenomenos macroscopicos. Por ejemplo, acerca de la naturalezade luz y materia demostrando que ambas tienen propiedades similares: las partıculas materialessin perder sus cualidades poseen al mismo tiempo propiedades ondulatorias, y la luz sigue siendouna onda con el agregado de cualidades de partıcula.

Las propiedades corpusculares de la luz se hacen dominantes en tanto sus cualidades ondula-torias tienden a desaparecer cuando su longitud de onda sea muy pequena frente a las dimensionesdel medio en que se mueva. Por ejemplo, la luz en el interior de una gota esferica de agua se com-portara como una partıcula cuando el radio de la gota sea muy grande frente a su longitud de onda.La luz solar visible tiene un rango de longitudes de onda entre0,4 y 0,7 micrones, en tanto lasgotas de agua tienen radios que van de las decenas de micrones para las gotas suspendidas en lasnubes a varios milımetros para aquellas que se precipitan en forma de lluvia. Por ello, se justificatratar el movimiento de la luz en interaccion con estas gotas como el de partıculas clasicas, quesiguen trayectorias rectilıneas en medios homogeneos (optica geometrica).

En la frontera de separacion entre dos medios la analogıa con la partıcula clasica deja devaler, pues el rayo incidente se puede descomponer en uno reflejado y otro transmitido al segundomedio de acuerdo con las leyes de continuidad de campos electrico y magnetico de las ondasplanas respectivas.Esta es una propiedad de origen ondulatorio, nacida del cambio de mediode propagacion, que se produce en longitudes pequenas frente a la longitud de onda incidente.Entonces, en laoptica geometrica la luz puede modelarse como rayos o partıculas que se muevencon velocidad uniforme en medios homogeneos, salvo en la frontera entre dos de ellos donde seproducen rayos o partıculas reflejadas y transmitidas.

La velocidad de la luz en el vacıo es siempre mayor que la velocidad en cualquier medio mate-rial, por ejemplo el agua. Quien primero midio la velocidad de la luz en agua fue Leon Foucault en

123

MECANICA CL ASICA

1850. Esta velocidad depende de la longitud de ondaλ de la luz, siendo0,75190c para el rojo (masprecisamenteλ = 0,7065 micrones) y decreciendo hasta0,74477c para el violeta (λ = 0,4047micrones). La velocidad de la luz en aire a presion y temperatura normales es0, 9994c, que aprox-imaremos porc de aquı en mas.

Figura 4.13:Cambio de direccionθ1 → θ2 de los frentes de onda al atravesar la frontera entre dos mediosdonde la luz se mueve con velocidadesv1, v2

El cambio en la velocidad al pasar la luz de un medio a otro produce un cambio en la direccionde propagacion del frente de ondas. La figura 4.13 muestra frentes de una onda plana que arribana la frontera, por ejemplo entre aire y agua, y en base a la diferencia conocida de velocidades entreambos medios se puede determinar el cambio angular en la direccion del movimiento. Esta es laconocida ley de Snell de refraccion

sin θincsin θrefr

=v1v2

que para el caso de la frontera aire/agua produce

sin θincsin θrefr

=c

vagua(4.8)

aproximadamente1,33 (1,3299 para el rojo, y1,3427 para el violeta). Este resultado muestra quela direccion de propagacion se desvıa hacia la normal a la superficie de separacion. Cuando elfrente de ondas incide desde el agua la ley de Snell produce:

sin θincsin θrefr

=vaguac

∼= 0, 75 (4.9)

124


Comosin θrefr ≤ 1, el maximo angulo de incidencia desde el agua que produce una ondarefractada en el aire es

θmaxinc = 48, 6o

Este es elangulo a partir del cual hay reflexion total del haz incidente.

4.7.2. El arco iris

Este fenomeno ocurre por ejemplo cuando la luz del sol se refleja en el interior de gotas deagua suspendidas en la atmosfera. La figura 4.14 recrea la vision del arco iris por un observadoren el borde de un acantilado cuando hay nubes de lluvia cubriendo el valle a sus pies.

Figura 4.14:Vision del arco iris por un observador de espaldas al sol y frente a nubes con gotas de aguasuspendidas

El modelo de Descartes, quien fue el primero en explicar el arco iris en 1637,[16] suponeque la luz sigue trayectorias rectilıneas en el aire o el agua (rayos) y al incidir sobre la fronterade separacion entre dos medios produce un rayo reflejado y uno refractado segun la ley de Snell(ecuacion 4.9). El camino de los rayos que sufren una sola reflexion en el interior de la gota sepresenta en la figura 4.15.

La luz dispersada por la gota alcanza unangulo de dispersion maximo θmax = 138o quecorresponde alangulo de arco iris graficado en la figura 4.15; elangulo en que se observa el arcoiris desde la direccion de llegada de los rayos solares es de42o. Debido a la dependencia de lavelocidad de la luz con su longitud de onda cada color posee unangulo de dispersion maximalevemente diferente, lo que hace que aparezcan separados anillos de los diferentes colores quecomponen la luz solar.

125

MECANICA CL ASICA

Figura 4.15:Camino de los rayos que sufren una reflexion interna en la gota. Se produce unangulo maximode dispersion

La luz puede dispersarse en la gota luego de varias reflexiones internas; la reflexion doblepresenta unangulo maximo de dispersion de129o, lo que produce la observacion de un arco irisllamado secundario cuya apertura para el observador es de51o. Este arco iris es mas tenue que elprimario porque se duplican las perdidas de intensidad de la luz por transmision hacia el exteriorde la gota. Se ha probado la existencia de arco iris deordenes superiores, aunque son demasiadodebiles para ser observados en la Naturaleza.[16]

La figura 4.16 muestra la disposicion del sol, el observador y la nube de gotas de lluvia queproducen el arco iris, y el camino de los rayos que producen los arco iris primario y secundario.

4.7.3. La Gloria

El otro tipo de divergencia de la seccion eficaz se produce cuandosin θCM = 0 en el denomi-nador de la ecuacion 4.6. Tanto paraθCM = 0 como paraθCM = π los proyectiles que ingresanen el anillo dearea2πρdρ egresan en un anillo de la mismaarea. La razon de la divergencia esla siguiente: como estaarea permanece constante y finita al alejarnos una distanciaR → ∞ delblanco, el diferencial deangulo solido subtendido tiende a cero2πρdρ/R2 → 0; solamente serequiere quedρ/dθ no se anule para tener una divergencia en la seccion eficaz diferencial.

El efecto gloria se presenta para dispersion hacia atras:θ = π, y su nombre proviene de losiguiente: si la fuente luminosa (por ejemplo el Sol) se ubica a espaldas del observador y frente almismo se encuentran los blancos dispersores (en nuestro caso una nube de gotas de lluvia) la luzpuede reflejarse en el interior de las gotas y para un dado tamano y parametro de impacto estosrayos son reflejados exactamente hacia atras. El observador vera su sombra proyectada en la nubey rodeando el perfil de su cabeza percibira un fulgor parecido a la aureola que rodea la figura de

126


Figura 4.16:Camino recorrido por los rayos que luego de una y dos reflexiones en el interior de la gotaproducen los arco iris primario y secundario

un santo[16][17]. Ver figura 4.17.

Para probar la existencia del efecto gloria debemos demostrar quedρ/dθ|θ=π 6= 0 para algunvalor del parametro de impacto. Cuando el rayo sufre una sola reflexion interna el maximoangulode dispersion es el de arco iris, menor queπ, por lo que no hay contribucion al efecto gloria. Parados reflexiones internas la situacion mas favorable se da paraρ igual al radio de la gota; en ese casola ecuacion 4.8 consin θinc = 1 da para elangulo de refraccion el valorθrefr = 48, 6o, de formaque luego de dos reflexiones internas el rayo emergerıa a14,4o de la direccion de retrodispersiontal como lo muestra la figura 4.18.

Antes de proseguir con el analisis de las reflexiones multiples detengamonos a analizar laincidencia rasante del corpusculo de luz sobre la gota: su tamano es del orden de la longitudde onda, esto esλ ∼ 0, 5 micrones para luz visible. Por otra parte el radio medio de una gotasuspendida en la nube lo tomamos comoR = 25 micrones. Podemos calcular que la zona decontacto del rayo de dimension transversalλ con la superficie de la esfera es entoncesδs ∼=√

2λR = 5 micrones, que representa la deslocalizacion del punto de nacimiento de los rayosreflejado y refractado. El intervalo angular de esta deslocalizacion esδθ ' 10o.

Observando la figura 4.18 vemos que al cabo de sucesivas reflexiones y giros el rayo internose refleja en puntos diferentes de la superficie, pero siempre algunos de ellos se encuentran dentrodel intervalo angularδθ respecto del punto donde se origina la onda retrodispersada. Entonces,habra una intensidad finita de luz emitida en la direccion de retrodispersion, lo que garantizara ladivergencia de la seccion eficaz diferencial y la aparicion del efecto gloria. A los ojos del obser-vadoreste aparecera como una luz muy intensa concentrada en torno a la sombra de su cabeza enla nube, tal como lo muestra la figura 4.17.

127

MECANICA CL ASICA

Figura 4.17:El observador, de espaldas al sol, ve su sombra proyectada en las nubes frente suyo. Rodeandola sombra de su cabeza aparece una luminosidad producida por los rayos retrodispersados en las gotassuspendidas en la nube

La deslocalizacion del ingreso y en forma similar del egreso del rayo muestra que un tratamien-to riguroso requiere incorporar la naturaleza ondulatoria de la luz. Esta descripcion muestra queal incidir en forma rasante la luz sobre la gota se genera una onda tangencial que recorre una dis-tancia finita, del orden delδθ estimado, antes de desprenderse de la superficie. Otra manifestaciondel caracter ondulatorio del efecto gloria es que a la maxima intensidad de luz blanca centrada enla sombra de la cabeza del observador la rodean cırculos de luz similares a arco iris, producidospor la interferencia constructiva para cada longitud de onda de los diferentes caminos que sigue laluz hasta llegar al ojo del observador[17].

4.8. Dispersi on por potenciales del tipo 1/r

Consideramos una partıcula de masaµ moviendose en un potencial que varıa inversamentecon la distancia al centro de fuerzas, las condiciones iniciales del movimiento en el plano de latrayectoria estan definidas por el parametro de impactoρ y la velocidad inicialv0.

Hemos visto que la ecuacion de laorbita para una partıcula moviendose en un potencial grav-itatorio (o coulombiano) del tipo−k/r es

α

r= 1 + ε cos θ (4.10)

donde la excentricidad esta definida en (3.16) y esε > 1 para energıas positivas,(r, θ) son lascoordenadas polares de la partıcula con origen en el centro de fuerzas yθ esta medido desde el ejede simetrıa de laorbita.

128


Figura 4.18:Reflexiones multiples del rayo que incide rasante sobre la gota de agua. La segunda reflexionse produce a 14.4 grados del punto de retrodispersion. Al cabo de tres giros la reflexion se produce nueva-mente en cercanas de eseangulo

Para fuerzas atractivas esk > 0 y de (3.15)α = `2

µk > 0 por lo que el segundo termino de(4.10) es positivo yθ resulta limitado por:

cos θ ≥ −1ε

(4.11)

La distancia de maximo acercamiento que ocurre parasin θ = 0 se produce entonces paraθ = 0 (pues segun 4.11 esθ < π). La orbita se presenta en la figura 4.19.

El anguloφ0 entre una asıntota y el eje de simetrıa corresponde alanguloθ parar = ∞:

cosφ0 = cos θ∞ = −1ε

y esta relacionado alangulo de deflexionχ0 por:

χ0 = π − 2φ0

obtenemos entonces

sinχ0

2= cosφ0 = −1

ε(4.12)

Este resultado es la relacion funcional entre elangulo de deflexion y el parametro de impactoa traves de la excentricidadε, relacion necesaria para determinar la seccion eficaz diferencial.

Consideremos ahora el caso de fuerzas repulsivas (por ejemplo la repulsion electrostatica entrecargas del mismo signo). Como ahora la constante de fuerzak < 0 resultaα = `2

µk < 0:

129

MECANICA CL ASICA

Figura 4.19:Trayectoria en un potencial atractivo del tipo 1/r

− | α |r

= 1 + ε cos θ

y θ ahora queda limitado por

cos θ ≤ −1ε

con lo que la distancia de maximo acercamiento se produce ahora paraθ = π. La forma de laorbita para este caso de fuerza coulombiana repulsiva se muestra en la figura 4.20:

El anguloφ0 esta ahora relacionado conθ(r = ∞) por

φ0 = π − θ∞

por consiguiente:

cosφ0 = − cos θ∞ =1ε

y la relacion entre la deflexion y la excentricidad es:

sinχ0

2=

1ε

(4.13)

La dependencia de la excentricidad en el parametro de impacto dada por (3.16) es:

130


Figura 4.20:Trayectoria en un potencial repulsivo del tipo 1/r

ε =√

1 + µ2v40ρ

2/k2

entonces:

1 +µ2v4

0ρ2

k2=

1sin2(χ0/2)

ρ = ± k

µv20

cotχ0

2(4.14)

donde el signo positivo corresponde a fuerzas repulsivas y el negativo a atractivas para que sesatisfagan las relaciones (4.12) y (4.13).

Vemos de (4.14) que cuandoρ → ∞ escot χ0

2 = ∞ y por consiguienteχ0 = 0. Cuandodisminuyeρ y ρ → 0 escot χ0

2 = 0 , resultaχ0(ρ = 0) = π para fuerzas repulsivas yχ0(ρ =0) = −π para fuerzas atractivas.La derivada:

dρ

dχ= ∓ k

2µv20

1sin2(χ0/2)

(4.15)

no se anula para valores finitos deχ0, por lo tantoχ0 crece monotonicamente de0 aπ a medidaque disminuyeρ cuando la fuerza es repulsiva, y decrece monotonicamente de0 a -π cuando lafuerza es atractiva (figura 4.21).

Debido a queangulos de deflexion±χ0 contribuyen a la dispersion de partıculas en la mismadireccion θCM = |χ0|, la seccion eficaz diferencial sera la misma para fuerzas coulombianasrepulsivas o atractivas.

131

MECANICA CL ASICA

Figura 4.21:Angulo de deflexion en funcion del parametro de impacto para potenciales del tipo 1/r

Ademas, segun vemos de la figura, hay un solo parametro de impacto que contribuye a ladispersion en cada direccion; por lo tanto la seccion eficaz diferencial resulta ser, usando (4.14) y(4.15):

σTCM (θCM , E) = σCM (θCM , E) =12(k

µv20

)2∣∣∣∣∣ cot(θCM/2)sin2(θCM/2) sin θCM

∣∣∣∣∣ (4.16)

= (k

4E)2

1sin4(θCM/2)

La seccion eficaz tiende a infinito para la direccion de dispersion elegida tendiendo a cero.Esto se debe a que la fuerza (coulombiana o gravitatoria) es de rango infinito: ejerce una accion,pequena pero no nula, sobre proyectiles que pasan a distancias extremadamente grandes. En elotro extremo, la seccion eficaz para dispersion en la direccion opuesta al movimiento del haz(θCM → π) es finita:σCM (π,E) → ( k

4E )2; esta dispersion se produce sobre proyectiles cuyoparametro de impacto tiende a cero:ρ → 0. Las respectivas trayectorias de estos valores lımitesde dispersion se grafican en las figuras 4.22 y 4.23:

4.9. Problemas

1. Un proton choca elasticamente con un nucleo atomico, desviandose unangulo de 56o. Elnucleo termina moviendose con unangulo de 60o. Halle la masa atomica del nucleo y la fraccionde la energıa cinetica total que se le transfiere durante el choque. La unidad de masa atomica es

132


Figura 4.22:Retrodispersion para un potencial atractivo− 1r

aproximadamente la del proton.

2. Calcule la seccion eficaz diferencialdσ/dΩ correspondiente a la colision de una partıculapuntual de masam con una esfera perfectamente rıgida de radioa y masaM , conm << M .¿Cual es la seccion eficaz total?

3. Calcule la seccion eficaz total de captura debida a una esfera de radioR, que atrae partıculascon una fuerza que decrece como−1/r2.

4. Obtenga la seccion eficaz diferencial debida a un pozo esferico de radioR de potencial:

V (r) = 0

parar > R, y

V (r) = −V0

parar ≤ R (V0 > 0).

5. Obtenga la seccion eficaz diferencial cuando en lugar de un pozo se tiene una barrera esferi-ca de potencial

V (r) = 0

parar > R, y

V (r) = V0

133

MECANICA CL ASICA

Figura 4.23:Retrodispersion para un potencial repulsivo1r

parar ≤ R (V0 > 0).

6. Encuentre la seccion eficaz diferencial para un pozo de potencial lineal de simetrıa esferica

V (r) = V0(1−r

a)

parar ≤ a, y

V (r) = 0

parar > a.La energıa del proyectil fuera del pozo esE = V0.Calcule:a. La seccion eficaz diferencial.b. El angulo de dispersion maximo.c. Determine si la relacionχ = f(ρ) es biunıvoca.

7. Explique por que el interior del cırculo delimitado por el arco iris principal se observa masoscuro que la region del cielo externa a dicho cırculo.

134

Capıtulo 5

Cuerpos rıgidos. Tensor de inercia

5.1. Introducci on

Un cuerpo rıgido se define como un conjunto de partıculas masivas sometidas a condiciones devınculo holonomicas que mantienen fijas las distancias relativas. Esta es una buena aproximacionpara la mayorıa de los cuerpos macroscopicos de interes en Fısica e Ingenierıa, especialmente encuanto al estudio del movimiento de los mismos sometidos a interacciones mutuas o a fuerzasexternas.

Las coordenadas de los puntos de un cuerpo rıgido se definen de manera muy simple si usamosun sistema de coordenadas solidario al cuerpo. Estas coordenadas no seran inerciales ya que elcuerpo estara en general sometidos a fuerzas que producen aceleraciones. Por ello, comenzaremostranscribiendo las leyes de Newton, validas en un marco inercial, a un sistema acelerado. Luegoencontraremos que las magnitudes fısicas del cuerpo rıgido tales como la energıa cinetica y elimpulso angular se pueden expresar de manera muy simple en el sistema de referencia solidario,y que la distribucion de masa que define el cuerpo aparece en ellas en forma muy compacta bajola forma de un tensor simetrico de tres filas y tres columnas, llamado tensor de inercia.

La bibliografıa recomendada para este Capıtulo comprende los textos de Goldstein[1] y deLandau y Lifshitz[2], y en el caso de sistemas de referencia no inerciales especialmente el librode Marion y Thornton[10]. La descripcion del pendulo de Foucault esta inspirada en la presentadapor Kibble y Berkshire[20] y por ter Haar[19].

5.2. Sistemas de coordenadas no inerciales

Hay ocasiones en que es conveniente describir la evolucion de cuerpos sometidos a fuerzasexternas e internas en un sistema de coordenadas que no es inercial, es decir donde el observadoresta sometido a aceleraciones.

Las leyes de Newton son validas en un sistema de coordenadas inercial−→r ′, por lo que debemospartir de la expresion de estas leyes en un sistema de este tipo

−→F = m

d2−→r ′

dt2(5.1)

135

MECANICA CL ASICA

y luego traducirlas a las coordenadas no inerciales−→r . La relacion entre estas coordenadas es lagraficada en la figura 5.1.

Figura 5.1:Relacion entre sistemas de coordenadas con orıgenesO,O′

El origen O del sistema no inercial puede estar acelerado, y los ejes(x, y, z) pueden rotar convelocidad angular−→ω respecto del sistema inercial(x

′, y

′, z

′). Siendo:

−→r ′ = −→R +−→r (5.2)

calculamos la derivada temporal de 5.2, donde debemos tener en cuenta las variaciones temporalestanto de los vectores unitariosex, ey, ez de la terna no inercial como de las componentes(x, y, z)del vector posicion en esta terna. La variacion temporal del vector−→r vista desde el sistema inerciales:

d−→rdt

=dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez

+xdexdt

+ ydeydt

+ zdezdt

donde la variacion temporal de los vectores unitarios se debe a la presencia de la rotacion−→ω :

dexdt

= −→ω × ex

136

CUERPOS RIGIDOS. TENSOR DE INERCIA

etc., y designamos como:

−→v r =dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez

a la derivada temporal de−→r vista desde el sistema no inercial. Resulta entonces:

d−→rdt

= −→ω ×−→r +−→v r (5.3)

y:

d−→r′

dt=d−→R

dt+−→ω ×−→r +−→v r

Derivando nuevamente:

d2−→r ′

dt2=

d2−→Rdt2

+d−→ωdt

×−→r

+−→ω × (−→ω ×−→r +−→v r) +−→ω ×−→v r +−→a r

Representando en esta expresion la aceleracion de la partıculaP observada desde el sistema noinercial por

−→a r =d2x

dt2ex +

d2y

dt2ey +

d2z

dt2ez

la ecuacion del movimiento resulta:

−→F = m[

..−→R +

.−→ω ×−→r +−→ω × (−→ω ×−→r ) + 2−→ω ×−→v r +−→a r]

Desde el sistema(x, y, z) el movimiento de la partıcula se representa por una ecuacion similara (5.1) si consideramos una fuerza efectiva actuante sobre ella que involucra las aceleraciones

observadas desde el sistema inercial debido a la presencia de−→ω ,.−→ω y de

..−→R :

−→F −m[

..−→R +

.−→ω ×−→r +−→ω × (−→ω ×−→r ) + 2−→ω ×−→vr ] = m−→a r (5.4)

Para el caso particular en que la rotacion sea constante y el origen no este acelerado:..−→R= 0,

.−→ω=0 quedan dos terminos para agregar a la fuerza aplicada

−→F para reproducir la aceleracion−→ar :

el termino centrıfugo:

−m−→ω × (−→ω ×−→r )

y el termino de Coriolis:

−2m−→ω ×−→vr

−→F −m−→ω × (−→ω ×−→r )− 2m−→ω ×−→vr = m−→a r

137

MECANICA CL ASICA

5.2.1. Termino centrıfugo

Un observador en reposo en el sistema no inercial le asigna el caracter de fuerza a este termino:

−→f centrıfugo = −m−→ω × (−→ω ×−→r )

= −m(−→ω · −→r )−→ω − ω2−→r

Es una fuerza aparente, normal tanto al eje de rotacion n (definido por el vector−→ω = ωn) como ala velocidad tangencial−→v t = −→ω ×−→r . Esta fuerza aparente normal al eje de rotacion esta dirigidahacia afuera, de allı el nombre de centrıfuga.

Un observador parado en la Tierra percibira el efecto del termino centrıfugo. Para un cuerposituado en la vertical que pasa por los polos su valor es nulo, pues−→ω es paralelo a−→r . En cambio uncuerpo situado en una vertical que pasa por el Ecuador percibira el valor maximo de este termino:

fmaximocentrifugo = mω2r

donde para la Tierrar es aproximadamente6,37 × 106 metros, yω = 2π86164

[s−1

]= 7,292 ×

10−5[s−1

]. Resulta:

fmaximocentrifugo = 3,4m× 10−2[m

s2

](5.5)

Un efecto inmediato de este resultado es que, dejando de lado inhomogeneidades geologicaslocales de la Tierra, la aceleracion con que cae un cuerpo en el Polo es superior en el valor (5.5) ala aceleracion en el Ecuador. La diferencia medida es en realidad mas grande:5,2× 10−2

[ms2

], lo

que se debe a que la Tierra no es una esfera perfecta sino que esta achatada en los Polos (el radioen el Ecuador es del orden de21 kil ometros mayor que en los Polos).

5.2.2. Termino de Coriolis

La fuerza aparente de Coriolis se manifiesta a un observador no inercial como actuando sobreuna partıcula en movimiento relativo respecto del mismo. Por ejemplo: si una partıcula se mueveen lınea recta en un sistema inercial(x

′, y

′, z

′), un observador en un sistema(x, y, z) que rota con

velocidad angular−→ω le atribuira una trayectoria curvilınea, y por lo tanto asumira la existencia deuna fuerza generadora de la aceleracion correspondiente tal como se muestra en la figura 5.2.

La fuerza de Coriolis se manifiesta en la superficie terrestre en fenomenos atmosfericos dondehay masas de aire en movimiento, y produce desviaciones respecto de la vertical en la caıda de loscuerpos vista por un observador fijo a la Tierra. La forma de esta fuerza aparente es:

−→f Coriolis = −2M−→ω ×−→v r

Consideramos en primer lugar un

Cuerpo en caıda libre sobre la superficie de la Tierra:Desde un marco inercial es muy sencillo describir la trayectoria de un cuerpo sometido a la

fuerza de la gravedad terrestre. Por ejemplo, un cuerpo sostenido a una alturah sobre un punto

138


Figura 5.2:Trayectoria aparente de una partıcula libre observada desde un sistema no inercial

P en el Ecuador es liberado en un instante dado (figura 5.3): para un observador externo inercialubicado fuera de la Tierra dicho cuerpo tiene al tiempo inicial una velocidad paralela al planoterrestre cuyo valor es

vC = (R+ h)ω

mientras que el punto sobre la superficie se mueve con velocidad

vP = Rω

La velocidad relativa en direccion horizontal entre cuerpo y puntoP es entonces:

dxCPdt

= zω

La ecuacion de Newton para la coordenadaz es

..z= −g

luegodz/dt = −gt , z = h− 12gt

2, t(0) =√

2h/g y:

xCP (z = 0) =∫ t(0)

0zωdt = ω

∫ √2h/g

0(h− 1

2gt2)dt

= ω√

2h3/g − 16ωg (2h/g)3/2

= ω√

2h3/g − 13ω√

2h3/g

=23ω√

2h3/g (5.6)

139

MECANICA CL ASICA

Figura 5.3:Caıda de un cuerpo sobre el Ecuador vista por un observador inercial

Visto por un observador solidario a la Tierra, el cuerpo esta sometido a la fuerza de Coriolis ya la de gravedad y la centrıfuga a lo largo de la verticalz; las ecuaciones del movimiento son:

..x= −2ω

.z (5.7)

..z= −g − 2ω

.x +ω2(R+ z)

dondeg = 9, 8ms2

,ω = 7, 27×10−5 1s ,R = 6, 37×106m. Consideraremos valoresh ≤ 104m y

.z≤ 103m

s para el cuerpo moviendose en la atmosfera, entonces podemos simplificar esta ecuacion:

..z∼= −g (5.8)

Integramos una vez las ecuaciones (5.7,5.8)

.x= −2ω(z − h)

z ∼= h− 12gt2

entonces

.x= ωgt2

y

x =13ωgt3 =

13ω [2h/g]3/2

=23ω√

2h3/g (5.9)

140


reencontramos el resultado (5.6) obtenido en el marco inercial.El resultado (5.9) nos dice que un cuerpo en caıda libre desde el reposo se desviara 1 metro de

la vertical a causa de la fuerza de Coriolis si es dejado caer desde una altura de 2.500 metros.Estudiamos ahora el caso de

Cuerpo en movimiento horizontal sobre la superficie de la Tierra:Nos ubicamos en el hemisferio sur a una latitudα Supongamos una partıcula en el Hemisferio

Sur que se mueve con velocidadvr en la direccionβ respecto del meridiano, tal como mostramosen la figura 5.4.

Figura 5.4:Aceleracion de Coriolis de una partıcula que se mueve en el plano de la superficie terrestre enel Hemisferio Sur

Los vectores−→ω y −→v r en el sistema de coordenadas dondeez define la vertical local son:

−→ω = ω (cosαex − sinαez)

−→v r = vr (cosβex + sinβey)

por lo que la aceleracion de Coriolis resulta:

−→a Coriolis =−→f Coriolis

m= 2ωvr sinα (− sinβex + cosβey) (5.10)

−2ωvr cosα sinβez

141

MECANICA CL ASICA

La velocidad angular de la Tierra es

ω =2π

24× 3600= 7,27× 10−5

[s−1

]entonces para las velocidades alcanzadas por masas de aire o aeronaves la aceleracion vertical deCoriolis puede despreciarse frente a la aceleracion de la gravedad.

La aceleracion de Coriolis en el plano de la superficie terrestre puede en cambio no ser des-preciable. Consideremos el caso de un centro de baja presion que atrae el aire que lo rodea; sisuponemos por ejemplo una velocidad radialv = 10

[mseg

]la aceleracion de Coriolis vale:

−→a Coriolis = 14,5× 10−4 sinα (− sinβex + cosβey)[m

s

]En una hora el aire se acerca36 kil ometros hacia el centro de baja presion, y en ese lapso la

velocidad tangencial adquirida sera

vtng ∼= 5,2[m

seg

]que es del orden de la velocidad radial de partida.

En la figura 5.5 mostramos el sentido de rotacion en sentido horario del aire en torno de uncentro de baja presion en el Hemisferio Sur. Estas masas de aire rotantes se denominan centrosciclonicos. Los centros anticiclonicos estan centrados en un punto de alta presion y giran en elsentido antihorario pues cambia el sentido de la velocidad radial respecto del calculo precedente.

Figura 5.5:Generacion de un centro ciclonico en torno de un punto de baja presion en el Hemisferio Sur

142


La unica diferencia entre un Hemisferio y otro es el sentido del vector−→ω , que es salienteen el Polo Norte; por ello en el Hemisferio Norte se invierten los sentidos de giro de ciclones yanticiclones respecto de los que hemos determinado para el Hemisferio Sur.

El valor de la fuerza de Coriolis para un cuerpo que se mueve a lo largo de una vertical sobreel Ecuador (−→ω × −→vr = ωvr) con una velocidad de1

[mseg

]y siendoω = 2π/24

[horas−1

]=

7,27× 10−5[s−1]

resulta

fCoriolis/m = 1,454× 10−4[m

s2

]

por lo que se requieren velocidades del orden de los100[ms

]para que la fuerza de Coriolis

adquiera una magnitud comparable a la centrıfuga.

5.3. Mitos en torno de la fuerza de Coriolis. (Opcional)

5.3.1. La marina inglesa olvid o que la fuerza de Coriolis cambia de signoen el Hemisferio Sur.

Recien iniciada la Primera Guerra Mundial, en diciembre de 1914 tuvo lugar una batalla navalen cercanıas de las Islas Malvinas. Una escuadra alemana al mando del almirante Graaf von Speese enfrento barcos ingleses cuyo buque insignia era el crucero Invincible. Los canones del Invinci-ble disparaban proyectiles de 385 Kilogramos con una velocidad inicialv0 de 830 metros/segundoy un alcance maximo de 23 Kilometros.

Un relato muy difundido dice que los artilleros ingleses se vieron sorprendidos al notar que susdisparos caıan consistentemente a la izquierda de los buques alemanes, a pesar de que al apuntarlos canones hacia el blanco se efectuaban las correcciones correspondientes, incluida la de lafuerza de Coriolis. Finalmente atribuyeron el error a que se aplicaba la correccion por Coriolisvalida para el Hemisferio Norte, donde la desviacion del proyectil se produce hacia la derecha delblanco en tanto en el Sur se produce hacia la izquierda. La correccion entonces desviaba la mirahacia la izquierda del blanco, lo que incrementarıa al doble la desviacion del proyectil en lugar decancelarla. La figura 5.6 describe la trayectoria del proyectil y su desviacion hacia la izquierda delblanco en el Hemisferio Sur.

Calculamos la deflexion del proyectil usando coordenadas cartesianas dondez es la verticallocal, y la superficie terrestre es aproximada por el planox, y. El proyectil es disparado en elplanox, z en la direccion θ respecto dex. Las fuerzas actuantes son la de la gravedad−gez yla de frenamiento por el aire en direccion opuesta a la del movimiento:−−→F (v)−→v /v. Como loadelantaramos en la Seccion 1.8.2, a bajas velocidades (menores que30

[ms

]) la funcionF (v) es

aproximadamente lineal, luego hasta la velocidad del sonido en el aire (v ≡ 330[ms

]) se describe

mejor por una forma cuadratica, y a mayores velocidades retoma un comportamiento lineal. Vamosa proponer una forma cuadraticaF (v) = kv2 para todo el rango de velocidades, ajustando elfactork para que el alcance maximo reproduzca el valor conocido. La fuerza de Coriolis

−→F c =

−2M−→ω ×−→v produce una desviacion de la trayectoria en la direcciony en el planox, y, tal comose muestra en la figura 5.4.

143

MECANICA CL ASICA

Figura 5.6:Trayectoria del proyectil en el Hemisferio Sur debido a la fuerza de Coriolis, cuando el armaapunta directamente al blanco

Integramos numericamente las ecuaciones del movimiento en las tres coordenadas del proyec-til (de hecho son las coordenadas de su centro de masas, la descripcion completa debiera incluirlos grados de libertad de orientacion y rotacion del proyectil como cuerpo macroscopico):

Md2x

dt2= −kdx

dtv

Md2y

dt2= −kdy

dtv − 2Mω

dx

dt

Md2z

dt2= −g − k

dz

dtv

dondev =√(

dxdt

)2+(dydt

)2+(dzdt

)2y las condiciones iniciales son:x(0) = y(0) = z(0) = 0,

dxdt

∣∣∣0

= v0 cos θ0, dydt

∣∣∣0

= 0, dzdt

∣∣∣0

= v0 sin θ0.

Los resultados obtenidos para diferentes inclinaciones del arma se representan en la figura 5.7.Vemos que el alcance maximo se logra paraangulos del orden de40o, apreciablemente inferioresal de45o de tiro en el vacıo debido al efecto de la friccion en el aire.

La desviacionyf del proyectil en la direcciony al impactar en el suelo generada por la fuerzade Coriolis se presenta en la figura 5.8. Vemos que para alcancesxf entre15 y 21 kil ometros varıaentre20 y 60 metros.

144


Figura 5.7:Trayectoria de los proyectiles modelando el frenamiento del aire por una funcin cuadratica enla velocidad, y tomando los valores declarados de velocidad inicial y peso del proyectil. El coeficiente defrenamiento se fija de modo de reproducir el alcance mximo del arma

Vamos a comparar la magnitud de esta desviacion respecto de otras causas tales como el erroren la determinacion de la velocidad relativa transversal entre el arma y el blanco. Si conocemosesta velocidad con un errorδv, la desviacion del proyectil esta indeterminada enδv× T , dondeTes el tiempo de vuelo del proyectil. El calculo numerico determinaT ; con estos tiempos de vuelocalculamos el errorδv en la velocidad transversal que produce la misma desviacion que la fuerzade Coriolis. Los resultados obtenidos son los siguientes:

xf (Km) 15 18 21 23T (s) 25 36 45 54yf (m) 23 42 61 80δv(ms ) 1,1 1,2 1,4 1,5

Encontramos que la desviacion por Coriolis hasta alcances de23Km es menor a la produci-da por un errorδv = 1,5

[ms

]en la velocidad relativa transversal arma-blanco, que corresponde

a δv ≤ 5[Kmhora

]. Si la correccion por el efecto de la fuerza de Coriolis hubiera tenido el signo

incorrecto (correspondiente al Hemisferio Norte) los disparos a un blanco situado entre 15 y 21Kil ometros se habrıan desviado entre 40 y 120 metros. Estos son valores que difıcilmente hubie-ran sorprendido a los artilleros de esaepoca: el control de disparos se realizaba por observadorescon vista especialmente aguda, que determinaban la distancia al blanco usando un telemetro, y

145

MECANICA CL ASICA

Figura 5.8:Desviacion del proyectil del planox, z en la direcciony debido a la fuerza de Coriolis al finalde su trayectoria

mediante sucesivas observaciones de distancia y posicion se calculaba su rumbo y velocidad, todoesto sobrellevando el cabeceo de su propia embarcacion y en las pobres condiciones de visibilidadde los combates (ver la figura 5.9 del Invincible con las humeantes chimeneas de sus calderas amaxima presion durante la batalla de las Malvinas). Quizas los marinos ingleses olvidaron quela deflexion de Coriolis cambia de signo al cruzar el Ecuador pero, si existio, ese supuesto olvi-do paso desapercibido en un todo de acuerdo con los relatos de testigos de esa batalla, que nomencionan el error con el signo de la fuerza de Coriolis.

5.3.2. Al desagotar una ba nera el agua gira en el sentido horario en elHemisferio Sur, y a la inversa en el Hemisferio Norte.

Esta afirmacion es un clasico de los textos de Mecanica, y en principio parece totalmentevalida: es simplemente la reproduccion a escala hogarena de los centros ciclonicos de la atmosfera.Estimamos el orden de magnitud de la aceleracion de Coriolis considerando una partıcula que semueve en direccion er hacia un centro atractivo (en este caso el desagote de la banera) con unavelocidadv = 1[ms ]. Vemos de la ecuacion (5.10) que la magnitud de la aceleracion de Coriolisen el plano horizontal es

ahorizCoriolis = 2ωv sinα

146


Figura 5.9: El Invincible se dirige a todo vapor al combate de las Malvinas.(http : //www.gwpda.org/naval/j0600000.htm)

α es la latitud del punto, maxima en el Polo. Reemplazando el valor deω definido en (5.2.2)encontramos que

ahorizCoriolis ≤ 1,45× 10−4[m

s2]

y al recorrer una distancia de 1 metro la velocidad tangencial esta acotada por:

vhorizCoriolis ≤ 1,45× 10−4[m

s]

Vemos que el efecto de la fuerza de Coriolis es muy pequeno sobre cuerpos que se muevencon velocidades del orden de la unidad y en recorridos tambien del mismo orden. En efecto, paraobservar la circulacion en sentido horario del agua de la banera es necesario un recipiente conperfecta simetrıa cilındrica, reducir a un mınimo las perturbaciones externas sobre el agua talescomo gradientes de temperatura, y tener un drenaje muy lento. En esas condiciones, al cabo de 15minutos de drenaje comienza a observarse la circulacion horaria del agua[18].

Concluimos que es inutil pretender observar el remolino en sentido horario cuando usted vacıasu banera, pileta o lavatorio, siendoeste otro mito creado en torno de la fuerza de Coriolis.

5.4. Ejemplos

5.4.1. Cuerpo en caıda libre

Vamos a estudiar la caıda libre de un cuerpo situado a una alturah sobre la superficie de laTierra, a una latitud definida por elanguloθ medido respecto del eje de rotacion terrestre, figura5.10.

147

MECANICA CL ASICA

Figura 5.10:Cuerpo en caıda libre en la superficie de la Tierra

La vertical local sera la direccion de la fuerza resultante de la gravedad y el termino centrıfugo,y llamaremos gravedad efectiva a esta resultante:

m−→g ef = m−→g −m−→ω × (−→ω ×−→r )

En el sistema de coordenadas no inercial solidario a la Tierra aparece el termino de Coriolis,cuyo efecto sobre el movimiento del cuerpo visto desde este sistema es equivalente a la accion deuna fuerza−2m−→ω ×−→vr :

m−→g ef − 2m−→ω ×−→vr = m−→a r

En ausencia del termino de Coriolis el cuerpo cae a lo largo de la vertical

..x0 (t) =

..y0 (t) = 0

..z0 (t) = −gef

y es descrito por

x0(t) = y0(t) = 0

z0(t) = h− 12gef t

2

148


Al tenerlo en cuenta las ecuaciones del movimiento se complican:

−2ω.y (t) cos θ =

..x (t) (5.11)

2ω( .x (t) cos θ+

.z (t) sin θ

)=..y (t) (5.12)

−2ω.y (t) sin θ =

..z (t) (5.13)

Sabemos que el termino de Coriolis es pequeno frente a la fuerza de gravedad, entonces pode-mos realizar una descripcion aproximada reemplazando las velocidades en los miembros izquier-dos de (5.11-5.13) por sus valores en ausencia del termino de Coriolis:

.x0 (t) =

.y0 (t) = 0

.z0 (t) = −gef t

resultando el siguiente conjunto de ecuaciones del movimiento:

..x (t) = 0..y (t) = −2ωgef t sin θ..z (t) = −gef

que se resuelve facilmente:

x(t) = 0

y(t) = −13ωgef t

3 sin θ

z(t) = −12gef t

2

Entonces el cuerpo tarda el mismo tiempo en llegar al suelo cuando se tiene en cuenta eltermino de Coriolis, pero impacta desviado de la vertical en una cantidad−1

3ωgef t3 sin θ , que

conserva el signo en ambos hemisferios terrestres y es maxima en el Ecuador(θ = π2 ).

Concluimos que la trayectoria de un cuerpo en caıda libre se desvıa hacia el Este respecto de lavertical local a la superficie terrestre debido a la presencia del termino de Coriolis. Esta desviacionpuede interpretarse de forma muy sencilla: visto desde un sistema inercial el cuerpo posee unavelocidad tangencial que es mayor que la de la superficie terrestre, entonces su desplazamientohacia el Este sera superior al del punto de la superficie ubicado sobre su vertical.

5.4.2. Pendulo de Foucault

Consideremos un pendulo de longitud suspendido sobre un punto de latitudθ y que tiene dosgrados de libertad, elegidos como las coordenadas(x, y) en el plano horizontal[20][19].

La fuerza−→R resultante de la gravedad, centrıfuga y de vınculo define la direccion z de la

vertical local:

149

MECANICA CL ASICA

Rx = −gef`x

Ry = −gef`y

Rz = 0

En la aproximacion de pequenas oscilaciones la coordenadaz es aproximadamente constante:z = 0 en el sistema de coordenadas definido en la figura 5.11:

Figura 5.11:Pendulo de Foucault

Las ecuaciones del movimiento considerando la fuerza de gravedad efectiva y la de Coriolisresultan

..x (t) = −gef

`x(t)− 2ω cos θ

.y (t)

..y (t) = −gef

`y(t) + 2ω cos θ

.x (t)

La simetrıa de estas ecuaciones nos sugiere probar una solucion para la variable compleja

u(t) = x(t) + iy(t)

150


que esta definida por la ecuacion diferencial

..u (t) = −gef

`u(t) + i2ω cos θ

.u (t) (5.14)

Esta ecuacion a coeficientes constantes admite soluciones particulares del tipo:

u(t) = Aeikt

que reemplazadas en (5.14) imponen la siguiente condicion sobre el parametrok

k2 − gef`− k2ω cos θ = 0

k± = ω cos θ ±√gef/`+ ω2 cos2 θ

Dado que la frecuencia natural del penduloω0 =√gef/` es muy superior a laω de rotacion

de la Tierra podemos aproximar:

k± = ω cos θ ± ω0

y la solucion general resulta

u(t) = eiωt cos θ(Aeiω0t +Be−iω0t

)Supongamos como condicion inicial que el pendulo esta separado del equilibrio en la direccion

x (a lo largo del meridiano) con velocidad inicial nula

x(0) = d ,.x (0) = 0 , d `

entonces:

u(0) = d = A+B.u (0) = 0 = iω cos θ(A+B) + iω0(A−B)

despreciandoω frente aω0 la solucion para las constantesA,B resulta:

A = B =d

2

y las coordenadasx, y del pendulo resultan:

x(t) = d cos(ωt cos θ) cosω0t

y(t) = d sin(ωt cos θ) cosω0t

151

MECANICA CL ASICA

Vemos que el pendulo comienza oscilando en el plano(x, z) con amplitudd y frecuenciaω0,y va cambiando el plano de oscilacion que rota con frecuenciaω cos θ, de modo que al cabo de untiempo

t =π

2ω cos θesta oscilando como un pendulo lineal en la direcciony.

Es facil interpretar el movimiento del pendulo de Foucault cuando lo ubicamos en la verticalde uno de los Polos: su punto de sujecion no esta sometido a ninguna aceleracion de modo queoscila como si estuviera colgado en un sistema inercial, y quienes rotan con velocidadω son losejes(x, y) sobre los que se proyecta el movimiento.

El pendulo de Foucault es una demostracion contundente del movimiento de rotacion terrestre,presentada por primera vez por su creador en el Panteon de Parıs en 1851.

5.5. Grados de libertad de un cuerpo rıgido

Un cuerpo rıgido es un conjunto de puntos materiales o una distribucion continua de masa talque las distancias entre sus componentes permanecen invariables. Considerando al cuerpo formadopor N puntos materiales, solamente se necesita conocer la posicion de tres de ellos para fijar la delos demas a partir de la constancia en la distancia relativa entre partıculas. Los tres puntos elegidosposeen nueve coordenadas limitadas a su vez por las tres condiciones de vınculo que fijan lasdistancias entre ellos, por lo que un cuerpo rıgido posee seis grados de libertad (figura 5.12)

Figura 5.12:Condiciones de vınculo ente los puntos de un cuerpo rıgido

(Acotacion: partir de los tres puntos elegidos para definir la posicion de los demas, el cuartopunto posee una ambiguedad: tanto podemos ubicarlo por arriba como por debajo del triangulo

152


formado por los tres puntos de referencia. A partir del quinto punto no hay mas problemas, peropodemos ası construir el rıgido de dos maneras que difieren en una reflexion del cuerpo en el planodefinido por los tres puntos iniciales).

Otra forma de fijar los grados de libertad de un rıgido consiste en definir las tres coordenadasde un punto cualquiera del cuerpo, luego se hace pasar por ese punto un eje solidario al rıgidoque queda determinado por ejemplo por las dos direcciones que lo definen en un sistema de co-ordenadas esfericas (angulos polar y acimutal); fijado el punto y el eje, elunico grado de libertadrestante para el cuerpo es girar alrededor de ese eje, por lo tanto el rıgido posee seis grados delibertad (figura 5.13)

Figura 5.13:Grados de libertad a partir de un eje solidario al cuerpo rıgido

Se requiere entonces fijar tresangulos para determinar la orientacion del cuerpo.Las propiedades de un cuerpo rıgido, tales como su energıa o su evolucion temporal bajo

la accion de fuerzas externas, dependeran de la ubicacion relativa de los puntos materiales quelo forman. Esta distribucion de masa adopta la forma mas simple en un sistema de coordenadassolidario al cuerpo, porque enel las coordenadas de los puntos materiales son independientes deltiempo. Como contrapartida, este sistema de ejes sera en general no inercial.

Elegiremos las seis coordenadas generalizadas utilizando un sistema de ejes cartesianos so-lidario al cuerpo. La posicion del cuerpo queda totalmente definida por las tres coordenadas delorigen de la terna solidaria y los tresangulos que definen la orientacion de esta terna respecto delsistema coordenado inercial elegido, que es externo al cuerpo.

Salvo que el cuerpo tenga una condicion de ligadura que fije las coordenadas de uno de sus

153

MECANICA CL ASICA

puntos, es conveniente elegir al centro de masas del cuerpo como origen del sistema solidario. Estosimplifica el calculo de la energıa cinetica e impulso angular en el marco de referencia inercial.

5.6. Energıa cin etica

Las leyes de la dinamica son validas en un marco inercial, por lo que para describir la evoluciondel cuerpo rıgido nos ubicamos en un sistema de referencia inercial con origen enO

′, donde

definimos la posicion del punto materialα de masamα como−→r ′α. Consideramos un cuerpo rıgidoformado porN puntos materiales y escribimos su energıa cinetica en el sistemaO

′:

TO′ =12

∑α

mα(d−→r ′αdt

)2

Expresaremos la energıa cinetica en funcion de la velocidad del centro de masas y de la ve-locidad relativa al mismo medidas desde el sistema inercial:

−→r ′α = −→R +−→r α

d−→r ′αdt

=d−→R

dt+d−→r αdt

Se produce el resultado conocido (ver Seccion 1.9.1) de separacion en energıa cinetica delcentro de masas y energıa cinetica relativa:

TO′ =12Md−→R

dt

2

+ TCM

TCM =12

N∑α=1

mα

(d−→r αdt

)2

dondeTCM es la energıa cinetica relativa al centro de masas, de allı el subındiceCM , y:

M =N∑α=1

mα

Para el calculo de la derivadad−→r αdt , que da cuenta de la variacion temporal de la posicion del

puntoα en el sistema solidario al cuerpo, empleamos el resultado (5.3):

d−→r αdt

= −→Ω ×−→r α +−→v r,α

donde−→Ω es la velocidad angular de rotacion de la terna solidaria(x1, x2, x3) vista desde el sis-

tema inercial, y la velocidad relativa−→v r,α del puntoα en esta terna es nula por ser precisamentesolidaria al cuerpo rıgido:

d−→r αdt

= −→Ω ×−→r α

154


La energıa cinetica relativa resulta ası:

TCM =12

N∑α=1

mα(−→Ω ×−→r α)2

Desarrollamos el producto vectorial:

(−→Ω ×−→rα)2 = Ω2(r2α sin2(−→Ω ,−→r α)= Ω2r2α −

−→Ω .−→r α)2

Conocidos los vectores−→Ω y−→r α , sus modulos y producto escalar pueden expresarse en termi-

nos de sus componentes en cualquier sistema de ejes, en particular nos va a convenir definirlos enel sistema solidario al cuerpo rıgido:−→r α = (xα1 , x

α2 , x

α3 ),−→Ω = (Ω1,Ω2,Ω3)

(−→Ω ×−→r α)2 = Ω2rα2 − (

3∑i=1

Ωixαi )2

=3∑

i,j=1

[rα2δij − xαi xαj ]ΩiΩj

Finalmente, la energıa cinetica relativa resulta:

TCM =12

∑α

mα

3∑i,j=1

[r2αδij − xαi xαj ]ΩiΩj

=12

3∑i,j=1

ICMij ΩiΩj (5.15)

donde:

ICMij =∑α

mα[r2αδij − xαi xαj ] (5.16)

es el tensor de inercia del cuerpo rıgido respecto de un sistema solidario con origen en el centrode masas, una propiedad geometrica determinada por la distribucion espacial de masa del cuerpo.

En el caso en que una condicion de vınculo fije la posicion de un puntoO del cuerpo se reducena tres los grados de libertad del cuerpo. Sera entonces conveniente tomar a este punto como origende la terna solidaria y la energıa cinetica total es simplemente la energıa cinetica relativa al origenO. Su forma es identica a la de (5.16) salvo que ahora el tensor de inercia esta referido a lascoordenadas−→r Oα = −→

R +−→r α = (xαO1, xαO2, x

αO3) con origen enO:

155

MECANICA CL ASICA

T = TO =12

3∑i,j=1

IOijΩiΩj

IOij =∑α

mα[r2Oαδij − xαOixαOj ] (5.17)

La relacion entre el tensor de inercia definido respecto a una terna con origen en el centro demasas y otra terna paralela a la anterior y con origen arbitrario esta dada por el teorema de Steiner,que demostraremos mas adelante.

5.7. Tensor de inercia

El tensor de inercia puede asimilarse a una matriz real, simetrica, de dimension 3 × 3. Suscomponentes

I =

∣∣∣∣∣∣∣I11 I12 I13I21 I22 I23I31 I32 I33

∣∣∣∣∣∣∣ (5.18)

son:

I =

∣∣∣∣∣∣∣∑αmα[(xα2 )2 + (xα3 )2] −

∑αmαx

α1x

α2 −

∑αmαx

α1x

α3

−∑αmαx

α1x

α2

∑αmα[(xα3 )2 + (xα1 )2] −

∑αmαx

α2x

α3

−∑αmαx

α1x

α3 −

∑αmαx

α2x

α3

∑αmα[(xα2 )2 + (xα1 )2]

∣∣∣∣∣∣∣ (5.19)

Los terminos diagonalesI11, I22, I33 se denominan momentos de inercia, en tanto que los nodiagonales son los productos de inercia o momentos centrıfugos.

Si el cuerpo rıgido esta constituido por una distribucion continua de masa definida por unadensidadρ(−→r ), la sumatoria sobre puntos discretosα se reemplaza por una integral sobre elvolumen del cuerpo:

Iij =∫d3rρ(−→r )(r2δij − xixj)

5.8. Impulso angular

El impulso angular del cuerpo rıgido respecto del origen de coordenadas inercial−→LO′ tambien

se puede separar en una parte que depende del movimiento del centro de masas mas el impulsoangular relativo aeste

−→LCM :

−→LO

′ = M−→R × d

−→R

dt+−→LCM

El impulso angular relativo es:

156


−→LCM =

∑α

mα−→r α × (−→Ω ×−→r α)

=∑α

mα[r2α−→Ω − (−→Ω .−→r α)−→r α]

Cada componente resulta:

LCM,i =∑α

mα[r2αΩi − xαi

3∑j=1

Ωjxαj ]

=3∑j=1

∑α

mα[r2αδij − xαi xαj ]Ωj

esto es:

LCM,i =3∑j=1

ICMij Ωj (5.20)

El vector impulso angular relativo es:

−→LCM =

3∑i=1

LCM,iei

=3∑i=1

3∑j=1

eiICMij Ωj (5.21)

que simbolizamos por la notacion:

−→LCM = ICM .

−→Ω (5.22)

La representacion ICM del tensor de inercia es la siguiente:

ICM =3∑

i,j=1

eiICMij ej

Este producto de pares de vectores se llama diada, no debemos confundirlo con productosescalaresei.ej . El producto escalar de la diadaICM con un vector

−→A por izquierda se define por:

−→A.ICM =

3∑i,j=1

−→A.eiI

CMij ej

=3∑

i,j=1

aiICMij ej

157

MECANICA CL ASICA

que es en general diferente del producto por derecha:

ICM .−→A =

3∑i,j=1

eiICMij ej .

−→A

=3∑

i,j=1

eiICMij aj

La expresion (5.21) tambien puede representarse en forma matricial, donde los vectores sonmatrices de tres filas y una columna:∣∣∣∣∣∣∣

LCM1

LCM2

LCM3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣ICM11 ICM12 ICM13

ICM21 ICM22 ICM23

ICM31 ICM32 ICM33

∣∣∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣∣∣

Ω1

Ω2

Ω3

∣∣∣∣∣∣∣ (5.23)

Tanto (5.22) como (5.23) son representaciones equivalentes de la forma explıcita (5.21) delimpulso angular.

Finalmente, la expresion (5.15) de la energıa cinetica del cuerpo rıgido:

T =12MV 2 +

12

3∑i,j=1

ICMij ΩiΩj

se puede presentar de manera compacta haciendo uso de (5.22):

T =12MV 2 +

12−→Ω .(ICM .

−→Ω)

=12MV 2 +

12−→Ω .−→LCM

En el caso en que las condiciones de vınculo fijen un puntoO del cuerpo rıgido, convieneelegirlo como origen de coordenadas. Al igual que para la energıa cinetica, el impulso angulartotal se reduce al impulso angular relativo y su forma es identica a (5.21)

−→LO =

3∑i=1

3∑j=1

eiIOijΩj (5.24)

con el tensor de inercia dado por (5.17).

5.9. Ejes principales de inercia

Vemos en las expresiones (5.21, 5.24) para el impulso angular relativo

−→L = I−→Ω ≡

3∑i=1

3∑j=1

eiIijΩj

158


que a diferencia con el caso de una masa puntual el vector impulso angular no tiene la mismadireccion que el vector velocidad angular. Para que esto ocurraI deberıa reducirse a una matrizproporcional a la identidad:

I = c

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣lo que solo es posible para ciertos cuerpos de alta simetrıa, como es el caso de una esfera o un cubohomogeneos y en un sistema solidario centrado en el centro de masas. Estos cuerpos son llamadostrompos esfericos.

En cambio vamos a mostrar que mediante una rotacion de los ejes coordenados siempre esposible reducir el tensor de inercia a la forma diagonal:

Id =

∣∣∣∣∣∣∣I1 0 00 I2 00 0 I3

∣∣∣∣∣∣∣aun en este caso

−→L y

−→Ω no tendran en general la misma direccion, salvo cuando−→Ω esta dirigido

a lo largo de uno de los ejes, por ejemplo si:

−→Ω ≡ (Ω1, 0, 0)

produce:

−→L ≡ (I1Ω1, 0, 0)

5.9.1. Rotaciones del sistema de ejes solidario al cuerpo

A partir de las definiciones (5.18-5.19) encontramos la ley de transformacion de las compo-nentes del tensor frente a una rotacion de los ejes solidarios al cuerpo de(x1, x2, x3) a(x′1, x

′2, x

′3).

La rotacion esta representada por la matriz ortogonalA ≡ aij que produce la transformacionde las componentes desde la base(e1, e2, e3) a la (e′1, e

′2, e

′3). Las componentes de un vector se

transforman de la siguiente manera

x′i =

3∑j=1

aijxj (5.25)

Dado que la rotacion de ejes conserva el modulo de los vectores

3∑i=1

x′2i =3∑j=1

3∑k=1

aijaikxjxk =3∑i=1

x2i

se requiere que

3∑i=1

aijaik = δjk (5.26)

159

MECANICA CL ASICA

Usando (5.26) en (5.25)3∑i=1

aikx′i =

3∑i=1

3∑j=1

aikaijxj = xk

hallamos la transformacion inversa

xk =3∑i=1

aikx′i

y la relacion equivalente a (5.26) es ahora:

3∑k=1

aika`k = δi` (5.27)

Aplicando la transformacion (5.25) y la relacion de ortogonalidad (5.27) a un tensor de inerciaobtenemos

I ′ij =∑α

mα[r2αδij − x′αi x′αj ]

=∑α

mα[r2α3∑

k=1

aikajk −3∑

k,`=1

aikaj`xαkx

α` ]

=3∑

k,`=1

aikaj`∑α

mα[r2αδk` − xαkxα` ]

=3∑

k,`=1

aikaj`Ik`

que en notacion matricial se reduce a:

I′ = AIAt (5.28)

dondeAt es la matriz transpuesta:

(at)`j = aj`

Vemos de (5.26,5.27) que la matriz transpuesta es la matriz inversa deA :

A.At= At.A = 1 (5.29)

Las transformaciones (5.28) son llamadas de semejanza o de similaridad.Se denomina tensor de segundo rango al conjunto de numerosTij que se transforman de la

forma (5.28). Los vectores son tensores de primer rango, con componentes que se transforman dela forma

b′i =3∑`=1

ai`b`

En el Apendice A al final del Capıtulo 6 hay una breve descripcion de las operaciones derotacion en el espacio tridimensional.

160


5.9.2. Diagonalizaci on del Tensor de Inercia

Para llevar el tensor de inercia respecto de una ternaei a la forma diagonal producimosuna rotacion de estos ejes. La transformacion esta representada por una matriz ortogonal como ladefinida por (5.25,5.26,5.27). Una ecuacion vectorial como

−→L = I−→Ω

se transforma en:

A−→L = AI−→Ω

esto es:

A−→L = AIAtA−→Ω (5.30)

pues ya vimos (ecuacion 5.29) queAt = A−1 para matrices ortogonales.Proponemos hallar la matrizA que produce:

AIAt = Id

donde el tensorId es diagonal:

(Id)ij = Iiδij

Multiplicando por la derecha por la matrizA resulta:

AI = IdA (5.31)

La igualdad matricial (5.31) consiste de 9 ecuaciones

3∑j=1

aijIjk =3∑j=1

Iiδijajk , k = 1, 2, 3 , i = 1, 2, 3

que usando la simetrıa del tensorI se puede escribir de la forma:

3∑j=1

Ikjaij = Iiaik , k = 1, 2, 3 , i = 1, 2, 3

Los elementos de cada filai de la matrizA satisfacen un sistema de tres ecuaciones linealeshomogeneas:

I11ai1 + I12ai2 + I13ai3 = Iiai1 (5.32)

I12ai1 + I22ai2 + I23ai3 = Iiai2

I13ai1 + I23ai2 + I33ai3 = Iiai3

161

MECANICA CL ASICA

que posee solucion no trivial cuando se anule el determinante de los coeficientes:

det

∣∣∣∣∣∣∣I11 − Ii I12 I13I12 I22 − Ii I23I13 I23 I33 − Ii

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (5.33)

Comoesta es una ecuacion cubica posee tres raıces, y en el Apendice A probamos que todasellas son reales cuando como en nuestro caso la matrizI es real y simetrica (ecuaciones 6.62y 6.63). Estas raıces representan los tres valoresIi de los momentos principales de inercia. Aldeterminante (5.33) se lo llama determinante secular.

Reemplazando en las ecuaciones (5.32) las tres raıcesIi (i = 1, 2, 3), obtenemos solucionesno triviales para las respectivas filasai1, ai2, ai3. Por ser el determinante nulo, solamente dos delas ecuaciones del sistema (5.32) son linealmente independientes:

(I11 − Ii)ai1 + I12ai2 = −I13ai3I12a11 + (I22 − I1)a12 = −I23ai3

que nos permiten determinar las relacionesc1 = ai1/ai3 y c2 = ai2/ai3 :

(I11 − Ii)c1 + I12c2 = −I13I12c1 + (I22 − I1)c2 = −I23

Luego, usando la condicion de normalizacion (5.26) para las filas de una matriz ortogonal:

3∑p=1

(aip)2 = 1

podemos determinar el valor deai3 :

(c21 + c22 + 1)a2i3 = 1 (5.34)

La tarea recien concluıda de diagonalizar el tensor de inercia consistio en resolver las ecua-ciones (5.32) para cada valor delındicei. Estas ecuaciones pueden escribirse en la notacion vec-torial introducida en (5.31) como

I−→a i = Ii−→a i , i = 1, 2, 3 (5.35)

y la diagonalizacion es equivalente a resolver tres sistemas de ecuaciones del tipo (5.35). Lasincognitas son los tres vectores

−→a i = ai1e1 + ai2e2 + ai3e3

y los tres escalares

Ii

162


llamados autovectores y autovalores respectivamente de la matrizI. Las componentes de los au-tovectores son los elementos de cada fila de la matrizA de la transformacion y por consiguientede acuerdo a la definicion (6.45) del Apendice A son los vectores unitarios de la terna dondeI esdiagonal:

−→a i = e′i

Nosotros hemos adoptado el punto de vista pasivo para interpretar la transformacion ortogo-nal, que consiste en suponer fijos los vectores del espacio y rotar la terna de ejes de dicho espacio.Vemos en el Apendice A que si adoptaramos el punto de vista activo rotando los vectores y man-teniendo fija la terna, la matriz que representa la rotacion es la transpuestaAt, y en ese caso losautovectores del tensorI son las columnas de dicha matriz (ecuaciones 6.64 y 6.65).

De esta forma hemos resuelto el problema de hallar una terna de ejes donde el tensor de inerciadel cuerpo rıgido sea diagonal. Se los denomina ejes principales de inercia y a los valores de loselementos diagonales momentos principales de inercia.

En el sistema de ejes principales las componentes del impulso angular y la energıa cineticarelativos al centro de masas adoptan formas mas simples que las (5.20), (5.15):

Li =3∑j=1

IijΩj

se transforma enLi = IiΩi

T =12

3∑i,j=1

IijΩiΩj

se transforma en

T =12

3∑i=1

IiΩ2i

5.10. Elecci on del origen del sistema solidario al rıgido

Hay total libertad para elegir el punto O origen de la terna solidaria al cuerpo rıgido. Si laposicion y velocidad de los puntos del cuerpo vistas desde un sistema inercial estan determinadospor las ecuaciones

−→r′ = −→

RO +−→r O

d−→r′

dt=

.−→RO +−→Ω ×−→r O

En el caso de usar la terna solidaria con origen enO, podemos determinar como seran estas mag-nitudes cuando la terna solidaria tiene origen en otro punto A situado en la posicion

−→d respecto

deO (figura 5.14)

163

MECANICA CL ASICA

Figura 5.14:Cambio de origen de la terna solidaria al cuerpo rıgido

La rotacion instantanea esta determinada por el vector−→Ω tanto en magnitudΩ como en ubi-

cacion del eje de rotacion, que pasa por el puntoO. Si agregamos la misma rotacion−→Ω y su

opuesta−−→Ω actuantes ahora en la recta que pasa por el puntoA, no modificamos el movimientodel cuerpo pues sus efectos se cancelan mutuamente. El par

−→Ω enO y −−→Ω enA produce unavelocidad resultante para un punto cualquiera del cuerpo:

−→Ω × (−→r O −−→r A) = −−→Ω ×−→d

que es la misma para todos los puntos−→r O del cuerpo. Entonces representa una traslacion del

cuerpo que agregada al vector·−→R reproduce el movimiento de traslacion del puntoA.

Hemos encontrado entonces que la rotacion−→Ω es la misma independiente del origen elegido,

tiene magnitudΩ y actua en la direccion Ω que pasa por dicho punto. La posicion y velocidad delos puntos del cuerpo usando el origen A para el sistema solidario resultan entonces:

−→r′ = −→

RA +−→r A

.−→r′=

.−→RA +−→Ω ×−→r A

164


5.10.1. Teorema de Steiner

El tensor de inercia respecto de tres ejes centrados en un puntoO esta relacionado al tensorrespecto de dichos ejes pero ubicados en el centro de masas. Las coordenadasx′i de las partıculasrespecto del puntoO en funcion de las coordenadasxi respecto del centro de masas son:

x′i = xi + `i

donde−→ = (`1, `2, `3) es el vector posicion del centro de masas respecto deO (figura 5.15):

Figura 5.15:Dependencia del tensor de inercia con el origen de coordenadas

Para un elemento diagonal del tensor de inercia obtenemos:

I ′ii =∑α

mα(x′αj x′αj + x′αk x

′αk )

=∑α

mα(xαj xαj + xαkx

αk + `j`j + `k`k

+2`jxαj + 2`kxαk )

Los dosultimos terminos son nulos por definicion de centro de masas, entonces:

I ′ii = Iii +M(`2j + `2k) (5.36)

165

MECANICA CL ASICA

Para un elemento no diagonal encontramos:

I ′ij = −∑α

mαx′αi x

′αj

= −∑α

mα(xαi xαj + ì`j + ìx

αj + `jx

αi

que produce:

I ′ij = Iij −Mì`j (5.37)

Los resultados (5.36, 5.37) constituyen el llamado teorema de Steiner. Vemos que siI esdiagonal, el tensor de inerciaI′ respecto de un punto situado sobre uno de los ejes principalesde inercia tambien es diagonal pues solo una de las componentes de

−→es diferente de cero, de

modo queI ′ij = Iij .

5.11. Ejemplos

5.11.1. Tensor de inercia de un cubo

Vamos a calcular el tensor de inercia de un cubo homogeneo respecto de ejes con origen en elcentro de masas del mismo y que son normales a las caras del cubo, y por ejes con origen en unvertice y que coinciden con sus aristas (figura 5.16).

En el primer caso las componentes diagonalesIii son identicas dada la simetrıa del cuerpo,calculamos laI11 :

I11 = ρ

∫ L/2

−L/2dx1

∫ L/2

−L/2dx2

∫ L/2

−L/2dx3[x2

1 + x22 + x2

3 − x21]

= ρ

∫dx1

∫ L/2

−L/2dx2

∫ L/2

−L/2dx3(x2

2 + x23)

= 2ρL2∫ L/2

−L/2dx.x2

= 2ρL22(L/2)3/3= ρL5/6

entonces:

I11 = I22 = I33 = ρL5/6

Los terminos no diagonales tambien son identicos entre sı por simetrıa, y ademas son nulos:

I12 = −ρ∫ L/2

−L/2dx1

∫ L/2

−L/2dx2

∫ L/2

−L/2dx3.x1.x2

166


Figura 5.16:Cubo con ejes coordenados solidarios a sus aristas

= −ρL∫ L/2

−L/2dx1.x1

∫ L/2

−L/2dx2.x2

= 0

El tensor de inercia en la terna con origen en el centro de masas resulta entonces:

ICM =ρL5

6

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ (5.38)

Para calcular el tensor de inerciaIA respecto de ejes paralelos a las aristas y con origen en elvertice A utilizamos el teorema de Steiner:

I ′ii = Iii +M(`2j + `2k)

donde en nuestro problema:

`1 = `2 = `3 = L/2

M = ρL3

167

MECANICA CL ASICA

entonces:

I ′ii = Iii + ρL5/2

y los tres elementos diagonales son identicos:

I ′ii =2ρL5

3

Los elementos no diagonales son ahora no nulos:

I ′ij = Iij −M`i`j

= −ρL5

4

y el tensor de inercia en esta terna resulta:

IA =2ρL5

3

∣∣∣∣∣∣∣1 −3

8 −38

−38 1 −3

8−3

8 −38 1

∣∣∣∣∣∣∣5.11.2. El cubo es un trompo esf erico

El resultado (5.38) indica que el tensor de inercia es proporcional a la matriz unidad:

ICM =ρL5

61

Entonces la forma del tensor de inercia en un sistema de ejes rotado respecto del original sera:

I′CM =

ρL5

6A1At

=ρL5

6AAt

= ICM

por lo que el tensor permanece diagonal en cualquier terna con origen en el centro de masas. A loscuerpos que poseen esta propiedad se los denomina trompos esfericos.

5.12. Problemas

1. Un arma situada a una latitud de50 grados en el Hemisferio Norte y con una elevacion de45 grados sobre la horizontal local dispara un proyectil con una velocidad inicial de1000 metrospor segundo. Despreciando el frenamiento por el aire y suponiendo que el alcance del arma esdespreciable frente al radio terrestre calcule la desviacion generada por la fuerza de Coriolis en el

168


punto de impacto.

2. Un cohete autopropulsado se mueve a una altura fija respecto de la superficie terrestre convelocidad uniforme de1000 kil ometros por hora. Al momento del disparo desde el Polo Nortesu velocidad se orienta a lo largo del meridiano de 0 grados. Calcular cual es la coordenada delongitud del cohete al pasar por encima del Ecuador.

3. Una esfera de densidad uniforme de radioR tiene su centro en el origen O de un sistema decoordenadas cartesianas ortogonales.

3.1 Calcule los momentos principales de inercia, respecto del origen de coordenadas O, de lasemiesfera en el semiespacioz > 0.

3.2 Calcule dichos momentos principales respecto de ejes con origen en el centro de masas.

4. Calcular el momento de inercia de un cilindro homogeneo respecto de su eje de simetrıa.

169

MECANICA CL ASICA

170

Capıtulo 6

Dinamica del cuerpo rıgido

6.1. Introducci on

Armados con las herramientas matematicas del Capıtulo anterior: ecuaciones del movimien-to en sistemas no inerciales y tensor de inercia como descripcion del cuerpo rıgido en estudio,procederemos ahora a determinar la evolucion temporal del cuerpo mediante la solucion de lasecuaciones de Newton o de Lagrange para el caso de la presencia de condiciones de vınculo.

Para el caso de un cuerpo rıgido es solamente el movimiento de su centro de masas el queesta determinado por la segunda ley de Newton

−→F = d

−→P /dt. La evolucion mas interesante, que

es el movimiento del cuerpo rıgido relativo al centro de masas, esta dada por la variacion temporaldel impulso angular:

−→N = d

−→L/dt, donde

−→N es el torque de las fuerzas aplicadas relativo al centro

de masas.La presencia del torque como generador de cambios en la evolucion temporal del cuerpo rıgido

hace que el efecto producido por la aplicacion de una fuerza sobre el cuerpo aparezca como nointuitiva a primera vista. Por ejemplo, consideremos un cuerpo rıgido que esta rotando con unadada velocidad angular en torno de una direccion n, por lo que

−→L =

∣∣∣−→L ∣∣∣ n: si aplicamos una

fuerza−→F normal a dicha direccion, el cuerpo en lugar de moverse en la direccion de la fuerza lo

hara en la direccion normal a−→F . La razon es qued

−→L/dt tiene la direccion de

−→N que es normal

a−→F . Este es un ejemplo de las peculiaridades aparentes en la evolucion de un cuerpo rıgido que

estudiaremos en este Capıtulo.Las referencias generales de este capıtulo son los textos de Goldstein[1] y Landau y Lifshitz[2].

Ejemplos de aplicaciones de giroscopos en navegacion aerea pueden encontrarse en los textos deSynge y Griffith[21] y Halfman[22]. La teorıa basica de grupos y los grupos de rotaciones en dosy tres dimensiones esta presentada en forma sencilla en el libro de Wu-Ki Tung[23].

6.2. Ecuaciones del movimiento

La evolucion del cuerpo rıgido estara descrita por seis ecuaciones, tres para las coordenadasde uno de sus puntosO en el marco inercial elegido y tres para las coordenadas que describen laorientacion del cuerpo respecto de los ejes inerciales.

171

MECANICA CL ASICA

Cuando no haya condiciones de vınculo que fijen la posicion de uno de los puntos del cuerpo,es conveniente elegir el centro de masas como puntoO. En este caso, las ecuaciones del movimien-to para el centro de masas se obtienen a partir de la ley de variacion del impulso lineal total de unsistema de partıculas:

d−→P

dt= −→F (6.1)

donde:−→P = M

.−→R ,

−→F : resultante de las fuerzas externas.

Las otras tres ecuaciones del movimiento pueden tomarse de la formula de evolucion del im-pulso angular respecto del origenO

′del sistema inercial:

d−→LO′

dt= −→N

donde:−→N es el torque externo.

Cuando el cuerpo esta sometido a condiciones de vınculo generales y no simplemente man-tener un punto fijo, conviene recurrir al formalismo lagrangiano. Una vez determinado el La-grangiano en terminos de las coordenadas generalizadasq elegidas

L(q,.q) =

12

3∑i,j=1

IOijΩi(q,.q)Ωj(q,

.q)

−V (q)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange

d

dt

∂

∂.qpL(q,

.q)− ∂

∂qpL(q,

.q) = 0

determinaran la evolucion temporal de los grados de libertad del cuerpo.

6.2.1. Descripci on en el sistema del centro de masas

El impulso angular−→LO′ puede descomponerse como el generado por el movimiento del centro

de masas mas el impulso angular−→LCM relativo a este punto, que elegimos como origen del

sistema de coordenadas solidario al cuerpo. Esta descomposicion es en general la mas usada, perono launica ni siempre la mas conveniente:

−→LO′ = M.

−→R×

.−→R +−→LCM

Como las componentes del impulso angular relativo al centro de masas estan dadas por laexpresion (5.21) o su representacion simbolica (5.22):

−→LCM ≡ ICM

−→Ω =3∑i=1

3∑j=1

ICMij Ωj ei (6.2)

172

DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO

Entonces:

d−→LO′

dt= M.

−→R×

..−→R +

d

dt(ICM

−→Ω)

El torque actuante es:

−→N =

∑α

(−→R +−→r α)×−→f α = −→R ×−→F +

∑α

−→r α ×−→f α

donde−→f α es la fuerza aplicada sobre la partıculaα constitutiva del cuerpo. El terminoM.

−→R×

..−→R

se cancela con el−→R × −→F , por lo que resulta una ecuacion de evolucion del impulso angular

relativo al centro de masas:

d

dt(ICM

−→Ω) = −→NCM (6.3)

donde la variacion temporal se observa desde un sistema inercial, y

−→NCM =

∑α

−→r α ×−→f α

es el torque de las fuerzas externas relativo al centro de masas.Los elementos del tensor de inercia son independientes del tiempo, entonces:

d

dt(ICM

−→Ω) =3∑i=1

3∑j=1

ICMijd

dt(Ωj ei)

=3∑i=1

3∑j=1

ICMij (.

Ωj ei + Ωj−→Ω × ei)

=3∑i=1

3∑j=1

ICMij.

Ωj ei +−→Ω ×

3∑i=1

3∑j=1

ICMij Ωj ei)

= ICM.−→Ω +−→Ω × ICM

−→Ω

donde hemos usamos la notacion (6.2). Las derivadas de los vectores unitarios se deben a larotacion generada por la velocidad angular

−→Ω sobre la terna solidaria al rıgido:

depdt

= −→Ω × ep (6.4)

Las ecuaciones de evolucion del impulso angular (6.3) resultan entonces:

ICM.−→Ω +−→Ω × ICM

−→Ω = −→NCM (6.5)

El sistema de ejes principales de inercia es el mas adecuado para describir esta ecuacion vec-torial, pues allı las ecuaciones en las tres componentes adoptan su forma mas simple. La ecuacionde evolucion (6.5) en el sistema de ejes principales de inercia es la siguiente:

173

MECANICA CL ASICA

ICM1

dΩ1

dt+ (ICM3 − ICM2 )Ω2Ω3 = NCM

1 (6.6)

ICM2

dΩ2


2

ICM3

dΩ3


3

ESTE ES EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE ECUACIONES DEEULER PARA EL MOVIMIENTO DEL CUERPO

RIGIDO, DEFINIDO EN EL MARCO DE LOS EJES PRINCIPALES DE INERCIA SOLIDARIOS AL CUERPO.

Son ecuaciones diferenciales en las componentes de la velocidad angular. Para resolverlas elcamino natural es definir primero las tres coordenadas generalizadasq1, q2, q3 que determinanla orientacion del cuerpo y expresar luego lasΩi en terminos de las velocidades generalizadas.q1,

.q2,

.q3. Pero en muchos casos es posible integrar directamente (6.6) para obtenerΩi(t), y a partir

deestas ya es mas simple conocer la evolucion temporal del cuerpo,o directamente determinar lasqi(t).

6.2.2. Descripci on en otros sistemas de coordenadas

En aquellos casos en que hay condiciones de vınculo que fijan la posicion de un puntoA delcuerpo, es conveniente tomar este punto como origen del sistema de referencia solidario al cuerpo.Restan tres grados de libertad, cuyo movimiento es descrito por la ecuacion (6.3) que ahora seescribe:

d

dt(IA−→Ω) = −→

NA

El tensorIA referido a ejes solidarios al cuerpo es por supuesto independiente del tiempo, ypuede calcularse a partir del tensor referido al centro de masas usando el teorema de Steiner.

Ademas, hay situaciones en que conviene definir un sistema que no sea totalmente solidarioal cuerpo rıgido, en particular para trompos simetricos el tensor de inercia es independiente delas orientaciones de los ejes coordenados normales al eje de simetrıa, y solamenteeste debe serun eje solidario al cuerpo. Identificamos comoA al origen de este sistema coordenado, pudiendocoincidir con el centro de masasCM o con un punto fijo del cuerpo como vimos recien. Lavelocidad angular

−→ΩA con que vemos rotar al sistema no solidario visto desde un marco inercialno es la velocidad angular del cuerpo, y la variacion de sus vectores unitarios esta dada por lasiguiente expresion:

depdt

= −→ΩA × ep

equivalente a (6.4). La ecuacion del movimiento (6.5) se transforma en:

ICM.−→Ω +−→ΩA × ICM

−→Ω = −→NCM

174


y las ecuaciones de Euler (6.6) resultan:

IA1dΩ1

dt+ IA3 ΩA

2 Ω3 − IA2 ΩA3 Ω2 = NA

1

IA2dΩ2

dt+ IA1 ΩA

3 Ω1 − IA3 ΩA1 Ω3 = NA

2

IA3dΩ3

dt+ IA2 ΩA

1 Ω2 − IA1 ΩA2 Ω1 = NA

3 (6.7)

6.3. Ejemplos

6.3.1. Trompo libre de fuerzas

Aplicaremos las ecuaciones de Euler (6.6) al caso de la rotacion libre de un cuerpo con dosmomentos principales de inercia iguales, llamado trompo simetrico.

Elegimos un sistema de ejese1, e2, e3 solidario al cuerpo. Dada la simetrıa de revoluciondel rıgido los momentos principales de inercia en direccionese1 y e2 son iguales. Tomamos ladireccion e3 a lo largo del eje de simetrıa; las direccionese1, e2 son dos cualesquiera en el planonormal ae3.

Dado queICM1 = ICM2 las ecuaciones (6.6) resultan:

dΩ1

dt+ICM3 − ICM1

ICM1

Ω2Ω3 = 0

dΩ2

dt+ICM1 − ICM3

ICM1

Ω3Ω1 = 0

dΩ3

dt= 0

La tercera de estas ecuaciones nos dice queΩ3 es constante; llamando

ω =ICM3 − ICM1

ICM1

Ω3

Las dos primeras ecuaciones resultan:

dΩ1

dt+ ωΩ2 = 0

dΩ2

dt− ωΩ1 = 0

que pueden desacoplarse derivando la primera respecto del tiempo y reemplazandodΩ2dt por el

valor que da la segunda ecuacion:

d2Ω1

dt2+ ω2Ω1 = 0

175

MECANICA CL ASICA

Las soluciones resultan ser:

Ω1(t) = B cos(ωt+ ϕ)Ω2(t) = B sin(ωt+ ϕ)

Estos resultados indican que un trompo simetrico libre sin fuerzas aplicadas posee una veloci-dad angular constante en la direccion de su eje de simetrıa:

Ω3e3 = constante

y otra velocidad angular−→ΩN (t) normal al eje3 cuyo modulo es constante:

B =√

Ω21(t = 0) + Ω2

2(t = 0) (6.8)

y que vista desde un marco de referencia solidario al cuerpo gira en torno del ejee3 con frecuenciaangular

ω =ICM3 − ICM1

ICM1

Ω3

−→ΩN (t) = B[cos(ωt+ ϕ)e1 + sin(ωt+ ϕ)e2]

Desde el sistema solidario el vector velocidad angular−→Ω(t) realiza una precesion alrededor

del eje de simetrıa del cuerpo con velocidad angularω, manteniendo su modulo constante. Elvector impulso angular relativo al centro de masas es:

−→LCM (t) = ICM1

−→ΩN (t) + ICM3 Ω3e3 (6.9)

y tambienel realiza una precesion alrededor del eje de simetrıa con velocidadω, manteniendo unainclinacion constante.

Observando el movimiento del cuerpo desde un sistema inercial, el vector−→LCM es constante

en modulo y direccion pues es una integral del movimiento. Es facil ademas probar que−→LCM ,−→Ω y e3 estan en el mismo plano: de (6.9)

−→LCM = ICM1

−→Ω + (ICM3 − ICM1 )Ω3e3

muestra la coplanaridad de los tres vectores (figura 6.1).Para obtener la velocidad angular de precesion del eje de simetrıa e3 en torno del impulso

angular descomponemos el vector−→Ω en una componente en la direccion e3 y otra en la direccion−→

LCM usando la regla del paralelogramo como muestra la figura 6.2.La componente en direccion e3 no produce ningun efecto sobre el eje de simetrıa del trompo,

en tanto la componente en la direccion fija−→LCM es la velocidad de precesion

−→Ω pr del trompo.Para obtener su magnitud, vemos de la figura que su proyeccion en la direccion eN normal ae3tiene el valorB dado en (6.8):

Ωpr =B

sin θ

176


Figura 6.1:Trompo libre de fuerzas

y dada la simetrıa de revolucion del cuerpoeN es tambien una direccion principal de inercia:

LCMN = ICM1 B

B =LCMNICM1

=LCM sin θICM1

que produce

Ωpr =LCM

ICM1

Tanto la velocidad angularΩ3 de giro alrededor del eje de simetrıa e3 como la velocidad deprecesion Ωpr quedan determinadas por las condiciones iniciales del movimiento, que fijan lamagnitud del impulso angular constante y de su proyeccion sobre el eje del trompo.

6.3.2. Rueda en un plano horizontal que rota en torno a un eje vertical

Consideramos el sistema mostrado en la figura 6.3.Consiste en una rueda de masaM , radioR y ancho finito que gira en torno de un eje que la

atraviesa y la limita a permanecer vertical al piso. Suponemos que el eje tiene masa despreciablefrente aM . A su vez este eje puede girar en torno de la direccion e1 mostrada en la figura.

177

MECANICA CL ASICA

Figura 6.2:Descomposicion deΩ en las direccionese3 y LCM

La rueda esta apoyada sobre el piso, con un coeficiente de rozamiento estatico no nulo de modoque podamos poner el sistema en movimiento desde el reposo, alcanzando un regimen estacionariode rodadura sobre el plano horizontal.

La velocidad angular de rodaduraω3 y la de giroω1 estan conectadas por la condicion:

ω1 = −Rdω3 (6.10)

donde el signo menos proviene de que cuando uno de los giros es positivo (contrario al sentidode las agujas de un reloj) el otro es negativo.

Antes de entrar al calculo detallado de este sistema vamos a describir cualitativamente elmovimiento esperado, usando para ello la ecuacion de evolucion temporal del impulso angulard−→Ldt = −→

N respecto del punto fijoA. El impulso angular debido a la rotacion de la rueda en torno

de su eje de simetrıa va cambiando de direccion en el transcurso del tiempo. Este cambiod−→Ldt

debera estar acompanado por un torque producido por la resultante del peso de la rueda y la reac-cion del piso. Entonces esta reaccion debera superar al peso para generar el torque con el mismosentido que la variacion del impulso angular, como muestra la figura 6.4.

La rueda que estamos estudiando bien puede ser la muela de un molino de granos, hemos en-contrado que: cuanto mas rapido gire el molino mejor muele el grano.

178


Figura 6.3:Rueda apoyada en un plano horizontal, que gira en torno de un eje vertical y sujeta a lacondicion de rodadura

Para el calculo detallado elegimos un sistema de ejes no inercial centrado en el punto de pivoteA, donde solamente el eje de simetrıa en direccion e3 es solidario a la rueda mientras las otras dosdirecciones las elegimos normal y paralela al plano de rodadura respectivamente y las llamamose1 y e2 respectivamente.

El movimiento impuesto por las condiciones iniciales se mantendra a tiempos posteriores puesla energıa es una constante del movimiento, la energıa potencial de la rueda es a su vez constantey entonces la energıa cinetica debe conservarse, lo que requiereω1 y ω3 constantes.

Queremos determinar la fuerza de vınculo−→S producida por el suelo y la

−→T generada por el

eje vertical. Esta fuerzas de vınculo debe ajustarse al movimiento impuesto al centro de masas y alas coordenadas angulares que definen la posicion del rıgido.

El movimiento del centro de masas esta determinado por las ecuaciones (6.1)

d−→P

dt= −→F

Elegimos coordenadas cilındricas(ρ, ϕ, z) para describir el punto centro de masas:

−→RCM = ρe3 + ze1

las condiciones de vınculo imponen que:

179

MECANICA CL ASICA

Figura 6.4:Fuerzas y torques actuantes sobre la rueda

ρ = d , z = R

Teniendo ademas en cuenta que la aceleracion impuesta al centro de masas es la centrıpeta enla direccion−e3, las tres ecuaciones resultantes son:

T1 + S1 −Mg = M..z= 0 (6.11)

T2 + S2 = M(ρ..ϕ +2

.ρ.ϕ)

= 0 (6.12)

T3 + S3 = M(..ρ −ρ

.ϕ2)

= −mRω23 (6.13)

Estas son tres ecuaciones en las 6 componentes de−→T ,−→S .

Las otras tres ecuaciones necesarias para describir el movimiento son las que dan la evoluciondel impulso angular del sistema, las ecuaciones de Euler definidas en (6.7) para un sistema relativoque no es totalmente solidario al rıgido:

IA1dΩ1

dt+ IA3 ΩA

2 Ω3 − IA2 ΩA3 Ω2 = NA

1

180


IA2dΩ2

dt+ IA1 ΩA

3 Ω1 − IA3 ΩA1 Ω3 = NA

2

IA3dΩ3

dt+ IA2 ΩA

1 Ω2 − IA1 ΩA2 Ω1 = NA

3

Como la rueda es un trompo simetrico

IA1 = IA2 6= IA3

en nuestro ejemplo la velocidad angular de la ternaei es:

ΩA1 = ω1 = −R

dω3 (6.14)

ΩA2 = ΩA

3 = 0 (6.15)

y el torque respecto del puntoA de las fuerzas aplicadas y de vınculo resulta:

−→NA

= det

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3−R 0 d

S1 −Mg S2 S3

∣∣∣∣∣∣∣produciendo:

NA1 = −S2d

NA2 = (S1 −Mg)d+ S3R

NA3 = −S2R

Entonces las ecuaciones de Euler se reducen a:

IA1dΩ1

dt= −S2d (6.16)

IA1dΩ2

dt− IA3 ΩA

1 Ω3 = (S1 −Mg)d+ S3R (6.17)

IA3dΩ3

dt+ IA1 ΩA

1 Ω2 = −S2R (6.18)

Vamos a calcular las fuerzas de vınculo a partir del conocimiento de las velocidades. Usando(6.10):

Ω1 = −Rdω3

Ω2 = 0Ω3 = ω3

181

MECANICA CL ASICA

y reemplazando estas velocidades angulares de la rueda y las 6.14, 6.15 del sistema de ejes usado,las ecuaciones de Euler 6.16- 6.18 se reducen a:

S2d = 0 (6.19)

IA3R

dω2

3 = (S1 −Mg)d+ S3R (6.20)

S2R = 0 (6.21)

que producen

S2 = 0

quedando indeterminadas las componentesS1, S3.La causa de esta indeterminacion reside en el tipo de vınculo que define el contacto de la

rueda con el suelo: la fuerza de rozamientoS3 establece una condicion de vınculo redundante conla existencia del punto fijoA del eje. Considerando que es pequeno el coeficiente de rozamientoestatico vamos a despreciarS3R frente aS1d, entonces 6.20 resulta:

S1 = IA3R

d2ω2

3 +Mg

que junto a la suposicion

S3∼= 0

determinan la reaccion−→S .

La reaccion−→A se obtiene reemplazando estos valores en (6.11, 6.12 y 6.13):

T1 = −IA3R

d2ω2

3

T3 = −mRω23

T2 = 0

6.3.3. Suspensi on card anica

Se puede construir un trompo donde el torque de las fuerzas aplicadas respecto del centro demasas sea nulo. Esto se logra mediante condiciones de vınculo que fijan la posicion del centro demasas del cuerpo manteniendo sus tres grados de libertad de rotacion.

El principio de la suspension cardanica es el siguiente: fijamos una direccion cualquiera quepase por el centro de masas CM, y el cuerpo queda con un solo grado de libertad: el de rotacionen torno de esa direccion (figura 6.5a).

Si ahora elegimos otra direccion que tambien pase por el centro de masas y le permitimos alcuerpo girar tambien en torno deesta, elunico punto que permanece fijo es el CM y el cuerpoqueda con dos grados de libertad: losangulos de rotacion en torno de las dos direcciones elegidaspasantes por CM (figura 6.5b).

182


Figura 6.5:a. Cuerpo rıgido con un grado de libertad de giro en torno de un eje. b. Con dos grados delibertad de giro en torno de dos ejes

Para recuperar los tres grados de libertad de rotacion tenemos que elegir una tercera direc-cion de giro no coplanar a las anteriores y pasante por CM. El esquema final del dispositivo desuspension que permite las tres direcciones de rotacion es el mostrado en la figura 6.6.

En el lımite de rozamiento nulo el torque actuante sobre el cuerpo es cero. Entonces el movimien-to de rotacion corresponde a un trompo libre de fuerzas, como el que acabamos de estudiar. Hemosvisto en este ejemplo que la direccion definida por el impulso angular del cuerpo permanece fijaen el espacio en el transcurso del tiempo, y en el caso en que la velocidad angular actue a lo largodel eje de simetrıa del trompo, el impulso angular estara definido a lo largo de esta direccion.

Consideremos ahora el caso de un giroscopo: un trompo simetrico sostenido por una suspen-sion cardanica que esta fija a un vehıculo: un aeroplano o una nave espacial por ejemplo. Entonces,si en un instante dado hacemos rotar el trompo a lo largo de su eje de simetrıa, vista desde un sis-tema inercial esta direccion permanecera fija en el espacio, sin importar los cambios posterioresde orientacion del vehıculo. Este mecanismo permite entonces definir en el vehıculo una direccionfija, sin tener que recurrir a una observacion externa al mismo.

6.3.4. Girocomp as o brujula girosc opica

Vamos a considerar una aplicacion del giroscopo montado en una suspension cardanica, quepermite determinar la direccion del Polo Norte geografico. Fue utilizado en navegacion reem-plazando a la brujula magnetica, antes del surgimiento de los sistemas de posicionamiento global(GPS).

Consideremos un giroscopo limitado a moverse en un plano horizontal (normal a la direccionde la fuerza de gravedad) en un dado punto de la superficie terrestre (figura 6.7):

Definimos un sistema de coordenadas relativo con origen en el centro de masas(A ≡ CM) yparcialmente solidario al cuerpo, donde la direccion e3 esta dirigida a lo largo del eje de simetrıa,la e1 a lo largo de la vertical local ye2 normal a ambas. Visto desde un marco inercial la velocidad

183

MECANICA CL ASICA

Figura 6.6:Cuerpo rıgido con tres grados de libertad de giro en torno de tres ejes

angular de este sistema es la de la Tierra−→ω mas la rotacion.φ e1. Segun vemos de la figura tiene

componentes:

ΩA1 = ω sin θ+

.φ (6.22)

ΩA2 = −ω cos θ sinφ (6.23)

ΩA3 = −ω cos θ cosφ (6.24)

Los dos grados de libertad del girocompas son elanguloφ de rotacion en el plano horizontaly el anguloψ de giro alrededor de su eje de simetrıa.

Para que el ejee1 se mantenga fijo a lo largo de la vertical local debe anularse.θ; para que ello

ocurra en general debemos aplicar un torque en la direccion e2:

−→N = N2e2

Este torque sera provisto por el vınculo que mantiene al ejee1 en la direccion de la verticallocal a la Tierra.

Las componentes de la velocidad angular del giroscopo vistas desde un marco inercial resultan:

Ω1 = ω sin θ+.φ (6.25)

Ω2 = −ω cos θ sinφ (6.26)

Ω3 =.ψ −ω cos θ cosφ (6.27)

Las ecuaciones de Euler de un trompo simetrico, definidas para un sistema relativo no solidarioal rıgido

184


Figura 6.7:Girocompas en un plano sobre la superficie terrestre

IA1dΩ1

dt+ IA3 ΩA

2 Ω3 − IA2 ΩA3 Ω2 = NA

1

IA2dΩ2

dt+ IA1 ΩA

3 Ω1 − IA3 ΩA1 Ω3 = NA

2

IA3dΩ3

dt+ IA2 ΩA

1 Ω2 − IA1 ΩA2 Ω1 = NA

3

se reducen usando los resultados (6.22-6.27) a:

ICM1

..φ −ICM3 ω cos θ sinφ(

.ψ −ω cos θ cosϕ) (6.28)

− ICM1 ω2 cos2 θ cosϕ sinϕ = 0

−ICM1 ω cos θ cosϕ.ϕ −ICM1 ω cos θ cosϕ(ω sin θ+

.ϕ)] (6.29)

− ICM3 (ω sin θ+.ϕ)(

.ψ −ω cos θ cosϕ) = N2

ICM3 (..ψ +ω cos θ sinϕ

.ϕ) = 0 (6.30)

185

MECANICA CL ASICA

Conviene disenar el girocompas de modo que el momento principalICM3 sea mayor que el

ICM1 , y fijar la magnitud de la velocidad inicial de giro∣∣∣ .ψ∣∣∣ muy alta:

ICM3 > ICM1∣∣∣ .ψ (0)∣∣∣ ω

Entonces la ecuacion (6.30) que determina la evolucion delanguloψ se aproxima por:

ICM3

..ψ∼= 0

o sea:.ψ∼=

.ψ (0)

y la ecuacion (6.28) que determina elanguloφ se reduce a:

ICM1

..φ −ICM3 ω cos θ sinφ

.ψ (0) = 0

que podemos compactar en:

..φ +k2 sinφ = 0 (6.31)

donde el parametrok se define por:

k2 = −ICM3 ω cos θ.ψ (0)/ICM1

Vamos a considerar la rotacion.ψ del giroscopo en el sentido negativo de modo quek2 sea

positivo. Si la condicion inicial para el movimiento deφ es la de pequenas oscilaciones:φ(0) ∼= 0,.φ (0) = 0 (cercana a la direccion del meridiano), la ecuacion (6.31) define un movimientoarmonico

..φ +k2φ = 0

cuya solucion es:

φ(t) = φ(0) cos(kt+ α)

El girocompas se comporta como un pendulo simple que oscila en torno de la direccion localdel meridiano (Norte geografico).

Para tener una medida de la frecuencia de oscilacion k consideremos el giroscopo como undisco plano, de modo que:

I3 ∼= 2I1

Consideramos un punto de la superficie terrestre de latitud

186


θ = 45o

y una rotacion del giroscopo en revoluciones por minuto[rpm]∣∣∣ .ψ∣∣∣ = 6000 [rpm]

Obtenemos con estos datos una frecuencia de oscilacion en torno del norte geografico de

.φ= 2,427 [rpm]

Finalmente, y por completitud, podemos obtener de la ecuacion 6.29 el valor de la cupla quela estructura del giroscopo fija a la tierra debe proveer para conservar vertical el ejee1 :

N2∼= −ICM3 (ω sin θ+

.ϕ)

.ψ (0)

6.4. Angulos de Euler

Ha llegado el momento de explicitar las tres coordenadas generalizadas mas convenientes paradescribir los tres grados de libertad de rotacion de un cuerpo rıgido. Estas coordenadas describenla orientacion del sistema solidario al cuerpo respecto del sistema inercial. En cada instantet sepuede definir una rotacion que actuando sobre la terna inercial produce la terna solidaria al cuerpo;entonces las coordenadas que definen la orientacion del cuerpo pueden ser tres componentes de lamatriz ortogonal correspondiente, pues sabemos que dicha matriz queda determinada a partir delconocimiento de tres de sus elementos. Pero existen otras coordenadas mas practicas a la hora delcalculo de la evolucion temporal del cuerpo rıgido, entre ellas la de losangulos de Euler es la masempleada (figura 6.8).

Estosangulos representan tres rotaciones sucesivas que llevan del sistema de ejes inercial(x′1, x

′2, x

′3) al sistema solidario(x1, x2, x3). El anguloφ produce la rotacion del sistema inercial

alrededor dex′3. Esta seguida por la rotacion en unanguloθ alrededor de la posicion rotada delejex′1 (esta direccion se llama lınea de los nodos). Finalmente, se rota en unanguloψ alrededorde la direccion final del ejex3.

La matriz ortogonal que representa la rotacion dex′ a x esta compuesta por las tresrotaciones mencionadas:

Rotacion enφ alrededor dex′3 :

Tφ =

∣∣∣∣∣∣∣cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣Rotacion enθ alrededor dex′′1 :

Tθ =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

∣∣∣∣∣∣∣187

MECANICA CL ASICA

Figura 6.8:Sucesivas rotaciones que definen losangulos de Euler

Rotacion enψ alrededor dex3 :

Tψ =

∣∣∣∣∣∣∣cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣aplicadas en forma sucesiva a los vectores resultantes de la transformacion precedente:

−→x ′′= Tφ

−→x ′

−→x ′′′= Tθ

−→x ′′

−→x = Tψ−→x ′′′

La transformacion completa resulta (¡cuidado con el orden de aplicacion!)

T ≡ TψTθTφ

=

∣∣∣∣∣∣∣cosψ cosφ− cos θ sinφ sinψ cosψ sinφ+ cos θ cosφ sinψ sinψ sin θ− sinψ cosφ− cos θ sinφ cosψ − sinψ sinφ+ cos θ cosφ cosψ cosψ sin θsin θ sinφ − sin θ cosφ cos θ

∣∣∣∣∣∣∣ (6.32)

188


Esta matriz permite determinar las coordenadas cartesianas del sistema solidario al cuerpoxen terminos de las coordenadas inercialesx′:

−→x = T−→x′

Conocidos(φ, θ, ψ) queda fijada la posicion del cuerpo. Las variaciones temporales de(φ, θ, ψ)determinaran el vector velocidad angular como funcion del tiempo. La variacion temporal deφproduce una velocidad angular en la direccionx′3 que tiene componentes en los tres ejes solidariosal cuerpo:

−→Ω φ =.φ cos θ.e3 + sin θ sinψ.e1 + sin θ cosψ.e2

La variacion temporal deθ produce una velocidad angular a lo largo de la lınea de los nodos:

−→Ω θ =.θ cosψ.e1 − sinψ.e2

Porultimo, la variacion deψ produce una velocidad angular en la direccion dex3 :

−→Ωψ =.ψ e3

Con estos resultados las componentes de la velocidad angular en el sistema solidario al cuerporesultan:

Ω1 =.φ sin θ sinψ+

.θ cosψ (6.33)

Ω2 =.φ sin θ cosψ−

.θ sinψ

Ω3 =.φ cos θ+

.ψ

6.5. Movimiento de un cuerpo rıgido sometido a fuerzasexternas

6.5.1. El caso del trompo sim etrico

Vamos a considerar un cuerpo rıgido con un eje de simetrıa de revolucion, de forma que losmomentos principales de inercia sonI1 = I2 6= I3. Las fuerzas externas actuantes son la de lagravedad, aplicada al centro de masas, y una fuerza de vınculo que fija un punto del rıgido. Estecaso describe un trompo simetrico con su extremo fijo como muestra la figura 6.9.

Los grados de libertad se reducen a tres en este caso, que determinan la orientacion espacialdel trompo. Las coordenadas generalizadas elegidas son losangulos de Euler, definidos previa-mente y explicitados en la figura. El origen del sistema de coordenadas solidario al rıgido sera elpunto fijo del trompo, y los momentos principales de inercia deberan calcularse respecto de esteorigen.

Analisis cualitativo

189

MECANICA CL ASICA

Figura 6.9:Trompo simetrico con un punto fijo en un campo gravitatorio

Antes de proceder a plantear las ecuaciones del movimiento analizaremos cualitativamenteel movimiento del trompo simetrico. El torque producido por la fuerza de gravedad respecto delpunto fijo es perpendicular al eje del trompoe3 y a la direccion vertical e

′3. Esto implica que

el impulso angular del trompo variara en el tiempo en esta direccion, que coincide con la lıneade los nodose1. Tomando como condicion inicial solamente velocidad angular en la direccione3 el impulso angular inicial sera

−→L = I3Ω3e3, el torque lo modifica agregandole un termino−→× (−Mg)e

′3 por unidad de tiempo que apunta en la direccion positiva dee1, entonces el eje del

trompo comenzara a adquirir una velocidad positiva de rotacion en torno de la verticale′3 en un

movimiento de precesion. La figura 6.10 muestra las magnitudes que usamos en esta descripcioncualitativa del movimiento.

La descripcion cualitativa precedente se refiere a dos de los grados de libertad, losangulos deEulerφ y ψ. La otra coordenada es elanguloθ que da la inclinacion del eje de simetrıa del trompoy determina la energıa potencial del trompoV = Mg` cos θ. La condicion inicial que elegimos es.θ= 0, a partir de la cual la fuerza de gravedad produce una caıda del eje apareciendo un

.θ> 0. Este

movimiento genera una componente del impulso angular en la direccion de la lınea de los nodose1. A su vez el torque−Mg` sin θe1 aumenta, lo que se debe correlacionar con un incrementode la tasa de variacion del impulso angular en esa direccion. Entonces al aumentar elanguloθ seproduce un incremento en las velocidades

.θ,

.φ. Al mismo tiempo, un incremento enθ disminuye

la energıa potencial lo que implica un incremento en la energıa cinetica, que es cuadratica en.θ,

.φ.

Estos valores deben acomodarse para producir el cambio en el impulso angular producido por el

190


Figura 6.10:Torque aplicado y evolucion del impulso angular del trompo simetrico

torque creciente, pero al mismo tiempo deben arreglarse para conservar la energıa total del trompo.Habra un rango permitido de valores deθ para los que es posible esta doble condicion en

.θ,

.φ, y el

trompo detendra su caıda al alcanzar un valor lımite θ2, a partir del cual elanguloθ comenzara adesandar el camino subiendo la inclinacion del eje del trompo. Este es el movimiento de nutacion,que se repetira periodicamente, superpuesto al movimiento de precesion.

Calculo detalladoPara el analisis detallado del movimiento usamos la formulacion lagrangiana. Obtendremos

las tres ecuaciones del movimiento atendiendo en el proceso de su obtencion a la identificacion deposibles integrales del movimiento.

La energıa cinetica del trompo es:

T =12I1(Ω2

1 + Ω22) + I3Ω2

3

y usando las relaciones (6.33) queda expresada en terminos de las velocidades generalizadas.φ,

.θ

,.ψ:

T =12I1(

.φ

2sin2 θ+

.θ2) + I3(

.φ cos θ+

.ψ)2

El Lagrangiano del trompo resulta:

191

MECANICA CL ASICA

L(φ, θ, ψ;.φ,

.θ,

.ψ) =

12I1(

.φ

2sin2 θ+

.θ2) + I3(

.φ cos θ+

.ψ)2

−Mgd cos θ

donded es la distancia del centro de masas al punto fijo del trompo ubicado sobre el eje de simetrıa.Dado que las coordenadasφ, ψ son cıclicas se conservan los momentos canonicos conjugados:

pφ =∂L

∂.φ

= I1.φ sin2 θ + I3(

.φ cos θ+

.ψ) cos θ (6.34)

pψ =∂L

∂.ψ

= I3(.φ cos θ+

.ψ) (6.35)

Finalmente, otra integral del movimiento es la energıa, pues las fuerzas aplicadas son conser-vativas y los vınculos escleronomos:

E =12I1(

.φ

2sin2 θ+

.θ2) + I3(

.φ cos θ+

.ψ)2 +Mgd cos θ (6.36)

Las tres ecuaciones del movimiento son entonces las tres integrales del movimiento (6.34,6.35, 6.36). Tenemos ası recorrido la mitad del camino en la solucion de nuestro problema.

Las ecuaciones (6.34, 6.35) nos dan.φ,

.ψ como funciones deθ. De la segunda:

I3.ψ= pψ − I3

.φ cos θ

y reemplazando en la primera:

.φ=

pφ − pψ cos θI1 sin2 θ

(6.37)

entonces:

.ψ= pψ −

I3 cos θI1 sin2 θ

(pφ − pψ cos θ) (6.38)

Estas relaciones nos permiten expresar la energıa como una ecuacion diferencial en la coorde-nadaθ. Partiendo de (6.35)

E =12I1(

.φ

2sin2 θ+

.θ2) +

p2ψ

I3+Mgd cos θ

agrupamos los terminos constantes definiendo una nueva constanteE′:

E′ = E −p2ψ

I3

y reemplazando ahora (6.37, 6.38):

E′ =12

(pφ − pψ cos θ)2

I1 sin2 θ+

12I1

.θ2

+Mgd cos θ

192


produce:

I21 sin2 θ

.θ2

= 2I1E′ sin2 θ − (pφ − pψ cos θ)2

−2I1Mg` cos θ sin2 θ

que puede ponerse como una ecuacion diferencial de primer orden encos θ :

I1d cos θdt

= ±√A+B cos θ + C cos2 θ +D cos3 θ (6.39)

donde:

A = 2I1E′ − p2φ

B = 2pφpψ − 2I1Mg`

C = −2I1E′ − p2ψ

D = 2I1Mg`

son constantes ligadas a las condiciones iniciales del movimiento. El signo± se elige de acuerdoa quecos θ crezca o decrezca cont.

La ecuacion diferencial (6.39) se resuelve mediante una integracion directa:

t =∫ x(t)

x(t=0)

±dx√A+Bx+ Cx2 +Dx3

(6.40)

dondex = cos θ , y el rango de valores permitidos dex es tal que

P3(x) = A+Bx+ Cx2 +Dx3 ≥ 0 (6.41)

La de (6.40) es una integral elıptica que puede calcularse en terminos de funciones elıpti-cas conocidas y tabuladas, pero no es necesario resolverla para conocer aspectos interesantes delmovimiento del trompo. Podemos determinar los valores maximo y mınimo que adoptaθ a lolargo de la evolucion temporal, pues son las raıces del polinomio (6.41) que limitan el dominio avalores positivos del mismo. Debido a que el coeficienteD del terminox3 es positivo el polinomioes mayor que cero parax suficientemente grande y positivo, y es menor que cero parax grandes ynegativos. Ademas, en los valores extremos dex = cos θ = ±1 resulta:

P3(1) = A+B + C +D = −(pφ − pψ)2

P3(−1) = A−B + C −D = −(pφ + pψ)2

193

MECANICA CL ASICA

Figura 6.11:Rango de valores de la inclinacionθ

de modo que las dos raıcesx1, x2 que limitan la region de valores positivos deP3(x) estan situadasen el rango de valores posibles| cos θ |< 1. (El caso extremopφ = pψ en que la raızx2 = 1 corre-sponde a un trompo vertical). La funcionP3(x) tiene entonces la representacion grafica mostradaen la figura 6.11.

El eje de simetrıa del trompo tendra una inclinacion variable entreθ1 = arc cosx1 yθ2 = arc cosx2. Simultaneamente, la presencia de una velocidad angular

.φ produce una precesion

de dicho eje alrededor del eje verticalez′ . Esta velocidad conservara su signo a lo largo de laevolucion temporal si (ver ecuacion 6.37):

pφ − pψ cos θ1 > 0

en tanto que se anula cuando

pφ − pψ cos θ1 = 0

y cambia de signo a lo largo de la evolucion cuando

pφ − pψ cos θ1 < 0

Estos tres movimientos de nutacion estan representados en la figura 6.12:

194


Figura 6.12:Posicion sobre la esfera unitaria de la trayectoria del eje del trompo, mostrando los tres tiposde nutacion posibles

6.5.2. Trompo en un campo gravitatorio sin nutaci on

El problema que nos planteamos es el de hallar las condiciones para que un trompo simetricocon un punto fijo y sometido al campo gravitatorio realice una evolucion temporal con nutacionnula. Esto significa que

.θ= 0, por lo que el radicando de la ecuacion del movimiento (6.39)

I1d cos θdt

= ±√A+B. cos θ + C. cos2 θ +D. cos3 θ

debe ser negativo en| cos θ |< 1 salvo en un puntox0 = cos θ0. Tanto el polinomio

P3(x) = A+Bx+ Cx2 +Dx3 (6.42)

como su derivada:

P ′3(x) = B + 2Cx+ 3Dx2 (6.43)

deben anularse enx = x0 para que sea posible el movimiento conθ constante.Las condiciones iniciales para los tres grados de libertad del trompo son los seis valores de los

angulosθ, φ, ψ y sus derivadas. Comoφ y ψ son cıclicas, la evolucion del trompo no va a dependerde los valores iniciales que les fijemos. Las cuatro condiciones restantes pueden determinarse porlos valores de los momentos canonicospφ, pψ, la energıa E y el anguloθ(t = 0). Podemosentonces lograr un movimiento de precesion pura sin nutacion eligiendo arbitrariamente dos deestas cuatro constantes, y ajustando las dos restantes para que se satisfagan las condiciones (6.42,6.43).

6.6. Problemas

1. Dos esferas son de radios y masas identicas, pero una es maciza y la otra hueca con la masaconcentrada en un cascaron. Encuentre una manera no destructiva de determinar cual es hueca.

195

MECANICA CL ASICA


2. Una barra uniforme desliza con sus extremos sobre un aro circular (figura 6.13). La barraabarca unangulo de120 grados desde el centro de la circunferencia. Demostrar que el pendulosimple equivalente tiene una longitud igual al radio del aro.

3. Calcular el tiempo que tarda en caer un cilindro homogeneo que rueda sin deslizar por unplano inclinado a30 grados. La altura inicial esh y parte del reposo.

Comparar este resultado con el obtenido cuando el cilindro desliza sin roce por el plano y partedel reposo.

4. Un trompo simetrico tiene un punto fijo y esta sometida a la accion de la gravedad. Consti-tuye ası un pendulo que puede oscilar en torno del punto de equilibrio:θ = 0 y rotar alrededor desu eje de simetrıa:φ = φ(t). En la practica puede consistir en un disco libre de girar en torno desu eje de simetrıa, representado por un eje rıgido de masa despreciable suspendido del techo a unadistancia del disco.

Si por un medio externo mantenemos al disco girando a una velocidad de rotacion fija ω entorno de su eje, calcular alguna condicion inicial que permite conservar elanguloθ fijo en la evolu-cion ulterior del cuerpo.

5. Sea una mesa de billar y una bola de radioR.5.1 A que altura respecto de la mesa se debe golpear la bola para ponerla en movimiento

rodando sin deslizar sobre el pano de la mesa.5.2 Las bandas laterales de la mesa se disenan de modo que si una bola incide sin deslizar en

forma normal se aleje tambien sin deslizar. Determine la altura de la banda.

196



6. Una rueda puede girar sobre su eje de simetrıa, y a una distanciad de la rueda el eje seencuentra unido al techo por una una cuerda de longitud` (Figura 6.14). La rueda gira con unavelocidad angularω que se mantiene constante.

Encuentre las condiciones iniciales que permiten una evolucion temporal del sistema mante-niendo horizontal el eje y constante elanguloθ de la cuerda respecto de la vertical.

6.7. Apendice A: Transformaciones ortogonales

6.7.1. Rotaci on de los ejes coordenados cartesianos

Partimos de una terna ortonormal(e1, e2, e3) donde un vector generico se expresa por:

−→B = b1e1 + b2e2 + b3e3 (6.44)

=3∑i=1

biei

los tres numerosbi que determinan unıvocamente el vector−→B se denominan las componentes del

vector en dicha terna y representan el producto escalar:

bi = −→B.ei

197

MECANICA CL ASICA

Definimos una nueva terna(e′1, e′2, e′3) y queremos hallar las componentesb′i. Uno de losvectores unitarios, por ejemplo ele′1, tambien puede escribirse en terminos de sus componentes:

e′1 = (e′1 · e1)e1 + (e′1 · e2)e2 + (e′1 · e3)e3= a11e1 + a12e2 + a13e3 (6.45)

donde losa1i son los cosenos directores de la direccion e′1 en la terna inicial (figura 6.15).

Figura 6.15:Terna original y rotada

Existen relaciones similares a (6.45) para los otros ejes

e′i =3∑j=1

aij ej

con nueve componentes que pueden agruparse en una matriz de tres filas y tres columnas:

A =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ (6.46)

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos expresar los vectoresei en terminos de lose′i :

198


e1 = (e1.e′1)e1 + (e1.e′2)e′2 + (e1.e′3)e′3

= a11e1 + a21e2 + a31e3

ei =3∑j=1

ajie′j

=3∑j=1

atij e′j (6.47)

donde las nueve componentesatij definen la matriz transpuesta deA

At=

∣∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣Los nueve elementos de la matrizA no son independientes ya que los vectorese′i tienen

modulo unitario y son ortogonales entre sı:

e′i.e′k =3∑j=1

aij ej .3∑`=1

ak`e`

=3∑j=1

aijakj = δik , i, k = 1, 2, 3 (6.48)

Las ecuaciones (6.48) producen seis relaciones linealmente independientes que ligan a lascomponentesaij , por lo tanto solo podemos elegir en forma independientes a tres de ellas quedan-do las otras determinadas por estas condiciones, que son justamente las condiciones de ortonor-malidad de la terna primada.

La ecuacion (6.48) puede escribirse como el producto matricial deA por la matriz transpuestaAt

3∑j=1

aijakj = δik ⇒3∑j=1

aijatjk = δik ⇒ A.At = I (6.49)

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos hallar las condiciones de ortonormalidad de laternaei simplemente reemplazandoanm poratnmen (6.48,6.49):

3∑j=1

atijatkj = δik ⇒

3∑j=1

atijajk = δik ⇒ At.A = 1 (6.50)

Las relaciones (6.49) y (6.50) prueban que la matriz transpuestaAt es la inversa de la matrizA:

199

MECANICA CL ASICA

AAt = AtA = 1

A−1= At (6.51)

Las matrices que satisfacen la condicion (6.51) se llaman matrices ortogonales.Para hallar la representacion del vector

−→B en la terna(e′1,e′2,e′3) usamos la relacion (6.47) en

la definicion (6.44)

−→B =

3∑j=1

bj ej

=3∑j=1

bj

3∑i=1

atjie′i

=3∑i=1

(3∑j=1

aijbj)e′i

que nos da la ley de transformacion de las componentes de un vector ante una rotacion del sistemade ejes de coordenadas cartesianos:

b′i =3∑j=1

aijbj (6.52)

Como un vector queda totalmente definido si se conocen sus componentes en un dado sistemade ejes, podemos representar el vector como una matriz de una columna y tres filas, donde cada filarepresenta la componente del vector en la direccion correspondiente. La relacion (6.52) se escribeentonces: ∣∣∣∣∣∣∣

b′1b′2b′3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣∣∣b1b2b3

∣∣∣∣∣∣∣ (6.53)

6.7.2. Puntos de vista pasivo y activo de la transformaci on ortogonal

Las expresiones (6.52) o (6.53) relacionan las componentes del vector−→B vistas desde dos

sistemas de coordenadase′i , ei. El vector es el mismo, y la terna de ejes es rotada. Este es elpunto de vista pasivo de la rotacion: el vector

−→B permanece invariante y se cambia el marco de

referencia mediante una rotacion. El punto de vista activo consiste en producir una rotacion delvector

−→B y relacionar las nuevas y viejas componentes respecto del sistemaei. En la figura 6.16

graficamos las dos versiones de la operacion de rotacion:Vemos que una rotacion del sistema de ejes (en unanguloθ para el espacio de dos dimen-

siones) es equivalente a la rotacion inversa (en unangulo -θ) del vector−→B.

200


Figura 6.16:Rotaciones en el plano. Puntos de vista activo y pasivo

Como la operacion inversa de la transformacion ortogonalA esta dada por la matriz transpues-

taAt, las componentes en la baseei del vector−→B

′rotado:

−→B

′=

3∑i=1

b′iei

son:

b′i =

3∑j=1

atijbj

=3∑j=1

ajibj

Vamos a comparar esta rotacion del vector (punto de vista activo) con la rotacion de la terna(punto de vista pasivo) dada por (6.52)

−→B =

3∑i=1

biei

201

MECANICA CL ASICA

=3∑i=1

b′ie

′i

con componentes:

b′i =3∑j=1

aijbj

Aplicamos ahora estas relaciones al caso del espacio bidimensional. La rotacion del par deejes cartesianos en unanguloθ transforma las componentes del vector

−→B de la vieja a la nueva

base de la forma: ∣∣∣∣∣ b′1b′2∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos θ sin θ− sin θ cos θ

∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣ b1b2

∣∣∣∣∣ pasiva

en tanto que la rotacion del vector−→B en unanguloθ cambia sus componentes en la base usada de

la siguiente manera: ∣∣∣∣∣ b′1b′2∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos θ − sin θsin θ cos θ

∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣ b1b2

∣∣∣∣∣ activa

6.7.3. Transformaciones de semejanza

Los vectores con los que trabajamos satisfacen relaciones como la que liga al impulso angularcon la velocidad angular de un cuerpo rıgido:

−→L = I−→Ω

Este es un caso particular de relaciones generales del tipo:

−→b = C−→a (6.54)

Aplicaremos una transformacion ortogonal a ambos miembros de la ecuacion (6.54). Acabamosde ver que existen dos formas equivalentes de interpretar estas transformaciones. Una descrita porla matrizA:

A−→b = AC−→a

que interpretaA−→b como el mismo vector

−→b descrito en una ternae′

i rotada respecto de la originalei, la otra:

At−→b = AtC−→a

interpreta el vectorAt−→b como resultado de la rotacion de−→b , manteniendo fija la ternaei.

202


Punto de vista pasivo

Si adoptamos la primera interpretacion (punto de vista pasivo), escribimos (6.54) en la forma:

A−→b = ACAtA−→a

que podemos representar por:

−→b′ = C′−→a′

donde:

C′ = ACAt (6.55)

describe en el sistema rotado la operacion que describıaC en el original.Mediante una transformacion ortogonal adecuada podemos conseguir queC

′sea diagonal:

(C′)ij = diδij

Multiplicando (6.55) por la izquierda por la matrizAt:

CAt = AtC′

que consiste de nueve ecuaciones

3∑j=1

Cijatjk =

3∑j=1

atijdjδjk , k = 1, 2, 3, i = 1, 2, 3

que se reduce a:

3∑j=1

Cijakj = dkaki

Estas ecuaciones describen las siguientes relaciones vectoriales:

C−→a 1 = d1−→a 1 (6.56)

C−→a 2 = d2−→a 2 (6.57)

C−→a 3 = d3−→a 3 (6.58)

cada uno de los vectores define una fila de la matrizA:

−→a i = ai1e1 + ai2e2 + ai3e3 (6.59)

que segun (6.45) representa los vectorese′i de la terna rotada.

203

MECANICA CL ASICA

Se denominan autovectores del operadorC a los vectores−→a i, y autovalores a las componentesdi de su forma diagonal.

Las ecuaciones (6.56-6.58) forman cada una un sistema lineal homogeneo

C11ai1 + C12ai2 + C13ai3 = diai1

C21ai1 + C22ai2 + C23ai3 = diai2

C31ai1 + C32ai2 + C33ai3 = diai3 (6.60)

que posee solucion no trivial cuando se anule el determinante de los coeficientes:

det

∣∣∣∣∣∣∣C11 − di C12 C13

C21 C22 − di C23

C31 C32 C33 − di

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Este es el llamado determinante secular, un polinomio cubico que posee tres raıces, que enprincipio pueden consistir en una real y dos complejas conjugadas, digamosd1 y d2 = d∗1. Sieste fuera el caso los autovectores−→a 1 y −→a 2 tendrıan componentes complejas. Multiplicamosescalarmente la ecuacion (6.56) por−→a ∗1 :

−→a ∗1.C−→a 1 = d1−→a ∗1.−→a 1

3∑i,j=1

a∗1iCija1j = d1

3∑i=1

a∗1ia1i (6.61)

Si la operacionC esta representada por una matriz hermitiana o autoadjunta, cuyos elementossatisfacen:

Cji = C∗ij (6.62)

entonces permutando losındices de suma i,j el primer miembro resulta:

3∑i,j=1

a∗1iCija1j =12[

3∑i,j=1

a∗1iCija1j +3∑

i,j=1

a∗1jCjia1i]

=12[

3∑i,j=1

a∗1iCija1j +3∑

i,j=1

a∗1jC∗ija1i]

= Real

Entonces el segundo miembro de (6.61):

d1

3∑i=1

a∗1ia1i = d1

3∑i=1

| a1i |2

= Real (6.63)

204


es real, por lo que necesariamented1 es real. Demostramos ası que todos los autovalores de unamatriz hermitiana son reales.Una forma especial de matrices hermitianas son las matrices reales ysimetricas, como es el caso del tensor de inercia de un cuerpo rıgido.

Reemplazando en las ecuaciones (6.56-6.58) las tres raıces Ii (i = 1, 2, 3), obtenemos los tresautovectores−→ai . Por ser nulo el determinante, solamente dos de las ecuaciones del sistema (6.60)son linealmente independientes:

(C11 − di)ai1 + C12ai2 = −C13ai3

C21ai1 + (C22 − d1)ai2 = −C23ai3

que nos permite determinar las relacionesc1 = ai1/ai3 y c2 = ai2/ai3 :

(C11 − di)c1 + C12c2 = −C13

C12c1 + (C22 − d1)c2 = −C23

Luego, usando la condicion de normalizacion (6.49) para las filas de una matriz ortogonal:

3∑p=1

(aip)2 = 1

podemos determinar el valor deai3 :

(c21 + c22 + 1)a2i3 = 1

Punto de vista activo

Consideremos ahora que la rotacion actua sobre los vectores en lugar de hacerlo sobre lasternas de ejes coordenados. Las componentes de un vector en la terna fijaei se transforman segunla matrizAt, entonces:

At−→b = AtCAAt−→a

Conocemos la matrizAt a partir deA :

At =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣ (6.64)

La rotacion de los vectoresei de la terna original esta representada por la operacion:

e′i = Atei

Por ejemplo, la rotacion del vectore1 produce:

205

MECANICA CL ASICA

∣∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣∣∣

100

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣a11

a12

a13

∣∣∣∣∣∣∣ (6.65)

con formas similares para los otros vectoresei. Entonces, cada columna de la matrizAt que rep-resenta una rotacion activa de vectores esta formada por las componentes de los vectores rotadosde la terna original.

Vimos en (6.59) que los autovectores de la matrizC constituyen las filas de la matrizArepresentativa de rotaciones de la terna cartesiana del espacio tridimensional. Estos autovectoresforman entonces las columnas de la matrizAt que representa las rotaciones de los vectores delespacio, manteniendo fijos los ejes coordenados.

6.7.4. Raıces multiples

Si el determinante secular posee una raız doble entonces dos autovectores de los tres definidospor las ecuaciones (6.56-6.58) satisfacen ecuaciones con el mismo autovalor:

C−→a 1 = d1−→a 1

C−→a 2 = d1−→a 2

Vemos que cualquier combinacin c1−→a 1+c2

−→a 2 de un dado par de soluciones−→a 1,−→a 2 es tam-bien solucion de estas ecuaciones. Los autovectores son entonces un par cualquiera de vectoresortonormales en el plano normal al tercer autovector−→a 3 correspondiente al autovalord3 6= d1. Sedice que el autovalor d1 es degenerado, y el orden de la degeneracion es dos.

Si la raız del determinante secular es tripled1 = d2 = d3 = d, la matrizC es diagonalen cualquier terna, como podemos probar facilmente: si suponemos que sus autovectores son−→a 1,−→a 2,−→a 3 entonces en esta baseC = d1, donde1 representa la matriz unidad. Pero cualquiertransformacion de semejanza definida por una matriz ortogonalB deja invariante a la matrizC,es decir proporcional a la identidad:

C′= Bd1Bt = d1 = C

Entonces cualquier terna es una terna de autovectores deC. El autovalord es en este casotriplemente degenerado.

6.7.5. Algunas propiedades de matrices y determinantes

Se denomina traza de una matriz a la suma de sus elementos diagonales. Dada la matriz (N×N)de elementos cij su traza es:

Tr(C) =N∑i=1

cii

206


Ante una transformacion ortogonalA la traza resulta:

Tr(C′) =

N∑i=1

c′ii

=N∑i=1

N∑j=1

N∑k=1

aijcjkatki

=N∑i=1

N∑j=1

N∑k=1

aijcjkaik

=N∑j=1

N∑k=1

cjkδjk

=N∑j=1

cjj

Entonces la traza de una matriz es invariante ante transformaciones ortogonales:

Traza(C′) = Traza(C) (6.66)

Enunciaremos sin probar algunas propiedades de los determinantes:

EL DETERMINANTE DE UN PRODUCTO DE MATRICES

ES EL PRODUCTO DE LOS DETERMINANTES. (6.67)

EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ORTOGONAL QUE (6.68)

DESCRIBE UNA ROTACION DE LOS EJES COORDENADOS

ES IGUAL A LA UNIDAD .

LOS DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

Y SU TRANSPUESTA SON IGUALES.

6.7.6. Diagonalizaci on de una matriz ortogonal. Equivalencia detransformaciones ortogonales y rotaciones

Vamos a adoptar el punto de vista activo en la descripcion de las transformaciones ortogonalessobre los vectores del espacio tridimensional de coordenadas. Entonces, en un sistema de ejescartesianos fijos, la matriz ortogonalA produce una rotacion de cada vector posicion−→r definidopor un punto de dicho espacio:

207

MECANICA CL ASICA

−→r ′ = A−→r

Queremos saber si existe una direccion del espacio que permanece invariante ante la trans-formacion; esto implica que existe un vector−→r 0 y todos sus multiplos α−→r 0 que permaneceninvariantes ante la rotacion representada porA :

A−→r0 = −→r0 (6.69)

Esta condicion indica que la matrizA posee un autovalorλ = 1.Recordemos que la matrizA no es simetrica, por lo que no puede aplicarse directamente el

procedimiento de diagonalizacion desarrollado para matrices reales simetricas. Lo que haremoses transformar la terna de ejes mediante una operacion representada por una matrizB, donde latransformacion no es necesariamente una rotacion y por lo tantoB no es en general una matrizortogonal. La ecuacion (6.69) se representa en la nueva base por:

BAB−1B−→r 0 = B−→r 0

Analicemos la existencia de una transformacionB que diagonalice aA:

BAB−1 = Ad

(Ad)ij = λiδij

equivalente a:

BA = AdB

3∑j=1

bijajk =3∑j=1

λiδijbjk

= λibik

que constituyen una conjunto de tres ecuaciones lineales homogeneas:

(a11 − λi)bi1 + a21bi2 + a31bi3 = 0a12bi1 + (a22 − λi)bi2 + a32bi3 = 0a13bi1 + a23bi2 + (a33 − λi)bi3 = 0

que pueden simbolizarse por:

At−→b i = λi−→b i (6.70)

Esta es una ecuacion de autovalores

208


λi

y autovectores

−→b i =

∣∣∣∣∣∣∣bi1bi2bi3

∣∣∣∣∣∣∣Los autovalores son las raıces del determinante secular:

det(At − λ1) = 0

Dado queA no es una matriz real y simetrica ( o en general hermitiana:aij = a∗ji), los elemen-tos bij y autovaloresλ no son necesariamente numeros reales. Tomamos el complejo conjugadode la ecuacion (6.70)

At−→b ∗i = λ∗i−→b∗i (6.71)

Hacemos el producto escalar de cada miembro de (6.70) por el correspondiente de (6.71):

At−→b i ·At−→b ∗i = |λi|2−→b i ·

−→b∗i

El primer miembro resulta, usando la ortogonalidad deA:

3∑k=1

3∑j=1

3∑`=1

atkjbkjati`b

∗i`

=3∑j=1

(3∑

k=1

ajkatk`)

3∑`=1

bijb∗i`

=3∑j=1

3∑`=1

δj`bijb∗i`

=3∑j=1

|bij |2

en tanto el segundo miembro es:

|λi|23∑j=1

|bij |2

por lo que encontramos que los autovalores de una matriz ortogonal tienen modulo unitario:

|λi| = 1

209

MECANICA CL ASICA

Con este resultado estamos en condiciones de demostrar que al menos uno de los autovaloresdebe ser igual a la unidad: la condicion (6.67) indica que el determinante de la matriz diagonalizadaAd:

det(Ad) = λ1λ2λ3

es el producto de los determinantes:

det(Ad) = det(B) det(A) det(B−1)

y como:

det(B) · det(B−1) = 1

encontramos que:

det(A) = λ1λ2λ3

Pero el determinante de una matriz ortogonal que describe una rotacion vale uno (propiedad6.68), entonces:

λ1λ2λ3 = 1 (6.72)

Los tres autovalores son las raıces del determinante secular. Pueden ser los tres reales, entoncespara que se cumpla (6.72) uno de ellos debe ser igual a uno. La otra posibilidad es que uno de ellossea real y los otros complejos conjugados, entonces nuevamente para que se cumpla (6.46) debeser el real igual a uno. En forma general podemos especificar los autovalores como:

λ1 = 1λ2 = eiθ

λ3 = e−iθ

EL AUTOVECTOR CORRESPONDIENTE AL AUTOVALORλ = 1 ES INVARIANTE ANTE LA

TRANSFORMACION ORTOGONAL REPRESENTADA POR LA MATRIZA :

A−→b 1 = −→

b 1

condicion que vale para cualquier vector en la direccion de−→b 1 y prueba la validez de la propuesta

(6.69). Entonces−→b 1 define la direccion del espacio tridimensional que permanece invariante ante

la rotacion representada porA. Es este el eje de dicha rotacion.Tambien podemos determinar elangulo de la rotacion alrededor de

−→b 1 representada porA:

si hacemos un cambio de ejes de modo que el nuevo eje 1 sea el autovector−→b 1, la matrizA

′que

describe la rotacion en la nueva terna tendra la forma:

210


A′=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

∣∣∣∣∣∣∣Su traza es invariante ante transformaciones de semejanza como la que lleva deA aA

′(condicion

6.66), entonces:

Traza(A′) = 1 + 2 cos θ

= a11 + a22 + a33

de manera que elangulo de la rotacion es:

cos θ = a11 + a22 + a33 − 1

Concluimos entonces que cada transformacion ortogonal en un espacio general de N dimen-siones, es equivalente a una rotacion en unanguloθ alrededor de una direccion

−→b 1 del espacio

complementario de N-1 dimensiones. Tanto−→b 1 comoθ quedan unıvocamente determinados por

la forma de la matrizA.Para el punto de vista pasivo los vectores multiplos de

−→b 1 tienen las mismas componentes

en la base original y la rotada, para el punto de vista activo los vectores multiplos de−→b 1 no son

afectados por la rotacion.

6.7.7. Rotaci on como rotaciones sucesivas en tornode los ejes de la terna original

Hemos visto que cualquier rotacion del espacio tridimensional puede representarse por tresrotaciones sucesivas en direcciones definidas y con magnitudes dadas por losangulos de Euler(ecuacion 6.32). Partiendo de una terna(e

′1, e

′2, e

′3) se realiza una rotacion en unanguloϕ en torno

de e′3, seguida de una enθ alrededor del nuevo ejee

′′1 , direccion que define la llamada lınea de los

nodos, y finalmente se efectua una rotacion enψ en torno del ejee3 de la terna final(e1, e2, e3).Estas operaciones estan descritas por el producto de tres matrices que representamos por los ejesde rotacıon y la magnitud de la misma:

R = R(e3, ψ)R(e′′1 , θ)R(e

′3, ϕ) (6.73)

Presentamos ahora una propiedad de las rotaciones que es facil de visualizar: en la figura 6.17se representa la rotacion de un vector−→x en torno de un ejee en unanguloϕ

−→x ′= R(e, ϕ)−→x (6.74)

Luego vemos el resultado de rotar los tres vectores protagonistas−→x ,−→x ′y e en unangulo

arbitrarioχ alrededor de una direccion generaln. Esto es:

211

MECANICA CL ASICA

Figura 6.17:Rotacion general de un vector

−→y ′= R(n, χ)−→x ′

(6.75)−→y = R(n, χ)−→x (6.76)−→e ′

= R(n, χ)−→e (6.77)

Como los tres nuevos vectores−→y ,−→y ′y e

′guardan entre sı las mismas relaciones que los

originales, obtenemos:

−→y ′= R(e

′, ϕ)−→x ′

y reemplazando (6.75) y (6.74):

R(n, χ)R(e, ϕ)−→x = R(e′, ϕ)R(n, χ)−→x

que produce:

R(n, χ)R(e, ϕ)R−1(n, χ) = R(e′, ϕ) (6.78)

donde

−→e ′= R(n, χ)−→e

212


El resultado final (6.78) dice que la rotacion en unanguloϕ en torno de un ejee′

esta rela-cionada a la rotacion en el mismoangulo alrededor del eje originale a traves de la transformacionde semejanza definida por la matriz de rotacion que conecta−→e con−→e ′

.Vamos a usar este para expresar la rotacion general (6.73) exclusivamente en terminos de

rotaciones en las direccionese′i de la terna original. Siendoe3 el resultado de rotare

′3 en unangulo

θ alrededor dee′′1 :

e3 = R(e′′1 , θ)e

′3

resulta de (6.78):

R(e3, ψ) = R(e′′1 , θ)R(e

′3, ψ)R−1(e

′′1 , θ)

y reemplazando en (6.73):

R = R(e′′1 , θ)R(e

′3, ψ)R−1(e

′′1 , θ)R(e

′′1 , θ)R(e

′3, ϕ)

= R(e′′1 , θ)R(e

′3, ψ)R(e

′3, ϕ)

= R(e′′1 , θ)R(e

′3, ψ + ϕ) (6.79)

Hacemos ahora uso de quee′′1 es el resultado de rotare

′1 en unanguloϕ alrededor dee

′3:

e′′1 = R(e

′3, ϕ)e

′1

R(e′′1 , θ) = R(e

′3, ϕ)R(e

′1, θ)R

−1(e′3, ϕ)

para transformar (6.79) en:

R = R(e′3, ϕ)R(e

′1, θ)R

−1(e′3, ϕ)R(e

′3, ψ + ϕ)

= R(e′3, ϕ)R(e

′1, θ)R(e

′3, ψ) (6.80)

que es el resultado buscado:

UNA ROTACION GENERAL DADA POR LOSANGULOS DE EULER ϕ, θ, ψ ESTA REPRESENTADA POR

TRES ROTACIONES SUCESIVAS ALREDEDOR DE LOS EJES ORIGINALESe′

3, e′

1, e′

3 EN ANGULOSψ, θ, ϕRESPECTIVAMENTE.

6.7.8. Rotaciones en dos dimensiones

Dado un par de ejes coordenados en el plano, las componentes(x, y) de un vector se transfor-man de la siguiente forma frente a una rotacion del sistema de ejes:

x′

= x cosϕ1 + y sinϕ1

y′

= −x sinϕ1 + y cosϕ1

213

MECANICA CL ASICA

que expresada en forma matricial es:∣∣∣∣∣ x′

y′

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ cosϕ1 sinϕ1

− sinϕ1 cosϕ1

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ xy

∣∣∣∣∣ (6.81)

Aplicando una rotacion ahora a los ejes primados:∣∣∣∣∣ x′′

y′′

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ cosϕ2 sinϕ2

− sinϕ2 cosϕ2

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ x

′

y′

∣∣∣∣∣La transformacion resultante es:

∣∣∣∣∣ x′′

y′′

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cosϕ2 sinϕ2

− sinϕ2 cosϕ2

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ cosϕ1 sinϕ1

− sinϕ1 cosϕ1

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ xy

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ cos(ϕ1 + ϕ2) sin(ϕ1 + ϕ2)− sin(ϕ1 + ϕ2) cos(ϕ1 + ϕ2)

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ xy

∣∣∣∣∣Representando porR(ϕ) la operacion de rotacion en elanguloϕ o la matriz que la representa,

hemos encontrado la relacion:

R(ϕ1 + ϕ2) = R(ϕ1)R(ϕ2) = R(ϕ2)R(ϕ1) (6.82)

La rotacion en unangulo infinitesimalδϕ se obtiene de (6.81)∣∣∣∣∣ x′

y′

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1 δϕ−δϕ 1

∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣ xy

∣∣∣∣∣ (6.83)

donde hemos despreciado terminos cuadraticos enδϕ. Podemos escribir (6.83) de la forma:

∣∣∣∣∣ x′

y′

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣∣+ i

∣∣∣∣∣ 0 −ii 0

∣∣∣∣∣ δϕ·∣∣∣∣∣ xy

∣∣∣∣∣= E + iJδϕ

donde definimos:

E =

∣∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣∣J =

∣∣∣∣∣ 0 −ii 0

∣∣∣∣∣ (6.84)

Usando la relacion (6.82) la rotacion en unangulo finitoϕ puede representarse de la formasiguiente: ∣∣∣∣∣ x

′

y′

∣∣∣∣∣ =E + iJ

ϕ

N

N ∣∣∣∣∣ xy∣∣∣∣∣

214


El desarrollo del binomio produce:

E + iJ

ϕ

N

N= EN +NEN−1iJ

ϕ

N+N(N − 1)

2!EN−2(iJ

ϕ

N)2...

que en el lımiteN →∞ representa el desarrollo de la funcion exponencial:

eiJϕ = E + iJϕ+12!

(iJϕ)2...

y haciendo uso de la siguiente propiedad de los productosJ.J :

J.J = E

obtenemos la conocida descomposicion de la exponencial en funciones trigonometricas:

eiJϕ = E + iJϕ− 12!

Eϕ2 − i13!

Jϕ3 +14!

Eϕ4...

= E cosϕ+ iJ sinϕ (6.85)

Hemos hallado un resultado que llama la atencion por su simplicidad: la rotacion general enun espacio de dos dimensiones se puede expresar por medio de la forma:

R(ϕ) = eiJϕ

donde la matrizJ esta definida por (6.84).

6.7.9. El grupo de las rotaciones en tres dimensiones

Las transformaciones ortogonales pueden aplicarse en forma sucesiva. Dadas dos de ellas rep-resentadas por las matricesA1,A2 la matrizA1A2 es tambien ortogonal y por lo tanto representauna nueva rotacion del espacio dada porA3= A1A2. Como el producto de matrices no es conmu-tativo en general,A4= A2A1 6= A3 representa una rotacion diferente de la deA3. Vimos que decada matrizAi podıamos extraer la direccion

−→b i invariante y elangulo de rotacionθi alrededor de

esta direccion que define unıvocamente la operacion de rotacion. Debido a la no conmutatividadA1A2 6= A2A1, la direccion invariante

−→b 3 y el angulo de rotacionθ3 de la rotacion representada

por la matrizA3= A1A2 no pueden ser simplemente las sumas−→b 1 +−→b 2 = −→

b 3 , θ1 + θ2 = θ3.Un conjunto de elementos, como los operadores de rotacion en un espacio de N dimensiones,

o las matrices ortogonales que representan esas rotaciones, constituye ungrupo si:1. El producto de dos elementos es otro miembro del grupo:

Ak = AiAj

2. Existe el elemento unidad:

215

MECANICA CL ASICA

Ai = AiE = EAi

3. Existe el inverso de cada elemento;

AiA−1i = A−1

i Ai = E

El conjunto de matrices ortogonales A en el espacio de tres dimensiones, o de rotacionesdefinidas por

−→b i, θi constituye un grupo de elementos ya que posee el elemento identidad (la

matriz unidad), el inverso de cada elemento y el producto de dos elementos da otro elemento delconjunto. Se lo denomina grupo no conmutativo o no abeliano debido a queAiAj 6= AjAi.

Consideremos una rotacion en tres dimensiones donde el eje de giro es uno de los ejes coor-denados, por ejemplo ele1. Estas son rotaciones en el planoe2, e3 que pueden representarse porla forma (6.85)

eiJ1ϕ = E cosϕ+ iJ1sinϕ (6.86)

y como el ejee1 es invariante, la rotacion en tres dimensiones se representa por la forma (6.86)con las matricesE y J definidas por:

E =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

J1 =

∣∣∣∣∣∣∣0 0 00 0 −i0 i 0

∣∣∣∣∣∣∣Todas las rotaciones de este tipo satisfacen las condiciones requeridas para definir un grupo,

que constituye entonces un subgrupo dentro del grupo de las rotaciones en tres dimensiones.Hemos demostrado en (6.80) que una rotacion general puede descomponerse en tres rotaciones

sucesivas:

R = R(e3, ϕ)R(e1, θ)R(e3, ψ)

y empleando (6.86) para cada una de ellas se expresa por:

R = eiJ3ϕeiJ1θeiJ3ψ (6.87)

donde:

J3 =

∣∣∣∣∣∣∣0 −i 0i 0 00 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ (6.88)

Las matricesJ1,J3 se completan con la que representa rotaciones en torno dee2 :

216


J2 =

∣∣∣∣∣∣∣0 0 −i0 0 0i 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ (6.89)

Se puede probar que estas tres matrices se transforman como las componentes de un vector, ysatisfacen relaciones de conmutacion del tipo

JiJj−JjJi=iJk

donde i,j,k=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2). Estas dos caracterısticas establecen una clara analogıa entre elvector

−→J y el vector impulso angular

−→L de un sistema fısico. En el marco de la mecanica cuantica

esta analogıa se convierte en una equivalencia.La forma (6.87) determina una manera simple y eficaz para especificar la transformacion: se

usan solamente dos matrices constantes y los tresangulos de Euler para determinar una rotaciongeneral. Hemos encontrado entonces que el grupo de las rotaciones esta formado por elementosdefinidos por el valor de tres parametros, y para construir cada elemento requerimos de tres (condos es suficiente) generadores, como se les llama a las matricesJi.

217

MECANICA CL ASICA

218

Capıtulo 7

Oscilaciones

7.1. Introducci on

Cuerpos interactuantes en la Naturaleza y construcciones realizadas por el hombre en interac-cion con el medio que las rodea tienden a alcanzar posiciones de equilibro estable. Perturbado elsistema por su interaccion con el medio ambiente su evolucion sera la de pequenas oscilaciones entorno de ese punto de equilibrio. Vemos entonces la importancia de dedicar un espacio al estudiode las pequenas oscilaciones en torno de un mınimo de energıa potencial.

La presencia de fuerzas disipativas como las de roce que transforman energıa mecanica encalorica podra reducir las oscilaciones y hacer tender el sistema a la posicion de equilibrio estatico.A su vez, excitaciones provenientes del medio externo pueden alimentar la amplitude de las os-cilaciones.

Estudiaremos en primer lugar el caso de oscilaciones amortiguadas y forzadas para un sis-tema con un solo grado de libertad, considerando los casos de oscilaciones armonicas (aproxi-macion cuadratica de la energıa potencial en torno del mınimo) y el mas general de oscilacionesanarmonicas.

En el proximo Capıtulo presentaremos el formalismo general para resolver un sistema con unnumero arbitrarioN de grados de libertad. Encontraremos que en las cercanıas de un mınimo dela energıa potencial cada grado de libertad oscila en torno del mınimo segun una combinacionlineal de oscilaciones con frecuencias caracterısticasωi (i ≤ N ). Eligiendo convenientemente lascondiciones iniciales podemos hacer que el sistema oscile en torno del mınimo con cada una dedichas frecuencias. Existe ası una forma sistematica de tratar cualquier sistema en su evolucion entorno de un mınimo de energıa potencial.

7.2. Elasticidad de los Materiales

Los cuerpos solidos no son rıgidos indeformables, todos ellos pueden cambiar de forma al sersometidos a fuerzas externas. Un alambre o un hilo de goma tienen en comun que al ser tensadospor fuerzas aplicadas en sus extremos sufren un estiramiento.

Los atomos que conforman un solido cristalino se encuentran perfectamente ordenados ocu-pando posiciones de mınima energıa potencial en un arreglo geometrico llamado red cristalina.Cuando se entrega energıa calorica al cuerpo losatomos oscilan en torno de esos mınimos, y

219

MECANICA CL ASICA

cuando se somete al cuerpo a fuerzas externas losatomos se alejan de sus posiciones de equilibrio,produciendo la deformacion macroscopica del cuerpo.

En el regimen elastico la elongacion ∆x del material es proporcional a la fuerza aplicada porunidad dearea transversal, por lo que en la situacion de equilibrio la fuerza ejercida por el cuerposobre el agente externo que lo tensiona es proporcional a su elongacion y en el sentido inverso aesta:

−→F = −k−→∆x

Al disminuir la tension aplicada losatomos tienden a retornar a las posiciones de equilibriooriginal. En un cristal real siempre esta presente algun tipo de desorden, hay defectos en la redcristalina que bajan la barrera que liga a losatomos vecinos en sus posiciones de equilibrio. Estosatomos separados de su mınimo de potencial, en su camino de retorno al mismo pueden perderel rumbo y quedar atrapados en torno del defecto, en un mınimo relativo de mayor energıa queel original. Los defectos pueden crecer, moverse y eventualmente decaer eliminando el excesode energıa en forma de calor. Esta friccion interna en el material disminuye la energıa potencialdisponible para generar la fuerza de restitucion y da lugar a una fuerza disipativa dependiente dela velocidad que se anula conesta:

−→f d = f(

.x)

.−→x

Cuando sea posible despreciar la fuerza de friccion precedente, el cuerpo (resorte, elastico)genera una fuerza lineal con su elongacion en el lımite de pequenas elongaciones, que materializael potencial armonico. Cuando no sea posible despreciar la fuerza de friccion deberemos conocerla dependencia deesta con la velocidad; es habitual modelarla asumiendo una dependencia linealcon la misma:

−→f d

∼= −γ.−→x

7.3. Oscilador arm onico

Es muy comun encontrar a un sistema fısico moviendose en las cercanıas de un mınimo de suenergıa potencial. Tal es el caso de estructuras idealmente estaticas como puentes o edificios, queestan disenadas para responder a las acciones externas con movimientos limitados en torno de laconfiguracion de equilibrio estable.

En este capıtulo consideraremos sistemas con un solo grado de libertadx, con energıa cinetica

T =12m

.x2

y sometido a una fuerza conservativa proveniente de un potencialV (x) que posee un mınimo enx = 0:

dV

dx|x=0= 0

de modo que su desarrollo en serie de potencias es:

220

OSCILACIONES

V (x) = V (0) +12d2V

dx2|x=0 x

2 +16d3V

dx3|x=0 x

3 + ... (7.1)

Si consideramos movimientos limitados a una region cercana al mınimo podremos despreciarterminos superiores al cuadratico con lo que el Lagrangiano del sistema se reduce a:

L(x,.x) =

12m

.x2 −1

2kx2

donde:

k =d2V

dx2|x=0

Debido a quex = 0 es un mınimo de la funcionV (x), la derivada segunda (7.1) es positiva:

k > 0

de modo que el campo de fuerzas tiende a retener la partıcula en torno del origen:

F (x) = −dVdx

= −kx

La ecuacion del movimiento

d

dt

∂L

∂.x− ∂L

∂x= 0

m..x +kx = 0 (7.2)

es una ecuacion diferencial lineal en la incognitax(t) a coeficentes constantes. Soluciones parti-culares se obtienen mediante la propuesta:

x = eαt

que reemplazada en (7.2) produce la siguiente condicion sobre el parametroα

mα2 + kα = 0

α = ±i

√k

m= ±iω0

La solucion general sera entonces de la forma:

x(t) = Aeiω0t +Be−iω0t

= C cos(ω0t+ ϕ) (7.3)

221

MECANICA CL ASICA

La ecuacion diferencial (7.2) es la del oscilador armonico, pues el grado de libertad realiza unmovimiento sinusoidal en torno del punto de equilibrio establex = 0.A y B oC y ϕ constituyenlas dos constantes requeridas por la solucion general para satisfacer cualquier condicion inicialque se desee imponer al movimiento.

La energıa es una integral del movimiento

E =12m

.x2 +

12kx2

Su valor esta determinado por las condiciones iniciales impuestas y puede calcularse a los tiemposen que la coordenada o la velocidad se anulan:

E =12mC2ω2

0 =12kC2

La realizacion practica del oscilador armonico es la de una partıcula ligada a un resorte ideal,sin friccion interna, de longitud en reposo`0 con el otro extremo fijo. La separacionx del equilibriodel resorte define la posicion de la partıcula y satisface la ecuacion del movimiento del osciladorarmonico.

7.4. Oscilador amortiguado

El modelo mas sencillo para describir las fuerzas de friccion interna propone una dependencialineal con la velocidad:

Fdisipativa = −γ .x (7.4)

γ > 0

con el signo adecuado para que la fuerza se oponga al movimiento de la partıcula.La ecuacion del movimiento del oscilador amortiguado resulta

m..x +γ

.x +kx = 0

con soluciones que se obtienen proponiendo nuevamente formas del tipo

eαt

con parametrosα que satisfacen

α2 + 2βα+ ω20 = 0

donde

β =γ

2m

ω20 =

k

m

222

OSCILACIONES

produciendo:

α1,2 = −β ±√β2 − ω2

0 (7.5)

La solucion general del oscilador armonico amortiguado resulta:

x(t) = e−βt[Ae√β2−ω2

0t +Be−√β2−ω2

0t] (7.6)

De acuerdo al signo deβ2 − ω20 clasificamos al movimiento como subamortiguado

β2 − ω20 < 0

sobreamortiguado

β2 − ω20 > 0

o con amortiguamiento crıtico

β2 − ω20 = 0

En la figura 7.1 representamos la dependencia temporal de estos cuatro tipos de evolucion.

Figura 7.1:Evolucion temporal de un oscilador con diversas intensidades de amortiguamiento:β/ω0=0.,0.1, 1., 1.1

223

MECANICA CL ASICA

En el caso de movimiento subamortiguado la solucion general (7.6) adopta la forma:

x(t) = Ce−βt cos(ω1t+ ϕ) (7.7)

donde la frecuencia de oscilacion es menor que la natural del oscilador

ω1 =√ω2

0 − β2 (7.8)

y la amplitud de oscilacion

Ce−βt

decae exponencialmente en el tiempo. La partıcula va acercandose al punto de equilibrio perdiendovelocidad hasta que queda en reposo en dicho punto a tiempo infinito. La energıa del movimientono se conserva debido a la presencia de una fuerza disipativa.

En la situacion de movimiento sobreamortiguado la partıcula no realiza ninguna oscilacion entorno del punto de equilibrio, sino que tiende exponencialmente ael:

x(t) = Ae(β1−β)t +Be−(β1+β)t] (7.9)

donde

β1 =√β2 − ω2

0 < β

En el caso de amortiguamiento crıtico esβ1 = 0 y la ecuacion (7.5) nos da solo una solucionparticular de la ecuacion diferencial

e−βt

Para obtener otra solucion linealmente independiente de la anterior consideramos una situacioncercana al amortiguamiento crıtico, donde

β > ω0 y β1 β; la solucion general (7.9) puede desarrollarse en serie de potencias deβ1

conservando hasta terminos lineales:

x(t) = e−βt[A+B + (A−B)β1t] (7.10)

valida para tiempos

t 1β1

No importa cuan pequeno se haya elegido el valor deβ1, podemos al mismo tiempo mantenerfinitos los valores deA+B y de(A−B)β1 :

x(t) = A1e−βt +B1te

−βt]

Esta expresion (7.10) representa entonces la solucion general del caso de amortiguamientocrıtico, pues las funciones

224

OSCILACIONES

e−βt

y

te−βt

son linealmente independientes, y constituyen dos soluciones particulares de la ecuacion diferen-cial. El de amortiguamiento crıtico es el caso lımite de oscilaciones sobreamortiguadas.

7.5. Oscilaciones forzadas

Consideremos la situacion en que sobre el oscilador armonico con una fuerza disipativa (7.4)actua ademas una fuerza externa. Si esta fuerza tambien es armonica

Fexterna = F cosωt

la ecuacion del movimiento resulta:

..x +2β

.x +ω2

0x =F

mcosωt (7.11)

Hallaremos una solucion particular de esta ecuacion proponiendo para ese fin a

xp(t) = A cos(ωt+ δ) (7.12)

Reemplazando en (7.11) donde desarrollamos

cosωt = cos(ωt+ δ) cos δ + sin(ωt+ δ) sin δ

obtenemos:

−ω2A cos(ωt+ δ)− 2βωA sin(ωt+ δ) + ω20A cos(ωt+ δ)

=F

mcos(ωt+ δ) cos δ +

F

msin(ωt+ δ) sin δ

y para que valga la igualdad a todo tiempo debe ser:

cos δ =mA

F(ω2

0 − ω2)

sin δ = −mAF

2βω

que produce:

tan δ = − 2βωω2

0 − ω2(7.13)

225

MECANICA CL ASICA

A =F

m

1√(ω2

0 − ω2)2 + 4β2ω2(7.14)

La solucion general se obtiene sumandole axp(t) la solucion generalxh(t) de la ecuacionhomogenea, que para el caso subamortiguado es (7.7). Obtenemos:

x(t) = xh(t) + xp(t) (7.15)

= Ce−βt cos(ω1t+ ϕ) +A cos(ωt+ δ)

donde las constantes arbitrarias sonC,ϕ en tantoA y δ estan dadas por (7.13, 7.14), yω1 es lafrecuencia del oscilador amortiguado dada por (7.8). La funcion xh(t) representa un efecto tran-sitorio ligado al comienzo de la evolucion, en tanto que la dexp(t) describe el estado estacionarioen la evolucion temporal.

La frecuenciaω = ω2 de la excitacion externa que produce la maxima respuesta del osciladoresta definida por:

dA

dω= 0

d2A

dω2< 0

donde la amplitud esta definida por (7.14) y produce:

ω22 = ω2

0 − 2β2 (7.16)

Esta es la llamada frecuencia de resonancia del oscilador, y vemos que es menor que la fre-

cuenciaω1 =√ω2

0 − β2 del oscilador aislado, y que la frecuencia sin amortiguamientoω0.La amplitud de oscilacion para excitaciones a la frecuencia de resonancia resulta:

A |ω=ω2=F

2mβω1(7.17)

en tanto que la fase de la oscilacion (7.13) es, usando (7.16)

δ |ω=ω2= arctan−ω2

β(7.18)

El tratamiento precedente requiere de la presencia de un amortiguamiento no nulo pues laamplitud en resonancia (7.17) de la solucion particular (7.20) diverge cuandoβ → 0. En este lımitela frecuencia de resonanciaω2 tiende a la frecuencia naturalω0 del oscilador, entonces podemosgenerar una solucion general no divergente incorporando la solucion de la ecuacion homogeneacon la amplitud (7.14) con signo negativo: las divergencias se cancelan en el lımiteβ → 0:

x(t) = C cos(ω0t+ ϕ) +A[cos(ωt+ δ)− cos(ω0t+ δ)] (7.19)

β → 0

226

OSCILACIONES

(el terminoA cos(ω0t+δ) agregado es solucion de la ecuacion homogenea por lo que (7.19) siguesiendo la solucion general de la ecuacion diferencial (7.11) para la situacion de resonancia). Ahorano aparece divergencia cuando hacemosω → ω0, pues desarrollando

cos(ωt+ δ) = cos[ω0t+ δ + (ω − ω0)t]= cos(ω0t+ δ) cos[(ω − ω0)t]

− sin(ω0t+ δ) sin[(ω − ω0)t]→ cos(ω0t+ δ)− (ω − ω0)t sin(ω0t+ δ) + ϑ[(ω − ω0)2]

y reemplazando en (7.19) haciendo uso ademas de la expresion (7.14) para la amplitudA:

x(t) = C cos(ω0t+ ϕ)− F

m

1√(ω2

0 − ω2)2 + 4β2ω2(ω − ω0)t sin(ω0t+ δ)

→ C cos(ω0t+ ϕ) +F

m(ω + ω0)t sin(ω0t+ δ)

Vemos de (7.18) que el desfasajeδ cuandoβ → 0 es−π2 , entonces la solucion general (7.19)

para el caso resonanteω = ω0 resulta:

x(t) = C cos(ω0t+ ϕ)− F

2mω0t cos(ω0t) (7.20)

La amplitud de las oscilaciones crece con el tiempo indicando que en el caso resonante sinamortiguamiento hay un flujo neto de energıa desde la fuerza excitatriz al oscilador.

La figura 7.2 muestra la evolucion de un oscilador forzado en condiciones de resonancia, con ysin amortiguamiento. Vemos que partiendo de las mismas condiciones iniciales de amplitud y fase,luego de un breve transitorio se establece un regimen de saturacion de la amplitud de oscilacionpara los casos en que haya amortiguamiento, aunqueeste sea muy pequeno, y de incremento linealde la amplitud en ausencia de disipacion de energıa.

Hasta ahora hemos considerado excitaciones armonicas; el caso general de una fuerza externaF (t) corresponde a una ecuacion del movimiento del tipo:

..x +ω2

0x =F (t)m

que puede resolverse a traves de la sustitucion:

y(t) =.x (t) + iω0x(t)

que satisface la ecuacion:

dy

dt− iω0y(t) =

F (t)m

cuya solucion general es:

227

MECANICA CL ASICA

Figura 7.2:Evolucion temporal de un oscilador forzado en condiciones de resonancia, con y sin amor-tiguamiento. Luego de un breve transitorio se establecen las condiciones estacionarias de evolucion, con laamplitud constante o creciendo en forma lineal con el tiempo segun que haya o no amortiguamiento

y = eiω0t[C +1m

∫ t

0dt

′F (t

′)e−iω0t

′]

y dicha solucion para la coordenadax es simplemente:

x(t) =1ω0

Imaginario(y(t))

La energıa del oscilador es:

E =m

2(.x2 +ω2

0x2)

=m

2| y |2

Si el oscilador parte del reposo al tiempot = 0, la solucion particulary(t) correspondiente es:

y = eiω0t 1m

∫ t

0dt

′F (t

′)e−iω0t

′

228

OSCILACIONES

por lo que la energıa absorbida del campo externo al tiempot resulta:

E =1

2m

∣∣∣∣∫ t

0dt

′F (t

′)e−iω0t

′∣∣∣∣2

7.6. Oscilaciones anarm onicas. (Opcional)

Hasta ahora hemos considerado un sistema con un grado de libertad descrito por energıascinetica y potencial que son funciones cuadraticas de la velocidad y coordenada respectivamente.La ecuacion del movimiento resulta ası lineal en la coordenada y el movimiento es armonico.

En un sistema real aparecen en general terminos de orden superior al cuadratico tanto en laenergıa cinetica como en la potencial, que producen pequenas correcciones al movimiento si laamplitud de las oscilaciones en torno del mınimo de energıa potencial es pequena.

Consideraremos el caso de terminos cubicos y cuarticos en el desarrollo de la energıa poten-cial, ası el Lagrangiano del sistema tiene la forma:

L(x,.x) =

12m

.x2 −1

2mω2

0x2 − 1

3mλαx3 − 1

4mλ2βx4

donde los coeficientesω0, α, β son del mismo orden, y el parametroλ, que suponemos muchomenor que la unidad, es el que define el orden de magnitud del termino correspondiente. Lo quejustificara un tratamiento perturbativo es la pequenez deλ.

La ecuacion del movimiento resulta:

..x +ω2

0x+ αλx2 + βλ2x3 = 0 (7.21)

Comox(t) debe ser aproximadamente una funcion de la formaA cos(ωt), reemplazada en(7.21) esta ecuacion serıa del tipo de un oscilador excitado por terminos

cos2 ωt =12(1 + cos 2ωt)

cos3 ωt =14(3 cosωt+ cos 3ωt)

Entoncesx(t) contendra no solamente la frecuencia fundamentalω sino todas las frecuenciasarmonicasnω. Con respecto a la frecuenciaω podemos inferir que si fuera igual aω0 el osciladorforzado representado por (7.21) estarıa excitado en forma resonante con su amplitud divergiendoen el tiempo; como estamos tratando un sistema aislado conservativo esto no es posible, lo querequiereω 6= ω0.

Resolveremos (7.21) en forma perturbativa, atendiendo a las caracterısticas que acabamosde describir para la solucion buscada. Proponemosx(t) como una funcion deλ que puede serdesarrollada en serie de potencias:

x(t) = x(0)(t) + λx(1)(t) + λ2x(2)(t) + ... (7.22)

y lo mismo para la frecuenciaω de la oscilacion:

229

MECANICA CL ASICA

ω = ω0 + λω(1) + λ2ω(2) + ...

Dado que lasx(i) son funciones trigonometricas de frecuenciaω y sus armonicas, convienesustituir aω0 en terminos deω y las correcciones sucesivasω(i):

ω20 = ω2 − 2ω

∑i=1

λiω(i) +∑i=1

∑j=1

λi+jω(i)ω(j)

entonces la ecuacion diferencial (7.21) resulta:

..x +ω2x = 2ω

∑i=1

λiω(i)x−∑i=1

∑j=1

λi+jω(i)ω(j)x− αλx2 − βλ2x3

Reemplazando el desarrollo (7.22)

( d2

dt2+ ω2)

∑p=1 λ

px(p) = 2ω∑i=1

∑p=0

λi+pω(i)x(p)

−∑i=1

∑j=1

∑p=0

λi+j+pω(i)ω(j)x(p)

−α∑p=0

∑k=0

λp+k+1x(p)x(k)

−β∑p=0

∑k=0

∑`=0

λp+k+`+2x(p)x(k)x(`)

y asumiendo que esta ecuacion es valida cualquiera sea el valor que le fijemos al parametroλsiempre que sea pequeno, debe anularse el coeficiente de cada potencia deλ :

(d2

dt2+ ω2)x(0) = 0

(d2

dt2+ ω2)x(1) = 2ωω(1)x(0) − αx(0)2 (7.23)

(d2

dt2+ ω2)x(2) = 2ωω(2)x(0) + 2ωω(1)x(1) − ω(1)2x(0) (7.24)

−2αx(0)x(1) − βx(0)3

La funcionx(0) es la solucion del oscilador armonico con frecuenciaω :

x(0)(t) = A cosωt (7.25)

La amplitudA esta fijada por las condiciones iniciales del movimiento.La correccion de primer orden satisface la ecuacion (7.23) conx(0) dado por (7.25)

230

OSCILACIONES

(d2

dt2+ ω2)x(1) = 2ωω(1)A cosωt− αA2 cos2 ωt

= 2ωω(1)A cosωt− αA2

2[1 + cos 2ωt] (7.26)

Para eliminar la resonancia que producirıa la divergencia en la amplitud debemos hacer

ω(1) = 0

Proponemos una solucion particularx1(t) = a+ b cos 2ωt de (7.26); obtenemos:

x(1)(t) = −αA2

2ω2[1− 1

3cos 2ωt] (7.27)

Empleando los valores deω(1), x(0), x(1) hallados en (7.24) la correccion de segundo ordensatisface la ecuacion:

(d2

dt2+ ω2)x(2) = 2ωω(2)A cosωt+

α2A3

ω2cosωt[1− 1

3cos 2ωt]

−βA3 cos3 ωt

= [2ωω(2)A+α2A3

ω2] cosωt− 1

3α2A3

ω2cosωt cos 2ωt

−βA3 cosωt12[1 + cos 2ωt]

Usando

2 cos 2ωt cosωt = cos 3ωt+ cosωt

obtenemos

(d2

dt2+ ω2)x(2) = [2ωω(2)A+

5α2A3

6ω2− 3βA3

4] cosωt

−[α2A3

6ω2+βA3

4] cos 3ωt

El requerimiento de eliminar la resonancia determina la correccionω(2)

ω(2) =3βA2

8ω− 5α2A2

12ω3

mientras que la correccionx(2) = a+ b cos 3ωt a la coordenada resulta:

x(2)(t) =A3

16ω2[α2

3ω2+β

2] cos 3ωt (7.28)

231

MECANICA CL ASICA

Hemos hallado ası la descripcion del oscilador con terminos anarmonicos de tercer y cuartogrado en la energıa potencial

V (x) = +12mω2

0x2 +

13mλαx3 +

14mλ2βx4

obteniendo la coordenadax como un desarrollo en serie de potencias en la amplitud de oscilacionA. De (7.25, 7.27 y 7.28):

x(t) = A cosωt− λαA2

2ω2[1− 1

3cos 2ωt]

+λ2A3

16ω2[α2

3ω2+β

2] cos 3ωt+ ϑ(λ3)

donde

ω = ω0 + λ2A2[512α2

ω3− 3β

8ω]

que hasta terminos cuadraticos enλ puede explicitarse como:

ω = ω0 + λ2A2[512α2

ω30

− 3β8ω0

] + ϑ(λ3)

7.7. Problemas

1. Considere un oscilador armonico sin amortiguamiento. Calcule los valores medios tempo-rales de sus energıas cinetica y potencial, los que deben ser iguales. ¿Esperaba un resultado comoeste? Justifique su respuesta.

2. La amplitud de un oscilador amortiguado decae a1/e de su valor inicial luego den ciclos.Muestre que la frecuencia del oscilador puede aproximarse por:[1− 1/(8π2n2)] por la frecuenciadel oscilador sin amortiguamiento.

3. Se tiene un semicilindro de radioR apoyado en una de sus generatrices sobre una superficiehorizontal lisa (sin rozamiento), de forma que la reaccion del piso es vertical.

3.1 Determinar la frecuencia de pequenas oscilaciones alrededor de la posicion de equilibrio.3.2 Calcular explıcitamente la posicion del centro de masas y el tensor de inercia.

232

Capıtulo 8

Pequenas oscilaciones

8.1. Introducci on

Vamos a estudiar un sistema de partıculas sometidas a fuerzas aplicadas conservativas y concondiciones de vınculo holonomicas e independientes del tiempo (escleronomas), de modo quepodemos expresar el Lagrangiano del sistema en terminos de un conjunto deN coordenadas gene-ralizadas independientesq, siendo la energıa cinetica una funcion cuadratica de las velocidades.q :

L(q,.q) = T (q,

.q)− V (q) (8.1)

donde:

T (q,.q) =

12

n∑i,j

aij(q).qi.qj (8.2)

V (q) = V (q1, q2, ...qN ) (8.3)

El sistema posee ademas un punto de equilibrio, lo que significa que existe una solucion par-ticular donde todas las coordenadas son constantes:

qi(t) = q0i (8.4)

Consideraremos un tipo particular de evolucion temporal de este sistema de cuerpos o partıcu-las, tal queqi(t) permanezca siempre muy cercano a su valor de equilibrio (8.4). Para ello lafuncion energıa potencial debera poseer un mınimo relativo en el puntoq01, q02, ...q0N, siendo porello condicion necesaria que:

∂

∂qiV (q1, q2, ...qN ) = 0, i = 1, 2, ...N (8.5)

de modo que se anule la fuerza generalizada para cada coordenadaqi. Para que el extremo de lafuncionV sea un mınimo se requieren condiciones sobre los signos de las derivadas segundas dela funcion (8.5).[24]

233

MECANICA CL ASICA

8.1.1. Cadena lineal de dos masas

Vamos a introducirnos en el estudio de las pequenas oscilaciones de un sistema medianteun ejemplo sencillo donde ya aparecen todas las caracterısticas del caso general. Tenemos dospartıculas de masam que pueden moverse solamente en una direccion, a lo largo de la cual estanunidas entre sı y a dos puntos fijos mediante resortes, representadas en la figura 8.1:

Figura 8.1:Cadena lineal de dos masas

Esta es una cadena lineal de dos masas, el caso general que trataremos al final del capıtulo esla misma configuracion con un numeroN de masas.

Elegimos como coordenadas generalizadas la separacion de cada masa respecto de su posicionde equilibrio. La longitud natural de los resortes esa0 y consideramos que puede ser menor que lalongitud de equilibrio en la cadena

a0 < a =L

3(8.6)

dondeL es la longitud entre los extremos fijos de la cadena.Si la masa1 esta separada de la posicion de equilibrio en el valorx1, la fuerza ejercida sobre

ella por el resorte 1 es:

f1,1 = −k(a+ x1 − a0)

en tanto que la fuerza ejercida por el resorte2 es:

234

PEQUENAS OSCILACIONES

f1,2 = k(a+ x2 − x1 − a0)

con lo que la fuerza neta actuante sobre la masa 1 es:

F1 = f1,1 + f1,2

= −k(2x1 − x2)

y de la misma forma para2:

f2,2 = −k(a+ x2 − x1 − a0)

f2,3 = k(a− x2 − a0)

que resulta:

F2 = f2,2 + f2,3

= −k(2x2 − x1)

de modo que las ecuaciones del movimiento son el siguiente par de ecuaciones diferencialesacopladas

m..x1 +k(2x1 − x2) = 0

m..x2 +k(2x2 − x1) = 0

que pueden representarse en notacion vectorial por la ecuacion:

M..−→X +K.−→X = 0 (8.7)

donde

M = m

∣∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣∣ (8.8)

K = k

∣∣∣∣∣ 2 −1−1 2

∣∣∣∣∣ (8.9)

−→X =

∣∣∣∣∣ x1

x2

∣∣∣∣∣ (8.10)

Es facil desacoplar estas ecuaciones: sumando y restando ambas

235

MECANICA CL ASICA

m(..x1 +

..x2) + k(x1 + x2) = 0

m(..x1 −

..x2) + 3k(x1 − x2) = 0

que se integran de inmediato:

x1(t) + x2(t) =| A1 | cos(ω1t+ ϕ1) (8.11)

x1(t)− x2(t) =| A2 | cos(ω2t+ ϕ2) (8.12)

donde las frecuenciasω1,2 son

ω21 =

k

m(8.13)

ω22 =

3km

(8.14)

y | A1 |, | A2 |, ϕ1, ϕ2 constituyen cuatro constantes arbitrarias, que se determinan mediante lascondiciones iniciales impuestas al movimiento y que hacen que el par de ecuaciones (8.11,8.12)constituyan la solucion general del problema:

x1(t) =12[| A1 | cos(ω1t+ ϕ1)+ | A2 | cos(ω2t+ ϕ2)] (8.15)

x2(t) =12[| A1 | cos(ω1t+ ϕ1)− | A2 | cos(ω2t+ ϕ2)] (8.16)

Resulta conveniente utilizar una notacion compleja para representar estas soluciones:

x1(t) = Real[A112eiω1t +A2

12eiω2t] (8.17)

x2(t) = Real[A112eiω1t −A2

12eiω2t] (8.18)

donde concentramos en los numeros complejos

A1 = | A1 | eiϕ1 (8.19)

A2 = | A2 | eiϕ2

las cuatro constantes arbitrarias de la solucion general. Es habitual no especificar el operadorReal,por lo que se debe tener en cuenta que es solamente la parte real de los resultados la que representaa las coordenadas del sistema.

Hemos encontrado que la evolucion de las coordenadas generalizadas esta compuesta por la

superposicion de dos movimientos armonicoseiω1,2t con frecuenciasω1 =√

km , ω2 =

√3km . La

mezcla de estas oscilaciones en cada coordenada estara determinada por las condiciones iniciales

236


impuestas al sistema a traves de los valores de las constantesA1,2. En particular es posible definirlas condiciones iniciales de modo que este presente ununico movimiento armonico; para ellodebemos lograr que solo una de las constantesA1,2 sea no nula. Su relacion con las condicionesiniciales es la siguiente:

x1(0) =12

RealA1 +A2

x2(0) =12

RealA1 −A2

.x1 (0) =

12

Realiω1A1 + iω2A2

= −12

Imaginarioω1A1 + ω2A2

.x2 (0) =

12

Realiω1A1 − iω2A2

= −12

Imaginarioω1A1 − ω2A2

con lo que obtenemos:

RealA1 = x1(0) + x2(0)

ImaginarioA1 = −.x1 (0)+

.x2 (0)

ω1

RealA2 = x1(0)− x2(0)

ImaginarioA2 = −.x1 (0)− .

x2 (0)ω2

Vemos que es posible especificar las condiciones iniciales de modo que se anuleA2 :

x1(0)− x2(0) = 0.x1 (0)− .

x2 (0) = 0

con lo que las ecuaciones (8.17,8.18) se reducen a:

x1(t) = RealA112eiω1t (8.20)

x2(t) = RealA112eiω1t

que dice que ambas masas evolucionan con la misma frecuencia de oscilacion y la misma fase.

237

MECANICA CL ASICA

Las condiciones iniciales que anulanA1 son:

x1(0) + x2(0) = 0.x1 (0)+

.x2 (0) = 0

y la evolucion temporal esta dada por:

x1(t) = RealA212eiω2t (8.21)

x2(t) = −RealA212eiω2t

A LA EVOLUCI ON DEL SISTEMA TAL QUE HAY UNA SOLA FRECUENCIA PRESENTE EN LA

DEPENDENCIA TEMPORAL DE TODAS LAS COORDENADAS SE LE DA EL NOMBRE DE MODO NORMAL

DE VIBRACION.

En este ejemplo donde tenemos dos grados de libertad hemos logrado obtener la soluciongeneral (8.17, 8.18) de la evolucion temporal de las masas, la que consiste en la superposicionde los dos modos normales presentes en este caso. Ademas, hemos visto que es posible definircondiciones iniciales para excitar ununico modo normal de vibracion (8.20, 8.21), de forma quetodas las partıculas vibren con la misma frecuencia.

Volviendo a las soluciones (8.11, 8.12)

x1(t) + x2(t) =| A1 | cos(ω1t+ ϕ1)

x1(t)− x2(t) =| A2 | cos(ω2t+ ϕ2)

podemos considerar estas combinaciones lineales de las coordenadas originales un nuevo conjuntode coordenadas generalizadas

y1(t) = x1(t) + x2(t) (8.22)

y2(t) = x1(t)− x2(t) (8.23)

igualmente valido para describir el sistema de dos masas que el original. En particular,y1(t) es lacoordenada del centro de masas del sistema en tantoy2(t) representa la coordenada relativa entrelas masas. El interes de definir estas nuevas variables llamadas coordenadas normales es que ellasevolucionan en el tiempo con unaunica frecuencia como si fuera un par de osciladores armonicosindependientes:

y1(t) =| A1 | cos(ω1t+ ϕ1) (8.24)

y2(t) =| A2 | cos(ω2t+ ϕ2) (8.25)

238


8.2. Ecuaciones del movimiento

Consideramos ahora el caso general de un sistema conN grados de libertad, sometido afuerzas aplicadas conservativas derivables de un potencial:

V (q) = V (q1, q2, ...qN )

y sobre las partıculas actuan vınculos escleronomos, por lo que la energıa cinetica tiene la forma:

T (q,.q) =

12

n∑i,j

aij(q).qi.qj (8.26)

existe ademas un punto de equilibrio para el sistema

qi(t) = q0i (8.27)

Consideraremos un tipo particular de evolucion temporal de este sistema de cuerpos o partıcu-las, tal que las coordenadasqi(t) permanezcan siempre muy cercanas a sus valores de equilibrio(8.27).

La funcion energıa potencial debera poseer un mınimo relativo en el puntoq01, q02, ...q0N,siendo para ello condicion necesaria que:

∂

∂qiV (q1, q2, ...qN ) = 0, i = 1, 2, ...N

La energıa potencial desarrollada en serie de Taylor alrededor de una posicion de equilibrioes:

V (q) = V (q0) +N∑i=1

∂V

∂qi|q0 xi +

12

N∑i,j=1

∂2V

∂qi∂qj|q0 xixj + ... (8.28)

donde:

xi = qi − q0i

Eliminando de la energıa potencial la constanteV (q0) y teniendo en cuenta (8.5), el primertermino no nulo del desarrollo (8.28) es el cuadratico:

V (x) =12

N∑i,j=1

Kijxixj + ... (8.29)

donde:

Kij = Kji =∂2V

∂qi∂qj|q0 (8.30)

Vamos a efectuar una aproximacion equivalente sobre la energıa cinetica (8.26). Los coefi-cientesaij(q) (8.2) estan definidos solamente a traves de la sumaaij + aji, podemos entonceselegirlos simetricos:

239

MECANICA CL ASICA

aij(q) = aji(q) (8.31)

y su desarrollo en serie de Taylor es:

aij(q) = aij(q0) +N∑`=1

∂aij∂q`

|q0 x` + ... (8.32)

Para valores pequenos de las separacionesx` respecto del equilibrio el termino dominante es laconstanteaij(q0); reemplazando (8.32) en (8.26) el termino principal del desarrollo de la energıacinetica es:

T =12

N∑i,j=1

Mij.xi

.xj (8.33)

donde:

Mij = Mji = aij(q0) (8.34)

El punto q0 sera de equilibrio estable cuando, desplazando al sistema infinitesimalmen-te de la posicion de equilibrio sigue su evolucion temporal manteniendose en las cercanıas delpuntoq0. Para que esto ocurra debera ser positiva la energıa potencial (8.29) en las cercanıas deq0, entonces la energıa cinetica debera disminuir y eventualmente anularse al alejarnos deq0.Debido a la conservacion de la energıa total las energıas cinetica y potencial tendran entonces enpromedio el mismo orden de magnitud, siendoT maximo cuandoV = 0 y viceversa. Entonces,para pequenas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio las velocidades

·xi y posicionesxi

tambien seran del mismo orden. Por ello, no es necesaria la conservacion de mas terminos en laenergıa cinetica (8.33) una vez que hemos despreciado terminos de orden superior al cuadraticoen la energıa potencial.

La forma del Lagrangiano en la aproximacion de pequenas oscilaciones es:

L =12

N∑i,j=1

[Mij.xi

.xj −Kijxixj ] (8.35)

y las ecuaciones de Lagrange resultantes son:

N∑j=1

[Mij..xj +Kijxj = 0, i = 1, 2...N (8.36)

que constituyen un conjunto deN ecuaciones diferenciales lineales, homogeneas, acopladas, concoeficientes constantes. Estas ecuaciones pueden expresarse en forma vectorial:

M..−→X +K.−→X = 0 (8.37)

dondeM y K son matrices reales simetricas deN filas y N columnas, y−→X = (x1, x2...xN )

es un vector columna en un espacio vectorial deN dimensiones que representa las coordenadas

240


generalizadas del sistema. Notemos la similitud de esta ecuacion con la (8.7) correspondiente alejemplo de la cadena lineal de dos masas.

Por analogıa al ejemplo precedente, proponemos como solucion particular a:

−→X = −→

C eiωt (8.38)

que tiene la forma de un modo normal de oscilacion tal como lo definimos en dicho ejemplo. En(8.38) se sobrentiende que debemos tomar la parte real del segundo termino, y

−→C es un vector en

principio de componentes complejas. Reemplazando (8.38) en (8.37):

[−ω2M + K]−→C = 0 (8.39)

Nuestro problema consistira en resolver el sistema (8.39). Para que un sistema de ecuacioneslineales homogeneas posea solucion no trivial debe tener determinante nulo, y esta condicion nosprovee de varias soluciones particulares del tipo (8.38), una para cada raız de:

det[−ω2`M + K] = 0 (8.40)

Para una raız simpleω2` el sistema de ecuaciones (8.39) provee una solucion

−→C con una com-

ponente arbitraria. Cuando alguna de las raıces (8.40) sea multiple, vemos en el Apendice de estaSeccion como hallar tantos vectores

−→C ` independientes como sea la multiplicidad de la raız ω2

` .

Tambien podemos elegir en forma arbitraria un factor complejod` que multiplique al vector−→C en lugar de una de sus componentes, fijandoesta con algun criterio, por ejemplo a traves deuna condicion de normalizacion del vector.

La solucion general del sistema de ecuaciones (8.36) o (8.37) debe poseer2N constantesarbitrarias para poder fijar las condiciones iniciales; sera entonces la combinacion lineal de las Nsoluciones particulares:

−→X =

N∑`=1

−→C `e

iω`t

o:

−→X =

N∑`=1

d`.−→Cnorm

` eiω`t (8.41)

En este caso el vector−→C tiene todas sus componentes perfectamente definidas, quedando en

el factord` el par de constantes arbitrarias de la solucion del sistema lineal homogeneo.Las matricesM y K son reales, por lo tanto seran reales las componentes del vector

−→C . Esta

propiedad indica que las coordenadasxi oscilan en fase o contrafase (las amplitudes de oscilacionpueden ser numeros reales positivos o negativos), por lo que las velocidades

.xi se anulan todas

simultaneamente. La energıa total del sistema fluctua transfiriendose en forma periodica de pura-mente cinetica a puramente potencial.

En la ultima Seccion de este capıtulo probaremos en forma rigurosa que todas las raıcesω2`

del determinante secular (8.40) son reales y positivas,produciendo entonces frecuencias reales de

241

MECANICA CL ASICA

oscilacion ω` =√ω2` . Ademas, pareciera a primera vista que obtenemos un par de frecuencias

±ω` por cada raız del determinante secular, pero producen la misma solucion particular:

−→X ` = Reald`

−→C è

−iω`t= Reald∗`

−→C eiωt

donded∗` es el complejo conjugado de d`, y siendoesta una constante arbitraria tenemos formasfuncionales identicas para±ω`.

En terminos de cada coordenada generalizadaxi el resultado (8.41) es:

xi =N∑`=1

ci`dèiω`t (8.42)

dondeci` representa la i-esima componente del vector−→C `.

La ecuacion (8.42) nos indica que la solucion−→X del problema de pequenas oscilaciones re-

sulta de aplicar la matrizC formada por las componentescj` al vector cuyas componentes sondèxp(iω`t):

−→X = C−→Y

−→Y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

d1eiω1t

...dè

iω`t

...dNe

iωN t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Si la matrizC posee inversa, el productoC−1−→X=

−→Y define un nuevo conjunto de coordenadas

generalizadasyj que son combinaciones lineales de las antiguasxj . Vemos de (8.42) que cada unade estas coordenadas evoluciona en el tiempo con una sola frecuenciaωj :

yj = djeiωjt

constituyendo los yj un sistema deN osciladores armonicos desacoplados que se denominas co-ordenadas normales. Las frecuenciasωj se denominan frecuencias normales o autofrecuencias ya la evolucion del sistema cuando una sola de las coordenadas yj es separada de la posicion deequilibrio se la llama modo normal de oscilacion.

8.3. Ejemplos

8.3.1. Cadena lineal de tres masas

En este ejemplo presentado en la figura 8.2 tenemos tres partıculas de masa m unidas entresı y a extremos fijos por cuatro resortes de constante de rigidez k. Al igual que en el ejemplo de la

242


Figura 8.2:Cadena lineal de tres masas

cadena lineal de dos masas, en la situacion de equilibrio los resortes de longitud natural a0 estanestirados al valora = L

4 , con L la distancia entre los puntos de fijacion.Las coordenadas generalizadas mas convenientes son la separacion respecto del equilibrio xi

de cada una de las masas.Calculamos la energıa potencial, suma de la de cada resorte. Podemos definir una forma gene-

ral para el resorte i:

Vi(xi−1, xi) =12k(a+ xi − xi−1 − a0)2 (8.43)

donde ademas de las coordenadas generalizadasx1, x2, x3 aparecenx0, x4 que representan eldesplazamiento de los extremos fijos de los resortes 1 y 4, y que por lo tanto deben ser igualadosa cero:

x0 = x4 = 0 (8.44)

La energıa potencial resulta:

V (x1, x2, x3) =4∑i=1

Vi(xi−1, xi)

243

MECANICA CL ASICA

=k

2

4∑i=1

(a− a0)2 + (xi − xi−1)2

+2(a− a0)(xi − xi−1)

El ultimo termino de la sumatoria es nulo. Eliminando las constantes aditivas irrelevantes dela funcion energıa potencial obtenemos:

V (x1, x2, x3) =k

2

4∑i=1

(xi − xi−1)2 (8.45)

y en forma explıcita, haciendo uso de (8.44):

V (x1, x2, x3) =k

2(2x2

1 − 2x1x2 + 2x22 − 2x2x3 + 2x2

3)

Entonces la matrizK que determina la energıa potencial es:

K = k

∣∣∣∣∣∣∣2 −1 0−1 2 −10 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣ (8.46)

que es de la misma forma que la de la cadena lineal de dos masas (8.9). La matriz para la energıacinetica es proporcional a la unidad:

M = m

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ (8.47)

Vemos de (8.46) y (8.47) que las unidades naturales para medir constantes de rigidez y masasson los valores de los parametrosk y m respectivamente. La constante de rigidez se mide enkilogramo/(segundo)2 , por lo que debemos elegir la unidad de masa comom kilogramos, y launidad de tiempo igual a

√mk segundos. Las frecuencias que obtengamos se mediran ası en una

unidad igual a√

km (segundo)−1. En estas unidades desaparecen las constantes numericask y m

de las matricesK y M.Las ecuaciones del movimiento (8.37)

M..−→X +K.−→X = 0 (8.48)

para el vector de coordenadas

X =

∣∣∣∣∣∣∣x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣∣ (8.49)

admiten como soluciones particulares las que representan los modos normales de oscilacion (8.38)

−→X ` = −→

C `eiω`t (8.50)

244


El vector−→C ` que describe la amplitud de oscilacion de cada coordenada y la frecuencia normal

ω` satisfacen el sistema de ecuaciones lineales homogeneas (8.39)

[−ω2`M + K]−→C ` = 0

que en nuestro ejemplo resulta:∣∣∣∣∣∣∣2− ω2 −1 0−1 2− ω2 −10 −1 2− ω2

∣∣∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣∣∣c1`c2`c3`

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (8.51)

Para que este sistema tenga solucion no trivial debe anularse el determinante de los coefi-cientes, llamado determinante secular:

det

∣∣∣∣∣∣∣2− ω2 −1 0−1 2− ω2 −10 −1 2− ω2

∣∣∣∣∣∣∣= (2− ω2)3 − 2(2− ω2) = 0 (8.52)

cuyas raıces son:

ω21 = 2 (8.53)

ω22 = 2 +

√2 (8.54)

ω23 = 2−

√2 (8.55)

El vector de amplitudes correspondiente a la frecuencia normalω1 se obtiene de elegir dosde entre las tres ecuaciones (8.51) que proveen ecuaciones linealmente independientes. Debemoselegir dos tales que el determinante2× 2 de los coeficientes sea no nulo. Por ejemplo:

(2− ω21)c11 − c21 = 0

−c11 + (2− ω21)c21 = c31

que resulta:

c21 = 0c31 = −c11

Normalizando el vector−→C 1 quedan determinadas sus tres componentes:

−→C 1 =

1√2

∣∣∣∣∣∣∣10−1

∣∣∣∣∣∣∣ (8.56)

245

MECANICA CL ASICA

En realidad no es necesaria aplicar esta normalizacion, puede elegirse un valor cualquiera parauna componente y las demas quedan determinadas.

Vemos que el modo normal 1 correspondiente a la frecuenciaω1 queda dado por su definicion(8.50) y los valores (8.53) y (8.56):

−→X 1 =

1√2

∣∣∣∣∣∣∣10−1

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2t (8.57)

En este modo de oscilacion las masas laterales oscilan en contrafase y la central permanece enreposo, reflejando la simetrıa del sistema respecto de la masa central.

La solucion particular donde la frecuencia normal es laω2 se obtiene de forma similar:

(2− ω22)c12 − c22 = 0

−c12 + (2− ω22)c22 = c32

dondeω22 = 2 +

√2:

−√

2c12 − c22 = 0−c12 −

√2c22 = c32

que produce:

c22 = −√

2c12c32 = c12

siendo el vector de amplitudes de oscilacion normalizado:

−→C 2 =

12

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ (8.58)

y el modo normal 2 de oscilacion resulta:

−→X 2 =

12

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2+√

2t (8.59)

Finalmente para la solucion particular de frecuencia

ω23 = 2−

√2

que define el modo normal 3 obtenemos:

246


(2− ω23)c13 − c23 = 0

−c13 + (2− ω23)c23 = c33

√2c13 − c23 = 0

−c13 +√

2c23 = c33

que da:

c23 =√

2c13c33 = c13

−→C 3 =

12

∣∣∣∣∣∣∣1√

21

∣∣∣∣∣∣∣ (8.60)

y:

−→X 3 =

12

∣∣∣∣∣∣∣1√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2−√

2t (8.61)

Hemos obtenido tres soluciones particulares (8.57, 8.59, 8.61) que nos permiten escribir lasolucion general para la evolucion de la cadena lineal de tres masas:

−→X =

d1√2

∣∣∣∣∣∣∣10−1

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2t

+d2

2

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2+√

2t

+d3

2

∣∣∣∣∣∣∣1√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2−√

2t (8.62)

Ası como para la cadena de dos masas aparecıan dos modos normales con frecuencia (8.13,8.14)que en las unidades

√mk sonω2

1 = 1, ω22 = 3, ahora aparecen tres modos con frecuenciasω2

1 = 2,

ω22 = 2 +

√2, ω2

3 = 2 −√

2. Teniendo en cuenta que la frecuencia de oscilacion de una masaunida a dos resortes con extremos fijos esω2 = 2, para la cadena de dos masas hay una frecuenciamas ”dura”(ω2

2 = 3) y una mas ”blanda”(ω21 = 1). En la cadena de tres masas dos frecuencias

247

MECANICA CL ASICA

Figura 8.3:Relacion entre los grados de libertad y el desdoblamiento de los modos normales de oscilacion

se abren del valorω2 = 2 : la dura esω22 = 2 +

√2, la blandaω2

3 = 2 −√

2 y una permaneceidentica al de una masa:ω2

1 = 2. Se produce en general un desdoblamiento de frecuencias debidoal acoplamiento de los movimientos de las masas que graficamos en la figura 8.3.

Analicemos ahora las amplitudes de oscilacion en los diferentes modos normales. Tanto parala cadena de dos masas como para la de tres (y en general para cualquier modo normal de cualquierproblema) cada coordenada oscila en fase o contrafase respecto de las demas ya que las amplitudesson numeros reales positivos o negativos. La maxima separacion respecto de la posicion de equi-librio de la masai en el modo normal dada por la componenteci` se representa en las figuras 8.4y 8.5 para las cadenas de dos y tres masas:

Vemos que los modos mas blandos presentan menos cambios de signo de sus amplitudes, loque hace que las masas oscilen en fase en estos ejemplos.

Si excitamos diferentes modos tomando en todos los casos vectores amplitud−→C ` de norma

unitaria, la energıa cinetica (8.33) resulta:

T =12

N∑i=1

.x2i

=12

N∑i=1

Real[iω`Ci`eiω`t]× Real[iω`Ci`eiω`t]

248


Figura 8.4:Amplitudes de oscilacion para la cadena lineal de dos masas

=12ω2` sin2 ω`t

N∑i=1

C2i`

=12ω2` sin2 ω`t (8.63)

Cuando la energıa cinetica alcanza su maximo valor coincide con la energıa totalE, por lo quepara un modo normal de oscilacion de amplitud

−→C ` de norma unitariaesta es

E =12ω2` (8.64)

A amplitudes equivalentes, cuesta menos energıa excitar los modos mas blandos.Finalmente, vamos a ver como obtener las condiciones iniciales para excitar un dado modo

normal de oscilacion. Hay varias formas de excitar un modo, la mas obvia es tomar nulas a lasvelocidades de todas las masas al mismo tiempo que separandolas de la posicion de equilibrioen proporcion a las amplitudes de dicho modo; por ejemplo para el modo 2 definido por (8.59)fijamos:

x1(t = 0) = a.x1 (t = 0) = 0

x2(t = 0) = −√

2a.x2 (t = 0) = 0

x3(t = 0) = a.x3 (t = 0) = 0

(8.65)

249

MECANICA CL ASICA

Figura 8.5:Amplitudes de oscilacion para la cadena lineal de tres masas

Las condiciones iniciales generales que excitan este modo quedan determinadas por las condi-ciones:

−→X 2(t = 0) = Real

d2

2

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .ei√

2+√

2t

(8.66)

=|d2|2

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ . cos(ϕ2)

donde explicitamos la constante compleja

d2 ≡ |d2| eiϕ2

y:

.−→X 2 (t = 0) = Real

d2

2

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .i√

2 +√

2ei√

2+√

2t

(8.67)

250


= −|d2|2

∣∣∣∣∣∣∣1−√

21

∣∣∣∣∣∣∣ .√

2 +√

2 sin(ϕ2)

Eligiendoϕ2 = 0 obtenemos las condiciones iniciales (8.65), mientras que yendonos al otrovalor extremoϕ2 = π

2 obtenemos las condiciones:

x1(t = 0) = 0.x1 (t = 0) = a

x2(t = 0) = 0.x2 (t = 0) = −

√2a

x3(t = 0) = 0.x3 (t = 0) = a

(8.68)

dondea es un valor arbitrario.

8.3.2. La cadena lineal de N masas

Consideremos ahora N masasm que pueden moverse en una dimension, figura 8.6, y ligadasentre sı por resortes iguales de constantek0 estando los resortes de los extremos fijos a puntosx = 0, x = L.

Figura 8.6:Cadena lineal den masas

Es esta una generalizacion de las cadenas lineales de dos y tres masas ya tratadas. Las energıascinetica y potencial tienen la forma:

251

MECANICA CL ASICA

T =m

2

N∑i=1

.x2i

V =k

2

N∑i=1

N∑j=1

kijxixj

donde:

kii = 2ki,i+1 = ki,i−1 = −1

ykij = 0

para el resto.Usando unidades en quek = 1 y m = 1 las matrices de energıa cinetica y potencial resultan:

M =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 . 00 1 0 . 00 0 1 . 0. . . . .0 0 0 . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(8.69)

K =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 0 . 0−1 2 −1 . 00 −1 2 . 0. . . . .0 0 0 . 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(8.70)

El determinante secular que provee las autofrecuencias es:

SN =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2− ω2 −1 0 . 0−1 2− ω2 −1 . 00 −1 2− ω2 . 0. . . . .0 0 0 . 2− ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(8.71)

Desarrollandolo por los elementos de la primera fila:

SN = (2− ω2)SN−1 + S′

(8.72)

dondeSN−1 es identico a (8.71) pero con N-1 filas y columnas, yS′ desarrollado por los elementosde su primera columna resulta:

252


S′ = −SN−2 (8.73)

Las dos ecuaciones precedentes se transforman ası en:

SN = (2− ω2)SN−1 − SN−2 (8.74)

Esta expresion da la ley de formacion de los elementos de la sucesionSi. Si conocemos dosterminos de esta sucesion, aplicando (8.74) recursivamente podemos hallar todos los demas.

Definimos una nueva incognitaθ en lugar deω2

2− ω2 = 2 cos θ (8.75)

lo que no implica ninguna restriccion a los valores que puede adoptarω ya que no especificamosqueθ sea un valor real. La relacion inversa de (8.75) es:

ω2 = 4 sin2 θ

2(8.76)

Los dos primeros terminos de nuestra sucesion son, de acuerdo a (8.71):

S1 = 2− ω2 = 2 cos θ (8.77)

S2 = (2− ω2)2 − 1 = 4 cos2 θ − 1

Hallaremos ahora dos sucesiones linealmente independientes que sean soluciones particularesde la relacion (8.74):

SN − 2 cos θ.SN−1 + SN−2 = 0 (8.78)

Las proponemos como potencias de un numeroz:

SN = zN

entonces de (8.74):

zN − 2 cos θ.zN−1 + zN−2 = 0

que produce:

z1,2 = cos θ ±√

cos2 θ − 1= e±iθ (8.79)

dondei es la unidad imaginaria. Las dos sucesiones obtenidas son:

S1N = eiNθ (8.80)

S2N = e−iNθ

253

MECANICA CL ASICA

El determinante secular de nuestro problema sera entonces una combinacion lineal de estasdos soluciones particulares

SN = AeiNθ +Be−iNθ (8.81)

que satisface las condiciones (8.77):

S1 = 2 cos θ (8.82)

S2 = 4 cos2 θ − 1

entonces:

Aeiθ +Be−iθ = 2 cos θAei2θ +Be−i2θ = 4 cos2 θ − 1

resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos la siguiente forma del determinante secular:

SN =sin[(N + 1)θ]

sin θ(8.83)

Sus raıces (las autofrecuencias) son inmediatas:

sin[(N + 1)θ] = 0

con soluciones:

(N + 1)θ` = `π (8.84)

Las autofrecuencias estan definidas por (8.76):

ω2` = 4 sin2 θ`

2(8.85)

Cuando = N +1 se anulan en (8.83) numerador y denominador, por lo que SN 6= 0; ademaspara` = N + 2, N + 3... obtenemos los mismos valores deω2 que paraN,N − 1,... por lo queel numero de autofrecuencias diferentes esN .

Los autovectores−→C` se obtienen a partir del sistema de ecuaciones (8.39)

[K− ω2M]−→C = 0 (8.86)

esto es:

(2− ω2` )C1` − C2` = 0

−C1` + (2− ω2` )C2` − C3` = 0

−C2` + (2− ω2` )C3` − C4` = 0

.... = 0−CN−1,` + (2− ω2

` )CN` = 0

254


Estas ecuaciones pueden representarse por la ecuacion en diferencias:

−Cp−1,` + (2− ω2` )Cp` − Cp+1,` = 0 (8.87)

con las condiciones de contorno:C0` = CN+1,` = 0.La forma de (8.87) es identica a la de (8.72), entonces dos soluciones particulares sonexp(±ipθ`)

y la solucion general es:

Cp` = Aeipθ` +Be−ipθ` (8.88)

con condiciones de contorno

C0` = 0 = A+B

CN+1,` = 0 = Aei(N+1)θ` +Be−i(N+1)θ`

reemplazando (8.88) en (8.87) estas condiciones de contorno producen la siguiente forma para losautovectores:

Cp` = d` sin(pθ`) (8.89)

d` es un factor multiplicativo arbitrario a ser determinado por las condiciones iniciales del proble-

ma. Si queremos tener autovectores normalizados debemos tomar:A =√

2N+1 .

Finalmente, la solucion general del problema de pequenas oscilaciones longitudinales (nues-tras masas se mueven en el sentido de la lınea de accion de los resortes) es:

xj =

√2

N + 1

N∑`=1

d` sinπ`j

N + 1ei2 sin[ π`

2(N+1)]t

donde la variablet representa al tiempo medido en un sistema donde la unidad es√

mk segundos.

Las constantes complejas arbitrariasd` se fijan mediante las condiciones iniciales impuestas ala evolucion del sistema.

8.3.3. Pendulo doble

Estudiaremos las pequenas oscilaciones del pendulo doble con masas y longitudes igualespresentado en la figura 8.7.

Las energıas cinetica y potencial en la aproximacion de pequenas oscilaciones alrededor delpunto de equilibrioθ1 = θ2 = 0 son:

T =12m`2(2

.θ1

2+

.θ2

2+

.θ1

.θ2)

V =12mg`(2θ2

1 + θ22)

255

MECANICA CL ASICA

Figura 8.7:Pendulo doble

Estamos ahora ante un problema donde la matrizM no es diagonal: las matrices de energıacinetica y potencial son

T = m`2∣∣∣∣∣ 2 1

1 1

∣∣∣∣∣V = mg`

∣∣∣∣∣ 2 00 1

∣∣∣∣∣y las ecuaciones que debemos resolver son la (8.39):

[K− ω2M]−→C = 0 (8.90)

para encontrar el par de soluciones particulares (8.38):

−→X = −→

C eiωt (8.91)

Para ello, debe ser nulo el determinante secular (8.40):

det[K− ω2`M] (8.92)

= mg`

∣∣∣∣∣ 2− 2ω′2 −ω′2−ω′2 1− ω′2

∣∣∣∣∣256


que produce:

2(1− ω′2)4 − ω′4 = 0 (8.93)

donde:

ω′2 =`

gω2

Las raıces del determinante secular o polinomio caracterıstico son:

ω′21,2 = 2±√

2

ω21,2 =

g

`[2±

√2] (8.94)

Debemos ahora resolver el sistema de ecuaciones (8.90) para cada uno de los autovalores(8.94). Siendo:

ω2jM = mg`ω′2

∣∣∣∣∣ 2 11 1

∣∣∣∣∣(8.90) se reduce a: ∣∣∣∣∣ 2− 2ω′2j −ω′2j

−ω′2j 1− ω′2j

∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣ cj1cj2

∣∣∣∣∣ = 0, j = 1, 2 (8.95)

Debido a que el determinante es nulo, las dos ecuaciones generadas son linealmente depen-dientes, tomamos entonces la primera ecuacion:

(2− 2ω′2j )cj1 − ω′2j cj2 = 0

Como podemos fijar arbitrariamente una de las componentes de−→C , hacemoscj1 = 1. Para la

autofrecuencia (autovalor)ω21 = g

` (2 +√

2) el resultado es:

c11 = 1, c12 = −√

2 (8.96)

y para la autofrecuenciaω22 = g

` (2−√

2) :

c21 = 1, c22 =√

2 (8.97)

La solucion general del problema de pequenas oscilaciones es la suma de las dos solucionesparticulares halladas, donde aparece un factor complejo arbitrario multiplicando a cada una deellas, ya que cualquier multiplo de los vectores

−→Cj es tambien una solucion particular

θi =2∑j=1

cjidieiωit (8.98)

es decir:

257

MECANICA CL ASICA

∣∣∣∣∣ θ1θ2∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1−√

2

∣∣∣∣∣ d1eiω1t +

∣∣∣∣∣ 1√2

∣∣∣∣∣ d2eiω2t

Podemos escribir este resultado en notacion matricial:∣∣∣∣∣ θ1θ2∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 1 1−√

2√

2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d1e

iω1t

d2eiω2t

∣∣∣∣∣ (8.99)

Las coordenadas normalesy1, y2 son aquellas combinaciones deθ1, θ2 que evolucionan conuna sola frecuencia de vibracion. Vemos de (8.99) que se pueden obtener multiplicando al vector−→θ por la matriz inversa deC

C−1 =1

2√

2

∣∣∣∣∣√

2 −1√2 1

∣∣∣∣∣−→y =

∣∣∣∣∣ y1

y2

∣∣∣∣∣ = 12√

2

∣∣∣∣∣√

2 −1√2 1

∣∣∣∣∣ .∣∣∣∣∣ θ1θ2

∣∣∣∣∣=

12

∣∣∣∣∣ θ1 + θ2√2(θ1 − θ2)

∣∣∣∣∣cuya dependencia temporal es:∣∣∣∣∣ θ1 + θ2√

2(θ1 − θ2)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ d1e

iω1t

d2eiω2t

∣∣∣∣∣ (8.100)

Este resultado dice que las coordenadas normalesy1 = θ1+θ2, y2 =√

2(θ1−θ2) evolucionanen el tiempo como pendulos desacoplados con frecuenciasω1, ω2 respectivamente.

Los modos normales de excitacion consisten en la evolucion del sistema con una sola frecuen-cia de vibracion. Las condiciones iniciales que generan cada modo de vibracion son las que hacenlas constantesdj nulas salvo una. En nuestro ejemplo esas condiciones iniciales son:

Modo deω1 :

d2 = 0 →√

2θ1(0) = θ2(0) (8.101)√

2.θ1 (0) =

.θ2 (0)

Modo deω2 :

d1 = 0 →√

2θ1(0) = −θ2(0) (8.102)√

2.θ1 (0) =

.−θ2 (0)

En el primer modo las masas oscilan en fase, en el segundo oscilan en oposicion (desfasadasen180).

258


8.4. Apendice

8.4.1. Prueba de la existencia de N modos normales de oscilaci on

Vamos a demostrar que los vectores−→C que definen cada modo normal de oscilacion estan

unıvocamente conectados a los autovectores de una matriz real simetrica deN ×N filas y colum-nas, y por lo tanto hayN vectores

−→C linealmente independientes.

La ecuacion (8.39) recuerda a la que define los autovectores de la matrizK:

K−→C ` = k

−→C ` (8.103)

salvo que en ella aparece la matrizM multiplicando al autovalorω2` . TantoM comoK son matri-

ces reales simetricas, por lo tanto cada una puede diagonalizarse mediante una rotacion del sistemade coordenadasN -dimensional.

Vamos a explorar la posibilidad de realizar una transformacion de coordenadas que diagonalicesimultaneamente ambas matrices. Realizamos una rotacion de forma tal queM sea diagonal en elnuevo sistema de ejes:

M′ = A.M.At = diagonal

en tanto queK′ = A.K.At es no diagonal en general, los vectores se transforman como:

−→X ′ = A.−→X (8.104)

−→C ′ = A.−→C (8.105)

y las ecuaciones (8.39) se convierten en:

M′.

..−→X ′ +K

′.−→X ′ = 0 (8.106)

o en su forma explıcita:

m′i

..

x′i=

N∑j=1

K′ijx

′j (8.107)

Eliminamos los terminos diagonales deM′mediante un cambio de escalas a lo largo de cada

ejex′i :

x′′i =√m′ix′i (8.108)

obtenemos:

..

x′′i =

N∑j=1

K′′ijx

′′j (8.109)

donde:

259

MECANICA CL ASICA

K′′ij =

K′ij√

m′im

′j

(8.110)

La rotacion (8.104) y las dilataciones (8.108) transforman entonces el sistema lineal en lascoordenadas originales x (8.39) en el sistema

..−→X

′′+K

′′−→X

′′= 0 (8.111)

en las nuevas coordenadasx′′. Proponiendo una solucion particular con una dependencia armonica

en el tiempo:

−→X

′′` =

−→C

′′`eiωt (8.112)

resulta el sistema lineal homogeneo:

[−ω2` I + K′′]

−→C ′′

` = 0 (8.113)

Esta ecuacion define los autovectores de la matrizK′′, que escribimos habitualmente como:

K′′−→C ′′` = ω2

`

−→C ′′

`

Como las rotaciones de ejes y la dilatacion (8.108) de los mismos mantienen la simetrıa de la

matrizK, es posible hallar N vectores−→C′′ linealmente independientes como soluciones de estas

ecuaciones, que se escriben en forma explıcita como:

N∑j=1

K′′ijc

′′j` = ω2

` c′′i`

o:

N∑j=1

K′′ijc

′′j` =

N∑j=1

c′′ijδj`ω

2`

y representan el producto matricial:

K′′.C

′′= C

′′Kd (8.114)

donde(Kd)ij = ω2

i δij

y C′′

es la matriz donde cada columna es un autovector.Existe siempre una matriz ortogonalC

′′solucion de (8.114), la demostracion para el caso

tridimensional al diagonalizar el tensor de inercia de un cuerpo rıgido se puede generalizar a unespacioN -dimensional como el presente.

La matrizK′′

es diagonal en la base de sus autovectores, de modo que la energıa potencialVtiene la forma siguiente en las nuevas coordenadas generalizadasx

′′i :

260


V =N2∑i=1i

ω2i (x

′′i )

2

V posee un mınimo en el puntox′′i = 0, entonces necesariamente los valoresω2

i deberan serpositivos. Probamos ası que todas las raıces del determinante secular (8.40) son positivas.

La solucion general es entonces la combinacion lineal de lasN soluciones particulares (8.112)multiplicadas por constantes arbitrariasD`

−→X ′′ =

N∑`=1

D`−→C ′′

`.eiω`t (8.115)

Hemos ası probado que existenN modos normales de oscilacion linealmente independientes,basandonos en el hecho de la existencia de N autovectores de una matriz real y simetrica.

8.4.2. Raıces multiples del determinante secular

Supongamos una matrizK con un polinomio caracterıstico conN−p raıces simples y una raızmultipleω2

1 de multiplicidad p. Podemos determinar losN − p autovectores de las raıces simples,y efectuar una rotacion en el subespacioN − p dada por la matrizC de los autovectores de formade diagonalizar la matrizK en dicho subespacio. En el subespaciop complementario la matrizKno sera en principio diagonal, de modo que su forma sera la siguiente:

K =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k11 k12 k13 0 0k21 k22 k23 0 0k31 k32 k33 0 00 0 0 ω2

2 00 0 0 0 ω2

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣donde hemos explicitado un caso conN = 5, p = 3.Nos resta diagonalizar la matrizK en el subespacio p del autovalorω2

1. En este subespacio lamatriz que queremos diagonalizar tienep filas y columnas, y la llamaremosKp. Aplicando unarotacionAp en este subespacio podemos llevarla a la forma diagonal, y ademas sabemos que losp autovalores son coincidentes:

ApKpAtp= ω2

1I

Lo que haremos es despejar la matrizKp para averiguar su forma original, previa a la diago-nalizacion:

AtpApKpAt

pAp= ω21A

tpIAp

esto es:

Kp= ω21I (8.116)

261

MECANICA CL ASICA

Que nos dice queKp ya era diagonal desde el vamos! Ademas, siendo un multiplo de la matrizunitaria,Kp permanece diagonal independientemente de la base elegida en el espaciop, lo queimplica que cualquier base en ese subespacio representa losp autovectores correspondientes alautovalorω2

1 de multiplicidadp.Encontramos entonces que al diagonalizar una matriz sobre el subespacio complementario

al subespacio de los autovectores correspondientes a un autovalor de multiplicidadp, la matrizresulta automaticamente tambien diagonal en este subespacio.

8.5. Problemas

1. Obtener las frecuencias y los modos normales de oscilacion de dos pendulos simples identi-cos de longitud y masam acoplados mediante un resorte de constantek.

2. Obtener las frecuencias de vibracion longitudinales de una molecula simetrica lineal di-atomica. Obtener las amplitudes y las coordenadas normales de oscilacion.

3. Considere un pendulo doble donde las longitudes y las masas son identicas.3.1 Indique las condiciones iniciales mediante las cuales es posible excitar cada uno de los

modos normales de oscilacion por separado.3.2 Analice el caso en que la masam1 es muy superior a lam2 indicando cuales seran las

frecuencias y modos normales resultantes.

262

Capıtulo 9

Formulaci on hamiltoniana de la Mec anica cl asica

9.1. Introducci on

La formulacion hamiltoniana de la Mecanica clasica representa la evolucion natural de estateorıa, nacida con las leyes de Newton a fines del siglo XVII y perfeccionada por el formalismode Lagrange en el siglo XVIII. Las contribuciones entre otros de Hamilton en el siglo XIX gener-alizaron el formalismo y permitieron su aplicacion a otros sistemas dinamicos aparte de cuerpossolidos sujetos a interacciones a distancia. Ası es que su rango de accion puede extenderse porejemplo a medios continuos, en tanto el principio de mınima accion subyacente en el formalismoforma parte de una familia de principios equivalentes aplicables a practicamente todos los camposde la Fısica.

El interes en introducir el formalismo hamiltoniano reside entonces no solo (o no tanto) en lasaplicaciones del mismo a sistemas mecanicos sino en la generalidad de dicho formalismo para ladescripcion de los fenomenos naturales. En este sentido, la estructura provista por la formulacionhamiltoniana de la Mecanica clasica sirvio de basamento para la construccion de la Mecanicacuantica, capaz de describir no solo cuerpos materiales macroscopicos sino partıculas atomicas yradiacion, en dimensiones que se extienden desde las metricas propias de la Mecanica clasica hastalas nucleares del orden de los10−17 metros. Sin embargo, es necesario remarcar que la Mecanicaclasica y su descripcion por formalismos como los desarrollados por Hamilton y Jacobi entre otrosha recibido un fuerte impulso en anos recientes, motivados por el estudio de sistemas caoticos y ladisponibilidad de medios poderosos de calculo numerico.

En este capıtulo consideraremos tres temas:En primer lugar analizaremos en forma general la existencia de constantes del movimiento y

su conexion con las simetrıas que presenta el sistema de partıculas; esta sera una generalizacion delconcepto de coordenadas cıclicas y estara basada en las invariancia que presenta el Lagrangianoante transformaciones de coordenadas. Este punto establece un marco mas riguroso a nuestrosconceptos previos sobre constantes del movimiento.

Luego le daremos al Hamiltoniano el papel central en la descripcion del sistema de partıculas,ocupando ası el lugar que hasta ahora le correspondio al Lagrangiano. Esto nos permitira desarro-llar metodos mas generales para resolver problemas mecanicos. Ademas, se introduciran concep-tos (la accion, el principio de mınima accion) y herramientas matematicas (corchetes de Poisson)que facilitaran la transicion de la Mecanica clasica a la cuantica. El formalismo hamiltoniano re-

263

MECANICA CL ASICA

presenta un avance respecto al de Lagrange y sistematiza la metodologıa para resolver un problemadinamico.

Especialmente recomendado para complementar los temas de este capıtulo es el libroLa-grangian and Hamiltonian Mechanicsde Calkin[29], dedicado exclusivamente a la formulacionlagrangiana y hamiltoniana, y donde los temas estan desarrollados con gran claridad y detalle.Tambien son recomendables los textos clasicos como el de Goldstein[1], y en especial su terceraedicion[25] donde estos temas son tratados de manera tradicional, en forma completa y rigurosa.La presentacion de Landau y Lifshitz[2] de este tema conjuga, como es el estilo de Landau, genio yelegancia en un pequeno espacio. Finalmente, un texto moderno, riguroso, completo y que ahondaen los avances recientes de la formulacion hamiltoniana es el de Jose y Saletan[3], recomendadopara quienes desean ir mas alla del nivel introductorio en este tema.

9.2. Constantes del movimiento

Dado un sistema conN grados de libertad, las ecuaciones de Lagrange constituyen un conjun-to deN ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en las coordenadasqα,α = 1, 2...N :

d

dt

∂L

∂.qα− ∂L

∂qα= 0 (9.1)

Como tales, la solucion general incluye2N constantes arbitrariasCα, α = 1, 2..., 2N :

qα = qα(t, C1, C2, ...C2N )

que son determinadas por las condiciones iniciales del problema.A menudo es posible obtener ecuaciones diferenciales de primer orden en las coordenadas ya

sea porque una de las ecuaciones de Lagrange se integra en forma trivial como cuando la variableqα no aparece explıcitamente en el Lagrangiano (coordenada cıclica):

∂L

∂qα= 0 → ∂L

∂·qα

= constante

o porque por otro camino determinamos la existencia de una relacion del tipo

F (q1, q2, ...qN ,.q1,

.q2, ...

.qN , t) = D (9.2)

dondeD es una constante determinada a partir de las condiciones iniciales del movimiento.Una funcion del tipo (9.2) se denomina constante del movimiento o integral del movimiento,

y facilita la solucion del problema pues reemplaza una ecuacion de segundo orden como las (9.1)por otra de primer orden.

Algunas constantes del movimiento poseen una relevancia especial, pues estan ligadas a propiedadesbasicas del espacio y el tiempo, como lo son la homogeneidad y la isotropıa. Otras no poseen masque el valor matematico de la ecuacion correspondiente.

264

FORMULACION HAMILTONIANA DE LA MECANICA CL ASICA

9.3. Transformaciones de invariancia y constantes delmovimiento

Consideremos un observador en un marco inercial dado, y un sistema de partıculas del quedicho observador quiere predecir la evolucion temporal. Las ecuaciones de Lagrange determinanla evolucion temporal de las coordenadas generalizadasqi(t) que son losN grados de libertad delsistema:

d

dt

∂L

∂.qi− ∂L

∂qi= 0 (9.3)

Conocidas lasN funcionesqi(t), las posiciones de todas las partıculas del sistema se puedendeterminar como funciones de las coordenadasqi. El conjuntoqi(t) no es unıvoco, el observadortiene la libertad de elegir estasN coordenadas a su conveniencia mientras ellas permitan obtenersin ambiguedades las posiciones de todas las partıculas del sistema.

La transformacion que lleva de las coordenadas originalesq a nuevasQ es una funciongeneral del tipo:

Qi = Qi(q, α, t) (9.4)

que puede depender del tiempo y ademas de otros parametrosαdefinitorios de la transformacion.Obtenemos una correspondencia biunıvoca ente los puntosq de un entorno deq0 y los Qde un entorno deQ0 cuando las funciones (9.4) tienen derivadas contınuas y Jacobiano no nuloen ese entorno.[24] Esta clase de cambio de coordenadas se denomina transformacion de punto.

Definido el LagrangianoL(q,.q, t) como la diferencia de las energıas cinetica y potencial,

el valor que adopta a un tiempot es independiente de las variables intermedias usadas,qo Q(veremos mas adelante que el Lagrangiano esta definido a menos de una funcion arbitraria aditivadf(q, t)/dt ).

ExpresandoL en las nuevas coordenadas a traves de las transformaciones inversas a las (9.4)

qi = qi(Q, α, t) (9.5)

es:

L(q,.q, t) = L(q(Q,α, t),

.q (Q,α, t), t)

que podemos escribir como una funcion directa de las nuevas coordenadas:

L(q,.q, t) = L′(Q,

.Q, t) (9.6)

ComoL′ describe el mismo sistema en las nuevas coordenadas como lo hacıaL en las viejas, elprincipio de Hamilton aplicado aL′ produce las ecuaciones de Lagrange (9.3) en las coordenadasQ:

d

dt

∂L′

∂.Qi− ∂L′

∂Qi= 0

265

MECANICA CL ASICA

Vemos que la forma de las ecuaciones del movimiento se conserva (decimos que las ecuacionesde Lagrange son covariantes frente a transformaciones de punto), pero la dependencia detalladade estas ecuaciones diferenciales enQ sera en general diferente de las que corresponden alconjuntoq.

Cuando la dependencia funcional del Lagrangiano es la misma en las viejas y nuevas coorde-nadas, es decir: cuandoL y L

′valen lo mismo para el mismo conjunto de valores numericos de

sus variablesx, .x:

L(x, .x, t) = L′(x, .x, t)

diremos que la transformacion de punto es una transformacion de invariancia. En este caso lasecuaciones del movimiento tienen la misma dependencia detallada en las viejas y nuevas coorde-nadas y se dice que son invariantes ante dicha transformacion.

Las ecuaciones del movimiento (9.3) son invariantes ante el agregado al Lagrangiano de laderivada total de una funcion arbitraria respecto del tiempo

L(x, .x, t) → L(x, .x, t) +df(x, t)dt

pues dado que:

df

dt=∑i

∂f

∂qi

.qi +

∂f

∂t

resulta ser nula su contribucion a las ecuaciones del movimiento:

(d

dt

∂

∂.qi− ∂

∂qi

)df

dt

=d

dt

∂f

∂qi− ∂

∂qi

df

dt= 0

Entonces puede relajarse la condicion de invariancia de las ecuaciones del movimiento frente auna transformacion puntual (9.14), pudiendo diferir las formas funcionales deL yL′ en la derivadatotal de una funcion arbitraria:

L′(x, .x, t) = L(x, .x, t) +df(x, t)dt

(9.7)

Los desarrollos precedentes los hicimos considerando los diversos conjuntos de coordenadasgeneralizadas que puede usar un observador inercial dado para describir un sistema de partıculas.Lo mismo vale para coordenadas generalizadas pertenecientes a sistemas inerciales diferentes, talcomo lo mostramos mas adelante.

266


9.4. Ejemplo

9.4.1. Partıcula en el plano

Aplicaremos los conceptos y definiciones precedentes al caso de una partıcula de masammoviendose en un plano sometida a una fuerza central conservativa. Elegimos como coordenadasgeneralizadas las de un sistema cartesiano ortogonal(x, y):

L(x, y,.x,

.y) =

12m(

.x2 +

.y2

)− V (√x2 + y2) (9.8)

Si pasamos a un nuevo par de coordenadas generalizadas mediante una rotacion de ejes, lasrelaciones (9.4) y (9.5) entre viejas y nuevas coordenadas son las siguientes:

X = x cosϕ+ y sinϕY = −x sinϕ+ y cosϕ

x = X cosϕ− Y sinϕy = X sinϕ+ Y cosϕ (9.9)

entonces el Lagrangiano (9.8) se escribe en las nuevas coordenadas usando las transformaciones(9.9):

L(x, y.x,

.y) = L(x(X,Y ), y(X,Y )

.x (X,Y ),

.y (X,Y ))

=12m(

.X

2+

.Y

2)− V (

√X2 + Y 2)

= L′(X,Y

.X,

.Y )

Encontramos que el sistema es invariante ante transformaciones de coordenadas definidas porrotaciones de los ejes:

L′(X,Y,.X,

.Y ) = L(X,Y,

.X,

.Y ) (9.10)

Esta expresion indica que las formas funcionales deL y L′son identicas, de modo que tienen

el mismo valor numerico para los mismos valores de los argumentos.

9.5. Transformaciones infinitesimales. Teorema de Noether

Una transformacion del tipo (9.4) puede en muchos casos descomponerse en una sucesion detransformaciones infinitesimales. Si para valoresα0 de los parametros dicha transformacion sereduce a la identidad:

Qi(q, α0, t) = qi

267

MECANICA CL ASICA

desarrollandola en la vecindad deα = α0 obtenemos en primer orden lo que designamos comouna transformacion infinitesimal:

Qi = qi +∂Qi∂α

|α0 δα

donde podemos definir

δqi =∂Qi∂α

|α0 δα

como el incremento infinitesimal que se agrega a la vieja coordenadaqi para generar la nuevaQi.La traslacion del origen de coordenadas:

x′ = x+ a

se puede descomponer en la suma de traslaciones infinitesimales:

x′1 = x1 + δa1

x′2 = x′1 + δa2

......

En cambio la inversion del sentido de un eje coordenado:

x′ = −x

no admite dicha descomposicion.El sistema fısico sera invariante frente a una transformacion infinitesimal cuando se satisfaga

la condicion (9.7):

L′(Q,.Q, t) = L(Q,

.Q, t) +

df(Q, t)dt

reemplazando en ella el resultado (9.6)

L′(Q,.Q, t) = L(q,

.q, t)

obtenemos:

L(q,.q, t) ≡ L(q + δq,

.q +

d

dtδq, t) +

df

dt

y siendoδq, ddtδq infinitesimos resulta:

∑i

∂L

∂qiδqi +

∂L

∂.qi

d

dtδqi +

df

dt= 0

que podemos escribir de la forma siguiente:

268


∑i

∂L

∂qiδqi +

∑i

d

dt

(∂L

∂.qiδqi

)−∑i

d

dt

(∂L

∂.qi

)δqi +

df

dt

= 0

Reagrupando terminos:

∑i

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂.qi

)]δqi

+∑i

d

dt

(∂L

∂.qiδqi + f

)= 0

y como el sistema satisface las ecuaciones de Lagrange resulta finalmente:

d

dt

(∑i

∂L

∂.qiδqi + f

)= 0

df/dt representa la diferencia entre las formas funcionales de los LagrangianosL y L′ segunvemos en (9.7), entoncesf sera un infinitesimo del mismo orden queδqi.

A partir de la invariancia del Lagrangiano aparece una constante del movimiento que es latesis del

TEOREMA DE NOETHER: LIGADA A CADA TRANSFORMACI ON DE COORDENADAS QUE DEJA

INVARIANTES LAS ECUACIONES DELAGRANGE HAY UNA INTEGRAL DEL MOVIMIENTO ,REPRESENTADA POR:

∑i

piδqi + f = constante (9.11)

DONDE f ES LA POSIBLE DIFERENCIA ENTRE LAS FORMAS FUNCIONALES DEL Y L′.

En esta expresionpi es el momento canonico conjugado a la coordenadaqi, y δqi el incrementode dicha coordenada ante un incremento infinitesimal del parametroα que define la transformacionde coordenadas:

pi =∂L

∂.qi

269

MECANICA CL ASICA

δqi =∂Qi∂α

|α0 δα

con lo que la conclusion (9.11) del teorema de Noether se expresa por:

∑i

pi∂Qi∂α

|α0 +F = constante (9.12)

donde

F (q, t)δα = f(q, t)

La propuesta del teorema de Noether es mas general que la condicion de coordenada cıclicapara determinar las constantes del movimiento:

EXISTEN TRANSFORMACIONES DE PUNTO DE COORDENADAS(9.4) QUE SON TRANSFORMACIONES

DE INVARIANCIA DEL LAGRANGIANO (9.7), AUN CUANDO NO EXISTA UNA COORDENADA CICLICA

LIGADA A ESTA CONSTANTE DEL MOVIMIENTO.

9.5.1. Transformaciones de invariancia y simetrıas del espacio fısico

Asociada a la hipotesis de homogeneidad del espacio fısico hay una invariancia de sistemascerrados ante una traslacion del origen de coordenadas:

Qi = qi + α

∂Qi∂α

| α=0 = 1

La constante del movimiento es:∑i

∂L

∂.qi

(∂Qi∂α

)=∑i

pi = P

el impulso lineal total.Asociada a la hipotesis de isotropıa del espacio fısico hay una invariancia de sistemas cerrados

ante una rotacion de los ejes coordenados: Consideremos el caso de una rotacion en direccion z,y vamos a usar coordenadas cartesianas aun cuando ya sabemos que no son las convenientes paradescribir un grado de libertad de rotacion:

Xi = xi cos θ + yi sin θYi = yi cos θ − xi sin θZi = zi

270


∂Xi

∂θ| θ=0 = yi

∂Yi∂θ

| θ=0 = −xi

La constante del movimiento es:

∑i

(∂L

∂.xiyi −

∂L

∂.yixi)

=∑i

(px,iyi − py,ixi)

=∑i

`i,z = Lz

el impulso angular total en direccion z.Asociada a la hipotesis de homogeneidad del tiempo hay una invariancia de sistemas cerrados

ante cambios en el origen de medicion del tiempo: Como esta transformacion no involucra lascoordenadas generalizadas sino la variable independientet, la constante del movimiento no puededeterminarse mediante la forma (9.11) del teorema de Noether. Pero si el sistema es cerrado elLagrangiano no depende explıcitamente del tiempo, y hemos ya probado que

∂L

∂t= −dH

dt

por lo que la constante del movimiento es el Hamiltoniano del sistema.

9.6. Transformaciones de Galileo

Si consideramos ahora observadores situados en dos sistemas inerciales sus Lagrangianos sondiferentes pues en general el valor de la energıa cinetica depende del estado de movimiento delmarco de referencia. La relacion mas general entre las coordenadas de las partıculas esta dada porla transformacion de Galileo de figura 9.1, donde el nuevo marco se mueve con velocidad uniforme−→v respecto del original. La relacion entre coordenadas es:

−→Xi = −→xi −−→a −−→v t (9.13)

con−→a un parametro que define la posicion del nuevo origen de coordenadas en el sistema originaly −→v la velocidad del movimiento relativo.

La energıa cinetica en el sistema primado es:

T ′(.−→Xi) =

12

∑i

mi(.−→Xi)2

=12

∑i

mi(.−→X i −−→v )2

271

MECANICA CL ASICA

Figura 9.1:Sistemas coordenados en movimiento relativo uniforme en la direccion de sus ejesx

= T (.−→Xi)−

∑i

mi

.−→X i .−→v +

12m−→v 2

= T (.−→Xi) +

d

dt

(−∑i

mi−→X i.−→v +

12m−→v 2t

)

Determinamos las condiciones en las que una transformacion infinitesimal de Galileo

−→Xi = −→xi −

−→δvt (9.14)

deja invariantes las ecuaciones del movimiento de un sistema de partıculas. En presencia de cam-pos externos e internos de fuerzas el Lagrangiano es:

L(−→x i,.−→x i) =

12

∑i

mi(.−→x i)2 −

∑i

Vi(−→x i)−∑i>j

Uij(| −→x i −−→x j |)

Invirtiendo la transformacion de Galileo (9.14) obtenemos la coordenada original en funcionde la nueva coordenada:

−→x i = −→X i +

−→δvt

con lo que la forma funcional deL′ en terminos de−→X resulta, de (9.6):

L′(−→X i,.−→X i)

≡ L(−→xi ,.−→xi) =

= L(−→X i +−→δvt,

.−→X i +−→δv)

272


=12

∑i

mi(.−→X i +−→δv)2 −

∑i

Vi(−→X i +

−→δvt)−

∑i>j

Uij(|−→X i −

−→X j |)

=12

∑i

mi

.−→X

2

i +d

dt

∑i

mi−→X i−→δv +

12M−→δv

2t

−∑

i

Vi(−→X +−→δvt)−

∑i>j

Uij(|−→X i −

−→X j |)

Para recuperar la misma dependencia explıcita deL′ en−→X como era la deL en−→x , excepto por

una eventual derivada totaldfdt respecto det, deben desaparecer los campos externos: la transfor-macion de Galileo sera una transformacion de invariancia solamente para sistemas no sometidos acampos externos:

L′(−→X i,.−→X i)

=12

∑i

mi

.−→X i

2

+d

dt

∑i

mi−→X i−→δv +

12Mδv2t

−∑i>j

Uij(|−→X i −

−→X j |)

= L(−→X i,.−→X i) +

d

dt

∑i

mi−→X i−→δv

donde hemos eliminado el termino cuadratico en el infinitesimoδv. Obtenemos:

L′(−→X i,.−→X i) = L(−→X i,

.−→X i) +

df

dt

con:

f =∑i

mi−→X i−→δv (9.15)

Concluimos que la integral del movimiento ligada a la invariancia ante transformaciones deGalileo definidas por (9.14):

−→X i = −→x i −

−→δvt

con:

∂−→Xi

∂−→v= −t (9.16)

esta dada por el resultado (9.11) del teorema de Noether:

∑i

∂L

∂.−→X i

∂−→Xi

∂−→v+ f = constante

y reemplazando las expresiones (9.15) paraf y (9.16) para∂−→Xi∂−→v obtenemos:

273

MECANICA CL ASICA

−∑i

mi(.−→Xi t−

−→Xi).

−→δv = constante

Siendo la coordenada del centro de masas del sistema de partıculas:

−→RCM =

∑i

mi−→Xi

la constante del movimiento resulta ser:

−∑i

mi(.−→Xi t−

−→Xi)

y traducida a la coordenada del centro de masas:(−M

·−→RCM t+M

−→RCM

).−→δv

y como−→δv tiene una direccion arbitraria, resulta:

·−→RCM t−−→RCM = constante≡ −→R0

que indica que ligada a la invariancia ante transformaciones de Galileo aparece la traslacion uni-forme del centro de masas del sistema:

−→RCM = −→

R 0+.−→RCM .t

9.7. Principio de Hamilton

Las ecuaciones de Lagrange que rigen la evolucion de un sistema de partıculas se obtienende las leyes de Newton y del principio de los trabajos virtuales, que constituyen el principio ded′Alembert. Ya hemos visto un principio que tambien genera a las ecuaciones de Lagrange y quepor lo tanto es equivalente al principio de d′Alembert: el principio de Hamilton. El principio deHamilton sustituye a las leyes de Newton para sistemas mecanicos, que son aquellos que satis-facen el principio de los trabajos virtuales, y tiene la ventaja que puede aplicarse a otros sistemasno mecanicos tales como fluidos u ondas, donde tambien ha resultado ser valido. Su expresionmatematica es la siguiente:

DADO EL LAGRANGIANO L(q, .q, t)DE UN SISTEMA QUE EVOLUCIONA DESDE LA

CONFIGURACION q(t1) DE SUS COORDENADAS AL TIEMPOt1 HASTA LA q(t2) AL TIEMPO t2, LA

FORMA FUNCIONAL DE LAS COORDENADAS GENERALIZADAS

qi = qi(t)

274


EN ESE INTERVALO ES TAL QUE LA INTEGRAL:

I[q] =∫ t2

t1dt.L(q,

.q, t) (9.17)

PRESENTA UN EXTREMO(EN PARTICULAR UN MINIMO ).

Para mantener simple la notacion consideraremos de ahora en mas el caso de un solo grado delibertadq = q(t).

I[q] representa una relacion entre el espacio de funcionesq(t) y los numeros reales: a cadafuncion q(t) le asigna un numero realI, en estos casos se dice queI es una funcional deq. Lavariacion deI[q] cuando pasamos de una trayectoria en el plano(q, t) representada por la funcionq(t) a una trayectoria vecinaq(t) + δq(t) constituye la derivada de la funcionalI respecto deq:

δI[q]δq

= lımδq→0

I[q + δq]− I[q]δq

δq es un infinitesimo que puede tomarse como una funcion arbitraria del tiempo.Existe una trayectoriaoptima representada en la figura 9.2 para un sistema con un grado de

libertad, que une los puntos(q(t1), t1) y (q(t2), t2) y produce el mınimo valor de la accion I. Paraesa funcion q = q(t) resulta:

δI[q]δq

∣∣∣q=q(t) = 0 (9.18)

9.8. Ecuaciones de Hamilton

Las coordenadas generalizadasqi(t) pueden definirse con la libertad que proveen las trans-formaciones puntuales ya vistas. Existe ademas la posibilidad de elegir de forma mas general lasvariables del formalismo lagrangiano y pasar de lasN coordenadas generalizadas al conjunto de2N incognitas dados por

qi(t)

y sus velocidades:

vi(t) =.qi

En este caso el Lagrangiano quedara expresado como funcion de las coordenadasvi, qi, desa-pareciendo toda dependencia explıcita en sus derivadas temporales:

L = L(qi,.qi, t)

= L(qi, vi, t)

275

MECANICA CL ASICA

Figura 9.2:Trayectorias posibles que unen los puntos(q(t1), t1),(q(t2), t2)

y las ecuaciones del movimiento para las coordenadasqi son las ya conocidas:

d

dt

∂L

∂vi− ∂L

∂qi= 0 (9.19)

en tanto que aquellas para lasvi son las de su definicion:

dqidt

= vi(t) (9.20)

Estas son2N ecuaciones diferenciales de primer orden, y requieren para definir unıvocamentela evolucion temporal del sistema de partıculas conocer los2N valores iniciales de las coorde-nadas:

qi(t = 0) = qi0

vi(t = 0) = vi0

El problema es totalmente equivalente desde el punto de vista matematico a la solucion de las

N ecuaciones de Lagrange (9.3) con las2N condiciones de contornoqi(t = 0) = qi0,·qi (t =

0) = vi0. Simplemente, (9.19,9.20) es el resultado de usar las variables intermediasvi =.qi .

276


Para reducir el orden de las ecuaciones diferenciales hemos elegido las velocidades comocoordenadas generalizadas adicionales, peroesta no es launica ni la mejor eleccion posible paralograr ese fin. Por ejemplo, no existe simetrıa en los papeles jugados por las variablesqi y vi : lasecuaciones (9.20) despejan la derivada temporal

.qi que queda igualada a la variablevi, en cambio

en (9.19) la derivada.vi aparece mezclada con todas las

.qi en el termino d

dt∂L∂vi

.Vamos a probar que es posible definir2N ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando

el Hamiltoniano como funcion generadora de las ecuaciones:

H =N∑j=1

∂L

∂·qj

.qj −L

Proponemos como coordenadas generalizadas a lasqi y a los momentos canonicos conjugadosa ellas:

pi =∂L

∂.qi

(9.21)

Para escribir explıcitamenteH como funcion depi, qi se requiere despejar de estasN ecua-ciones a las

.qi en funcion del conjuntop, q:

.qi= fi(qi, pi, t).

Para obtener las ecuaciones de evolucion de las coordenadas generalizadasqi, pi escribimosel diferencial total deH como funcion dep y q:

dH =N∑i=1

∂H∂qi

dqi +∂H

∂pidpi+

∂H

∂tdt (9.22)

en tanto que trabajando con las variables intermedias.qi:

H =N∑i=1

pi.qi −L(qi,

.qi, t)

obtenemos:

dH =N∑i=1

pid(.qi)+

.qi dpi −

∂L

∂qidqi −

∂L

∂.qid(

.qi) −

∂L

∂tdt

y empleando la relacion (9.21) se simplifica a:

dH =N∑i=1

(.qi dpi −

∂L

∂qidqi)−

∂L

∂tdt (9.23)

Comparando (9.22) con (9.23) obtenemos el conjunto de2N ecuaciones diferenciales deprimer orden en las2N coordenadas generalizadasq, p:

.qi=

∂H

∂pi(9.24)

277

MECANICA CL ASICA

.pi= −∂H

∂qi(9.25)

∂H

∂t= −∂L

∂t(9.26)

El conjunto de2N ecuaciones (9.24,9.25) lleva el nombre de ecuaciones canonicas o deHamilton y guarda una clara simetrıa en las coordenadasq, p. Ellas son equivalentes a las ecua-ciones de Lagrange pues definen la dependencia temporal de las coordenadas generalizadasqi(t)a partir de las condiciones iniciales fijadas para la evolucion del sistema. El significado que leasignamos al vocablo canonico es el de estandar, convencional, de acuerdo con los canones.

Como informacion adicional obtenemos de la forma (9.23) para el diferencial total del Hamil-toniano:

dH

dt=

N∑i=1

(.qi.pi −

∂L

∂qi

.qi)−

∂L

∂t

que empleando la ecuacion de Lagrange (9.3) y la relacion (9.26) se reduce a:

dH

dt=∂H

∂t(9.27)

Por lo que el Hamiltoniano sera una integral del movimiento si no depende explıcitamente deltiempo, condicion equivalente a la que obtuvimos previamente.

Una ventaja de la formulacion hamiltoniana de las ecuaciones del movimiento se presentacuando el sistema tiene coordenadas cıclicas, por ejemplo siq1 es cıclica entonces no aparececomo variable independiente del Lagrangiano:

L = L(q2, ...qN ;.q1,

.q2 ...

.qN , t)

en tanto sı aparece su derivada.q1 . El momento canonico conjugado aq1 es una integral del

movimiento, entonces:

p1 =∂L

∂.q1

= cte. ≡ α1

y en el Hamiltoniano no solo no aparece la coordenadaq1 sino que la variable conjugadap1 = α1

no depende del tiempo, estando su valorα1 fijado por las condiciones iniciales del problema. Elgrado de libertad ligado aq1 es entonces ignorable, podemos olvidarnos deel y tratar el problemacomo uno conN − 1 grados de libertad.

278


Figura 9.3:Partıcula en el plano sometida a una fuerza central

9.9. Ejemplo

Consideraremos el caso de una partıcula de masam moviendose en un plano sometida a unafuerza central con origen O en dicho plano representada en la figura 9.3.

Elegimos como coordenadas generalizadas la distanciar de la partıcula al centro O y elanguloque forma la direccion en que se encuentra la partıcula respecto de una direccion fija elegida apriori. La energıa cinetica es:

T =12m

.r2 +

12mr2

.θ2

por lo que el Lagrangiano resulta:

L(r, θ,.r,

.θ) =

12m

.r2 +

12mr2

.θ2 −V (r)

dondeV (r) representa la energıa potencial que describe la fuerza central conservativa.Los momentos canonicos conjugados a las coordenadasr y θ son:

pr =∂L

∂.r

= m.r

y:

279

MECANICA CL ASICA

pθ =∂L

∂.θ

= mr2.θ

que producen las relaciones inversas:

.r=

prm

.θ=

pθmr2

Entonces el Hamiltoniano del sistema es:

H(r, θ, pr, pθ) =N∑j=1

∂L

∂.qj

.qj −L

= pr.r +pθ

.θ −

12m

.r2 −1

2mr2

.θ2

+V (r)

=p2r

m+

p2θ

mr2− 1

2mp2r

m2− 1

2mr2

p2θ

m2r4+ V (r)

=1

2mp2r +

12m

p2θ

r2+ V (r)

que en este caso de fuerzas de vınculo escleronomas (que no realizan trabajo durante la evoluciondel sistema) coincide con la energıa total de la partıcula.

Las ecuaciones de Hamilton o canonicas resultan:

.r=

∂H

∂pr=prm

.θ=

∂H

∂pθ=

pθmr2

.pr= −∂H

∂r=

p2θ

mr3− dV (r)

dr(9.28)

.pθ= −∂H

∂θ= 0 (9.29)

Las dos primeras reiteran las relaciones (9.27) entre momentos canonicos y velocidades; lasdosultimas son las ecuaciones dinamicas del movimiento, la (9.28) es exactamente la ecuaciondinamica para la evolucion de la coordenadar, donde reemplazandopr = m

.r produce la relacion

entre aceleracion radial y fuerza externa mas centrıfuga:

m..r=

p2θ

mr3− dV (r)

dr

Finalmente, (9.29) indica la conservacion del impulso angular de la partıcula:

pθ = constante

280


9.10. Espacio de las Fases

Un sistema de partıculas con un numero generalN de grados de libertad esta descrito por lasN funcionesqi(t), cuya forma funcional se obtiene de las ecuaciones del movimiento y de lascondiciones iniciales fijadas a un tiempot0. Podemos describir la evolucion del sistema dando laposicion del puntoP (q1, q2...qN ) como funcion parametrica del tiempo. Este punto se desplaza enel espacioN -dimensionalq1, q2...qN , llamado espacio de configuracion, y define una curva quese denomina trayectoria del sistema.

En la formulacion hamiltoniana tenemos2N coordenadasq1, q2...qN , p1, p2...pN que son lasvariables cuya dependencia temporal queremos determinar. Ellas definen un espacio llamado espa-cio de las fases y al igual que para el espacio de configuracion la evolucion temporal esta descritapor un puntoP (q1, q2...qN , p1, p2...pN ) que traza una curva a medida que transcurre el tiempo ydefine la trayectoria del sistema para este nuevo espacio.

Para analizar la evolucion de un pendulo plano partimos del Lagrangiano de este sistema conun grado de libertad:

L(θ,.θ) =

12m`2

.θ2

+mg` cos θ

La coordenadaθ describe la separacion del pendulo respecto de la posicion de equilibrio; su mo-mento canonico conjugado es

pθ =∂L

∂.θ

= m`2.θ

que produce el Hamiltoniano

H =p2θ

2m`2−mg` cos θ

con ecuaciones canonicas:

.θ=

pθm`2

.pθ= −mg` sin θ

En lugar de integrar estas ecuaciones haremos uso de la constancia de la energıa del pendulo:

E =p2θ

2m`2−mg` cos θ

la que define la ecuacion de la trayectoria en el espacio de las fases. Obtener la trayectoria deun sistema fısico en el espacio de las fases es entonces mas sencillo que determinar la evoluciontemporal de las coordenadas y momentos canonicos conjugados porque esta evolucion determina,ademas de la trayectoria, la ubicacion del sistema en dicha trayectoria como funcion del tiempo.

La figura 9.4 presenta trayectorias para diferentes condiciones iniciales del movimiento.

281

MECANICA CL ASICA

Figura 9.4:Trayectorias del pendulo plano en el espacio de las fases

La coordenadaθ varıa entre−π y π, siendo estos puntos equivalentes pues describen la mismaposicion del pendulo. Las trayectorias son cerradas pues el movimiento es periodico, y se repite elpaso del sistema por cada punto(θ, pθ).

Observamos trayectorias que pueden estar infinitamente cerca una de la otra y por lo tantocubren todos los puntos del espacio de las fases. Pero un hecho destacable es que dos trayectoriasno pueden cruzarse: si lo hicieran ello equivaldrıa a que, partiendo del punto de cruce como condi-cion inicial del movimiento del sistemaeste tendrıa dos evoluciones alternativas, la unicidad delmovimiento requiere entonces el no cruce de las trayectorias en este espacio.

La trayectoria que alcanza los puntosθ = ±π separa dos regiones con diferente naturaleza demovimiento: en el interior el pendulo oscila sin alcanzar el punto de equilibrio inestableθ = ±π;en el exterior el pendulo gira en circunferencias completas alrededor de su punto de suspension.

La trayectoria lımite se llama separatriz. El pendulo describira esta trayectoria dandole comocondicion inicial la energıa E = mg`; entonces partiendo de un valor dado deθ, por ejemploθ = 0, tenemos dos valores posibles para el momento canonico pθ : ±2m`

√g`. Tenemos dos

trayectorias distintas partiendo de cada una de estas condiciones iniciales, y ambas convergen enel puntoθ = ±π . Pero no se viola la condicion de no cruce, porque al acercarse a este punto lavelocidaddθdt tiende a cero, y el sistema se acerca al punto sin alcanzarlo para ningun tiempo finito.

9.11. Teorema de Liouville. (Opcional)

Este teorema forma parte de los principios de la Mecanica Estadıstica, que estudia sistemascon un gran numero de grados de libertad. Por una parte serıa impractico conocer exactamente elmovimiento de por ejemplo1023 moleculas de un gas encerrado en un recipiente, por otro lado

282


desconocemos las condiciones iniciales. En lugar de esos grados de libertad se describe al sistemapor variables colectivas como la energıa, presion, temperatura, flujo, etc., de las que conocemoslos valores iniciales. La evolucion temporal del sistema se estudia a traves del valor medio de estasvariables sobre todas las configuraciones posibles de las posiciones y velocidades de las moleculas.Esta descripcion aproximada del sistema esta justificada porque puede probarse que la dispersionen los valores medidos de las variables colectivas es despreciable frente a su valor medio.

Todas las posibles condiciones iniciales compatibles con los valores medios conocidos de lasvariables colectivas constituyen lo que se denomina un ensemble. Cada miembro esta representadopor un punto del espacio de las fases, y el ensemble por una multitud de puntos con una densidadque es la protagonista del teorema de Liouville.

Sea un gran numeroN de copias identicas (ensemble) del mismo sistema fısico, donde cadauna de las copias evoluciona a partir de condiciones iniciales levemente diferentes entre ellas. Lospuntos de partida estan agrupados y ocupan un dado volumen∆V del espacio de las fases

∆V = ∆q1∆q2...∆qN∆p1∆p2...∆pN

Podemos definir una densidadρ de dichos puntos:

N = ρ∆V (9.30)

Vamos ahora a analizar el flujo de dichos puntos en el plano definido por una de las coor-denadas generalizadas y su momento canonico conjugadoqi, pi. En un instantet las trayectoriasestan agrupadas en un entorno del puntoq0i , p

0i ; definimos un rectangulo centrado en ese punto, de

anchodqi y dpi en direccionesqi y pi respectivamente tal como mostramos en la figura 9.5.

Figura 9.5:Flujo de trayectorias en el subespacioqi, pi del espacio de las fases

El flujo que va de izquierda a derecha y atraviesa el rectangulo es:

Ji→d(qi) = ρ.qi ∆pi

283

MECANICA CL ASICA

Entonces la variacion del numero de partıculas dentro del rectangulo debida a este flujo es:

∆Ni→d = Ji→d(qi + ∆qi)− Ji→d(qi)

=∂

∂qi

(ρ.qi)

∆qi∆pi

De forma similar definimos el flujo que va de abajo hacia arriba y atraviesa el rectangulo:

Jb→a(pi) = ρ.pi ∆qi

contribuyendo a la variacion en el numero de partıculas dentro del rectangulo con:

∆Nb→a = Jb→a(pi + ∆pi)− Jb→a(pi)

=∂

∂pi

(ρ.pi)

∆pi∆qi

La variacion resultante en el numero de partıculas del rectangulo es la suma de estas doscontribuciones:

∂ρ

∂t∆qi∆pi = −

(∂

∂qi(ρ

.qi) +

∂

∂pi(ρ

.pi))

∆qi∆pi

que sumadas sobre todos los paresqi, pi centrados en el puntoq0i , p

0i

produce:

∂ρ

∂t+∑i

(∂ρ

∂qi

.qi +ρ

∂

∂qi

.qi +

∂ρ

∂pi

.pi +ρ

∂

∂pi

.pi

)= 0 (9.31)

Usando las ecuaciones de Hamilton

.qi =

∂H

∂pi.pi = −∂H

∂qi

vemos que los terminos con derivadas segundas en (9.31) se cancelan:

∂

∂qi

.qi +

∂

∂pi

.pi=

∂2H

∂pi∂qi− ∂2H

∂qi∂pi≡ 0

Entonces (9.31) se reduce a:

∂ρ

∂t+∑i

(∂ρ

∂qi

.qi +

∂ρ

∂pi

.pi

)=

dρ

dt= 0

284


Encontramos entonces que la densidad de puntos del ensemble en el espacio de las fases esconstante:

dρ

dt≡ 0

Como el numeroN de copias del sistema es fijo, de (9.30) concluimos que el volumen ocupadopor estos puntos en el transcurso del tiempo es tambien constante:

d∆Vdt

= 0

Este volumen puede cambiar de forma durante la evolucion, pero conserva su valor.

9.12. Transformaciones can onicas

Pasamos ahora a estudiar cambios de coordenadas en el marco de la formulacion hamiltoniana.Hemos visto que la eleccion de las coordenadas generalizadas es arbitraria: cualquier conjunto

deN variables que representan unıvocamente al sistema puede reemplazarlas, y las ecuacionesde Lagrange conservan su forma ante estos cambios de coordenadasq → Q denominadastransformaciones puntuales.

La formulacion hamiltoniana permite transformaciones mas generales pues el numero de co-ordenadas es 2N

Qi = Qi(q, p, t) (9.32)

Pi = Pi(q, p, t) (9.33)

aunque si queremos mantener la forma de las ecuaciones canonicas se limita la generalidad de latransformacion q, p→ Q,P .

Denominaremos transformacion canonica a aquella en que las nuevas variables satisfacenecuaciones del tipo:

.Qi=

∂H

∂Pi

′

.P i= − ∂H

∂Qi

′

que tienen la misma forma que las ecuaciones canonicas paraq, p. H ′ es el Hamiltoniano enlas nuevas variablesQ,P . Se dice que las ecuaciones del movimiento son covariantes ante trans-formaciones canonicas. El termino covariancia es equivalente al de invariancia de forma para lasecuaciones del movimiento. Las transformaciones canonicas del formalismo hamiltoniano sonası equivalentes a las transformaciones puntuales del formalismo lagrangiano.

285

MECANICA CL ASICA

La evolucion temporal del sistema fısico que estamos estudiando debe satisfacer el principiode Hamilton (9.18):

δI[q] = δ

∫ t2

t1dt.L(q,

.q)

= δ

∫ t2

t1dt.[

N∑i=1

pi.qi −H(q, p, t)] = 0 (9.34)

y escribiendo el Lagrangiano como funcion deQ,.Q:

L(q,.q) = L(q(Q,P ),

.q (Q,P ))

≡ L′(Q,.Q)

la condicion de extremo (9.34) tambien puede escribirse en terminos de las nuevas variablesQ:

δI[Q] = δ

∫ t2

t1dt.L′(Q,

.Q) (9.35)

= δ

∫ t2

t1dt.[

N∑i=1

Pi.Qi −H ′(Q,P, t)] = 0

Las expresiones (9.34,9.35) representan la misma condicion de extremo del principio de Hamil-ton: la que debe satisfacer el sistema en estudio. Esta condicion de extremoδI[q] ≡ δI[Q] =0 determina los integrandos a menos de la derivada total respecto del tiempo de una funcion arbi-traria. Esto se debe a que la integral

IF =∫ t2

t1dt.dF

dt= F (t2)− F (t1)

tiene variacion nulaδIF = 0 puesδqi(t1) = δqi(t2) = 0. Por lo tanto, los integrandos de (9.34) y(9.35) pueden diferir en la derivada total de una funcion arbitraria de las variablesp, q, P,Q:

d

dtF (q, p,Q, P)

Entonces:

N∑i=1

pi.qi −H(q, p) =

N∑i=1

Pi.Qi −H ′(Q,P) +

dF

dt(9.36)

Como del conjunto de variablesq, p,Q, P solo hay2N linealmente independientes,F de-pendera de2N de entre las4N viejas y nuevas coordenadas. No siempre es posible elegir li-bremente cuales variables se toman como independientes, por ejemplo, si la transformacion esQ = p, P = q no podemos elegir el conjuntop,Q como variables independientes. Para obtener

286


en forma directa las2N ecuaciones que definen la transformacion canonica (9.32,9.33) es con-veniente elegirF dependiente de viejas y nuevas coordenadas, por ejemplo deq,Q, q, P,p,Q, p, P. Por lo demas, tenemos plena libertad en elegir la forma funcional de la funcionF .Cada funcionF , llamada funcion generatriz, definira una transformacion canonica particular.

Considerando aF dependiente deq,Q obtenemos de (9.36):

N∑i=1

pi.qi −H

=N∑i=1

[Pi.Qi +

∂F

∂qi

.qi +

∂F

∂Qi

.Qi] +

∂F

∂t−H ′

que expresada en terminos de diferenciales:

N∑i=1

[pidqi − PidQi −∂F

∂qidqi −

∂F

∂QidQi]

+(H ′ − ∂F

∂t−H)dt = 0

para que valga esta igualdad para cualquier valor de las variables independientesp, q:

pi =∂F (q,Q)

∂qi(9.37)

Pi = −∂F (q,Q)∂Qi

(9.38)

H ′ = H +∂F

∂t(9.39)

Para conocer las nuevas variables debemos entonces despejar losQ en funcion dep, q en(9.37), y luego usar (9.38) para determinar losP .

La funcion generatriz tambien puede estar definida en terminos de otro conjunto de variables,por ejemploq, P. Adicionando a la funcionF precedente el termino

N∑i=1

PiQi

obtenemos una funcion

G = F +N∑i=1

PiQi (9.40)

que depende deq, P pues su diferencial total es:

287

MECANICA CL ASICA

dG =N∑i=1

∂F

∂qidqi +

∂F

∂QidQi + PidQi +QidPi +

∂F

∂tdt

y usando las relaciones (9.37,9.38) resulta:

dG =N∑i=1

pidqi +QidPi +∂F

∂tdt (9.41)

que indica queG = G(q, P, t). Esta funcion es tambien generatriz de una transformacioncanonica pues equivale a agregarle a la condicion (9.36) otra derivada temporal total

d

dt(N∑i=1

PiQi)

Las relaciones entre nuevas y viejas variables producidas por la funcion generatrizG se ob-tienen de (9.41):

pi =∂G(q, P)

∂qi(9.42)

Qi =∂G(q, P)

∂Pi(9.43)

∂G

∂t=∂F

∂t

y de estaultima relacion y de (9.39) resulta:

H ′ = H +∂G

∂t

De la misma forma podemos obtener funciones generatrices que dependan de los grupos devariablesp, P y p,Q.

Vemos de (9.39) que cuando la funcion generatriz no depende explıcitamente del tiempo seconserva el valor del Hamiltoniano:

H ′(P,Q) = H(p, q)

9.13. Ecuaci on de Hamilton-Jacobi

Es importante ver de realizar una transformacion canonica que provea el mayor numero decoordenadas cıclicas pues ası el problema a resolver queda reducido a su mınima complejidad.

Vamos a trabajar con la funcion generatriz (9.40) que define las nuevas coordenadasQ yviejos impulsosp en terminos de las viejas coordenadas y nuevos impulsosq, P. Vamos allamarS a esta funcion generatriz (corresponde a laG definida en (9.40)):

288


pi =∂S(q, P, t)

∂qi(9.44)

Qi =∂S(q, P, t)

∂Pi(9.45)

H ′ = H +∂S(q, P, t)

∂t

El objetivo ideal de realizar una transformacion canonica que haga integrales del movimientoa todas las variablesQ,P puede alcanzarse eligiendoS de modo que

∂S(q, P, t)∂t

= −H(q, p, t) (9.46)

entoncesH ′ = 0 y las ecuaciones del movimiento de Hamilton resultan:

.Qi=

∂H

∂Pi

′= 0

.P i= − ∂H

∂Qi

′= 0

con lo que las nuevas coordenadas e impulsos resultan ası:

Qi = αi

Pi = βi (9.47)

La funcion generatrizS satisface entonces la ecuacion diferencial (9.46)

∂S(q1, q2...qN , P1, P2...PN , t)∂t

= −H(q1, q2...qN , p1, p2...pN , t)

Como los momentosp estan definidos por las relaciones (9.44)pi = ∂S/∂qi, esta resulta unaecuacion diferencial enS de primer orden en las derivadas parciales respecto de las coordenadasq y del tiempo:

∂S(q1, q2...qN , β1, β2...βN , t)∂t

= −H(q1, q2...qN ,∂S

∂q1,∂S

∂q2...∂S

∂qN, t) (9.48)

Esta es la llamada ecuacion de Hamilton-Jacobi que determina la funcion generatriz que pro-duce la transformacion canonica deseada. La funcionS se denomina funcion principal de Hamil-ton. La solucionS debe poseerN constantes arbitrariasβi que definen los valores constantes de

289

MECANICA CL ASICA

los nuevos momentos canonicos, y a este tipo de solucion de la ecuacion diferencial se la llamasolucion completa.

Cuando el Hamiltoniano es una integral del movimiento (en este casoH no depende explıcita-mente del tiempo):

H(q1, q2...qN ,∂S

∂q1,∂S

∂q2...∂S

∂qN) = E = constante

entonces:

∂S

∂t= −E

y la solucion generalS es:

S = W (q1, q2...qN )− E.t

y la ecuacion de Hamilton-Jacobi (9.48) se simplifica, reduciendose a:

E = H(q1, q2...qN ,∂W

∂q1,∂W

∂q2...∂W

∂qN) (9.49)

Tanto en el caso general (9.48) como cuandoH es integral del movimiento (9.49), las coorde-nadasq se obtienen de (9.45) como funciones del tiempo y de las2N constantesα, β dadaspor las condiciones iniciales del movimiento y que fijan los valores de las coordenadasQ,P

∂S(q1, q2...qN , β1, β2...βN , t)∂βi

= αi

La ecuacion de Hamilton-Jacobi puede resolverse en forma parcial cuando el Hamiltonianopresenta una forma especial, donde toda la dependencia en una coordenada, digamos laq1, apareceseparada del resto de la dependencia enq2, ...qN , t:

H = H(φ(q1,∂S

∂q1), q2...qN ,

∂S

∂q2...∂S

∂qN, t)

Proponemos en este caso una solucion particular con variables separadas del tipo:

S = S′(q2, ...qN , t) + S1(q1)

Para que se satisfaga la ecuacion diferencial (9.48):

∂S′(q2...qN , t)∂t

= −H(φ(q1,∂S1(q1)∂q1

), q2...qN ,∂S′

∂q2...∂S′

∂qN, t) (9.50)

la dependencia enq1 del segundo miembro debe ser igual a una constante:

290


φ(q1,∂S1(q1)∂q1

) = γ1

pues esa es launica forma posible para que valga la ecuacion (9.50). Esta es una ecuacion aderivadas totales en general facilmente resoluble.

Cuando todas las variablesq sean separables habremos obtenido la solucion completa de laecuacion de Hamilton-Jacobi, donde apareceranN constantes arbitrariasγN como lo requiere elmetodo.

La funcion generatriz de esta particular transformacion canonica, que como dijimos se de-nomina habitualmente funcion principal de Hamilton, esta relacionada a la accion del sistemamecanico y en realidad constituye una generalizacion de la definicion (9.17) empleada en dichoprincipio. Partiendo de los resultados (9.44), (9.45) y (9.46) tenemos:

dS =∑i

[pidqi +QidPi]−Hdt

y teniendo en cuenta que los nuevos momentosPi son constantes (resultado 9.47):

dS =∑i

pidqi −Hdt

se integra de inmediato:

S(qi, t) =∫ t

t1dt′[∑i

pi.qi −H(qi, pi, t)]

=∫ t

t1dt′L(qi,

.qi, t′)

que representa una forma generalizada de la accion descrita en (9.17), equivalente a la que hemosempleado en la Seccion 9.7, donde ahora el lımite superior es un punto generico a lo largo de latrayectoria seguida por el sistema.

9.14. Ejemplo

9.14.1. Separaci on de variables en Hamilton-Jacobi

No es facil encontrar un ejemplo sencillo donde el metodo de Hamilton-Jacobi sea el masconveniente para resolver un problema. Ocurre a menudo que cuando es facil proceder usandoeste metodo, tambien lo es resolverlo por los medios habituales del formalismo de las ecuacionesde Lagrange. Consideraremos aquı el caso de una partıcula en dos dimensiones que se mueve enun potencial del tipo:

V (−→r ) = v0(r) +1r2v1(θ) (9.51)

291

MECANICA CL ASICA

expresado en coordenadas polares en el plano. La energıa cinetica es:

T (r, θ,.r,

.θ) =

12m(

.r2 +r2

.θ2)

entonces el Lagrangiano es:

L(r, θ,.r,

.θ) =

12m(

.r2 +r2

.θ2)− v0(r)−

1r2v1(θ)

Pasamos ahora a escribir el Hamiltoniano. Los momentos canonicos conjugados a las variablesr, θ son:

pr =∂L

∂.r

= m.r

pθ =∂L

∂.θ

= mr2.θ

de donde despejamos:

.r=

prm

.θ=

pθmr2

relaciones que usaremos en la definicion del Hamiltoniano:

H(r, θ, pr, pθ) = pr.r +pθ

.θ −L(r, θ,

.r,

.θ)

para expresarlo en terminos de sus argumentos naturalesr, θ, pr, pθ :

H(r, θ, pr, pθ) =p2r

m+

p2θ

mr2− 1

2(p2r

m+

p2θ

mr2) + v0(r) +

1r2v1(θ)

=p2r

2m+

p2θ

2mr2+ v0(r) +

1r2v1(θ)

Vemos que las dependencias enr y enθ aparecen en forma separada en el Hamiltoniano:

H(r, θ, pr, pθ) =p2r

2m+ v0(r) +

1r2 p

2θ

2m+ v1(θ) (9.52)

La separacion de dependencias es suficiente para poder resolver facilmente la ecuacion deHamilton-Jacobi por separacion de variables. Proponemos:

S(r, θ, β1, β2) = W (r, θ, β1, β2)− E.t (9.53)

W (r, θ, β1, β2) = Wr(r, β1, β2) +Wθ(θ, β1, β2)

292


dondeβ1, β2 son constantes requeridas para satisfacer las condiciones iniciales. ComoH es unaintegral del movimiento, usamos la ecuacion (9.49):

E = 12m

(∂Wr

∂r)2 + v0(r)+

1r2 12m

(∂Wθ

∂θ)2 + v1(θ) (9.54)

Para que esta ecuacion posea una solucion es necesario que el termino dependiente deθ seiguale a una constante, porque el resto de la ecuacion depende solamente der. La expresion (9.54)se separa en dos ecuaciones:

E = 12m

(∂Wr

∂r)2 + v0(r)+

A

r2

12m

(∂Wθ

∂θ)2 + v1(θ) = A

que se resuelven inmediatamente por cuadraturas:

Wr(r) =∫ r

0dr′

√2m[E − A

r′2− v0(r′)] +Wr(0) (9.55)

Wθ(θ) =∫ θ

0dθ′√

2m[A− v1(θ′)] +Wθ(0) (9.56)

Las constantesWr,θ(0) generan una constante aditiva a la funcion principal de Hamilton

S(r, θ, β1, β2) = Wr(r, E,A) +Wθ(θ, E,A)− E.t+ constante (9.57)

que no es relevante desde el punto de vista fısico pues esta funcion satisface una ecuacion dife-rencial donde solo interviene a traves de sus derivadas, por lo tanto no tendremos en cuenta lasconstantesWr,θ(0).

Estos resultados constituyen la solucion completa (9.53) paraS a traves deW , llamada fun-cion caracterıstica de Hamilton (que corresponde a un problema donde se conservaH). Las dosconstantes requeridas en la solucion completa son los valores de la energıaE y la constanteA.Para completar la solucion del problema debemos encontrar las coordenadasq como funciones deltiempo, las ecuaciones correspondientes son las (9.45)

Qi =∂S(q, P, t)

∂Pi(9.58)

donde ahora los nuevos momentosPi son constantes que llamamosβi en su momento, al igual quelas nuevas coordenadasQi con valores constantes identificados comoαi. En principio deberıamosrelacionar nuestras constantesE,A con las dosβ1, β2, pero tengamos presente lo siguiente: unavez efectuada la transformacion canonica que lleva a coordenadasQi y momentosPi tenemosaun la libertad de realizar combinaciones lineales entre lasN variablesPi, y las nuevas varia-bles seguiran siendo constantes independientes del tiempo. Podemos en particular suponer unatransformacion tal que los nuevos impulsos coincidan con las constantesE y A; en este caso lasecuaciones (9.58) resultan ser:

293

MECANICA CL ASICA

∂S

dE= Q1 = constante≡ α1

que resulta, considerando (9.57):

∂Wr(r, E,A)∂E

+∂Wθ(θ, E,A)

∂E− t = α1 (9.59)

y:

∂S

dA= Q2 = constante≡ α2

que da:

∂Wr(r, E,A)∂A

+∂Wθ(θ, E,A)

∂A= α2 (9.60)

Realizamos las derivadas correspondientes en (9.55) y (9.56)

dWr(r)dE

=∫ r

0dr′

m√2m[E − A

r′2− v0(r′)]

(9.61)

dWr(r)dA

=∫ r

0

dr′

r′2m√

2m[E − Ar′2− v0(r′)]

(9.62)

dWθ(θ)dE

= 0

dWθ(θ)dA

=∫ θ

0dθ′

m√2m[A− v1(θ′)]

(9.63)

con lo que la solucion del problema consiste en reemplazar los resultados de las cuadraturas(9.61,9.62,9.63) en las dos ecuaciones (9.59,9.60) y despejar las coordenadasr, θ. Las cuatroconstantesα1, α2, E,A se fijan a traves de las cuatro condiciones iniciales del movimiento deeste sistema de dos grados de libertad. Podemos de esta forma, y mientras las cuadraturas seancalculables, resolver el problema de una partıcula en el plano moviendose en un potencial condependencia del tipo (9.51) en las coordenadasr, θ.

9.15. Corchetes de Poisson

Las ecuaciones canonicas (9.24,9.25) describen la evolucion temporal de las variablesp, q .Para describir la evolucion de una funcion de dichas variables haremos uso de esas ecuaciones:

294


d

dtf(q, p) =

∑i

[∂f

∂qi

.qi +

∂f

∂pi

.pi] +

∂f

∂t

=∑i

[∂f

∂qi

∂H

∂pi− ∂f

∂pi

∂H

∂qi] +

∂f

∂t

Se denomina corchete o parentesis de Poisson de dos funcionesf, g respecto de las variablesp, q a la expresion:

[f, g]q,p =∑i

[∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi(9.64)

entonces, la evolucion temporal de una funcion f(p, q) esta dada por el corchete de Poisson defcon el Hamiltoniano del sistema:

df

dt= [f,H]q,p +

∂f

∂t(9.65)

Es posible generalizar esta relacion pues vemos de la definicion (9.64) que resultan:

df

dqi= [f, pi]q,p

df

dpi= −[f, qi]q,p

Se denominan corchetes fundamentales de Poisson a los que involucran a las variablesp, qentre sı. Es facil probar que:

[qi, pj ]q,p = δij

[qi, qj ]q,p = 0

[pi, pj ]q,p = 0

Una propiedad fundamental de los corchetes de Poisson es que son invariantes ante transfor-maciones canonicas. Esto significa que, dadas dos funcionesf(q, p) y g(q, p) la transforma-cion canonica

qi = qi(Q,P)

pi = pi(Q,P)

produce:

295

MECANICA CL ASICA

f (q(Q,P ), p(Q,P )) ≡ f ′(Q,P )

g (q(Q,P ), p(Q,P )) ≡ g′(Q,P )

(nos hemos limitado a explicitar dos variablesq, p para aliviar la escritura pero todo valdra para unsistema con2N coordenadasq, p). La invariancia ante transformaciones canonicas se expresacomo:

[f, g]q,p = [f ′, g′]Q,P

Para probar la invariancia vamos a hacer uso de nuestra imaginacion y supondremos que lafunciong(q, p) representa el Hamiltoniano de un sistema ficticio con coordenadasq, p; la funcionf depende del tiempo a traves de las coordenadasq, p y vemos de (9.65) que para este sistemaficticio su variacion temporal estara dada por:

df

dt= [f, g]q,p

Pero la variacion temporal de la funcionf no puede depender de cual conjunto de coordenadas(q, p) o (Q,P ) usemos, estas coordenadas actuan simplemente como funciones intermedias parala dependencia temporal def , entonces debe ser tambien:

df

dt= [f ′, g′]Q,P

y concluımos:

[f, g]q,p = [f ′, g′]Q,P

que prueba la invariancia de los corchetes de Poisson ante transformaciones canonicas. Esta ele-gante demostracion ha sido extraıda del libro Mecanica de Landau y Lifshitz.[27]

9.16. Ejemplo

9.16.1. Corchetes de Poisson entre componentes del impulso angular

Dada una partıcula de coordenadas(x1, x2, x3) las componentes del vector impulso angular

−→L = −→r ×−→p

quedan definidas por:

L1 = x2p3 − x3p2

L2 = x3p1 − x1p3

296


L3 = x3p1 − x1p3

El corchete de Poisson entre dos de ellas es, por ejemplo:

[L1, L2] =3∑i=1

(∂L1

∂xi

∂L2

∂pi− ∂L1

∂pi

∂L2

∂pi

)=

∂L1

∂x3

∂L2

∂p3− ∂L1

∂p3

∂L2

∂x3

= −p2(−x1)− x2p1

= x1p2 − x2p1

= L3 (9.66)

De la misma forma podemos probar que:

[L2, L3] = L1

[L3, L1] = L2

9.17. Ecuaciones del movimiento en t erminos de corchetesde Poisson. (Opcional)

Las ecuaciones de Hamilton (9.24,9.25) describen la evolucion temporal del conjunto de va-riables independientesq, p y usando (9.65) pueden expresarse en terminos de los corchetes dePoisson correspondientes:

.qi= [qi,H] (9.67)

.pi= [pi,H] (9.68)

Ademas, las integrales del movimiento se caracterizan porque sus corchetes de Poisson con elHamiltoniano son nulos:

[f,H] = 0

(cuandof depende explıcitamente del tiempo, sera una integral del movimiento si[f,H] + ∂f∂t =

0).Es esta una forma de identificar las integrales del movimiento. Ademas, usando la identidad

de Jacobi entre corchetes de Poisson[2]

[f, [g,H]] + [g, [H, f ]] + [H, [f, g]] = 0 (9.69)

297

MECANICA CL ASICA

Vemos que sif y g son integrales del movimiento su corchete de Poisson[f, g] tambien lo es.Ası podemos encontrar, aunque de forma no sistematica, nuevas integrales del movimiento a par-tir de otras ya conocidas. En particular vemos que si dos componentes del impulso angular sonintegrales del movimiento, la tercera tambien lo sera: De (9.66):

[L1, L2] = L3

entonces si:

[H,L1] = [H,L2] = 0

resulta de la identidad de Jacobi (9.69)

[H,L3] = 0

Las ecuaciones (9.67,9.68) constituyen el conjunto basico de ecuaciones dinamicas que re-suelve un problema de Mecanica clasica en la formulacion hamiltoniana. La forma de estas ecua-ciones es invariante ante transformaciones canonicas.

La importancia de la formulacion hamiltoniana presentada en terminos de corchetes Poissones que la forma de estas ecuaciones (9.67,9.68) se conserva en la Mecanica cuantica, donde lasvariablesq, p de un sistema cuantico que satisfacen este tipo de ecuaciones son ahora operadoresmatematicos (funciones con operaciones diferenciales o matrices) y los corchetes de Poisson cedensu lugar a los conmutadores de las magnitudes que aparecen en su interior.

9.18. Transformaciones can onicas y corchetes de Poisson.(Opcional)

Consideremos una transformacion canonicaq, p → Q,P:

Qi = Qi(q, p)Pi = Pi(q, p)

Por ser precisamente una transformacion canonica las ecuaciones del movimiento conservanla forma (covariancia de las ecuaciones de Hamilton ante transformaciones canonicas):

.qi=

∂H

∂pi

.pi= −∂H

∂qi

.Qi=

∂H

∂Pi

′

298


.P i= − ∂H

∂Qi

′

donde:

H(q, p, t) = H(q(Q,P ), p(Q,P ), t) (9.70)

= H ′(Q,P, t)

y consideramos el caso de transformaciones canonicas sin dependencia explıcita en el tiempo.Vamosa expresar las derivadas temporales de las nuevas variables en terminos de corchetes de Poissonusando la definicion (9.65):

.Qi= [Qi,H]q,p (9.71)

.P i= [Pi,H]q,p

Trabajamos sobre los corchetes de Poisson:

[Qi,H]q,p =∑j

[∂Qi∂qj

∂H

∂pj− ∂Qi∂pj

∂H

∂qj]

y ahora expresamos las derivadas parciales∂H∂pj

, ∂H∂qj usando como variables intermedias las nuevas

coordenadasQ,P; de (9.70)

∂H

∂pj=∑k

[∂H ′

∂Qk

∂Qk∂pj

+∂H ′

∂Pk

∂Pk∂pj

]

∂H

∂qj=∑k

[∂H ′

∂Qk

∂Qk∂qj

+∂H ′

∂Pk

∂Pk∂qj

]

que reemplazado en (9.71) produce:

[Qi,H]q,p =∑j,k

[∂Qi∂qj

∂H ′

∂Qk

∂Qk∂pj

− ∂Qi∂qj

∂H ′

∂Pk

∂Pk∂pj

−∂Qi∂pj

∂H ′

∂Qk

∂Qk∂qj

+∂Qi∂pj

∂H ′

∂Pk

∂Pk∂qj

]

resulta:

[Qi,H]q,p =∑k

∂H′

∂Qk

∑j

[∂Qi∂qj

∂Qk∂pj

− ∂Qi∂pj

∂Qk∂qj

]

+∂H ′

∂Pk[∂Qi∂pj

∂Pk∂qj

− ∂Qi∂qj

∂Pk∂pj

]

299

MECANICA CL ASICA

que podemos expresar en terminos de los corchetes de Poisson de las nuevas variables:

[Qi,H]q,p =∑k

∂H′

∂Qk[Qi, Qk]q,p +

∂H ′

∂Pk[Qi, Pk]q,p

Se obtiene una relacion similar para el corchete dePi conH:

[Pi,H]q,p =∑k

∂H′

∂Pk[Pi, Pk]q,p +

∂H ′

∂Qk[Pi, Qk]q,p

con lo que las derivadas temporales de las nuevas coordenadas y momentos resultan:

.Qi=

∑k

∂H′

∂Qk[Qi, Qk]q,p +

∂H ′

∂Pk[Qi, Pk]q,p (9.72)

.Pi=

∑k

∂H′

∂Pk[Pi, Pk]q,p +

∂H ′

∂Qk[Pi, Qk]q,p (9.73)

Entonces, una condicion suficiente para que la transformacionq, p → Q,P sea canonica,es decir conserve la forma de las ecuaciones de Hamilton:

.Qi=

∂H

∂Pi

′

.P i= − ∂H

∂Qi

′

es que los corchetes de Poisson de las nuevas variables sean:

[Qi, Qk]q,p = 0 (9.74)

[Pi, Pk]q,p = 0 (9.75)

[Qi, Pk]q,p = δik (9.76)

entonces los corchetes de Poisson en las coordenadas que describen al sistema son invariantes antetransformaciones canonicas deestas: en las viejas coordenadasq, p

[qi, pj ]q,p = δij

[qi, qj ]q,p = 0[pi, pj ]q,p = 0

y en las nuevasQ,P obtenidas mediante una transformacion canonica:

300


[Qi, Pj ]q,p = δij

[Qi, Qj ]q,p = 0[Pi, Pj ]q,p = 0

producen los mismo resultados.Puede demostrarse que estas condiciones son tambien condiciones necesarias. Lo haremos

para el caso de un sistema con un solo grado de libertad para simplificar la notacion; entonces lasecuaciones (9.72,9.73) se reducen a:

.Q =

∂H ′

∂Q[Q,Q]q,p +

∂H ′

∂P[Q,P ]q,p

=∂H ′

∂P[Q,P ]q,p

.P =

∂H ′

∂P[P, P ]q,p +

∂H ′

∂Q[P,Q]q,p

=∂H ′

∂Q[P,Q]q,p (9.77)

Para que la transformacion sea canonica, los miembros derechos de (9.77) y (9.77) deben serlas derivadas

∂K

∂P,−∂K

∂Q

de un nuevo HamiltonianoK:

∂K

∂P=∂H ′

∂P[Q,P ]q,p

−∂K∂Q

=∂H ′

∂Q[P,Q]q,p

De la igualdad de las derivadas cruzadas:

∂2K

∂P∂Q=

∂2K

∂Q∂P

obtenemos:

∂

∂Q(∂H ′

∂P[Q,P ]q,p) = − ∂

∂P(∂H ′

∂Q[P,Q]q,p)

que requiere:

301

MECANICA CL ASICA

∂H ′

∂P

∂

∂Q[Q,P ]q,p =

∂H ′

∂Q

∂

∂P[Q,P ]q,p

esto se satisface para un Hamiltoniano con una dependencia general enQ y P cuando:

∂

∂Q[Q,P ]q,p = 0

∂

∂P[Q,P ]q,p = 0

es decir cuando el corchete es una constante. Vamos a considerar solamente el caso en que esaconstante sea la unidad (una transformacion que de otro resultado puede modificarse mediante uncambio de escala de la coordenadaQ para que produzca el valor uno para el corchete).

Vemos que la manera mas directa de probar que una transformacion de coordenadas e impulsoses canonica es verificar que satisface las relaciones (9.76) propias de los corchetes de Poissonfundamentales.

9.19. Invariancia y corchetes de Poisson. (Opcional)

Las transformaciones canonicas

Q = Q(q, p, t)P = P (q, p, t)

retienen la forma funcional de las ecuaciones de Hamilton:

.q=

∂H(q, p, t)∂p

(9.78)

.p= −∂H(q, p, t)

∂q(9.79)

.Q=

∂H ′(Q,P, t)∂P

(9.80)

.P= −∂H

′(Q,P, t)∂Q

(9.81)

H ′(Q,P, t) = H(q, p, t) +∂G

∂t(9.82)

dondeG es la funcion generatriz de la transformacion canonica. El sistema fısico es covarianteante estas transformaciones.

302


Para que las formas explıcitas de las ecuaciones de Hamilton (9.78,9.79) por una parte y(9.80,9.81) por la otra sean identicas es necesario que sean identicas las formas funcionales delos Hamiltonianos:

H ′(Q,P ) = H(Q,P )

En este caso el sistema es invariante ante estas transformaciones.Expresemos la transformacion mediante la funcion generatriz del tipo (9.40)

G(q, P, t) = qP + ε.g(q, P, t)

dondeε es un parametro infinitesimal. Las relaciones entre nuevas y viejas coordenadas son las(9.42,9.43):

p = P + ε∂g(q, P, t)

∂q

Q = q + ε∂g(q, P, t)

∂P

que corresponden a una transformacion infinitesimal. Reemplazandola en el Hamiltoniano:

H(q, p, t) = H(q(Q,P ), p(Q,P ), t)

= H(Q− ε∂g

∂p, P + ε

∂g

∂q, t)

= H(Q,P, t) + ε∂H∂p

∂g

∂q− ∂H

∂q

∂g

∂p

Entonces la relacion (9.82) resulta:

H ′(Q,P, t) = H(q, p, t) +∂G

∂t

= H(Q,P, t) + ε∂H∂p

∂g

∂q− ∂H

∂q

∂g

∂p+ ε

∂g

∂t

que requiere para que la transformacion deje invariante el Hamiltoniano:

[H, g] +∂g

∂t= 0

Esta es la representacion de la derivada total respecto del tiempo deg, que llamaremos funciongeneratriz de la transformacion infinitesimal:

dg

dt= [H, g] +

∂g

∂t= 0

Entonces, la funcion generatrizg de una transformacion infinitesimal de invariancia es con-stante del movimiento. Analizando entonces las propiedades de simetrıa de un sistema fısico po-dremos encontrar transformaciones que dejan invariante las ecuaciones del movimiento, y asocia-da a cada una deestas hay una constante del movimiento que es la funcion generatriz de dichatransformacion.

303

MECANICA CL ASICA

9.20. Problemas

1. Una partıcula de cargaq esta sometida a la accion de un campo magnetico uniforme yconstante

−→B = B0ez:

1.1 Escriba el Lagrangiano, y con el teorema de Noether muestre que las traslaciones y lasrotaciones alrededor de cualquier punto en la direccion del ejez son transformaciones de simetrıa.Encuentre las constantes del movimiento asociadas a tales simetrıas.

1.2 Obtenga el Hamiltoniano yuselo para investigar las magnitudes asociadas.

2. ¿Cuales son las condiciones para las constantes (pequenas)a, b, c, d, e, f de forma que

q = Q+ aQ2 + 2bQP + cP 2

p = P + dQ2 + 2eQP + fP 2

sea una transformacion canonica hasta el primer orden en dichas constantes pequenas?

3. El Hamiltoniano para un oscilador con una pequena anarmonicidadβ es:

H =p2

2m+

12mω2q2 + βq3

dondeβ es pequeno. Realice una transformacion como la presentada en el Problema 2 y ajustelas constantes de modo que el nuevo Hamiltoniano no contenga terminos anarmonicos de primerorden ena, b, c, d, e, f .

4. Escriba y resuelva las ecuaciones de Hamilton resultantes del Problema 3, y determine lassolucionesq(t), p(t) para el oscilador anarmonico original.

5. Usar el metodo de Hamilton-Jacobi para estudiar el movimiento de una partıcula en uncampo dipolar, caracterizado por el siguiente potencial en coordenadas esfericas:

V (r) =K cos θr2

5.1 Escribir la ecuacion de Hamilton-Jacobi en coordenadas esfericas. Mostrar que puede re-solverse por el metodo de separacion de variables, y obtener una expresion para la generatriz de latransformacion canonica de la forma:S = S(r, θ, φ, E, α2, α3, t).

5.2 Considerando la ecuacionβ1 = ∂S/∂E encuentre como varıa la coordenada radial con eltiempo.

304

Capıtulo 10

Oscilaciones no lineales. Caos

10.1. Introducci on

Este Capıtulo es una introduccion a sistemas que representan mejor lo que encontramos enla vida real, donde las interacciones no tienen la simplicidad requerida para obtener solucionesanalıticas de las ecuaciones del movimiento, o donde la inestabilidad de dichas soluciones respec-to de las condiciones iniciales hace que la evolucion temporal pueda ser calificada como caotica.Este campo de la Mecanica clasica ha experimentado un desarrollo notable en lasultimas decadas,del que nosotros brindaremos solamente una primera mirada presentando ejemplos sencillos desistemas no lineales y de evolucion caotica. Para profundizar el conocimiento del tema recomen-damos textos recientes, tales como la tercera edicion de Goldstein[25], Marion y Thornton[10],Schoeck[30] y Berge, Pomeau y Vidal[28].

La idea que extraemos de lo que vimos hasta ahora de la Mecanica clasica es que si conocemoslas posiciones y velocidades iniciales de un sistema de partıculas y las fuerzas actuantes, podemosconocer con la precision que queramos las posiciones y velocidades a cualquier tiempo posteriorpor lejano queeste sea. Estamos en presencia de un sistema determinista, donde el estado presentedepende en forma unıvoca y conocida de cada estado del pasado.

Dado que las condiciones iniciales desde las que parte la evolucion temporal del sistema fısicoson conocidas y fijadas a traves de aparatos que necesariamente tienen una precision finita, paraque la resolucion de las ecuaciones de movimiento sea de utilidad en predecir el estado del sis-tema en el futuro se requiere que este estado no dependa de forma extremadamente sensitiva de lascondiciones iniciales. Henri Poincare, uno de los primeros en reconocer el comportamiento caoticode algunos sistemas fısicos, visualizaba ası este comportamiento: ”Puede ocurrir que diferenciaspequenas en las condiciones iniciales produzcan tremendos cambios en el estado final del sistema:un error pequeno en las primeras conduce a un error enorme en esteultimo. La prediccion resultaimposible.” Un ejemplo extremo de la aseveracion de Poincare podrıa ser: ”El aleteo de una mari-posa un dıa de enero en lo profundo de la selva amazonica puede ser el desencadenante de unatormenta de nieve en junio en la Tierra del Fuego.”

El comportamiento caotico se encuentra en sistemas donde las ecuaciones de movimientoson no lineales: dependen de potencias superiores a la unidad en la velocidad y/o la posicion delas partıculas. Es una condicion necesaria pero no suficiente, hay ecuaciones de movimiento nolineales que conducen a soluciones con dependencia suave en las condiciones iniciales.

305

MECANICA CL ASICA

El caos de sistemas fısicos descritos por las leyes de Newton es un caos determinista, el sis-tema evoluciona exactamente segun las leyes de Newton conocidas, pero tiene una dependenciaextremadamente sensible en las condiciones iniciales. El caos probabilista corresponderıa a unsistema que evoluciona de forma aleatoria entre un tiempo dado y otro posterior, no existiendouna ley definida para esa evolucion.

Un sistema caotico pierde memoria del estado inicial desde el que partio su evolucion. A-sumiendo que se conoce con precisiones∆x, ∆v la posicion y velocidad inicial a un tiempot0las trayectorias nacidas de este elemento del espacio de las fases divergen, ocupando una regionmayor de dicho espacio a un tiempot > t0, tal como mostramos en la figura 10.1.

Figura 10.1:Divergencia de las trayectorias de un sistema caotico en el espacio de las fases

En una evolucion no caotica (ordenada) la dispersion de los puntos representativos del sistemaen el espacio de las fases que parten de un volumen∆x∆v al tiempot0, al tiempot > t0 siguesiendo del orden de∆x∆v.

Un ejemplo sencillo de sistema que puede dar lugar a evolucion caotica es el representadoen la figura 10.2: un carrito con dos pozos de potencial simetricos separados por una barrera, elcarro sujeto a un muro por medio de un resorte lineal y una pelotita inicialmente en el maximo depotencial. Separado el resorte de la longitud de equilibrio se genera una amplitud de oscilacion enel carro, que en primer lugar vuelca la pelotita en uno de los pozos y a posteriori puede hacerlaoscilar en uno de ellos y ademas transferirla de un pozo al otro. Las oscilaciones de la pelotitapueden ser regulares:121212... o 112112..., pero para ciertas condiciones de amplitud inicial y defrecuencia del resorte no hay periodicidad, la evolucion es caotica.

306

OSCILACIONES NO LINEALES. CAOS

Figura 10.2:La pelota en el carrito puede tener una evolucon regular o caotica segun cuales sean lascondiciones iniciales del movimiento

Si bien mirado en su evolucion temporal en el espacio real un sistema caotico no parecieraseguir ninguna pauta, en el espacio de las fases aparecen estructuras que permiten predecir algunaspropiedades de los estados alcanzados por el sistema y cuantificar el grado de ”ruido” causado porel caos en la evolucion de un sistema fısico determinista.

10.2. Oscilaciones no lineales. El p endulo plano

El pendulo plano es el ejemplo mas sencillo y conocido de oscilaciones no lineales, y de linea-les en el lımite de pequenas separaciones de la posicion de equilibrio. La ecuacion de movimientoen el grado de libertad angularθ medido respecto de la vertical es

..θ +ω2

0 sin θ = 0 (10.1)

donde

ω20 =

g

`

siendo` la longitud de la cuerda o varilla de masa nula que sostiene la masam y g la aceleracionde la gravedad. La ecuacion 10.1 es no lineal puessin θ = θ − θ3/3! + ....

En el Capıtulo 9 hemos representado la evolucion del pendulo plano en el espacio de lasfases, en particular la figura 9.4 servira a nuestros fines de identificar situaciones especiales de suevolucion temporal.

Las pequenas oscilaciones estan situadas en la vecindad de los puntosθ = 0, θ = ±2π,±4π, ...que son los puntos de equilibrio estatico del pendulo (todos estos puntos en el espacio de las fa-ses describen la misma situacion del sistema fısico estatico en equilibrio estable). Partimos de lacondicion inicialθ = θ0,

.θ= 0. La ecuacion de conservacion de la energıa

307

MECANICA CL ASICA

E =12m`2

.θ2

+mg`(1− cos θ) = mg`(1− cos θ0)

nos permite encontrar la trayectoria del pendulo en el espacio de las fasesθ,.θ

`

g

.θ2

+4 sin2 θ

2=

2Emg`

Cada trayectoria corresponde a una energıa dada, fijada por las condiciones iniciales delmovimiento. El conjunto de las trayectorias posibles cubre todos los puntos del plano, sin quehaya cruces entre ellas.

Usando ejesθ,√`/g

.θ las trayectorias en el espacio de las fases en el lımite θ 1 de

oscilaciones lineales seran cırculos centrados en esos puntos

`

g

.θ2

+ θ2 =2Emg`

A medida que incrementemos la energıa del pendulo las trayectorias se alejan de los puntos deequilibrio y dejan de ser cırculos.

Cuando incrementamos la amplitud de la oscilacion podemos tender al lımite θ = π, y ten-dremos trayectorias cerradas hasta ese lımite

`

g

.θ2

+4 sin2 θ

2=

2Emg`

= 4

esto es √`

g

.θ= 2 cos

θ

2(10.2)

En cambio, cuando se parte deθ = π con energıa cineticaε no nula de modo que la energıatotal esE = 2mg` + ε el pendulo realiza un movimiento de rotacion en torno de su pivote ylas trayectorias en el espacio de las fases son abiertas. A la trayectoria lımite (10.2) que separaestas dos regiones se la llama separatriz. Este es un ejemplo de evolucion altamente sensible a lascondiciones iniciales.

10.3. Sistemas no conservativos. Atractores

En la evolucion de sistemas interactuando con fuentes o sumideros de energıa se presentancasos donde las trayectorias en el espacio de las fases tienden a puntos o curvas estables en el trans-curso del tiempo. El ejemplo mas simple es nuevamente el pendulo plano, ahora con el agregadode un sumidero de energıa, por ejemplo el termino de friccion como el del oscilador amortiguadode la ecuacion (7.4). La ecuacion de movimiento es

m`2..θ +γ

.θ +mg` sin θ = 0

308


Esta ecuacion representa mas fielmente que la ecuacion (10.1) a un pendulo plano con unamasa de densidad muy superior a la del aire en que se mueve.

Las trayectorias en el espacio de las fases nacidas de las diferentes condiciones inicialesθ0,.θ0

evolucionan hasta caer en alguno de los puntosA de equilibrio estable mostrados en la figura 10.3,que por eso son llamados atractores.

Figura 10.3:Puntos de equilibrio estable del pendulo plano

El ejemplo del oscilador amortiguado es trivial, es obvio que la presencia de un mecanismo dedisipacion sin la contraparte de una fuente de excitacion agotara la energıa llevando al osciladoral reposo en un punto de equilibrio. Los atractores no son exclusivamente puntos del espacio delas fases, tambien puede ser atractor una lınea, a la que tienden todas las trayectorias posibles. Unejemplo es la ecuacion de van der Pol

m..x −γ(1− x2)

.x +mω2

0x = 0

Esta ecuacion, surgida del funcionamiento de valvulas electronicas de vacıo, tambien puedeinterpretarse como describiendo un oscilador lineal sometido a un termino de disipacion cuandox > 1 que cambia a excitador cuandox < 1. Vemos que si la condicion inicial esx0 < 1 estetermino incrementa la energıa del oscilador y por ende su amplitudx que tendera al valor unidad, apartir de allı cesa la excitacion. Por el contrario, comenzando desde un valorx0 > 1 la disipacionde energıa lleva en el transcurso del tiempo ax→ 1. En la figura 10.4 mostramos la presencia deuna lınea o trayectoria atractora del movimiento a partir de una condicion inicial general.

La existencia de atractores muestra otra peculiaridad de sistemas fısicos abiertos, como es laposible independencia de la evolucion respecto de las condiciones iniciales fijadas en el pasadoremoto.

10.4. Mapas de Poincar e

El espacio de las fases de un sistema con un grado de libertad como el pendulo plano esbidimensional. La solucion completa del movimiento consiste en hallar la dependencia temporal

309

MECANICA CL ASICA

Figura 10.4:Trayectoria atractora en el oscilador de van der Pol

de la coordenada:

θ = θ(t)

y por ende de su momento canonico conjugadopθ o de la velocidad.θ como ha sido nuestra

eleccion:

.θ=

.θ (t)

La ecuacion de la trayectoria en el espacio de las fases guarda menos informacion sobre elmovimiento porque elimina la dependencia temporal y solamente tiene en cuenta la relacionθ ↔

.θ;

podemos obtener la ecuacion de la trayectoria invirtiendo la forma funcionalθ = θ(t), esto es:

t = g(θ)

y reemplazarlo en.θ=

.θ (t)

.θ=

.θ (g(θ)) ≡ f(θ)

Si pasamos a un sistema mas complejo como es el caso de dos osciladores acoplados, el es-pacio de las fasesx,

.x, y,

.y es de cuatro dimensiones. La solucion completa del sistema esta dada

por las cuatro funciones temporales:

310


x = x(t)

.x=

.x (t)

y = y(t)

.y=

.y (t) (10.3)

En forma similar al caso unidimensional, la ecuacion de la trayectoria en el espacio de lasfases se obtiene a partir de la inversion de una de las ecuaciones (10.3), por ejemplot = t(x),quedando definida la trayectoria por la forma

.x= f(x)

y = g(x)

.y= h(x)

En el contexto de sistemas conservativos las cuatro variablesx,.x, y,

.y no son independientes

pues estan relacionadas por la conservacion de la energıa

E = E(x,.x, y,

.y)

entonces pueden tomarse como independientes tres de ellas, por ejemplox,.x, y quedando

.y au-

tomaticamente fijada. La trayectoria sera una lınea en el espacio tridimensional(x,.x y).

La representacion grafica de la trayectoria de dos osciladores acoplados en el espacio de lasfases puede simplificarse limitandonos a conocer solamente algunos de los puntos de su recorrido,por ejemplo aquellos de su interseccion con una superficie bidimensional que elegimos conve-niente pero libremente:

x = F (y,.x) (10.4)

Los puntos de la interseccion quedan definidos por

.xi= G1(yi,

.xi)

yi = G2(yi,.xi)

Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas que si elegimos adecuadamente la super-ficie (10.4) tendra una o mas soluciones. La figura 10.5 representa la construccion geometrica que

311

MECANICA CL ASICA

Figura 10.5:Mapa o Seccion de Poincare: interseccion de las trayectorias con una superficie, elegidaapiacere

acabamos de presentar y que desemboca en el mapa o seccion de Poincare: puntos de corte de latrayectoria en la superficie elegida.

En el caso de un sistema general conN grados de libertad tenemos un espacio de las fasescon2N variables independientes, intersectamos la trayectoria en el espacio de las fases con unasuperficie de2N − 2 dimensiones elegida por nosotros. El ejemplo de los dos pendulos planosacoplados corresponde aN = 2, y solamente en este caso el mapa de Poincare corresponde a lospuntos de interseccion de la trayectoria con una superficie bidimensional, facilmente graficable.

El caso de sistemas con un grado de libertadN = 1 ha quedado fuera del tratamiento prece-dente, lo cual no es preocupante pues para ellos hallar la trayectoria es mas o menos tan dificultosocomo encontrar su mapa de Poincare. Dado que las trayectorias se desarrollan en un plano, la su-perficie a intersectar debera ser unidimensional, otra curva. Graficamos en la figura 10.6 las casosdel pendulo plano con y sin amortiguamiento.

Vemos que en el caso conservativo el mapa de Poincare presenta un solo punto de intersec-cion, indicando la existencia de un movimiento periodico. En el caso no conservativo del penduloamortiguado las intersecciones forman una sucesion de puntos que converge al atractor; un mapade Poincare similar se presenta para el oscilador de van der Pol.

312


Figura 10.6:Trayectorias en el espacio de las fases de un pendulo con y sin amortiguamiento. Mapas dePoincare sobre una lınea

10.5. Pendulo amortiguado y forzado: periodicidad y caos

El pendulo amortiguado y al mismo tiempo forzado por una excitacion periodica externa com-pleta nuestro tratamiento del movimiento periodico y representa un ejemplo, quizas el mas sim-ple, de evolucion que dependiendo del valor de los parametros puede ser periodica y caotica. Laecuacion del movimiento tiene la forma

m`2d2θ

dt′2+ γ

dθ

dt′= −mg` sin θ + Fe cosωet (10.5)

dondeFe representa la intensidad del torque excitador, que se agrega al torquemg` generadopor la fuerza de gravedad. La frecuenciaωe es un parametro a fijar.

Cambiamos la unidad de medida del tiempo usando la frecuencia natural del penduloω0 =√g/`

t′ = ω0t

entonces la ecuacion (10.5) resulta

mg`d2θ

dt′2+ γω0

dθ

dt′= −mg` sin θ + Fe cosωet

de modo que la ecuacion diferencial presenta tres parametros independientes

313

MECANICA CL ASICA

d2θ

dt′2+ a

dθ

dt′+ sin θ − F cosωt = 0 (10.6)

que son la frecuencia de la excitacion, la constante de amortiguamiento y el torque normalizados

ω =ωeω0

a =γω0

mg`

F =Femg`

La ecuacion (10.6) es no lineal enθ y debemos resolverla numericamente. Fijamos valores deω = 0,7 y a = 0,05 (los mismo usados por Marion y Thornton[10]) y hallamos la solucion en elespacio de las fasesθ,

.θ para diferentes valores de la intensidadF de la excitacion. Encontramos

movimiento periodico solamente para algunos rangos de valores deF , el primero para0 ≤ F ≤0,39, el siguiente en un pequeno entorno deF = 0,48 y finalmente el intervalo0,78 ≤ F ≤ 0,83.

La figura 10.7 muestra la gran variedad de evoluciones temporalesθ = θ(t) que se obtienencon pequenos cambios de la fuerza excitatrizF :

ParaF = 0,359 luego de un transitorio mas o menos largo el pendulo puede realizar oscila-ciones completas en torno del punto de sujecion, realizando un movimiento periodico enθ a menosde valores enteros de2π. En el espacio de las fases la trayectoria muestra dos oscilaciones enθ,

.θ

antes de completar el ciclo de periodicidad.ParaF = 0,360 luego del transitorio el pendulo realiza oscilaciones acotadas en|θ| < π con

una sola oscilacion enθ,.θ antes de completar el ciclo. La trayectoria en el espacio de las fases es

una curva cerrada.Finalmente, para un valor deF = 0,600 que esta fuera de los intervalos de periodicidad del

movimiento, la evolucionθ = θ(t) no presenta estructuras periodicas en el rangot′ = ω0t ≤ 1000donde se integro numericamente la ecuacion (10.6). La trayectoria en el espacio de las fases hastael maximo valor det considerado recorre en forma mas o menos uniforme una franja del planoθ,

.θ.

En el calculo precedente hemos verificado que la periodicidad en el movimiento no dependede las condiciones inicialesθ(0),

.θ (0): cualquiera sea la eleccion el movimiento es periodico y

la trayectoria en el espacio de las fases es estable frente a pequenos cambios en las condicionesiniciales. En cambio, para valores deF que generan movimiento no periodico la trayectoria enel espacio de las fases es extremadamente sensible ante pequenos cambios en las condicionesiniciales, indicando que la evolucion es caotica.

10.6. Movimiento ca otico. Exponentes de Liapunov

La evolucion del pendulo amortiguado y forzado para el valorF =0,6 de su parametro deexcitacion muestra que laorbita seguida recorre de manera mas o menos uniforme una region

314


extensa pero acotada del espacio de las fases. La frontera de esta region estara determinada por lamaxima energıa que puede acumular el pendulo, que siendo una funcionEmax = f(θ,

.θ) define

dicha frontera.Si seguimos la evolucion temporal deθ(t) y

.θ (t) encontraremos una trayectoria que al cabo de

un tiempo pasara por (o infinitamente cerca de) cada punto de la region mencionada, incluyendo laposicion inicialθ(0)

., θ (0). Dos caracterısticas del movimiento caotico son entonces la de mezclar

todos los puntos de la region accesible al movimiento en el espacio de las fases, y la de generarorbitas que pueden llamarse cuasi periodicas, porque al cabo de una multitud de oscilacionesretorna al punto inicial.

La caracterıstica mas distintiva del movimiento caotico es la sensibilidad a las condicionesiniciales fijadas para el movimiento: un pequeno cambio en posiciones y velocidades iniciales dalugar al cabo de un cierto tiempo a trayectorias totalmente alejadas entre sı. Es el ”efecto mariposa”que mencionamos previamente. Carece entonces de sentido estudiar el sistema fısico tratando deresolver las ecuaciones del movimiento a partir de una dada condicion inicial.

Una medicion cuantitativa de la divergencia en las trayectorias esta dada por el coeficiente deLiapunov: si dos trayectorias difieren al tiempo inicial en una pequena cantidadε, a un tiempoposterior su divergencia puede escribirse como:

θ(t) = εeλt

cuandoλ > 0 el movimiento es caotico, las trayectorias presentan una divergencia que crece expo-nencialmente.λ define un intervalo de tiempoτ a partir del cual se manifiesta el comportamientocaotico:

τ ∼ 1/λ

Cuando el coeficiente de Liapunov es nulo hay estabilidad respecto de las condiciones ini-ciales, el movimiento es no caotico; cuandoτ es negativo representa una medida de la velocidadcon que el sistema se acerca al punto, lınea o superficie atractora.

En el ejemplo del pendulo amortiguado y forzado, las regiones del parametroF donde elmovimiento es periodico y donde probamos numericamente la estabilidad de las trayectorias cor-responden a coeficientes de Liapunov nulos o negativos.

10.7. Conclusiones

Utilizando como ejemplo un sistema fısico muy sencillo como es el pendulo plano hemospodido tener una vision de aquellos sistemas fısicos que satisfacen una ecuacion del movimientono lineal en las coordenadas. El uso del espacio de las fases para este sistema con un solo gradode libertad permite analizar el movimiento evitando resolver la ecuacion diferencial no lineal.

La introduccion de disipacion y excitaciones externas que incorporan terminos no lineales aun oscilador armonico nos permitio encontrar trayectorias lımites (atractores) a las que tiende elmovimiento al cabo de un intervalo de tiempo de evolucion, independientemente de las condi-ciones iniciales fijadas. Hemos definido los mapas de Poincare que permiten visualizar la evolu-cion de la trayectoria hacia laorbita asintotica representada por el atractor.

315

MECANICA CL ASICA

Por ultimo, el pendulo plano amortiguado y forzado sirve de ejemplo para encontrar situa-ciones donde la evolucion es caotica, que aparece para algunos valores del parametro que fijala excitacion externa. Las situaciones de evolucion estable frente a las condiciones iniciales (nocaotica) corresponden a movimiento periodico para el regimen estacionario. La evolucion caoticagenera una trayectoria que cubre una region finita del espacio de las fases.

Hemos encontrado entonces que en la evolucion de un sistema fısico existen otras posibili-dades aparte de la convencional, donde conocidas las condiciones iniciales se puede predecir conabsoluta precision las posiciones y velocidades a tiempos posteriores de las partıculas del sistema.Tenemos situaciones donde, cualquiera sean esas condiciones el sistema tiende a una evolucionindependiente de ellas (atractores). Y en otros casos, la extrema sensibilidad de la solucion de lasecuaciones del movimiento hace que sea inutil resolverlas (caos). En estas situaciones, el uso delespacio de las fases, o de los mapas de Poincare, facilita encontrar las propiedades de la evoluciondel sistema.

316


Figura 10.7:Evolucion temporal la coordenadaθ y trayectoria en el espacio de las fasesθ,.

θ para tresvalores de la excitacion externa del oscilador amortiguado forzado. En los dos primeros casos, luego de untransitorio temporal se establece un movimiento periodico. El tercer caso muestra comportamiento caotico

317

MECANICA CL ASICA

318

Capıtulo 11

Teorıa especial de la Relatividad

11.1. Introducci on

A finales del siglo XIX el conocimiento acumulado durante trescientos anos y que consti-tuıa lo que se dio en llamar Fısica clasica, parecıa haber alcanzado la perfeccion en describir losfenomenos naturales. La Mecanica, el Electromagnetismo y la Termodinamica predecıan las ob-servaciones experimentales dentro de la precision alcanzada por los instrumentos de medida. Peropronto aparecieron dos interrogantes que no podıan ser aclarados por el formalismo.

Uno de ellos se referıa a la naturaleza de la radiacion electromagnetica: el Electromagnetismoasumıa que era una onda cuya energıa podıa adoptar cualquier valor, en tanto que para explicarla radiacion emitida por un cuerpo negro era necesario proponer que dicha energıa solamentepudiera adoptar valores discretos proporcionales a la frecuencia de la misma;esta fue la hipotesisde Planck enunciada en 1900 y que fue el origen de la Fısica cuantica, generalizacion de la Fısicaclasica capaz de describir el mundo atomico.

El otro interrogante se referıa a la velocidad de la luzc: si dependiera de la velocidad delobjeto emisor entonces deberıamos medir diferentes valoresc segun cual sea nuestra velocidadrelativa respecto del emisor; si la luz fueran excitaciones de un medio elastico inmaterial llamadoeter que permea todo el espacio, tambien deberıamos percibir diferentes valores dec segun cualsea nuestra velocidad relativa respecto deleter. Mediciones realizadas en 1887 mostraron quecera independiente tanto del movimiento del observador como de la fuente emisora.

En 1905 Einstein partio de la constancia de la velocidad de la luz para enunciar un principiomas general cuyo fundamento tiene un fuerte sustento logico: no existen observadores privilegia-dos en el Universo, por lo que las leyes que rigen el devenir de la Naturaleza se presentan con lamisma forma para todos ellos.

LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN JUNTO A LA FISICA CUANTICA CONSTITUYEN DOS DE LAS MAS

ESPECTACULARES REVOLUCIONES DEL CONOCIMIENTO HUMANO GENERADAS EN EL SIGLOXX.

Como referencias bibliograficasutiles para aclarar y ampliar el material presentado en esteCapıtulo, menciono en primer lugar el texto introductorio de Resnick[31] dedicadoıntegramentea la teorıa especial de la Relatividad, con explicaciones detalladas de los fenomenos basicos ymultitud de preguntas y problemas sencillos propuestos. Los trabajos fundacionales de Lorentz,

319

MECANICA CL ASICA

Einstein, Weyl y Minkowski pueden encontrarse traducidos al idioma ingles en el libro The Prin-ciple of Relativity[33]. La formulacion lagrangiana de la Mecanica clasica relativista aparece de-sarrollado en Goldstein[1]. Merece la pena ver la presentacion de la covariancia de la formulacionlagrangiana de una partıcula en el libro Teorıa clasica de Campos de Landau y Lifshitz[32].

11.2. La velocidad de la luz

Al enunciar las leyes de la Mecanica clasica quedaron implıcitas algunas suposiciones acercadel comportamiento de cuerpos interactuantes. Ası, para la interaccion entre dos partıculas seconsidero

1) homogeneidad e isotropıa del espacio.2) el tiempo tiene un valor absoluto independiente del sistema inercial en el que se mide: el in-

tervalo de tiempo entre dos sucesos tiene el mismo valor para observadores ubicados en diferentessistemas inerciales.

Ademas, se supuso:3) la accion instantanea de las interacciones entre cuerpos separados espacialmente: un cambio

en la posicion de uno de ellos se manifiesta instantaneamente en la fuerza que ejerce sobre el otro.Debido a la independencia de la segunda ley de Newton con la velocidad de los cuerpos,

las ecuaciones del movimiento de un sistema de partıculas aislado adoptan la misma forma entodos los sistemas de referencia inerciales. Matematicamente ello implica que las ecuaciones delmovimiento

mid2−→r idt2

= −→f i(−→r 1,−→r 2...−→r N , t)

son invariantes ante el cambio de coordenadas y velocidades (figura 11.1).

−→r i =−→r′ i +−→v .t (11.1)

−→v′ i = −→v i +−→v (11.2)

pues las fuerzas entre partıculas solo pueden depender de sus distancias o velocidades relativas,que segun (11.1) satisfacen:

−→r′ i −

−→r′ j = −→r i −−→r j

−→v′ i −

−→v′ j = −→v i −−→v j

Esta invariancia de las ecuaciones de Newton ante el cambio del marco inercial es el principiode relatividad de Galileo.

En electrodinamica clasica se estudia la interaccion entre cargas en movimiento y de las leyesexperimentales se infiere que la accion de una carga sobre otras se propaga con velocidad finita:se obtienen las ecuaciones de Maxwell como ecuaciones que relacionan las cargas presentes conlos campos electromagneticos producidos. Para una distribucion de cargas y corrientesρ,

−→j en el

vacıo, los campos electrico−→E y magnetico

−→B generados son, en unidades SI:

320

TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Figura 11.1:Sistemas inerciales con movimiento relativo uniforme

−→∇ .−→E =1

µ0c2ρ

−→∇ ×−→E =∂−→B

∂t−→∇ .−→B = 0

−→∇ ×−→B = µ0(−→j +

∂−→E

∂t)

µ0 =4π107

[Kg ×m

coulomb2

]dondec es el modulo de la velocidad de propagacion de la luz en el vacıo.

Las ecuaciones de Maxwell pareciera que estan definidas en un sistema inercial privilegiadodonde las ondas electromagneticas se mueven con la misma velocidad c en todas las direcciones.Estas ecuaciones no son invariantes ante las transformaciones de Galileo, porque en ellas apareceexplıcitamente como parametro el modulo de la velocidad de la luz−→c con que se propagan loscampos.

Si las leyes de transformacion de Galileo y las ecuaciones de Maxwell son simultaneamentecorrectas sera posible determinar un sistema inercial en reposo absoluto donde la velocidad de laluz es la misma en todas las direcciones. A fines del siglo pasado se visualizaba dicho sistemaconsiderando que la radiacion electromagnetica consistıa de vibraciones elasticas de un medio in-material llamadoeter que llenaba todo el espacio. Habrıa entonces un solo sistema de coordenadasen reposo respecto deleter.

321

MECANICA CL ASICA

11.2.1. El experimento de Michelson y Morley. (Opcional)

Por primera vez Michelson en 1881 y luego Michelson y Morley en 1887[33] intentaron medirla velocidad relativa de la Tierra respecto deleter; para ello emplearon un sistema de espejos quegeneran dos caminos perpendiculares para un rayo de luz tal como se muestra en la figura 11.2.

Figura 11.2:Interferometro de Michelson: el rayo de luz se divide en el espejo semitransparente y recorredos caminos perpendiculares hasta unirse en el anteojo

Si giramos el instrumento en algun instante el camino2 sera normal a la velocidad relativa dela Tierra respecto deleter: el tiempo que tarda la luz en ir deA aB y volver aA en virtud de lavelocidad del espejoB y de que la luz se propaga con velocidad constantec en eleter es:

t1 = `1(1

c− v+

1c+ v

)

=2c

`11− β2

dondev es la velocidad relativa de la Tierra respecto deleter, yβ=vc .Por otro lado, para recorrer el caminoA − C − A hay que tener en cuenta el desplazamiento

en eleter normal a2 del espejoA (figura 11.3):donde:

sinα =v

c= β

322


Figura 11.3:Camino del rayo de luz cuando el espejo se mueve normal aleter

=

√d2 − `22

d

por lo tanto:

d =`2√

1− β2

y el tiempo que tarda la luz en recorrer el camino A-C-A es:

t2 = 2d

c= 2

`2

c√

1− β2

La diferencia de caminosopticos

δ = c(t1 − t2)

= 2(`1

1− β2− `2√

1− β2)

entre las dos porciones del haz hara que se produzca un estado definido de interferencia en elanteojoE. Al girar en noventa grados el aparato se intercambiaran las posiciones de1 y `2 en lanueva diferencia de caminosopticos:

323

MECANICA CL ASICA

δ′ = c(t′1 − t′2)

= 2(`1√

1− β2− `2

1− β2)

Entonces, mientras se gira el aparato se debe observar en el anteojo el paso den anillos deinterferencia, donde:

n =δ − δ′

λ

= 2(`1 + `2)(1

1− β2− 1√

1− β2)

= (`1 + `2)β2

λ+ ϑ(β3)

La experiencia de Michelson y Morley dio resultado negativo para la velocidadv de la Tierrarespecto deleter, independientemente del momento del dıa en que se realizara la medicion. Elloindica que la teorıa deleter (y de un sistema inercial preferido) es erronea.

Se intento reconciliar el concepto deleter con la medicion de Michelson considerando queel eter es arrastrado como un fluido viscoso por los cuerpos materiales, entonces el experimentodarıa efectivamente un resultado negativo: la luz como vibraciones elasticas del medio se propagade una capa deslizante deeter a la siguiente, adquiriendo la velocidad de cada una, hasta llegar a laultima capa pegada a la superficie de la Tierra. Esta suposicion es rebatida por la observacion de laaberracion de las estrellas remotas, las que independientemente de su lejanıa describen unaorbitaanual explicable por la variacion de la velocidad de la Tierra a lo largo de suorbita planetaria.Existe tambien una aberracion diaria en la posicion de las estrellas debida a la rotacion de laTierra sobre su eje. En ambos casos y de acuerdo a la ley de adicion de velocidades clasica,para que se observe la estrella habra que inclinar el telescopio unanguloα tal quetanα = v

c ygirarlo anualmente (o diariamente) alrededor de la direccion de incidencia de los rayos, lo cual secomprueba experimentalmente tal como lo vemos en la figura 11.4. Si eleter fuera arrastrado porla Tierra no habrıa aberracion.

11.3. Principio de Relatividad

Hemos visto que las leyes de la Mecanica clasica que describen un sistema aislado de partıcu-las son invariantes ante transformaciones de Galileo: las coordenadas−→r i = −→r i(t) seran diferentessegun el marco de referencia inercial que se elija, pero las ecuaciones del movimiento tienen lamisma forma en todos ellos:

md2

dt2−→r i(t) = −→

F (−→r 1(t), ...−→r N (t), t) (11.3)

md2

dt2−→r′ i(t) = −→

F (−→r′ 1(t), ...

−→r′N (t), t)

324


Figura 11.4:Inclinacion del anteojo para observar una estrella situada en el cenit

Tambien vimos que las ecuaciones de Maxwell incorporan la velocidad de la luz en su estruc-tura, por lo que en principio tendran forma diferente en diferentes sistemas inerciales (serıa comosi en las ecuaciones (11.3) la masam variara con el sistema de referencia).

Finalmente, la Mecanica clasica esta basada en la propagacion instantanea de las interaccionesmientras que en electrodinamica, y avalada por la experiencia, las fuerzas se propagan con unavelocidad finitac.

El Principio de Relatividad fue enunciado en forma precisa en 1904 por Poincare y casi si-multaneamente por Einstein (1905), y establece una equivalencia total entre todos los observadoresinerciales:

1) LAS LEYES DE LA NATURALEZA TIENEN LA MISMA FORMA PARA TODOS LOS OBSERVADORES EN

MOVIMIENTO UNIFORME RELATIVO ENTRE ELLOS.

En terminos cotidianos, si viajamos en un vehıculo que no sufre aceleraciones la vida se desen-vuelve de la misma forma que cuando estamos en reposo respecto del suelo: las leyes de Newtony del electromagnetismo no sufren cambios, las computadoras funcionan sin inconvenientes y sidisponemos de una mesa de billar debemos jugar de la misma forma que lo hacemos en casa.

325

MECANICA CL ASICA

Podemos completar los principios en que se fundamenta la teorıa especial de la Relatividadconservando de la Mecanica clasica la:

2) HOMOGENEIDAD E ISOTROPIA DEL ESPACIO..

e incorporamos la velocidad finita de propagacion de las interacciones: cambios en un cuerpocomienzan a manifestarse en otro alejado solo al cabo de un cierto tiempo, definiendo una

3) VELOCIDAD FINITA DE PROPAGACION DE LAS INTERACCIONES.

La velocidad de propagacion de la interaccion electromagnetica aparece en las ecuaciones deMaxwell a traves de su magnitudc. El principio de relatividad requiere que las leyes de la Na-turaleza no diferencien entre sistemas inerciales, de manera que en todos ellos la velocidad depropagacion de la luz debe ser isotropica y valerc. Los experimentos de Michelson y Morley con-firman la invariancia dec entre observadores inerciales con velocidades relativasv c. Muchomas espectacular es la verificacion de esta afirmacion realizada en anos recientes por Alvager ycolaboradores[34]: enviando protones de muy altas energıas sobre un blanco de berilio, se pro-ducen reacciones nucleares y se emiten entre otras partıculas mesones Pi (piones) neutros, los quedecaen emitiendo dos rayosγ(gamma). Debido a la gran velocidad de los protones proyectilesestos piones tienen una alta velocidad en el laboratorio, y los rayosγ son emitidos entonces poruna fuente con velocidadv ≥ 0,99c . A pesar de esta altısima velocidad, la velocidad de los rayosγ (es decir la de la luz) medida coincide en cinco cifras significativas con el valor conocido. Estasobservaciones permiten asegurar que

LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES INDEPENDIENTES DEL ESTADO DE MOVIMIENTO DE LA FUENTE, Y ES

LA MISMA PARA TODOS LOS OBSERVADORES INERCIALES EN MOVIMIENTO UNIFORME RELATIVO A

LA FUENTE.

Esta observacion verifica lo que ya dicen las leyes de Maxwell del electromagnetismo, y dapor tierra con la hipotesis sobre la existencia de un medio inmaterial elastico llamadoeter, dondelas ondas electromagneticas juegan el papel de vibraciones elasticas.

Para que la velocidad de la luz sea independiente del sistema inercial no podra ser valida la leyde adicion de velocidades (11.2), y como las leyes de Newton son invariantes precisamente antetransformaciones de Galileo es muy probable que ellas sean validas solamente para cuerpos quese mueven con velocidades despreciables respecto de la luz.

Debemos hallar las leyes que relacionan las coordenadas y velocidades de un cuerpo ob-servadas desde diferentes sistemas inerciales, y que van a reemplazar a las transformaciones deGalileo (11.1,11.2).

11.4. Medici on de Intervalos de tiempo

Vamos a analizar la medicion del intervalo de tiempo entre dos eventos. (Evento: algo queocurre en un punto del espacio a un tiempo dado).

326


Los dos eventos que definen el intervalo para un observador seran la emision de un rayo de luzdesde una linterna hacia un espejo fijo al techo de la habitacion, y su retorno a la fuente de luz talcomo se representa en la figura 11.5

Figura 11.5:Trayectoria del rayo de luz en el marco en reposo con la linterna y el espejo

El primer evento ocurre en el puntoP al tiempot′ = 0, el segundo ocurre en el mismo puntoP al tiempot′ > 0. Vamos a llamar tiempo propio al intervalo∆t′ = t′. Tiempo propio es el quese mide entre dos eventos que ocurren para un dado observador en el mismo punto del espacio: selo puede medir con ununico reloj.

Los dos eventos para un observador que ve al puntoP moverse con velocidadv ocurren segunlo indica la figura 11.6.

La distanciaDmedida desde la linterna al techo es la misma para los dos observadores (si no lofueran se violarıa el Principio de Relatividad, ya que podrıamos diferenciar entre las medicionesde dos observadores de un fenomeno que es rigurosamente el mismo para ambos: el contrasteentre dos reglas verticales que se mueven con velocidad relativav). Entonces, la velocidad de laluz medida por el observador primado es:

c =2D∆t′

La velocidad medida por el observador sin primar debe ser la misma segun el Principio deRelatividad, y usando trigonometrıa elemental es:

327

MECANICA CL ASICA

Figura 11.6:Trayectoria del rayo de luz en un marco en movimiento relativo respecto de la linterna y elespejo

c =2√D2 + v2(∆t/2)2

∆t

De aquı obtenemos:

∆t =2D

c√

1− (v/c)2

Entonces la relacion entre el tiempo propio∆t′ y el ∆t medido por un observador moviendosecon velocidadv respecto del punto P es:

∆t =∆t′√

1− (v/c)2(11.4)

Esta es la conclusion mas fundamental y extraordinaria del Principio de Relatividad y de laindependencia de la velocidad de la luz respecto de la fuente emisora:

EL INTERVALO TEMPORAL MEDIDO DEPENDE DEL ESTADO DE MOVIMIENTO DEL OBSERVADOR

RESPECTO DEL PUNTO DONDE OCURREN LOS EVENTOS. EL TIEMPO PROPIO ES MENOR QUE EL

MEDIDO POR CUALQUIER OTRO OBSERVADOR QUE SE MUEVA RESPECTO DEL PUNTOP.

328


Nosotros estabamos acostumbrados en la Fısica newtoniana a considerar que las coordenadasespaciales de un evento se transforman segun la relacion de Galileo:

−→r ′ = −→r −−→v t (11.5)

y considerabamos al tiempo como absoluto e independiente del estado de movimiento del obser-vador:

t′ = t (11.6)

Eso es erroneo en la teorıa especial de la Relatividad. El tiempo se transformara juntamentecon las coordenadas espaciales.

Una confirmacion clara de la dependencia de los intervalos temporales con el observador quelos mide la dan los mesonesµ: estas partıculas pueden ser generadas en el laboratorio con veloci-dades relativamente pequenas, y se desintegran espontaneamente al cabo de2,2× 10−6 segundossegun un observador en reposo con el meson. Los mesonesµ tambien se generan en el borde de laatmosfera al ingresar rayos cosmicos a la misma y es posible detectarlos en la superficie terrestrerecorriendo alrededor de 10 kilometros, para lo que necesariamente emplean mas de2,2 × 10−6

segundos.

11.5. Contracci on de longitudes

Consideremos ahora la medicion de la longitud de un cuerpo realizada por dos observadoresen movimiento relativo. La regla en reposo en el marco primado tiene longitudL0 en este marco,y se mueve con velocidadv respecto de un observador en el marco sin primar (figura 11.7)

Para medir la longitud de la regla en movimiento, el observador enO coloca un mojon en unpunto del ejex, y mide el tiempo∆t que transcurre entre los eventos dados por el paso de losextremos de la regla frente a dicho mojon; entonces la longitud es

L = v∆t

Para el observadorO′ en reposo con la regla el mojon se mueve con velocidad−v en tanto laregla esta quieta; parael la longitud es

L0 = v∆t′ (11.7)

De los dos intervalos temporales, el que representa un tiempo propio es∆t pues corresponde altiempo transcurrido entre dos eventos que ocurren en el mismo punto del espacio (pueden medirseempleando un solo reloj ubicado en el mojon), entonces de acuerdo a la relacion (11.4) entreintervalos temporales:

∆t′ =∆t√

1− (v/c)2

que reemplazada en (11.7) produce:

329

MECANICA CL ASICA

Figura 11.7:Medicion de la longitud para observadores en reposo y en movimiento respecto de la regla

L0 =v∆t√

1− (v/c)2=

L√1− (v/c)2

Vemos que

LA LONGITUD DE LA REGLA MEDIDA DESDE UN MARCO EN MOVIMIENTO ES MAS PEQUENA QUE LA

LONGITUD EN REPOSO:

L = L0

√1− (v/c)2 (11.8)

Este es el fenomeno de contraccion de la longitud de un cuerpo medida en la direccion delmovimiento.

11.6. Transformaciones de Lorentz

Vamos a hacer uso de la contraccion de longitudes en la direccion del movimiento para ob-tener la ley de transformacion de las coordenadas y del tiempo entre observadores en movimien-to uniforme relativo. Estas transformaciones reemplazaran a las galileanas representadas por lasecuaciones (11.5) y (11.6).

330


Consideramos dos observadores en sistemas cartesianos cuyos orıgenes coinciden al tiempot = 0 y el origenO′ se mueve con velocidadv a lo largo de la direccion x relativo al origenO delotro sistema (figura 11.8)

Figura 11.8:Sistemas inerciales en movimiento relativo a lo largo de la direccion x

De acuerdo a la formula de la contraccion de longitudes, la distanciax′ corresponde a la deuna regla en reposo, por lo que dicha distancia es medida desde el marcoO como una longitudcontraıda

x′√

1− (v/c)2

entonces la coordenada del puntox′ vista desde el sistemaO es:

x = vt+ x′√

1− (v/c)2

De aquı extraemos la relacion entre coordenadas de sistemas en movimiento relativo que reem-plaza a la transformacion de Galileo:

x′ =x− vt√

1− (v/c)2(11.9)

Como la direccion del movimiento es a lo largo del ejex las otras dos coordenadas quedaninvariantes:

331

MECANICA CL ASICA

y′ = y

z′ = z (11.10)

Para hallar la ley de transformacion de los tiempos medidos por los dos observadores enmovimiento relativo usamos la transformacion inversa a la (11.13) que dax en terminos dex′, t′.Lo unico que cambia es que ahora la velocidad deO respecto deO′ es negativa:

x =x′ + vt′√1− (v/c)2

(11.11)

eliminandox′ entre (11.9) y (11.11):

t′ =t− vx/c2√1− (v/c)2

(11.12)

Las ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.16) constituyen las llamadas transformaciones de Lorentz,quien las utilizo a finales del siglo XIX para estudiar las transformaciones de los campos electro-magneticos entre observadores inerciales.

Las transformaciones de Lorentz:

x′ =x− vt√

1− (v/c)2(11.13)

y′ = y (11.14)

z′ = z (11.15)

t′ =t− vx/c2√1− (v/c)2

(11.16)

resultan ser las leyes de transformacion de coordenadas y tiempos requeridas por la Teorıaespecial de la Relatividad.

La ecuacion (11.16) dice que la simultaneidad entre eventos es un concepto relativo al estadode movimiento de los observadores, porque vemos que dos eventos que ocurren en puntos separa-dos por una distancia∆x y son simultaneos para el observador enO, por lo que∆t = 0, no sonsimultaneos para el observadorO′ que se mueve con velocidadv respecto del anterior:

∆t′ = − v∆xc2√

1− (v/c)2

332


LA SIMULTANEIDAD DE EVENTOS QUE OCURREN EN DOS PUNTOS SEPARADOS ES UN CONCEPTO

RELATIVO AL ESTADO DE MOVIMIENTO DEL OBSERVADOR: SOLAMENTE UNO DE ELLOS LOS

PODRA VER COMO SIMULTANEOS.

Si elevamos al cuadrado las coordenadas espaciales−→r ′ del miembro izquierdo de las transfor-maciones de Lorentz (11.13,11.14) y les restamosc2t′2, usando la transformacion (11.16) de lostiempos encontramos que:

x′2 + y′2 + z′2 − c2t′2 = x2 + y2 + z2 − c2t2 (11.17)

Esta ecuacion demuestra que las transformaciones de Lorentz conservan esta magnitud, quees muy parecida al modulo al cuadrado de un vector sui generis de cuatro dimensiones con unacomponente imaginaria:

(x, y, z, ict)

Se lo denomina cuadrivector posicion del evento que ocurre al tiempot en el puntox, y, z.

LAS TRANSFORMACIONES DELORENTZ SON EQUIVALENTES A ROTACIONES EN EL ESPACIO

CUADRIDIMENSIONAL (x, y, z, ict), PUES CONSERVAN EL MODULO DE LOS VECTORES DE ESE

ESPACIO.

Las transformaciones de Lorentz establecen un lımite a la velocidadv de una partıcula, puessi v > c la transformacion que nos lleva del sistema original a aquel en que la partıcula esta enreposo produce paraesta coordenadas espacio-temporales imaginarias. Esto implica que

LA VELOCIDAD M AXIMA DE PROPAGACION DE LAS PARTICULAS ES LA DE LA LUZ .

11.7. Ley de adici on de velocidades

Vamos a considerar una partıcula con velocidadd−→r′dt′ en el sistemaO′ de figura 11.9, el que se

mueve en direccionx con velocidadv respecto deO:Invirtiendo el signo dev en las transformaciones (11.13-11.16) obtenemos las coordenadas de

la partıcula enO como funciones de las coordenadas enO′ :

x =x′ + vt′√1− β2

(11.18)

y = y′ (11.19)

z = z′ (11.20)

t =t′ + βx′/c√

1− β2(11.21)

333

MECANICA CL ASICA

Figura 11.9:La partıcula se mueve con velocidad arbitraria en el plano(x′, y′), en movimiento relativocon velocidadv respecto del sistema(x, y)

β =v

c

Estas relaciones se conservan para los diferenciales, y dividiendo los tres diferenciales espa-ciales correspondientes a (11.18-11.20) por el correspondiente al tiempo (11.21):

dx

dt=

dx′ + vdt′

dt′ + vdx′/c2

dy

dt=

dy′√

1− β2

dt′ + vdx′/c2

dz

dt=

dz′√

1− β2

dt′ + vdx′/c2

es decir:

dx

dt=

dx′/dt′ + v

1 + vc2dx′/dt′

(11.22)

dy

dt=dy′/dt′

√1− β2

1 + vc2dx′/dt′

(11.23)

334


dz

dt=dz′/dt′

√1− β2

1 + vc2dx′/dt′

(11.24)

Se puede probar de estas relaciones que la composicion de dos velocidades menores quec dauna resultante menor quec, y que la resultante de la velocidad−→c con otra cualquiera−→v reproduceel vector−→c . Tambien podemos ver que para una partıcula moviendose en un plano(x, y) el cambioen la direccion del desplazamiento con el sistema de referencia es:

tan θ =dy

dx=dy′/dt′

√1− β2

dx′/dt′ + v(11.25)

=v

′sin θ

′√1− β2

v′ cos θ′ + v

Partiendo de este resultado podemos analizar el fenomeno de aberracion de la luz en el marcode la Relatividad especial. En la figura 11.10 un rayo de luz se mueve en el plano(x

′, y

′) con

direccionθ′en el sistemaO

′; visto desde el sistemaO que se desplaza con velocidad−v en direc-

cionx′, el rayo se movera en la direccionθ dada por el resultado (11.25), donde reemplazamosv

′

por c:

tan θ =sin θ

′√1− β2

cos θ′ + β(11.26)

En el marco de la mecanica clasica no relativista y la transformacion de Galileo (11.2), ladireccion observadaθG del desplazamiento de una partıcula serıa:

tan θG =dy

dx=

dy′/dt

dx′/dt+ v(11.27)

=v

′sin θ

′

v′ cos θ′ + v

Vemos que la diferencia con el correcto resultado relativista (11.25) es la ausencia del factor√1− β2 en el numerador. Aplicado a la aberracion de la luz, el resultado no relativista obtenido

de (11.27) es:

tan θG =sin θ

′

cos θ′ + β

La correccion relativista a la aberracion de la luz es entonces del orden deβ2 = (vc )2.

11.8. Diagrama de Minkowski. (Opcional)

Las coordenadas espacio-temporales de un evento pueden representarse por un punto en elespacio cuadridimensional(x, y, z, t). Para poder realizar una representacion grafica vamos a con-siderar una sola direccion espacial, y para tener homogeneidad en las unidades multiplicamos eltiempo por la constantec definiendo la variableτ = ct (figura 11.11):

335

MECANICA CL ASICA

Figura 11.10:Aberracion de la luz en la Relatividad especial

La posicion instantanea de una partıcula esta definida por un punto, llamado ”punto del mun-do” (world point), y la evolucion de dicha partıcula queda entonces representada por una lınea,llamada ”lınea del mundo” (world line). La pendiente de dicha lınea debera ser siempre mayorque uno en valor absoluto, siendo igual a uno solamente la que corresponde a un rayo luminoso.

Las ecuaciones de Lorentz que dan la posicion y tiempo(x′, t

′) de la partıcula para un obser-

vador moviendose con velocidadv respecto de otro sistema(x, t) son:

x′=

x− βτ√1− β2

(11.28)

τ′=

τ − βx√1− β2

(11.29)

Para el observador primado los puntos de la rectaτ = βx tienen coordenada temporal nula(τ

′= 0), mientras que los de la rectaτ = x

β tienen coordenada espacial nulax′= 0. Esto indica

que esas rectas representan los ejes del espacio de Minkowski de dicho observador mostrados enla figura 11.12.

Vamos a determinar ahora las unidades de medida en los ejes primados. Para ello usamos laconservacion de la norma del cuadrivector(x, 0, 0, iτ) ante transformaciones de Lorentz (11.17)

x2 − τ2 = x′2 − τ ′2 = 1

336


Figura 11.11:Trayectoria de una partıcula en el espacio de Minkowski

donde hemos fijado la norma del cuadrivector igual a la unidad. La figura muestra la hiperbola

x2 − τ2 = 1

que corta al eje espacialx (de ecuacion τ = 0) enx = 1. Debido a la conservacion de la normalos puntos de esta curva tienen coordenadas primadas que satisfacen:

x′2 − τ ′2 = 1

entonces el punto de interseccion con el ejex′ tendra coordenadas(x′ = 1, τ ′ = 0). Esto nos da elcambio de escala de la transformacion de Lorentz descrita por el diagrama de Minkowski: hay unadilatacion en la unidad de medida de las coordenadas como lo muestra la figura. La otra hiperbolade la figura:

τ2 − x2 = 1

corta al eje temporalτ (de ecuacion x = 0) en el puntoτ = 1, y usando la conservacion de lanorma los puntos de la curva satisfacen la relacion

τ ′2 − x′2 = 1

337

MECANICA CL ASICA

Figura 11.12:Relacion entre los ejes(x, τ) de observadores inerciales

en coordenadas primadas; entonces arribamos a que la hiperbola corta al ejeτ ′ en el punto(x′ =0, τ ′ = 1) : tambien hay un cambio de escala en los tiempos con una dilatacion en su unidad demedida.

Cualquiera de estas dilataciones, por ejemplo la espacial, se calcula midiendo la longitud delsegmento de la figura en unidades del ejex. La interseccion de la hiperbolax2 − τ2 = 1 con larectaτ = βx que define al ejex′ se produce en el puntoP de coordenadas(xP , τP ):

x2P − τ2

P = 1τP = βxP

que producen:

xP =1√

1− β2

τP =β√

1− β2

entonces:

338


` =√x2P + ω2

P

=

√1 + β2

1− β2

La escala de unidades en que se miden las longitudes es entonces:

[`]K = [`]K′

√1− β2

1 + β2(11.30)

El diagrama de Minkowski permite visualizar facilmente la perdida del sentido absoluto dela simultaneidad entre eventos, pues los que son simultaneos para el observador primado estandescritos por la familia de rectas paralelas al ejex′ :

τ = βx+ c

que obviamente representa eventos no simultaneos para el observador no primado (τ no es cons-tante para esos eventos).

11.8.1. Medici on de longitudes en el diagrama deMinkowski

Una regla en reposo en el sistema primado tiene para sus extremos lıneas del mundo como lasgraficadas en la figura 11.13:

La longitud en reposo en el sistemaO′ es`0, cuando se mide en las unidades de este sistema.Pasando esa longitud a unidades del sistemaO, el factor de conversion esta dado por (11.30), elvalor numerico de la longitud0 enO′ expresada en unidades del sistemaO es:

`∗ = `0

√1 + β2

1− β2

La pendiente del ejex′ esβ, luego elangulo entre los ejesx y x′ es:

ϕ = arctanβ

cosϕ =1√

1 + β2

sinϕ =β√

1 + β2

Vemos de la figura que la pendiente del ejeτ ′ es π2 − ϕ, con lo que el valor medidopara lalongitud de la regla en el sistemaO resulta:

339

MECANICA CL ASICA

Figura 11.13:Lıneas del mundo de los extremos de una regla

` = `∗[cosϕ− sinϕ× cot(π

2− ϕ)]

= `∗[cosϕ− sinϕ× tanϕ]

= `0

√1 + β2

1− β2

1− β2√1 + β2

Finalmente:

` = `0

√1− β2

11.8.2. Simultaneidad y causalidad en el diagrama de Minkowski

El diagrama de Minkowski nos permite definir cuando el ordenamiento temporal entre doseventos sera un concepto absoluto independiente del estado de movimiento del observador. Toman-do un evento representado por el origen de coordenadasO (x = t = 0) como referencia, el puntoP de la figura 11.14 representa un evento generico y podemos encontrar el parametroβ = tanϕde una transformacion de Lorentz que haga pasar uno de los ejes primadosx′ o τ ′ por dicho punto:

Cuando el punto este situado en las regiones grisadas el ejeτ ′ podra pasar porP , con loque existira un observador para el que las posiciones espaciales deP y O son coincidentes, pero

340


Figura 11.14:Ordenamiento temporal de eventos en el diagrama de Minkowski

el eje x′ no podra pasar porP por lo que no existe un observador para el que los eventos seansimultaneos.

Cuando el punto se encuentre fuera de las regiones grisadas habra un observador para el quelos eventos son simultaneos, y tambien habra sistemas inerciales en queP acontece antes queOy viceversa. Concluımos entonces que los eventos en la region por encima deO, llamada cono delfuturo, son acontecimientos ocurrentes en el futuro deO, mientras que los eventos en la regioninferior acontecen antes queO para todos los observadores, es el cono del pasado. Las regioneslaterales se denominan el presente, y en ellas el ordenamiento temporal de los eventos respecto deO depende del observador.

El hecho que el orden cronologico de los acontecimientos pueda depender del estado demovimiento del observador no contradice el principio de causalidad (la causa precede al efec-to), pues para que un punto en la region del presente se conecte fısicamente conO la velocidad dela interaccion deberıa ser mayor quec, lo que violarıa el principio de relatividad en cuanto a queel valor lımite de la velocidad, de partıculas o interacciones, esc.

Una consecuencia de lo anterior es la imposibilidad de la existencia de cuerpos rıgidos, puesla condicion de rigidez implicarıa justamente la transmision instantanea de senales a traves delcuerpo.

341

MECANICA CL ASICA

11.9. Dinamica relativista

11.9.1. Invariancia de las leyes de la Fısica

Tomamos un puntoO del espacio tridimensional para definir una terna de ejes mutuamenteortogonales. Tenemos la libertad de elegir la orientacion del sistema de ejes.

Las relaciones entre magnitudes medibles son independientes de los ejes coordenados queelijamos cuando esas magnitudes sean escalares (definidas sin necesidad de referirse a los ejes co-ordenados). Por ejemplo: la longitudL y la masaM de una regla pueden tener una cierta relacionentre ellas:

L = αM

Tambien podemos encontrar una cierta relacion entre la longitud y la proyeccion de la reglasobre el ejex elegido:

L =x

cosϕ

En este caso, la relacion solo es valida para un sistema coordenado, aquel en que elanguloentre la regla y el ejex esϕ. Esto ocurre porque mezclamos una magnitud escalar: la longitud,con una vectorial: la componentex del vector posicion del extremo de la regla. En cambio, si

tenemos dos reglas descritas en el plano por dos vectores−→L ,−→L

′y encontramos una relacion entre

ellas, por ejemplo:

−→L

′= −→L +−→V

que es una forma abreviada de escribir:

L′x = Lx + Vx

L′y = Ly + Vy

L′z = Lz + Vz

Estas relaciones se mantendran cualquiera sea la orientacion de los ejes coordenados, porque todoslos terminos que intervienen en la ecuacion son vectores. Decimos que la relacion hallada esinvariante ante rotaciones de los ejes.

El Principio de Relatividad dice que las leyes de la Naturaleza tienen la misma forma paratodos los observadores en movimiento uniforme relativo entre ellos, requiere entonces que lasleyes de la Fısica sean expresables como relaciones entre magnitudes que se transforman de lamisma forma ante transformaciones de Lorentz.

Las transformaciones de Lorentz son rotaciones de vectores cuadridimensionales. Por ello, lasleyes validas en el campo relativista deberan ser ecuaciones entre cuadrivectores (o en generalentre tensores del mismo rango).

Entonces, la segunda ley de Newton debera reemplazarse por una relacion entre cuadrivectoresque, en el lımite de velocidades relativas pequenas (v c) entre observadores inerciales, sereduzcan en sus componentes espaciales a la conocida

−→F = d−→p /dt.

342


11.9.2. Cuadrivector impulso de una partıcula

El impulso lineal de una partıcula de masam y coordenadas(x, y, z) que se mueve con ve-locidad−→v = (dxdt ,

dydt ,

dzdt ) se define en la Fısica newtoniana como

−→p = m0(dx

dtx+

dy

dty +

dz

dtz) (11.31)

¿Cual sera la generalizacion de la forma del impulso lineal en la Teorıa especial de la Relativi-dad?

En primer lugar, las tres componentes(px, py, pz) estaran acompanadas por una cuarta com-ponente que llamaremosp0 para formar un cuadrivector.

En segundo lugar,(px, py, pz) deben reducirse a la expresion (11.31) cuandov/c→ 0.Partimos del cuadrivector posicion ya conocido, que en su forma diferencial es:

(dx, dy, dz, icdt) (11.32)

La duda que nos queda es cual diferencial temporal utilizar: ¿el tiempo propio medido por unreloj en reposo con la partıculadτ o el tiempodt medido por el observador que la ve moverse convelocidad−→v ? La respuesta es inmediata:dt no es invariante ante transformaciones de Lorentz,en realidad es la cuarta componente del cuadrivector (11.32) y se transforma como tal. Al con-trario, el tiempo propio medido por el reloj en reposo es por definicion un valor independiente delobservador, por lo que la propuesta:

m0(dx

dτ,dy

dτ,dz

dτ, ic

dt

dτ) (11.33)

es efectivamente un cuadrivector, y sus componentes espaciales se reducen a las del impulso new-toniano en el lımitev/c→ 0. En esta expresionm0 es la masa de la partıcula.

Escribimos (11.33) en terminos de la velocidad de la partıcula usando la relacion (11.4) entreel tiempo propio y el medido por el observador:

dτ = dt√

1− (v/c)2

entonces el cuadrivector impulso resulta en sus componentes espacial y temporal:

−→p , ip0 = m0−→v√

1− (v/c)2,

im0c√1− (v/c)2

(11.34)

dondev =√v2x + v2

y + v2z es el modulo de la velocidad−→v de la partıcula en el marco del obser-

vador.Podemos verificar que ası como el modulo de un vector en el espacio real es invariante ante

rotaciones de los ejes coordenadosx, y, z, el modulo del cuadrivector impulso es invariante antetransformaciones de Lorentz:

−→p .−→p − p20 =

(m0v)2 − (m0c)

2

1− (v/c)2= − (m0c)

2 (11.35)

343

MECANICA CL ASICA

De ahora en mas vamos a llamar cuadrivector impulso al conjunto de 4 numeros−→p , ip0definido por (11.34), reservando el nombre de impulso a secas para el vector tridimensional−→p .

Es importante hacer notar que (11.34) es elunico cuadrivector funcion de−→v cuyas compo-nentes espaciales se reducen al impulso newtoniano cuandov/c → 0, pues si multiplicamos adichas componentes por funciones de−→v cualesquiera (que tendiesen a uno cuandov/c → 0),dichas componentes dejarıan de transformarse como las componentes de un cuadrivector (pues lavelocidad−→v no es un escalar (invariante frente a transformaciones de Lorentz).

¿Que significado tiene la cuarta componentep0 del cuadrivector impulso? Si la multiplicamospor c y desarrollamos la raız del denominador encontramos que:

cp0 = m0c2 +

12m0v

2 +38m0

v4

c2+ ...

que en el lımite no relativista es la energıa cinetica de la partıcula a menos de una constante aditivam0c

2.El termino aditivom0c

2 puede parecer inofensivo pero encierra profundas implicancias.

VAMOS A PROPONER QUE LA CONSERVACION DEL IMPULSO−→p DE UN SISTEMA DE MASAS AISLADO

SIGUE SIENDO VALIDA EN LA RELATIVIDAD ESPECIAL. ENTONCES SI PARA UN OBSERVADOR ES−→p = (px, py, pz) INDEPENDIENTE DEL TIEMPO, PRETENDEMOS QUE SIGA SIENDO INDEPENDIENTES

DEL TIEMPO PARA CUALQUIER OBSERVADOR INERCIAL.

La transformacion de Lorentz que define el impulso en cualquier otro marco es similar a la delcuadrivector posicion (x, y, z, ict), ecuaciones (11.13-11.16):

p′x =px − βp0√

1− β2(11.36)

p′y = py (11.37)

p′z = pz (11.38)

p′0 =p0 − βpx√

1− β2(11.39)

dondeβ = v/c.Las ecuaciones (11.36-11.39) dan cuenta de una condicion novedosa introducida por la Rela-

tividad especial: Para que el impulso espacial−→p de un sistema aislado se conserve (sea indepen-diente del tiempo) para todos los observadores inerciales es necesario que se conserve tambien sucuarta componentep0, que hemos visto esta relacionada con la energıa cinetica del sistema. Laconservacion se refiere de hecho a la cantidad

E = cp0

que llamaremos energıa relativista del sistema en estudio. Para una partıcula es:

344


E =m0c

2√1− β2

Concluımos que:

LA ENERGIA RELATIVISTA SE CONSERVA JUNTAMENTE CON EL IMPULSO−→p PARA UN SISTEMA O

PARTICULA AISLADO .

El cuadrivector impulsopµ, µ = 1, 2, 3, 4 comprende las componentes espaciales−→p propiasde la definicion Newtoniana del impulso lineal, mas la energıa relativista directamente relacionadacon la energıa cinetica Newtoniana:

pµ =−→p , iE

c

Usando el resultado (11.35) que da el modulo de este cuadrivector, hallamos la siguiente

relacion entre impulso y energıa relativistas:

E = c√p2 + (m0c)

2

La conservacion del cuadrivector impulso para un sistema aislado (esto es: del impulso−→p yde la energıaE) ha sido probada en forma contundente dentro de la precision alcanzada por todaslas observaciones experimentales realizadas hasta el presente.

La energıa relativista puede dividirse de la forma:

E = m0c2 +K

K =m0c

2√1− β2

−m0c2

=12m0v

2 +38m0

v4

c2+ ...

Llamaremos energıa en reposo am0c2, y energıa cinetica relativista aK, que coincide con la

energıa cinetica Newtoniana12m0v2 cuandov/c→ 0.

Finalmente, podemos interpretar la forma (11.34) del cuadrivector impulso escribiendolo dela forma:

−→p , ip0 = m−→v , imc

donde definimos la masa relativista de la partıcula por

m =m0√1− β2

La masam0 es la masa en reposo de la partıcula, aquella que medimos por ejemplo medianteel uso de una balanza.

Esta es solamente una interpretacion de la forma del cuadrivector impulso, pero que resultaatractiva dada la coincidencia en las expresiones del impulso relativista y el newtoniano:−→p = mv.

345

MECANICA CL ASICA

11.9.3. Cuadrivector impulso del campo electromagn etico. El fot on.(Opcional)

El mundo clasico esta formado por dos tipos de constituyentes: cuerpos materiales y ondaselectromagneticas. Las ecuaciones de Newton permiten describir las posiciones y velocidades decuerpos sometidos a fuerzas de interaccion. Las ecuaciones de Maxwell determinan los camposelectricos y magneticos presentes en el espacio generados por la presencia de cargas electricas ydipolos magneticos.

Las ecuaciones de Maxwell predicen la propagacion de ondas electromagneticas transversales,esto es de campos electricos y magneticos que junto a su direccion de propagacion forman unaterna de direcciones mutuamente ortogonales. Estas ondas no son meramente objetos matematicosque nos dicen cual serıa la fuerza que sentirıa una carga de prueba en cada punto del espacio;estas ondas tienen realidad fısica propia porque poseen energıa e impulso. Mediante el teorema dePoynting[35] la energıaE y el impulsop de las ondas electromagneticas se relacionan por

E = cp

La necesidad de describir fenomenos clasicos como la radiacion de cuerpo negro llevaron en1900 a Max Plank a postular que la energıa que contiene una onda plana es proporcional a sufrecuencia:

E = nhν

donden es un numero entero yh una constante universal (constante de Planck).Un paso mas (y de gigante!) dio Einstein para explicar el efecto fotoelectrico: consistio en

postular que la radiacion electromagnetica esta formada por paquetes indivisibles, cada uno deellos con energıa e impulso dados por

E = hν (11.40)

p = hν

c(11.41)

Llegamos ası a una descripcion corpuscular de la radiacion electromagnetica, que sera comple-tada luego por la Mecanica cuantica al incorporarle los efectos ondulatorios. Estos corpusculos opartıculas que mas adelante fueron llamados fotones estan descritos en el marco de la Relatividadespecial por un cuadrivector impulso en funcion del vector de onda

−→k :

pµ ≡(−→p , iE

c

)=

(h−→k , ihk

)(11.42)

El modulo del cuadrivector impulso define la masa de la partıcula

p2 − E2

c2= −m2c2

346


por lo que el foton tiene masa nula.En lo que sigue vamos a incorporar al foton como una partıcula mas de los sistemas fısicos.

El foton es la unidad elemental de radiacion emitida o absorbida por losatomos. Cuando con-sideramos cuerpos macroscopicos se puede seguir considerando ondas electromagneticas deslo-calizadas que son emitidas y absorbidas por los cuerpos masivos, y que llevan energıa e impulsosegun las relaciones 11.40 y 11.41.

11.10. Equivalencia de masa y energıa

11.10.1. Emisi on de radiaci on

Consideremos un cuerpo de masaM moviendose con velocidadv en la direccion x en unmarco de referencia inercialO. Vamos a considerar que la velocidad esv c de modo quepodemos trabajar en el marco de la Mecanica newtoniana no relativista. El cuerpo esta compuestopor partıculas en un estado ligado, por lo que posee una energıa internaU formada por las energıascinetica y potencial de las partıculas que lo componen. Consideramos que se encuentra en unestado excitado con la posibilidad de decaer a un estado de menor energıa. Este decaimiento seproduce mediante la emision de radiacion electromagnetica.

A los efectos de simplificar el calculo vamos a considerar que lo hace mediante dos fotones dela misma energıa emitidos en direcciones opuestas tal como lo mostramos en la figura 11.15. Enel marcoO

′en que el cuerpo se encuentra en reposo los fotones son emitidos en la direccion y,

por lo que los vemos moverse en una direccion oblicua en el marcoO.Siendo un sistema aislado deben conservarse el impulso lineal y la energıa. En el marcoO:

−→P inic = M−→v

Einic = Uinic

Luego de la emision del par de fotones el impulso y la energıa del sistema son:

−→P fin = M

′−→v + 2hν

c

v

cex

Efin = Ufin + 2hν

Permitir que la masa inercialM del cuerpo varıe al cambiar su energıa interna sera necesariopara conservar el impulso:

−→P fin.ex = −→

P inic.ex

produce:

(M −M′)v =

2hνc2

v (11.43)

347

MECANICA CL ASICA

Figura 11.15:Desexcitacion mediante la emision de dos fotones

En tanto la conservacion de energıa:

Einic = Efin

da

∆U = Uinic − Ufin = 2hν (11.44)

Los resultados 11.43 y 11.44 nos permiten obtener la famosa ecuacion de Einstein:

∆U = ∆Mc2

Este resultado dice que

UN CAMBIO ∆U EN LA ENERGIA INTERNA DE UN CUERPO DE MASAM PRODUCE UN CAMBIO EN SU

MASA INERCIAL DE VALOR ∆Uc2 .

Vemos que la masa inercial de un cuerpo compuesto de partıculas elementales es igual a lasuma de sus masas mas la energıa interna del estado formado porestas dividida porc2:

M =∑n

mn +U

c2(11.45)

348


ESTE RESULTADO OBTENIDO EN ELAMBITO DE LA MEC ANICA CL ASICA NO RELATIVISTA ES DEBIDO

A LA PRESENCIA DE LOS FOTONES, QUE SON PARTICULAS PECULIARES QUE POSEEN IMPULSO SIN

TENER MASA INERCIAL.

Entonces, la emision de fotones por un cuerpo a expensas de la disminucion de su energıainterna no disminuye la cantidad de materia deeste (no cambia el numero o el tipo de partıculaselementales que lo componen). La perdida del impulso lineal que se llevan los fotones se mani-fiesta en la disminucion de la masa inercial del cuerpo.

EL RESULTADO 11.45NO DESCUBRE NINGUN TIPO DE NUEVA FUENTE DE ENERGIA , DICE

SIMPLEMENTE QUE LA ENERGIA INTERNA PREEXISTENTE EN UN CUERPO SE MANIFIESTA EN SU

INERCIA. NOS PERMITE A TRAVES DEL PESO DE UN CUERPO DETERMINAR SU ENERGIA INTERNA .

11.10.2. Emisi on de partıculas. (Opcional)

Consideramos ahora la misma situacion anterior pero lo que emite el cuerpo son dos partıculasidenticas de masam en direcciones opuestas. La velocidad de emisionu

′puede ser comparable a

la de la luz, por lo que usamos las formas relativistas de impulso y energıa.En el sistemaO

′donde el cuerpo esta en reposo la conservacion de impulso es trivial, en tanto

la conservacion de energıa produce:

E′inic = Mc2

E′fin = M

′c2 + 2

mc2√1− u′2

c2

entonces:

(M −M′)c2 = 2

mc2√1− u′2

c2

La masa finalM′difiere de la masa inicialM en primer lugar en la masa2m de las partıculas

emitidas, quedando por contabilizar una diferencia

M′= M − 2m−∆M

que resulta:

∆M = 2m√

1− u′2

c2

− 2m (11.46)

Separando la energıa relativista de cada partıcula en energıa en reposo mas energıa cinetica ode movimiento:

349

MECANICA CL ASICA

mc2√1− u′2

c2

= mc2 +K

obtenemos de 11.46

∆M =2Kc2

(11.47)

El cambio en la masa inercial del cuerpo resultado de la emision de dos partıculas es la energıacinetica2K de las partıculas.

El resultado 11.47 muestra que la energıa en reposoMc2 no es una simple constante aditivaen la definicion de la energıa cinetica de un cuerpo, sino que incorpora su energıa interna a travesdel valor de su masa inercialM .

11.10.3. Equivalencia entre masa y energıa

La equivalencia entre la masa de las partıculas que forman un cuerpo y su energıa interna endeterminar la masa inercial llevo a Einstein a proponer que

MASA Y ENERGIA CONFORMAN UNA UNICA CUALIDAD DE UN SISTEMA FISICO, Y EXISTE UNA

UNICA LEY DE CONSERVACION MEDIANTE LA CUAL LA MASA MATERIAL PUEDE CONVERTIRSE EN

ENERGIA DE RADIACI ON O DE CUALQUIER OTRO TIPO, Y VICEVERSA.

Esta hipotesis infiere la existencia de un fenomeno: transformacion de masa en energıa. Esnecesario verificarlo experimentalmente. La confirmacion vino con el descubrimiento de las an-tipartıculas, la primera en hacer su aparicion fue el positron.

La razon por la que se requiere tener partıculas y antipartıculas para convertir sus masas enenergıa de radiacion radica en las leyes de conservacion. No solamente se requiere que se conser-ven la energıa y el impulso lineal en un proceso fısico: la experiencia muestra que tambien otraspropiedades como la carga electrica deben conservarse. Por ello, el par constituido por un electrony un positron puede aniquilarse convirtiendo sus masas en energıa de radiacion porque se puedeconservar la carga total durante el proceso, que es nula en el estado inicial.

Consideramos un positron moviendose con velocidad relativa−→v respecto de un electron.Veamos si es posible la conservacion de energıa e impulso cuando la aniquilacion da como re-sultado final la emision de dos fotones de vectores de onda

−→k 1,

−→k 2 (νi = cki) :

mc2 +mc2√1− v2

c2

= hck1 + hck2 (11.48)

m−→v√1− v2

c2

= h−→k 1 + h

−→k 2 (11.49)

El caso de velocidad relativa nula es muy sencillo, 11.48 se reduce a:

350


hν1 = hν2 = mc2 (11.50)

de modo que los dos fotones tienen la misma energıa y se mueven en direcciones opuestas.En el caso general la conservacion de impulso 11.49 determina

−→k 2 en funcion de

−→k 1 y −→v :

−→k 2 = −→

k 1 −m−→v

h√

1− v2

c2

y reemplazando este resultado en 11.48 podemos determinar la direccionθ1 del vector−→k 1 respecto

de−→v

cos θ1 =mγ2v2 + 2c(1 + γ)hk1 −mc2(1 + γ)2

2γvhk1

donde

γ =1√

1− v2

c2

Obtenemos ası un rango de posibles valores para el vector de ondak1, todos aquellos para losque|cos θ1| ≤ 1 :

kmın ≤ k ≤ kmax

donde:

kmın =mc2(1 + γ)2 −mγ2v2

2h [(1 + γ)c+ γv]

kmax =mc2(1 + γ)2 −mγ2v2

2h [(1 + γ)c− γv]

Verificamos que cuandov = 0 esγ = 1 y kmın = kmax = mc/h, reproduciendo el resultado11.50.

La probabilidad de emision del par de fotones para cada valor permitido dek1 depende dela interaccion entre el campo electromagnetico y el de electrones y positrones. Para conocerladeberemos calcular la seccion eficaz correspondiente.

La conservacion de la energıa-impulso tambien se puede satisfacer cuando se emiten tres omas fotones. En el caso de que haya un tercer cuerpo en las cercanıas del par electron-positroncapaz de absorber impulso la aniquilacion puede proceder con la emision de ununico foton.

351

MECANICA CL ASICA

11.10.4. La masa inercial en la Relatividad especial

Resumimos los resultados encontrados en nuestro estudio de la masa inercial en el marco dela Relatividad especial.

Llamamos masa inercial a la propiedad de un cuerpo que mide su resistencia a cambiar deestado de movimiento (velocidad) cuando actua una fuerza sobreel.

La Relatividad especial nos dice que la masa inercial es una cualidad del cuerpo que dependeno solo de la cantidad de materia (numero y tipo de las partıculas elementales que lo componen),sino de la energıa del estado ligado constituido por esas partıculas. Ası, cuando se calienta uncuerpo aumenta su masa inercial, o una baterıa electrica cargada tiene mayor masa inercial queuna descargada.

La energıa de un cuerpo en la Relatividad especial es proporcional a la cuarta componente delcuadrivector impulso:iE/c (ecuacion 11.42), resultando:

E =M0c

2√1− v2

c2

La masa inercialM esta formada por la masa de las partıculas que lo forman mas la energıainterna del estado formado por dichas partıculas (ecuacion 11.45), que vamos a llamar masa enreposoM0:

M0 =∑n

mn +U

c2

El impulso lineal de un cuerpo en Relatividad especial esta especificado por 11.42:

−→p =M0−→v√

1− v2

c2

Si pensamos en la masa inercial como el factor de proporcionalidad entre el impulso y la velocidaddel cuerpo:

−→p = M−→v

entonces la contribucion a la masa inercial debida al movimiento del cuerpo es:

∆Mkin =M0√1− v2

c2

−M0

Concluımos que la masa inercial total del cuerpo esta formada por la propia de las partıculaselementales que los forman

∑nmn , mas la relacionada a la energıa interna:U

c2, mas la proveniente

de la energıa cinetica:K/c2 (ecuacion 11.45)

M =∑n

mn +U

c2+ ∆Mkin

Finalmente, la presencia de antipartıculas para todas las partıculas elementales conocidas per-mite la aniquilacion de la masa propia de estas partıculas. La observacion experimental de estaaniquilacion completa la

352


EQUIVALENCIA DE LOS CONCEPTOS DE ENERGIA Y MASA INERCIAL : SON CUALIDADES

EQUIVALENTES Y POTENCIALMENTE INTERCAMBIABLES DE UN SISTEMA FISICO.

11.11. Las leyes de Newton en la din amica relativista

Las leyes de Newton consideran la propagacion instantanea de interacciones, que permiteenunciar el principio de accion y reaccion para cuerpos separados por una distancia finita.

NO PUEDE EXISTIR UN PRINCIPIO EQUIVALENTE AL DE ACCION Y REACCION EN RELATIVIDAD PUES

LA IGUALDAD SIMULT ANEA DE LAS FUERZAS SOBRE AMBOS CUERPOS DEPENDERIA DEL ESTADO DE

MOVIMIENTO DEL OBSERVADOR.

Solamente es posible enunciar la igualdad de las fuerzas entre partıculas, independientementedel sistema inercial elegido, cuando las partıculas estan en contacto. Para las interacciones decuerpos separados usaremos el concepto de senales que se propagan a velocidad finitac indepen-dientemente del estado de movimiento del observador o las partıculas. Dichas senales transmitenlos intercambios de impulso lineal y energıa entre los cuerpos, generandose entonces los conocidosformalismos de campos gravitatorios o electromagneticos.

La primera ley de Newton proponıa la conservacion del impulso lineal de un sistema nosometido a acciones externas.

GENERALIZAMOS LA PRIMERA LEY DE NEWTON AL MARCO RELATIVISTA DONDE EL IMPULSO

LINEAL ES AHORA UN CUADRIVECTOR, LO QUE INCORPORA LA CONSERVACION NO SOLO DEL

TRIVECTOR IMPULSO LINEAL SINO TAMBIEN DE LA ENERGIA RELATIVISTA .

Consideremos una partıcula moviendose en un campo de fuerzas generado por un cuerpo fijo,de modo que losunicos grados de libertad sean los de la partıcula. Adoptando la definicion (11.34)para el impulso (ahora un cuadrivector):

LA GENERALIZACION INMEDIATA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON AL MARCO RELATIVISTA ES:

dpµdτ

= Kµ (11.51)

DONDE HEMOS USADO LA DERIVADA RESPECTO DEL TIEMPO PROPIO PARA TENER UN PRIMER

MIEMBRO QUE SEA UN CUADRIVECTOR. LA FUERZA GENERALIZADA Kµ, LLAMADA FUERZA DE

M INKOWSKI , TAMBI EN DEBERA SER UN CUADRIVECTOR.

La ecuacion (11.51) constituye una definicion de la fuerza actuante sobre una partıcula. Pararesolver la evolucion dinamica de la partıcula debemos conocerKµ en funcion de los puntosdel espacio real y eventualmente de la velocidad de la partıcula (tambien puede depender de algunparametro propio de la misma, como su masa o carga). Para determinar la fuerza podemos emplearuna partıcula de prueba y medir la variacion de su cuadrivector impulso en funcion de la posicion,

353

MECANICA CL ASICA

velocidad y parametros propios. Una vez conocido el campo de fuerzas, mediante la ecuacion(11.51) podemos predecir la evolucion de cualquier cuerpo sometido a dicho campo.

Si a traves de mediciones de la variacion en el impulso lineal de una partıcula sometida aun campo de fuerzas llegamos a conocer la forma funcional de la fuerza definida de la maneranewtoniana:

−→F =

d−→P

dt

podrıamos hallar inmediatamente las componentes espaciales de la fuerza de Minkowski, pues:

d−→P

dt=

√1− β2

d−→P

dτ

= −→K.√

1− β2 = −→F

En el lımite no relativista las fuerzas de Minkowski y de Newton coinciden.Al igual que para el cuadrivector impulso, en la fuerza de Minkowski aparece una cuarta

componente que determinamos partiendo de la norma del cuadrivector impulso:

pµpµ ≡∑µ

(pµ)2

= m2[v2

1− β2− c2

1− β2]

= −m2c2 (11.52)

En (11.52) hemos empleado la convencion de que cuando aparecen subındices repetidos debe-mos sumar sobre los mismos. Derivando (11.52) respecto del tiempo propio encontramos que:

d

dτpµpµ = 2pµ

dpµdτ

= 0

de donde deducimos que la fuerza de Minkowski y el impulso lineal son cuadrivectores ortogo-nales:

Kµpµ = 0

Esta ecuacion define aK4 en terminos depµ y las otras componentes deKµ :

K4 =i

c

−→K.−→v

11.12. Los campos electromagn eticos y laRelatividad especial. (Opcional)

La electrodinamica clasica es consistente con la Relatividad especial. En realidad:

354


LAS TRANSFORMACIONES DELORENTZ SON EL RESULTADO DE TRATAR DE PRESERVAR LA

INVARIANCIA EN LA FORMA DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL PARA TODOS LOS OBSERVADORES

INERCIALES.

Cargas electricas aceleradas o dipolos magneticos variables en el tiempo emiten radiacionelectromagnetica. La radiacion consiste en campos electricos y magneticos dependientes del tiem-po que se propagan a velocidadc desde la fuente, y se pueden descomponer en ondas planas conlongitud de onda y frecuencia definidas

f−→k ,ν

(−→r , t) = cos[−→k −→r − ωt]

−→k =

2πλk (11.53)

dondek es la direccion de propagacion de la onda, yω es la frecuencia angular (relacionada ala frecuencia circularν por ν = ω/2π). La frecuencia circularν y la longitud de ondaλ estanrelacionadas por

c = λν

entonces

c = λω/2π= ω/k (11.54)

Para las coordenadas−→r ′, t′ de un observadorO′ en movimiento con velocidadv en direccionx respecto del sistema originalO la onda plana elemental (11.53) se expresa por:

f ′−→k′ ,ν′

(−→r′ , t′) = cos[kx

x′ + vt′√

1− β2+ kyy

′ + kzz′ − ω

t′ + βx′/c√1− β2

]

Vemos que en el sistemaO′ tambien tenemos una onda plana:

f−→k′ ,ν′

(−→r′ , t′) = cos[

−→k′−→r′ − ω′t′] (11.55)

con vector de onda y frecuencia relacionados a los valores−→k , ω por:

k′x =kx − βω/c√

1− β2(11.56)

k′y = ky (11.57)

k′z = kz (11.58)

355

MECANICA CL ASICA

ω′ =ω − vkx√

1− β2(11.59)

Teniendo presente la transformacion de un cuadrivector entre sistemas inerciales, en particularla del cuadrivector posicion (x, y, z, ict)

x′ =x− βct√

1− β2

y′ = y

z′ = z

ct′ =ct− βx√

1− β2

encontramos que las magnitudes:

(kx, ky, kz, iω

c)

se transforman de la misma manera segun vemos en (11.56-11.59):

k′x =kx − β ωc√

1− β2

k′y = ky

k′z = kz

ω′

c=

ωc − βkx√1− β2

por lo que

El vector de onda y la frecuencia angular de la radiacion electromagnetica definen las compo-nentes de un cuadrivector:

kµ = (−→k , ωc)

356


Figura 11.16:Preservacion del caracter de onda plana para todos los observadores inerciales

Dado que la onda plana que describe la componente elemental de la radiacion electromagneticasigue siendo una onda plana para todos los observadores inerciales, cada uno de ellos observara laonda como un tren de pulsos con planos de fase constante

−→k −→r − νt = constante

moviendose en direccion normal a la direccion k (figura 11.16):Vamos a obtener ahora la ley de trasformacion delangulo de propagacion y de la frecuencia

del rayo luminoso entre observadores inerciales. Consideramos una onda que se propaga en elplano(x, y) formando unanguloθ con el ejex:

kx = k cos θ =2πλ

cos θ

ky = k sin θ =2πλ

sin θ

entonces (11.56-11.59) resultan, usando 11.54λω = 2πc:

cos θ′

λ′=

cos θ − λωβ/2πcλ√

1− β2(11.60)

=cos θ − β

λ√

1− β2

sin θ′

λ′=

sin θλ

(11.61)

357

MECANICA CL ASICA

ω′ =ω − v2π cos θ/λ√

1− β2

= ω1− β cos θ√

1− β2(11.62)

Estaultima ecuacion determina la frecuenciaω′ de un haz luminoso medida por un observadoren movimiento en funcion de la frecuenciaω medida por el observador original. Este es el efectoDoppler relativista.

Podemos considerar un efecto Doppler longitudinal cuando la onda luminosa se propaga en ladireccion del ejex (cos θ = 1) :

ω′ = ω1− β√1− β2

= ω

√1− β2

1 + β

que difiere del resultado galileano paraθ = 0 :

ω′G =ωG

1 + β

en terminos de ordenβ2. Cuando la onda se propaga en direccion normal a la velocidad entreobservadores inerciales tenemos el efecto Doppler transversal:

ω′ = ω1√

1− β2

que no tiene contraparte galileana pues en este caso deθ = π2 :

ω′G = ωG

siendo nuevamente la correccion relativista de ordenβ2.

Como contribucion adicional de las transformaciones de Lorentz del cuadrivector(−→k , ωc ),reobtenemos la formula de la aberracion de la luz (11.26) dividiendo (11.61) por (11.60)

tan θ′ =sin θ

√1− β2

cos θ − β(11.63)

que da cuenta de la transformacion de la direccion de propagacion de la luz para observadoresinerciales.

358


Figura 11.17:Emisor isotropico de radiacion

11.12.1. Ejemplo: Emisor isotr opico de radiaci on

Consideremos un objeto como el de la figura 11.17 que emite luz en forma isotropica cuandoes vista desde un sistema de referenciaO′ en reposo respecto del objeto. Nos preguntamos comosera la emision observada desde un sistema que lo ve moverse con velocidadv en direccionx:

La radiacion emitida en unangulo solido

dΩ′(θ′, φ′) = sin θ′dθ′dφ′

en la direccion(θ′, φ′) con eje polarx es independiente de esta direccion para una fuente isotropicay por lo tanto resulta simplemente proporcional adΩ′. Esta cantidad de radiacion es vista en elsistemaO propagarse en elangulo solido

dΩ(θ, φ) = sin θdθdφ

donde elangulo acimutal esφ = φ′ ( esteangulo esta situado en el plano(y, z), y y′= y, z

′= z).

Vamos a encontrar la relacion entre losangulos polaresθ y θ′. Partimos de la formula (11.60)

cos θ′

λ′=

cos θ − β

λ√

1− β2(11.64)

usando (11.54) podemos reemplazar1λ = ω

2πc , obteniendo:

359

MECANICA CL ASICA

ω′ cos θ′ = ωcos θ − β√

1− β2

Recordemos queω′ es una funcion del anguloθ dada por la expresion general del efectoDoppler (11.62):

ω′ = ω1− β cos θ√

1− β2

con lo que la relacion (11.64) entreangulos de observacionθ, θ′ entre sistemas inerciales resulta:

cos θ′ =cos θ − β

1− β cos θ(11.65)

y ella nos permite obtener de inmediato la relacion entre losangulos solidos subtendidos:

dΩ′(θ′, φ′) = −d(cos θ′)dφ′

= −d( cos θ − β

1− β cos θ)dφ

=1− β2

(1− β cos θ)2sin θdθdφ

=1− β2

(1− β cos θ)2dΩ(θ, φ)

Veamos las propiedades de esta transformacion deangulos solidos entre observadores iner-ciales: dada una fuente isotropica para un observador en reposo con la misma, en el lımite norelativistaβ → 0 la radiacion sigue viendose con distribucion isotropica. En cambio en el ca-so relativista aparece una anisotropıa para los observadores inerciales en movimiento respecto dela fuente (figura 11.18): la intensidad irradiada comienza a concentrarse paraangulos pequenos,donde el denominador(1− β cos θ)2 se hace mınimo:

En el caso lımite β → 1 la fuente se ve como un emisor unidireccional donde toda la in-tensidad irradiada se concentra en la direccion hacia adelante. Este es el caso de los electronesacelerados en un sincrotron,

que es una maquina que mantiene un flujo de electrones girando en un cırculo con energıassuperiores a la energıa en reposomc2 del electron, por ejemplo acelerados en potenciales supe-riores al millon de electron voltios ( la velocidad de un electron acelerado por ese potencial esaproximadamentev = 0,85c). La radiacion emitida por estos electrones debido a la aceleraciongenerada por laorbita circular es monocromatica, y muy intensa debido al efecto de concentracionde la misma en la direccion θ ' 0; ademas es muy direccional por lo que es un pincel de fotonesideal para estudiar regiones pequenas y muy bien delimitadas de materiales solidos, moleculas yestructuras biologicas.

360


Figura 11.18:Anisotropıa de la radiacion para un observador en movimiento respecto del emisor isotropico

11.13. La diferencia entre ver y medir: La forma aparente delos objetos. (Opcional)

La forma real de un objeto puede ser medida con observaciones simultaneas de las posicionesde todos sus puntos. En un mundo galileano esas mediciones dan resultados independientes del sis-tema inercial elegido, por lo que todos los observadores inerciales coinciden con la forma asignadaal objeto. En cambio la forma aparente o imagen, captada por ejemplo por una camara fotografica,dependera del estado de movimiento de esta camara. Consideremos el caso de una regla paralela alejex de un sistema cartesiano moviendose con velocidadv en esta direccion y suponemos queestees, de acuerdo a Galileo, el sistema inercial privilegiado donde la velocidad de la luz es isotropicay valec. El observador obtiene la imagen de la regla mediante una camara fotografica, que esta o-rientada en unanguloθ respecto de la horizontal; la imagen de la regla consiste en registrar sobreuna placa fotosensible la intensidad de la luz que arriba simultaneamente a un tiempot (figura11.19):

Los rayos de luz que llegan a la placa simultaneamente deben partir a tiempos diferentes delos diversos puntos de la regla:

Vemos que:

c.δt

L+ v.δt= sin θ

361

MECANICA CL ASICA

Figura 11.19:Captura de la imagen de una regla en movimiento

de modo que:

δt =L sin θ

c− v sin θ

Entonces la longitudL∗ de la imagen registrada en la placa es:

L∗ = (L+ v.δt) sin θ

=L sin θ

1− vc sin θ

(11.66)

Cuandov/c → 0 la longitud es la dada por las reglas de la perspectiva:L.sin θ. Pero cuandov/c → 1 la imagen galileana posee una longitudL∗ > L sin θ, tendiendo a∞ cuandoθ = π

2 .Ademas, a partir de un valor dev/c aparecera en la fotografıa la cara trasera de la regla. Ella se veası como si estuviera rotada ademas de deformada, tal como la representamos en la figura 11.21.

La descripcion correcta de la imagen de un objeto que se mueve con velocidades cercanas ala de la luz es por supuesto la brindada por la Relatividad especial. Ya hemos visto el conceptorelativo que presenta la medicion de una longitud, que requiere la determinacion simultanea dela posicion de los extremos del segmento que se desea medir. Debido a la perdida del caracterabsoluto de la simultaneidad de eventos, diferentes observadores inerciales obtendran diferentes

362


resultados de longitudes medidas en la direccion de sus velocidades relativas.

LA CONTRACCION DE LA LONGITUD MEDIDA DE UNA REGLA EN LA DIRECCION DE SU MOVIMIENTO

HA LLEVADO A LA IDEA ERR ONEA DE QUE CUANDO VEMOS(FOTOGRAFIAMOS) LA REGLA LA

VEMOS CONTRAIDA .

Esto no es cierto, y debieron pasar varias decadas hasta que alguien puntualizo claramenteeste hecho.[36],[37] Ya hemos notado que aun en el marco galileano lo que vemos no es lo mismoque lo que medimos. La idea erronea surge en gran parte debido a la confusion en el significadoasignado a los terminos ver y medir, que no son sinonimos:

VER CONSISTE EN EL REGISTRO DE LOS RAYOS LUMINOSOS QUE PARTIENDO DEL OBJETO ARRIBAN

AL SUJETO O CAMARA FOTOGRAFICA EN FORMA SIMULTANEA ; MEDIR CONSISTE EN REGISTRAR EN

FORMA SIMULTANEA LA POSICION DE TODOS LOS PUNTOS DEL OBJETO(en este libro consideramoscomo sinonimos ver=fotografiar y medir=observar).

El observador en un sistema inercial puede tanto ver mediante un registro de los rayos de luzque partiendo del objeto llegan en forma simultanea a su retina o una superficie fotosensible, opuede medir mediante un registro simultaneo de las posiciones de los puntos del objeto.

Considerando la regla del ejemplo galileano analizaremos cuales son las fotografıas que ob-tendran de la misma dos observadores que a un dado tiempo coinciden con sus camaras en unpunto del espacio, uno de ellosO′ en reposo con la regla y otroO moviendose con velocidad−v en direccionx respecto del anterior, ambas camaras siguiendo la imagen de la regla de modoque las placas estan siempre normales a los frentes de onda de la luz proveniente de la regla. Lasfotografıas consisten en el registro del numero de fotones que arriban por unidad dearea en direc-cion normal a las placas sensibles (por simplicidad no consideramos los necesarios componentesopticos y mecanicos de las camaras).

Ubicamos al observadorO′ con la regla situada exactamente sobre su cabeza, y cuando elobservador en movimientoO coincide conel en esta posicion ambos aprietan en simultaneo losobturadores de sus camaras.

Los fotones son las partıculas constituyentes de la onda luminosa y se mueven con la velocidadc, la velocidad de fase de la luz tambien esc, por lo que los fotones que llegan simultaneamente a laplaca viajan en un plano de fase constante. Hemos visto que una onda plana de radiacion conservasu forma de frentes de onda planos ante transformaciones de Lorentz ( expresiones 11.53 y 11.55),por lo que los fotones que llegan simultaneamente a la placa deO colocada en direccion normal ala radiacion proveniente del objeto son los mismos que arriban simultaneamente a la placa deO′,ubicada por el observador de este sistema en la direccion normal a la luz proveniente de la regla(ver figura 11.20).

Como dijimos antes, los fotones que viajan enO′ en un plano de fase constante de la onda de

vector de onda−→k′ son vistos en el sistemaO viajando tambien en un plano de fase constante de la

onda de vector−→k . En particular, los fotonesF1, F2 que parten de los extremosB′, C ′ de la regla

arriban simultaneamente a la placaO′, y vistos por el observadorO que se mueve con velocidad−v−→ex respecto de la regla tambien arriban simultaneamente a la placaO.

363

MECANICA CL ASICA

Figura 11.20:Los fotones que arriban simultaneamente a la placa del sistemaK ′ son los mismos quearriban simultaneamente a la placa deK

La relacion entre las coordenadas enO yO′ del evento de emision del foton 1 desde el extremoB de la regla son:

x1 =x′1 − vt′1√

1− β2

t1 =t′1 − βx′1/c√

1− β2

en tanto que para el evento de emision del foton 2 desde el extremoC son:

x2 =x′1 + L− vt′1√

1− β2

t2 =t′1 − β(x′1 + L)/c√

1− β2

Como podıamos esperar, la emision de fotones no es simultanea en el sistemaO en movimien-to respecto de la regla. La distancia entre los extremosB y C cuando se emiten los fotones medidaen el sistemaO resulta ser:

364


x2 − x1 =L√

1− β2

En este resultado hay dos contribuciones: la regla tiene una longitud contraıda enO, pero elfoton 1 es emitido antes que el 2 y por lo tanto el puntoC se desplaza hacia la derecha entreemisiones. El resultado es un valor superior incluso a la longitud en reposoL.

La longitudL∗ de la imagen registrada por el observadorO resulta de proyectarx2−x1 sobreel plano de la placa fotografica. Elanguloθ de la figura es el de la aberracion de la luz (formulas11.63 o 11.65)

cos θ = β

paraθ′ = π2 . Obtenemos:

L∗ =L√

1− β2sin θ

= L

Este es un resultado muy interesante, al contrario de lo que dirıan las relaciones galileanas entreobservadores inerciales (11.66), la imagen de la regla no esta magnificada en su longitud sino queconserva el valor propioL, no apareciendo tampoco el acortamiento dado por la perspectiva (elsin θ de la formula 11.66).

Hemos mostrado entonces que

EL ACORTAMIENTO DE LAS LONGITUDES DE LOS CUERPOS EN LA DIRECCION DE SU MOVIMIENTO

NO ES UN EFECTO OBSERVABLE POR MEDIO DE LA VISTA O DE UNA IMAGEN FOTOGRAFICA ; EN

REALIDAD LO CUERPOS APARECEN MAS ” NATURALES” QUE LO QUE INDICAN LAS REGLAS

GALILEANAS !

Porultimo, un cuerpo que se acerca al observador podra mostrar la imagen de su cara posterior,debido a que los rayos de luz emitidos por esa cara pueden dirigirse al observador sin ser intercep-tados por el cuerpo mismo cuando la velocidad deeste es lo suficientemente alta. Este efecto esidentico en las descripciones galileana y relativista. En la figura 11.21 mostramos la fotografıa deun dado en movimiento respecto de la camara segun las descripciones galileana y relativista.

11.14. La Formulaci on lagrangiana y laRelatividad especial. (Opcional)

En la seccion anterior hemos presentado la forma covariante de la segunda ley de Newton,ecuacion (11.51). Podemos preguntarnos como proceder para hallar una formulacion relativista delas ecuaciones de Lagrange de la Mecanica clasica, que es el metodo mas riguroso y practico para

365

MECANICA CL ASICA

Figura 11.21:Descripciones galileana y relativista de la imagen de un dado que se mueve con velocidadv = 0,8c y es fotografiado en el instante en que el dado pasa sobre la camara. La distancia entre la camaray el dado es muy grande frente a las dimensiones deeste

tratar sistemas de cuerpos sometidos no solo a fuerzas derivables de un potencial sino a fuerzasque conocemos a traves de las condiciones de vınculo que ellas imponen.

Las ecuaciones de Lagrange pueden derivarse del principio de Hamilton, que dice que la accion(2.17)

I[q] =∫ t2

t1L(q,

.q, t)dt (11.67)

posee un extremo para las coordenadasq(t) que describen el movimiento del sistema

δI[q] = δ

∫ t2

t1L(q,

.q, t)dt = 0 (11.68)

Es conveniente puntualizar que en Relatividad especial el tiempot deja de ser un parametroabsoluto independiente de la posicion y la velocidad, y ahora ante cambios de sistema inercial setransforma segun las leyes de Lorentz. Pero dado un sistema inercial, resulta posible encontrarun Lagrangiano para el que el principio de Hamilton provee la correcta ecuacion relativista delmovimiento. Este procedimiento es simple para el caso de una partıcula sometida a un campo defuerzas conservativo: la siguiente forma del Lagrangiano

366


L = −mc2√

1− β2 − V (−→r ) (11.69)

reemplazada en la ecuacion de Euler-Lagrange que define el extremo de la funcionalI (11.67)

d

dt

∂L

∂.xi− ∂L

∂xi= 0

produce la ecuacion de movimiento:

d

dt

(m

.xi√

1− β2

)= −∂V

∂xi≡ Fi

que es equivalente a la forma covariante (11.51):

dpµdτ

= Kµ (11.70)

Notemos que

EL LAGRANGIANO (11.69)QUE PRODUCE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO COVARIANTES NO ES

MAS LA DIFERENCIA ENTRE ENERGIA CIN ETICA Y POTENCIAL DE LA PARTICULA .

De la misma forma podrıamos considerar sistemas de muchas partıculas buscando el La-grangiano que a traves del principio de Hamilton nos provea con las ecuaciones del movimientodel tipo (11.70) para cada partıcula.

La formulacion lagrangiana que hemos bosquejado tiene un defecto basico: estamos usandofuerzas que actuan en forma instantanea entre los cuerpos, tal como lo hicimos en la formulacionnewtoniana. Esto es erroneo pues no existen interacciones que puedan propagarse a velocidadesmayores que la de la luz: el Principio de Relatividad dice que las leyes de la Naturaleza tienenla misma forma (son covariantes) para todos los observadores inerciales, y la velocidad de propa-gacion de una fuerza aparecera en las ecuaciones del movimiento de los cuerpo sometidos a esafuerza. Como launica velocidad que tiene el mismo valor para todos ellos es la de la luz (que repre-senta la propagacion de las interacciones electromagneticas) las fuerzas entre partıculas deberanpropagarse a la velocidadc. Este es el caso de las fuerzas electromagneticas, donde la velocidadde la luz es la de propagacion de dichas interacciones y esta incorporada en las ecuaciones deMaxwell, que dan la relacion entre fuentes de interaccion y campos de fuerzas. En el caso de lasfuerzas gravitatorias aun no se han detectado en forma directa las ondas de gravedad, que simila-res a las ondas luminosas representan la propagacion de energıa y momento emitidos en este casopor masas en movimiento. La teorıa general de la Relatividad predice la existencia de estas ondasgravitatorias que se propagan con la velocidadc, y determina el flujo de energıa emitido por un parde masas orbitando en un estado ligado. Observaciones de la energıa emitida por estrellas binariasconfirman con gran precision estas predicciones, no dejando lugar a dudas sobre la velocidad finitade propagacion de la interaccion gravitatoria.

Considerando la velocidad finita de propagacion de las interacciones, la fuerza que actua sobreuna partıcula al tiempot dependera de las posiciones de las demas partıculas a tiempos anteri-ores. Entonces no sera posible definir un Lagrangiano dependiente de posiciones y velocidades

367

MECANICA CL ASICA

a un tiempounico t, pues las interacciones en ese instante dependen de las posiciones de dichaspartıculas a todos los tiempos precedentes a traves de las influencias mutuas entre ellas.

El parrafo precedente indica que la formulacion lagrangiana, tal como fue generada en el mar-co de la dinamica de Newton, no puede ser extendida al marco de la Relatividad especial. Lamodificacion requerida para su generalizacion al campo relativista es la descripcion de las inter-acciones a distancia por medio de campos, que describen una distribucion continua de momento yenergıa generada por los cuerpos que forman el sistema a tiempos precedentes. Podemos imaginaral campo como un ”fluido” que interactua por fuerzas de contacto con las partıculas masivas, yparticipa en la dinamica intercambiando energıa e impulso con ellas. Su papel va mas alla de lo quepareciera un recurso matematico para describir la evolucion del sistema, pues en la generalizacionde la fısica clasica newtoniana que es la Mecanica cuantica estos campos estan constituidos porpartıculas (de masa nula, como son los fotones que constituyen el campo electromagnetico).

Finalmente, si un principio como el de Hamilton es valido en el marco de la Relatividad espe-cial, la accion y su condicion de extremo definidas por (11.67, 11.68) debieran poder expresarseen forma covariante. Esto significa queδI[q] debe ser un escalar ante transformaciones de Lorentzpara que la condicion de extremo describa unaunica evolucion del sistema para todos los obser-vadores inerciales, cada uno usando coordenadas relacionadas por transformaciones de Lorentz:

δI[q] = δI[q′] = 0

Para queI[q] sea un escalar se requiere que el integrandoL(q, .q, t)dt lo sea, y vemos que

para una partıcula libre la forma hallada dada por (11.69) cumple esa condicion

Ldt = −mc2√

1− β2dt = −mc2dτ

dondedτ es el tiempo propio de la partıcula, invariante ante transformaciones de Lorentz. Parael caso de una partıcula sometida a acciones externas,estas seran representadas por campos quecontribuiran con sus grados de libertad a los de la partıcula en la descripcion del sistema, y cuyaenergıa y momento deberan ser tenidas en cuenta al momento de definir el Lagrangiano.

11.15. La paradoja de los mellizos. (Opcional)

11.15.1. El caso del mellizo viajero

Primeramente propuesta por Einstein, la ası llamada paradoja de los mellizos ha recibido granatencion por parte de expertos y legos en cuestiones de Relatividad, y rıos de tinta se han gastadoen explicarla o pretender hacerlo. Consiste, en su version original, en considerar dos hermanosmellizos 1 y 2 que un dıa se separan: uno de ellos realiza un largo viaje, por ejemplo en una naveespacial a velocidades cercanas a la de la luz, en tanto el otro permanece en la Tierra a la esperadel regreso de su hermano. El viajero 2 acelera su nave en un tiempo muy corto hasta alcanzar lavelocidad finalv y luego deriva por el espacio a esa velocidad durante un tiempoT ′ medido ensu sistema de referencia (usaremosv = 0,8c , T ′ = 3 anos para usar datos empleados por variosautores:[31],[38]

Al cabo de ese tiempo desacelera la nave en un tiempo despreciable frente aT ′, hasta invertirel sentido de la velocidad y regresar a casa con la misma velocidadv del tramo de ida donde arriba

368


Figura 11.22:El viaje del mellizo 2

entonces al cabo de 6 anos de viaje tal como lo mostramos en la figura 11.22. De acuerdo a su relojy por lo tanto a sus procesos vitales generales como el metabolismo de su cuerpo, o particularescomo el numero de latidos de su corazon, en ese lapso el mellizo 2 ha envejecido 6 anos. Porotro lado, de acuerdo a la relacion (11.4) entre tiempo propio del viajero y tiempo medido por unobservador en movimiento respecto deel, para el mellizo 1 que quedo en la Tierra han transcurrido

2T =6√

1− (vc )2

= 10 anos

Concluımos que luego del viaje hay una diferencia de edades entre los mellizos: quien quedo encasa es 4 anos mas viejo que el viajero.

Este es un resultado sorprendente para nuestra vieja creencia en un tiempo absoluto, pero elresultado (11.15.1) esta basado directa y simplemente en el postulado del Principio de Relatividadde Einstein y su corolario de que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadoresinerciales. No es necesario tratar de generar una demostracion pueseste es un resultado directo dedicho principio a traves de las transformaciones de Lorentz entre marcos inerciales.

Lo que nos perturba es que las transformaciones de Lorentz predicen que desde el marco en laTierra el reloj del viajero es el que atrasa, en tanto que recıprocamente desde el marco del viajeroes el reloj en la Tierra el que atrasa. Pero las experiencias de los mellizos no son identicas ya queel viajero cambia de sistema de referencia al invertir el signo de su velocidad. Esto se traduce enlas siguientes observaciones por parte de ambos: imaginemos que ellos propusieron antes de lapartida enviarse cada cumpleanos una fotografıa mediante una transmision de radio. Las figuras11.23,11.24 muestran la evolucion en un sistema de ejes(x, t) de la trayectoria de la nave y de losrayos de luz anuales que transmiten las fotografıas:

Los intervalos de tiempo medidos desde tierra entre las emisiones de las fotografıas por elmellizo en la nave que se aleja son:

∆t =1 ano√1− (vc )

2=

53

anos

y los tiempos a los que 1 recibe las fotografıas de su hermano 2:

369

MECANICA CL ASICA

Figura 11.23:Llegada a la nave de las fotografıas enviadas desde Tierra

τn = n∆t+vn∆tc

(11.71)

= 3n anos,n = 1, 2, 3

por lo tanto el mellizo 1 ve envejecer a 2 mas lentamente durante 9 anos, ya que recibe solo 3fotografıas. Luego durante elultimo ano lo ve envejecer mas rapidamente pues

τn = 9 + n∆t− vn∆tc

= 9 +13n

n=1,2,3 recibiendo en ese lapso otras tres fotos.Por su parte, el viajero 2 tambien observa inicialmente un envejecimiento mas lento de su

hermano en la Tierra, y los tiempos a los que recibe las fotografıas de 1 son similares a (11.71)

∆t′

=53

anos

τ′n = n∆t′ +

vn∆t′

c(11.72)

= 3n

370


Figura 11.24:Llegada a Tierra de las fotografıas enviadas desde la nave

entonces durante el viaje de ida que dura 3 anos en el marco del mellizo 2este recibe solo unafotografıa de 1, entoncesn = 1 en (11.72). En el viaje de regreso 2 ve envejecer mas rapidamentea 1, el numero de fotografıas que recibe es:

τ′n = 3 + n∆t

′ − vn∆t′

c

= 3 +13n anos,

en el lapso de 6 anos que dura el viaje resulta

1 ≤ n ≤ 9

recibiendo en total 10 fotografıas.Es el cambio de marco de referencia de 2 lo que hace asimetricas las experiencias de los

mellizos y lo que nos permite determinar el envejecimiento relativo de 1 respecto de 2. No esel efecto directo de la aceleracion experimentada por 2 la causal de su menor envejecimiento,pues podemos incrementar la diferencia de edades prolongando el tiempo total del viaje al mismotiempo que conservando el intervalo en que se producen las aceleraciones para cambiar de marcoinercial.

371

MECANICA CL ASICA

Ambos mellizos obtienen las mismas conclusiones sobre el desfasaje de edades como resulta-do de la transmision y recepcion de fotografıas anuales, y los resultados coinciden con el resultadoinicial sobre la dilatacion temporal de un evento respecto del tiempo propio.

Aquı podrıamos finalizar nuestro analisis del problema de los mellizos, pero resulta ser uncampo de aplicacion interesante para nuestros conocimientos de los diagramas de Minkowski.Recordemos que los ejes de dichos diagramas son la coordenada espacialx y la temporalτ = ct,y que las ecuaciones que definen dichos ejes son las transformaciones de Lorentz expresadas enestas variables (11.28,11.29):

x′=

x− βτ√1− β2

τ′=

τ − βx√1− β2

x′′ =x+ βτ√1− β2

τ ′′ =τ + βx√1− β2

En el viaje de ida el parametroβ = vc es positivo en tanto que en el de vuelta es negativo,

luego los ejes de los diagramas de Minkowski correspondientes a los dos tramos del viaje son losmostrados en la figura 11.25:

Los eventos simultaneos para el tramo de ida son los paralelos al ejex; en particular el eventosimultaneo en la lınea del mundo del mellizo 1 en la Tierra con el punto de retornoR del mellizoviajero 2 es el puntoP ; por debajo de estos puntos, a cada uno de la lınea del mundo de 2 lecorresponde un punto simultaneo en la lınea del mundo de 1. Luego del cambio de sentido de lavelocidad tambien cambia bruscamente el puntoP de simultaneidad conR en la lınea del mundode 1, que pasa a ser ahora el puntoQ. Por lo tanto, el envejecimiento relativo del mellizo 1 respectodel 2 esta representado por el segmentoPQ cuyos puntos no son simultaneos ni antes ni despuesdel retorno con alguno en la lınea del mundo de 2.

Un par de comentarios: 1) La determinacion de los puntos de simultaneidad no es de conocimien-to inmediato para un dado observador, por ello no se puede inferir que 1 envejezca los cuatro anoscalculados justo mientras 2 esta sujeto a la deceleracion que invierte su velocidad. 2) Se puedendeterminar los eventos simultaneos en este sistema espacial de una dimension poniendo en cadapunto del ejex un observador con un reloj; justo antes del retorno los relojes sincronizados enel sistemaK ′ estan en la lıneaPR y aparecen desincronizados cuando se los observa desde elsistemaK fijo a la Tierra, o desde el sistema de la nave que retornaK ′′. Esta perdida del sentidoabsoluto de la simultaneidad es la que deja a los eventos entreP y Q en la vida del mellizo 1 sineventos simultaneos en la vida de 2.

372


Figura 11.25:Descripcion mediante el diagrama de Minkowski de la paradoja de los mellizos

11.15.2. El caso de los mellizos equivalentes

En el ejemplo anterior uno de los mellizos cambia de sistema inercial en tanto el otro per-manece siempre en el mismo. Esto genera una asimetrıa en las experiencias sensoriales y vitales(tales como su tiempo propio) que produce un envejecimiento diferencial entre ambos. La raız delfenomeno esta en la perdida del sentido absoluto de los intervalos temporales, siendo el valor delos mismos dependiente del estado de movimiento del observador respecto del par de eventos quedefinen dicho intervalo.

Podemos disenar una experiencia donde transcurran diferentes tiempos propios para dos me-llizos que tienen las mismas experiencias a lo largo de su desplazamiento en una direccion x, esdecir sometidos a exactamente las mismas aceleraciones a partir de la partida simultanea desdeel reposo. Lo que pasamos a relatar esta desarrollado en los trabajos de Boughn,[39] y de Price yGruber[40]:

Dos mellizos 1 y 2 nacidos en un sistema inercial que llamamosK se montan en naves espa-ciales identicas separadas una distanciaL y parten al mismo tiempo; aceleran en forma identicahacia los valores positivos dex y lo hacen hasta que agotan el combustible de sus naves, a partirde ese momento las naves derivan en el espacio a exactamente la misma velocidad (figura 11.26).Durante el viaje espacial cada uno experimenta los mismos efectos durante el mismo tiempo y ex-iste una total simetrıa entre ambos cuando analizados en el interior de sus naves: ambos envejecenel mismo intervalo de tiempo durante el viaje (sus cabellos y barbas crecen la misma longitud, sus

373

MECANICA CL ASICA

corazones laten el mismo numero de veces). Supongamos por simplicidad que observado desdeKel combustible se agota exactamente el dıa de sus cumpleanos:

Figura 11.26:Los viajes de los mellizos equivalentes

Ellos estan ahora en reposo en un sistema inercialK ′ que se mueve con velocidadv respectodeK. Para sus padres que los miran desdeK ellos partieron al mismo tiempo teniendo la mismaedad y llegan al final de su vuelo propulsado alcanzando al mismo tiempo la velocidadv, y porsupuesto para los observadores en la Tierra ellos tienen la misma edad al final del viaje.

Veamos ahora cual es la observacion de coordenadas y tiempos que hacen los mellizos alarribar al nuevo sistema inercial. Ellas estan relacionadas a las coordenadas y tiempos medidas enel marcoK por las transformaciones de Lorentz (11.13,11.16):

x′1 =x1 − vt1√

1− β2(11.73)

t′1 =t1 − vx1/c

2√1− β2

(11.74)

x′2 =x2 − vt2√

1− β2

t′2 =t2 − vx2/c

2√1− β2

Consideremos los eventos definidos por el agotamiento del combustible de cada nave: desdeK ocurren simultaneamente y la distancia entre las naves es siempre la misma

x2 = x1 + L

t2 = t1

374


en tanto enK ′ las coordenadas espacio-temporales estan dadas por (11.73,11.74)

x′1 =x1 − vt1√

1− β2(11.75)

t′1 =t1 − vx1/c

2√1− β2

x′2 =x1 + L− vt1√

1− β2(11.76)

t′2 =t1 − v(x1 + L)/c2√

1− β2

Vemos que el mellizo 2 llega antes al sistema inercialK ′ :

t′2 − t′1 = − vL/c2√

1− β2

y como ese es el dıa de sus cumpleanos, el mellizo 2 comprueba que es mas viejo que suhermano, quien cumplira anos el dıa queel llegue aK

′. Ambos coinciden sobre quien es mas

viejo: el mellizo mas viejo es aquel que viaja en la nave delantera segun el sentido del movimiento.Sera 2 cuando el movimiento se realice en el sentido positivo del ejex, y 1 cuando se realice ensentido contrario. Como ambos coincidıan en que tenıan la misma edad al ascender a sus naves,concluımos que desde el punto de vista de los mellizos, el desfasaje en las edades se producedurante el viaje espacial.

Un resultado que extraemos de las ecuaciones (11.75,11.76) es que la distancia entre las navesha cambiado:

x′2 − x′1 =L√

1− β2

es mas grande que la de partida, y desde el punto de vista de un observador en el sistemaK ′

ello se debe a que la nave de 2 se pone en movimiento antes que la de 1.Veamos ahora una descripcion alternativa de la historia de los mellizos equivalentes usan-

do diagramas de Minkowski. La figura 11.27 muestra las lıneas de la vida de ambos y los ejes(x, τ), (x′, τ ′) correspondientes a los marcos de referenciaK y K ′ :

Vemos aquı claramente el sentido relativo de la simultaneidad entre eventos: los eventosC1, C2

(cumpleanos de los mellizos) son simultaneos enK, en tanto enK ′ el cumpleanos deC2 de 2es simultaneo con el eventoB de 1 previo al cumpleanos deeste. La explicacion que darıa unobservador (que llamaremos 3) enK ′ sobre la llegada a su sistema de 2 antes que 1 es que 2partio antes que 1 en su viaje, como lo muestra la no simultaneidad de las partidasA1, A2. Esteobservador determina ademas que el mellizo 2 era mas viejo que el 1 antes de iniciar el viaje,lo que resulta un poco sorprendente. Supongamos que 3 presencio el nacimiento de los mellizos,que por ser eventos coincidentes son simultaneos para todos los observadores inerciales. Entonces

375

MECANICA CL ASICA

Figura 11.27:Descripcion mediante el diagrama de Minkowski de la paradoja de los mellizos equivalentes

para el observador enK′: ¿cuando 2 envejecio mas que 1?, obviamente en el camino que los lleva

del punto de su nacimiento al de la partida en las naves espaciales, las que estan separadas unadistanciaL. Consideremos que 2 asciende a un automovil que acelera hasta alcanzar una velocidadδv respecto deK, y se detiene cuando recorre la distanciaL. Durante el viaje la velocidad relativaentre los sistemasK ′ y K2 esv − δv, por lo tanto el tiempo que ha durado el viaje medido enK ′

respecto del tiempo propio medido por el mellizo 2 viajero es:

∆t′ =∆t2√

1− (v − δv)2/c2

durante ese mismo intervalo∆t′ medido desdeK ′ el tiempo propio transcurrido para el me-llizo estatico 1 es:

∆t′ =∆t1√

1− v2/c2

entonces vemos que, medido desde el sistemaK ′ la relacion entre tiempos propios transcurri-dos (es decir. la relacion entre los envejecimientos) de los mellizos es:

∆t2 = ∆t1

√1− β2 + 2δvβ/c− δv2/c2

1− β2

∼= ∆t1(

1 +vδv

c2 − v2

)376


Observados desdeK′

los procesos vitales del mellizo 2 durante su viaje en automovil tran-scurren mas rapido que los del mellizo 1, por consecuencia el mellizo 2 era mas viejo que el 1 aliniciar el viaje.

Concluımos que

LA VARIABLE TEMPORAL ES PROPIA DEL ESTADO DE MOVIMIENTO DEL RELOJ QUE LA MIDE, Y NO

ES POSIBLE PRETENDER TENER COINCIDENCIA EN LAS MEDICIONES DE DOS RELOJES QUE,SINCRONIZADOS EN UN MOMENTO EN QUE ESTAN EN UN MISMO PUNTO DEL ESPACIO,

DESARROLLAN LUEGO DIFERENTES EVOLUCIONES ESPACIALES. ADEMAS, NO TIENE SENTIDO

TRATAR DE DETERMINAR CUANDO SE DESFASAN, PORQUE ESE DESFASAJE DEPENDE DEL MARCO

INERCIAL DESDE EL QUE SE LO OBSERVA.

11.16. Problemas

1. La interaccion de rayos cosmicos con la atmosfera terrestre produce una lluvia de mesonesµ (partıculas inestables con una vida media de2, 2 × 10−6 segundos, similares a los electronespero con una masa del207 veces superior). La altura aproximada respecto de la superficie terrestrede creacion de estos mesones es de30 kil ometros.

1.1. Calcular el tiempo que tardan los mesones en llegar a la superficie terrestre.1.2. Calcular el porcentaje de los mesones originales que son detectados.

2. Calcule el espesor de la atmosfera terrestre medida por un observador en reposo con unmuon del problema anterior.

3. Dos observadores inerciales A y B poseen cada uno un par de relojes (R1, R2),(R′1, R

′2)

separados espacialmente una distancia L en la direccion del movimiento. Cuando los relojesR1R′1

coinciden registran el mismo tiempo:t1 = t′1. CuandoR′1 coincide conR2:

3.1. ¿Cual es el tiempo registrado porR′1?

3.2. ¿Cual es el tiempo registrado porR1?

4. Un coche de longitud propia0 tiene asignado un garage de longitud propia`0 − ∆`. Elpropietario decide guardarlo en el garage pidiendole a su hijo que ingrese el coche a una velocidadv, aguardandoel al lado de la puerta de modo de cerrarla en el momento en que acaba de atravesarlala cola del coche.

4.1. Desde el punto de vista del propietario: ¿puede el coche ingresarıntegramente al garage?4.2. En caso afirmativo, calcule la velocidad requerida en funcion de∆`.4.3. Describa la experiencia desde el punto de vista del hijo.

5. Un haz de luz que sale de una lente circular de diametro propio 0 es interrumpido porun disco de diametro propio tambien igual a`0 y que se mueve con velocidadv en una direc-cion perpendicular al haz de luz. En el instantet = 0 el centro del disco pasa por el eje del haz deluz. ¿Puede interrumpirlo completamente? Describa el fenomeno en ambos sistemas de referencia.

377

MECANICA CL ASICA

6. Una escuadra que se mueve con velocidadv es fotografiada desde una posicion muy alejada(OA AC). Mostrar que en la fotografıa la escuadra aparece rotada unanguloθ, consin θ =v/c.

Discutir como serıa la fotografıa de una esfera.

7. Puede un foton de energıa mayor que2m0c2 crear un par electron-positron (ambos de masa

en reposom0) sin intervencion de un tercer cuerpo? ¿Por que?

8. Un mesonΦ de masamΦ = 1020GeV/c2 tiene un impulso de4GeV/c a lo largo del ejexen el sistema del laboratorio. Decae en dos mesonesK: Φ → K+ +K−que se mueven a lo largodel ejex, cuyas masas en reposo valenmK = 0, 494GeV/c2.

8.1. Calcular el impulso de cada mesonK en el sistema del centro de masas. b) Calcular losimpulsos de los mesonesK en el sistema del laboratorio.

378

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381

Indice alfab etico

accion, Principio de mınima, 56Angulos de Euler, 187

Caos

determinista, 305exponentes deMapas de Poincare, 309oscilaciones no lineales, 307Pendulo amortiguado y forzado, 313

Centro de masas, 25Colision entre dos partıculas

Cinematica, 109colisiones elasticas, 110Conservacion del impulso lineal, 112Direccion de dispersion yangulo de deflexion,

115Dispersion por potenciales1/r, 128

Condicion de rodadura, 58Contraccion de longitudes, 329Coordenada cıclica, 62Coordenadas

cartesianas ortogonales, 4, 6cilındricas, 8esfericas, 7

Coordenadas generalizadas, 49Corchetes de Poisson, 294

ecuaciones del movimiento en terminos de,297

entre componentes del impulso angular, 296y covariancia, 302y transformaciones canonicas, 298

Cuadrivector impulso, 343del campo electromagnetico, 346energıa y cuarta componente, 344

Cuerpo rıgido

Angulos de Euler, 187Descripcion en el sistema del centro de masas,

172Descripcion en otros sistemas de coorde-

nadas, 174Dinamica, 171Ecuaciones de Euler, 174Ejes principales de inercia, 158Eleccion del origen del sistema de ejes, 163Energıa cinetica, 154Girocompas o brujula giroscopica, 183Grados de libertad, 152Impulso angular, 156Rueda que rota en torno a un eje vertical,

177sometido a fuerzas externas, 189Suspension cardanica, 182Tensor de inercia, 155Trompo libre de fuerzas, 175Trompo simetrico sometido a fuerzas exter-

nas, 189

D’Alembert, Principio de, 54, 56Desplazamiento virtual, 49Determinante secular, Raıces multiples, 261Diagrama de Minkowski, 335

medicion de longitudes, 339simultaneidad y causalidad, 340

Ecuaciones de Hamilton, 275Ecuaciones de Hamilton-Jacobi, 288

separacion de variables, 291Efectos arco iris y gloria en la atmosfera

El arco iris, 125La gloria, 126Modelo corpuscular de la luz, 122

Eje instantaneo de rotacion, 10

383

MECANICA CL ASICA

Elasticidad de materiales, friccion interna, 219Emisor isotropico de radiacion, 359Equivalencia de masa y energıa, 350Espacio de las fases, 281

pendulo plano, 281Experimento de Michelson y Morley, 322Exponentes de Liapunov, 314

Formulacion hamiltonianaConstantes del movimiento, 264Ecuaciones de Hamilton, 275Ecuaciones de Hamilton-Jacobi, 288ecuaciones del movimiento en terminos de

corchetes de Poisson , 297Transformaciones canonicas, 285Transformaciones de invariancia, 265

fuerza generalizada, 54Fuerzas centrales, 85

Constantes del movimiento, 87ecuacion de laorbita, 90

Fuerzas de friccion, problema del hombre y elbote, 32

Fuerzas, principio de superposicion, 12

Girocompas o brujula giroscopica, 183

La diferencia entre ver y medir: La forma aparentede los objetos, 361

La paradoja de los mellizosel caso de los mellizos equivalentes, 373el caso del mellizo viajero, 368

Lagrange, Ecuaciones de, 54

Mapas de Poincare, 309masa inercial, 12Mecanica clasica, 6Mecanica cuantica, 6Medicion de Intervalos de tiempo, 326medicion, El proceso de, 40Momento canonico, 62movimiento caotico, 14

NewtonLeyes de, 10primera ley, 11

segunda ley, 6, 11tercera ley, 12

Orbitaconexion con la energıa para el potencial

1/r, 95ecuacion, 90excentricidad, 94latus-rectum, 94ley de fuerzas a partir de las Leyes de Ke-

pler, 98potenciales del tipo1/r, 93simetrıa de reflexion, 92

Orbitas cerradas. Teorema de Bertrand, 102Oscilaciones no lineales. El pendulo plano, 307Oscilador anarmonico, 229Oscilador armonico, 220

amortiguado, 222oscilaciones forzadas, 225

Pendulo amortiguado y forzado: periodicidad ycaos, 313

Pendulo doble en pequenas oscilaciones, 255Pequenas oscilaciones

cadena lineal de dos masas, 234cadena lineal de N masas, 251cadena lineal de tres masas, 242determinante secular, 245Ecuaciones del movimiento en la aproxi-

macion de , 239existencia de N modos normales, 259modos normales de oscilacion, 236pendulo doble, 255

Plano de rotacion, 9Potencial generalizado, 78Principio de los trabajos virtuales, 51Principio de relatividad, 6, 324Problema

con vınculos dependientes del tiempo, 75de la cuna y la masa deslizante, 35de la cuna y la masa deslizante en la formu-

lacion lagrangiana, 71del cohete, 23del hombre y el bote, 32

384

equilibrio del pendulo doble, 52Rueda que rota en torno a un eje vertical,

177Trompo libre de fuerzas, 175Trompo simetrico sometido a fuerzas exter-

nas, 189Problema de una partıcula equivalente, 85Problema unidimensional equivalente, 88

Orbitacion, 89Potencial efectivo, 88

Proyectilfrenamiento en la atmosfera, 20movimiento en el vacıo, 18

Raıces multiples del determinante secular, 261Relatividad especial

adicion de velocidades, 333Contraccion de longitudes, 329cuadrivector impulso, 343Diagrama de Minkowski, 335Dinamica relativista, 342emisor isotropico de radiacion, 359Energıa y cuarta componente del cuadrivec-

tor impulso, 344Equivalencia de masa y energıa, 347la forma aparente de los objetos, 361la paradoja de los mellizos, 368medicion de Intervalos de tiempo, 326principio de, 324transformaciones de Lorentz, 330y la formulacion lagrangiana, 365y la masa inercial, 352y las leyes de Newton, 353y los campos electromagneticos, 354

Rotacionescomo rotaciones sucesivas en torno de los

ejes de la terna original, 211de los ejes coordenados cartesianos, 197El grupo de rotaciones en tres Dimensiones,

215en dos dimensiones, 5, 213

Seccion eficaz, 116Calculo, 119

Efectos arco iris y gloria, 121potenciales del tipo1/r, 128

Sistema de una partıcula, 13Sistemas con masa variable, problema del co-

hete, 23Sistemas de coordenadas no inerciales, 135

Mitos en torno de la fuerza de Coriolis, 143Termino centrıfugo, 138Termino de Coriolis, 138

Sistemas de coordenadas no inerciales. Efectosobservables de la fuerza de Coriolis:

centros ciclonicos y anticiclonicos, 138cuerpo en caıda libre, 147pendulo de Foucault, 149

Sistemas de partıculas, 25ecuaciones del movimiento, 30Energıa cinetica, 28energıa potencial, 28impulso angular, 27impulso lineal, 27teoremas de conservacion, 31trabajo, 28

Sistemas mecanicos, 49Sistemas no conservativos. Atractores, 308Suspension cardanica, 182

Tensor de inercia, 155de un cubo, 166Determinante secular, 162Diagonalizacion, 161Ejes principales de inercia, 158El cubo es un trompo esferico, 168Rotaciones del sistema de ejes, 159Teorema de Steiner, 165Transformaciones de semejanza, 160

Teorıa Especial de la Relatividad, 6Teorema de Liouville, 282Teorema de Noether, 267Teorema del virial, 68Teoremas de conservacion en la formulacion la-

grangiana, 62energıa, 66energıa mecanica, 68Hamiltoniano, 66

385

MECANICA CL ASICA

impulso angular, 64impulso lineal, 63

tirabuzon, Regla del, 9Transformaciones canonicas, 285

Funcion generatriz, 286Transformaciones de Galileo, 271Transformaciones de invariancia y constantes del

movimiento, 265partıcula en el plano, 267

Transformaciones de semejanza, 202Transformaciones infinitesimales, 267Transformaciones ortogonales, 197

diagonalizacion de una matriz ortogonal, 207equivalencia con rotaciones, 207Propiedades de matrices y determinantes,

206Puntos de vista pasivo y activo, 200Rotacion como rotaciones sucesivas en torno

de los ejes de la terna original, 211Trompo simetrico en un campo gravitatorio sin

nutacion, 195Trompo simetrico. Nutacion, 194

Unidades, 42

Velocidadangular, 9

Velocidad de la luz, 320Vinculos, 47

calculo de las fuerzas usando multiplicadoresde Lagrange, 73

escleronomo, 48fuerzas producidas, 61no holonomo, 48, 58reonomo, 48

386

Indice general

1. Fundamentos de la Mecanica clasica 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Espacio y tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Objetivos de la Mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Cinematica de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Sistemas de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. Teoremas de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1. Proyectil moviendose en el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2. Proyectil moviendose en la atmosfera. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . 201.8.3. Problema del cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9. Sistemas de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9.1. Coordenadas del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9.2. Ecuaciones del movimiento y teoremas de

conservacion para un sistema de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . 301.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.1. El problema del hombre y el bote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.10.2. El problema de la cuna y la masa deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.11. Complemento I: El proceso de medicion. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 401.12. Complemento II: Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Formulacion Lagrangiana de la Dinamica clasica 472.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4. Ejemplo: Equilibrio de un pendulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5. Principio de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.6. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7. Calculo de variaciones. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8. Vınculos no holonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.8.1. Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 59

387

MECANICA CL ASICA

2.8.2. Fuerzas producidas por los vınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9. Teoremas de conservacion en la formulacion lagrangiana . . . . . . . . . . . . . 62

2.9.1. Impulso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9.2. Impulso angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.9.3. Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.10. Teorema del Virial. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.11. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.11.1. El problema de la cuna y la masa deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . 712.11.2. Un problema con vınculos dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . 75

2.12. Potencial generalizado. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3. Problema de dos cuerpos con fuerzas centrales 853.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2. Problema de una partıcula equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3. Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4. Problema unidimensional equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.5. Ecuaciones del movimiento y de laorbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6. Aplicacion a potenciales del tipo 1/r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.7. Conexion entre energıa y orbita para el

potencial gravitatorio. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.8. Ley de fuerzas entre masas a partir de las

leyes de Kepler. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.9. ¿Que potenciales producenorbitas cerradas? Teorema de Bertrand. (Opcional) . . 1023.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Fısica de Colisiones 1094.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2. Cinematica de la colision entre dos partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3. Direccion de dispersion y angulo de deflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4. Definicion de Seccion eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5. Calculo de la Seccion eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.6. Los efectos Arco iris y Gloria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.7. Los fenomenos atmosfericos de arco iris y gloria. (Opcional) . . . . . . . . . . . 122

4.7.1. Modelo corpuscular de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.7.2. El arco iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.7.3. La Gloria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.8. Dispersion por potenciales del tipo 1/r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5. Cuerpos rıgidos. Tensor de inercia 1355.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2. Sistemas de coordenadas no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2.1. Termino centrıfugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

388

5.2.2. Termino de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.3. Mitos en torno de la fuerza de Coriolis. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3.1. La marina inglesa olvido que la fuerza de Coriolis cambia de signo en elHemisferio Sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3.2. Al desagotar una banera el agua gira en el sentido horario en el HemisferioSur, y a la inversa en el Hemisferio Norte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.1. Cuerpo en caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4.2. Pendulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.5. Grados de libertad de un cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6. Energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.7. Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.8. Impulso angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.9. Ejes principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.9.1. Rotaciones del sistema de ejes solidario al cuerpo . . . . . . . . . . . . . 1595.9.2. Diagonalizacion del Tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.10. Eleccion del origen del sistema solidario al rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.10.1. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.11. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.11.1. Tensor de inercia de un cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.11.2. El cubo es un trompo esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6. Dinamica del cuerpo rıgido 1716.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2.1. Descripcion en el sistema del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . 1726.2.2. Descripcion en otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.1. Trompo libre de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3.2. Rueda en un plano horizontal que rota en torno a un eje vertical . . . . . 1776.3.3. Suspension cardanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3.4. Girocompas o brujula giroscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.5. Movimiento de un cuerpo rıgido sometido a fuerzas externas . . . . . . . . . . . 189

6.5.1. El caso del trompo simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.5.2. Trompo en un campo gravitatorio sin nutacion . . . . . . . . . . . . . . 195

6.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.7. Apendice A: Transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.7.1. Rotacion de los ejes coordenados cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . 1976.7.2. Puntos de vista pasivo y activo de la transformacion ortogonal . . . . . . 2006.7.3. Transformaciones de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.7.4. Raıces multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.7.5. Algunas propiedades de matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . 206

389

MECANICA CL ASICA

6.7.6. Diagonalizacion de una matriz ortogonal. Equivalencia de transforma-ciones ortogonales y rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.7.7. Rotacion como rotaciones sucesivas en tornode los ejes de la terna original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.7.8. Rotaciones en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.7.9. El grupo de las rotaciones en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 215

7. Oscilaciones 2197.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2. Elasticidad de los Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.3. Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.4. Oscilador amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.6. Oscilaciones anarmonicas. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8. Pequenas oscilaciones 2338.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.1.1. Cadena lineal de dos masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.2. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.3.1. Cadena lineal de tres masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.3.2. La cadena lineal de N masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.3.3. Pendulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.4. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.4.1. Prueba de la existencia de N modos normales de oscilacion . . . . . . . . 2598.4.2. Raıces multiples del determinante secular . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9. Formulacion hamiltoniana de la Mecanica clasica 2639.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.2. Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.3. Transformaciones de invariancia y constantes del movimiento . . . . . . . . . . 2659.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.4.1. Partıcula en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5. Transformaciones infinitesimales. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . 267

9.5.1. Transformaciones de invariancia y simetrıas del espacio fısico . . . . . . 2709.6. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.7. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.8. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.9. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.10. Espacio de las Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.11. Teorema de Liouville. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2829.12. Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

390

9.13. Ecuacion de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.14. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

9.14.1. Separacion de variables en Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 2919.15. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949.16. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.16.1. Corchetes de Poisson entre componentes del impulso angular . . . . . . 2969.17. Ecuaciones del movimiento en terminos de corchetes de Poisson. (Opcional) . . . 2979.18. Transformaciones canonicas y corchetes de Poisson. (Opcional) . . . . . . . . . 2989.19. Invariancia y corchetes de Poisson. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029.20. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10. Oscilaciones no lineales. Caos 30510.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30510.2. Oscilaciones no lineales. El pendulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30710.3. Sistemas no conservativos. Atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.4. Mapas de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30910.5. Pendulo amortiguado y forzado: periodicidad y caos . . . . . . . . . . . . . . . . 31310.6. Movimiento caotico. Exponentes de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31410.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

11. Teorıa especial de la Relatividad 31911.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911.2. La velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

11.2.1. El experimento de Michelson y Morley. (Opcional) . . . . . . . . . . . . 32211.3. Principio de Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32411.4. Medicion de Intervalos de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32611.5. Contraccion de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32911.6. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33011.7. Ley de adicion de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33311.8. Diagrama de Minkowski. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

11.8.1. Medicion de longitudes en el diagrama deMinkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

11.8.2. Simultaneidad y causalidad en el diagrama de Minkowski . . . . . . . . 34011.9. Dinamica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

11.9.1. Invariancia de las leyes de la Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34211.9.2. Cuadrivector impulso de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34311.9.3. Cuadrivector impulso del campo electromagnetico. El foton. (Opcional) . 346

11.10.Equivalencia de masa y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.10.1.Emision de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.10.2.Emision de partıculas. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34911.10.3.Equivalencia entre masa y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35011.10.4.La masa inercial en la Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11.11.Las leyes de Newton en la dinamica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

391

MECANICA CL ASICA

11.12.Los campos electromagneticos y laRelatividad especial. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35411.12.1.Ejemplo: Emisor isotropico de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

11.13.La diferencia entre ver y medir: La forma aparente de los objetos. (Opcional) . . 36111.14.La Formulacion lagrangiana y la

Relatividad especial. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36511.15.La paradoja de los mellizos. (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

11.15.1.El caso del mellizo viajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36811.15.2.El caso de los mellizos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

11.16.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

392

mecánica clásica

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