mecanica celeste
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MECANICA CELESTE
Leyes de KeplerGravitación Universal
Ley de Gravitación Universal
Establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos separados una distancia r
La leyes con las que se rigen los cielosSon las mismas que gobiernan la Tierra.Realidad Blasfémica
Las condiciones para que una estrella se Convierta en un agujero negro se obtuvieronEn una primera aproximación de esta ecuación
La trayectoria que deben seguir las navesEspaciales son trazadas mediante esta ecuación
G = 6.67x10-11 Nm2/kg2
Medida de la Masa de la TierraLa Fuerza gravitacional que actúa sobre una partículaDe masa m se define como el peso
Suponiendo que una masa se encuentra sobre la Superficie de la Tierra, la distancia r es la distancia Entre m y el centro de la Tierra, es decir el radio De la Tierra.
RT =6.378 x 106 m
Si la magnitud a de la aceleración de una naveespacial o de un satélite se mide a una distancia determinada R del centro del planeta , entonces la masa se determina con una generalización de la ecuación anterior
G
arM
2
Satélites artificiales de la Tierra
¿Cuál es la magnitud de la Fuerza Gravitacional que ejerce la Tierra sobreun satélite de 1040 kg que viaja en unaórbita circular de 100kmSobre la superficie de la Tierra?•Determine la magnitud de la aceleración del satélite en dicha órbita.•Determine la velocidad del satéliteen esta órbita•Calcule el periodo del satélite
Velocidad de escape
Cuando se requiere escapar de la superficie de un cuerpo que genera efectos gravitatorios, se requiere para ello una velocidad dada para poder realizarlo, es lo que se denomina «velocidad de escape». Cuando mayor sea la atracción gravitatoria sobre un cuerpo, mayor tiene que ser la velocidad de escape.
E = KE + PEEnergía mecánica total
E = ½ mve² – GMm / R = 0.
½ mve² = GMm / R.
Ve = ( 2GM / R )½.
Newton usó un dibujo parecido al de arriba para analizar la velocidad de escape. Los proyectiles A y B caen a la Tierra. Los proyectiles C y D alcanzan una órbita a una altura fija. Pero, el proyectil E alcanza la velocidad de escape.
Agujeros Negros
• En el siglo XVIII, John Michell(1724 - 1793) se dio cuenta que la velocidad de escape de una estrella lo suficientemente grande y compacta excedería la velocidad de la luz (finita) para originar lo que ahora llamamos agujero negro.
• Ni siquiera la luz puede escapar de un agujero negro, pues v > c. El radio crítico al cual l masa M puede comprimirse para que l velocidad de escape sea igual a la de la Luz se denomina radio de Schwarzschild R,
Leyes de Kepler
Primera ley del movimiento planetario Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos
a
ce
Ecuación de la elipse en coordenadas polares
cos1
1 2
e
ear
Ejemplo Primera LeyCuando un planeta se encuentra en la posición P1 en la figura, está en el perihelio, su distancia más cercana al Sol. Cuando se encuentra en P2 , está en el afelio, su distancia mayor al Sol.
P1 P2
• ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar de una elipse cuando el planeta se encuentra en el afelio?
• Demuestre que el afelio se relaciona con el semieje mayor con la excentricidad de la elipse mediante la siguiente fórmula
)1( earaf
• ¿Cuál es el ángulo Ѳ en la ecuación polar de una elipse cuando el planeta se encuentra en el perihelio?
• Demuestre que el perihelio se relaciona con el semieje mayor con la excentricidad de la elipse mediante la siguiente fórmula
earperi 1
• La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 0.0167 y el semieje mayor de la órbita es de 1.496 x108 km. Determine el afelio y el perihelio.
Segunda Ley de Kepler• Una recta del Sol a un Planeta dado barre
áreas iguales en tiempos iguales
A los segmentos AB y CD les toma el mismo tiempo para recorrer
¿Dónde se mueve con mayor velocidad en el afelio o en el perihelio?
Tercera Ley de Kepler
• El cuadrado del periodo de un satélite es proporcional al cubo del radio de su órbita, siempre que la masa del satélite sea mínima comparada con la masa del planeta
32
2 4r
GMT
Unidades Acostumbradas3
22 4
aGM
T
Unidad astronómica= UA = 1.496x1011 m
Periodo de la Tierra = 1 Año3
22 )1(
4)1( UA
GMa
Por lo tanto 3
22 14
UA
a
GM
La ecuación se simplifica 33
22 1
aUA
aT
• El periodo de la órbita de Júpiter es de 11.87 años. Determine el semieje mayor de la órbita de Júpiter