1-. Teoría de la Elasticidad.

En física el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de

sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas

exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de

la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica

de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado)

se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la

MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son

termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones   en un punto   en un

instante dado dependen sólo de las deformaciones   en el mismo punto y no de las

deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior)

Hipótesis de la teoría de la elástica

Para aplicar la teoría de la elasticidad en los suelos, es necesario hacer las siguientes

hipótesis: a) el suelo es un medio continuo; b) el suelo es un material homogéneo; c) el

suelo es un material isótropo; d) la comprensibilidad medida en el suelo es la misma en

cualquier dirección y e) la relación esfuerzo deformación del suelo es lineal.

Elasticidad Lineal

Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las

deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación

constitutiva:

Cuando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad

lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de

tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir,

que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una

combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un

sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición

Elasticidad no lineal

En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar

un tensor deformación no lineal y no infinitesimal, como en la teoría lineal de la

elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal infinitesimal de Green-

Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Además

matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la

anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de no linealidad

geométrica (pandeo, abolladura, snap-through,...).

Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos

obligados a substituir las ecuaciones de Lamé-Hooke por otro tipo de ecuaciones

constitutivas capaces de dar cuenta de la no linealidad material. Además de las

mencionadas existen otras no linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes

deformaciones. Resumiendo las fuentes de no linealidad serían:1

El tensor deformación no se relaciona linealmente con el desplazamiento  ,

concretamente es una aplicación cuadrática del gradiente de

deformación:  .

Para muchos materiales la ecuación constitutiva es no lineal.

Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el sólido, escrito en

términos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son no

lineales:   y  .

Donde   es el difeomorfismo que da la relación

entre los puntos antes y después de la deformación.

En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos

miembros de las ecuaciones expresados en el dominio de referencia incluyen no

linealidades, por ejemplo cuando en la configuración deformada aparece una

presión normal a la superficie, eso comporta

que 

Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la

deformación, o de la inyectividad en el caso de contactos que envían la auto

penetración del sólido deformado también imponen ecuaciones adicionales que se

expresan en forma de ecuaciones no lineales.

2-. Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad

Las cargas aplicadas sobre el terreno producen deformaciones. En la práctica son de

interés las deformaciones verticales, es decir los asentamientos que se producen en la

superficie del suelo, cuando la carga se aplica sobre el área de la cimentación. Sin

embargo en la siguiente figura se indica dos casos donde es de interés para el ingeniero

deformaciones diferentes a las que ocurren en dirección vertical. Por ejemplo los

corrimientos paralelos a la superficie del terreno son también peligrosos para las

estructuras soportadas, o incluso llegan a ser determinantes. Esto ocurre, por ejemplo,

cuando los movimientos del terreno se deben a excavaciones laterales o profundas.

También es determinante conocer las deformaciones tangenciales y radiales alrededor

del túnel.

Una fundación flexible puede considerarse, cuando existe:

• Almacenamiento de carburantes

• Pilas de minerales

• Almacenamientos a granel

Respecto a los parámetros de elasticidad “E” y “ν”, no son constantes en la masa de

suelo, especialmente en depósitos de arena por esta razón las expresiones obtenidas a

partir de la teoría de elasticidad no se deben aplicar para determinar los asentamientos

en arenas, para ello se existen una serie de métodos empíricos.

En un estrato de arcilla estos parámetros tienen poca variación por tanto la teoría de

elasticidad puede ser aplicada para:

predecir los asentamientos inmediatos llamados también asentamientos elásticos.

Predecir Asentamiento inmediatos que se producen en los depósitos de arcilla

saturada en condiciones no drenadas.

Si la arcilla está saturada, se habla de un módulo no drenado Eu y el coeficiente en esta

caso tendrá un valor de 0.5 (ν= 0.5) y por tanto el asentamiento instantáneo ocurrirá sin

cambio de volumen y con un cien por ciento de distorsión

Asentamientos elásticos bajo una carga concentrada.

Los esfuerzos inducidos depende del tipo de carga (concentrada, lineal, uniformemente

distribuida) y del estado de deformación que induzcan al suelo. Por lo que los

asentamientos que ocurren dependen también de la geometría de las cargas.

Para una carga vertical que actúa en la frontera de un medio elásticos semi-infinito, se

estima el asentamiento bajo una carga usando la fórmula de Boussinesq, para el

esfuerzo vertical.