Módulo

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Recipientes a presión

Tensiones en cilindros de pared gruesa

Fig. 1

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Fig. 2

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Casos particulares

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ECUACIONES DE LAMÉ PARA CILINDROS DE PARED GRUESA

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Fig. 3

Si el recipiente tiene extremos restringidos y cerrados, aparece un esfuerzo longitudinal zz (llamado usualmente l ), con zz =0. La ley de Hooke para la deformación en la dirección z es:

Siendo rr = r y = t

Reordenando la ecuación : zz =(rr + ) y sustituyendo y operando (se sugiere como ejercicio realizar las operaciones):

Para el caso en que los extremos no estén restringidos pero esté cerrado, con presión externa e interna po y pi queda finalmente:

𝜎𝑧𝑧=2(𝑟𝑖2𝑝𝑖−𝑟𝑜2𝑝0

𝑟𝑜2−𝑟𝑖2 )

𝜎𝑧𝑧=𝑟𝑖2𝑝𝑖−𝑟𝑜2𝑝0

𝑟𝑜2−𝑟𝑖2

Ejercicios:

Encontrar las expresiones para los esfuerzos radial y tangencial para los siguientes casos: • Cilindro estático (solo presión externa) • Cilindro rotante no presurizado con agujero central • Cilindro solido rotante no presurizado

Para el caso de cilindro estático sometido solamente a presión interna hagamos la siguiente suposición:

ro – ri = t ri , o lo que es lo mismo que el espesor t es mucho menor a su radio o diámetro medio (por ejemplo del orden de 10 veces: t 10R )

Por lo que las ecuaciones anteriormente desarrolladas quedarían:

= pi (2R2/t2R)= pi (R/t)

𝜎𝑧𝑧=𝑟𝑖2𝑝𝑖−𝑟𝑜2𝑝0

𝑟𝑜2−𝑟𝑖2 = piR2/ (t2R)= pi (R/2t)

O sea que : 𝜎𝑡 = 2𝜎𝑙

Cilindros y esferas de pared delgada

Las paredes de un recipiente de presión «ideal» actúan como una membrana (esto es, no se encuentran afectados por esfuerzos de flexión sobre la mayor parte de su extensión). Una esfera es la geometría óptima para un recipiente a presión cerrado en el sentido de ser la forma geométrica estructuralmente más eficiente. Un recipiente cilíndrico es menos eficiente por dos razones: 1. Los esfuerzos de pared cambian con la dirección, 2. El hecho de cerrarlo con tapas pueden alterar significativamente el estado

ideal de membrana, requiriendo refuerzos locales adicionales. Sin embargo dichos recipientes cilíndricos con más fácil de fabricar y transportar.

Hipótesis Las principales tienen que ver con el espesor de pared y las simetrías geométricas. Ello hace posible obtener esfuerzos de pared promedio mediante la utilización de simples diagramas de cuerpo libre (DCL). Detallaremos las siguientes: 1. Espesor de pared. Se asumirá que la pared es muy delgada comparada con

otras dimensiones del recipiente. Si el espesor es t y la dimensión característica es R (por ej.,el radio del cilindro o esfera) asumiremos que t/R 1 (usualmente 0.1). Como resultado podremos asumir que los esfuerzos son uniformes a través de la pared.

2. Simetrías. En recipientes cilíndricos, la geometría y las cargas tienen

simetría cilíndrica, por lo que los esfuerzos se pueden asumir independientes de la coordenada angular en el sistema cilíndrico. En los esféricos, la geometría y las cargas tienen simetría esférica. De aquí que los esfuerzos pueden asumirse independientes de las dos coordenadas angulares y, de hecho son iguales en todas las direcciones.

3. Presión interna uniforme. Usualmente llamada p, es uniforme. Si el recipiente está presurizado externamente, por ejemplo sometido a presión atmosférica, entonces se define la presión como manométrica (p-po). En el caso de que la presión externa sea mayor, como en el caso de un submarino por ej. las fórmulas deberán de aplicarse con precaución pues puede aparecer otro fenómeno de falla llamado «colapso» debido a inestabilidad o pandeo de la pared.

4. Se ignoran los efectos de borde. Partes que puedan afectar las hipótesis de

simetría se ignorarán. Esto incluye los soportes y las tapas en los cilindros. Esta hipótesis radica en que las distorsiones de los estados de esfuerzos están confinados a regiones locales y pueden ser ignoradas en los diseños básicos.

DCL

Puede observarse que, mientras que el tercer esfuerzo principal es cero sobre la superficie exterior del recipiente, vale –p sobre la interior, y puede representarse por un punto C(-p,0) sobre el círculo de Mohr. De aquí que, cerca de la superficie interior del recipiente, el esfuerzo cortante máximo sea igual al radio de un círculo de diámetro CA y tendremos que:

Recipiente esférico

Una aproximación similar puede utilizarse para derivar una expresión para el caso de un recipiente esférico internamente presurizado y de pared delgada. Utilizaremos coordenadas polares esféricas r, , :

Hipótesis: razonando como en el caso anterior, encontramos que: 1. Todos los esfuerzos cortantes son nulos: r

= r = r = r = = =0 2. El esfuerzo normal rr varía de cero sobre

la superficie libre exterior hasta –p sobre la superficie interior. Luego podemos despreciar dicho valor comparándolo con los otros esfuerzos.

3. Los esfuerzos normales y son iguales y constantes en todo el recipiente. Por simplicidad se le denomina

Al igual que para el cilindro, puede observarse que, mientras que el tercer esfuerzo principal es cero sobre la superficie exterior del recipiente, vale –p sobre la interior, y puede representarse por un punto C(-p,0) sobre el círculo de Mohr. De aquí que, cerca de la superficie interior del recipiente, el esfuerzo cortante máximo sea igual al radio de un círculo de diámetro CA y tendremos que:

Ejemplo

Un tanque de aire comprimido se encuentra soportado por dos cunas como se muestra en la figura, una de ellas está diseñada de forma que no se ejerza ninguna fuerza longitudinal sobre el tanque. La parte cilíndrica del recipiente tiene 30 in de diámetro exterior y está fabricado con chapa de acero de 3/8’’ de espesor soldada a tope con soldaduras que forman 25° con los planos transversales. Los extremos son tapas esféricas con un espesor uniforme de 5/16’’ . Para una presión manométrica interna de 180psi determine: (a) Los esfuerzos normales y el cortante

máximo en las tapas (b) Los esfuerzos en las direcciones

perpendicular y paralela a los cordones de soldadura.

Ejercicio

Considere un recipiente a presión cilíndrico de espesor 2mm y Dm=200mm sometido a una presión interna p=700000pa y a un momento torsor externo T=5000Nm . Se pide: a) Realizar los círculos de Mohr correspondientes a este estado de tensiones

analizando que pasa en la superficie interior y en la exterior. b) Ídem anterior si además actúa una fuerza exterior de compresión F=

2000N sobre las tapas c) Determinar el espesor mínimo requerido sabiendo que el material del

recipiente es un acero tipo ASME SA 516 Gr70 con una Sy= 260Mpa