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Representacao de um conjunto de Matrizes Operacoes Matrizes e Imagens Digitais

Matrizes - Soma e Produto por Escalar

Prof. Marcio Nascimento

UVA-CCETCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2016.1

9 de novembro de 2016

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Sumario

1 Representacao de um conjunto de Matrizes

2 OperacoesSoma de MatrizesProduto por escalar

3 Matrizes e Imagens Digitais

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Sumario




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Matriz

Uma matriz nada mais e do que um conjunto de numeros reais(ou complexos) dispostos em linhas e colunas

Por exemplo, [1 2 34 5 6

]e uma matriz formada por numeros reais com duas linhas etres colunas.

Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (comelementos reais) com duas linhas e tres colunas por R2×3.

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EXEMPLOS

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ R3×3

B =

[(2i) (4− 2i) (7i) (5)

(0) (−3 + 7i) (12i) (5−√

2i)

]∈ C2×4

A =

4 2 12 3 −10 1 7

∈ C3×3

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GENERALIZANDO

Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradasreais;

Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradascomplexas.

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NOTACAO

A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

∈ Rn×m(ou ∈ Cn×m)

ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;

Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;

a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;

a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;

A = [ars ]n×m: r ∈ 1, 2, ..., n e s ∈ 1, 2, ...,m

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EXEMPLOEsbocar a matriz A = [ars ] ∈ R4×3 tal que ars = r2 − s.

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

A =

(12 − 1) (12 − 2) (12 − 3)(22 − 1) (22 − 2) (22 − 3)(32 − 1) (32 − 2) (32 − 3)(42 − 1) (42 − 2) (42 − 3)

A =

0 −1 −23 2 18 7 6

15 14 13

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Importante

Uma vez que todo numero real tambem e um numero complexo,podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando anotacao

Cn×m

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Sumario




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Considere um conjunto Ω nao vazio.

Podemos obter uma estrutura algebrica ao definirmos umaoperacao (∗) entre os elementos de Ω;

Os elementos de Ω, sob a influencia da operacao ∗, possuemalgumas propriedades;

Se consideramos um conjunto de matrizes, entao a AlgebraMatricial consiste da operacao entre matrizes e suaspropriedades.

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EXEMPLOConsidere o conjunto nao vazio

Ω = matriculados em Algebra Matricial no semestre 2015.2

Operacao: x ∗ y =mais bonito entre x e y

Propriedade: x ∗ y = y ∗ x

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IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Antes de definirmos as operacoes, vamos estabelecer que duasmatrizes sao IGUAIS quando possuem a mesma ordem e oselementos correspondentes (posicoes) sao iguais.

Exemplo:

321

=

√

9√4

50

Exemplo:

[(2− 4i)(1 + 2i)

]6=[(2− 4i) (1 + 2i)

]

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Considere duas matrizes A,B de mesma ordem n ×m. A somaA + B e a matriz tambem de ordem n ×m obtida pela soma dasentradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posicoes.

Exemplo: A =

[3 2 14 −1 5

], B =

[7 0 2−5 −4 2

]A + B =

[(3 + 7) (2 + 0) (1 + 2)

(4 + (−5)) (−1 + (−4)) (5 + 2)

]A + B =

[10 2 3−1 −5 7

]

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Considerando as matrizes

A =

[3 2 14 −1 5

], B =

7 0 2−5 −4 20 0 0

o que se pode dizer sobre a soma A + B?

Nao esta definida, pois A tem ordem 2× 3 e B tem ordem3× 3.

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Usando a notacao matricial:

Se A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m,

entao A + B = [(ars + brs)]n×m

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

Propriedades da SomaSejam A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m e C = [crs ]n×m com entradasreais ou complexas. Sao validas as seguintes propriedades:

Associatividade: A + (B + C ) = (A + B) + C

Comutatividade: A + B = B + A

Existencia de Elemento Neutro: Existe uma matriz X0 deordem n ×m tal que A + X0 = A qualquer que seja a matrizA de ordem n ×m.

Existencia de Inverso Aditivo: Para cada matriz A deordem n ×m, existe uma matriz A′ tal que A + A′ = X0.

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Soma de Matrizes

Soma de Matrizes

EXEMPLO

Qual o elemento neutro, com relacao a operacao SOMA, noconjunto de matrizes C2×2?

=⇒ 0 =

[0 00 0

]Qual o inverso aditivo da matriz A =

[(3 + 2i) (−2 + i)

]em

C1×2?

=⇒ −A =[(−3− 2i) (2− i)

]

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Soma de Matrizes

Subtracao

Dadas duas matrizes A = [ars ] e B = [brs ], ambas de mesmaordem, definimos a subtracao da seguinte forma:

A− B = A + (−B)

Ou seja,

A− B = [ars ] + [−brs ]

= [(ars + (−brs))]

= [(ars − brs)]

Isto e, a subtracao de duas matrizes se da elemento aelemento.

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Soma de Matrizes

Subtracao

EXEMPLO Considere as matrizes

A =

3 2 14 5 68 9 0

, B =

1 2 36 5 40 9 8

A− B =

2 0 −2−2 0 28 0 −8

B − A =

−2 0 22 0 −2−8 0 8

Veja que, em geral, a subtracao e NAO COMUTATIVA.

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Produto por escalar

Produto por escalar

O quadro abaixo mostra o preco de 1kg de duas marcas de arrozem quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade.

A

E1 E2 E3 E4

A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de10% nos precos de todas as suas mercadorias. Como fica onovo quadro com os precos de arroz?

B

E1 E2 E3 E4

A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

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Produto por escalar

Produto por escalarVejamos as duas tabelas

A

E1 E2 E3 E4

A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00

A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10

B

E1 E2 E3 E4

A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80

A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89

Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes:

A =

[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]B =

[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]22 / 34


Produto por escalar

Produto por escalar

Qual a relacao entre as entradas correspondentes das matrizes A eB?

A =

[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10

]B =

[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89

]ars/brs e sempre igual?

Se foi dado um desconto de 10%, entao o novo preco (matrizB) corresponde a 0,9 do preco antigo (matriz A), isto e:

brs = 0, 9.ars para todas as entradas.

Escreveremos B = 0, 9.A

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Produto por escalar

Produto por escalar

Generalizando Seja A uma matriz de ordem n×m e α um escalar(numero real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz Ae definido por:

α.A = [α.ars ]

α.

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

=

(α.a11) (α.a12) . . . (α.a1m)(α.a21) (α.a22) . . . (α.a2m)

......

...(α.an1) (α.an2) . . . (α.anm)

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Produto por escalar

Produto por escalar

Propriedades Sejam A,B matrizes de mesma ordem e α, βescalares.

α.(β.A) = (α.β).A

α.(A + B) = α.A + α.B

(α + β).A = α.A + β.A

Existe um escalar x0 tal que x0.A = A para qualquer matriz A.

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Produto por escalar

Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0.A = A paraqualquer matriz A.

Vamos resolver a equacao x .A = A.

x .A = A =⇒ x .[ars ] = [ars ]

=⇒ [(x .ars)] = [ars ]

=⇒ x .ars = ars para todo r ∈ 1, ..., n, s ∈ 1, ..., n=⇒ x = 1

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Sumario




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Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.

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Imagens coloridas: tres matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e255.

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Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor paracada ’pixel’.

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Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidadedas cores, isto e, multiplicar uma (ou duas, ou tres) das matrizesR,G,B por escalar(es).

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R = [rij ]1920×1080 =

r11 r12 . . . r1,1080

r21 r22 . . . r2,1080

......

...r1920,1 r1920,2 . . . r1920,1080

G = [gij ]1920×1080, B = [bij ]1920×1080

1.R, 1.G , 1.B α.R α.R, βG , γB

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