matriz conceitos básicos histórico n século xix n inglaterra n matemático e astrônomo: arthur...
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Matriz
Conceitos Básicos
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Histórico
Século XIX Inglaterra Matemático e Astrônomo:
Arthur Cayley
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Matrizes e suas utilizações
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Utilizações
Resolução de Sistemas Lineares
1
5
yx
yx
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Engenharia
Cálculo estrutural. Fenômenos dos
transportes. Planilhas de cálculo. Cálculo de áreas.
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Engenharia
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Armando o sistema de forças
mnmnmmm
nn
nn
nn
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
kxaxaxaxa
...
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
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Estatística
Confecção de tabelas
Levantamentos de campo.
Cálculos.
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Tecnologia mundial
Diversas áreas do conhecimento humano
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Sistemas Computacionais
Essencial para analistas de sistemas e programação com variáveis indexadas.
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Conceito
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Matriz
É toda tabela retangular, formada por elementos dispostos em linhas e colunas.
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Tabela
Alunos I U II U III U IV U
Alessandra 5 9 9 8
Roberta 6 8 9 8
Fernanda 7 8 9 7
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Notações
Podemos escrever matrizes das seguintes formas:
7987
8986
8995
7987
8986
8995
7987
8986
8995
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Linhas e Colunas
Linhas
7987
8986
8995
Colunas
3 linhas4 colunas
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Linguagem matemática
Dados 2 números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (mxn) a uma tabela cujos elementos estão dispostos em m linhas e n colunas
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Ordem da matriz
Na matriz M,
m=3
n=4
7987
8986
8995
M
3x4
Ordem da matriz
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Aplicação 01
Qual a ordem das matrizes abaixo?
06¶
123418log
532º30sen
2A
0531 B
41
53
20
C
3x3
1x4
3x2
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Identificando cada elemento
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Planilha do Excel
Cada célula é um elemento da Matriz
Células 6C 3B 1D
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Feita para possibilitar a comunicação de leigos
Observe que qualquer pessoa identifica a célula pela letra e pelo número.
3F ou F3 se referem à mesma célula.
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Em matemática é convencionado:
Se quisermos identificar a posição do elemento 6
7987
8986
8995
M
Linha 2Coluna 1Ou simplesmente: a21
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Convenção
Sempre diz-se primeiro a linha depois a coluna Assim:
ai j
Linha Coluna
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Elemento genérico
i: linha onde o elemento se encontra j: coluna do elemento
ija
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Matriz Genérica
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
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Aplicação 02
Dada a matriz
41
53
20
C
Identifique os elementosc12
c32
c22
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Aplicação 03
Determinar a matriz
A = (aIJ)3x2 onde
aIJ = i + j
a11 = 1 + 1 a12 = 1 + 2
i j i + j
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Resolução - Aplicação 03
Como a matriz é de ordem 3x2
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
233231
2221
1211
xaa
aa
aa
A
Matriz genérica
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Resolução - Aplicação 03
a11= 1+1 = 2
a12= 1+2 = 3
a21= 2+1 = 3
a22= 2+2 = 4
a31= 3+1 = 4
a32= 3+2 = 5
Assim:
2354
43
32
x
A
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Matriz retangular
Toda matriz é retangular.
7987
8986
8995
M
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Matrizes especiais
Nomenclaturas
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Matriz linha
É toda matriz do tipo 1xn Formada por apenas uma linha
413021 xL
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Matriz coluna
É toda matriz do tipo mx1 Formada por apenas uma coluna
0
5
¶
C
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Matriz nula
É uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero
000
000
000
O
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Matriz quadrada
É toda matriz do tipo nxn O número de linhas é igual ao número
de colunas
12
01A
33531
3250
1071
x
B
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443236
5012
4110
3781
x
M
Diagonal Principal
Apenas em matrizes quadradas
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Índices da diagonal principal
Os elementos da diagonal principal possuem índices iguais:
a11 a22 a33 a44 ... ann
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Diagonal secundária
A soma dos índices é igual a n+1
443236
5012
4110
3781
x
M
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Índices da diagonal secundária
Os índices dos elementos da diagonal secundária somam n+1
555554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
xaaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
S
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Matriz diagonal
É toda matriz quadrada de ordem n>1 em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
A=(aij) em que aij=0 para todo i j
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Matriz diagonal - exemplo
A=(aij) em que aij=0 para todo i j
442000
0300
0000
0001
x
D
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Matriz identidade
É uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a um.
10
012I
100
010
001
3I
1000
0100
0010
0001
4I
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Igualdade de Matrizes
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Igualdade
A=B sse cada
aIJ = bIJmxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
mxnmnmmm
n
n
n
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
B
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
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Aplicação 04
Calcule x, y e z para que as matrizes abaixo sejam iguais.
z
y
x
12
230
241
712
30
24