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I. OPERACIÓN DE MATRICES

A. Matriz

Una matriz es una arreglo rectangular de números llamados entradas.

Se le denomina m al número de renglones y n al número de columnas. Es decir que una

matriz es de tamaño m x n.

Ejemplo:

B. Matriz cuadrada

Si una matriz posee el mismo número de renglones y columnas se dice que la matriz es

cuadrada. Esta se subdivide en varios tipos de matriz.

Ejemplo:

1. Matriz diagonal

Se le llama entradas diagonales si es posible trazar una diagonal en la matriz;

algebraicamente se denomina de esta forma aii.

La matriz diagonal tiene todas sus entradas no diagonales 0.

Ejemplo:

2. Matriz escalar

Es una matriz que tiene todas sus entradas diagonales iguales.

Ejemplo:

3. Matriz identidad

Matriz en la que todas las entradas diagonales tienen un valor de 1. Se le denomina

con la letra I.

Ejemplo:

4. Igualdad de matrices

Si las matrices son del mismo tamaño y sus entradas correspondientes son iguales,

entonces son iguales.

C. Suma de matrices

Se realiza por componentes, es decir que la suma se obtiene al sumar las entradas de las

matrices involucradas. Es necesario que sean del mismo tamaño. (A+B)

Ejemplo:

1. Múltiplo escalar

Si Aes una matriz m x n y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la

matriz que se obtiene al multiplicar el escalar por cada componente.

2. Matriz negativa

Es la matriz -1(A). Se puede utilizar para definir la diferencia de dos matrices.

Ejemplo:

3. Matriz cero

Es una matriz cuya entradas son igual a 0, se denota O.

D. Multiplicación de matrices

Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de n x r entonces el producto de esas

matrices será una matriz C m x r. Se observa que las matrices no deben ser del mismo

tamaño, únicamente que el número de columna de A debe ser igual al número de

renglones de B. Se multiplica cada componente y se suman.

Ejemplo:

E. Potencia de matrices

Cuando Ay B son matrices cuadradas su producto también será una matriz cuadrada.

Un caso especial se da cuando A=B. entonces tiene sentido definir A2=AA o bien

cualquier factor k Ak.

Si k es igual a 1 entonces A1=A; si bien k=0 entonces A

0=In no igual a 0.

Ejemplo:

F. Transpuesta de una matriz

Esta matriz se obtiene al intercambiar los renglones y columnas de A.

Ejemplo:

G. Matriz simétrica

Si la matriz A es cuadrada y si su transpuesta es igual a la matriz original se dice que la

matriz es simétrica. NOTA: las entradas no diagonales deben ser iguales para que al

transponer la matriz quede igual.

Ejemplo:

H. Matriz antisimétrica

Si la matriz transpuesta de A es igual a la negativa de la matriz A entonces se dice que

la matriz es antisimétrica. NOTA: las entradas diagonales deben ser cero para que se

cumpla esto.

Ejemplo:

I. Traza de una matriz

Es la suma de la diagonal de una matriz cuadrada.

Ejemplo:

J. Matrices triangulares

1. Triangular superior

Las entradas arriba de las entradas diagonal son diferentes a cero, y las debajo de la

diagonal son cero.

Ejemplo:

2. Triangular inferior

Las entradas debajo de las entradas diagonal son diferentes a cero, y arriba de la

diagonal son cero.

Ejemplo:

Combinación Lineal

Para cada matriz A hay un escalar diferente. Sea A1, A2, Ak y C1, C2, Ck se puede formar

C1A1 + C2A2 + … + CkAk

Los escalares C1, C2, Ck se denominan los coeficientes.

Independencia Lineal

Se dice que {A1, A2 … Ak es linealmente independiente si existen escalares C1, C2, … Ck tales

que C1A1 + C2A2 + … + CkAk = 0

Se tiene que todos los escalares C1, C2, … Ck son cero. Con uno de los escalares que sea

distinto de cero el conjunto será linealmente dependiente.

Determinantes

El determinante de una matriz es un escalar. Sólo existe si la matriz es cuadrada.

Notación:

Si A es una matriz de n x n, el determinante de A se denota por |A| o det A

¿Como encontrarlo?

o Si A es |X| (1 x 1), entonces A= [a 11]

A= |a11|

o Si A es

Entonces det A= a11a22 – a21a12

o Si A=

Entonces para encontrar det A, se copia las primeras 2 columnas al lado derecho y

se trazan las diagonales siguiendo un proceso análogo al que se hace para

encontrar el determinante de una matriz de 2x2.

det A=( a11a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32) - ( a31 a22a13

+ a32a23a11 + a33a21a12)

Este procedimiento sólo es válido para matices de 3x3.

o Para matrices de nxn (n≥2), se encuentra el determinante usando cofactores. El cofactor ij Cij = (-1)i+j det Ai j donde Ai j es la submatriz que se

obtiene al eliminar el renglón i y la columna j.

Se llama menor ij al det Ai j

Se utiliza la expansión a lo largo de un renglón o de una columna.

Ejemplo.

Si

, entonces se buscan los cofactores. En este caso se toma el segundo renglón.

C21= (-1) 2+1 det

= -16

C22= (-1) 2+2 det

= -2

C23= (-1) 2+3 det

= 13

det B= -1(-16)+ 0 (-2) + 1(13)

det B= 29

Teorema de Laplace

Este teorema establece que para llevar a cabo el procedimiento anterior se puede usar cualquier

renglón o cualquier columna y se obtiene exactamente el mismo resultado.

Propiedades de los determinantes

La matriz A tiene que ser cuadrada para que exista la propiedad

o Si A tiene un renglón o columna cero entonces det A= 0 o Si B se obtiene al intercambiar dos renglones o columnas de A, entonces

det B= -det A o Si A tiene dos renglones o columnas idénticos entonces det A = 0.

o Si B se obtiene al multiplicar un renglón o columna de A por escalar k, entonces det B = k det A

o SI A,B y C son idénticas excepto que el iésimo renglón o columna de C sea la sima de los iésimos renglones.

o Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, entonces det B = det A.

Matriz Adjunta

La matriz adjunta de A se denota por adj A y se encuentra usando los cofactores de A.

La adj A es igual a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores

Otros metodos

Método de Gauss-Jordan

Este método puede utilizarse para calcular la inversa.

Si A es una matriz cuadrada y una secuencia de operaciones elementales con renglones

reduce A a I, entonces la misma secuencia de operaciones elementales transforma I en A-1.

Si A no puede reducirse a I, entonces el teorema garantiza que A no es invertible.

El procedimiento descrito es la eliminación de Gauss-Jordan efectuada sobre una matriz

aumentada de nx2n.

Método de Cramer

Es una fórmula para describir la solución de ciertos sistemas de n ecuaciones lineales con n

variables completamente en términos de determinantes.

Ejemplo

2x – y

x+ 3y= 1

Se escribe la matriz aumentada

Para resolver para cada variable se escribe el vector de términos constantes en lugar de

los coeficientes de la variable correspondiente.

x=

=

=2

y= =

=

= -1

Matriz inversa

Si A=

entonces A es invertible si ad – bc ≠ 0, en cuyo caso

A-1=

Es decir, se multiplica

por la matriz que resulta al intercambiar las entradas de la

diagonal principal de A y al cambiar los signos de las otras dos entradas.

Ej.

Si A=

det A= -2

A-1 =

=

Propiedades de las inversas

o La inversa de la inversa (A-1)-1 = A o (cA)-1 = (1/c)A-1 o (AB)-1= B-1A-1 o (A1A2 … An)-1 = An

-1 A2-1 … A1

-1 o (AT) -1 = (A-1)T o (An)-1 = (A-1)n o A-n = (An) -1 = (A-n)n

Matrices elementales

Es una matriz que se obtiene de hacer una operación de renglón a la matriz identidad.

Ejemplo.

Tomamos una matriz identidad 2x2

Operación de renglón Matriz elemental correspondiente

R1 R2 E1

3R2 E2

R1 – 4R2 E3