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Matrix Mortality Problem

湯山孝雄 (Yuyama Takao)

東京工業大学理学院数学系数学コース修士課程 1年

2018年 11月 24日 @ 数学基礎論若手の会 2018

1 Matrix Mortality Problem

2 3× 3の場合の決定不能性

3 2× 2の場合について

4 アプローチ: Reachabilityによる言い換え

湯山孝雄 (Yuyama Takao) (東工大) Matrix Mortality Problem 2018/11/24 2 / 22

Matrix Mortality Problemとは

▶ 決定問題 (decision problem)の一種

n ≥ 1を自然数とする．

Matrix mortality problem for n× n matrices

Input: 行列の有限集合 F = {M1,M2, . . . ,Mm} ⊆ Mn(Z)Question: F が生成する乗法半群 ⟨F ⟩は零行列 0を含むか？(i.e. ∃(i1, . . . , ik) ∈ {1, 2, . . . ,m}<ω [Mi1Mi2 · · ·Mik = 0]か？ )

n = 2の場合の例

(1 00 0

),M2 =

(0 −11 0

)}のとき，M1M2M1 = 0．一方，

F ′ =

{M ′

(1 23 4

),M ′

(0 −32 4

)}のとき ⟨F ′⟩ ∋ 0． (正則行列なので)

▶ ⟨F ⟩ ∋ 0のとき，F は mortalであるという．湯山孝雄 (Yuyama Takao) (東工大) Matrix Mortality Problem 2018/11/24 4 / 22

Matrix Mortality Problemとは

▶ 決定問題 (decision problem)の一種

n ≥ 1を自然数とする．

Matrix mortality problem for n× n matrices

Input: 行列の有限集合 F = {M1,M2, . . . ,Mm} ⊆ Mn(Z)Question: F が生成する乗法半群 ⟨F ⟩は零行列 0を含むか？(i.e. ∃(i1, . . . , ik) ∈ {1, 2, . . . ,m}<ω [Mi1Mi2 · · ·Mik = 0]か？ )

n = 2の場合の例

(1 00 0

),M2 =

(0 −11 0

)}のとき，M1M2M1 = 0．一方，

F ′ =

{M ′

(1 23 4

),M ′

(0 −32 4

)}のとき ⟨F ′⟩ ∋ 0． (正則行列なので)

▶ ⟨F ⟩ ∋ 0のとき，F は mortalであるという．湯山孝雄 (Yuyama Takao) (東工大) Matrix Mortality Problem 2018/11/24 4 / 22

3× 3のMatrix Mortality Problemは決定不能である

定理 (Peterson, 1970)

Matrix mortality problem for 3× 3 matricesは決定不能．

▶ 証明には Postの対応問題 (Post correspondence problem; PCP)を用いる．

復習: Postの対応問題

Post correspondence problem; PCP

Input: 文字列の組の有限集合 {(u1, v1), (u2, v2), . . . , (um, vm)}Question: ∃(i1, i2, . . . , ik) ∈ {1, 2, . . . ,m}<ω [ui1ui2 · · ·uik = vi1vi2 · · · vik ]か？

入力を

とすると

[ababababbaaaa

ababababbaaaa

事実

PCPは決定不能．

入力を

とすると

[ababababbaaaa

ababababbaaaa

事実

入力を

とすると

[ababababbaaaa

ababababbaaaa

事実

PCPの決定不能性の証明

▶ Turing機械の計算をシミュレートすればよい:

#q0ab#

][ ][q1b

][ ][bq1q2b

][ ][#

][q3q0

][ ][ ][#

][ ][q0qaccept

][ ][#

][ ][ ][

qacceptqaccept

][ ][qacceptqaccept

][qacceptqaccept

][qaccept##

▶ 詳細は割愛．▶ 実際には文字は 2種類あれば十分 (i番目の文字を 1 0 · · · 0︸︷︷︸

で置き換えればよいので)．

PCPの決定不能性の証明

▶ Turing機械の計算をシミュレートすればよい:

#q0ab#

][ ][q1b

][ ][bq1q2b

][ ][#

][q3q0

][ ][ ][#

][ ][q0qaccept

][ ][#

][ ][ ][

qacceptqaccept

][ ][qacceptqaccept

][qacceptqaccept

][qaccept##

▶ 詳細は割愛．▶ 実際には文字は 2種類あれば十分 (i番目の文字を 1 0 · · · 0︸︷︷︸

で置き換えればよいので)．

線形代数からの準備

補題 (Bournez & Branicky, 2002, Lemma 2)

X0, X1, . . . , Xk を rankXi = 1の n× n行列，W1, . . . ,Wk を rankWi = nの n× n行列とする．このとき，

X0W1X1 · · ·Xk−1WkXk = 0 (1)

ならばある iについてXiWi+1Xi+1 = 0.

証明.

Xk−1WkXk = 0ならよい．Xk−1WkXk = 0とする．一般に ImXk−1WkXk ⊆ ImXk−1 であり，両辺の dimをとると 0 < rankXk−1WkXk ≤ rankXk−1 = 1を得る．したがってImXk−1WkXk = ImXk−1 だから (1)より X0W1X1 · · ·Wk−1Xk−1 = 0となる．あとはこれを繰り返せばよい．

線形代数からの準備

補題 (Bournez & Branicky, 2002, Lemma 2)

X0, X1, . . . , Xk を rankXi = 1の n× n行列，W1, . . . ,Wk を rankWi = nの n× n行列とする．このとき，

X0W1X1 · · ·Xk−1WkXk = 0 (1)

ならばある iについてXiWi+1Xi+1 = 0.

証明.

Xk−1WkXk = 0ならよい．Xk−1WkXk = 0とする．一般に ImXk−1WkXk ⊆ ImXk−1 であり，両辺の dimをとると 0 < rankXk−1WkXk ≤ rankXk−1 = 1を得る．したがってImXk−1WkXk = ImXk−1 だから (1)より X0W1X1 · · ·Wk−1Xk−1 = 0となる．あとはこれを繰り返せばよい．

決定不能性の証明 (1/3)

▶ 基本的なアイデア: 文字列の組の結合を行列の積でシミュレートする．▶ w = w1w2 · · ·wl ∈ {2, 3}∗ に対し，σ(w) :=

∑li=1wi10

l−i とおく．▶ u, v ∈ {2, 3}∗ に対し

W (u, v) :=

10|u| 0 0

0 10|v| 0σ(u) σ(v) 1

とおくと，W (u, v)W (u′, v′) = W (uu′, vv′)が成り立つ (|u|は uの長さ)．

W (23, 2)W (223, 32) =

100 0 00 10 023 2 1

1000 0 00 100 0

223 32 1

100000 0 00 1000 0

23223 232 1

= W (23223, 232).

▶ 基本的なアイデア: 文字列の組の結合を行列の積でシミュレートする．▶ w = w1w2 · · ·wl ∈ {2, 3}∗ に対し，σ(w) :=

∑li=1wi10

l−i とおく．▶ u, v ∈ {2, 3}∗ に対し

W (u, v) :=

10|u| 0 0

0 10|v| 0σ(u) σ(v) 1

とおくと，W (u, v)W (u′, v′) = W (uu′, vv′)が成り立つ (|u|は uの長さ)．

W (23, 2)W (223, 32) =

100 0 00 10 023 2 1

1000 0 00 100 0

223 32 1

100000 0 00 1000 0

23223 232 1

= W (23223, 232).

rankが 1の行列 S, T を

S := s1s⊤2 =

(1 0 1

), T := t1t

⊤2 =

1−10

(1 −1 0

)とおくと，

s⊤2 W (u, v) =(σ(1 ⌢ u) σ(v) 1

), x⊤s1 = 0 ⇐⇒ x⊤ =

(0 x y

t⊤2 W (u, v) =(10|u| −10|v| 0

), x⊤t1 = 0 ⇐⇒ x⊤ =

(x x y

)となるので，任意の u, v ∈ {1, 2, 3}∗, X, Y ∈ {S, T}に対して

XW (u, v)Y = 0 =⇒ X = S, Y = T, 1 ⌢ u = v. (2)

よって，PCPの入力 (u1, v1), . . . , (um, vm) ∈ {2, 3}∗ に対し，

F := {S, T,W (u1, v1), . . . ,W (um, vm),W (1 ⌢ u1, v1), . . . ,W (1 ⌢ um, vm)}

とおけば，補題と (2)より

⟨F ⟩ ∋ 0 ⇐⇒ ∃(i1, . . . , ik) [SW (1 ⌢ ui1 , vi1)W (ui2 , vi2) · · ·W (uik , vik)T = 0]

⇐⇒ ∃(i1, . . . , ik) [ui1ui2 · · ·uik = vi1vi2 · · · vik ]

となる．(証終)

Decidable or not?

Matrix mortality problem for 2× 2 matricesの決定可能性は現在のところ未解決である．部分的な結果として次のようなものが知られている．

▶ 3× 3の場合は決定不能 (Peterson, 1970 (今やった))⇝ 行列のサイズによらない方法で決定可能であることを示すことはできない．

▶ R成分の mortality problemを考えると BSS-undecidable (Bournez & Branicky, 2002)⇝ 任意の体で通用する方法で決定可能であることを示すことはできない．

▶ モノイドの埋め込み Σ∗ × Σ∗ ↪→ M2(C)は存在しない (Cassaigne et al., 1999)⇝ 3× 3のときと同じ手法を用いて決定不能であることを示すことはできない．

▶ 入力を GL2(Z) ∪ {M ∈ M2(Z) | detM = 0 }に制限すると決定可能 (Potapov &Semukhin, 2017)(PSL2(Z) ∼= ⟨S,R | S2 = R3 = 1⟩という事実を利用する)⇝ GL2(Z)の行列のみを用いて決定不能であることを示すことはできない．

▶ 入力を行列の組 {M1,M2} ⊆ M2(Z)に制限すると決定可能 (Bournez & Branicky, 2002)

Decidable or not?

Reachabilityによる言い換え (1/3)

▶ 入力にそもそも 0が含まれる場合や，入力が正則行列しかない場合は自明

▶ 入力された行列の rankが全て 1のときは，補題から長さ 2の語が 0かどうかだけ確かめればよいので決定可能⇝ 入力に rank 1と 2が両方含まれる場合が本質的．

rankX = 1ならば X = ( x1x2 )( x3 x4 )の形に書けるので，補題よりMortality problem for 2× 2

matricesは次の決定問題と Turing同値:

Input: rankX = 1, rankWi = 2なる有限集合 F = {X,W1, . . . ,Wm} ⊆ M2(Z)Question: ∃(i1, . . . , ik) [XWi1 · · ·WikX = 0]か？

▶ 入力にそもそも 0が含まれる場合や，入力が正則行列しかない場合は自明

▶ 入力された行列の rankが全て 1のときは，補題から長さ 2の語が 0かどうかだけ確かめればよいので決定可能⇝ 入力に rank 1と 2が両方含まれる場合が本質的．

rankX = 1ならば X = ( x1x2 )( x3 x4 )の形に書けるので，補題よりMortality problem for 2× 2

matricesは次の決定問題と Turing同値:

Input: rankX = 1, rankWi = 2なる有限集合 F = {X,W1, . . . ,Wm} ⊆ M2(Z)Question: ∃(i1, . . . , ik) [XWi1 · · ·WikX = 0]か？

▶ X2 = 0の場合は自明だから X2 = 0の場合を考える．

▶ X = xy⊤ と書くと，

⟨F ⟩ ∋ 0 ⇐⇒ ∃(i1, . . . , ik) [y⊤Wi1 · · ·Wikx = 0].

▶ 行列やベクトルを定数倍しても，積が 0行列になるかどうかには影響がない⇝ 分母を払えば Qで考えても Zで考えても同じ．⇝ 正則行列は PGL2(Q) := GL2(Q)/Q× の元に置き換える．⇝ ベクトルは射影直線 P1(Q) := (Q2 \ {(0, 0)})/Q× = Q ∪ {∞}の点に置き換える．

▶ 一次分数変換 (Mobius変換)によって自然な群の作用 PGL2(Q) ↷ P1(Q)が定まる:

PGL2(Q) ∋[a bc d

]←→ f(z) =

az + b

cz + d: Q ∪ {∞} → Q ∪ {∞}.

▶ X2 = 0の場合は自明だから X2 = 0の場合を考える．

▶ X = xy⊤ と書くと，

⟨F ⟩ ∋ 0 ⇐⇒ ∃(i1, . . . , ik) [y⊤Wi1 · · ·Wikx = 0].

▶ 行列やベクトルを定数倍しても，積が 0行列になるかどうかには影響がない⇝ 分母を払えば Qで考えても Zで考えても同じ．⇝ 正則行列は PGL2(Q) := GL2(Q)/Q× の元に置き換える．⇝ ベクトルは射影直線 P1(Q) := (Q2 \ {(0, 0)})/Q× = Q ∪ {∞}の点に置き換える．

▶ 一次分数変換 (Mobius変換)によって自然な群の作用 PGL2(Q) ↷ P1(Q)が定まる:

PGL2(Q) ∋[a bc d

]←→ f(z) =

az + b

cz + d: Q ∪ {∞} → Q ∪ {∞}.

以上より matrix mortality problem for 2× 2 matricesは次の決定問題と Turing同値:

Reachability problem for PGL2(Q) ↷ P1(Q)

Input: 2点 P,Q ∈ P1(Q)と有限個のMobius変換 {φ1, . . . , φm} ⊆ PGL2(Q)Question: ∃(i1, . . . , ik) [φi1 ◦ · · · ◦ φik(P ) = Q]か？

▶ 群 PGL2(Q)を部分群に制限すると自然に色々な変種を考えることができる．

入力の制限いろいろ (1/3)

▶ (P)GL2(Z)に制限すると決定可能 (Potapov & Semukhin, 2017)

PSL2(Z) ∼= ⟨S,R | S2 = R3 = 1⟩は構造がよくわかっており，正規言語 (NFA)との相性がよい

▶ 一方，PGL2(Q)については全然わかっていないそもそも有限生成ではない．素数で添字付けられた可算個の生成元を考えても，関係式が全然わからない (未解決)．

⇝ もう少しわかりやすい部分群を考えたい．

▶ (P)GL2(Z)に制限すると決定可能 (Potapov & Semukhin, 2017)

PSL2(Z) ∼= ⟨S,R | S2 = R3 = 1⟩は構造がよくわかっており，正規言語 (NFA)との相性がよい

▶ 一方，PGL2(Q)については全然わかっていないそもそも有限生成ではない．素数で添字付けられた可算個の生成元を考えても，関係式が全然わからない (未解決)．

⇝ もう少しわかりやすい部分群を考えたい．

▶ PSL2(Z[1/p]) (p = 2, 3)で決定可能性 (または決定不能性)が言えないか？PSL2(Z)の拡張になっているPGL2(Q)と違い有限生成になっているSL2(Z[1/p])は関係式がわかっている (Serre):

SL2(Z[1/p]) = SL2(Z) ∗Γ0(p) SL2(Z)∼= ⟨S, T, Sp | S4 = 1, S2 = S2

p = (ST )3 = (SpTp)3, STS−1 = SpT

S−1p ⟩,

∴ PSL2(Z[1/p]) = ⟨S,R, Sp, Rp | S2 = R3 = S2p = R3

p = 1, SpRp = (SR)p, RS = (RpSp)p⟩.

PSL2(Z)と異なり，元の “canonicalな”表示がない⇝ NFAを利用するのは難しそう？とはいえ，決定不能な問題を簡単に埋め込めるほど複雑なわけでもない⇝ 帯に短し襷に長し……

▶ アフィン変換群 φ(z) = az + b (a ∈ Q×, b ∈ Q)のなす群さらに簡単な場合として，ある数 pについて φ(z) = pez + b (e, b ∈ Z)の形の変換だけ考える

e ∈ Nだと決定可能 (一般に，Z[x]による reachabilityが決定可能) (Finkel et al., 2013)

このとき，Hp(z) = pz, T (z) = z + 1によって ⟨Hp, T | HpTH−1p = T p⟩と書ける

この群は Baumslag-Solitar group BS(1, p)と呼ばれている

有限個のアフィン変換 φi(z) = peiz + bi ∈ BS(1, p)を用いて 0 7→ 1とできるかを判定する問題を考える任意の φ ∈ BS(1, p)は HpT

N = TNpHp, TNH−1

p = H−1p T pN を用いると φ = H−m

p TNHnp

(m,n ∈ N, N ∈ Z)の形に書ける (一意ではない)この形の語を canonical wordと呼ぶことにする．0 7→ 1を達成する canonical wordsのなす言語は {H−m

p TNHnp | pm = N }

これは indexed languageになっている (正規言語でも文脈自由でもない)NFA (φ1 ∪ · · · ∪ φm)+ を改造して canonical wordsを受理するオートマトンを作るNSAで作れる (ような気がする)ただし，一般には indexed languageの disjointnessは決定不能

参考文献

M. Sipser, 計算理論の基礎 [原著第 2版] 2. 計算可能性の理論, 共立出版, 2008.

M. S. Peterson, Unsolvability in 3× 3 Matrices, Stud. Appl. Math. 49 (1970), 105–107.

O. Bournez, M. Branicky, The Mortality Problem for Matrices of Low Dimensions, TheoryComput. Systems 35 (2002) 433–448.

J. Cassaigne, T. Harju, J. Karhumaki, On the undecidability of freeness of matrixsemigroups. Int. J. Algebra Comput. 09 no. 03n04 (1999) 295–305.

I. Potapov, P. Semukhin, Membership Problem in GL(2,Z) Extended by SingularMatrices, MFCS (2017) 1–13.

J.-P. Serre (translated by J. Stillwell), Trees, Springer, 1980.

A. Finkel, S. Goller, C. Haase, Reachability in register machines with polynomial updates,MFCS (2013) 409–420.

matrix mortality problem - takao yuyamat-yuyama.jp/pdfs/matrix-mortality-problem.pdf目次 1 matrix...

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