MATRICES:

INVERSA GENERALIZADA DE

MOORE-PENROSE.

Jorge Eduardo Ortiz Triviño

jeortizt@unal.edu.co

http:/www.docentes.unal.edu.co

2

Elemento: aij

Tamaño: m n

Matriz cuadrada: n n

(orden n)

Elementos de la diagonal: ann

Matrices

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

na

a

a

2

1

)( 21 naaa

Vector columna(matriz n x 1)

Vector fila(matriz 1 x n)

3

211

539

874

,

5106

640

312

BA

395

1179

566

25)1(1016

563490

)8(37142

BA

Suma:

nmij

mnmm

n

n

ak

kakaka

kakaka

kakaka

k

)(

21

22221

11211

A

Multiplicación por un escalar:

4

Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares:

(i) A + B = B + A

(ii) A + (B + C) = (A + B) + C

(iii) (k1k2) A = k1(k2A)

(iv) 1 A = A

(v) k1(A + B) = k1A + k1B

(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A

5

(a)

(b)

Nota: En general, AB BA

86

29,

53

74BA

3457

4878

65)2(36593

87)2(46794

．．．．

．．．．AB

02

34,

72

01

85

BA

66

34

154

07)3(227)4(2

00)3(120)4(1

08)3(528)4(5

．．．．

．．．．

．．．．

AB

Multiplicación:

6

Potencias de una matriz

Sea A, una matriz n × n. Definimos la

potencia m-ésima de A como:

factores m

mAAAAA

7

mnnn

m

m

T

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

A

Transpuesta de una matriz A:

(i) (AT)T = A

(ii) (A + B)T = AT + BT

(iii) (AB)T = BTAT

(iv) (kA)T = kAT

Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT

(ABC)T = CTBTAT

8

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aaA

.

det

332112322311

312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

Determinantes

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11detaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

A

Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

9

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaC

aa

aaC

aa

aaC

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

A

det A = a11C11 + a12C12 + a13C13

El cofactor de aij es

Cij = (–1)i+ j Mij

donde Mij se llama menor.

... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33

Podemos expandir por filas o columnas.

10

351

306

742

A 131211 742

351

306

742

det CCC A

35

30)1(

351

306

742

)1( 111111

C

31

36)1(

351

306

742

)1( 212112

C

51

06)1(

351

306

742

)1( 313113

C

11

120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[2

51

06)1(7

31

36)1(4

35

30)1(2det 312111

A

131211 742

351

306

742

det CCC A

120)6(3)23(6

51

42)1(3

35

74)1(6

306det

3221

232221

CCCA

Más corto desarrollando por la segunda fila...

12

238)]2(5)4(6[7

42

56)1)(7(

042

781

056

)1)(7(

0)7(0

042

781

056

det

3232

332313

CCCA

042

781

056

A

Inversa clásica

La matriz B (denotada por A-1) se denomina

inversa (clásica) de la matriz A si

AB = BA = I

• A-1 no existe para todas las matrices A

• A-1 existe únicamente si A es una matriz

cuadrada y |A| ≠ 0

• Si A-1 existe entonces el sistema de

ecuaciones lineales tiene una

única solución 1x A b

Ax b

14

Inversa de un matrizSea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal que

AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.

Sean A, B matrices no singulares.

(i) (A-1)-1 = A

(ii) (AB)-1 = B-1A-1

(iii) (AT)-1 = (A-1)T

15

Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:

se llama adjunta de A y se denota por adj A.

nnnn

n

n

T

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

21

22212

12111

21

22221

11211

Matriz adjunta

16

AA

A adjdet

11

A

A

A

AA

det00

0det0

00det

)adj(

332313

322212

312111

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

aaa

aaa

aaa

Encontrar la matriz inversa:

Sea A una matriz n × n. Si det A 0, entonces:

Para n =3:

17

102

41A

21

1

1

25

12

410

2

1A

10

01

541010

2245

1

25

102

41

21

1AA

10

01

5411

202045

102

41

1

25

21

1AA

18

103

112

022

A

612

222

12

022

11

02

603

222

13

022

10

02

303

125

13

121

10

11

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

21

21

41

61

61

125

61

61

121

1

663

225

221

12

1A

19

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

,

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A ,2

1

nx

x

x

X

mb

b

b

2

1

B

AX = B

Si m = n, y A es no singular, entonces:

X = A-1B

20

1663

1592

21

21

xx

xx

16

15

63

92

2

1

x

x

03963

92

23

96

39

1

63

921

3

16

13

234

39

1

16

15

23

96

39

1

2

1

x

x

3/1,6 21 xx

21

4432

1655

22

321

321

31

xxx

xxx

xx

655

432

102

A

36

62

19

1

4

2

6105

10178

352

1

4

2

655

432

1021

3

2

1

x

x

x

36,62,19 321 xxx

22

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

cbCbCb

cbCbCb

cbCbCb

b

b

b

CCC

CCC

CCC

2211

2222121

1212111

2

1

21

22212

12111

det

1

det

1

A

ABAX

1-

A

A

A

det

det

det2211

k

nknkkk

CbCbCbx

Regla

deCramer

Inversa Generalizada

Para una matriz A de orden se dice que la

matriz G de orden q×p es su inversa

generalizada cuando:

Ejemplo:

Es fácil verificar que :

p q

AGA A

1 2 5 2

3 7 12 4

0 1 3 2

A

7 2 0

3 1 0

0 0 0

0 0 0

G

AGA A

Inversa Generalizada

1. Cuando A tiene inversa clásica

2. G Siempre existe.a) Para matrices rectangulares.

b) Para matrices clásicas.

c) Para matrices singulares.

3. G No es única.a) Existe por lo menos una.

b) Es única para matrices cuadradas de rango completo.

1G A

Existencia de G

• Sea de forma que es una

submatriz de orden y rango .

• Tomando :

• Es claro que:

• Puesto que A es de rango

11 12

21 22

p q

A AA

A A

11A

r r r

1

11 0 

0 0q p

AG

11 12

1

21 21 11 12

A AAGA

A A A A

r

21 22 11 12A A K A A1

21 11K A A1

22 12 21 11 12A KA A A A

Algoritmo para encontrar una G

1. Sea A una matriz A de orden .

2. Calcule .

3. Inicialice .

4. Sea cualquier menor de rango completo.

5. Calcule .

6. Reemplace cada elemento de en

teniendo en cuenta la posición del menor

en A.

7. Determine .

p q

0T

p qG

r rM

1

r r

T

B M

B 0T

p qG

r rM

T

TG G

r Rango A

Ejemplo

1. Sea

2. Entonces :

3. También :

4. Tomando :

5. Así que:

6. Por lo tanto :

4 1 2 0

1 1 5 15

3 1 3 5

A

2r

3 4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

TG

2 2

4 0

3 5M

2 2

1

5 3

20 20

40

20

M

3 4

50 0 0

20

0 0 0 0

3 40 0

20 20

TG

50

20

3 4

20 20

B

Definición

B (denotada por A-) se denomina inversa generalizada de

Moore – Penrose de A si

1. ABA = A

2. BAB = B

3. (AB)' = AB

4. (BA)' = BA

Observación : A- es única

Demostración: Sean B1 y B2 matrices que satisfacen:

1. ABiA = A

2. BiABi = Bi

3. (ABi)' = ABi

4. (BiA)' = BiA

Por lo tanto:

B1 = B1AB1 = B1AB2AB1 = B1 (AB2)'(AB1)

'

= B1B2'A'B1

'A'= B1B2'A' = B1AB2 = B1AB2AB2

= (B1A)(B2A)B2 = (B1A)'(B2A)'B2 = A'B1'A'B2

'B2

= A'B2'B2= (B2A)'B2 = B2AB2 = B2

La solución general del sistema de ecuaciones

Ax b

x A b I A A z

Está dada por :

x A b I A A z Donde Es arbitrario

Suponga que una solución existe :

0Ax b

x A b I A A z

Sea:

Entonces : Ax A A b I A A z

AA b A AA A z

0 0AA Ax Ax b

Cálculo de la g-inversa de Moore-Penrose

1

A A A A

1 1

A A A A A A A A A A I

Sea A una matriz de orden p×q de rango q < p,

Demostración:

y AA A AI A A AA IA A Asi que :

También: es simétricaA A I

1

y es simétricaAA A A A A

1

B B BB

1 1

BB B B BB BB BB I

Sea B una matriz de orden p×q de rango p < q,

Demostración :

y BB B IB B B BB B I B Asi que :

También : es simétricaBB I

1

y es simétricaB B B BB B

1 1

Entonces C B BB A A A

1 1 1

CC AB B BB A A A A A A A

Sea C una matriz de orden p×q de rango k < min(p,q),

Demostración:

Es simétrica, como también lo es:

Con C = AB donde A es una matriz de orden p×k de rango k y B

es una matriz de orden k×q de rango k

1 1 1

C C B BB A A A AB B BB B

1

También CC C A A A A AB AB C

1 1 1

y C CC B BB B B BB A A A

1 1

B BB A A A C