matrices de transformacion homogenea
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Herramientas Matemáticas
Necesidad
Manipulación de
piezas
Movimiento espacial
del extremo del robot
Necesidad de herramientas matemáticas
para especificar posición y orientación
de las piezas y del extremo del robot
Herramientas Matemáticas
Localización espacial Especificación conjunta de la posición y orientación de un sólido rígido en el espacio, con respecto a un sistema de referencia fija S={O,X,Y,Z}
Al sólido rígido se le asocia un sistemas de coordenadas (dextrógiro) S’= {O’,U,V,W}
La posición y orientación del sólido con respecto al sistema S, queda totalmente determinada por la del sistema S´con respecto a S
X
Y
Z
W
U
V
Herramientas Matemáticas
Representación de la posición Vector de posición en coordenadas
– Cartesianas – Cilíndricas
– Esféricas
Herramientas Matemáticas
Ejercicio: Obtener las componentes de los vectores U y V sobre los ejes cordenados X, Y. Teniendo en cuenta los vectores unitarios ix, jy y conociendo que que U y V son ortogonales.
�
U = ___________ ix + ___________ jyV = ___________ ix + ___________ jy
Herramientas Matemáticas
Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D
Herramientas Matemáticas
Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D
�
P = pxix + py jy
�
P = puiu + pv jv
�
pu = P ⋅ iupv = P ⋅ jv
�
px = P ⋅ ixpy = P ⋅ jy
Herramientas Matemáticas
Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 2D
�
P = pxix + py jy
�
P = puiu + pv jv
�
pu = P ⋅ iupv = P ⋅ jv
�
px = P ⋅ ixpy = P ⋅ jy
Herramientas Matemáticas
Representación de la orientación mediante Matrices de Rotación. Caso 2D
�
P = pxix + py jy
�
P = puiu + pv jv
�
px = P ⋅ ixpy = P ⋅ jy
�
= puiu + pv jv( ) ⋅ ix= puiu + pv jv( ) ⋅ jy
�
px = puiu ⋅ ix + pv jv ⋅ ixpy = puiu ⋅ jy + pv jv ⋅ jy
�
pxpy⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ =
ix ⋅ iu ix ⋅ jvjy ⋅ iu jy ⋅ jv⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
pupv⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ �
pxpy⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ = R
pupv
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
�
R =cosθ −senθsenθ cosθ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Herramientas Matemáticas
Representación de la Orientación Mediante Matrices de Rotación. Caso 3D
Herramientas Matemáticas
Matrices de Rotación. Composición de Rotaciones
Orden de la composición: Rotación sobre OX Rotación sobre OY Rotación sobre OZ
Concatenación de rotaciones Multiplicación de matrices
Las rotaciones que se especifican con respecto a los EJES FIJOS se PREMULTIPLICAN
Herramientas Matemáticas
Matrices de Rotación. Interpretación Geométrica
Si {xyz}R{uvw} representa la matriz de rotación que relaciona el sistema {UVW} con el sistema {XYZ}
(i.e pxyz={xyz}R{uvw} puvw)
wz
wy
wx
vz
vy
vx
uz
uy
ux
{xyz}R{uvw} =
Las columnas de la Matriz {xyz}R{uvw} corresponden con las coordenadas de los vectores u,v,w en la base {XYZ}
Herramientas Matemáticas
Matrices de Rotación. Interpretación Geométrica
wz
wy
wx
vz
vy
vx
uz
uy
ux
{xyz}R{uvw} = 0
0
1
0
-1
0
1
0
0
=
Herramientas Matemáticas
Usos de la Matriz de Rotación
La matriz de rotación R permite: 1. Representar la orientación del sistema móvil S’ con
respecto al fijo S 2. Obtener las coordenadas de un punto en el sistema S,
conocidas sus coordenadas en el sistema móvil 3. Obtener el punto b que resulta de rotar el punto a.
Herramientas Matemáticas
Propiedades Matrices de Rotación.
Son matrices ortonormales: • Sus vectores por columnas o por filas son ortonormales entre si:
• Producto escalar • de un vector por otro cualquiera = 0 • de un vector por si mismo =1
• Producto vectorial • de un vector por el siguiente da el tercero
• Su Inversa coincide con su Traspuesta • Su determinante es la unidad
Herramientas Matemáticas
Características del Uso de Matrices para Representar una Orientación
• Su composición se realiza mediante el álgebra de matrices (facilidad de uso)
• Precisan 9 elementos (redundancia)
• Riesgo de inconsistencia tras varias operaciones (redondeos)
Herramientas Matemáticas
Representación de la Orientación. Ángulos de Euler • Giros consecutivos entorno a 3 ejes, debiendo ser
perpendicular cada eje con el siguiente.
• Posibilidad de especificar los giros sobre ejes fijos (XYZ) o sobre ejes móviles (UVW)
• 12 combinaciones posibles sobre ejes fijos y 12 sobre ejes móviles
• De todas las más frecuentes son: • Ejes Móviles: WUW (ZXZ) y WVW (ZYZ) • Ejes Fijos (XYZ)
Herramientas Matemáticas
Ángulos de Euler WUW
Si θ es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z)
• Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W’.
• Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W'’.
• Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo ψ con respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''
Herramientas Matemáticas
Ángulos de Euler WVW • Girar el sistema OUVW un
ángulo ϕ con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W’.
Si θ es nulo el primer y tercer giro se producen sobre el mismo eje (Z)
• Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OV', convirtiéndose así en el sistema OU''V''W'’.
• Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψ con respecto al eje OW'', convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''.
Herramientas Matemáticas
Angulos Euler XYZ (guiñada, cabeceo y alabeo) • Giros entorno a los ejes fijos
(XYZ) • Guiñada-Cabeceo-Alabeo • Yaw-Pitch-Roll
• Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw)
• Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. (Pitch)
• Girar el sistema OUVW un ángulo ϕ con respecto al eje OZ. (Roll)
Herramientas Matemáticas
Representación de la orientación. Par de rotación • Dados los sistemas {O,X,Y,Z}
y {O,U,V,W}, existe un único vector k (kx,ky.kz), tal que girando alrededor de él un ángulo θ se convierte el primer sistema en el segundo.
k es el vector propio real de la matriz de rotación.
θ Se puede obtener como el argumento de los valores propios complejos de la matriz de rotación
Herramientas Matemáticas
Representación conjunta mediante matrices
Herramientas Matemáticas
Coordenadas homogéneas
Herramientas Matemáticas
Matrices de transformación homogénea
• Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro
• R3x3: matriz de rotación • p3x1: vector de traslación • f1x3: transformación de perspectiva ((0,0,0) en el caso de robótica)
• w1x1: escalado global (1 en el caso de robótica)
Herramientas Matemáticas
Aplicación de las matrices de transformación homogénea
• Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.
• Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.
• Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ para transformarlo en el r’.
Herramientas Matemáticas
Propiedades de las MTH NO son Ortonormales
Herramientas Matemáticas
Usos alternativos de las MTH
Herramientas Matemáticas
Traslación con matrices homogéneas
Matriz básica de traslación: T p ( ) =
Desplazamiento de un vector: Cambio de sistema de coordenadas:
Herramientas Matemáticas
Ejemplo de traslación (I). Trasladar el sistema (cambio de base)
Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)
Herramientas Matemáticas
Ejemplo de traslación (II) Trasladar el vector • Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11)
según la transformación T(p) con p(6,-3,8)
Herramientas Matemáticas
Rotación con matrices homogéneas
• Matrices de rotación básicas:
Herramientas Matemáticas
Rotación con matrices homogéneas
Cambio de sistema de coordenadas:
Rotación de un vector:
Herramientas Matemáticas
Ejemplo de rotación Rotar el sistema (cambio de base)
• Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T
Herramientas Matemáticas
Combinación de rotaciones y traslaciones • Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas
multiplicando las matrices correspondientes
• El producto no es conmutativo: rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar
Girar Rotz(π) y trasladar T(p)
Trasladar T(p) y Girar Rotz(π)
Transformaciones expresadas en el sistema móvil
Herramientas Matemáticas
Orden de la combinación de rotaciones y traslaciones Rotación seguida de traslación (expresadas en sistema fijo):
Traslación seguida de rotación (expresadas en sistema fijo):
Herramientas Matemáticas
Ejemplo combinación de rotación y traslación (1)
Un sistema OUVW ha sido girado 90° alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11).
Rotación Traslación Sistema Fijo
Herramientas Matemáticas
Ejemplo composición de rotación y traslación (2)
Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90° alrededor del eje OX . Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r de coordenadas ruvw
(-3,4,-11).
Traslación Rotación Sistema Fijo
Herramientas Matemáticas
Composición general de matrices homogéneas (I) Transformaciones definidas sobre el sistema fijo (OXYZ)
PREMULTIPLICACIÓN
Ejemplo: • Obtener la matriz de transformación que representa al sistema
O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante – giro de ángulo -π alrededor del eje OX, – traslación de vector pxyz(5,5,10) – giro de π sobre el eje OZ
�
T = Rotz π( )T p( )Rotx −π( ) =
−1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
1 0 0 50 1 0 50 0 1 100 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
−1 0 0 −50 1 0 −50 0 −1 100 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Herramientas Matemáticas
Composición general de matrices homogéneas (II) Transformación definidas sobre el sistema móvil (OUVW)
POSMULTIPLICACIÓN
Ejemplo: • Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones:
– Traslación de un vector pxyz(-3,10,10);
– giro de -180° sobre el eje O'U del sistema trasladado – giro de 180° sobre el eje O'V del sistema girado.
�
T = T p( )Rotx −π( )Roty π( ) =
1 0 0 −30 1 0 100 0 1 100 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
−1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
−1 0 0 −30 −1 0 100 0 1 100 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Herramientas Matemáticas
Reglas de composición de MTH Si el sistema O´UVW se obtiene mediante transformaciones definidas con respecto al:
– Sistema fijo OXYZ, las MTH de cada transformación se deben premultiplicar
– Sistema móvil O´UVW, las MTH de cada transformación se deben postmultiplicar
Herramientas Matemáticas
Interpretación geométrica de las MTH
• p representa la posición del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
• n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
• o representa las coordenadas del eje OY del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
• a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
Herramientas Matemáticas
MTH Para la figura de abajo, encuentre las matrices de transformación de 4x4 y para i=1, 2, 3, 4, 5
Herramientas Matemáticas
Interpretación geométrica de las MTH. Aplicación en un robot
La localización del extremo del robot respecto a su base queda definida asociando a la base del robot un sistema de referencia fijo {R}=(OXYZ) y al extremo un sistema de referencia {H} que se mueva con él. Expresado en la base {R}, el origen de {H} está en el punto p y los vectores directores de {H} son n, o, a escogidos de modos que:
• a: vector en la dirección de aproximación del extremo del robot a su destino (approach).
• o: vector perpendicular a a en el plano definido por la pinza del robot.
• n: vector que forme terna ortogonal con los dos anteriores.
{R}
{H}
Herramientas Matemáticas
Relación entre los métodos de localización espacial
ANGULOS DE EULER – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA
WVW
XYZ
WUW
Herramientas Matemáticas
Relación entre los métodos de localización espacial
MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA- ANGULOS DE EULER
Se deberán despejar ϕ, θ y ψ. de la relación directa. θ aparece como elemento aislado, pudiéndose despejar directamente A continuación se pueden obtener ϕ y ψ.
En los casos WUW y WVW, si θ es 0, se produce indeterminación y solo se puede obtener el valor de ϕ+ψ.
Herramientas Matemáticas
Relación entre los métodos de localización espacial
PAR DE ROTACIÓN – MATRICES DE TRANSFORMACIÓN
Se trata de expresar el giro θ en rotaciones básicas
1. Se gira k hasta hacerlo coincidir con Z (T(x,α),T(y,-β)).
2. Se realiza el giro dado por el par (θ).
3. Se deshacen las rotaciones iniciales
Siendo Vθ = 1 - Cθ.
Herramientas Matemáticas
Relación entre los métodos de localización espacial
MATRICES DE TRANSFORMACIÓN - PAR DE ROTACIÓN
=
Nota: Cuando θ es próximo a 0 o a π, las ecuaciones quedan indeterminadas V es el verseno definido por Vθ = 1 – Cθ
Herramientas Matemáticas
Ejercicio Dos robots (A y B) cooperan en una misma tarea. Sus bases, a las que están asociadas sus sistemas de referencia Sa y Sb , están ubicados de modo que la base B está desplazada 2 unidades en la dirección del eje Y del sistema Sa y girada -90º respecto del nuevo eje Z. (Ver figura)
El robot B ejecuta un programa con una orden del tipo: “Deja el objeto en la localización Tbo”
Esta orden implica dejar el objeto en una localización de coordenadas definidas por la matriz de transformación homogénea Tb0 (las coordenadas se encuentran definidas con respecto al sistema de referencia del robot B, Sb).
Este objeto debe ser recogido por el robot A, para lo que éste tendrá que una orden del tipo: “Recoge el objeto en localización Tao”
Se pide: 1. Encontrar la expresión que define el valor que debe tomar Tao en función de Tbo 2. Aplicarlo al caso concreto de que el robot B deje el objeto a 1 unidad sobre la vertical de su origen y girado π/2 respecto del eje Z.