mathematische und statistische methoden...

Statistik &Methodenlehree ode e e

Prof. Dr. G. Meinhardt6. Stock, Wallstr. 3(Raum 06-206)

Mathematische und statistische Methoden II

( )

Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. statistische Methoden IIg

Dr. Malte PersikeDr. Malte [email protected]

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SS 2010Fachbereich Sozialwissenschaften

Psychologisches InstitutJohannes Gutenberg Universität MainzJohannes Gutenberg Universität Mainz

Statistik &Methodenlehre Tests für Ordinaldaten Tests für Intervalldatene ode e e

Tests für OrdinaldatenU-TestDas Problem der Verteilungsannahme

Die theoretische Verteilung ordinalskalierter Daten istVorzeichentest

Die theoretische Verteilung ordinalskalierter Daten ist nicht nur unbekannt, sie ist auch als mathematische Formalisierung nicht ermittelbar, da das Merkmal nicht metrisch (intervallskaliert) istWilcoxon nicht metrisch (intervallskaliert) ist.

Das Problem entsteht, weil bei ordinalskalierten Daten nicht nur die gesamte Skala transformiert werden darf

WilcoxonVorzeichen-rangtest

nicht nur die gesamte Skala transformiert werden darf (z.B. von °C zu °F), sondern jeder einzelne Punktseparat, solange die Ordnung erhalten bleibt.

Damit sind die numerischen Beobachtungen als Abszissenwerte (x-Werte) in einer mathematischen Funktion nicht zu gebrauchen.g


Tests für OrdinaldatenU-TestU-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.

Ziel: Test ob sich zwei unabhängige Stichproben inVorzeichentest Ziel: Test, ob sich zwei unabhängige Stichproben in

ihrer Ausprägung auf einem ordinalskalierten Merkmal unterscheiden

WilcoxonBeispiele: Sind mündliche Bewertungen von Schülern zwischen zwei Schulklassen unterschiedlich? Sind junge Frauen anders mit einem bestimmten Produkt


junge Frauen anders mit einem bestimmten Produkt zufrieden als ältere Frauen (Zufriedenheitseinschätzung z.B. von 0-100%)

Voraussetzungen: Die Stichproben müssen unabhängig sein. Die dem Merkmal tatsächlich zugrunde liegende Verteilungsfunktion soll stetig sein.g g g g


Tests für OrdinaldatenU-Test

Datenlage: Man hat an zwei unabhängigen

U-Test nach Mann-Whitney für unabh. Stichpr.

Vorzeichentest Datenlage: Man hat an zwei unabhängigen Stichproben der Größen n1 und n2 ein ordinalskaliertes Merkmal erhoben.

WilcoxonBewertet worden sei die Leistung von Studierenden mit ländlicher Sozialisation vs. urbaner Sozialisation in einer mündlichen Prüfung (Punkteskala von 0 – 50)


einer mündlichen Prüfung (Punkteskala von 0 50)

X1: 22, 47, 50, 35, 33, 2, 48, 7, 8, 34, 41, 49, 45,39, 23, 3839, 23, 38

X2: 13, 16, 27, 24, 11, 12, 18, 17, 40, 19, 31, 32

Frage: Erreichen die Stichproben unterschiedliche Punktzahlen?



Testidee: Zwar kann keine theoretische


Vorzeichentest Testidee: Zwar kann keine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung formal abgeleitet werden, aber die empirischen Verteilungen können verglichen werdenWilcoxon verglichen werden.

Wenn zwei Stichproben aus derselben Population stammen sollten ihre Wahrscheinlichkeitsverteil-


stammen, sollten ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen p(X=x) bzw. ihre Verteilungsfunktionenp(X≤x) gleich sein (wenn auch unbekannt)

Sei xi ein Wert, der in Stichprobe 1 beobachtet wurde, und yj ein Wert aus Stichprobe 2, dann sollte für jedes Wertepaar gelten, dass p(xi>yj) = 0.5, wenn die p g , p( i yj) ,Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind.



Nun kann jeder Merkmalsträger in Stichprobe 1 paarweise


Vorzeichentest j g p pverglichen werden mit jedem Merkmalsträger in Stichprobe 2 und festgestellt werden ob gilt

Fall 1: X Y>Wilcoxon Fall 1:Fall 2 :Fall 2 :

X YX YX Y

><=


Dies ist äquivalent mit der Prüfung, ob der Rang des Merkmalsträgers in Stichprobe 1 größer, kleiner oder gleich d R d V l i h bj kt i Sti h b 2 i t

Fall 2 : X Y

dem Rang des Vergleichssubjektes in Stichprobe 2 ist

Fall 1: ( ) ( )Fall 2 : ( ) ( )

rg X rg Yrg X rg Y

<>

Niedrigere Zahl, Fall 2 : ( ) ( )

Fall 2 : ( ) ( )rg X rg Yrg X rg Y

>=

,niedrigerer Rang



Methode: Das x y x1, x2 Stichprobe


VorzeichentestVerfahren der Rangbildung beim U-Test

22 13

47 16

50 27

35 24

22 1

47 1

50 1Wilcoxon

Die Daten werden zunächst in

35 24

33 11

2 12

48 18

… …

39 1

23 1

38 1


zunächst in eine Tabelle geschrieben und die

7 17

8 40

34 19

41 31

13 2

16 2

27 2

und die Zugehörigkeit festgehalten

41 31

49 32

45

39

… …

19 2

31 2

32 2

23

38



N dx1, x2 Stichprobe Rangplatz


VorzeichentestNun werden Rangplätze für die Daten vergeben

x1, x2 Stichprobe Rangplatz

22 1 11

47 1 25

50 1 28WilcoxonAchtung: Datei erhält die kleinste Zahl den kleinsten Rang

50 1 28

… … …

39 1 21

23 1 12


kleinsten Rang.

Bei Ties (Rang-bindungen) wird ein

23 1 12

38 1 20

13 2 6

16 2 7bindungen) wird ein mittlerer Rangvergeben

16 2 7

27 2 14

… … …

19 2 1019 2 10

31 2 15

32 2 16



Die Anzahl dieser Vergleiche jedes Merkmalsträgers in Sti h b 1 it j d i Sti h b 2 i t


VorzeichentestStichprobe 1 mit jedem in Stichprobe 2 ist

1 2paarweiseN n n= ⋅Wilcoxon

Aus dem Vergleich der Ränge erhält man nun die Summen der Rangunterschreitungen, der Rangüberschreitungen sowie der Ties. Man definiere


( ) ( )( )( ) ( )( )

Summe d. Rangunterschreitungen

' Summe d. Rangüberschreitungen

U h rg X rg Y

U h rg X rg Y

= < →

= > →

Lässt man Ties außer acht, so muss gelten:

( ) ( )( ) Summe d. RangbindungenTie h rg X rg Y= = →

, g

1 2 1 2' 'U U n n U n n U+ = ⋅ ⇔ = ⋅ −



Man kann nun einen Binomialtest durchführen um


VorzeichentestMan kann nun einen Binomialtest durchführen, um folgende Hypothesen zu prüfen:

0 1: ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5H p rg X rg Y H p rg X rg Y< = > ≠Wilcoxon 0 1

0 1

0 1

( ( ) ( )) ( ( ) ( )): ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5: ( ( ) ( )) 0.5; : ( ( ) ( )) 0.5

p g g p g gH p rg X rg Y H p rg X rg YH p rg X rg Y H p rg X rg Y

< ≤ > >< ≥ > <


Oft wird dies gleichgesetzt mit der Prüfung, ob der Median der einen Stichprobe anders ist als der MedianMedian der einen Stichprobe anders ist als der Median der anderen.

Dies trifft nur zu, wenn die Wahrscheinlichkeits-,verteilungen von X und Y gleich sind.



Hinweis: Für den Binomialtest wäre die Rangbildung


Vorzeichentest Hinweis: Für den Binomialtest wäre die Rangbildung noch nicht erforderlich, man könnte auch die Rohdaten selbst vergleichen und auszählen.

WilcoxonProblem: Die Zahl der notwendigen paarweisen Vergleiche wird bei zunehmendem Stichprobenumfang sehr schnell sehr groß (n1·n2)


sehr schnell sehr groß (n1 n2).

Zur vereinfachten Berechnung wird das Verfahren von Mann-Whitney verwendet.Mann Whitney verwendet.



G did U t d H0 llt i b id Sti h b


VorzeichentestGrundidee: Unter der H0 sollten in beiden Stichproben die Ränge ähnlich (bzw. gleich) sein

Damit sollten auch die Summen der Ränge ähnlichWilcoxon g(bzw. gleich) sein

Seien R1 und R2 die Rangsummen der beiden Stich-proben und R die gesamte Rangsumme so muss gelten


proben und R die gesamte Rangsumme, so muss gelten

mit N = n1+n21 2( 1)2

N NR R R ⋅ += + =

Wir haben zudem bereits gesehen, dass gilt

1 2 2

1 2 'U n n U= ⋅ −



D l i h B h f l fü A hl d


VorzeichentestDaraus lassen sich Berechnungsformeln für Anzahl der Rangunter-/überschreitungen herleiten. Es gilt:

( 1)n n +Wilcoxon1 1

1 2 1( 1)2( 1)

n nU n n R

n n

⋅ += ⋅ + −

+


2 21 2 2

( 1)'2

n nU n n R⋅ += ⋅ + −

Der kleinere der U-Werte ist bereits die Prüfgröße. Sie ist U-verteilt mit den Parametern n1 und n2.

Die U-Verteilung ist tabelliert für kleine n.



B i öß Sti h b ( i d t i 10) i t di


VorzeichentestBei größeren Stichproben (mindestens ein n > 10) ist die Prüfgröße U approximativ normalverteilt.

Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichenWilcoxon Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichen Vergleiche (dies ist der Wert, wenn U = U‘)

1 2n n⋅


Die Standardabweichung lautet

1 2

2Uμ =


( )1 2 1 2 112U

n n n nσ

⋅ ⋅ + +=

12U



Damit ergibt sich die Prüfgröße (mit Yates-Korrektur)


Vorzeichentest0.5U

U

Uz

μσ

− −=

WilcoxonDabei ist U der kleinere oder größere beider U-Werte.

Sie ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.


Bei Ties berechnet sich der korrigierte Standardfehler als

3 3k

N N t t∑( )

11 2, 1 12

i ii

U Korr

N N t tn n

N Nσ =

− − −⋅

= ⋅ ⋅⋅ −

∑

mit ti = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung)k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen



Hinweis: Der U Test nach Mann Whitney ist

U-Test und Wilcoxon Rangsummentest

Vorzeichentest Hinweis: Der U-Test nach Mann-Whitney ist mathematisch äquivalent zum so genannten Wilcoxon Rangsummentest, der von einer ähnlichen Testidee ausgehtWilcoxon ausgeht.

Der U-Test wird daher manchmal auch als MWW-Test (Mann-Whitney-Wilcoxon Test) bezeichnet


(Mann Whitney Wilcoxon Test) bezeichnet.

Er ist nicht zu verwechseln mit dem Wilcoxon Vorzeichenrangtest für abhängige Stichproben.Vorzeichenrangtest für abhängige Stichproben.


Tests für OrdinaldatenU-TestVorzeichentest für abhängige Stichproben

Oft ist man bei einem ordinalskalierten Merkmal beiVorzeichentestOft ist man bei einem ordinalskalierten Merkmal bei abhängigen Stichproben lediglich an einem höher/niedriger Urteil interessiert.

WilcoxonBeispiele: Verringert sich eine Zwangsstörung nach einer Therapie? Verbessert sich Führungsverhalten infolge eines Outdoor-Selbstfindungstrainings?


infolge eines Outdoor Selbstfindungstrainings?

Hier findet der Vorzeichentest Anwendung, der aufgrund seiner Einfachheit sehr rasch zu berechnenaufgrund seiner Einfachheit sehr rasch zu berechnen ist.



Datenlage: Bei abhängigen Stichproben liegen zweiVorzeichentest Datenlage: Bei abhängigen Stichproben liegen zwei

Messungen vor, für die eine Höher/Niedriger/Gleich Beziehung formuliert werden kann.

WilcoxonBeispiel: Bei N = 13 Probanden urbaner Herkunft wird ein Rhetoriktraining für mündliche Prüfungsleis-tungen angewandt und die Verbesserung gemessen


tungen angewandt und die Verbesserung gemessen.

Verbesserungen werden mit „+“ kodiert, Verschlechterungen mit „-“,Verschlechterungen mit „ ,konstante Konzentrastionsleistungen mit „=„.

Daten: -, +, +, -, =, -, +, +, +, +, +, +, +, , , , , , , , , , , ,



Sei n die Anzahl von +“ Beobachtungen und n dieVorzeichentest

Sei n+ die Anzahl von „+“ Beobachtungen und n- die Anzahl von „-“ Beobachtungen, so sollte unter der H0gelten, dass

Wilcoxonn n N n∗+ − += = −


mit (m = Anzahl „=“)N N m n n m∗+ −= − = + −

Gleiche Beobachtungen („=“) werden beim Vorzeichentest ignoriert, da sie ohnehin die H0 (kein Unterschied) unterstützen)



Die Wahrscheinlichkeit für +“ (ebenso wie die für “)Vorzeichentest

Die Wahrscheinlichkeit für „+“ (ebenso wie die für „-“) sollte nun binomialverteilt sein mit p=0.5 und n = N*

Man könnte nun einen 1-Stichproben BinomialtestWilcoxon Man könnte nun einen 1-Stichproben Binomialtestdurchführen, um folgende Hypothesen zu prüfen:

0 1: ; :H p p H p p= ≠


0 1

0 1

: ; :: ; :

H p p H p pH p p H p pH H

+ − + −

+ − + −

≠

≤ >≥ <

Man nimmt nun an, dass wegen der Symmetrie von p und

0 1: ; :H p p H p p+ − + −≥ <

, g y pq unter H0 praktisch immer die Normalverteilungs-approximation verwendet werden kann.



Der Erwartungswert der Summe positiver (bzwVorzeichentest

Der Erwartungswert der Summe positiver (bzw. negativer) Vorzeichen ist

*NWilcoxon*( ) ( )

2NE n E n N p+ −= = ⋅ =


Die Standardabweichung ist

*N*( )

4Nn N p qσ + = ⋅ ⋅ =



Man gelangt zu der Prüfgröße (mit Yates Korrektur):Vorzeichentest

Man gelangt zu der Prüfgröße (mit Yates-Korrektur):

0.52

Nn∗

− −Wilcoxon 2

4

zN ∗

=WilcoxonVorzeichen-rangtest

mit n = n+ oder n-

4

z ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.

Es gelten also zur Bewertung der Prüfgröße beim g g gVorzeichentest die üblichen kritischen Werte


Tests für OrdinaldatenU-TestWilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.

Ziel: Test ob sich zwei abhängige Stichproben in ihrerVorzeichentest Ziel: Test, ob sich zwei abhängige Stichproben in ihrer

Ausprägung auf einem ordinalskalierten Merkmal unterscheiden

WilcoxonBeispiele: Verbessert sich die Leistung in mündlichen Prüfungen nach einem Rhetorik-Training? Sinkt das subjektive Laustärke-Empfinden von Bewohnern in der


subjektive Laustärke Empfinden von Bewohnern in der Einflugschneise des Frankfurter Flughafens nach einem Volkshochschulkurs Zen-Meditation?

Voraussetzungen: Die Merkmalsträger in den Stichproben müssen paarweise zuordenbar sein. Die dem Merkmal tatsächlich zugrunde liegende Verteilungs-g g gfunktion soll stetig sein.



Datenlage: Man hat an zwei abhängigen Stichproben

Wilcoxon Vorzeichenrang Test für abh. Stichpr.

Vorzeichentestder Größe N ein ordinalskaliertes Merkmal erhoben.

Es werden die Leistungen von N=13 Schülern in zwei ä i l t M th tikt t b t ilt ( iWilcoxon äquivalenten Mathematiktests beurteilt (von einem Prüfer). Vor der Korrektur des zweiten Tests erhält der Prüfer die Information, die Schüler stammten aus einer Hochbegabtenklasse


einer Hochbegabtenklasse.

X1: 22, 47, 50, 35, 33, 12, 48, 17, 18, 34, 41X2: 13 16 27 24 11 12 18 17 40 19 35X2: 13, 16, 27, 24, 11, 12, 18, 17, 40, 19, 35

Frage: Werden die Leistungen im 2. Test besser beurteilt?beurteilt?



Testidee: Für jede Beobachtungseinheit können


VorzeichentestTestidee: Für jede Beobachtungseinheit können Differenzen zwischen den beiden Stichproben berechnet werden (di = yi – xi).WilcoxonZwar ist der absolute Betrag dieser Differenzen nicht interpretierbar, die Differenzen sind aber ordinalskaliert Größere Differenzen bedeuten also


ordinalskaliert. Größere Differenzen bedeuten also größere Veränderungen zwischen den Stichproben.

Unter der H0, d.h. bei gleichen Wahrscheinlichkeitsver-Unter der H0, d.h. bei gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen in beiden Stichproben, sollten nun die Verbundwahrscheinlichkeiten, dass eine gegebene Differenz ein positives bzw. negatives Vorzeichen hat, p g ,identisch sein (p(D=d ∩ d>0) = 0.5)



Methode: Zur Durchführung des Wilcoxon Vo ei hen ng Te t e den n n nä h t die


VorzeichentestVorzeichenrang Tests werden nun zunächst die Differenzen di zwischen beiden Stichproben gebildet.

Nr. t1 t2 dWilcoxon1 8 5 -3

2 5 10 5

3 5 9 4

4 11 5 6


4 11 5 -6

5 22 22 0

6 12 5 -7

7 18 49 31

8 24 49 25

9 16 46 30

10 5 7 2

11 18 42 2411 18 42 24

12 14 43 29

13 12 37 25



Dann werden die Absolutwerte |di|dieser Differenzen gebildet


Vorzeichentestgebildet.

Nr. t1 t2 d |d|Wilcoxon | |

1 8 5 -3 3

2 5 10 5 5

3 5 9 4 4


4 11 5 -6 6

5 22 22 0 0

6 12 5 -7 7

7 18 49 31 31

8 24 49 25 25

9 16 46 30 30

10 5 7 2 2

11 18 42 24 24

12 14 43 29 29

13 12 37 25 25



Nun erhalten diesen Absolutwerte Rangplätze rg(|di|).ff


VorzeichentestAchtung: Dabei erhält die kleinste Differenz den kleinsten Rang.

Nr. t1 t2 d |d| rg(d)Wilcoxon1 8 5 -3 3 2

2 5 10 5 5 4

3 5 9 4 4 3

4 11 5 6 6 5


4 11 5 -6 6 5

5 22 22 0 0

6 12 5 -7 7 6

7 18 49 31 31 12

8 24 49 25 25 8.5

9 16 46 30 30 11

10 5 7 2 2 1

11 18 42 24 24 711 18 42 24 24 7

12 14 43 29 29 10

13 12 37 25 25 8.5



Schließlich werden die Vorzeichen der Differenzen fe tge tellt Die e e den fü die Be e hn ng de


Vorzeichentestfestgestellt. Diese werden für die Berechnung der Prüfgröße

Nr. t1 t2 d |d| rg(d) + - =Wilcoxon1 8 5 -3 3 2 + -

2 5 10 5 5 4 + -

3 5 9 4 4 3 + -

4 11 5 -6 6 5 + -


4 11 5 -6 6 5 + -

5 22 22 0 0 0 + =

6 12 5 -7 7 6 + -

7 18 49 31 31 12 + -

8 24 49 25 25 8.5 +

9 16 46 30 30 11 +

10 5 7 2 2 1 +

11 18 42 24 24 7 +11 18 42 24 24 7 +

12 14 43 29 29 10 + -

13 12 37 25 25 8.5 +



N lldiff (A hl ) d i i d


VorzeichentestNulldifferenzen (Anzahl: m) werden a priori von der Rangplatzvergabe ausgeschlossen. Damit reduziert sich die Anzahl zu berücksichtigender Differenzen auf

Wilcoxon

Sei T die Rangsumme der Differenzen mit positivem

*N N m= −WilcoxonVorzeichen-rangtest

Sei T+ die Rangsumme der Differenzen mit positivem Vorzeichen und T- die Rangsumme der di mit negativem Vorzeichen, so gilt für die Summe aller Ränge R

* *( 1)2

N NR T T+ −

⋅ += + =

Der kleinere der beiden T-Werte ist bereits die Prüfgröße. Die Verteilung ist tabelliert für kleine N.



B i öß Sti h b (N 25) i t di P üf öß T


VorzeichentestBei größeren Stichproben (N>25) ist die Prüfgröße T approximativ normalverteilt.

Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichenWilcoxon Der Erwartungswert ist die Hälfte aller möglichen Vergleiche (dies ist der Wert, wenn T+ = T-)

( )* * 1N N⋅ +



( )4Tμ =


( ) ( )* * *2 1 1T

N N Nσ

⋅ + ⋅ +=

24T



Damit ergibt sich die Prüfgröße (mit Yates-Korrektur)


Vorzeichentest0.5T

T

Tz

μσ

− −=

WilcoxonT = T+ oder T-.

Sie ist standardnormalverteilt mit μ=0 und σ=1.


Sie ist standardnormalverteilt mit μ 0 und σ 1.

Bei Ties berechnet sich die korrigierte Standardabw. als

( ) ( ) ( )1 k

( ) ( ) ( )* * * 3

1,

12 1 12

24

i ii

T Korr

N N N t tσ =

⋅ + ⋅ + − ⋅ −=

∑

mit ti = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung)

k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen

Statistik &Methodenlehree ode e e

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