mathematische probleme am personalcomputer lösen · mathematische probleme am personalcomputer...

of 39/39
Mathematische Probleme am Personalcomputer lösen Ein Beitrag über neue Facetten der Mathematik im Zeitalter von dynamischer Geometrie und Computer-Algebra-Systemen von Ingmar Rubin 2008 – Jahr der Mathematik

Post on 19-Sep-2019

8 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Mathematische Probleme am Personalcomputer lösenEin Beitrag über neue Facetten der Mathematik im Zeitalter von dynamischer Geometrie und Computer-Algebra-Systemen von Ingmar Rubin

    2008 – Jahr der Mathematik

  • Seite 2 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Agenda

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet

    Übersicht wichtiger MathematikprogrammeDynamische Geometriesoftware (DGS) Computer Algebra Systeme (CAS)

    Aufgaben Leitertransport – eine ExtremwertaufgabeKurvenkonstruktion: Versiera der AgnesiAlbrecht Dürer und die MuschellinieLose Rolle auf dem Seil

    MathematikzeitschriftenLesenswerte BücherLinks

  • Seite 3 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil I

    Der Einsatz von Personalcomputer und Internet eröffnen der Wissen-schaft Mathematik eine neue Dimension. Zahlreiche Aufgaben-stellungen, die bisher als quasi "nicht lösbar" galten, sind heute dank moderner Computersoftware zu bewältigen. Im Internet findet man zu fast jedem Teilgebiet der Mathematik passende Beiträge, Beispiel-aufgaben und Software. Neben den bekannten Suchmaschinen gibt es zahlreiche WEB Seiten von Mathematiklehrern und Freizeit-mathematikern die eine schnelle Übersicht bieten wie z.B. www.matheraetsel.deBeim Lösen der Aufgabenstellungen steht natürlich der Mensch nach wie vor im Mittelpunkt. Ohne mathematisches Grundlagenwissen undeiner Intuition zum Lösungsweg kann auch der schnellste Computer und die beste Software nicht zum Ziel führen. Der PC kann aber die Aufgabenstellung dynamisch visualisieren (Animation), die Berechnung beschleunigen und Ergebnisse graphisch darstellen.

    http://www.matheraetsel.de/

  • Seite 4 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet – Teil II

    Der Computer befreit uns von Routineaufgaben wie:Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, Auflösung, Vereinfachung von Gleichungen und Gleichungssystemen, Nährungslösungen von transzendenten Gleichungen,Primzahltest, Primfaktorzerlegung, GGT Bestimmung, Funktionenplotts in 2D und 3D-Darstellung,Differentiation und Integration von Funktionen,Grenzwertbestimmung,Simulation dynamischer Systeme usw.

    Fragestellung: Wie kann ich mein Problem konkret lösen, wenn Taschenrechner und Exceltabelle nicht mehr genügen?

    Wo finde ich eine Übersicht zu Programmen, die für das entsprechende Teilgebiet in Frage kommen?

  • Seite 5 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil III

    In den vergangenen 15 Jahren sind von Studenten und Mathematik-lehrern eine Reihe interessanter und leistungsfähiger Mathematik-programme entstanden. Diese Programme können in der Regel kostenlos über das Internet geladen werden oder gegen eine geringe Gebühr (Shareware) bezogen werden.

    Gegenüber kommerzieller Software ist der Einarbeitungsaufwand kleiner. Die Bedienbarkeit ist auf Schüler zugeschnitten, d.h. es werden keine teuren Spezialkurse benötigt, um mit diesen Programmen arbeiten zu können.

    Auf meiner Homepage www.matheraetsel.de habe ich unter „Software“gegliedert nach Themengebieten eine Reihe wichtiger Programme aus den Bereichen Geometrie, Algebra/Zahlentheorie, Funktionenplotter, Computeralgebra und numerischer Simulation aufgezählt.

  • Seite 6 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Dynamische Geometrie – Was ist das?

    die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird mit Hilfe eines Computerprogramms ausgeführt,geometrische Objekte können beliebig gedehnt, gestaucht werden (Vorteil gegenüber der statischen Konstruktion auf dem Papier)Punkte können entlang von Linien, Kreisen geführt werden,Schnittpunkte von Objekten können verfolgt werden (Ortskurven)nicht zur verwechseln mit CAD Programmen!es handelt sich zumeist um Sharewareprogramme die von Mathematiklehrern für Schüler erschaffen wurden Entwicklung seit ca. 15 Jahren, wichtige Vertreter:Euklid: Roland Mechling www.dynageo.de (Shareware, 29 €)Z.u.L: Rene Grothmann (kostenfrei, Java Applet)GeoGebra: Markus Hohmeier (kostenfrei)Cynderella (49 €)

    http://www.dynageo.de/

  • Seite 7 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    CAS – Computer – Algebra - Systeme

    neue Qualität in der Bearbeitung und Berechnung mathematischer Probleme, an Stelle der numerischen Berechnung werden Gleichungen in algebraischer Form notiert, umgeformt und vereinfacht,Die Lösung des Problems repräsentiert sich nicht mehr für einen konkreten (numerischen) Fall, sondernd tritt in Form einer allgemeingültigen Gleichung auf,Integrale und Differentialgleichungen können symbolisch gelöst werdenBestimmung der Schnittmengen zwischen Körpern bzw. Kurvenunbegrenzte Arithmetik,Was ein CAS wie Mathematica zu leisten vermag, zeigt Eric Weisstein eindrucksvoll im Internet unter www.mathworld.comwichtige Vertreter sind unter www.matheraetsel.de/software aufgezählt

    http://www.mathworld.com/http://www.matheraetsel.de/software

  • Seite 8 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Aufgabe: Leitertransport

    Eine Leiter der Länge L soll von einer Gasse der Breite a in eine Gasse der Breite b transportiert werden.

    Wie breit muss die Gasse b mindestens sein, damit der Leiteransportreibungslos funktioniert?

    Anmerkung: die Leiter wird stets waagerecht transportiert.

    a

    b

    L

  • Seite 9 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit dem Programm Euklid

    A CB

    E

    D

  • Seite 10 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Lösungsansatz zum Leitertransport

    Die Dreiecke DBC, EFD und EAC sindeinander ähnlich. Weiterhin gilt im rechtwinkligen Dreieck EAC der Satz des Pythagoras.

    Die Auflösung der Gleichungen nach b ergibt:

    222, yxLyx

    abx

    +==−

    ab

    x=AC, y=AE

    L² = x² + y²

    (x-b)/a = x/y

    A x-b

    y-a

    B C

    D

    E

    F

    22)(

    xLxaxxb−

    ⋅−=

  • Seite 11 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 1

    In[1]:= gleichung1 = Hx − bL ê a x ê yOut[1]=

    −b + xa

    xy

    In[2]:= gleichung2 = L [email protected]^2 + y^2DOut[2]= L è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

    In[3]:= loesung1 = [email protected], gleichung2

  • Seite 12 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 2

    In[5]:= b1 = [email protected]@b, xDDOut[5]= 1 − a L

    2HL2 − x2L3ê2In[6]:= loesung2 = [email protected]@b1 0, xD, 8 L > 0, a > 0 0, a > 0

  • Seite 13 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 3

    In[10]:= graph1 = [email protected]

  • Seite 14 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 4

    x

    10 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê[email protected]

    bmax

    10 1ê3 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê3 H−32ê3 + 102ê[email protected]

  • Seite 15 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvenkonstruktion Versiera der Agnesi

    Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799) war die erste

    Mathematikprofessorin der Neuzeit. Sie wurde 1750

    auf den Lehrstuhl für Mathematik der Universität

    Bologna berufen und entdeckte die nach ihr

    benannte Wendekurve Versiera der Agnesi. Ein

    Punkt der gesuchten Kurve wird wie folgt

    konstruiert:

    - zeichne den Kreis k um M(0, r) mit dem Radius r,

    - zeichne die Parallele p zur x-Achse durch den

    Punkt P(0, 2 r),

    - zeichne eine Gerade g durch den Punkt A(0,0) mit

    positiven Anstieg,

    - g schneidet den Kreis in B,

    - g schneidet die Parallele in C,

    - der Punkt D(cx,by) ist ein Punkt der gesuchten

    Kurve

    y

    xA(0,0)

    D(cx,by)

    g

    p

    B

    C

    kM(0,r)

    P(0,2 r)

  • Seite 16 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion Versiera der Agnesi mit Euklid

    -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    x

    y

    P

    A

    B

    C

    D

    g

    p

    M

  • Seite 17 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvengleichung Versiera der Agnesi

    Kreisgleichung mit Mittelpunkt in M(0, r):

    Geradengleichung durch A(0,0) mit Anstieg m:

    Parallele durch P(0, 2 r):

    Schnittpunkt B zwischen Kreis und Gerade:

    Schnittpunkt C zwischen Gerade und Parallele:

    ( ) 222 rryx =−+

    xmyg ⋅=:

    ryp ⋅= 2:

    2

    2

    2 12,

    12

    mrmy

    mrmx BB

    +⋅⋅

    =+

    ⋅⋅=

    rym

    rx CC ⋅=⋅= 2,2

    y

    xA(0,0)

    D(cx,by)

    g

    p

    B

    C

    kM(0,r)

    P(0,2 r)

    m

  • Seite 18 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, I

    In[1]:= Kreis = x^2 + Hy − rL ^2 r^2Out[1]= x2 + H−r + yL2 r2

    In[2]:= Gerade = y m x

    Out[2]= y m x

    In[3]:= Parallele = y 2 r

    Out[3]= y 2 r

    In[4]:= [email protected], Gerade

  • Seite 19 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, II

    In[6]:= [email protected], Parallele

  • Seite 20 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, III

    In[15]:= [email protected], 8x, −5, 5

  • Seite 21 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Albrecht Dürer (1471 - 1528)Die Konstruktion der Muschellinie

    Zu den bedeutendsten Mathematikern der Renaissance zählen Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer. Der Öffentlichkeit sind beide vorrangig als Künstler bekannt. Am interessantesten aus mathematischer wie auch aus kunsttheoretischer Sicht ist der Kupferstich Melancholie (1514). Das Werk ist Reich an mathematischen Bezügen. Neben der Abbildung eines magischen Quadrates, Instrumenten zur Konstruktion und der perspektivischen Darstellung kann man in die gedanken-versunkene Engelsgestalt durchaus das resignierende Nachsinnen über schwierige mathematische Probleme hineininter-pretieren.

  • Seite 22 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktionsanweisung zur Muschellinie

    In Dürers grundlegenden Werk Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen finden wir eine Konstruktionszeichnung der Muschellinie (Konchoide):- zeichne eine waagerechte Gerade g- markiere auf g zwei Punkte A, B im Abstand von AB = 13cm- errichte in B die Senkrechte zu g und bezeichne sie mit s- skaliere die Gerade g von A beginnend in Abständen zu 1 cm,- skaliere die Gerade s von B beginnend in Abständen zu 1 cm,- zeichne Hilfsgeraden von g beginnend über s hinaus in dem 1 auf g mit 1 auf s, 2 auf g mit 2 auf s, usw. verbunden werden- trage mit dem Zirkel von g aus, auf den Hilfsgeraden den festen Abstand r=18cm ab- bezeichne die Endpunkte auf den Hilfsgeraden mit P1, P2, P3 ... P16- trage von A aus die Strecke r=18cm auf g ab und bezeichne den Punkt mit P0- verbinde die Punkte P0 ... P16 zur gedachten Muschellinie

  • Seite 23 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion der Muschellinie mit zirckel und richtscheyt

  • Seite 24 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Punktweise Konstruktion der Muschellinie mit Zirkel und Lineal

  • Seite 25 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion der Muschellinie mit Euklid

  • Seite 26 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Muschellinie mit Mathematicaü Geradengleichung durch den Punkt C(t,0) und S(a,t) als Zweipunkteform

    In[1]:= gerade = Hy − 0L ê Hx − tL Ht − 0L ê Ha − tLOut[1]=

    y−t + x

    ta − t

    ü Kreisgleichung mit Radius r und Mittelpunkt in C(t,0)

    In[2]:= kreis = Hx − tL^2 + y^2 r^2Out[2]= H−t + xL2 + y2 r2

    ü Bestimmung der Schnittmenge ziwschen Kreis und Gerade durch Elimination des Paramters tals Ergebnis folgt eine algebraische Kurve 4.Ordnung in impliziter Form

    In[3]:= kurve = [email protected]@8gerade, kreis

  • Seite 27 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Plot der Muschellinie mit Mathematica

    −30 −20 −10 10 20 30 x

    −15

    −10

    −5

    5

    10

    15

    y

  • Seite 28 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Vollständige Konstruktion der Muschellinie (Konchoide) mit Euklid

  • Seite 29 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Aufgabe: Bahnkurve der losen Rolle

    Ein Seil der Länge L=18 m ist an zwei Pfosten A, B unterschiedlicher Höhe befestigt. Der Abstand der beiden Pfosten beträgt a=10 m und ihre Höhendifferenz beträgt b=2m. Auf dem Seil gleitet eine lose Rolle R mit einem Gewicht. 1.) Auf welcher Bahnkurve bewegt sich die Rolle, bei stets straff gespannten Seil?2.) Wie verläuft die Bahn wenn das Seil zwischen B und R doppelt liegt für L=20m?

    10

    2

    A

    B

    R

  • Seite 30 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion der losen Rolle mit Euklid

  • Seite 31 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Bestimmung der Bahnkurve mit Mathematica

    In[1]:= kreis1=x^2 + y^2 == r^2

    Out[1]= x2 + y2 r2

    In[2]:= kreis2=(x-10)^2 + (y+2)^2 ==(L-r)^2

    Out[2]= H−10 + xL2 + H2 + yL2 HL − rL2In[3]:= kurve = Simplify[Eliminate[{kreis1,kreis2},r]]

    Out[3]= L4 + 16 H26 − 5 x + yL2 4 L2 H52 − 10 x + x2 + 2 y + y2L

  • Seite 32 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Plot der Bahnkurve im CAS

    −2 2 4 6 8 10 12 x

    −6

    −4

    −2

    2

    4

    y

  • Seite 33 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion mit Euklid bei doppelter Seilführung

  • Seite 34 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Bahnkurve bei doppelter Seilführung

    In[1]:= kreis1=x^2 + y^2 == r^2

    Out[1]= x2 + y2 r2

    Der Radius für den zweiten Kreis muss halbiert werden, da das Seil jetzt doppelt liegt!

    In[2]:= kreis2=(x-10)^2 + (y+2)^2 ==((L-r)/2)^2

    Out[2]= H−10 + xL2 + H2 + yL2 14 HL − rL2Die Kurve ergibt sich als Schnittmenge aus denbeiden Kreisen.

    In[3]:= kurve = Simplify[Eliminate[{kreis1,kreis2},r]]

    Out[3]= L4 + H416 − 80 x + 3 x2 + 16 y + 3 y2L22 L2 H416 − 80 x + 5 x2 + 16 y + 5 y2L

    In[4]:=

  • Seite 35 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Plot der Bahnkurve mit Mathematica

    2 4 6 8 10 12 14 x

    −6

    −4

    −2

    2

    4

    y

  • Seite 36 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematische Zeitschriften

    Die Wurzel – mathematische Zeitschrift der Friedrich Schiller Universität Jenawww.wurzel.org

    MONOID - Mathematikblatt für Mitdenker http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/

    http://www.wurzel.org/http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/monoid/

  • Seite 37 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Fünf Minuten Mathematik – lesenswerte Mathematikbücher

    Im Zeitalter von PC und Internet sollte man das Lesen von Büchern nicht vernachlässigen. Im folgenden möchte ich auf einige, lesenwerte Mathematikbücher hinweisen: (siehe auch „Rezessionen“ auf www.mathematik.de )

    Ehrhard Behrends: „Fünf Minuten Mathematik – 100 Beiträge der Mathematik- Kolumne der Zeitung Die Zeit“, www.vieweg.de

    Gero von Randow: „Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten“ Rowohlt Taschenbuch

    Marcus du Sautoy: „Die Musik der Primzahlen – auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik“, C.H. Beck Verlag

    A.G. Konforowitsch: „ Guten Tag Herr Archimedes“, Verlag Harri Deutsch Frankfurt a.M.Monika Noack: „Mathe mit dem Känguru – Die schönsten Aufgaben von 1995-2005“,

    Hanser VerlagN.Hermann: „Mathematik ist überall“, Oldenbourg Verlag München - Wien

    http://www.mathematik.de/http://www.vieweg.de/

  • Seite 38 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Links zur dynamischen Geometrie und CAS

    www.matheraetsel.dewww.dynamische-geometrie.de/index1.htm

    Kegelschnitte als Ortskurven: www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/kegelschnitte/index.htmlRezension von Dynamische Geometrie-Software (DGS):www.r-krell.de/m-bespr-d.htmKonstruktionen mit DGS Programm EUKLID: www.juergen-roth.de/dynageo_roth.htmlComputeralgebra in Baden-Württemberg:www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/CAS/Computer-Algebra-Systeme (CAS) an der Schulewww.ikg.rt.bw.schule.de/leucas/Übersicht verfügbarer CAS Programmewww.fs-physik.uni-bonn.de/cip/cip_cas.shtml

    http://www.matheraetsel.de/http://www.dynamische-geometrie.de/index1.htmhttp://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/kegelschnitte/index.htmlhttp://www.r-krell.de/m-bespr-d.htmhttp://www.juergen-roth.de/dynageo_roth.htmlhttp://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/CAShttp://www.ikg.rt.bw.schule.de/leucas/http://www.fs-physik.uni-bonn.de/cip/cip_cas.shtml

  • Nur für internen Gebrauch / Copyright © Siemens AG 2007. Alle Rechte vorbehalten.

    Titel in Arial Fett40 PunktUntertitel Arial 20 Punkt

    Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

    Mathematische Probleme am Personalcomputer lösenAgendaMathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil IMathematik im Zeitalter von Computer und Internet – Teil IIMathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil IIIDynamische Geometrie – Was ist das?CAS – Computer – Algebra - SystemeAufgabe: LeitertransportLeitertransport mit dem Programm EuklidLösungsansatz zum LeitertransportLeitertransport mit CAS Mathematica, Teil 1 Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 2 Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 3 Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 4 Kurvenkonstruktion Versiera der AgnesiKonstruktion Versiera der Agnesi mit EuklidKurvengleichung Versiera der AgnesiKurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, IKurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, IIKurvengleichung Versiera der Agnesi mit CAS, IIIAlbrecht Dürer (1471 - 1528)�Die Konstruktion der MuschellinieKonstruktionsanweisung zur MuschellinieKonstruktion der Muschellinie mit �zirckel und richtscheyt Punktweise Konstruktion der Muschellinie mit Zirkel und LinealKonstruktion der Muschellinie mit EuklidMuschellinie mit MathematicaPlot der Muschellinie mit MathematicaVollständige Konstruktion der Muschellinie (Konchoide) mit EuklidAufgabe: Bahnkurve der losen RolleKonstruktion der losen Rolle mit EuklidBestimmung der Bahnkurve mit MathematicaPlot der Bahnkurve im CAS Konstruktion mit Euklid bei doppelter SeilführungBahnkurve bei doppelter SeilführungPlot der Bahnkurve mit MathematicaMathematische ZeitschriftenFünf Minuten Mathematik – lesenswerte MathematikbücherLinks zur dynamischen Geometrie und CAS Titel in Arial Fett�40 Punkt �