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Institute of Operating Systemsand Computer Networks
Mathematische Methoden der AlgorithmikUbung 3 (nachgeholt in Ubung 4)
Dominik Krupke (Folien von Stephan Friedrichs)
January 9, 2018
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
Auswahlregeln:
Falls uneindeutig, wahle
Pivotspalte 1. Hochste reduzierte Kosten, 2. Niedrigster Index
Pivotzeile 1. Großtes Pivotelement, 2. Niedrigster Index
max 2.3x1 + 2.15x2 − 13.55x3 − 0.4x4
s. t. 0.4x1 + 0.2x2 − 1.4x3 − 0.2x4 ≤ 0−7.8x1 − 1.4x2 + 7.8x3 + 0.4x4 ≤ 0
x1, . . . , x4 ≥ 0
Hall et al., The simplest examples where the simplex method cyclesand conditions where expand fails to prevent cycling, 1996
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
2. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 1 −5.5 0.75 −5.75 0 0
x1 1 0.5 −3.5 −0.5 2.5 0 0x6 0 2.5 −19.5 −3.5 19.5 1 0
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
2. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 1 −5.5 0.75 −5.75 0 0
x1 1 0.5 −3.5 −0.5 2.5 0 0x6 0 2.5 −19.5 −3.5 19.5 1 0
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 2.3 2.15 −13.55 −0.4 0
x1 1 0 0.4 0.2 −1.4 −0.2 0x2 0 1 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
Nur verschoben (zyklisch 2 nach rechts)
Tableau 1 nach weiteren 4 Schritten erreicht!
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 2.3 2.15 −13.55 −0.4 0
x1 1 0 0.4 0.2 −1.4 −0.2 0x2 0 1 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
Nur verschoben (zyklisch 2 nach rechts)
Tableau 1 nach weiteren 4 Schritten erreicht!
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 2.3 2.15 −13.55 −0.4 0
x1 1 0 0.4 0.2 −1.4 −0.2 0x2 0 1 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
Nur verschoben (zyklisch 2 nach rechts)
Tableau 1 nach weiteren 4 Schritten erreicht!
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Cycling im Simplex-Algorithmus
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 0 2.3 2.15 −13.55 −0.4 0
x1 1 0 0.4 0.2 −1.4 −0.2 0x2 0 1 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
Nur verschoben (zyklisch 2 nach rechts)
Tableau 1 nach weiteren 4 Schritten erreicht!
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
Wie Cycling verhindern?
Bland’s Pivotregel
Pivotspalte Unter allen Spalten mit positiven reduzierten Kostendiejenige, die den kleinsten Index hat
Pivotzeile Unter allen Zeilen mit minimalem brArq
diejenige mit dem
kleinsten Index
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
(wie gehabt)
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
1. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
2.3 2.15 −13.55 −0.4 0 0 0
x5 0.4 0.2 −1.4 −0.2 1 0 0x6 −7.8 −1.4 7.8 0.4 0 1 0
(wie gehabt)
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
2. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 1 −5.5 0.75 −5.75 0 0
x1 1 0.5 −3.5 −0.5 2.5 0 0x6 0 2.5 −19.5 −3.5 19.5 1 0
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
2. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
0 1 −5.5 0.75 −5.75 0 0
x1 1 0.5 −3.5 −0.5 2.5 0 0x6 0 2.5 −19.5 −3.5 19.5 1 0
Hier wurde oben die andere Zeile gewahlt!
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
−2 0 1.5 1.75 −10.75 0 0
x2 2 1 −7 −1 5 0 0x6 −5 0 −2 −1 7 1 0
LP ist unbeschrankt
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
−2 0 1.5 1.75 −10.75 0 0
x2 2 1 −7 −1 5 0 0x6 −5 0 −2 −1 7 1 0
LP ist unbeschrankt
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Institute of Operating Systemsand Computer Networks
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
3. Tableaux1 x2 x3 x4 x5 x6
−2 0 1.5 1.75 −10.75 0 0
x2 2 1 −7 −1 5 0 0x6 −5 0 −2 −1 7 1 0
LP ist unbeschrankt
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Institute of Operating Systemsand Computer Networks
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
TheoremMit Bland’s Pivotregel terminiert der Simplex Algorithmus.
Also warum nicht immer mit Bland’s Pivotregel?
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland’s Pivotregel
TheoremMit Bland’s Pivotregel terminiert der Simplex Algorithmus.
Also warum nicht immer mit Bland’s Pivotregel?
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland und Performance
Testfall Gerrymandering-LP (79200 Variablen, 30051 Constraints)
LP-Solver lp solve
Heuristik Command Zeit
Dantzig lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv1 0:02:43Devex lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv2 0:03:01
Steepest lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv3 0:03:30Bland lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv0 6:06:41
⇒ In der Praxis: Schnelle Heuristik plus Cycling Detection
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland und Performance
Testfall Gerrymandering-LP (79200 Variablen, 30051 Constraints)
LP-Solver lp solve
Heuristik Command Zeit
Dantzig lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv1 0:02:43Devex lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv2 0:03:01
Steepest lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv3 0:03:30Bland lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv0 6:06:41
⇒ In der Praxis: Schnelle Heuristik plus Cycling Detection
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland und Performance
Testfall Gerrymandering-LP (79200 Variablen, 30051 Constraints)
LP-Solver lp solve
Heuristik Command Zeit
Dantzig lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv1 0:02:43Devex lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv2 0:03:01
Steepest lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv3 0:03:30Bland lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv0 6:06:41
⇒ In der Praxis: Schnelle Heuristik plus Cycling Detection
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Zyklisches Simplex Beispiel Bland’s Pivotregel Bland und Performance
Bland und Performance
Testfall Gerrymandering-LP (79200 Variablen, 30051 Constraints)
LP-Solver lp solve
Heuristik Command Zeit
Dantzig lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv1 0:02:43Devex lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv2 0:03:01
Steepest lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv3 0:03:30Bland lp solve -mps gerry2-solution.mps -piv0 6:06:41
⇒ In der Praxis: Schnelle Heuristik plus Cycling Detection
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