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Mathematik und Informatik:Eine Liebeserklärung
Bruno BuchbergerRISC, Uni Linz
Vortrag auf der ÖMG TagungBozen, 25. September 2003
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• Die Liebe und die Erklärung
– der wissenschaftliche Dreischritt – die Spirale der Selbstanwendung – die algorithmische Natur der Mathematik
• Beispiele:
– automatisches Beweisen mit Gröbner-Basen– automatisches Beweisen in der Analysis– Automatisches Erfinden von Algorithmen
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Ein naiver Glaube
• Mathematik handelt vom Rechnen• Computer = Rechenmaschine• Also: Computer steht im Zentrum der heutigen
Mathematik
• Informatik (“Computer Science”) handelt vom Computer
• Computer steht im Zentrum der Mathematik• Also: Mathematik steht im Zentrum der Informatik
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Realität
• Mathematik und Informatik sind weit voneinander entfernt.
• Für viele Mathematiker ist der Computer LaTeX, e-mail und Web und sonst nichts.
• Viele Informatiker sind überzeugt, dass sie keine Mathematik brauchen.
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Meine Sicht
• Mathematik (und Logik) und Informatik zusammen bilden ein Ganzes – die “Denktechnologie”.
• Die Kluft zwischen Mathematik und Informatik ist
– bedauerlich– gefährlich– wissenschaftstheoretisch nicht haltbar.
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Der wissenschaftliche Dreischritt
• Die Denktechnologie hat sich von der „Beobachtungstechnologie“ getrennt.
a2+b2 = c2 Beobachten oder Denken?
• Beobachten, Denken, Handeln: Der grundlegende Dreischritt des „wissenschaftlichen“ Umgangs mit der Natur.
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Die Methode der Wissenschaft
Realitätmit Frageoder Problem
Modell
Antwortoder Lösungim Modell
Antwortoder Lösungin Realität
Beobachten
Handeln
Denken
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Die Methode der Wissenschaft
Beobachten(„Modellieren“,z.B. „Messen“)
Denken(„Schließen“)
Handeln(„Anwenden“)
?
a
b
c = ?
c = sqrt[a2+b2]
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Die Methode der WissenschaftInput
mit Sinnen
TransformationGehirn
OutputMotorik
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Die Methode der Wissenschaft
BeobachtenNaturwissenschaften
DenkenMathematik
HandelnTechnologien
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Die Methode der Wissenschaft
Beobachten
Denken
Handeln
Die drei Schritte sind methodisch verschieden,gehören aber zusammen.
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Mathematik und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:
Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)
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... Computer-Technik
Computer-Mathematik
Struktur-Mathematik
...
Informatik
Mathematik
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Selbstanwendung: die Natur der Intelligenz
?
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Selbstanwendung
BeobachtenSinne
Mikroskop
Handeln
Denken
Das Mikroskop!
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Selbstanwendung
Beobachten
HandelnMotorikBagger
Denken
Der Bagger!
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Selbstanwendung
Beobachten
Handeln
DenkenGehirnRechenstab
Der Rechenstab!
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Die wissenschaftlich / mathematisch /technologische Spirale
dreht sich immer schneller, universeller, …
Beobachten (Keyboard, Tablett, …, Tomograph, …)
Handeln (Printer, Screen, …, Roboter, …)
Denken(…universelleComputer)
……
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Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:
Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen)
Die drei Gebiete sind relativ zueinanderauf verschiedenen Ebenen der Selbstanwendung
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Die algorithmische Tendenz der Mathematik
Das Grund-Prinzip der Mathematik:
Einmal scharf denken
unendlich oft nicht mehr denken müssen
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Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]
Unendlich oftmals rechnen: GGT[m,n] “mit Euklid”
Beispiel:
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Mehr mathematisches Wissen
effizienteres Problemlösen
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Letztlich zielt die gesamte Mathematik:
– auf Einsicht in Strukturen– die Entdeckung der Klarheit im Komplexen– auf das Systematische, „Methodische“– ...– auf das „Algorithmische“ (so große Klarheit, dass
man sie sogar dem Uneinsichtigen = der Maschine vermitteln kann)
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Ein Missverständnis:
Computer-Mathematik = oftmaliges Anwenden von trivialer Mathematik (“der Computer” kann das).
Tatsache ist:
Computer-Mathematik =Erfinden und Beweisen von Algorithmen auf Grund
von mehr “Mathematik”.
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Algorithmische Mathematik (Informatik) und nicht-algorithmische Mathematik winden sich in Spiralen (Ebene / Meta-Ebene) nach oben
Mehr Denken auf oberer Ebene
Weniger Denken auf unterer Ebene
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Ein Satz auf oberer Ebene „erschlägt“
unendliche viele Probleminstanzen auf unterer Ebene
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Satz über Gröbner-Basen-Kriterium
statt eigener Trick für jedesnicht-lineare Gleichungssystem
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Liouville-Satz (Risch 1968) über Darstellbarkeit von Integralen
statt eigener Trick für jedes Integral
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Statt eigener Trick für Beweis eines jedenSatzes ....
statt eigener Trick für ....
Satz über das Beweisen von Sätzen
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Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar:
Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen).
Sie bewegen sich in Spiralenauf immer höhere Ebenen der Algorithmisierung.
Algorithmisierung ist der Mathematik inhärent.
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Die Informatik ist die Realisierung der Mathematik
mit den technologischen Mitteln der heutigen Zeit.
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Beispiele (im Theorema-System)
• automatische Entscheidung über die Gültigkeit geometrischer Sätze (BB, J. Robu):
siehe File Example-Geo-Proving.nb
• automatisierte Beweise in der elementaren Analysis (BB, D. Vasaru)
siehe File Example-Analysis-Proving.nb
• automatisches Erfinden von Algorithmen (BB, A. Craciun) siehe File Example-Algorithm-Synthesis.nb
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Mathematik (Logik) und Informatik
haben als Einheit
eine faszinierende Zukunft
als das sich selbst automatisierende Denken.