Mathematik und gesellschaftlicher Wandel

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<ul><li><p>323 </p><p>Roland Fischer Mathematik und gesellschaftlicher Wandel 1 </p><p>Summary: Society today needs more collective self-reflection. Mathematics could contribute to this goal if it undergoes substantial changes (in teaching, research and application). The main role of mathematics is to be an instrument and instrumentalism impedes self-reflection. There are two orientations for mathematics which could broaden the possibilities of mathematics for collective self-reflection: analysis of basic assumptions (mathematics as a mirror of mankind) and problem description instead of problem solving (mathematics as a means of presentation and communi-cation). This orientations can be illustrated by examples from applied mathematics, in special consideration of social sciences and economics. </p><p>Die Botsehaft, die ich mit diesem Vortrag vermitteln mochte, ist - kurz gefaBt - die </p><p>folgende: Die menschliehe Gesellsehaft steht in ihrem EntwieklungsprozeB heute vor spe-</p><p>zifischen Aufgaben, die nur durch vermehrte kollektive Selbstreflexion bewiiltigt werden </p><p>konnen. Fiir deren Forderung und damit fUr eine gedeihliehe Weiterentwicklung der </p><p>Mensehheit kann die Mathematik niitzlieh sein, wenn sie bestimmte Neuorientierungen </p><p>vornimmt. </p><p>Grundsatzlieh bin ieh Optimist. Ich glaube, daB sieh die Mensehheit in jedem Fall zum </p><p>Guten weiterentwiekeln wird. Zum Guten, damit meine ich, daB es weniger Leid fiir den </p><p>Einzelnen, mehr Fiireinander statt Gegeneinander und mehr Selbsterkenntnis geben wird, </p><p>wenn aueh Riieksehliige und Irrwege nieht zu vermeiden sind. Urn diese jedoeh gering zu </p><p>halten und vor allem, urn die Ubergiinge so zu gestalten, daB die Mensehen sieh einstellen </p><p>konnen, dafiir, meine ieh, konnen wir etwas tun. leh glaube weiters, daB die Gefahr besteht, </p><p>daB bei wesentliehen Entwieklungsschritten wert volle Giiter fUr unwichtig erkliirt werden </p><p>und in Vergessenheit geraten konnen. Es wird manehmal nieht gesehen, was sie beitragen </p><p>oder zumindestens wie wiehtig sie fiir spiitere Aufgaben sein konnen. 1m konkreten geht </p><p>es mir urn die geistigen Giiter, die von der Mathematik geschaffen wurden und die im </p><p>Widerspruch zu manchen heute beobaehtbaren und notwendigen Entwieklungstendenzen </p><p>zu stehen seheinen. </p><p>1 Uberarbeit.et.e und erweiterte Fassung eines Vortrages bei der 3. Internationalen Konferenz iiber Anwen-</p><p>dungen und Modellbildung im Mat.hematikunterricht im September 1987 in Kassel. Eine englische Version </p><p>dieses Aufsa\.zes ist in gekiirz\.er FassulIg erschienell ill BLUM et al. (1989) ulld erscheint in ungekiirzter </p><p>Fassung in RESTIVO e\. al. (1991). </p><p>(JMD 12 (91) 4, S. 323-345) </p></li><li><p>324 R. Fischer </p><p>Komplexitat, Selbstorganisation und Selbstreflexion </p><p>Bevor ich auf die Moglichkeiten der Mathematik eingehe, mochte ich andeuten, wie ich </p><p>die Situation der menschlichen Gesellschaft heute sehe. Ich bin kein Gesellschaftswis-</p><p>senschaftler, sodaB meine Diagnose nur eine oberfliichliche sein kann und sich auBerdem </p><p>auf die Sichtweisen von entsprechenden Experten stiitzen muB. So hat der amerikanische </p><p>Sozialforscher John NAISBITT (1984) zehn sogenannte "Megatrends" zusammengestellt, </p><p>von denen er annimmt, daB sie in der Zukunft zumindestens in der westlichen Welt eine </p><p>besondere Rolle spielen werden. Das Verfahren war im Prinzip sehr einfach: Es basiert auf </p><p>der Inhaltsanalyse von mehr als 2 Millionen Artikeln in Lokalzeitungen in den USA. U.a. </p><p>sind folgende Trends herausgekommen: </p><p> Notwendigkeit des strategischen Denkens III groBen Systemen (zeitlich, riiumlich </p><p>usw.) - aufgrund von Vernetzungen (okologischer, okonomisch-technischer, sozialer </p><p>Art usw.) ; </p><p> Trend zur Dezentralisierung, von der Hierarchie zum sozialen Netzwerk </p><p> vom Entweder/Oder-Denken zur Rollenvielfalt . </p><p>In bestimmter Weise scheinen diese Trends Antworten auf ein Phiinomen zu sein, von dem </p><p>heute ebenfalls viel die Rede ist: Komplexitiit. Ich hatte vor kurzem Gelegenheit, an einer </p><p>Tagung iiber "Complexities of the Human Environment" teilzunehmen (von der Honda-</p><p>Foundation im Juli 1987 in Wien durchgefiihrt). Es wurde dort viel iiber Komplexitiit im </p><p>technologischen, im wirtschaftlichen und im Umwelt-Bereich gesprochen ,und es wurden </p><p>Ansiitze zu deren "Bewiiltigung" diskutiert: Entwicklung geeigneter Technologien, mehr </p><p>(internationale) Zusammenarbeit, Schaffung eines offentlichen BewuBtseins iiber diese Pro-</p><p>bleme sowie Entwicklung einer neuen Ethik. Fiir besonders interessant und weiterfiihrend </p><p>habe ich einen Beitrag des deutschen Soziologen Niklas LUHMANN gehalten, der durch </p><p>eine gleichsam epistemologische Ubedegung das Feld der Betrachtung substantiell erwei-</p><p>terte. Er sagte: Komplexitiit ist nicht allein eine Eigenschaft eines bestimmten beobachte-</p><p>ten Sachverhalts (Umwelt, Technik, Wirtschaft, ... ), sondern es ist auch eine Eigenschaft </p><p>der Beobachtung, d.h. der Relation zwischen "Sachverhalt" und dem Beobachter. Um das </p><p>Resultat von Beobachtungen zu verstehen, miissen auch die Beobachter beobachtet werden. </p><p>Global gesprochen: Die Beobachtung eines "Gegenstandes" durch die "Gesellschaft" muB </p><p>durch eine Selbstbeobachtung der Gesellschaft erganzt werden. </p></li><li><p>Mathematik und Gesellschaft 325 </p><p>Ein erstes Resultat der Selbstbeobachtung und eine mogliche Erkliirung der Komplexitiit </p><p>ist die Tatsache, da13 die Gesellschaft heute nicht als einheitlicher monolithischer Block </p><p>gesehen werden kann. LUHMANN sieht sie als ein Gefiige von relativ autonomen "sozia-</p><p>len Systemen". Beispiele von mehr oder weniger autonomen sozialen Systemen sind die </p><p>Wirtschaft, die Wissenschaft oder das Recht. </p><p>Der Begriff des sozialen Systems wird heute in der Soziologie intensiv diskutiert, wobei </p><p>sich Anleihen in Biologie und Kybernetik als fruchtbar erwiesen haben, wo zur Erkliirung </p><p>des Wesens und der Funktionsweise lebendiger Organismen bestimmte Begriffe und Theo-</p><p>rien entwickelt wurden. Zentral sind dabei die Begriffe der "Selbstorganisation" sowie des </p><p>"Selbstbezugs", wie sie vor aHem von den Biologen Umberto MATURANA und Francisco </p><p>VARELA verwendet werden. Ais wesentlich fiir lebendige Systeme wird gesehen, da13 </p><p>sie in der Lage sind, ihre eigene Organisation zu reproduzieren (autopoietische Systeme). </p><p>VARELA (1986) vertritt den Standpunkt, daB neben einer an Maschinen orientierten Sy-</p><p>stemtheorie eine solche, die mehr dem Charakter der lebendigen Systeme entspricht, ent-</p><p>wickelt werden solle. Den Unterschied sieht VARELA vor allem darin, da13 maschinelle </p><p>Systeme durch ihr InputjOutput-Verhalten charakterisiert werden konnen, wiihrend fur </p><p>lebendige Systeme ihre innere Organisation, der innere Zusammenhalt und die Struktur </p><p>entscheidend sind. Diese interne Regelhaftigkeit - VARELA nennt sie auch "operational </p><p>closure" - fiihrt zu sogenannten "eigen-behaviors", welche unabhiingig von der Umwelt </p><p>entwickelt werden. Interaktionen mit der Umwelt erfolgen nun nicht in Form von Inputs </p><p>in den Organismus (etwa Informationen), die verarbeitet werden und dann zu Outputs </p><p>(eventuell beobachtbarem Verhalten) fiihren, sondern: Selbstorganisierte Systeme wahlen </p><p>aus, entsprechend ihrer inneren Organisation, sie deuten die Umwelt, sie geben manchen </p><p>Dingen einen Sinn, anderen keinen. VARELA schreibt: </p><p>... for an autonomous machine characterized by its closure and its eigen-behavior, what happens is that these eigen-behaviors will specify out of the noise what of that noise is of relevance. So, what you have is a laying down of a world, a laying down of a relevant "Umwelt". A world becomes specified or endowed with meaning; out ofeigen-behaviors, there arises possibility of generating "sense". So what we are talking about here is the contrast between an instructive Turing automaton and an autonomous machine capable of creating (or generating) sense. (VARELA 1986, S. 119). </p><p>Was sagen diese aus der Biologie kommenden Betrachtungen iiber soziale Systeme aus? </p><p>Es konnte sein, daB auch die Identitiit solcher Systeme etwas mit Selbstbezug, "operatio-</p><p>nal closure" und Entwicklung eines "eigen-behavior" zu tun hat. Fur hoher organisierte </p></li><li><p>326 R. Fischer </p><p>Lebewesen, wie z.B. fiir den Menschen, hat man das ja immer angenommen. Die empiri-</p><p>schen Grundlagen der Forschungen VARELAs betreffen aber Zellen, Nervensysteme oder </p><p>Immunsysteme. Wenn sogar diese Systeme in der Lage sein sollten, durch die Interak-</p><p>tion ihrer Bestandteile so etwas wie eine "kollektive Seele" zu entwickeln, sollten nicht </p><p>dann auch soziale Systeme dazu in der Lage sein? Es gibt Hinweise darauf, daB dies der </p><p>Fall ist, und diese Sichtweise wird, wie schon erwiihnt, von manchen Soziologen vertreten, </p><p>aber auch von Managementwissenschaftlern. Ohne auf mehr Einzelheiten einzugehen -</p><p>ich verweise z.B. auf LUHMANN (1986) und ULRICH/PROBST (1984) - gehe ich im </p><p>weiteren von der Annahme aus, daB der Begriff des sozialen Systems in Verbindung mit </p><p>Selbst-Organisation und Selbstbezug einige Bedeutung fiir die Erkliirung des Ist-Zustandes </p><p>und damit fiir die weitere Entwicklung der Menschheit besitzt. </p><p>Ausgangspunkt des Exkurses in die (biologische und soziologische) Systemtheorie war die </p><p>Forderung Niklas Luhmanns nach einer Selbstbeobachtung der Gesellschaft. Eine solche </p><p>Selbstbeobachtung gibt es natiirlich (zumindest) seit die Menschen ihre Geschichte auf-</p><p>zeichnen, die Sozialwissenschaften sind ein Ausdruck der Selbstbeobachtung, aber auch </p><p>Literatur, Massenmedien etc. Was nicht immer mit der notigen Konsequenz erfolgt(e), ist </p><p>der Rtickbezug auf "uns" selbst, d.h. das konsequente Stellen der Frage "Was hat das alles </p><p>mit uns zu tun?". Eine Selbstbeobachtung, die diese Frage immer wieder stellt, mochte </p><p>ich Selbstreflexion nennen. Selbstreflexion kann individuell erfolgen, sollte aber auch fiir </p><p>soziale Systeme moglich sein. In diesem Fall nenne ich sie kollektive Selbstreflexion. Sie </p><p>kann darin bestehen, daB Systemteile jeweils sich selbst und einander beobachten und sich </p><p>dartiber verstiindigen (insbesondere tiber den "blinden Fleck", den jedes (Sub- )System </p><p>hat). In dieser Differenz zwischen" Agieren" und "Reflektieren" entsteht Bewufitsein; Be-</p><p>wuBtsein z.B. tiber das, was in unserer Wahrnehmung der Umwelt (Natur) aus eigenen </p><p>(Vor- )Urteilen, Angsten und Wiinschen enthalten ist; oder BewuBtsein tiber Identitiit und </p><p>Funktion des jeweiligen sozialen Systems seiner Organisation und "eigen-behavior" - und </p><p>seiner verborgenen Ziele. BewuBtsein tiber (oder der) soziale(n) Systeme ist Voraussetzung </p><p>ftir eine erweiterte Handlungsfiihigkeit. </p><p>Instrumentalismus und Reflexion </p><p>Es stellt sich nun die Frage: Kann die Mathematik zu jenem ProzeB kollektiver Selbstrefle-</p><p>xion etwas beitragen? Auf den ersten Blick enthiilt die Mathematik gegenliiufige Tenden-</p></li><li><p>Mathematik und Gesellschaft 327 </p><p>zen. Die wichtigste derartige Tendenz: Die Mathematik wird primar als ein In$trument </p><p>gesehen, mit dem der Mensch - als erkennendes oder handelndes \Yesen - einer Sache </p><p>(z.B. Natur) gegentibertritt. Mit Hilfe dieses Instruments distanziert er sich auch Yon der </p><p>Sache, d.h. er drtickt aus, daB er etwas anderes ist. 1m Bereich der N aturerkenntnis hat </p><p>der Mensch die Mathematik gewissermaBen zwischen sich und die Katur geschoben (ob-</p><p>wohl er auch Natur ist). Durch diesen doppelten Akt der Trennung wurde zunachst die </p><p>Natur, dann auch die Mathematik zu einem Gegen$tand, den man erforschen, des sen man </p><p>sich bedienen kann. Wobei im konkreten Fall die Mathematik noch mehr mit der Katur </p><p>(Mathematik als Sprache der Natur) zu tun zu haben schien als mit dem 11enschen. So </p><p>etwas wirkt der Selbstreflexion entgegen. </p><p>~ ~lathematikl </p><p>Natur, Umwelt </p><p>Ein zweiter Beleg ftir die Ansicht, daB hier Mathematik auf der falschen Seite steht, er-</p><p>gibt sich aus der von VARELA vorgenommenen Gegentiberstellung von maschinellen und </p><p>autonomen Systemen. Als Instrument der Erfassung von Input/Output-Beziehungen, als </p><p>Hilfe bei der Bemtihung, von auBen etwas in Systemen zu bewirken, hat sich die Mathe-</p><p>matik bislang wohl mehr mit den maschinellen Systemen beschaftigt. Nicht von ungefahr </p><p>wird mathematische Systemtheorie oft mit "Kontrolltheorie" gleichgesetzt. Ein Beitrag </p><p>der Mathematik zur Selbstreflexion sozialer Systeme ist aus dieser Sicht unwahrscheinlich. </p><p>Allerdings: Die eben tiber den Charakter der Mathematik gemachten Aussagen stellen </p><p>selbst ein Moment der Reflexion dar; Reflexion nicht nur tiber eine bestimmte Sache, son-</p><p>dem auch Selbst-Reflexion tiber uns selbst, tiber unsere Beziehung zur Mathematik und zu </p><p>jenen Bereichen, die wir mittels Mathematik behandeln. Allgemeiner: Jedes Instrument, </p><p>das der Mensch bentitzt, kann auch als AnlaB, als Ausgangspunkt zur Selbstreflexion ge-</p><p>nommen werden, denn in ihm spiegeln sich ja Eigenschaften, Interessen und Zwecke des </p><p>Menschen - individuell und kollektiv - wider. Je "machtiger" ein Werkzeug ist, desto </p><p>mehr Moglichkeiten ftir diese Widerspiegelung bietet es. </p></li><li><p>328 R. Fischer </p><p>Eine zweite Moglichkeit der Nutzung von Mathematik zur gesellschaftlichen Selbstreflexion </p><p>geht davon aus, daB diese Reflexion einen kommunikativen ProzeB zwischen Menschen </p><p>bzw. Gruppen von Menschen bedeutet. Die Kommunikation kann durch Mathematik </p><p>unterstiitzt werden. In diesem Fall kommt gerade der instrumentelle Charakter von Ma-</p><p>thematik zum Tragen, allerdings mit se!bstreflexiver Zielsetzung, was sowohl auf die Art </p><p>der Mittel als auch auf deren Handhabung einen EinfluB haben wird. </p><p>Ich mochte im folgenden zwei Orientierungen fiir die Mathematik (Lehre, Forschung, An-</p><p>wendung) vorschlagen, die den beiden genannten Moglichkeiten entsprechen. Diese Ori-</p><p>entierungen sind in der Mathematik moglicherweise immer schon angelegt gewesen, durch </p><p>den oben beschriebenen Instrumentalismus wurden sie jedoch verschiittet und zugedeckt. </p><p>Ich nenne diese Orientierungen: </p><p> Analyse von Grundvoraussetzungen mathematischer Begriffe und Theorien - Ma-</p><p>thematik als Spiegel des Menschen; </p><p> Problembeschreibung statt Problemlosung - Mathematik als Darstellungs- und Kom-</p><p>munikationsmittel. </p><p>Analyse von Grundvoraussetzungen </p><p>Ich beginne mit einem Beispiel: Bekannt ist die Formel </p><p>fiir ein Kapitel nach t Jahren bei eJ;ltsprechender Verzinsung. (Je nachdem, welche Werte </p><p>fiir t zugelassen sind, gilt die Formel fiir verschiedene Kapitalisierungsintervalle und auch </p><p>fiir die sogenannte "stetige Verzinsung".) Nicht so bekannt ist die Tatsache, daB die obige </p><p>Forme! Losung von zwei Funktionalgleichungen ist. FaBt man K t als Funktion von Ko und </p><p>von t auf, also </p><p>Kt = f(Ko, t) </p><p>so sind dies die beiden folgenden Gleichungen: </p><p>f(Ko + Kb, t) = f(Ko, t) + f(Kb, t) f(Ko, t + tf) = f(f(Ko, t), t') </p></li><li><p>Mathematik und Gesellschaft 329 </p><p>(Vgl. EICHHORN 1978, Seite 10) </p><p>Beide Gleichungen kann man als Invarianzeigen8chaften bei Teilung interpretieren. Die </p><p>erste bezieht sich auf eine Teilung de8 Kapita18, die zweite auf eine Teilung der Zeit. </p><p>Etwas konkreter: Die erste Gleichung besagt: Wenn man das Anfangskapital auf zwei Teile, </p><p>niimlich Ko bzw. Kri, aufteilt und beide verzinst, eventuell bei verschiedenen Banken, so </p><p>erhiilt man in Summe dasselbe Ergebnis, wie wenn man das Gesamtkapital bei eine...</p></li></ul>

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