mathematics & statistics » boston university

37

Upload: others

Post on 31-Oct-2021

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mathematics & Statistics » Boston University

� �������� �� ������������������������� �!"�$#%"&�('*)+-,��.�0/�1���/2�3 �4�� �(!5�6'87

9.:<;*=?>�=@:BA*C�D8:<EGFH%:BA*IKJL=NM+;POQOLR0CQESJTRU(RBVWJQEYX Z[\H�J^]<:BAPJQ_a`b�=cIcOL:<VWJ^XdDfegIhXdOQi$IKV*VjRkAl XGJQmn:BA*R l Io=K]kJLpqXGEGI

H�JQr\:<EYXdstJLA$XuRBm.vw:xXdDPJLsy:zX�IcCTp>�RkpqXdRkA|{ A*IK]$JQEGpGIhX}_

~k~k~ M+;*s-s-IcAPiBXdRkA�vw:B=o=>�RBpYXdRkA��\v|� �$�k� ~����r*EGIc= �B�P�\�<� ~^�

�n�1�4���5�.�G�(�q�S�5�d�n�n���x�c�����1�o���}���B� �S¡S�q�n¢¤£4�G¥G�1�o���}���L¦q§¨o© £4���¤�cª0«z¬S­6�¤®��1�G�¤�"¯k�4°B±G�4�Kªo���4²³²��"°c�S±S±�£4�cªc� ¥"�q�N�Y�³�j£4�d°$�S£4�G�G¥S��ªo�³£��µ´a�o�4��ª0¶W�1��·4·}�1�

¸

Page 2: Mathematics & Statistics » Boston University

� ������������ ��������

����������������� �"! �$#%�'&(�����)&*!"+,�.-/�����0!��21(3.-4���65 798*! 8/���$#6:;��! <>=?�;@�A�=B�'&C�'&;�D7E! 3�=><?�5 7F�'!G�'=>5 �*! <H3I! 8;#

JLKNMPO�QSRTOVU�W XO UA�&;����� X =>#Y!Z��5 3I8;<?�\[I8*! ��! 3����'����]��^�_�'1;�$�;#`5,1N�Y�'&;!V�Y��&;���$�a! ���%#��\+,����! <b:;=BcH�������d�AY!"�N#_�'&*!V�feN=>����8;=Vg�;#�hd=i��1;�j+,��#DME=P]k�V]?l2#��\�'#`&;5 3I��5,3I5 ��8;&;=?�f�'5)��&;�DeN=?���$8;=Vg�;#$h2=*��! ��8/���7m��! ���'! <nQa! �$=>#���! #.o 1;<>=>!p#�����#Z7m5,�D�'&;��#��I3q! 8(#�]r*5,�s�\[(! 3�8;<>�VlF=B7`�'&;�t7m�����q����=?��=>��! <5,�$-;=?��#6���d�����6��&;�.-*!V#�=>�u5 7_v !V7n�'���6=B�'����!V�'=?5,��wyx{z(l4��&;����=B�6=?#6hd�;5|A����'&*!V�%�'&;�o 1;<?=}!q#$���)=>#D!CeN=?����8(= g�;#�hd=F��1;�j+,� ]����~r9=>@,1(��� ¸ AY�t:;=?#�8;<>!"�u�'&(��8;! �'! 3��������a8;<>! �;�Mn�'&;� X;� 8;<}!V�;�|Q�! �(:q!D3q!V@,�;=?�;�"!V��=>5,���;��! � X RT�a7m5,���'&;=?#S7E!V3I=?<?�sA�&;���I�uR��N]��%<><5 7/�'&(��A�&(=?�'�f:(=>#�hd#S=>����&;��#$��8(=>����1;����#�! ���%eN=?����8(= g�;#�hd=N&;5,<>��#�l�=P]k�V]?l��'&(��o 1;<>=>!�#�������5,� ��$��#�8/5,�;:(=>�;@s�'5Z��! ��&�8*!V�'! 3���������=>�I��&;��#$������@,=>5 �;#_=?#�!�eN=>����8;=Vg�;#�hd=*��1(�$+,�V]_eN5)��&;��#$�o 1;<?=}!s#�����#�! ����! <></&;5,3���5,3�5,�$8;&;=>�V]9�f&;�����s! �$��=>�(�;�;=?����<?�t3I! ���I#�1;��&C&;5,<?��#`=?�q�'&;�8*!V�'! 3���������8;<}!V�;� lV! �;:)=?�L=>#�hd�;5|A����zV��l;� ¸|� �d�'&*!G�F��&;���$�Y! �$�_��[(! ����<?�IME��� ¸ Q�MP�V��Q��"�2�eN=?���$8;=Vg�;#$h2=*&(5,<>��#�A�=B�'&q��#���! 84���'=?3I�%wb]��%5|A_��+ ����l*5 �;<?�.��&;5,#$�68*! ��! 3����'����#S�'&*!G�Y<?=>�=?�u!t7m��A{#$�23�3I�\�'�$=>�"!V<><?�q<>52�"!V����:C&;5,<?��#�&*!"+,�)��5,8/5,<>5,@ =>�"!V<><?����5,�G�$1;@�!G�'�Z:N�N�;! 3I=?��#5,�0��&;��=?�ao 1;<?=}!�#�����#����'&(��:(�2�*! 3�=>�"!V<F-/��&*!"+2=>5 ��5,�yo 1;<?=}!I#$����#D! ��=?#�=>�(@q7m��5,3�5 ��&;���eN=?���$8;=Vg�;#$h2=�&(5,<>��#6=>#���5 3I8;<?������<?�:(=?c4����������� ¸ ¸ �P]6r*5,����[;!V3I8;<?� liA�&;������R��Nl/5,�;<B���&;�6&;5 <>��#S�'&;!V�f! �$�%#j�23I3�������=>��1;�;:(���`��5,3I8(<>�\[���5,�G�$1;@,!V�'=?5,�I��5,����! =?��8*! ��! 3����'����#A�&;5 #���! #$#�52��=>!V�'��:03q!V8;#�! �$�)��5,845 <>5,@,=?�"! <?<?�I��5,���$1;@�!V���Z5,�u��&;��=?�6�$��#�8/���\�'=B+,�to 1;<?=}!#$���'#�]t���������d��<?� l9�C5,�����;5C��52��&*!y� ¸�� ��&*!V#s:(��+,��<>5,8/��:~!���5 3.-;=>�;!V�'5,�$=}! <L=>��+V! �$=}! ���=?���'&(�.:(�2�*! 3�=>��! <�8;<}! �(�)7m5,���'&;��#��.3I! 8;#��'&*!G���\[N8;<>! =>�(#%A�&��u3I! 8;#%:;�'!"A��07m�$5,3�;5 � � ��5,�G�$1;@�!G�'�seN=?����8(= g�;#�hd=b&(5,<>��#f&*!"+,�s:;=?c4���$������:(�2�*! 3�=>��#�]

�����'&;=?#�8*! 8/����A_�fA�=><?<N:;��#�����=>-/��! �;5V�'&;����A`!"�Z��&*!V�_eN=?���$8;=Vg�;#$h2=2��1(�$+,�6o 1;<?=}!%#$����#! �$=>#$�Y=>�.��&;��#$�`7E! 3�=><>=?��#�A�&;����� x¡z(]9r*5,�F��&;��#$�f3q! 8(#�l,=B��=>#9h2�(5�A�����&*!V����&;���$�`=>#�!���"��1;<?<>���Z:;5,3I! =>�s#�1;�$��5,1(�;:;=>�(@6�'&;�Y5,��=?@,=>�s=>�)8*! �'!V3I�\�'���L#�8;! ���V]��f&;=>#F:;5,3I! =>�s=>#! �a5 84���s:(=>#�h��'&*!G����5,����!V=>�;#�8*!V�'! 3���������#b7m5 �HA�&;=>��&a��&;��o 1;<>=>!Y#��\�L=>#�!�¢`! ���'5 ��#�����5V7

¸

Page 3: Mathematics & Statistics » Boston University

r9=?@,1;�$� ¸�� �f&;�8*!V�'! 3���������8;<>! �;�! �;: !�3I! @,�;=B�*�"!V��=>5,� ! ��5 1;�;: �'&;�p5,�$=>@,=?� 7m5,���&;�s7E!V3I=?<?�qO���W X � O��|]_�f&;�)A�&(=?�'�D:;=?#�hd#�!V���s! <><Le2=>���$8;=Vg�;#$hd=�&;5,<>��#�]_�f&;�Z5,�$=>@,=?�p=>#<?5N��!V�'��:t!V���'&(���j�'=?8.5 7/�'&;�`�'! =><��65 7i�'&(���u! �;:;��<>-;�$5 �S#��\���'&*!G�S! 8;8/�"! �$#��'5D#$���'! :(:;<>���&;�D845,#$=?��=?+,�a�$�"! <b!G[N=>#�]

#$=>3�8;<>����<>5,#$��:��1(�$+,��#.� ¸ �G�P]��f&;�Z���|�C1;<><?���:;5,3I! =>�q=>#f#�1(����5 1;�;:;��:u-��p=>�N�*�;=?����<B�3I! ����:;=?#m�$5,=?������<?5,#���:)��1;�$+ ��#��A�=?�'& ��RT��� ¸ ��������A�&;=>��&s&*!"+,�S�'&(��8(��5,8/���j�����'&*!G�"l5,����! ��&�� l,�'&(������! �$�f! <B�'���$�*!V����<?��ME�%��� Qj� � W ¸ �������'����#S5 7beN=>����8;=Vg�(#�hd=N&(5,<>��#�A�=?�'&��#��"!V84���'=?3I���_Wuz)!V�;:I�������'����#_5 7b3I! =>�t��! ��:;=?5,=>:(#�5 7���! �;:;��<>-;�$5 ��#�����#_A�=B�'&�-*! #��8/���$=>52:��tW ¸ � ¸ �V�P]p�f&;��#$����=?�;@,#)! ���t�'&;�����\7m5,�����"! <?<>��:������������ �!"��#%$&!'�(�%)%$&�*��)%�%#\]+~�t#�&*! <?<�#�&;5|A =?���'&;=?#s8;! 84���a�'&*!V�s8*!V�'! 3���������#D:;��!"A��~7m��5 3 �"!V��& 5 7_�'&;�t3I! =>���! ��:;=?5,=>:(#Y5 7���&;�s�u! �;:(��<>-(��5 �Y#�����#�! <>5,�(@)�'&(��#��D�;����hd<}! ����#`A�&;���,�px �.! <?#�5.&*!"+ �o 1;<?=}!�#�����#��'&*!G��! �$��eN=>����8;=Vg�;#�hd=2��1;�j+,��#��2A_�`�'&(�����\7m5,���Y�"! <?<N�'&(��#��f�$��@,=?5,�;#.-/!0��12 �!�3��#%$&!)4��15��!06&!7�&#\]Dr*5,�68;! �'! 3��������$#�=>� e2=>���$8;=Vg�;#$hd=F��! ��:;=?5,=>:(#%�'&(��:(�2�*! 3�=>�"!V<F-/��&*!"+2=>5 ��=>#8 1;=B�'�p:;=BcH����������7m�$5,3 ��&;�-4��&*!"+2=>5,�Z��&*!V��! �$=>#$��#.A�&;��� ��&;�p8*! ��! 3I�\�'����<>=>��#.=>� !eN=?���$8;=Vg�;#$h2=�&(5,<>�V]Y���u��&;�.e2=>���$8;=Vg�;#$hd=�&;5,<>�D��! #��Vl/��&;�)��5,3�8;<>��3I���d��5 79�'&;�Zo 1;<>=>!�#������5,�;#�=?#$��#s5V7Y=?�(�*�;=B�'��<B�u3I! ���0��5,3�845,�(�����'#D=>��A�&;=?��& !V<><98/5,=?�d��#a&*!"+,��5,��-(=?�'#���&*!V��\+,������1*! <><B� ��#���! 84�I�'5 vT]�9_1(�.=?� �'&;�I�"! #$�p5 7`��&;�eN=?����8(= g�;#�hd=��"! �$:;=>5 =>:;#�lF�'&(�����

Page 4: Mathematics & Statistics » Boston University

! �$��! <?#�50=?�(�*�;=B�'��<?� 3I! ���~5V�'&;���.��5,3�8/5,�;������#ZA�&;���$�p5,��-(=?�'#)��+ �����'1*!V<><?�y�'���;: �'5! Mm�*�;=B�'�"QI!V�$�'�'!V���'=?�;@y���2��<?� ] e25 �'&;�u:(�2�*! 3�=>�"!V<�-/��&;!|+2=?5,�I=?� ��&;��#$�yeN=>����8;=Vg�(#�hd=��! ��:;=?5,=>:(#�=>#�+ ���$�¡:(=?c4���������C7m�$5,3 ��&;�~eN=>����8;=Vg�(#�hd=6&;5 <>���"!V#�� ] ����r9=>@,1(��� � AY�:;=?#�8;<>!"��#��\+,����! <�3q! @ �;=?�*��!V�'=?5,�;#a!V��5,1;�(:~�'&(�q�C�|��1;<?<>��� :;5,3I! =?�07m5,�a�'&;�t7E! 3�=><?�A�&;��� � R zN]u¢Y<?�"! �$<?�0+2=?#�=>-(<>�t=>�y�'&;��#��q8(=>����1;����#.! �$�q�$=>�;@,#)! �$5,1;�;:y�'&;�I���������'! <:;=?#�h0��&*!V�s��5,���'! =>�y�d1;3I����5,1(#)A�&;=B�'�t����@,=>5,�(#�MPeN=>����8;=Vg�(#�hd=�&;5,<?��#'Q\] 9Y1N�"l9-/����A_�������! ��& 8*! =?�Z5 7�#$1;��& :(=>#�hd#.5 � !u@,=?+ ��� �$=>�;@;lF�'&;������=?#.!u�'=?��� @,�$���~����@,=>5,�~�'&*!V�Z=>#! �\�'1*!V<><?�q!���5,8��5 7L�'&(�Z��! �;:;��<>-;�$5 ��#��\�"]

r9=?@,1;�$��� � �u! @,�(=?�*��!V�'=?5,�;#a5 7��'&;��8*! ��! 3����'���a8;<}!V�;�t! ��5 1;�;: �'&;�I���"��1;<><?���y:;5 �3I! =>�yMn�'&;�D�������'��! <bA�&;=?���D:;=>#$h(Q_7m5 �`�'&;�a7E! 3�=><B�qO � W X � O � ]

�^��=>#Yh2�(5�A�� � ¸�¸ �b��&*!V��5,�;<B�I��&;5,#$�s��! ��:(=>5,=?:;#_��&*!V��! �$�a#$�23I3�������=?�"! <?<?�t<>52�"!G�'��:=?���'&;�D8*! ��! 3����'���f8;<}!V�;��+2=}!.��5 3I8;<?�\[���5,�G�$1(@�!V�'=?5,�p5,�f-����5V��!V��=>5,�q+2=>!�!������$�'! =>��$5N5 �95 7i1;�;=B���Z&;!|+ �`�'&;�Y#'! 3��Y:(�2�*!V3I=?��#�]�¢Y5,�;#$� 8 1;������<?�,l"�$1;#j�S! #9=?�Z�'&(��eN=>����8;=Vg�(#�hd=&;5 <>�6��! #��Vl(A_��&*!"+,�D! �q�\[(! ������5,1;���f5 7���&;���d1;3.-/���Y5 7�3q!V=>�q��! ��:(=>5,=?:;#Y!V<>5,�;@s�'&;��u!V�;:;��<?8;=>�(#�hd=d�;����hd<}!V����#L�'&*!G�9&*!"+ �Y8*! ��! 3����'����#�A�=?��&s��&;�_#�! 3��_:(�2�*!V3I=?��#_� zG��l;� � ��l� ¸ �G�P]�eN5t�'&(� 8 1;��#$�'=?5,�0!V��=>#$��# � A�&*!G�63I! h ��#%8;! �'! 3��������$#%:;��!"A���7m��5 3 �'&;��#��)�;5,� �#j�N3�3����'�$=>��! <><B� <>52�"!V����: �"!V��:;=?5,=>:;#)&*!"+,�:;=BcH���������t:(�2�*!V3I=?��#�� �%�;5 �'&(����@,5�!V<Y=>�

z

Page 5: Mathematics & Statistics » Boston University

��&;=>#�8*! 8/���_=>#_��5Z��5,�;#$����1;�\��!Z:(�2�*!V3I=?�"! <i=>��+V! �$=}! ���S7m5,���"! ��&p5 7���&;��#$��8*! ��! 3����'����#��&*!V�_#�8/����=B�*��#Y�\[(! ����<?��A�&��I��A_5.8*! ��! 3����'����#�7m��5,3 :;=BcH���������feN=>����8;=Vg�(#�hd=i�"! �$:;=>5,=?:;#&*!"+ � �;5,� � ��5 �G�$1;@�!V���~:N�N�;! 3I=?��#�] ��5 1;@,&;<B� #�8/�"! hd=?�;@;l��'&(=>#=>��+V! ��=>! ���#�8/����=?�*��#��&;��=?��=>�;���'! �j�y5 7f�'&;��!V�����'! �\�'=>�(@0���2��<?�p! #.=B�.3�5|+,��#t!V��5,1;�(: ����<}!V��=?+,�I�'50�����$�'! =>�=?�d+V! �$=}! ���Z¢`! ���'5 �Z�;����h2<>! ����#.�'&*!G�.:;=B+N=?:;�t�'&;��o 1;<>=>!C#$����=?�d��5u:(�2�*!V3I=?�"! <?<?�0A_��<?< �:;�\�*�;��:u#�������5,��#�]������������ ��� ��� ������ �f&;� ! 1(��&;5,��#IAY5,1(<>: <>=?h �C�'5 �'&;! �;h �'&;���$��7m���$���07m5,���'&;�3I! ������[(����<?<>�����%! �;:�'&(5,1;@,&���7m1(<�#�1;@,@ ��#$��=>5,�(#%!V-45,1N�f�'&;=?#f8*! 8/����]

� � �����"� � �"�"!Z�S�#��$

%�����JFKNMPO,QuR O U W X � O U A�&(����� X'&'( =>#q! 8*! ��! 3I�\�'����! �;: � x z(] +¡&;���) O ) =?#)<>! ��@,�Vl�JLK(MEO�Q+*�O U l9#�5�JLKC&;! #.! � =>3�3I��:;=}!V����-*! #$=>� 5 7�!G���'��! ����=>5,�~!V��vA�&;=?��&~A_��:;���;5 �'��-��-,6Kd]/.�!V��& JFK! <?#�5C&*! #)!�8/5,<>�t5 7`5,��:;���)� !V�s�'&;�I5,��=?@,=>�H�&;���;����'&(�����C=>#�! � 5,8/��� �;��=?@,&d-45 ��&;525N: 5 7�� ��&*!V��=>#�3I! 8;8/��: =>����5-,%K2]10%5|ADl��=?�'&(���_��&;=>#��;��=>@,&d-/5,��&;5252:q=>#_:;=>#n�$5,=>���S7m��5 3 ��&;��=?3I3���:;=>!V�'�f-;! #�=?��,6Ka5,�_��<>#$�%��&;=>#�;��=>@,&d-/5,��&(5N52: =>#a��5 �d�'! =>�(��: =?�2,6Kd]I��� �'&;�t7m5,�$3I���a�"! #$� lFA_��:;���;5V�'�t�'&;�t������=>���8;�$��=?3q! @ �)5 73,%Kt��&*!V�6��5,����!V=>�;#��'&;�.5 ��=>@ =>�C-d�544K2] + �.��! <><���&;=>#%����@ =>5,�u��&;�76715�� ��6 6&1�#�=?�;����!V�d��8/5,=>���aO-8& ,6K�7m5,�%A�&(=>��& J �K MPO,Q%<>=?��#6=?�9,6K�7m5,�%#�5,3����9: �q&*! #��&;�D8;��5,8/���j�����'&;!V�f�'&;�����s=>#�!�1;�;= 8 1;�D845,=?����5,�p�'&;�D5,�$-;=?��5 79O��'&*!V��<?=>��#Y=>��4HK�]

9Y��#�=>:(��#��D! �;:IvTldJFK%&*! #��V�! :(:;=?��=>5,�*!V<(���$=?��=>�"!V<N8/5,=>����#�@,=?+ ���t-��<;\K�R X>=@? � U ]��5�A_��+ ����lHJLKZ&*! #�5,�(<?�q��A_5�����=B�'=?�"! </+ !V<>1;��#�@ =?+,���-d�/AGKaRCB)��D X #�=?�;���D� 5 7L�'&;�����=?��=>��! <_8/5,=?�d��#�! �$��3q!V8;84��: �'5yWEAVKC! �(: ��&;�p5 ��&;����� ��5 �FAGKd]~��� 7E! �\�"l��'&(������$�"! <?<?�I=>#f5,�;<B�q5 �;�a7m�����a����=B�'=>��! <H5 ��-;=B�f7m5,�fJFK)1;8�'5�#$�23�3I�\�'�j�,]�r*5,��l;=B7L��=>#f��+ ���blA_��&*!"+,��JFK2MEO�Q6R JLKNMj�%O�Q6#�5p�'&;!V�DJFK2MP��D X Q�R JFK2Mj�6��D X Q\]D�f&;�����\7m5,���t�"!V��&y5V7��&;�.���$=?��=>�"!V<L5 ��-;=B�'#6<>! �;:;#65,�u�'&(�.#'! 3��.8/5,=>����!V7n�'���%��A_5C=B�'���'!V��=>5,�;#�]6�^7�� =?#�52:;:bl��&;����A_��&*!"+,�DJLKNMj�%O�QSR��6JLKNMPO�Q�l;#�5Z��&;��5,�$-;=?��#Y5 7GBs��D X ! �$�6#$�23�3I�\�'�$=>�61(�;:;���OIHJ �%O(]

Page 6: Mathematics & Statistics » Boston University

+~�.�"! <?<L��&;�.#j�'�'!V=>@,&��a��!|�2#�@ =?+,����-���� ;�KtA�=B�'&��E: �I�'&(� )�1 ! 6 !0)4���/ 6&!"� 6 15��� #\]0�5 �'����&*!V�

JLK(M�� ;\KGQSR X =@? ��� � U W ¸� U�� �

#$5)=B��7m5 <><>5|A�#���! #�=?<?�.��&*!V���"! ��&I���$=?�'=?�"! <(845,=?���_��!"�t=>#S3q!V8;84��:���A_5 � �'5 � 5,�;��5,���'5D�'&;�#j�'�'!V=>@,&����'!"�� AGK.A�=?�'&��x ¸ �'&;!V���\[2�'���;:;#67m�$5,3 AVK)�'5qvT] + �s�"!V<><b�'&(=>#��'!"�p�'&;�)�1 ! 67!0)4�����&���� /�'14���G] .S! ��&IJFK%! <?#�5�&*!V#��V�p8;����845 <>��#��*K%@ =?+,���t-d���*KaR Mj� X Q =@? � U l,#$5JLK2M��*KGQSRT�(] 0�5 �'�a��&*!V��! <?<b5 7L�'&;�D���$=?��=>�"!V<H8/5,=>���'#�!V�;:�8(����8/5,<?��#�<>=?��5,�p�'&;�D��=>����<>�5 7F�'!V:;=>1;# ) X ) =@? � U ��������������:�!V���'&(�s5 ��=>@ =>�b] +~�D�"! <?<b�'&;=?#f��=>�$��<?�D��&;� )�1 ! 6 !0)4��� )�!"1 )�� �\]� �;����&;����hd#)��! #�=?<?�C�'&*!V�sJLKI3I! 8;#���&;�����$=?��=>�"!V<F��=>����<>�t�G� � ��5 � ¸ 5,���'5p�'&;��#j�'��! =>@,&��<?=>�;��#���@,3I�����.��5 �;�;���\�'=?�;@2B AGKC! �;: 8;! #�#$=>�;@u��&;��5 1;@,& ��&;��5,�$=>@,=?�b] + ����! <><���&;=>#<?=>�;��#$��@,3��������'&(� )�1 ! 67!0)4���(# ����� ��� 6P]

�����"!V<><;�'&;!V�S�'&;���� � !7� # � 6���MPJFKVQ97m5,����&;�%��!V�'=?5,�*! <(3q! 8�JLK�&*! #�#��\+,����! </� 8 1;=?+ �! <?�����D��&*! ��! �������$=��"!G�'=>5 �;#�])�^�)=?#�hd�;5|A�� � ¸ zG����&*!V�a��&;��o 1;<>=>!�#��\�D=>#��'&(����<>5,#$1;����5V7��&;�`#��\��5 7i�$��8/��<><?=>�;@�8/����=?5N:(=>��845,=?���'#�!V#9AY��<><N! #9��&;�`-/5,1;�;:*!V�$�)5 7*�'&;�Y#�����5 7i845 =>���'#A�&;5 #��q5 ��-;=B�'#D�'���(:~�'50vT]��SMEJFKGQa=>#)! <>#$5C��&;�q#$���)5 7f8/5,=>���'#s=>� ( !V�sA�&;=>��&y�'&;�7E! 3�=><B��5 79=B�'���'!V����#��GJ UK! =>#f�;5V�6!��;5 ��3I! <H7E! 3�=><B�I=?���'&;�D#$���;#$�Z5 7���5,���'��<�]

�f&;�����y! ���u#���+ ����! <a#$�23�3I�\�'��=?��#�=?� �'&(��:(�2�*! 3�=>�"!V<68;<>! �;� ] r9=?��#j�"l�<>�\�#" R��[(8LM�$&% � ��Q\]9�f&;���tAY��&*!"+ �6JLK(M'"_O�Q�R��%JFKNMPO,Q\ld#�5;l2! #S!V-45|+,�Vld��=?��&;������&;�f5,��-(=?�'#�5V7OI! �;:"_OI��5 =>�;��=>:;�s!V7n�����f��AY5I=?�����'!G�'=>5 �;#sMmA�&;���u�y=>#���+ ���iQ�l45 ����<>#$�s��&;���-/��&*!"+ �#j�N3�3����'�$=>��! <><B�a1;�;:;���SO HJ �%OIMnA�&;���t��=?#952:;:iQ�]9���t��=B�'&;���9��+ �����"l���&;�`:(�2�*! 3�=>��! <8;<>! �;��! �;:t�'&(��o 1;<?=}!�#$���_-45 ��&I8/5,#$#���#$#f�V� � 7m5,<?:t#$�23I3������$� lN!V#_:;5I,6Ka!V�;: 44K�]�%����(�K2MPO,QS-/�%5 �;�%5V7H�'&(�%�C=>��+,5 <>1(��=>5,�;#�@ =?+,���q-�� X =@? U � O(]9�f&;���pJLKNM)(�K2MPO�Q$QSR�JFKNMEO�Q\l#$56�'&;�Y:(�2�*! 3�=>�"!V<N8;<>! �;�Y! �;:to 1;<?=}!�#�����! ���Y! <>#$56#$�23�3I�\�'�$=>�Y1(�;:;���9�"! ��&*(�K�] 0�5 �'���&*!V�+(�K2M@,6KVQ�R 44K�]

�f&;�D7m5,<><?5|A�=>�;@.�$��#$1;<?�fAY! #�8;��5|+,��:u=?�y�-,V�P].0/ ��21� � 354�6 �87 # )4�� � 4 1 !0) 6 6 6269�8�;:�<>=� 6`JLK2MPO�QsR O U W X � O U ����� )%6&��#�!7����16 6 � 6&1@? ! 6 6BA�6 6 � )�1 ! 6 !0)4���&�&���� � AGKC<

Page 7: Mathematics & Statistics » Boston University

� <���A AGK � !0�%# !"��,6K�� 6 6 �����SMPJLKVQ ! # ��� ��� 626&1 # � 6�� <���A AGK � !0�%# !"�-44K� 6 6 ��� ��MPJFKVQ ! # ��� ��� 626&1 # � 6 6BA ��! #���6&!"� 6 #�!�� �� � )�� 6 # �4�

) �1;���%# � �4��) 6 6BA�� 6 !0) 6 # �1 1 69 ���&# 6 6 � 6&1 ! ��!"���� <���A�J �K M AVKVQ � !0�%# !"� 4HK�� 6 ��1 � �px ¸ � 6 6 �����SMEJFKVQ ! # � -/!0��1 �!�3��#%$&! ) 1;���5<

� !"�����"����� ! A AGK ��6 �%# �(6 6.� !0� !"� ��! 6 6 ��1 ,6K,6&1 44K�36 6 ������MPJLKGQ ! # � )%6&� �(�%) 62�4��# � 6�<+~�a����3I! �$h���&*!V�f��! #��s�.5 7��'&(�a! -/5�+ �D����#$1;<?�YA`! #f8(��5|+,��:�-���C�|��1;<?<>��� � ¸ �|��]

�f&;=?#�8*! �$��5 7L�'&(�)�f&;��5,����3 :;52��#��;5 ��&;5,<?:C=B79�uR ¸ 5,����R �N�;�'&;=?#�=>#f5,�;�s5 7L�'&;��$�"! #$5,�;#fAY�s����#$����=>�\��!V���������'=?5,�=>�p�'&(=>#f8*! 8/���f��5t��&;�D�"! #$�)� x¡z(]

� -/!0��12 �!�3��#%$&!�) 1;���q=>#s! ���y8;<}! �;! �a#��\�Z�'&;!V�Z=?#D&;5,3���5,3�5,��8(&;=>�.��5��'&(��A_��<?< �hd�;5|A�� 7m�'! �\��! <��"!V<><>��: ��&;� -/!0��1 �! 3��#%$&! )4��12 � 6E] 9_� ! ����#�1;<B��5 7 +¡&��2-;1;�$� � ¸�� ��l��&;���$��=>#f!s�'5,8/5,<>5 @,=>��! <*��&*! ��! ��������= �"!V��=>5,�q5 7F! ���q#$1;��&#���� � ! ���q8;<>! �*! �_#��\�`�'&*!G�f=>#��5,3I8;! ����lN��5,�;�;�����'��:bl(<?5N��! <><B�.��5,�;�;�����'��:bl;�;5|A�&;������:(���;#$� l*! �(:q&*! #��'&;�%8;��5 84���$�����&*!V�9! ���)8;! =>��5 7*��5,3�8;<>��3I���d�'! �$��:;5,3I! =>�;#L! �$�_-/5,1;�(:;��:.-��s#�=?3I8(<>�S��<?5,#���:.��1;�j+,��#��&*!V�I! ���8*!V=>�$A�=?#��:;=?#m�$5,=?�d�t=?#th2�(5�A�� �'5y-4�C&;5,3���5,3�5,�$8;&;=>����5y��&;�ueN=>����8;=Vg�(#�hd=��! ��8/����]

+~�s��1;�����;5|A �'5t�'&;�s8*! ��! 3����'����8;<}! �(�D7m5 ����&;��#$�)7E! 3�=><?=>��#�l(=P]k�V]?l*��&;� X(� 8(<}! �;�V]�f&;�����Z! ���D��AY5q:;=?c4���$�����6#j�23I3�������=>��#%=?�C��&;�s8*! �'!V3I�\�'����8;<>! �;��#�7m5,���'&;��#��)3q! 8(#�]r9=?��#j�"l�JFKy! �;:¡J K !V���0��! #�=?<?� #������ �'5 -/����5,�G�$1(@�!V�'��+N=>! O HJ O(] �����;���0�'&;�8*!V�'! 3���������8;<>! �;��=?#�#$�23�3I�\�'��=?��1;�;:;���a��5,3�8;<?�\[���5,�G�$1;@,!V�'=?5,�b]�e2����5 �;:bl�<>�\����R��[(8LMP�9$&% � ME��� ¸ Q$Q\]��f&(���pAY�6&*!"+,���(JLK(MEO�QSRTJ���� K M��(O�Q�#�5Z��&;��8*! ��! 3����'����# X ! �(:� ��� X ��5 ������#�8/5,�;:t�'5s3q!V8;#��'&*!G�_&;!|+ �%��5,�G�$1;@,!V�'��:(�2�*! 3�=>��#�]��f&d1;#S�'&(��8;! �'! 3��������8;<>! �;�t=>#)! <?#�5C#$�23I3�������=?��1(�;:;���s�'&;����5V��!V��=>5,� X HJ � � X ]p��� 8;! �$��=>��1(<}! ��lL=B7`� =>#�\+,���Hl9�'&;��� ! <?<�8*! ��! 3����'����#s5 7Y��&;�t7m5,��3��� X &*!"+,�I��5,���$1;@�!V���I:(�2�*!V3I=?��#�lL-;1(�)=?7� =>#t52:;:blY=B��=>#thd�;5|A�� � ¸ ¸ ���'&*!V���'&(��8*!V�'! 3���������# X ! �;:�� ���! = X :(5 �;5 ��&*!"+ ���5,�G�$1;@�!G�'�a:(�2�*! 3�=>��#�]

��� 7E! �\�"l`��&;�u8*!V�'! 3��������q8(<}! �;��! �\�'1*! <?<?� =?#I#j�N3�3����'�$=>�C1;�;:;���q�'&(�u��5V��!V��=>5,�X HJ � X l�! <?��&;5,1;@,&Hl9A�&;��� � =?#.52:;:bl��'&(=>#.#j�N3�3����'�j� =?#Z�;5�<?5,�;@,���.@,=?+ ��� -�� !

"

Page 8: Mathematics & Statistics » Boston University

��5,�G�$1;@�!V���p-/����A_������JFKZ! �;:CJ � Kd] � �;�D��5 3I8;1N�'��#���! #�=?<?�q��&*!V�J � K2M�� =@? � O�QSR�� � =@? � MPJLK2MPO�Q$Q��

eN=?�;���IJFK2M��6O,QZR �%JFKNMPO,QaA�&;��� � =>#D5N:(:bl9=B�a7m5,<><?5�A�#a��&*!V�)J �� K =?#D��5,�G�$1(@�!V�'�t�'5J �K +2=>!���&;�s3q! 8CO HJ � =@? �\O�A�&;�����~=?#f5N:;:H]_�f&;=?#�3I��! �;#f�'&*!G����&;�D:(�2�*! 3�=>��#�5V7JLKa! �;:qJ � Ka!V��� �$��#$#����d��=}! <?<?���D�'&;��#'! 3�� l���&;5,1;@,&I#�1;-N�'<?�t:(=?c4���������"]�r*5,�S�\[(! 3�8;<?� l=B7�JFKC&*! #�!u�N[(��: 845,=?���"l9��&;��� 1;�(:;���.��&;����5 �G�$1;@�! �\�,l��'&(=>#)�N[(��: 845,=?����! �;: =B�'#�;��@�!V��=?+,��MnA�&;=>��&=?#f! <>#$5Z�([N��:*Q�!V����3I! 8;8/��:p�'5t!t� � ���2��<>�67m5,�`J � Kd] 0%�\+,���$�'&(��<>��#�#�l��&;��o 1;<>=>! #$����#I5 7�JFK�!V�;: J � K�! �$�&;5,3���5,3�5,��8(&;=>�p1;�(:;���IO HJ � =@? ��O(lf! �(: #$5��&;=>#f=?3I8;<?=>��#_�'&;!V�f�'&;�D8*!V�'! 3��������f8;<>! �;��7m5,�f� 52:;:=>#�! <?#�5�#$�23�3I�\�'�$=>�a1;�;:(���f�'&;��$5 ��!V��=>5,� X HJ � X ] �f&(�C8;! �'! 3��������.8(<}! �;�q�"! � �'&d1;#�-/�p#���8*! ��!V�'��: =?�d��5�� � ¸#j�N3�3����'�j�p#�������5,��#�� � l��.RT� ������� �'�p� �Nl*@,=B+,���C-��

��� $�� ¸�� �%��@ X��

�;M�6W ¸ QB$�p� ¸ �

�f&;�D-/5,1;�;:;! �$�q��1;�j+,��#�5 7L�'&;��#��D#�������5,��#���5,���'! =>�p8*!V�'! 3���������#`7m5 �`A�&;=>��&p�'&(�s����=B� �=?�"! <H+V! <?1;��#f<?=>��5 �u!�8*! =?�`5 79����=B�'=?�"! <4�'!"�2#�]9Y���"! 1;#$�5 7��'&;�/.�#���! 8/�p�F�$=>��&;5 ��5,3Z� lS��&;��8*!V�'! 3��������.8;<>! �;�q7m5 ��JFKC:;=?+2=?:;��#

=?�d��5)��&;�����6:;=?#$�'=?�;���_����@,=>5 �;#�]�%��\�� -4���'&;�%#����Y5 7�8*!V�'! 3���������#�7m5,�SA�&;=>��&7AGK & ,6K#$5 �SMPJLKGQL=?#�!a¢`! ���'5 ��#��\�"] +~�Y��! <><� �'&(� � ��� 6 6&1.# � 6 � 6 ) #\]9�%#�=>�)�'&;�`��! #��Y5 7*�'&;��u!V�;:;��<?-;��5V��#��\�D! �;: 8 1*!V:;�'!V��=>�)845,<B�2�;5,3�=}! <?#�l;�'&(�����Z=>#�!�AY��<><9:(���*�;��: 9� 5 ������&;�����5N5,�$:;=>�;!V�'��� :;�\�*�;��:I5,���]F�^�S=>#�hd�;5|A��u� ¸ " �;��&*!V��� � J ( � � =>#�!V�I!V�*! <?�d��=>�&;5 3I��5,3I5 ��8;&;=?#�3 !V�;:I��&*!V���'&;�%8;����=>3I! @,��#�5 7b! <><i#$���'! =?@,&����'!"�2#`=>� ( � � <}!V�;:q5,�!.1;�(= 8 1;�a8/5,=>���`=?���'&;�a-/5,1;�(:*! �$�I5 7�¡! �;:p��&*!V�`��&;�a-45 1;�;:*! �j�q5V7� =?#f!.#�=?3I8(<>���<>5,#$��:C��1;�j+,�s#�1;�$��5,1;�(:;=>�;@���=>�p��&;�D8*! �'!V3I�\�'���f8(<}! �;�V]

%������ :(���;5 ���Z�'&(�.#��\�a5 7S8*! ��! 3����'����#�7m5,�%A�&;=?��&9AVK & 44K���� =>#%�"! <?<>��:C�'&;�� )%�� ��"� ��� ��69����!"�*]��^��=?#`hd�;5|A�� � �G�4�'&*!V��� =?#f! �p5,8/���:;=?#�hq8(1;�;����1;����:u!G�`�'&;�5,�$=>@,=?�p! �;:C-/5,1;�;:;��:�-��C!�#�=?3I8(<>����<>5,#$��:C��1;�j+,� ]

%������ :;���;5 �'����&;�t��5,3�8;<>��3I�����a5 7����� ]�� =>#a��! <><?��:0��&;�,)%6&� �(�%) 6 �4���(�%#%#� 6 ) #p#$=>�;�����SMEJFKGQs=?#.!u��5,�;�;��������: #��\��=?7 X & ��]0�^�.=?#Zhd�;5|A�� ��zV��lf� ¸�� �_��&*!V���

Page 9: Mathematics & Statistics » Boston University

��5,����! =?�;#)8(������=>#$��<?� Mm��� ¸ Q�M��V�bQj�"�2��-/!0��1 �!�3��#%$&! 6 6&� �%#IA�=?��&~��#���! 84�I�'=>3���w x z(]�f&;��#��6! ����5,8/����:;=>#$h2#�=>� �u=>�tA�&;=>��&I�"! ��&I��5,�$����#$845 �;:;=>�(@)3I! 8�&*! #S�'&;��8;��5 84���$�����&*!V�`��&;�����$=?��=>�"!V</5 ��-;=B�`<}!V�;:;#`=?��,6Ks!V�f=B�'����!V�'=?5,�pwp5,��l(� 8 1;=B+V! <>���d��<?� lN�'&(��5,��-(=?�`5V7��&;�D����=B�'=?�"! <H+V! <?1;�a<}!V�;:;#f=>��44K�!V��=B�'����!V�'=?5,�CwI� �2]`eN���sr9=>@,1(���Dz(]3.S! ��&u5V7F��&;��#$�eN=?���$8;=Vg�;#$h2=4&;5,<?��#�=>#�! <?#�5thd�;5|A��C��5I-/�a-/5,1;�;:;��:u-��!t#�=?3I8;<?����<?5,#���:��1;�j+,�p� ¸�" ��]

� �

��

� �

r9=?@,1;�$�Dz � �f&;�)8;! �'! 3��������f8;<>! �;�aA�&;���u�uR � ]��f&;�)5 84����:;=?#�hd#�3q! �$h ��:�� � ! �����&;�)eN=>����8;=Vg�(#�hd=H&;5 <>��#fA�=B�'&��#$�"! 8/�s��=>3��az(]

��� r9=?@,1;���Zz(l4��&;���$��! �$�Z�'&;�$���.��<>��! ��<B�C+2=?#�=>-(<>�s��5,8;=?��#�5V7��'&;�t��! �;:;��<>-;�$5 �a#��\�"]���;:(����:Hl(=?�_=>#�hd�;5|A�� � � �4��&*!V���'&;�����6! �����.� ¸ ��5,8(=>��#_5 7b��&;�a�u!V�;:;��<?-;��5V�Y#$���Y��&*!V�#j�'�'!V:;:;<>�)�'&;����!|�2#D@,=B+,��� -����%��@ X R � � � 7m5,����: �(]Z�f&(��#��t#$���'#s! �$���"! <?<>��:u�'&;� �1 !"�()�! ����.����������� ? 1 6 6 # � 6 #�=?� ��&;�8*! ��! 3I�\�'����8;<}! �(� ] �f&;���1(#�8;#�5 7��'&;�3I! =>���! ��:;=?5,=>:(#I5 7a��&;��#$��#��\�'#! <?<�<?=>�C5,� ��&;�0-/5,1;�;:*!V�$� 5 7 A�&;=?<>����&;�u��=>8;#I5 7a�'&;��'! =><?#Y5 7L�'&;��#��s#��\�'#)ME=P]k�V]?l(��&;�D8*! ��! 3I�\�'����#���5,�$����#�8/5,�;:;=?�;@��'5 ;fR��6�t=?���'&;�D1;#$1*! <�u!V�;:;��<?-;��5V��#�����7m5,��O ��W1;�Q`! <?<b<>=?��5,�p�'&;�D-/5,1;�;:;! �$�p5V7 � ]

Page 10: Mathematics & Statistics » Boston University

� � �"��� $ !Z�S������ ���"� � �� �9� �#��� � � � !.�"�

���a�'&(=>#b#$������=>5,�HlGA_��@,=?+ �S!f-;��=?��72#�hV���'��&)5 7d�'&;��8(��525 7d�'&*!V����&;�����"��1;<><?���D:;5,3I! =?��=>##$1;���$5,1;�;:;��:I-���=?�(�*�;=B�'��<?�)3q! ���Z:;=>#n�$5,=>����#$=>3�8;<>�_��<>5 #���:���1(�$+,��#.� � �tRT��� ¸ ��� ����� �A�=B�'& �'&;���t��5,��+,����@,=?�;@u:(5�A��y�'5�'&;��-/5,1;�;:*!V�$� 5 7_�'&;�I���"��1;<><?���~:;5,3I! =>� ! #�5J vT] .S! ��&��.��5,����! =?�;#��\[(! �\�'<B� Mm�u� �,Qj� � W ¸ 8*!V�'! 3��������%+V! <?1;��#%�'&*!V�a! �����&;�D������������#%5 7Se2=>���$8;=Vg�;#$hd=b&;5,<?��#fA�=?��&���#��"!V84�D�'=?3I� �DW z�! �;:�'&;�D#�! 3I�D�d1;3.-/���5 7�������������#65 7�3I! =>��"!V��:;=?5,=>:;#�5 7S�u! �;:;��<>-;�$5 �%#�����#6A�=?��&u-*!V#��Z8/���$=>52: �sW ¸ l/=�] � ]BleN=?���$8;=Vg�;#$h2=H�"! �$:;=>5,=?:;#�] 9_�!������d������5 7�!IeN=?����8(= g�;#�hd=b&(5,<>�Vl;AY�)3I��! �C��&;�IME1;�(= 8 1;�|Q8*!V�'! 3��������s=>�~��&;=>#s:;=?#�h�7m5,�)A�&(=>��& ��&;�q����=?��=>��! <S5,��-;=B�s<}! �;:(#Z5,� v �'!V��&;���s�'&*! �-/��=?�;@.!V�$�'��! ������:��'5�vT]��6<?#�5;lN-*! #��684����=>52:%3��"! �(#Y�'&*!G�Y�'&(�6���$=?��=>�"!V</5 ��-;=B�'#_�;��#$��$���'1(���Z��56�'&;�_���$=?�'=?�"! <���=>�$��<>�Y!V�F=?�'���'!V��=>5,��V]9�f&;=?#9:;52��#F�;5 �9�;������#�#�! ��=?<?�s3��"! �Z��&*!V���&;�S8*! �'!V3I�\�'���$#�:;�'!"A��D7m��5,3 #$1;��&.!%eN=?����8(= g�;#�hd=,��! ��:(=>5,=?:a&*!"+,�_! �Z!G���'��! ����=>�;@f�\�2��<>�5 7F8/����=?5N:�V]���!V�'&;����l(A�&(���u��=?#f5N:(:bl;��AY5����$=?��=>�"!V<H8/5,=>���'# B ;�KZ3I!|���"! ��&C���\�'1;�$���5%�'&(��=>���;��@�!V��=?+,��#FA�&;���Z�'&(���D�*��#j���$���'1(���)��5%��&;�Y����=?��=>��! <,��=?����<>� ]L�f&d1;#�l,A�&(���Z��&;=>#52����1;��#�l;�'&;�a5,�$-;=?�Y5 7 B ;�KZ=?#`8/����=?5N:(=>�65V7F8/���$=>52:C� V]��f&;=>#f&;! 8;8/���;#�l;7m5,�`�\[(! 3�8;<?� l=?�I�'&(�68;�$=>�;��=>8*! <4�u!V�;:;��<?-;��5V�`#��\�`�������'������:C! <?5,�;@D�'&;�6�;��@�!G�'=?+ �6�$�"! <4!G[N=>#SA�&;���p�=?#f5N:;:H]Y�������s8*! ��! 3����'����#�:;��!|A��C7m��5,3 �'&;�s3I! =>�p��! ��:;=?5,=>:p&;!|+ �Z8/���$=>52:u�����2��<>��#! <B�'&;5 1;@,&��'&(�s-;! #��s84����=?5N:p=?# ¸ ]

�f&;�����s=>#�5,�;�D�\[N����8(��=>5,�C�'5t�'&;�D#$�'!V�'��3I�����%��&*!V���'&;��#��s8*! ��! 3I�\�'����#�<>=?�a!V���'&;��������'����#.5 7`3q! =?�~��! ��:(=>5,=?:;#D5 7��u! �(:;��<?-;��5 �Z#��\�'# � ��&;�q��1;�$+ �

=8*!V#�#���#.�'&;�$5,1;@,&

�0� ¸ ������������#)5 7_84����=>52:~��-;1;<>-(#s=?���'&;�t8;�$=>�;��=>8*! <��u! �;:;��<>-;�$5 �D#��\�'#s=>�;#j�'��! :~5V7��&;�I�������'����#)5 7`3I! =>� ��! ��:;=?5,=>:(#s5V7��u! �(:;��<?-;��5 �s#$���'#sA�=?��&~-*!V#���84����=>52: �N]����������&;�)8/���$=>52:��t-;1(<>-C=>#f�'&;�s<}!V��@,��#$��&��284����-/5,<>=?�s��5,3�845,�(�����%!V���'! ��&;��:C�'5t�'&;�s3I! =>���! ��:;=?5,=>:5 7F�'&;�s8;�$=>�;��=>8*! <��u! �;:;��<>-;�$5 ��#��\�'#��4! #%! -/5�+ � l/8*! ��! 3I�\�'����#�=>��'&;=?#�-;1;<>-&*!"+ �I!V� !V�����'! �\�'=>�(@p���2��<?��5 7�84����=>52:���=B�'&;���s�q5,� � :;��84���;:;=>�(@C1(845,����&;��84����=?5N:5 7L�'&(�s3I! =?�p�"! �$:;=>5,=?:b]

r*5,��#$=>3�8;<>=?��=?��� lVA_��#�&*! <?<;����#$����=>�\��!V���������'=?5,�t=>�.��&;=>#�#$������=>5,����5D��&;�f�"!V#�����RTz(�

,

Page 11: Mathematics & Statistics » Boston University

��&;�D3I=?�;5,��! :G�$1(#$�'3�������#%�;������#�#'!V�$�C7m5,�`�'&;�s�"!V#��s�-:¡z�A�=><?<b-4�D:;��#�����=>-/��:u!V���'&;����;:p5 7��'&(=>#Y#$���\�'=>5 �b]��f&;��8;�$5N5V7b7m5,�_��&;��@,���;����! <H��! #��63q!"�I! <>#$5Z-/�67m5,1;�(:�=>� � ¸ ����l-;1N����&;�D8;��525 7�A_�)@,=B+,�a&;�����s=>#f#$5,3I�\A�&*!V��#�=?3I8(<>����]

�����"!V<>< ��&*!V���'&;�S����=?��=>��! < ��=>����<>��=?�D��&;�S:(�2�*! 3�=>��! < 8;<>! �;�S=>#�@ =?+,���)-�� ) O ) R ) X ) =@?��! �(:.�'&*!V��JFK�3q!V8;#F��&;=>#���=>�$��<>� " � ��5 � ¸ 5,���'5���&;�`���$=?��=>�"!V<N#$��@,3������"l�=P]k�V]?lV�'&;�`#j�'��! =>@,&��<?=>�;��#���@,3������f��5 �;�;���\�'=?�;@<B�AVKDR B)��D X ] + ��:(���;5 ���%��&;=>#_��=>�$��<?�%-������`R����|M X Q\]+~��! #�#$1;3I�f��&;��5,1(@,&;5,1(�S��&;=>#�#$������=>5,�t�'&;!V� ) AGK ) � ) X ) =@?�� l�#$5s��&;=>#�=?3I8(<>=>��#9�'&;!V���'&;�����=?��=>��! <4#$��@,3������f<?=>��#`=>�q��&;�a=>��������=?5,��5 7��'&;�a:;=?#�h�-45 1;�;:;��:C-��I�'&;�a����=?��=>��! <i��=>�$��<?� ]�%#sA_�q#$&*! <><�#$���VlF�'&(=>#D��5,�(:;=?��=>5,� A�=><?<�-4����#$#����d��=}! <���5u8;�$5�+2=?�;@C��&;���\[N=>#j�'���(���q5V7��&;����=?�;@,# �V]+%������ -/�.�'&(��#$���D5 7_�;5,� �����$58*! �'!V3I�\�'���$#�7m5,�6A�&;=?��&��'&;=?#a&;5,<>:(#�]�f&d1;#fA_�s&;!|+ � ) ��D X ) � ) X ) =@?�� 7m5,� X & ��l;#$5t=?�Y7m5 <><>5|A�#Y��&*!V�� =>#Y��&;�a5,8/���p:;=?#�h5 7F�'!V:;=>1;# ¸ � � ��������������:0!V�f��&;�D5,��=?@,=>�H]�r*5,� X & �qliJFK)3q! 8(#`�'&;�D�\[2������=?5,�f5 7L�'&;�����=?��=>��! <���=?����<>�t! #)!�z � �'5 � ¸ ��5|+ ����=?�;@u5 �d��5C��&;���\[2�'����=>5 �s5V7Y�'&(�I����=?��=>��! <�#���@,3������"]�f&d1;#q��&;���$�u=?#q!y#�=>3�8;<?�C��<>5,#$��: ��1;�$+ �0=>� �'&;���\[2�'����=?5,�I5V7���q�'&;!V�q=?#I3I! 8;8/��:z � �'5 � ¸ 5 �d��5����|] ¢`!V<><��'&;=?#q��1(�$+,���

=R �

=M X Q\] eN=>�;������&;�0�\[2������=?5,�q5V7��

==>#

��&;���03I! 8;8/��:�5,���'5��'&;�)�\[2�'����=>5 �%5 7����a! #�!V�0z � �'5 � ¸ ��5�+ ���$=>�;@;li�'&(�����Z=>#�! �;5 ��&;���#$=>3�8;<>�t��<?5,#���: ��1(�$+,��� � R�� � M X Qa��&*!V�.<?=>��#)5,1N�'#�=?:;���

=! �;: =?#)3I! 8;8/��: z � ��5 � ¸5,����5��

=])¢Y5,���'=>�d1;=?�;@�=?�u�'&;=?#67E! #$&;=>5,�Hl4A_�.�*�;:y! ��=>�N�*�;=?���Z��5,<><?������=>5,��5 7S#�=?3I8(<>�

��<>5,#$��: ��1;�j+,��#�� ��R�� � M X Q.7m5 ���C: ��#�!V�'=?#$7n�2=>�;@yJLK(M�� � =QqR�� �!V�;: &(���;���

J �K M�� �|Q)R����"] 0%5 ���I��&*!V�Z��&;��� �q! ���q! <><S:;=?#m�$5,=?�d�Z! �;: =?�)�"! � -/�q#$&;5|A�� ��&*!V���&;���p��5,��+,����@,�)5,1(��AY! ��:�'5���,6K�! # � J vT]

eN=?�;�����'&;��=?���'���$=>5,��5 7b��&;������=?��=>��! <i��=>�$��<?�%=?#`! <?#�5Z3I! 8;8/��:�! #`!.z � �'5 � ¸ ��5|+,����=>�(@5 7��'&(�I��[N�����$=>5,�a5 7_�'&;�t����=?��=>��! <�#���@,3������"l��'&(�����I! �$��5V�'&;���s#$=>3�8;<>�Z��<>5 #���:~��1;�j+,��#� � ��R�� � ��M X Q�7m5,�'��R ¸ ��� �������d#$1;��&��'&*!G�fJFKa3I! 8;#�� � �6!V#f!Zz � �'5 � ¸ ��5�+ ���$=>�;@.5V7� � � =

�$1(#$�s! #D! -/5|+,�V].�f&;��� � �.�;5|A ��5,��+,����@,�t:;5|A�� �'5�� 44K�! # �"J vT].eN=?�;���������5 �d�'! =>�(# " ����=B�'=?�"! </845 =>���'#�! �(: " 8(����8/5,<?��#�l(=?�`7m5,<?<>5|A�#_��&*!V����! ��&�� �a��5,����!V=>�;#���(z � � � = 845,=?���'#��'&*!G�I3I! 8 1;�;:(���IJ �K 5,����5y��&;�����=B�'=?�"! <`8/5,=?�d��#t! �;: �'&;�C#'!V3I��d1;3.-/���Y5 7L845,=?���'#Y��&*!V�f3I! 8q��5.�'&;�a8;�$��8/5,<>��#�]��f&;�a����=B�'=>��! <i845 =>���'#f!V�;:8;����845,<?��#

¸ �

Page 12: Mathematics & Statistics » Boston University

! �$�q!V���'!V�;@,��: =>� !V<?�'�����*!G�'��7E! #�&(=>5,� ! ��5,1(�;:����"lF#�5u��&;��=?�)8;�$��=?3q! @ ��#s5,�~��&;��� �! �$�D! ����! �;@,��:�#$=>3�=><>! ��<B�,]

+~�a�;5|AT:;��#�����=>-/���'&(�a��=>�(@ ��=>���'&(�a8*! �'!V3I�\�'���Y8;<}! �(� ]��f&;=?#f��1;�j+,�D��5 �;#�=?#$�'#5 7 X(� +V! <?1;��#Z7m5 �.A�&;=>��& �'&(�C����=B�'=>��! <S+ !V<>1;��#�<>=>�I5,� �'&;�p����=B�'=>��! <Y��=>�$��<>������=?� �'&;�:(�2�*!V3I=?�"! <�8(<}! �;�V]peN5(lF5,� �'&(=>#D#��\�"lFA_��3.1;#$�)&*!"+,� ) X ) =@?�� R � ) D X ) ]I�6#)! -/5�+ � l#$5,<?+2=>�(@���&;=>#L� 8 1*!G�'=>5 �Z#�&(5�A�#L�'&*!G� �F=>#��'&;����=?����<?�S5 7;��! :;=>1(# ¸ � � =?�s��&;�_8;! �'! 3��������8;<>! �;�V] +~�Z�"!V<>< �%��&;� ��!�� !7��!"��� )�!"1%)�� �s=?�C��&;�Z8;! �'! 3���������8;<>! �;� ].+¡&;��� X & �|l��&;������=B�'=?�"! <N��=>�$��<?�f=>���'&;��:(�2�*!V3I=?�"! <;8(<}! �;��=?#��'&;����=?����<>�f5 74�'! :(=>1;# ¸ � D �a��������������:!V����&;�D5,��=?@,=>�b] 0�5 �'�D�'&;!V�"li! # X �$5 ��!V����#�! �$5,1;�;:C�'&;�D:;=B+N=?:;=>�(@���=>�$��<?�s=?�C!������$�'! =>�:;=?�������'=?5,�bli�'&;�Z����=B�'=?�"! <�8/5,=>����#6��5V��!V���.! �$5,1;�;:0��&;�Z����=?��=>��! <���=>�$��<?� ����-�� ¸ � " 5 7�!��1;���0A�&;=?<>�s�'&;������=?��=>��! <L+V! <?1;��#6��5 �'!V�'�)-d�u&*! <B7�!q�'1;�$�y=?�u�'&(�.#'! 3��.:;=?�������'=?5,��! #X �$5 ��!G�'��#�]��^�a�'&;���y7m5 <><>5|A�#���! #�=?<?���'&*!V�a��&;���$��! ���t!p8*! =?�a5 7_8*! �'!V3I�\�'���$#a5,���'&;�:;=B+2=>:;=?�;@���=?����<>�.7m5,��A�&;=?��&y��&;�t���$=?�'=?�"! <L+V! <>1;��#a<}! �(:y5 �~!p8*!V=>�a5 7_���$=?�'=?�"! <F845 =>���'#Mn�'&;��#��6@ =?+,�f��&;�6�������'����#Y5V7H�'&(����A_5.8;�$=>�;��=>8*! <*�u! �;:;��<>-;�$5 �_#�����#_A�=B�'&�-*! #��%84����=?5N:¸ Q�! �;:0!q8*! =?��A�&;�����Z��&;����<}!V�;:u5,���'&;�)8;����845,<?��#.Mj� X Q =@?�� Mm�'&(��#��.! ���)������������#a5V7eN=?���$8;=Vg�;#$h2=�&;5 <>��#'Q\]a�f&;=?#�@,=B+,��#%�'&;�.�$��#$1;<?�%7m5,� �|] 0�5 �'�s�'&*!V�6�'&;�.8;! �'! 3��������$#6=>�� !V���D8;������=?#���<B���'&(5,#��a�'&;!V��<>=?�a=>�;#$=>:;�6��&;�D:;=?+2=?:;=>�;@���=>�$��<>� �|]

r*5,� X & � A�=B�'& � � �6�$@ X � � $�l�<>�\� ; �sR X =@?�� :(���;5 �����'&;�t���$=?��=>�"!V<F8/5,=>���#�!V�'=?#$7n�2=>�;@Z� � �6��@ ; � � $ � zZ! �(:�<>�\� ;

=����� � � ;

�:;���;5 �'���'&;�65 �'&;���Y����=?��=>��! <*845 =>���'#

A�&;�������'&;� ; � ! �$�Y!V���'!V�;@,��:)=>�s�'&;����5,1(�d�����$��<>52��h�A�=>#$�`:;=>�$���\�'=>5 �Z! �$5,1;�;:s�'&;�_5,��=?@,=>�H]%������ �a:;���;5 �'�)�'&;�.��<>5,#$��:�#$������5,�a=>� ( -/5,1;�(:;��:�-��u��&;�Z��A_5����=B�'=?�"! <�8/5,=>������!"�N#��&*!V��! �$�a@,=?+ ���-�� � ; �6! �(:� ;

�A�=?��&�Yx¡�(] +~�a�"! <?<4�'&(=>#f#�������5,��! �1%�2 6&� �a#����\�'5,�

#$=>�;���`�'&;������=>#�!a1;�(= 8 1;�f8;�$��8/5,<>�f=?�.�'&;���$�������'���4�s5 7�� �|] %��\��� � :(���;5 ���f�'&;�f#$=>3�=><}!V�8;�$��8/5,<>�a#$���\�'5,��-/5,1;�;:;��:u-�� � ; � � = ! �;:� ; � ] 0�5 �'�a�'&;!V�f�'&;�D=?�d�����$=>5,�`5V7��"!V��&�� � =>#3I! 8;8/��:I5,�;� � �'5 � 5,�;��5,���'5 ( 3�=>�d1;#S�'&(�%��A_5�����=B�'=?�"! <;+V! <?1;�%��!"�N# � AVKaA�&;����� �Yx ¸ ]� �;�5 7��'&;�p����=B�'=>��! <Y8/5,=?�d�t��!"�N#���&*!V��-45 1;�;:;#t�"!V��&�� � =>#�3I! 8;8/��: 5,���'5 5,�(�C5V7��&;��#$������=B�'=>��! <�+ !V<>1;�.��!"�N#aA�&;=?<>�Z��&;��5 ��&;���a����=?��=>��! <98/5,=>���a��!"�0=>#63q! 8(84��: ��5��'&;�5 ��&;���Y����=B�'=?�"! <*+V! <>1(�6�'!"� ]��^7F�%��@ X RT�)��&;���p��&;�����$=?��=>�"!V<i+V! <?1;����!|�2#`<?=>��=>��� ���

=¸ ¸

Page 13: Mathematics & Statistics » Boston University

! �(: � � � � l�A�&;���$�"! #�l9=?7SA_�q!V<><>5|A �6�$@ X �'5C=>�;�����"!V#����'5��9$�l���&;�t����=B�'=?�"! <L+ !V<>1;���!|�2#_�;5|A¡<>=>��=?� � � � � ! �;: � �� � � ] +¡&;��� X 8& � `ld�'&(�6���$=?��=>�"!V<;+ !V<>1;���'!"�2#`<?=>�f=>���&;�Z=?�d�����$=>5,�f5 7 �

=� � � ! �;:��

�� ��]����08*!V�$�'=?��1;<>! ��l*=B7 X 8& � `li�'&(���u��&;�Z����=?��=>��! <

+V! <?1;�a�'!"�2#�:;5I�(5 ��3I����� � ��5,� � � ]+~�p�;5|A :;�\�*�;�!08*!V�'! 3�������=���!V�'=?5,� 5V7��"! ��& � �qA�&;=?��& AY�p#$&*! <><_:;���(5 �'�p-��

� � M�� Q\] .S! ��& � � M�� QfA�=?<><�-/�Zz � � � � � $ 8/����=?5N:(=>� ] +~�Z-/��@,=?��-��C8*! ��! 3I�\�'�$=���=?�;@����|]+~�Y#$�������|MP��Q��'56-/�_��&;�Y8/5,=?�d�F5 7*=?���'���$#������'=?5,�Z5V7*�'&;�_����=B�'=?�"! <���=>����<>� ����! �;: � � �

=l

=P]k�V]?l|�'&(������=B�'=>��! < 8/5,=?�d��; �|]9eN=>�(��� ���L=>#�! �s! �\�'1*! < ��=>�$��<?� l|AY�S3I!"���'&;���)8;! �'! 3�������= ������s=>� �'&;���*!V��1;�'!V<�A`!"�/��&;5|A_��+,����l�7m5,�D�$�"! #$5,�;#D�'&*!V�DA�=?<><�-/����5,3I�t��<>�"!V�����D<>!V�'����lA_�I��&(5N5,#$�I��5�3I! h �t�'&(=>#D8*! ��! 3I�\�'�$=��"!G�'=>5 ��=>�;�����"!V#���=>� �'&;����<?5N��h�A�=>#$�I:(=>��������=>5,�! �$5,1;�;: ��&;��5,�$=>@,=?� ��!V�'&;���Z�'&;! � �'&;�q��5,��+,�����'=>5 �*! <`��5,1;���'������<?5N��h�A�=?#��:;=>�$���\�'=>5 �b]eN5���&;�D8*! �'!V3I�\�'��= �"!V��=>5,������M�� Qf=?#f84����=?5N:;=?�6A�=?��&84����=>52:��9$�]

0%5|A �==?#a3q! 8(84��: z � �'5 � ¸ 5,���'5 ���"l�#�5A_�I:;�\�*�;� �

=MP�,Q%�'5-4����&;�t1;�;= 8 1;�

8/5,=>����=?� �'&;��$��@,=?5,� � �t�'&*!G�t=>#.3I! 8;8/��: �'5 ����ME��QZ8;�$5�+2=?:;��: �'&*!G� X 8& � `] �^7X & � `lFAY����&(5N5,#$���

=ME��QD��5u-/�q�'&;�I8;����=>3I! @,��5 7 ����ME��QD��&*!V�)<>=>��#)=?� � ! �(:

5,1N�'#�=?:;�����|]feN5��=MP�,Qf:(��8/���;:;#6��5,���'=?�d1;5,1;#$<?�5,� X 8;��5|+2=>:;��:���&*!V�%� � �6��@ X ��9$�]y�f&(��� AY�p:;�\�*�;���

=M��,Q)�'5�-/�q��&;�p845 =>����=>� �

=��&*!V��=?#.3I! 8;8/��: �'5����GM��,Q

A�&;�����.A_����&;525,#����=M��,Q%#$5��'&*!G�6�'&(=>#67m1;�(���'=?5,�0=?#���5,����=>�d1;5,1;#6=>���2]Ze2=>�;�����

==>#

3I! 8;8/��: z � �'5 � ¸ 5 �d��5 ���|l�=B�Z7m5,<?<>5|A�#s��&*!V� �=M��,QD=>#Zz��2�9$ 84����=>52:;=?�I=?���N]90�5 �'�

��&*!V���'&;=?#6!V<>#�5�8*! ��! 3����'�$=�����# �==?�C��&;�)��<>52��h�A�=>#��s:;=?�����\�'=?5,�b]Y�f&(���uA_�Z��5,���'=>�d1;�

=?�;:;1;�\�'=?+ ��<B�I7m5,���7: ¸ -��q�;��#$��:;�\�*�;=?�;@�� �,ME��QY! #�! -/5|+,���'5t-/���'&;�a1(�;= 8 1;�a8/5,=>���=?��� �I�'&;!V��=>#t3q!V8;84��: ��5 � � � =

MP��QMnA�=?�'& ! #�=>3�=><>! �.3�5N:(=?�*��!V�'=?5,� =?7 X & � SQ\l! �(: ��&;��� A_�C��[2�'���(: ��&;=>#�-�� :;�\�*�;=?�;@ � ��M�� Q)�'5 -/���'&;�p1;�(= 8 1;�845 =>���.�'&;!V�t=>#3I! 8;8/��: �'5 � � � =

M��,Qa! �;:y#�5C�'&*!V�D��&;=>#D3I! 8~=?#D��5,���'=?�d1;5,1;#s=>���N]I�f&;���$��7m5,�$��� �=?#az � �,�9$ 8/����=?5N:(=>�.=?��N].�L5:;���*�(� � � �,M�� Q\l������"! <?<F��&*!V�a�'&(�����t=?#a! � =>��+,5 <>1(��=>5,�(�K2MPO,Q�R X =@? � � Os7m5,��A�&(=>��&JFK2M (�K2MPO�Q$Q_R JFKNMPO�Q�]S�%�����%A_����&;525,#$�6�'&;�%=>��+,5 <>1(��=>5,�(�Kp�'&*!G�.�([N��#<; �GM X Q\]��f&;��� AY�p:;�\�*�;��� � �,M��,Q�R (�K2M � � M��,Q$Q\]20%5V�'�q��&*!V�.��&;=>#8*!V�'! 3�������=�����#�� � �6=>�I�'&;����5,1;���'������<>52��hdA�=?#��a:;=?�������'=?5,�bldA�&;=>��&=?#_�'&(������! #�5,��A�&��

¸ �

Page 14: Mathematics & Statistics » Boston University

A_�f��&;5,#$�`�'5�8*!V�'! 3�������=���������M��,QF=?�Z�'&(�`��<?5N��h�A�=>#$�`:;=?�����\�'=?5,�b]9eN5� � �,M��,QF=?#�z �� � �P�9$

8/���$=>52:;=>��=?� �N]+~�)#$&*! <><H�;5|A ��5,�(#�=>:(����5,�;<B�p845 �$�'=?5,�;#f5 7F�'&;�D��1;�$+ ��# � �V] %��\� � ��:;���(5 �'�D�'&;�

8/5,�$��=>5,��5 7 ���a:;�\�*�;��:�7m5,�6� � � � � $ � zIR�z � $W $ � z(]�0%5V�'�Z��&*!V� � �a��[N�����;:(#7m�$5,3 ��&;��-45 1;�;:*! �j��5 7 � � �

==>�0��&;�t��<?5N��h�A�=>#$�t:;=>�$������=>5,�0��5p�'&;��-/5,1;�;:;! �$��5V7

� � � � lS=�] � ]Bl���AY5 � �'&;=?��:;#�5V76!u��1;��� =?� �'&;�p��<>52��h�A�=>#��p:(=>��������=>5,�b]��f&(�C��1;�$+ � � ���&;���$��7m5,�$����[2�'���(:;#Z=?�y��&;�t��<>52��h�A�=>#$�I:;=?�������'=?5,��7m��5,3 �'&;�t���$=?��=>�"!V<�845 =>��� ; �D�'5 ; �! �(:�8*!V#�#���#6�'&(��5,1;@ & ;

�� ;�l/! �;: ; � ]Yri5 � �/: ��<?��� � �s:(���;5 ���s��&;�s845,�j�'=?5,�5 7�� �

:;�\�*�;��:7m5 �`� � � � z � $.W $ � zN]�r*5,�Y��! ��& �IAY����&;���p&;!|+ ���'&*!G� � ��ME��Q�<?=>��#�=>��� �|]r*5,�Z<>!V�'���Z1;#$� lS�;5 ���q�'&;!V�Z��&;��8/5,=>����O��CR � ��M�$ � " Qs! <>#$50<>=?��#s=>� � �.7m5,�.�"!V��&

�4]q�f&;�I7m5,�jA`!V��: 5 ��-;=B�)5V7fO���<>=>��#D=>� � �Z1(�d��=><���&;=>#s5,��-(=?�s����! ��&;��#Z�(lF! �;: J �K MEO��|Q=?#���&d1;#���&;�s1;�;= 8 1;�s8;�$��8/5,<>�D=>� � �|]_�f&;�)845 =>���'#�O��aA�=><?<b-4�s8/5,=>���'#f��&*!V��<>=?�a=>�p�'&;�=?�d+V! �$=}! ����¢`!V�d��5,���;����hd<>! ���D�'&*!G�fAY�s#�&*!V<><b:;�\�*�;�s=>����&;�D�;�\[2�%#����\�'=?5,�b]

eN=?�;���� ��=?#�z � �"�9$ � 84����=>52:;=?��! �;: � ��=?#`:;���;�;��:C5,�;<B�q7m5,�f� � � � z � $IW $ � z(lA_�&*!"+,��'&*!V� � �p52����1;8;=>��#�! <?=?�$�'<>�I3I5 ���q��&*! � 5,�;� � &*! <B7%5V7%��&;�p7m1;<><_��1;�j+,� � � ]���08;! �$��=>��1(<}! ��liA_��&*!"+,� � � MPz � $LQfR � � ��ME��Qf-d�C�'&(��O HJ �%O�#$�23I3������$� lb! �;:u#�5;l7m5,�t��! ��& �4l � �,MEz � $�Qt<?=>��#�=?� � � !V�;: =?#t3q! 8(84��: ��5�; � R � ��M�$LQ.-�� J �K ] eN=?�;���J �K M � �,ME��Q�Q_R ; �"li=?��7m5,<?<>5|A�#f�'&*!G�%��&;�)5V�'&;���%���;:;8/5,=>��� � � MPz � $�W $ � z,Q�! <?#�5t<>=?��#�=>���&;�q#$������5,� � � ! �;: =?#Z3I! 8;8/��:y�'5 � ��M � $ � z�QsR ; � -d� J �K #$=>�;��� l�7m5,�s�"! ��& �/l9AY�&*!"+ �

J �K M � �,MPz � $qW $ � z�Q�Q�R � ��MEz � $�W $ � z�Q�R � �|M $qW $ � z�Q�������;��� l � �0=?#p! ��1(�$+,����&*!V�p8*!V#�#���#��<>52��h�A�=>#$�0�'&;�$5,1;@,&¡! 8/5,�$��=>5,� 5V7 � �"l��'&;�����&;��5,1(@,&y! <><F5 7 �

�! �;: �

�lL! �(: �;�*! <><B����&;��5 1;@,&y!�845 �$�'=?5,��5 7 � � ! # �p=>�(������! #���#�]

0�5 �'�)! <>#$5t-d���&;�ZO+HJ �6OI#$�23I3������$� l � �,MPz � $pW $ � " Qf! <?#�5t<>=?��#�=>� � � 7m5,���"! ��& �! �(:J �K M � �,MEz � $�W $ � " Q$Q_=>#Y��&;�a1;�;= 8 1;�a8;����845 <>��=?��� � ]��f&;��#��s! �$�a845,=?���'#Y��&*!V�f<?=>�=?���&;�D5,8;8/5,#�=B�'�a8/5,�$��=>5,�p5V7F��&;�)¢`! ���'5,���;����h2<>! ���s:;�\�*�;��:�=>�CeN������=>5,� � ]

+~���(5�A :;�\�*�;� � � � M�� QF7m5,�.��: �(���'&(=>#�:;�\�*�;=?��=>5,�.A�=?<><N-4�f#$5,3I�\A�&*!V�S:;=BcH�������d�7m�$5,3 �'&;!V�65V7 � �,M��,Q`A�&;��� �5:��N]fr9=>�$#$���;5 ���s��&*!V�6JFK�3I! 8;#f�'&(�Z8/5,�$��=>5,�5 7 � � =

¸ z

Page 15: Mathematics & Statistics » Boston University

��&*!V��<?=>��#9=>� �=��� � 5 �d��5a�'&;�f���d��=>�$�f��=>�$��<?� ���"]9�f&(����A_5D���;:(845,=?���'#�5 7/�'&;=?#�8/5,�$��=>5,�

5 7 � � =! �$�%#$�����Y��5)�'&(�6#'!V3I��845 =>����5,�I��&;�6����=?��=>��! <;+V! <>1;����!|�t��&*!V�_<>=>��#S=>���

=� � � ]

�����;���I�'&(�����I=>#)! � !V���q=?� � � =�'&*!V�)=>#s!C8;����=>3I! @,�t5 7 � �Z1(�;:;���.JFK�=?� �

=� � � ]

+~��:;�\�*�;� � � =M�� Q��'5Z-4�6��&;=>#_8;����=>3I! @,�%5 7 � ��M�� Q_1;�;:;���fJFKd]�eN5 � � =

M��,Q�=>#Y:(���*�;��:7m5,��� � � � z � $qW $ � z(l��$1;#$�%! # � ��M�� QY=>#�]�¢Y5,���'=>�d1;=?�;@t=>�p#$=>3�=><}!V��7E! #$&;=>5 �bl(A_�s<?���� � � M��,Q�-4�s�'&;��8/5,=>���%<?�2=>�(@�5,�u��&;�.8/5,�$��=>5,�05V7��'&;�.��1;�$+ ��� � �Z=?� �

=� � � �'&*!V�6=>#

3I! 8;8/��:�-��qJFKa�'5 � � � =M�� Q\]SeN5 � � � M�� Q�=>#_:;���;�;��:p7m5,�Y� � � � z � � = $�W $ � z(l"�$1;#$�

! # � � � ==>#�]�eN���sr9=?@,1;�$� � ]

����

����

� ��

=

� �

; �`R � �|MP��Q�

� =MP��Q� � � ME��Q

; � R � ��M�$qW $ � z,Q

� �

� =� �

� � =� � ��

��

��

��?

JFK

JFK

��� � M), $qW $ � z�Q� =

MPz $qW $ � z�Q@@R

r9=?@,1;��� � � �f&;�s��1;�j+,��# � � ]

� 1�������� �� � �3� � 6 �����%��@ X RT� ����� ��: � � ���"�(6BA 6 6 � 6&!"� 6"# � � � MP�,Q � !0��!"� � <� 6 ���t�6��@ X RT� $ � 6 6 � ������ 6&!"� 6 # 6BA � � � )%6&1 1%�%#2 6&����!"��� 626 �)R�z � � = $)W�$ � z � !0�!"� � � <� 1�� ����� �f&;���*�$#$�D8*!V�$�D5 7��'&;���$��#$1;<?�a7m5,<?<>5|A�#�=?3I3���:;=>!V�'��<?��7m�$5,3 ��&;�t:;���;�;=?��=>5,�5 7 � � �,ME��Q\]��6#s�6�$@ X =?�;���$�"! #$��#Z-��~�9$�l���&;��845,=?��� ; �s��5 �'!V�'��#Z!#�= [N��&~5V7f!p�'1;�$�

¸"�

Page 16: Mathematics & Statistics » Boston University

=?� ��&;�t��5,1(�d�����$��<>52��h�A�=>#$�q:;=?�����\�'=?5,� ! �;:y#�5�'&;��8/5,=>��� � ��M $W $ � z�Q6�;5|A <>=?��#a5,�� � ]feN=>�;��� � � =>#�=>��+V! �$=}! ���fA�&;���0�6�$@ X R �9$�l*=B���'&;����7m5,<?<>5|A�#`�'&*!G�6��! ��&u5 7F�'&;����;:;8/5,=>���'#�5 7 � � �6A�=?��& �sR z � � = $qW $ � zt! <>#$5�<>=>��#f=>� � � ]

�+~�6�;5|A¡:;�\�*�;�6��&;�6�$=>�;@,# ��7m5,� ��: �s=>���'&;�%8*! �'!V3I�\�'����8;<>! �;� ]������"! <?<i��&*!V�

� =>#Y��&;�a#��\��5 79�(5,��������5t8*! ��! 3����'����#Y7m5 �YA�&;=>��&/AGK)<?=>��#Y=>�(#�=>:(�6�'&;�a����=B�'=>��! </��=>�$��<?� ]%���������-4�!���<>5,#$��: :;=>#$h 5 7��'! :(=>1;#�� :���#�1;�$��5,1;�(:;=>�;@���&;�5,��=?@,=>� !V�;: <B�2=>�;@#j�'��=?����<?�I=>�;#$=>:;����&;�)���|��1(<><>���:;5,3I! =>�b] %��\���� R � � M�� � � SQ\] 0�5 �'����&*!V����=?#a!�#�=?3I8;<B�C��5,�;�(��������:y5,8/����#��\�"] %��\� ����R z � � = $CW $ � z(lb#$5 � � � M�� Q%=>#�:(���*�;��:7m5,� ��=?���'&;�D=>�������$+V! <������ �����P]� 1�������� �� � �3� -2 6 # � X5& �� ����� � � 6 AGK �����(6 6 � 6 6 � )�1 ! 6 !0)4���&�&���� � 6BA�JLK�6 6 � 6� !0�%# !"�16 6 � ��1 6 ��� A ��*���(�5< � ! � � x ¸ ����� � !"�16 6 �,6% ��� !"� 62��1 �&���YMP� � ���|Q@<4�6 ���96 6 ��1 � ! # � �� !��5 /� X R X

�� !"���� A�6&1 � 6 !0) 6 6 6 ��)�1�! 67!0)4��� �&���� /� AGK �*�����&# 6&�

� � � M��,Q@<�� 6&1 �%69����1�� X �� �&��1 !0�%# )%6&� 67!"� /69 #���� � ! 6 6 � <� 1�� ����� r*5,�6��! ��& �q=>� ME��� ����Q\l/AY��&*!"+ �.��AY53I! 8;#6:(���*�;��: 5,�0�'&;�Z����@ =>5,���� =>���&;�p8*! ��! 3I�\�'����8;<}! �(� ] �f&(��;��#$��3I! 8 =>#���M X QtR AVKA�&;���$� AGKC=>#.�'&(�p1;�;= 8 1;�����=?��=>��! <b+V! <>1;�s=>�C�'&;�)1;8;8/���%&*! <?7�8;<}! �(� ]%eN=>�(���)��&;�Z5 1(�'���6-/5,1;�;:*!V�$�C5 7��� =>#��'&;�:;=B+2=>:;=?�;@���=?����<>� ) X ) R ¸ � � l,=B��7m5,<?<>5|A�#F��&*!V���*K%3I! 8;#��� 1;�;=?+V! <?�����'<B�Z5 �d��5��'&;�f5 84����$��@,=?5,��� @,=?+ ���0-�� ) O ) � ¸ � D �q! �;:u��3 O�:T�I3I=?�21(#6!q#$3q!V<><�&*! <B7 � :;=?#�h! �$5,1;�;:��&;�D5,��=?@,=>�b]9�%���;����� � = =>#`A_��<?<�:;���*�(��:u5 ���u]

�f&;��#$����5,�;: 3I! 8 :(���*�;��: 5,� �� =>#D�'&(�q3I! 8�� � M X Q)R � � �,M��,Q�A�&;���$� ��=?#Z!@,=B+,��� +V! <?1;�.=?�0�'&;��5,8/��� =?�d�����j+ !V<fMP� � ���|Q�].�%���;����� 3I! 8;#a!V<><98;! �'! 3��������$#a=>����#j�'��=?����<?�t=>�(#�=>:(�%�'&(������@,=>5,���ulN#$=>�;���67m5,�_�"! ��& X l � � � M��,Q�<>=>��#_#j�'�$=>����<?��=>�(#�=>:(� ����M X Q! �(:�5,1(�'#$=>:;�+44K�]s���y8;! �$��=>��1(<}! ��l�� � M X Q�=>#�-/5,1;�;:(��:y!"A`!"�07m�$5,3 ��#$=>�;��� ) X ) : �2]¢Y5,�(#�� 8 1;�����'<?�t��&;�%3I! 8!� � =#" � � ��!Vh ��#$���#$����=>�\�'<B�.=>�(#�=>:(�f=?�'#$��<B7�] 9_����&;��e2��&dAY! � �%���3�3I!(l%��� = " � � &;! #a!�1;�;= 8 1;�Z�([N��: 8/5,=>���6=>�����]a�f&;=>#�=?#%��&;��8*! ��! 3I�\�'��� X

�� l

A�&;=?��&C��&;���+V! ��=?��#f��5,���'=>�d1;5 1;#�<B��A�=?��& ��=?���&;�D5,8/���C=>���'���$+V! <SME��� ����Q\]�

¸��

Page 17: Mathematics & Statistics » Boston University

�L5Z��5 3I8;<?��������&;�%��5,�;#j�'��1(���'=?5,�q5V7b�'&;����=?�;@ �Vl�AY�%�;�\[2�`#$&;5|A¡�'&*!V���'&(�%��1;�$+ �� HJ X

�� -/����5,3���#�!~#�=>3�8;<?�C��<>5,#$��: ��1;�$+ �uA�&;��� AY��!V:;: =>� �'&;�����;:(845,=?���'#q5V7

����� ������]� 1�������� �� � �3� 4�6 �� ���15��� � 6 ��1 X

�� �&��1 !0�%# )%6&� 67!"� 69 #���� � ! 6 6 � <�� # � J �3 1 �%#2 < � �"J ���;:�� X �� 6 �����&# 626 � � !��5 � ���14��� � 62��1 X

�� 3 1 �%#2 < � X ���� :,!"� � A�6&1� 6 !0) 6 6 6 ��)�1 ! 6 !0)4���&�&���� � !"�96 6 � ��1 6 ��� A ��*���(� �*�����&# 6&� � � �,ME��Q & � 3 1 �%#2 < �

� � � M����|QZR � � � � MP�,Q & � �&:�< � 1 6 6 ��1 � 6&1 � � X �� R X���� & � � # 6 � HJ X

�� ! # �

#�!�� �� � )�� 6 # �4� ) 1;���5<� 1�� ����� �L5.8;�$5�+ ���'&;=?#�l2AY��3�52:;=?7n����&;��8*! ��! 3����'����= �"!V��=>5,�;#�5 7b��&;����1;�$+ ��# � �6! �(:��&;�Z:;5 3q! =?��=?����&;�Z8*!V�'! 3��������68(<}! �;�s5,�uA�&(=>��&u��&;�)��A_5p3q!V8;# �qM X Q�! �(:�� � M X Q! �$�D:;���*�(��:b]�r9=?��#j�"l*<>�\���� R � � M�� � � � Q�]feN5��� =?#�! <>#$5I!�#�=?3I8;<B����5,�;�;�����'��:5,8/���u#����6=>� ( ]Z�f&;���0�'&;�.3I! 8��qM X Q�=?#%�(5�A{��&;�Z����=?��=>��! <b+V! <>1;�s�'&*!G�6<?=>��#�=>�C�'&;��$=>@,&��%&*! <?7�8;<}! �(� ]��f&;����<?��� � �6-4�s�'&;�)845,�j�'=?5,�u5 79�'&;�)����=B�'=?�"! <���=?����<>�s:;���*�(��:07m5,�� � ) � ) � $ � ��W $ � " ]IeN5 � �)�(5�A <>=?��#a=>� �'&(��#$���\�'5,�$# � � � �

=� � � lL! �;: � � ]t�f&;���

:;�\�*�;� � �f7m5,� ��: �a�'5Z-/���'&;�%845,�j�'=?5,�t5 7 � ��:;���;�;��:q7m5 �Y� � ) � ) � z � $ � ��W�$ � " ]eN5���&;��#$�t�;��A � �� #D! �����$1;#$�D�$5 ��!V��=>5,�(#65 7S�'&(��8;���\+N=?5,1;#$<?��:;���*�(��:y��1;�j+,��#�]Z�f&;���A_��:;���*�(� � � �Y��5s-/�f�'&;��8/5,�$��=>5,��5V74��&;�f8;����=>3I! @,�`5V7 � � � =

�'&;!V�S����#�=>:(��#�=>� � � � �=]

�f&;����5,�;�s��&;����hd#a�"!V#�=><B�p�'&*!G�"l4! #6!V-45|+,�Vl4A�&;��� X2& ��ql/��&;�Z3I! 8 � �� M X Qf�;5|A�'! h ��#Y+V! <>1;��#Y=?�I�'&(�65,8/�����$��@,=?5,��� @,=?+ ����-�� ) O ) � ¸ � D �s! �;:p����O : �)3�=>�d1;#`!#$3q! <?<4&;! <?7 � :;=>#$hI=?�q�'&;�D1;8(84���f&*! <?7 � 8;<}!V�;�6�������'������:�!V�f��&;�a5,��=?@,=>�Hl2A�&;=?��&=>#f! @,! =>���&;�.=>3I! @,�s5 7��� 1;�;:;��� �I]a�f&;���0�'&;�.8(����+2=?5,1;#a8;�$5N5 7�����8(��52:;1;����#D!���5,����=>�d1;5,1;#��1;�$+ �)5 7F8*! ��! 3����'����# X

�� 7m5,�`A�&;=>��&�'&(�s����=B�'=>��! <4+V! <?1;�a<>=?��#�!V� � � M X Q\]0%5|A #$1;8;8/5,#����'&*!V�F�6�$@ X R �(] 9��a�'&;�_�"! �$<>=>��� �S�$5,8/5,#�=B�'=>5 �bl��"! ��& � � MP��Q�<>=?��#�=>�

� `]��C5,����5�+ ����l*1;#�=?�;@�#$�'! �;:*! �$:����#$1;<?��#Y7m��5 3 �$�"! <4:(�2�*! 3�=>��#Y=>�q��&;�s�u! �;:(��<>-(��5 �#$���"l;��&;���$�D=>#�!�1;�;= 8 1;�D#$1;84����#j��! -;<?�D8*! �'!V3I�\�'���`7m5 �`A�&;=>��&AY�s&*!"+,�

AGK � ; �YRTJ �K M�; �\Q � J � � =K M@; �\Q � ����� � J �K M�; ��Q���f&;=?#s��&;��� =>#a�'&;�I8*! ��! 3I�\�'��� X

�� ]Ce2=>�;������&;�q�;�\A 845 =>���'# X�� +V! �j� ��5,���'=?�d1;5,1;#$<?�

¸�"

Page 18: Mathematics & Statistics » Boston University

A�=B�'&��2lS��&;=>#Z#�&;5|A�#.�'&;!V�.�'&(�p�"! �$<>=>���)8;! �'! 3������ ��!V�'=?5,� :;�\�*�;��: 7m5,�Z� � � � �����[N�����;:(#%��5,���'=>�d1;5 1;#�<B���'5 X

�� & � `]+¡&;��� �6�$@ X R �9$�l_!y#$=>3�=><}!V�Z3�5N:;=B�*�"!G�'=>5 � 5 7��'&;�C8;��525 7%5 76��&;�8;���\+2=>5,1;#

����5 845,#$=?��=>5,� #$&;5|A�#C��&*!V�pA_� ! @,! =>� &*!"+ � ! 1;�;= 8 1;� 8*! �'!V3I�\�'����7m5 ��A�&;=>��&¡�'&;�5,�$-;=?�`5 7 AGKZ<?=>��#f=>� � � !V�;:CA_�D&*!"+,�

�<: AGK+: ; � RTJ �K M�; � Q : J � � =K M@; � Q : ����� : J �K M�; � Q��

�f&;=?#�=>#0��&;� 8*! �'!V3I�\�'��� X���� l�1;#$=>�;@ �'&(� 8;! �'! 3�������= �"!V��=>5,�T7m�$5,3 ��&;� 8;���\+2=>5,1;#

����5 845,#$=?��=>5,�b]feN=>�;���sA_�.&*!"+ �.#$�23�3I�\�'��=?�D-4��&*!"+N=?5,��5,� � `l/=?��7m5,<?<>5|A�#f�'&*!V� X�� R

X���� ] 9�� ��5 �d��=>�d1;=B���,l%! #p�6�$@ X J � 5 ��9$�l��'&;��8;! �'! 3��������$# X

�� ��5,��+,����@,���'5

X�� R X

�� � ]Z�f&;������7m5 �����'&;�t8*!V�'! 3���������# X

�� <?=>�.!V<>5,�;@!�#$=>3�8;<>�Z��<>5 #���: ��1;�$+ �I#$1;� ��$5,1;�;:;=?�;@��'&;�D5,�$=>@,=?��=>�p��&;�D8*! �'!V3I�\�'���f8(<}! �;�V]

�+~����&;���$��7m5,�$��:(���*�;���'&;�t�$=>�;@ �t=>���'&;��8*! ��! 3����'���a8;<}!V�;���'5C-4���'&(�I��1;�$+ �

@,=B+,���0-����<HJ X�� ]DeN5

=��5 �;#�=?#$�'#65 7S8*! ��! 3I�\�'����#%7m5 �%A�&;=?��&0�'&;�.����=B�'=>��! <�845 =>���'#

�*�$#$�)3q!V8 ��5C��&;������=B�'=?�"! <9+V! <?1;��#aA�&;=?��& <?=>��=>�(#�=>:(�t��&;�t���$=?�'=?�"! <9��=>�$��<?� lL! �;:y�'&;�����&;�6����=?��=>��! <;+V! <>1;��#_3I! 8I-*! ��ht5,���'5Z��&;�6����=B�'=>��! <*��=?����<>� ]9r*5,� ��: ¸ l��%��5,�;#$=>#j�'#Y5V78*!V�'! 3���������#�7m5,��A�&;=>��&0��&;�Z����=B�'=>��! <�8/5,=>���'#%! @�!V=>�C3q! 8�=>�;#$=>:;�D�'&(�Z���$=?��=>�"!V<���=>�$��<?� ]9Y1N���'&;������&;�f�;�\[2��=>3I! @,��#�<>=?�Y5,1N�'#�=?:;�`�'&(������=B�'=>��! <2��=>�$��<?� ]9�%�;:��'&;������&;��#$��5,��-;=B�'#�$��3I! =>�I5,1(�'#$=>:;�%�'&;������=B�'=>��! <i��=?����<?�%7m5,� �s� ¸ 3�5,���%=?�����'!G�'=>5 �;#_1(�d��=><4<}! �;:(=>�;@)-*! ��h5,�p��&;�D����=B�'=?�"! <4��=>�$��<?�D!V��=?�����'!G�'=>5 � �sW ¸ ]

r*��5,3��'&(�.����#�1;<B�'#�=?� � zG��lb=B��=?#6hd�;5|A��y��&*!V�%�'&;��8*!V�'! 3���������#6=>�,�Z7m5 �%A�&;=?��&��&;�����$=?��=>�"!V<45,�$-;=?�Y<}! �(:;#Y5,�!.����=B�'=>��! <i845 =>���f!V�`=?�'���'!V��=>5,� �6W ¸ <?=>�6!V�Y��&;�a�����d�����$#5 7Y�'&;��3I! =?�~��! ��:;=?5,=>:~5 7��u!V�;:;��<?-;��5V�.#��\�'#ZA�=B�'& -;! #���8/���$=>52: �tW ¸ MmA�=?��& ��A_5��[(����8(��=>5,�(#65,�u��&;�s��=>�(@

=A�&;�����s�'&;�\��<?=>�s!V���'&;�)�����d�����$#�5 7���&;�Z8/���$=>52:0�t-;1;<>-

5 7���&;�Z8(��=>�(��=>8;! <���! �;:;��<>-;�$5 ��#$���'#'Q\]a�f&;��#���8*!V�'! 3���������#6! ���Z@,=?+ ���0-�� X�� A�&;���$�

��R $ � zIA�&;���$� )=>#�!V��=>���'��@,����A�=?�'& � � � z � ] +~�Z�'&(�����\7m5,���Z:;���;5V�'�Z��&;��#$�#$84����=}!V<`8*! ��! 3I�\�'����#�-�� X

��] �f&d1;#t�'&;�����C! ���p��[(! ����<?� z � W ¸ #�1(��& 8*! ��! 3����'����#

¸ �

Page 19: Mathematics & Statistics » Boston University

! <?5,�;@ �V]�6#fA_�aA�=><><H#�&;5|A =?��eN���\�'=>5 � � l(�'&;�)o 1;<?=}!.#$���'#���5,���$��#�8/5,�;:(=>�;@t�'5t8*! ��! 3����'����#

=?�Z�'&;�_3q!V=>�Z��! ��:(=>5,=?:;#95 7*��&;��#$���u! �(:;��<?-;��5 ��#�����#�! �$�f! <><NeN=?���$8;=Vg�;#$h2=2��1(�$+,��#%MmA�&;�����: ¸ Q�l !V�;:)&(���;���_�'&(���s! �$�_!V<><�&;5,3���5 3I5,�$8;&;=?�9�'5�5,�;�_! �;5 ��&;����]F�^�L=?#Lhd�;5|A��Z��&*!V�! ���t��A_5�8*! �'!V3I�\�'���$#_:(�'!"A���7m��5,3 ��&;�6#�! 3��aeN=?����8(= g�;#�hd=*��! ��:;=?5,=>:�&*!"+,�6��5,�G�$1(@�!V�'�:(�2�*!V3I=?��#�5,�.��&;��=?�So 1;<?=}!6#$���'#�]��^��=>#�! <>#$5�hd�;5|A��0� ¸ ¸ �N�'&*!V�S5 �;<?�s�'&;5 #��f8*! ��! 3����'����#��&*!V�_! ����:;��!|A���7m��5,3 !s@,=B+,���q�"!V��:;=?5,=>:t5,���'&(�%��5,3I8(<>�\[���5,�G�$1(@�!V�'����! ��:;=?5,=>:t&*!"+ ���5,�G�$1;@�!G�'�p:(�2�*! 3�=>��#�5,� �'&;��=>��o 1;<?=}!u#$����#�] �6<?<Y5 ��&;���t8*! ��! 3����'����#�:;��!"A�� 7m�$5,3:;=BcH�������d�Ie2=>���$8;=Vg�;#$hd=Y�"!V��:;=?5,=>:;#��(������#�#�! ��=?<?� &;!|+ ��:(=>#$��=>�;�\��:(�2�*! 3�=>��! <`-/��&*!"+2=>5 ��]�f&;=?#%�$��#$1;<?��7m5,<?<>5|A�#`7m��5,3 �f&d1;�$#$��5,� � #6�f&;��5,����3 � ¸ ¸ �P]Y���0eN���\�'=?5,� � l;A_�Z8(��52:;1;���!6:N�N�;! 3I=?�"! <2=>��+V! �$=}! ���L�'&*!V��#�&;5|A�#�A�&��Z��&;��#$�f�;5,� � ��5,3�8;<>��[)��5,�G�$1(@�!V�'�Y�"! �$:;=>5,=?:;#&*!"+ �s�(5,� � ��5,�G�$1;@,!V�'��:N�N�;! 3I=?��#�]Sri5 �_�'&(=>#f=?�_A�=><?<4#$1������a�'5�8;�$5|+N=?:;�D!.:(�2�*! 3�=>��! <=?�d+V! �$=}! ���S7m5,�S�'&;�%8*! ��! 3I�\�'����#`!G�_��&;�6�������'����#f5 7b��&;��#$���"!V��:;=?5,=>:;#�ld=�] � ]Bl27m5,�S�'&(� X

��]

+~�q�;5|A :;��#�����=>-/�I��&;�q3�=>�(5,�a3I52:;=B�*�"!V��=>5,�(#a5 7`�'&(�q! -/5|+,�I8;��525 7`�(����:(��: �'58;�$5|+,�.�'&(�.�\[N=>#j�'���;����5 7���&;����=?�;@,#��)A�&;���y� : zN]a�f&;��8;��525 7S5 7���&;�.��[(=?#$�����;���5 7 �6=?#f�\[(! �\�'<?�C!V#%!V-45|+,�Vli5,�;<?�q�;5|A �'&(=>#f:;=B+N=?:;=>�(@���=>�$��<?�s=?#`�'&;�D��=>����<>�a5 79�'! :(=>1;#� � � U ?�� U � =�� �������'������:u!V�`��&;�D5,��=?@,=>�bl2! �(:C=B�f��5 �d�'! =>�(#`��� ¸ 8;! �'! 3��������$#`7m5,�YA�&;=?��&��&;�`���$=?��=>�"!V<d+V! <?1;��#9<}! �;:Z5,�����$=?�'=?�"! <d8/5,=>����#�! �;:.��&;�`#�! 3I�Y�21(3.-4���97m5,�LA�&;=>��&��'&(���<>! �;:5,�8;����845 <>��#�]

+¡&;�����2: z(lV��&;���$�f! ���_�;5|A �V�q����=?��=>��! <�845 =>���'#9! �;:.8;�$��8/5,<>��#�l�!V�;:Z�'&(�`��1;�j+,��#� �Z! ���.3I! 8;8/��:u� � ��5 � ¸ 5,���'5q��&;��=?��=>3I! @,��#�]��f&;�����t! �$�.! <?#�5�G� 8;����845 <>�Z#$���\�'5,�$#! �(: AY�q3q!"� :;�\�*�;��� � 7m5,� �yR ��������� �'��� ¸ !V�;:�� � M��,Qa7m5,� � : �C�\[(! �\�'<?�~! #! -/5|+,�V] +~�)�'&(������&;525,#��)�'&;�)845,�j�'=?5,�;# � � M�� Q�=?� � �D7m5,� � :T���'5q-4�):;���*�(��:07m5,�� � � � ME�I� �,Q�� � $�W $ � �9] 0�5 �'����&*!V�`��&;��#$�a845 �$�'=?5,�;#`5V7 � �6�;5|A�A�=?�;:�7m1;�$��&;���! �$5,1;�;:t�'&(�%5,�$=>@,=?�.�'&*!V����&;���t:;=?:I=?���'&;���"! #$�%��R z(]�r*5,���\[(! 3�8;<?� l�A�&;���I��R � l��! ��& � �,M��,Q)A�=?�;:;#�! <>=?�$�'<?�q3�5,������&*! � 5,�;���C! �$5,1;�;: �'&(�C5 ��=>@ =>�b��A�&;��� � R � l��! ��& � �,M��,Q�A�=?�;:;#6!q<>=B���'<?�a3I5 ���)��&*! �05 �;�.! �(:�!I&*!V<?7���=>3���#%! ��5,1(�;:u�'&(�.5,��=?@,=>�H]+~�Z!V@�! =>�C<>�\� � � �,M�� Q�-/�s��&;�Z8(����=?3q!V@,�a5 7 � � � =

M��,Q�l/-(1(�%��&;=>#��'=?3I� � � � M��,Qf<>=?��#�=>�

¸��

Page 20: Mathematics & Statistics » Boston University

=����� � � � U � =

]<0%5 ���.�'&*!G�"lL! # X ��5V��!V����#a5,�;����! ��5,1(�;:y��&;�t5,��=?@,=>�Hl4�'&(��#$���\�'5,�$#�

=� ����� � � U � =

�$��3I! =>�u! #6-/��7m5,�$�Z=?�u�'&;�)1;8;8/����&;! <?7�8(<}! �;�V]%�f&(�����'&;�)8;���\+2=>5,1;#8;�$5N5V79!V@�! =>�8;�$5N:(1;����#���&;�D8*! ��! 3I�\�'����# X

�� ��&*!V��:;�\�*�;� � ]

�6#��"!V��<>=?����l���&;��8/5,=?�d�IO��yR � ��M $ � �V��Q�! <?#�5 <>=?��#t=>� � ��7m5,�t�"! ��& �4]¡eN5 �'&;�7m5,�jA`!V��: 5,��-(=?�D5 7YO��t! @�! =?��<>=?��#a=>� � �)1(�d��=><���&;=>#a5,�$-;=?�����"!V��&;��#)�(lL! �;:yJ �K MPO��"Q6=>#��&;�D1;�;= 8 1;�D8;�$��8/5,<>�a=?� � �"]

� ���C�"!+� �� ! �����a f����� $

������&;��8;�$��+2=>5,1(#Y#�������=>5,�blNAY��1(#���:p��&;��8;�$��8/5,<>�%#����\�'5,�$# � � �'5.��5,�;#j�'��1(���`��&;����=?�;@,#�D! �$5,1;�;:�'&(�Z�C�|��1;<?<>���C:(5,3q!V=>�p=>�p��&;�D8*! �'!V3I�\�'���f8(<}! �;��7m5 �

JLKNMPO�QSRTO U W XO UA�&;������ x z(] .S! ��& 5 7��'&;��#����=?�;@,#�8*! #$#���: �'&(��5,1;@ & !��d1;3.-/���t5 7%�������'���$#I5V7eN=?���$8;=Vg�;#$h2=_�"! �$:;=>5 =>:;#�] +~�p#�&*!V<><Y8(��5|+,�=>� e2������=>5,� � ��&*!V���'&(�Co 1;<>=>!u#��\�I��5,���$� �#$845,�(:;=>�;@I�'5p�"!V��&y8;! �'! 3���������:(�'!"A���7m��5,3 5,�;�.5V7���&;��#$���"! �$:;=>5 =>:;#�A�&;��� �2: ¸=?#f! <?AY!"�2#�!teN=>����8;=Vg�(#�hd=4��1;�$+ � li! �(:C&(���;���)!V<></5 7��'&;��#��so 1;<?=}!Z#$���'#�!V���a&;5,3���5 3I5,� �8;&(=>� ]S��5|AY�\+,����lH5,�(<?�������j��! =?�C#j�23I3�������=>��! <><B��<>52�"!V����:�"! �$:;=>5 =>:;#f��5,����! =?�C8;! �'! 3 ��\�'���$#���&*!V��&*!"+ �Z��5 �G�$1;@�!V���D:(�2�*! 3�=>��#�]S�F5�8;��52:;1;���Z!�:(�2�*!V3I=?�"! <b=?��+ !V��=}!V�d�f��&*!V�#$&;5|A�#%A�&��C8*! �'!V3I�\�'���$#f7m��5,3 �����$�'! =>�ueN=?����8(= g�;#�hd=���! ��:;=?5,=>:(#f&*!"+,�Z�(5,� � ��5,�G�$1;@,!V�'�:(�2�*!V3I=?��#�liA_�.�;����:u�'5q��5,�;#j�'�$1;���a:(=?c4����������#�������5,��#6��&*!V�6! ���)3I5 ���s:(�2�*! 3�=>�"!V<><?�:;�\�*�;��:b]��f&;��-45 1;�;:*! �$=>��#F5 7N�'&;��#��_#����\�'5,�$#LA�=?<><�=?�;��<?1;:;�S5,-2�$�����'#Fhd�;5|A���! #F¢`! ���'5,��;����hd<}! ����#�]

�L5%:;�\�*�;�_!�¢`! ���'5,���;����h2<>! ���VlVA_�_-/��@ =>�aA�=?��&D��&;��#�8/����=>! <,��! #����"! <?<>��:D��&;�_¢`! � ���5,�D3I=?:;:;<>� � ��&;=>�$:;#a�;����hd<>! ���V]C�f&(=>#s#����)=>#D�'&(�I#$1;-;#��\��5 7_�'&;��8;<}!V�;�I��5,�;#j�'��1(���'��:! #a7m5,<?<>5|A�#�]Ie2�'! �$�DA�=B�'& �'&;�q¢`! ���'5,�D3�=>:;:(<>� � �'&;=?��:;#6#����)<?�2=?�;@=>���'&;��1;�;=B�D=>���'��� �+V! <�5,�y�'&;��� � !�[(=?#�]��f&(��� ! :��$5,=>�y5,8/��� :(=>#�hd#s=>�y8;<}!V����5 7`��! ��& 5 7_�'&;�I����3�5|+,��:5,8/���C=>�������$+V! <?#�! <>5 �;@��'&;=?#%!�[(=?#�]��f&;�s����#$1;<?��=>�;@t#$���%=>#`�'&(�.¢`! ����5,��3I=?:;:;<>� � ��&;=>�$:;#

¸ ,

Page 21: Mathematics & Statistics » Boston University

�;����hd<}! ��� ]��f&;���0!�¢`! ���'5 �%�;����hd<}! ���Z=>#%! ���8;<>! �*! ��#��\�6��&*!V�%=>#f�'&;�s=>3I! @,�D5 7F�'&;�3�=>:;:(<>� � �'&;=?��:;#_�;����hd<>! ���s1;�;:;����!t��5,���'=?�21(5,1;#�li5,�(� � ��5 � 5 �;� l*!V�;:5,���'5�3q! 8H]

�f&;����5,�;#$����1;�\�'=?5,��5 7S�'&;��:N�N�;! 3I=?�"! <L#�������5,��#�AY! #��*�$#$�D3I! :;�Z=?� � � ��lb-(1(��7m5,���5,3I8(<>�������;��#�#�lSA_�p#�hV������& ��&;=>#)��5,�;#j�'�$1;����=>5,� &;�����V] +~�p! #$#�1;3����;5|A �'&*!V� X &� � � A�&(����� � =>#.��&;�����|��1(<><>��� :;5,3I! =>�b] r*5,��#�1;��& X;� +V! <>1;��#�l�! <?<Y5 7��'&;�8;�$��=?3q! @ ��#f5 7 4HK.! ���D5,8/���C:;=>#$hd#�]��^7 X"& � � � l*�'&(���AY�s3q!"�p��&(5N5,#$�Z!���=>����<>�=?� ,6KC��&*!V�t=?#.�����d�����$��: !G���'&;�p5,�$=>@,=?� ! �;: 3I! 8;8/��: ��5~!�#$=>3�8;<>�I��<>5 #���: ��1;�$+ ���&*!V�_<>=>��#�AY��<></5,1(��#�=>:(����&;=>#���=?����<>� ]F�f&;���$��=>#�! �(5 �'&;���_��=>�$��<>��=?� 44K��'&*!G�_=?#_3I! 8;8/��:��5~�'&(�u#'!V3I�C��1;�j+,�V]C%��������-/����&;�u��<>5,#$��: 8/5,�j�'=>5 � 5 76�'&;��#����\�'5,� � �q��&*!V�I=>#��5,����! =?�;��:-/����A_�������'&;��#��D��AY5���=?����<?��#�li! �;:<>�\��� U R�����|]

�6#$#�1;3���7m5,�s�'&;�p3�5,3������Z��&*!V� X 8& � ]��f&;��� ��&;�p���$=?��=>�"!V<S+V! <?1;��#Z:;5��;5 �<?=>��=?� �'&;�����@,=>5 �;#����5,��� U l_! �;: #$5y��&;�����=B�'=?�"! <�+ !V<>1;����!"�N# B�� AVKC7m5,� �x ¸MnA�&;=>��& !V���t�'&;�I=>3I! @,��#D5 7Y�'&;�I#$�'��! =>@ &d�)<>=?�;�t-45 1;�;:*! �$=>��#Z5 7 � �.! �(: � U QD:(50�;5 �3����\����Z5,��� U ]�f&;������7m5 ����JLKp3q!V8;#)��! ��& 5 7����! �;:�� U 5|+,���)�'&;�������'=?���I#������ �� U ]Z��5,�$��5|+,����l��"! ��& 8/5,=>���a=?��� �� U &*! #D!�1;�;= 8 1;��8;����=>3I! @,�)=>���s! #A_��<?<%!V#q! #�=?3I=?<}! �)1;�;= 8 1;��8;����=>3I! @,�p=?��� U ] �f&;��� #$�'! �;:*!V��: !V��@,1;3�������#�7m�$5,3��5,3I8(<>�\[ :(�2�*! 3�=>��#.#�&(5�A �'&;!V�.�'&(�p#����t5V7%8/5,=?�d��#ZA�&;5,#$�p5,��-(=?�'#Z����3I! =?� 7m5,��! <?<=B�'����!V�'=?5,�;#`=?��� � ��� U =>#�! �C=>��+V! ��=>! ���%¢`! ���'5,��#$���%5,�CA�&(=>��&0JLKZ=?#���5,�G�$1;@,!V�'�a�'5��&;�Z5,�(� � #$=>:;��:�#�&;=B7n�63I! 805 �u��AY5p#j�23.-45 <>#�]�¢`! <><��'&(=>#�=>��+V! ��=>! ���6#$���� _K�] 9_�C�'&;�OIHJ �%O�#j�23I3������$�p=?���&;�D:(�2�*! 3�=>��! <b8;<>! �;� lNAY�D&*!"+,�D�'&;!V�� YK6R��� _Kd]� �;�f��&;����h2#��"!V#�=><B�D�'&*!V�9�'&;�����f=>#9!6�([N��:�845 =>��� �*K�=?�� YKf�'&*!G��<>=?��#9=?���� ��,6K2]�f&;��� � �*KI<>=>��#�=>�� U ��,6KN] +¡&;���y� =>#a�\+,���Hl9JLK2Mj� �*KVQ6R �*KI-(1(�aA�&;���~� =>#52:;:bl4� �*K)=>#Y�N[(��:-d�pJFK�]��f&;��#��s! ���a��<>��! ��<B����&;�a5,�;<B�q8/5,=?�d��#`=>�� _K �� ,%KZ#�=?�;���JLK6=>#���5,�G�$1;@,!V�'�f�'5sOIHJ O U 5 � ��,6K2l�#�5)! <?<(5 ��&;���S8/5,=>���'#�=?��� ,%K�&*!"+,��5,��-(=?�'#���&*!V��\+,������1*! <><B�y<>�"!"+ �������� U ]�eN=?3I=?<}! �$<?�,lb��&;���$�p! �$��!u8*!V=>�s5 7�8;����=>3I! @,��#)5 7FB��*Kdl5,�(��5 7_A�&(=>��&bl���Kdl�<?=>��#6=>���� �� 44KdlL! �;:��'&;�t5 ��&;����l�����KdlL<?=>��#�=>�� U � 44Kd]��^7� =>#f�\+,���bl/��&;��#$�)8/5,=?�d��#�! ���D-/5 �'&8;�$��=>3I! @,��#�5 7Y� �*Kdl;A�&;�����"!V#�li=?7F� =>#�5N:(:bl�����K=?#)!C8;����=>3I! @,�t5 7 �*Kdl9! �(:���K�=?#Z!C8;����=>3I! @,��5 7�� �*Kd]p�%#Z! -/5|+,�Vl9�'&;��#��q! ���t�'&;�

� �

Page 22: Mathematics & Statistics » Boston University

5,�(<?�.8/5,=?�d��#S=>� YK � 44K2] 0%5|A ��5,�;#$=>:;������&;�f7m5,1;�S845 =>���'#��'&;!V�_! ���f�'&(��8(����=?3q!V@,��#5 7�B ��Ku�'&;!V��<>=>�p=?��� ��� � U ] �f&;��#$��7m5,1(�I8/5,=>����#�<?=>��5 � �'&(��-/5,1;�;:;! ��=?��#t5 7a!8*!V=>�`5 7L8;�$��=?3q! @ ��#`5 7�44Kdl;5,�;�a5 7�A�&;5 #��D�����d�����$#%<?=>��#Y=>� ���! �;:p��&;�a5 �'&(���f=>� � U ]�f&;�����'&;����=>@,&��D8;�$��=>3I! @,��#65 7S��&;��#$��8/5,=?�d��#�<>=?�Z5,����&;��-45 1;�;:*! �$=>��#�5 7S7m5,1;�a8;�$� �8;�$��=?3q! @ ��#a5 7 4HK�A�&;5,#����������'���$#Z<?=>��=>����)5,� � U ]�¢Y5,����=>�d1;=>�(@C=?�y��&;=>#�7E!V#�&;=?5,�blA_���*�;: !0��5,<><?������=>5,�~5 7%� � 8;����=>3I! @,��#.5 7 44KA�&(5,#���������'���$#�<>=?�q=>�������� U !V���&;� � ��� #$�'! @,� ]��������)!������d������5 79!�@,=B+,���C8(����=?3q!V@,�a5 7 4HK)=>#`�'&(�s1(�;= 8 1;�s845 =>���f=>���&;=>#a#$���a�'&;!V�D��+ �����'1*!V<><?�03q! 8(#a5,���'5C�(]�e25C��5,�;#$=>:;���D��&;��#��\�D�'&*!V�D=?#��'&;��1(�;=>5,�5 7 _Kp�'5,@,�\�'&;���ZA�=?��&�44Ku! �(: ! <><S5 7��'&(��#��p#$84����=>! <Y8;�$��=?3q! @ ��#Z5V7 4HKd]y¢`! <?<���&;=>##$������]%�f&(����� =>#�!I#����6�'&*!V�6=>#%!q��5 �d��=>�d1;5,1(#�lb5,�(� � ��5 � 5 �;� l/5,���'5�=?3q!V@,�D5 7��'&;�3�=>:;:(<>� � �'&;=?��:;#`¢`! ���'5,���;����hd<}! ���)!V�;:�#$5�� =>#�!�¢`! ���'5,���;����hd<}! ��� ]30%5 ���a�'&*!V��JLK3I! 8;#�� ��A_5 � �'5 � 5,�;�a5|+,���%=B�'#���<?7��'5 @,����&;���fA�=?��&5,6Kd]

%����� ��-4�a�'&(�a845,�j�'=?5,��5 7� ��&*!V����5 �;�;���\�'#��'&;���N[(��:�8/5,=?�d� �*K)��5���KZ=?� ��|]� �%=?#�! <>#$5q!I¢`! ���'5,���;����h2<>! ���Z! �;:�JFK.3I! 8;#� �65,�(� � ��5 � 5 �;�D5�+ ���%! <><�5V7���] %����� � -/����&;�I=?3q!V@,��5 7�� �s1;�;:;���)�'&(���$5 ��!G�'=>5 �~O HJ "���OA�&;���$� " R �\[N8LM�$&% � �bQ\]�f&;���uJLK.! <?#�5t3I! 8;#f�"!V��& � � 5,�;� � �'5 � 5,�;�a5|+ ���� ]

+~���;5|A¡:;���;�;�6�'&(��:(�2�*! 3�=>��! <i#����\�'5,�$#�� � ]��f&;��#$������5,��� � A�=?<><i-4���'&;�6����@ =>5,���5,����! =?�;��: -/����A_����� �'&(�C¢`! ���'5,���;����hd<}! ����#�� � ! �;:�� �! =

! �;: ��&;�p845 �$�'=?5,�;#.5V7��,6KI! �;: � 44KI��5,�;�;������=>�;@���&;��#$�.��AY5p-/5,1;�;:(=>�;@��(����hd<}! ����#�]s�f&d1;#�A_��&*!"+,�.��&*!V�� � R "���� �"]��%<>#�5(l�; �|M X QF<>=?��#�-/����A_������� ��! �;:��

=l,#�5D=?�F7m5,<><?5|A�#F�'&;!V�S�"! ��&t����=?��=>��! <

8/5,=>��� ; � M X QF<?=>��#F=>�Z��&;�f:(�2�*! 3�=>��! <2#����\�'5,��� � ]9�6#�! -/5|+,�Vl � ,%K6! �(: � 44K%3����\���"!V��&-/5,1;�;:;! �$��845 =>����5 7���&;�Z��A_5C¢`! ���'5,�6�;����hd<}!V����#a=?��� � =>��!�1(�;= 8 1;�.8/5,=?�d��l4#$5��'&;�8/5,�$��=>5,�p5V7F��&;�D-45,1(�;:*! �j�p5 7F�"! ��&�� � =>����,6K�!V�;:�� 44K.=?#�! �u!V��� ]

+~����! ���"! #$=><?�Z�\[2�'���;:I��&;����5,�(#$�'�$1;����=>5,��5 7/�'&;�%¢`! ����5,�S�;����hd<}!V����#S�'5D�'&(����! #��A�&;����� X & � `]f���u�'&(=>#��"! #$�.JLK�3q! 8(#%5,�(�)5 79�'&;�)-45,1(�;:*! �$=>��#�5 7F�'&;�)#����\�'5,�$# � �! �(: � U =>����5C=B�'#$��<?7�lH-;1(�a�'&(�I!V-45|+,�t��5,�;#$����1;�\�'=?5,� 5 7_��&;�I¢`! ���'5,�a#$���s#$��=><?<FA_5,��hd#�]�f&;�5,�(<?�~:;=?c4���$���;���C=?#.�'&*!G��� ��ME�$��#$8b]?l�� U QZ�;5|A 3I�����'#.��&;�p����! <�!G[N=>#.!V���'&;�8/5,=>��� �*K & � Mm����#$8b]Bl�� �*K & � � Q\l(-;1(�f�'&(=>#`=?#Y�'&;�65,�;<?�I8/5,=>���f=?��� � � ME�$��#�8H]?l

� ¸

Page 23: Mathematics & Statistics » Boston University

� U � Q�]��f&;=>#�:;�\�*�;��#��'&(�s:N�N�;! 3I=?�"! <H#����\�'5,�$#�7m5 � X & �{� � ]

� ��#�a��������9$��p��� ���� � ��9�"�#! ���6��$

������! <><(��&*!V�SA_��! �$��8(��=>3I! �$=><?�s��5,�;�������;��:qA�=?��&I8;! �'! 3��������$#S��&*!V�_! �$��:(�'!"A��I7m�$5,3��&;�I3I! =?�~��! ��:;=?5,=>:(#s5V7��u! �(:;��<?-;��5 �)#��\�'#sA�&;5,#��q������������#Z<>=>�t!V<>5,�;@�'&(�q��=?�;@ � ]�%<><H5V7F��&;�a8*! ��! 3I�\�'����#�=>�p��! ��&�5V7F��&;��#$�s�$��@,=?5,�;#f��5,���$��#�8/5,�;:�'5t3I! 8;#Y��&*!V��&*!"+ �! � !V�����'! �\�'=?�;@��\�2��<>�I5 7`#$5,3��I@,=B+,��� 84����=?5N:b]peN5���&;��ri!V��5,1~#$���)7m5,�a�'&;��#���3I! 8;#��5,�;#�=?#$��#s5V7_��&;��1;�;=?5,� 5 7_��&;��7m1;<><F-*! #$=>�;#D5 7Y!V�����'! �\�'=?5,��5 7S�'&;=?#a���2��<?��! #aAY��<><�! #��&;�a7m1;<><b-;! #�=?�C5V7�vT] � 1;�f@,5,! <b=>�p��&;=>#f#$������=>5,�C=>#`��5t8;��5|+,�D�'&(�D7m5 <><>5|A�=?�;@.����#�1;<B� �.0/ ��21� �1� -2 6 # � X � !0�%#�!"� 6 6 � ����!"� )4��15��!06&!7� 6BA � ����������� ? 1%6 6'# � 6 � 6 6 # �)%��� 62��1�� !0�%#�!"� 6 6 ��1 !"��� � � ! 6 6 � x � � ! <7�5< � � -/!0��1 �!�3��#%$&! )4��15��!06&!7� < 4�6 ��� 6 6 ��� �� !7��# � 6 6BA�JLK ! # � -/!0��1 �! 3��#%$&!.) �1 ���5<� 1�� ����� 9_�)!%�'&(��5,�$��3{5 7 +¡&��2-;1;�$�C� ¸�� ��lV=?�F=>#Lh2�(5�A��.��&*!V�9! ���Z8(<}! �*!V�L#$������&*!V�F=>#��5,3I8;! ����lN��5,�;�;�����'��:bl(�(5�A�&(�����6:;���;#$� l;<?5N��! <><B�.��5,�;�;�����'��:bl*! �(:q&*! #��'&;�%8;��5 84���$�����&*!V�D! ������AY5p��5,3I8(<>��3������'! �$��:;5,3I! =>�(#�! �$�.-45 1;�;:;��:y-��u#�=>3�8;<?�)��<>5,#$��: ��1;�j+,��#��&*!V�D! �$�.8*! =?�$A�=?#��Z:(=>#m�$5 =>����=?#�&;5,3���5,3�5,�$8;&;=>�D�'5���&;��eN=?����8(= g�;#�hd=L�"! �$84�\�"]D��� 5,1;���! #��VlH8;�$5�+2=?�;@q7m5,1;��5 7���&;��#$�.8;��5 84���$�'=?��#%=>#�#$�'��! =>@ &d�$7m5,�$AY! �$:�! #%��&;���C7m5,<?<>5|AT7m�$5,3A_��<?<(hd�;5|A��I-;! #�=?�`8;��5 84���$�'=?��#�5V7/��&;��o 1;<?=}!%#$���%� ¸ zV�P]9�L5a-4�f#$84����=B�*� l�#$=>�;���`AY�f&*!"+ ���&;�Dri!V�'5,1p:(5,3q!V=>��,6K�l��SMPJLKVQ_=>#`�(5 �f�'&;�a�����'=>�$�D��=?��3I! �;��#$8;&;�����s! �;:p�'&(�����\7m5,���=?#6��5 3I8*!V���D! �(:��;5|A�&;���$��:;���;#$� ]ZeN=>�(���Z��&;�Z7m���������$=?�'=?�"! <�5,�$-;=?��#�! <?<L�����;:���5q�'&;�!V�$�'��! ����=>�;@.�\�2��<>�VliJFKs=>#`&��28/����-/5,<?=>��5,����MPJLK Q_! �;:&;���(���a�'&;�so 1(<>=}!)#�����=?#`<>52�"!V<><?���5,�;�;�����'��:b]��6<><�5 79�'&;�s��5,3�8/5,�;������#65 7���&;�Z-;! #�=?�;#%5V7��'&;�Z!V�����'! �\�'=?�;@I�\�2��<>��#�! �(:v !V����!V<><i5,8/���p:;=?#�hd#`! �(:p#�5Z��&;�6��5,3I8(<>��3������Y5 7b�'&(��#��6:;=>#$h2#�l;�*! 3���<B��SMEJFKVQ\l2=>#!���5 �;�;���\�'��:u#��\�"]

�f&d1;#YA_��&*!"+,�65,�;<?����5Z#$&;5|A ��&*!V���'&;�%-45 1;�;:*! �$=>��#_5 7H�'&;�6r/!G�'5,1I��5,3�845 �;�����'#! �$�D#�=>3�8;<?����<?5,#���:���1;�$+ ��#%��&*!V�%! �$�s8;! =>�jA�=>#��a:(=>#m�$5 =>���"]S�6#�#$&;5|A��0=>�~� ¸ � �Pl � ,%K.=>#!s#�=>3�8;<?����<>5,#$��:���1;�$+ �a! �;:q#�5�! <?<i5 7b�'&(�6-/5,1;�;:*!V��=>��#_5V7b�'&;�68;����=>3I! @,��#S5 7 ,%KD! ���

�,�

Page 24: Mathematics & Statistics » Boston University

! <?#�5s#�=?3I8;<?�f��<?5,#���:q��1(�$+,��#�]S�f&;�%845,<B�2�;5,3�=}! < � <>=?h ��3q!V8;8;=>�(@)!V��@,1;3������_=>�u� zG�/��&*!V�8;�$5|+,��#���&;�`�\[N=?#$�'���;����5 7*��&;��#$���u! �;:(��<>-(��5 ��#$����#��'&;����#$&;5|A�#��'&*!V�F�'&;�f-/5,1;�(:*! ��=?��#5 7b! <><N�'&;��-*! #$=>�;#S5 74�'&;�%!V�����'! �\�'=?�;@D���2��<?��#6MP! #SAY��<></! #�! <?<;5 7H��&;��=?�S8;����=>3I! @,��#'Q�! ���! <?#�5a#$=>3�8;<>�`��<>5,#$��:���1;�j+,��#�]��%���;����AY���;����:I5,�;<?�)#�&(5�A �'&*!V��!V<><;5 7/�'&(��#���:;=BcH�������d�-/5,1;�;:;! ��=?��#�! �$�s8;! =>�jA�=>#��a:(=>#m�$5 =>���"]

r9=?��#$��li#�=>�(���.JLK�3q!V8;#���&;�s����=B�'=?�"! <���=>����<>�s#$����=>�\�'<B�p=>�;#$=>:;�s=?��#���<?7�l*AY�)&*!"+,�Z��&*!V���,6K<>=?��#s5,1(��#�=>:(����&;=>#)��=>�$��<?� ] 9_� �'&;� (�Kp#$�23I3������$�y=>�y�'&;�I:(�2�*! 3�=>��! <S8;<}! �(� l� 44K)�'&(���C<>=>��#`#$����=?���'<B�q=?�;#�=?:;�6��&;=>#f��=>����<>�V]SeN5���,6K.! �(: � 44K�! �$�a:;=>#n�$5,=>���"]9�^�f�'&;���7m5,<?<>5|A�#Y��&*!V��! <?<b5 7L�'&;�D8;�$��=>3I! @,��#f5 7 � ,%K.3.1;#j��-4�D:;=?#m�$5,=?�d�f7m�$5,3 5 �;�s! �;5 ��&;����]

eN����5,�;:Hla��5,�;#$=>:;���p�'&;�y-45 1;�;:*! �$=>��#C5V7)��&;�~8(����=?3q!V@,��#p5 7s�'&(�~-*!V#�=>� 5 7s�'&;�!V�$�'��! ����=>�;@ �\�2��<>�V] e21;8;8/5,#����'&;!V���'&(��-45,1(�;:*! �$=>��#q5 7D��AY5 5 7D�'&(��#���8(����=?3q!V@,��#3����\�"]q�f&(���blF=?�'���'!V��=>�;@�7m5 �$AY! ��:bl��'&(�I-/5,1;�;:;! ��=?��#s5 7Y��! ��& 5 7_�'&;��-*! #$=>�;#D5 7_�'&;�!V�$�'��! ����=>�;@t���2��<>�D3.1;#j�63����\����&;�s-45,1(�;:*! �j�p5 7�!G�%<?�"! #j��5,�;�D5 �'&(����#�1;��&u-*! #�=?��5V7��&;�.!V�$�'��! ����=>�;@I���2��<?� ]����08;! �$��=>��1(<}! ��li��&;�.-/5,1;�;:;! �$��5 7���&;�.-*! #$=>�u��&*!V�6��5,����!V=>�;#��&;�����$=?��=>�"!V<S+V! <?1;��3.1(#$�.3����\�.�'&(��-45 1;�;:*! �j� 5 7�#$5,3��q5 ��&;����!G���'��! ����=>�;@u-*! #�=?�b]��5�A_��+ ����l�#�=>�(���)��&;�.����=?��=>��! <�+ !V<>1;��#6-/5 �'&�<>=>�s=>�(#�=>:(�)�'&(�Z��1(�$+,��� � =

lH=?�%=>#�hd�;5|A��� " ���'&;!V�)��&;���$�I=?#s! � =?�d+V! �$=}! ���D#$=>3�8;<>����<>5,#$��: ��1;�$+ ��� �s��&*!V�sA�=>�;:;#)! �$5,1;�;: �'&;�5,�$=>@,=?�u=?�0�'&;�t! �(�21(<>1;#D-/5,1;�;:;��: -d� ���)!V�;:�� � =

]���5 ����5|+ ����l���&;=>#���1;�$+ �I<?=>��#6=>���&;�.o 1(<>=}!�#$���6! �;:0JLK�=>#���5 �G�$1;@�!V���s��5qO<HJ O � U 5,����&;=>#���1(�$+,�V]��f&;���u��&;���$�Z=?#%!8;�$��=?3q! @ �f5 7H��&;=>#S=>��+V! �$=}! ���S��1(�$+,��� � =

�'&*!G�`! <?#�5D<>=?��#S=>���MPJFKVQ�! �;:�A�=>�;:(#Y! �$5,1;�;:��&;�D5,��=?@,=>��=?�p�'&;�s! �;�d1;<?1;#�-4�\��AY����� � � =

! �(: � � � ]eN=?�;���qA_�! �$�p! #�#$1;3�=>�;@0��&*!V�.��&;�����2��<>�p&*! #Z84����=>52: @,�$�"!V�����Z��&*! � ��A_5;l��'&;�

8/���$=>52:;=>������=B�'=>��! <H+V! <?1;�a7m5,�f�'&;�s3q!V8�!G����&;�s������������5 79��&;�)3I! =?�p�"! �$:;=>5,=?:5 79��&;=>#�u!V�;:;��<?-;��5V�q#$����<?=>��#�5 � � � �p7m5,�I#$5,3���� x �N] �%���(������&;=>#�8/5,=>���I<>=>��#t=>�;#$=>:;���&;�D��1;�j+,��� � =

��&*!V��=?#���5,����! =?�;��:C=>�p��&;�Z!V�;�d1;<}! �f�$��@,=?5,�-4�\��AY����� � � � ! �;: � � =]

0�5�A�8/5,=>���'#65,���'&;=?#���1;�j+,�t3I! 80�'5���&;��=>��+V! ��=>! ������1;�$+ ��� �D=>�u��&;��o 1;<>=>!q#��\�"l�#$5=B�67m5,<?<>5|A�#%��&*!V����&;=>#�#$�����*! ��=?5p3.1;#j�D&;5,<>:�7m5,�a! <?<F8*!V�'! 3���������#a=?�u�'&(��@,=?+ ����3I! =>���! ��:;=?5,=>:H] 9Y1(�Y�'&;�����&;��5 ��&;���`!V�����'! �\�'=>�(@.-*! #$=>��A�&;5,#$�a-45 1;�;:*! �j�q3����\�'#Y��&*!V�f5V7

� z

Page 25: Mathematics & Statistics » Boston University

��&;�6-*!V#�=>�q��5,����!V=>�;=?�;@s��&;�6����=B�'=>��! <*+V! <>1;��3.1;#j�`<?=>��5,1(�'#$=>:;���'&(��=>��+V! ��=>! ������1;�j+,� � �-/����A_����� ����! �;: � � =

lH#�=?�;���Z! <><�5 79�'&;�)5 �'&;���6-*!V#�=>�(#65 7���&;�.!G���'��! ����=>�;@I���2��<?�Z<?=>�5,1N�'#�=?:;�)��&;=>#%��1;�j+,�V]s�f&(�����\7m5,���Vl�5,�;�.5V7��'&;��!V-45|+,�.!V�����'! �\�'=>�(@q-*! #$=>�;#63.1;#$��8*! #�#��&;��5,1(@,&���=B�'&;��� � �a5,� � � =

lbA�&;=?��&y��! �;�;5V�D&*! 8;8/��� #�=?�;���.��&;��#$�t��1;�j+,��#D<?=>�Z=?�0�'&;�o 1;<?=}!.#$���"]

r9=?�*! <><B�,ld�'&;�s-/5,1;�;:*!V��=>��#�5 7F��&;�D8;����=>3I! @,��#�5V7 ,6KZ! �;:�'&;�)!V�$�'�'!V���'=?�;@�-*! #$=>�;#! �$�p! <?#�5u:(=>#m�$5 =>���"]0�f&(=>#Z7m5,<?<>5|A�#Z#$=>�;��� l�=B7�! ���~��A_5�AY�������'5u3I�����"l���&;��� �'! hd=>�;@7m5,�jA`!V��: =>3I! @,��#a5 7_��&;��#$�I-/5,1;�(:*! ��=?��#�A_5,1;<?:y=?3I8(<?�C�'&*!V�s!V<><�5 7��'&(��-/5,1;�(:*! ��=?��#5 7���&;�s!V�����'! �\�'=>�(@�-*! #�=?�;#`A_5,1;<>:3����\� � ,%K2]S���8*! �j�'=?��1;<>! ��l2�'&;�D!V�$�'��! ����=>�;@�-*!V#�=>���&*!V�D��5 �d�'! =>�(#D��&;������=B�'=?�"! <F845,=?���aAY5,1(<>:y#$�'�$������& ! <><L�'&;�tAY!|��7m�$5,3 ��,6K���5�� 44K-/����! 1;#��Z5 7��'&;� (�K�#$�23I3������$�C=>�C�'&;�Z:(�2�*! 3�=>�"!V<L8(<}! �;�D�'&;!V��=?�d�����$��&*! �;@,��# ��,6K! �(: � 44K0! �(: �N[(��#���&;�p���$=?��=>�"!V<Y8/5,=>���"] 9Y1(�t��&;��� �'&(=>#�-*! #$=>� A_5,1;<?: 3����\���'&;�=?�d+V! �$=}! ������1;�$+ �s��&*!V��<>=?��#f=>��'&(�.o 1;<?=}!.#$���6! #�:;��#$����=?-4��:0! -/5|+,�V]Y�f&;=?#%��5,3I8(<>������#��&;�D8;��525 7�]

����u��&;�Z��! #��sA�&;���$�Z�'&;�s-*! #$�.8/����=?5N:C=>#���A_5;l/��&;�����'&;�s��AY5p!G���'��! ����=>�;@�-*! #$=>�;#

! �$��5,�;<B��#���8*! �'!G�'��:y-����'&;�t=?�d+V! �$=}! ���a��1;�$+ �q-/����A_����� ���)! �;: � � =! �(:~#$5C=B�D=>#

��&;��� 8/5,#$#�=>-(<>�I7m5 �s��&;�q��A_5�-45,1(�;:*! �$=>��#)5 7`��&;�p!V�$�'�'!V���'=?�;@C-*! #�=?�;#Z��5u3������.!V��!8/5,=>���%=>�u��&;�to 1;<?=}!t#��\�a5,�0�'&(=>#6��1;�$+ � ]a�f&;=?#�:;52��#�&;! 8;8/���0A�&;���0�'&;�.8;! �'! 3��������<?=>��#Y=>�C!�84����=>52:��.-;1;<>-5 7�!�8;��=?�;��=?8*! <���! �;:;��<>-;�$5 ��#�����]

� � ���a %�S�����" !+� !.�� �� ���a��!)�F����!. f������� �b���"�"��� !Z�S�#��$

���p�'&(=>#f#�������=>5,�pA_�s:(���*�;�D=B�'=>�(���'!V��=>��#Y5 7���&;�s!V�����'! �\�'=>�(@.84����=?5N:;=?��5,�$-;=?��#Y�'&*!G��! ���! #$#�52��=>!V�'��:tA�=B�'&�8*!V�'! 3���������#S=?�.�'&;��eN=?���$8;=Vg�;#$h2=N�"! �$:;=>5 =>:;#�!V<>5,�;@a��! ��&�5 74��&;�f��=?�;@,#! �$5,1;�;:��'&;�.���|��1(<><>���0:;5,3I! =?�b]%eN=>�;���)��&;�.=?��=>�;���'! �$=>��#�A�=?<><�-/�)�'&(�Z#'!V3I�s7m5,��! <?<8*!V�'! 3���������#%<?�2=>�(@�=>�u��&;=>#%�"! �$:;=>5 =>:bl/=?�%A�=><><�#$1��������'5�8(��52:;1;���)�'&;��=B�'=>�(���'!V�$�p7m5,���&;�t3q! 8y!V�a��&;�t�����d�����s5 7Y��&;��#$�I��! ��:(=>5,=?:;#�l�=P]k�V]?lb��&;�t8*! �'!V3I�\�'���$# X

��:;�\�*�;��: =>�

� �

Page 26: Mathematics & Statistics » Boston University

eN������=>5,�Cz�7m5,�`A�&;=>��&�'&(�s8/���$=>52:;=>�65,��-;=B�f=>#f#$1;8/���'!G���'��! ����=>�;@(]�����"!V<><*�'&*!G����&;�6:N�N�;! 3I=?�"! <*#$���\�'5,� � � ��5,����!V=>�;#S�'&;�%���$=?�'=?�"! <(845,=?��� ; � R ; � M X Q\]�f&;��� AY�&*!"+,�p��&*!V����! ��& 5 7��'&;��#��#������'5 ��#t=>#.3I! 8;8/��: ��A_5 � �'5 � 5,�;��5|+,���t� ! : ��$5,=?�;=>�(@I#$������5,��#�Mm8;<>1(#%�'&(�.��� ¸ =?�d�����$3I��:;=}!V���.¢`!V�d��5,�6�(����hd<}! ����#'Q\])eN8/����=B�*�"!V<><?� l

��&;�a#������'5 ��#� ��� � � ��������� � � U � � l*! ���6�"! ��&C3q!V8;84��:p5|+,��� � U � =��� � � � A�&;=?<>�6��&;�a5 ��&;���`�#$������5,��# �

=� � � ��������� � � U � =

!V���D3q!V8;84��:5�+ �����'&;�D��5,3I8(<>��3������'! �$�q#�����l � � U � =��� U � � ]0%��[2�D������! <><L�'&*!G�a�'&;����1;�$+ ��# � �,M��,Q�! �$�Z�'&;��8/5,�j�'=>5 �;#�5 7 � �.:(���*�;��:y7m5 �a� �� � ME�0� �,Q�� � $W $ � � A�&;��� � x �(]��%#D:;��#$����=?-4��:~��! ��<?=>����lH��&;���$��=?#D!p1;�;= 8 1;�8/5,=>���qO��u=?� �'&;���;����hd<>! ��� � �q7m5,��A�&;=>��& J �K MPO��"Q & � �q7m5,� �¡R � ������� � � ! �(:J � =K MEO��|Q�R��NlH=�] � ]Bl4��&;�.5,�$-;=?�%5 7�O��)<>=>��#6!G�6�'&(�.�����d�����$#s5V7������$��!V=>�08;�$��=?3q! @ ��#65V744K�=>� � ���'&;!V��<?=>��5,1(�'#$=>:;�_5 7*�'&(�Y�*��#j��8;�$��=>3I! @,��5 7 44K�=>� � ��! �;:.��&;����3I! 8.��<>5,#$���! �(:y��<>5,#$���a!V<>5,�;@I�'&;���;����hd<}! ���t��5p�'&;=?#�8;����=>3I! @,�Z! #���=?�;���$�"! #$��#�]Z�6#a:;=?#���1(#�#���:=?��eN������=>5,�pzNl2A_�6&*!"+ �6�'&*!G�_��&;�68/5,=>���_O��6=?#_@ =?+,���q-�� � � M $ � �V��Q�] 9_�t�'&(��OIHJ �%O#j�N3�3����'�j�,l2�'&;�a8/5,=>��� � � ME� � $�W $ � �V�bQ��'&;���p<>=?��#Y=?���'&;�6�;����hd<}!V����� U 7m5,�`��! ��& �4]

9_�s5,1;�L��5 �;#$����1;�\�'=>5 �Z5 7 � �Vl =B�L7m5 <><>5|A�#b��&*!V�"lG7m5,�L�"! ��&��*l��'&;�����Y! �����I8(����=?3q!V@,��#5 7F���$=?��=>�"!V<H8/5,=>���'#�=?�p�"! ��&�5 7 � =

�� � �*� � #�����5,�(:u8;�$��=>3I! @,��#f5 7F����=B�'=?�"! <4845,=?���'#f=>���! ��& 5 7 � � � � �`! �(:blS=>� @,���;����! <�l�� � � ��� 8;����=>3I! @,��#Z5 7��'&;�p����=?��=>��! <_8/5,=?�d��#.=>�� � � � ]C�f&;���bl�7m5,�Z��! ��&��1: �(lF�'&;������!V���q��[(! ����<?�y� � 845,=?���'#s5,� �'&(�q8/5,�$��=>5,�5 7 � � ��<?�2=>�;@=?� � � �'&*!V�)! �$�t3q! 8(84��:~-��yJ �K ��5�����=B�'=>��! <98/5,=?�d��#�]�0%5|A ��5,�;#�=?:;���5,�(<?� �'&;�q�y����:N�N�;! 3I=?�"! <�#�������5,��#��

=� ����� � � U � � ��&*!V��l�-d� ��5,�(#$�'�$1;����=>5,�Hl�<>=>��=>�

��&;�Z1;8(84���%&*!V<?7�8(<}! �;�V]'+ �s�"! <?<��'&;��ME�� �,Qj� � 8;�$��=?3q! @ ��#�5 7���&;�Z����=?��=>��! <�845 =>���'#1;�(:;����J �K �'&*!V��<?=>��5 � � � �a=>����&;�D#������'5 ��# �

=������� � � U � � ��&;� � � �1 �%)�1 ! 6 !0)4���� 6&!"� 6"#\]

+~���(5�A ! #�#$=>@,�I! �t=?��=>�;���'! �j�Z��5s��! ��&q5V74��&;�)ME�a��,Q�� � � � 8;��������=B�'=?�"! <N845,=?���'#�=>���&;��#$���%���6:N�N�;! 3I=?�"! <N#������'5 ��#�]��f&(=>#�=?��=>�;���'! �j�s=>#�!�#$� 8 1;���(���65V7 �9W ¸ :(=>@,=B�'#F��&*!V�=?�;:;=>��!V�'��#_A�&;=?��&�#�������5,��� � �'&;�%#�1;������#$#�=B+,�s=?�'���'!V����#_5 7��'&;��#���8/5,=?�d��#Y<?=>��=>�b]Se25Z�'&;�=B�'=>�(���'!V�$�)5 7b! � � 8;�������$=?�'=?�"! <N845 =>����=>#S!a#$� 8 1;���(���65V74��&;�f7m5,��3 M � � � � � � = �

� � � ����� � �\QA�&;�����t�'&;�t:;=?@,=?� � � =>3�8;<>=?��#%��&*!V�a��&;�t��5,�$����#$845 �;:;=>�(@�8/5,=>���D5,� � � <?=>��#a=?� #����\�'5,�����]�eN5I��&;�Z@,=B+,���u8;�$�����$=?��=>�"!V<�845,=?����A�=B�'&C�'&;=?#%=B�'=>�(���'!V�$�p<?=>��#�=?�C��&;�Z#$������5,� ���

� ��

� �

Page 27: Mathematics & Statistics » Boston University

=B�'#�=>3I! @,��<>=?��#S=>���'&;�%#����\�'5,����� � ��� �N=?�'#�#�����5,�(:p=>3I! @,��=>����� � � � �(! �;:�#$5Z7m5,�$��&q1;����=><=B�'#�� ��� =>3I! @,��=?#`�'&;�D���$=?��=>�"!V<H8/5,=>����=>� ���

�]

�f&;�����6=?#S5,�;�%! :;:;=B�'=>5 �*! </� � 8;�������$=?�'=?�"! <*8/5,=?�d����&*!V��AY�%�;����:I��5Z��5 �;#�=?:;����]��f&;=>#=?#s��&;�q8;�$������=?��=>��! <�845 =>���)��&*!V�)<>=?��#s5,�~��&;�q�$�"! <_!G[N=>#DA�&;��� X & � `]�f&;=>#)5,��-(=?��$��3I! =>�;#�7m5,��! <?<*=?�����'!G�'=>5 �;#�=>��� �"l2#�5)=?�'#S=B�'=>�(���'!V�$��=?#b�$1(#$��MP�,�'�����$��Q�]�r*5,��! <><*5 74�'&;�5 ��&;����=B�'=?�;����! ��=?��#�l -d�.��5,�;#j�'�$1;����=>5,�bl���&;�`�*��#j��:;=>@,=B� � � �`#'!G�'=>#j�*��# ¸ � � � � � ���p�NlA�&;������! #�7m5 �%!V<><b#$1;-;#�� 8 1;�����a:;=?@,=?��# � � l*A_�)&;!|+ �Z� � � � � �V�� ¸ ]_r*5,�f�\[(! 3�8;<?� lA�&;��� � R z(l`��&;� � � 8;�$�����$=?��=>�"!V<�8/5,=?�d��#0Mn�'&*!G��! �$���(5 ��5 76�'&;�C7m5,��3 ME�,�'�����$��Q�Q! <?<Y<?=>�q=?� �

=!V�;: �'&;����&;�����C=B�'=?�;����! ��=?��#.5 7���&;� ¸ � 8;�$������=?��=>��! <_8/5,=?�d��#�=>� � � =

! ���¸�� � ¸"� �_! �;: ¸ z)#�=?�;���6JFK ) �

=��5�+ ���$#��

�� ��l;! �;: � � ]��f&;�����'&;�%�;=>�;��=?��=>�;���'! �$=>��#�5V7

��&;�)� � 8;�$������=?��=>��! <H8/5,=>����#f=>� � � � !V���¸��,� ¸��V� ¸�� z¸"� � ¸"��¸ ¸"� �¸ z � ¸ z � ¸ z,z �

+¡&;���0��R � l*�'&(� � � 8;��������=B�'=?�"! <�8/5,=>����#��(5�A{<?=>�a=?���=� � � Mm�\[N��<?1;:;=?�;@�! @,! =>�

ME�,�'�����$��Q�Q�]_�f&;�s=?��=>�;���'! �$=>��#`5 79��&;� ¸ � 8(��������=B�'=>��! <b8/5,=>����#%!V���a�'&;��� ¸ � l ¸�" l ¸�� l ¸"� l� zNli�,�Nli� ¸ l*! �;:u� �(]��f&(�s=B�'=?�;����! ��=?��#`5 7L�'&(�Z� � 8;�$�����$=?��=>�"!V<H8/5,=>���'#�!V���a�'&;���

¸ � � ¸ � " ¸ � � ¸ � � ¸�" z ¸�" � ¸�"T¸ ¸�" �¸|� � ¸|�" ¸��,� ¸��V� ¸"� z ¸"� � ¸"�L¸ ¸"� ��Vz � �Vz " � z � � z � �,� z �,�,� �,� ¸ �,� �� ¸ � � ¸�" � ¸�� � ¸"� � �,z � ��� � � ¸ � � ���

+~�%��! �q5,-N��! =?�I!s<>=?#$�S5 74�'&;�%! <><?5|A`! -(<>�f=?��=>�;���'! �$=>��#�5 7H��&;� � � 8;�$�����$=?��=>�"!V<;845 =>���'#=?�;:;1;�\�'=?+ ��<B��! #_7m5,<?<>5|A�#�]�¢Y5,�;#$=>:;���_�'&(�6�"!V#��6��R z(]��f&;��!V<><>5|AY! -;<?�f=?�'=?�;����! ��=?��#�7m5,���&;�I8(��������=B�'=>��! <S845 =>���'#D5,� � � =

! ���Vl�! #)! -/5|+,� l ¸�� l ¸"� l�!V�;: ¸ zN] + ��5,-(�'! =>� �'&;�! <?<>5|AY! -;<>��=?��=>�;���'! �$=>��#L7m5,�F�'&;�f8;�$������=?��=>��! <N8/5,=?�d��#�5,� � � � -��Z�'! hd=>�;@���! ��&�! <><?5|A`! -(<>�=B�'=>�(���'!V�$�t5,� � � =

!V�;:p! :;:(=>�;@�!)�;��A¡�*�*!V<4:;=?@,=?�S��&*!V�`��5,���$��#$845,�(:;#`�'5Z��&;�6#$���\�'5,�$#��&*!V���'&;�D#$������5,����5,�$����#$845 �;:;=>�(@���5���&;�D5,��=?@,=>�*!V<4�*�*!V<L:(=>@,=B�f=>#f3I! 8;8/��:C5|+,����]`r*5,���[;!V3I8;<?� l��

�=>#q3I! 8;8/��: 5�+ �����

�� ��l�! �(: � � lf#�5 � �"! � 5 �;<?� -/�u7m5,<?<>5|AY��: -��

� l � l95 �Zz(]�f&d1;#ZA_�q��! � ��[(8;! �;: ¸�� �'5 ¸��,� l ¸��V� lF! �;: ¸|� z(]CeN=?3I=?<}! �$<?�,l � �"!V�

� "

Page 28: Mathematics & Statistics » Boston University

5,�(<?�-/�)7m5,<?<>5|AY��:u-��0�Nl ¸ lH5,�%�(lH#$5 ¸"� �"! �0-/�Z��[N8*! �;:;��:��'5 ¸"� �Nl ¸"��¸ l4! �;: ¸�� �(]�f&;=?#f8;��52:;1;����#��'&;�a<?=>#j�f5 79! <><?5�AY! -;<?�6=B�'=>�(���'!V��=>��#f! -/5|+,� ]_¢Y5,����=>�d1;=>�(@�=?�;:;1;�\�'=B+,��<B�8;�$5N:(1;����#q�'&;�u<>=>#j�q5V7s! <><?5�AY! -;<?�=?�'=?�;����! ��=?��#�5 7a�'&(� � � 8;�$������=?��=>��! <�845,=?���'#q=?� � � �@,=B+,�����&;�s<>=>#j�f=>� � � � =

]�����"!V<><��'&*!V��lH=?� eN���\�'=?5,��z(l/AY�.#$&;5|AY��:��'&*!V�6�'&;�����ZAY! #a!q1(�;= 8 1;�.8;! �'! 3��������

X�

�7m5,��A�&;=>��&y�'&;�����$=?��=>�"!V<F+V! <>1(��=?���'&;��1;8;8/���s&*! <B7Y8;<>! �;�t<}!V�;:;��:y5,� �'&;�t8/5,=>���

� � � M��,QqA�&;�������TR @$ � z !V�;:T� � � z � ] %����C1;#�;5 �C��5,�;#�=?:;���p��&;�~��! #��A�&;������6R ��#$=>�;���sA_�sh2�(5�AT�'&*!V����&;=>#�8*! ��! 3����'����<>=>��#f5,����&;�D����! <L!G[N=>#�! �;:�'&;���5,���$��#�8/5,�;:(=>�;@I3q! 8�&*! #6!I#�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@q8/���$=>52:;=>�D5,�$-;=?��5,���'&;�)845,#$=?��=?+,�D�$�"! <!G[N=?#`A�=?�'&=B�'=>�(���'!V�$� ME�'�����$��Q\]� 1�������� �� � �3��� !������ ��� ���"� 6 �.� ? � � ! 67!"�(��15��1 � � R M � � � � � � =

����� � ��Q A�6&1�� � � �1 �%)�1 ! 6 !0)4��� 6&!"� 6���6 6 ��1 � � ��! # 6"# �* � !��5 � ���15��� � 6 ��1 X � !"���T� � # /) 6 6 6 � 636 6 �)�1 ! 67!0)4�����&���� /��!"��6 6 �+ ��1 6 ��� A ��*���(� A�6&1 6 6 ������ �JLK�� ! # 6 6 �'� � �1%�%)�1 ! 67!0)4��� 6&!"� 6� ! 6 6 ! 67!"�(��14��1;� � <� 1�� ����� e2=>�;��� X 8& � `lb=B��7m5,<><?5|A�#6�'&*!G���'&;���(����hd<}! ����# � � 7m5,���R ¸ ��� ��� �'�C� ¸! <BA`!"�2#`<?=>�6=?�q�'&(��1;8;8/���`&;! <?7�8;<>! �;�%#�=>�(���6��&;�a#������'5 ��# �

=��&;��5 1;@,& � U � =

&*!"+,����&;=>#8;�$5,8/���$��� ]��f&d1;#_��&;��:(�2�*! 3�=>�"!V<;#������'5 ��#�� � 7m5,���.R ¸ ���������'�D�C�)! <BA`!"�2#S<>=?�f=>���'&;�1;8(84����&*! <B7i8;<}! �(� ]G%��\�SO ��M X QF-4�`! � � 8(��������=B�'=>��! <2845,=?���97m5,�9JFK�]��f&;���tO �"M X QL! <?AY!"�N#<?=>��#F=>�Z��&;�f1;8;8/����&;! <?7i8;<>! �;�Y! �;:�+V! ��=?��#�!V�*! <?�d��=>�"!V<><?�aA�=B�'& X ]SeN5���&;� ����5 845,#$=?��=>5,�=?��eN�����'=?5,��z�@,1*! ��! ���'����#6�'&;!V�6��&;���$�Z=>#6!I1;�(= 8 1;� X 7m5,��A�&;=>��&9AGKZR O ��M X Q\]��f&;=>#=?#`�'&;�D8*! ��! 3����'��� X ��]

�+~���(5�A :;���*�(����&;�%=B�'=?�;����! ��=?��#�5 7/�'&(�%#$1;84���'!V�$�'��! ����=>�;@D���2��<>��#S7m5,���'&(��8;! �'! 3 ��\�'���$# X �\] %���� � R M � � � � � � =

����� � ��Q�-/�.! �u! <><?5|A`! -(<>�D=?��=>�;���'! �j�p5 7S! � � 8;�$������=?��=>��! <8/5,=>����] %���� X �`-4�D�'&;�s8*! ��! 3����'����@,=?+ ���u=?�C��&;�s8;���\+N=?5,1;# ����5,8/5,#�=B�'=?5,�C! �;:u<?���%O �-/�I��&;�q8/5,=>���sA�=?��& =?��=>�;���'! �j� � 5,� A�&;=?��& �'&;�I����=B�'=?�"! <�+V! <?1;�q=?�~�'&(�q1;8;8/���Z&*! <?78;<>! �;�f<>! �;:;#�]9�^���;����:I�(5 ��-4�`��&;���"! #$����&*!V��O �9<?=>��#�5 �I!a#$1;84���'!V�$�'��! ����=>�;@D8/����=?5N:(=>�5,�$-;=?�65 7S8/����=?5N:��.W ¸ ]a�f&;������! ���s��AY5:;=BcH�������d�����"!V#�5,�;#�7m5 �6�'&;=?#�] +~�.:;5p&*!"+ �

� �

Page 29: Mathematics & Statistics » Boston University

��&*!V�%J �K � MPO ��M X ��Q$Qf=?#`�'&;�s���$=?��=>�"!V<b845 =>���f�'&*!G�%<?=>��#f=>�p�'&;�s#�������5,�����]��^7 � ��=>#���+ ���bl

��&;���qJFK �S3q! 8(#S��&;=>#����$=?��=>�"!V<;845 =>�����'5s�'&;�����$=?�'=?�"! <N+ !V<>1;��=>�t�'&(��1(8;84���Y&*!V<?748;<}! �(� l=P]k�V]?ld�'5.��&;��8/5,=>���YO ��M X �$Q\]S�����;��� l;=?�q�'&;=?#Y��! #��Vl(AY�a&;!|+ ���'&*!G�fO ��M X ��QS:;5N��#`=>�(:;����:<?=>�`5,�I!a#�1;8/����!V�����'! �\�'=?�;@D84����=>52:;=?�`5,��-(=?�S5 7484����=?5N: ��W ¸ ! �;:t�'&;�f7m1;<?<;=?��=>�;���'! �j�Z5V7��&;=>#�5,��-(=?��=># M � � � � � � =

����� � ��Q�] 9Y1(�6=?7 � �%=>#�5N:;:Hli��&;�����'&;�s=>3I! @,�D5 7F�'&;=?#%����=?��=>��! <8/5,=>���Y=>#Y��&;�a���$=?�'=?�"! <i+V! <>1(�6=>����&;�a<>5|A_���`&;! <?7�8;<>! �;�Vl(�*! 3���<B�u�%O ��l*! �;:���&21(#%O ��=>#�;5V��84����=>52:;=?�6A�=?��&C8/���$=>52: �sW ¸ ]

+¡&*!V�Z&*! 8;8/���(#Z=>� �'&(=>#s�"! #$��:;��8/���(:;#.1;8/5,�~A�&(���'&(���.� =>#s��+ ��� 5,�s5N:(:b]�^7� =?#���+ ���bl��'&;����AY�t&*!"+,����&*!V�DJLK(M��6O �$Q6R JLK2MPO �$Q\]�e25��&;��8/5,=>�����%O �6<>=?��#�5 �~!#$1;84���'!V�$�'��! ����=>�;@C���2��<?�q5 7`84����=>52: ��W ¸ ]p�f&;�����\7m5,�����'&;��=?��=>�;���'! �j��5 7`��&;=>#s5,��-(=?�=?#CM � � � � � � � =

� ��� � ��Q)A�&;����� � � � � R �uW � � � ] r*5,�.��[;!V3I8;<?� l�=>� ��&;��"! #$�C� R � lA_�p&*!"+,����&;� ¸ � 8(��������=B�'=>��! <�=?�'=?�;����! �$� M ¸ � Q�] 9_1(� ¸ �"!V�;�;5 �.7m5 <><>5|A � #$=>�;�����

�=>#

3I! 8;8/��:�5|+,����� � A�&(����� �R � � � � " �/5,� � ]D�f&;�����\7m5,���Vlb�'&;=?#�8;�������$=?�'=?�"! <F=?��=>�;���'! �j���! �0-/�)�$��8;<>! ����:uA�=?��& M � � QfA�&;=?��&0:;52��#%��5,�$����#$845 �;:u�'5�!I#�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@q�\�2��<>�5 7�84����=>52:u�N]�eN=>3�=><>! ��<B�,ld�'&;�.� � 8(��������=B�'=>��! <b=B�'=>�(���'!V�$�yM ¸ � � Qf�"! ��-4�)����8;<}! ����:CA�=?�'&M � � � Q6�'5u@,���Z! � =B�'=?�;����! �$� 5 7f!�#�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@u�\�2��<>�V]��� @,���(���'!V<�lF7m5 �Z! ��� � �8;�$������=?��=>��! <�=?��=>�;���'! �j�u��&*!V�)���;:;#s=>�~! �y5N:(:~�d1;3.-/����lF��&;���;��#$�s:;=?@,=?� � � �t#�&(5,1;<>:-/�D����8(<}! ����:-����W � � ���'5t@,�\����&;�D=?��=>�;���'! �j�q5 7L�'&(�s#$1;8/���'!G���'��! ����=>�;@����2��<>� ]

�^7b�C=>#S52:;:bl��'&(���bl2-����'&;�%O HJ �6Os#$�23�3I�\�'�$� l2��&;��5,��-(=?��5 7��%O ��=>#�#j�N3�3����'�$=>�A�=B�'&D�'&;�_5,��-;=B�L5 7*O ��]9�f&*!G�9=?#�l,J � =K � Mj�%O �'Q�RTO ��]������;���`O ��<>=?��#�5,�.!�#�1;8/����!V�����'! �\� �=?�;@q�\�N��<>�.5V7S84����=>52: �;M �ZW ¸ Q�! �;:�=B�'#6=B�'=?�;����! �$�=?#�M � � � � � � =

����� � � � � � � � �� � =����� � �� Q

A�&;�����D�;5|A � �� R � � W ��3�52:��V�9]Sr*5,�`��[(! 3I8(<>� lN=>����&;�a�"! #$�D�uR�z(lNA_�D&*!"+,�a�'&;�¸ � 8;�������$=?�'=?�"! <(=?�'=?�;����! �$�pM ¸�� Q\]��%@�! =>�Hl ¸ ��! �;�;5 ��7m5,<?<>5|A � l2-(1(� � �"!V�b]��f&;��8;��������=B� �=?�"! <4=?�'=?�;����! �$�I��5 ������#�8/5,�;:;=?�;@��'5��'&(�s�(��@�!V��=?+ �a5 7F��&;=>#f8/5,=?�d�`=>#`�'&(��� M � �,Q�]SeN5tAY���! �����8(<}! ���6�'&;�a8(��������=B�'=>��! </=?�'=?�;����! �$�0M ¸|� QSA�=B�'&~M ¸��G� �,QSA�&(=>��&��5,�$����#�8/5,�;:;#f�'5t!#$1;84���'!V�$�'��! ����=>�;@����2��<?�)5V7�84����=?5N: � ]�e2=>3�=><}!V��<?� l2��&;�Z� � 8;�$������=?��=>��! <b=?��=>�;���'! �j� M ¸��,� Q��! � -4�u����8(<}! ����: -��{M ¸��,�V� � �,QtA�&;=?��& �;5|A ��5,���$��#$845,�(:;#��'5 ! #$1;8/���'!G���'��! ����=>�;@�\�N��<>�D5 7F84����=?5N: " ]

� �

Page 30: Mathematics & Statistics » Boston University

� � �"� ���C�"! � �" ! � ��� !.�S�#!.���

�����'&;�%8;���\+N=?5,1;#�#������'=?5,�bldAY�6! #�#$=>@,�(��:p! ��=?��=>�;���'! �j�.�'5s�'&;��#�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@Z�\�2��<>�! #$#�52��=>!V�'��:u�'5q!q8*! ��! 3I�\�'���%�'&;!V��<?=>��#%!V�%�'&;�)������������5 7S��! ��&yeN=?����8(= g�;#�hd=��"!V��:;=?5,=>:!V�$��! ��&(��:�'5t�'&;�D��=?�;@,# �D#�1(����5 1;�;:;=?�;@���&;�)���|�C1;<><?���C:;5,3I! =>�b]9�6#�AY�s#�&;5|A_��:bl��! ��&)5V72��&;��#$�_=B�'=?�;����! ��=?��#4AY! #L!f:;=?c4���$������#�� 8 1;���;��� ] 0�5�AyA_��hd�;5|A ��&*!V�������j��! =?�s5V7��&;��#$�6#�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@Z8;! �'! 3��������$#_&*!"+ ����5,���$1;@�!V���%:(�2�*!V3I=?��#�]�eN=>�;���%��&;�%#$1;8/��� �!V�$�'��! ����=>�;@%���2��<?��#�7m5,�L��AY5D#�1(��&���5,�G�$1;@,!V�'�`3I! 8;#�JFK�! �;:tJ���! �$�`8;�$��#����$+ ��:�-d�)�'&;���5,�G�$1;@�!V���,lL=?�DA_5,1;<?:~-/�I�(=>����=?7��'&(�I��5,���$��#�8/5,�;:(=>�;@C#�1;8/����!V�����'! �\�'=?�;@�=B�'=?�;����! ��=?��#A_���$�s��&;�)#�! 3�� ]`��5|AY�\+,�����'&;=?#�=>#��;5 ���'�$1;�s=>�C@,���;���'! <P]_�L5�����3���:N�p�'&;=?#�l*AY�DA�=><?<1;#$�)��&;�s������&;�(= 8 1;��#6=>���'�$5N:;1(����:�=>�0eN���\�'=>5 � � �'5q��5,�;#j�'��1(���a!V:;:;=?��=>5,�;! <b=>��+V! �$=}! ���¢`! ����5,���;����hd<}!V����# � � A�&;����� � � =>#`��&;�D5,��=?@,=>�*!V<b¢`! ����5,���;����hd<}!V��� � ]

�����"!V<><��'&*!G��=?7 X �& � l/��&;���0��&;�)7E!V�����'&*!V�%�'&;�)���$=?�'=?�"! <b+V! <?1;��#�:;5��(5 �6<?=>�D=>���f5 ��� U l;��5,3Z-;=>�;��:qA�=?��&��'&;�6�\[N=>#j�'���(���D5 7L!Z�([N��:8/5,=>��� � �K R �;Ks=?���� ���,6K2l�2=>��<>:;��:C��&;�s=>��+V! ��=>! ����¢`!V�d��5,���;����hd<}!V��� � R �

� =?���� � � U �544Kd] 0�5�ADl/#�=?�;���JLK.=>#���5 �G�$1;@�!V���s��5�O HJ O U 5 � ��,6K2l � ,%K���5,����!V=>�;#��\[(! �\�'<?��� ¸ �([N��:08/5,=>����#�]���~� ¸"� �Pli��5,�$���;5���5N��&;!t@ =?+,��#�!Z7m5,��3Z1;<}!)7m5 �Y�'&;�a<?5N��!V�'=?5,�;#_5 7��'&;��#��a�([N��:C845 =>���'#=?�u�'����3�#65 7���&;�.#$�23�3I�\�'�j�u#$������5,��=?�08*! ��! 3I�\�'���6#�8;! ����=?��A�&;=?��& X <>=?��#�]������"!V<><��&*!V���'&;��#����.� ¸ #$�23�3I�\�'�j�I#$���\�'5,�$#f! ���%@,=?+ ����-���� � 7m5,� �.RT��� �������'�.���DA�&;���$�X & � � =?7 ��� $

�� ¸�� �%��@ X���;M�6W ¸ QB$�p� ¸ �

�f&;���bl*=?7 X & � � l(��&;�a����#�1;<B�'#�=>�y� ¸"� ��#$&;5|AT��&*!V��� � ���,6K.��5,����! =?�;#f�\[(! �\�'<B��5,�;��([N��:u8/5,=>���f=B7 �

� �2Ra�(l;5 �

� ��=>#f�\+,���CA�=?��&u� � � � �DW ¸ 5,� �DW ¸ W � � � � �V�p� ¸ l(5,�

� ��=>#f52:;:A�=?�'& �DW ¸ � � � �DW ¸ W �F]

��,

Page 31: Mathematics & Statistics » Boston University

+~���"!V<>< � � A�=B�'& ��! #Y! -45|+ �D!�� � �4� 6&!"� 6 # �%) 626&1�]���5,�$��5|+,����l(��&;�����$=?��=>�"!V</+V! <?1;��#B�AVK�<>=?�q=>� ��&;��)�1 ! 6 !0)4��� �&���� /� # �%) 6 6&1 # � � = ! �(: � � = U

l_#$5y�(5y����=B�'=>��! <S+ !V<>1;�#$������5,��=>#�!��([N��:C845 =>����#������'5 ��]

�^�p=?#q��<?�"! �I�'&;��� �'&*!V��lf7m5,� X & �'�Vl�! <><�� � ¸ �([N��: 8/5,=?�d��#q=?� ��,6Ky�2=?��<>:=?�d+V! �$=}! ���)¢`! ����5,�D�;����hd<}!V����#Z��5,����!V=>�;��:yA�=B�'&;=?� ��&;��1;�;=>5 �~5 7Y=?��#s��5,���$��#$845,�(:;=>�;@�([N��:�8/5,=?�d�9#������'5 � � � !V�;:.�'&;�`! ���'=>8/52:*! <2#����\�'5,� � �! U ] +¡&;���t��=>#F5N:;:Hl,5,8;8/5,#�=B�'��([N��: 8/5,=>���'#D5,� ��,6KqA�=?<><���5,���$��#�8/5,�;:y�'5�'&;�t#�! 3I�t�;����hd<}! ��� l9#$5C��&*!V�DA_�I&*!"+ ���� ¸ =?�d+V! �$=}! ���.¢`! ���'5,�)�;����hd<>! ����#.A�&;��� � =?#Z�\+,��� ! �(: ME��� ¸ Q � �CA�&;��� � =>#52:;:b] +~�Z:;���;5 ���)�'&(��#��Z�;����hd<}!V����#6-d� ���nl/A�&(������� & � ¸ ��� ��� �'�� ¸ MnA�&;���$� �����5,=>�;��=>:;��#�A�=B�'& � � ����� � U � =�� =?79�~=?#%52:;:iQ�l4!V�;:#���K & � �H=>#��'&;��� � � �([N��:08/5,=>���=?� ,%KZ��5 1;���'=>�(@���5,1;���'��� � ��<>52��h�A�=>#$�D7m�$5,3 � �K ]

r*5,<><?5|A�=>�;@ ��&;�y��5,�;#j�'�$1;����=>5,� =>��eN�����'=?5,� � l�<>�\� � �� -4� �'&(�y8/5,�j�'=>5 � 5V7 �����[N�����;:(=>�;@s7m��5,3 ���K �'5D�'&(���([N��:�845 =>���S8;����=>3I! @,�f5,� � 4HKa<B�2=>�;@D=>����&;�%#�! 3����N[(��:8/5,=>����#�������5,�q!V# ���K ] �f&(��� <?����� �� 7m5,� � & � ¸ ������� ���V�y� ¸ -4��'&;�C=>3I! @,�p5V7���� 1(�;:;���D�'&(����5 �'!V�'=?5,� O5HJ "��\ONl�A�&(�����8"TR �\[N8LM $&% � ��Q�].�f&;=?#D��&;���y@,=B+,��#s! �! <B�'�����*!V���%8;! �$��=?�'=?5,��=>���'5.:N�N�;! 3I=?�"! <i#$������5,��#�� �� l2A�&;���$� � �� =>#��'&;�%����@ =>5,��-/����A_��������� !V�;: � �� =

l�! �(: ��&;�.8/5,�$��=>5,�(#�5 7 ��,6K�! �(:�� 44Kq��5,�;�;������=>�;@p�'&(��#���-/5,1;�(:;=>�;@�;����hd<}! ����#�]

+~�Z�"!V�0�'&;���0:;���;�;��! �0=B�'=?�;����! �$�p7m5,���'&(��� � 8(��������=B�'=>��! <�8/5,=>���'#�A�=?��&u����#�8/���\���5�! ����5,�(��5 7��'&;��#��a�;�\AT8;! �$��=?�'=?5,�;#�]�r*5,�`!Z@ =?+,��� � � 8;�$������=?��=>��! <i845,=?���"lN��&;����� ¸5,�%Mm�Z� ¸ Q � ��ME:(��8/���;:;=?�;@Z5 �I�'&(�68*! �$=?����5V7���Q�=?��=>�;���'! �$=>��#�8(��52:;1;����:�1;#$1*! <><B��-/�"! ��;5p�$��<>!V�'=?5,�u�'5p5 �;�t! �;5 ��&;����].�C5,����5�+ ����lF=B7�JFKI! �;:yJ ��! ���.����=B�'=>��! <><B�p�*�;=B�'��! �(:��5,�G�$1;@�!G�'� lN! #�:;��#$���$=>-/��:�=?�I�'&(�%�����'�$5N:(1;����=>5,�q! �;:�8;�$5|+,��:q=>��� ¸ ¸ ��ldAY�%hd�;5|A ��&*!V���&;����5,���$1;@�! �\�0=>#6@,=?+ ��� -�� !���5 �'!V�'=?5,�bl45,�D!���5 �'!V�'=?5,�0��5,3I8/5,#$��:�A�=?��&���5,3�8;<>��[��5,�G�$1;@�!G�'=>5 �b] �^76�'&;���5 �G�$1;@�! �\� =>#t@,=?+ ��� -�� ! ��5V��!V��=>5,�blS�'&(��=B�'=>�(���'!V�$� 7m5 �IJLKA�=?<><��;5 �q-4�C�'&;�0#�! 3��0! #��'&;�0=B�'=?�;����! �$� 7m5 ��J � ! #I:;���*�(��:¡=>� eN���\�'=>5 � " lf-;1(�A�=?<><Y��5,=>�(��=>:(��A�=?�'& ��&;�=?�'=?�;����! �$�~7m5,�tJ � � ! 6 6 1 �%#2 �%) 6 626 ����! � ��1 ��� 6 ���1 67! 67!06&�Mm#�1;=B��! -;<B� �$��<}!V-4��<>��:*Q\] �^76��&;���5,���$1;@�! �\� =>#�@,=B+,��� -�� !y�$5 ��!G�'=>5 � ! �;: ��5,3�8;<>��[

z,�

Page 32: Mathematics & Statistics » Boston University

��5,�G�$1;@�!G�'=>5 �blF��&;��� ��&;��=?��=>�;���'! �j� 7m5,�.JLKA�=?<><S-/������<}!V����: =?� !0�;=?���IAY!"� ��5u�'&;�=B�'=>�(���'!V�$� 7m5,��J��yA�=B�'& ����#$84�����I�'5 !y����<}! -/��<?=>�;@ 5 7�!~�;�\A�8*! �$��=?��=>5,�b] �f&d1;#q�'5��5,�;#$����1;�\�D! � ! �\�'1*!V<9��5 �G�$1;@�! �\�u=?��+ !V��=}!V�d��l/A_�.3.1(#$�a��! �;5,�;=?�"! <?<?���&;525,#$�.5,�;�.5V7��&;�%=?��+ !V��=}!V�d�_¢`!V�d��5,�S�;����hd<>! ����#Y7m5,�S�"! ��&I8*! ��! 3I�\�'����l2! �;:�1;#��%=?��#���5,���$��#$845,�(:;=>�;@8*!V�$�'=B�'=?5,�q�'5t:;�\�*�;�D�'&;�D=B�'=>�(���'!V�$�,] + �D3I! h �a�'&(=>#f8;�$����=?#��s-4��<>5|AD]

�^7 X & � ��=>#t!�#�1;8/����!V�����'! �\�'=?�;@~8;! �'! 3���������5,� ���lS�'&(��� AY��! #�#$5N��=}!V�����'&;�#�! 3I�6=?�'=?�;����! �$�t��5 X ! #Y=>���'&(��8;���\+2=>5,1;#f#$���\�'=>5 �bl(1;#$=>�;@.��&;�a8*! �j�'=B�'=>5 ��! #$#�52��=}!G�'��:��5 � � ]<0�5�ADlL! #D#$&;5|A��~=?� � ¸ ¸ �Plb��A_5u���$=?��=>�"!V<><?�p�;�;=?����8*! �'!V3I�\�'���$# � !V�;: X ! ���hd�;5|A�� �'5&*!"+,�t��5 �G�$1;@�!V����:(�2�*! 3�=>��#a=?7_! �;: 5,�;<B�u=B7 � R � ��� X 5,� � R � ��� X 7m5,�#$5,3I��� & � l4A�&;������� =>#)!�8;�$=>3�=?��=?+,����� ¸�� � ��525 �s5 7f1(�;=?��� ]C�f&d1;#�l�=?7 � & �'�=?#a!�#�1;8/����!V�����'! �\�'=?�;@p8*! ��! 3I�\�'����5,� ��^lb��&;���$���\[N=>#j�a��=B�'&;���a5,�;�Mm=?7S� =?#�5N:(:iQ%5,���A_5 ME=?7`� =>#Z�\+,���iQ.8*! �'!V3I�\�'���$# X & � � ��fA�=B�'& JLK���5,�G�$1;@,!V�'�q��5 J �N]��f&;=>#=?#�-4���"! 1(#���-/5 �'& X =

R � � � � ! �;: X � R � � = � <?=>�Z=?� � �|] +¡&;��� � =?#�5N:(:blb5,�;<B�JLK

=>#D��5 �G�$1;@�!V������50J��=?7 � =>#D��+ ���blS!V�;: 5,�(<?� JLK � =>#D��5 �G�$1;@�!V������50J��=?7 � =>#52:;:b] 9_1(�YA�&;�����u=?#S��+,���bl;-/5 �'&qJFK

! �(:�JFK � ! ���%��5,�G�$1(@�!V�'���'5ZJ �s����@�! �$:;<>��#�#Y5V7��&;�.8*! �$=?���C5 7 �4lH#�=>�(��� �i� � R � U � � � = lb! �;: �

� = R � � U lH! �;:�5,�;�Z5 7S�"! ��& 8*!V=>�M�� � ���p� ��� ¸ Q`! �;: M0�DW ¸ �%�sW ��Q_A�=?<><�! <BA`!"�2#�-4�D!V���\+,����845|A_����5 7 �4]

0%5|A #�1;8;8/5,#$� � & �'�V]<%���� X -/�.�'&;�t8*!V�'! 3��������a=>� ���sA�=B�'&yJ �q��5,�G�$1(@�!V�'���5.JFKdl2��&;525,#�=?�;@Z�'&(�65,�;�%5 7�#$3q! <?<>���_!V��@,1;3������Y=?7b��=>#_��+,���b]3%���� ���� -/�%��&;�%�N[(��:8/5,=>���S=?� ��, �D#$�������'5 � �K 1;�(:;�����'&(�%��5,�G�$1;@�!V���,]9�6#�#$=>@,�t�'5 ��'&;��=B�'=>�(���'!V�$�Z7m5 �SJ �5,-N��! =?�;��:�+N=>!s��&;���;����h2<>! ��� � � l(�$��<>! -4��<>��:q#�5)�'&*!V�_�'&;�%#������'5 �f! :G��! �������Y��5 � �� =>���&;�t��5,1;������� � ��<?5N��h�A�=>#$�I:(=>��������=>5,� =># ���� ]�¢`! <?<9��A_5u=?��=>�;���'! �$=>��#tM�

=� � � � ������Q�! �(:

M�= � � �����'Q � )%69� �� � � )%6&� �; � � 62���0=B7)��&;� ��5,�$����#�8/5,�;:;=?�;@ #j�23.-45 <>#C! ��� �$��<}!G�'��:

-���� � W� � R �G� � ¸ 3I52:��V�9] 0%5 ��� ! �¡=?�'=?�;����! �$� =?#��'�'!V�;#$7m5,�$3I��: =>���'5 =B�'#��5,�G�$1;@�!G�'�q-��~����<}! -/��<?=>�;@p�'&(��8*! �j�'=?��=>5,� =?� �'&;�I5,8;8/5,#�=B�'�uME��<>52��hdA�=?#��"Q):;=>�$���\�'=>5 �b]�f&d1;#�! ��� ��A_5 #�1(84���'!V�$�'�'!V���'=?�;@ 8*! ��! 3I�\�'����#pA�=?��& ��5,�G�$1;@,!V�'� 3I! 8;#�A�=><?<6&*!"+ ���=?�'&(�����'&;��#�! 3I��=B�'=>�(���'!V�$�,l�5 ����5,�G�$1(@�!V�'��=?��=>�;���'! �$=>��#�=?7/�'&;����5,�G�$1;@�!V���t=>#�@ =?+,���q-��!���5 3I8/5,#�=B�'=?5,��5 7F��5 �'!V�'=?5,�! �;:C��5 3I8;<?�\[���5,�G�$1(@�!V�'=?5,�b]

z ¸

Page 33: Mathematics & Statistics » Boston University

�f&;�_5,�;���\[N����8(�'=?5,�Z�'5��'&;=?#�5N����1;�$#�! @�!V=>�DA�&;��� X � & � lV#$=>�;���_��&;�_8;! �'! 3��������� X �YR � X ���;5|A <?=>��#9=>�s�'&;�Y#$�23I3������$�)#������'5 � �

=]������;���`�'&;�Y=?�'=?�;����! �$� ME�,�'�����$�,��Q

=?#f1;�;= 8 1;�D=?���&;=>#f�$��#$84�����"]�f&;=?#����*!V-;<>��#�1;#q��5 8;��52:;1;����! <>=?#$�I5 7s! <?<���&;�0#$1;84���'!V�$�'��! ����=>�;@ =B�'=?�;����! ��=?��#

��5,���$��#�8/5,�;:(=>�;@t�'5I8*! �'!V3I�\�'���$#�<?�2=>�;@t=?�C��&;�)3I! =?�C��! ��:(=>5,=?:;#�5 7S�u!V�;:;��<?-;��5V�%#$����#!V�$��! ��&(��: �'5~�'&;����=>�(@ �u-�� #�=?3I8;<B� <>=?#$�'=?�;@ �'&;��=?�'=?�;����! ��=?��#���5,�$����#�8/5,�;:;=?�;@ �'58*!V�'! 3���������#6=>� � �D3�5N:;1(<>5I��&;�t! -/5|+,�t��5,�(#$�'��! =>����#�])ri5 ���\[(! 3�8;<>�VlH�'&(��#�1;8/����!V� ����'! �\�'=>�(@�=?�'=?�;����! ��=?��#YA�=B�'&-*! #$�)8/���$=>52:z.A�&;�����uR�z�!V���a@,=B+,���C-��

ME�,�,��Q%� M ¸|�,�V� �,� Q%� M ¸��V� Q � M ¸�� z � � ��Q � M ¸�� �,Q%� M ¸"�L¸"��¸"� Q �

A�&;=?<>�6��&;�s��5,�$����#$845 �;:;=>�(@�=B�'=?�;����! ��=?��#Y7m5,�`��&;�D�"! #$�D�uR � !V���

ME�,�,��Q � M � � � Q � M ¸ � " Q%� M � � � Q � M ¸ � � Q � M �" z�Q%�

�f&;�D��5,3I8(<>�\[���5,���$1;@�!V���s=B�'=?�;����! ��=?��#YA�&;���u�CR � ! �$�a�'&;����@,=B+,����-��

M�� � ��Q � M " � ¸ Q � MP� ���,Q%� M " �,z�Q%� M�� ¸"� Q%�

�f&;=?#t8;��52:;1;����#�! :(�2�*! 3�=>��! <f=>��+V! �$=}! �����'&;!V��:;=?c4���$�����'=>!V�'��#���&;���(5,� � ��5,�G�$1;@,!V�'�8*!V�'! 3���������#f=?�p�'&;�D�"!V��:;=?5,=>:;#�!V<>5,�;@.��&;�D��=?�;@,# � ]r9=?�*! <><B�,ld�'&;=?#�@,=?+ ��#�!���5,1;����5 7L�'&;�s�d1;3.-/����5 7F��5,�G�$1(@�! �����<}! #$#���#%5 7F3I! 8;#f=>�

��&;�)eN=>����8;=Vg�(#�hd=H��! ��:;=?5,=>:(#�!V���'! ��&;��:�'5 �V]� 1�������� �� � �3� 4�6 �,� �� ?���1 6BA )%6&� �; �� ��) � )��*�&#%# �%# 6BA����� #���15�� � A 1%69� 6 6 �-/!0��1 �!�3��#%$&!.)4��15��!06&!7�&# ��� 6&��� � ! #

ME�p� �,Q�� � W ¸�p� ¸ W ¸

! Af� ! # 6 � � �����ME�p� �,Q�� � W �

�;ME�p� ¸ Q! Af� ! # � ����� <

z��

Page 34: Mathematics & Statistics » Boston University

� 1�� ����� +¡&;�����p=>#�52:;:bl,��&;�f�d1;3.-/���S5 7/8*! ��! 3I�\�'����#�=>�.��&;��#$�23�3I�\�'�$�Z#������'5 � ���=?#sM�ME�q� �,Qj� � W ¸ Q � Mm��� ¸ Q�] 9Y1(���'&(=>#f:;52��#f�;5V����5,1;�����'&(�s8;! �'! 3�������� � X A�&;���$�X1& � `l�A�&(=>��& =?#a�'&;���~�'&(��5 �;<?��5V�'&;���)��5,�G�$1;@�!V��� ��<>! #�#�]�e25�A_�q! :(: ¸ �'5�'&;�! -/5|+,�D��5 1;������5I@ ���f�'&(�s�d1;3Z-4����5V79��5,�G�$1;@�!V�����<>! #�#$��#fA�&;���u� =>#f52:;:b]

+¡&;���u� =>#f�\+,���Hl/��&;�D�21(3.-4����5 7�8*!V�'! 3���������#�=?���&;�D#$�23�3I�\�'�$��#����\�'5,��� ��=>#! @,! =>�0M�ME���~�,Qj� � W ¸ Q � ME��� ¸ Q\]��f&;�a3I! 8���5,���$��#$845,�(:;=>�;@.��5�!.8*! ��! 3����'���`! <?5,�;@� y=>#��;5V�_��5,�G�$1;@,!V�'�f�'5s! ����5V�'&;����3I! 8t=>����&;=>#�#j�N3�3����'�j��#�������5,��]S��5�A_��+ ����l;! ���5 ��&;���Z8*! �'!V3I�\�'��� X =?� �'&;=?#.#�������5,�.=>#Z��5,�G�$1(@�!V�'�I�'5 � X l�A�&;=>��& !V<>#�5u<>=>��#Z=?� � �|]�f&;�����\7m5,���a�'&(�s��5,1;���%5 7F��&;�D�d1;3.-/����5 7F��5,�G�$1(@�! ������<}!V#�#���#%=?���'&;=?#��"! #$�s=?#

ME�p� � Qj� � W ¸�p� ¸ W ¸

� R Mm�C� �,Qj� � W ��;Mm�p� ¸ Q �

� � �"�"!+� � � � � �a����$

����'&;=?#f8*! 8/���fA_�)&*!"+ �)8;�$5|+,��:C�'&*!G�f�'&;�)o 1;<?=}!.#��\�'#%! ��=?#�=?�;@.7m��5,3 eN=>����8;=Vg�;#�hd=b��! � �:;=?5,=>:(#�!V���'! ��&;��:I�'5a��&;����=>�(@,# �f7m5,�.��xT�a! �$��! <><;eN=>����8;=Vg�(#�hd=;��1(�$+,��#�]S�f&;=?#�=?#��;5 ��;������#�#'!V��=><B��'&;�)�"! #$�ZA�&;����� � �N]�r*5,���\[(! 3�8;<>�Vl/A�&;��� �pR �Nl/��&;���$�.! �$�Z�C� ¸��! ��:;=?5,=>:(#�5 7��'&;��8;�$=>�;��=>8*!V<��u! �(:;��<?-;��5 �D#$����#s��&*!V�a�'&(����=>�(@ �s8*! #$#���#s��&;��5,1(@,&b]��5�A_��+ ����l`=?�t=?#�h2�(5�A�� �'&*!G���'&;��o 1;<?=}!0#��\�'#I! ��=?#�=?�;@07m��5,3 8*! ��! 3I�\�'����#t=>� ��&;��#$��$��@,=?5,�;#�!V���Z+ ���$�0:;=?c4���$����� � �'&;�\��! �$�.#�5 � �"!V<><>��:0��&;����h ���$-45,! ��: o 1;<>=>!I#$���'#I� ¸ �P]D�����&;=>#��"! #$� lH��&;�Z-/5,1;�(:*! ��=?��#%5 7��'&;�)-*! #$=>�;#%5 7S!V�$�'�'!V���'=?5,�u5V7��'&;�Z!V�����'! �\�'=>�(@q���2��<>��#�;5|A�3I�����a��&;�t-45,1(�;:*! �$=>��#65 7_��&;��8;�$��=>3I! @,��#�5 7 ,6KI!V�a=>�N�*�;=?����<B�u3I! ���08/5,=>����#�l! <B�'&;5 1;@,&��'&;��#���-45 1;�;:*! �$=>��#�5V74��&;��-*! #�=?�;#S5 7�!G���'��! ����=>5,���(��+,���_��5,1;��&q��! ��&�5 �'&;����]�f&d1;#��'&;��#��s#��\�'#%! ���a�;5V��e2=>���$8;=Vg�;#$hd=H��1(�$+,��#�]

+¡&;�����tR ¸ l*!V#�3�������=>5,�;��:�"! �$<>=>����l2�'&;�D��=?�;@ =�(5�AT8*! #$#���#��'&(��5,1;@ &C�p� ¸

8/���$=>52: �-;1;<>-(#)5 7Y�'&;��8;��=?�;��=?8*! <��u!V�;:;��<?-;��5V�Z#$���'#�]����y�'&;��#�����! #���#�l9��&;�q��5,���$� �#$845,�(:;=>�;@uo 1;<?=}!#�����#Z�;5|A ��5,����! =?� ri!V�'5 1~:;5 3q! =?�;#a�'&*!G�.! �$�I&(5,3I��5,3�5,��8;&(=>�.�'5

z,z

Page 35: Mathematics & Statistics » Boston University

��&;� �$-;! #�=?<>=>��!(l �s=P]k�V]?ld�'&(�%�*<?<>��:�o 1;<>=>!s#$���_7m5,�YO � � ¸ ]��6#Y!Z��5 �;#�� 8 1(���;��� l*=>�N�*�;=?����<B�3I! ����5 7���&;�a-45 1;�;:*! �$=>��#f5 7��'&;�a-*!V#�=>�(#f5 7F��&;�D!V�$�'�'!V���'=?�;@.�\�N��<>�D�;5|A �'5,1;��&C�"!V��&5 ��&;����l*#�5�! @�!V=>���'&(�.o 1;<?=}!Z#$���%=>#f�;5V��!Ie2=>���$8;=Vg�;#$hd=b��1;�j+,�V]

� ��� �a���a�� �E$

� ¸ � 9Y<>! �;��&*!V��:bl �L]?l�¢Y=><?=>�;@,=?��l�rY]Bla¢Y1 �5��52���$��5;l��.]Bl�����+V! �;�\�,la�D] %�]?l %�525,hil�.],�~]?ld!V�;:���1;#$#���<><�l .�]��.]�¢Y&;����h ���$-45,! ��:qo 1;<>=>!aeN�\�'#�7m5,����!V��=>5,�*!V<;�u!V8;#�]� � 6 ��1 ��� 67!06&����� � 69 1 ����� 6BA�� ! A; �1 )4� 6 !06&� ����� � 6 ��6 #�� MP� � ¸ z,Q\]

� �G�����\+ !V�;��� li�s] %�];e2�'�$1;����1;���D5 7��'&(�s���|��1(<><>��� ��5,3q!V=>�q=?���'&;� �F! �'! 3��������eN8;! ����5 74��!V�'=?5,�*! <(�u! 8;#�]��� ���� ��� ��� 60� ��� 6 6 � ��� 67!0)4����������M�� �,� � Q\ld� " � �� �,� ]

��zV�����\+ !V�;��� l��s] %�]��f&(�����"��1;<><?������5 3q! =?� � e(!V����<><?=?���u��! �;:;��<>-;�$5 �pe2���'#! �(:CeN=>����8;=Vg�(#�hd=/�%5,<?��#�]�� 6&� A�6&1;����� � �%69� � 6 1;��������� � ����� !0)%#���uMP� �,� � Q�l¸�"V� � ¸ , �(]

� � �����\+ !V�;��� l��D]�%S]L��! �;:;��<>-;�$5 ��e2���'#s�6:(5,���;��:~A�=B�'&~�6! <?5,#a=>�~ri! 3I=?<>=?��#65V7��!V�'=?5,�*! <L��! 8;#�]/�������������! #" $&%('�)*�,+.-0/2143�56 0'879%;:=<>+@?A CBD E)*FG/�)*HI7J KF�7=L8 M �;�N O)*FK)P'8-Q R��HS7=L8 �TU)*'8V; 0�JW*FO�X7ZY� A7#[,�63����$=>��! ���u!V��&qe25N��=>����� l2¢Y5,���'��3 �8/5,�'!V�$�C�u!G�'&U]\�^~M�� �,� " Q\l*z � � � �N]

� � �����\+ !V�;��� l,�D]�%S]V¢`! ����5,� 0%����hd<>! ����#�! �;:.e2�'�$1;����1;�'!V<><?��_%�;#j��! -(<>�YeN=>����8;=Vg�(#�hd=¢Y1;�j+,�%o 1;<?=}!%eN����#�7m5,����!V�'=?5,�*! <N�u!V8;#�];`�a�)*�b+c7@)(7.+@?� R3dL8 e��FI%f��H�$&%('�)*�,+.-O)*�Yg%(/Q7I K�,/�� M�� � � " Q\l(z,z � � z � ,(]

� " �����\+ !V�;��� l4�D]�%�]/¢`! ���'5,�%eN�\�'#�5 7S¢Y=?����<>��#f5V7SeN=?����8(= g�;#�hd=�¢Y1(�$+,�Zo 1;<?=}!�eN����#�]hNFGi���Vj+!-k3dL8 Q�AFI%l)*'8Vm$&%('�)*�,+.-O)*�ZYg%(/Q7I K�,/��8n~M�� � � � Q\l ¸�� � � � ¸�� z ,N]

� � �����\+ !V�;��� l;�D] %�](eN=>�;@ 1;<}! � �L���$��1;��-;!V�'=?5,�;#Y5V7L¢Y5,3�8;<>��[ �F5,<B�N�(5,3I=>! <>#�](� �� �� � 67!"� 6BA 6 6 � � � -C�po MP� � ¸ z�Q�l*z , ¸ � � ��,N]

z �

Page 36: Mathematics & Statistics » Boston University

� � �����\+ !V�;��� lb�D]�%�]/! �;: %�5N5,hil]�.]4�~]�9Y1;�$=>��:0eN=>����8;=Vg�;#�hd=L¢Y1;�j+,�to 1;<?=}!IeN����#�]$�+ /E-KFO �7J 4)P'8V ���A'87.+b']aX�Xa*/�$&%('�)P� +!-E)*�DYg%(/27I 0� /��X MP� �,� � Q�l ¸ �,z � � ¸ � � " ]

� ,V�����\+ !V�;��� lZ�D] %S]Bl %�5N5 h/l��.]%�~]Bls! �;: _�3I=?�;#�h�� l��.]��f&(� .�#���! 84� �F�$= ���&;5V�'5,3Z��7m5 ��eN=>�;@ 1;<}! �$<?� �F���$�'1(��-/��:p��!V�'=?5,�*! <;�u! 8;#�] ������!7�������� !�����1 #�! 6)���� 6 6 � ��� 67!0)%# � 69 1 �����(��� M�� � � � Q\l ¸�" � ¸ � ¸�" z � ]

� ¸ �V�����\+ !V�;��� lp�s]I%�]Z!V�;: �u! �$5 ���'!(l�e/])�f&;� �C�|��1;<?<>��� ��5,3I! =>� � ��=?�;@,#�%��5,1;�(: �'&;� 9Y5,1;�;:;! �$� ] 4 15����# ��) 67!06&��# 6BA 6 6 � � � - ��]\¡MP� �,� � Q�l�z�� �T¸ �z�� � z(]

� ¸ ¸ �����\+ !V�;��� la�s] %S]`! �;:���=><>@ ��=>3Cl���]�6�2�*! 3�=>��¢Y<}! #$#�=?�;�"!V��=>5,� 5 7I.�#���! 8/��f=?3I�~eN=?����8(= g�;#�hd=D¢Y1(�$+,� o 1;<>=>! eN����#�]��� ���� ��� ��� 60� ��� 6 6 � ��� 67!0)4��� �po]�MP� �,� ,�Q�l ¸��L¸ � ¸ , � ]

� ¸ �G�)���"��1;<?<>���Hl�¢6]F�f&;�p¢Y<}! #$#�=?�;�"!V��=>5,�~5 7%¢Y5,�(7m5,�$3q!V< �6�2�*!V3I=?�"! <�e2�2#j�'��3�#�]� �1 1%��� 6f� � ����� 6% � ��� 6 # !"� � � 6 6 � ��� 6 !0)%#\]%�����'���$�*!V��=>5,�*!V< ������#$#�l�¢`! 3 �-;�$=>:;@ � l/���)lLM ¸ , , � Q\l(z�� z � z " �(]

� ¸ zV�)��=?<>�;5 ��l o(]g��� ����� !0)%#.!"��� �(� � 69� �� � �� ��1 !7� ? � �5<|�f&;=>�$:+.�:;=B�'=>5 �b]|�6�;�;! <>#5 7��u!V��&;��3I!V�'=?��#�e2��1;:;=?��#�] ���$=>�;�����'5 � _��;=?+ ���$#�=?��� ���$��#�#�lFM�� �,� " Q\]

� ¸"� �)��5 �����(5 ��52��&*!(l0�~]q� ¢Y5,3.-;=?�*!V�'5 ��=}!V<�����+ !V��=}!V�d� 7m5,�1.S#$�"! 8/� �f=?3I�eN=?���$8;=Vg�;#$h2=2��!V�'=?5,�*! <��u! 8;#�] � ��� ��� ��� 60� � � 6 6 � ��� 67!0)4���d�����CMP� � ¸ z,Q\l , , �¸ z �(]

� ¸�� �s��5N��#���&bl �F] � � ¢`!V8(�'1;�$��H5,�(��#a7m5,�a�'&;�Iri! 3�=><?� �GK2MEO�QDR O��_W X � O �|]����� �&����� !0)%#�6&�-6 6 ��� !0� ����� ��-� 6 ��1 �\]�.S1(��5,8/�"! �y��!V�'&;��3q!G�'=>��! <FeN52��=>�\���,lMP� �,� " Q�l ¸ � ¸ � ¸ z,�N]

� ¸�" ����=>1Hl�+{]?li��52��#���&Hl �F]Bl + ! �(@;l�9]Bl*! �;:��a=?�bl��.]i���284����-/5,<>=?�D¢Y5,3�845 �;�����'#5 7����|�C1;<><?�����u! 8;#�]i�F5�! 8;8/�"!V��]

z �

Page 37: Mathematics & Statistics » Boston University

� ¸ � ����=>1Hl +{]?l + ! �;@;l 9]Bl�! �;: �a=?�bl ��] �6�2�*! 3�=>��#�5 7`���|�C1;<><?��� �u! 8;#�] M VX:?E)*'8-e K/&+b' Tl)(7.LZ[�����\ M�� � ¸ �,Q\l;� � � � � � � � � ]

� ¸�� � +¡&��2-;1;�$�bl � ]"�a]|�F5 845,<?5,@,=?�"! < ¢Y&*! ��! ��������= �"!V��=>5,�a5V7N��&;�_eN=>����8;=Vg�(#�hd=d¢Y1;�j+,� ]� ��� ��� ��� 60����� 6 6 � ��� 67!0)4��� ���~M ¸ , �� Q\l;z�� � � z�� � ]

z "