math12adabics62019 · 2020. 9. 22. · q 0/ rate of change ( - gi first derivative] / 3 - gh...
TRANSCRIPT
-
��������
�����������
�����������������������������������
�������������������� !�"�#��������������������$�%&�'�������
()*��+��,���-��./0����
12
34�5�%�36&�78
-
'�9�)����%&�3��:�);�%���6����?2=1@�3A,.��+�;��'���B.6��CA,.��3��D�$��E��"�,.F
+�;��G�! �78
���-��
-
:HH�.HH�HHF
�#Z�������3 [\��9'30��C�������D)�/�]�����+�;��P����9���0���>�8/���^�O�����50������� D�����:_`�D��a��b+���R��:305�#���5�;��0���0�;�[\�/��������P �������,��E��'020���������������P �������� D;��*0��Y� �'8������������d������%e���]�� !�f��"D:����������]�� !����g0)����!0�;���+���!�1_`��b�O���96���:0������/.�(0���5�������280��C��/�����d�����*���B��=h��D������)�(0��A8���]�� !�a���D�/�9���:03 [\��f��_`%/�910��i [\��j����%�0�������/
���-��+��F3[\�/�>0��%0$��j�����;����:�%/
�����b�O���^�>(0����+�����9R����F0�/�l+��!��)�R���m0��� !�0��B�,�5�9#���5�;��+B��C������%�������������5�;��'�.3��k��F0����n��:02�0���/�.�+��! �[\�/�98�+��;)��a"��5�����!����>0��%+���=/0��X��������B��P%�0���5�90��B�:��������X5������ D;�������� D;������ �D��60283��n��X0!���� 0";�9(0���;:[\�/����0,3[\��O��!�o�����/������D��O���5�n;��C;����0"����05�p8���;��6/.�9�����D�������!�>0��� �;����B����]�� !�8.0��)�a���X���-R���YD:/�R�� ��:�O��d/����������F0��05����D�%/�9����+!/���:0��P:������q23��R�����r���D��6���"%����0!��������� !0����280��C���]�����10���;:[\�/
�+��%+D� sN�/�807�;��A05/�90��B�0;:���O���6���"%�63��t��X%�0����m [\���,/�9�����D������ u� ��������:�=/0��X��]�� !�W������j�� ���O��/����%e8�j���/��������P ���k��F0�������%����(0����9'0�� ub�;������u%�"��/�������D��������� /�9+��%�:�#Z����t��0� �0���;%e8����"������;��>0��� �������� ��"��>0��� �;�������� �/�90�������";�/�9����0�q�/�9��� D�/�9����� �v�� ;��������P �����;X�]�����1���,���R����)�80��d�05�����"��9>0���D����/�>0��� ����/�>0��%0$�/���+��F3[\��O���5����@0�;��[\����6���"��R���602�0������F/�9���D)�/������������%e���lZ��F�j�������a��DX5
-m0��%�"�/�m0��%�5��/�m0�����D�V��� ����j��������������O��!�m������D��w0��;���6���"��xn�� 0"�/�n���i0��+����
�6=����;�xf���A30;�������1���30���0��F8/.�w0��B����O���'u8�������t��;"������gh��Z��b3��=uh��D%�0���5�9���%��;���Z��B����udy��>0���D������ u�?�0��B;D� d�����/�90��B����.0�;��A[\����������;��>0���D�����>(0����80��d �[\���Z��F�����/�9m0����d//�9m0��%�"�/�9m0�����D�V��� ����O���5��_ù ��b����!�+5���]�� !�0��B��z�f��"D�/�9+��BX��R�� u��;�x1/3[\������d���w0��B���������?/�]���������0^ �[\05�9������P ������A0A3[\��6���:0��/�1_`�;��A[\�������?/
->0����E���a���X
�9j���)+;�/�9���D�����/�c���30;��������O���x0��BD������� 0D�����)��� ��"��C��(0���=���/+��$%�9+��BX��O������ �����lZ��F�=0��X:�����/�O���6����?�/�O���:/�9���%��;��O��!�o��%+������ ���0��:=/0X��+�����9R���%+���O��"�%�0���a��)3��0��� D������X /�9������;�/�9������ �[\�/
�����-a���D��O������0���lZ��F�a��,���
�:�);�%���6���
-
�HH�.HH�HH�
�9�!���C�/����5.3 [\��#���:0q�����:0q��c��� �>0���^0%���V0��;2�(�h��!3 [\��0���;� �/�9>0��� D��/�O���� D���0���g_`h�*+���:�63��0:���P%����k��F0�������%����]���������.0B��>0��A�8+�/����D��������%Z$;��]�� !� m(0���5�0��F�%������������;�/�9>0���^0%��������?�����7%�D��p����E��j��|� }/
�-����/./������d/�����%0D��v��z������O%+�;��P�9O%���CD�/�#.0�����6������>�80��B��0��B;�2��/�9�������P ��
�9N�+��5 �[\�/�����"�; ����� � �10��X���0)0���A/� s>0�������/�s����C:3��]�� !�9V0��;"��~���;��a�;�����+������-�>0�����D;�/�>0��%�Y��/�����F0�� ����������a��P P;��'0��!��������+��)/�9'0�����������>0���^0%��������F3��=����5 �[\/
�����&�F�9>�+�/��D58��] !�V0;"��a�;���+)/���
��������/��0�;���[\��+��!��)/������$;����A�;�&�����i [\������F0����n��^�!�o�����a��0";�/�a��^0�;��]��/3 [\��'+���������-R��:��)�D5/�./+����a0";�/�9a^0�;05�a0";��58��?��9./+���'��q2�>0:��;) �_`�~����
�a���/����5�7������Y��/�>�.+������90��B� !�>0��� �D�/���������������c��%�D�����;��>0�������������:0q��'+�����������0��3���� ->0���������*�+E;��A05�>[\.0��D���O�������Y:3�
�>[\.0��D�����D5�a����v��Z2/�>[\.0��D���a��������d�'+������n^�D;��A��>_`��P P;��/�>[\.0��D������q0q��'+����������/���-0��B!��X/�>_`��P P;���N����:3��]�� !�����D;�/�9������80@� �/�����A3[\�
���%=�;��]������n�������0��P��������D������1/�+��X��*�+E;��A�/�9���%80�D������_`D�����!����;��(0����[\�����D5����'+������0��3����-0��B� !������0���>0�������/�#80���D������D����
���5�%�9� s���D)�/� s������P �� sw0��B��w����b�05�9����02������� D;������ �D�����,0�!�t��0��0�������+��)�a���D���Z��B5�6���":�63��]����;:���������%Z$;�����%+���9O��d���8�+��������>����%+��/�O��%�%+��/�>0��� D��/�O���� D���0���g_`=�O���O��� i��9s�����0���s����^0%8����F��Y5�t��0��
-j�����;��+��D5/�96�+�����������R��������(0���?3�/�98�������V0��;"��j�������a���)�k��F0����h��2������D����
j���;���/�R �/
c�30;��j%��
-
���Q0/�H Rate Of Change� � � � � ����$;��A�; ( G - G�GI First Derivative�� � � � � ��]/3[\����;C����K - G�GH Derivative Rules� ������ � � � ����0�;�[\�+!��)�� - G�KI Extreme Values� � ���������� � �6��;) �_`�~�����������H - G�K Indefinite Integral�������� � � ��./+������@�a0";��� - G�G Definite Integral���������� � � ��./+����a0";��� - G�{ Chapter Exercises��������� � � �����������0�������!�O����%80����������� - G�
H Matrix � � � � � � ������������ ( G - K�HL Matrix Operations��������� � � �>0�������] !�>0� �D���K - K�{ Matrix Multiplication������ � � ��>0�������V�^�� - K�٦٣ Matrix Inverse���� ���:0q��������O��D5���������� ��5�7����Y����H - K�G Cramer`s Rule���� ���%�2�'+!0)�*�+E;A05�O�;��b�O�;.0D�O�*0Y:�a��� - K� Chapter Exercises � � � ���������0�������!�O����%80����������� - K�
L Exponent Equations������ ��� � � ���A[\��>[\.0D����G - �{K Logarithmic Equations��� � � ����;%80@� ��>[\.0D����K - �٨٥ Series >_`P P;���� - �{L Arithmetic Series��������� � � ���50P���� P P;����H - �L Geometric Series��������� � � ����A+�B��� P P;���� - �LL Chapter Exercises��������� � � ���������0�������!�O����%80����������� - �
GI Standard Score�� � � � � ���%80�D����_`D���G - H�
GI{ Standard Normal Distribution����� � �#80�D����D�����%=�u;���K - H�
GGH Chapter Exercises��������� � � ���������0�������!�O����%80����������� - H�
R��$�%�R��-��ST�)�/�%��78&�;/�
���Q-*/�B�*U� 78
-
�
-
٣
G� --��6��;)_`���$;��A�;�.0X%��K� --]������vz�] !�60D���O�;���5�u80�����6��;)[\��]�����d0���a��.0X%��� --��6��;)_`�]/3[\����;C���*�B��] !���D;�H� --��6��;)_`�]/3[\����;C���.0X%�������0�;�[\��+!��)�*�+E;A�� --R0X������6��;)_`�)0�;�/�+%�h;��>[\0X�+%+��� --0B!�:�+%+��/�R0X������6��;)_`��� ����~����������O��D�� --a0";��*�B��] !���D;�{� --./+������@�a0";��.0X%��L� --�� ;E���>_`0";��.0X%�����./+����a0";��g0�b�*�+E;A�
���:�"%�63��0B;�C:3���a!0�;�/�'+����lZF��A�8.�O�(0B;: �[\��+D5��� ���O�)�;%&��i[\��1_`b�O��u� �D��'0�������a0";�/�a^0�;��.0��c�����] !�O%8.0)
-
٤
����X��YAQ���1�Z�1�Rate Of Change
���;F
�1��[�5��~�;��P�]�� !�>���%h��N����:��.������O���������P ���n��%h��u+��D%�
�-�������P ������ g0D ����%.0�;)�����0!.�au"��C%/�9���0D�
�n��%h�/�96���;%h��O���O����P ���w0��;:���l0��:.��1/+��X��+��,�%��O���>.8/�0���2�9*KIGH/��*KIG����0!������w�E;��P��
-#h��2����(0���� �[\��=0��B�
�'9��6����/$����+2=1\%�+2=1]�'���;��3��^���_�`�/��a� VM����/N%��Q� VM����/N������
��&6�0��K�]���G�O��>��$�/�9m0:��;)����W�602��z��
�����h�05�R�h�%/�9G��K������)������$;�
W��h�05�R�h�%/�G���K��GW��KW��W����)������$;�
����+2=1]+2=1\'���;��'�6���X��6�;%uh�����2IIIGIGIIIIII
Ww�E;P���n%uh�����2G{IIIKIII_________
-Od�III�#/0P%�*�KIGH�/�*�KIG��0!�O�5�6�;%uh�����2������$;����
�- �#/0P%��+2=1\�%��+�2=1]��0!�O�5�w�E;P���n%uh�����2������$;����
-
٥
�1��b�HHc�
���;F
�2��[�5�
��&6�0��K�]���G�O��>��$�/�9m0:��;)����602��z���
K��G��9(G���K�
G��K�� G
W��KW
G��K��
W�� ����6��;)_`���$;��A�;���������
-H�K�]���G�G�O�����)���$;��0+�!�������$;�� ¡+���
- ��G��K���
W����)������$;�����)�0���9K����9G��G�n:02/�9KK¢�����W�602��z��
� VR0�
�G��K��� GK��K
� K��� �(G����������G���K���W�
�z0����K(GK-��K(K-����� � ����������������������������G¢������ � �����������������������
G¢������� � � � �
(G�10q��������G�#/0P%�������$;�����)�6�"%�0+�!�W����)������$;��0��W#����
-
٦
���X��YAQ/�� V3A.�C��+QC-/�
������]����1����;P����)��z��
((K�9K�9G��9G�O�;����
�#/0P%�1�d0������;P���a��6�0�(G���K�
G��K��
W��
����$;��A�;
�2��b�HHc�-� 9 �������$;��0+�!�9�£�K����6��;)[\�������$;��A�;� ¡tP���
� VR0�
GH���£ K(���������
I���£ K(���������(����
�� ��GW��KW
G��K��6��;)_`���$;��A�;������
GH��I
K �����������������������������
{�����������������������������
((G��9G
1
((K�9K
GW �KW��W�
G �K���
�
W
-
٧
��&�A���O���G���{���L���
(G���L�
G��L��
(G���K�
G��K��d0���a��
{
��{G��L
{
�#/0P%���6��;)[\��]�����d0���a��6z��
��6��;)_`���$;��A�;�0���9I�9KV�9�9�H¢��O�;����������6��;)[\��]����1����;P����)��z��
� VR0�(G���K�G��K
��W�� ����$;��A�;�����
GW��KW
G��K�������������������������������
I��
K��H¢ �������������������������������
G¢�¢ �������������������������������
�\��b�HHc�
�]��b�HHc�-8/0X���a"C05�aq��� (��6��;)[\� ]���� d0�� a�� ¡+��
VR0�
��
٨ ،٩
٣ ،١
W
��]
���
-
٨
�d��b�HHc����$;��A�;� ¡+�3��9GI�#/0P%�¤�9¥�] !���6��;)[\����$��A�;�602/�9H£��K���F�602��z��
-0B��z�'�;���] !���F�6��;)_`
� VR0� (����
�� ���6��;)_`���$;��A�;
GI�
(�F���F��
���F�6��;)_`���$;��A�;
�H�£��K��H�£��K��
(�K���K
��
( (������
K ��� � � �
GI�K KI�
-
٩
��1�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
K
H
-K�]���G�O����$;��0+�!����i [\��>0:��;)[\��O�a2������$;��A�;� ¡+����
-�K�9�IG�����������������9�K������3�����
-�K�9�KG�������������������K�£�K���F�V���
�-�K�9�G¢�G�������� K£ �1������
�9�#/0��P%�R�� ��602��z�0����9H�9�����9K¢9GO���;������������6����;)[\��]������1����;��P�������%�-�����n��50q�������)� ¡+����
�6��;)[\����$��A�;� ¡+���9�#/0P%�¤H�9K¥������6��;)[\����$��A�;�602��z��
-'�;���v �����K�����F
�3��n50q�����)� ¡+�3��9L¢�#/0P%�¤9�G¥����K3����6��;)[\����$��A�;�602��z��
�K�]������G�O��������$;��0��+�!���6����;)[\�����������$;����A�;�602/�9{���602��z��-���+�����9K¢�#/0��P%
�¤K�9¢¥�'�;���] !���]����8/0X���a"C��aq�%
((K��9K�/�¢�9¢�O�;���5���%�#Z��d0���a��tP��
-
١٠
�O�%�78���5/���2�Z�1� First Derivative
�1��[�5��.����� [\��]�� !�a��b+������%�^�8����)��������+��)/�-0��B�0��:/����/+������C: [\�����A0A[\��a��%��;��8.0����O���t��g��7��u+��D�������#����P�����B b.�������%�O��%Z��.����� [\��]�� !�¦�a��b+������%�^�6���"��o�����9�����%�^�4g��������������BD%=���1_`��b�O��
-§��������/��0��%�+B��]�� !�����%�^�O����P �����������������O����������980���%.�c����G-G�O���5
�z0��m���,�#/0P%�m�80�%.�GKI�l8+)�§����] !���%�7��8�+�
-m�80�%.�I��GIII �
GII��80�%.�GIII�] !�ab+����%�^�8�+�
- ��KHII�
GII��80�%.�KHII�] !�ab+����%�^�8�+�
- �80�%.GKIII�] !�ab+����%�^�8�+�
&6̈�0��GIII��GIII�o����l8�+��#Z��ab+��] !��^/�������%�7��8�+��Wn:02��z���&=��05/�
e�f�/�����6�g GII ��/����O� F�h) /���)i��/C��^�j�kU78�l�����
GII��mn
*���;F�6�"%���6�0��9'.���
( �����F�£��
�Fهـ �n:02/�9����+�!�m0��D���W�602��z���
- ���+�!���6��;)_`�]/[\����;C���]�P�/����+�!��0�;�_`�m_`50)
| ́W�/3��-�ª� n��� �/3���� ́��h�05�0B�h�%/�
-��,�� n��� � ́��6�0��9������.+!� ��o���9 ����W�n:02��z����1��
-
١١
�1��b�HHc�
�2��b�HHc�
&���i [\��>0:��;)[\��O�a2���;C� ¡+��
H¢�WK (�� W (V L{��� (3�
� VR0�
&o��9�G¢6 ن��� ́���u6������602��zن0�����9� �]��
-
١٢
:{¢ ́��.0X% �_`��� K ����602��z��K ��� �
���z0������� K ��� �
G¢ K K �� ́�����0B�/G
K ���������� �������
- ���{¢ ́��0B�/
�2��[�5�
�-����F�6��;)[\��6�0��9I� ��9m0������m�.+! ��602/�9�0�;�_`�m_`50)�0:��;)����602��z����\��
-
١٣
��2�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
H
K
:0B� a"�� 50��� ���) +�! ���i [\� >0:��;)[\� O a2 ��;C� ¡+��
GII ��+�! � � ������������� �K¢�����3�����
GK����+�! � � �����������������������������W�V��
¢����+�! � � �������������� ��������
G� ��+�! � � ��������������� �����.���
G¢����+�! � � ��������������������� �����F���
&���i [\��>0:��;)[\��O�a"� ́���+�3����
���������,����9���¢�H ����3�����
I®II����V���
H���������
���+�! n��� ����)� ¡+���9�� ́��602/�9���W�602��z��
��n50q�����)�0���9I��Ḱ��602/�9�����602��z��
-
١٤
��p��!78.4Q#��]�Z�1�Derivative Rules
�1��b�HHc�
�1��[�5��lZF�a"C�/�-R;��5� ¡R� � ¡%�s�¯5����1=0����4�A3��O!�(0;C��a������80�3[\��l0����X��*+���Z������P ���.0;!�
-c����a������l0�����:�� "C�] !�t $; �����P ���R5�*��%�#Z���g0���.0����O�m�(h���� �D�
-1=0����+�3��4�A�8/0X���a"C��aq�%
�£K�]�����4�A���0P
&�)_`D05�]�D��*KIG�*0D�����*�D�X;���l0�������2
=q@����+��+�;��,�9�78�[Q�A�b.;�����2+��O� /��(9A��U����9*I®HIH�#/0P%�*�KIG�*0!�80�[\��p��A�1+D�602��z��
- ��n����4�A�O!��D�X;���l0�������2�6�0�
�)_`D��lZF��0�;���O"�%�c�2
�&6�0���F�������602/�9�0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�/���602��z�� �1��
-
١٥
�2��[�5�
�]��[�5�
� ́�F� � ́��� ́�F�£��&'+!0���tP�5�3��z0���KGK�£�GI�� ́�F�£���&0B�/���
GI�GGI��G ́� V GK��K(GGK��G ́�F
( ́�F ( ́��� ́(�F ��63��0�5/(GK� (GI��G ́�F (G� ́���G ́(�F ���&6�0�
K¢����������������������
�&6�0��9��£�K����602��z��
�z0�����£�K�°��� ́���
������������������-_______________ �́��
&6�0��9K�£���*�9K�£������&o����£�*K�¢�����602��z��KL�� ́ �
��́* �
́*K�� ́�� ́� �- � � �- ��K¢ ́���&0B�/���
(�(G£K��� o���9 ́��¡+�� �$�r� �
-
١٦
K¢�/�F���.0X% �[\�8/0X���1/+X�����>0��D���+�;!�(K¢ ́�F (K¢��F (K¢ ́� (K¢�� G- H-
� VR0�1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C����1/[\��6��;)[\��O�:��;)��V�^�a,0����;C
(K¢́��� (K¢�F�£��K¢ ́�F�� (K¢���K¢ ́�F���� �
H-��� G¢����£�������� ����� � � �
L�� � ��� �
&6�0� ����+�!��0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�9���602��z�� �2��0� "05/
1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C���1/[\��6��;)[\���O�:��;)��V�^�a,0����;C
�2��b�HHc�
�\��[�5��/0P��́���6�0��H-�- K����602��z��
1/[\��6��;)[\����;C����:0q��6��;)[\��£��:0q��6��;)[\����;C����1/[\��6��;)[\����́�
(���H���£�H¢�� K�� ́�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Ḱ��0B�/
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
-
١٧
�]��b�HHc�
�&602/ ، ��F ���602��z��
-GI/�+�3��9G��GI ́�F�9K¢��GI��F�9¢��GI ́���9K��GI�
VR0�
&6�0������+�!�I�����F�602/�9�0�;�_`�O� 50)�O�:��;)���F�9��602��z�� �]��0� "05/�9
K�F ́�F������ ́�����F
� ́���F �� ́
K((GI�FGI ́�F���GI���GI ́��� (GI�F
� (GI ́
HG���K��¢�� K¢
�
HK{¢
�
¢�� �
-
١٨
�\��b�HHc� {
L��Ǵ��63��j���3��9 �� ،
H����K����602��z�
VR0�*0������;C���P����P�����;C���*0���
*0����5� � ́�
K(��K(KH����H¢���K
��́�
K(H¢KG¢��H¢�H¢
� (G ́�
{L
GG{
�
-
١٩
��]�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
K
H
�1/+X�����>0:0����] !�.0�;![\05
&��30%�0� ¡tP���8/0X��������
( ́�FH���V��� � ́�FK£����3�
(� ́�F°���.������������������������������ ́( ��F ���������
&+�3��9��K����F�9�£�K����602��z���
� ́�
́�F���������� � ��́( ��F �V���������������������G ́�F£����3�
K¢ ́��°K�/����������������(K��F × (K� ́���F����������������������K ́�F°���.������
(��F�+�3���� ́�F�9�� ́��9����9GK�� ́�F�����602��z��
¢��L�F�9GK¢��L ́��9��L��9��L ́�F�����602��z��
��, � (�F� 6305�m0� !�9L� ́�F�+�3�
���n50q�����)�0���9I�́��602/�9¢£K�����602��z��
-3��n50q�����)�+�3��9{���(G ́�F�����602/�9K�¢�K���F�9�£�3�K�¢�K����602��z��
���n50q�����)�0���9 KG
�¢�G ́��602/�9����H�� ����602��z��
(�( ́�(�F( ́�F
LKG-
-
٢٠
��\�Z�1�
������-O��d�����'0������m0�A0A3��m0� ��(05�B"��u+D��+,8��;%/��->0�0D���O���q"��a�D;��0B:/+�-�!0P��8�+�] !�O��P �����(05�B"��_`B;A�
�������10��[\��%=���4 ²̂ �%�8/0X���a"C��*�������0B����^/�+�����������(05�B"��O
-*KIG{�*0!�O�1/ 3 [\�
Extreme Values
��# �ST��sQ*���:����1��[�5�
���;F&6̈�0��9G �K�a"�&602��z��9¤V�9��¥�'�;���] !�m�+%�h;���6��;)[\��6�"%
-¤V�9��]� K�9G�O%.+!�#[\�G���(K�� (G��(K��6̈�0��9G��K�a"�&602��z���9¤V�9��¥�'�;���] !�m0�)0�;���6�"%/
-¤V�9��]� K�9G�O%.+!�#[\
�0����a���%/�=�W�9�����:�#3��+�!�>0��P��8����t�����l0X�[\���0����0BD��%��;���%/�h��]�P��-m0�0A�a����6�"%��������F��%/�h��n:02��z��/��-m0����a����6�"%�'.0���F��%/�h��n:02��z�0��-�F
�VNEFj
�0�0�,�'��0D���!0P��O�vZ2�9m(0P��DA0;���!0P��];�/� m(0P��P0E���!0P��O�+%�h;��10��[\��6��´�[\3��¢-m�(0P��q0q��];�
- �'�;���1_`b�(05�B"��10����)0�;��¢
-�q2[\��] !��q0q����8+��O�./+���'��q2�>0:��;)[\��] !��0�P���ZF�����A�8+����;�;A��tUST�
>0!0P
�
_`B;A[\�
٥ مساء ٧ مساء ٩ مساء ١١ مساء ١ صباحا ٣ صباحا ٥ صباحا ٧ صباحا ٩ صباحا ١١ صباحا ١ مساء ٣ مساء
-
٢١
�2��[�5� �£�K� K���6��;)[\��]����8/0X���a"C��4 ²̂ �%
-0��P��
�������������������-¥G�9�¢¤�'�;������)0����;��63�� ¡́ �[\��¢
� �R ��'80����6̈ �0���Z�9>0��P��8����t�����l0X�[\���K�F� ��%/�=���%�K�0����¢-¥��9G¥�'�;�����
�z0��-¥��9G¥�'�;������+%�h;��63�� ¡́ �[\��
�&6�"%���6�0��9¤V�9��¥�'�;���] !m0��D���602��z� :*
-
٢٢
�2��b�HHc�-0B!�:�.+�3�/�9>+�/�6���9
-
٢٣
-���1���+%�h;��]���)0�;��O�R2� A��u�@��F�6��0�2��
-H¢����F�0B;��)/���+�!��� ��~�$,����)���F�6��;)_`�6z�����
�]��[�5�
-
�-
-
٢٤
��\�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
K
H
��F٦ �F�6��;)_`��� ����~�$��/�]�YD������� ¡+��
-8/0X���a"C�����*�A���
�&+�3��9��;��0
������0/�9��;�� ¡.+�3�
0B��a2�N�:�0/��6��;)_`�~�$��/�]�YD��~����
�-R0X����~��)���)�K�£�K��N�6��;)_`�+��%�[\�R:��O�5�
-
٢٥
���&%.0/����w�R��$����d�Z�1����������������
�1��[�5�
�2��[�5�
�]��[�5�
�]���1_`�;A �[\���0��O�1��;;��90B��8u+��5����80b�>0!0��������� ;E� sV0�A3[\/�90B;D���5� m'u���V�DC��+�¡��~�)3������P ���tDC��V�7%/�-+%+��O�a�;P;�V80��/�*/0���V�DC0��9*/+��[\��0��0B�"�-1_`;�[\���0�
-vz�] !�� q3 [\�1_`�;A[\��f"!�1_`;�[\�
- �f"!�*+B��0�2- �f"!�0��:��;)[\����� g0!������D�O��"�%�R��:������D%��Z��F/�9a��^0�; �����P"!����� �!�90��F8�,�~+�����������9a��0";������ �!�����;D�/-� ́��n��}� � ¡!��z����9�
�Q$F��j�'$/����'+!0)�6�0��9K/��R;�;C�6��o���9m0:��;)����602��z���-K��G�
-�����������£ K��K�
G
£ K���
�����- �����F�6��;)_`��0D��'8����6z��
&6�"��+)�9a^0�;�����v���b�1_`b�O�9��6��;)[\��'+!0)�6�0��9��́��602��z��
K������
-a^0�; ���P"!��� �D2�a0";���� �!�c%�D�����F��>(0��0�F�O�- ����/3�
-
٢٦
�\��[�5�
���;F�#/0P%������P�05�́��6��;)_`�./+������@�a0";��6�0��9́��]/[\��R;�;C�m0:��;)����602��z���
�&6̈ �0���0!�'8��5/�9�h�05�a0";���� �D�h�%/�9��£��
-������.+!����o���9���£������ ́�
-��/��602��z��
�� ́� ���6�"%-������.+!����o���9���£ ����6��;)[\��'+!0���0D��'8����6z��
&%.0/����w�R��$��.4Q#-60������6�.+!���9��o���9��£����� �� �1��
-
٢٧
G¢�� ���96!+.��960������6ن�o���9���£�G£ن�G�£ن� ����
4�#.>���2 ن
�2��b�HHc��&O���i [\��O� 0";��O�m_`2�+���
�� �V ��� ��3�����
� VR0�
���£ H GH ������£�
G£�G�£� ��m���
�3��� �
���£�G
١
١ G m��� -
G
�m��� �V���������
�����£ H
m H
�d��[�5�G��G��6305�m0� !�9 H�� ́��R;�;C�#Z����6��;) �[\��'+!0)�+�3�
���� ́������ �
�� H�������������������
- �������0B�/�G���G��O"
- �����6��;)[\��'+!0)�6z�
-
٢٨
&6�0��a0"; �O� 50)�O�:��;)����F�9���602��z�� �]��
-
٢٩
�z��[�5�����£
� ��£
� ��£
� �m��� (
K�£�K�£ K��١
�z0�������£ ��m
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������m� �� K�(K
-������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&63��´�[\3�
�����9I��9������.+!��o���9��-��N�602/�9a0"; �m_`50)�m0:��;)����602��z�� �\��
-
٣٠
��d�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
K
H
&���i [\��>_`0";��O�m_`2� ¡tP��
�� �������������� � ���� K
��V���� ��� (¢H£K 3�
����HIIK��/�������� ( £�K £ ���F�������� ( KK� £ H¢ ��.
-G ́��+�3��9� ({£H- �����602��z��
- ́��¡+���9��£K�£�K��� ́��602��z��
-� n��� � ¡+����9� (£K��W�602��z���
-
٣١
���&%.0/��R��$����y�Z�1�Finite Integral
�1��[�5�
�2��[�5�
��������%0!���h2����C:�] !������P ��������'8�=/�n � }!�-��:0"P��>0D�X;�/�9~����c ;E������/3 [\�
-10�d3[\����:��D50;�h2�����lZF���+F3��O-a����1�d������$;���D50;�1_`b�O�vz/
�O��A�O���10���d3[\������:��!���A�]������4��^�%�8/0��X���a"��C���������]��������;��C�]���������Z��F�a��q�%/-m00!�G{�]���������,
&63��+��X:����A�05��:0D;��A[\05�-10���d3_`-��AJ�A �#/0P%�O�;�A���!����a�d���:��!�A
-��AJ�A �#/0P%�>���AL���!����a�d���:��!�A
�]���KG�O����$;��0+�!�9¢K� ́��'+!0�05�R;�;C�]�D��#Z����6��;)[\�������$;��V0P��.��¡%�-��6��;)[\��'+!0��w0;�:�96��;)[\�������$;��.0X% �[\�-K
�� ́����
�-��£-K�� (¢K����
(G���K� ��������$;�
&%.0/��R��$���78%�
W#���>���A�L - K�OA�O�5�a�d���:������$;��8�+�����D�O"�%�c�2
>���P05���D�
2d2\2]22212=1>1@1z1y1d1\1]12111=>@zyd\]21
= �] �y �> �12 �1d �1@ �
��AJ�A
������
�!�A
-
٣٢
������-���£�� K(������������
- ��K������
(K��������$;��8�+��&6z��
��K������6z��
���;F9����V��
�
V| ��m����́��
V
&6�0��9�0�;�_`�m_`50)�m0:��;)����602��z���&%.0/��R��$�
�-60������6�.+!�V�9 ��9�] !3[\��+���&V�9�]:.3[\��+������o����
�1��b�HHc��&O���i [\��O� 0";��O�a2����)� ¡tP��
�� (�£�K٠
K
(G
�� (��K١-
G
(K
� VR0�
٠
K| £K������ (�£�K٠
K
(G
GH�I��GI£H�������������������������������������
١-
G| -K��m���-��K١-
G
(K
-
٣٣
((G¢-(G¢K��((G��(GK����������������������������������������������¢������������������������������������
GI¢���������������������������������
�2��b�HHc�
�]��b�HHc�
-��� ́�K١-
K
� ¡+�3��9��K��9��G¢��602/�9��6��;)[\����;C� ́��n:02��z��
� VR0��
���z0����������� ́�G-
K
K��m���� ́�K١-
K
١-
K| ��K�� � � � ((G¢���K�K� �������������������
H����K� � ������������������
-� n��� �+�3��9��� K
K
W 602 �z�� �$�r�
:HHHH)H;F�-m0�g�.�m���,�#/0P��./+����a0";����;C
V�n50q�����)�0����LI���� (�£�HV
602��z���
� VR0�
�z0������V
| ��£ KK�����-�£�HV
-
٣٤
�\��b�HHc�
:HHHH)H;F�������.+!�V�&o���9��,������
V
V
�� H(H ��
����)�0�
-]:.[\��+���#/0P%�] ![\��+���6[\�9��,���� H(H��
� VR0���������
V��Q���������� � �����
LI��V£KVK�Q�((�£�K���������������������������LI��V�£�KVK��LI��������������������������
�z0���-K ���V����/3����I��V��&6z��� � � �
�&%.0/��R��$��O)4�&%.0/����w�R��$��.4Q#�{�/|�� 9�F��tUST�
�]��[�5�
| {�£�K����� ({�£�K
-��������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�63��k;�;A3��
&%.0/��R��$V��}I�*i������g
-
٣٥
�\��[�5�&��i[\��1/+X��a�23��9��£�K�������602��z��
b%j78�R��$V�b%j78�R��$V���/�#3��Vc��R��$V�3��Vc��R��$V���/�#
O�%�78����0������G
H-�����
G
����c�����0�����K-
I
�����I
K-
G
��-�0��a2����O� 0"u;�����)�O�5�680)�
- �&63��k;�;A�
:HHHH)H;F�����
V
�������
�
V
�d��b�HHc���� (�£��K
H
G
����)�0����L������G
H
602��z���
�� H
G
�x���
�H
G
K���� (�£��KH
G
� VR0���
H
G| ��x����
�G
H
K¢��������������������������������������
�z0����������K{- �£�LK¢������������������������������������������ L¢��KG���G{¢������������������������������������������
-
٣٦
�d��[�5�
:HHHH)H;F�&6̈�0��9V����� ��o��5�������.+!����602/�9¤V�93�¥�'�;���] !�m0��D���602��z���
-��0^ �[\����,0b���,0E��lZF�]�P�/�-��������
V
��£������
��
���������
V
�y��b�HHc�����
-
����)�0���9H�m�����K
�602/�9�K������-
K
602��z���
�����K
�x������-
K
������-
� VR0�����
������������H��������£�������K���������������������������������� �
I������m�����-
������-
�&6z�
GI��I��Q�K��I
K| £KK��� (G£HI
K
3��
�- ��K��Q���K
| £KK��� (G£HK
V
�- ��I��Q���I
| £KK��� (G£HI
���
-���N��������;50���/�V�/�3��O�!��������;50����O�5�680)3�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�63��k;�;A3�
&6�0���� (G£H ����602��z��
-
٣٧
��y�Z�1���RI���%�'�,�/F
G
K
H
&��0;��>_`0";��O�a2� ¡tP�3��G
� (�£ G
H
������������K���K
V����������� (G�£�K-
G
�3�
��NKK-
K
���)�0���9��£K-K����N 602��z��������
� (G¢K£�F
G
���)�0�9GK����FG
�602��z��������
V�n50q�����)�0���9GK��V£K
�602��z��������
���n50q����)J���)�0���9��,����G-
��
�602��z���
���F���K�G-
&���)�0���9�����F
G-
9G����G-
602��z��������
����HK
����)�0���9L¢����
602/�9����K
602��z��������
-
٣٨
�HHHHHHH��HHHHHHH4�'HHHH�,�HHHHHHH/F&��������50� �[\��h8��;b��&1/[\��1�yP�
(G ́� ���) 0���9I��9K� � 602 �z�� �-G
K¢�. � � �K��� � �{�V � � �{¢�3�
KK�9G¢�G�+�!�K-K��6��;)[\��]�����d0���a��0�-K
L�. � � �GK��� � �¢�V � � ��3�
�W�����)�0���9��602/�9�K �#/0P%���6��;)[\�������$;��A�;�602��z���-
�. � � �G{��� � ��V � � �L�3�
�G ́�����)�0���x�K (G����602��z���-H
{�3�GI �V�G{���¢�.
́�����)�0���9K��9G�£�K��K ����602��z���-
�3�¢ �V�GI���G�.
-
٣٩
́�F��K����)�0���G¢� ́�F�9� ́��9K��F�9¢����602��z���-
�3�����¢ �V����G{¢�.
GI¢ ́������)�0���9�9GI¢������+�!��� ��]�Y!����)���6��;)_`�602��z���-
�3�����GI¢ �V���,����.
Ḱ�����)�0���9��£H��K��� ́�602��z���-{
GK�3�����H �V�K¢���{�.
{́�����)�0���9� (K���£ G
L
��602��z���-L
KH�3�����HH �V���,���K�.
� (K£��G
���)�0���9H����
G
�9���K
602��z���GI
K�3�����L �V�����.
-
٤٠
���n50q�����)�+�3��9���,��K ́��n:02/�9�� ����� �����602��z���&�:0q��1�yP�
G{ K�]���GG�G�O����$;��0+�!�9 K�� ����6��;)[\�������$;��A�;�0�&o0q��1�yP�
��,��́��o��5����)�J����)�+�3��x��GK - ��� 602��z���&5����1�yP�
:G�£�{ KH���F 602 �z�� &.0P��1�yP�
(�F 6��;)_` )0�;�/ +%�h;� >��;� 0���3� � �
0B!�:�0/�9�F�6��;)_`��� ����~����������0�V � �
�V�n50q����)�J����)�+�3��9KH��� (G�£ KV
��602��z�� ��&f0E��1�yP�
&��i [\��1/+X��a�23��&���z��u�)3��� ��&50P��1�yP�
=0X:[\��~�;P B&78��!~���E� A�; ����
���$;��A�;�] !�ag0P�a��+!�����0����>0:��;)[\����;C�+��
>0:��;)_`��� ����~����������.+��./+������@�a0";��] !�ag0P�a��
����;��ag0P�a�����./+����a0";��W��b�c�/�
-
��/���uq��O���a���E�������;D%�-���!�8h05��������Z��F������F3��r��)0:��----'+���!�/� s�����,������R��;!�8=�]�� !�6���!8�h��٤١
-
���:�"%�63��0B;�C:3���a!0�;�/�'+����lZF��A�8.�O�(0B;: �[\��+D5��� ���O�)�;%&��i[\��1_`b�O��u� �D��'0�������0B� !�>0� �D�/�>0�������c�����] !�O%8.0)
G� --0F�,0�!/���������]�����Du;�K� --0�B��d/�O|�;��������k�0:�.0X%��� --O|�;�����V�^�k�0:�.0X%��H� --��:0q��������O��D5���������� � u�5�7����Y���.0X%��� -- u�5�7����Y���*�+E;A05��u������>[\.0D� ua�� --��%�2�'+!0)�*�+E;A05��u��E��>[\.0D���O�*0Y:� ua�� -�����5�7������Y�������%�d�*�+E;��A05������E��>[\.0��D���O���*0��Y:�a���
�-��������
٤٢
-
٤٣
�HH�QHH-*/���1�Z�2�
�1��[�5�
���;F
����������+��B5�x>�����A�GI�a2�'+����/�'����*0��D�� u�:0"��P��.�+��D;��(������05� u������P ��� u#h��2����(0���� �[\��=0��B��*����%�1_`��b�O���>0��:0�� �#����A�o��%+�;5�=0��BX��*����%/�9 u������P ���.������'0���������0��];����1���������������>0��:0���
�->0��Y�0����a2�O���>0����!����A�8.�*0��D�����%0B:�]��;���������P ���>0��Y�0������D5������60"��P��.+��!�1����� u#h��2����(0���� �[\��=0��B��>0��:0�5�n��:02��̈��;��*KIGH�*0��!������0����9c����I�'h��@�9c����H{�0���%8��9c����L�+�����&����i [\02�c����V���) [\�*KIGK
-m0������'h��@/�m0�����G0���%8��9m0�����HGK�+�����&����i [\02�>0��:0����lZ��F�o��%+��-� �#/0P%�*KIGK�*0!�+���60"A�.+!
- �#/0P%�*KIGH�*0!�0�%8��60"A�.+!- �#/0P%�*KIGK�*0!�'h@�60"A�.+!
&��i[\02�'+�!�/����,����>0:0����lZF��²Y:� *KIGH�*0!�60"P��.+! *KIGK�*0!�60"P��.+!
_____ _____ �+��_____ _____ 0�%83�_____ _____ 'uh�����������@
~�b����Y�����>0:0����lZF�t�����O"�%�c�2
�'8����960F.+!�'+�!�/�*�0F.+!����,��¯�F�] !��������.�+![\�a"C��a��;P���Y����F�&��������-6���*�� F���O���������6�"�/�9��g0XB���/����+�05�0B�h�%/�9 �N����O�O�A�)�O�5
Matrix
-
٤٤
�2��[�5�
�1��b�HHc�
:HHHH)H;F�
KI
����������������9�
GI
IK
GH-I
��V ���9�
G
K-H{-
�����n:02��z��
�z0��-K�#/0P���������������8�3��- #/0P��V������������8�V- #/0P����������������8���
K� �)i./� ]�P%�vZ/�9��������������:0q��.��D�/�o0q��c���d0������.+D���%�.�
-�������������{¢�0B;��)��;��� b+��� ²�A���$�r� �
&o���9�F�#��h�05�R�h�%/�9� b+��������������.+!�a2�]u�P%�-� b+���R������#Z��.��D��&�F�9� b+���R������#Z��c���&#
&���i [\��� ¯A3[\��] !� ¡t��30��9
{-
K-L
������������n:02��z���
��������������8�0�3�K����9GK���9KG��&���i [\��>_`b+���O�a2����)�0�V
�-��������������0B;��)��;��� b+��� ²�A����
-
٤٥
� VR0�-K�� ���������������8�3��
{¢�K��� b+�� � ��������9L�GK��� b+����� ������9��KG��� b+���V�z0����-�KK��� b+�����
�]��[�5�
�\��[�5�
�&6�0��9�{L
-
G ����n:02��z��
- �#/0P���������������8��KG�
- �GK�- GK� - KG�
-��,�0B��a2����)/�9�D583��0B�_`b+�.+!�6�"%�o��5�9��"����>0����������� ¡t;2��
I I I I ���
- �V�
- �����
-
٤٦
:HHHH)H;F��&>0�������N��:��O
:�*����Q-*�-6� G�0B;��8�6�"�/�9'+�!3[\��O�6/�9���+��/�c,�O�6�̈";���;�����������F
:&Q/;����Q-*�-G� *�0B;��8�6�"�/�9������O�*�/�9���+��/�.��!�O�6�̈";���;�����������F
:�;6�/����Q-*/������������]���P�/�96�#/0��P%/�'+���![\��.+��!������������.+��!�0��B���~/0��P;%����;���������������F
�-����:������������O������D5���%�h�05�0B�h�%/�9m���,�#/0P��0B���� b+�a2�6�"���;�����������F����-*����Q-*/�
�2��b�HHc�-0B!�:0/����i [\��>0�������O�a2����8�0
-��II
II
II �/��9��
HL
LG-
G
�N��9�
IL
�W�9 I® L- K ��
� VR0�-.��!�������W�9G���W����8�K � � ������-c,��������F/�9�G������8�G
-�%��,��������F/�9�K�/����8�H��������� � ������-�q0q��������O��D5��������N�
���;F-�%/0P;�'��0�;���0�B�_`b+�����n:02/�90BP�:�������0�B�602��z���V�9��60;�������~/0P;�
-
٤٧
&���i [\��>[\0���O�a2����60;%/0P;�60;�������n:02��z���0����O�5�
IG
G
{
��V� � ��9��
IG
G
{
����
� L G �W� � � � ���9�
GL
�
� VR0�G (-�%/0P;�'��0�;���0�B�_`b+/�90BP�:�������0�B�6[\�x60;%/0P;�V�9��60;������K (×G��W����8�03��G×�����8�63[\�9O�;%/0P;���@�W�9�60;������
V����aDX���;������)�0���9 L- H ��V�9
K£�� H ����n:02��z��� VR0� L- H ��
K£�� H ��6��0�5 �
L¢��K£�6z�� �
-GG¢��6��k;�%��.0D��� ua�5/ �
�]��b�HHc�
�\��b�HHc�
W#���-KW��9K��u6��Ou�5��9�
H
HK£ ���
G£WH
KH ��&602��z������
-
٤٨
��1�Z�2���RI���%�'�,�/F���������Z��B�602��z�0����- u#���g�+�/�9a��;��P���9��5����&6�������O���10"��������?_`?������0�h�����:�/_`������k��;�%
&����30%�0���2�m0����%�N�����a2�0��BX;�%����;��6�������.+��!�602/�9R�� ��*�8���������bi[\�/�9a��� E�������0���F+�3��O���!���-a"C��#�g�.�m0��,�KI�9a"C��a��;P� sO�,�HI9a"C��5�� sO�,�II:R�)`�
� ¡t��;2��-a"��C��#���g�.�m0����,�G{I�9a"��C��a��;��P� sO���,�KI�9a"��C����5�� sO���,�HII :^HH)��+,-�K���������O�����������a"����]�� !���50��P��>0��:0���
: { G ��������9�
{-IG
IGK
IH
���V����9
III
III
������n:02��z�����
��50P��>0�������O�a2�����8�0���3����0B��a2�N�:�0�V�
�GV�9�GK��9K G���&���i [\��>_`b+���O�a2����)�0����
&��30%�0�������9V�O�;50q����)� ¡+�����
G�£��� ����
V
V¢H ��3���
{
���
V -KV�£���
��V
K��V
G{ ����
LKV
G{ ����
&o���W�9����)� ¡+�����
WK�¢� HH ����
G
W£H
G
K
H
-
٤٩
���Q-*/��O)4����)/;���2�Z�2�
�1��[�5�������P ���>0Y�0����D5�=0;��
�O� 0D��.+!���;D%/�9 u��0�P��p0C�05�0F��@�O!�-N0�����ZB��%.0�;)[\��'����>���y�+�3���.0������
.�+!3��6_`q���GIKI ��V�9
GLIGIK ����60;������
-#h2����(0�� �[\��=0B��>0:0�5�tP�5�9*KIGK�*0!�1_`b��.0�������O� 0D���.0�����������O��� 0D��.+��!�V�����������a��q���0������-O����P ��10������.0�����������O��� 0D��.+��!�������������a��q��
-O����P ��V�������-�.0�������O� 0D��O�§0: �[\��.+!��:0q��c���aq�%�0����98�2Z��.+!�aq�%�O�;�������_`2����1/3[\��c��
-a0!�II��GI£GLI�*KIGK�*0!�O��P ���.0����������8�2Z��O� 0D��.+!- �*KIGK�*0!�O��P ���.0����������>_`0D��.+!
-�O��P ���.0�����������m0?0:��/�m�8�2z�O� 0D��.�+!3�������������aq��II___ �����
���Q-*/��{/|���78%j
���;F�o�����9������V�£ ��O���;�������N����X�6�0����6��*�0B��P�:���������O���0���B��a2�O���;�����V�9��n��:02��z����O������0����O���; b+���N����X���%/0��P������������������������� b+�a2�6���"�/�96��*���������O���������������
HHH��D�x�HHH����m�HHH��HHH|��&63��#3�9�V�9��O���;������������0��B
Matrix Operations
-
٥٠
W#���- �� ²P����V£���� �D��(������O"�%�aF
�2��[�5�&u6�0��
H-L-
��V���
KH
{
L ����n:02��z��
�� K�������8- ��V����8
�1��b�HHc�
-O"3��6���V�£�3��+�3��9���
LH
G-
G-GI
��V��9�
K-
GH
{H{-
����n:02��z���
� VR0��-��i[\02��X���� �!�(������O"�%�R:�0��9V������������8���������������8�6��0�5
L£�K-�£�H�£�
G�£��£�G¢�£�H
G¢�£�{�£�H
GI�£�{- ���
LH
G-
G-GI
��£�
K-
GH
{H{-
��V�£��
L
HG
K
����������
-
٥١
�]��[�5�
�\��[�5�
LG-
H ��V���9
KG
H
����n:02��z��
- ��V�£��
- ����£�V
������´�_`���z0
GG
-G- ����� � ���9
KI
H- ���F� � ���9
{
- ��N�n:02��z��
G{
GG K
GG- ���GG
-G- �£�
KI
H- �£�
{
- �����£��F�£�N��3���
�����£��F�£�N�V�
��-O�;X�;���O�5�680)3�������
:HHHH)H;F�
:HHHH)H;F�
-�� %+����� �!��F�>0������������ �!�
-��D��X���� �!��F�>0������������ �!
-
٥٢
�d��[�5��&6�0��
II
II
II ���/���9
H
H
�����n:02��z��
H
H
���
II
II
II �£�
H
H
��/�£��
´�_`¡���z0 - ����£/���
:HHHH)H;F�->0������������ �D�'+%0�������������F�/��%������������
�y��[�5�
a6�g�&.;6����Q-*/��D��������g
&6�0��9
H
G �����n:02��z��
���
H
G �£�
H
G �£�
H
G �����£���£���3�
����
�H�
��G ���������V
-O�;50� �[\��O�5� ¡680)��
���;F�a2�6�"��o���96°*��������O��������-����6�0��m0������m�.+!����602/�96°*�������O���������n:02��z��
�H����H|��m��H�����H|��&6��#����-���n50q05��5/�7��������������0B�'��0����� b+� ��%/0P�0B���� b+
-
٥٣
W#�����W¢�£��&����i [\���� �D��(������O"�%�aF
�2��b�HHc�
&��30%�0��a2� ¡+����H
G{
I ��W��9
G
H
H
G ���n:02��z���
W� ��V � � � ���3������
� VR0���-�
KG
K{HL
K{
HK ����3��
G{ GK
KH
I
L
���W� �V�
���Q-*/������c��g
���;F�&O�;�������
-
٥٤
�]��b�HHc�
�\��b�HHc�
&�O"��6�����30%�0�k�0:�+��
HK-L
����
H{
(G
�-{
{
H- ��
GL (K
� VR0�
I{G-
����
HK-L
H{
����
HK-L
����
H{
(G
-O�;%/0P;���@�O�;��������;��8�6[\�
-
٥٥
:HHHH)H;F��9�������� � u�D�X����Y����F�V�6�0��9/����£�V��V�£���&o���O�;�����V�9��n:02��z��
�-��V�6�"�/
�z��[�5�����0E��/����53 [\��O������/�#+�� ���O�������O���O���05�0��B�0D���+��,8�������P ���4������O���0���2�����>.0��;!�
-0��B�O���D50;��w0��;: �[\������b������98�B����H�a2�'���
�O���*KIG{�*0��D��O���p0����/����:0?�6���:02�#�B����1_`��b��2���C��>0��D���9
IKIGI
IKIGI
����������������a��q��
�-m0��D�w0��;:[\������b
��*KIG{�*0��D��O���]��/3 [\�����D583 [\���B���3[\��������2���C��>0��D���a���X�9
GIII
GGIII
�������������������a��q��/
-m0��D�w0��;:[\������b�O��
- ����9��O�;��������[\+5�m0D��60P�:/�8�zi��#�B��>0D����aq����;�����������O!��u�!��¢
- �60P�:/�8�zi��#�B��1_`b��2�C��>0D���aq����;�����������+�3��¢
-
٥٦
�d��b�HHc�
�y��b�HHc�
K
G- ��
-G-
K- �£��&���i [\���u���������.0D��� ua��
� VR0�&6�0�� u������.+D5�>0�������V�^���,0b�*�+E;A05
K
G- ��
G--
L- ��£�
{K
-G �£���
GKI
LGG �¢��&���i [\���u���������.0D��� ua��
� VR0��z0���
GKI
LGG �£�
{K
-G ��¢�
�9�KIK
KGK �K
GIG
G ��0B�/��
�&k;�%��.0D������d�]����G--
L- �������� � u�D�X����Y�����0^�05/
G
-L ��£��
K
G- ����
G
-L ��£��
G--
L- �£
�z0� � ��G{
-H �����������������
II
II �£�����������
G{
-H ���������� � � ���&6z������
-
٥٧
G
K
H
KK�9K�9K�>0�� �(��Fh����d0���A8+���� u�!�8h�/� u#.0%��/� u�5.[\��&N/����>0�0d�.+!�602��z������ ¡t��3��-t���;��] !�G�9KI�9I�N/����f�:����8�2Z ��u�����0B���A8+���V_`d�.+!�9t���;��] !
&���i [\��� ¯A3[\��O!�����-.��!�����������A8+�a2�>0:0�5��uY:��3����
O�;A8+���_`2���� u�!�8h��N������ d�N��X�0�V�O�;A8+���_`2����V_`���.+!�O!�N/�����������>0�0���.+!����'.0%h��aq����;���������� ¡t;2������
K���� b+������)�0���9{¢� KV�� b+��/�9L�K��� b+���n:02/�9V�£��K������������n:02��z����KG
HH
G �N��9
G{
H
K �W�9
KG
{ ���n:02��z����
&O"��6�����30%�0� ¡+����
H �K/�¢�WK �H���������NK�¢����&�������¢�W �H|� ����WH�¢� �D�������W�£�������
I
K
G- H���
K
G ����30%�0�k�0:� ¡+�����
V - ��K�&o������������ ¡+���9
IG
H{K-
��V�9
-GG-
KHK-
����n:02��z�����
�&���i [\���u��������>[\.0D���O�m_`2� ua������K-
GI K�����
-K
KG ��£� K�V������
{G
H- ���
G
G-H �£����3������
-IH
I
��K¢ HK
KG
������������������
��2�Z�2���RI���%�'�,�/F
-
٥٨
���Q-*/��D����]�Z�2�
�1��[�5��O����P ����������Xg����%80��C���O���>�80���P��'80��X������;D����O���N����:�����?_`?�80��D���+��������D%�-'����b3[\��>�����P������
�.�+��!3��
H ��V������������a��q���->�80���P�
�-*KIG�/�*KIG�O�0D��������D���0��B!05���������;��>�80���P�
�-N�:�a2�O��D���vz����80�%.�c��V�)[\�>�80�P��v ��80DA��auq�;��
{
��������������03�
�z0��980�%.�c3��GG��{×�£�×�£�×��*KIG�*0!�>0D���a�X
- ��*KIG�*0D��>0D���a�X______ �������9*KIG/�9*KIG�O�0D�����>0D�����a�X�aq�������������
���;F�&6������6 � ه0��9��O�������V�96 � *�������O���������n:02��z���
��F�6D�-6�#��£-----�£�FKD-K#��£�FGD-G#���F�#H|��&o���9ه� *H|6 �ه��D� �6� *�
Matrix Multiplication
-
٥٩
�1��b�HHc�:���i [\��>[\0���O�a2����V�،���O�;�������V�^�k�0:� ¡+��
K-I
G
�V���������������
I
GH-K
IG
�������G
GK
H
��V��� � ��
GK
H
�������K
��V������������,�.+!���������������'+�!3��.+!�63��´�[\3�� VR0�(I × I�£�- × G�£�K × ������ × I�£�G × G�£� ×
(I × �£�- × H¢�£�K × I����� × �£�G × H¢�£� × I(I × �£�- × K�£�K × G������ × �£�G × K�£� × G
GKH-
GGH
������������
-V������������,�.+!���������������'+�!3��.+!�63[\��V�7���� �!�(������O"�%�[\�K
�2��[�5�
�]��[�5�-������������������������������������#/0P��H|������������8�6�0�����9H|��� HD�-�H� ��&o���60;�����V�9��63��n� !��z��
�&6�0���GI
K ���V�9
G
HK �� ��n:02��z��
HK
KL ����
(I × �£�G × H����� × �£�K × H (I × G�£�G × K����� × G�£�K × K ���V����
´�_`���z0��-����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-�V
���V�-��
-
٦٠
�2��b�HHc�
�]��b�HHc�
:HHHH)H;F�-�u� %+���nP��>0�������V�^��� �!
V�-����+�3�� K-GI
G- ���V�9
KG
GI �����n:02��z��
��-��V�K���V�-��� (G��O�a2�k�0:�+�3�� IG
GI ���V�9
G-K-
{ �����n:02��z��
� VR0�
� VR0�
II
II ��
(GI × K�£�K- × GI�������- × K�£ (G × GI(GI × G�£�K- × �������- × G�£�G × � ��V��������
G-K-
{ ���
IG
GI �
G-K-
{ �V����
´�_`���z0 G-K-
{ ���
G-K-
{ �
IG
GI ��-�V
-
٦١
:HHHH)H;F��9����:0q����������O���>0���������V��� �̂���� �D�'+��%0�����������������F�
IG
GI �����������
-
-
٦٢
&O"��6�����30%�0����>0�������V�^�k�0:�+���
G-
HK
GK
H-
�V����
IK-G
H
G-G
H �3���
���O���O%�B����1/�������.�9�����9V�9��V���A0���'h��B���O���N����:�����D58��O��� u#80��X��a����>0��D���n��:02����
�980���%.�II�980���%.�HI�'h��B�3[\��O���?�602/�9GKG
GKI
GGI
GIKI ��������������������� q��*KIG{�*0��!
�O���a������>0��D���a��q������;������������.0��X% �[\�>0���������*+E;��A��-t�����;��]�� !�980���%.�HII�9�80���%.�II
-O%�B��C�������'h��B�[\�
&� %�0�+�3��9�K ��V�9�
KG-
-H
����n:02��z�����
V�-����������������������V�-����V���������������������V���� �3�����
V�93��O��;50q��O�a2����)�0��HV ��
G
G
3�K �n:02��z���
G
K
H
��]�Z�2���RI���%�'�,�/F
-
٦٣
����c��� F���'���;6�/����Q-*/)��36�����t����\�Z�2�
�1��[�5��>�(����� �[\��]��������P�g8�a"��C5�v��z�.���D%/�-'���d0E�����^/������R��:305�9������P ��� }.0���;)[\��¡(�����E�� ¡c��u��%�10�����3�8�>�z�'����$���%80��C���6�0�����Z���-.0���;)[\���Z��F�����:�