mates 2 eso ejercicios

1Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 34

ú l t i p l o s y d i v i s o r e s

1 Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• 143 y 13

• 124 y 31

• 364 y 13

• 364 y 52

2 Responde justificando tu respuesta.

a) ¿Es 132 múltiplo de 11?

b) ¿Es 11 divisor de 132?

c) ¿Es 574 múltiplo de 14?

d)¿Es 27 divisor de 1 542?

a) Sí, 132 = 12 · 11

b) Sí, 132 : 11 = 12

c) Sí, 574 = 41 · 14

d) No, 1542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3 Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10.

b)Los cinco primeros múltiplos de 13.

c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50.

b) 13, 26, 39, 52 y 65.

c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4 Calcula.

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 23.

c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1 y 23.

c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

135231180

36412412143

M

Pág. 1

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros


5 Copia estos números y selecciona:

a) Los múltiplos de 2.

b)Los múltiplos de 3.

c) Los múltiplos de 5.

a) 66, 90, 156, 220 y 708.

b) 66, 90, 105, 156 y 708.

c) 90, 105, 220 y 315.

6 Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha losmúltiplos de 9:

33 41 54 87 108

112 231 341 685

33 41 54 87 108

112 231 341 685

ú m e r o s p r i m o s y c o m p u e s t o s

7 Escribe:

a) Los diez primeros números primos.

b)Los números primos comprendidos entre 50 y 60.

c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100.

d)Los tres primeros números primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97.

d) 101, 103 y 107.

8 Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los com-puestos:

• Primos: 7, 17, 31, 41 y 67.

• Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

6751413124

17151074

N

708421315220156

105103907166

Pág. 2



9 Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguien-tes cantidades:

• 6 = 2 · 3 • 8 = 23 • 10 = 2 · 5

• 14 = 2 · 7 • 15 = 3 · 5 • 18 = 2 · 32

• 20 = 22 · 5 • 24 = 23 · 3 • 25 = 52

• 27 = 33 • 30 = 2 · 3 · 5 • 42 = 2 · 3 · 7

10 Descompón en factores primos.

a) 48 b)54 c) 90

d)105 e) 120 f ) 135

g) 180 h)200 i) 250

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33 c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 200 = 23 · 52 i) 250 = 2 · 53

11 Descompón en el máximo número de factores:

a) 378 b)1 144 c) 1 872

a) 378 = 2 · 33 · 7 b) 1 144 = 23 · 11 · 13 c) 1 872 = 24 · 32 · 13

í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o y m á x i m o c o m ú n d i v i s o r

12 Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10.

b)Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15.

d)El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100.

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150.

c) 30, 60, 90, …

d) 30

13 Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (2, 3) b)mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10)

d)mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18)

a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20

d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

M

423027252420

1815141086

Pág. 3



14 Calcula.

a) mín.c.m. (12, 15) b)mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54) d)mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15) f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

a) mín.c.m. (12, 15) = 60 b) mín.c.m. (24, 60) = 120

c) mín.c.m. (48, 54) = 432 d) mín.c.m. (90, 150) = 450

e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30 f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

15 Escribe:

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24.

d)El máximo común divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

c) 1, 2, 3 y 6.

d) 6

PÁGINA 35


a) máx.c.d. (4, 8) b)máx.c.d. (6, 9)

c) máx.c.d. (10, 15) d)máx.c.d. (12, 16)

e) máx.c.d. (16, 24) f ) máx.c.d. (18, 24)

a) máx.c.d. (4, 8) = 4 b) máx.c.d. (6, 9) = 3

c) máx.c.d. (10, 15) = 5 d) máx.c.d. (12, 16) = 4

e) máx.c.d. (16, 24) = 8 f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

17 Calcula.

a) máx.c.d. (36, 45) b)máx.c.d. (48, 72)

c) máx.c.d. (105, 120) d)máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16) f ) máx.c.d. (45, 60, 105)

a) máx.c.d. (36, 45) = 9 b) máx.c.d. (48, 72) = 24

c) máx.c.d. (105, 120) = 15 d) máx.c.d. (135, 180) = 45

e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15

Pág. 4



r o b l e m a s

18 ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermeladaen cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el núme-ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di-ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.

80 = 24 · 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

2 · 40 16 · 5

4 · 20 1 · 80

8 · 10

19 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su lon-gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en tro-zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200es 180.

20 Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cadacuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 días.

mín.c.m. (10, 18) = 90

21 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su acti-vidad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, yla línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada losautobuses de ambas líneas?

A las 8 h 12 min.

mín.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo másgrandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Cada trozo medirá 10 metros.

máx.c.d. (20, 30) = 10

8 cajas de 10 botes10 cajas de 8 botes

1 caja de 80 botes80 cajas de 1 bote




PPág. 5



23 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de an-cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidadde cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo quese han empleado las mayores que había en el almacén?

30 cm de lado.

8 máx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rec-tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadra-do? ¿Cuántas piezas ha empleado?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.

mín.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado.

(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado.

3 · 2 = 6 piezas

25 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser-va de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias?¿Cuántos botes irán en cada caja?

• Se necesitan 12 cajas como mínimo.

• Habrá 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 ode 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25botes.

8 5 + 7 = 12 cajas en total

26 En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 man-tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unida-des y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos manteca-dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe sersuperior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa.

8

8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20

Divisores comunes de 2 400 y 2 640 que son mayores de 15 y menores de 30

°¢£

2 400 = 25 · 3 · 52

2 640 = 24 · 3 · 5 · 11

°¢£

125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos

°¢£

12,3 m = 123 dm9 m = 90 dm

Pág. 6



r o f u n d i z a

27 Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor co-mún es la unidad. Por ejemplo:

Son primos entre sí.

Escribe otras tres parejas de números primos entre sí.

Por ejemplo:

• 4 y 15

• 14 y 15

• 22 y 39

28 Justifica la siguiente afirmación:

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

8 a = ? · c

a = (k · h ) · c

8 a = k · b = k · (h · c ) = (k · h ) · c 8 a es múltiplo de c.

29 Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a esdivisor de c.

8 c = ? · a

c = (m · n) · a

8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c.

30 Si m es múltiplo de n, calcula:

a) mín.c.m. (m, n)

b)máx.c.d. (m, n)

a) mín.c.m. (m, n) = m

b) máx.c.d. (m, n) = n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

a = k · bb = h · c

°¢£

b = k · bb = h · c

22 = 2 · 1139 = 3 · 13

°¢£

14 = 2 · 715 = 3 · 5

°¢£

4 = 22

15 = 3 · 5°¢£

°¢£

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 235 = 5 · 7

PPág. 7



PÁGINA 36

u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s


a) 5 – 9 b)5 – 11 c) 13 – 9

d)22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52

g) –8 – 14 h)–21 – 15 i) –33 – 22

j) –13 + 18 k)–22 + 9 l) –37 + 21

a) –4 b) –6 c) 4

d) –8 e) –12 f ) –6

g) –22 h) –36 i) –55

j) 5 k) –13 l) –16

32 Calcula.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 b)10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 d)–7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

a) –1 b) 2 c) 0 d) –8

33 Quita paréntesis y calcula.

a) (+5) – (–3) – (+8) + (–4)

b)–(–7) – (+5) + (–6) + (+4)

c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5)

d)–(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2)

a) –4 b) 0 c) –6 d) –4

34 Calcula.

a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9)

b)4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4)

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13)

d)–(6 – 3 – 5) – (–4 – 7 + 15)

a) 10 b) –4 c) 2 d) –2

35 Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b)8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d)(2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

a) 3 b) 5 c) –18 d) –7 e) 3

S

Pág. 8



36 Quita paréntesis y calcula.

a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])b)6 – (7 – [8 – (9 – 10)])c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])d)10 – (9 + [8 – (7 + 6)])e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)])a) 4 b) 8 c) 10 d) 6 e) –13

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s e n t e r o s

37 Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3)

c) (–4) · (+7) d)(+42) : (–6)

e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5)

g) (+10) · (+5) h)(–63) : (–9)

i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14)

a) 30 b) –7 c) –28 d) –7 e) 48

f ) 6 g) 50 h) –8 i) 45 j) –8

38 Obtén el valor de x en cada caso:

a) x · (–9) = +9 b)(–5) : x = –1 c) (–5) · x = –45

d)x : (–4) = +3 e) x · (+6) = –42 f ) (+28) : x = –7

a) x = –1 b) x = 5 c) x = 9

d) x = –12 e) x = –7 f ) x = –4

39 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d)[(+40) : (–4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (–6)] f ) [(–8) · (+3)] : (–4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (–4)] h)[6 · (–10)] : [(–5) · 6]

a) 12 b) –30 c) 3 d) 2

e) –15 f ) 6 g) 6 h) 2

p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s c o n n ú m e r o s e n t e r o s

40 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b)2 · 9 – 7 c) 4 · 5 – 6 · 3

d)2 · 8 – 4 · 5 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

a) –7 b) 11 c) 2

d) –4 e) –21 f ) 0

O

M

Pág. 9



41 Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.

a) 3 · (9 – 11)

b)–5 · (4 – 9)

c) 5 · (9 – 4) – 12

d)1 + 4 · (6 – 10)

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11)

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15)

a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = –6

b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25

c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13

d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (–4) = 1 – 16 = –15

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (–4) – 3 · (–6) = –24 + 18 = –6

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (–6) = 20 – 18 = 2

42 Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d)[(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5

b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22

c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = –4

d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36

e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17

f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

PÁGINA 37

43 Calcula paso a paso.

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13

b)–6 · (+4) + (–3) · 7 + 38

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4)

d)–(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6)

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5

b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = –45 + 38 = –7

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82

d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496

Pág. 10



44 Opera.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13

d)4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)]

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (–4) · [12 + 3 · (–3)] = (–4) · [12 – 9] = (–4) · 3 = –12

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (–4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 =

= 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] =

= 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (–4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] =

= –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45 Calcula paso a paso.

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)]

b)6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)]

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5

b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] =

= –3 – [–2 + 2] = –3

o t e n c i a s d e n ú m e r o s e n t e r o s

46 Calcula.

a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3

d)(–2)4 e) (–2)5 f ) (–2)6

g) (–2)7 h)(–2)8 i) (–2)9

a) –2 b) 4 c) –8

d) 16 e) –32 f ) 64

g) –128 h) 256 i) –512

47 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (–6)3

d)(+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

a) 625 b) 1 024 c) –216

d) 343 e) 64 f ) –10 000 000

P

Pág. 11



48 Observa…

(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8 (+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8

–23 = –2 · 2 · 2 = –8 +23 = +2 · 2 · 2 = +8

…y calcula.

a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d)+34

a) 81 b) 81 c) –81 d) 81

49 Expresa como potencia de un único número.

a) 104 : 54 b)127 : (–4)7 c) (–9)6 : 36

d)26 · 26 e) (–4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

a) 104 : 54 = (2 · 5)4 : 54 = (24 · 54) : 54 = 24

b) 127 : (–4)7 = (3 · 4)7 : (–4)7 = (37 · 47) : (–4)7 = –37

c) (–9)6 : 36 = 312 : 36 = 36

d) 26 · 26 = 212

e) (–4)5 · (–2)5 = –(45) · (–25) = 45 · 25 = 210 · 25 = 215

f ) 24 · (–5)4 = 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104

50 Reduce a una sola potencia.

a) x4 · x6 b)m3 · m4

c) m8 : m6 d)x7 : x6

e) (x2)5 f ) (m4)3

g) [a10 : a6]2 h)(a · a3)3

i) (x5 : x2) · x4 j) (x6 · x4) : x7

a) x4 · x6 = x10 b) m3 · m4 = m7

c) m8 : m6 = m8 : m6 = m2 d) x7 : x6 = x

e) (x2)5 = x10 f ) (m4)3 = m12

g) [a10 : a6]2 = a8 h) (a · a3)3 = a12

i) (x5 : x2) · x4 = x7 j) (x6 · x4) : x7 = x3

51 Expresa como una potencia única.

a) 43 · 4 b)52 · (–5)3

c) (–6)8 : (–6)5 d)78 : (–7)

e) (52 · 54) : 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6

g) (24)3 : 29 h)(–4)7 : (42)2

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 j) (52)5 : [(–5)3]2

a) 43 · 4 = 44 b) 52 · (–5)3 = –55

c) (–6)8 : (–6)5 = –63 d) 78 : (–7) = –77

e) (52 · 54) : 53 = 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72

g) (24)3 : 29 = 23 h) (–4)7 : (42)2 = –43

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 j) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

Pág. 12



52 Opera y calcula.

a) [29 : (23)2] · 53

b)102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2

d)[(62)2 · 44] : (23)4

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000

b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6

d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 =

= [(3 · 23) : 23]4 = 34 = 81

a í c e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

53 Calcula.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±7 b) ±7 c) No existe.

d) ±15 e) ±15 f ) No existe.

g) ±50 h) ±50 i) No existe.

54 Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

55 Calcula, si existen, estas raíces:

a) b) c)

d) e) f )

a) 1 b) –1 c) 4

d) ±5 e) No existe. f ) ±10

4√10 0004√–6254√625

3√643√–13√1

√–m6√(–m)6√m6

√–a4√(–a)4√a4

√–x2√(–x)2√x2

√–2 500√502√2 500

√–225√225√152

√–49√72√49

R

Pág. 13



56 Calcula.

a) b) c)

a) a b) ±x c) m

57 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12

a) b) c)

a) = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12

b) = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10

c) = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10√x10

5√m10

3√a12

√x105√m103√a12

4√x12

5√m54√x43√a3

Pág. 14



PÁGINA 54

i s t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l

1 Copia y completa.

a) 5 décimas = … milésimas

b)2 milésimas = … millonésimas

c) 6 cienmilésimas = … centésimas

d)8 millonésimas = … milésimas

a) 5 décimas = 500 milésimas

b) 2 milésimas = 2 000 millonésimas

c) 6 cienmilésimas = 0,006 centésimas

d) 8 millonésimas = 0,008 milésimas

2 Ordena de menor a mayor en cada caso:

a) 5,1; 5,099; 4,83; 4,9; 4,99

b)0,21; 0,03; 0,15; 0,209; 0,101; 0,121

a) 4,83 < 4,9 < 4,99 < 5,099 < 5,1

b) 0,03 < 0,101 < 0,121 < 0,15 < 0,209 < 0,21

3 Escribe el número asociado a cada letra:

A = 2,20 B = 2,26 C = 2,38 D = 2,40

M = –0,18 N = –0,10 P = 0,05 R = 0,20

4 Copia y completa la tabla.

N Ú M E R O 2,)7 5,

)29 4,6

)51

A P R OX I M AC I Ó N

A L A S U N I D A D E S


A L A S D É C I M A S


A L A S C E N T É S I M A S


A L A S M I L É S I M A S

A B C D2,23 2,3

M N P R0,10

S

Pág. 1

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal


perac i ones con números dec ima l es

5 Calcula.

a) 3,2 – 1,63 – 0,528 b)0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4

c) 3,458 – (6,7 – 4,284) d)5,2 – (2,798 + 1,36)

a) 3,2 – 1,63 – 0,528 = 3,2 – 2,158 = 1,042

b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 = 2,08 – 1,038 = 1,042

c) 3,458 – (6,7 – 4,284) = 3,458 – 2,416 = 1,042

d) 5,2 – (2,798 + 1,36) = 5,2 – 4,158 = 1,042

6 Multiplica con la calculadora y aproxima el producto a las centésimas.

a) 2,63 · 0,84 b)4,11 · 3,13

c) 0,635 · 4,22 d)0,27 · 0,086

a) 2,63 · 0,84 = 2,21 b) 4,11 · 3,13 = 12,86

c) 0,635 · 4,22 = 2,68 d) 0,27 · 0,086 = 0,02

7 Divide con la calculadora y aproxima el cociente a las milésimas.

a) 62,35 : 12 b)5,27 : 153

c) 48,542 : 2,1 d)5,7 : 0,045

a) 62,35 : 12 = 5,196 b) 5,27 : 153 = 0,034

c) 48,542 : 2,1 = 23,115 d) 5,7 : 0,045 = 126,667

8 Opera.

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 b)(5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29

c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) d)5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29)

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 = 5,8 – 5,12 – 0,29 = 5,8 – 5,41 = 0,39

b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 = 2,6 · 1,6 – 0,29 = 4,16 – 0,29 = 3,87

c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) = 5,8 – 3,2 · 1,31 = 5,8 – 4,192 = 1,608

d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29) = 5,8 – (5,12 – 0,29) = 5,8 – 4,83 = 0,97

O

N Ú M E R O 2,)7 5,

)29 4,6

)51


A L A S U N I D A D E S3 5 5


A L A S D É C I M A S2,8 5,3 4,7


A L A S C E N T É S I M A S2,78 5,29 4,65


A L A S M I L É S I M A S2,778 5,293 4,652

Pág. 2



9 Obtén con la calculadora y aproxima el resultado a las centésimas.

a) b) c)

a) = 29,17 b) = 3,65 c) = 16,20

peraciones en el sistema sexagesimal

10 Expresa en horas.

a) 48 min b)66 min c) 6 120 s

a) 48 min = (48 : 60) h = 0,8 h

b) 66 min = (66 : 60) h = 1,1 h

c) 6 120 s = (6 120 : 3 600) h = 1,7 h

11 Pasa a forma compleja.

a) 12 639'' b)756,25' c) 45,15°

a) 12 639'' = 3° 30' 39''

b) 756,25' = 12° 36' 15''

c) 45,15° = 45° + (0,15 · 60)' = 45° 9'

12 Pasa a horas, minutos y segundos.

a) 8,42 h b)123,45 min c) 12 746 s

a) 8,42 h = 8 h + (0,42 · 60)min = 8 h 25,2 min = 8 h 25 min + (0,2 · 60)s =

= 8 h 25 min 12 s

b) 123,45 min = 2 h 3 min 27 s

c) 12 746 s = 3 h 32 min 26 s

12 746 s 60

26 s 212 min 60

32 min 3 h

123,45 min 60

3,45 min 2 h

3,45 min = 3 min + (0,45 · 60)s = 3 min 27 s

756,25' 60

36,25' 12°

36,25' = 36' + (0,25 · 60)'' = 36' 15''

12 639'' 60

39'' 210' 60

30' 3°

O

√262,3√13,29√851

√262,3√13,29√851

Pág. 3



13 Calcula.

a) 37° 50' 18'' + 25° 39'

b)53° 27' 46'' + 39° 43' 32''

c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s)

d)(4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s)

a) 37° 50' 18'' + 25° 39' = 62° 89' 18'' = 63° 29' 18''

b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' = 92° 70' 78'' = 93° 11' 18''

c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) = (2 h 72 min 50 s) – (1 h 52 min 28 s) =

= 1 h 20 min 32 s

d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) = (3 h 75 min 84 s) – (2 h 39 min 51 s) =

= 1 h 36 min 33 s

14 Calcula.

a) (14 min 16 s) · 8

b) (26° 52' 10'') · 5

c) (59° 46' 18'') : 6

d)(2 h 25 min 36 s) : 12

a) (14 min 16 s) · 8 = 112 min 128 s = 1 h 54 min 8 s

b) (26° 52' 10'') · 5 = 130° 260' 50'' = 134° 20' 50''

c) (59° 46' 18'') : 6 = 9° 57' 43''

d) (2 h 25 min 36 s) : 12 = 0 h 12 min 8 s

2 h 25 min 36 s 12|Ä8· 60 120 min 0 h 12 min 8 s

145 min

1 min|Ä8· 60 60 s

96 s

0 s

59° 46' 18'' 6

5° 9° 57' 43''|Ä8· 60 300'

346'

4'|Ä8· 60 240''

258''

0''

Pág. 4



a r a i r m á s l e j o s

15 Continúa en tres términos cada serie:

a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - …

b)5 - 1 - 0,2 - 0,4 - …

c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - …

a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - 1,53 - 1,32 - 1,11

b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - 0,008 - 0,0016 - 0,00032

c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - 150 - 750 - 3 750

16 Calcula cada resultado con un error menor que una centésima:

a) 4,)6 + 6,4

)8 b)6 – 2,

)29

c) 4,2864 · 0,03 d)6,28 : 9

Redondeando a las centésimas el error será < 0,005:

a) 4,)6 + 6,4

)8 = 4,67 + 6,49 = 11,16

b) 6 – 2,)29 = 6 – 2,29 = 3,71

c) 4,2864 · 0,03 = 0,13

d) 6,28 : 9 = 0,70

r o b l e m a s c o n n ú m e r o s d e c i m a l e s

17 ¿Cuánto cuestan dos kilos y ochocientos gramos de manzanas a 1,65 € elkilo?

Cuestan 4,62 €.

2 kg + 800 g = 2,8 kg 8 (2,8 kg) · (1,65 €/kg) = 4,62 €

PÁGINA 55

18 ¿Cuánto pagaré si compro 1,083 kg de salmón a 9,75 €/kg? (Atención alredondeo).

Pagaré 10,56 €.

(1,083 kg) · (9,75 €/kg) = 10,55925 € 8 10,56 €

19 Una llamada telefónica a Canadá de 13,5 min ha costado 9,45 €. ¿Cuáles el precio por minuto?

El precio es de 0,70 €/min.

(9,45 €) : (13,5 min) = 0,70 €/min

P

(· 5)Ä8

(: 5)Ä8

(–0,21)ÄÄ8

PPág. 5



20 Para fabricar 3 500 dosis de cierto medicamento, se necesitan 1,96 kg deprincipio activo. ¿Cuántos gramos de principio activo lleva cada dosis?

Cada dosis lleva 0,56 g de principio activo.

1,96 kg = 1 960 g 8 (1 960 g) : (3 500 dosis) = 0,56 g/dosis

21 Hemos gastado 6,08 € en la compra de un trozo de queso que se vende a12,80 €/kg. ¿Cuánto pesa la porción adquirida?

Pesa 475 g.

(6,08 €) : (12,80 €/kg) = 0,475 g

22 Una sandía de 2 kilos y 625 gramos ha costado 4,2 €. ¿A cómo sale el kilo?

1,6 €/kg

(4,2 €) : (2,625 kg) = 1,6 €/kg

23 Para celebrar una fiesta, trece amigos adquieren:

— 6 botellas de refresco a 1,65 € la botella.

— 1,120 kg de jamón a 27,75 €/kg.

— 5 barras de pan a 0,85 € la barra.

— 350 g de cacahuetes a 9,60 €/kg.

— 0,8 kg de patatas fritas a 5,80 €/kg.

¿Cuánto debe poner cada uno?

Cada uno debe poner 4,10 € y sobrarán 0,07 €.

— Refrescos: 6 · 1,65 € = 9,9 €

— Jamón: (1,120 kg) · (27,75 €/kg) = 31,08 €

— Pan: 5 · 0,85 € = 4,25 €

— Cacahuetes: (0,350 kg) · (9,60 €/kg) = 3,36 €

— Patatas fritas: (0,8 kg) · (5,80 €/kg) = 4,64 €

Total: 53,23 €

53,23 : 13 = 4,0946…

Si cada uno pone 4,09 €, el total no es suficiente 8 cada uno tiene que poner4,10 € y sobrarán 0,07 €.

24 Una empresa inmobiliaria adquiere un terreno rectangular de 125,40 mde largo y 74,60 m de ancho por 350 000 €. Después, lo urbaniza, con un cos-te de 62 528,43 €. Y, por último, lo divide en parcelas y lo pone a la venta a52,75 € el metro cuadrado. ¿Qué beneficio espera obtener?

Espera obtener un beneficio de 80 939,38 €.

• Paga por terrenos: 350 000 €

• Paga por urbanizar: 62 528,43 €

• Gana en venta: (52,75 €/m2) · (125,40 m · 74,60 m) = 493 467,81 €

Beneficio = 493 467,81 € – 350 000 € – 62 528,43 € = 80 939,38 €

Pág. 6



25 Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan 0,98 € la do-cena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos.

¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga va-liendo lo mismo?

Hay que aumentar la docena a 1 € (o en 0,02 €).

• 250 docenas · (0,98 €/docena) = 245 €

• Se rompen 60 huevos = 5 docenas

• Quedan 250 – 5 = 245 docenas 8 Para seguir ganando 245 € hemos de subirla docena a 1 €, es decir, aumentarla en 0,02 €.

r o b l e m a s c o n a m p l i t u d e s a n g u l a r e s y t i e m p o s

26 Una cadena de radio inicia a las 18 h 45 min 13 s la emisión de un pro-grama de música, pregrabado, que tiene una duración de 1 h 16 min 52 s.

¿A qué hora terminará el programa?

Terminará a las 20 h 2 min 5 s.

(18 h 45 min 13 s) + (1 h 16 min 52 s) = 19 h 61 min 65 s = 20 h 2 min 5 s.

27 Se ha pasado por TV una película que tiene una duración de 1 h 53 min23 s, pero con las cuñas publicitarias la emisión ha durado 2 h 12 min 15 s.

¿Cuánto tiempo se ha dedicado a publicidad?

Se han dedicado a publicidad 18 min 52 s.

(2 h 12 min 15 s) – (1 h 53 min 23 s) = (1 h 71 min 75 s) – (1 h 53 min 23 s) =

= 0 h 18 min 52 s.

28 Un camión ha realizado un viaje de 169,29 km en 2 h 42 min. ¿Cuál hasido su velocidad media?

La velocidad media es de 62,7 km/h.

2 h 42 min = 2 h + (42 : 60) h = 2 h + 0,7 h = 2,7 h

vMEDIA

= (159,29 km) : (2,7 h) = 62,7 km/h

29 Un autobús urbano da una vuelta a su recorrido cada hora y doce minu-tos. ¿Cuántas vueltas dará en las 12 horas que dura su servicio?

Dará 10 vueltas.

1 h 12 min = 1 h + (12 : 60) h = 1 h + 0,2 h = 1,2 h

12 : 1,2 = 10 8 10 vueltas

30 Resuelto en el libro de texto.

P

Pág. 7



31 Un ciclista ha recorrido 51 km a una velocidad media de 24 km/h.¿Cuánto tiempo ha invertido?

Habrá invertido 2 h 7 min 30 s.


33 Calcula el ángulo que forman las agujas del reloj a las:

a) 2 h 24 min b)7 h 42 min c) 13 h 18 min

a) 2 h 24 min 8 72°

2 h 24 min = 2 h + (24 : 60) h = 2,4 h

b – a = 144° – 72° = 72°

b) 7 h 42 min 8 21°

7 h 42 min = 7 h + (42 : 60) h = 7,7 h

b – a = 252° – 231° = 21°

c) 13 h 18 min 8 69°

13 h 18 min = 1 h 18 min = 1 h + (18 : 60) h = 1,3 h

b – a = 108° – 39° = 69°°¢£

• aguja pequeña: a = (1,3 h) · (30°/h) = 39°• aguja grande: b = (18 min) · (6°/min) = 108°

°¢£


°¢£


51 24

3 2 h 7 min 30 s|Ä8· 60 180

12|Ä8· 60 720

0

Pág. 8



PÁGINA 76

p l i c a c i ó n d e c o n c e p t o s

1 El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar elcubo grande, recubrimos el anterior de dados rojos.

¿Qué fracción de los dados del cubo grande son amarillos? ¿Y rojos?

de los dados del cubo grande son amarillos y son rojos.

• Cubo pequeño: 33 = 27 dados, todos amarillos.

• Cubo grande: 53 = 125 dados en total:


a) de 60 b) de 90 c) de 120

d) de 35 e) de 18 f ) de 100

a) de 60 = 40 b) de 90 = 9 c) de 120 = 90

d) de 35 = 10 e) de 18 = 10 f ) de 100 = 60

3 ¿Cuántos gramos son?

a) de kilo b) de kilo c) de kilo

a) de kilo = 750 g b) de kilo = 600 g c) de kilo = 350 g720

35

34

720

35

34

35

59

27

34

110

23

35

59

27

34

110

23

27• 27 de 125 dados son amarillos 8 —125

98• resto: 125 – 27 = 98 de 125 son rojos 8 — de dados rojos125

°§§¢§§£

98125

27125

A

Pág. 1

Unidad 3. Las fracciones


4 ¿Cuántos minutos son?

a) de hora b) de hora c) de hora

a) de hora = 50 min b) de hora = 15 min c) de hora = 48 min

5 ¿Qué fracción de hora son?

a) 5 minutos b)24 minutos c) 360 segundos

a) 5 min = de h = de hora

b) 24 min = de h = de hora

c) 360 s = de h = de hora

r a c c i o n e s y d e c i m a l e s

6 Expresa en forma decimal.

a) b) c)

d) e) f )

a) = 3,5 b) = 0,54 c) = 0,104

d) = 1,1)6 e) = 0,

)4 f ) = 0,

)45

7 Pasa a forma fraccionaria.

a) 1,1 b)0,13 c) 0,008

d)0,)8 e) 1,

)8 f ) 2,

)8

g) 0,)24 h)0,0

)2 i) 0,1

)3

a) 1,1 = b) 0,13 = c) 0,008 =

d) 0,)8 = e) 1,

)8 = f ) 2,

)8 =

g) 0,)24 = h) 0,0

)2 = i) 0,1

)3 = 2

15145

2499

269

179

89

81 000

13100

1110

511

49

76

13125

2750

72

511

49

76

13125

2750

72

F

110

3603 600

25

2460

112

560

45

312

56

45

312

56

Pág. 2



q u i v a l e n c i a d e f r a c c i o n e s

8 Escribe:

a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6.

b)Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12.

c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91.

a) , ya que = =

b) , ya que = =

c) , ya que = =

9 Calcula x en cada caso:

a) = b) = c) = d) =

a) = 8 x = 55 b) = 8 x = 15

c) = 8 x = 117 d) = 8 x = 42

10 Reduce a común denominador.

a) 1, , , b) , , ,

a) 1, , , 8 , , , b) , , , 8 , , ,

11 Ordena de menor a mayor.

a) ; 0,6; ; ; 1,)1 b) ; ; ;

a) 0,6 < < 1,)1 < <

ya que 0,6 < 0,9 = < 1,1 < 1,4 = < 1,5 =

b) < < <

ya que = ; = ; = ; = 4530

32

3530

76

2030

23

1830

35

32

76

23

35

)32()7

5()910(

32

75

910

76

32

35

23

75

32

910

430

530

630

1030

215

16

15

13

1424

924

2024

2424

712

38

56

215

16

15

13

712

38

56

91169

x78

1199

13x

x35

2149

15x

622

91169

x78

1199

13x

x35

2149

15x

622

79

13 · 713 · 9

91117

91117

13

4 · 14 · 3

412

412

25

3 · 23 · 5

615

615

EPág. 3



u m a y r e s t a d e f r a c c i o n e s


a) 1 – b)1 + c) –

d)1 – e) 1 + f ) –

g) – h) – i) +

a) 1 – = b) 1 + = c) – =

d) 1 – = e) 1 + = f ) – =

g) – = h) – = i) + =

13 Calcula y simplifica.

a) – + b) + –

c) – + d) – 2 + –

a) – + = = b) + – = =

c) – + = = d) – 2 + – = = 0


a) – + – b) – + –

c) – + – d) – – +

e) – – – f ) – + –

a) – + – = = =

b) – + – = = – = –

c) – + – = = – = – 512

50120

51 – 44 + 78 – 135120

98

1320

1130

1740

132

396

39 – 20 + 34 – 5696

712

1748

524

1332

124

372

22 – 30 + 32 – 2172

724

49

512

1136

25117

2378

526

2378

215

427

15

23

1112

1322

3166

2144

98

1320

1130

1740

712

1748

524

1332

724

49

512

1136

06

56

32

43

19

218

12

59

16

25

615

215

15

13

25

410

110

15

12

56

32

43

12

59

16

215

15

13

110

15

12

38

18

14

18

18

14

16

13

12

16

16

13

43

13

23

13

110

110

15

1110

110

910

110

18

14

18

14

13

12

16

13

13

13

110

15

110

110

SPág. 4



d) – – + = = =

e) – – – = = =

f ) – + – = =

PÁGINA 7715 Opera.

a) 2 – 1 + b) 1 – – 2 –

c) – – – d) 3 – – – + –

e) – 2 – – f ) 3 – – – 2 – +

g) – – – – –

h) – – + – + –

a) 2 – 1 + = 2 – = =

b) 1 – – 2 – = – = – = – = –

c) – – – = – = – = =

d) 3 – – – + – = – + = = =

e) – 2 – – = – 2 – = – 2 + = = =

f ) 3 – – – 2 – + = 3 – – 2 – = – = =

g) – – – – – = – – – = – =

= = =

h) – – + – + – = – – – + =

= – – = + – = = 1130

2260

930

560

712

930

–560

712

]–830

1730[]11

151320[7

12])2330

12(17

30[])815

15(13

20[712

2330

92120

135 – 43120

43120

2724]1

2425[]5

2443[])5

678(2

5[])16

38(4

3[1724

58 – 4124

4124

2912]7

24[]712[])1

816([])1

634([

13

26

7 – 12 + 76

76

76]7

6[76])1

332([7

6

3415

13660

160 – 9 – 1560

–520

320

83)7

20110()3

534()1

3(1321

8 + 521

–521

821

9 – 1421

15 – 721)2

337()1

357(

12

24

34

14

8 – 54

4 – 34)5

4()34(

25

10 – 85

85)3

5(])23

3012(17

30[])815

15(13

20[712

])56

78(2

5[])16

38(4

3[])1

816([])1

634([])1

332([7

6

)720

110()3

534()1

3()23

37()1

357(

)54()3

4()35(

43234

69 – 45 + 69 – 50234

25117

2378

526

2378

527

25135

90 – 27 – 20 – 18135

215

427

15

23

13

44132

63 – 62 – 78 + 121132

1112

1322

3166

2144

Pág. 5



ultiplicación y división de fracciones


a) · 14 b) : 4 c) ·

d) : e) · f ) :

g) · h) : i) :

a) · 14 = b) : 4 = = c) · = – = –2

d) : = – e) · = = f ) : = =

g) · = = h) : = =

i) : =


18 Calcula y reduce.

a) b) c) d)

a) = 1 : = 6 b) = 6 : = = 9

c) = : = = d) = : = =

19 Opera y reduce.

a) · 3 · b) : 5 :

c) · : d) : ·

a) · 3 · = = 2 b) : 5 : = : = = 13

70210

10510

72)10

21(72

330165)22

15(511

49)14

15720()20

131526(8

9

)1021(7

2)2215(5

11

310

620

43

25

2—54—3

12

510

15

110

1—101—5

182

23

62—3

16

11—6

2—54—3

1—101—5

62—3

11—6

27224

28(–9)

–38

–45

–528660

1211

(–48)55

–1130

–3961 260

(–77)36

635

23

2030

25

415

310

1860

920

23

35

(–5)11

311

42

4(–7)

72

110

220

25

427

37

28(–9)

–38

1211

(–48)55

(–77)36

635

25

415

920

23

(–5)11

311

4(–7)

72

25

37

MPág. 6



c) · : = · = =

d) : · = · = =

peraciones combinadas

20 Calcula.

a) 7 – 6 · b)3 · – c) – ·

d) · – e) · – f ) · –

a) 7 – 6 · = 7 – 2 = 5 b) 3 · – = – = =

c) – · = – = = d) · – = – =

e) · – = – = 0 f ) · – = · = =

21 Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados.

a) · – · b) · – ·

c) · – · d) · – ·

a) · – · = – =

b) · – · = · · = =

c) · – · = – · = · =

d) · – · = · – = · =

Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de laoperación.

22 Opera y reduce.

a) 1 – · 2 – b) 1 – : 1 +

c) – · 1 + d) – : + )25

14()1

235()2

3()35

23(

)18()1

4()35()5

7(

2948

2924

12)3

2443(1

2)34

16

43(1

2

38

34

36

34)1

646(3

4)16

43

12(

716

2148

34

76

12

34)1

643(1

2

1324

324

46

34

16

43

12

)34

16

43(1

234)1

643

12(

34)1

643(1

234

16

43

12

110

660

215

34)2

5815(3

425

2460

25

815

34

421

27

1021

27

57

23

58

1524

1524

54

56

34

54

910

1820

320

2120

320

720

13

)25

815(3

425

815

34

27

57

23

56

34

54

320

720

13

O

16

4202 520

49

105280

49)14

15720(

13

1 5604 680

195520

89)20

131526(8

9

Pág. 7



e) – – · + f ) 1 + – : –

g) – – + · h) – + – :

a) 1 – · 2 – = · = =

b) 1 – : 1 + = : = =

c) – · 1 + = · = =

d) – : + = : = =

e) – – · + = – · = + = =

f ) 1 + – : – = 1 + : = 1 – = =

g) – – + · = – · = – = =

h) – + – : = – + : = – + = = =


PÁGINA 7824 Opera paso a paso.

a) 4 · 1 – – : 3 b) – : 7 + · 2

c) 5 · + – 2 : d) + · – – : –

e) 1 – · – – · 1 + f ) – – : – 1 : –

a) 4 · 1 – – : 3 = 4 · – : 3 = – : 3 = 3 : 3 = 1

b) – : 7 + · 2 = : 7 + · 2 = + · 2 = · 2 = 1

c) 5 · + – 2 : = 5 · – 2 : = – 2 : = : = 132

32

32]7

2[32]7

10[32])2

5310([

12]1

316[]1

376[]1

3)12

53([

]12

72[]1

278[]1

2)18([

)314

12(])3

10()25

14(2

7[])37()2

534(2

3[)25(

])14

23()3

456(3

5[)12

13(3

2])25

310([

]13)1

253([]1

2)18([

512

175420

–35 + 210420

70140

112

710

720

112

710)2

534()1

314(

18

1651 320

3388

1530

311

118

1530

311)5

834()3

15710(

37

45105

60105)–3

20()335()2

514()1

527(

23

440660

55220

512)11

10()–522(5

12)710

25()1

2311(5

12

213

20130

1320

110)2

514()1

235(

19

545

53

115)2

3()35

23(

23

2436

98

34)1

8()14(

25

1435

75

27)3

5()57(

710)2

534()1

314(3

11)58

34()3

15710(

)25

14()1

527()7

1025()1

2311(5

12

Pág. 8



d) + · – – : – = · – : = · – =

= · =

e) 1 – · – – · 1 + = · – · = · – =

= · =

f ) – – : – 1 : – = – : : =

= – : = : =


26 Opera y reduce.

a) b) c) d)

a) = = : = 2

b) = = : = =

c) = = =

d) = = = : = 43

14

13

1—31—4

1 1— : —15 57 7— : —12 3

2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3

12

1/21

5 3— · —6 53 4— · —4 3

1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3

110

660

56

112

1—125—6

1 1— – —3 4

11 – —6

720

710

7—107—20

31 – —10

3 2— – —4 5

2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3

1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3

1 1— – —3 4

11 – —6

31 – —10

3 2— – —4 5

14

414

114

414]3

1427[

414])–7

10()–320(2

7[)314

12(])3

10()25

14(2

7[110

16

35

]12

23[3

5]107

720

23[3

5])37()2

534(2

3[)25(

13

25

56

]15

35[5

6])512()1

12(35[5

6])14

23()3

456(3

5[)12

13(

Pág. 9



otencias y fracciones

27 Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma defracción o, si es el caso, de número entero:

a)2

b)2

c)0

d)–1

e)–2

f )–1

a)2

= = b)2

= = c)0

= 1

d)–1

= e)–2

= 32 = 9 f )–1

= 10

28 Calcula.

a) 2–2 b) (–2)–2

c)–2

d) ––2

e) 2–3 f ) (–2)–3

g)–3

h) ––3

a) 2–2 = = b) (–2)–2 = =

c)–2

= 22 = 4 d) ––2

= (–2)2 = 4

e) 2–3 = = f ) (–2)–3 = = –

g)–3

= 23 = 8 h) ––3

= (–2)3 = –8

29 Expresa sin usar potencias negativas.

a) x–2 b)x–3 c) x–4

d) e) f )

a) x–2 = b) x–3 = c) x–4 =

d) = x2 e) = x3 f ) = x31x–4

1x–3

1x–2

1x4

1x3

1x2

1x–4

1x–3

1x–2

)12()1

2(18

1(–2)3

18

123

)12()1

2(14

1(–2)2

14

122

)12()1

2(

)12()1

2(

)110()1

3(43)3

4()3

4(116

142)1

4(14

122)1

2()1

10()13()3

4()3

4()14()1

2(

PPág. 10



30 Reduce a una potencia única.

a) a5 · a2 b)a · a2 · a3 c) x5 · x–3

d)x–2 · x5 e) a2 · f ) · a–3

g) x3 · x–2 · x h)x–2 · x–2 · x–2 i)

j) k) l)

a) a5 · a2 = a7 b) a · a2 · a3 = a6 c) x5 · x–3 = x2

d) x–2 · x5 = x3 e) a2 · = a2 · a2 = a4 f ) · a–3 = a2 · a–3 = a–1

g) x3 · x–2 · x = x2 h) x–2 · x–2 · x–2 = x–6 i) = = a2

j) = = a–3 k) = = x l) = = x

31 Simplifica.

a) x3 ·5

b)x3 :5

c)4

· b4

d)3

: a3 e) (a2)3 · 7

f )3

:3

a) x3 ·5

= = x–2 b) x3 :5

= x3 · x5 = x8

c)4

· b4 = = a4 d)3

: a3 = = b–3

e) (a2)3 · 7

= = a–1 f )3

:3

= : = = a3

32 Escribe con todas sus cifras estas cantidades:

a) 37 · 107 b)64 · 1011

c) 3,5 · 1013 d)26 · 10–5

e) 5 · 10–7 f ) 2,3 · 10–8

a) 37 · 107 = 370 000 000 b) 64 · 1011 = 6 400 000 000 000

c) 3,5 · 1013 = 35 000 000 000 000 d) 26 · 10–5 = 0,00026

e) 5 · 10–7 = 0,0000005 f ) 2,3 · 10–8 = 0,000000023

a9

a61a9

1a6)1

a3()1a2(a6

a7)1a(

a3

b3 · a3)ab(a4 · b4

b4)ab(

)1x(x3

x5)1x(

)1a3()1

a2()1a()a

b()a

b()1x()1

x(

x–1

x–2x–1

x2 · x–4x–2

x–3x2 · x–4

x–3a5

a8a · a4

a3 · a5

a7

a5a3 · a4

a5

1a–2

1a–2

x–1

x2 · x–4x2 · x–4

x – 3a · a4

a3 · a5

a3 · a4

a5

1a–2

1a–2

Pág. 11



33 Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos.

• 5 300 000 000 = 53 · 108

• 0,00013 = 13 · 10–5

a) 8 400 000 b)61 000 000 000

c) 0,0007 d)0,00000025

a) 8 400 000 = 84 · 105 b) 61 000 000 000 = 61 · 109

c) 0,0007 = 7 · 10–4 d) 0,00000025 = 25 · 10–8

roblemas con números fraccionarios

34 Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 mi-llas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?

Le faltan por recorrer 1 190 millas.

• Recorridas: 8 Faltan: de 1 700 = = 1 190 millas.

35 Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está elkilo?

El kilo de cerezas está a 2,40 €.

• de kg son 1,80 € 8 de kg son = 0,60 €

• 1 kg = de kg son 4 · 0,60 = 2,40 €

36 Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que su-pone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

El test tiene 60 preguntas.

• son 35 preguntas 8 son = 5 preguntas.

• El total son 8 12 · 5 = 60 preguntas.

37 Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvilque le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?

Le quedan 150 €.

• son 90 € 8 son = 30 €

• Le quedan , que son 5 · 30 € = 150 €58

903

18

38

1212

357

112

712

44

1,803

14

34

7 · 1 70010

710

310

P

Pág. 12



PÁGINA 79

38 Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una velade cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela?

La longitud de la vela era de 30 cm.

• Consume 8 quedan , que son 21 cm.

• es = 3 cm, y el total es 8 10 · 3 = 30 cm

39 El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si es-tirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?

El resorte en reposo mide 2,7 cm.

• de la longitud son 4,5 cm 8 es = 0,9 cm

• El total, , es 3 · 0,9 = 2,7 cm

40 La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión?

Viajan 64 americanos.

• Europeos y africanos: + = de 240 pasajeros.

• El resto serán de 240 8 · 240 = 64 americanos.

41 Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical yla cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción lequeda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda?

Le queda del dinero, que son 675 €.

1— del resto, discos 4

2— cadena 5

9 9Quedan — de 1500 8 — · 1500 = 675 € 20 20

920

415

415

1115

25

13

33

4,55

13

53

1010

217

110

710

310

Pág. 13



42 Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de piensopara alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto?

Tiene 400 kg de pienso.

43 Dos problemas similares.

a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracciónqueda del contenido original?

b)De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuar-tos. ¿Qué fracción queda del contenido original?

a) Quedan del tambor.

b) Quedan del tambor.

2 kg

9Quedan — del total 20

3 3— de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4

920

5 kg

2Quedan — del total 5

3Gasta 3 kg, — del total 5

25

3— resto 4

3— Julio 7

4 1 1Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg 28 7 7

Pág. 14



44 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos fras-cos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio?

Se pueden llenar 70 frascos.

• 3,5 l = 3 + l = l en el bidón.

• : = 70 8 70 frascos.

45 Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con unacapacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100envases?

Se necesitan 60 l.

• (100 envases) · l cada envase = = 60 l

46 La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llena-do seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?

Cada tarro contiene de kg.

• 2 kg y cuarto 8 2 + kg = kg

• kg : (6 tarros) = = de kg cada tarro.

47 Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semanaescucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tressin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?

Había 25 discos.

42.ª semana: — del resto 5

38 Quedan —, que son 3 discos 8 Había 25 discos 25

21.ª semana: — del total 5

38

94 · 6)9

4(94)1

4(38

100 · 35)3

5(

120

72

72)1

2(

Pág. 15



48 Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, yel miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosalestiene en total en el jardín?

El jardín tiene 70 rosales.

8 total, ; que son 35 · 2 = 70 rosales.

49 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden susingresos mensuales?

Los ingresos mensuales son de 1 500 €.

• Vivienda y comida: + =

• Quedan 1 – = , que son 400 € 8 serán = 100 €

• El total, , son 15 · 100 = 1 500 €.

50 Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de loque faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuán-tos folios tenía el escrito?

El escrito tenía 72 folios.

308 Quedan 30 folios, — = 6 folios cada cuadro 8 58 Total = 6 · 12 = 72 folios

11.er día, — 6 4

12.º día, — del resto 3

18 3.er día, — del resto 6

6 6

6 6 6

1515

4004

115

415

1115

1115

13

25

3535

3Martes, — del resto 5

10 1 20Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales 35 35 10

2Lunes, — 7

Pág. 16



tros problemas

51 María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se en-cuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana.Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le que-daban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco yvuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media.

Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha queda-do sin nada.

¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partióninguna?

Cogió 7 manzanas.

Comprobamos:

• Sara recibe: 7 + = 4 manzanas 8 sobran 3

• Rosa recibe: 3 + = 2 manzanas 8 sobra 1

• Francisco recibe: 1 + = 1 manzana 8 sobra 0

52 En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tresquintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?

No bailan de los asistentes.

(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, yaque bailan por parejas.

6— del total bailan 9

3 1— = — del total no bailan 9 3

HOMBRES

BAILAN (*)

MUJERES

3— de hombres bailan 4

3— de mujeres bailan 5

13

12

12

12

12

12

12

OPág. 17


°§§§§¢§§§§£


53 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuandolleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en elcaballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la cargaen el caballo y 2/5 en el burro.

¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transpor-tar una carga de 190 kg?

La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg.

• Si el burro lleva una carga de 1:

— Carga del caballo, carga del burro = · 8

— Carga de la mula, carga del caballo 8

La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9.

Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro , caballo , mula .

• Mula: de la carga = · 190 = 90 kg

• Caballo: de la carga = · 190 = 60 kg

• Burro: de la carga = · 190 = 40 kg419

419

619

619

919

919

919

619

419

94

32

32)2

532

35(3

2

Pág. 18


°§§§§¢§§§§£


PÁGINA 99

a z o n e s y p r o p o r c i o n e s

1 Escribe:

a) Tres pares de números cuya razón sea 2/3.

b)Tres parejas de números que estén en relación de cinco a uno.

c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro.

a) Por ejemplo: 4 y 6; 10 y 15; 18 y 27.

b) Por ejemplo: 15 y 3; 20 y 4; 35 y 7.

c) Por ejemplo: 15 y 20; 21 y 28; 33 y 44.

2 Escribe una proporción con cada conjunto de números:

a) 3 - 6 - 10 - 5 b)2 - 24 - 3 - 36

c) 35 - 10 - 6 - 21 d)52 - 28 - 63 - 117

Por ejemplo:

a) = b) = c) = d) =

3 Calcula x en las siguientes proporciones:

a) = b) = c) =

d) = e) = f ) =

g) = h) = i) =

j) = k) · = l) · =

a) x = 15 b) x = 9 c) x = 10

d) x = 3 e) x = 18 f ) x = 12

g) x = 88 h) x = 49 i) x = 8

j) x = 33 k) x = 15 l) x = 84

e l ac i ones de p ropo rc i ona l i dad

4 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relaciónde proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad in-versa y los que no guardan relación de proporcionalidad:

a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado.

b)El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido.

c) La edad de una persona y su altura.

R

7x

1536

420

54x

85

94

5575

x45

3216

16x

x63

4254

55x

1524

4942

14x

3065

x39

428

x21

1215

8x

x6

64

10x

69

6328

11752

106

3521

336

224

510

36

R

Pág. 1

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes


d)La velocidad de un vehículo y la distancia recorrida en media hora.

e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja.

f ) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito.

g) El número de páginas de un libro y su precio.

a) Proporcionalidad directa.

b) Proporcionalidad inversa.

c) Sin relación de proporcionalidad.

d) Proporcionalidad directa.

e) Proporcionalidad directa.

f ) Proporcionalidad inversa.

g) Sin relación de proporcionalidad.

5 Observa las siguientes tablas y di si son de proporcionalidad directa, in-versa o de ninguna de las dos:

a) b) c)

No proporcionales Proporcionalidad Proporcionalidadinversa directa

15 · 1 = 3 · 5 = 5 · 3 Constante de proporcionalidad = 15

6 Completa estas tablas de proporcionalidad directa:

a) b)

a) b)

7 Completa estas tablas de proporcionalidad inversa:

a) b)

a) b)

8 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad directa:

Por ejemplo: = , = , = 255

306

2515

53

153

102

M AG N I T U D A 2 3 5 6

M AG N I T U D B 10 15 25 30

1 2 3 4 6

36 18 12 9 6

1 2 4 5 10

20 10 5 4 2

1 2 3 4

18 9 6

1 2 4 5

20 10 2

1 2 3 4 10

2,5 5 7,5 10 25

1 2 3 7 12

5 10 15 35 60

1 2 3 4

5 10 25

1 2 3 7

5 10 60

1 2 3

15 30 45

15 3 5

1 5 3

1 2 3

1 4 9

Pág. 2



9 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad inversa:

Por ejemplo: = , = , =

10 Calcula la constante de proporcionalidad en estas tablas de valores direc-tamente proporcionales:

a) b) c)

a) Cte. prop. = = 2,5 b) Cte. prop. = 0,3 c) Cte. prop. = = 1,2

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d d i r e c t a e i n v e r s a

11 Calcula mentalmente y contesta.

a) Un tren recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas?

b)Dos kilos de manzanas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos?

c) Cuatro obreros hacen un trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tardarían seis obreros?

d)Cinco entradas para un concierto han costado 40 euros. ¿Cuánto cuestancuatro entradas?

e) Un ciclista, a 20 km/h, recorre cierta distancia en 3 horas. ¿Cuánto tardaráuna moto a 60 km/h?

a) Recorre 160 km.

b) Cuestan 2,70 €.

c) Tardarían 2 horas.

d) Cuestan 32 €.

e) Tardará 1 hora.

PÁGINA 100

12 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. ¿Cuánto cuestan tres kilosy medio?

Cuestan 2,45 €.

x = = 2,45 €3,5 · 1,752,5

°¢£

2,5 kg 8 1,75 €3,5 kg 8 x €

P

65

310

52

0,2 3 15

0,24 3,6 18

5 6 7

1,5 1,8 2,1

2 3 4

5 7,5 10

64

1812

424

318

2436

23

M AG N I T U D A 2 3 4 6

M AG N I T U D B 36 24 18 12

Pág. 3



13 Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 minutos. Si sigue a la mismavelocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

Recorrerá 25 km

x = = 25 km.

14 Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían5 operarios?

Tardarán 8 horas.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 8 h

15 Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acerade una calle en 15 días. ¿Cuánto tardarían si trabajaran 10 horas diarias?

Tardarán 12 días.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 12 días

16 Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 fo-lios?

Pesará 3,06 kg.

x = = 3,06 kg

17 En una fuente, se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 li-tros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?

Tardará 40 segundos.

x = = 40 s

18 Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días.¿Cuántas horas debería trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12días?

Debería trabajar 10 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 10 h/día8 · 1512

1215

8x

°¢£

8 h/día 8 15 díasx h/día 8 12 días

50 · 2430

°¢£

30 l 8 24 s50 l 8 x s

850 · 1,8500

°¢£

500 folios 8 1,8 kg850 folios 8 x kg

8 · 1510

x15

810

°¢£

8 h/día 8 15 días10 h/día 8 x días

4 · 105

x10

45

°¢£

4 operarios 8 10 h5 operarios 8 x h

15 · 302,5

°¢£

18 min 8 30 km15 min 8 x km

Pág. 4



19 Con la motobomba que extrae agua de un pozo, se han tardado 18 mi-nutos en llenar una cisterna de 15 000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otracisterna de 25 000 litros?

Se tardará 30 minutos.

x = = 30 min

20 El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pe-dido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de12 cajas?

La factura será de 576 €.

x = = 576 €

21 Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se va-cía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

Tardará 30 minutos en vaciarse.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 30 min

22 Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora.¿Cuántas botellas llena en hora y media?

Llena 4 500 botellas.

x = = 4 500 botellas

23 Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuántotardaría en hacer el mismo trabajo, si las jornadas fueran de 12 horas diarias?

Tardaría 6 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 6 días

24 Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántashoras diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días?

Debe trabajar 12 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 12 h/día8 · 96

69

8x

°¢£

8 h/día 8 9 díasx h/día 8 6 días

8 · 912

x9

812

°¢£

8 h/día 8 9 días12 h/día 8 x días

90 · 75015

°¢£

15 min 8 750 botellas1,5 h = 90 min 8 x botellas

2 · 453

x45

23

°¢£

2 desagües 8 45 min3 desagües 8 x min

12 · 72015

°¢£

15 cajas 8 720 €12 cajas 8 x €

25 000 · 1815 000

°¢£

15 000 l 8 18 min25 000 l 8 x min

Pág. 5



25 Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días.¿Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más?

Durarán 26 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8

8 x = = 26 días.

26 Una merluza de dos kilos y trescientos gramos, ha costado 28,75 €.¿Cuánto pagaré por otra más pequeña de kilo y medio?

Pagaré 18,75 €.

x = = 18,75 €

27 Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 2 500 gallinas du-rante 60 días. ¿Cuántas gallinas debe retirar si desea que el pienso le dure 80 días?

Debe retirar 625 gallinas.


8 x = = 1 875

Debe quedarse con 1 875 gallinas. Debe retirar 2 500 – 1 875 = 625 gallinas.

28 Un lingote de oro de 0,340 kilos tiene un valor de 2 142 euros. ¿Qué va-lor tendría una porción de 30 gramos cortada de ese lingote?

Tendría un valor de 189 €.

x = = 189 €

29 Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad me-dia en kilómetros por hora.

La velocidad media es de 21 km/h.

x = = 21 km en 1 h 8 vm = 21 km/h

30 Una pala excavadora vacía 48 metros cúbicos de tierra en 4 horas. ¿Cuántotardará en extraer 60 metros cúbicos?

Tardará 5 horas.

x = = 5 h60 · 448

°¢£

48 m3 8 4 h60 m3 8 x h

60 · 6,318

°¢£

18 min 8 6,3 km1 h = 60 min 8 x km

2 142 · 30340

°¢£

0,340 kg = 340 g 8 2 142 €30 g 8 x €

2 500 · 6080

8060

2 500x

°¢£

2 500 gallinas 8 60 díasx gallinas 8 80 días

1 500 · 28,752 300

°¢£

2 kg y 300 g = 2 300 g 8 28,75 €1,5 = 1 500 g 8 x €

65 · 3280

x32

6580

°¢£

65 vacas 8 32 días65 + 15 = 80 vacas 8 x días

Pág. 6



31 Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el tra-yecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería ser la velocidadmedia para hacer el mismo viaje en solo 6 horas?

La velocidad media debe ser de 84 km/h.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 84 km/h

32 Un negocio que abre todos los días tiene unos gastos semanales de 420euros. ¿Qué gastos prevé para un periodo de 25 días?

Los gastos serán de 1 500 €.

x = = 1 500 €

33 Un granjero necesita cada día 255 kilos de pienso para dar de comer a sus85 vacas. ¿Cuántos kilos necesitaría si vendiera 35 vacas?

Necesitaría 150 kg de pienso.

x = = 150 kg

34 De 5 kilos de olivas se han obtenido 3,2 litros de aceite. ¿Cuántos litrosse obtendrán de una tonelada y media de aceitunas?

Se obtendrán 960 litros de aceite.

x = = 960 l

35 Cuarenta litros de aceite pesan 36,28 kilos. ¿Cuánto pesarán 60 litros?

Pesan 54,42 kg

x = = 54,42 kg

PÁGINA 101

36 En una empresa que tiene 840 empleados, 5 de cada 8 utilizan diariamenteel servicio de comedor. ¿Cuántas comidas se sirven en el comedor cada día?

Se sirven 525 comidas.

de 840 empleados = = 525 empleados se quedan a comer.5 · 8408

58

60 · 36,2840

°¢£

40l 8 36,28 kg60 l 8 x kg

1 500 · 3,25

°¢£

5 kg 8 3,2 l1,5 t = 1 500 kg 8 x l

255 · 5085

°¢£

85 vacas 8 255 kgQuedan 85 – 35 = 50 vacas 8 x kg

420 · 257

°¢£

1 semana = 7 días 8 420 €25 días 8 x €

72 · 76

67

72x

°¢£

72 km/h 8 7 hx km/h 8 6 h

Pág. 7



37 Una tienda rebaja todos sus artículos en la misma proporción. Si una blu-sa que valía 36 € se queda en 28,80 €, ¿en cuánto se quedará un vestido quecostaba 80 €?

Costará 64 €.

ANTES REBAJADO——— —————

x = = 64 €

38 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distanciaen la realidad. ¿Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapadistan 13 cm?

La distancia real es de 91 km.

MAPA REALIDAD——— —————

x = = 91 km

39 Un coche, a 90 km/h, tarda 20 minutos en ir de la población A a la pobla-ción B. ¿Cuánto tardaría un camión, a 60 km/h? ¿Y una furgoneta, a 80 km/h?

El camión tardaría 30 minutos y la furgoneta 22,5 minutos.

Proporcionalidad inversa 8

8 90 · 20 = 60 · x = 80 · y 8 x = 30 min; y = = 22,5 min


41 Un ciclista ha recorrido 25 kilómetros en hora y cuarto. A esa velocidad,¿cuánto tardaría en recorrer una etapa de 64 kilómetros?

Tardaría 3 horas y 12 minutos.

x = = h

80 h 25

5 3 h 12 minÒ 60

300 min

8025

64 · 1,2525

°¢£

25 km 8 1,25 h64 km 8 x h

90 · 2080

90 · 2060

°§¢§£

Coche 90 km/h 8 20 minCamión 60 km/h 8 x minFurgoneta 80 km/h 8 y min

13 · 355

°¢£

5 cm 8 35 km13 cm 8 x km

80 · 28,8036

°¢£

36 € 8 28,80 €80 € 8 x €

Pág. 8



42 Un tren, a 90 km/h, cubre un recorrido en 6 horas. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h?

Tardaría 5 h y 24 minutos.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = h

43 Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un de-pósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 li-tros por minuto?

Tardaría 1 h y 10 minutos.


8 x = = = h 8

44 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de en-tregar en 12 días, debe fabricar 2 000 prendas cada día. Si por una avería en lasmáquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diariasdebe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido?

Debe fabricar 2 400 prendas diarias.


8 x = 8 x = 2 400 prendas/día

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d c o m p u e s t a

45 Cincuenta terneros consumen 4 200 kilos de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante15 días?

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600 kilos de alfalfa?

P

2 000 · 1210

1012

2 000x

°¢£

2 000 prendas/día 8 12 díasx prendas/día 8 10 días

525450

5,254,5

3,5 · 1,54,5

x1,5

3,54,5

°¢£

3,5 l /min 8 1,5 h4,5 l /min 8 x h

54 h 10

4 5 h 24 minÒ 60

240 min

5410

90 · 6100

x6

90100

°¢£

90 km/h 8 6 h100 km/h 8 x h

Pág. 9


525 h 450

75 1 h 10 minÒ 60

4 500 min


a) 12 kg por ternero y día. b) 3 600 kg. c) 5 días.

46 En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado600 chaquetas en 10 días.

a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días?

b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 pren-das en 15 días?

c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabri-car 750 prendas?

a) 750 chaquetas. b) 5 máquinas. c) 15 días.

6 10 600 600 · 5 · 15— · — = — 8 x = —— = 750 chaquetas5 15 x 6 · 10

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 y = —— = 5 máquinasy 15 750 15 · 600

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 z = —— = 15 días5 z 750 5 · 600

MÁQUINAS DÍAS CHAQUETAS———— ——— —————

6 10 600

5 15 x

y 15 750

5 z 750

°§§§§¢§§§§£

50 7 4 200 4 200— · — = — 8 x = — = 12 kg1 1 x 50 · 7

50 7 4 200 4 200 · 20 · 15— · — = — 8 y = —— = 3 600 kg20 15 y 50 · 7

50 7 4 200 50 · 7 · 600— · — = — 8 z = —— = 5 días10 z 600 10 · 4 200

TERNEROS DÍAS PIENSO (kg)———— ——— —————

50 7 4 200

1 1 x

20 15 y

10 z 600

°§§§§¢§§§§£

Pág. 10


PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA


47 Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha la-vado 1 000 kilos de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando10 horas diarias?

Lavará 3 000 kg de ropa.

H/DÍA DÍAS KG DE ROPA—— ——— —————

· = 8 x = = 3000 kg

48 Una alfombra sintética, de 1,80 m de larga por 90 cm de ancha, ha cos-tado 72 €. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 mde larga y 1,20 m de ancha?

Costará 160 €.

• 1.a alfombra: 1,80 · 0,90 = 1,62 m2 a 72 € 8 cada m2 a €

• 2.a alfombra: 3 · 1,20 = 3,6 m2 8 3,6 m2 · €/m2 = 160 €

49 Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datospara un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismotrabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día?

Tardarían 12 días.

ENCUESTADORES H/DÍA DÍAS——————— ——— ———

· = 8 x = = 12 días

PÁGINA 102

á l c u l o m e n t a l c o n p o r c e n t a j e s


a) 50% de 220 b)50% de 4 600 c) 50% de 82

d)50% de 12 e) 25% de 800 f ) 75% de 800

g) 25% de 280 h)75% de 280 i) 25% de 60

j) 75% de 60

a) 110 b) 2 300 c) 41 d) 6 e) 200

f ) 600 g) 70 h) 210 i) 15 j) 45

C

5 · 8 · 279 · 10

x27

810

59

°¢£

5 8 279 10 x

721,62

721,62

10 · 12 · 1 0008 · 5

1 000x

512

810

°¢£

8 5 1 00010 12 x

Pág. 11


PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. INVERSA

P. INV.


51 Obtén mentalmente el valor de x en cada caso:

a) 50% de x = 150 b)50% de x = 7 c) 25% de x = 120

d)25% de x = 6 e) 75% de x = 150 f ) 75% de x = 9

a) x = 300 b) x = 14 c) x = 480

d) x = 24 e) x = 200 f ) x = 12

52 Fíjate en los ejemplos y, después, calcula mentalmente.

• 10% de 220 = 220 : 10 = 22

30% de 220 = 22 · 3 = 66

5% de 220 = 22 : 2 = 11

a) 10% de 310 b)20% de 310 c) 10% de 480

d)5% de 480 e) 10% de 70 f ) 30% de 70

a) 31 b) 62 c) 48

d) 24 e) 7 f ) 21

53 Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso:

a) 10% de x = 31 b)10% de x = 4 c) 20% de x = 18

d)20% de x = 86 e) 5% de x = 35 f ) 5% de x = 2

a) x = 310 b) x = 40 c) x = 90

d) x = 430 e) x = 700 f ) x = 40

54 Copia y completa.

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b)Para calcular el 25%, dividimos entre…

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por…

d)Para calcular el 10%, dividimos entre…

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por…

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b) Para calcular el 25%, dividimos entre 4.

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por 3.

d) Para calcular el 10%, dividimos entre 10.

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por 4.

55 ¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes?

a) 50% b)25% c) 75%

d)10% e) 20% f) 5%

g) 30% h)70% i) 90%

Pág. 12



a) 50% 8 b) 25% 8 c) 75% 8

d) 10% 8 e) 20% 8 f ) 5% 8

g) 30% 8 h) 70% 8 i) 90% 8

á l c u l o d e p o r c e n t a j e s

56 Calcula.

a) 15% de 160 b)13% de 700

c) 24% de 850 d)12% de 3 625

e) 4% de 75 f ) 65% de 720

g) 76% de 1 200 h)95% de 140

i) 32% de 420 j) 5% de 182

k)6% de 18 l) 72% de 641

m) 3,5% de 1 000 n)2,4% de 350

ñ)1,7% de 2 500 o) 6,2% de 85

a) 24 b) 91 c) 204 d) 435

e) 3 f ) 468 g) 912 h) 133

i) 134,4 j) 9,1 k) 1,08 l) 461,52

m) 35 n) 8,4 ñ) 42,5 o) 5,27

57 Copia la tabla y completa.

58 Calcula como se hace en el ejemplo.

• 15% de 280 = 280 · 0,15 = 42

a) 18% de 1 350

b)57% de 2 400

c) 8% de 125

d)6% de 40

a) 18% de 1 350 = 1 350 · 0,18 = 243

b) 57% de 2 400 = 2 400 · 0,57 = 1 368

c) 8% de 125 = 125 · 0,08 = 10

d) 6% de 40 = 40 · 0,06 = 2,4

23% 16% 11% 92% 87% 2% 5% 2,5%

0,23 0,16 0,11 0,92 0,87 0,02 0,05 0,025

23% 16% 92% 2%

0,23 0,11 0,87 0,05 0,025

C

910

710

310

120

15

110

34

14

12

Pág. 13



59 Calcula x como en el ejemplo.

• 15% de x = 42 8 x · 0,15 = 42 8

8 x = 42 : 0,15 = 280

a) 20% de x = 27

b)17% de x = 595

c) 5% de x = 3,2

d)7% de x = 17,5

a) 20% de x = 27 8 x · 0,20 = 27 8 x = 27 : 0,20 = 135

b) 17% de x = 595 8 x · 0,17 = 595 8 x = 595 : 0,17 = 3 500

c) 5% de x = 3,2 8 x · 0,05 = 3,2 8 x = 3,2 : 0,05 = 64

d) 7% de x = 17,5 8 x · 0,07 = 17,5 8 x = 17,5 : 0,07 = 250

r o b l e m a s d e p o r c e n t a j e s

60 Un empleado gana 1 700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipote-ca de su vivienda. ¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos?

Le quedan 1 020 €.

Queda el 60% de 1 700 € = 1 700 · 0,6 = 1 020

61 De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto porciento ha faltado a la excursión?

Ha faltado un 20% de la clase.

x = = 20 8

8 de cada 100 alumnos 20 han faltado 8 20%

62 Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del to-tal. ¿De cuántas habitaciones dispone el hotel?

Dispone de 220 habitaciones.

85% de x = 187 8 0,85 · x = 187 8 x = 187 : 0,85 = 220

63 Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido16 canastas. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos?

64% de aciertos.

x = = 64 aciertos de 100 lanzamientos16 · 10025

°¢£

25 lanz. 8 16 aciertos100 lanz. 8 x

7 · 10035

°¢£

35 alumnos 8 35 – 28 = 7 han faltado100 alumnos 8 x

P

Pág. 14



PÁGINA 103

64 La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0,55 €. ¿Cuánto costabaantes de la subida?

Antes costaba 0,50 €.

x = = 0,50 €

65 En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2 500 personas, elalcalde actual recibió 1 500 votos. ¿Qué tanto por ciento votó al alcalde?

Votó al alcalde el 60% del censo.

= 0,6 del censo votó al alcalde.

66 Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este mo-mento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total delembalse?

La capacidad del embalse es de 152,2 dam3

23% de x = 35 dam3 8 0,23 · x = 35 8 x = 35 : 0,23 = 152,2 dam3

67 Se ha caído una caja de huevos y se han contado 54 rotos, lo que suponeun 15% del total. ¿Cuántos huevos había en la caja?

Había 360 huevos.

15% de x = 54 8 0,15 · x = 54 8 x = 54 : 0,15 = 360

68 De 5 475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar.¿Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar?

El 1,4% de los hombres.

= 0,014 8 1,4% sabe planchar.

69 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que yaha solucionado más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le que-dan por resolver?

Le quedan por resolver 6 problemas.

Ha terminado 12 problemas 8 quedan 18 – 12 = 6

70 Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14 000 li-tros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 200 000 l.

100% – 93% = 7% 8 7% de x = 14 000 8 x = 14 000 : 0,07 = 200 000 l

°¢£

65% de 18 = 0,65 · 18 = 11,770% de 18 = 0,7 · 18 = 12,6

76 saben planchar5 475 total encuestados

1 500 votó al alcalde2 500 censo

100 · 0,55110

°¢£

110% 8 0,55 €100% 8 x €

Pág. 15



71 Un jersey que costaba 45 € se vende en las rebajas por 36 €. ¿Qué tantopor ciento se ha rebajado?

Se ha rebajado un 20%.

PR. INICIAL REBAJADO————— —————

x = = 80 € 8

8 de cada 100 € se pagan 80 €, es decir, se rebajan 20 €.

72 Al sacar 2 000 litros de agua de un depósito cilíndrico, que estaba lleno,el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 25 000 l.

8% de x = 2 000 8 0,08 · x = 2 000 8 x = 2 000 : 0,08 = 25 000 l

73 Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua,un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono.¿Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta?

1 188 g de hidratos de carbono.

Porcentaje de hidratos = 100% – 10% – 8% – 16% = 66%

66% de 1 800 g = 0,66 · 1 800 = 1 188 g de hidratos.

74 Hace cinco años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vi-vienda ha subido un 37%. ¿Cuánto vale ahora mi piso?

El piso cuesta ahora 328 800 €.

137% de 240 000 € = 1,37 · 240 000 = 328 800 €

75 Un bebé pesó al nacer, hace tres meses, 3 kilos y 600 gramos. Durante estetiempo su peso ha aumentado un 43%. ¿Cuál es su peso actual?

El peso actual es de 5 kg y 148 g.

143% de 3 600 g = 1,43 · 3 600 = 5 148 g

76 Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos deagua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son lasreservas actuales ahora, al final del verano?

Las reservas son de 248 decámetros cúbicos.

Queda: 100% – 68% = 32% de 775 dam3 = 0,32 · 775 = 248 dam3

36 · 10045

°¢£

45 € 8 36 €100 € 8 x

Pág. 16



77 Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfi-co, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tan-to por ciento han disminuido este tipo de accidentes?

Han disminuido en un 25% los accidentes.

ACCIDENTES DISMINUCIÓN————— ——————

x = = 25 accidentes menos de cada 100

78 Un hortelano tiene un campo de 3 500 metros cuadrados y desea plantarun 45% de los mismos de pimientos. ¿Cuántas plantas pimenteras debe adqui-rir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, parareponer las que se estropean?

Debe comprar 15 593 plantas.

• 45% de 3 500 m2 = 1 575 m2 para pimientos.

• 9 · 1 575 = 14 175 plantas.

• 10% de 14 175 = 1 417,5 8 1 418 plantas extra.

Total = 14 175 + 1 418 = 15 593 plantas.

79 En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40%de los inmigrantes son ecuatorianos.

a) ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población?

b) ¿Qué porcentaje de la población es ecuatoriana?

a) Viven 600 ecuatorianos.

b) Un 6% de la población es ecuatoriana.

• 15% de 10 000 = 1 500 inmigrantes.

• 40% de 1 500 = 600 ecuatorianos.

• 600 ecuatorianos de 10 000 habitantes 8 = 0,06 8 6% ecuatorianos.

O bien: 40% del 15% = 0,4 · 15 = 6%

80 En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primerasrebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las se-gundas rebajas. ¿Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?

☞ Supón que el abrigo costaba inicialmente 100 euros.

Se ha rebajado un 36% sobre el precio original.

Rebaja 20 €

100 € Rebaja 20% de 80 = 16 €8Rebaja total = 20 € + 16 € = 36 €

Pago 80 €

Pago 80%

60010 000

40 · 100160

°¢£

160 160 – 120 = 40100 x

Pág. 17



81 Calcula el interés producido por un capital de 3 500 euros, colocado al5% anual durante tres años.

I = = = 525 €

82 Si pido un préstamo de 4 500 euros, al 6,5%, y lo devuelvo al cabo de 4años, ¿qué intereses debo pagar?

I = = = 1 170 €


84 ¿Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? ¿Y durante unmes? ¿Y durante 7 meses?

• 1 año: IAÑO

= = 48 €

• 1 mes: IMES

= IAÑO

: 12 = 48 : 12 = 4 €

• 7 meses: I7 MESES= 4 · 7 = 28 €

85 Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 euros al 4,5% du-rante 5 meses.

Genera unos intereses de 112,5 €.

I = · = 112,5 €

86 En un banco de las Bahamas se ingresa un capital de 35 400 dólares enuna cuenta retribuida con un interés del 5% anual. Los beneficios se ingresanmensualmente en la cuenta. ¿Cuál será el saldo dentro de año y medio?

El saldo será de 38 151,15 €.

• Capital inicial 8 35 400 €

• Al final del 1.er mes 8 35 400 + = 35 547,5

• Al final del 2.° mes 8 35 547,5 + = 35 695,614…

Así:

MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

3.° 35 695,61 35 844,35

4.° 35 844,35 35 993,70

5.° 35 993,70 36 143,67

6.° 36 143,67 36 294,27

35 547,5 · 512 · 100

35 400 · 512 · 100

6 000 · 4,5 · 1100

512

800 · 6 · 1100

4 500 · 6,5 · 4100

C · r · t100

3 500 · 5 · 3100

C · r · t100

Pág. 18



MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

7.° 36 294,27 36 445,50

8.° 36 445,50 36 597,35

9.° 36 597,35 36 749,84

10.° 36 749,84 36 902,97

11.° 36 902,97 37 056,72

12.° 37 056,72 37 211,13

13.° 37 211,13 37 366,17

14.° 37 366,17 37 521,87

15.° 37 521,87 37 678,21

16.° 37 678,21 37 835,20

17.° 37 835,20 37 992,85

año y medio = 18.° 37 992,85 38 151,15

Pág. 19



PÁGINA 119

e n g u a j e a l g e b r a i c o

1 Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraicapara cada uno de los siguientes enunciados:

a) El triple de x.

b)La mitad de su anterior.

c) El resultado de sumarle tres unidades.

d)La mitad de un número tres unidades mayor que x.

e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades.

f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x.

a) 3x b) c) x + 3

d) e) 3 · (x + 5) f ) 3x + 5

2 Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series:

a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ?

b)3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ?

c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ?

d)4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ?

a) an = 2n b) bn = 2n + 1 c) cn = 5n d) dn = 5n – 1

3 Copia y completa las casillas vacías.

4 El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4.Escribe los cinco primeros términos de dicha serie.

an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21

1 2 3 4 5 … n

1 3 6 10 15 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

2 –7 –22 –43 –70 … 5 – 3n2

1 2 3 4 5 … n

10 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

–22 … 5 – 3n2

x + 32

x – 12

L

Pág. 1

Unidad 5. Álgebra


5 El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión:

an =

Calcula los términos a5, a9 y a15.

an = 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22

6 Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula

a =

completa la tabla.

7 Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraica-mente:

a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.

b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.

c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y enNavidad.

a) 0,8x

b) x + 0,8x 8 1,8x

c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x

8 Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados:

a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado,obtienes el triple de dicho número.

b)Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes laedad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge.

Edad de Jorge ÄÄ8 x

Edad del padre ÄÄ8 x + 33

a) = 3x

b) 3x + 5 = x + 33

x + 152

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a 0 2 4 3 6

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a

3b + 2c5

3n – 12

3n – 12

Pág. 2

Unidad 5. Álgebra


o n o m i o s

9 Copia y completa.

10 Opera.

a) 2x + 8x b)7a – 5ac) 6a + 6a d)15x – 9xe) 3x + x f ) 10a – ag) a + 7a h)2x – 5xi) 9x + 2x j) 9a – 9a

a) 2x + 8x = 10x b) 7a – 5a = 2a

c) 6a + 6a = 12a d) 15x – 9x = 6x

e) 3x + x = 4x f ) 10a – a = 9a

g) a + 7a = 8a h) 2x – 5x = –3x

i) 9x + 2x = 11x j) 9a – 9a = 0

11 Reduce.

a) 3x + y + 5x b)2a + 4 – 5ac) 7 – a – 5 d)3 + 2x – 7

e) 2x + 3 – 9x + 1 f ) a – 6 – 2a + 7

g) 8a – 6 – 3a – 1 h)5x – 2 – 6x – 1

a) 3x + y + 5x = 8x + y b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4

c) 7 – a – 5 = –a + 2 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4

e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1

g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3

M O N O M I O 8a2—xy3 a3b

C O E F I C I E N T E 82—3

1

PA RT E L I T E R A L a xy a3b

G R A D O 1 2 4

M O N O M I O 8a2—xy3

C O E F I C I E N T E 1

PA RT E L I T E R A L a3b

G R A D O

MPág. 3

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 120

12 Quita paréntesis y reduce.

a) x – (x – 2) b)3x + (2x + 3)

c) (5x – 1) – (2x + 1) d)(7x – 4) + (1 – 6x)

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1)

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)

a) x – (x – 2) = 2

b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3

c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2

d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x

f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3

h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2

13 Opera y reduce.

a) 5x · 2 b)6x : 2

c) 3x · 4x d)12x : 3x

e) x · 6x f ) x2 : x

g) x2 · x3 h)x5 : x2

i) 3x · 5x3 j) 15x6 : 5x4

k) (–2x2) · (–3x4) l) (–20x8) : 5x7

m) x3 · (–3x3) n) x2 : (–2x3)

ñ) x · x2 o) x : x3

a) 5x · 2 = 10x b) 6x : 2 = 3x

c) 3x · 4x = 12x2 d) 12x : 3x = 4

e) x · 6x = 4x2 f ) x2 : x = 3x

g) x2 · x3 = x5 h) x5 : x2 = x3

i) 3x · 5x3 = 15x4 j) 15x6 : 5x4 = 3x2

k) (–2x2) · (–3x4) = 6x6 l) (–20x8) : 5x7 = –4x

m) x3 · (–3x3) = –4x6 n) x2 : (–2x3) = –

ñ) x · x2 = o) x : x3 = 9x2

16

32

x3

323

12

15x

25

43

14

34

23

16

32

23

12

25

43

14

34

23

Pág. 4

Unidad 5. Álgebra


o l i n o m i o s

14 Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x3 + 3x2 + 2x – 6 b)4 – 3x2

c) 2x5 – 4x2 + 1 d)7x4 – x3 + x2 + 1

a) Grado 3. b) Grado 2.

c) Grado 5. d) Grado 4.

15 Reduce.

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 b)3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 d)5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 = 2x2 – 3x – 4

b) 3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1 = x2 + 7x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 = x3 + 4x2 – 6x

d) 5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4 = 6x3 – 7x2 – x + 3

16 Quita paréntesis y reduce.

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3)

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) d)(3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x)

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x2 – 3x – 2

b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3) = 4x2 – 2x + 3

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) = 2x2 – 2x + 9

d) (3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x) = 4x2 – 8x – 3

17 Copia y completa.

18 Considera los polinomios siguientes:

A = 3x3 – 6x2 + 4x – 2 B = x3 – 3x + 1 C = 2x2 + 4x – 5

Calcula.

a) A + B b)A + B + C c) A – Bd)B – C e) A + B – C f ) A – B – C

a) A + B = 4x3 – 6x2 + x – 1 b) A + B + C = 4x3 – 4x2 + 5x – 6

c) A – B = 2x3 – 6x2 + 7x – 3 d) B – C = x3 – 2x2 – 7x + 6

e) A + B – C = 4x3 – 8x2 – 3x + 4 f ) A – B – C = 2x3 – 8x2 + 3x + 2

2x3 – 3x2 + 4x – 8+ 4x3 + 5x2 – 5x – 2

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ 2x2 + 4x – 1

5x2 – x – 6

■■x3 – 3x2 + ■■x – 8+ 4x3 + ■■x2 – 5x – ■■

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ ■■x2 + ■■x – ■■

5x2 – x – 6

PPág. 5

Unidad 5. Álgebra


19 Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo:

• (–x2) · (4x3 – 7x2 – x + 9) =

= 4x3 · (–x2) – 7x2 · (–x2) – x · (–x2) + 9 · (–x2) =

= –4x5 + 7x4 + x3 – 9x2

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2)

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1)

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1)

d)x2 · (5x2 + 3x + 4)

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2)

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x + 4

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1) = –8x2 + 20x + 4

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1) = 3x4 – 4x3 – 6x2 – x

d) x2 · (5x2 + 3x + 4) = 5x4 + 3x3 + 4x2

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2) = –2x4 + 4x3 – 6x2 – 4x

20 Reduce.

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2)

b)5(x – 2) – 2(2x + 1)

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5)

d)4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1)

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3)

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4

b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x2 – 8x – 13

d) 4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1) = 5x2 – 23x + 9

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3) = 3x2 – 14x + 9

21 Multiplica.

a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5)

c) (2x + 3) · (3x – 4) d)(x + 1) · (x2 + x + 1)

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)

a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x2 – 5x + 3

b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x2 – 17x + 10

c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x2 + x – 12

d) (x + 1) · (x2 + x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) = 4x3 – 8x2 + 7x – 2

f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1) = 3x4 – 4x3 + 11x2 + 13x + 2

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3) = 2x5 – 9x4 + 26x2 + 6x – 9

Pág. 6

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 121


23 Calcula.

a) (x2 + 1) · (x – 2) b) (2x2 – 1) · (x2 + 3)

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) d)(x2 + 2) · (x3 – 3x + 1)

a) (x2 + 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2

b) (2x2 – 1) · (x2 + 3) = 2x4 + 5x2 – 3

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) = 6x4 – 9x3 – 4x2 + 10x – 6

d) (x2 + 2) · (x3 – 3x + 1) = x5 – x3 + x2 – 6x + 2

24 Opera como en el ejemplo.

• (x2 + 3) · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) + 3 · (x2 – 1) =

= x3 – x2 + 3x2 – 3 = x3 + 2x2 – 3

a) (x + 1) · (x2 + 4) b) (x3 + 1) · (x2 + 5)

c) (x2 – 2) · (x + 7) d)(x3 – 3x + 5) · (2x – 1)

a) (x + 1) · (x2 + 4) = x3 + x2 + 4x + 4

b) (x3 + 1) · (x2 + 5) = x5 + 5x3 + x2 + 5

c) (x2 – 2) · (x + 7) = x3 + 7x2 – 2x – 14

d) (x3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x4 – x3 – 6x2 + 13x – 5

25 Reduce.

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1)

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2)

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2)

d)(4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12)

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1) = 5x + 1

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x2 + 5x – 10

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2) = 3x2 – 8x + 7

d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12) = 2x2 – 4x – 3


27 Realiza las divisiones siguientes:

a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 c) (3x2 – x) : xd)(4x3 – 8x2) : 2x e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x f ) (12x3 + 9x2) : 3x2

a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3 b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1

c) (3x2 – x) : x = 3x – 1 d) (4x3 – 8x2) : 2x = 2x2 – 4x

e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x = 2x2 – x + 3 f ) (12x3 + 9x2) : 3x2 = 4x + 3

Pág. 7

Unidad 5. Álgebra


r o d u c t o s n o t a b l e s y e x t r a c c i ó n d e f a c t o r c o m ú n

28 Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

a) 3x + 3y + 3z b)2x – 5xy + 3xzc) a2 + 3a d)3a – 6be) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x2 + 12x3

g) 9a + 6a2 + 3a3 h)2a2 – 5a3 + a4

a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z )

b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z )

c) a2 + 3a = a (a + 3)

d) 3a – 6b = 3(a – 2b )

e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z )

f ) 4x – 8x2 + 12x3 = 4x (1 – 2x + 3x2)

g) 9a + 6a2 + 3a3 = 3a (3 + 2a + a2)

h) 2a2 – 5a3 + a4 = a2(2 – 5a + a2)

29 Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los pro-ductos notables.

a) (x + 3)2 b) (3 + a)2

c) (2 – x)2 d)(a – 6)2

e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2

g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5)

a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2

c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36

e) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2

g) (x – 5) · (x + 5) = x2 – 25 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x2 – 25


31 Descompón en factores.

a) x2 – 6x + 9 b)x3 – 9xc) 3x2 + 6x + 3 d)2x3 – 12x2 + 18xe) x4 – x2 f ) 4x2 + 4x + 1

a) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3)

b) x3 – 9x = x (x2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3)

c) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1)

d) 2x3 – 12x2 + 18x = 2x · (x2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3)

e) x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x + 1) · (x – 1)

f ) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)

PPág. 8

Unidad 5. Álgebra


32 Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, sim-plifica.

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

33 Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, sim-plifica.

a) b)

c) d)

e) f )

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = = 3(x + 1)5x

3(x + 1)2

5x (x + 1)3x2 + 6x + 3

5x2 + 5x

1x – 3

2x (x – 3)2x (x – 3)2

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x + 15x

(x + 1)2

5x (x + 1)x2 + 2x + 15x2 + 5x

1x – 1

3(x + 1)3(x + 1)(x – 1)

3x + 33x2 – 3

5x + 3

5(x + 3)(x + 3)2

5x + 15x2 + 6x + 9

x + 3x – 3

(x + 3)(x – 3)(x – 3)2

x2 – 9x2 – 6x + 9

3x2 + 6x + 35x2 + 5x

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x2 + 2x + 15x2 + 5x

3x + 33x2 – 3

5x + 15x2 + 6x + 9

x2 – 9x2 – 6x + 9

x – 1x2

2x (x – 1)2x3

2x2 – 2x2x3

23x

2x (x + 5)3x2(x + 5)

2x2 + 10x3x3 + 15x2

1x + 2

xx (x + 2)

xx2 + 2x

23

2(x + 1)3(x + 1)

2x + 23x + 3

2x2 – 2x2x3

2x2 + 10x3x3 + 15x2

xx2 + 2x

2x + 23x + 3

Pág. 9

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 141

c u a c i o n e s s e n c i l l a s

1 Resuelve mentalmente.

a) x + 4 = 5 b)x – 3 = 6 c) 7 + x = 10

d)7 – x = 5 e) 11 = x + 5 f ) 2 = x – 9

g) 5 = 2 + x h)9 = 15 – x i) 2 – x = 9

a) x = 1 b) x = 9 c) x = 3

d) x = 2 e) x = 6 f ) x = 11

g) x = 3 h) x = 6 i) x = –7

2 Resuelve.

a) 2x + x = 5 b)7x – 3x = 10 – 7

c) x – 9x = 9 – 7 d)5x – x = 3 – 5

e) 6 = 12x – 2x f ) 2 – 8 = x + 2xg) 5x – 13x = 6 – 10 h)2x + 4 + 5x = 18

i) 11x + 17 – 6x = 2 j) 9 = 12x – 6 – 7xk)2x – 5 + 3x + 1 = 3x – 2 l) x + 7 = 12x – 3 – 8x + 1

m) 6x – 1 + x = 4 – 5x + 3 n)x + 2x + 3x – 5 = 4x – 9

ñ)5x + 4 – 6x = 7 – x – 3 o) 4x + 2 + 7x = 10x + 3 + x

a) x = b) x = c) x = – d) x = –

e) x = f ) x = –2 g) x = h) x = 2

i) x = –3 j) x = 3 k) x = 1 l) x = 3

m) x = n) x = –2

ñ) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones.

o) Incompatible. Sin solución.

3 Quita paréntesis y resuelve.

a) 6(x + 1) – 4x = 5x – 9 b)18x – 13 = 8 – 4(3x – 1)

c) 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x) d)5 – (4x + 6) = 3x + (7 – 4x)

e) x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13 f ) 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8xg) 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7

a) 6x + 6 – 4x = 5x – 9 8 15 = 3x 8 x = 5

b) 18x – 13 = 8 – 12x + 4 8 30x = 25 8 x = 56

23

12

35

12

14

34

53

E

Pág. 1

Unidad 6. Ecuaciones


c) 3x + 10x – 5 = 8 – 12 + 15x 8 –1 = 2x 8 x = –

d) 5 – 4x – 6 = 3x + 7 – 4x 8 –8 = 3x 8 x = –

e) x – 14x – 7 = 12 – 10x – 13 8 –6 = 3x 8 x = –2

f ) 11 – 15x – 10 + 7x = 1 – 8x 8 1 – 8x = 1 – 8x 88 Identidad. Infinitas soluciones.

g) 13x – 5x – 10 = 8x – 4 + 7 8 8x – 10 = 8x + 3 88 Incompatible. No tiene solución.

c u a c i o n e s d e p r i m e r g r a d o c o n d e n o m i n a d o r e s

4 Quita denominadores y resuelve.

a) x + = b) + 1 = + x

c) – = x – – d) + – x = –

e) – 1 – = x + + 1 f ) + – = – +

a) 3x + 1 = x 8 x = – b) 10x + 6 = 5 + 6x 8 x = –

c) 12x – 5 = 20x – 14x – 4 8 x = d) 10x + 8 – 30x = 5 – 21x 8 x = –3

e) 14x – 8 – x = 8x + 5x + 8 8 0x = 16 8 Sin solución.

f ) 3x + 1 – 2x = x – 4 + 5 8 x + 1 = x + 1 8 Identidad. Tiene infinitas soluciones.

5 Elimina los paréntesis y los denominadores y resuelve.

a) 2x – = (x – 3) b) (2x – 1) – x =

c) – 1 = 2 x – d)x – = (2x – 5)

a) 4x – 5 = x – 3 8 x =

b) 5(2x – 1) – 6x = x 8 10x – 5 – 6x = x 8 x =

c) – 1 = 2x – 8 x – 5 = 10x – 8 8 x =

d) x – = – 8 6x – 2 = 2x – 5 8 x = – 34

56

x3

13

13

85

x5

53

23

16

13)4

5(x5

x6

56

12

52

16

14

12

56

23

x6

x3

16

x2

5x8

x8

7x4

7x10

16

415

x3

15

7x10

14

3x5

56

5x3

x3

13

E

83

12

Pág. 2



6 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) (2 + 5x) = x – b)2(x – 3) – = x – (x – 1)

c) 1 – = – (x – 2) d)x – = (2x – 1) +

e) 5 – = 3x – f ) 1 – (x + 1) = –

a) + x = – 8 4 + 10x = 5x – 1 8 x = –1

b) 2x – 6 – = x – + 8 6x – 18 – 1 = 3x – x + 1 8 x = 5

c) 1 – = – + 1 8 8 – 3x = 6 – 4x + 8 8 x = 6

d) x – = – + 8 12x – 9x = 8x – 4 + 2x 8 x =

e) – = – 8 5x – 2 = 6x – 1 8 x = –1

f ) 21 – 9(x + 1) = 14x – 3 8 21 – 9x – 9 = 14x – 3 8 x =

7 Elimina denominadores y resuelve.

a) x – = 1 b)1 – = 2x –

c) 1 – = x + d) – 1 =

e) – 1 = 2x – 2 f ) x + = + 1

g) 2x + = h) – 1 = x –

i) – = j) + = x – 2

k) – = 1 l) – =

a) 5x – (x – 3) = 5 8 5x – x + 3 = 5 8 x =

b) 3 – (x + 1) = 6x – 1 8 3 – x – 1 = 6x – 1 8 x =

c) 6 – 2(1 – x) = 6x + 3 8 6 – 2 + 2x = 6x + 3 8 x =

d) 6x – 4 = 3x + 2 8 x = 2

14

37

12

3x – 14

x – 112

1 – x3

x – 67

x + 35

x – 25

x – 53

x3

x + 215

x5

x + 12

3x5

x – 34

x – 32

x2

2 – 3x5

3x – 12

3x + 24

3x2

12

1 – x3

13

x + 13

x – 35

1523

14

3x2

12

5x4

47

x6

13

2x3

3x4

x2

34

3x8

13

x3

13

110

x2

25

17

2x3

37)1

2(12)1

10x4(

x6

13

3x4

12

34

3x8

13

13)1

5(12

15

Pág. 3



e) 3x – 1 – 2 = 4x – 4 8 x = 1

f ) 10x + 2(2 – 3x) = 5x + 10 8 10x + 4 – 6x = 5x + 10 8 x = –6

g) 8x + 2(x – 3) = x – 3 8 8x + 2x – 6 = x – 3 8 x =

h) 6x – 10 = 10x – 5(x + 1) 8 6x – 10 = 10x – 5x – 5 8 x = 5

i) 3x – (x + 2) = 5x 8 3x – x – 2 = 5x 8 x = –

j) 5(x – 5) + 3(x – 2) = 15(x – 2) 8 5x – 25 + 3x – 6 = 15x – 30 8 x = –

k) 7(x + 3) – 5(x – 6) = 35 8 7x + 21 – 5x + 30 = 35 8 x = –8

l) 4(1 – x) – (x – 1) = 3(3x – 1) 8 4 – 4x – x + 1 = 9x – 3 8 x =

8 Resuelve estas ecuaciones:

a) – = b)2 + (x + 1) = x –

c) (1 – 3x) + = (1 – x) d) + 1 + x = x –

a) 5(3x – 1) – 4(2x + 1) = 7x – 13 8 15x – 5 – 8x – 4 = 7x – 13 88 Incompatible. No tiene solución.

b) 10 + 2(x + 1) = 5x – (2x + 3) 8 10 + 2x + 2 = 5x – 2x – 3 8 x = 15

c) 8(1 – 3x) + 9(x – 1) = 5(1 – x) 8 8 – 24x + 9x – 9 = 5 – 5x 8 x =

d) + + x = – 8 4x – 4 + 12 + 20x = 15x – 10 8 x = –2

PÁGINA 142


10 Elimina denominadores, con las indicaciones que se ofrecen, y resuelve.

a) + = 3 5 Multiplica ambos miembros por 2x.

b) – = 5 Multiplica por 10x.

c) – 1 = 5 Multiplica por (x – 2).

d) + 2 = 5 Multiplica por (3x – 1).53x – 1

2x3x – 1

xx – 2

3x – 2

25

1x

12

12

1x

12

3x4

35

x – 15

–35

)23(3

4)x – 13(3

5512

3(x – 1)4

23

2x + 35

25

7x – 1320

2x + 15

3x – 14

47

17

23

13

Pág. 4



e) + 1 = 5 Multiplica por 2 · (x – 1).

f ) – = 5 Multiplica por 5 · (x – 3).

g) + = 5 Multiplica por 5 · (x – 1).

a) 2 + x = 6x 8 x = b) 5x – 10 = 4x 8 x = 10

c) 3 – (x – 2) = x 8 x = d) 2x + 2(3x – 1) = 5 8 x =

e) 2 + 2(x – 1) = x – 1 8 x = –1 f ) 10x – (x – 3) = 10 8 x =

g) 15x + 6 = x – 1 8 x = –

roblemas para resolver con ecuaciones de pr imer grado

11 Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación.

a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25. ¿De qué número se trata?

b)Si a un número le restas 10, obtienes 20. ¿Qué número es?

c) Un número, x, y su siguiente, x + 1, suman 13. ¿Cuáles son esos números?

d)En mi clase somos 29 en total, pero hay tres chicos más que chicas. ¿Cuántoschicos y cuántas chicas hay en la clase?

a) x + 12 = 25 8 x = 13 b) x – 10 = 20 8 x = 30

El número es 13. El número es 30.

c) x + (x + 1) = 13 8 x = 6 d) x + (x + 3) = 29 8 x = 13Los números son 6 y 7.

En la clase hay 13 chicas y 16 chicos.

12 Busca un número cuyo doble más tres unidades sea igual a su triple me-nos cinco unidades.

2x + 3 = 3x – 5 8 x = 8

El número es 8.

13 Dividiendo un número entre tres, se obtiene el mismo resultado que res-tándole 16. ¿De qué número se trata?

= x – 16 8 x = 24

El número es 24.

x3

°¢£

Chicas 8 xChicos 8x + 3

P

12

79

78

52

25

15

65(x – 1)

3xx – 1

2x – 3

15

2xx – 3

12

1x – 1

Pág. 5



14 Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que su-mándole 12. ¿Cuál es ese número?

5x = x + 12 8 x = 3

El número es 3.

15 Si al triple de un número se le suman 15 y el resultado se divide entre 4,da 9. ¿Cuál es ese número?

= 9 8 x = 7

El número es 7.

16 La suma de dos números es 167, y su diferencia, 19. ¿Cuáles son esos nú-meros?

Un número 8 x

Otro número 8 x + 19

x + (x + 19) = 167 8 x = 74; x + 19 = 93

Los números son 74 y 93.

17 Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 157.

EL NÚMERO 8 x SU SIGUIENTE 8 x + 1

x + (x + 1) = 157 8 x = 78

El número es 78.

18 La suma de tres números consecutivos es 135. ¿Cuáles son esos números?

(x – 1) + x + (x + 1) = 135 8 x = 45

Los números son 44, 45 y 46.

19 Si a la cuarta parte de un número se le restan tres unidades, se obtiene suquinta parte. Calcula dicho número.

– 3 = 8 x = 60

El número es 60.

20 Teresa es siete años mayor que su hermano Antonio y dos años menorque su hermana Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre los tressuman 34 años.

ANTONIO 8 x – 7 TERESA 8 x BLANCA 8 x + 2

(x – 7) + x + (x + 2) = 34 8 x = 13

Antonio tiene x – 7 = 13 – 7 = 6 años.

Teresa tiene 13 años.

Blanca tiene x + 2 = 13 + 2 = 15 años.

x5

x4

3x + 154

Pág. 6



21 Una ensaimada cuesta 10 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes ycuatro ensaimadas han costado 6 euros. ¿Cuál es el coste de cada pieza?

Cruasán 8 x

Ensaimada 8 x + 10

3x + 4(x + 10) = 600 8 x = 80

Un cruasán cuesta 80 céntimos y una ensaimada 90 céntimos.

22 Narciso ha comprado en las rebajas dos pantalones y tres camisetas por161 €. ¿Cuál era el precio de cada artículo, sabiendo que un pantalón costabael doble que una camiseta?

Camiseta 8 x

Pantalón 8 2x

2 · 2x + 3x = 161 8 x = 23

Una camiseta cuesta 23 € y un pantalón 46 €

23 Reparte 280 € entre tres personas, de forma que la primera reciba el tri-ple que la segunda, y esta, el doble que la tercera.

PRIMERA PERSONA 8 6x SEGUNDA PERSONA 8 2xTERCERA PERSONA 8 x

6x + 2x + x = 280 8 x = 31,11

La tercera persona recibe 31,11 €

La segunda 31,11 · 2 = 62,22 €

La primera 6 · 31,11 = 186,67 €

PÁGINA 14324 Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expro-

piación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de re-partirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno queel segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?

6x + 3x + x = 100 000 8 x = 10 000

Primer agricultor 8 60 000 €

Segundo agricultor 8 30 000 €

Tercer agricultor 8 10 000€

25 En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que:

— Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €.

— De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €.

— De 20 € hay seis billetes más que de 50 €.

¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Pág. 7



Billetes de 50 € 8 x

Billetes de 20 € 8 x + 6

Billetes de 10 € 8 x + 6

Billetes de 5 € 8 2(x + 6)

50x + 20(x + 6) + 10(x + 6) + 5 · 2 · (x + 6) = 1 140 8 x = 10

En la caja hay 10 billetes de 50 €, 16 billetes de 20 €, 16 billetes de 10 € y 32 bi-lletes de 5 €.

26 Se han repartido 500 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles.¿Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede conel triple de cantidad que el primero?

3 · (250 – x) = 250 + x 8 x = 125

Se han de pasar 125 litros. Así, el primer barril quedará con 125 l y el segundo con375 l.

27 Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera par-te, de tomates, y el resto, que son 200 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie to-tal de la huerta?

SUPERFICIE DE LA HUERTA 8 xPIMIENTOS 8 x/2

TOMATES 8 x/3

PATATAS 8 200 m2

+ + 200 = x 8 x = 1 200

La huerta tiene una superficie de 1 200 m2.


29 Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrirpara que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo?

38 + x = 2(11 + x) 8 x = 16

Han de transcurrir 16 años.

30 La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentrode 8 años solo será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno?

4(x + 8) = 6x + 8 8 x = 12

Fernando tiene 12 años y Adela, 72 años.

x3

x2

Pág. 8


H OY D E N T R O D E x A Ñ O S

PA D R E 38 38 + xH I J O 11 11 + x

H OY D E N T R O D E 8 A Ñ O S

A D E L A 6x 6x + 8F E R N A N D O x x + 8


31 Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cadauno sabiendo que dentro de 12 años la edad del padre será solamente el dobleque la de la hija.

2(x + 12) = 3x + 12 8 x = 12

Nuria tiene 12 años, y Roberto, 36.

32 Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismocamino a 35 km/h. Si el paseo ha durado 30 minutos, ¿cuánto tiempo ha in-vertido en la subida?

TIEMPO DE SUBIDA 8 x (horas)

TIEMPO DE BAJADA 8 – x (horas)

DISTANCIA RECORRIDA SUBIENDO 8 15x

DISTANCIA RECORRIDA BAJANDO 8 35 – x

15x = 35 – x 8 x =

En la subida ha invertido horas. Es decir, h = h = 21 minutos.

33 Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidadde 24 km/h, y el otro, de B hacia A, a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de30 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?

TIEMPO HASTA EL ENCUENTRO 8 x (horas)

DISTANCIA RECORRIDA POR EL PRIMERO 8 24xDISTANCIA RECORRIDA POR EL SEGUNDO 8 16x

24x + 16x = 30 8 x =

Tardan en encontrarse tres cuartos de hora.

34 Dos trenes se encuentran, respectivamente, en las estaciones de dos ciu-dades separadas entre sí 132 km. Ambos parten a la misma hora, por vías pa-ralelas, hacia la ciudad contraria. Si el primero va a 70 km/h, y el segundo, a95 km/h, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

70x + 95x = 132 8 x =

Tardan en encontrarse h. Es decir, h = h = 48 minutos.4860

45

45

45

34

2160

720

720

720)1

2()1

2(

12

Pág. 9



N U R I A x x + 12R O B E RT O 3x 3x + 12


35 Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de 22 km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda un motorista a 55 km/h.¿Cuánto tardará en darle alcance?

• Tiempo hasta el alcance 8 x

• Distancia recorrida por el motorista 8 55x

• Distancia recorrida por el ciclista 8 22 · x +

55x = 22 · x + 8 x = 1

La moto tarda una hora en alcanzar al ciclista.

36 Un camión sale por carretera de cierta ciudad a 60 km/h. Diez minutosdespués sale en su persecución un coche que tarda quince minutos en darle al-cance. ¿A qué velocidad iba el coche?

Distancia del camión 8 60 ·

Distancia del coche 8 x ·

60 · = x · 8 x = 100

La velocidad del coche era de 100 km/h.

PÁGINA 144

37 Se han pagado 66 € por una prenda que estaba rebajada un 12%. ¿Cuálera el precio sin rebaja?

PRECIO ORIGINAL 8 x

REBAJA 8

ECUACIÓN 8 x – = 66

x – = 66 8 x = 75

El precio sin rebaja era de 75 €.

38 Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mis-mo precio, pero en la falda le han hecho un 20% de rebaja, y en la blusa, soloun 15%. ¿Cuánto costaba originalmente cada prenda?

0,80x + 0,85x = 66 8 x = 40

Cada prenda costaba 40 €.

12x100

12x100

12x100

1560

2560

1560

2560

)32(

)32(

Pág. 10



39 Un inversor ha obtenido un beneficio de 156 € por un capital colocadoal 4% durante tres años. ¿A cuánto ascendía el capital?

156 = 8 x = 1 300

El capital ascendía a 1 300 €.

40 Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a0,5 €/l, con otra cantidad de leche de oveja, a 0,80 €/l, obteniendo 300 litrosde mezcla a un precio medio de 0,70 €/l. ¿Cuántos litros de cada tipo de lecheempleó?

0,5x + 0,8(300 – x) = 0,7 · 300 8 x = 100

Se han mezclado 100 litros de leche de vaca con 200 litros de leche de oveja.

41 ¿Qué cantidad de café de 7,20 €/kg se ha de mezclar con 8 kg de otra cla-se superior de 9,30 €/kg para obtener una mezcla que salga a un precio mediode 8,40 €/kg?

7,2x + 8 · 9,3 = 8,4 · (x + 8) 8 x = 6

Se han de utilizar 6 kg del café más barato.

42 Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga quede ancha, se han necesitado 84 m de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del sec-tor delimitado?

x + 2x + x + 2x = 84 8 x = 14

La zona medirá 14 m Ò 28 m.

43 La amplitud de uno de los ángulos de un triángulo es 13 grados mayor y18 grados menor, respectivamente, que las amplitudes de los otros dos ángulos.Calcula la medida de cada ángulo.

x + (x + 18) + (x – 13) = 180 8 x = 8 58° 20'

Los ángulos miden: x = = 58° 20'

x + 18 = 76° 20'

x – 13 = 45° 20'

1753

1753

x

2x

x · 4 · 3100

Pág. 11


C A N T I D A D ( l ) P R E C I O (€ /L ) C O S T E (€ )

VAC A x 0,5 0,5xO V E J A 300 – x 0,8 0,8 · (300 – x)M E Z C L A 300 0,7 0,7 · 300

C A N T I D A D (kg) P R E C I O (€ /kg) P R E C I O (€ )

C A F É A x 7,20 7,2xC A F É B 8 9,30 8 · 9,3M E Z C L A x + 8 8,40 8,4(x + 8)

x

x + 18

x – 13


44 La altura de un trapecio mide 5 cm y la base mayor es 6 cm más larga quela base menor. Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que elárea del trapecio mide 65 m2.

A = · h

· 5 = 65 8 x = 10

Las bases del trapecio miden 10 cm y 16 cm, respectivamente.

45 Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que el área mide 100 m2.

14x + 6x = 100 8 x = 5 m

Perímetro = 14 + 5 + 8 + 5 + 6 + 10 = 48 m


47 Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la pri-mera, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas. ¿Cuántotarda en llenarse si se abre solamente la segunda boca?

+ = 8 x =

Si se abre solamente la segunda boca, el estanque tarda en llenarse h = 4 h y 48 minutos.

48 Un grifo llena un depósito en 30 minutos. Si se abre a la vez un segundogrifo, el depósito se llena en 20 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse solo conel segundo grifo?

+ = 8 x = 60

El segundo grifo llena el estanque en 60 min = 1 h.

120

1x

130

245

245

13

1x

18

x

x

14 m

6 m

8 m2x

x + (x + 6)2

x

x + 6

5 cmB + b

2

Pág. 12



PÁGINA 145

c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o

49 Observa, razona y resuelve.

a) x2 = 100 b)x2 = 20

c) 5x2 = 45 d)12x2 = 3

e) x (x – 3) = 0 f ) (x + 5)x = 0

g) x (3x – 1) = 0 h)3x (5x + 2) = 0

i) x2 – 7x = 0 j) x2 + 4x = 0

k)3x2 = 2x l) 5x2 = x2 – 2x

a) x = ±10 b) x = ± = ±2

c) x = ±3 d) x = ±

e) x = 0; x = 3 f ) x = 0; x = –5

g) x = 0; x = h) x = 0; x = –

i) x = 0; x = 7 j) x = 0; x = –4

k) x = 0; x = l) x = 0; x = –

50 Resuelve aplicando la fórmula.

a) x2 – 10x + 21 = 0 b)x2 + 2x – 3 = 0

c) x2 + 9x + 40 = 0 d)5x2 + 14x – 3 = 0

e) 15x2 – 16x + 4 = 0 f ) 14x2 + 5x – 1 = 0

g) x2 – 10x + 25 = 0 h)9x2 + 6x + 1 = 0

i) 6x2 – 5x + 2 = 0 j) 6x2 – x – 5 = 0

a) x = 8 x = 7; x = 3

b) x = 8 x = 1; x = –3

c) x = 8 Sin solución.

d) x = 8 x = ; x = –3

e) x = 8 x = ; x =

f ) x = 8 x = ; x = – 12

17

–5 ± √25 + 5628

25

23

16 ± √256 – 24030

15

–14 ± √196 + 6010

–9 ± √81 – 1602

–2 ± √4 + 122

10 ± √100 – 842

12

23

25

13

12

√5√20

E

Pág. 13



g) x = 8 x = 5; x = 5

h) x = 8 x = – ; x = –

i) x = 8 Sin solución.

j) x = 8 x = 6; x = –5

51 Resuelve, primero, mentalmente. Después, reduce a la forma general yaplica la fórmula.

a) (x – 4)2 = 0 b) (2x – 5)2 = 0

c) (x – 1) · (x – 7) = 0 d)(x + 2) · (x + 4) = 0

e) (x – 5) · (x + 7) = 0 f ) (2x – 1) · (2x + 1) = 0

a) x2 – 8x + 16 = 0 8 x = 4; x = 4

b) 4x2 – 20x + 25 = 0 8 x = ; x =

c) x2 – 8x + 7 = 0 8 x = 1; x = 7

d) x2 + 6x + 8 = 0 8 x = –2; x = –4

e) x2 + 2x – 35 = 0 8 x = 5; x = –7

f ) 4x2 – 1 = 0 8 x = ; x = –

52 Reduce a la forma general y aplica la fórmula.

a) x2 – = – 1

b) x + = x +

c) x – = – 2x –

d) + x = – 1

a) 20x2 – x – 1 = 0 8 x = ; x = –

b) 10x2 – 7x = 0 8 x = 0; x =

c) 10x2 – 7x + 2 = 0 8 Sin solución.

d) x2 – 6x – 16 = 0 8 x = 8; x = –2

710

15

14

2x2 – 53

x2

2

)12(1

15x2

2)120(x

3

)25(x

3)130(x

2

)x4(1

514

12

12

52

52

1 ± √1 + 1202

5 ± √25 – 4812

13

13

–6 ± √36 – 3618

10 ± √100 – 1002

Pág. 14



r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n e c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o

53 Calcula, primero, mentalmente y, después, con una ecuación.

a) ¿Qué número multiplicado por su siguiente da 12?

x · (x + 1) = 12

b)La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. ¿De qué núme-ros se trata?

x2 + (x + 1)2 = 5

a) x = 3; x = –4. Se trata de 3 y 4 ó –4 y –3.

b) x = 1; x = –2. Se trata de 1 y 2 ó –2 y –1.

54 Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo nú-mero disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata?

(x + 3) · (x – 3) = 55

x = +8; x = –8

El número puede ser 8 ó –8.

55 Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminui-do en 5 unidades, da 12. ¿Qué número es?

2x (x – 5) = 12 8 x = 6; x = –1

El número puede ser 6 ó –1.

56 Los miembros del equipo vamos a hacer un regalo al entrenador que cues-ta 80 €. Nos sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos eu-ros menos cada uno. ¿Cuántos somos en el equipo?

N.° DE COMPONENTES DEL EQUIPO 8 x

CADA UNO DEBE PAGAR 8

SI FUERAN DOS MÁS, CADA UNO PAGARÍA 8

– 2 =

– 2 =

x2 + 2x – 80 = 0 8 x = 8; x = –10

En el equipo hay 8 jugadores.


80x + 2

80x

LO QUE PAGARÍA CADA

UNO SI FUERAN DOS MÁS

LO QUE PAGA

CADA UNO

80x + 2

80x

PPág. 15



58 El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcula susdimensiones.

x (50 – x) = 600 8 x = 30; x = 20

El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho.

x

50 – x

600 m2

Pág. 16



PÁGINA 159

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n g r á f i c a

1 Representa estas ecuaciones:

a) Escribe las coordenadas del punto de corte.

b)Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.

y = 3 – x y = x – 1

a) Punto de corte: (2, 1). b) Solución del sistema: x = 2, y = 1.

2 Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones:

y = x – 2 y =

a) Punto de corte: (4, 2). b) Solución del sistema: x = 4, y = 2.

y = x – 2

12 – xy = — 4

X –4 0 4 8

Y 4 3 2 1

X 0 2 4 6

Y –2 0 2 4

12 – x4

x – y = 2x + 4y = 12

°¢£

y = 3 – x

y = x – 1

X –2 0 2 4

Y –3 –1 1 3

X –2 0 2 4

Y 5 3 1 –1

x + y = 3x – y = 1

°¢£

S

Pág. 1

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones


3 Resuelve gráficamente.

a) b)

a) y = 1 – x y =

Solución del sistema: x = –1, y = 2.

b) y = y = 3x + 3

Solución del sistema: x = –2, y = –3.

x – 4y = — 2

y = 3x + 3

X –4 –2 0 2

Y –9 –3 3 9

X –4 –2 0 2

Y –4 –3 –2 –1

x – 42

x + 5y = — 2

y = 1 – x

X –5 –3 –1 1

Y 0 1 2 3

X –5 –3 –1 1

Y 6 4 2 0

x + 52

x – 2y = 43x – y = –3

°¢£

x + y = 1x – 2y = –5

°¢£

Pág. 2



4 Observa el gráfico y responde.

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = 2, y = 4.

b)Escribe un sistema cuya solución sea x = 0, y = 5.

c) Escribe un sistema sin solución.

a) b) c)

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a

5 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.

a) b)

c) d)

a) 8 x = 1; y = 2

b) 8 y = –1; x = 5

c) 8 y = 1; x = –3

d) 8 y = –5; x = –3

°§§¢§§£

2y – 5x = —5

2y – 54 · — – 3y = 35

°¢£

x = 1 – 4y2(1 – 4y) – y = –7

°¢£

x = 7 + 2y2(7 + 2y) – 3y = 13

°¢£

y = 5x – 32x + 3(5x – 3) = 8

5x – 2y = –54x – 3y = 3

°¢£

x + 4y = 12x – y = –7

°¢£

x – 2y = 72x – 3y = 13

°¢£

2x + 3y = 85x – y = 3

°¢£

S

2x – 3y + 15 = 02x – 3y + 1 = 0

°¢£

x + 2y = 102x – 3y + 15 = 0

°¢£

x + 2y = 103x – y = 2

°¢£

3x – y = 2

x + 2y = 10

2x – 3y + 1 = 0

2x – 3y + 15 = 0

Pág. 3



6 Resuelve por igualación.

a) b)

c) d)

a) 3x – 5 = 5x – 1 8 x = –2; y = –11

b) 8 7 – y = y – 3 8 y = 5; x = 2

c)8 8 + 3y = 8 y = –1; x = 5

d)8 = 8 x = 3; y = –7

7 Resuelve por reducción.

a)

b)

c)

d)

a) b)

7x = 7 8 x = 1 5y = –10 8 y = –2

2 · 1 + y = 6 8 y = 4 3x + 4 · (–2) = 1 8 x = 3

c) d)

14x = 14 8 x = 1 –y = 3 8 y = –3

2 · 1 + 3y = 8 8 y = 2 6x – 10 · (–3) = 18 8 x = –2

6x – 10y = 18–6x + 9y = –15

2x + 3y = 812x – 3y = 6

3x + 4y = 1–3x + y = –11

2x + y = 65x – y = 1

3x – 5y = 92x – 3y = 5

°¢£

2x + 3y = 84x – y = 2

°¢£

3x + 4y = 13x – y = 11

°¢£

2x + y = 65x – y = 1

°¢£

–7x3

1 – 5x2

°§§¢§§£

1 – 5xy = —2

–7xy = —3

10 – 5y3

°§¢§£

x = 8 + 3y10 – 5yx = —

3

°¢£

x = 7 – yx = y – 3

5x + 2y = 17x + 3y = 0

°¢£

x – 3y = 83x + 5y = 10

°¢£

x + y – 7 = 0x – y + 3 = 0

°¢£

y = 3x – 5y = 5x – 1

°¢£

Pág. 4



8 Resuelve por el método que te parezca más adecuado.

a) b) c)

d) e) f )

a) Sustitución: b) Reducción:

2(2x + 10) = x + 8 8 x = –4 2x + y = –1

y = 2 · (–4) + 10 8 y = 2 –x – y = 4

x = 3

2 · 3 + y = –1 8 y = –7

c) Sustitución: d) Reducción:

x = –5 – 2y 6x – 2y = 2

(–5 – 2y) – 3y = 5 8 y = –2 5x + 2y = 9

x = –5 – 2 · (–2) 8 x = –1 11x = 11 8 x = 1

5 · 1 + 2y = 9 8 y = 2

e) Reducción: f ) Igualación:

8 = 8 y = 5

x = 8 x = 5


PÁGINA 160

10 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c)

a) 8 b) 8 c) 8 x = 6y = 8

°¢£

3x – 2y = 24x – 3y = 0

x = 1y = –3

°¢£

3x + 2y = –3x – 3y = 10

x = 2y = –1

°¢£

3x + 2y = 46x – y = 13

x – 4 y – 5— – — = 02 3

x y— + — = 2x – y3 4

°§§¢§§£

5(2x + 1) = 4(x – y) – 1x – y x + 5— = —

2 3

°§¢§£

2(3x + y) + x = 4(x + 1)6(x – 2) + y = 2(y – 1) + 3

°¢£

10 + 5 · 57

3y – 52

10 + 5y7

10 + 5yx = —7

3y – 5x = —2

°§§¢§§£

6x – 2y = 0–6x + 10y = –24

8y = –24 8 y = –36x – 2 · (–3) = 0 8 x = –1

7x – 5y = 102x – 3y = –5

°¢£

6x – 2y = 03x – 5y = 12

°¢£

3x – y = 15x + 2y = 9

°¢£

x + 2y = –5x – 3y = 5

°¢£

x + y = – 42x + y = –1

°¢£

2y = x + 8y = 2x + 10

°¢£

Pág. 5



r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

11 La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. ¿Cuáles son esos nú-meros?

8


12 Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble delmenor sobrepasa en cinco unidades al mayor.

8


13 Calcula dos números sabiendo que:

— El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo.

— El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero.

8


14 La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos uni-dades para alcanzar al triple del mayor. ¿Cuáles son esos números?

8


15 Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50 €, ellatendría el doble. ¿Cuánto lleva cada uno?

Alejandro 8 x

Palmira 8 y

8

Alejandro tiene 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.

x = 6,5y = 8,5

°¢£

°¢£

x + y = 152(x – 1,5) = y + 1,5

x = 31y = 42

°¢£

°¢£

x + y = 734x + 2 = 3y

x = 10y = 12

°¢£

°§§¢§§£

yx = — + 42xy = — + 72

x = 37y = 21

°¢£

°¢£

x – y = 162y = x + 5

x = 33y = 24

°¢£

°¢£

x + y = 57x – y = 9

PPág. 6



16 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino.Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y quela duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿cuánto ha tardado en su-bir? ¿Y en bajar?

Tiempo de subida 8 x

Tiempo de bajada 8 y

8

La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos.

17 En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día2,70 €. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10 €.¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco?

Coste del café 8 x

Coste del refresco 8 y

8

Un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.

18 Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo launidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 €. Julián paga12 € por 3 melones y cuatro sandías. ¿Cuánto cuesta un melón? ¿Y una sandía?

Coste de un melón 8 x

Coste de una sandía 8 y

8

Un melón cuesta 2 € y una sandía 1,5 €.

19 Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes,unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza?

Envases de 2 kg 8 x

Envases de 5 kg 8 y

8

Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.

x = 150y = 50

°¢£

°¢£

x + y = 2002x + 5y = 550

x = 2y = 1,5

°¢£

°¢£

5x + 2y = 133x + 4y = 12

x = 0,80y = 1,10

°¢£

°¢£

2x + y = 2,70x + 3y = 4,10

x = 55y = 32

°¢£

°¢£

x + y = 87x = 23 + y

Pág. 7



20 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de camaa 70 € el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 €, con-tinuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6 600 €.¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados?

Juegos sin rebaja 8 x

Juegos con rebaja 8 y

8

Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja.

21 Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha ven-dido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en bue-nas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 €,que por cada kilo retirado ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 €,¿cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado?

Kilos vendidos 8 x

Kilos retirados 8 y

8

Ha vendido 72 kilos y ha retirado 8.

22 En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿Cuántosbúfalos son? ¿Y avestruces?

☞ Búfalos 8 x Avestruces 8 y

Patas de búfalo 8 4x Patas de avestruz 8 2y

Búfalos 8 x

Avestruces 8 y

8

Hay 5 búfalos y 7 avestruces.

PÁGINA 16123 En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 pa-

tas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

Gallinas 8 x

Conejos 8 y

8

Hay 85 gallinas y 42 conejos.

x = 85y = 42

°¢£

°¢£

x + y = 1272x + 4y = 338

x = 5y = 7

°¢£

°¢£

x + y = 124x + 2y = 34

x = 72y = 8

°¢£

°¢£

x + y = 80x – 2y = 56

x = 80y = 20

°¢£

°¢£

x + y = 10070x + 50y = 6 600

Pág. 8



24 Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva?

Monedas de 20 céntimos 8 x

Monedas de 50 céntimos 8 y

8

Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.

25 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diezaños solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

8

Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.

26 El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su pa-dre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántosaños tiene hoy cada uno?

8

Javier tiene 10 años, y su padre, 40.

27 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetromide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

8

El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm.

x = 14,5 y = 6,5

°¢£

°¢£

x – y = 8x + y + x + y = 42

Diferencia entre los lados:x – y = 8

Perímetro:x + y + x + y = 42

x

y

x = 10y = 40

°¢£

°§¢§£

y2x = —2

3(x + 5) = y + 5

x = 30y = 10

°¢£

°¢£

x = 3yx + 10 = 2(y + 10)

x = 20y = 3

°¢£

°¢£

x + y = 1220x + 50y = 330

Pág. 9



C R I S T I N A x x + 10M A R Í A y y + 10

E D A D H OY E D A D D E N T R O D E 5 A Ñ O S

J AV I E R x x + 5E L PA D R E y y + 5

☞


28 Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se hannecesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela.

8

La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho.

29 Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repar-tir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al nú-mero de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primerconcursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. ¿Cuánto corres-ponde a cada uno?

☞ El primer concursante se lleva 8 x El segundo concursante se lleva 8 y

Entre los dos se llevan 8 x + y

El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas 8 x/5 = y/7

8

El primer concursante se lleva 1 250 €,y el segundo, 1 750 €.

30 ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 €/litro, y otro de orujo,a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 €/litro?

Aceite de oliva 8 x litros

Aceite de orujo 8 y litros

8

Hay que emplear 240 litros de aceite de oliva y 360 litros de aceite de orujo.

31 Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si elpaseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, ¿cuán-to tiempo ha invertido en cada tramo?

☞ Tiempo de subida 8 x Tiempo en llano 8 y Tiempo total 8 3 h

Distancia en subida 8 8x

Distancia en llano 8 20y

Distancia total 8 16 · 3 = 48 km

8

Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.

x = 1y = 2

°¢£

°¢£

8x + 20y = 48x + y = 3

x = 240y = 360

°¢£

°¢£

x + y = 6003x + 2y = 600 · 2,40

x = 1 250y = 1 750

°¢£

°§¢§£

x + y = 3 000x y— = —5 7

x

x

y yx = 65y = 40

°¢£

°¢£

x = y + 252x + 2y = 210

Pág. 10



32 Dos ciudades, A y B, distan 270 km. En cierto momento, un coche partede A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h.¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran?

☞ La suma de las distancias es 270 8 x + y = 270

Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales 8x/110 = y/70

8

El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.

33 Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después,sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t ) que tarda en alcanzarle y ladistancia recorrida desde el punto de partida.

distancia = velocidad · tiempo

8

Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer 82,5 km.

34 Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h.Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre Ay B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?

Distancia desde A del peatón 8 x

Distancia desde A del ciclista 8 7 – x

Tiempo 8 t

8

Tardan h = 20 min en encontrarse.

El encuentro se produce a km › 1 km 333 m del punto de partida, A, del peatón.43

13

1t = —34x = —3

°§§¢§§£

°§§¢§§£

x = t · 4

7 – x = t · 17

3t = —4

x = 82,5

°§¢§£

°§¢§£

x = 110 · t1x = 90 · (t + —)6

x = 165y = 105

°¢£

°§¢§£

x + y = 270x y— = —

110 70

Pág. 11


D I S TA N C I A V E L O C I D A D T I E M P O

C O C H E x 110 tC A M I Ó N x 70 t + 10/60

☞


35 ¿Cuánto cuesta el frasco de zumo? ¿Y el tarro de mermelada? ¿Y la caja degalletas?

8 8 8

El zumo cuesta 1 €, el tarro de mermelada, 2 €, y la caja de galletas, 3 €.

G = 3M = 2Z = 1

°¢£

G – M = 1G + M = 5

°¢£

Z = 3 – M(3 – M ) + G = 4M + G = 5

°§¢§£

Z + M = 3Z + G = 4M + G = 5

M + G = 5 €

Z + M = 3 €Z + G = 4 €

Pág. 12



PÁGINA 179

e o r e m a d e P i t á g o r a s

1 Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

A = 44 cm2

B = 15 m2

2 ¿Cuál es el área de los siguientes cuadrados?:

A = 273 cm2

B = 585 dm2

3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u ob-tusángulo.

a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm

b)a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m

c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm

d)a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km

e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas

f ) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm

g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm

a) Obtusángulo. b) Rectángulo.

c) Actuángulo. d) Rectángulo.

e) Acutángulo. f ) Obtusángulo.

g) Rectángulo.

17 cm

12 dm21 dm

4 cm

AB

30 cm2

14 cm2

45 m2

60 m2

A

B

T

Pág. 1

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza


4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:

LadoA = 25 m

LadoB = 63 mm

5 Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las dé-cimas:

Lado A = 12 cm › 17 cm

Lado B = m › 5,7 m

Lado C = mm › 15,5 mm

6 Tomando como unidad el lado del cuadradito, calcula el perímetro de lafigura morada.

3 + 6 + cuadritos.

7 Se cae un poste de14,5 m de alto sobre unedificio que se encuentraa 10 m de él. ¿Cuál es laaltura a la que le golpea?

a = 10,5 m

Golpea el edificio a una altura de 10,5 m.

10

a14,5

14,5 m

10 m

√10√2

√240

√33

√2

12 cm

12 cm

28 m

m

16 m 32 mm17 mA

B C

15 m16 mm

20 m

65 mmA B

Pág. 2



8 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro enmedio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella?

= 8

x = 12 – 8 – 1 = 3

La estrella está a 3 m del suelo.

9 Calcula el perímetro de un rectángulo cuyadiagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

a = 4,2 8 Perímetro = 16,4 cm

El perímetro es de 16,4 cm.

10 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.

l = = 7 dam

La diagonal mide 7 › 9,9 dam

11 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y ellado oblicuo mide 10 dm. Calcula la longitud de la altura.

a = 8 dm

La longitud de la altura es de 8 dm.

12 Sabiendo que las bases de un trapecio isósceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, yque la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo.

a = 3,4 cm

La longitud del lado oblicuo es de 3,4 cma a3

2,4

1,65,6

a 10

13

19

√2

284

a

4 5,8

30

1515

178 8

12

1x

17 √172 – 152

1 m

12 m

34 m

30 m

Pág. 3



13 Calcula la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden 1 dmy 2,4 dm.

l = 1,3 dm

Los lados miden 1,3 dm

PÁGINA 180

r e a s y p e r í m e t r o s u t i l i z a n d o e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s

En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Paraello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, án-gulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

14 a) b)

a) P = 43 m b) P = 85,4 mm

A = 39,9 m2 A = 312,5 mm2

15

P = 89 dm A = 462 dm2

16

P = 58,4 cm A = 211,2 cm2

22 cm

14,6 cm

16,5 dm32,5 dm

25 mm

25 mm

20 m

18 m2,9 m

Á

l

1,2

2,4

1

0,5

Pág. 4



17

P = 12 km A = 10,4 km2

18

P = 42,4 cm A = 100,8 cm2

19

P = 86 cm A = 318 cm2

20

P = 59,7 cm A = 28,5 cm2

21

P = 68,3 m A = 50 m2

10 m

5 cm

32 cm

20 cm13 cm 12 cm

18 cm

10,6 cm

2 km

Pág. 5



22

P = 9,7 mm A = 4 mm2

23

P = 56 m A = 132 m2

24

P = 24 m A = 21,3 m2

PÁGINA 181

25 Calcula el perímetro y el área de cada una de las siguientes secciones deun cubo:

P = 4 › 26,8 cm P = 26,1 cm

A = 45 cm2 A = 44,8 cm2

√45

6 cm6 cm

8,5 m5 m

3 m

13 m20 m

16 m 3 m

4 mm

Pág. 6



26 Calcula el perímetro y el área de esta figura teniendo en cuenta que loscuatro ángulos señalados miden 45°:

P = 42,8 cm

A = 111,28 cm2

27 Halla el área y el perímetro de la figura.

P = 37,2 dm

A = 66 dm2

28 Calcula el perímetro y el área.

P = 34 m

A = 49 m2

5 m

5 m

5 m5 m

3 m

4 dm8 dm

3 dm

6 cm

13 cm5 cm

2 cm

Pág. 7



ons t rucc ión de f i gu ras seme jan tes

29 Sobre una hoja de papel cuadriculado, realiza una copia del siguiente di-bujo pero al doble de su tamaño.

Construcción:

30 Dibuja en tu cuaderno una figura comola siguiente y amplíala al doble de su tamañoproyectándola desde un punto exterior:

CPág. 8



31 Copia la siguiente figura en tu cuadernoy amplíala al triple de su tamaño:

a) Proyectándola desde un punto interior (A).

b)Proyectándola desde uno de sus vértices (B).

a)

b)

32 Para construir un pentágono regular de 2 cm delado, copiamos un pentágono regular cualquiera (figuraroja), alargamos dos de sus lados consecutivos hasta 2 cmy completamos una figura semejante a la roja con los la-dos paralelos. Calca en tu cuaderno el pentágono rojo y,procediendo como arriba, dibuja un pentágono regularde 3 cm de lado. 2 cm

A

B

A

B

A

B

Pág. 9


3 cm


PÁGINA 182

l a n o s , m a p a s , m a q u e t a s

33 Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala1:30 000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. ¿Cuál es ladistancia real?

Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5 km. ¿Aqué distancia se encontrarán en el callejero?

30 000 · 2 = 60 000 cm = 600 m es la distancia al metro.

La casa estará a 5 cm de la guardería en el callejero.

34 En la orilla del río Sena (París) hay una réplica a escala 1:4 de la Estatuade la Libertad que mide 11,5 m. Halla la altura de la estatua de Nueva York.

En Cenicero, un pueblo riojano, hay una Estatua de la Libertad de 1,2 m. ¿Cuálsería la escala de esta con respecto a la de Nueva York?

11,5 · 4 = 46 m mide la de Nueva York.

= 8 La escala es 3:115

35 Las medidas de un coche teledirigido de “Fórmula 1”, a escala 1:40, son:11,75 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuáles son las dimensionesreales del coche?

Las dimensiones son:

— 4,7 m de largo.

— 2 m de ancho.

— 1,20 m de alto.

36 Averigua cuáles son las dimensiones reales del siguiente campo de fútbol.Calcula la superficie de cada área de penalti (área grande) y del círculo central.

ESCALA 1:1400

3115

1,246

P

Pág. 10



Área de penalti = 682,1 m2

Área del círculo central = 301,6 m2

e m e j a n z a d e t r i á n g u l o s

37 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados ylos ángulos que faltan.

B^

= 180° – 51° – 33° = 96° B^' = 96° b' = = 36,5 m

C^' = 51° c' = = 25,5 m

38 Los lados de un triángulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construyeotro semejante a él cuyo lado menor mide 5 cm.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?

b) ¿Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo?

c) Sabiendo que el primer triángulo es rectángulo, ¿podemos asegurar que el se-gundo también lo será? Compruébalo aplicando el teorema de Pitágoras a losdos triángulos.

a) 1,5

b) 12 cm y 13 cm.

c) Sí, 52 + 122 = 132.

512

732

40 m20 m

33° 51°

33°51 m

73 mA

B

C

C'

c'

b'A'

B'

S

ESCALA 1:1400

16,8

70 m9,840,6 m

112 m

Pág. 11



39 Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángu-lo agudo igual.

Entre los siguientes triángulos rectángulos, hay algunos semejantes entre sí.

Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada unode ellos.

Porque se pueden poner en la posición de Tales. Ya que, al tener un ángulo agudoigual y otro rectángulo, tienen los tres iguales.

Son semejantes:

y y y

(90°, 60°, 30°) (90°, 45°, 45°) (90°, 53°, 37°)

40 Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes:

Por ser isósceles tienen los otros dos ángulos iguales y miden 80° cada uno.

Por tanto, tienen los mismos ángulos y los podemos colocar en posición de Tales.

20°20°

534261

1 2 3

4 5 6

53°

30°

37°

Pág. 12



PÁGINA 183

p l i c a c i o n e s d e l a s e m e j a n z a

41 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa?¿Y la de la palmera más alta?

1 cm 8 3 m

2,6 cm 8 x

2,5 8 y

x = 7,8 m mide la casa.

y = 7,5 m mide la palmera más alta.

42 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado me-nor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla:

a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo.

b)El lado mayor del segundo.

c) Las áreas de ambos rectángulos.

a) 1,2

b) 18 cm

c) El área del primero es 150 cm2, y la del segundo, 216 cm2.

43 ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la to-rre reflejada en el agua)?

x = 30 m

La distancia entre el chico y labase de la torre es de 33,3 m.

3,3 x1,76

16

3,3 m

16 m

1,76 m

A

Pág. 13



44 Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha me-dido la sombra de este (9,6 m) y la suya propia (1,44 m), ambas proyectadaspor el Sol a la misma hora. ¿Cuánto mide Carlos?

= 8 x = 1,65

Carlos mide 1,65 m

45 ¿A qué altura del mar se encuentra el foco del faro?

x = 5

= 8 y = 18

El faro está a 19 m sobre el nivel del mar.

46 ¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenloen cuenta para calcular la altura a la que se encuentra el equilibrista.

Los ángulos miden 45°, 45° y 90°.

El equilibrista está a 15 m de altura.

15

45°

45°

15

15 m

45°

x

y

20 3 4

4

y3

244

20 m

4 m

4 m

1 m

x1,44

119,6

Pág. 14



47 ¿Cuál es la altura del siguiente circo?:

= 8 x = 15,9 m

La altura del circo es de 15,9 m.

48 ¿Cuánto mide el alto de la estatua del dibujo?

= 8 x = 3,06 m

La estatua mide 3,06 m de alto.

0,9

0,5 m

4,6

2,1 m1,6 m

x5,50,9

x0,5

4,6 m0,9 m

1,6 m 2,1 m

91110

5,3

x

5,310

x30

10 m 11 m 9 m

5,3 m

Pág. 15



49 Halla la altura del edificio sabiendo que:

• La mesa tiene 1 m de altura.

• = 80 cm

• = 52 cm

= 8 h = 31,2

El edificio mide 32,2 m de altura.

480,8

h0,52

h

52 cm80 cm 47,2 m1 m

48 m

AB

C

BC

AB

Pág. 16



PÁGINA 200

ipos de cuerpos geométr icos

1 Di, justificadamente, qué tipo de poliedro es cada uno de los siguientes:

¿Hay entre ellos algún poliedro regular?

A 8 Prisma pentagonal recto. Su base es un pentágono.

B 8 Pirámide pentagonal. Su base es un pentágono.

C 8 Cubo. Sus caras son cuadrados.

D 8 Tetraedro. Su caras son triángulos.

E 8 Paralelepípedo. Su caras son paralelogramos.

F 8 Tronco de pirámide regular. Sus bases son cuadrados.

El cubo y el tetraedro son poliedros regulares.

2 Algunos de los siguientes poliedros no son catalogables entre los que ya co-nocemos (prisma, pirámide, tronco de pirámide, regular). Señálalos y cataloga losdemás.

A 8 Prisma cuadrangular con una pirámide cuadrangular encima. No catalogable.

B 8 Pirámide.

C 8 Prisma triangular recto.

D 8 No catalogable.

BA C

D

AB

C

E

D F

T

Pág. 1

Unidad 9. Cuerpos geométricos


3 ¿Una pirámide cuadrangular regular es un poliedro regular? Explica porqué.

No, porque no todas sus caras son polígonos regulares iguales.

4 Esta figura está formada por seis rombos idénticos:

Aunque sus caras son iguales y concurren tres de ellas encada vértice, no es un poliedro regular. Explica por qué.

Porque sus caras no son polígonos regulares.

5 Este poliedro está formado por seis triángulos equiláterosiguales. Sin embargo, no es un poliedro regular. Explica por qué.

Porque en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.Para que fuera regular deberían concurrir el mismo número de ca-ras en todos los vértices.

6 ¿Hay algún poliedro regular que sea prisma? ¿Hay algún poliedro regularque sea pirámide?

Sí, el cubo.

Sí, el tetraedro.

7 ¿Cuáles de las siguientes figuras son cuerpos de revolución? Cataloga lasque puedas: cilindro, cono, esfera, tronco…

a) b) c)

d) e) f )

a) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono.

b) No es cuerpo de revolución.

c) Es cuerpo de revolución.

d) Es cuerpo de revolución.

e) Es cuerpo de revolución. Cilindro.

f ) Es cuerpo de revolución. Tronco de cono.

Pág. 2



8 Al girar cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje que seindica, se genera una figura de revolución. Dibújala en tu cuaderno.

a) b) c)

Relaciona cada una de las figuras que has dibujado con una del ejercicio ante-rior.

a) 8 apartado c) del anterior.

b) 8 apartado f ) del anterior.

c) 8 apartado e) del anterior.

9 Dibuja la figura plana y el eje alrededor del que ha de girar para generarla lámpara (apartado a) del ejercicio 7), la taza (b), suprimiéndole el asa, y elbolo (d).

Lámpara Taza Bolo

10 Dibuja el cuerpo de revolución que se engendra en cada uno de los si-guientes casos:

a) b) c) d)

eje eje eje

a) b) c)

Pág. 3



PÁGINA 201

esarro l lo de cuerpos geométr icos

11 ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos se puede completar un poliedro?Contesta razonadamente.

A 8 Es un ortoedro.

B 8 Es un prisma cuadrangular.

C 8 No se puede construir un poliedro. La altura del poliedro no tiene la mismalongitud que el lado lateral del rectángulo de la izquierda.

D 8 Es una pirámide cuadrangular regular.

E 8 Es una pirámide cuadrangular con base rectangular.

F 8 No se puede. Las caras laterales deberían ser iguales.

A B

CD

E F

D

a) b) c) d)

Pág. 4



12 ¿Cuáles de los siguientes desarrollos corresponden a cuerpos de revolu-ción? Dibújalos.

A: No, la circunferencia es muy pequeña.

B: Es un cilindro.

C: No. Las dos circunferencias deberían ser iguales.

D: Es un tronco de cono.

E: Es un cono.

F: No, el lado en el que se apoya la circunferencia debería estar curvado.

B D E

13 Dibuja el desarrollo de una pirámide hexagonal regular cuyas aristas la-terales midan 6 cm, y las de la base, 4 cm.

4 cm

6 cm

A B

C D

E F

Pág. 5



reas senci l las

Halla el área total de los siguientes cuerpos geométricos:

14 a) b)

a) 122 cm2 b) 48 + 30 + 18 + 24 = 120 cm2

15 a) b)

a) 45 dm2 b) 121,5 dm2

16 a) b)

a) 424 cm2 b) 189 cm2

17 a) b)3 cm

3 cm

4 cm4 cm

11 cm

4 cm

10 cm

2,1

cm

3 cm

3 dm3 dm

6 dm

3 dm

6 dm

2,1 dm

3 cm

7 cm 8 cm

4 cm

3 cm

6 cm

ÁPág. 6



c) d)

a) 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2 b) 47,1 + 28,26 = 75,36 cm2

c) 169,56 cm2 d) 50,24 cm2

PÁGINA 202

reas con cálculos intermedios

18 Halla el área total de una pirámide hexagonal regular con aristas lateralesde 13 cm y aristas de la base de 10 cm.

h = 12 cm

a = › 8,66 cm

ABASE

= 259,8 cm2

ALAT

= 360 cm2 AT = 619,8 cm2

19 Halla el área de un tetraedro regular de 10 cm de arista.

h = › 8,66 cm

AT = 173,2 cm2

20 Halla el área total de un prisma recto de 15 cm de alturacuya base son rombos de diagonales 16 cm y 12 cm.

AROMBO

= 96 cm2

ALAT

= 600 cm2 AT = 792 cm2

21 La base de una pirámide regular es un cuadrado de6 dm de lado. Su altura es de 4 dm. Halla su área total.

ABASE

= 36 dm2 h = 5

ALAT

= 60 dm2 AT = 96 dm2

6 dm

4 dm

10 cm

√75

10 cm13

cm√75

Á

4 cm

6 cm 2 cm

1,5 cm

Pág. 7



22 Las bases de un tronco de pirámide regular son cuadrados de 10 cm y 20cm de lado, respectivamente. Las aristas laterales son de 13 cm. Halla su áreatotal.

h = 12

ABASES

= 500 cm2 ALAT

= 720 cm2 AT = 1 220 cm2

23 Halla el área total de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mide4 cm, y las aristas de la base, 2 cm.

ap = › 1,73 cm

ABASE

= 20,78 cm2

ALAT

= 48 cm2

AT = 68,78 cm2

24 Una pirámide regular tiene por base un pentágono regular de 2,5 m delado. La apotema de la pirámide mide 4,2 m. ¿Cuál es su superficie lateral?

ALAT

= 26,25 m2

25 Dibuja el desarrollo de un tronco de pirámide cuadrada, regular, cuyasaristas midan: las de la base mayor, 4 cm; las de la menor, 2 cm, y las laterales,5 cm.

Halla su área total. (Las caras laterales son trapecios. Comprueba que su altu-ra es 4,9 cm).

h = = 4,9 cm

AT = 22 + 42 + 4 · · 4,9 = 78,8 cm2

26 El desarrollo lateral de un cono es un semicírculo de radio 12 cm. Hallael radio de su base y su altura.

r = 6 cm

122 = 62 + h2 8 h = = 10,39 cm√108

4 cm

5 cm

2 cm

)2 + 42(

√52 – 12

√3

10 cm

20 cm

13 cm

Pág. 8



27 La base de una pirámide regular es un hexágono de 10 cm de lado. Su altura es24 cm.

Se corta por un plano que pasa a 18 cm de labase.

Halla el área total del tronco de pirámide queresulta.

an = › 8,66 cm

= 8 am = 2,165 cm

h = 19,13 cm

lHEXÁGONO MENOR

= 2,5 cm

ABASES

= 259,8 + 16,238 = 276,038 cm2

AT = 276,038 + 717,375 = 993,413 cm2

28 a) Comprueba que la altura de este triángulo rectángulo es 4,8 cm. Paraello, ten en cuenta que el producto de los dos catetos es el doble de su área.

b) Halla la superficie total de las figuras engendradas por estos triángulos al gi-rar alrededor de cada uno de sus lados.

a) = 8 h = 4,8 cm

b) π · 6 · 10 + π · 62 = 301,44

π · 8 · 10 + π · 82 = 452,16

π · 4,8 · 8 + π · 4,8 · 6 = 211III

II

I

8 · 62

10 · h2

I II

6

6

68

8

8

III

6 cm8 cm

10 cm

an

24

am

6

√75

Pág. 9


18 cm

10 cm


29 Halla el área total de estos cuerpos:

a) AT = π(4,5 + 2) · 6,5 + π · 22 + π · 4,52 = 208,81 cm2

b) AT = π · 8 · 17 + 82 · π = 628 cm2

PÁGINA 203

roblemas

30 ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de medidas 0,6 m Ò 0,5 m ÒÒ 0,4 m si la madera cuesta a razón de 18 €/m2?

A = 2(0,6 · 0,5 + 0,5 · 0,4 + 0,6 · 0,4) = 1,48 m2

1,48 · 18 = 26,64 €

El precio es de 26,64 €.

31 ¿Cuál es la suma de las longitudes de todas las aristas del cajón descritoen el ejercicio anterior (0,6 m Ò 0,5 m Ò 0,4 m)?

La suma de longitudes de todas las aristas es 6 m.

32 Deseamos construir con alambres el esqueleto de todos los poliedros re-gulares, de modo que cada una de las aristas mida 1 dm.

¿Qué cantidad de alambre utilizaremos en cada uno de ellos?

33 Contesta a las siguientes preguntas:

a) Calcula el área total de un cubo de arista 4 cm.

b)Si lo partimos por la mitad como se indica en I, ¿cuál es el área de cada mitad?

c) Si lo partimos por la mitad como se indica en II, ¿cuál es el área de cada mitad?

P

4,5 cm 16 cm

17 cm

a) b)

6 cm

2 cm

Pág. 10


T E T R A E D R O C U B O O C TA E D R O D O D E C A E D R O I C O S A E D R O

N Ú M E R O D E A R I S TA S 6 12 12 30 30L O N G I T U D T O TA L 6 dm 12 dm 12 dm 30 dm 30 dm


a) 6 · 42 = 96 cm2

b) 48 + 4 · 4 = 70,63 cm2

c) 48 + 42 = 64 cm2

34 Calcula el área total de un ortoedro de dimensiones 3 cm, 4 cm y 12 cm.Halla también la longitud de su diagonal.

AT = 192 cm2 d = 13 cm

35 Halla las superficies del casquete esférico de 2 dm de altura y de una zonaesférica de 4 dm de altura contenidos en una esfera de 10 dm de diámetro.

Área del casquete 8 62,8 dm2 Área de la zona esférica 8 125,6 dm2

36 Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1,6 m de diámetro hansido cementadas. El precio es de 40 € el metro cuadrado. ¿Cuál ha sido el coste?

2πrh = 60,288 m2 8 El coste ha sido de 2 411,52 €, aproximadamente.

37 Un pintor ha cobrado 1 000 € por pintar el lateral de un depósito cilín-drico de 4 m de altura y 4 m de diámetro. ¿Cuánto deberá cobrar por pintar undepósito esférico de 2 m de radio?

1 000 €, ya que es el cilindro que inscribe a esa esfera y el área lateral del cilindro esla misma que la de la esfera.

4 m2 m

2 m

10 dm

2 dm

4 dm

√2

I II

Pág. 11



38 Una verja se compone de 20 barrotes de hierro de 2,5 m de altura y 1,5 cm de diámetro. Hay que darles una mano de minio a razón de 24 €/m2.¿Cuál es el coste?

Barrote = 0,11775 m2 8 Total = 2,355 m2

El coste es de 56,52 €.

39 Una caja en forma de ortoedro tiene 9 dm de larga y 6 dm de ancha. Susuperficie total es 228 dm2. Halla su altura y su diagonal.

h = 4 dm

d = = › 11,53 dm

40 El área total de un cubo es 150 dm2. Halla su diagonal.

l = 5 dm

d = 5 › 8,66 dm

41 Averigua cuánto cuesta la reparación de esta casa sabiendo que hay que:

— Encalar las cuatro paredes, por dentro y por fuera, a 2 €/m2.

— Reparar el tejado, a 4,5 €/m2.

— Poner el suelo, a 22 €/m2.

APARED

= 2 · 2 · 12 + 3 · 2 + = 63,96 m2

Precio 8 63,96 · 2 = 127,92 €

Por dentro, 127,92 €.

ATEJADO

= 48 m2 8 Precio 296 €

ASUELO

= 36 m2 8 Precio 792 €

El precio total es: PTOTAL

= 1 263,84 €

42 Halla el área total de un octaedro en el que la dis-tancia entre los vértices no contiguos es de 20 cm.

Observa que la arista del octaedro es el lado de un cua-drado cuya diagonal mide 20 cm.

x = › 14,14 cm

h = 12,25 cm

AT = 692,86 cm2

7,07 cm

h14,14 cm

√200

20 cm

1,5 m

2 mx)1,32 · 3

2(3 m

12 m

2 m

2 m

√3

√133√42 + 62 + 92

Pág. 12



PÁGINA 215

n i d a d e s d e v o l u m e n

1 Transforma en metros cúbicos las siguientes cantidades de volumen:

a) 0,025 hm3 b)459 hm3 c) 45 214 dm3

d)0,015 km3 e) 23 dam3 f ) 58 000 l

a) 25 000 m3 b) 459 000 000 m3 c) 45,214 m3

d) 15 000 000 m3 e) 23 000 m3 f ) 58 m3

2 Transforma en litros.

a) 400 000 hm3 b)0,000047 hm3

c) 6 dam3 318 m3 d)0,32 hl

a) 400 000 000 000 000 l b) 47 000 l

c) 6 318 000 l d) 32 l

3 Copia y completa las siguientes igualdades:

a) 0,0037 km3 = … m3 b)0,36 hm3 = … dm3

c) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = … m3 d)15 hm3 13 dam3 432 m3 = … l

a) 0,0037 km3 = 3 700 000 m3

b) 0,36 hm3 = 360 000 000 dm3

c) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = 15 013 432 m3

d) 15 hm3 13 dam3 432 m3 = 15 013 432 000 l

4 Expresa las siguientes cantidades de volumen en forma compleja:

a) 45 125 145 dm3 b)0,45124568 km3

c) 451,14521 dm3 d)183 000 dam3

a) 45 dam3 125 m3 145 dm3 b) 451 hm3 245 dam3 680 m3

c) 451 dm3 145 cm3 210 mm3 d) 183 hm3

5 ¿Cuántas botellas de 3/4 l se pueden llenar con 0,45 dam3?

0,45 dam3 = 450 000 dm3

l = 0,75 dm3

Se pueden llenar 600 000 botellas.

6 Un pantano tiene una capacidad de 0,19 km3. Si ahora está al 28% de sucapacidad, ¿cuántos litros de agua contiene?

53 200 000 000 l

34

U

Pág. 1

Unidad 10. Medida del volumen


7 La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 62 km2. En lasúltimas lluvias han caído 27 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge enel pantano un 43%. ¿Cuántos metros cúbicos se han recogido en el pantanocomo consecuencia de las lluvias?

62 000 000 m2 8 1,674 · 109 l = 1,674 · 109 dm3

1,674 · 106 m3 en total, calculamos el 43%:

Ha recogido 1,674 · 106 · 0,43 = 719 820 m3

8 ¿Cuál es el peso de 0,0843 dam3 de agua?

84 300 dm3 8 84 300 kg

9 Un depósito vacío pesa 27 kg, y lleno de aceite, 625,5 kg. ¿Qué volumende aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm3.

630 dm3 = 630 l

10 Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros:

a) 0,34 dam3 + 84 m3 + 1 284 m3

b)0,00035 km3 + 0,45 hm3 + 65 dam3

c) 0,541 dam3 – 421 m3 300 dm3

d)4 500 m3 : 25

a) 340 + 84 + 1 284 = 1 708 m3 8 17 080 hl

b) 350 + 450 + 65 = 865 dam3 8 8 650 000 hl

c) 541 – 421,3 = 119,7 m3 8 1 197 hl

d) 180 m3 8 1 800 hl

11 Copia y completa estas igualdades:

a) 1 hm3 = … hlb)1 dam3 = … dalc) 1 m3 = … ld)1 dm3 = … dle) 1 cm3 = … clf ) 1 mm3 = … ml

a) 1 hm3 = 107 hl

b) 1 dam3 = 105 dal

c) 1 m3 = 103 l

d) 1 dm3 = 10 dl

e) 1 cm3 = 10–1 cl

f ) 1 mm3 = 10–3 ml

Pág. 2



12 Para cada uno de los recipientes que se citan a continuación, se dan tresvolúmenes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es:

a) Volumen de un pantano:

71 hm3 387 000 l 4 000 000 000 cm3

b)Un depósito de agua en una vivienda:

2 dam3 0,8 m3 45 000 l

c) Un vaso normal:

2 dm3 0,2 dm3 0,02 dm3

d)Una cuchara de café:

3 dl 3 cm3 3 mm3

e) Una habitación:

1 dam3 300 l 30 m3

f ) El cajón de una mesa:

0,3 m3 23 dm3 3 000 cm3

a) 71 hm3

b) 0,8 m3

c) 0,2 dm3

d) 3 cm3

e) 30 m3

f ) 23 dm3

á l c u l o d e v o l ú m e n e s

13 Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son:

9 dm Ò 15 dm Ò 8 dm

V = 1 080 dm3 = 1,08 m3

14 ¿Cuál es el volumen de un cubo de 15 cm de arista?

V = 3 375 cm3 = 3,375 dm3 = 3,375 l

15 La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos mi-den 12 cm y 15 cm. La altura del prisma es de 2 dm.

Halla su volumen.

V = 1 800 cm3 = 1,8 dm3 = 1,8 l

C

Pág. 3



PÁGINA 216

16 Un paralelepípedo tiene unas bases en forma derombo cuyas diagonales miden 40 dm y 28 dm. La alturadel paralelepípedo es de 1,2 m. Halla su volumen.

V = 6 720 dm3 = 6,720 m3

17 Halla el volumen de un cilindro de 10 cm de radio de la base y 20 cm dealtura.

V = 6 280 cm3 = 6,280 dm3 = 6,28 l

18 Halla el volumen de una esfera de 12 cm de diámetro.

V = π123 = 904,32 cm3

19 Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 15 cm de al-tura.

V = π62 · 1,5 = 56,52 dm3

20 Halla el volumen del siguiente tronco de cono:

= 8 x = 4,5

VTRONCO

= π · 62 · 16 – π · 4,52 · 12 = 348,54 cm313

13

616

x12

6 cm

12 cm

16 cm

13

43

10 cm

20 cm

Pág. 4


6

x

12

16


21 Comprueba que el volumen del cilindro es igual a la suma de los volú-menes de la esfera y el cono:

VESFERA

= 4 186,)6 cm3

VCONO

= 2 093,)3 cm3

VESFERA + CONO

= 6 280 cm3

VCILINDRO

= 6 280 cm3

Halla los volúmenes de las siguientes figuras:

22a) b)

a) 440 cm3 b) 840 dm3

23a) b)

a) 339,12 cm3 b) 314 cm3

12 c

m

3 cm

5 cm

12 c

m

8 cm5 cm

11 c

m

20 d

m

6 dm14 dm

20 cm

20 cm 20 cm

20 c

m

20 c

m

Pág. 5



24a) b)

a) 348,3 cm3 b) · π · · 153 = 1 570 cm3

25a) b)

a)

= 8 x = 30

V = · π · 40 · 82 – · π · 30 · 62 = 1 549,1 cm3

b) V = · · 22 = 220 cm3

26

ABASE

= › 191,7 cm2

V = 191,7 · 30 = 5 751 cm3

√120 · (14 + 21)2

14 cm

BASES

21 cm

13 cm3 dm

12 · 52

13

8

6

x

10

13

13

x6

10 + x8

6 cm

8 cm

10 cm

13 cm

22 c

m

12 cm

43

19

11 c

m

40°

30 c

m

Pág. 6



PÁGINA 217

r o b l e m a s

Halla los volúmenes de los siguientes cuerpos.

27 a) b)

a) V = · π · 123 + π · 122 · 30 = 20 799,36 cm3

b) V = · π · 122 · 30 + · π · 123 = 8 138,88 cm3

28 a) b)

a)

= 8 x = 18

V = · · π · 103 + · π · 102 · 30 – · π · 62 · 18 = 4 555 dm313

13

12

43

10

6

12

x x6

x + 1210

10 cm

15 cm

20 cm

8 cm

15 cm

6 dm

1 m

12 dm

43

12

13

43

30 c

m12 cm

30 c

m

12 cm

P

Pág. 7



b) VCILINDRO

= π · 52 · 15 = 1 177,5 cm2

= 8 x = 8

VTRONCO

= · π · 102 · 16 – · π · 52 · 8 = 1 465,3 cm3

VCONO

= · π · 102 · 15 = 1 570 cm3

VTOTAL

= 4 212,8 cm3

29 a) b)

a) V = = = 5 538,96 cm3

b) V = · · π · 203 = 30 702,2 cm3

30

VPIRÁMIDE

= · 32 · 4 = 12 m3

VPARALELEPÍPEDO

= 3 · 3 · 5 = 45 m3

= 8 x = 3

VTRONCO

= · 72 · 7 – · 32 · 3 = 105,33 m3

VTOTAL

= 162,3 m3

13

13

x + 47

x3

13

43

1112

11 077,922

4 4—π · 153 – —π · 933 3

2

18 cm30 cm

30°

40 cm

13

13

13

10

5

8

x

x5

x + 810

Pág. 8


5 m

7 m

3 m

4 m

4 m

7

3

4

x


31 Halla el volumen de una habitación de 2,8 m de altura, cuya planta tie-ne la siguiente forma y dimensiones:

VPARALELOGRAMO GRANDE

= 4 · 10 · 2,8 = 112 m3

VSEMICÍRCULO

= π · 32 · 2,8 = 39,6 m3

VPARALELOGRAMO PEQUEÑO

= 2 · 6 · 2,8 = 33,6 m3

V1/4 CIRCUNF. = π · 22 · 2,8 = 17,6 m3

32 Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel:

V = = 282,6 m3

33 Para medir el volumen de una piedra pequeña, procedemos del siguientemodo: en un vaso cilíndrico echamos agua hasta la mitad, aproximadamente.Sumergimos la piedra y sube el nivel 22 mm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

DATOS DEL VASO:

Diámetro exterior: 9 cm

Diámetro interior: 8,4 cm

Altura: 15 cm

(Usa solo los datos que necesites).

V = 2

· π · 2,2 = 121,86 cm3 es el volumen de la piedra.)8,42(

π · 52 · 20 – π · 42 · 202

8 m

10 m 20 m

12

12

10 m

4 m

2 m 2 m

Pág. 9


VTOTAL

= 202,8 m3

°§§§§¢§§§§£


34 Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. El agua llega a1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto.¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo?

208 · 1,65 = 343,2 m3 hay en el sótano.

= 572 min = 9,5)3 horas = 9 h 32 min

Se tardará en vaciarlo 9 horas y 32 minutos.

35 Queremos construir una pared de 7,5 m Ò 5,6 m y un grosor de 30 cm.¿Cuántos ladrillos de 15 cm Ò 10 cm Ò 6 cm se necesitarán si el cemento ocu-pa un 15% del volumen?

VPARED

= 12,6 m3 8 el 15% es 1,89 m3

Tenemos que rellenar de ladrillo 10,71 m3

VLADRILLO

= 900 cm3 = 0,9 dm3 = 0,0009 cm3

Necesitaremos = 11 900 ladrillos.

36 Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El ladode la base mide 15 cm. La altura de la columna es de 2,95 m. Halla su peso sa-biendo que 1 m3 de basalto pesa 2 845 kg.

x › 13 VCOLUMNA

= · 13 · 295 = 172,575 cm3

x = 491 kg

Pesará 491 kg.

°¢£

1 m3 8 2 845 kg0,172575 m3 8 x kg

7,5

15x

15 · 62

10,710,0009

3 432 hl6 hl/min

Pág. 10



PÁGINA 233

e p r e s e n t a c i ó n e i n t e r p r e t a c i ó n d e p u n t o s

1 Dibuja sobre un papel cuadriculado unos ejes coordenados y representalos siguientes puntos:

A (3, 2); B (3, 7); C (4, –1); D (–4, 3); E (–6, –2);

F (0, 5); G (3, 0); H (–2, 0); I (0, –5); J (0, 0)

2 Di las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos:

A = (–4, 0) B = (–4, 4)

C = (1, 5) D = (0, 2)

E = (3, 2) F = (–2, –2)

G = (0, –1) H = (1, 0)

I = (5, –2) J = (6, 0)

A

BC

D E

FG

H

I

J

A

B

C

D

E

F

GH

I

J

R

Pág. 1

Unidad 11. Funciones


3 Representa los puntos siguientes:

A (0, 2); B (4, 7); C (4, 1); D (1, 0); E (0, 1); F (6, 1); G (6, 0).

Une mediante segmentos AB, BC, CA, DE, EF, FG, GD.

4 Cada punto del diagrama siguiente representa una llamada telefónica:

a) ¿Cuál ha sido la llamada más larga?

b) ¿Cuál ha sido la llamada más corta?

c) Una de las llamadas ha sido a Australia. ¿De cuál crees que se trata?

d) Hay varias llamadas locales. ¿Cuáles son?

a) F ha sido la llamada más larga.

b) H ha sido la llamada más corta.

c) H ha sido a Australia.

d) A, D, E y F son locales.

A

B

C

COSTE (€)

TIEMPO (min)1051

1

2

0,20 DE

F

G

HI

A

B

C

DE

F

G

Pág. 2



o n c e p t o d e f u n c i ó n

5 ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función y cuáles no?Explica por qué.

• es función, pues para cada valor de x hay un único valor de y.

• , y no son funciones. Para algunos valores de x hay varios de y.

n t e r p r e t a c i ó n d e g r á f i c a s

6 Representa gráficamente una carrera de 200 m entre dos corredores, conlas siguientes características:

A sale más rápidamente que B, y en 5 segundos le saca 10 m de ventaja.

A se cae en el instante 5 segundos, y B le adelanta. Pero A se levanta en 2 se-gundos, y adelanta a B en la misma línea de meta.

A

B

1 2 3 4 5 6 8 9 10

DISTANCIA (m)

TIEMPO (s)20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

7

I

431

2

43

21

CPág. 3



7 Rafael y María ponen a competir, en una carrera, a sus caracoles; uno deellos lleva una pegatina roja, y otro, una pegatina verde.

El verde tarda en salir y se para antes de llegar.

a) ¿Cuánto tiempo está parado en cada caso? ¿A qué distancia de la meta se pa-ra definitivamente?

b) ¿Cuántos centímetros y durante cuánto tiempo marcha el rojo en direccióncontraria?

c) Describe la carrera.

a) 3 min al salir y luego 4 min (es lo que tarda el otro caracol en llegar a la meta des-de que este se paró). Quedó a 20 cm.

b) 15 cm durante 1 min.

c) El rojo tarda 1,5 min en alcanzar 25 cm, luego se para y a los 3 min sale el verdecon velocidad constante. Justo después, el rojo anda un poco más, luego a los 4 min para y vuelve atrás hasta los 6 minutos. Entonces vuelve a retomar la di-rección correcta y solo para un momento hasta el final. Mientras, el verde para alos 80 cm y no vuelve a andar.

PÁGINA 234

8 La gráfica describe la velocidad de un bólido de carreras en cada lugar deeste circuito:

Di en qué tramos la velocidad es creciente y en cuáles es decreciente. ¿A qué cre-es que se deben los aumentos y las disminuciones de velocidad? Señala el má-ximo y el mínimo de esta función.

VELOCIDAD (km/h)

RECORRIDO (km)

200

100

10521

A AB C D

D

AC

B

10

50

100

1 5 10

DISTANCIA (cm)

TIEMPO (min)

Pág. 4



• Crece en (0, 2), en (5, 10) y un poco al final, en (11m5; 12).

Decrece en (2, 5) y en (10; 11,5).

• En las curvas más cerradas tiene que frenar para no salirse.

• El máximo está en x = 2 y vale 300 km/h.

El mínimo está en x = 5 y vale 25 km/h.

9 Esta gráfica corresponde al porcentaje de personas que ven la televisión oescuchan la radio, en las distintas horas del día.

a) Describe la curva correspondiente a la televisión: dónde es creciente, dóndees decreciente, máximos, mínimos… Relaciónala con las actividades cotidia-nas: levantarse, acostarse, comida, cena…

b)Haz lo mismo con la curva correspondiente a la radio.

c) Compara las dos curvas y relaciónalas.

a) Crece desde las 8 de la mañana hasta las 3 y media de la tarde; decrece hasta las 6y media, donde vuelve a crecer hasta las 10 y media, cuando empieza a caer has-ta quedar por debajo del 5%, a partir de las 2 de la mañana.

Máximo: x = 22,5, y = 42,5%

Mínimo: x = 8, y = 2%

El máximo se da durante la cena y hay también un buen pico durante la comida.En la hora de la siesta decrece, y por la noche la gente duerme y se alcanza el mí-nimo.

b) La radio crece desde las 8 hasta las 11, cuando empieza a decrecer hasta las 15.Luego pasa lo mismo de 15 a 18 y de 18 a 21 y media, y de nuevo de 21 y mediaa 0, y de 0 a 2.

Cuando más se escucha es por la mañana, de camino al trabajo y también una vezen él, después, a la hora de la merienda y antes de acostarse.

Máximo: x = 11, y = 19%

Mínimo: x = 2, y = 2,5%

c) Por la mañana, la gente prefiere la radio a la tele. Mientras que a partir de las 13y media la gente prefiere con gran diferencia la televisión. Cuando a medio díacrecen los aficionados a la tele, bajan los que escuchan la radio. Lo contrario ocu-rre alrededor de las 6 de la tarde. Después baja la radio y sube la tele durante lacena. Luego crece un poco la radio antes de dormir y, después, ambas caen hastasus mínimos.

0%8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2

5%10%15%20%25%30%35%40%45%

PORCENTAJE

RADIO

TV

Pág. 5



10 Representa las siguientes gráficas:

a) Altura de una pelota que está botando cada vez menos, hasta que se para.

b)La temperatura de un plato de sopa que se queda sobre la mesa, sin consumir.

c) La distancia a la Tierra de un satélite artificial que da vueltas y vueltas.

d)La altura a la que se encuentra el asiento de un columpio cuando se balancea.

a)

b)

c)

NOTA: puede ser recta, depende si se tienen en cuenta las montañas y depresiones.

TIEMPO

KM

TIEMPO

TEMPERATURA

TIEMPO

ALTURA

Pág. 6



d)

r á f i c a s p u n t o a p u n t o

11 Representa las siguientes funciones dando a x, en cada caso, los valoresque se indican:

a) y = x2 – 4x + 5 –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

b)y = 0, 1, 4, 9, 16

c) y = 3, 4, 7, 12, 19

d)y = (x – 3)2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

e) y = 8x – x2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

a) y = x2 – 4x + 5

e) y = 8x – x2

y = x2 – 4x + 5

X1

–1 1

Y

y = 8x – x2

√x – 3

√x

G

TIEMPO

ALTURA

Pág. 7



b) y =

c) y =

d) y = (x – 3)2

12 De una familia de rectángulos cuyo perímetro es 20 cm hemos medido subase y su área. Estos son los resultados:

a) Representa la función.

b)Comprueba que la ecuación de esta función es: y = 10x – x2

a) b) 10 · 1 – 12 = 9

10 · 2 – 22 = 16

10 · 3 – 32 = 21

10 · 4 – 42 = 24

10 · 5 – 52 = 25

10 · 6 – 62 = 24

10 · 7 – 72 = 21

10 · 8 – 82 = 16

10 · 9 – 92 = 9

Coincide.

1 3 5 7 92 4 6 8

8

10

12

14

16

18

20

22

24

ÁREA

BASE

B A S E , en cm, x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Á R E A , en cm2, y 9 16 21 24 25 24 21 16 9

y = (x – 3)2

y = √—x

y = √—x – 3

X1

1

Y

√x – 3

√x

Pág. 8



13 Se ha medido, mes a mes, la estatura de un niño desde que nace hasta quetiene un año. Estos son los resultados:

Representa los resultados en una gráfica.

14 Durante diez semanas seguidas, un lanzador de pesoha anotado su mejor marca obtenida durante sus entre-namientos. La tabla de la derecha recoge los resultados lo-grados.

Representa la función en tu cuaderno.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15

16

17

18

LANZAMIENTO (m)

SEMANA

S E M A N A L A N Z . (m)

12345678910

15,1815,9116,3316,5218,4016,6216,9017,4416,4017,00

1 3 5 7 9 12

54

60

70

80ESTATURA (cm)

EDAD (meses)

E D A D (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

E S TAT U R A (cm) 54 58 62 64 67 69 71 72 74 75 77 78 80

Pág. 9



PÁGINA 235

u n c i o n e s l i n e a l e s

15 Halla la pendiente de cada una de las siguientes rectas:

a 8 b 8 c 8 2

d 8 0 e 8 1 f 8 –1

g 8 – h 8 –3 i 8 –

16 Representa las siguientes funciones:

a) y = 2x b)y = x

c) y = –3x d)y = x

e) y = – x f ) y = x

g) y = – x – 2 h)y = –3x + 5

i) y = – x + 1 j) y = – x + 4

k)y = –1 l) y = 4

m) y = 3 n)y = x

25

43

12

34

25

43

12

13

23

23

43

ab

c

de f

g h

i

F

Pág. 10



a) y = 2x

b) y = x

c) y = –3x

d) y = x

e) y = – x

f ) y = x

g) y = – x – 2

h) y = –3x + 5

i) y = – x + 1

j) y = – x + 4

k) y = –1

y = –3x + 5

y = –1

4y = –—x + 1 3

2y = –—x + 4 5

25

43

3y = —x 4

2y = –—x 5

1y = –—x – 2 2

12

34

25

y = –3xy = 2x 4y = —x

3

1y = —x 2

43

12

Pág. 11



l) y = 4

m) y = 3

n) y = x

17 Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones:

a 8 y = x b 8 y = x c 8 y = 3x d 8 y = – x

e 8 y = – x + 3 f 8 y = x + 1 g 8 y = –2

18 Margarita pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de 2 km/h. Eneste momento se encuentra a 4 km del pueblo.

a) ¿Dónde se encontrará dentro de una hora?

b) ¿Dónde se encontraba hace una hora?

c) Representa su distancia al pueblo en función del tiempo transcurrido a par-tir de ahora.

d)Halla la ecuación de la función llamando x altiempo e y a la distancia al pueblo.

a) A 6 km del pueblo. c)

b) A 2 km del pueblo.

d) y = 2x + 4

23

32

32

12

a

bc

d

e

f

g

y = x

y = 4

y = 3

Pág. 12


1 2 3 4

2

4

6

8

10

TIEMPO (h)

DISTANCIA AL PUEBLO (km)


19 Con un hilo de20 cm cuyos extremosestán atados entre síformamos rectángu-los:

a) Razona que la relación entre su base, x, y su altura, y, es y = 10 – x

b)Representa la gráfica de la función.

c) Si multiplicamos la base, x, por la altura, 10 – x, obtenemos el área: A = x (10 – x). Completa en tu cuaderno la tabla de valores y comprueba quees la misma que la del ejercicio 12.

a) Tenemos que el perímetro es 20 cm. Si x es la base e y la altura:

2x + 2y = 20 8 x + y = 10 8 y = 10 – x

b) c)

Es la misma que la del ejercicio 12.

20 En una cierta compañía de teléfonos móviles, la tarifa para llamadas apaíses de la U.E. es 1 € por establecimiento de llamada y 0,50 € por minutode conversación.

a) Pon la ecuación de la función que relaciona el coste en euros ( y) en funciónde la duración de la llamada en minutos (x ).

b)Representa la gráfica de la función.

a) y = 0,5x + 1 b)

1 2 3 4 5 6

1

2

3

TIEMPO (min)

COSTE (€)

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

X

Y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Á R E A 9 16 21 24 25 24 21 16 9

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Á R E A 9 16

x

y

Pág. 13



PÁGINA 251

a r á m e t r o s e s t a d í s t i c o s

1 Halla la media, la mediana, el recorrido, la desviación media y los cuar-tiles de las siguientes distribuciones:

a) 1, 3, 8, 9, 4, 1, 1, 7, 10, 10 b)1, 3, 5, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6

a) x– = 5,4 b) x– = 5,4

Me = 5,5 Me = 5,5

Recorrido = 9 Recorrido = 9

DM = 3,4 DM = 2,4

Q1 = 1 Q1 = 2,5

Q3 = 8,5 Q3 = 7

2 Compara la media y la mediana de cada una de las siguientes distribu-ciones y relaciona el resultado con su asimetría:

a) 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8

b)1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10

c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

a) Totalmente simétrica

b) Aproximadamente simétrica.

c) No es simétrica.

3 Halla la media y la desviación media de cada una de las siguientes distri-buciones. Represéntalas.

a)

b)

a)

x– = 5,5

DM = 1,125

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 9 6 1 1 0 1 1 1 1 7 12

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 0 0 1 1 6 15 9 4 3 0 1

x– = 6,25Me = 8

°¢£

x– = 5,4615Me = 6

°¢£

x– = 5Me = 5

°¢£

P

Pág. 1

Unidad 12. Estadística

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 0 0 1 1 6 15 9 4 3 0 1 40

D I S TA N C I A 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

d · f 0 0 3,5 2,5 9 7,5 4,5 6 7,5 0 4,5 45


b)

x– = 5,5

DM = 2,9125

4 Halla las frecuencias acumuladas de los datos en las tablas a) y b) del ejer-cicio anterior.

a)

b)

5 El número de errores que tuvieron en un test un grupo de estudiantesfueron:

1, 1, 2, 2, 4, 5, 5, 8, 8, 9

Halla la mediana y los cuartiles primero y tercero y haz un diagrama de caja conesos datos.

Me = 4,5

Q1 = 2

Q3 = 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q1 Me Q3

VA L O R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10F. AC U M U L A D A 9 15 16 17 17 18 19 20 21 28 40

VA L O R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10F. AC U M U L A D A 0 0 1 2 8 23 32 36 39 39 40

1

a)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

b)

0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pág. 2


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 9 6 1 1 0 1 1 1 1 7 12 40

D I S TA N C I A 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

d · f 49,5 27 3,5 2,5 0 0,5 0,5 1,5 2,5 24,5 54 116,5


6 Esta tabla muestra el número de suspensos en una evaluación de los es-tudiantes de una clase:

Representa esta distribución mediante un diagrama de caja.

7 Los tiempos que un grupo de personas han empleado en hacer un test sedistribuyen entre 0 y 50 minutos. Construye el diagrama de caja sabiendo que Q1 = 23, Me = 34 y Q3 = 39.

8 Este diagrama de caja representa la distribución de los pesos de un gru-po de alumnos y alumnas de una clase:

Completa estas frases observando el diagrama:

a) El 50% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o menos.

b)El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o menos.

c) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan … o más.

d)El 50% de los pesos centrales varían entre … y …

a) El 50% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 56 kg o menos.

b) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 48 kg o menos.

c) El 25% de los alumnos y las alumnas de esta clase pesan 60 kg o más.

d) El 50% de los pesos centrales varían entre 48 kg y 60 kg.

40 45 50 55 60 65 70

0 10 20 30 40 50

Q1 Me Q3

0 1 2 3 4 5

Q1 Me Q3

N.° D E S U S P E N S O S N.° D E E S T U D I A N T E S

0 10

1 4

2 5

3 2

4 4

5 3

Pág. 3



9 a) Compara estas distribuciones de notas obtenidas por tres grupos dealumnos y alumnas indicando cuál es la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 encada una de ellas:

b)En la evaluación de estos grupos se hicieron estos comentarios:

1. Aprobó el 50% de la clase.

2. Las notas son muy parecidas.

3. La cuarta parte de la clase tiene notas superiores a 7.

4. Es la mejor clase, aunque también es la que tiene mayor dispersión.

Indica a qué grupo corresponde cada uno de estos comentarios.

a)

b) 1 8

2 8

3 8

4 8 III

I

II

I

Q1 = 3,5Me = 6,5Q3 = 8

°§¢§£

III

Q1 = 4,5Me = 5,5Q3 = 6

°§¢§£

II

Q1 = 4Me = 5Q3 = 7

°§¢§£

I

III

II

I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pág. 4



PÁGINA 252

r á f i c a s e s t a d í s t i c a s

10 Observa este gráfico. Corresponde a los deportes que practican las chicasy los chicos de un centro escolar:

a) Aproximadamente, ¿qué porcentaje de chicos practican fútbol? ¿Y de chicas?

b) ¿Qué porcentaje de chicas, aproximadamente, practican alpinismo? ¿Y de chi-cos?

c) ¿En qué deporte la proporción de chicas es muy superior a la de chicos?

d)Di un deporte en el que la proporción de chicas y chicos es aproximadamentela misma. ¿Cuál es esa proporción?

e) ¿Podemos asegurar que hay chicos y chicas que practican más de un depor-te? Razona la respuesta.

f ) Inventa una situación similar a esta relacionada con la lectura (prensa de-portiva, prensa del corazón, novela, …) y represéntala en una gráfica similara esta, aunque con menos apartados (4 ó 5 son suficientes). Coméntala.

a) 50% de chicos. 10% de chicas.

b) 8,5% de chicas. 11% de chicos.

c) En aerobic.

d) En bicicleta. El 40%, aproximadamente.

e) Sí, porque entre los 3 primeros deportes los chicos suman más del 100% y conlas chicas pasa lo mismo.

f ) Respuesta libre.

BICICLETA

BALONCESTO

ATLETISMO

FÚTBOL

AERÓBIC

NATACIÓN

BALONMANO

BALONVOLEA

PATINES

TENIS

ALPINISMO

ARTES MARCIALES

ESQUÍ

OTRAS CHICOS CHICAS

60% 40% 20% 0 20% 40% 60%

G

Pág. 5



11 Haz un climograma como el de la página 248 con los siguientes datos:

T: temperatura en °C.

LL: pluviosidad en mm de agua.

12 Observa estas pirámides de población:

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando las res-puestas:

a) La proporción de ancianos/as en Francia es mucho mayor que en Marruecos.

b)Hay más ancianas que ancianos en ambos países.

c) La proporción de niños/as es mayor en Marruecos que en Francia.

a) Verdadero.Hay los mismos niños y el resto de grupos aumenta, incluido el de an-cianos/as.

b) Verdadero. Se ve simplemente mirando las gráficas. En Francia se nota más.

c) Verdadero. La proporción niños/total es mayor en Francia.

MARRUECOS 2007

Población total en millones

Hombres MujeresEDAD

0-14

15-29

30-44

45-59

Ó 60

0,00,51,01,52,02,5 2,52,01,51,00,50,0

FRANCIA 2007


Hombres MujeresEDAD

0-14

15-29

30-44

45-59

Ó 60

0,00,51,01,52,02,5 2,52,01,51,00,50,0

0 0E F M A M J J A S O N D

102030405060708090

100110120

LLUVIA (mm)

481216202428323640

TEMPERATURA (°C)

Pág. 6


E F M A M J J A S O N D

T 14 13 20 22 26 29 32 30 28 22 16 12

L L 85 93 62 120 40 50 30 45 10 24 60 90


13 El precio de un cierto producto ha evolucionado, desde enero de 2006 ajulio de 2007, como se indica en el gráfico.

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando las res-puestas:

a) En estos 18 meses, el precio ha subido más del 50%.

b)El precio ha ido subiendo poco a poco, pero en algunos meses ha bajado.

c) El precio menor, en estos meses, ha sido en enero del 2006.

d)El precio máximo ha sido en julio de 2007.

a) Verdadero. Costaba 2 € y ahora poco más de 3 €.

b) Verdadero. Como en febrero de 2006.

c) Falso. Fue en febrero de 2006.

d) Falso. Fue en marzo de 2007.

PÁGINA 253

a b l a s d e d o b l e e n t r a d a

14 En una clase con 36 estudiantes se realiza una encuesta con la siguientepregunta: ¿qué prefieres ver por televisión, un partido de baloncesto (BC) o unode fútbol (F)? Los resultados son:

Completa en tu cuaderno la tabla y responde:

a) ¿Qué significa el 3 de la primera casilla?

b) ¿Qué significa el 8?

T

AbrilMarzoMayo

NoviembreSeptiembre

Junio Febrero

Julio

Agosto Diciembre

Enero

Octubre

1€ 2€ 3€

Pág. 7


BC F T O TA L

C H I C O S 3 13

C H I C A S 12 8

T O TA L 36


c) ¿Qué significa el 15 que hay en la columna BC?

d)De un total de 16 chicos, hay 13 que prefieren F.

Esto significa 13/16 = 0,8125; es decir, 81,25%. Averigua el porcentaje de laschicas que prefieren F.

e) ¿Qué porcentaje de los que prefieren BC son chicas?

a) Significa que hay 3 chicos que prefieren ver el baloncesto.

b) Significa que hay 8 chicas que prefieren ver el fútbol.

c) El número de chicos y chicas que prefieren ver el baloncesto.

d) 0,4 = 40%. El 40% de chicas prefiere ver el fútbol.

e) 0,8 = 80%. El 80% de los que prefiere el baloncesto son chicas.

15 En una residencia de ancianos estudiamos la influencia del tabaco sobrelos males del pulmón. Confeccionamos la siguiente tabla en la que se detallanlos que fuman (F), los que no fuman (no F), los enfermos de pulmón (E) y losno enfermos (no E):

Completa la tabla en tu cuaderno y responde:

a) ¿Cuántos fuman y cuántos no fuman?

b) ¿Cuántos hay enfermos y cuántos no enfermos?

c) ¿Qué porcentaje de E hay entre los fumadores?

d) ¿Qué porcentaje de E hay entre los no fumadores?

a) Fuman 80 y no fuman 120.

b) Están enfermos 78 y 122 no lo están.

c) Hay un 60% de enfermos entre los fumadores.

d) Hay un 25% de enfermos entre los no fumadores.

Pág. 8


BC F T O TA L

C H I C O S 3 13 16

C H I C A S 12 8 20

T O TA L 15 21 36

E N O E T O TA L

F 48 32 80

N O F 30 90 120

T O TA L 78 122 200

E N O E T O TA L

F 48 32

N O F 30 90

T O TA L


16 En una clase de 30 alumnos y alumnas hay 17 chicas y el resto son chi-cos. En total, hay 14 con gafas. Sabemos que 6 chicas tienen gafas. ¿Cuántoschicos hay sin gafas? Para responder, rellena la tabla siguiente:

Hay 5 chicos sin gafas.

17 Esta tabla se refiere a los estudiantes de un curso durante el primer tri-mestre:

Averigua:

a) ¿Cuántos estudiantes hay en total?

b) ¿Qué proporción de los estudiantes suspende más de dos asignaturas?

c) ¿Qué proporción de los que estudian más de dos horas diarias suspende másde dos asignaturas?

d) ¿Qué proporción de los que suspenden más de dos asignaturas estudian másde dos horas diarias?

a) Hay 32 estudiantes.

b) El 62,5% suspende más de dos asignaturas.

c) El 28,57% de los que estudian más de dos horas.

d) El 20% estudian más de dos horas y suspenden más de dos asignaturas.

Pág. 9


G A FA S N O G A FA S T O TA L

C H I C A S

C H I C O S

T O TA L

G A FA S N O G A FA S T O TA L

C H I C A S 6 11 17

C H I C O S 8 5 13

T O TA L 14 16 30

E S T U D I A M E N O S

D E 2 H D I A R I A S

E S T U D I A M Á S

D E 2 H D I A R I A ST O TA L

S U S P E N D E

M Á S D E 2 16 4

S U S P E N D E

0 , 1 Ó 2 2 10

T O TA L


18 Se han seleccionado al azar 100 personas de entre 25 y 30 años. Se les hapreguntado:

• ¿Eres miope? (Sí/No)

• ¿Seguiste estudiando después de los 18 años? (Sí/No)

Estos son los resultados:

Completa la tabla en tu cuaderno y responde:

a) ¿Cuántos miopes hay en total? ¿Cuál es el porcentaje de miopes?

b)Entre los 35 que estudiaron más, ¿qué porcentaje de miopes hay?

c) Compara el porcentaje de miopes entre los que estudiaron más años y entrelos que estudiaron menos años.

a) Hay 40 miopes. Es el 40%.

b) Hay un 60%.

c) El 60% de los que estudiaron más años.

El 29,23% de los que estudiaron menos años.

Hay más miopes entre los que siguieron estudiando.

Pág. 10


S Í N O

S Í 21 19

N O 14MIO

PE

E S T U D I O S

S Í N O

S Í 21 19

N O 14 46MIO

PE

E S T U D I O S

1 Una máquina fabrica 5 tuercas por minuto. Trabaja de lunes a jueves de 8 a13 y de 15 a 17 y los viernes de 8 a 14.

Para atender un pedido de 25 000 tuercas comienza a trabajar el miércoles 24de mayo a las 11 de la mañana.

¿Cuándo completará el pedido?

Teniendo en cuenta que hace 5 tuercas por minuto, para hacer 25 000 tuercasnecesita:

25 000 : 5 = 5 000 minutos = 83 horas 20 minutos

De lunes a jueves trabaja:

El viernes trabaja de 8 a 14 → 6 horas

La máquina debe trabajar:

En la siguiente semana completará el tiempo que necesite.

Hasta ahora, la máquina ha trabajado 51 horas.

Faltan 32 horas y 20 minutos.

El día 9 de junio a las 12:00 hará las 32 horas.

La máquina completará el pedido el día 9 de junio a las 12:20 de la mañana.

2 Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que siviaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/hllegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?

� Indicaciones: • A 60 km/h, ¿a qué distancia del lugar se encontrará a la ho-ra de la cita?

• A 100 km/h, ¿cuántos kilómetros de más recorrería si conti-nuara a dicha velocidad?

• Por tanto, ¿cuántos kilómetros más recorre yendo a 100 km/hque yendo a 60 km/h?

Pág. 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resolución de problemas

7 horas

de 8 a 13 → 5 horasy de 15 a 17 → 2 horas

24 de mayo,miércoles

25 de mayo,jueves

7 horas

26 de mayo,viernes

6 horasTOTAL:

17 horas11 a 1315 a 17

4horas

Semana del 29 de mayoal 2 de junio

34 horas

Pág. 2

Si va a 60 km/h, en los 15 minutos que le faltan recorrerá 15 km.

Si va a 100 km/h, en los 15 minutos que le sobran recorrerá 25 km.

Yendo a 100 km/h, recorre 40 km más que si fuese a 60 km/h, en el mismotiempo. Ese tiempo es 1 h. En 1 h, a 60 km, recorre e = 60 km.

Su destino está a 60 + 15 = 75 km de la salida.

PÁGINA 13

1 Luis tiene la cuarta parte de dinero que su hermana Camila. El domingo, suabuelo les da 5 € a cada uno. Ahora Camila tiene el triple que Luis.

¿Cuánto tenía cada uno antes de que les diera dinero su abuelo?

(Resolver sin usar el álgebra).

� Indicación:

Por tanto, Luis tenía al principio 10 € y Camila, 40 €.



tiempo = espaciovelocidad

A 60 km/h →

distancia recorrida en un tiempo t

15 km

25 km

CITA

CITA

e

e

distancia recorrida en el mismo tiempo t

A 100 km/h →

+ 5 + 5

LC

Su abuelo les da 5 € a cada uno y…

Al principio, Luis tiene y Camilia tiene

es el triple de

Es decir:

=

=Así:

5

5 5 5 5

5 5

5

2 En uno de los platillos de una balanza se ha colocado un queso manchego.En el otro platillo se han colocado los 3/4 de un queso igual al anterior másuna pesa de 3/4 de kg. La balanza ha quedado en equilibrio. ¿Cuánto pesa elqueso?

de queso pesa de kg. Por tanto, el queso pesa 4 · kg = 3 kg.

PÁGINA 14

1 ¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8 € utilizando solo monedasde 2 €, 1 € y 0,50 €?

Hay 24 formas distintas de obtener 8 € con monedas de 2 €, de 1 € y de 0,5 €.

2 Tienes en un bolsillo cuatro monedas: 2 €, 1 €, 0,50 € y 0,20 €. ¿Cuántascantidades diferentes puedes formar?

Se pueden formar 15 cantidades diferentes con monedas de 2 €, 1 €, 0,5 € y0,2 €.

3�4

3�4

1�4

Pág. 3



DE 2 € DE 1 € DE 0,50 €

4

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

2

1

0

4

3

2

1

6

5

4

3

0

0

2

4

0

2

4

6

0

2

4

6

DE 2 € DE 1 € DE 0,50 €

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

0

8

7

6

5

4

3

2

1

0

8

10

12

0

2

4

6

8

10

12

14

16

CON UNAMONEDA

4 6 4 1

CON DOS MONEDAS

2 €

1 €

0,5 €

0,2 €

2 + 1 → 3 €

2 + 0,5 → 2,5 €

2 + 0,2 → 2,2 €

1 + 0,5 → 1,5 €

1 + 0,2 → 1,2 €

0,5 + 0,2 → 0,7 €

CON TRES MONEDAS

2 + 1 + 0,5 → 3,5 €

2 + 1 + 0,2 → 3,2 €

2 + 0,5 + 0,2 → 2,7 €

1 + 0,5 + 0,2 → 1,7 €

CON CUATROMONEDAS

2 + 1 + 0,5 + 0,2

→ 3,7 €

Pág. 4

PÁGINA 15

1 Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen detres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.

¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está com-prendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?

a) Si el número está comprendido entre 10 y 20.

• Si bailan de dos en dos, sobra uno. Pueden ser:

• Si bailan de tres en tres, sobran dos. Pueden ser:

• Si bailan de cinco en cinco, sobran dos. Pueden ser, solo,

b) Si el número está comprendido entre 30 y 50.

• Si bailan de dos en dos, sobra uno. Pueden ser:

• Si bailan de tres en tres, sobran dos. Pueden ser:

• Si bailan de cinco en cinco, sobran dos. Pueden ser

2 Pasa por encima de estos nueve puntos mediante una línea que-brada de cuatro segmentos.

PÁGINA 16

Aplica algo de lo que hayas aprendido en las páginas anteriores y, sobre todo, tuingenio para resolver los siguientes problemas.



11 13 15 17 19

11 13 15 17 19

17 .

31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

47 .

• • •• • •• • •

1 El yate del magnate griego Ricarchos mide 30 m más la mitad de su propialongitud. ¿Cuántos metros mide el yate?

Es claro que la mitad de su longitud son 30 metros.

El yate mide 60 metros.

2 Un vendedor ambulante compra camisetas a 72 € la docena y las vende a 15 € el par. ¿Cuántas camisetas ha de vender para ganar 27 €?

Compra por 72 € una decena → 72 : 12 = 6. Compra cada camiseta por 6 €.

Vende cada par a 15 € → Vende cada camiseta a 7,5 €.

Gana, por tanto, en cada camiseta, 1,5 €.

Para ganar 27 € tiene que vender 27 : 1,5 = 18 camisetas.

3 De un depósito lleno de agua se sacan primero dos tercios y después trescuartos de lo que quedaba. Si aún hay 10 litros, ¿cuál es la capacidad del de-pósito?

(Hazlo sin operar con fracciones. Utiliza una representación esquemática).

En �14� de �

13� hay 10 litros

En �13� hay 40 litros

En el depósito había 120 litros.

4 A Alicia le han ofrecido las dos posibilidades siguientes para pagarle un tra-bajo que tiene que hacer con el ordenador:

a) 60 € por los 16 días que dura el trabajo.

b) 0,01 € por el primer día, el doble por el segundo, el doble de lo anteriorpor el tercero y así sucesivamente hasta el final.

¿Qué opción aconsejarías a Alicia?

Calculemos a cuánto ascenderá el pago de la opción b):

El primer día → 0,01 €

El segundo día → 2 · 0,01 €

Pág. 5



30

MITAD DESU LONGITUD

MITAD DESU LONGITUD

10 litros

Pág. 6

El tercer día → 2 · 2 · 0,01 € = 22 · 0,01 €

El cuarto día → 2 · 22 · 0,01 € = 23 · 0,01 €

…

El decimosexto día → 2 · 214 · 0,01 € = 215 · 0,01 € = 32 768 · 0,01 € == 327,68 €

Lo que le pagan el último día supera con creces la opción a).

No es necesario sumar lo que ganará cada día. Debe elegir, sin duda alguna, laopción b).

5 Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtenercualquier número. Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:

55 : 5 – 5 = 6

Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:

a) Los veinte primeros números naturales.

b) Los números 111 y 125.

c) Los números 500, 1 000 y 3 000.



a) 1 = 5 : 5

2 = (5 + 5) : 5

3 = (5 + 5 + 5) : 5

4 = 5 – ( 5 : 5)

5 = 5

6 = 5 + (5 : 5)

7 = (5 + 5) : 5 + 5

8 = 5 + 5 – (5 + 5) : 5

9 = (5 + 5) – (5 : 5)

10 = 5 + 5

11 = 55 : 5

12 = (55 + 5 ) : 5

13 = (55 + 5 + 5) : 5

14 = (5 + 5 + 5) – (5 : 5)

15 = 5 + 5 + 5

16 = (55 : 5) + 5

17 = (55 + 5) : 5 + 5

18 = (55 + 5 + 5) : 5 + 5

6 Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tresvacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días.

¿Qué vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona?

4 suizas y 3 autóctonas en 5 días → 20S + 15A

3 suizas y 5 autóctonas en 4 días → 12S + 20A

20S + 15A = 12S + 20A

Restamos 15A y 12S en cada miembro:

20S + 15A – 15A – 12S = 12S + 20A – 15A – 12S

8S = 5A

Por tanto, las autóctonas son más lecheras que las suizas.

7 ¿Qué hora es sabiendo que la aguja pequeña del reloj tardará el triple que elminutero en llegar a la marca de las seis?

Son las 5 y cuarto.

El minutero tardará 15 minutos en llegar al 6.

La aguja pequeña tardará 45 minutos en llegar al 6.

8 Dos CD y dos cintas tienen un precio de 40 €. Un CD y tres cintas cuestan36 €. ¿Cuánto cuesta un CD y cuánto una cinta?

Pág. 7



19 = (5 · 5) – 5 – (5 : 5)

20 = 5 · 5 – 5

b)111 = 555 : 5

125 = 5 · 5 · 5

c) 500 = 555 – 55

1 000 = (5 + 5) · (5 + 5) · (5 + 5)

3 000 = 55 – 5 · 5 · 5

Pág. 8

Una cinta vale 8 € y un CD, 12 €.

9 Marta cabila en la tienda:

• Si me compro la camiseta y el chaleco, me gasto 53,75 €.

• La camiseta y el pañuelo me cuestan 51,25 €.

• Sin embargo, el chaleco y el pañuelo me salen por 60 € justos.

¿Cuál es el precio de cada uno de los tres artículos? (Hazlo sin usar el álge-bra)

� ¿Qué significa la suma de esos tres números?

La suma de las tres cantidades es el precio de dos camisetas, dos chalecos ydos pañuelos. Luego:

10 Una granjera fue al mercado a vender una cesta de huevos. La primera clien-ta compró la mitad de los huevos más medio huevo. La segunda compró lamitad de los que quedaban más medio huevo y lo mismo hizo la tercera.

Con esto concluyó la venta porque ya no le quedaban más huevos. ¿Cuántoshuevos tenía al principio?



CD →

= 40 € →

= 36 € →

20 €

= 20 €

Cinta →

= 16 € → = 8 €

CAMISETA + CHALECO = 53,75 €

CAMISETA + PAÑUELO = 51,25 €

CHALECO + PAÑUELO = 60 €

Así, PAÑUELO = 82,5 – 53,75 = 28,75 €

CAMISETA = 82,5 – 60 = 22,5 €

CHALECO = 82,5 – 51,25 = 31,25 €

g

CAMISETA + CHALECO + PAÑUELO = = 82,5 €

53,75

60 €

53,75 + 51,25 + 602

A la tercera le vendió la mitad de los que tenía más medio y se quedó sin nada.Por tanto, le vendió 1 huevo, pues:

Antes de que llegara la segunda tenía 3 huevos, pues le vendió:

y quedó con 1 huevo, que es lo que le vendió a la tercera.

Antes de que llegara la primera tenía 7 huevos, pues les vendió:

y quedó con los 3 huevos que tenía cuando llegó la segunda.

El proceso fue el siguiente:

11 Carmen tenía anteayer 13 años y sin embargo el año que viene cumplirá 16.¿Cómo es eso posible?

Es posible si estamos a 1 de enero y cumple los años el 31 de diciembre.

12 Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre to-do el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?

Pág. 9



la mitad ( ) más medio ( ) = + = 1 huevo12

12

12

12

la mitad ( ) más medio ( ) = + = 2 huevos12

32

12

32

la mitad ( ) más medio ( ) = + = = 4 huevos82

12

72

12

72

TENÍA =

=

=

=

7

3

1

LE VENDIÓ

4

2

1

LE QUEDÓ

3

1

0

LA MITAD + MEDIO

3 y + 12

12

1 y + 12

12

+ 12

12

ANTEAYER

30 de diciembre.

Tenía 13 años

AYER

31 de diciembre.

Cumple 14 años

HOY

1 de enero.En este año

cumplirá 15 años

PRÓXIMO AÑO

Cumplirá, el 31de diciembre,

16 años

Pág. 10

Cada nenúfar tarda 29 días en cubrir medio lago, ya que si el día 29 cubre me-dio lago, como cada día dobla su tamaño, el día 30 cubrirá todo el lago.

Por tanto, entre los dos necesitan 29 días para cubrir todo el lago.

PÁGINA 17

13 Busca el menor número de seis cifras cuya división entre 7 es exacta. Buscatambién el mayor.

El menor número de seis cifras es 100 000. Si lo dividimos entre 7, obtenemos5 de resto.

Probamos con 100 002 que, efectivamente, es divisible entre 7.

El mayor número de seis cifras es 999 999.

Al dividirlo entre 7, obtenemos 0 de resto.

Este es el número buscado.

Por tanto, entre los múltiplos de 7 de seis cifras, el menor es 100 002 y el ma-yor 999 999.

14 Un número primo solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. ¿Qué nú-meros tienen solo tres divisores?

Está claro que hemos de pensar en un producto de dos números descartando,claramente, que sean compuestos. Es decir, han de ser primos.

Los divisores de a · b, siendo a y b primos, son:

1 a b a · b

Tenemos cuatro divisores. La única forma de hacer desaparecer uno es hacer a = b.

En este caso, los divisores serán:

1 a a · a

Es decir, los números que solo tienen tres divisores son los números que sonproducto de un número primo por sí mismo, el cuadrado de los primos:

22 = 2 · 2 = 4 32 = 3 · 3 = 9 52 = 5 · 5 = 25

72 = 7 · 7 = 49 112 = 11 · 11 = 121 …

15 ¿Qué números tienen una cantidad impar de divisores?

Los divisores de un número cualquiera se emparejan de dos en dos de modoque el producto de ellos es el número dado. Por ejemplo, 60:

1 y 60, 2 y 30, 3 y 20, 4 y 15, 5 y 12, 6 y 10



De modo que el número de divisores de N es par, salvo que N sea cuadradoperfecto. Por ejemplo, 36:

1 y 36, 2 y 18, 3 y 12, 4 y 9, 6 y … otra vez 6

16 ¿Qué números tienen todos sus divisores, excepto el uno, pares?

Son todos los números en cuya descomposición factorial aparece, exclusiva-mente, el número 2.

Son todas las potencias de 2.

17 ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.

a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos.

b) La suma de dos impares consecutivos es múltiplo de cuatro.

c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres.

a) Cierto.

La suma de dos números consecutivos es:

b) Cierto.

La suma de dos números impares consecutivos es:

c) Cierto.

La suma de tres números naturales consecutivos es:

que es múltiplo de 3.

18 El número de litros de aceite que contiene un forma exacta en garrafas de 3 litros, de 5 litros o de 25 litros, pero no en garrafas de 4 litros ni de 9 litros.¿Cuál puede ser el contenido del barril, sabiendo que está entre mil y dos millitros?

El número de litros ha de ser múltiplo de 3, de 5 y de 25.

El mínimo común múltiplo de estos números es 75, y como ha de estar entre1 000 y 2 000 litros, las posibilidades son:

Pág. 11



n + (n + 1) = 2n + 1 que no puede ser múltiplo de 2múltiplo de 2

}

(2n – 1) + (2n + 1) = 2n – 1 + 2n + 1 = 4n (múltiplo de 4)

(2n – 1) + (2n + 1) = 2n – 1 + 2n + 1 = 4n (múltiplo de 4)

p

1 050 1 125 1 200 1 275 1 350 1 425

1 500 1 575 1 650 1 725 1 800 1 875 1 950

Pág. 12

El número de litros no puede ser múltiplo de 4. Hemos de descartar 1 200,1 500 y 1 800.

Tampoco puede ser múltiplo de 9, y hemos de descartar en este caso 1 125,1 350 y 1 575.

El resto de números son soluciones del problema:

19 El producto de las edades de tres personas es 390. ¿Cuáles son dichas edades?

20 Este es un desierto cuadrado. A, B y C son lasentradas de tres refugios antinucleares.

Colorea de diferente color las zonas desde lasque te dirigirías a cada refugio en caso de alarmanuclear.



1 050 1 275 1 425 1 650 1 725 1 875 1 950

5 6 13

2 5 39

3 13 10

1 10 39

1 5 78

2 13 15

3 5 26

2 3 65

1 13 30

1 15 26

1 6 65

390 = 1 · 2 · 3 · 5 · 13

13, 1 y 2 · 3 · 5 = 30

13, 2 y 3 · 5 = 15

13, 3 y 2 · 5 = 10

13, 5 y 2 · 3 = 6

13 · 2 = 26, 1 y 3 · 5 = 15

13 · 2 = 26, 3 y 5

13 · 3 = 39, 1 y 2 · 5 = 10

13 · 3 = 39, 2 y 5

13 · 5 = 65, 1 y 3 · 2 = 6

13 · 5 = 65, 2 y 3

13 · 2 = 78, 1 y 5

13 · 2 · 5 = 130 ¡demasiado viejo!

Ya no hay más soluciones con edades razonables.

Hemos encontrado, pues, 11 soluciones:

El problema consiste en determinar en qué zona del desierto está más cercanoel punto A o el B o el C.

Se traza el triángulo de vértices ABC.

Los puntos de la mediatriz del segmento AB son equi-distantes de A y de B.

Así, si alguien se encuentra a un lado o a otro de esa me-diatriz, sabe de qué refugio está más cerca.

Las zonas, por tanto, están delimitadas por las tres me-diatrices del triángulo:

• La zona que está entre la mediatriz de BA y la mediatriz de BC correspon-de al refugio B.

• La zona que está entre la mediatriz de BA y la mediatriz de AC correspon-de al refugio A.

• La zona que está entre la mediatriz de AC y la mediatriz de BC correspon-de al refugio C.

21 “Si tenemos veinticinco soldaditos de plomo, ¿cómo formaremos con ellosseis filas de cinco soldaditos cada una?” La solución que venía en el libro pa-ra este problema es la siguiente:

Sin embargo, Mercedes ha encontrado una forma de disponer los 25 solda-dos de modo que hay muchas más de 6 filas de 5 soldados.

Pág. 13



A

B C

Pág. 14

22 Situa 10 soldaditos sobre una mesa de modo que haya 5 filas de 4 soldados.

23 Situar 12 soldaditos sobre una mesa de modo que haya 6 filas de 4 soldados.

24 Trazar una línea quebrada de cinco segmentos quepase por estos trece puntos.



25 Busca la manera de dibujar cada una de estas figuras sin levantar el lápiz y sinrepasar ningún tramo.

¿Desde cuántos puntos se puede iniciar el trazado de la figura A?

¿Desde cuántos puntos se puede iniciar el trazado de la figura B?

Los puntos de una figura pueden ser:

Observamos que:

• Si partimos de un punto con un número par deramales, ese será también el punto final.

1 → SALIR 3 → SALIR

2 → ENTRAR 4 → ENTRAR

• Si un punto con un número par de ramales no esel principio del trazo, tampoco es el final.



• Si empezamos el trazo en un punto con un nú-mero impar de ramales, ese punto no puede serel final.


2 → ENTRAR

• Un punto con un número impar de ramales, si noes principio de trazo, es necesariamente el final.


2 → SALIR

Pág. 15



A B

Con dosramales

Con tresramales

1 2 1 1 3

4

2

2

3

Con cuatroramales

1

3

2

1

3

2

1 3

4

2

1 3

4

2

Pág. 16

Teniendo en cuenta lo anterior:

Tiene solo dos puntos impares (M y N ).

Uno de ellos será el principio del trazo y el otro el final.

Todos sus puntos son pares.

Se puede empezar el trazo en cualquiera de ellos.

De todo lo dicho, se deduce que las figuras que no se pueden dibujar de un so-lo trazo son las que tienen un punto impar, o más, de dos puntos impares.

PÁGINA 18

26 De las 5 000 familias que viven en un pueblo, el 4% tiene un vehículo todoterreno. Del resto, la tercera parte no tiene coche, otro tercio tiene un coche,y los restantes tienen dos coches. ¿Cuántos vehículos hay, como mínimo, enesta población?

Todo terreno → 4% de 5 000 = �1400� · 5 000 = 200 familias

No tienen coche → �13� de 4 800 = 1 600 familias

Tienen un coche → �13� de 4 800 = 1 600 familias

Tienen dos coches → 5 000 – 200 – 1 600 – 1 600 = 1 600 familias

Número de coches = 200 + 1 600 + 2 · 1 600 = 5 000, al menos, pues los quetienen todo terreno pueden tener otros.



A

NM

B

27 Aproximadamente el 30% de los fines de semana los pasamos en la casa decampo que han comprado mis padres.

Uno de cada dos fines de semana que voy al campo, coincido con la maravi-llosa Marilín, que viene al chalé vecino.

Pasado mañana es sábado. ¿Qué probabilidad tengo de ver a Marilín?

Probabilidad de ir el sábado a la casa de campo:

30% = �13000�

Probabilidad de ver, además, a Marilín (1/2) es la mitad del 30%.

Es decir:

�13000� · �

13� = �

23000� = �

11050�

Un 15%.

28 ¿Cuántos cubos componen esta figura? ¿Cuántos no ves?

En la figura hay 1 + 4 + 9 + 16 = 30 cubos.

Se ven 1 + 3 + 5 + 7 = 16 cubos.

No se ven 30 – 16 = 14 cubos.

29 Un aizkolari tarda un cuarto de hora en cortarun tronco en tres partes. ¿Cuánto tardará encortar otro tronco igual de grueso en seis partes?

Para cortar el tronco en tres partes tiene que ha-cer 2 cortes.

Tarda 15 minutos en hacer 2 cortes → tarda 7,5minutos en cada corte.

Para cortar un tronco en seis partes necesita hacer5 cortes.

Tardará 7,5 · 5 = 37,5 minutos en hacerlo.

37,5 minutos = 37 minutos 30 segundos.

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Pág. 18

30 Se ha construido un prisma recto de base rectangular con 60 cubitos de ma-dera de un centímetro de arista. ¿Cuál es la altura del prisma, sabiendo que elperímetro de la base mide 14 cm?

Atención: Hay más de una solución.

El perímetro de la base son 14 cm:

Para que a + b = 7, como los cubitos tienen que serenteros, existen estas opciones:

Examinemos cada opción:

a) Si a = 1 y b = 6, en la base hay 6 cubitos. Como la construcción se ha hechocon 60 cubitos, la altura debe ser de 10 cubitos, es decir, 10 cm.

b) En este caso, en la base habrá 10 cubitos y la altura, por tanto, será de 6 cm.

c) En la base hay 12 cubitos y la altura del prisma será de 5 cm.

31 A la terraza de un bar acuden a merendar distintas pandillas de amigos. Ladueña coloca en cada caso una hilera de mesas cuadradas, más o menos larga,según el número de personas de la pandilla.

Así, por ejemplo, en una hilera de tres mesas caben 8 personas:

¿Cuántas personas pueden sentarse en una hilera de 6 mesas? ¿Y en una de 10mesas? ¿Y en una de n mesas?

En una hilera de 6 mesas pueden sentarse 14 personas (2 personas por cadamesa más 2 personas en los extremos).

En una hilera de 10 mesas podrán sentarse 10 · 2 + 2 = 22 personas.

Y en una hilera de n mesas podrán sentarse 2 · n + 2 = 2 (n + 1) personas.



P = 2a + 2b = 14 → a + b = 7

a

b

c

a) a = 1 y b = 6

b) a = 2 y b = 5

c) a = 3 y b = 4

32 ¿Cuántas veces se utiliza la cifra 9 al escribir todos los números del 0 al1 000?

Además, en la última decena, desde 90 hasta 99, todos empiezan por 9. Es de-cir, 10 veces más.

Lo mismo en las demás centenas.

En total, 20 veces por 10 centenas = 200 veces.

Pero además, en la última centena, desde 900 hasta 999, todos empiezan por 9.

Es decir, 100 veces más.

Por tanto, se utiliza 300 veces.

33 ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremassuman lo mismo que las dos centrales?

Los capicúas de cuatro cifras son de la forma ABBA.

Para que las cifras extremas sumen lo mismo que las centrales, ha de ocurrirque:

A + A = B + B

Es decir, A = B.

Existen nueve números capicúas de cuatro cifras con esta condición:

1111 / 2222 / 3333 / 4444 / 5555 / 6666 / 7777 / 8888 / 9999

34 Julio tenía en su bolsillo monedas de 1 €, de 0,50 €, de 0,20 € y de 0,10 €.Ha comprado una revista de 3 € utilizando seis monedas. ¿Qué monedas hautilizado? Busca todas las soluciones posibles.

Solo hay dos soluciones:

2 de 1 €, 1 de 0,50 €, 2 de 0,20 € y 1 de 0,10 €

6 de 0,5 €

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10 veces en las unidades

919…8999

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35 ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudadesde forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar poruna tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades? ¿Y para comunicar n ciuda-des?

Para comunicar 4 ciudades son necesarios 6 tramos de ca-rretera:

Observamos que coincide con (no de lados de un cuadrilátero + no de sus dia-gonales):

Para comunicar 5 ciudades son necesarios 10 tramos decarretera:

Vemos que coincide con (no de lados de un pentágono + no de sus diagonales).

Así, para comunicar n ciudades necesitaremos:

(n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 2 tramos

También podemos expresarlo así:

36 Hoy es el último día de acampada y tenemos para merendar “perritos calien-tes”. El caso es que somos 18, todos con buen apetito, y solo nos quedan 30perritos. A mí me ha tocado repartir.

¿Cuál es el mínimo número de cortes que necesito hacer para dar a todos lomismo?

A cada uno tocan �53� de perrito.

Para hacer la mínima cantidad de cortes, habrá que dar un perrito a cada uno

más �23� de perrito.



1 = 104 + 3 + 2 +

A CON LAS

OTRAS 4B CON LAS

TRES QUE QUEDAN

C CON

D Y CON ED

CON E

A B

D

E C

3 + 2 + 1 = 6

A CON LAS

OTRAS 3B CON LAS

DOS QUE QUEDAN

C CON

LA ÚLTIMA, D

A B

D C

( ) + ( ) =

= n + = = n2 – n2

2n + n2 – 3n2

(n – 3) · n2

número de diagonales de un polígono de n lados

número de lados de un polígono de n lados

= = 53

2 · 3 · 52 · 3 · 3

3018

A 18 de los perritos no hay que hacerle ningún corte y a los 12 que quedan, uncorte a cada uno:

Es necesario hacer 12 cortes.

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37 Anselmo va a freír tres filetes. Cada uno ha de estar en la sartén cinco minu-tos por cada cara. Pero en la sartén solo caben dos. ¿Cómo debe hacerlo paratardar el menor tiempo posible?

Pone dos filetillos, A y B, durante 5 minutos.

Saca uno de ellos, A, da la vuelta al otro, B, y pone el tercero, C, durante 5 mi-nutos.

Saca el B (ya está hecho por las dos caras), da la vuelta al C y pone el A por lacara cruda. Otros 5 minutos. Ya están los tres. Ha tardado 15 minutos.

38 Anselmo ha de tener en el horno un pollo durante 15 minutos exactamente.Pero se le ha estropeado el reloj. Dispone de dos relojes de arena que miden 7 minutos y 11 minutos, respectivamente. ¿Cómo consigue cronometrar conellos los 15 minutos?

Deja caer la arena en los dos relojes a la vez. Cuando el de 7 minutos haya ter-minado, en el de 11 minutos queda arena para 4 minutos. Vuelca el reloj paraque no corra ni un segundo de estos 4 minutos, pone el pollo al horno y ende-reza el reloj. Cuando acabe la arena (4 minutos después) da la vuelta al reloj ycontabiliza los 11 minutos restantes.

39 Ahora Anselmo ha de cronometrar los 45 minutos que tarda en hacerse unpotaje. Para ello, dispone de dos mechas. Cada una de ellas tarda 1 h en con-sumirse. Pero la velocidad con que se consumen es irregular (es decir, en 1/4de hora no tiene por qué gastarse 1/4 de la longitud de la mecha). Aún así,consigue cronometrar con ellas los 45 minutos. ¿Cómo lo hace?

Si una mecha se prende simultáneamente por los dos extremos se consume enmedia hora. Por tanto, prendemos simultáneamente la mecha A por los dos ex-tremos y la mecha B por uno de ellos. En el momento en que A se haya consu-mido, queda media hora en la mecha B. Si se prende ahora también por el otroextremo se consumirá en la mitad de tiempo: en un cuarto de hora.

Por tanto, el proceso dura 45 minutos.

Pág. 21



h

18 trozos de 2/3 cada uno

Pág. 22

40 Anselmo está en su casa de campo. Solo dispone de un reloj de pared que sele ha parado, pero puede ponerlo en marcha dándole cuerda. Va a casa de suamigo Carlos, que está a unos 3 km de distancia y en la que hay otro reloj co-mo el suyo. Pasa un rato charlando con él y, a la vuelta, pone el reloj en horacon razonable precisión.

Para ello, ¿qué otras cosas ha hecho que no se describen aquí?

Anselmo, antes de salir, le da cuerda a su reloj y lo pone a una hora cualquiera,por ejemplo, a las 12 h, y se va inmediatamente. Cuando llega a casa de Carlosse fija en la hora que marca su reloj. Por ejemplo, las 5 h 40 min. Cuando va asalir vuelve a mirar la hora, por ejemplo 7 h 05 min. Por tanto, ha estado en ca-sa de Carlos 1 h 25 min. Cuando llega a su casa, su reloj marca, por ejemplo,las 2 h y 55 min.

Echemos cuentas:

Está fuera de casa 2 h 55 min

Está en casa de Carlos 1 h 25 min

Está andando 1 h 30 min

Por tanto, cada tramo, ida y vuelta, le lleva 45 min.

Como salió de casa de Carlos a las 7 h 05 min, cuando llega a su casa son las 7 h 50 min. Ahora puede poner su reloj en hora.

41 Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos compartenun plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total sesirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?

El número de amigos es múltiplo de 12 (múltiplo de 2, de 3 y de 4).

Si fueran 12 amigos:

65 : 13 = 5. El número de platos es 5 veces el 13.

Por tanto, el número de amigos será 5 veces 12, es decir, 5 · 12 = 60 amigos.



En total 13 platos

12 : 2 = 6 platos de arroz12 : 3 = 4 platos de salsa12 : 4 = 3 platos de carne

42 En un salón de té solo se sirve té y pastas. Cada té vale 1,2 € y cada pasta 2 €.Varios amigos realizan, todos ellos, la misma consumición.

La cuenta asciende a 53,20 €. ¿Qué tomó cada uno? ¿Cuántos eran?

Un té vale 120 céntimos y una pasta, 200 céntimos.

El total pagado es 5 320 céntimos.

Hemos de buscar posibles consumiciones, cuyo coste total sea divisor de 5 320.

Acudieron 7 amigos y cada uno tomó 3 tes con 2 pastas.

43 Un juego entre dos consiste en lo siguiente: cada uno de ellos dice un núme-ro, alternativamente, del 1 al 7. Los números se van sumando y gana el quellegue a 50. ¿Qué estrategia debe seguir el primer jugador para ganar con se-guridad?

Pág. 23



→ No es divisor de 5 320→ No es divisor de 5 320→ No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No → No

NÚMERO DE

CONSUMICIONES

11 pasta

1 té

COSTE

TOTAL

200120

22 pastas

2 tes1 té y 1 pasta

400240320

3

3 pastas3 tes

1 té y 2 pastas2 tes y 1 pasta

600360520440

4

4 pastas4 tes

1 té y 3 pastas3 tes y 1 pasta2 tes y 2 pastas

800480720560640

→ No → No → No → No → No → Sí es divisor de 5 320

5 320 : 760 = 7

5

5 pastas5 tes

1 té y 4 pastas4 tes y 1 pasta2 tes y 3 pastas3 tes y 2 pastas

1 000600920680840760

Pág. 24

Para que un jugador A llegue a 50, le tienen que dejar una suma de 49 ó 48 ó47 ó 46 ó 45 ó 44 ó 43, para lo que él tiene que dejar 42, y le tendrían que de-jar 41 ó 40 ó 39 ó 38 ó 37 ó 36 ó 35, y así sucesivamente.

Veámoslo gráficamente:

La estrategia ganadora consiste en comenzar con 2 y, si el compañero dice unnúmero x, contestar con 8 – x.

44 Objetivo: intercambiar las fichas rojas y azules con el míni-mo número de movimientos.

Reglas:

• Con una ficha puede moverse a la casilla contigua vacía.

• Una ficha puede saltar sobre otra de diferente color paracaer en una casilla vacía.

Existen varias posibilidades. Por ejemplo:



A DICE 1, 2, …, 7Y SUMA…

B DICE 1, 2, …, 7Y SUMA…

+850

42

34

26

…

2

49/48/47/46/45/44/43

41/40/39/38/37/36/35

33/32/31/30/29/28/27

+8

+8

+8

15

14

12

11

10

9

1

2

3

6

5

4

7

8

13

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Suma y resta de enteros

1 Calcula:

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8

b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2

c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11

d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = (5 + 1 + 8) – (3 + 7) = 14 – 10 = 4

b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = (2 + 4 + 1 + 2) – (3 + 8) = 9 – 11 = –2

c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = (1 + 5 + 9) – (3 + 7 + 11) = 15 – 21 = –6

d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (2 + 4 + 10 + 14) – (6 + 8 + 12) = 30 – 26 = 4

2 Quita paréntesis:

a) a + (b + c) b) a – (b + c)

c) a + (b – c) d) a – (b – c)

a) a + (b + c) = a + b + c b) a – (b + c) = a – b – c

c) a + (b – c) = a + b – c d) a – (b – c) = a – b + c

3 Quita paréntesis y después opera:

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)

a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = 1 – 7 + 2 + 10 – 3 + 8 = (1 + 2 + 10 + 8) – (3 + 7) == 21 – 10 = 11

b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = 8 – 4 – 3 – 5 + 8 + 1 = (8 + 8 + 1) – (4 + 3 + 5) == 17 – 12 = 5

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – 5 – 1 + 4 + 5 – 8 = (3 + 4 + 5) – (5 + 1 + 8) == 12 – 14 = –2

d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 3 – 5 + 8 – 11 + 4 + 13 – 9 == (3 + 8 + 4 + 13) – (5 + 11 + 9) = 28 – 25 = 3

Pág. 1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Unidad 1. Números enteros y divisibilidad

1

Pág. 2

4 Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6)

b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4)

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)

a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (–7) + (1) – (– 8) = –7 + 1 + 8 = 2

b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = (– 8) – (–1) + (15) = –8 + 1 + 15 = 8

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = 15 + (–1) – (3) + (– 8) = = 15 – 1 – 3 – 8 = 3

5 Quita paréntesis y calcula:

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]

b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)])

c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)])

a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 3 – [(–3) – (–3)] = 3 – [–3 + 3] = 3

b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = 1 – (3 – [4 – (–2)]) = 1 – (3 – 6) = 1 + 3 = 4

c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = 9 – (5 – [6 – 6]) = 9 – 5 = 4

6 Calcula:

a) (–7) · (+11) b) (–6) · (–8)

b) (+5) · (+7) · (–1) d) (–2) · (–3) · (–4)

a) (–7) · (+11) = –77 b) (–6) · (–8) = 48

c) (+5) · (+7) · (–1) = –35 d) (–2) · (–3) · (–4) = –24

7 Opera:

a) (–45) : (+3) b) (+85) : (+17)

b) (+36) : (–12) d) (–85) : (–5)

a) (–45) : (+3) = –15 b) (+85) : (+17) = 5

c) (+36) : (–12) = –3 d) (–85) : (–5) = 17

8 Opera las expresiones siguientes:

a) (+400) : (–40) : (–5) b) (+400) : [(–40) : (–5)]c) (+7) · (–20) : (+10) d) (+7) · [(–20) : (+10)]e) (+300) : (+30) · (–2) f) (+300) : [(+30) · (–2)]



1

a) (+400) : (–40) : (–5) = (–10) : (–5) = 2

b) (+400) : [(–40) : (–5)] = (+400) : (+8) = 50

c) (+7) · (–20) : (+10) = –140 : 10 = –14

d) (+7) · [(–20) : (+10)] = 7 · (–2) = –14

e) (+300) : (+30) · (–2) = 10 · (–2) = –20

f ) (+300) : [(+30) · (–2)] = 300 : (–60) = –5

Operaciones combinadas

9 Calcula:

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3

b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3

c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6)

d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2)

a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 24 – 30 – 6 = –12

b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 15 – 18 + 10 – 12 = –5

c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = –20 – 8 + 30 + 18 = 20

d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) = 18 – 15 – 20 + 6 = –11

10 Opera estas expresiones:

a) (–5) · (8 – 13)

b) (2 + 3 – 6) · (–2)

c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3)

d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3)

a) (–5) · (8 – 13) = (–5) · (–5) = 25

b) (2 + 3 – 6) · (–2) = (–1) · (–2) = 2

c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = 4 · (–6) : (–3) = (–24) : (–3) = 8

d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = (–22) : (–11) = 2

11 Calcula:

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7)

b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6)

c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)

Pág. 3



1

Pág. 4

a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 13 – [8 – 3 – 12] : (–7) = 13 – (–7) : (–7) == 13 – 1 = 12

b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 5 · 5 – 4 · (–5) – 5 · (–5) == 25 + 20 + 25 = 70

c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = 12 · (–2) – 8 · 5 – 4 · (–12) == –24 – 40 + 48 = –16

12 Realiza las operaciones siguientes:

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12

b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]

c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17]

d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5]

a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 18 – 40 : 8 – 3 = 18 – 5 – 3 = 10

b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 4 + 4 – 50 : 25 = 8 – 2 = 6

c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 48 : [15 + 8 – 17] = 48 : 6 = 8

d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = 12 – 15 : [12 + 4 · (–5) + 5] == 12 – 15 : [12 – 20 + 5] = 12 – 15 : (–3) = 12 + 5 = 17

13 Calcula:

a) (–2)7 b) (–3)5 c) (–5)3

d) (–10)3 e) (–1)16 f) (–1)17

a) (–2)7 = –128 b) (–3)5 = –243 c) (–5)3 = –125

d) (–10)3 = –1 000 e) (–1)16 = +1 f ) (–1)17 = –1

14 Expresa como una única potencia:

a) (–2)4 · (–2)3 b) (+2)3 · (–2)3

c) (–3)5 : (–3)3 d) (–5)6 : (–5)3

a) (–2)4 · (–2)3 = (–2)7 b) (+2)3 · (–2)3 = (+2)3 · (–2)3 = –(23 · 23) = –26

c) (–3)5 : (–3)3 = (–3)2 d) (–5)6 : (–5)3 = (–5)3

15 Calcula:

a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3

b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3)

c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2]

d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2



1

a) (–2)3 + (–3)3 – (–4)3 = (–8) + (–27) – (–64) = –8 – 27 + 64 = 64 – 35 = 29

b) (–5)2 · (–2)2 + (+3)2 · (–3) = [(–5) · (–2)]2– 33 = 102 – 33 = 100 – 27 = 73

c) (–2)2 · [(–5)2 – (+4)2] = 4 · (25 – 16) = 4 · 9 = 36

d) (–6)3 : (–3)3 + (–8)2 : (–4)2 = [(–6) : (–3)]3 + [(–8) : (–4)]2 = 23 + 22 == 8 + 4 = 12

16 Calcula, si existe:

a) �(–6)2� b) �(–6)3� c) �(–5)3�d) �(–5)4� e) �(–1)7� f) �(–1)8�

a) �(–6)2� = �36� = ±6 b) �(–6)3� = �–216� → No existe

c) �(–5)3� = �–125� → No existe

d) �(–5)4� = �625� = ±25

e) �(–1)7� = �–1� → No existe

f ) �(–1)8� = �1� = ±1

17 Calcula, si existe:

a) �(+2)2 ·�(–2)4� b) �(–2)7 :�(–2)3�c) �83 : (–2�)5� d) �(–6)3 :�33�

a) �(+2)2 ·�(–2)4� = �26� = �64� = ±8

b) �(–2)7 :�(–2)�3 = �(–2)4� = �16� = ±4

c) �83 : (–2�)5� = �29 : (–2�)5� = �–24� = �–16� → No existe

d) �(–6)3 :�33� = �(–6 : 3�)3� = �(–2)3� = �–8� → No existe

PÁGINA 36

Múltiplos y divisores

18 Verdadero o falso:

a) 195 es múltiplo de 13.

b) 13 es divisor de 195.

c) 745 es múltiplo de 15.

d) 18 es divisor de 258.

e) 123 es divisor de 861.

Pág. 5



1

Pág. 6

a) Verdadero. 195 = 13 · 15

b) Verdadero. 195 : 13 = 15

c) Falso.

d) Falso.

e) Verdadero. 861 : 123 = 7.

19 Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 por encima de 1000.

1 005, 1 020, 1 035, 1 050, 1 065

20 Escribe todos los divisores de 140.

1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

21 Verdadero o falso:

a) La suma de dos múltiplos de 8 es múltiplo de 8.

b) La diferencia de dos múltiplos de 6 es un múltiplo de 6.

c) Si un número es múltiplo de 4 y de 3, también es múltiplo de 12.

d) Si un número es múltiplo de 2 y de 4, también es múltiplo de 8.

e) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de todos los diviso-res de 12.

a) Verdadero. a · 8 + b · 8 = (a + b) · 8

b) Verdadero. a · 6 – b · 6 = (a – b) · 6

c) Verdadero. a · 4 · 3 = a · 12

d) Falso. Por ejemplo, 20 = 10 · 2 = 5 · 4 y, sin embargo, no es múltiplo de 8.

e) Verdadero. a · 12 = a · 2 · 6 = a · 3 · 4…

Números primos y compuestos

22 Escribe todos los números primos comprendidos entre 80 y 100.

83, 89, 91, 97



1

23 Calcula cuánto debe valer a para que el número sea:

a) Múltiplo de 2

b) Múltiplo de 3

c) Múltiplo de 5

a) a = 0, 2, 4, 6, 8

b) a = 1, 4, 7

c) a = 0, 5

24 Descompón en factores primos:

a) 48 b) 54

c) 90 d) 105

e) 120 f ) 135

g) 180 h) 378

i) 700 j) 1 872

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33

c) 90 = 2 · 32 · 5 d) 105 = 3 · 5 · 7

e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 378 = 2 · 33 · 7

i) 700 = 22 · 52 · 7 j) 1 872 = 24 · 32 · 13

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

25 Calcula:

Pág. 7



1

7 1 a

a) m.c.m. (12, 15) b) m.c.m. (24, 60)c) m.c.m. (48, 54) d) m.c.m. (90, 150)e) m.c.m. (6, 10, 15) f ) m.c.m. (8, 12, 18)

a) m.c.m. (12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60

b) m.c.m. (24, 60) = 23 · 3 · 5 = 120

c) m.c.m. (48, 54) = 24 · 33 = 432

48 = 24 · 354 = 2 · 33

24 = 23 · 360 = 22 · 3 · 5

12 = 22 · 315 = 3 · 5

Pág. 8

26 Calcula:

27 Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de a y b?¿Cuál es el máximo común divisor de a y b?

Si a es múltiplo de b, a = k · b

m.c.m. (a, b) = m.c.m. (k · b, b) = k · b = a

M.C.D. (a, b) = M.C.D. (k · b, b) = b



1

d) m.c.m. (90, 150) = 2 · 32 · 52 = 450

e) m.c.m. (6, 10, 15) = 2 · 3 · 5 = 30

f ) m.c.m. (8, 12, 18) = 23 · 32 = 72

8 = 23

12 = 22 · 318 = 2 · 32

6 = 2 · 310 = 2 · 515 = 3 · 5

90 = 2 · 32 · 5150 = 2 · 3 · 52

a) M.C.D. (16, 24) b) M.C.D. (48, 72)

c) M.C.D. (105, 120) d) M.C.D. (135, 180)

e) M.C.D. (8, 12, 16) f ) M.C.D. (45, 60, 105)

a) M.C.D. (16, 24) = 23 = 8

b) M.C.D. (48, 72) = 3 · 23 = 24

c) M.C.D. (105, 120) = 3 · 5 = 15

d) M.C.D. (135, 180) = 32 · 5 = 45

e) M.C.D. (8, 12, 16) = 22 = 4

f ) M.C.D. (45, 60, 105) = 3 · 5 = 15

45 = 32 · 560 = 22 · 3 · 5105 = 3 · 5 · 7

8 = 23

12 = 22 · 316 = 24

135 = 33 · 5180 = 22 · 32 · 5

105 = 3 · 5 · 7120 = 23 · 3 · 5

48 = 24 · 372 = 23 · 32

16 = 24

24 = 23 · 3

Para aplicar lo aprendido

28 Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningúndivisor común aparte del 1. Por ejemplo, el 15 y el 16. Busca otras parejas denúmeros primos entre sí.

Por ejemplo: 17 y 24

13 y 9

29 Se desea envasar 100 litros de aceite en recipientes iguales. ¿Cuál ha deser la capacidad de los mismos? Busca todas las soluciones posibles, e indica,en cada caso, el número de recipientes necesarios.

Las soluciones posibles son todos los divisores de 100:

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

30 En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averiguacuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de18 unidades.

El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor deellos es 90.

Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270…

Por tanto hay 180 libros.

31 Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la ma-ñana desde el mismo punto de partida.

Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36minutos, ¿a qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas?

Los autobuses coinciden cada 72 minutos.

Volverán a coincidir a las 8 horas y 12 minutos de la mañana.

32 Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo másgrandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo.

¿Cuánto medirá cada trozo?

Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.

Pág. 9



1

m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 32 · 5 = 90

5 = 59 = 32

15 = 3 · 518 = 2 · 32

M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10

20 = 22 · 530 = 2 · 3 · 5

m.c.m. (24, 36) = 23 · 32 = 72

24 = 23 · 336 = 22 · 32

Pág. 10

Página 37

33 En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno delos corredores da una vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 se-gundos. Parten juntos de la línea de salida.

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la lí-nea de salida?

b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo?

a)

Volverán a encontrarse al cabo de 216 segundos, es decir, después de 3 mi-nutos y 36 segundos.

b) El primer ciclista habrá dado 216 : 54 = 4 vueltas.El segundo, 216 : 72 = 3 vueltas.

34 ¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utiliza-do para pavimentar el suelo de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm deancho?

(Las baldosas han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna).

35 Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 man-tecados en cajas, lo más grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja.

¿Cuántas unidades irán en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta?



1

m.c.m. (54, 72) = 23 · 33 = 216

54 = 2 · 33

72 = 23 · 32

123 dm = 1 230 cm

90 dm = 900 cm

M.C.D. (1 230, 90) = 2 · 3 · 5 = 30

Cada baldosa cuadrada mide 30 cm de lado.

1 230 = 2 · 3 · 5 · 4190 = 22 · 32 · 52

M.C.D. (250, 75) = 52 = 25

En cada caja deberán ir 25 unidades.

Completará 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de mantecados.

250 = 2 · 53

75 = 3 · 52

36 Un alumno quiere cambiar con otro cuadernos de 3,6 euros por rotula-dores de 4,8 euros. ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cam-biar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el valor de lo que aporta ca-da uno?

Pueden intercambiar 4 cuadernos por 3 rotuladores, por un valor, cada paque-te, de 14,4 €.

37 En un colegio, el número de profesoras es el doble que el número deprofesores. ¿Cuál de los siguientes números será igual al total de docentes de dicho colegio?

17 20 24 26El número total de docentes tiene que ser múltiplo de 3.

El único múltiplo de 3 de los números que se dan es 24. Por tanto, el númerototal de docentes del colegio es 24.

Si en total son 24, dos partes son profesoras y una profesores:

24 : 3 = 8

8 × 2 = 16 profesoras

Hay 16 profesoras y 8 profesores.

38 El mayor de los tres hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días,el mediano cada 10, y la menor cada 12. El día de Navidad se reúne toda la familia. ¿Qué día volverán a encontrarse los tres juntos? ¿Y el mayor con elmediano?

Los tres hermanos volverán a encontrarse 60 días después de Navidad (25 dediciembre). Es decir, el 22 de febrero del año siguiente.

m.c.m. (15, 10) = 2 · 3 · 5 = 30

El mayor y el mediano se encontrarán transcurridos 30 días, es decir, el 23 deenero del año siguiente.

Pág. 11



1

3,6 € = 360 céntimos de euro

4,8 € = 480 céntimos de euro

m.c.m. (360, 480) = 25 · 32 · 5 = 1 440

1 440 : 360 = 41 440 : 480 = 3

360 = 23 · 32 · 5480 = 25 · 3 · 5

m.c.m. (15, 10, 12) = 22 · 3 · 5 = 60

15 = 3 · 510 = 2 · 512 = 22 · 3

Pág. 12

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

39 En una excursión a la montaña, organizada por un club alpino, cada tresmiembros comparten una mochila, cada cuatro una brújula y cada seis unmapa. Si entre mochilas, brújulas y mapas hay 27, ¿cuántos miembros delclub participan en la excursión?

El número de miembros ha de ser múltiplo de 3, de 4 y de 6.

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

Como hay 27 objetos entre mochilas, brújulas y mapas, y 27 : 9 = 3, debe ha-ber:

12 · 3 = 36 miembros

Veamos que es cierto:

40 Rosa tiene el triple de discos que Manuel. Si cada uno comprase un disco, Rosatendría el doble. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

41 Federico tenía la cuarta parte de dinero que Amelia. Por hacer un reca-do reciben una moneda de 2 € cada uno. Ahora Amelia tiene el triple queFederico. ¿Cuánto tiene ahora cada uno?

�

El dinero que tenían al principio entre los dos es múltiplo de 5.



1

4 + 3 + 2 = 9

12 : 3 = 4 mochilas12 : 4 = 3 brújulas12 : 6 = 2 mapas

12 + 9 + 6 = 27

36 : 3 = 12 mochilas36 : 4 = 9 brújulas36 : 6 = 6 mapas

Rosa tiene 3 discos y Manuel, 1.

Rosa →

Manuel →+ 1 = 2 · ( + 1) = + 2

+ 1 = 2 → = 1 disco

ANTES

AHORA

4 €

42 El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filasde 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es el número de participantes si sabemos que es mayor que 1 000,pero menor que 1 250?

Múltiplos de 3, de 5 y de 25 → múltiplos de 75

Múltiplos de 75 comprendidos entre 1 000 y 1 250:

1 050 1 125 1 200

Descartamos 1 200 porque es múltiplo de 4, y 1 125 porque es múltiplo de 9.

Así, el número de participantes es 1 050.

Pág. 13



1

Un múltiplo de 5 más 4 debe ser múltiplo de 4.

20 + 4 = 24

Amelia tenía 16 € y Federico, 4 €.

Ahora, Amelia tiene 18 € y Federico, 6 €.


Sistema de numeración decimal

1 Escribe con cifras:

a) Trece unidades y ocho milésimas → 13,008

b) Cuarenta y dos cienmilésimas → 0,00042

c) Trece millonésimas → 0,000013

2 Expresa con números decimales:

a) Un cuarto de unidad → 0,25

b) Unidad y media → 1,5

c) Tres cuartos de décima → 0,075

d) Centésima y media → 0,015

e) Dos milésimas y cuarto → 0,00225

3 Copia y completa:

a) 2 décimas = 2 000 diezmilésimas

b) 3 milésimas = 3 000 millonésimas

c) 7 cienmilésimas = 0,007 centésimas

d) 4 millonésimas = 0,004 milésimas

4 Expresa en millonésimas:

a) 2,45 unidades = 2 450 000 millonésimas

b) 0,5 milésimas = 500 millonésimas

c) 1,2 diezmilésimas = 120 millonésimas

d) 0,4 cienmilésimas = 4 millonésimas

5 Copia y completa:

a) 0,05 milésimas = 5 cienmilésimas

b) 4,2 cienmilésimas = 0,42 diezmilésimas

c) 25 diezmilésimas = 0,25 centésimas

d) 1 243 millonésimas = 1,243 milésimas

Pág. 1


Unidad 2. Sistema de numeración decimal. Sistema sexagesimal

2

Pág. 2

6 Separa: por un lado, los decimales exactos; por otro, los periódicos pu-ros, y por otro, los periódicos mixtos:

Decimales exactos: 13,7 - 1,37 - 0,137

Decimales periódicos puros: 13,7)

- 1,37)

- 0,137)

Decimales periódicos mixtos: 1,37)

- 0,137)

- 0,137)

7 Copia y completa la tabla:

8 Ordena de menor a mayor:

3,0010 < 3,0089 < 3,0090 < 3,0098 < 3,0100 < 3,0150

9 Coloca los signos < , > o =:

0,05 = 0,050 0,089 < 0,091

0,1 = 0,100 0,4 > 0,399

0,09 < 0,1 0,03 > 0,0298

10 Da el número decimal asociado a cada letra:

A = 2,533 B = 2,54 C = 2,545

M = 7,0005 N = 7,001 K = 7,0017

A = 2,9999 B = 2,99995 C = 0,00005



2

2,5748 2 + �150� + �

1700� + �

1 0400� + �

108000�

4,8006 4 + �180� + �

106000�

0,00053 �10

5000� + �

103000�

0,000706 �10

7000� + �

1 0060 000�

B CA 2,552,53

NM K 7,0027

BA C 3,00013

11 Escribe un número decimal que esté entre:

a) 5 y 6 b) 4,5 y 4,7c) 2,1 y 2,2 d) 0,015 y 0,016e) 0,009 y 0,01 f) 0,0425 y 0,04251

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 5 < 5,5 < 6 b) 4,5 < 4,6 < 4,7

c) 2,1 < 2,15 < 2,2 d) 0,015 < 0,0155 < 0,016

e) 0,009 < 0,0095 < 0,01 f ) 0,0425 < 0,042505 < 0,04251

12 Copia y completa la tabla:

13 Aproxima a las diezmilésimas:a) 3,2859499 → 3,2859

b) 2,6005573 → 2,6006

c) 0,0064795 → 0,0065

d) 0,0082009 → 0,0082

14 Escribe una aproximación de cada uno de estos números con un errormenor que cinco milésimas:Aproximando a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas.a) 2,8649 → 2,86

b) 5,00932 → 5,01

c) 0,02994 → 0,03

d) 4,305186 → 4,31

15 Se toma 5,329 como aproximación de 5,328)

. Calcula una cota delerror cometido.Se ha redondeado a las milésimas, por tanto, se ha cometido un error menor decinco diezmilésimas.

16 Supón que para aproximar números decimales nos limitamos a supri-mir todas las cifras que quedan a la derecha de las centésimas. ¿Qué puedesdecir, en general, del error cometido?El error es menor de una centésima.

Pág. 3



2

1,5027 1,5 1,50 1,503

18,71894 18,7 18,72 18,719

2,0996 2,1 2,10 2,100

7,0908 7,1 7,09 7,091

7,9992 8,0 8,00 7,999

A LAS DÉCIMAS

APROXIMACIONES

A LAS CENTÉSIMAS

A LAS MILÉSIMAS

Pág. 4

PÁGINA 53

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

17 Calcula esta sumas:

a) 3,24 + 2,382 + 2,7618

b) 0,98 + 0,046 + 0,326

c) 5,82 + 4,005 + 2,175

a) b) c)

18 Calcula:

a) 12 – 7,458 b) 125,6 – 15,15

c) 52,382 – 32,38 d) 829,3 – 744,46

a) b)

c) d)

19 Calcula:

a) 8,32 + 5,26 – 3,58 b) 6,04 – 2,83 + 2,69

c) 8,8 – 2,24 – 2,14 d) 13 – 6,9 – 3,85

a) b)

c) d)



2

3,242,382

+ 2,76188,3838

0,980,046

+ 0,3261,352

5,824,005

+ 2,17512,000

12,000– 7,458

4,542

125,60– 15,15

110,45

52,382– 32,380

20,002

829,30– 744,46

84,84

8,32+ 5,26

13,58– 3,58

10,00

6,04– 2,83

3,21+ 2,69

5,90

8,80– 2,24

6,56– 2,14

4,42

13,0– 6,9

6,1– 3,85

2,25

20 Quita paréntesis y calcula:

a) 4,25 – (1,2 + 0,75) + 1,06 = 4,25 – 1,95 + 1,06 = 3,36

b) (0,8 + 0,4) – (1 – 0,23) = 1,2 – 0,77 = 0,43

c) 5 – [8,2 – (3,6 + 1,9 – 2,4)] = 5 – [8,2 – 3,1] = 5 – 5,1 = –0,1

21 Multiplica:

a) 2,28 × 4,5 b) 6,35 × 0,6

c) 3,16 × 0,25 d) 8,125 × 12

a) b)

c) d)

22 Multiplica y aproxima el producto a las centésimas:

a) 8,625 × 3,24 = 27,945 → 27,95

b) 0,08 × 5,47 = 0,4376 → 0,44

c) 0,26 × 3,159 = 0,82134 → 0,82

d) 23,45 × 15,63 = 366,5235 → 366,52

23 Completa la tabla y observa:

Al multiplicar un número por 0,5 se reduce a la mitad (es lo mismo que divi-dirlo entre 2).

Al multiplicar un número por 0,25 se reduce a la cuarta parte (es lo mismo quedividirlo entre 4).

Pág. 5



2

2,2 8× 4,51 1 4 09 1 2

1 0,2 6 0

8,1 2 5× 1 21 6 2 5 08 1 2 59 7,5 0 0

3,1 6× 0,25

1 5 8 06 3 2

0,7 9 0 0

6,3 5× 0,6

3,810

×0,5 4

×0,25 2

5

2,5

10

5

15

7,5

50

25

200

100

8 10 20 30 100 400

Pág. 6

24 Calcula el cociente exacto:

a) 87 : 12 b) 38,5 : 1,4

c) 3,81 : 1,25 d) 4 : 0,64

e) 85,941 : 16,2 f) 14,5 : 0,464

a) b)

c) d)

e) f )

25 Calcula los cocientes de estas divisiones con dos cifras decimales:

a) 146 : 85 b) 3,2 : 13

c) 71 : 5,17 d) 24,056 : 8,6

a) b)

c) d)



2

85,941 16,20494 5,30500810

000

3,81 1,2500600 3,048

1000000

87 12030 7,25

600

14,500 0,4640580 31,2511602320000

400 0,64160 6,2532000

146 85610 1,7115075

3,2 130 60 0,24

08

38,5 1,4105 27,507000

87 : 12 = 7,25 38,5 : 1,4 = 27,25

146 : 85 � 1,71 3,2 : 13 � 0,24

71,00 5,171 930 13,73

37901710159

24,056 8,66 85 2,79

83662

71 : 5,17 � 13,73 24,056 : 8,6 � 2,79

3,81 : 1,25 = 3,048 4 : 0,64 = 6,25

85,941 : 16,2 = 5,305 14,5 : 0,464 = 31,25

26 Calcula el cociente con un error menor que cinco milésimas:

Si aproximamos el cociente a las centésimas, cometeremos un error menor de cin-co milésimas.

a) 18 : 13 � 1,3846153 → 1,38

b) 83,4 : 15,9 � 5,245283 → 5,25

c) 16,6 : 0,42 � 39,523809 → 39,52

d) 4,672 : 0,24 � 19,4666 → 19,47

27 Completa la tabla y observa:

Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por dos.

Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por cuatro.

28 Reduce y calcula:

a) 1,6 + 3 · (5,6 – 4,8) = 1,6 + 3 · 0,8 = 1,6 + 2,4 = 4

b) 2,48 – 3,1 · 0,4 + 2,8 · 1,7 = 2,48 – 1,24 + 4,76 = 6

c) 4,3 – 0,2 · (0,7 + 1,2 – 0,4) = 4,3 – 0,2 · 1,5 = 4,3 – 0,3 = 4

29 Copia y completa:

a) Multiplicar por 0,1 es igual que dividir entre 10.

b) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre 5.

c) Dividir entre 0,01 es igual que multiplicar por 100.

d) Dividir entre 0,02 es igual que multiplicar por 50.

30 Calcula la raíz cuadrada exacta:

a) �1,21� b) �6,25� c) �6,76�

d) �4225� e) �42,25� f) �0,4225�

a) �1,21� = 1,1 b) �6,25� = 2,5 c) �6,76� = 2,6

d) �4225� = 65 e) �42,25� = 6,5 f ) �0,4225� = 0,65

Pág. 7



2

: 0,5 6

: 0,25 12

10

20

14

28

20

40

30

60

200

400

3 5 7 10 15 100G

Pág. 8

31 Calcular, por tanteo, con una cifra decimal:

a) �86� b) �150�c) �500� d) �930�

a) �86� � → � → 9,2 < �86� < 9,3

b) �150� � → � → 12,2 < �150� << 12,3

c) �500� � → � → 22,3 < �150�<< 22,4

d) �930� � → � → 30,4 < �930� << 30,5

PÁGINA 54

EJERCICIOS PARA RESOLVER CON LA CALCULADORA

33 Opera con la calculadora y aproxima el resultado a las milésimas:

a) 237,4 – 42,28 × 4,769

b) 81,4629 : (51,486 – 42,831)

c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967)

d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28)

a) 237,4 – 42,28 × 4,769 = 237,4 – 201,65332 = 35,76668 → 35,767

b) 81,4629 : (51,486 – 42,831) = 81,4629 : 8,655 = 9,4122357 → 9,412

c) (6,36 × 2,85) : (2,85 × 0,967) = 6,36 : 0,967 = 6,5770423 → 6,577

d) (52,09 + 8,156) : (7,921 + 3,28) = 60,246 : 11,201 = 5,3786269 → 5,379

35 Estima mentalmente el resultado y, después, comprueba con la calcula-dora:

a) 5,9704 × 3,0197

b) (2,456 + 3,594) : 2,9705

c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79)

a) 5,9704 × 3,0197 � 6 × 3 = 18 5,9704 × 3,0197 = 18,029

b) (2,456 + 3,594) : 2,9705 � 6 : 3 = 2 (2,456 + 3,594) : 2,9705 = 2,037

c) (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) � (7,269 – 2,2806) × (4,875 – 2,79) = 5 × 2 = 10 = 10,401

(30,4)2 = 924,16 < 930��(30,5)2 = 930,25 > 930

302 = 900 < 930��312 = 961 > 930

(22,3)2 = 497,29 < 500��(22,4)2 = 501,76 > 500

222 = 484 < 500��232 = 529 > 500

(12,2)2 = 148,84 < 150��(12,3)2 = 151,29 > 150

122 = 144 < 150��132 = 169 > 150

(9,2)2 = 84,64 < 86��(9,3)2 = 84,49 > 86

92 = 81 < 86��102 = 100 > 86



2

36 Resuelve con ayuda de la calculadora y aproxima el resultado a las milé-simas:

a) �58,25� b) �263,9�

c) �1 : 0,0�046� d) �532 ×�8,46�

a) �58,25� � 7,632 b) �263,9� � 16,245

c) �1 : 0,00�46� � 14,744 d) �532 ×�8,46� � 67,087

SISTEMA SEXAGESIMAL

37 Expresa en minutos:

a) Tres horas y media b) 1 080 s

c) 4 h 5 min 30 s d) un día

a) Tres horas y media = 3 × 60 + 30 = 180 + 30 = 210 min

b) 1 080 s = 1 080 : 60 = 18 min

c) 4 h 5 min 30 s = 4 × 60 + 5 + 30 : 60 = 240 + 5 + 0,5 = 245,5 min

d) un día = 24 h = 24 × 60 = 1 440 min

38 Expresa en segundos:

a) 12° b) 3° 5' c) 8° 10' 27"

a) 12° = 12 × 3 600 = 43 200"

b) 3° 5' = 3 × 3 600 + 5 × 60 = 11 100"

c) 8° 10' 27" = 8 × 3 600 + 10 × 60 + 27 = 29 427"

39 Expresa en grados con un decimal:

a) 13° 12' b) 18° 36'

c) 21° 15' 54" d) 46° 18' 36"

a) 13° 12' = 13 + 12 : 60 = 13 + 0,2 = 13,2°

b) 18° 36' = 18 + 36 : 60 = 18 + 0,6 = 18,6°

c) 21° 15' 54" = 21 + 15 : 60 + 54 : 3 600 = 21,265° → 21,3°

d) 46° 18' 36" = 46 + 18 : 60 + 36 : 3 600 = 46,31° → 46,3°

Pág. 9



2

Pág. 10

40 Pasa a forma compleja:

a) 8 564 s b) 124,6 min

c) 1,53 h d) 5,7 h

a) b) 0,6 min = 0,6 × 60 = 36 s124,6 min = 120 min + 4 min + 0,6 min == 2 h 4 min 36 s

c) 1,53 h = 1 h + 0,53 h = d) 5,7 h = 5 h + (0,7 × 60) min == 1 h + (0,53 × 60) min = = 5 h 42 min= 1 h 31,8 min = = 1 h + 31 min + (0,8 × 60) == 1 h 31 min 48 s

41 Expresa en grados, minutos y segundos:

a) 142 824" b) 8 596,75'

c) 45,46° d) 62,265°

a)

b) 8 596,75' = 8 596' + 0,75'

c) 45,46° = 45° + 0,46°

0,46° = 0,46 × 60 = 27,6' = 27' + 0,6' � 45,46° = 45° 27' 36"

0,6' = 0,6 × 60 = 36"

d) 62,265° = 62° + 0,265°

0,265° = 0,265 × 60 = 15,9' = 15' + 0,9' � 62,265° = 62° 15' 54"

0,9' = 0,9 × 60 = 54"



2

8 564 s 60 2 56 142 min 60

164 22 min 2h44 s

8 564 s = 2 h 22 min 44 s

142 824" 60 22 8 2 380' 604 82 580 39°0 24" 40'

8 596' 60 2 59 143°

19616'

142 824" = 39° 40' 24"

8 596,75' = 143° 16' 45"

42 Calcula estas sumas:

a) 26° 8' + 85° 52'

b) 47° 25' + 18° 39' 15"

c) 53° 15' 28" + 13° 18' 36"

a) b)

c)

43 Halla el resultado:

a) 26° 8' + 85° 52'

b) 47° 25' + 18° 39' 15"

c) 53° 15' 28" + 13° 18' 36"

a)

b)

c)

44 Multiplica:

a) (15° 23' 18") × 7 b) (25' 42") × 3 c) (3 h 28 min 16 s) × 4

a)

b)

c)

Pág. 11



2

26° 8'+ 85° 52'

111° 60' → 112°

53° 15' 28"+ 13° 18' 36"

66° 33' 64" → 66° 34' 4"

47° 25'+ 18° 39' 15"

65° 64' 15" → 66° 4' 15"

1 h– 0 h 36 min 29 s

0 h 59 min 60 s– 0 h 36 min 29 s

23 min 31 s

→

3 h 6 min– 1 h 18 min 45 s

2 h 65 min 60 s– 1 h 18 min 45 s

1 h 47 min 15 s

→

5 h 20 min 50 s– 3 h 30 min 55 s

4 h 79 min 110 s– 3 h 30 min 55 s

1 h 49 min 55 s

→

15° 23' 18"× 7

105° 161' 126" → 107° 43' 6"

25' 42"× 3

75' 126" → 1° 17' 6"

3 h 28 min 16 s× 4

12 h 112 min 64 s → 13 h 53 min 4 s

Pág. 12

45 Divide:

a) 85° : 3 b) (11 h 16 min) : 6

c) (39° 42' 24") : 8 d) (4 h 23 min) : 10

a)

b)

c)

d)

PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

46 ¿Cuánto pesa una porción de queso que nos ha costado 5,88 €, sabien-do que el queso se vende a 12,25 € el kilo?

5,88 : 12,25 = 0,48 kg = 480 g

47 Un kilo y seiscientos gramos de cerezas cuesta 6 €. ¿A cómo se vende elkilo de cerezas?

6 : 1,6 = 3,75 €/kg



2

85° 325 28° 20'1° 60'

00F

11 h 16 min 65 h 300 min 1 h 52 min 40 s

316 min164 min 240 s

00

F× 60

F× 60

39° 42' 24" 87° 420 4° 57' 48"

462'626' 360"

384"640

F× 60

F× 60

4 h 23 min 10240 min 26 min 18 s263 min06303 180 s

00

F× 60

F× 60

48 Francisco pide en la carnicería tres filetes que, una vez cortados, pesan708 gramos. ¿Cuánto debe pagar si un kilo de filetes cuesta 9,35 €?

9,35 × 0,708 = 6,6198 6,62

Debe pagar 6,62 €.

49 Julián tiene 13 años y mide 1,72 m. A los 8 años medía 1,57 m. ¿Cuálha sido el crecimiento medio por año?

(1,72 – 1,57) : (13 – 8) = 0,15 : 5 = 0,03

Ha crecido una media de 3 cm por año.

50 ¿Cuánto cuesta la entrada al zoo de una familia que consta de los pa-dres, dos niños y un abuelo?

45,35 × 3 + 23,80 × 2 = 136,05 + 47,6 = 183,65 €

PÁGINA 55

51 Un especulador compra una parcela rectangular de 62,50 m de largo y23,80 m de ancho, a 45,5 €/m2, y un año después la vende a 59,80 €/m2. Sidurante ese tiempo le ha ocasionado unos gastos de 5 327,46 €, ¿qué ganan-cia obtiene en el negocio?

Superficie parcela → 62,50 × 23,80 = 1 487,5 m2

Diferencia (coste venta – coste compra) → 1 487,5 · (59,8 – 45,5) = 1 487,5 ·· 14,3 = 21 271,25 €

Ganancia = Beneficio – Gastos = 21 271,25 – 5 327,46 = 15 943,79 €

52 Roberto va al mercado con 62,81 € y compra 2,6 kg de uvas a 1,80 €/kg, 0,58 kg de plátanos a 2,15 €/kg, una merluza que pesa 850 g y está a 11,45 €/kg, y un pollo de kilo y cuarto a 5,95 €/kg. ¿Cuánto dinerole sobra?

Manzanas → 2,6 · 1,80 = 4,68 €

Plátanos → 0,58 · 2,15 = 1,25 €

Merluza → 0,850 · 11,45 = 9,73 €

Pollo → 1,25 · 5,95 = 7,44 €

TOTAL GASTO → 23,10 €

Resto sobrante: 62,81 – 23,10 = 39,71 €

Pág. 13



2

FRedondeo

LISTA DE PRECIOS

ADULTOS: 45,35 €NIÑOS: 23,80 €

Pág. 14

53 Se desea pintar una valla de 147,8 m de larga y 1,8 de altura. Un kilode pintura cuesta 7,35 € y cubre 1,20 m2 de valla. Calcula el presupuesto pa-ra la pintura.

Superficie a pintar → 147,8 · 1,8 = 266,04 m2

Kilos de pintura necesarios → 266,04 : 1,20 = 221,7 kg

Coste de la pintura → 221,7 · 7,35 = 1 629,495 1 629,50 €

El presupuesto asciende a 1 629,50 €

54 Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan a 0,98 €

la docena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos. ¿Cuántohay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga valiendolo mismo?

Coste de la mercancía → 250 · 0,98 = 245 €

60 huevos = 60 : 12 = 5 docenas

Docenas restantes → 250 – 5 = 245 docenas

Las 245 docenas restantes deben venderse por 245 €, es decir, a 1 € la docena.

Por tanto, el precio de la docena se ha de aumentar en (1 – 0,98 = 0,02) doscéntimos de euro.

55 Se desea partir un círculo en siete sectores iguales. ¿Cuál debe ser el án-gulo de cada sector?

Cada sector tendrá una amplitud de:

360° : 7 = 51° 25' 42,8"

56 Un tren llega a la estación de la ciudad B a las 12 h 26 min 38 s, tras unviaje desde A que ha durado 2 h 47 min 29 s. ¿A qué hora salió de A?

El tren salió a las 9 h 39 min 9 s.



2

FRedondeo

360° 610 51° 25' 42,8"3° 180'

405' 300

2060

F× 60

F× 60

12 h 26 min 38 s– 2 h 47 min 29 s

11 h 86 min 38 s– 2 h 47 min 29 s

9 h 39 min 9 s

→

57 Un ciclista inicia su entrenamiento a las 8 h 24 min, e invierte 2 h 36 min en el recorrido de ida y 1 h 56 min en el de vuelta. ¿A qué hora fina-liza su ejercicio?

El ciclista terminó suentrenamiento a las12 h 56 min.

58 Disponemos de 1 hora para fabricar nueve tartas. ¿Cuánto tiempo te-nemos para cada tarta?

En cada tarta se invertirán6 min 40 s.

59 Un automóvil ha recorrido 247 km a una velocidad media de 95 km/h.¿Cuánto tiempo ha invertido en el recorrido?

El automóvil ha invertido 247 : 95 = 2 h 36 min en el recorrido.

60 Un camión ha realizado un viaje de 6 horas y 24 minutos a una veloci-dad media de 85 km/h. ¿Cuál ha sido la distancia recorrida?

6 h 24 min = 6 + 24 : 60 = 6 + 0,4 = 6,4 h

6,4 h · 85 km/h = 544 km

El camión ha recorrido 544 km.

61 Una moto ha tardado 3 h 27 min en recorrer 276 km. ¿Cuál ha sido suvelocidad media?

3 h 27 min = 3 + 27 : 60 = 3 + 0,45 = 3,45 h

Velocidad media → 276 : 3,45 = 80 km/h

62 Una compañía telefónica, en las llamadas internacionales, cobra 2,35 €

por la conexión y 1,25 € por minuto. ¿Cuánto costará una conferencia de 8 min 24 s?

8 min 24 seg = 8 + 24 : 60 = 8 + 0,4 = 8,4 min

Coste conferencia → 2,35 + 1,25 × 8,4 = 2,35 + 10,5 = 12,85 €

Pág. 15



2

8 h 24 min2 h 36 min

+ 1 h 56 min11 h 116 min → 12 h 56 min

60 min 96 360 s 6 min 40 s

00F× 60

247 9557 3 420 2 h 36 min

57000

F× 60

Pág. 16

63 Una fuente arroja un caudal de 0,85 l/s. ¿Cuánto tardará en llenar unpilón de 6 800 litros?

6 800 : 0,85 = 8 000 s == 2 h 13 min 20 s


65 Calcula el ángulo que forman las agujas de un reloj a estas horas:a) 8 h 18 minb) 9 h 36 minc) 5 h 24 min 45 s

Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, que se da resuelto:

a) 8 h 18 min = 8 + 18 : 60 = 8,3 h

� → 8,3 · 30° = 249°

� → 18 · 6° = 108°

Por tanto, a las 8 h 18 min, las agujas forman un ángulo de:

249° – 108° = 141°

b) 9 h 36 min = 9 + 36 : 60 = 9,6 h

� → 9,6 · 30° = 288°

� → 36 · 6° = 216°

A las 9 h 36 min, las agujas forman un ángulo de:

288° – 216° = 72°

c) 5 h 24 min 45 s = 5 + 24 : 60 + 45 : 3 600 = 5,4125 h

24 min 45 s = 24 + 45 : 60 = 24,75 min

� → 5,4125 · 30° = 162,375°

� → 24,75 · 6° = 148,5°

162,375° – 148,5° = 13,875° = 13° + (0,875 · 60) min == 13° 52,5 min = 13° + 52 min + (0,5 × 60) s = 13° 52' 30 s

A las 5 h 24 min 45 s, las agujas forman un ángulo de: 13° 52' 30 s

En 24,7 min, la aguja grande,��

recorre un ángulo

En 5,4125 h, la aguja pequeña��

recorre un ángulo

La aguja grande, en 36 min,��

recorre un ángulo

La aguja pequeña, en 9,6 h,��

recorre un ángulo

La aguja grande, en 18 min,��

recorre un ángulo

La aguja pequeña, en 8,3 h,��

recorre un ángulo



2

8 000 s 60 200 133 min 60200 13 min 2 h20 s


Concepto de fracción

1 ¿Cuántos cubitos amarillos hay en cada uno de estos cubos?

¿Qué fracción representa la parte verde en cada uno?

3 cubitos amarillosPrimer cubo → �Fracción que representa la parte verde: �

2247� = �

89�

18 cubitos amarillosSegundo cubo → �Fracción que representa la parte verde: �

297� = �

13�

12 cubitos amarillosTercer cubo → �Fracción que representa la parte verde: �

1257� = �

59�

2 Calcula:

Pág. 1


Unidad 3. Fracciones

3

a) de 24 b) de 100

c) de 27 d) de 14

e) de 800 f) de 480715

45

27

79

35

23

Pág. 2

3 ¿Cuántos gramos son?

4 ¿Qué fracción de kilo son?

5 Expresa en forma decimal:



3

a) · 24 = = 16 b) · 100 = = 60

c) · 27 = = 21 d) · 14 = = 4

e) · 800 = = 640 f ) · 480 = = 2247 · 48015

715

4 · 8005

45

2 · 147

27

7 · 279

79

3 · 1005

35

24 · 23

23

a) · 1 000 = 750 gramos b) · 1 000 = 400 gramos

c) · 1 000 = 125 gramos d) · 1 000 = 625 gramos58

18

25

34

a) de kilo b) de kilo

c) de kilo d) de kilo58

18

25

34

a) 50 g = kg = kg b) 100 g = kg = kg

c) 200 g = kg = kg d) 250 g = kg = kg14

2501 000

15

2001 000

110

1001 000

120

501 000

a) 50 gramos b) 100 gramos

c) 200 gramos d) 250 gramos

a) 0,7 b) 0,4 c) 0,375 d) 0,04

a) b) c) d) 125

38

25

710

6 Expresa en forma de fracción:

a) 3 b) 2,7 c) 1,41d) 0,05 e) 0,001 f) 0,250

a) 3 = �31� = �

62� = … b) 2,7 = �

2170� c) 1,41 = �

114010�

d) 0,05 = �1500� = �

210� e) 0,001 = �

1 0100� f ) 0,250 = �

12050� = �

14�

8 Pasa a forma fraccionaria:

a) 0,4)

b) 1,4)

c) 2,4)

d) 1,6)

e) 2,35)

f) 1,37)

a) 0,4)

= A b) 1,4)

= 1 + 0,4)

= 1 + �49� = �

193�

c) 2,4)

= 2 + 0,4)

= 2 + �49� = �

292�

d) 1,6)

= D e) 2,35)

= M

f ) 1,37)

Fracciones equivalentes

9 Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

Pág. 3



3

10 A = 4,444…– A = 0,444…

9 A = 4,000…

A = �49�

10 D = 16,666…– D = 1,666…

9 D = 15,000…

D = �195� = �

53�

100 K = 137,3737…– K = 1,3737…

99 K = 136,0000…

K = �19396�

100 M = 235,353535…– M = 2,353535…

99 M = 233,000000…

M = �29393�

a) , b) ,

c) , d) , 1640

1435

8–12

–23

47

69

315

210

Pág. 4

10 Escribe.

a) Una fracción equivalente a �25

� que tenga por numerador 6.

b) Una fracción equivalente a �140� que tenga por numerador 10.

c) Una fracción equivalente a �192� que tenga por numerador 16.

11 Calcula el término x que falta en cada caso:

12 Simplifica hasta obtener una fracción irreducible:



3

a) 2 · 15 = 3 · 10 → Sí b) 6 · 7 ≠ 4 · 9 → No

c) (–2) · (–12) = 3 · 8 → Sí d) 14 · 40 = 35 · 16 → Sí

a) =

b) =

c) = 1216

912

1025

410

615

25

a) = b) =

c) = d) =

a) x = = 9 b) x = = 6

c) x = = 4 d) x = = 1227 · 3681

3 · 2015

4 · 2718

3 · 155

2781

x36

1520

3x

27x

184

x15

35

a) b)

c) d)

e) f)

g) h) 72306

144540

121143

1866

4072

45105

5664

3024

13 Reduce a común denominador:

14 Reduce a común denominador y después ordena de menor a mayor:

Pág. 5



3

a) m.c.m. (2, 4, 8) = 8

= =

b) m.c.m. (5, 4, 10) = 20

= = =

c) m.c.m. (6, 8, 12) = 24

1 = = = =

d) m.c.m. (3, 5, 6, 15) = 30

= = = = 430

215

530

16

1830

35

1030

13

1424

712

924

38

2024

56

2424

1420

710

1520

34

820

25

18

28

14

48

12

a) , , b) , ,

c) 1, , , d) , , , 215

16

35

13

712

38

56

710

34

25

18

14

12

a) = = b) = =

c) = = d) = =

e) = = f ) = =

g) = = h) = = 417

2 · 22 · 32

2 · 32 · 1772306

415

22 · 22 · 32

22 · 3 · 32 · 5144540

1113

11 · 1111 · 13

121143

311

2 · 3 · 32 · 3 · 11

1866

59

2 · 2 · 2 · 52 · 2 · 2 · 32

4072

37

3 · 3 · 53 · 5 · 7

45105

78

23 · 723 · 23

5664

54

2 · 3 · 52 · 2 · 2 · 3

3024

a) 1, , , b) , , , 34

12

512

23

710

34

25

c) 1, , , , 1110

75

32

35

d) �23

�, �35

�, �32

�, �76

�

Pág. 6

d) m.c.m. (3, 5, 2, 6) = 30

�23� = �

2300� �

35� = �

1380� �

32� = �

4350� �

76� = �

3350�

�35� < �

23� < �

76� < �

32�

PÁGINA 73

15 Calcula mentalmente:



3

a) m.c.m. (5, 4, 10) = 20

1 = = = =

< < < 1

b) m.c.m. (3, 12, 2, 4) = 12

= = =

< < <

c) m.c.m. (2, 5, 10) = 10

1 = = = =

< 1 < < < 32

75

1110

35

1110

1410

75

1510

32

610

35

1010

34

23

12

512

912

34

612

12

512

812

23

34

710

25

1420

710

1520

34

820

25

2020

a) 1 + = b) + = c) – =

d) 1 – = e) 1 – = f ) + =

g) – = h) 1 – = i) 2 – = 12

32

910

110

110

110

15

310

110

15

23

13

14

34

14

14

12

34

14

12

32

12

a) 1 + b) + c) –

d) 1 – e) 1 – f) +

g) – h) 1 – i) 2 – 32

110

110

15

110

15

13

34

14

12

14

12

12

16 Calcula y simplifica:


Pág. 7



3

a) – + = – + = =

b) + – = + – = =

c) + – = + – = =

d) – + = – + = =

e) 2 – – – = – – – = = =

f ) – 4 + – = – + – = = 23

46

16

156

246

146

16

52

73

89

22 · 23

22 · 323236

336

2836

936

7236

112

79

14

89

1618

918

818

1518

12

49

56

15

315

815

515

615

815

13

25

45

1215

715

915

1015

715

35

23

13

26

16

26

36

16

13

12

a) – + b) + –

c) + – d) – +

e) 2 – – – f) – 4 + – 16

52

73

112

79

14

12

49

56

815

13

25

715

35

23

16

13

12

a) 2 – (1 + ) b) 1 – ( + )c) (2 – ) – (1 – ) d) ( + ) – ( – )e) ( – ) – ( – ) – f) (4 – ) – (5 – ) + (3 – – )g) – [1 – ( + )] h) [2 – ( + )] – [1 + ( – )]i) [ – (1 – )] + [ – (1 – )] + [ – (1 – )]1

612

14

12

13

12

13

12

13

12

23

14

56

38

12

34

58

12

23

15

45

32

14

32

23

56

14

34

56

310

23

Pág. 8

Producto y cociente de fracciones. Operaciones combinadas




3

i) [ – (1 – )] + [ – (1 – )] + [ – (1 – )] = [ – ] + [ – ] + [ – ] =

= – – – = + + = – = – 34

912

–412

–312

–212

26

14

16

56

12

34

12

23

12

16

12

14

12

13

12

h) [2 – ( + )] – [1 + ( – )] = [2 – ] – [1 + ] = – = 076

76

16

56

13

12

13

12

g) – [1 – ( + )] = – [1 – ] = – = = 34

912

112

56

1112

56

23

14

56

f ) (4 – ) – (5 – ) + (3 – – ) = – + = – = = 54

108

348

448

178

174

278

38

12

34

58

e) ( – ) – ( – ) – = ( – ) – ( – ) – = + – =

= + – = = 23

2030

1530

1430

2130

12

715

710

12

1015

315

810

1510

12

23

15

45

32

d) ( + ) – ( – ) = – = – = = 14

312

1512

1812

54

96

14

32

23

56

c) (2 – ) – (1 – ) = – = = 12

24

34

54

14

34

b) 1 – ( + ) = 1 – ( + ) = – = = –215

–430

3430

3030

2530

930

56

310

a) 2 – (1 + ) = 2 – = – = 13

53

63

53

23

a) · b) · 5

c) · d) ·

e) · f) 3 · (– )g) · (–6) h) (– ) · (– )2

934

12

45

410

58

–43

–92

–72

37

15

45

5–3



Pág. 9



3

a) · = – = – b) · 5 = 1

c) · = – d) · = = 6

e) · = = f ) 3 · (– ) = –

g) · (–6) = – = –3 h) (– ) · (– ) = = 16

3 · 22 · 2 · 3 · 3

29

34

62

12

125

45

14

5 · 44 · 2 · 5 · 2

410

58

3 · 3 · 2 · 22 · 3

–43

–92

32

–72

37

15

43

2015

45

5–3

a) : = = b) : = =

c) 6 : = = 10 d) : 4 = =

e) (– ) : = = f ) (– ) : (– ) = = 38

34 · 2

23

14

–65

–2 · 93 · 5

59

23

23

83 · 4

83

6 · 53

35

–47

–2 · 187 · 9

–718

29

35

2 · 32 · 5

23

25

a) : b) :

c) 6 : d) : 4

e) (– ) : f ) (– ) : (– )23

14

59

23

83

35

–718

29

23

25

a) : ( + ) = : = = 1

b) ( – ) : = : = =

c) ( + 2) · (2 – ) = · = 1

d) ( + ) · ( – ) = · = 14

29

98

19

13

58

12

27

72

127

32

13

103 · 10

310

110

310

12

35

3 · 43 · 4

34

34

14

12

34

a) : ( + ) b) ( – ) :

c) ( + 2) · (2 – ) d) ( + ) · ( – )19

13

58

12

127

32

310

12

35

14

12

34

Pág. 10


a) (– ) · ( – ) b) (1 – ) · ( + )c) ( – 2) · (1 – – )

a) (– ) · ( – ) = (– ) · ( – ) = (– ) · (– ) =

b) (1 – ) · ( + ) = ( – ) · ( + ) = · =

c) ( – 2) · (1 – – ) = ( – ) · ( – – ) =

= (– ) · (– ) = (– ) · (– ) = 4


PÁGINA 74


73

127

2812

127

2512

1512

1212

147

27

2512

54

27

514

56

37

36

26

47

77

12

13

47

16

120

103

520

420

103

14

15

103

2512

54

27

12

13

47

14

15

103



3


a) b) c)

d) e) f)

a) 6 b) c)

d) e) f ) 23

16

815

32

32

116

132

123

13

12

34

25

2

13

a) b) c)– 1

– 112

32

+

+ 23

16

12

23

+

+ 310

34

14

25

Problemas de aplicación

25 Tres cuartas partes de un metro de cinta cuestan 2,10 euros. ¿Cuántocuestan dos metros y medio?

�34� de metro cuestan 2,10 €.

�14� de metro cuestan 0,7 € → 1 m cuesta 2,8 €.

2,5 metros cuestan 2,8 · 2,5 = 7 €.

26 Ernesto ha recorrido, en su paseo, dos quintas partes del camino quetiene una longitud total de 8 km. ¿Cuánto le falta para llegar al final?

Ernesto debe recorrer aún �35� del camino.

Le faltan �35� · 8 km = �

35� · 8 000 m = 4 900 m = 4,8 km

28 Un tren ha cubierto ya tres quintos de su itinerario. Si aún le faltan 84kilómetros hasta el final, ¿cuál es la longitud total del recorrido?

�25� del itinerario son 84 km.

�15� del itinerario son 42 km.

El itinerario tiene 42 · 5 = 210 km.

Pág. 11



3

c) = = = 1321

13 · 2020 · 21

+

+ 310

34

14

25

2120

1320

a) = = –1 b) = = = 75

7 · 66 · 5

– 1

– 112

32

– 12

12

+

+ 23

16

12

23

56

76

Pág. 12

29 Raquel se ha gastado 3/10 de su dinero en un cómic. Si aún le quedan21 euros, ¿cuánto tenía al principio? ¿Cuánto le costó el cómic?

�170� del dinero que tenía son 21 €.

�110� del dinero son 3 €.

Tenía 3 · 10 = 30 €.

El cómic le costó �110� · 30 = 9 €.

30 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Si en vivienda gasta 5 400 euros anuales, ¿qué cantidad gasta al año en comi-da?

�25� del presupuesto son 5 400 €.

El presupuesto total son 5 400 · �52� = 13 500 €.

En comida se gasta �13� · 13 500 = 4 500 € al año.

31 Esta lista expresa, en forma de fracción, los resultados que un grupo dealumnos y alumnas han obtenido en un examen:



3

CALIFICACIONES

�110� de la clase . . . . . Sobresaliente

�130� de la clase . . . . . Notable

�61� de la clase . . . . . . Bien

�31� de la clase . . . . . . Suficiente

Han suspendido 1 – = de los alumnos y alumnas.110

910

+ + + = = = 910

2730

3 + 9 + 5 + 1030

13

16

310

110

32 ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30litros?

� Resuelve primero este otro:

¿Cuántas botellas de 2 litros se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?

¿Qué operación resuelve el problema?

30 : �34� = �

1230� = 40

Se pueden llevar 40 botellas.

33 Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de3/4 de litro. ¿Cuántos litros de agua había en el bidón?

40 · �34� = 30 litros

34 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántosfrascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de 3/4de litro?

�34� : �

210� = �

640� = 15 frascos

35 De un depósito que estaba lleno se han sacado, primero, 2/3 del total y,después, 1/5 del total. Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capa-cidad del depósito?

�15� + �

34� = �

1290�

Quedan 1 – �1290� = �

210�; �

210� · 1 000 = 50 litros

36 De un depósito que estaba lleno se han sacado, primero, 2/3 del total y,después, 1/5 del total. Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capa-cidad del depósito?

�23� + �

15� = �

1135�

Quedan �125� del total, que son 400 litros.

La capacidad del depósito es de 400 · �125� = 3 000 litros.

Pág. 13



3

Pág. 14

37 Jacinto se come los 2/7 de una tarta y Gabriela los 3/5 del resto. ¿Quéfracción de la tarta se ha comido Gabriela? ¿Qué fracción queda?

Gabriela ha comido: �35� · �

57� = �

37�

Entre los dos han comido: �27� + �

37� = �

57�

Quedan �27� de tarta.

38 Aurora sale de casa con 25 euros. Se gasta 2/5 del dinero en un libro y,después, 4/5 de lo que le quedaba en un disco.

¿Con cuánto dinero vuelve a casa?

�25� + �

45� · �

35� = �

25� + �

1225� = �

2225�

Vuelve a casa con �235� · 25 = 3 €.

PÁGINA 75

40 Un vendedor despacha, por la mañana, las 3/4 partes de las naranjasque tenía. Por la tarde vende 4/5 de las que le quedaban.

Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?

Por la tarde vende �45� · �

14� = �

15�.

En total vende �34� + �

15� = �

1290�.

Le quedan �210�, que son 100 kg de naranjas.

Tenía, al principio, 100 · 20 = 2 000 kg de naranjas.



3

41 Una amiga me pidió que le pasase un escrito a ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total, el segundo 1/3 de lo restante, el tercero 1/6 de loque faltaba y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios.

¿Puedes averiguar cuántos folios tenía el escrito?

En el gráfico se observa claramente que �112� del trabajo son 6 folios.

El trabajo total son 12 · 6 = 72 folios.

42 El propietario de un solar ha decidido venderlo en parcelas para obte-ner una mejor rentabilidad. Vendió primero 3/7 del mismo, luego la mitadde lo restante y todavía le quedaron 244 m2 sin vender.

Calcula la superficie del solar.

Pág. 15



3

Primer día, 1/4

Segundo día, 1/3 del resto

Cuarto día, 1/6 de lo que faltaba

Cuarto día se concluye, 30 folios

→ 30 folios

son 30 folios → total son = 6 · 12 = 72 folios.30 · 125

512

PRIMERDÍA

SEGUNDODÍA

TERCERDÍA

CUARTODÍA

PASA14

· = 14

34

14

· = 112

12

16

34

1 – = 12

12

1 – – = 512

112

12

512

0QUEDA

del solar son 244 m2

Vendió: + · = + =

Quedan de la superficie, que son 244 m2.

La superficie del solar son = 854 m2.244 · 1414

414

1014

414

37

47

12

37

414

Pág. 16


43 En un baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quin-tas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no están bailando?

Según se observa en la gráfica, �69� de los hombres y mujeres están bailando.

Por tanto, �39� = �

13� de los asistentes no bailan.

44 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un caballo y un burro. Cuando llevaa trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el ca-ballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, entonces pone 3/5 dela carga en el caballo y 2/5 en el burro.

¿Cómo distribuirá la carga hoy, si lleva a los tres animales y tiene que trans-portar una carga de 190 kg?

Hay que dividir la carga en 19 partes, de las que 9 llevará la mula, 6 el caballo y4 el burro.

Es decir: • MULA → �199� · 190 = 90 kg

• CABALLO → �169� · 190 = 60 kg

• BURRO → �149� · 190 = 40 kg



3

APLICA ESTA ESTRATEGIA

Dibuja un esquema que te ayude a organizarlas ideas.

MULA

CABALLO

BURRO

46 María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa se en-cuentra con su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana.Después pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que lequedan más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francis-co y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad de las que le quedan más mediamanzana. Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque seha quedado sin nada.

Sabiendo que en ningún momento ha partido ninguna manzana, ¿cuántasmanzanas recogió?

45 En cierta tribu primitiva, escondida en la selva, 2/3 de los hombres están casados con 3/5 de las mujeres. ¿Qué fracción de la población permanece soltera?

�23� = �

69� de hombres están casados con �

35� = �

160� de mujeres.

Dividida la población en 19 grupos, 12 de ellos están casados (6 de hombrescon 6 de mujeres).

Permanecen solteros �179� de la población.

Pág. 17



3

— de hombres23

— de mujeres35

APLICA ESTA ESTRATEGIAEmpieza por el final.

— ¿Cuántas manzanas dio a Francisco?— Sabiendo eso, ¿cuántas dio a Rosa?

Pág. 18

Francisco ha tenido que recibir un número impar de manzanas porque, en otrocaso, María debería haber partido alguna. Y antes de dar manzanas a Rosa y a Sara, en su cesta debía haber un número impar de manzanas por el mismomotivo.

Si suponemos que a Francisco le da una manzana (la mitad de lo que llevabamás media), antes de darle a Rosa llevaba 3 y le da 1,5 + 0,5 = 2. Y antes dedarle a Sara llevaba 7, a quien le da 3,5 + 0,5 = 4.

Supongamos que llevaba x manzanas:



3

= 0 → x = 7 manzanasx – 78

DA

SARA x + = x + 12

12

12

+ = x + 14

12

x – 14

+ = x + 18

12

x – 38

QUEDAN

x – = x – 12

x + 12

– = x – 34

x + 14

x – 12

– = x – 78

x + 18

x – 34

ROSA

FRANCISCO


Cálculo de potencias

1 Calcula:

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25

e) 26 f) 27 g) 28 h) 29

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32

e) 64 f ) 128 g) 256 h) 512

2 Calcula:

a) 42 b) 35 c) 53 d) 104

e) 17 f) (–1)7 g) (–1)8 h) (–2)4

i) (–2)5 j) (–5)2 k) –52 l) (–10)3

a) 16 b) 243 c) 125 d) 10 000

e) 1 f ) –1 g) 1 h) 16

i) –32 j) 25 k) –25 l) –1 000

3 Calcula:

a) 30 b) 3–1 c) 2–4 d) 50

e) 5–2 f) 10–3 g) 2–3 h) 10–6

a) 1 b) c)

d) 1 e) f ) = 0,001

g) h) = 0,000001

4 Calcula:

a) 2–2 b) (–2)–2 c) –2–2

d) e) f) 1(–2)–2

12–2

122

11000000

18

11000

125

116

13

Pág. 1


Unidad 4. Potencias y raíces

4

Pág. 2

a) b) c) –

d) e) = 4 f ) = 4

5 Calcula:

a) 502 b) 0,52

c) 0,052 d) 1002

e) 100–2 f) 0,012

a) 2 500 b) 0,25

c) 0,0025 d) 10 000

e) = = 0,0001 f ) 0,0001

Operaciones con potencias

6 Reduce y expresa el resultado en forma de una única potencia:

a) 24 · 23 b) 34 · 36 c) 56 : 52

d) 63 : 64 e) f)

g) · h) : i) 35 :

a) 27 b) 310 c) 54

d) 6–1 e) 23 f ) 30 = 1

g) = 2–5 h) · 52 = 5 i) 35 · 33 = 38

7 Primero reduce y después calcula:

a) 35 · 3–4 b) 102 · 104

c) 55 : 53 d) 102 : 10–2

e) : 26 f ) 3–4 ·

a) 35 · 3–4 = 3 b) 102 · 104 = 106 = 1 000 000

134

122

15

125

133

152

15

123

122

35

3526

23

110 000

11002

11——

(–2)2

11—4

14

14

14

14



4

c) 55 : 53 = 52 = 25 d) 102 : 10–2 = 104 = 10 000

e) : 26 = = f ) 3–4 · = 3–8 = =

8 Reduce a una única potencia:

a) (33)2 b) (52)2 c) (42)4

d) (5–3)2 e) ( )2f ) (53)–2

a) 36 b) 54 c) 48

d) 5–6 e) 5–6 f ) 5–6

9 Calcula:

a) ( )2b) (2–3)2 c) (23)–2

d) ( )–2e) (23)2 f) (2–3)–2

g) ( )–2h) ( )2

a) b) 2–6 = c) 2–6 =

d) = 2–6 e) 26 f ) 26

g) = 26 h) = 26

Expresión algebraica de un número mediante potencias de base diez

10 Calcula:

a) 103 b) 104 c) 105 d) 106

e) 10–3 f) 10–4 g) 10–5 h) 10–6

a) 1 000 b) 10 000 c) 100 000 d) 1 000 000 e) = 0,001

f ) = 0,0001 g) = 0,00001 h) = 0,0000011106

1105

1104

11 000

12–6

12–6

126

126

126

126

12–3

123

12–3

123

153

16 561

138

134

1256

128

122

Pág. 3



4

Pág. 4

11 Escribe con todas sus cifras las siguientes cantidades:

a) 24 · 107 b) 5 · 108

c) 4,3 · 105 d) 24 · 10–7

e) 5 · 10–8 f) 4,3 · 10–5

a) 240 000 000 b) 500 000 000

c) 430 000 d) 0,0000024

e) 0,00000005 f ) 0,000043

12 Escribe los siguientes números de forma abreviada, como se ha hechoen los ejemplos:

a) 27 000 000 = 27 · 106 b) 30 000 000 000

c) 2 300 000 d) 0,0006 = 6 · 10–4

e) 0,00000004 f) 0,000026

a) 27 · 106 b) 3 · 1010 c) 23 · 105

d) 6 · 10–4 e) 4 · 10–8 f ) 26 · 10–6

13 Redondea las siguientes cantidades expresándolas mediante el productode un número de dos cifras por una potencia de diez:

a) 268 487 529 → 27 · 107 b) 5 394 628

c) 15 260 943 d) 0,0005324 → 53 · 10–5

e) 0,003715 f ) 0,000000002614

a) 27 · 107 b) 54 · 105

c) 15 · 106 d) 53 · 10–5

e) 37 · 10–4 f ) 26 · 10–10

Cálculo de raíces

14 Calcula:

a) b) c)

d) e) f )

a) = 14 b) = 21 c) = 0,03

d) = 0,01 e) = 2,1 f ) = 1,5√2,25√4,41√0,0001

√0,0009√441√196

√2,25√4,41√0,0001

√0,0009√441√196



4

15 Aproxima a las décimas las siguientes raíces:

a) b) c)

a) = 1,7 b) = 7,1 c) = 10,5

16 Calcula:

a) b)

c) d)

e) f )

a) = = 5 b) = = 6

c) = = –8 d) = = 0,1

e) = = 0,3 f ) = = 0,05

PÁGINA 89

17 Calcula, con error menor de una décima, el lado de un cuadrado de su-perficie 58 cm2.

El lado del cuadrado mide 7,62 cm.

18 Calcula, con error menor de un centímetro, la arista de un cubo de vo-lumen 2 000 cm3.

La arista del cubo mide 12,6 cm.

20 Simplifica:

a) · b) :

c) · d) ·

e) · f ) · √14√ 17√ 2

5√5

√223√ 6

11√ 827√ 2

3

1

√3√3√12√3

12,53 = 1 953,12512,63 = 2 000,376

7,622 = 58,06

7,652 = 58,5225

7,62 = 57,767,72 = 59,29

3√0,0533√0,0001253√0,333√0,027

3√0,133√0,0013√(–8)33√–512

3√633√2163√533√125

3√0,0001253√0,027

3√0,0013√–512

3√2163√125

√111√50√3

√111√50√3

Pág. 5



4

Pág. 6

g) · h) ·

a) · = · = = 3 · 2 = 6

b) : = · = = 3

c) · = = = =

d) · = = = 2

e) · =

f ) · = =

g) · = =

h) · = =

22 Extrae todos los factores que sea posible:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

a) = = 2 · 2 · 2 · 2 · = 24 = 16

b) = 7

c) = = = 3 · 3 · = 32 = 9

d) = = = 10

e) = = 2

f ) = = 5

g) = = 3

h) = = 23√5

3√23 · 53√40

3√33√33 · 3

3√81

3√53√53 · 5

3√54

3√23√23 · 2

3√24

√10√102 · 10√103√1 000

√3√3√3√32 · 32 · 3√35√243

√3√3 · 72

√2√2√2√22 · 22 · 22 · 22 · 2√29

3√403√81

3√543√24

√1 000√243√3 · 72√29

√ 73√ 5 · 7 · 2

2 · 3 · 5√1415√ 5

2

√ 56√ 11 · 5

3 · 2 · 11√ 522√11

3

√2√ 2 · 77√14√ 1

7

√2√ 25√5

√22√ 2 · 3 · 11 · 211 · 3√22

3√ 611

49

22

32√ 24

34√ 2 · 23

3 · 33√ 827√ 2

3

√32√3√31

√3√3

√32 · 22√22 · 3√3√12√3

√1415√ 5

2√ 522√11

3



4

Reducción de expresiones algebraicas con potencias y raíces

23 Reduce:

a) (a2)3 · b) (a3)3 · ( )5c) ( )2

· ( )3d) ( )3

· ( )2

a) (a2)3 · = = a b) (a3)3 · ( )5= a9 · =

c) ( )2· ( )3

= · = a d) ( )3· ( )2

= =

24 Reduce:

a) · b) · c) d)

a) · = = = a2 · b

b) · = = =

c) = = =

d) = = =

25 Reduce:

a) b) c) d)

a) = b) = =

c) = : = =

d) = : = = = aa2 √

—a

a √—a

√a5

√a3

1

√a5

1

√a3

1 : √—a3

1 : √—a5

b2

a2

√b4

√a4

√a

√b

√b3

√a3

√—b3 : √

—a3

√—a : √

—b

√ ab

√a

√b

√—a3 · √

—b2

√—a2 · √

—b3

√a(√a )4

(√a )3

1 : √—a3

1 : √—a5

√—b3 : √

—a3

√—a : √

—b

√—a3 · √

—b2

√—a2 · √

—b3

(√a )4

(√a )3

3√aa · a · 3√a

a2

3√a3 · a3 · aa2

3√a7

a2

3√a2a3√a2

a

3√a3 · a2

a

3√a5

3√a3

ab√ a2

b2√ a3 · ba · b3√ 1

a · b3√a3 · b

√a2 · a2 · b2√a4 · b2√a · b2√a3

3√a7

a2

3√a5

3√a3√ 1a · b3√a3 · b√a · b2√a3

1a19

1a9 · a10

1a5

1a3

b6

a3a4

b6b2

aa2

b3

1a

1a10

1a2

a6

a51a5

1a5

1a3

b2

aa2

b31a2

1a5

Pág. 7



4

Pág. 8


26 Ataúlfo quedó prendado de un precioso caballo. Preguntó por el precio y lepidieron 100 000 €.

A Ataúlfo le pareció excesivo el precio. Sin embargo, hizo una contraoferta:—Acepto el precio —le dijo al vendedor— si me rebajas un céntimo por elprimer clavo de herradura, dos céntimos por el segundo, cuatro por el terce-ro…, y así sucesivamente hasta el último clavo de la última herradura.

¿Cuánto pagó, sabiendo que cada herradura se sujetaba con seis clavos?

La rebaja que tiene que hacer, por los sucesivos clavos, es:

20 21 22 23 24 25 … 223 céntimos de euro

223 + 222 = 12 582 912 céntimos =125 829,12 €

223 + 222 ya supera los 100 000 € que costaba el caballo.

Por tanto, no pagó nada.

¿Le darían a él la diferencia?

27 Rosana ha construido un gran cubo de 10 cm de arista utilizando cubitosblancos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubitos rojos, iguales a los anteriores,necesita para recubrir totalmente al cubo blanco?

Si se recubre el cubo de 10 cm de arista se obtendrá un cubo de 12 cm de aris-ta.

Se necesitarán, por tanto, 123 – 103 cubitos.

123 – 103 = 1 728 – 1 000 = 728 cubitos rojos.

28 Con la calculadora de cuatro operaciones: ¿Cuál es el mayor número quepuedes obtener en pantalla, si solo puedes pulsar dos veces cada una de estasteclas? (Escribe una expresión con las operaciones que le mandas hacer a lamáquina.)

99999999 99999999 99999999 99999999 99999999

0 0 1 1 = 9,99999997 · 1023

223 = 8 388 608222 = 4 194 304



4


Las relaciones de proporcionalidad

1 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directa-mente proporcionales, los que son inversamente proporcionales y los que noguardan relación de proporcionalidad:

a) La edad de una persona y su peso.

b) La cantidad de lluvia caída en un año y el crecimiento de una planta.

c) La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido.

d) El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso.

e) La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje.

f ) La altura de una persona y el número de calzado que usa.

g) El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 euros.

Magnitudes directamente proporcionales → c), d)

Magnitudes inversamente proporcionales → e), g)

No guardan relación de proporcionalidad → a), b), f )

2 Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de va-lores son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o noguardan ninguna relación de proporcionalidad:

Pág. 1


Unidad 5. Proporcionalidad

5

A

B

3 5 7 8 12

9 15 21 30

M

N

3 4 9 15 25

2 3 8 20

K

L

2 3 4 5 10

30 20 15 10

A

B

3 5 7 8 10 12

9 15 21 24 30 36

M

N

3 4 9 15 21 25

2 3 8 14 20 24

K

L

2 3 4 5 6 10

30 20 15 12 10 6

Proporcionalidad directa.

Proporcionalidad inversa.

No guardan proporción.Si M vale k, N vale k – 1.

Pág. 2

RAZONES Y PROPORCIONES

3 Busca:

a) Tres pares de números cuya razón sea igual a �12

�.

b) Tres parejas de números que estén en la relación de tres a uno.

c) Tres parejas de números que estén en razón de dos a cinco.

Soluciones abiertas. Por ejemplo:

4 Escribe cuatro proporciones con las siguientes razones:

5 Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:

¿Qué relación de proporcionalidad liga ambas magnitudes?

Proporcionalidad directa.

6 Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:



5

a) = = = …

b) = = = …

c) = = = …615

820

410

93

124

62

1224

48

36

= = = = 1421

1015

621

27

1242

621

1015

46

621

1421

1015

27

46

KILOS DE ALMENDRAS

125

91845

COSTEEN EUROS

= = = 545

218

545

19

218

19

VELOCIDAD DE UN TREN (km/h) 50 100

TIEMPO QUE DURA EL VIAJE (h) 6 3

150

2

¿Qué relación liga ambas magnitudes?

Proporcionalidad inversa.

7 Completa las siguientes proporciones:

8 Calcula la constante de proporcionalidad y, con ayuda de ella, completaesta tabla de valores directamente proporcionales:

Constante de proporcionalidad = 0,8

Pág. 3



5

= = = 23

100150

26

50150

36

50100

a) = b) =

c) = d) =

e) = f ) =

g) = h) =

i ) = j ) =

a) x = = 28 b) x = =

c) x = = 15 d) x = = 44

e) x = = 18 f ) x = = 93

g) x = = 710 h) x2 = 1 296 → x = 36

i) x2 = 225 → x = 15 j) x2 = 24 · 54 = 1 296 → x = 36

35 · 28414

372 · 1768

72 · 53212

28 · 5535

24 · 4064

214

6 · 2124

20 · 2115

54x

x24

x25

9x

x54

24x

284x

1435

68372

17x

53212

x72

3555

28x

4064

x24

x21

624

21x

1520

A

B

2 5 6 8 10 15

1,6 4 4,8

A

B

2 5 6 8 10 15

1,6 4 4,8 6,4 8 12

Pág. 4

PÁGINA 105

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

9 Calcula mentalmente y contesta:

a) Tres kilos de naranjas cuestan 2,4 €. ¿Cuánto cuestan dos kilos?

b) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tardarán cuatroobreros?

c) 200 g de jamón cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán 150 gramos?

d) Un avión, en 3 horas, recorre 1 500 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en5 horas?

e) Un camión cargado, a 60 km/h, recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuán-to tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a 90 km/h?

a) 1,6 €

b) 4 horas y media

c) 3 €

d) 2 500 km

e) 6 horas

11 Si cuatro entradas para el cine han costado 15,2 €, ¿cuánto costaráncinco entradas?

12 El dueño de un supermercado ha abonado 180 € por 15 cajas de ajos.¿Cuánto deberá pagar por un nuevo pedido de 13 cajas de ajos?



5

= → x = = 19 €15,2 · 54

5x

415,2

P. DIRECTA

CAJAS COSTE

x = = 156 €13 · 18015

15 ——— 180 €13 ——— x

13 Un tren ha recorrido 240 km en tres horas. Si mantiene la misma velo-cidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas?

14 Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósitosuba 35 cm. ¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minu-tos más? ¿Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba70 cm?

El nivel subirá 63 cm en 18 minutos.

El nivel subirá 70 cm en 20 minutos.

16 Ocho obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto tardarían en ha-cerlo seis obreros?

8 · 9 = 72 días tardaría un obrero

72 : 6 = 12 días tardarían 6 obreros

Pág. 5



5

P. DIRECTA

DISTANCIA TIEMPO

x = = 160 km240 · 23

240 km ——— 3 hx ——— 2 h

p p p q

P. DIRECTA

TIEMPO NIVEL

x = = 63 cm18 · 3510

10 min ——— 35 cm18 min ——— x

P. DIRECTA

TIEMPO NIVEL

x = = 20 minutos10 · 7035

10 min ——— 35 cmx ——— 70 cm

• REGLA DE TRES

Proporcionalidad inversa

= → x = 12 días9x

68

8 obreros ——— 9 días6 obreros ——— x

Pág. 6

17 Un grifo que arroja un caudal de 3 litros por minuto, llena un depósitoen 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo cuyocaudal es de 5 litros por minuto?

18 Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en14 días. ¿Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?

19 Un bidón de dos litros de aceite cuesta 5,8 €. ¿Cuánto costará un bi-dón de 5 litros de la misma marca?

21 Por 3,5 kg de chirimoyas he pagado 6,3 €. ¿Cuánto pagaré por cincokilos?



5

CAUDAL TIEMPO

3 l/min 20 min

5 l/min x

= → x = = 12 minutos3 · 205

20x

53


PALAS TIEMPO (días)

4 ——— 14

7 ——— x

= → x = = 8 días4 · 147

14x

74


Proporcionalidad directa

= → x = = 14,5 €5,8 · 52

5,8x

25

2 litros ——— 5,8 €5 litros ——— x

P. DIRECTA

CHIRIMOYAS (kg) PRECIO (€)

= → x = = 9 €6,3 · 53,5

6,3x

3,55

3,5 ——— 6,35 ——— x

22 Una tienda rebaja todos los artículos en la misma proporción. Si poruna camiseta de 18 € pago 16,20 €, ¿cuánto debo pagar por un jersey de 90 €?

23 Por dos kilos y trescientos gramos de merluza he pagado 41,4 €.¿Cuánto pagaré por un kilo y setecientos gramos?

24 Por un besugo que pesaba 875 g Juana ha pagado 10,85 €. ¿Cuántopagará Norberto por otro besugo de 1,2 kg?

25 Dos poblaciones que distan 18 km están, en un mapa, a una distanciade 6 cm. ¿Cuál será la distancia real entre dos ciudades que, en ese mismomapa, están separadas 21 cm?

Pág. 7



5

P. DIRECTA

PRECIO PRECIO

SIN REBAJA REBAJADO

= → x = = 81€90 · 16,20

1816,20

x1890

18 € ——— 16,20 €90 € ——— x

P. DIRECTA

PESO (kg) COSTE (€)

= → x = = 30,6 €1,7 · 41,42,3

41,4x

2,31,7

2,3 ——— 41,41,7 ——— x

P. DIRECTA

PESO (g) COSTE (€)

= → x = = 14,88 €10,85 · 1200875

10,85x

8751200

875 ——— 10,851200 ——— x

18 : 6 = 3 km de la realidad por cada centímetro del mapa.

3 · 21 = 63 km distan en realidad las dos ciudades.

REGLA DE TRES

x = 63 km

18 km ——— 6 cmx ——— 21 cm

Pág. 8

27 Un coche, a 90 km/h, hace un recorrido en 5 horas. ¿Cuánto tiempoganaría si aumentara su velocidad en 10 km/h?

28 Un grifo que arroja un caudal de 25 litros por minuto, llena un depósi-to de agua en hora y media. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósitootro grifo con un caudal de 20 litros por minuto?

29 Virginia mide 1,60 m de altura y, en este momento, su sombra tieneuna longitud de 0,8 m. Si la sombra de un árbol próximo mide 10 m, ¿cuál essu altura?

El árbol mide 20 metros.



5

90 · 5 = 450 km de recorrido

450 : 100 = 4,5 h = 4 h 30 min

Ganaría media hora.

REGLA DE TRES


= → x = 4,5 horas

4 – 4,5 = 0,5. Ganaría media hora.

5x

10090

90 km/h ——— 5 horas100 km/h ——— x

Una hora y media = 90 min

25 · 90 = 2 250 l tiene el depósito

2 250 : 20 = 112,5 min = 1 h 52 min 30 s

REGLA DE TRES


= → x = 1,875 horas

Tardaría 1,875 horas, es decir, 1 hora y 0,875 segundos · 60 = 52,5 minutos.

Por tanto, tardaría 1 horas 52 minutos y 30 segundos.

1,5x

2025

25 l/min ——— 1,5 horas20 l/min ——— x

= → x = = 20 m1,60 · 100,8

x10

1,600,8

30 Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54 673 kmen su cuentakilómetros. Echa 39 litros de gasolina y continúa su viaje. Cuandovuelve a tener el depósito vacío, su cuentakilómetros marca 55 273 km. ¿Cuál esel consumo de combustible cada 100 kilómetros?

31 Una empresa de confección debe entregar un pedido en 12 días. Parapoder cumplir el encargo debe fabricar 2 000 prendas diarias. Sin embargo,sufre una avería que detiene la producción durante dos jornadas. ¿Cuántasprendas deberá fabricar diariamente para enfrentarse a esta nueva situación?

2 000 · 12 = 24 000 prendas debe fabricar en 12 días.

24 000 : 10 = 2 400 prendas diarias debe fabricar si solo dispone de 10 días.

32 Con el dinero que tengo, ayer podría haber comprado diez pegatinas de0,4 € cada una, pero hoy las han subido 0,1 € por unidad. ¿Cuántas pegati-nas puedo comprar ahora?

Tengo 10 · 0,4 = 4 €

Las pegatinas cuestan hoy 0,4 + 0,1 = 0,5 €

Ahora podría comprar: 4 : 0,5 = 8 pegatinas

Pág. 9



5

55 273 – 54 673 = 600 km recorre

= 6,5 l gasta por cada 100 km

REGLA DE TRES

x = 6,5 l

600 km ——— 39 litros100 km ——— x

396

REGLA DE TRES


= → x = 2 400 diarias2000x

1012

2000 prendas diarias ——— 12 díasx ——— 10 días

Pág. 10

33 Un granjero necesita diariamente 45 kg de pienso y 105 kg de forrajepara alimentar a sus 30 vacas.

¿Qué cantidad de pienso y de forraje diarios necesitaría en el supuesto de quevendiese 10 vacas?

45 : 30 = 1,5 kg de pienso por cada vaca.

105 : 30 = 3,5 kg de forraje por cada vaca.

34 El radio de una circunferencia mide 2 m. ¿Cuál es su longitud?

Sabiendo que la circunferencia completa abarca 360°, ¿cuál es la longitud deun arco de 90°? ¿Y la de un arco de 25°?

� La longitud de una circunferencia es: L = 2 · π · r

• Longitud de la circunferencia de 2 m de radio:

Longitud de la circunferencia → 2π r

Longitud de la circunferencia de radio 2 m → 2 · π · 2 = 12,56 m



5

Por las 20 vacas que le quedan.

REGLA DE TRES

x = 30 kg de pienso

x = 70 kg de forraje

105 kg de forraje ——— 30 vacasx ——— 20 vacas

45 kg de pienso ——— 30 vacasx ——— 20 vacas

1,5 · 20 = 30 kg de pienso3,5 · 20 = 70 kg de forraje

360° 25°

• Longitud de un arco de 90°:

12,56 · = 3,14 m

REGLA DE TRES

x = 3,14 m

• Longitud de un arco de 25°:

12,56 · = 0,872 m25°360°

360° ——— 12,56 m90° ——— x

90°360°

35 ¿Cuál es la superficie de un sector circular de 90° en un círculo de 2 mde radio? ¿Y la superficie de un sector de 25°?

� La longitud de un círculo es: S = π · r 2

Superficie del círculo → π · r 2

Superficie de un círculo de 2 m de radio → π · 22 = 12,56 m2

• Superficie de un sector de 90°:

• Superficie de un sector de 25°:

PÁGINA 107

36 Un supermercado recibe una carga de 100 cajas de refrescos cada semana.Si cada caja contiene 20 botellas, ¿cuántas botellas vende ese supermercado,aproximadamente, cada mes?

Tomamos el mes como 4 semanas: 100 · 20 · 4 = 8 000 botellas al mes, aproxi-madamente.

Pág. 11



5

REGLA DE TRES

x = 0,872 m

360° ——— 12,56 m25° ——— x

90°2m

25°

p

12,56 · = 3,14 m2

REGLA DE TRES

x = 3,14 m2

360° ——— 12,56 m2

90° ——— x

90°360°

12,56 · = 0,872 m2

REGLA DE TRES

x = 0,872 m2

360° ——— 12,56 m2

25° ——— x

25°360°

REGLA DE TRES

x = 8 000 botellas

2 000 botellas ——— 1 semanax ——— 4 semanas

Pág. 12

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

37 Cincuenta terneros de engorde consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros du-rante 15 días?

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600 kg de alfalfa?

a) 4 200 : 50 = 84 kg de alfalfa por ternero a la semana

84 : 7 = 12 kg de alfalfa por ternero al día

Con 600 kg de alfalfa se pueden alimentar a 10 terneros durante 5 días.



5

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

P. DIRECTA

TERNEROS DÍAS ALFALFA

50 7 4 2001 1 x

· = → x = 12 kilos de alfalfa

b) PROPORCIONALIDAD DIRECTA

P. DIRECTA

TERNEROS DÍAS ALFALFA

50 7 4 200

20 15 x

· = → x = = 3 600 kg4 200 · 20 · 1550 · 7

4 200x

715

5020

4 200x

71

501

c) PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. DIRECTA

TERNEROS ALFALFA DÍAS

50 4 200 7

10 600 x

· = → x = = 7 · 50 · 60010 · 4 200

7x

4 200600

1050

5 días

38 Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 kmde distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me cos-tará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

Si el coste fuera directamente proporcional al peso del paquete y a la distanciadel lugar de destino, el nuevo envío costará:

9 : 60 = 0,15 € por cada kilómetro (un paquete de 5 kg)

0,15 : 5 = 0,03 € por kilómetro y kilogramo

0,03 · 15 · 200 = 90 € por un paquete de 15 kg a 200 km

39 Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €.¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha?

30 : (2,5 · 0,8) = 15 € cada metro cuadrado

15 · (3 · 1,2) = 54 € cuesta la nueva pieza

Pág. 13



5

· = → x = 90 €9x

60200

515

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PESO DISTANCIA COSTE

5 kg 60 km 9 €

15 kg 200 km x

REGLA DE TRES

· = → x = 54 €30x

0,81,2

2,53

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

LARGO (m) ANCHO (m) COSTE (€)

2,5 0,8 30

3 1,2 x

REGLA DE TRES

Pág. 14

40 Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitadoaportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1 h 20 min. ¿Cuántotiempo tardará en llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se leaporta un caudal de 15 litros por minuto?

20 litros por minuto durante 80 minutos → 1 600 litros se necesitan para queel agua suba 80 cm.

1 600 : 80 = 20 litros se necesitan para que el agua suba 1 cm.

20 · 90 = 1 800 litros se necesitan para que el agua suba 90 cm.

1 800 : 15 = 120 minutos se necesitan para conseguir 1 800 litros con un cau-dal de 15 l/min. Por tanto, tardará 2 horas en llenarse.

41 Cinco máquinas iguales envasan 7 200 litros de aceite en una hora.

¿Cuántos litros envasarán tres máquinas en dos horas y media?

¿Cuánto tiempo tardarán cuatro máquinas en envasar 12 000 litros?

• 7200 : 5 = 1440 litros envasa cada máquina en 1 hora.

1440 · 3 · 2,5 = 10800 litros envasan 3 máquinas en 2 horas y media.



5


P. INVERSA

ALTURA CAUDAL TIEMPO

80 cm 20 l/m 60 + 20 = 80 minutos

90 cm 15 l/m x

· = → x = 120 minutos = 2 horas80x

1520

8090

REGLA DE TRES


P. DIRECTA

MÁQUINAS TIEMPO LITROS

5 1 hora 7 2003 2,5 horas x

· = → x = 10 800 litros7200x

12,5

53

REGLA DE TRES

2,083)

· 60 = 125 minutos → Tardarán 2 h 5 min

42 Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días.¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horasdiarias?

12 · 8 · 25 = 2 400 horas de trabajo de 1 obrero hay que emplear en realizar eltrabajo.

2 400 : 5 = 480 horas debe realizar cada uno de los 5 obreros.

480 : 10 = 48 días tardarán.

Pág. 15



5

REGLA DE TRES


P. DIRECTA

MÁQUINAS TIEMPO LITROS

5 1 hora 7 2003 2,5 horas x

· = → x = 10 800 litros

• 12 000 : 4 = 3 000 litros ha de envasar cada máquina.

3 000 · 432 = 6 h 56,4 min tardan.

REGLA DE TRES

PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. DIRECTA

MÁQUINAS LITROS TIEMPO

5 7200 1 hora4 12000 x

· = → x = 6,94 horas1x

720012 000

45

7200x

12,5

53

2,083)

horas

REGLA DE TRES

PROPORCIONALIDAD INVERSA

P. INVERSA

OBREROS HORAS DÍAS

12 8 255 10 x

· = → x = 48 días → Tardarán 48 días25x

108

512

Pág. 16


43 COMPARANDO SUPERFICIES

• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un cuadradosi se aumenta al doble el lado? ¿Y si se aumenta el ladoal triple?

• ¿Cuántas veces aumenta la superficie de un hexágonosi los lados se hacen el doble de largo? ¿Y si los lados sehacen el triple de largo?



5

a

a

a

2a

2a

2a

a

2a

a

a

3a

3a

S = a2

S = 9a

2

a

a

2a

2a

S = a2

S = 4a

2 Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, susuperficie aumenta al cuádruple.

Si el lado de un cuadrado aumenta altriple, su superficie queda multiplicadapor 9.

Si el lado de un hexágono aumenta al doble, susuperficie queda multiplicada por 4.

Pág. 17



5

a

3a

Si el lado de un hexágono aumenta al triple,su superficie queda multiplicada por 9.

44 COMPARANDO TAMAÑOS

Supón que aumentamos el tamaño de un cubo hasta que la arista se hace doble.

• ¿Cuántos cubos como el primitivo caben en el cubo ampliado?

• ¿Y si hacemos que la arista aumente al triple?

• Con arista doble, en el nuevo cubo caben 8 cubos como el primitivo.

• Con arista triple, en el nuevo cubo caben 27 cubos como el primitivo.


Cálculo mental

1 Calcula mentalmente:

2 Calcula mentalmente. Hazlo en el orden en que aparecen:

3 ¿Qué fracción asocias a cada uno de los siguientes porcentajes?

a) 50% b) 25% c) 75%

d) 10% e) 20% f) 30%

g) 40% h) 70% i) 90%

Pág. 1


Unidad 6. Problemas aritméticos

6

a) 310 b) 1250

c) 150 d) 210

e) 300 f ) 333

a) 50% de 620 b) 50% de 2 500

c) 25% de 600 d) 25% de 840

e) 75% de 400 f) 75% de 444

a) 8 b) 16

c) 24 d) 32

e) 40 f ) 48

g) 56 h) 64

i) 72 j) 80

a) 10% de 80 b) 20% de 80

c) 30% de 80 d) 40% de 80

e) 50% de 80 f) 60% de 80

g) 70% de 80 h) 80% de 80

i) 90% de 80 j) 100% de 80

Pág. 2

a) �12� b) �

14� c) �

34�

d) �110� e) �

15� f ) �

130�

g) �140� h) �

170� i) �

190�

4 Asocia un porcentaje a cada una de estas fracciones:

5 Completa:

CÁLCULO DE PORCENTAJES

6 Calcula:



6

a) b) c) d) e)

a) 20% b) 75% c) 25% d) 50% e) 10%

110

12

14

34

15

a) Para calcular el 50% multiplicamos por

b) Para calcular el 25% multiplicamos por

c) Para calcular el 70% multiplicamos por

d) Para calcular el 15% multiplicamos por ?

?

?

0,5

f ) 0,01e) 0,08d) 0,15c) 0,7b) 0,25a) 0,5

e) Para calcular el 8% multiplicamos por

f) Para calcular el 1% multiplicamos por ?

?

a) 650 · 0,18 = 117 b) 1500 · 0,12 = 180

c) 2 500 · 0,23 = 575 d) 960 · 0,45 = 432

e) 720 · 0,65 = 468 f ) 1520 · 0,82 = 1246,4

g) 175 · 0,08 = 14 h) 2 340 · 0,05 = 117

a) 18% de 650 b) 12% de 1 500

c) 23% de 2 500 d) 45% de 960

e) 65% de 720 f ) 82% de 1 520

g) 8% de 175 h) 5% de 2 340

7 Calcula como en el ejemplo:

� 13% de 1 500 = 1 500 · �11030

� = 1 500 · 0,13 = 195

9 Calcula x en cada caso:

PROBLEMAS DE PORCENTAJES

10 En la caja de una conocida marca de alimentos puede leerse su compo-sición nutritiva: PROTEÍNAS … 26%; HIDRATOS DE CARBONO … 8,5%; GRA-SAS … 5%; LACTOSA…9%; OTROS … 3%. El resto es agua.

Pág. 3



6

a) 2 800 · 0,13 = 364 b) 45 · 0,12 = 5,4

c) 4 850 · 0,27 = 1309,5 d) 2 675 · 0,16 = 428

e) 344 · 0,5 = 17,2 f ) 800 · 0,07 = 56

g) 1625 · 0,02 = 32,5 h) 625 · 0,04 = 25

a) 13% de 2 800 b) 12% de 45

c) 27% de 4 850 d) 16% de 2 675

e) 5% de 344 f ) 7% de 800

g) 2% de 1 625 h) 4% de 625

a) 80% de x = 16 b) 20% de x = 31

c) 5% de x = 13 d) 15% de x = 30

e) 8% de x = 36 f ) 70% de x = 140

g) 21% de x = 42 h) 3% de x = 45

a) · x = 16 → 0,8x = 16 → x = 16 : 0,8 = 20

b) 0,2 · x = 31 → x = 31 : 0,2 = 155

c) 0,05 · x = 13 → x = 13 : 0,05 = 260

d) 0,15 · x = 30 → x = 30 : 0,15 = 200

e) 0,08 · x = 36 → x = 36 : 0,08 = 450

f ) 0,7 · x = 140 → x = 140 : 0,7 = 200

g) 0,21 · x = 42 → x = 42 : 0,21 = 200

h) 0,03 · x = 45 → x = 45 : 0,03 = 1500

80100

Pág. 4

¿Qué porcentaje de agua contiene?

26 + 8,5 + 5 + 9 + 3 = 51,5

100 – 51,5 = 48,5

Contiene un 48,5% de agua.

11 En un colegio hay 575 alumnos matriculados de los que el 8% son hin-dúes. ¿Cuántos alumnos y alumnas hindúes hay?

575 · 0,08 = 46

Hay 46 alumnos hindúes.

12 Una familia gasta el 18% de su presupuesto en alimentación. Si los in-gresos ascienden a 1 800 € mensuales, ¿cuánto gastan al mes en alimentos?

13 En una familia que tiene unos ingresos mensuales de 2 400 €, se gas-tan 300 € en ocio. ¿Qué porcentaje de los ingresos se dedica al ocio?

PÁGINA 122

14 En un congreso de cardiólogos el 15% son españoles. Sabiendo que hay36 médicos españoles, ¿cuántos son los asistentes al congreso?



6

92%

8%

HINDÚES

1800 · 0,18 = 324

En alimentos gastan, al mes, 324 €.

= → x = = 12,5

El 12,5% de los ingresos se dedica al ocio.

30 0002 400

300x

2 400100

= → x = = 240

En el congreso hay 240 asistentes.

3 60015

100x

1536

15 En el último partido de baloncesto de mi ciudad, los cinco jugadoresdel equipo titular que inició el partido consiguieron los siguientes resultados:

PABLO

O’NEIL

ROGER MILLER

LOSA

BIRIAKOV

Averigua los porcentajes de cada jugador.

Canastas = 42

Intentos = 70

Total = 112

Pág. 5



6

CANASTAS INTENTOS

8 19

9 12

16 20

7 11

2 8

PABLO �482� · 100 = 19,05% �

1790� · 100 = 27,14% �

12172� · 100 = 24,11%

O’NEIL �492� · 100 = 21,43% �

1720� · 100 = 17,14% �

12112� · 100 = 18,75%

ROGER MILLER �1462� · 100 = 38,09% �

2700� · 100 = 28,57% �

13162� · 100 = 32,14%

LOSA �472� · 100 = 16,67% �

1710� · 100 = 15,71% �

11182� · 100 = 16,07%

BIRIAKOV �422� · 100 = 4,76% �

780� · 100 = 11,43% �

11102� · 100 = 8,93%

CANASTAS INTENTOS TOTAL

Pág. 6

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

16 Sara ha comprado un jersey que costaba 35 €, pero le han hecho unarebaja del 15%. ¿Cuánto ha pagado?

Ha pagado el 85%, es decir:

35 · 0,85 = 29,75 €

17 Roberto ha pagado 29,75 € por unos pantalones que estaban rebajadosun 15%. ¿Cuánto costaban los pantalones sin rebajar?

0,85 · x = 29,75 → x = 29,75 : 0,85 = 35

Los pantalones costaban 35 €.

18 Adelaida ha pagado 29,75 € por una blusa que costaba 35 €. ¿Quétanto por ciento le han rebajado?

35 · x = 29,75 → x = 29,75 : 35 = 0,85

Ha pagado el 85%.

Le han rebajado un 15%.

19 He ido a comprar un balón que costaba 45 €, pero me han hecho unarebaja del 12%. ¿Cuánto he pagado por el balón?

45 · 0,88 = 39,6 €.

He pagado 39,6 €.

20 La paga mensual de Andrea es de 25 € y le han prometido un aumentodel 20% para el próximo mes. ¿Cuál será su nueva asignación mensual?

25 · 1,2 = 30

Su nueva asignación es de 30 €.

21 Yo recibía hasta ahora 6 € semanales, pero me han subido la asignacióna 7,5 €. ¿Cuál ha sido el porcentaje aumentado?

6 · x = 7,5 → x = 7,5 : 6 = 1,25

7,5 € son el 125% de 6 €. Es decir, le han subido un 25%.



6

22 He pagado 0,44 € por una barra de pan, lo que supone un aumentodel 10% sobre el precio que tenía ayer. ¿Cuánto costaba la barra ayer?

1,1 · x = 0,44 → x = 0,44 : 1,1 = 0,4

La barra costaba 0,4 €.

23 ¿Qué interés produce, en 4 años, un capital de 3 000 €, colocado al 5%anual?

24 Si meto en el banco 500 € al 7% anual, ¿cuánto tendré en la cuentadentro de dos años?

26 En el banco Pasapoga se han ingresado 22 500 € en una cuenta que está retribuida con un 6% de interés. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta alpasar un año?

¿Cuánto se gana cada mes?

27 ¿Qué interés produce, en cinco meses, un millón de euros, colocado al2,4% anual?

28 Tres amigos gastan 20 € en una quiniela. Adrián pone 9 €, Patricia 6 €y Esteban el resto. La quiniela resulta premiada con 740 €.

¿Cómo repartirán el premio?

Pág. 7



6

¿ p p

I = = 600 €3 000 · 4 · 5100

I = = 70 €

Tendrá 500 + 70 = 570 €.

500 · 7 · 2100

I = = 1350 €

Al cabo de un año en la cuenta habrá 22 500 + 1350 = 23 850 €.

Cada mes se gana 1350 : 12 = 112,5 €.

22 500 · 6 · 1100

I = = 24 000 en un año

En cinco meses → · 5 = 10 000 €24 00012

1 000 000 · 2,4 · 1100

Pág. 8

29 Cuatro socios montan un negocio. A aporta 10 000 €; B aporta 6 000 €;C aporta 4 000 € y D aporta 4 000 €. En el primer año obtienen una ganan-cia de 7 200 €.

¿Cuánto corresponde a cada uno?

Total apartado: 24 000 €

PÁGINA 123

30 Un mayorista paga 975 € a tres hortelanos, a los que ha comprado, res-pectivamente, 400 kg, 300 kg y 800 kg de tomates.

¿Cuánto corresponde a cada hortelano?



6

¿ p p

Adrián pone 9 €, Patricia, 6 € y Esteban, 5 €

= = =

A Adrián le tocan A = = 333 €

A Patricia le tocan P = = 222 €

A Esteban le tocan E = = 185 €740 · 520

740 · 620

740 · 920

20740

5E

6P

9A

= = = = 7 20024 000

D4 000

C4 000

B6 000

A10 000

A = = 3 000 B = = 1800

C = = 1200 D = = 12007 200 · 4 00024 000

7 200 · 4 00024 000

7 200 · 6 00024 000

7 200 · 10 00024 000

= = =

x = = 260

y = = 195

z = = 520800 · 9751500

300 · 9751500

400 · 9751500

1500975

800z

300y

400x

31 Varios amigos y amigas acuden a un supermercado para comprar diver-sos productos con los que celebrar una fiesta. Se han gastado 45 €. Ángel lle-va el dinero de cinco de ellos, Laura el de seis y Jesús el de cuatro.

¿Qué parte de lo que tienen que pagar ha de poner cada uno?

En total llevan dinero de 5 + 6 + 4 = 15 personas.

32 Un comerciante mezcla 80 kg de café de 10,5 €/kg con 60 kilos de otrocafé de calidad superior, que cuesta a 14 €/kg. ¿A cuánto sale el kilo de mez-cla?

Precio de la mezcla:

33 ¿Cuántos kilos de café a 14 €/kg hay que mezclar con 80 kg de otro ca-fé de calidad inferior, a 10,5 €/kg, para que la mezcla salga a 12 €/kg?

34 Un bodeguero tiene 2 200 litros de vino corriente a 1,8 €/litro y deseamezclarlos con otro vino de superior calidad que sale a 3,6 €/litro, para obte-ner uno de calidad intermedia que cueste 2,5 €/litro.

¿Cuántos litros necesita del vino más caro?

Pág. 9



6

Ángel debe poner · 45 = 15 €

Laura debe poner · 45 = 18 €

Jesús debe poner · 45 = 12 €415

615

515

= = 12 €/kg840 + 840140

80 · 10,5 + 60 · 14140

= 12

14x + 840 = 960 + 12x → 2x = 120 → x = 60 kg

Hay que mezclar 60 kg de café de 14 €/kg.

x · 14 + 80 · 10,580 + x

= 2,5

3 960 + 3,6x = 5 500 + 2,5x → 1,1x = 1540 → x = 1400

Debe mezclar 1400 litros de 3,6 €.

2 200 · 1,8 + x · 3,62 200 + x

Pág. 10

35 Un tren sale de A hacia B a 70 km/h. Simultáneamente, por una vía pa-ralela, sale de B hacia A otro tren a 80 km/h.

Si la distancia de A a B es de 230 km, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

Los trenes se acercan a una velocidad de 150 km/h, y tienen que recorrer 230 km.

36 Un ciclista sale de cierta población a una velocidad de 15 km/h. Veinteminutos después sale en su persecución una moto a 45 km/h.

¿Cuánto tardará en alcanzarle?

En 20 minutos el ciclista recorre �13� · 15 = 5 km

En el mismo tiempo, mientras que el ciclista recorre una distancia e, el moto-rista ha de recorrer e + 5.

El motorista tarda en alcanzar al ciclista 20 minutos.

37 De una pared alicatada, se han caído el 30% de los azulejos. Si la paredmide 4 m × 8 m y cada azulejo 10 cm × 10 cm, ¿cuántos azulejos deben re-ponerse?

Superficie de la pared: 4 × 8 = 32 m2

Superficie de cada azulejo: 0,1 × 0,1 = 0,01 m2

Número total de azulejos: 32 : 0,01 = 3 200 azulejos

30% de 3 200 = 960 azulejos hay que reponer.



6

t = → t = = = 1 h 32 min2315

230150

ev

= → 45e = 15e + 75 → 30e = 75 → e =

t = = = = 20 min16

530

75/3015

7530

e + 545

e15

38 He vendido mi viejo coche para comprar uno nuevo. Lo compré por16 000 euros y, después de 11 años, al comprar el nuevo, me han pagado por él 2 000 €.

¿Qué porcentaje del valor de la compra del coche me han pagado? ¿Y quéporcentaje he perdido?

Le han pagado un 12,5% del valor de la compra del coche y ha perdido 100 – 12,5 = 87,5% de su valor.


39 Tres peregrinos se encuentran en un cruce de caminos y se sientan a comer.Uno aporta tres tortas, otro seis tortas, y el tercero, que no tiene tortas, pagaa sus compañeros con nueve monedas.¿Cómo deben distribuirse las monedas?

Cada uno come tres tortas.

El primero se come las tortas que llevaba. Luego, no es ni acreedor ni deudor.

El otro pone tres tortas y come otras tres. Por tanto, las nueve monedas seránpara él.

40 ¿Qué porcentaje de rebaja consigues aprovechando la oferta?

Si lleva 3 y paga solo 2, compra por �23� del valor, es decir, paga el 66,6

)% y la re-

baja es del 33,3)%.

Pág. 11



6

= 2 000 → x = = 12,5200 00016 000

16 000 · x100

OFERTÓN¡LLEVE 3

Y PAGUE 2!

Pág. 12

41 Un hortelano vende sus tomates a un mayorista.

El mayorista los vende a un intermediario ganando un 20%.

El intermediario los vende a un almacén ganando un 20%.

El almacén los vende a un minorista y éste al público, ganando cada uno deellos, también, un 20%.

¿En qué porcentaje se ha aumentado el precio que cobró el agricultor cuandoel producto sale finalmente al público?

El hortelano vende los tomates por x euros.

El mayorista los vende por 1,2 · x euros.

El intermediario los vende por 1,2 · (1,2 · x) = 1,44x

El almacén los vende por 1,2 · (1,44x) = 1,728x

El minorista los vende por 1,2 · (1,728x) = 2,0736x

El precio ha aumentado un 107,36% sobre el inicial.



6


Lenguaje algebraico

1 Llamando n a un número cualquiera, traduce a lenguaje algebraico lossiguientes enunciados:

a) La mitad de n.

b) La mitad de n menos cuatro unidades.

c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n.

d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n.

2 Utiliza el lenguaje algebraico para expresar:

a) Un múltiplo cualquiera de cinco.

b) Un múltiplo cualquiera de dos.

c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos.

d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre cinco.

3 Completa, con una expresión algebraica, la casilla que va emparejada a n:

3n�1

Pág. 1


Unidad 7. Expresiones algebraicas

7

a) b) – 4

c) d) 2 · (n + 3)n – 42

n2

n2

a) 5 · k b) 2 · k

c) 2k + 1 d) 5k + 3

1 2 3 4 10 n

4 7 10 13 31 ?

Pág. 2

4 Escribe una ecuación para cada enunciado y trata de encontrar, en cadacaso, el número que cumple la condición expresada:a) Si a cierto número, x, le restas 20 y doblas el resultado, obtienes 10.b) El triple de un número, x, coincide con el valor obtenido al sumarle

10 unidades.c) La mitad de un número coincide con el valor que se obtiene

al restarle 11.

6 Demuestra que la suma de dos pares consecutivos nunca es múltiplo de 4.Dos pares consecutivos son de la forma 2x y 2x � 2:

2x � 2x � 2 � 4x � 2

4x es múltiplo de 4, pero no 2. Por tanto, 4x � 2 no es múltiplo de 4.

7 Demuestra que la suma de tres números naturales consecutivos es igualal triple del mediano.

8 Demuestra que la suma de tres números impares consecutivos siemprees múltiplo de 3.Los números son

Es múltiplo de 3.

9 Demuestra que si a cualquier número le sumamos tres, después dupli-cas el resultado, restas uno, vuelves a duplicar y restas el cuádruplo del núme-ro, obtienes siempre 10, sea cual sea el número inicial.



7

a) 2(x – 20) = 10

2x – 40 = 10 → 2x = 50 → x = 25

b)3x = x + 10

2x = 10 → x = 5

c) = x – 11

x = 2x – 22 → x = 22

x2

x + (x – 1) + (x + 1) = 3x

Mediano → xAnterior → x – 1Posterior → x + 1

2x + 1, 2x + 3 y 2x + 5:

(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 6x + 9 = 3 (2x + 3)

[(x + 3) · 2 – 1] · 2 – 4x = (2x + 6 – 1) · 2 – 4x = 4x + 10 – 4x = 10

Operaciones con monomios

10 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:

11 Reduce:

12 Quita paréntesis y reduce:

Pág. 3



7

a) 5x2 b) x

c) –7xy d) a5

e) a2b4 f ) – a3b3

a) 2 b) 1

c) 2 d) 5

e) 6 f ) 6

12

34

34

a) 6x b) 7x2

c) 5x – 1 d) 2x2 + 2x

e) 2x2 – 2 f ) x + 3

a) 3x + 2x + x b) 5x2 + 2x2

c) 3x – 5 + 2x + 4 d) x2 + x + x2 + x

e) 3x2 – x2 + 5 – 7 f ) 3x + x2 – 2x – x2 + 3

a) (x – 1) – (x – 5) = x – 1 – x + 5 = 4

b) 2x + (1 + x) = 2x + 1 + x = 3x + 1

c) 5x – (3x – 2) = 5x – 3x + 2 = 2x + 2

d) (3x – 4) + (3x + 4) = 3x – 4 + 3x + 4 = 6x

e) (1 – x) – (1 – 2x) = 1 – x – 1 + 2x = x

f ) (2 – 5x) – (3 – 7x) = 2 – 5x – 3 + 7x = 2x – 1

a) (x – 1) – (x – 5) b) 2x + (1 + x)

c) 5x – (3x – 2) d) (3x – 4) + (3x + 4)

e) (1 – x) – (1 – 2x) f ) (2 – 5x) – (3 – 7x)

Pág. 4

PÁGINA 139

13 Opera y reduce:

Operaciones con polimonios

14 Reduce las siguientes expresiones:

15 Quita paréntesis y reduce:



7

a) 14x2 b) 3x3

c) –6x3 d) 3x3

e) x2 f ) 2x

g) –3x4 h) 2x2

a) 2x · 7x b) 12x · x2

c) 2x · 3x · (–x) d) (–5x) · (– x2)e) x8 : x6 f ) 6x4 : 3x3

g) (–6x5) : (2x) h) ( x4) : ( x2)13

23

35

14

a) 2x2 – 2x + 8 b) x + 2

c) 3x2 – 8x + 2 d) x2 + 2x – 18

a) 2 – 5x2 + 7x2 – 2x + 6 b) (x + 1) – (x – 1) + x

c) (2x2 – 3x – 8) + (x2 – 5x + 10) d) (2x2 – 3x – 8) – (x2 – 5x + 10)

a) (5x2 – 6x + 7) – (4x2 – 5x + 6) = 5x2 – 6x + 7 – 4x2 + 5x – 6 = x2 – x + 1

b) (x2 – 4x – 5) + (x2 + 3x – 1) = x2 – 4x – 5 + x2 + 3x – 1 = 2x2 – x – 6

c) (2x2 – 5x + 3) + (3x2 + 5x) + (x2 + x – 3) =

= 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x + x2 + x – 3 = 6x2 + x

d) (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x) = x2 – 4 + x + 5 – x2 + x = 2x + 1

a) (5x2 – 6x + 7) – (4x2 – 5x + 6)

b) (x2 – 4x – 5) + (x2 + 3x – 1)

c) (2x2 – 5x + 3) + (3x2 + 5x) + (x2 + x – 3)

d) (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x)

16 Reduce:

17 Considera los polinomios:

18 Completa las casillas vacías:

Pág. 5



7

a) (2x2 – 5x + 6) – 2(x2 – 3x + 3) = 2x2 – 5x + 6 – 2x2 + 6x – 6 = x

b) 2(5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4) = 10x2 – 8x + 4 – 8x2 + 7x – 4 = 2x2 – x

c) 3(x – 2) – 2(x – 1) – (x + 1) = 3x – 6 – 2x + 2 – x – 1 = –5

d) 2(x2 – 1) + 4(2x – 1) – 11x = 2x2 – 2 + 8x – 4 – 11x = 2x2 – 3x – 6

a) (2x2 – 5x + 6) – 2(x2 – 3x + 3)

b) 2(5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4)

c) 3(x – 2) – 2(x – 1) – (x + 1)

d) 2(x2 – 1) + 4(2x – 1) – 11x

A = x3 – 5x + 4, B = 3x2 + 2x + 6 y C = x3 – 4x – 8

Calcula:

a) A + B b) A – B

c) A – C d) B + C

e) A + B + C f ) A – B – C

a) A + B = x3 + 3x2 – 3x + 10 b) A – B = x3 – 3x2 – 7x – 2

c) A – C = –x + 12 d) B + C = x3 + 3x2 – 2x – 2

e) A + B + C = 2x3 + 3x2 – 7x + 2 f ) A – B – C = –3x2 – 3x + 6

a) x2 + – 9 b) – 5x2 – 6x +

+ + 2x + + 2x3 – 3x2 + – 8

4x2 + 8x – 2 5x3 – – 2x – 1

a) x2 + 6x – 9 b) 3x3 – 5x2 – 6x + 7

0

000

000

3x2 + 2x + 7 2x3 – 3x2 + 4x – 8

4x2 + 8x – 2 5x3 – 8x2 – 2x – 1

Pág. 6

19 Calcula:

20 Calcula:

21 Completa las casillas vacías:



7

9x3 + 15x2 – 18x 2x4 + 5x3 – 3x2 + x

9x3 + 0 – 43x + 30 2x4 + 9x3 + 7x2 – 5x + 2

a) 3x · (x3 – 2x + 5) = 3x4 – 6x2 + 15x

b) (x + 2) · (x – 5) = x2 – 5x + 2x – 10 = x2 – 3x – 10

c) (x2 – 2) · (x2 + 2x – 3) = x4 + 2x3 – 3x2 – 2x2 – 4x + 6 = x4 + 2x3 – 5x2 – 4x + 6

d) (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1) = x5 – 3x4 + x3 – 5x4 + 15x3 – 5x2 + x2 – 3x + 1 =

= x5 – 8x4 + 16x3 – 4x2 – 3x + 1

a) 3x · (x3 – 2x + 5) b) (x + 2) · (x – 5)

c) (x2 – 2) · (x2 + 2x – 3) d) (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)

a) 2x2 – x + 3 b) x3 – 2x2 – 5x – 1

2x – 5 x2 – 3x – 2

– 10x2 + 5x – 15 – 2x3 + 4x2 + 10x + 2

4x3 – 2x2 + 6x – 3x4 + 6x3 + 15x2 + 3x4x3 – 12x2 + 11x – 15 x5 – 2x4 – 5x3 – x2

x5 – 5x4 – x3 + 18x2 + 13x + 2

a) – x + 3× –

– + – 15– 2x2 +

– 12x2 + – 000

00

00

00

0 b) – – – 1× – –

– + + + 2– + + + 3x

x5 – 2x4 – 5x3 – x2

– – + + + 000000

000

000

000

000

3x – 5 x + 2

– 15x2 – 25x + 30 4x3 + 10x2 – 6x + 2

a) 3x2 + 5x – 6 b) 2x3 + 5x2 – 3x + 1

a) 3x2 + 5x – 6 b) 2x3 + 5x2 – 3x + 1× 3x – 5 × x + 2

� �

� �

22 Reduce:

PÁGINA 140

24 Calcula:

25 Opera y reduce:

Pág. 7



7

a) x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x) = 5x2 – 4x – 2x2 + 2x = 3x2 – 2x

b) (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2 = 2x3 + x2 – x3 + x2 = x3 + 2x2

c) (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1) = 3x2 + 3x – x – 1 – 2x2 + x – 2x + 1 = x2 + x

d) (2x – 3) (x + 1) – (x2 – x – 4) = 2x2 + 2x – 3x – 3 – x2 + x + 4 = x2 + 1

e) (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x) = 2x2 + 3 – 2x – 2x2 + 2 + 2x = 5

a) x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x)

b) (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2

c) (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1)

d) (2x – 3) (x + 1) – (x2 – x – 4)

e) (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x)

a) 3x – 2 b) 2x2 – 3x + 1

c) x3 + 5x – 6 d) 2x2 + 5x

e) x2 – 3x + 4 f ) x2 – 2x + 3

a) (15x – 10) : 5 b) (12x2 – 18x + 6) : 6

c) (x4 + 5x2 – 6x) : x d) (2x4 + 5x3) : x2

e) (2x3 – 6x2 + 8x) : 2x f ) (5x3 – 10x2 + 15x) : 5x

a) 12x2 : (6x · 2x) = 12x2 : 12x2 = 1

b) (12x2 : 6x) · 2x = 2x · 2x = 4x2

c) (24x3) : [(4x2) : (2x)] = 24x3 : 2x = 12x2

d) [(24x3) : (4x2)] : (2x) = 6x : 2x = 3

e) [x3 – (x3 – x2)] : x2 = (x3 – x3 + x2) : x2 = x2 : x2 = 1

f ) (18x2) : [6 – 3(3x + 2)] = 18x2 : (6 – 9x – 6) = 18x2 : (–9x) = –2x

p y

a) 12x2 : (6x · 2x) b) (12x2 : 6x) · 2x

c) (24x3) : [(4x2) : (2x)] d) [(24x3) : (4x2)] : (2x)

e) [x3 – (x3 – x2)] : x2 f ) (18x2) : [6 – 3(3x + 2)]

Pág. 8

Productos notables y extracción de factor común

26 Calcula sin hacer la multiplicación y, luego, comprueba multiplicando:

27 Transforma cada expresión en un cuadrado:

28 Extrae factor común en estas sumas:



7

a) (x + 6)2 b) (8 + a)2

c) (3 – x)2 d) (ba – 3)2

e) (x + 4) · (x – 4) f ) (y – a) (y + a)

g) (2x – 3)2 h) (3a – 5b)2

i ) (3x – 5)2 j ) (2x + 1) · (2x – 1)

k) ( – x)2l ) (x2 + y)2

a) x2 + 12x + 36 b) 64 + 16a + a2

c) 9 – 6x + x2 d) (ba)2 – 6ba + 9

e) x2 – 16 f ) y2 – a2

g) 4x2 – 12x + 9 h) 9a2 – 30ab + 25b2

i) 9x2 – 30x + 25 j) 4x2 – 1

k) – x + x2 l) x4 + 2x2y + y243

49

23

a) (x + 3)2 b) (x – 5)2

c) (x + 1)2 d) (x + )2

e) (2x – 1)2 f ) (3x – 2)2

12

a) x2 + 6x + 9 b) x2 – 10x + 25

c) x2 + 2x + 1 d) x2 + x +

e) 4x2 – 4x + 1 f ) 9x2 – 12x + 4

14

a) 5a + 5b – 5c b) 3a – 4ab + 2ac

c) x2 + 2x d) 2x – 4y

e) 3x + 6y + 9 f ) 6x2 – 3x2 + 9x3

29 Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes paradescomponer en factores las siguientes expresiones:

Pág. 9



7

a) 5 (a + b – c ) b) a (3 – 4b + 2c )

c) x (x + 2) d) 2 (x – 2y)

e) 3 (x + 2y + 3) f ) 3x2 (2 – 1 + 3x)

g) 3x (1 – 2x + 3x2) h) x2 (1 – 10x2 + 2x6)

i) 2ab (3a + 2b) j) xy (x – y)

k) 5x2 (3x2 + x + 2) l) 2xy (5x2y – x + 2y3)

g) 3x – 6x2 + 9x3 h) x2 – 10x4 + 2x8

i) 6a2b + 4ab2 j) x2y – y2x

k) 15x4 + 5x3 + 10x2 l) 10x3y2 – 2x2y + 4y4x

a) x 2 + 2xy + y2 b) 4a2b4 – 4ab2 + 1

c) 4x2 – 4x + 1 d) 3x3 – 3x

e) 6x2 – 9x3 f ) 5x2 + 10x + 5

g) 4x2 – 25 h) 16x6 – 64x5 + 64x4

i) 5x4 + 10x3 + 5x2 j) x4 – x2

k) 3x2 – 27 l) 3x3 – 18x2 + 27x

m) x4 – 1 n) x4 – 2x2 + 1

a) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

b) 4a2b4 – 4ab2 + 1 = (2ab2 – 1)2

c) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2

d) 3x3 – 3x = 3x (x2 – 1) = 3x (x + 1) (x – 1)

e) 6x2 – 9x3 = 3x2 (2 – 3x)

f ) 5x2 + 10x + 5 = 5 (x + 1)2

g) 4x2 – 25 = (2x + 5) (2x – 5)

h) 16x6 – 64x5 + 64x4 = 16x4 (x2 – 4x + 4) = 16x4 (x – 2)2

i) 5x2 + 10x + 5 = 5 (x + 1)2

j) x4 – x2 = x2 (x2 – 1) = x2 (x + 1) (x – 1)

5x4 + 10x3 + 5x2 � 5x2(x2 + 2x + 1) � 5x2(x + 1)2

Pág. 10

30 Saca factor común en el numerador y en el denominador y despuéssimplifica:



7

k) 3x2 – 27 = 3 (x2 – 9) = 3 (x + 3) (x – 3)

l) 3x3 – 18x2 + 27x = 3x (x2 – 6x + 9) = 3x (x – 3)2

m) x4 – 1 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)

n) x4 – 2x2 + 1 = (x2 – 1)2 = [(x – 1) (x + 1)]2 = (x – 1)2 (x + 1)2

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)x2y – x3y 2

x2y 2x2 + x

2x3 + 2x2

x3 – x5x2 – 5

a2 + ab + ab2 + ab + b

3x3 – x2

x3 + 2x2x3 + x2

2x3 – 3x2

5x2 + 10xx + 2

4 – 6x6x2 – 9x3

a) = =

b) = = 5x

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = =

g) = =

h) = = 1 – xyy

x2y (1 – xy)x2y2

x2y – x3y 2

x2y 2

12x

x (x + 1)2x2 (x + 1)

x2 + x2x3 + 2x2

x5

x (x2 – 1)5 (x2 – 1)

x3 – x5x2 – 5

ab

a (a + b + 1)b (b + a + 1)

a2 + ab + ab2 + ab + b

3x – 1x + 2

x2 (3x – 1)x2 (x + 2)

3x3 – x2

x3 + 2x2

x + 12x – 3

x2 (x + 1)x2 (2x – 3)

x3 + x2

2x3 – 3x2

5x (x + 2)x + 2

5x2 + 10xx + 2

23x2

2 (2 – 3x)3x2 (2 – 3x)

4 – 6x6x2 – 9x3

31 Descompón en factores los numeradores y los denominadores, tenien-do en cuenta los productos notables, y después simplifica:

Pág. 11



7

a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) 3x2 + 3x + 3x3 + x2 + x

3x4 – 9x2

x2 – 3

2x4 – 2x3

4x4 – 4x2

2x + 14x2 + 4x + 1

2x2 – 8x + 2

x2 – y2

x2 – 2xy + y2

x2 – 4x2 – 4x + 4

x2 + 2x + 1x2 – 1

a) = =

b) = =

c) = =

d) = = = 2 (x – 2)

e) = =

f ) = = = =

g) = = 3x2

h) = = 3x

3 (x2 + x + 1)x (x2 + x + 1)

3x2 + 3x + 3x3 + x2 + x

3x2 (x2 – 3)x2 – 3

3x4 – 9x2

x2 – 3

x2 (x + 1)

x (x – 1)2 (x + 1) (x – 1)

x (x – 1)2 (x2 – 1)

2x3 (x – 1)4x2 (x2 – 1)

2x4 – 2x3

4x4 – 4x2

12x + 1

2x + 1(2x + 1)2

2x + 14x2 + 4x + 1

2 (x + 2) (x – 2)x + 2

2 (x2 – 4)(x + 2)

2x2 – 8x + 2

x + yx – y

(x + y) (x – y)(x – y)2

x2 – y2

x2 – 2xy + y2

x + 2x – 2

(x + 2) (x – 2)(x – 2)2

x2 – 4x2 – 4x + 4

x + 1x – 1

(x + 1)2

(x + 1) (x – 1)x2 + 2x + 1

x2 – 1

Pág. 12

PÁGINA 141


33 Calcula la suma de los 50 primeros números naturales:

34 Completa la tabla siguiente:



7

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50

S = 50 + 49 + 48 + 47 + … + 2 + 1

2S = 51 + 51 + 51 + 51 + … + 51 + 51

2S = 50 · 51 = 2 550 → S = 1275

1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50

SUMANDOS CÁLCULO TOTAL

1 1

2 1 + 2

3 1 + 2 + 3

4 1 + 2 + 3 + 4

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5

… …

10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (10 · 11) : 2 55

50 1 + 2 + 3 + … + 50

n 1 + 2 + 3 + … + n

… …

(50 · 51) : 2 1 275

n(n + 1) : 2 (n2 + n) · 2

(5 · 6) : 2 15

(4 · 5) : 2 10

(3 · 4) : 2 6

(2 · 3) : 2 3

1 1

SUMANDOS CÁLCULO TOTAL

1 1

2 1 + 2

3 1 + 2 + 3

4 1 + 2 + 3 + 4

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5

… …

10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 (10 · 11) : 2 55

50 1 + 2 + 3 + … + 50

n 1 + 2 + 3 + … + n

35 En esta figura formada por tres rectángulos elementales, se pueden apreciar 6 rectángulos de diferentes tamaños.

¿Cuántos rectángulos de diferentes tamañoshay en una figura formada por cuatro rec-tángulos elementales?

¿Y si son cinco los rectángulos elementales? ¿Y si son seis?… ¿Y si son n ?

• Figura con 4 rectángulos elementales:

Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10

Pág. 13



7

ántos rectángulos de diferentes tamañosen una figura formada por cuatro rectán-

l l ?

3 de un módulo

2 de dos módulos

1 de tres módulos

4 rectángulos de 1 módulo

3 rectángulos de 2 módulos


1 rectángulo de 4 módulos

Pág. 14

• Figura con 5 rectángulos elementales:

Total: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

• Figura con n rectángulos elementales:

Tendrá, en total:



7

5 rectángulos de 1 módulo




1 rectángulo de 5 módulos

,n · (n – 1)

2n 2 – n

2 n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 2 + 1 = = rectángulos


Primeras ecuaciones

1 4x – 1 = 7

2 2 – 5x = 12

3 4 – 3x = 4

4 5x + 3 = 3

5 11 = 5 + 4x

6 0 = 21 – 7x

7 13x – 5 – 6x = 9

8 6 – x = 3 – 4x

9 2x – 5 + x = 1 + 3x – 6

3x – 5 = 3x – 5

0 = 0

Cualquier solución es válida.

Pág. 1



8

4x = 8 → x = 2

–5x = 10 → x = –2

–3x = 0 → x = 0

5x = 0 → x = 0

4x = 6 → x = 32

7x = 21 → x = 3

7x = 14 → x = 2

3 = –3x → x = –1

Pág. 2

10 1 – 8x + 5 = 11 – 3x

11 7x + 2x = 2x + 1 + 6x

12 2x + 8 – 9x = 7 + 2x – 2

13 10 – 15x + 2 = 10x + 5 – 11x

14 3 – (1 – 6x) = 2 + 4x

15 3(x – 1) – 4x = 5 – (x + 7)

16 2x – 2(x – 1) + 5 = 4 – 3(x + 1)

17 5(2x – 3) – 8x = 14x – 3(4x + 5)

18 3(x – 2) – 5 (2x – 1) – 2(3x + 4) + 10 = 0



8

6 – 8x = 11 – 3x → 5x = –5 → x = –1

9x = 8x + 1 → x = 1

–7x + 8 = 2x + 5 → 9x = –3 → x = – 13

12 – 15x = 5 – x → 14x = 7 → x = 12

2 + 6x = 2 + 4x → x = 0

3x – 3 – 4x = 5 – x – 7 → –x – 3 = –2 – x → –3 = –2

No tiene solución.

2x – 2x + 2 + 5 = 4 – 3x – 3 → 7 = 1 – 3x → –3x = 6 → x = – = –263

10x – 15 – 8x = 14x – 12x – 15 → 2x = 2x → 0 = 0

Infinitas soluciones.

( ) ( ) ( )

3x – 6 – 10x + 5 – 6x – 8 + 10 = 0 → –13x + 1 = 0 → x = 113

19 5x – 2(3x – 4) = 25 – 3(5x + 1)

20 3(4x – 1) – 2(5x – 3) = 11 – 2x

Ecuaciones de primer grado con denominadores

21

22

23

24

25

26

27

Pág. 3



8

5x – 6x + 8 = 25 – 15x – 3 → –x + 8 = 22 – 15x → 14x = 14 → x = 1

12x – 3 – 10x + 6 = 11 – 2x → 2x + 3 = 11 – 2x → 4x = 8 → x = 2

21 5 – = 3x – 16

10 – x = 6x – 32 → 7x = 42 → x = 6

x2

22 x – = 2x –

3x – x = 6x – 2 → 4x = 2 → x = 12

23

x3

23 – =

3x – x = 8 → 2x = 8 → x = 4

43

x6

x2

24 – =

8x – 5x = 30 → 3x = 30 → x = 10

34

x8

x5

25 x – = –

8x – 4 = 5x – 6 → 3x = –2 → x = – 23

34

5x8

12

26 + – = +

15x + 6 – 5x = 9x + 16 → 10x + 6 = 9x + 16 → x = 10

815

3x10

x6

15

x2

27 – + + = –

4x – 6 + 2x + 3 = 6x – 3 → 6x – 3 = 6x – 3 → 0 = 0 → Infinitas soluciones

14

x2

14

x6

12

x3

Pág. 4

28

29

30

32

33

34

35

36

PÁGINA 160

37



8

28 – + = + 7

15x – 10x + 6x = 4x + 210 → 7x = 210 → x = 30

2x15

x5

x3

x2

29 =

9x – 3 = 10x – 8 → x = 5

5x – 43

3x – 12

30 =

2x – 4 = 5x + 5 → 3x = –9 → x = –3

52x – 4

1x + 1

32 1 + = 3x

2 + x – 1 = 6x → x + 1 = 6x → 5x = 1 → x = 15

x – 12

33 + = 1

2x + x – 2 = 4 → 3x = 6 → x = 2

x – 24

x2

34 1 – = x

3 – x – 2 = 3x → 4x = 1 → x = 14

x + 23

35 – =

3x – x – 2 = 3x → x = –2

x3

x + 29

x3

36 x – = 4

2x – x + 5 = 8 → x = 3

x – 52

37 + = x – 5

3x – 21 + 4x – 4 = 12x – 60 → 7x – 25 = 12x – 60 → 5x = 35 → x = 7

x – 13

x – 74

38

39

40

41

42

43

44

45

Pág. 5



8

38 3 – = x –

30 – 4x = 10x – 15x + 5 → 25 = –x → x = –25

3x – 12

2x5

39 – = 1

3x – 3 – 2x – 2 = 6 → x – 5 = 6 → x = 11

x + 13

x – 12

40 – =

12x – 12 – 10 + 10x = 15x – 15 → 22x – 22 = 15x – 15 → 7x = 7 → x = 1

x – 14

1 – x6

x – 15

41 – =

9x – 6 – 10x + 5 = 5x – 7 → –x – 1 = 5x – 7 → 6x = 6 → x = 1

5x – 715

2x – 13

3x – 25

42 (1 – 2x) + (2x – 1) = (x – 2)

16 (1 – 2x) + 15 (2x – 1) = 7 (x – 2) → 16 – 32x + 30x – 15 = 7x – 14 →

→ 1 – 2x = 7x – 14 → 9x = 15 → x = 159

712

54

43

43 – = x +

20 (x + 1) – 6 + 6x = 30x + 9 → 20x + 20 – 6 + 6x = 30x + 9 →

→ 26x + 14 = 30x + 9 → 4x = 5 → x = 54

310

1 – x5

2(x + 1)3

44 2 (5x – ) = 4x

10x – = 4x → 30x – 2x + 8 = 12x → 16x = –8 → x = – 12

2x – 83

x – 43

45 ( – ) =

( ) = → (1 – x) = → 1 – x = 5 → x = –456

16

56

2 – x – 14

23

56

x + 14

12

23

Pág. 6

46

47

Problemas para resolver con ecuaciones de primer grado

48 Si un número lo multiplico por 4 me da lo mismo que si le sumo 9.¿Cuál es ese número?

■ El número → xEl número por cuatro → 4xEl número más 9 → x + 9

49 Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igualque su triple disminuido en tres unidades.

2x + 1 = 3x – 3

x = 4

50 La suma de dos números es 44 y su diferencia es 8. Calcula dichos nú-meros.

■ El número menorEl número mayor



8

46 – =

12 – 3x = x → 12 = 4x → x = 3

16

12

2x

47 – = + 1

55 – 3x = 15 + 5x → 8x = 40 → x = 5

3x

35

11x

4x = x + 9

3x = 9 → x = 3

= EL NÚMERO + NUEVEEL NÚMERO × CUATRO

� El número menor → xEl número mayor → x + 8

=

x + (x + 8) = 44

2x + 8 = 44 → 2x = 36 → x = 18


44LA SUMA DE AMBOS NÚMEROS

51 La suma de dos números es 352 y su diferencia, 82. ¿Cuáles son esosnúmeros?

52 Un número es triple que otro y la diferencia de ambos es 26. ¿Cuálesson esos números?

53 Si a la quinta parte de un número se le añaden 9 unidades, se obtiene lamitad del número. ¿De qué número se trata?

54 Calcula el número natural que, sumado a su siguiente, da 145.

■

55 La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos núme-ros?

■

Pág. 7



8

x + (x + 82) = 352

2x + 82 = 352 → 2x = 270 → x = 135


3x – x = 26

2x = 26 → x = 13

Un número es 13 y otro es 39.

x + 9 =

2x + 90 = 5x → 3x = 90 → x = 30

x2

15

x + (x + 1) = 145

2x + 1 = 145 → 2x = 144 → x = 72

Un número → xSu siguiente → x + 1

� Tres números consecutivos:

(x – 1) + x + (x + 1) = 144

3x = 144 → x = 48


x – 1xx + 1

Pág. 8

56 Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma esigual al cuádruplo del menor.

57 Juanjo tiene el doble de edad que Raúl y Laura tres años más que Juan-jo. Si la suma de sus edades es 38, ¿cuál es la edad de cada uno?

58 Juan tiene 28 años menos que su padre y 24 años más que su hijo.¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres suman 100 años?

59 Melisa tiene el triple de edad que su hija Marta. Calcula la edad de ca-da una sabiendo que, dentro de 12 años, la edad de Melisa será solamente eldoble que la de Marta.

■

60 Compro 5 bolígrafos y me sobran 2 €. Si hubiera necesitado comprar9 bolígrafos, me habría faltado 1 €. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Cuántodinero llevo?

■



8

(x – 1) + x + (x + 1) = 4 (x – 1)

3x = 4x – 4 → x = 4


Raúl tiene 7 años, Juanjo, 14 años, y Laura, 17 años.

x + 2x + 2x + 3 = 385x = 35 → x = 7

Raúl → xJuanjo → 2xLaura → 2x + 3

Juan tiene 32 años, su padre, 60 años, y su hijo, 8 años.

x + 28 + x + x – 24 = 1003x + 4 = 100 → 3x = 96 → x = 32

Padre → x + 28Juan → xHijo → x – 24

EL DOBLE

�

EDAD HOYEDAD DENTRO

DE 12 AÑOS

MARTA

MELISA

x x + 12

3x 3x + 12

3x + 12 = 2 (x + 12)

3x + 12 = 2x + 24 → x = 12

Marta tiene 12 años, y Melisa, 36.

Bolígrafo → x5 bolígrafos → 5x

9 bolígrafos → 9x

61 Reparte 1000 € entre tres personas de forma que la primera reciba eldoble que la segunda y esta el triple que la tercera.

62 En las rebajas compré tres camisas y dos pantalones por 126 €. Recuer-do que el precio de un pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Puedesayudarme a averiguar el precio de cada cosa?

63 Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50 m y que la base es5 m más larga que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Pág. 9



8

El dinero que tengo es:

5x + 2 = 9x – 1

4x = 3 → x = = 0,75

Un bolígrafo cuesta 0,75 €.

0,75 · 5 + 2 = 5,75

En el bolsillo lleva 5,75 €.

34

5x + 2

9x – 1

10x = 1000 → x = 100

La primera recibirá 600 €, la segunda, 300 €, y la tercera, 100 €.

Tercera → xSegunda → 3xPrimera → 6x

Una camisa vale 18 €, y un pantalón, 36 €.

3x + 2 · 2x = 1263x + 4x = 126 → 7x = 126 → x = 18

Camisa → xPantalón → 2x

La altura mide 10 m, y la base, 15 m.

2x + 2 (x + 5) = 502x + 2x + 10 = 50 → 4x = 40 → x = 10

Altura → xBase → x + 5

Pág. 10

64 Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo queel perímetro mide 50 cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de loslados iguales.

65 Calcular las medidas de los ángulos de un triángulo sabiendo que sontres múltiplos consecutivos de doce.

■

67 Un peatón y un ciclista avanzan por una carretera, el uno hacia el otro,con velocidades de 6 km/h y 24 km/h, respectivamente. ¿Cuánto tardarán enencontrarse si la distancia que les separa es de 8 km?

68 Un camión sale de cierta población, por una autopista, a 80 km/h. Unahora más tarde, sale en su persecución un coche a 120 km/h. ¿Cuánto tarda-rá en alcanzarle?

69 Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a una velocidad de 22 km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda una motocicleta a 55 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance?



8

múltiplos consecutivos de doce.

� Tres múltiplos consecutivos de 12:

12 (x – 1) + 12x + 12 (x + 1) = 180

12x – 12 + 12x + 12x + 12 = 180 → 36x = 180 → x = 5

Los ángulos miden 48°, 60° y 72°.

12 (5 – 1) = 4812 · 5 = 6012 · 6 = 72

12(x – 1)12x12(x + 1)

6x + 24x = 8

30x = 8 → x = = h = 16 minutos415

830

En una hora el camión recorre 80 km.

80x + 80 = 120x → 40x = 80 → x = 2

El coche alcanzará al camión al cabo de 2 horas de su salida.

En 1 h 30 min el ciclista recorre 33 km.

22x + 33 = 55x → 33x = 33 → x = 1

La motocicleta dará alcance al ciclista en una hora.

(x – 7) + x + x = 50

3x – 7 = 50 → 3x = 57 → x = 19

Los lados iguales miden 19 cm, y el desigual, 12 cm.

70 Dos trenes se encuentran respectivamente en las estaciones de dos ciu-dades separadas entre sí 132 km. Ambos parten a la misma hora, por vías pa-ralelas, hacia la ciudad contraria.Si el primero va a 70 km/h y el segundo a 95 km/h, ¿cuánto tardarán en cru-zarse?

71 Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca a0,50 €/litro con otra cantidad de leche de oveja a 0,80 €/litro, obteniendo300 litros de mezcla a un precio de 0,70 €/litro. ¿Cuántos litros de cada cla-se empleó?

72 ¿Qué cantidades de café de 7,20 €/kg se han de mezclar con 8 kg deotra clase superior de 9,3 €/kg para obtener una mezcla que salga a un preciomedio de 8,4 €/kg?

73 Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto depimientos. Si aún le quedan 400 m2 sin cultivar, ¿cuál es la superficie total dela huerta?

■

Pág. 11



8

70x + 95x = 132

165x = 132 → x = h

132 · 60 = 7 920

h = min = 48 min

Se cruzarán en 48 minutos.

7 920165

132165

132165

x · 0,5 + (300 – x) · 0,8 = 300 · 0,7

0,5x + 240 – 0,8x = 210 → –0,3x = –30 → x = 100

Ha mezclado 100 litros de 0,5 €/litro con 200 litros de 0,8 €/litro.

x · 7,2 + 8 · 9,3 = (x + 8) · 8,4

7,2x + 74,4 = 8,4x + 67,2 → 1,2x = 7,2 → x = 6

Hay que mezclar 6 kilos de 7,2 €/kg.

� Superficie total → x

x – x – x = 400

15x – 10x – 3x = 6 000 → 2x = 6 000 → x = 3 000

La huerta tiene 3 000 m2.

15

23

2x/3 → TOMATES

x/5 → PIMIENTOS

400 m2 → RESTO

Pág. 12

PÁGINA 162

Ecuaciones de segundo grado

74 Razona y resuelve:

a) x2 = 121 b) x2 = 80

c) 5x2 = 1000 d) 9x2 = 4

e) x2 – 6 = 30 f ) 9x2 – 16 = 0

g) 3x2 – 115 = 185 h) 50 + 3x2 = 5x2

i) x (x + 5) = 0 j) 5x2 – 7x = 0

k) 4x = 3x2 l) x2 + x = 3x – x2

a) x = �121� = ±11 b) x = �80� = ±4�5�

c) x2 = �1 0

500�; x2 = 200 d) x2 = �

49� → x = ��= ± �

23�

x = �200� = ± 10�2�e) x2 = 36 → x = �36� = ±6 f ) 9x2 = 16 → x2 = �

196�

x = ��196�� = ± �

43�

g) 3x2 = 300 → x2 = 100 h) 50 = 2x2 → x2 = 25 → x = �25� = ±5

x = �100� = ±10

i) x = 0 j) x (5x – 7) = 0 → �x = –5

k) 3x2 – 4x = 0 l) 2x2 – 2x = 0 → x2 – x = 0

x(3x – 4) = 0 → � x(x – 1) = 0 → ��xx

==

01�

75 Resuelve aplicando la fórmula:

x = 0�x = �

43�

x = 0�x = �

75�

4�9



8

a) x = = →

b) x = → No tiene solución5 ± √25 – 482

x = 2/3x = –4/5

–2 ± 2230

–2 ± √4 + 48030

a) 15x2 + 2x – 8 = 0 b) 3x2 – 5x + 4 = 0

c) 2x2 – 5x + 2 = 0 d) 9x2 + 6x + 1 = 0

e) 2x2 – 5x – 7 = 0 f ) 3x2 – 6x + 2 = 0

77 Reduce estas ecuaciones a la forma general y halla sus soluciones apli-cando la fórmula:

Pág. 13



8

c) x = = →

d) x = = → x = – . Solución doble

e) x = = →

f ) x = = →3 ± √52

3 ± √9 – 42

x = 7/2x = –1

5 ± 94

5 ± √25 + 564

13

–618

–6 ± √36 – 3618

x = 2x = 1/2

5 ± 34

5 ± √25 – 164

x =

x = 3 – √52

3 + √52

g y p

a) (3x – 1)2 = 0 b) (x – 5)2 = 0

c) (x – 3) · (x – 8) = 0 d) (2x – 1) (x + 4) = 0

e) (2x – 1)2 = 25 f ) x2 – x + = 0

g) + = x – h) x + = 3 –

i) 3x (x – 2) + 4 = 2x2 – 1 j) 2 – 5x = 5 + 2x (x + 1)

k) 2(x2 – 1) + 3x = 4x2 – x l) =

m) x (5x + ) = 4x (x + 1) + n) + 2 ( – 1) = (x + 3)

a) 9x2 – 6x + 1 = 0

x = = = . Solución doble

b) x2 – 10x + 25 = 0

x = = 5. Solución doble10 ± √100 – 1002

13

618

6 ± √36 – 3618

x6

x3

x2

312

92

x2 – 2x + 12

x2 – 13

1x

12

16

5x3

x2

2

15

910

Pág. 14



8

c) x2 – 11x + 24 = 0

x = = = →

d) 2x2 + 7x – 4 = 0

x = = →

e) 4x2 – 4x + 1 = 25 → 4x2 – 4x – 24 = 0 → x2 – x – 6 = 0

x = = →

f ) 10x2 – 9x + 2 = 0

x = = → x = 1/2x = 2/5

9 ± 120

9 ± √81 – 8020

x = 3x = –2

1 ± 52

1 ± √1 + 242

x = 1/2x = –4

–7 ± 94

–7 ± √49 + 324

x = 8x = 3

11 ± 52

11 ± √252

11 ± √121 – 962

g) 3x2 + 10x = 6x – 1 → 3x2 + 4x + 1 = 0

x = = →

h) 2x2 + x = 6x – 2 → 2x2 – 5x + 2 = 0

x = = →

i) 3x2 – 6x + 4 – 2x2 + 1 = 0 → x2 – 6x + 5 = 0

x = = →

j) 2 – 5x – 5 – 2x2 – 2x = 0 → 2x2 + 7x + 3 = 0

x = = →

k) 2x2 – 2 + 3x – 4x2 + x = 0 → 2x2 – 4x + 2 = 0 → x2 – 2x + 1 = 0

x = = 1. Solución doble2 ± √4 – 42

x = –3x = –1/2

–7 ± 54

–7 ± √49 – 244

x = 5x = 1

6 ± 42

6 ± √36 – 202

x = 2x = 1/2

5 ± 34

5 ± √25 – 164

x = –1/3x = –1

–4 ± 26

–4 ± √16 – 126

Problemas para resolver con ecuaciones de segundo grado

78 La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265. ¿De quénúmeros estamos hablando?

79 Calcula dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 1260.

Pág. 15



8

l) 2x2 – 2 = 3x2 – 6x + 3 → x2 – 6x + 5 = 0

x = = →

m) 5x2 + = 4x2 + 4x + → 10x2 + 9x – 8x2 – 8x – 1 = 0 → 2x2 + x – 1 = 0

x = = →

n) + – 2 – – = 0 → 2x2 + 4x – 12 – x2 – 3x = 0 → x2 + x – 12 = 0

x = = → x = 3x = –4

–1 ± 72

–1 ± √1 + 482

x2

x2

62x3

x2

3

x = –1x = 1/2

–1 ± 34

–1 ± √1 + 84

12

9x2

x = 5x = 1

6 ± 42

6 ± √36 – 202

2x2 + 2x – 264 = 0

x2 + x – 132 = 0

x = = = →

Los números son 11 y 12 ó –12 y –11.

x = 11x = –12

–1 ± 232

–1 ± √5292

–1 ± √1 + 5282

x2 + (x + 1)2 = 265

x2 + x2 + 2x + 1 – 265 = 0

y p

x (x + 1) = 1260

x2 + x – 1260 = 0

x = = →

Los números son 35 y 36 ó –36 y –35.

x = 35x = –36

–1 ± 712

–1 ± √1 + 5 0402

Pág. 16

80 Si a un número aumentado en tres unidades se le multiplica por esemismo número disminuido en otras tres, se obtiene 91. ¿De qué número setrata?

PÁGINA 163

82 El perímetro de un rectángulo mide 50 cm y el área 150 cm2. Calculalas dimensiones del rectángulo.

83 Calcula la longitud de la base de un triángulo sabiendo que:• La base mide tres centímetros menos que la altura.• La superficie del triángulo es igual a 35 cm2.



8

(x + 3) · (x – 3) = 91

x2 – 9 – 91 = 0 → x2 – 100 = 0 → x = ± → x = ±10

Hay dos soluciones: 10 y –10

√100

x

25 – x

Si un lado del rectángulo mide x, el otro mide = 25 – x.

Área = 150 cm2 → x (25 – x) = 150

25x – x2 = 150 → x2 – 25x + 150 = 0

x = = →

Los lados del rectángulo miden 10 cm y 15 cm.

x = 15 → (25 – x = 10)x = 10 → (25 – x = 15)

25 ± 52

25 ± √625 – 6002

50 – 2x2

= 35

x2 – 3x – 70 = 0

x = = →

La altura del triángulo mide 10 cm, y la base, 7 cm.

x = 10x = –7 → Solución no válida

3 ± 172

3 ± √9 + 2802

x (x – 3)2

x – 3

x

84 Al aumentar en dos centímetros el lado de un cua-drado, el área ha aumentado 24 cm2. ¿Cuál era el lado delcuadrado?

85 Para cercar una parcela rectangular de 1000 m2 de superficie se han ne-cesitado 140 m de alambrada. ¿Cuáles son sus dimensiones?


86 Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la prime-ra, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas.

¿Cuánto tarda en llenarse si se abre solo la segunda boca?

■

Pág. 17



8

2

2

x

x x2

(x + 2)2 = x2 + 24

x2 + 4x + 4 – x2 – 24 = 0 → 4x – 20 = 0 → x = 5

El lado del cuadrado mide 5 cm.

El perímetro de la parcela es de 140 m.

Si un lado mide x, el otro medirá = 70 – x .

x (70 – x) = 1000

70x – x2 – 1000 = 0 → x2 – 70x + 1000 = 0

x = = →

Las dimensiones de la parcela son 50 m y 20 m.

x = 50 → (70 – x = 20)x = 20 → (70 – x = 50)

70 ± 302

70 ± √4 900 – 4 0002

140 – 2x2

� PRIMERA BOCA → Tarda 8 horas → En una hora llena de depósito.

SEGUNDA BOCA → Tarda x horas → En una hora llena de depósito.

LAS DOS JUNTAS → Tardan 3 horas → En una hora llenan de depósito.

+ =

+ = → 3x + 24 = 8x → 5x = 24 → x =

h = (4 + ) h = 4 h 48 min45

245

245

13

1x

18

PARTE DEL ESTANQUE QUE

LLENAN ENTRE AMBAS

EN UNA HORA


LLENA LA SEGUNDA BOCA

EN UNA HORA


LLENA LA PRIMERA BOCA

EN UNA HORA

13

1x

18

Pág. 18

87 Un depósito dispone de dos grifos, A y B. Abriendo solamente A, el depósitose llena en 3 horas. Abriendo ambos se llena en 2 horas.¿Cuánto tardará en llenarse eldepósito si se abre solamente el grifo B?



8

El grifo A en 1 hora llena del estanque.

El grifo B en 1 hora llena del estanque.

Entre los grifos A y B llenan, en 1 hora, del estanque.

+ = → 2x + 6 = 3x → x = 6

El grifo B llena el estanque en 6 horas.

12

1x

13

12

1x

13


Semejanza de figuras

1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliadoal triple de su tamaño:

2 En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos, P y Q, es11 cm. ¿Cuál es la distancia real entre P y Q? La distancia real entre otros dospueblos, M y N, es 18 km.

¿A qué distancia estarán en el mapa?

• Distancia real entre P y Q:

11 · 50 000 cm = 550 000 = 5,5 km

• Distancia en el mapa entre M y N:

(18 km = 1 800 000 cm)

1 800 000 : 50 000 = 36 cm

Pág. 1


Unidad 9. Semejanza

9

Pág. 2

3 Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1:50 tiene las siguientesmedidas:

largo: 32 cm, ancho: 24 cm, alto: 8 cm

Halla las dimensiones reales del aparato.

Largo → 32 · 50 = 1 600 cm = 16 m

Ancho → 24 · 50 = 1 200 cm = 12 m

Alto → 8 · 50 = 400 cm = 4 m

4 Mide sobre el plano —AB, —BC y —AC.

Averigua cuáles son las verdaderas distancias entre esos tres pueblos.

5 Sabiendo que la distancia real entre A y B (en línea recta) es 6,4 km, ha-lla la escala y las distancias reales —BC , —CD y —AD.


Unidad 9. Semejanza

9

AB— 4 cm

4,5 cmBC—

1,7 cmAC—

DISTANCIA EN EL PLANO

× 400 000→

× 400 000→

× 400 000→ 16 km

18 km

6,8 km

DISTANCIA REAL

ESCALA 1:400 000

=

Escala → 1:320 000

1320 000

2640 000

—AB en el planto = 2 cm

6,4 km = 640 000 cm

6 La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 220 km.En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. ¿Cuál es la escala delmapa?

7 Cecilia es la chica de la derecha y mide 161 cm.

Calcula las estaturas de los otros tres.

Midiendo sobre la fotografía la estatura de los cuatro jóvenes (de los pies a lacabeza), obtenemos, de izquierda a derecha:

4,2 cm 4 cm 4,4 cm 3,6 cm

Conocemos la estatura real de Cecilia, 161 cm.

Por tanto:

�136,61

ccmm

� = 44,72 es la razón de semejanza

La estatura real de los otros tres es, aproximadamente:

4,2 · 44,72 = 187,8 cm

4 · 44,72 = 178,8 cm

4,4 · 44,72 = 196,7 cm

Pág. 3


Unidad 9. Semejanza

9

AB— 2,5 cm

3,5 cmCD—

6,4 cmAD—

DISTANCIA EN EL PLANO

00 000→→→ 8 km

11,2 km

20,48 km

DISTANCIA REAL

= = 2 000 000

La escala es 1 :2 000 000.

22 000 00011

220 km11 cm

× 320 000

× 320 000× 320 000

Pág. 4

8 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm × 20 cm. El lado menorde otro rectángulo semejante a él, mide 6 cm. Halla:

a) La razón de semejanza para pasar del primero al segundo.

b) El lado mayor del segundo.

c) Las áreas de ambos rectángulos.

a) = �68

ccmm� = 0,75

b) 20 · 0,75 = 15 cm

c) Área del primero = 8 cm · 20 cm = 160 cm2

Área del segundo = 6 cm · 15 cm = 90 cm2

9 Nos aseguran que estos dos triángulos son semejantes:

Halla los lados y los ángulos que les faltan a cada uno de ellos.

10 Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se construye otrosemejante a él cuyo lado menor mide 15 cm.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?

b) Halla los otros dos lados del segundo triángulo.

c) El primer triángulo es rectángulo. ¿Podemos asegurar que el segundo tam-bién lo será?


Unidad 9. Semejanza

9

8 cm

A B

C

5 cm24°

A' C'

B'

5 cm

10 cm

125°

—AC =

—A'C' = 0,8

—BC =

—B'C' · 0,8 = 5 · 0,8 = 4 cm

—AB =

—A'B' · 0,8 → 5 =

—A'B' · 0,8 →

—A'B' = = 6,25 cm5

0,8

= = 0,8810

—AC—

A'C'

^A' =

^A = 24°

^B =

^B' = 125°

^C = 180° – (24° + 125°) = 31° =

^C

a) = �135ccmm

� = 5

Razón de semejanza = 5

b) 4 · 5 = 20 cm

5 · 5 = 25 cm

c) Dos triángulos semejantes tienen los ángulos respectivamente iguales. Portanto, si uno es rectángulo, también lo es el otro.

PÁGINA 181

TEOREMA DE TALES

11 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

¿Qué teorema estás aplicando?

Aplicando el Teorema de Tales:

12 Observa cómo se parte un segmento AB en tres partes iguales:

Por uno de sus extremos se traza una recta r, cualquiera. Sobre ella, se to-man tres segmentos iguales. Se unen A y N. Por Q y P se trazan parale-las a AN. Se obtienen así los puntos señalados con flechas, con los que separte el segmento AB en tres trozos iguales. Traza un segmento AB de 7 cm y pártelo en cinco trozos iguales.

Pág. 5


Unidad 9. Semejanza

9

2 cm

a

bcx

7 cm

5 cm

= → x = = 2,8 cm145

75

x2

A

N

Q

P

rB

7 cmA B

M

Pág. 6

13 Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta lasmedidas que se dan en el dibujo, ¿podemos asegurar que c es paralela a lasrectas a y b ? ¿En qué te basas?

Las medidas en cada una de las rectas negras son proporcionales: �11,5� = �

23�

Por tanto, la recta c es paralela a las rectas a y b.

14 Los triángulos formados por una farola, un postevertical y su sombra están en posición de Tales. Justifí-calo.

Tienen un ángulo igual, el recto, y los lados opuestos aeste ángulo, las hipotenusas, son paralelos.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

15 Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un án-gulo agudo igual. Entre estos triángulos, hay algunos semejantes entre sí.Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada unode ellos:


Unidad 9. Semejanza

9

qué te basas?

a b c

1,5 cm

3 cm

1 cm

2 cm

49°

27°

63°

45°41°

1

2 3

4 56

Si dos triángulos son rectángulos y, además, tienen un ángulo agudo igual, en-tonces tienen tres ángulos iguales. Por tanto, son semejantes.

� 180° – 90° – 27° = 63°. El ángulo desconocido mide 63°.



� La hipotenusa es la diagonal de un cuadrado. Sus ángulos agudos miden45° cada uno.



� es semejante a �, pues sus dos ángulos agudos miden 27° y 63°.

� es semejante a �, pues sus dos ángulos agudos miden 41° y 49°.

� es semejante a �, pues sus dos ángulos miden, ambos, 45°.

16 Explica por qué estos dos triángulos isóscelesson semejantes partiéndolos en triángulosrectángulos.

Si dividimos cada triángulo isósceles, por elángulo que conocemos, en dos triángulos rec-

tángulos, los cuatro triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos agudosiguales, el de 20°.

17 El triángulo grande ABC y el pequeño, rojo, son rectángulos. Explicapor qué son semejantes.

Puesto que son semejantes, los situamos en posición de Tales para que seaprecie cuáles son los lados correspondientes en la semejanza.

Pág. 7


Unidad 9. Semejanza

9

40°

40°

1

1 1 1

15

1515

15

20

25

25

20

A

B

C

y

y

x

x

j p

a) b)

c)

Pág. 8

Halla los lados x e y del triángulo verde.

PÁGINA 182

18 Procediendo como en el ejercicio anterior, calcula los lados y, z deltriángulo verde.

La hipotenusa del triángulo ABC es AC. Si los dos triángulos son semejantes:

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES

19 Haz en tu cuaderno un pentágono irregular. Amplíalo al doble de su ta-maño:a) Proyectándolo desde un punto exterior.b) Proyectándolo desde un punto interior.c) Proyectándolo desde uno de sus vértices.Construcción libre. Por ejemplo:


Unidad 9. Semejanza

9

= → x = = 9

= → y = = 1215 · 2025

1525

y20

15 · 1525

1525

x15

15 20

25A

B

C

y y

zz

22

= =

= → y = = 12 cm

= → z = = 16 cm20 · 2025

2025

z20

15 · 2025

2025

y15

2025

z20

y15

20 Para construir un pentágono regular de 2 cmde lado, copiamos un pentágono regular cualquiera(figura roja), alargamos dos de sus lados consecutivoshasta 2 cm y completamos una figura semejante a laroja con los lados paralelos.

Calca en tu cuaderno el pentágono rojo y, procedien-do como arriba, dibuja un pentágono regular de 3 cm de lado.

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

21 El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gatoreflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y midela altura de sus ojos: 144 cm. ¿A qué altura se encuentra el gato?

Los triángulos formados por Leticia y el charco y el poste con el charco, sonrectángulos. Además, los ángulos que forman con el charco son iguales. Luego,los dos triángulos son semejantes.

El gato se encuentra a 3,6 m de altura.

Pág. 9


Unidad 9. Semejanza

9

2 cm2 cm

= x = = 3,6 m mide el poste4 · 1,441,6

x4

1,441,6

Pág. 10

22 Un gran pino, a las once de la mañana de un cierto día, arroja una som-bra de 6,5 m. Próximo a él, una caseta de 2,8 m de altura proyecta una sombrade 70 cm. ¿Cuál es la altura del pino?

23 Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de lafarola.

La farola mide 2,7 m.

24 ¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Ten-lo en cuenta para hallar la altura de la torre de la iglesia.

El triángulo que se ve es isósceles rectángulo: tiene un ángulo recto y dos ángu-los de 45°. Los lados iguales son la base y la altura de la torre.

La altura de la torre es 37 m.


Unidad 9. Semejanza

9

= → x = = 26 m

El pino mide 26 m.

6,5 · 2,80,70

2,80,70

x6,5

= → x = = 270 cm162 · 250150

150250

162x

25 Halla la altura del árbol grande:

El árbol grande mide 44,2 m + 1,6 m = 45,8 m

PÁGINA 183

26 Halla la altura del edificio sabiendo que:

• La mesa tiene 1 m de altura.

Pág. 11


Unidad 9. Semejanza

9

15,6 m

1,6 m1,6 m 1,6 m

12 m 22 m

x

= → = → x = = 44,2 m34 · 15,612

1234

15,6x

1212 + 22

15,6x

• —

AB = 80 cm.

• —

BC = 52 cm.

Pág. 12


27


Unidad 9. Semejanza

9

= → x = = 15,6 m

La altura del edificio es de 15,6 + 1 = 16,6 m.

24 · 0,520,8

0,824

0,52x

1 m

A

C

B

1 m

24 m

0,52 m0,8 m

x

Desde los extremos A y B de la recta delos 100 m de una pista de atletismo, se vela torre de una iglesia.

Medimos los ángulos ∧A = 31° y

∧B = 112°.

Dibuja en tu cuaderno un triángulo seme-jante, A'B'C', con

—A'B' = 5 cm.

Midiendo —

A'C', calcula la distancia real,—AC.

Midiendo se obtiene —

A'C' = 7,8 cm

Por tanto:

Pág. 13


Unidad 9. Semejanza

9

C'

B'A'5 cm

o:

= → —AC = = 156 m7,8

0,050,078 m

—AC

0,05 m100 m


Tipos de poliedros

1 Di, justificadamente, qué tipo de poliedro es cada uno de los siguientes:

¿Hay entre ellos algún poliedro regular?

A → Prisma pentagonal recto. Su base es un pentágono.B → Pirámide pentagonal. Su base es un pentágono.C → Cubo. Sus caras son cuadrados.D → Paralelepípedo. Sus caras son paralelogramos.E → Tronco de pirámide regular. Sus bases son cuadrados.

Solo es poliedro regular el cubo.

2 ¿Una pirámide pentagonal regular es un poliedro regular? Explica porqué.

No, porque no todas sus caras son polígonos regulares iguales.

3 Esta figura está formada por seis rombos idénticos.

Aunque sus caras son iguales y concurren tres de ellas en cada vértice, no esun poliedro regular. Explica por qué.

No es poliedro regular, porque sus caras no son polígonos regulares.

Pág. 1


Unidad 10. Geometría del espacio

10

AB

C

DE

Pág. 2

4 Alguno de los siguientes poliedros no es catalogable entre los que ya co-nocemos. Señálalo y cataloga los demás.

A es una pirámide de base triangular y B es un prisma de base triangular.

C no es un prisma, porque las bases no son paralelas.

5 Este poliedro está formado por seis triángulos equilá-teros iguales. Sin embargo, no es un poliedro regular.Explica por qué.

No es poliedro regular, porque en todos sus vértices noconcurre el mismo número de caras: en unos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro caras.

Desarrollo con poliedros

6 ¿Con cuáles de los siguientes desarrollos se puede completar un poliedro?

Contesta razonadamente.



10

A B C

A B

CD

E FI

F

H

E FD

G

C

b)

a)

A → Es un ortoedro.

B → Es un prisma cuadrangular.

C → No se puede construir un poliedro, pues la altura del poliedro no tiene lamisma longitud que el lado lateral del rectángulo de la izquierda.

D → Es una pirámide cuadrangular regular.

E → Las caras laterales no pueden cerrarse.No se puede construir un poliedro.

F → Las caras laterales no pueden cerrarse.No se puede construir un poliedro.

G → Es una pirámide cuadrangular con base rectangular.

H → Las dos caras laterales extremas son de distinto tamaño y deberían coin-cidir.No se puede construir un poliedro.

I → Sí se puede construir un poliedro. Es una pirámide cuadrangular incli-nada.

7 Dibuja el desarrollo de:

a) Un tetraedro regular de 3 cm de aris-ta.

b) Un cubo de 3 cm de arista.c) Un octaedro de 2 cm de arista.

Pág. 3



10

a)

b)

Pág. 4

8 Dibuja el desarrollo de una pirámide hexagonal regular cuyas aristas la-terales midan 6 cm y las de la base 4 cm.

NOTA: El dibujo está reducido al 65%.

PÁGINA 201

Áreas sencillas

Halla el área total de los siguientes cuerpos geométricos:

10



10

c)

3 dm3 dm

6 dm

3 dm

ba

6 dm

2,1 dm

11

12

Pág. 5



10

a) A = 32 + 4 ( ) = 9 + 36 = 45 dm2

b) A = 2 · + 5(6 · 3) = 31,5 + 90 = 121,5 dm23 · 5 · 2,12

6 · 32

ba

11 cm

4 cm

10 cm 8 cm

a) A = 102 + 42 + 4 ( · 11) = 100 + 16 + 308 = 424 cm2

b) A = 6 · 82 = 384 cm2

10 + 42

ba1 m

87 cm

2,1 cm

3 cm

a) A = 12 ( ) = 189 cm2

b) • Cálculo de la altura de una cara lateral:

x = = = 49,3 cm

2x = 98,6

• Atotal = 8 · = 34 312,8 cm2 = 3,43128 m298,6 · 872

√2 431√1002 – 872

3 · 5 · 2,12

100 cm

87 c

m

x

Pág. 6

Áreas con cálculos intermedios

13 Halla el área total de una pirámide hexagonal regularcon aristas laterales de 13 cm y aristas de la base de 10 cm.

14 Halla el área de un tetraedro regular de 10 cm dearista.

15 Halla el área total de un prisma recto de 15 cm de altura cuya base sonrombos de diagonales 16 cm y 12 cm.



10

10 cm

13 c

m

• Cálculo de la altura de una cara lateral:

h = = = 12 cm

• Cálculo de la apotema de la base:

a = = = 8,66 cm

• Abase = = 259,8 cm2

• Alat = 6 ( ) = 360 cm2

• Atotal = 259,8 + 360 = 619,8 cm2

10 · 122

(10 · 6) · 8,662

√75√102 – 52

√144√132 – 52

5 cm

13 cmh

5

10a

10 cm

g

• Altura de una cara:

h = = = 8,66 cm

• A = 4 ( ) = 173,2 cm210 · 8,662

√75√102 – 52

10 cm

5 cm

h

• Arombo = = = 96 cm216 · 122

D · d2

16 La base de una pirámide regular es un cuadrado de6 dm de lado. Su altura es de 4 dm. Hallar su área total.

17 Las bases de un tronco de pirámide regular son cua-drados de 10 cm y 20 cm de lado, respectivamente. Lasaristas laterales son de 13 cm. Halla su área total.

Pág. 7



10

• Cálculo del lado del rombo:

a = = = 10 cm

• Alat = 4 (10 · 15) = 600 cm2

• Atotal = 2 · 96 + 600 = 192 + 600 = 792 cm2

√100√62 + 82 6 cm8 cm

a

6 dm

4 dm


h = = = 5 dm√25√42 + 32

4 dm

3 dm

h

• Abase = 36 dm2

Alat = 4 ( ) = 60 dm2

• Atotal = 36 + 60 = 96 dm2

6 · 52

10 cm

20 cm

13 c

m


h = = = 12 cm

• Abases = 400 cm2 + 100 cm2 = 500 cm2

• Alateral = 4 ( · 12) = 720 cm2

• Atotal = 500 + 720 = 1220 cm2

20 + 102

√144√132 – 52

10 cm

20 cm

13 cm

5 cm

h

Pág. 8

18 La base de esta pirámide regular es un hexágono de 10 cm de lado.

Su altura es 24 cm. Se corta por un plano que pasa a 18 cm de la base. Hallael área total del tronco de pirámide que resulta.



10

• Apotema de la base mayor:

a = = = 8,66 cm

• Apotema de la base menor:

= → x = = 2,165 cm6 · 8,6624

6x

248,66

√75√102 – 52a

5 cm

10 cm

6 cm

24 cm

x

8,66 cm

• Altura de la cara lateral:

h = = =

= = 19,13 cm

• Lado de la base menor:

= → l = = 2,5 cm

• Alat = 6 · ( · 19,13) = 717,375 cm2

Abases = + = 16,238 + 259,8 = 276,038 cm2

• Atotal = 993,413 cm2

(6 · 10) · 8,662

(6 · 2,5) · 2,1652

10 + 2,52

6024

6l

2410

√366,185

√324 + 42,185√182 + (6,495)2

18 cm 18

8,66 cm6,495 cm

2,165 cm

h

6 cm

24 cm

l

10 cm

18 cm

10 cm

Pág. 9



10

PÁGINA 202

Problemas geométricos

19 Contesta a las siguientes preguntas:

a) Calcula el área total de un cubo de arista 4 cm.

b) Si lo partimos por la mitad como se indica en I, ¿cuál es el área de cada mitad?

c) Si lo partimos por la mitad como se indica en II, ¿cuál es el área de cadamitad?

20 Calcula el área total de un ortoedro de dimensiones 3 cm, 4 cm y 12 cm. Halla la longitud de su diagonal.

21 Halla el área total de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mi-de 4 cm y las aristas de la base, 2 cm.

I II

a) A = 6 · 42 = 96 cm2

b) A1 = + 4 · d, donde d es la diagonal de una de sus caras.

d = = 5,66; A1 = 48 + 4 · 5,66 = 70,64 cm2

c) A2 = + 42 = 64 cm2962

√42 + 42

962

Área total = 2(3 · 4 + 3 · 12 + 4 · 12) = 192 cm2

Diagonal = = 13 cm√32 + 42 + 122

• Cálculo de la apotema de la base:

a = = 1,73 cm

• Área de la base = = 10,38 cm2

• Área total = 6 · 2 · 4 + 2 · 10,38 = 68,76 cm2

(2 · 6) · 1,732

√22 – 12

2 cm

1 cm

a

Pág. 10

22 Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyas aristasmiden: 10 dm las de la base y 13 dm las laterales.

23 ¿Cuál es la superficie lateral de un prisma recto en el que tanto el perí-metro de la base como la altura es de 12 cm?

24 ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de medidas 0,6 m × 0,5 m × 0,4 msi la madera cuesta a razón de 18 €/m2?

25 ¿Cuál es la suma de las longitudes de todas las aristas del cajón descritoen el ejercicio anterior (0,6 m × 0,5 m × 0,4 m)?

26 Deseamos construir con alambres el esqueleto de todos los poliedros re-gulares, de modo que cada una de las aristas midan 1 dm. ¿Qué cantidad dealambre utilizaremos en cada uno de ellos?



10

a = = 12 dm

Área de cada cara = = 60 dm2

Alat = 4 · 60 = 240 dm2

Atotal = 240 + 102 = 340 dm2

10 · 122

√132 – 52

10 dm

13 dm 13 dma

5 dm

Alat = 12 · 12 = 144 cm2

A = 2(0,6 · 0,5 + 0,6 · 0,4 + 0,5 · 0,4) = 2(0,3 + 0,24 + 0,2) = 1,48 m2

Precio = 1,48 · 18 = 26,64 €

L = 4 · 0,6 + 4 · 0,5 + 4 · 0,4 = 4(0,6 + 0,5 + 0,4) = 4(1,5) = 6 m

0,6 m

0,4 m

0,5 m

NO DE ARISTAS

LONGITUD TOTAL

6

6 dm 12 dm 12 dm 30 dm 30 dm

12 12 30 30

400

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Pág. 11



10

Alat = 5 · = 26,25 m22,5 · 4,22

• Cálculo de la altura:

A = 2(9 · 6 + 9 · h + 6 · h ) = 228 dm2

108 + 30h = 228 → 30h = 120 → h = 4 dm

La altura de la caja es de 4 dm.

• Cálculo de la diagonal:

d = = = 11,53 dm√133√42 + 62 + 92

A = 6a2 = 150 → a2 = 25

d = = = 8,66 dm√75√3a2

• Área de las paredes: x = = 1,32 m

Área de cada fachada: + 2 · 3 = 7,98 m2

Área de cada pared lateral: 12 · 2 = 24 m2

Área de todas las paredes: 2 · 7,98 + 2 · 24 = 63,96 m2

3 · 1,322

√22 – 1,52

12 m

2 m

3 m

2 m

2 mx

1,5 m

27 Una pirámide regular tiene por base un pentágono regular de 2,5 m. Laapotema de la pirámide mide 4,2 m. ¿Cuál es su superficie lateral?

28 Una caja en forma de ortoedro tiene 9 dm de larga y 6 dm de ancha. Susuperficie total es 228 dm2. Halla su altura y su diagonal.

29 El área total de un cubo es 150 dm2. Halla su diagonal.

30 Averigua cuánto cuesta la reparación de esta casa sabiendo que hay que:

• Encalar las cuatro paredes, por dentro y por fuera, a 2 €/m2.• Reparar el tejado, a 4,5 €/m2.• Poner el suelo, a 22 €/m2.

3 m

12 m

2 m

2 m

Pág. 12



10

• Precio por encalar las cuatro paredes por dentro y por fuera:

(2 · 63,96) · 2 = 255,84 €

• Área del tejado: A = 2(2 · 12) = 48 m2

• Precio por repasar el tejado: 48 · 4,5 = 216 €

• Área del suelo: A = 3 · 12 = 36 m2

• Precio por poner el suelo: 36 · 22 = 792 €

• Total coste de la reparación: 255,84 + 216 + 792 = 1263,84 €

h = = = 4,9

Atrapecio = = 14,7 cm2(4 + 2) · 4,92

√24√52 – 12

4 cm

h

2 cm

1 cm

5 cm

31 Dibuja el desarrollo de un tronco de pirámide cuadrada, regular, cuyasaristas midan: las de la base mayor 4 cm, las de la base menor, 2 cm, y las late-rales, 5 cm.

Halla su área total. (Las caras laterales son trapecios. Comprueba que su altu-ra es 4,9 cm).

h = = = 4,9

Atrapecio = = 14,7 cm2

Atotal = 4(14,7) + 42 + 22 = 58,8 + 16 + 4 = 78,8 cm2

(4 + 2) · 4,92

√24√52 – 12

32 ¿Hay algún poliedro regular que sea prisma? ¿Hay algún poliedro regu-lar que sea pirámide?

El hexaedro o cubo es un prisma y es un poliedro regular.

El tetraedro es un poliedro regular y es una pirámide triangular regular.

33 Halla el área total de un octaedro en el que la distancia entre los vérti-ces no contiguos es de 20 cm.

� Observa que la arista del octaedro es el lado de un cuadrado cuya diagonalmide 20 cm.

PÁGINA 203

Problemas de estrategia

34 Apilamos 27 cubitos de 1 cm3 formando un cubo de 3 × 3 × 3. Pintamos de rojo las seis caras de este cubogrande.

A continuación lo descomponemos de nuevo en los 27cubitos. ¿Cuántos de estos no tienen ninguna cara pin-tada? ¿Y una cara pintada? ¿Y dos? ¿Y tres? ¿Hay algunocon más de tres caras pintadas?

Si seguimos el mismo proceso con 64 cubitos di, el nú-mero de cubitos que tienen 0, 1, 2, 3, … caras pinta-das.

Pág. 13



10

202 = a2 + a2 → 400 = 2a2 →

→ a2 = 200 → a = 14,14 cm20

cm

a

a

El octaedro está formado por 8 triángulos equiláteros de lado 14,14 cm.

• Cálculo de la altura de un triángulo:

h = = 12,2 cm

• Área del octaedro:

A = 8 ( ) = 690,032 cm214,14 · 12,22

√14,142 – 7,072

h

14,14 cm

14,1

4 cm

7,07 cm

h

20 cm

Pág. 14

• Con 27 cubitos:

Solo queda un cubito con ninguna cara pintada.

Los cubitos que están en los vértices del cubo grande, tienen tres caras pintadas.

Los cubitos que están en las aristas del cubogrande (excepto los que están en los vértices), tie-nen dos caras pintadas (uno por cada arista).

El resto de los cubitos, excepto el que está en el interior y no se ve, tiene unacara pintada (uno por cada cara).

Por tanto:Cubitos con ninguna cara pintada → 1Cubitos con 1 cara pintada → 6Cubitos con 2 caras pintadas → 12Cubitos con 3 caras pintadas → 8

• Con 64 cubitos:

En el interior queda un cubo de 2 × 2 × 2 cubitos sin ninguna cara pintada.

Por tanto:Cubitos con ninguna cara pintada → 8Cubitos con 1 cara pintada (4 por cada cara) → 24Cubitos con 2 caras pintadas (2 por cada arista) → 24Cubitos con 3 caras pintadas (1 por cada vértice) → 8

35

a) De los 8 cubitos que están apilados en 1 , ¿cuántos no se ven desde esta pos-tura?

b) ¿Cuántos no se ven en 2 ?c) ¿Cuántos no se ven en un cubo formado por 4 × 4 × 4 situado de la misma

forma?d) ¿Cuántos no se ven en un gran cubo de 10 × 10 × 10 mirado desde una es-

quina?

a) Solo un cubito no se ve.b) Se ven 19. No se ven 8.c) No se ven 27 cubitos.d) No se ven 9 × 9 × 9 = 729 cubitos.



10

21

36 Una configuración formada por varios cubos unidos por suscaras se llama policubo. Un policubo de 4 cubos podría lla-marse tetracubo. Estos dos tetracubos, por ejemplo,son el mismo.

Este tetracubo es diferente.

¿Cuántos tetracubos distintos hay?

37 a) En un cubo, en un tetraedro y en un octaedro es fácil contar el número dearistas y el número de vértices. Hazlo.

b) Calcula cuántas aristas y cuántos vértices tiene el icosaedro.

Pág. 15



10

APLICA ESTA ESTRATEGIA

Para contar el número de aristas de un dodecae-dro razonamos así:• Cada cara tiene 5 aristas y hay 12 caras.

5 × 12 = 60• Pero cada dos caras tienen una arista común.

Por tanto, el número de aristas es 60 : 2 = 30.

Para contar el número de vértices del dodecae-dro razonamos así:• Cada cara tiene 5 vértices, 5 × 12 = 60.• Pero cada tres caras comparten un mismo

vértice, 60 : 3 = 20.El número de vértices es 20.

Pág. 16

c) Completa la siguiente tabla:

Comprueba que en los cinco poliedros regulares se cumple la relación:

CARAS + VÉRTICES – ARISATAS = 2 (*)

d) Cuenta el número de CARAS, de ARISTAS y de VÉRTICES que tienen una pirá-mide cuadrangular y un prisma pentagonal.

Comprueba que también se cumple para ellos la fórmula (*). Realmenteesa fórmula se cumple para cualquier poliedro.

b) • Número de aristas:

Cada cara tiene 3 aristas y hay 20 caras → 3 · 20 = 60

Pero cada dos caras tienen una arista común. Por tanto, el número de aris-tas es:

60 : 2 = 30

• Número de vértices:

Cada cara tiene 3 vértices → 3 · 20 = 60

Pero cada 5 caras comparten un mismo vértice: 60 : 5 = 12

El número de vértices es 12.

c)

d) • Pirámide cuadrangular:

5 caras, 5 vértices y 8 aristas → C + V = A + 2

• Prisma pentagonal:

7 caras, 10 vértices y 15 aristas → C + V = A + 2



10

CARAS 4

ARISTAS

VÉRTICES

6 8 12 20

CARAS 4

ARISTAS

VÉRTICES

C + V = A

6 8 12 20

6 12 12 30 30

4 8 6 20 12

2 2 2 2 2

C + V = A + 2


Cuerpos de revolución

1 ¿Cuáles de las siguientes figuras son cuerpos de revolución? ¿De cuálesconoces el nombre?

Todos son cuerpos de revolución, excepto el e), si consideramos el asa, y el i) que tiene sus caras planas (como base tiene un octógono).

c) cilindro

f ) se llama toro

g) esfera

Pág. 1


Unidad 11. Cuerpos de revolución

11

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

Pág. 2

2 Al girar cada una de las siguientes figuras en torno al eje que se indica,se genera una figura de las del ejercicio anterior. Identifícala.

3 Dibuja la figura y el eje alrededor del que ha de girar para engendrar lalámpara y el sombrero del ejercicio 1.

4 Dibuja el cuerpo de revolución que se engendra en cada uno de los si-guientes casos:



11

a) b)

c) d)

Bote

Pelota

Rosquilla

Champiñón

Bolo

DESARROLLOS

5 ¿Cuáles de los siguientes desarrollos corresponden a cuerpos de revolu-ción? Dibújalos.

El resto de las figuras no corresponden al desarrollo de ningún cuerpo de revo-lución.

Pág. 3



11

a)b) c)

d)

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

b) d) f ) g)

Pág. 4

6 El desarrollo lateral de un cono es un semicírculo de radio 12 cm. Hallael radio de su base y su altura.

PÁGINA 218

SUPERFICIES

8 Una verja se compone de 20 barrotes de hierro de 2,5 m de altura y 1,5cm de diámetro. Hay que darles una mano de minio a razón de 24 €/m2.¿Cuál es el coste?

9 Halla la superficie lateral y la superficie total de los siguientes cuerposgeométricos:



11

2 π r = 24 cm → r = = 3,82 cm

h = = 11,37 cm√122 – 3,822

242π

3,82 cm

12 cmh

• Área de un barrote:

A = 2π · r · h + π · r2 = 2π · 0,0075 · 2,5 + π · 0,00752 =

= 0,1175 + 0,0001766 = 0,118 m2

• Área de 20 barrotes:

20 · 0,118 = 2,36 m2

• Coste:

2,36 · 24 = 56,64 €

3 cm3 cm3 cm

3 cm3 cm3 cm

4 cm4 cm

4 cm

6 cm 2 cm

A B

C D1,5 cm1,5 cm1,5 cm

10 Se desea forrar de pizarra la parte cóni-ca de este torreón. El precio es de 84 € elmetro cuadrado. ¿Cuál es el coste de la obra?

Generatriz del cono:

g = �22 + 72� = 7,28 m

Alat = π · 2 · 7,28 = 45,74 m2

Coste = 84 · 45,74 = 3 842,35 €

11 Un pintor ha cobrado 1 000 € por pintar el lateral de un depósito ci-líndrico de 4 m de altura y 4 m de diámetro.

¿Cuánto deberá cobrar por pintar un depósito esférico de 2 m de radio?

La superficie de la esfera coincide con la del cilindro (su altura es el diámetrode la esfera y su radio coincide con el de la esfera).

Por tanto, cobrará también 1 000 € por pintar la esfera.

Pág. 5



11

a) Alat = 2π · 3 · 4 = 75,4 cm2

Atotal = 75,4 + 2π · 32 = 131,9 cm2

b) g = = 5 cm

Alat = π · 3 · 5 = 47,1 cm2

Atotal = 47,1 + π · 32 = 75,4 cm2

√42 + 32

c) g = = 6,5

Alat = π (1,5 + 4) · 6,5 = 112,3 cm2

Atotal = 112,3 + π · 1,52 + π · 42 = 169,6 cm2

d) Atotal = 4π · 22 = 50,2 cm2

√2,52 + 621,5 cm

2,5 cm

4 cm

6 cmg

↓

↓

↓↓

7 m

8 m

4 m2 m

2 m

Pág. 6

12 Comprueba que la altura de este triángulo rectángulo es 4,8 cm. Paraello, ten en cuenta que el producto de los dos catetos es el doble de su área.

Halla la superficie total de las figuras engendradas por este triángulo al giraralrededor de cada uno de sus lados.

a)

b)

13 Halla la superficie del casquete polar de2 dm de altura y de una zona esférica de 4 dmde altura contenidos en una esfera de 10 dm dediámetro.



11

6 cm8 cm

10 cm

I II III

Área = → = → 24 = 5h → h = = 4,8 cm245

10 · h2

8 · 62

10 · h2

I

II

III Radio de la base = altura del triángulo = 4,8 cm

Área = π · 4,8 · 8 + π · 4,8 · 6 = 211,1 cm2

Área = π · 8 · 10 + π · 82 = 452,2 cm2

Área = π · 6 · 10 + π · 62 = 301,4 cm2

10 dm

2 dm

4 dm

Área casquete = 2π · 5 · 2 = 62,8 dm2

Área zona = 2π · 5 · 4 = 125,6 dm2


14 Halla las superficies S1, S2 y S3 y comprueba que S1 + S2 = S3.

Para d = 4, halla las superficies de los tres círculos, S1, S2 y S3.

Comprueba que S1 + S2 = S3.

Dale cualquier otro valor a d y comprueba que también se cumple que S1 + S2 = S3.

Pág. 7



11

d = 3 cmd = 3 cm

S1 S2

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

d = 3 cm

S3

5 cm

r = = 4 cm

S1 = π · 42 = 50,24 cm2

= → r = 3 cm

S2 = π · 9 = 28,26 cm2

S3 = π · 52 = 78,5 cm2

S1 + S2 = 78,5 = S3

55

3r

√52 – 32

r

3 cm

3 cm

2 cm

5 cm

5 cm

r

Pág. 8

15 Al cortar una superficie cilíndrica o una superficie cónica por un plano per-pendicular al eje se obtiene una circunferencia. Si el plano las corta no per-pendicularmente, se obtiene una elipse.



11

Para d = 4:

r = = 3 cm

S1 = π · 32 = 28,26 cm2

= → r = 4 cm

S2 = 50,24 cm2

S3 = π · 52 = 78,5 cm2

S1 + S2 = 78,5 = S3

55

4r

√52 – 42

r

4 cm

r

5 cm

4 cm

1 cm

5 cm

r

➡➡

Observa el cono y el cilindro que hay a la derecha.Mediante secciones planas de estos cuerpos geométri-cos se obtienen las siguientes figuras:

Averigua de qué cuerpo es cada una de las figuras y mediante qué plano seconsigue.

Pág. 9



11

e)d)c)b)a)

j)i)h)g)f )

a) b) c) d)

e) f ) g) h)

j)i)


Unidades de volumen

1 Transforma en metros cúbicos:

2 Transforma en litros los siguientes volúmenes:

3 Completa las siguientes igualdades:

Pág. 1



12

a) 450 dam3 b) 0,084 hm3

c) 0,11 km3 d) 35 840 dm3

e) 500 hl f ) 30 000 l

a) 450 dam3 = 450 000 m3 b) 0,084 hm3 = 84 000 m3

c) 0,11 km3 = 110 000 000 m3 d) 35 840 dm3 = 35,84 m3

e) 500 hl = 50 m3 f ) 30 000 l = 30 m3

a) 11 dam3 350 m3 b) 0,87 hl

c) 0,000094 hm3 d) 300 000 mm3

a) 11 dam3 350 m3 → 11 350 000 l

b) 0,87 hl → 87 l

c) 0,000094 hm3 → 94 000 l

d) 300 000 mm3 → 0,3 l

a) 0,0013 hm3 = ...................................... dm3

b) 0,11 dam3 = ........................................ cm3

c) 3 dam3 11 m3 743 dm3 = .................... m3

d) 3 dam3 11 m3 743 dm3 = ................. l

a) 0,0013 hm3 = 1300 000 dm3

b) 0,11 dam3 = 110 000 000 cm3

c) 3 dam3 11 m3 743 dm3 = 3 011,743 m3

d) 3 dam3 11 m3 743 dm3 = 3 011 743 l

Pág. 2

4 Expresa como suma de unidades de volumen (forma compleja):

6 ¿Cuántas botellas de 3/4 l se pueden llenar con 0,4 dam3?

7 Un pantano tiene una capacidad de 0,19 km3. Si ahora está al 28% desu capacidad, ¿cuántos litros de agua contiene?

28% de 0,19 km3 = 0,0532 km3 = 53 200 000 000 l

8 La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 62 km2. En lasúltimas lluvias han caído 27 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recogeen el pantano un 43%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se han recogido enel pantano como consecuencia de las lluvias?

9 ¿Cuál es la masa de 0,0843 dam3 de agua?

0,0843 dam3 = 84 300 l

Su masa es de 84 300 kg.

10 Un depósito vacío pesa 27 kg y lleno de aceite 625,5 kg. ¿Qué volumende aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm3.

625,5 – 27 = 598,5 kg de aceite

598,5 : 0,95 = 630 l de aceite



12

a) 75 427 038 m3

b) 32,14962 dm3

c) 0,0000084 km3

d) 832 000 dam3

a) 75 427 038 m3 → 75 hm3 427 dam3 38 m3

b) 32,14962 dm3 → 32 dm3 149 cm3 620 mm3

c) 0,0000084 km3 → 8 dam3 400 m3

d) 832 000 dam3 → 832 hm3

0,4 dam3 = 400 000 l

400 000 : = 533 333,)3 botellas

Se pueden llenar unas 533 333 botellas.

34

62 km2 = 62 000 000 m2

62 000 000 · 27 · = 719 820 000 l = 719 820 m343100

11 Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros:

12 Completa estas igualdades:

13 Estimación de volúmenes “a ojo”

Para cada uno de los recipientes que se citan a continuación se dan tres volú-menes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es:

Pág. 3



12

a) 0,46 dam3 + 47 m3 + 5 833 m3

b) 0,00084 km3 + 0,31 hm3 + 33 dam3

c) 0,413 dam3 – 315 m3 800 dm3

d) 2 300 m3 : 25

a) 0,46 dam3 + 47 m3 + 5 833 m3 = 460 m3 + 47 m3 + 5 833 m3 = 6 340 m3 =

= 6 340 kl = 63 400 hl

b) 0,00084 km3 + 0,31 hm3 + 33 dam3 = 840 dam3 + 310 dam3 + 33 dam3 =

= 1183 dam3 = 11830 000 hl

c) 0,413 dam3 – 315 m3 800 dm3 = 413 000 dm3 – 315 800 dm3 = 97 200 dm3 =

= 972 hl

d) 2 300 m3 : 25 = 92 m3 = 92 kl = 920 hl

a) 1 hm3 =........................................ hl

b) 1 dam3 =...................................... dal

c) 1 m3 =.......................................... l

d) 1 dm3 = ....................................... dl

e) 1 cm3 = ........................................ cl

f ) 1 mm3 = ...................................... ml

a) 1 hm3 = 10 000 000 hl b) 1 dam3 = 100 000 dal

c) 1 m3 = 1000 l d) 1 dm3 = 10 dl

e) 1 cm3 = 0,1 cl f ) 1 mm3 = 0,001 ml

a) Volumen de un pantano:

11 hm3; 387 000 l ; 4 000 000 000 cm3

b)Un depósito de agua en una vivienda:

2 dam3; 0,8 m3; 45 000 l

Pág. 4

PÁGINA 233

CÁLCULO DE VOLÚMENES

14 Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 3 cm × 5 cm ×11 cm.

V = 3 · 5 · 11 = 165 cm3

15 ¿Cuál es el volumen de un cubo de 12 cm de arista?

V = 123 = 1 728 cm3

16 La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos mi-den 11,3 cm y 6,8 cm. La altura del prisma es de 2 dm. Halla su volumen.

17 Un paralelepípedo tiene unas bases en forma de rombocuyas diagonales miden 7 dm y 4 dm. La altura del paralele-pípedo es de 1,2 m. Halla su volumen.



12

c) Un vaso normal:

2 dm3; 0,2 dm3; 0,02 dm3

d) Una cuchara de café:

8 dl ; 8 cm3; 8 mm3

e) Una habitación:

1 dam3; 300 l ; 30 m3

f ) El cajón de una mesa:

0,3 m3; 30 dm3; 3 000 cm3

a) 11 hm3 (un pantano pequeño) b) 0,8 m3 = 800 l

c) 0,2 dm3 = 1/5 l d) 8 cm3 = 0,008 l

e) 30 m3 f ) 30 dm3

Abase = = 38,42 cm2

V = 38,42 · 20 = 768,4 cm3

11,3 · 6,82

V = · 12 = 168 dm37 · 42

18 Halla el volumen de un cilindro de 10 dm de radio de la base y 20 dmde altura.

19 Halla el volumen de una esfera de 25 cm de radio.

20 Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 15 cm de al-tura.

21 Halla el volumen del siguiente tronco de cono:

22 Comprueba que el volumen del cilindro es igual a la suma de los volú-menes de la esfera y el cono:

Pág. 5



12

y

V = π · 102 · 20 = 6 280 dm3

V = π · 253 = 65 416,67 cm343

V = π · 602 · 15 = 56 520 cm313

12 cm

15 cm20 cm

= → x = 9 cm

V = (π · 122 · 20 – π · 92 · 15) = 1742,7 cm313

2012

15x

15 cm

5 cm

12 cm

x

30 cm

30 cm 30 cm

30 c

m

30 c

m

Vesfera = π · 153 = 14130 cm3 Vcono = π · 152 · 30 = 7 065 cm3

Vcilindro = π · 152 · 30 = 21195 cm3

Vesfera + Vcono = 21195 cm3 = Vcilindro

13

43

Pág. 6

Halla el volumen de las siguientes figuras:

23

24

25



12

14 cm

BASES

20 cm

11 cm3 dm

Abase = = 187 cm2

V = 187 · 30 = 5 610 cm3

(14 + 20) · 112

a)5 cm

12 c

m

8 cm5 cm

11 c

m

b)

a) V = π · 52 · 12 = 314 cm3 b) V = 8 · 5 · 11 = 440 cm313

a) b)

11 c

m

6 cm

8 cm

10 cm

a) = → 8x = 6x + 60 → 2x = 60 → x = 30 cm

Vcono grande = π · 82 · 40 = 2 679,47 cm3

Vcono pequeño = π · 62 · 30 = 1130,4 cm3

Vtronco de cono = 2 679,47 – 1130,4 = 1549,07 cm3

b) V = = 348,28 cm3(4/3) π · 5,53

2

13

13

x + 108

x6

x

10 cm

8 cm

6 cm

26

27

PÁGINA 234

Teniendo en cuenta las medidas señaladas, halla el volumen de las siguientes fi-guras:

28

Pág. 7



12

a) b)

12 c

m

20 d

m6 dm

14 dm3 cm

a) V = = 840 dm3 b) V = π · 32 · 12 = 339,12 cm320 · 14 · 62

a) b)

13 cm

40°

22 c

m

26 c

m

5 cm 12 cm

a) V = ( · 22) = 220 cm3

b) = 40°

V = · π · 133 = 1022,01 cm343

19

360°9

12 · 52

13

V = π · 122 · 30 + π · 123 = 20 799,36 cm34330

cm

12 cm

Pág. 8

29

30

31



12

30 c

m

12 cm

V = π · 122 · 30 + · π · 123 = 8138,88 cm343

12

13

18 cm30 cm

V = · π · 153 – · π · 93 = 7 065 – 1526,04 = 5 538,96 cm343

12

43

12

10 cm

15 cm

20 cm

8 cm

15 cm

Vcilindro = π · 52 · 15 = 1177,5 cm3

Vcono = π · 102 · 15 = 1570 cm313

x

8 cm

10 cm

5 cm= → 10x = 5x + 40 → 5x = 40 → x = 8 cm

Vtronco de cono = (π · 102 · 16 – π · 52 · 8) = 1465,3 cm3

Vtotal = 1177,5 + 1570 + 1465,3 = 4 212,8 cm3

13

x + 810

x5

PROBLEMAS

32 Halla el volumen de una habitación que mide 6 m × 3,8 m × 2,6 m.¿Cuántas duchas podrías darte con el agua que cabe en la habitación supo-niendo que gastas 120 l de agua en cada ducha?

33 Un aljibe de base rectangular de 6,4 m × 3,8 m tiene una profundidadde 4,8 m y está lleno hasta los 3/4 de su volumen. Se sacan 340 hectolitros.¿Qué altura alcanzará el agua?

El agua alcanzará una altura de 2,202 m.

34 Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer estetúnel:

Pág. 9



12

V = 6 · 3,8 · 2,6 = 59,28 m3

59,28 m3 = 59 280 dm3 = 59 280 l

59 280 : 120 = 494

Se podría dar 494 duchas.

Valjibe = 6,4 · 3,8 · 4,8 = 116,736 m3

V = 116,736 = 87,552 m3 = 87,552 kl = 875,52 hl

875,52 hl – 340 hl = 535,52 hl = 53,552 m3

Vagua = 53,552 m3 = 6,4 · 3,8 · h → h = = 2,202 m53,5526,4 · 3,8

34

34

8 m

10 m 20 m

Vcilindro grande = π · 52 · 20 = 1570 m3

Vcilindro pequeño = π · 42 · 20 = 1004,8 m3

Vhormigón = = 282,6 m31570 – 1004,82

Pág. 10

35 Para medir el volumen de una piedra pequeña proce-demos del siguiente modo: en una vasija cilíndrica echamosagua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la pie-dra y sube el nivel 22 mm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

DATOS DE LA VASIJA: Diámetro exterior: 9 cmDiámetro interior: 8,4 cmAltura: 15 cm

(Usa solo los datos que necesites).

36 Con una barra cilíndrica de oro de 15 cm de larga y 5 mm de diámetrose fabrica un hilo de 1/4 mm de diámetro.

¿Cuál es la longitud del hilo?

37 Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. El agua llega a1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto.

¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo?

Volumen de agua = 208 · 1,65 = 342,2 m3 = 3 422 hl

3 422 : 6 = 572 minutos = 9 h 32 min

La bomba tardará en vaciar el sótano 9 h 32 min.

38 Una pared debe tener 7,5 m × 5,6 m y un grosor de 30 cm.

¿Cuántos ladrillos de 15 cm × 10 cm × 6 cm serán necesarios si en su cons-trucción el cemento ocupa un 15% del volumen?

Volumen de la pared = 7,5 · 5,6 · 0,3 = 12,6 m3

Volumen de la pared sin cemento = 12,6 · 0,85 = 10,71 m3



12

Radio interior = 4,2 cm

Vpiedra = π · 4,22 · 2,2 = 121,86 cm3

Radio del hilo = mm = 0,125 mm

Radio de la barra = 2,5 mm

Largo de la barra = 15 cm = 150 mm

π · 2,52 · 150 = π · 0,1252 · l

(donde l es la longitud del hilo)

l = = = 60 000 mm = 60 m2,52 · 1500,1252

π · 2,52 · 150π · 0,1252

18

Volumen de un ladrillo = 0,15 · 0,1 · 0,06 = 0,0009 m3

Número de ladrillos = �01,00,07019

� = 11 900

39 Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El la-do de la base mide 15 cm. La altura de la columna es de 2,95 m.

Halla su peso sabiendo que 1 m3 de basalto pesa 2 845 kg.

PÁGINA 235

40 La base de una pirámide regular es un hexágo-no de 15 cm de lado. Su altura es de 30 cm. Halla suvolumen.

Partimos esta pirámide por un plano paralelo a labase que corta a la altura en la mitad.

Halla el volumen de cada una de las dos partes resul-tantes.

• Volumen de la pirámide entera:

• Volumen de la pirámide y del tronco de pirámide resultantes:

La base de la pirámide inicial y la base de la pirámide pequeña generada porel plano son semejantes (método de proyecciones). Por tanto, sus lados seránproporcionales.

Pág. 11



12

a = = 13 cm

Abase = = 585 cm2

Volumen = 585 · 295 = 172 575 cm3 = 0,172575 m3

Peso = 0,172575 · 2 845 = 491 kg

6 · 15 · 132

√152 – 7,52

a

h l = 15 cm

h = 2,95 m

l

a = = 13 cm

Volumen = · · 30 = 5 850 cm36 · 15 · 132

13

√152 – 7,52

Pág. 12

La pirámide pequeña será una pirámide de altura �320� cm, lado de la base

�125� cm y apotema �

123� cm.

Volumen de la pirámide pequeña:

41 Para medir el volumen de una piedra más grandeque la del ejercicio 35, depositamos el mismo recipientelleno de agua dentro de una gran fuente cilíndrica vacía.Echamos la piedra dentro de la vasija y el agua derrama-da sube 2,3 cm.

Halla el volumen de esta otra piedra sabiendo que el diá-metro interior de la fuente es de 24 cm.

Diámetro exterior de la vasija = 9 cm → radio = 4,5 cm

Diámetro interior de la fuente = 24 cm → radio = 12 cm

Volumen de la base (diferencia de círculos) = π · 122 – π · 4,52 = 388,6 cm2

Volumen del agua = 388,6 · 2,3 = 893,78 cm3

El volumen de la piedra es de 893,78 cm3.


42



12

· · = = 731,25 cm3

Volumen del tronco de cono = 5 850 – 731,25 = 5118,75 cm3

5 8508

302

6 · 15/2 · 13/22

13

30 000 l

50 000 l

80 000 l

Luis, Lucio y Leo quieren regar sus campos con el agua del depósito grande(los otros dos están vacíos). Han acordado que Luis se llevará el 50%, Lucioel 25% y Leo el resto. Por supuesto, tienen bombas para trasegar agua, perono disponen de medidas. Solo saben la capacidad de los tres depósitos. ¿Có-mo lo harán?

En el momento que se sepa la cantidad que corresponde a alguno de ellos, es-ta puede verterse al campo correspondiente.

Luis se llevará el 50% → 40 000 l

Lucio se llevará el 25% → 20 000 l

Leo se llevará el 25% → 20 000 l

Llamamos A al depósito de 30 000 l, B al de 50 000 l y C al de 80 000 l.

Se trasvasan 50 000 l del depósito C al B y, a continuación, 30 000 l del Bal A. Así, tendrán 20 000 l en B, con los que puede regar, por ejemplo, Lucio.

Ahora tienen 30 000 l en C y 30 000 en A. Se pasan los 30 000 l de A a By 20 000 l de C a B. Ahora en A no hay nada, en B hay 50000 l y en Chay 10 000 l.

Se pasan 30 000 litros de B a A, con lo que vuelven a tener 20 000 l en B,los que le corresponden a Leo.

Y luis ya tiene sus 40 000 litros, los 30 000 de A y los 10 000 de C.

43 ¿Qué porción de la caja ocupa cada uno de los siguientes tetraedros?

Para formar el tetraedro marcado en la caja cúbica, hay que eliminar del cuboestos cuatro cuerpos marcados en rojo:

Pág. 13



12

Pág. 14

Cada uno de ellos es una pirámide de base triangular.

Si el cubo tiene arista a, la base de la pirámide tiene área �a2

2

� y su altura es a.

Su volumen, por tanto, es:

El volumen del tetraedro será entonces:

Es decir, �13� del volumen de la caja cúbica.



12

Vpirámide = · · a = a316

a2

213

Vtetraedro = a3 – 4 · a3 = a3 – a3 = a313

23

16


Interpretación de puntos

1 Dibuja sobre un papel cuadriculado unos ejes coordenados y representalos siguientes puntos:

2 Di las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos:

3 Representa los puntos: A(0, 2); B(4, 7);C(4, 1); D(1, 0); E(0, 1); F(6, 1); G(6, 0). Unemediante segmentos AB, BC, CA, DE, EF,FG, GD.

Pág. 1



13

A (3, 2); B (3, 7); C (4, –1); D (–4, 3); E (–6, –2);

F (0, 5); G (3, 0); H (–2, 0); I (0, –5); J (0, 0)

A

BF

D

HJ G

C

I

E

A (–4, 0) B (–4, 4)

C (1, 5) D (0, 2)

E (3, 2) F (–2, –2)

G (0, –1) H (1, 0)

I (5, –2) J (6, 0)

A

BC

D E

FG

H

I

J

B

A

E

D

C F

G

Pág. 2

4 Cada punto del diagrama siguiente representa una llamada telefónica:

a) ¿Cuál ha sido la llamada más larga?

b) ¿Cuál ha sido la llamada más corta?

c) Una de las llamadas ha sido a Australia. ¿De cuál crees que se trata?

d) Hay varias llamadas locales. ¿Cuáles son?

a) La llamada más larga ha sido la F, 12 minutos.

b) La llamada más corta ha sido la H, 1 minuto.

c) Debe ser la H porque, siendo muy corta en tiempo (1 minuto), es de lasmás caras, 2 €.

d) Las llamadas locales son A, D, E y F (todas cuestan 0,20 € cada 3 minu-tos).

REPRESENTACIÓN DE RECTAS

5 Halla la pendiente decada una de las siguientesrectas:



13

A

B

C

COSTE (€)

TIEMPO (min)1051

1

2

0,20 DE

F

G

HI

ab

c

de f

g h

i

6 Representa las siguientes funciones:

Pág. 3



13

a) b) c) = 2

d) 0 e) = 1 f ) –1

g) – h) –3 i) – 13

23

22

42

23

43

a) y = 2x b) y = x

c) y = –3x d) y = x

e) y = – x f ) y = x

g) y = – x – 2 h) y = –3x + 5

i) y = – x + 1 j) y = – x + 4

k) y = –1 l) y = 4

m) y = 3 n) y = x

25

43

12

34

25

43

12

ac

be

dh

g

j fi

k

l

m

n

Pág. 4

7 Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones:

PÁGINA 254

PROBLEMAS CON FUNCIONES

9 Representa las siguientes parábolas obteniendo en cada caso una tablade valores:

a) b)



13

a

bc

d

e

f

g

a) y = x b) y = x

c) y = 3x d) y = – x

e) y = 3 – x f ) y = 1 + x g) y = –223

32

32

12

a) y = x2 – 4 b) y = x2 + 1 c) y = –x2

d) y = –x2 + 1 e) y = (x – 2)2 f) y = (x – 2)2 – 4

g) y = x2 – 4x h) y = x2 – 4x + 3

x y

–3 5

0

–3

–4

–3

0

5

–2

–1

0

1

2

3

x y

–3 10

5

2

1

2

5

10

–2

–1

0

1

2

3

c) d)

e) f )

g) h)

10 ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función y cuálesno?

Corresponden a una función las gráficas 2 y 4.

11 Margarita pasea alejándose de su pueblo a una velocidad de 2 km/h. Eneste momento se encuentra a 4 km del pueblo. ¿Dónde se encontrará dentrode una hora? ¿Dónde se encontraba hace una hora?

Pág. 5



13

x y

–3 –9

–4

–1

0

–1

–4

–9

–2

–1

0

1

2

3

x y

–3 –8

–3

0

1

0

–3

–8

–2

–1

0

1

2

3

x y

–1 9

4

1

0

1

4

9

0

1

2

3

4

5

x y

–1 5

0

–3

–4

–3

0

5

0

1

2

3

4

5

x y

–1 5

0

–3

–4

–3

0

5

0

1

2

3

4

5

x y

–1 8

3

0

–1

0

3

8

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4

Pág. 6

Representa su distancia al pueblo en función del tiempo transcurrido a partirde ahora. Halla la ecuación de la función llamando x al tiempo e y a la dis-tancia al pueblo.

• Dentro de una hora se encontrará a 6 km del pueblo.

• Hace una hora se encontraba a 2 km del pueblo.

• Ecuación: y = 2x + 4

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

12 Representa gráficamente una carrera de 200 m entre dos corredores,con las siguientes características:

A sale más rápidamente que B y, en 5 segundos, le saca 10 m de ventaja.

A se cae en el instante 5 s y B le adelanta. Pero A se levanta en 2 s y ade-lanta a B en la misma línea de meta.



13

DISTANCIA (km)

TIEMPO (h)1

10

DISTANCIA (cm)

TIEMPO (s)5 10 15 20

5060

100

150

AB

200

13 Rafael y María ponen a competir, en una carrera, a sus caracoles; unode ellos lleva una pegatina roja y otro una pegatina verde.

El verde tarda en salir y se para antes de llegar. ¿Cuánto tiempo está paradoen cada caso? ¿A qué distancia de la meta se para definitivamente? ¿Cuántoscentímetros y durante cuánto tiempo marcha el rojo en dirección contraria?Describe la carrera.

a) El caracol con una pegatina verde está parado, en la salida, 3 minutos y, mástarde, desde el minuto 7 hasta que finaliza la carrera, se para a 30 cm de la meta.

b) El rojo, marcha en sentido contrario durante 1 minuto una distancia de 15 centí-metros.

c) Al comenzar la carrera, el verde no toma la salida, manteniéndose parado durante3 minutos.

El rojo marcha a una velocidad uniforme y recorre, en algo más de un minu-to y medio, unos 25 centímetros. Se para durante 1,5 minutos y vuelve a ini-ciar la marcha, recorriendo en 3/4 de minuto unos 20 centímetros. Se vuelvea parar durante 1/2 minuto y regresa sobre sus pasos 15 centímetros en 1 minuto.

Aprovecha esta coyuntura el verde, que inició su carrera en el minuto 3 a una ve-locidad de 20 cm/min, para adelantar al rojo en el minuto 5 de la carrera y a unadistancia del punto de salida de 40 cm. El verde continúa con esa velocidad hastael minuto 7, en el que ha avanzado 80 cm y se para, no volviendo a reanudar sucarrera.

Nos quedamos con el rojo en el minuto 5,5, en el que se para medio minuto yempieza a avanzar durante 3/4 minutos, se vuelve a parar medio minuto a 55 cen-tímetros de la salida y, desde aquí, como una bala, a 25 cm/min, se dirige hacia lameta, adelantando al verde a 80 cm de la salida en el minuto 8 y 20 segundos,aproximadamente.

Gana el caracol con la etiqueta roja.

Pág. 7



13

10

50

100

1 5 10

DISTANCIA (cm)

TIEMPO (min)

Pág. 8

14 Esta gráfica describe la velocidad de un bólido de carreras en cada lugarde un circuito:

Di en qué tramos la velocidad es creciente y en cuáles es decreciente. ¿A quécrees que se deben los aumentos y disminuciones de velocidad?

La velocidad es creciente:• Desde 0 (punto A) hasta el kilómetro 2.• Desde el kilómetro 5 (punto C) hasta el kilómetro 10 (un poco después de D).• Desde el kilómero 11,5 hasta A (empieza de nuevo el circuito).

La velocidad es decreciente:• Desde el kilómetro 2 hasta el kilómetro 5 (punto C).• Desde el kilómetro 10 hasta 500 m antes de llegar a A (empieza de nuevo el

circuito).

Las disminuciones de velocidad parecen causadas por las curvas del circuito. Así,en la curva más cerrada, C, la velocidad es mínima.

Los aumentos de velocidad, según la gráfica, se identifican con los tramos del cir-cuito en que no hay curvas.

PÁGINA 255


15 Representa una gráfica que refleje cada una de las situaciones que se descri-ben a continuación:



13

VELOCIDAD (km/h)

RECORRIDO (km)

200

100

10521

A AB C D

D

AC

B


PRECIO TEMPERATURA

PESO

PRECIO DE LAS BOLSASDE PATATAS FRITAS

TEMPERATURAS MÍNIMAS DIARIASEN TOLEDO, A LO LARGO DE UN AÑO

Pág. 9



13

Para representar las gráficas puedes fijarte en las seis siguientes.

Responden, en otro orden, a lo que se te pide:

RUIDO

NIVEL DE RUIDO DE UNA CALLE CÉNTRICADE UNA GRAN CIUDAD, DESDE LAS 6 DE LA

MAÑANA HASTA LAS 6 DE LA TARDE

6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6

NIVEL

NIVEL DE AGUA EN UN PANTANOA LO LARGO DE UN AÑO


ALTURA

TIEMPO TIEMPO

DISTANCIA

ALTURA DE UNA PELOTA,AL PASAR EL TIEMPO

DISTANCIA A LA TIERRA DE UN SATÉLITEARTIFICIAL, AL PASAR EL TIEMPO

I II III

IV V VI

Pág. 10



13

16 Y ahora, sin ninguna ayuda. Representa las siguientes funciones:

a) La altura a la que se encuentra el asiento de un columpio, al pasar el tiem-po.

b) La temperatura de un cazo de agua que se calienta al fuego hasta que hier-ve y luego se deja enfriar.

c) Las ganancias de una casa de alquiler de vídeos según su precio: si son de-masiado baratos, alquilará muchos, pero ganará poco, y si son demasiadocaros, alquilará pocos y también ganará poco.

PRECIO DE LAS BOLSAS DE PATATAS FRITAS → III

TEMPERATURAS MÍNIMAS DIARIAS EN TOLEDO, A LO LARGO DE UN AÑO → IV

NIVEL DE RUIDO DE UNA CALLE CÉNTRICA DE UNA GRAN CIUDAD → VI

NIVEL DE AGUA EN UN PANTANO A LO LARGO DE UN AÑO → V

ALTURA DE UNA PELOTA AL PASAR EL TIEMPO → I

DISANCIA A LA TIERRA DE UN SATÉLITE ARTIFICIAL, AL PASAR EL TIEMPO → II

ALTURA

TIEMPO

TEMPERATURA

TIEMPO

GANANCIAS

a)

b)

c)

PRECIO


Gráficas estadísticas

1 Observa este gráfico:ACTIVIDADES FÍSICAS QUE SUELEN PRACTICAR LOS ESCOLARES ESPAÑOLES

a) ¿En qué actividades se notan más las diferencias de afición entre chicos ychicas?

b) ¿En cuáles hay aproximadamente la misma afición?

a) En fútbol y baile.

b)En bicicleta, altelismo, tenis y esquí.

2 Intenta explicar la curiosa forma de esta gráfica.

Pág. 1



14

BICICLETA

BALONCESTO/BALONMANO

ATLETISMO

FÚTBOL

BAILE

NATACIÓN

JUEGOS

GIMNASIA

PATINES

TENIS

ALPINISMO

ARTES MARCIALES

ESQUÍ

OTRAS CHICAS CHICOS

80% 60% 40% 20% 0 20% 40% 60% 80%

Julio Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

VENTAS EN UN GRAN ALMACÉN

Enero

Diciembre

Noviembre

Octubre

Septiembre

Agosto

1 200

2000

2001

2002

1 100

1 000

900

800

Millonesde €

Pág. 2

¿A qué crees que se deben los grandes picos que hay en diciembre?

Las ventas se han incrementado gradualmente cada uno de los años. Los perio-dos de mayor venta están entre mayo y julio, con la llegada del verano y, sobretodo, alrededor de diciembre, sin duda por la compra de los regalos navideños.

3 Esta serie de tiempo refleja el número de anuncios vistos en televisiónpor persona y mes, durante los años 2001 y 2002.

Analiza en qué meses la publicidad es máxima y en cuáles es mínima.

La presión publicitaria ha aumentado durante el año 2002. Los meses en losque la publicidad alcanza su máximo son en diciembre y en mayo, las navida-des y la llegada del verano. Es mínima en agosto y en enero, el mes tradicionalde vacaciones y la llamada “cuesta de enero”.

4 Esta gráfica corresponde al porcentaje de personas que ven televisión oescuchan radio, en las distintas horas del día.

Describe, comparativamentre, ambos fenómenos.

Durante la mañana, hasta las 13:00 horas, los espectadores de televisión no so-brepasan el 10%. Durante este periodo, los oyentes de radio superan a los es-pectadores de televisión, llegando a su máximo a las 11 de la mañana. A partirde las 13:30, la televisión supera a la radio, obteniendo sus máximos en audien-cia a las 15:00 horas, con algo más de un 30%, y a las 23:00 horas, con algomás del 40% de la audiencia. A partir de ese momento, los espectadores de tele-visión descienden hasta situarse prácticamente al nivel de los oyentes de radio,sobre las 2:00 horas.



14

EVOLUCIÓN DE LA PRESIÓN PUBLICITARIA

500

2002 2001

1 000

1 500


0%8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0 1 2

5%10%15%20%25%30%35%40%45%

Porcentaje

RADIO

TV

Miles

5 Observa estas pirámides de población:

a) Compara las proporciones de niños y ancianos en estos dos países.

b) ¿En cuál de ellos se aprecia más diferencia en la longevidad de las mujeresy los hombres?

a) Francia tiene una población muy envejecida frente a Marruecos. El númerode personas menores de 14 años en ambos países es muy similar; sin embar-go, la población mayor de 60 años en Francia es mucho mayor que en Ma-rruecos.

b) Es mucho más patente en Francia. El número de mujeres mayores de 60años supera con creces al de hombres.

PÁGINA 269

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

6 Halla la media, la mediana, la moda y la desviación media de estos con-juntos de datos:

a) 2, 4, 4, 41, 17, 13, 24.

b) 1, 3, 5, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6.

c) 1, 3, 8, 9, 4, 1, 1, 7, 10, 10.

a) Media = = = 15

Mediana = 13 (2, 4, 4, 13, 17, 24, 41)

Moda = 4

105�

72 + 4 + 4 + 41 + 17 + 13 + 24��

7

Pág. 3



14

MARRUECOS 2002


Hombres MujeresEDAD

0-14

15-29

30-44

45-59

≥ 60

0,00,51,01,52,02,5 2,52,01,51,00,50,0

FRANCIA 2002


Hombres MujeresEDAD

0-14

15-29

30-44

45-59

≥ 60

0,00,51,01,52,02,5 2,52,01,51,00,50,0

Pág. 4

Desviciones: 13, 11, 11, 2, 2, 9, 26

Desvición media: = 10,6

b) Media = = = 5,4

Mediana = 5,5 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 9, 10)

Moda = 6

Desviciones: 4,4; 3,4; 2,4; 1,4; 0,4; 0,6; 0,6; 2,6; 3,6; 4,6

Desvición media:

= = 2,4

c) Media = = = 5,4

Mediana = 5,5 (1, 1, 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 10)

Moda = 1

Desviciones: 4,4; 4,4; 4,4; 2,4; 1,4; 1,6; 2,6; 3,6; 4,6; 4,6

Desvición media:

= = 3,4

7 A los estudiantes de un curso se les pregunta qué carrera estudiarán. Es-tas son las respuestas:

a) Representa los resultados en un diagrama debarras.

b) ¿Cuál es la moda?c) ¿Por qué esta distribución no tiene media ni

mediana?d) ¿Se podría calcular la desviación media?e) Halla el porcentaje correspondiente a cada una

de las carreras.

a)

34�10

(4,4 · 3) + 2,4 + 1,4 + 1,6 + 2,6 + 3,6 + (4,6 · 2)��

10

54�10

1 + 3 + 8 + 9 + 4 + 1 + 1 + 7 + 10 + 10��

10

24�10

4,4 + 3,4 + 2,4 + 1,4 + 0,4 + 0,6 + 0,6 + 2,6 + 3,6 + 4,6��

10

54�10

1 + 3 + 5 + 4 + 2 + 8 + 9 + 6 + 10 + 6��

10

13 + 11 + 11 + 2 + 2 + 9 + 26��

7



14

INGENIERÍA 6

DERECHO 3

MEDICINA 4

CIENCIAS 6

LETRAS 8

INFORMÁTICA 6

OTRA O NINGUNA 7

INGENIE

RIA

DERECHO

MEDIC

INA

CIENCIA

S

LETRAS

INFO

RMÁTIC

A

OTRA O

NIN

GUNA

10

2

4

6

8

b) Moda: LETRAS

c) Porque es una variable cualitativa.

d) No

e) Total de alumnos y alumnas: 40

Ingeniería → �6 ·

41000� = 15%

Derecho → �3 ·

41000� = 7,5%

Medicina → �4 ·

41000� = 10%

Ciencias → �6 ·

41000� = 15%

Letras → �8 ·

41000� = 20%

Informática → �6 ·

41000� = 15%

Otra o ninguna → �7 ·

41000� = 17,5%

9 Halla la media y la mediana en las siguientes tablas de frecuencias:

Pág. 5



14

VALORES FRECUENCIAS

1234567

578

14201620

VALORES FRECUENCIAS

1234567

578

14201620

1 · 5 = 52 · 7 = 143 · 8 = 244 · 14 = 565 · 20 = 1006 · 16 = 967 · 20 = 140

90 435TOTAL

VALORES FRECUENCIAS

02468

10

58

1022114

x– = �49305� = 4,83

Pág. 6

Mediana:

Hay 5 con valor 1.

Hay 5 + 7 = 12 con valores 2 o menor.




Por tanto, las posiciones 45o y 46o tienen un 5. Así, Me = 5.

Mediana:

Hay 5 con valor 0.

Hay 5 + 8 = 13 con valor 2 o menor.



Por tanto, las posiciones 30o y 31o tienen un 6. Así, Me = 6.

TABLAS DE DOBLE ENTRADA

10 En una residencia hay 200 ancianos. De entre ellos, 80 son fumadores (F)y 78 están enfermos de los pulmones (E). Hay 48 que están enfermos de lospulmones y, además, fuman. Acaba de llenar la siguiente tabla:

¿Cuántos hay que ni fuman ni están enfermos de los pulmones?



14

VALORES FRECUENCIAS

0246810

58

1022114

0 · 5 = 02 · 8 = 164 · 10 = 406 · 22 = 1328 · 11 = 88

10 · 4 = 40

60 316TOTAL

x– = �36106� = 5,26

E NO E

48F 80

NO F

78 200

Hay 90 ancianos que no fuman y no están enfermos de los pulmones.

11 En una clase de 30 alumnos y alumnas hay 17 chicas y el resto son chi-cos. En total, hay 14 con gafas. Sabemos que 6 chicas tienen gafas. ¿Cuántoschicos hay sin gafas?

Para responder, llena la tabla siguiente:

Hay 5 chicos sin gafas.

Pág. 7



14

E NO E

48F 32 80

30NO F 90 120

78 122 200

GAFAS NO GAFAS

CHICAS

CHICOS

GAFAS NO GAFAS

6CHICAS 11 17

8CHICOS 5 13

14 16 30

mates 2 eso ejercicios

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