MATERIJALNA NELINEARNOST

2

SADRŽAJ KURSA

• Uvod• Vektorska i tenzorska algebra

• Nelinearni elastični modeli• Hipoelastični - Cauchy-jev elastični model• Hiperelastični – Green-ov model

• Idealna plastičnost• Modeli Tresca i Von-Mises • Coulomb-ov model• Drucker-Prager-ov model

3

SADRŽAJ KURSA

• Plastičnost sa očvršćavanjem• Izotropno očvršćavanje• Nelinearno izotropno očvršćavanje• Kinematsko očvršćavanje• Višepovršinski kriterij plastičnosti

• Damage modeli ili modeli oštećenja• Mješoviti modeli oštećenje-plastičnost

• Numerička implementacija 3D plastičnosti metodom konačnih elemenata

4

PLANIRANE OBAVEZE

• Zadaće• Seminarski – FEAP ili detaljna obrada nekog specifičnog

nelinearnog modela• Usmeni ispit

5

UVOD

• Vektori:

• Transformacija koordinatnog sistema

iiiiijji

iii

ii

v

viliv

eevvevee

evev

3

1

e2

x3

x1

x2’

e1

e3

x2

x1’

x3’

e1’

e2’e3

’

v

6

UVOD

'3

1

'3

1

'3

1

'jij

jjij

jjij

jjijii vQvQQQv

evevev

Proračun komponenata vektora pri transformaciji k.s.

vQvvQv T

jjii

i

vQv

''

'

'3

1

''

'

''

kosinusi

jijj

jjii

jiij

iiii

Q

Qvv

eeeee

eeeev

7

ZADAĆA 1

• Dati su vektori u i v u koordinatnom sistemu e1, e2 ,e3. Naći projekcije tih vektora u sistemu koji se dobiva rotacijom sistema za 450 obrnuto od kazaljke na satu oko ose x3. Pokazati da je vektorski proizvod invarijantan, tj. da se dobiva isti vektor bez obzira na odabrani sistem.

110

021

vu

8

UVOD

• Tenzori II reda – linearno preslikavanje kojim se jedan vektor preslikava u drugi vektor.

Suv • Linearno preslikavanje:

212121 ,,, uuSuSuuuS

IuuuSS

uSSuSSuuSuSuSS

1

2121

2121

9

UVOD

• Simetrični tenzor:

uSvSvu T

• Transponovani tenzor:

TSS

• Antisimetrični tenzor: TSS Primjer 1: uwWu

T

T

WWWuvuwvvwuWvuuWv

10

UVOD

Primjer 2 – tenzor transformacije: ii Qee '

IQQeQeQeeQ

eeeeQeeeQe

T

iiT

iiT

ijijjijiiT

j

'

''''

Primjer 3 – tenzor napona – tenzor koji preslikava vektor normale na presječenu površ u vektor koji je rezultanta sila koje djeluju na tu površ.

σnt nntn

dA

11

UVOD• Primjer: Napon u nekoj tačci definisan je tenzorom . Sračunati

normalni i smičući napon na površ definisanu jediničnim vektorom n.

21

5.05.0

300094043

nσ

Sila koja djeluje na datu površ:

12.2,5.6,5.3 Ttnσt nn

Normalni napon je projekcija sile tn na vektor n.

nt

n

dA

nn

5.6 nT tnnt nnSmičući napon je: 09.45.668.7 2222

nnn t

12

UVODOsobine tenzora

• Svaki tenzor se može rastaviti na simetrični i antisimetrični dio.

• Svaki tenzor se može prikazati kao kompozicija jednog ortogonalnog tenzora i njegovog simetričnog dijela – polarna dekompozicija.

• Tenzori drugog reda se mogu predstaviti kao matrice dimenzija 3x3.

13

UVOD

• Tenzorski proizvod dva vektora:

vwuuvwwvu torapravcu veku vektora

komponente torapravcu veku projekcija

jiijji

jiji vuCvu

vuvuvuvuvuvuvuvuvu

3

1,

332313

322212

312111

eevuC

vu

14

UVOD

• Osobine tenzorskog proizvoda:

2121 vuvuvvu

vSuSvuvSuvuSuvvu

T

T

• Zadaća 2: Dokazati osobine tenzorskog proizvoda preko njegove definicije.

15

UVOD

ji

jiiji

ii,

eeeeI

3

1,

3

1,

3

1,

3

1,

lkijikljkl

lkkljkli

lkkljklij

lklkkliji

jiij

SSS

SS

S

ee

eeeeeeeeSee

eeS

iijiij vS evSee 'jijiijQ eeQee

Tenzori prikazani preko tenzorskog proizvoda jediničnih vektora k.s.

16

UVOD• Primjer 1 – gradijent pomjeranja

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

3

1,

)(

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

ffgradfx

jiji

j

i

i

i

eeuu

xxxe

17

UVOD

xd

xd

x

xux

xxu d

xd w

ε

xuIx dd

18

UVOD

xxwwwwI

xxwIwIxxxxTT

TTT

dd

dddddd

• Preslikavanje vektora koji spaja dvije tačke iz nedeformisane u deformisanu konfiguraciju:

TT uuwuuεwεu 21;

21;

• Tenzor deformacije:

xxxεx dddd

IεεεIεεεεε DVDV trtr31

31

Za =0:

19

UVOD• Tenzori II reda – matrice 3x3 T

TT

vuvuSS

SSSSSSSS

2121

2121

• Transformacija koordinatnog sistema'''jiijjiij SS eeeeS

QSQS T

ljklkiij iliQSQS ''

20

UVOD• Vektorske invarijante

• Skalarni proizvod vektora• Intenzitet vektora

3

1

3

1,

3

1,

3

1

3

1,,

3

1

'

3

1)(1

kkk

lkklkl

lk iilkikl

lkiliklki

iii

iiiS

SSQQSQSQS

StrI

S

• Tenzorske invarijante• Izotropni tenzori• Trag tenzora QSQS T

ljklkiij iliQSQS ''

21

UVOD

• Osobine traga tenzora:

BAABSS

vuvu

trtrtrtr

trT

• Skalarni proizvod tenzora

ABABBABABA TTT

3

1, jiijijBAtrtrtr

22

UVOD

• Osobine skalarnog proizvoda tenzora:

0

WSWWSSyvxuyxvu

SvuvuSSIS

TT

tr

23

UVOD

• Treća invarijanta tenzora

Sdet3 SI

• Zadaća 3: Dokazati da su ovako definirane invarijante zaista nezavisne od izbora koordinatnog sistema.

• Druga invarijanta tenzora

SS 2)(1)(2 2

1SS II

24

UVOD

• Sopstveni vektori i sopstvene vrijednosti tenzora.nSn

• Simetrični tenzori II reda imaju tri realne sopstvene vrijednosti i tri međusobno okomita sopstvena vektora.

3,2,1,; jiijjiiii nnnSn

3

1iiii nnS Tenzor S u k.s. sopstvenih vektora

25

UVOD• Naći glavne napone i pravce glavnih napona za dati tenzor napona.

023200305

σ 20,1351255.0,5 321 III

67.2,15.1,52.6020135 32123

448.0137.0883.0

1000

52.623252.603052.1

123

22

21

1

3

2

1

nnnnnnn

764.0572.0299.0

;465.0808.0362.0

32

nn

26

UVOD

764.0465.0448.0572.0808.0137.0299.0362.0883.0

023200305

764.0572.0299.0465.0808.0362.0

448.0137.0883.0

67.200015.100052.6

QσQσ T'

Hidrostatska os – pravac u prostoru glavnih napona definisan sa 1 = 2 = 3

111

31'

pn

2052.615.167.2,1367.215.152.65 3222

2 II

77.331

35

31

2

13

2

32

2

2122

1

p

pp

p Ip

'p

'

'p

'p

'

nσ

nnσ

27

UVOD• Devijatorski tenzor napona

66.123266.103033.3

66.100066.100066.1

31

devp

pdevpdevp

σσ

σσσIσσσσσ tr

34.400051.000086.4

66.100066.100066.1

'dev

'p σσ

28

UVOD• Invarijante devijatorskog tenzora

3213

231

223

212

2

1133

2

3322

2

2211

23

22

21313221

3

1,21

det61

21

21

21,0

sssJ

sssssssssssJJji

jiij

dev

devdev

σ

σσ

321 ,, A

pppB ,,

O

2

321

2

,,

JBA

sssBA

29

UVOD• Tenzori višeg reda

• Tenzor trećeg reda: Preslikavanje vektora u tenzor drugog reda• Tenzor četvrtog reda: Preslikavanje vektora u tenzor trećeg reda• ...

jlikljkilkjilkjiijkl

lkjiijkl

lkjilkjiijkl

klklijklij

I

C

eeeeCC

eeeeeeeeeeeeeeee

εσ

::

::

3

1,,,

3

1

I.C

iCCPrimjer

Hook: jlikklijijklC 22 IIIC

uCvvuC :Proizvod tenzora 4. i 2. reda:

30

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA

• Koncept rješavanja nelinearnih problema – nelinearne jednačine se pretvaraju u linearne. Postupak je iterativan dok se ne nađe rješenje nelinearnih jednačina.

Jednačina sa jednom nepoznatom: f(x)=0

000

0

00

20

''0

'00

0

2

00''

00'

0

....21

:

...21

xfuxfuxDfudxdfxfuxf

uxfuxfxfuxf

xxuinkrement

xxxfxxxfxfxf

upofunkcijaLinearna

x

31

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA

• Newton-Raphson-ova metoda:

kii xfdxdfuuxDfxfuxf

kx

1

0 00

uOxfLinuxfuxDfxfxfLin ;

Usmjerena derivacija – Gateaux-ova derivacijaSkalarna funkcija, skalarni argument:

00

lim

uxfddxfuxfxfDu

Skalarna funkcija, vektorski argument:

i

i

uxffgradf

ddDf

xuxuxux0

32

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA

x1

x2

x3

u

f(x1,x2)

x

f(x+u)

33

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJASkalarna funkcija, tenzorski argument:

3

1,0

jiij

ij

UAff

ddDf

UAUA

Primjer: Linearizacija determinante tenzora drugog reda

UAAUAIA

UAIAUAUA

AA

T

detdetdet

detdetdet

3261det

0

21

0

1

0

3

1,,

31

3

1,1

Otrdd

dd

ddDf

IAAIAAAfkji ji

jiijkijkij

34

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJA

Primjer: Greda dužine L opterećena opterećenjem q(x). Totalna potencijalna energija:

LL

dxxuxqdxdxudEIxu

00

2

2

2

21

00

00

2

2

2

21

LL

w dxwuxqdddx

dxwudEI

ddxuD

000

2

2

2

2

LL

w wdxxqdxdxwd

dxudEIxuD

w(x) – proizvoljni inkrement pomjeranja – varijacija pomjeranja, mora zadovoljavati rubne uslove po pomjeranjima

35

LINEARIZACIJA I USMJERENA DERIVACIJATenzorska funkcija, tenzorski argument:

3

1,0

lkkl

kl

ij UAA

ddD

UBAUBA

Primjer: Tangentni tenzor elastičnosti

3

1,0

ˆˆˆˆ

lkkl

ijkl

kl

ijUddD

C

UεσUεσεσσ

Osobine usmjerene derivacije – iste kao za običnu derivaciju:

uxuxuxx ~~~~~~~~~~~2121 FDFDFFD

uxxxuxuxx ~~~~~~~~~~~~~~~212121 FDFFFDFFD

uxxux ~~~~~~~~22121 FDFFDFFD

36

ELASTIČNI MODELI

• Cauchy-jev model• Naponi se daju kao funkcija deformacija

ddCulTangentni

dxduxD

ˆ:mod

,ˆ:1

kl

ij

ijkl

ijij

C

D

ˆσ

ˆσ:3

εC

εεσ

37

ELASTIČNI MODELI• Hiperelastični - Green-ov modeli

– 1D• Promjena deformacione energije:

V

dVU

V

dVWU

W – funkcija gustine deformacione energije ili deformaciona energija po jedinici zapremine

W

ddWW

ddW

Specijalni slučaj Cachy-jeve elastičnosti

2

2

dWdC

38

ELASTIČNI MODELI- 3D

ij

ij

WW

Niz modela – zavisno od odabrane funkcije gustine potencijalne energije

ij

ij

WW

εσ

Hook: klijklijij CWW 21

21

εCεε

klijkl

ij

ijkl

WC

2

εσC

39

Model Prednosti Nedostaci

CauchyFizikalno i matematski jednostavan(isti koncept kao Hook-ov model)

Može biti numerički nestabilan za pojedine funkcije Ograničen domen primjene

GreenZadovoljava uslove stabilnosti i jedinstvenosti rješenjaRelativno jednostavan za programiranje

Relativno teško odrediti parametre kojim se model definiraOgraničen domen primjene

ELASTIČNI MODELI

40

Primjer nelinearne analizeObostrano uklješten štap opterećen je

aksijalnom silom. Za dato konstitutivno ponašanje i program opterećenja sračunati pomjeranje tačke u kojoj djeluje sila.

4 2

P A=10 cm2

=E(-sign 22)

E=108 kN/m2

t

P (kN)

400

sign