materiaux composites

120
Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle - 1 - Chapitre 0 : Généralités CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites, etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP). - Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de 99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins. - Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours. Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés. 0-1-1- Définitions de base - Homogène : même propriétés en tout point du matériau. - Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes. - Isotrope : même propriétés dans toutes les directions. - Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite. - Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux. - Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions. 0-1-2- Notions de bases Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient un matériau hétérogène.

Upload: civil-ingenieur

Post on 13-Feb-2015

402 views

Category:

Documents


67 download

TRANSCRIPT

Page 1: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 1 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites,

etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des

composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la

masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les

composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites

haute performance (HP).

- Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des

plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%.

Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts

sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines

polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de

99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins.

- Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les

renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce

sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance

mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement

aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été

développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours.

Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle

du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres

longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques

renforcés.

0-1-1- Définitions de base

- Homogène : même propriétés en tout point du matériau.

- Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes.

- Isotrope : même propriétés dans toutes les directions.

- Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite.

- Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux.

- Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions.

0-1-2- Notions de bases

Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient

un matériau hétérogène.

Page 2: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 2 -

Chapitre 0 : Généralités

0-2- Les composants

Matériau composite plastique : association de deux constituants :

- Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la

traction et rigidité). Souvent de nature filamentaire (des fibres organiques ou

inorganiques).

- La matrice : lie les fibres renforts, répartie les efforts (résistance à la compression

ou à la flexion), assure la protection chimique. Par définition, c'est un polymère ou

une résine organique.

En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure la

compatibilité renfort-matrice, qui transmet les contraintes de l'un à l 'autre sans déplacement

relatif. Bonne adhérence en couche fine (m). Des produits chimiques entrent aussi dans la

composition du composite, l'interphase etc. ... qui peuvent jouer sur le comportement

mécanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul de structure composite.

Remarque : on conçoit un composite en fonction du type d'application, de chargement

...ce qui est différent des matériaux classiques où on adapte la conception d'une structure en

fonction du matériau constitutif.

Pour les composites, on construit sa structure à la demande :

- la nature, la texture et la forme du renfort

- le taux de renforcement

- la nature de la résine et des charges ou additifs

- la qualité de l'interface renfort-matrice

- la géométrie de la pièce à réaliser

- le procédé de mise en œuvre utilisé

On cherchera toujours à orienter au mieux les renforts en fonction des efforts auxquels

la structure est soumise.

Avantages des matériaux composites :

- Gain de masse

- Mise en forme de pièces complexes (principe du moulage) et réduction du nombre

d’interfaces (boulonnage, rivetage et soudure sur structures métalliques)

- Grande résistance à la fatigue

- Faible vieillissement sous l'action de l'humidité, de la chaleur, de la corrosion (sauf

en cas de contact entre de l’aluminium et des fibres de carbone)

- Insensibles aux produits chimiques "mécaniques " comme les graisses, huiles,

liquides hydrauliques, peintures, solvants, pétrole

Page 3: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 3 -

Chapitre 0 : Généralités

Inconvénients des matériaux composites :

- Vieillissement sous l’action de l’eau et de la température

- Attention aux décapants de peinture qui attaquent les résines époxydes

- Tenue à l’impact moyenne par rapport aux métalliques

- Meilleure tenue au feu (classement M) que les alliages légers mais émission de

fumées (classement F) parfois toxiques pour certaines matrices.

- Coût parfois prohibitifs (temps et coût études et mise en œuvre), le gain en coût est

surtout valable pour des grandes séries.

Les composites sont très anciens : bois (composite naturel), torchis, béton (agrégats et

pâte de ciment), béton armé, bois contre-plaqué (sandwichs), lamifiés décoratifs par exemple.

1.Associations fibres-matrices : la liaison entre fibre-matrice est créée pendant la phase

d'élaboration : influence fondamentale sur les propriétés mécaniques du composite.

2.Les différents types des constituants de base :

0-3- Les renforts

Les fibres - Constituées par plusieurs centaines/milliers de filaments de diamètres variant de 5

à 15 mm.

Page 4: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 4 -

Chapitre 0 : Généralités

- Traitement sur machines textiles (mèches).

Forme de renfort :

• filaments décomposés en fil de base et en mèche puis en demi-produits comme la

verranne, les rovings ou stratifil (mèches de fils sans torsion, direct, assemblé,

bouclé, ensimés), la silionne (fils de 102 à 408 filaments ensimés), les fils coupés

(de base, textiles, texturés, coupés, broyés, de 3 à 5 mm de long, ensimés), qui sont

tous des fibres de tissage. Mise en œuvre par compression et cuisson

(polymérisation). Facilité d'utilisation, qualité du produit fini (homogène),

robotisation possible. Les particules, billes pleines ou creuses, les fibrilles, les

écailles, les whiskers.

• Les renforts sous forme de semi-produit : les mats (feutres de "silionnes " ou de fils

continus coupés, 25 à 50 mm agglomérés par un liant), les feutres, les rubans, les

tissus à armature taffetas, sergé, satin, unidirectionnelle, bidirectionnelle, les gaines,

les tresses, les préformé (roving + liant projetés et durcis par étuvage sur une forme,

pour les grandes séries).

Remarque : L'ensimage permet de

- coller les filaments ->file

- lubrifier les fils

- diminuer attaque de l'eau

- éliminer les charges électrostatiques

- améliorer l'adhérence sur les résines (mouillage+adhésion)

Fibres thermostables à bas modules :

- utilisables jusqu'à 250°C en continu, ininflammables, ne fondent pas, carbonisent

vers 400°C.

- bas module (de 6000 à 16000MPa).

- isolants thermiques, électriques, cônes de rentrée des véhicules spatiaux, boucliers

thermiques des missiles, vêtements militaires antithermiques.

Trichites (whiskers)

- monocristaux de 1 à 50 mm de diamètre et de 1 à 5 cm de longueur.

- AleO3, SiO2, ZrO2, MgO, TiO2, BeO, SiC, ...

- Prix élevé.

- Comportement élastique fragile.

- Résistance bien plus grande que beaucoup de polycristallins.

P E (MPa) R (MPa)

Al2O3 3.97 1 200 000/2 200 000 22 000/15 000

SiC 3.2 480 000 20 000

Graphite 1.8 1 000 000 20 000

Fer 7.8 300 000 13 000

Page 5: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 5 -

Chapitre 0 : Généralités

- Problèmes aux niveaux : manipulation, compatibilité chimique, mouillage.

Autres fibres

- économie

- isolation thermique

- conductibilité thermique et électrique

- origine végétale : sisal, jute, lin, ...

- amiante : chrysotile , crocidolite, ...

- polyester : Tergal, dacron, Térylène, ...

- métalliques : cuivre, aluminium, inox, ...

Exemples de fabrication

La fibre de verre

Les filaments sont obtenus par filage de verre (silice + carbonates de sodium et de

calcium) en fusion (T > 1000 °C), à travers des filières en alliage de platine.

1.Composition (mélange des oxydes)

2.Fusion (1500°C)

3.Fibrage (1200°C) : four filière de diamètre de 1 à 2 mm

4.Etirage : diamètre de 3 à 20 mm

5.Ensimage (protection , amélioration de l'adhésion fibre-matrice)

6.Bobinage

7.Tissage

Le Kevlar

Fibre d’aramide, de couleur jaune paille, mise au point par la société Du Pont de

Nemours (USA), mise au point secrète : polyamides aromatisés obtenus par synthèse à –10°C,

puis filés et étirés pour obtenir un module d’élasticité élevé.

Le Carbone

Des filaments acryliques de Tergal ou de rayonne (obtenus à partir de distillation de

houille ou de pétrole) sont oxydés à chaud (300 °C) puis chauffés à 1500 °C dans une

atmosphère d’azote. Il ne subsiste alors que la chaîne hexagonale des atomes de carbone. On

obtient des filaments noirs et brillants. Le module d’élasticité élevé est obtenu par filage à

chaud.

Le Bore

Page 6: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 6 -

Chapitre 0 : Généralités

Un filament de tungstène (∅ = 12 µm) sert de catalyseur à la réaction de chlorure de

bore et d’hydrogène ) 1200 °C. Les fibres de bore obtenues ont un diamètre d’environ 100 µm

(la vitesse de croissance est de 1 micron par seconde).

La Carbure de Silicium

Le principe d’élaboration est analogue à celui de la fibre de bore : dépôt chimique en

phase vapeur (1200 °C) du méthyle thrichlorosilane mélangé à l’hydrogène.

Principaux matériaux de renfort :

Principales caractéristiques mécaniques des fibres de base:

Fibre densité Charge de rupture en traction (en Mpa)

Charge de rupture en compressio (en Mpa)

Allongnt à la rupture (en %)

Module d'élasticité longi (Mpa)

Diamètre du filament élémentaire (en mm)

Prix (en F/K)

Verre E 2.54 3400 1200 4.8 73000 3 - 30 12 Verre R 2.48 4400 1300 5.4 86000 3 - 30 50 Aramide

bas module 1.45 3100 500 2 70000 12 150

Aramide

haut module 1.45 3100 500 1 130000 12 200

Carbone

haute

ténacité

1.78 2800 1800 0.5 200000 8 300/1000

Carbone

haut module 1.8 2200 1300 400000 8 300/1000

Bore 2.63 3500 3500 0.8 400000 100 - 200 3000 Acier XC10 7.85 1000 210000

Page 7: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 7 -

Chapitre 0 : Généralités

Aluminium 2.63 358 69800 10

0-4- Les matrices

Les différentes familles de matrice

Critères essentiels des matrices TD et TP

TP : thermoplastiques TD : thermodurcissables Etat de base Solide (prêt à l'emploi :

polymérisé)

Liquide visqueux à

polymériser

Stockage matière de base Illimité Temps réduit (précautions à

prendre)

Mouillabilité des renforts Difficile aisée

Moulage Chauffage

(fusion/ramollissement

+ refroidissement de fixation)

chauffage continu

Cycle court plus long (polymérisation)

Caractéristiques spécifiques

Tenue au choc assez bonne limitée

Tenue thermique réduite sauf nouveaux TP

thermostable

meilleure

Chutes et déchets recyclables perdus

Page 8: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 8 -

Chapitre 0 : Généralités

Conditions de mise en œuvre

bonnes + propreté émanations pour méthode

humide (allergie possible)

Définitions :

- Résine thermodurcissable : polymère transformée en un produit essentiellement

infusible et insoluble après traitement thermique (chaleur, radiation) ou physico-

chimique (catalyse, durcisseur).

- Résine thermoplastique : polymère pouvant être alternativement ramollie par

chauffage et durci par refroidissement dans un intervalle de température spécifique

du polymère étudié. Les résines thermoplastiques présentent l'aptitude à l'état

ramolli, de se mouler aisément par plasticité.

- Résine thermostable : polymère présentant des caractéristiques mécaniques stables

sous des pressions et des températures élevées (>200°C) appliquées de façon

continue. Cette propriété est mesurée en déterminant la température que peut

supporter la résine durant 2000h sans perdre la moitié de ses caractéristiques

mécaniques.

- Elastomère thermoplastique : polymère fortement élastique.

Principales caractéristiques mécaniques des résines (réf. CETIM Mallard, Rapport DPE

1991):

Résines nom ρρρρ (kg/m3) E (MPa) νννν R (MPa) αααα µµµµm/m°C

Prix (F/kg)

TD Polyester 1300 3800 0.37 88 100 15

Vinylester 1200 3500 0.35 81 65 18

Epoxyde 1220 5200 0.38 121 40 40

Silicone 1550 1000 0.45 3 30 200

Polyimide 1217 3450 0.35 80 36 150

Phénolique 1350 3000 0.36 70 80 10

Polyamide 1130 1900 0.33 70 85 25

TP Polycarbonate

1100 2300 0.33 60 70 30

Polyester saturé

1310 2800 0.33 55 90

Métaux Aluminium 2630 69000 0.33 358 23 13

Acier XC10 7850 210000 0.29 1000 1000 10

Cuivre 8940 119000 0.30 350 17 11

Magnésium 1660 42000 0.30 280 25 27

Avec

ρ (kg/m3) : Masse volumique

Page 9: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 9 -

Chapitre 0 : Généralités

E (MPa) : Module d'Young

ν : Coefficient de Poisson R (MPa) : Limite élastique en traction

α (µm/m°C) : Dilatation thermique

0-5- Les matériaux composites structuraux

Monocouches

Les monocouches représentent l'élément de base de la structure composite. Les

différents types de monocouches sont caractérisés par la forme du renfort : à fibres longues

(unidirectionnelles UD, réparties aléatoirement), à fibres tissées, à fibres courtes.

Stratifiés

Un stratifié est constitué d'un empilement de monocouches ayant chacun une orientation

propre par rapport à un référentiel commun aux couches et désigné comme le référentiel du

stratifié.

Page 10: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 10 -

Chapitre 0 : Généralités

Le choix de l'empilement et plus particulièrement des orientations permettra d'avoir des

propriétés mécaniques spécifiques.

Notation " composite " : Un stratifié possédant l'empilement (0, +45, +90, -45)2s est un

stratifié avec 4 couches dans les directions 0°, -45°, 90° et +45°, l'orientation 0° coïncidant

avec la direction 1 du repère principal du composite. Ces plans seront réparties

symétriquement par rapport au plan moyen du stratifié.

On pourra avoir des stratifiés de type :

1.Equilibré : stratifié comportant autant de couches orientée suivant la direction +θ que de couches orientée suivant la direction -θ.

2.Symétrique : stratifié comportant des couches disposées symétriquement par rapport

à un plan moyen.

3.Orthogonal : stratifié comportant autant de couches à 0° que de couches à 90°.

Sandwichs (voir chapitre 5)

Matériaux composés de deux semelles (ou peaux) de grande rigidité et de faible

épaisseur enveloppant une âme (ou cœur) de forte épaisseur et faible résistance. L'ensemble

forme une structure d'une grande légèreté. Le matériau sandwich possède une grande légèreté

en flexion et c'est un excellent isolant thermique.

Page 11: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 11 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 12: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 12 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 1

1-1- Mise en œuvre, procédés

Trois opérations sont indispensables :

1.Imprégnation du renfort par le système résineux.

2.Mise en forme à la géométrie de la pièce.

3.Durcissement du système

soit par polycondensation et réticulation pour les matrices thermodurcissables,

soit par simple refroidissement pour les matières thermoplastiques.

Il existe différentes techniques mais la plus utilisée est par moulage :

Limitation : taille des pièce = taille des moules

Page 13: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 13 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 14: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 14 -

Chapitre 0 : Généralités

Classification des procédés en deux grandes familles :

- Procédés humides (par imprégnation directe) : ils sont généralement adaptés à des

petites et moyennes séries. Exemples :

• Moulage au contact

• Moulage par projection simultanée

• Moulage à froid ou chaud sous presse

• Moulage au sac sous pression et moulage sous vide

• Moulage par injection de résine (RTM = Resin Transfer Moulding avec

moule et contre moule)

• Moulage par Injection et Réaction (R.R.I.M. = Reinforced-Reaction

Injection Molding) et Mousses (mise en œuvre du polyuréthanne et des

systèmes résines / catalyseurs très réactifs)

• Centrifugation

• Pultrusion

• Enroulement filamentaire

• Stratification en continu de plaques et profilés (dépassé)

- Procédés secs (par imprégnation indirecte) : ils nécessitent l’utilisation de demi-

produits de moulage – préimprégnés en nappes ou en composés pâteux –.

Exemples :

• Fabrication de préimprégnés et de compounds de moulage (renfort fibreux –

tissus, roving – servant de support à une résine thermodurcissable se

présentant dans un état de durcissement incomplet et réversible stable à

basse température. Certaines résines thermoplastiques sont également

utilisées. Mise en ouvre des « prepeg » : Ligne d’imprégnation solvant, Hot

melt direct ou Hot melt par transfert.

• Les Compounds de moulage sont des préimprégnés plutôt destinés à la

fabrication de composites grandes diffusions : tissus, rovings mais plus

souvent des fils coupés :

- SMC (Sheet Moulding Coumpound), lamifié en résine polyester

chargée, armée de fibres placées entre 2 films plastiques

protecteurs, on distingue :

. SMC – R : fibres sans orientation

. SMC – C fibres continues unidirectionnelles

. SMC – C/R

. SMC – D : fibres coupées unidirectionnelles

- SMC hautes performances avec renforts hybrides – verren carbone,

kevlar -.

- HMC (High Moulding Compound) et XMC (enroulement

filamentaire avec orientation spécifique pour améliorer les

propriétés)

Page 15: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 15 -

Chapitre 0 : Généralités

- Pâtes à mouler renforcées de fibres courtes plus visqueuses et plus

adaptées à des procédés d’injection à chaud mais caractéristiques

mécaniques faibles :

- DMC = Dough, BMC = Bulk, TMC = Thick,

- ZMC = pas d’endommagement des fibres lors de l’alimentation du

compound)

Par les Procédés secs, les paramètres de moulage comme le taux de fibres sont mieux

contrôlés et les cadences de fabrication plus rapide (applications technologiques). Ils

permettent la fabrication de pièces en grande séries. Exemples :

• Compression de préimprégné (SMC)

• Injection de préimprégné

• Drapage et autoclave pour pièces hautes performances (aéronautique), des

nappes préimprégnées sont déposées dans un moule et polymérisées par un

cycle de cuisson pression + température). Le procédé est long et lourd mais

le contrôle de l’orientation des fibres est très précis.

• Estampage de plaques en thermoplastiques armés (TRE = Thermoplastiques

Renforcé Estampable)

• Injection de thermoplastiques armés (TPR = Thermoplastiques Renforcé)

Les procédés les plus importants sont :

1. Moulage au contact : technologie de réalisation de pièces prototypes ou de

simulation. Le principe consiste à imprégner manuellement les renforts disposés

dans un moule. C'est peu onéreux et des pièces de formes quelconques peuvent

être réalisées mais cadence très faible.

2. Moulage par projection simultanée : technologie similaire mais les fibres coupées

sont projetées au pistolet.

3. Injection thermodurcissable BMC (Bulk Molding Compound ou préimprégné en

vrac). Procédé discontinu haute pression (100 bars). Alimentation et dosage du

Compound, Injection-pression, maintien et polymérisation, puis éjection.

Les avantages sont : réalisation de grande série, faible coût matière, peu de finition,

temps de cycle. Les limites sont : le taux et la longueur des renforts et les propriétés

mécaniques du composite obtenu.

4. Compression thermodurcissable SMC (Sheet Molding Compound ou

préimprégnés en feuilles. Le principe consiste à déposer des feuilles de

préimprégnés dans un contre moule chauffé, de comprimer le matériau avec un

moule chauffé, polymérisation puis éjection de la pièce. Avantages : coût matière,

propriétés mécaniques et thermiques.

Page 16: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 16 -

Chapitre 0 : Généralités

Les limites sont l'aspect, le dimensionnement des presses et la finition.

5. Pultrusion : Utilisation pour les composites hautes performances industrielles. Le

principe est : tirage, mise en forme et polymérisation de fibres continues

imprégnées. Les avantages sont la production en continue, possibilité de réaliser

des sections très complexes, et d'avoir un taux de renfort élevé. Les limites sont la

lenteur du procédé, uniquement des profilés droits à section constante.

6. Enroulement filamentaire (ou bobinage): technologie pour les HP. Le principe

consiste en un enroulement sous tension sur un mandrin tournant autour de son

axe de fibres continues préalablement imprégnées d'un liant. Les avantages sont la

disposition optimale des renforts, les très bonnes propriétés mécaniques,

possibilité de réaliser des pièces de grandes dimensions avec des surfaces internes

lisses. Les limites sont que formes uniquement convexes et investissements

importants.

Page 17: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 17 -

Chapitre 0 : Généralités

1-2- Contrôle des structures composites (notions)

Méthodes simples

- Contrôle visuel

Ce premier moyen d’observation constitue le plus simple de tous les moyens d’analyse.

Pourtant il permet de donner parfois des informations précises sur les zones endommagées.

- Tap test

Ce test est fréquemment utilisé dans l’aéronautique pour déterminer les zones endommagées

ou celles de défauts (délaminage). Ce test consiste à taper légèrement la structure en plusieurs

endroits pour détecter les zones de variation de ton et qui sonnent creux. Ce test simple peut

être utilisé directement par les techniciens chargés de la maintenance et donne des résultats

relativement fiables pour certains types de dommage (ex : décollement d’interface).

1-2-1- Radiographie X (méthode directe)

- Méthode frontale : non destructive, contrôle de répartition des fibres, parasites

inclusions. On ne voit pas le délaminage.

- Méthode transversale : destructive, rhéologie des écoulements dans l'empreinte de

l'outillage.

- Visualisation de l'endommagement : observation fine : substance absorbante

diffusée dans le matériau.

Tetrabromoéthane Iodure de Zinc en solution eau/alcool isopropylique

Très fort coefficient d'étalement microfissure mais pas délaminage.

Deux photos sous deux angles différents vision en relief : distinguer chaque pli.

1-2-2- Thermographie infrarouge (indirecte)

Page 18: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 18 -

Chapitre 0 : Généralités

- Permet d'obtenir une cartographie thermique du composite. Les échauffements

locaux sont reliés à la densité d'endommagement. Méthode plus qualitative que

quantitative.

- Exemple d'utilisation : suivi d'endommagement en essai de fatigue, de rupture

progressive autour d'un trou, influence de la séquence d'empilement.

1-2-3- Emission acoustique (indirecte)

Rupture (fibre, matrice, interfaces) ondes de contraintes, bruit

Capteurs (50-500kHz).

- Méthode pour le suivi d'endommagement en cours d'essai

Cette technique non destructive vise donner un aspect qualitatif à l’endommagement du

matériau. En combinant les capteurs piézo électrique d’émission acoustique, il est de

plus possible de localiser celui-ci. Dans nos applications, nos mesures sont faites

généralement en cours de chargement ce qui permet de suivre l’évolution des

dommages introduit.

- Problèmes : interprétation ?

La chaîne d’émission acoustique utilisée est équipée de différent module d’acquisition

permettant le traitement en amplitude et le comptage cumulé des événements. Le

comptage cumulé représente la somme des événements au cours de l’essai. Un

événement correspond en fait à un processus de dégradation de nos matériaux. Pour

éviter les bruits parasites, on ne tient compte en général que des émissions supérieures à

33dB. La mesure de l’amplitude des événements permet de tracé des courbes nombre

d’événements/amplitude de la forme suivante :

Page 19: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 19 -

Chapitre 0 : Généralités

De nombreux travaux qui ont été menés à l’UTC Compiègne (Barré et al 1994,

Meraghni 1994, X.L. Gong 1994) ont permis d’aboutir à l’interprétation de ces relevés

comme cela est indiqué sur la figure précédente.

Les endommagements sont résumés de la manière suivante :

Modèle schématique d'E.A. pour identifier l'endommagement. Les mécanismes

d’endommagement numérotés de 1 à 5 sont définis comme suit:

1, 33-45 dB : micro-fissuration de la matrice,

2, 46-58 dB : coalescence des microfissures ,

3, 59-68 dB : rupture de l’interface, 4, 69-86 dB : frottement fibre / matrice, déchaussement des fibres,

5, 87-100 dB : rupture des fibres.

Page 20: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 20 -

Chapitre 0 : Généralités

30 50 70 90 100

1 2 3 4 5

Amplitude en (dB)

20100 40 60 80

Nous notons donc que cet outil est particulièrement utile dans nos essais. D’autre part,

le simple fait de suivre le comptage cumulé du nombre d’événements permet de donner une

valeur à partir de laquelle l’endommagement irréversible d’une structure démarre. Ce point

est appelé seuil d’endommagement.

- Comptage : nombre de signaux > seuil ?

• Couplage distance du signal-capteur

• Amplitude du signal/nature de la rupture

• Effet Kaiser - Rapport Felicity.

- Applications : Méthode de contrôle pour béton (barrage), Contrôle dans les centrales

nucléaires (localisation), contrôle dans les silos (formes tubulaires).

Page 21: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 21 -

Chapitre 0 : Généralités

1-2-4- Echographie ultrasonore (indirecte)

Principe : interaction Matière - Onde sonore.

Par contact :

Par immersion :

- Propriétés : détecte les délaminages, porosités, les défauts perpendiculaires au

faisceau ultrasonore (exemple du C-Scan) :

Page 22: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 22 -

Chapitre 0 : Généralités

o

Tâche focale

IBM-PC

Emission/Réception

Système MICROCONTROLE Déplacement x y z

Cuve à eau

x y

z

Transducteur focalisé

Eprouvette

écho 1 écho 2

d

écho de fond

écho de surface

signal émis

épaisseur

Page 23: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 23 -

Chapitre 0 : Généralités

- Paramètres : vitesse de l'onde, atténuation, phase, spectre.

- Application courante : aéronautique et spatial.

Développement en cours sur US (P. Marguerès, UTC / DPC)

- Une plaque monolithique est immergée dans l’eau et l’onde US est transmise à

travers le matériau, l’analyse du signal est faite sur toute la plaque en faisant varier

l’angle d’incidence (goniomètre) nous donne des informations sur les rigidités du

matériau (tenseur de Christoffel)

- Mesure des lenteurs par transduction : on remonte à la rigidité 3D du matériau

monolithique orthotrope (9 termes sur 21), jusqu’à l’anisotropie complète (21

termes) : développements numériques en cours (convergences numériques).

- La dégradation du tenseur de rigidité (modification de la nature du matériau) est

relative à un dommage.

- Cette approche est pour l’instant limitée aux monolithiques peu épais (problème de

puissance du signal)

IBM-PC

Emission/Réception

Système MICROCONTROLE

Déplacement

Page 24: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 24 -

Chapitre 0 : Généralités

Mesure référence de la vitesse de l’eau

écho 1

écho 2

écho 1 écho 2

d

25 mm

1-2-5- Holographie - Moiré

Principe : La présence d'un défaut ou d'un délaminage entraîne une large déformation de

la surface du matériau. Ces deux méthodes sont des méthodes optiques avec lesquelles sont

visualisées le déplacement, espacement de franges, d'interférences.

1-2-6- Fractographie

- Analyse des surfaces de rupture à posteriori (M.E.B.)

Le microscope électronique à balayage permet l’obtention d’images d’un fort

grossissement qui permettent d’analyser les phénomènes microscopiques de l’ordre de

quelques microns (faciès de rupture par exemple). Les moyens nécessaires sont relativement

lourds puisqu’il faut polir et parfois métalliser les échantillons dans le cas où ils ne seraient

pas conducteurs (en particulier pour les fibres de verre). D’autres part la découpe des éléments

que l’on veut analyser doit être fine puisque les dimensions de ceux-ci sont limitées à la taille

du caisson. Dans ce caisson on réalise le vide puis on injecte un gaz d’argon pour faciliter le

bombardement d’électrons.

Page 25: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 25 -

Chapitre 0 : Généralités

- Expertise (méthodes très courantes pour les métaux). Pour les composites : pas très

net, du à la diversité des constituants, anisotropie, taux de fibre...

- Beaucoup plus difficile.

- Il existe beaucoup d'autres méthodes : courant de Foucault, potentiométrie,

tomographie X...

Page 26: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 26 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 2

2-1- Approche classique des composites : spécificité du calcul des composites

Composites = matériaux composites = structure composite

L'élaboration de la structure est non séparée de celle du matériau. Le comportement

résulte de celui des composants par l'intermédiaire de différents types d'interaction, d'où

l'importance de l'interface entre les composants. Le comportement des composants est

différent d'où l'intérêt de les faire travailler ensemble.

La question de base qui se pose est de savoir décrire le comportement du composite

connaissant celui des constituants.

La spécificité du calcul des matériaux composites vient donc de l'hétérogénéité par

conception, et des discontinuités par des microvides. Il faut donc recourir à des techniques

d'homogénéisation pour obtenir la relation de comportement tant au niveau d’une

monocouche que du stratifié ou du sandwich.

L'homogénéisation consiste en la représentation d'un milieu équivalent + la

construction d'un modèle de calcul permettant d'appliquer la MMC au domaine correspondant

à ce milieu équivalent.

Le milieu équivalent est caractérisé en décomposant le matériau en parties

irréductibles définissant le VER (Volume Elémentaire Représentatif réduit à la géométrie des

éléments constitutifs de l'hétérogénéité, géométrie caractérisée par des conditions de symétrie

et de périodicité de ces éléments) de l'état mécanique de ce milieu et susceptible de

représenter le comportement réel du matériau.

Avant tout calcul de structures composées de matériaux hétérogènes, il y a un calcul

d'homogénéisation permettant de définir un comportement local approché de ces matériaux.

Différents niveaux d'échelles d'étude :

Principalement pour les composites stratifiés ou sandwichs : 2 niveaux d'observation

- Niveau micromécanique au niveau méso

- Les hétérogénéités de base sont les fibres et la matrice. On effectue ici une

étape d'homogénéisation locale.

- Niveau méso au niveau macro

- Les hétérogénéités de base sont les différentes couches du stratifié. Ces couches

sont considérées comme "homogènes" (étape précédente). Cette fois, il s'agit

d'une homogénéisation dans l'épaisseur du stratifié.

Page 27: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 27 -

Chapitre 0 : Généralités

- Rappel :

• hétérogène : relation de comportement dépend du point étudié

• anisotrope : relation de comportement dépend de la direction

2-2- Etude des lois de comportement anisotrope 3D

2-2-1- Hypothèses de travail

- Milieu élastique entraînant la réversibilité des phénomènes.

- HPP : petites déformations : théorie du premier gradient. Petits déplacements

par rapport aux dimensions de la pièce.

- Actions appliquées progressivement : chargement quasi-statique.

- Pas de couplage des phénomènes : hygrothermiques et mécaniques.

- Relations de comportements linéaires.

- Existence d'un potentiel élastique W(ε),

Forme quadratique définie positive des composantes du tenseur des déformations :

2-2-2- Loi de Hooke

σ = K ε avec K : opérateur de Hooke.

2-2-3- Propriétés de K

• Symétrie : ∀ ε1, ∀ ε2, Tr [ε1.(K ε2)]=Tr [ε2.(K ε1)]

• Positif : Tr[ε1.(K ε2)] ≥ 0 • Définie : Tr [ε1.(K ε1)] = 0 ⇒ e 1 = 0

• Si U1 est un champ de déplacement de solide rigide alors :

ε( U1 ) = 0 => U1 = U0 +W ∧ OM

Page 28: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 28 -

Chapitre 0 : Généralités

2-2-4- Notations " chapeau "

Notation tensorielle => Notation matricielle

Le 2 vient du calcul de la trace du produit de la contrainte et de la déformation.

Tr[σε] = σ.ε : produit de matrice. On pose γij = 2 εij : déviation angulaire

Page 29: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 29 -

Chapitre 0 : Généralités

Relation de comportement : εij = Sijkl σkl

- La matrice 6*6 correspond à la matrice Sijkl (dit de « souplesse »)

- Symétrie des contraintes => σkl = σlk => Sijkl = Sijlk

- Symétrie des déformations => εij = εji => Sijkl = Sjikl

- Seule la connaissance des connaissances des coefficients de la sous-matrice 6*6 est

nécessaire.

- Application du théorème des travaux virtuels pour un s particulier => Sijkl = Sklij

- => Sijkl est symétrique => 21 coefficients à déterminer.

La relation de comportement s'écrit :

Page 30: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 30 -

Chapitre 0 : Généralités

- => Remarque : pour que la matrice Sijkl soit symétrique, on travaillera avec les

distorsions angulaires.

- Les coefficients du tenseur de souplesse s'expriment à l'aide de constantes

mécaniques.

D'après CHENTSOV, on a :

Ei : modules de tensions

ηij,k : coefficients d'influence de 1ère espèce.

Gij : modules de cisaillement

ηi,kl : coefficients d'influence de 2nde espèce.

νij : coefficients de contraction µij,kl : coefficients de CHENTSOV.

Dans le paragraphe qui suit, nous allons introduire des symétries matérielles permettant

de simplifier la matrice de souplesse Sijkl.

Page 31: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 31 -

Chapitre 0 : Généralités

2-2-5- Matériau orthotrope (orthogonal+anisotrope)

Définition : matériau élastique homogène présentant en tout point 2 symétries du

comportement mécanique chacune par rapport à 1 plan, les 2 plans étant orthogonaux.

Remarque : Les composantes Smnpq d'un tenseur exprimées dans un repère (1,2,3)

s'écrivent Sijkl dans un repère (I,II,III) :

- Avec cosmi : cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs unitaires m et i.

- Après simplification de Sijkl (élimination des termes nuls), il ne reste que 9

coefficients distincts qui sont :

Avec :

E1, E2, E3 : modules d'élasticité longitudinaux.

G23, G13, G12 : modules de cisaillement.

ν23, ν13, ν12, ν21, ν23, ν31 : coefficients de Poisson.

Symétrie de la loi de comportement :

Page 32: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 32 -

Chapitre 0 : Généralités

2-2-6- Matériau isotrope transverse

- Définition : matériau possédant une direction privilégiée, c'est-à-dire qu'il existe

un axe de symétrie.

- Si on suppose que la direction 3 est axe de symétrie, la relation de

comportement s'écrit alors :

Il ne reste donc que 5 coefficients distincts.

Page 33: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 33 -

Chapitre 0 : Généralités

2-3- Comportement anisotrope 2D

- Hypothèse : structures composites stratifiés => étude du comportement de la

couche UD (unidirectionnelle) => définition de la méso-échelle =>

dimensionner et modéliser des structures composites.

- Hypothèse : matériau orthotrope => détermination des constantes élastiques

d'un pli UD exprimées dans son repère d'orthotropie.

2-3-1- Repère du pli

2-3-2- Coefficients de souplesse

Les hypothèses simplificatrices suivantes permettent d'éliminer certains coefficients de

la matrice de souplesse :

Epaisseur du pli << dimensions longi et transverse du pli => dim 3 << dim 1 et 2 =>

σ33 << aux autres composantes du tenseur des contraintes. => stratifié mince constitué d'une

superposition de pli UD => description du comportement du matériau orthotrope dans le plan

(l,t) :

Page 34: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 34 -

Chapitre 0 : Généralités

Dans le repère local du pli, la relation de comportement s'écrit :

Le repère global du stratifié composite est (x,y,z). Avant de faire un calcul sur une

structure plaque composée de plusieurs plis d'orientations diverses, il faut ramener tous les

plis dans le repère globale de la structure. Pour cela, il faut effectuer un changement de repère

de toutes les matrices de la relation de comportement du pli, c'est à dire passer du repère (l,t)

au repère (x,y). La plaque étant de faible épaisseur, la direction 3 est abandonnée.

Rappel : la contrainte s s'exerçant sur une facette de normale n s'écrit :

Coordonnées d'un même vecteur dans 2 repères distincts (x,y) et (l,t) / (x,y)=θ

Avec :

Page 35: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 35 -

Chapitre 0 : Généralités

Dans le repère (l,t), la contrainte s'exerçant sur la facette de normale x s'écrit :

Dans le repère (x,y) :

De la même façon, on obtient :

La matrice des contrainte s'écrit donc dans (x,y) :

On pose de la même façon, pour les déformations :

Relation de comportement :

Page 36: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 36 -

Chapitre 0 : Généralités

Il y a apparition de couplage dans la matrice [K]-1.

(x,y) : repère de la plaque = repère global.

Page 37: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 37 -

Chapitre 0 : Généralités

(l,t) : repère du pli = repère local et (x,y) : repère global.

On a donc écrit les coefficients de la matrice de souplesse K-1 du pli élémentaire dans le

repère global de la structure.

2-3-3- Coefficients de raideur

On commence par inverser la relation de comportement ε = f(σ) dans le repère (l,t).

Page 38: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 38 -

Chapitre 0 : Généralités

Apparition des coefficients élastiques dits de " raideur ".

Nouvelle notation :

Même procédure qu'avant :

Qui se réécrit sous la forme :

Page 39: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 39 -

Chapitre 0 : Généralités

Avec :

Page 40: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 40 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 3

CALCULS D'HOMOGENEISATIONS COMPOSITES

3-1- Homogénéisation pour le calcul des modules

La première étape d'un calcul composite consiste à déterminer les caractéristiques

mécaniques du matériau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces

calculs se réduisent uniquement au calcul du module d'Young. Il existe divers modèles

d'homogénéisations pour l'obtenir. Les plus classiques seront présentées ici.

3-1-1- Homogénéisation simplifiée - Les modèles à " Bornes "

Soit un matériau composite UD de repère d'orthotropie (l,t), constitué de fibres noyées

dans une matrice polymère. Soit une cellule élémentaire de fraction volumique V = 1

constituée de fibres et de matrice avec :

Vm : fraction volumique de matrice Vf : fraction volumique de fibre V = Vm + Vf =1

A l'échelle locale, on a les hypothèses suivantes :

- Fibres: comportement élastique linéaire fragile isotrope de coefficients Ef et ννννf.

- Matrice: comportement élastique non-linéaire, isotrope de coefficients Em et ννννm.

But ? Déterminer les relations existant entre El , Et , Ef , Em , ννννm et ννννf . Hypothèses :

- On travaille en élasticité linéaire. - On suppose que la liaison fibres/matrices est parfaite. - Localement, on a : σσσσf = Ef εεεεf et σσσσm = Em εεεεm

Page 41: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 41 -

Chapitre 0 : Généralités

Modules longitudinale et transverse d'un UD par la loi des mélanges

On associe deux matériaux de caractéristiques distinctes dans le but d'estimer les

caractéristiques élastiques du matériau équivalent, c'est à dire de l'UD. Pour cela, on effectue

deux essais de compression.

1er essai : Il s'effectue dans la direction parallèle aux fibres (compression longitudinale)

El : module homogénéisé d'Young dans la direction longi à déterminer.

σl = El εl

Simplification du problème : on considère le problème équivalent suivant :

Hypothèse : la déformation est constante dans une section droite, c'est à dire que :

Page 42: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 42 -

Chapitre 0 : Généralités

ε1=εf=εm

On a : σ1=F1/S1=Elεl=Elεf=Elεm<=> σ1=Elσf/Ef=Elσm/Em

L'équilibre de l'éprouvette s'écrit : F1=Ff+Fmavec Ff : force appliquée à la fibre, et Fm :

force appliquée à la matrice.

On aura :

Ff=EfεfSf=EfεlSf Fm=EmεmSm=EmεlSm

Donc, Ff+Fm=εl(EfSf+EmSm)=F1

Or, la loi de comportement de l'UD s'écrit :

σ1=F1/(Sf+Sm)=Elεl=> F1=Elεl*(Sf+Sm)

=> El=EfSf/(Sf+Sm) + EmSm/(Sf+Sm) => El=EfVf+EmVm : loi des mélanges

Relation très bien vérifiée dans la direction des fibres.

2ème essai : Il s'effectue dans la direction perpendiculaire aux fibres (compression

transversale)

Et= module homogénéisé dans la direction transverse, à déterminer. σσσσ2=Etεεεε2

Page 43: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 43 -

Chapitre 0 : Généralités

Simplification du problème : On considère le problème suivant :

Hypothèse : la contrainte est constante dans une section droite.

Donc : σ2=σf=σm<=> Vε2=Vfεf+Vmεm<=> σ2/Et=(Vfsf/Ef)+(Vmsm/Em)

<=> 1/Et=(Vf/Ef)+(Vm/Em) : loi des mélanges en souplesse

Relation pas très bien vérifiée transversalement mais qui donne une indication sur la

borne inférieure.

Module de cisaillement et coefficient de Poisson d'un UD par la loi des mélanges

De façon analogue, on détermine ces deux coefficients et on trouve que :

νlt=νfVf+νmVm

1/Glt=(Vf/Gf)+(Vm/Gm) Rappelons que les modèles à bornes donnent un encadrement du comportement

mécanique du matériau composite par des comportements mécaniques limites (bornes). Les modèles que nous allons voir maintenant sont applicables à des mélanges de polymères (matériaux composés) et à des composites chargés par des particules diverses. Nous remplacerons donc les termes fibres et matrices par des phases. Les bornes correspondent aux associations série des deux phases (REUSS, équivalent au modèle du module transverse équivalent de la loi des mélanges) et parallèle (VOIGT, équivalent au modèle du module longitudinal équivalent de la loi des mélanges). Aucune hypothèse n'est faite sur la morphologie du matériau. Il est simplement admis que pour le modèle de REUSS, la contrainte est homogène dans les deux phases (continuité de la contrainte) et, pour le modèle de VOIGT, la déformation est constante (continuité de la déformation) dans tout le composite. L'intérêt est limité dès que l'écart des caractéristiques des deux phases est important.

Page 44: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 44 -

Chapitre 0 : Généralités

3-1-2 - HASHIN et SHTRIKMAN (1963)

Expression des bornes plus resserrée que Voigt et Reuss. Il rajoute une hypothèse

supplémentaire sur la géométrie : il existe une phase continue et une discontinue. Ce modèle

utilise le principe variationnel : les différents constituants sont noyés dans un matériau de

comparaison. Si le matériau de comparaison est "plus souple" Lmin ou "plus raide" Lmax que

toutes les phases du matériau composite, on obtiendra une borne inférieure LHS- et supérieure

LHS+ pour les modules du matériau composite.

avec Les limites supérieure et inférieure sont équivalentes aux relations obtenues par

KERNER, basées aussi sur le principe variationel de la méthode auto-cohérente mais Kerner n'a pas émit d'hypothèses sur la morphologie du mélange. Ses seules hypothèses sont :

- propriétés du mélange : isotrope.

Page 45: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 45 -

Chapitre 0 : Généralités

- comportement des constituants dans le composite est le même que dans le produit en masse.

- adhésion parfaite entre les constituants.

Les approches phénoménologiques :

Dans Voigt et Reuss, les phases sont en état de contrainte ou déformation constante.

Mais dans la réalité, la répartition des contraintes et déformations entre les particules n'est pas

aussi simple. La prise en compte de ceci va se faire par combinaison des modèles de bases de

Voigt et Reuss. Différents modèles ont donc été développés, mais la description la plus

utilisée est celle de TAKAYANAGI.

Hypothèse : il existe un paramètre de forme ajustable.

Page 46: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 46 -

Chapitre 0 : Généralités

Ce modèle donne une bonne description phénoménologique du système mais pas sur sa

morphologie (arrangement entre phase).

Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI.

Elles permettent de prédire le module longitudinal d'un composite renforcé par des

fibres courtes alignées. Les auteurs ont généralisé l'équation de KERNER (1956) issue d'un

schéma autocohérent et écrite pour le cas de renforts sphériques au cas des renforts allongés.

Les modules longitudinale El et transverse Et s'écrivent alors :

ξ : mesure du facteur de forme de la fibre = 2L/d où L : longueur et d diamètre de la

fibre. A partir des équations d'Halpin-Tsai, on peut estimer le module d'un composite renforcé

par des fibres courtes orientées aléatoirement dans un plan ou dans un volume.

L'approche de TSAI-PAGANO

Elle est basée sur la théorie de l'élasticité orthotrope. Elle donne un module E d'un

composite à fibres courtes, isotrope dans le

plan.

E=3/8 El+5/8 Et

Page 47: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 47 -

Chapitre 0 : Généralités

L'approche d'HALPIN-KARDOS

Elle est similaire à la précédente mais le composite isotrope dans le plan est traité

comme un composite stratifié composé de plis UD, chaque pli étant tourné d'un angle donné

par rapport au précédent. Le calcul analytique d'HALPIN-KARDOS a été réalisé sur un

assemblage de 4 plis orientés à (0°, -45°, +45°, 90°).

On a donc un composite quasi-isotrope. Les modules de chaque pli sont estimés à partir

des équations d'HALPIN-TSAI.

L : longueur des fibres, l : largeur des fibres, e : épaisseur des fibres.

ξ : facteurs de forme.

Le module G du composite est :

Page 48: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 48 -

Chapitre 0 : Généralités

Conclusion : Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI sont semi-

empiriques mais simples à utiliser.

3-2- Théorie simplifiée des stratifiés

Rappel : On appelle stratifié ce qui résulte de plusieurs couches (ou pli) de nappes

unidirectionnelles ou de tissus avec des orientations propres à chaque pli.

Le calcul du comportement moyen d'une plaque composite stratifié va être présenté

dans ce chapitre.

3-2-1- Comportement en membrane

Soit un stratifié à symétrie miroir (les empilements des plis de part et d'autres du plan

moyen sont identiques (±θ)s.

Page 49: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 49 -

Chapitre 0 : Généralités

u0, v0 : composante du déplacement dans le plan moyen, et k indice de chaque pli.

On est en hypothèse des petites déformations. On a alors une relation entre l'angle de

rotation de la section et le déplacement suivant l'axe z notée w : ω = ∂ w/∂ x,

Pour un point ne se trouvant pas dans le plan moyen, on aura comme déformation :

εx = ∂ u/∂ x = ∂ /∂ x (u0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ u0/∂ x - z ∂ 2w/∂ x2

εy = ∂ v/∂ y = ∂ /∂ y (v0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ v0/∂ y - z ∂ 2w/∂ x2

∂ 2w/ x2 = courbure de la plaque

La déformation de cisaillement va s'écrire :

γxy = ∂ u/∂ y + ∂ v/∂ x = ∂ u0/∂ x + ∂ v0/∂ y - 2z ∂ 2w/∂ x∂ y

que l'on peut mettre sous la forme :

avec

k x = ∂ 2w/∂ x2 k y = ∂ 2w/∂ y2 k xy = -2 ∂ 2w/∂ x∂ y

Ce qui permet d'écrire les contraintes dans un pli du composite stratifié sous la forme :

[σ] = [Q] k [ε0] + z [Q] k[k]

Page 50: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 50 -

Chapitre 0 : Généralités

Hypothèse : stratifié uniquement soumis à des sollicitations dans son plan par unité de

longueur : Nx , Ny , Txy = Tyx , Ce sont des efforts de membrane (ou éléments de réduction

pour des contraintes ou encore flux d'efforts dans le stratifié).

Description des efforts :

Nx : effort dans la direction x, par unité de longueur suivant la direction y :

Ny : effort résultant dans la direction y, par unité de largeur suivant la direction x :

Txy = Tyx : cisaillement de membrane par unité de largeur suivant la direction y :

Les relations précédentes peuvent se mettre sous la forme :

L'hypothèse utilisée pour intégrer sur l'épaisseur du stratifié et calculer un matériau

homogène équivalent est l'homogénéité de la contrainte dans chaque pli. Ceci permet de

discrétiser les intégrales et d'écrire des sommes finies, c'est-à-dire :

Page 51: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 51 -

Chapitre 0 : Généralités

On introduit les relations de comportements et on obtient:

Remarque 1 : si le stratifié est équilibré (autant de plis dans une direction que dans l'autre), on a découplage entre déplacements dus à la traction et distorsion angulaire due au

cisaillement, c'est à dire :

Remarque 2 : Les Aij sont indépendants de l'ordre d'empilement des plis.

Conséquences : Détermination pratique d'un stratifié travaillant en membrane.

Données :

Nx, Ny, Txy

Postuler un ensemble de proportions de plis dans des directions déterminées (par

exemple : plis identiques = même nature, même épaisseur)

Problème posé :

Page 52: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 52 -

Chapitre 0 : Généralités

- Déterminer les modules élastiques apparents du stratifié, les coefficients de

couplage associés pour prévoir les déformations sous chargement.

- Epaisseur minimum à donner au stratifié pour éviter la rupture de l'un

quelconque des plis qui le constituent.

Principe de calcul :

1 - modules apparents :

On écrit la relation de comportement :

Le rapport εk/h fait disparaître les proportions des plis identiques ayant même

orientation.

Si on inverse la matrice [A'ij], on obtient les modules apparents recherchés et les

coefficients de couplage.

2 - épaisseur minimum

Pour cela, on détermine la non-rupture du stratifié.

Soient σl, σt, et τlt les contraintes dans les axes d'orthotropie d'un pli constituant le stratifié soumis au chargement Nx, Ny et Txy.

h : épaisseur du stratifié inconnue (pour le moment), telle que l'on se trouve à la limite

de la rupture du pli considéré au sens du ritère de Hill (voir les critères plus loin). Pour ce pli,

on aura :

On multiplie cette expression par l'épaisseur recherchée au carré et on obtient :

Page 53: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 53 -

Chapitre 0 : Généralités

(σl*h), (σt*h) et (τlt*h) obtenues en multipliant les contraintes globales (s0x, s0y, t0xy)

s'exerçant sur le stratifié par l'épaisseur h.

Or : σ0x = Nx, σ0y = Ny, τ0xy= Txy : flux d'efforts connus, donc pour un pli, on obtient h en fonction des efforts connus, donc chaque pli n°k conduit à un hk du stratifié.

L'épaisseur finale à retenir sera la plus grande des valeurs trouvées.

3-2-2- Comportement en flexion

Hypothèse sur les déplacements :

Aux sollicitations Nx, Ny, Txy s'ajoutent par unité d'envergure :

Page 54: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 54 -

Chapitre 0 : Généralités

Mx : moment fléchissant d'axe y, dû aux contraintes sx par unité de largeur suivant la

direction y.

My : moment fléchissant d'axe x, dû aux contraintes sy par unité de largeur suivant la

direction x.

Mxy : moment de torsion d'axe x, dû aux contraintes txy

Comme pour le comportement en membrane, on discrétise par couche et on obtient :

On introduit la relation de comportement et on obtient :

En calculant les intégrales suivant z, [M] devient :

[M] = [B][ε0]+ [D][k]

Page 55: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 55 -

Chapitre 0 : Généralités

L'expression générale reliant les contraintes et déformations globales qui représente

l'équation fondamentale pour les stratifiés s'écrit :

Inversons cette relation :

[ε0] = [A-1] [N] - [A

-1] [B][k]

d'où : [M] = [B] [A-1] [N] +(- [B] [A

-1] [B][k] + [D][k] ?

alors [k] = [D-1*][M] - [D

-1*][C*] [N]

On obtient finalement : [ε0] = [B*] [D-1*][M] + [A*] - [B*] [D

-1*] [C*] [N]

Ce qui permet d'obtenir une autre équation fondamentale des stratifiés et qui s'écrit :

Avec

[A'] = [A*]-[B*][D*-1][C]

[B'] = [B*]*[D*-1]

[C'] = [D*-1][C*]

[D'] = [D*-1]

et [A*] = [A-1] , [B*] = [A

-1][B] , [C*] = [B][A

-1] , [D*] = [D] - [B][A

-1][B]

De façon générale, un stratifié quelconque soumis à de la traction subira des

déformations non seulement normales mais aussi de la flexion ! Ce qui n'était pas le cas avec

des matériaux homogènes isotropes !

Page 56: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 56 -

Chapitre 0 : Généralités

Remarques :

Dans le cas général, on a un couplage entre les comportements en membrane et en

flexion dans un stratifié quelconque, mais la symétrie miroir implique le découplage, c'est à

dire que les Bij sont nulles et les termes (hk2-hk-12) s'annulent 2 par 2. Les termes [Q16] k et

[Q26] k s'obtiennent en fonction de sinqk et sin3qk qui ne changent pas de signe pour 2

couches symétriques.

Si on évite ce couplage, le comportement en membrane est indépendant de l'ordre

de la séquence d'empilement.

Pour les stratifiés équilibrés, les termes A16 et A26 sont nuls.

Pour les stratifiés symétriques et équilibrés, les Bij sont nuls.

Détermination pratique d'un stratifié travaillant à la flexion :

On suppose connus les éléments de réduction (Mx, My, Mxy) => prévision de

séquences d'empilements

Principe de calcul :

- Non-rupture du stratifié (id à membrane).

- Déformation de flexion => utilisation indispensable d'un logiciel de calcul

informatisé de type EF disposant de sa bibliothèque d'éléments de stratifiés

travaillant en flexion.

Calcul sommaire à la flexion :

Possibilité pour un pré-dimensionnement d'effectuer des calculs simplifiés considérant

que le moment Mx est uniquement lié à la

courbure ∂ 2w0/∂ x2 My est uniquement lié à la courbure ∂ 2w0/∂ y2

On peut déterminer expérimentalement :

Les contraintes apparentes par l'essai :

Page 57: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 57 -

Chapitre 0 : Généralités

=> analogie avec les poutres => σrupt=[Mrupt*(h/2)] / (h3/12) = Mrupt*6/h2

Les modules apparents de flexion :

comparaison des relations de comportement "composites " et " homogènes "par

identification avec le seul 1er terme du moment Mx

-Efx. (h3/12)=C11 => Efx.= -12/ h3 C11

avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant x.

De la même façon : -Efy. (h3/12)=C22 => Efy.= -12/ h3 C22

avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant y.

Du stratifié, on a :

Page 58: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 58 -

Chapitre 0 : Généralités

De la poutre homogène, on a :

3-3- Prise en compte des effets hygrothermiques (notions)

Dans les relations de comportements précédentes, on considère un état isotherme. Etat isotherme <=> température des " contraintes libres ". MAIS : Température de fabrication et d'utilisation parfois différentes de cette

température de référence.

Hypothèses :

1.matériau orthotrope : De façon proportionnelle à la variation de température : quand T° augmente, le matériau s'allonge quand T° diminue, le matériau se rétracte. 2.couplages négligés Utilisation du principe de superposition.

3-3-1- Effets thermiques

αij : coefficients de dilatation thermique dans les directions (xi.=0 si i¹ j).

εij = αij (T-T0) T0 : température de référence.

Page 59: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 59 -

Chapitre 0 : Généralités

Modification des seuils limites élastique et des relations de comportement des matériaux

Dans le domaine élastique : εij = Sijkl σkl + αij (T-T0)

Avec Sijkl= f(T°)

3-3-2- Effets hygrométriques

Effets (T°+hygro) => accélération des modifications des caractéristiques mécaniques

des matériaux composites à matrice polymère.

Diffusion de l'humidité dans la matrice polymère

Hypothèse :

matériau orthotrope => proportionnalité entre taux hygro et allongement.

βij : coefficients hygrométriques dans les directions xi.(=0 si i ≠ j).

εij = βij (H-H0)

Page 60: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 60 -

Chapitre 0 : Généralités

3-3-3- Superposition des effets thermo et hygro

On écrit alors une loi hygrothermoélastique

εij = Sijkl skl + aij (T-T0)+bij (H-H0)

Remarque : quand i ≠≠≠≠ j , δδδδij = 0, T et H n'affectent pas les déformations et contraintes de cisaillement.

Hypothèse : il existe un état de précontrainte σσσσij° tel que :

σij= σij°+ Cijkl[εkl - αkl (T-T0)+βkl (H-H0)]

Il existe un potentiel thermodynamique :

W(ε)=(1/2!)*Cijkl εij εkl + σij° εij exprimé autour d'une position d'équilibre

caractérisée par :

εij° = 0, σij ≠≠≠≠ 0 (précontrainte), T=T0, H=H0

Page 61: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 61 -

Chapitre 0 : Généralités

3-4- Règles de conception d'une pièce composite

Le concepteur " crée " le matériau en fonction des besoins => choix de : 1 -le renfort la matrice le procédé de durcissement 2 -agencement des plis prédimensionnement + critères représentation sur plans Orientations normalisées :

De préférence : stratifié avec symétrie miroir => symétrie des contraintes

Page 62: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 62 -

Chapitre 0 : Généralités

=> évite voilement et gauchissement pendant la phase de polymérisation.

Minimums technologiques : minimums de plis de 5 à 10% suivant chaque direction à 0°, +45°, 90°, -45°.

Epaisseur minimum d'un stratifié : 1 mm Agencement des plis : proportions et nombre de plis à placer dans chacune des

directions. Il faut prendre en compte les sollicitations mécaniques qui s'exercent sur le

stratifié dans la zone considérée. 3 critères pour le concepteur :

1.supporter les flux d'efforts sans détérioration du stratifié. 2.limiter les déformations de la pièce chargée. 3.minimiser la masse des matériaux.

Respect de l'agencement suivant :

1.plis à 90° placés en surface puis plis à +45° ou -45° quand flux d'effort prépondérant parallèle à 0°.

2.pas plus de 4 plis consécutifs dans une même direction. 3.problèmes de délaminage : sur les bords des stratifiés, il existe des σσσσ33°.

σ33°> 0, => délaminage, σ33°< 0, => non délaminant.

Or, le signe de σ33°dépend de l'ordre d'empilement. (± 45)2s est très délaminant mais il

existe d'autres phénomènes de rupture (endommagement du pli apparaît en 1er).

Quelques exemples de conception :

Page 63: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 63 -

Chapitre 0 : Généralités

3-5- Résumé sur la Théorie du stratifié : comportement élastique (formulaire)

Page 64: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 64 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 4

CRITERES DE RUPTURE CLASSIQUES POUR COMPOSITES

Etude de la rupture des stratifiés, 2 types de rupture :

- rupture du monocouche (ou plus généralement des UD)

- rupture des stratifiés multicouches.

� Il existe différents modes de défaillance.

Composites multicouches essentiellement plaques et coques.

� Etat de contraintes planes ou flexion privilégiés dans les critères de

dimensionnement.

� états prédominants dans les zones éloignées des conditions limites (bords,

assemblages, ouvertures ...)

� pour un UD :

- directions l et t ont des caractéristiques à rupture très différentes avec une grande

indépendance par rapport aux constituants.

- directions de cisaillement (l,t) a un très grand rôle. Par exemple, en collage, on

compte sur lui pour assurer le transfert des contraintes entre fibres et matrice.

Pour un bidirectionnelle, il existe 5 limites différentes soit en déformations soit en

contraintes.

1.traction sens fibre (l) : εlt, σlt 2.traction sens transverse : εtt, σtt 3.compression sens fibre (-l) : εlc, σlc 4.compression sens transverse (-t) : εtc, σtc 5.cisaillement plan (l,t) : εlt, σlt

Remarque : exemples pris avec les carbone/époxy car il existe beaucoup de résultats

expérimentaux et de combinaisons connues "matrice-fibres".

Observations expérimentales :

Par défaut : utilisation de critères de rupture fragile car on recherche une représentation

élastique, avec prise en compte de l'anisotropie, sachant qu'une telle approche a ses limites.

Page 65: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 65 -

Chapitre 0 : Généralités

4-1- Définition des critères de résistance Connaissant un état de contrainte σ (resp. ε), on cherche à réaliser une condition du type

f(σσσσ) (resp. g(εεεε)) ≤≤≤≤ 1

f(σ) fonction scalaire du tenseur des contraintes

Il existe de nombreuses expression de cette fonction, les plus connues étant celle de

Hill, Tsaï-Wu, Hoffman, contrainte max, déformation max, .....

Historique des Critères de résistance ou rupture :

- Léonard de Vinci (1500) : relation contrainte / rupture

- Galilée (1638) : travaux sur la rupture des matériaux

- Tresca (1864) : Cisaillement max.

- Von Misès (1913) : Energie de distorsion

- Von Misès (1928) : Critères quadratiques

- Hencky (1929) : Von Misès adapté aux matériaux anisotropes

- Hill (1948) : Von Misès pratique

- Gol’denblatt et Kopnov (G&K,1965) : écriture tensorielle générale des critères

de rupture (tous les autres critères sont un cas simplifié et plus pratique de

l’écriture de G&K)

- Tsaï et Hill (1965) : redéfinition du critère de Hill

- Hoffman (1967) : formulation pratique de G&K

- Tsaï et Wu (1971) : formulation pratique de G&K pour les stratifiés

Remarque : le critère de Hill est une généralisation de Von-Misès réservé aux matériaux

homogène et isotrope.

Page 66: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 66 -

Chapitre 0 : Généralités

4-1-1- Le critère de Tsaï-Hill

Critère de type quadratique exprimé en contrainte plane, écrit dans le repère de l'UD :

121

2

6

2

2

2

1 ≤

+

+

XrYrSYrXr

σσσσσ

avec

σ11r = σ11c = Xr si σ11 ≤ 0 σ11r = σ11t = Xr si σ11 ≥ 0 σ22r = σ22t = Yr si σ22 ≥ 0 σ22r = σ22c = Yr si σ22 ≤ 0 σ12r = S

Les contraintes sont déterminées expérimentalement sur des essais uniaxiaux.

Remarque : ce critère ne distingue pas les différents modes de rupture de la

monocouche. Il ne fonctionne qu’en contrainte plane et est restrictif sur le signe des

contraintes.

4-1-2- Le critère de Tsaï-Wu

C'est la généralisation des critères quadratiques. Il fait intervenir 2 tenseurs de

résistance : Fij du 2nd ordre et Fi du 1er ordre.

Fij σσσσi σσσσj + Fi σσσσj ≤≤≤≤ 1

En 3D et dans le repère d’orthotropie du pli (pour un matériau orthotrope), le critère

s’écrit de la manière suivante :

F1 σσσσ1 + F11 σσσσ12 + F2 σσσσ2 + F22 σσσσ2

2 + F3 σσσσ3 + F33 σσσσ32 + 2 F12 σσσσ1 σσσσ2 + 2 F13 σσσσ1 σσσσ3 +

2 F23 σσσσ2 σσσσ3 + F44 σσσσ42 + F55 σσσσ5

2 + F66 σσσσ62 = 1

En effet, les termes de couplage sont nuls dans le repère d’orthotropie, soit entre les :

(σ1, σ2, σ3) et les (σ4, σ5, σ6).

Cette écriture n’est pas vraie dans un repère global, dans ce cas les termes de couplage

tels que (F14, F15, F16, F24, F25, F26, F34, F35, F36, F45, F46, F56) apparaissent, ainsi que des termes

liées au cisaillements (F4, F5, F6) ! ! !

Page 67: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 67 -

Chapitre 0 : Généralités

Rappel sur les écritures des résistances:

X+ = σ1 ultime en traction

X- = σ1 ultime en compression

Idem pour Y (σ2) et pour Z (σ3)

S = σ12 ultime = σ6 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,2))

R = σ13 ultime = σ5 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,3))

Q = σ23 ultime = σ4 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (2,3))

Rappels sur les expressions des coefficients du critère :

a) Coefficients hors-interaction : ils s’expriment en fonction des résistances fondamentales X,

Y et S, ils sont déterminés à travers des tests de chargement unidirectionnels.

- Coefficients normaux : F1, F11, F2, F22, F3, F33 correspondent aux contraintes

normales.

F1 = (1 / X+) - (1 / X-)

F2 = (1 / Y+) - (1 / Y-)

F3 = (1 / Z+) - (1 / Z-)

F11 = (1 / X+ . X-)

F22 = (1 / Y+ . Y-)

F33 = (1 / Z+ . Z-)

- Coefficients de cisaillement : F44, F55, F66

F66 = 1 / S2

F55 = 1 / R2

F44 = 1 / Q2

b) Coefficients d’interaction : ils ne s’expriment en fonction des résistances fondamentales X,

Y et S, ils sont déterminés à travers des tests de chargement complexes combinés

F12 (interaction de σ1 et σ2) F13 (interaction de σ1 et σ3) F23 (interaction de σ2 et σ3)

Page 68: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 68 -

Chapitre 0 : Généralités

Problème : détermination empirique de l’expression telle qu'elle vérifie une certaine

forme de l'enveloppe de rupture de l'UD dans l'espace des contraintes.

Exemple : enveloppe ellipsoïdale pour équivalence avec des essais uniaxiaux en

contraintes planes et pour un UD.

F11 = 1 / σ11c σ11t

F22 = 1 / σ22c σ22t

F66 = 1 / σ12r2 = 1 / S

2

F16 = F26 =0

Fij =Fji

Ce critère intègre la différence entre comportement en traction et compression. Du point

de vue physique, il y a une mauvaise description des couplages entre contraintes. Les

différents modes de rupture du pli ne sont pas distingués.

4-1-3- Critère de la contrainte maximale

Critère relativement rustique mais qui reste très utilisé pour la recherche des premières

solutions technologiques dans la conception d'une pièce composite. Il est rarement utilisé en

entier mais souvent couplé avec le critère de déformation maxi.

En contrainte plane :

La connaissance des σ limites dans les différentes directions implique la détermination

rapide de l'état de s limites. Ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.

Page 69: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 69 -

Chapitre 0 : Généralités

4-1-4- Critère de la déformation maximale

Critère peu utilisé car en bureau d'études, les concepteurs raisonnent plutôt en

contraintes (ou comment sont transmis les efforts). Il est utilisé couplé avec le critère de

contrainte max. En déformation plane :

Les déformations sont calculées avec la loi de comportement élastique.

4-1-5- Le critère mixte

Remarque : <X>-=X si X<0 sinon, X=0.

Il s'agit d'un couplage entre les deux critères précédents : déformation max appliquée

dans la direction des fibres, et contraintes max appliquée dans la direction transverse et en

cisaillement.

Il ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.

4-1-6- Le critère de Hashin Remarque : <X>-=X si X<0 sinon, X=0.

Il existe une distinction nette entre les 4 modes de rupture :

- rupture de fibre en traction

- rupture de fibre en compression

Page 70: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 70 -

Chapitre 0 : Généralités

- rupture de la matrice en traction

- rupture de la matrice en compression.

Différents laboratoires de recherches sur les structures composites, en partenariat avec

des industriels principalement rattachés au domaine de l'aérospatiale ont développé des

critères beaucoup plus sophistiques qui tiennent compte des différents modes de rupture de

l'UD. Ils ne seront pas présentés ici. Dans le chapitre qui suit, la mécanique de

l'endommagement et la mécanique de la rupture sont brièvement présenté. En effet, dans

l'industrie, les seuls calculs réellement utilisés sont ceux présenté dans le chapitre

homogénéisation et les critères présentés ci-dessus.

Page 71: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 71 -

Chapitre 0 : Généralités

4-2- Limites des critères classiques et Conseils d’interprétation

4-2-1- Limites des critères de rupture classiques et Autres approches

Les critères classiques ne tiennent pas compte en général du chemin de la rupture

dépendant de la nature des constituants du composite et du mode de sollicitation. Nous

présentons par la suite les limites de ces critères illustrés par d’autres approches et des cas de

sollicitations particulières.

Le transfert de charge matrice/fibre

Les critères classiques ne tiennent pas compte de l’influence de la nature de la matrice

et du renfort sur le transfert de charge et le chemin de l’endommagement et de la rupture.

Ainsi les propriétés mécaniques du composite ne dépendent pas que du taux de fibres

mais aussi de paramètres tels que :

- la longueur de fibre

- l’orientation des fibres

- l’architecture des fibres (exemple : les tissus)

- les propriétés mécaniques et physico-chimiques des matrices, interfaces et fibres

Plusieurs approches sur le transfert de charge sont proposées :

- Le transfert élastique/élastique (modèle de Cox, « Shear lag theory », 1952) : cas

idéalisé, la fibre et la matrice ont un comportement élastique et il y a continuité

de la déformation à l’interface. Hypothèse non vérifiée en général ! Applicable

que pour les petites déformations et dans le cas où il y a mode de transfert

élastique.

- Le transfert par glissement (Outwater, 1964) : le transfert est associé à une

scission τi due au frottement constant à l’interface et l’adhésion fibre/matrice est

nulle (approche ne tenant pas compte du transfert élastique). Cette théorie met en

évidence l’importance de la longueur des fibres sur le comportement du matériau

(longueur critique lc, au-dessus de lc, la rupture du matériau est provoquée par

les fibres).

- Le transfert élastoplastique : modèle plus proche de la réalité physique car mixte

des 2 approches précédentes. En effet, la fibre a un comportement élastique mais

la matrice est souvent élastoplastique.

Page 72: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 72 -

Chapitre 0 : Généralités

- Autres modèles de prévision pour le transfert de charge : Cox et Halpin-Tsaï pour

les propriétés élastiques et Cox et Tsaï pour la rupture.

Statistique de la rupture

Exemple des matériaux composites à fibres courtes : la rupture est répartie

aléatoirement et est caractérisés en utilisant la valeur moyenne de la contrainte à rupture. Or,

bien souvent cette moyenne est assortie d’un écart-type important qui peut cacher une

répartition statistique des propriétés à la rupture. Weibull a proposé une loi statistique de

description de la rupture des matériaux obéissant à la théorie du maillon le plus faible. La

probabilité de rupture de volume V sollicité par un champ de contrainte s est donné par :

P(σ) = 1 – exp [-B(σ)] Avec B(σ) = V f(σ).dV

et si σ>0 f(σ) = [σ/σ0]m si σ<0 f(σ) = 0

où σ : contrainte appliquée σ0 : constante de normalisation du matériau

m : module de Weibull du matériau, caractérisation de la largeur

de la distribution et de l’effet de taille

Cette théorie statistique a l’avantage de mettre en évidence l’effet de taille, plus le

volume sollicité est grand et plus la probabilité de trouver un maillon faible croit et donc plus

la contrainte à rupture est faible.

Limites : cette approche s’applique surtout aux matériaux céramiques et aux bétons, son

application aux composites est récente. Il y aussi le problème de rendre compte de différents

modes de rupture (exemple : différence entre la traction et le flexion).

Page 73: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 73 -

Chapitre 0 : Généralités

Rupture en fatigue

Owen décrit les micromécanismes d’endommagement responsables de la rupture en

fatigue sur des polyesters renforcés par des fibres continues et réparties aléatoirement. Il

présente 3 stades d’endommagement :

- la rupture d’interface (« debonding »)

- la rupture de la matrice

- la coalescence des fissures entraînant la rupture brutale

Il note le rôle initiateur des fibres perpendiculaires à la direction de charge (phénomène

souvent repris par plusieurs auteurs).

Dally et Carillo ont travaillé sur des thermoplastiques renforcés à fibres courtes de verre

de différentes longueur. Les « fibres plus courtes » ont un meilleur comportement en fatigue

que celui des « fibres longues ».

Ceci s’explique par les différents mécanismes d’endommagement conduisant à la ruine

du matériau. Dans le cas des « fibres longues », les fissures sont concentrées dans les régions

riches en fibres et se propageant en suivant les interfaces tout autour des paquets de fibres

existant. Ces fissures s’arrêtent et ne parviennent pas à traverser les zones riches en matrice.

Les premières fissures s’amorcent et se propagent dans les paquets de fibres perpendiculaires

à la direction de charge.

Pour les fibres courtes, les mécanismes sont différents. Les fibres sont réparties

uniformément sans former de paquets ni de zones riches en matrice. De nombreuses

microfissures se créent perpendiculairement à la charge ; celles-ci ne concernent qu’un petit

nombre de fibres et sont aléatoirement réparties dans le volume. Dally et Carillo ont mis en

évidence que la rupture d’interface était encore le mécanisme de base, mais que la fissure ne

se propageait pas dans la matrice. La ruine totale provient de la coalescence des microfissures.

D’autres études montrent l’importance des bouts de fibres dans la création des

microfissures. Ces études suggèrent que dans les composites à fibres courtes, toutes les

extrémités de fibre sont des sites néfastes à la tenue en fatigue même lors de très faibles

sollicitations.

Mc Garry, Mandell et Huang proposent de décrire la courbe d’endurance (S-N) par la

loi suivante :

σM = σuc – B log(Nr)

avec :

σuc : contrainte de rupture statique

Nr : nombre de cycles à rupture

σM : niveau de contrainte maximum

Page 74: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 74 -

Chapitre 0 : Généralités

B : coefficient propre au matériau

Mécanismes d’endommagement et de rupture dans les composites

En résumé, la rupture finale d’un composite est le résultat de l’accumulation de divers

mécanismes élémentaires :

- la rupture des fibres

- la rupture transverse de la matrice

- la rupture longitudinale de la matrice

- la rupture de l’interface fibre-matrice

Généralement, un mécanisme n’est pas isolé, mais divers mécanismes coexistent. Ces

mécanismes se développent suivant la nature des matériaux et les conditions de sollicitations

mécaniques imposées.

Dans un matériau composites unidirectionnel soumis à des sollicitations mécaniques, la

rupture intervient lorsque la contrainte de traction (σf) dans une fibre atteint la contrainte

ultime (σfu) de la fibre. La rupture de la fibre crée une concentration de contrainte au

voisinage de la rupture. La redistribution des contraintes et par conséquent le processus de

rupture résultant, dépend principalement :

- de la contrainte à la rupture des fibres

- de la capacité de la matrice à absorber l’énergie libérée

- des propriétés de l’interface fibres/matrice

Les figures suivantes montrent les différents processus de rupture de la matrice associés

à la rupture d’une fibre :

Page 75: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 75 -

Chapitre 0 : Généralités

figure 12.1 : Rupture de fibre

La fissuration de la matrice peut se produire, soit par fissuration transverse (figure 12.3)

lorsque la contrainte en traction σm dans la matrice atteint la contrainte à la rupture σmu de la

matrice, soit par fissuration longitudinale (figure 12.4) lorsque la contrainte de cisaillement τm dans la matrice atteint la contrainte de cisaillement ultime τmu, généralement au voisinage

d’une fibre.

Ce dernier mode de rupture appelé « splitting », se produit lorsque la contrainte de

décohésion est supérieure à la contrainte en cisaillement à la rupture de la matrice : τd > τmu.

Dans le cas contraire où τd < τmu, il se produit une rupture une rupture par décohésion de

l’interface fibre-matrice. (figure 12.5).

Page 76: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 76 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 77: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 77 -

Chapitre 0 : Généralités

Exemple d’un composite unidirectionnel soumis à de la traction : comportement du matériau

suivant le classement des propriétés entre fibre et matrice en contrainte et déformation

Page 78: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 78 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 79: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 79 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 80: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 80 -

Chapitre 0 : Généralités

Page 81: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 81 -

Chapitre 0 : Généralités

Rupture en général dans les straifiés : tous les modes sont possibles

Page 82: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 82 -

Chapitre 0 : Généralités

4-2-2- Conseils d’interprétation des critères

Les critères, par les approches présentées au-dessus, montrent qu’ils sont un

représentation globale de la rupture à un niveau global et souvent approximatif.

Il faut donc prendre la critère comme une estimation de la rupture et faire croiser

plusieurs critères (exemple : Tsaï-Hill et Tsaï-Wu). Il peut être nécessaire de vérifier les

contraintes et déformations maximales dans les plis si le ou les critères donnés par le calcul

sont « limites » (proches de 1 = la rupture voire moins si on doit respecter un critère de

sécurité).

Cependant, les remarques suivantes peuvent être faites :

- Tous les critères existants à l’heure actuelle sont de nature phénoménologique.

Les recherches dans le domaine tentent toujours d’approcher au mieux la rupture.

Mais en l’état actuel des connaissances , il n’est pas possible d’expliquer

l’origine et les phénomènes intervenant dans la rupture des M.C. (matériaux

Composites).

- Les critères de résistance sans interaction des contraintes sont simples

d’utilisation et par la séparation des modes de rupture, permettent de prédire la

nature de la rupture. Ils restent insuffisants pour prédire la rupture des structures

sous chargements complexes et ne sont donc réservés qu’aux calculs estimatifs

ou aux problèmes de structures et de chargements simples.

- Les critères de rupture avec interaction des contraintes sont plus performants

mais ne permettent pas d’avoir des informations sur la nature de la rupture. A

quelques exceptions près, ils ont tous la même ossature mathématique. Certains

ont été développés mathématiquement sous forme tridimensionnelle mais aucun

n’a été appliqué sous cette forme.

- Le critère tensoriel polynomial de Gol’denblat-Kopnov est la théorie de rupture

la plus générale pour les matériaux anisotropes. Tous les critères tensoriels

polynomiaux proposés sont des cas particuliers de cette théorie. Ils ont tous été

prévus pour des structures et des chargements triaxiaux. Cependant, ils n’ont été

appliqués que sous une forme quadratique bidimensionnelle. Les difficultés

techniques inhérentes à la troisième dimension de l’espace des contraintes en

sont l’une des raisons.

- Par sa simplicité, la théorie de Tsaï-Wu est actuellement unanimement adoptée

dans les milieux industriel et scientifique. La difficulté liée à la mesure du

coefficient d’interaction F12 fait que ce critère est le plus souvent utilisé avec

l’analogie au critère de Von-Misès (ce qui évite cette mesure du F12)

- L’application d’une forme cubique apparaît plus réaliste que la forme

quadratique. Cependant pour le cas d’une expression 3D cubique, le nombre de

coefficients de résistance à déterminer expérimentalement deviendrait très élevé.

Page 83: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 83 -

Chapitre 0 : Généralités

Attention aux codes de calcul qui donnent des coefficients approchés dans les critères (valeurs par défaut)

Thèse de Kamel Khellil (« Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel

polynomial tridimensionnel pour matériaux composites ») et le DEA de Chotard sur

l’estimation des coefficients de couplage dans le critère de Tsaï-Wu (Fi et Fij dans le critère

tensoriel polynomial quadratique de Tsaï-Wu exprime en 3D et dans le repère propre du pli –

orthotropie -) par une approche expérimentale complexe.

F1 σ1 + F11 σ12 + F2 σ2 + F22 σ2

2 + F3 σ3 + F33 σ3

2 + 2 F12 σ1 σ2 + 2 F13 σ1 σ3 +

2 F23 σ2 σ3 + F44 σ42 + F55 σ5

2 + F66 σ6

2 = 1

Les valeurs suivantes ont été déterminées pour de l’UD verre/époxy et de l’UD

carbone/époxy :

Exemple du Carbone/Epoxy (T300/914) avec Vf = 58.9 ±±±± 1.2 %

Valeurs en élasticité

E1 = 131.9 GPa G12 = 5.27 GPa ν12 = 0.326

E2 = 9.51 GPa G13 = 7.03 GPa ν13 = 0.341

E3 = 9.43 GPa G23 = 3.39 GPa ν23 = 0.485

Valeurs en Résistance

X+ = 1328 MPa Y+ = 70.9 MPa Ζ+ = 97.58 MPa

X- = 1064 MPa Y- = 221 MPa Ζ− = 242 MPa

S = 71.2 MPa R = 94.5 MPa Q = 52.89 MPa

Valeurs des coefficients dans le critère Tsaï-Wu

F1 = -0.216 GPa-1

F2 = 9.82 GPa-1 F66 = 199.5 GPa

-2

F11= 0.743 GPa-2 F22 = 64.95 GPa

-2 F55 = 114 GPa

-1

F44= 357.5 GPa-2 F3 = 6.15 GPa

-1 F33 = 43.35 GPa

-1

F12= -3.55 GPa-2 F13 = 3.34 GPa

-1 F23 = - 13.81 GPa

-1

Page 84: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 84 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 5

PRISE EN COMPTE DE L’ENDOMMAGEMENT ET DU DELAMINAGE DANS LES COMPOSITES

(notions)

Voir photocopies issues : - du Cours de M.L. Benzeggagh en MQ13 / UTC

- de l’étude bibliographique du DEA de S. Barré (« Etude de l’endommagement de

matériaux composites à fibres courtes et à matrice thermoplastique sous chargement

statique et cyclique »)

5-1- Mécanique de l'endommagement A partir de la théorie de l’endommagement et du concept de la contrainte effective

(Kachanov, 1958 et Rabotnov, 1969), on applique aux matériaux orthotropes une matrice

d’endommagement D ou plutôt (1 – D) nécessairement symétrique pour être

thermodynamiquement admissible (matrice 3*3 dans le plan d’orthotropie) dont voici un

exemple :

[1 – D] =

−−−−

−−−

12

221

211

100

01)1)(1(

0)1)(1(1

d

ddd

ddd

d’où en cours d’endommagement :

σσσσ = Q’. ε ε ε ε avec Q’ = (1-D) . Q

Q est la matrice de rigidité initiale et Q’ celle modifiée par le dommage « orthotrope »

Dans l’écriture en déformation : ε = S . σ, l’exemple suivant donne l’écriture de la

matrice S après endommagement, soit S’:

[S’] =

−−−

−−

)1(/100

0)1(/1/

0/)1(/1

1212

22

*

12

1

*

1211

dG

dEE

EdE

νν

où ν*12 = ν12 / (1-d1)

1/2 (1-d2)

1/2

Attention : l’endommagement peut modifier la nature du matériau, un matériau au

départ isotrope ou orthotrope peut devenir anisotrope au sens large !

Page 85: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 85 -

Chapitre 0 : Généralités

5-2- Mécanique de la rupture

Application de la MLER (Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture) aux stratifiés en

mode I, mode II et mode mixte I + II :

- détermination des facteurs d’intensité de contrainte critiques (KIc et KIIc)

- détermination des taux de restitution d’énergie critiques (GIc et GIIc)

Remarques :

- les Kc et Gc sont intrinsèques au matériau et donc indépendants de la longueur de

fissure.

- La rupture est plus facile dans les composites quand plusieurs modes sont combinés.

- La rupture par délaminage est entre 2 plis adjacents, la MLER s’applique donc assez

bien dans le cas du délaminage.

- La difficulté dans les composites est que la propagation de la fissure peut bifurquer

et induire un changement de mode.

Présentation des planches sur les essais types de délaminage.

Page 86: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 86 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 6

COMPORTEMENT MECANIQUE DES MATERIAUX SANDWICHS

ET DES STRUCTURES STRATIFIEES

Intérêt mécanique et économique des sandwiches Généralités

2 peaux relativement minces au propriétés mécaniques fortes collées

sur une âme légère à faibles caractéristiques

Avantages

- Grande légèreté

- Grande rigidité flexionnelle (rapport EI/ρ) - Excellentes caractéristiques d’isolation

Inconvénients

- mauvais amortissement et isolation acoustique (problème lié à la densité relativement

basse)

- Tenue au feu moyenne pour certaines catégories d’âme

- Risques de flambement plus élevé que sur les autres structures

- Problème de décollement peaux/âme

Matériaux constitutifs

- Peaux : métal, stratifiés, contre-plaqués, thermoplastiques, amiante / ciment

- Ames : matériaux expansés, balsa, Nid d’abeilles aluminium ou carton imprégné,

pontages, plaques nervurées en métal ou stratifié, etc.

- Assemblage des peaux avec l’âme : collage, soudure ou en cours de polymérisation pour

les sandwiches en composites dans un moule (exemple du RTM)

Page 87: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 87 -

Chapitre 0 : Généralités

Suite du Cours inspiré de chapitres du livre de J.-M. Berthelot : « Matériaux Composites, comportement mécanique et analyse des structures »

Présentation du plan

COMPORTEMENT MECANIQUE DES MATERIAUX SANDWICHS ET DES STRUCTURES STRATIFIEES

- Rappels sur la théorie classique des stratifiés

- Prise en compte du cisaillement transverse dans la théorie des stratifiés

- Flexion cylindrique des structures en matériaux composites

- Flexion en poutres en matériaux composites

Par la suite :

Résumés sur le Comportement des poutres stratifiées ou sandwiches

Modes de rupture et conseils de dimensionnement

Page 88: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 88 -

Chapitre 0 : Généralités

Résumé sur le Comportement des poutres stratifiées

ou sandwiches

1- Flexion des poutres sandwiches ou stratifiée (L>>b) sans prise en compte du cisaillement transverse

L'étude bibliographique est faîte sur des sandwiches et monolithiques (stratifiés)

symétriques pour lesquels il y a absence de couplage flexion-menbrane et présence du

couplage flexion-torsion .

A- expression générale

Dans le cadre de la flexion pure (L>>b), l'équation constitutive s'écrit :

Mx

My

Mxy

=

D11 D12 D16

D12 D22 D26

D16 D26 D66

kx

ky

kxy

(20.1)

Ecrite sous forme inverse :

h

b

L

z y

x

h/2

-Elément poutre-

Page 89: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 89 -

Chapitre 0 : Généralités

kx

ky

kxy

=D

∗11 D

∗12 D

∗16

D∗12 D

∗22 D

∗26

D∗16 D

∗26 D

∗66

Mx

My

Mxy

(20.3)

où les D*ij sont les éléments de la matrice inverse de Dij[ ] .

La théorie des poutres fait l'hypothèse que dans le cas d'une flexion suivant l'axe x, les

moments My et Mxy sont nuls . On a la courbure :

kx = −∂ 2w0

∂x 2 = D∗11Mx (20.6)

La théorie des poutres fait l'hypothèse supplémentaire que la flèche ne dépend que de

x :

wo=wo(x)

Les courbures Ky et Kxy sont fonctions du moment Mx :

ky = −∂ 2w0

∂y 2 = D∗12Mx

kx = −2∂ 2w0

∂x∂y = D∗16Mx (20.8)

Ces relations montrent à priori que la flèche dépend de la variable y. Cet effet est assez

important dans le cas d'éprouvettes de flexion de laboratoire, de forme plus proche d'une lame

que d'une poutre . Ainsi le couplage flexion-torsion induit par les termes D*12 et D*16 dans

les équations (20.8) tendent à produire un décollement partiel de la poutre sur ses supports .

Toutefois le phénomène est négligeable dès l'instant où le rapport L/b est assez grand; quant

aux matériaux antisymétriques étudiés ce couplage est inexistant. Il y a cependant un

couplage flexion-menbrane (B16 et B26) qui reste tout de même peu perceptible .

L'équation (20.6) devient alors :

d 2w0

dx 2 = −M

ExI (20.10)

Le module de flexion de la poutre s'écrit alors :

Ex =12

h3D∗11

(20.11)

Page 90: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 90 -

Chapitre 0 : Généralités

Le moment quadratique I de la section droite de la poutre par rapport au plan (x,y) :

I = Ixy =bh3

12 (20.12)

Le moment M de flexion :

M = b* Mx (20.13)

(rappel : Mx écrit par unité de largeur)

L'équation de flexion des poutres se réduit à :

d 2Mx

dx 2 + q = 0 (20.14)

Par suite, on a par simplifications de la théorie des plaques, où q et Q correspondent au

efforts de cisaillement .

dMx

dx= Qx (20.18)

dM

dx= Q (20.19)

Q = bQx (20.20)

On peut alors remonter aux contraintes dans chaque couche du stratifié :

σ kxx

σ kyy

σ kxy

=Q

' k11 Q

' k12 Q

' k16

Q' k12 Q'

k22 Q'

k26

Q 'k16 Q'

k26 Q'

k66

kx

ky

kxy

(20.21)

En notant, les coefficients de rigidité Q'ij de la couche k, rapportés aux axes de la

plaque . On remarque qu'il n'y a pas prise en compte de l'effet transverse σxz :

σkxx = z akxx M/I σkyy = z akyy M/I (20.23) σkxy = z akxy M/I

avec : (20.26)

Page 91: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 91 -

Chapitre 0 : Généralités

akxx = (Qk11 D*11 + Qk12 D*12 + Qk16 D*16) h3/12

akxx = (Qk12 D*11 + Qk22 D*12 + Qk26 D*16) h3/12

akxx = (Qk16 D*11 + Qk26 D*12 + Qk66 D*16) h3/12

Les expressions précédentes des contraintes ne sont correctes qu'à une distance assez

éloignée (>h) des bords de la poutre . En toute rigueur les résultats ne sont valables que pour

un rapport b/h assez élevé .

NB: Pour axx=1 et ayy=axy=0, on retrouve la théorie classique des poutres isotropes en

matériau homogène .

La contrainte de cisaillement transverse dans les poutres se déduit d'une équation

d'équilibre :

σkxz = -(Q/2I) akxx (z2+ck) (20.27)

Les constantes ck dans chaque couche sont déterminées en annulant σxz sur les faces

supérieure et inférieure, et en assurant la continuité de σxz entre chaque couche . Dans le cas

d'un matériau homogène (axx=1), σxz pour z=+/-h/2, on a :

σxz = (3Q/2bh)*(1-4(z/h)2) (20.28)

La contrainte de cisaillement est maximale pour z=0 :

σxz (z=0)=τo = 3Q/(2bh) (20.29)

Pour les stratifiés le cisaillement s'écrit :

σkxz = -akxx τo (4(z/h)2+dk) (20.30)

Où dk sont des constantes à déterminer en assurant la continuité de σxz dans l'épaisseur

de la poutre .

B- Application à la flexion 3 points

Page 92: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 92 -

Chapitre 0 : Généralités

diagrammes des efforts en flexion 3 points sur poutre

F/2

F

F/2

diagramme du moment de flexion

Fa/4

a: portée

M

Fx/2 F(a-x)/2

x

z

xa/2

diagramme de l'effort tranchantT

F/2

-F/2

x

Ainsi dans le cas de la flexion 3 points, toute la poutre est en couplage flexion-

cisaillement . Plus L/h est élevé, moins le cisaillement est influent .

Page 93: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 93 -

Chapitre 0 : Généralités

Toujours dans le cadre d'un stratifié symétrique, on applique les équations de la théorie

des poutres en flexion à la flexion 3 points .

La symétrie du problème conduit à ne considérer qu'une moitié de la poutre :

Le moment de flexion s'exprime par la relation :

M=-Px/2 0< x < L/2

Où P est la charge totale exercée au milieu de la poutre . En substituant dans (20.10) :

d 2w0

dx 2 =Px

2ExI 0<x<L/2 (20.33)

Dans les cas d'appuis simples, les conditions aux frontières sont pour x=0 :

M = wo = 0 (20.34)

D'autre part, la symétrie impose pour x=L/2 :

dw0

dx= 0 (20.35)

L'intégration de (20.33) associée aux conditions (20.34) et (20.35) , conduit à :

wo = -(PL2/(48 Ex I))*x*(3-(2x/L)2) (2O.36)

La flèche wc au centre de la poutre (x=L/2) s'écrit :

wc = PL3/(48 Ex I) = PL3 D*11/(48 b) (20.37)

Cette relation peut-être utilisée pour déterminer soit le module de flexion de la poutre,

soit le coefficient D*11, connaissant la flèche pour la charge P :

Ex = PL3/(48wcI) = PL3/(4 b h3 wc) (20.38)

D*11 = 48 b wc / (PL3) (20.39)

Les contraintes dans la couche k s'écrivent :

σkxx = -6 akxx P*x*z/bh3

Page 94: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 94 -

Chapitre 0 : Généralités

σkyy = -6 akyy P*x*z/bh3 (20.40) σkxy = -6 akxy P*x*z/bh3

Ces contraintes sont maximales pour x= L/2, soit :

σkxx = -3 akxx PL*z/bh3

σkyy = -3 akyy PL*z/bh3 (20.41) σkxy = -3 akxy PL*z/bh3

Dans le cadre d'une poutre en matériau homogène isotrope : axx=1, la contrainte

normale s'écrit :

σxxmax = σο = 3 PL/2bh2 (20.43)

La contrainte dans la couche k d'un stratifié peut donc s'écrire sous la forme :

σkxx = -2 akxx σο ∗z/h (2O.44)

Contrairement à un matériau homogène, la contrainte maximale n'est pas, pour un

stratifié, nécessairement située au niveau de la couche externe et dépend de l'empilement des

couches (angles du drapage) . La charge à rupture sera donc fortement influencée par

l'empilement .

Pour une poutre en flexion 3 points, l'effort tranchant Q=-P/2. La contrainte de

cisaillement est donc donnée par la relation :

σkxz = - akxx το (4(z/h)2+dk) (20.46)

avec το = −3P/(4bh) (20.47)

L'empilement des couches influence également la distribution de la contrainte de

cisaillement qui n'est pas nécessairement maximale au niveau du plan médian .

Whitney [7] évoque également la rigidité et la contrainte de cisaillement d'une poutre

stratifiée dans le cas simple d'une flexion suivant x :

Page 95: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 95 -

Chapitre 0 : Généralités

Ex

=12

h3D11∗

σxz

= h2 − 4z 2( )Q8I

où Q est l'effort tranchant .

C- Application à la flexion 4 points

diagramme des efforts en flexion 4 points sur poutre

Page 96: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 96 -

Chapitre 0 : Généralités

F/2

F

F/2

diagramme du moment de flexion

Fa/8

a: portée

M

Fx/2 F(a-x)/2

x

z

xa/2

diagramme de l'effort tranchantT

F/2

-F/2

x

a/4 3a/4

Ainsi dans le cadre de la flexion 4 points, la poutre présente deux zones "mécaniques",

pour 0<x<L/4 et 3L/4<x<L deux zones symétriques en couplage flexion-cisaillement, et pour

L/4<x<3L/4 la zone médiane est en flexion pure .

Page 97: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 97 -

Chapitre 0 : Généralités

La poutre est cette fois-ci chargée symétriquement par deux charges P/2 . Par symétrie

du problème on considère seulement une moitié de la poutre :

M = -P*x/2 0<x<L/4 (20.48)

M = -PL/8 L/4<x<L/2 (20.49)

En reportant ces expressions dans (20.10), il vient :

d 2w0

dx 2 =d 2w1

dx 2 =Px

2ExI 0<x<L/4 (20.50)

d 2w0

dx 2 =d 2w2

dx 2 =PL

8ExI L/4<x<L/2 (20.51)

On sépare l'expression de la flêche dans les deux zones mécaniques :

w1 = wo pour 0<x<L/4

w2 = wo pour L/4<x<L/2

Dans le cas simple des appuis simples, les conditions aux frontières pour x=0 sont :

M= w1 = 0 (20.52)

La pente de la déformée s'annule au centre de la poutre, soit pour x=L/2 :

dw2

dx= 0 (20.53)

Il y a également continuité de la pente et de la flêche pour x=L/4:

w1=w2 et dw1/dx = dw2/dx (20.54)

L'intégration des équations (20.50) et (20.51) conduit à :

w1 = −PL2

192ExIx 9−16 x

L

2

(20.55)

w 2 = −PL3

768ExI1−48 x

L

+ 48

x

L

2

(20.56)

Page 98: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 98 -

Chapitre 0 : Généralités

Ces expressions permettent de déterminer les flèche au point x= L/4 et au centre

(x=L/2) :

wq =PL3

96ExI=

PL3

96bD

∗11 (20.57) pour x=L/4

wc =11PL3

768ExI=

11PL3

768bD

∗11 (20.58) pour x=L/2

Le module de flexion de la poutre et le coefficient D*11 sont :

Ex = PL3/(96wqI)= PL3/(8bh3wq) (20.59)

Ex = 11PL3/(768wcI)= 11PL3/(64bh3wc) (20.60)

D*11 = 96bwq/(PL3) = 768bwc/(PL3) (20.61)

NB : La rigidité connue "classiquement" D11 s'écrit alors :

D(11) = Ex I = PL3/(96wq) = 11PL3/(768wc)

et D*11 et l'inverse de cette rigidité .

Les contraintes dans la couche k s'écrivent :

pour 0<x<L/4 :

σkxx = -6 akxx P*x*z/bh3

σkyy = -6 akyy P*x*z/bh3 (20.62) σkxy = -6 akxy P*x*z/bh3

pour L/4<x<L/2 :

σkxx = -3 akxx PL*z/2bh3

σkyy = -3 akyy PL*z/2bh3 (20.63) σkxy = -3 akxy PL*z/2bh3

Il est intéressant de remarquer les contraintes maximales sont dans la partie

L/4<x<L/2, et sont indépendantes de x dans cet intervalle . Les contraintes maximales ne sont

pas nécessairement atteintes sur les faces externes . Dans le cas d'une poutre homogène

(axx=1), la contrainte normale s'écrit :

Page 99: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 99 -

Chapitre 0 : Généralités

σxx = -3PL*z/(2bh3) L/4<x<L/2 (20.64)

La contrainte de traction maximale est atteinte sur la face externe inférieure (z=-h/2)

pour un matériau homogène :

σxxmax = 3PL/(4bh2) (20.65)

La contrainte dans la couche k d'une poutre en stratifié s'écrit donc :

σkxx = -2akxxσxxmax *z/h (20.66)

On prend en compte l'effort tranchant :

Q=-P/2 0<x<L/4 (2O.67)

Q=0 L/4<x<L/2 (20.68)

La contrainte de cisaillement transverse est nulle pour 0<x<L/4, pour L/4<x<L/2 , elle

est identique à la flexion 3 points :

σkxz = - akxx το (4(z/h)2+dk)

avec το = −3P/(4bh)

2- PRISE EN COMPTE DU CISAILLEMENT TRANSVERSE

Page 100: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 100 -

Chapitre 0 : Généralités

Dans les études précédentes le cisaillement transverse a seulement été pris en compte

pour le calcul des contraintes σkxz , il a été omis pour le calcul, par exemple, de la flèche .

Ce qui est justifiable quand le L/h de l'éprouvette est assez élevé .

D'autre part dans le cadre de la théorie classique du stratifié, n'est pris en compte que les

contraintes et déformations dans le plan (x,y) .

Dans cette partie, l'influence du cisaillement sur la flexion des poutres est mis en

évidence, toujours dans le cadre de la flexion pure, c'est à dire pour L/h grand .

L'équation constitutive de la théorie du stratifié avec cisaillement transverse s'écrit :

Mx

My

Mxy

=

D11 D12 D16

D12 D22 D26

D16 D26 D66

kx

ky

kxy

(20.69)

Qy

Qx

=

H44 H 45

H45 H55

γ 0

yz

γ 0xz

(20.70)

avec :

kx =∂ϕ x

∂x

ky =∂ϕ x

∂y

kxy =∂ϕ x

∂y +∂ϕ y

∂x

γ 0

yz =∂w 0

∂y + ϕy

γ 0

xz =∂w 0

∂x + ϕx

(20.71)

Les kij correspondent aux courbures engendrées par les moments de flexion . Et les

γ0 correspondent aux rotations engendrées par les cisaillements transverses .

Les équations des moments et des résultantes en cisaillement sont découplés et peuvent

être écrites sous formes inverses :

Page 101: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 101 -

Chapitre 0 : Généralités

kx

ky

kxy

=D

∗11 D

∗12 D

∗16

D∗12 D

∗22 D

∗26

D∗16 D

∗26 D

∗66

Mx

My

Mxy

γ 0yz

γ 0xz

=

H ∗44 H ∗

45

H ∗45 H ∗

55

Qy

Qx

(20.73) et (20.74)

Avec les hypothèses que les fonctions ϕx et wo sont indépendantes de y et dépendent

seulement de x .

ϕx correspond à la rotation des sections droites induite par le gauchissement,

conséquence du cisaillement transverse .

Les déformations εxx et γoxz sont données par

εxx = zdϕ x

dx

γ oxz = ϕ

x+

dwo

dx

(20.77) et (20.78)

On obtient :

kx

=dϕ x

dx= D

∗11M

x (20.82)

My = Mxy = 0

par suite Qy = 0

Par suite on introduit le module Ex (20.11) de la poutre et le module de cisaillement

Gxz :

Gxz

=1

hF55∗ (20.87)

Si la variation du moment de flexion Mx est connue, on a la relation :

Page 102: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 102 -

Chapitre 0 : Généralités

dϕ x

dx= D

∗11M

x=

M

ExI

dM

dx= bhG

xz(ϕ

x+

dwo

dx)

(20.91) et (20.93)

Les expressions des contraintes ne sont pas modifiées par la prise en compte du

cisaillement transverse .

A- Application à la flexion 3 points

Le cisaillement transverse pour la flexion 3 points implique :

ϕx

= −P

4ExIx2

+ c (20.94)

On introduit le coefficient de cisaillement S défini par :

S =Ex

Gxz

h

L

2

(20.101)

L'effet de la déformation en cisaillement transverse dépend donc du rapport

d'élancement L/h de la poutre, et du rapport Ex/Gxz .

La flèche au centre est déterminée en valeur absolue par :

wc

=PL3

4Exbh3 (1 + S) (20.102)

wc(S) = (1 + S)w

c(0) (20.104)

wc(S) est la flèche obtenue en tenant compte de l'effet de la déformation en

cisaillement, alors que wc(0) est la flèche en l'absence de cisaillement transverse donnée par

(20.37) . Négliger le cisaillement revient à sous-estimer la flèche .

B- Application pour la flexion 4 points

Page 103: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 103 -

Chapitre 0 : Généralités

Les angles de gauchissement ont pour expression dans les deux zones mécaniques (l'une

en couplage flexion-cisaillement 0<x<L/4 et l'autre en flexion pure L/4<x<L/2) :

ϕx

= ϕ1

= −P

4Ex Ix2

+ c1 0<x<L/4 (20.118)

ϕx

= ϕ2

= −PL

8E x Ix + c

2 L/4<x<L/2 (20.119)

La flèche au milieu de la poutre, s'écrit, en tenant compte du cisaillement transverse :

wc(S) = (1 +

8

11S )w

c(0) (20.132)

Où wc(0) est la flèche "milieu" (20.58) sans prise en compte de l'effet transverse .

3- FLEXION DES POUTRES SANDWICHES

Page 104: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 104 -

Chapitre 0 : Généralités

A- Expressions générales

La similitude de comportement entre les plaques sandwiches symétriques avec

cisaillement transverse permet de transposer les résultats obtenus aux paragraphes précédents

à la flexion des poutres sandwiches . Dans le cas de la flexion pure , l'équation constitutive

des matériaux se réduit à :

Mx

My

Mxy

=

D11 D12 D16

D12 D22 D26

D16 D26 D66

kx

ky

kxy

(20.134)

Qy

Qx

=

H44 H 45

H45 H55

γ 0

yz

γ 0xz

(20.135)

Il y a cependant des différences essentielles entre les résultats établis précédemment,

adaptés aux poutres monolithiques, et les poutres sandwiches, au niveau de la distribution des

contraintes.

Berthelot considère alors pour illustrer cet aspect un sandwich symétrique constitués de

deux peaux identiques dont les axes d'orthotropie sont parallèles aux axes x-y de la poutre et

d'une âme dont les axes principaux 1-2 sont parallèles aux axes x-y. Les contraintes en

membrane dans la couche k de la peau supérieure ou inférieure sont données par les relations

suivantes :

σk

xx = ±Qk

11

h

2

dϕ x

dx

σk

yy = ±Qk

12

h

2

dϕ x

dx

σk

xy = 0

(20.137)

La contrainte de cisaillement transverse s'écrit :

Page 105: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 105 -

Chapitre 0 : Généralités

σk

xz = ±Qk

11D∗11

Ph

4b(z + c

k) (20.141)

Les constantes ck sont déterminées en annulant σxz sur les faces supérieure et

inférieure et en assurant sa continuité entre chaque couche . La contrainte de cisaillement

dans l'âme σaxz est constante et est obtenue par continuité à l'interface peau/âme .

Critiques : L'approche de Berthelot considère un cisaillement transverse dans les peaux,

ce qui est souvent négligé dans la plupart des approches; cependant elle considère que la

contrainte de cisaillement est constante dans l'âme, ce qui est simplificateur par rapport à la

réalité expérimentale où l'on remarque bien un gradient de cisaillement dans l'âme .

B- Comparaisons entre la théorie des sandwiches et la théorie des

plaques avec cisaillement transverse

Berthelot continue son analyse pour le cas de la flexion 3 points sur poutre sandwiche à

peaux épaisses . Lorsque les peaux sont de faibles épaisseurs par rapport à l'âme, on considère

qu'elles ne transmettent que des efforts membranaires; plus épaisses elles transmettent

également l'effet transverse . quant à l'âme elle est également sollicitée dans son plan et

transversalement .

Il considère ici le cas d'une âme isotrope caractérisée seulement par son module

d'Young Ea et son coefficient de poisson Va, le module de cisaillement de l'âme se déduit par

la relation :

Ga = Ea/(2*(1+Va))

Il compare les résultats obtenus à l'aide de la théorie du stratifié avec effet transverse et

la théorie des sandwiches dans le cas de la flexion 3 points :

Pour le calcul de la flèche, il y a une différence de 30 % entre les deux théories .

En considérant le cas simple de la flexion engendrée seulement par Mx, sont calculées

les contraintes importantes σxx et σxz dans les peaux et l'âme à x=L/2.

1- Par la théorie du stratifié avec cisaillement transverse :

Page 106: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 106 -

Chapitre 0 : Généralités

pour les contraintes longitudinales :

dans les peaux :

σm

xx = −2axx

mσo

z

ht (20.165)

dans l'âme :

σm

xx = −2axx

aσo

z

ht (20.169)

avec ht=h+2h1 où h1 est l'épaisseur des peaux

avec σo=3PL/(2bh2) τo=-3P/(4bh)

Les contraintes de cisaillement sont données par :

dans les peaux:

σxz

k= − a

xx

k τ o 4z

ht

2

+ d k[ ] (20.172)

dans l'âme :

σxz

m= − a

xx

m τ o 1− 4z

ht

2[ ]

σxz

a= σ

xz

mh / 2( ) + a

xx

a τoh

ht( )2 1− 4

z

ht

2[ ]

(20.173)

et(20.174)

2- Par la théorie du sandwich :

Page 107: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 107 -

Chapitre 0 : Généralités

Pour les contraintes longitudinales :

dans les peaux :

σxx

m= ±σ

o

hht2

12D11

∗SQ11

m (20.175)

elles sont constantes dans les peaux

dans l'âme :

elles sont nulles

Les contraintes de cisaillement sont données par :

dans la peau inférieure, en tension :

σxz

m= τo

1

1−ν LTm2

ht2

3(h+h1 )h11+2 z

ht

(20.177)

dans l'âme, elle est constante :

σxz

a=

2

3

τo

1− ν LTm2

ht

h+ h1 (20.178)

On présente par les schémas suivants la répartition des contraintes σxx et σxz dans

l'épaisseur du sandwich (peaux et âme) suivant les théories . En pointillé est présentée la

répartition de ces mêmes contraintes pour une poutre homogène :

4- RECAPITULATIF

Page 108: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 108 -

Chapitre 0 : Généralités

Pour une poutre sandwiche symétrique chargée transversalement , en considérant la

flèche ne dépendant que de x (rapport L/b élevé), le comportement est très proche de la

théorie classique des poutres isotropes :

d 2wo

dx 2 = −M

JX (26.5)

Où Jx est la rigidité en flexion de la poutre dans la direction x :

Jx

= ExI =

b

D11∗ (26.6)

Dans le cas de stratifiés orthotropes symétriques, même antisymétriques (les couplages

Bij peuvent être négligés au vu de l'épaisseur du sandwich), le module de flexion et la rigidité

en flexion s'expriment par :

Ex

=12

h3 (D11

−D12

2

D22)

Jx

= b(D11

−D12

2

D22)

(26.7) et (26.8)

Dans le cas où le terme D212/D22 est négligeable devant D11 :

Ex

= 12D11

h3

Jx

= bD11

=b

3(hk

3

k=1

n

∑ − hk−1

3)(Q

11

')k

(26.9) et (26.10)

Où les (Q'ij)k correspondent à la matrice de rigidité hors-axes propres du pli .

APPROCHE SIMPLE DU COMPORTEMENT POUTRE SANDWICHE

Page 109: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 109 -

Chapitre 0 : Généralités

1- CRITIQUES

- Comment relier une rigidité théorique à une rigidité expérimentale ?

- Expérimentalement, le L/h choisi, ne permet plus de négliger le cisaillement transverse, on

ne plus parler d'un cas de flexion pure . Ainsi la rigidité mesurée expérimentalement

incorpore à la fois l'effet de flexion et de cisaillement et peut donc difficilement être

rapprochée à une théorie .

- La rigidité déterminée théoriquement considère seulement la rigidité des peaux, comme si

l'âme ne participait pas à l'effet de flexion.

- On rappelle les hypothèses fondamentales du comportement sandwich dans le cadre

d'élasticité en faibles déformations:

1- L'épaisseur de l'âme est bien supérieure à celle des peaux : h>>h1.

2- Les déplacements de l'âme suivant x et y ne dépendent que de z .

3- Les déplacements suivant x et y dans les peaux sont uniformes .

4- Le déplacement transverse w est indépendant de la variable z : la déformation εxx est négligée .

5- L'âme ne transmet que les contraintes de cisaillement transverse σxz, σyz, les

contraintes σxx, σyy, σxy et σzz sont négligées .

6- Les contraintes de cisaillement transverse sont négligées dans les peaux .

- L'âme Nida des sandwichs testés n'est pas orthotropes car les alvéoles hexagonales ont un

sens longitudinal perpendiculaire au sens global des fibres rajoutant des difficultés

supplémentaires à une approche déjà complexe .

Un matériau sandwich est donc constitué d'un matériau de faible masse volumique

(l'âme) sur lequel est collé deux plaques (les peaux) . Pour schématiser, l'âme transmet par

cisaillement les actions mécaniques d'une peau à l'autre .

2- COMPORTEMENT "SANDWICH" SIMPLE : Les approches simplificatrices proposent une rigidité du sandwich [8] :

Page 110: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 110 -

Chapitre 0 : Généralités

Df = Efb(h3-c3)/(12(1-vf))

Où b est la largeur du sandwich, h=c+2t son épaisseur totale, c l'épaisseur de l'âme et t

celle de chacune des peaux .

Ef est le module de traction des peaux et vf son coefficient de poisson .

Df, Rigidité à ne pas confondre avec un module de flexion Ex (en MPa), une rigidité D

est alors équivalente à ce module Ex multiplié par l'inertie de la poutre I = b h3/12 (b largeur,

h épaisseur) .

Considérant que les peaux ne travaillent qu'en flexion, elles ne sont soumises qu'à une

contrainte en traction ou compression :

σf= +/- 2M/(bt(h+c))

où M est le moment de flexion, différent suivant les zones "mécaniques" dans le cas par

exemple de la flexion 4 points .

L'âme ne travaille qu'en cisaillement, elle est sollicitée par la contrainte de cisaillement :

τ = 2V/(b(h+c)) où V est l'effort tranchant .

Ces résultats sont établis selon l'hypothèse que les que L/h est élevé et que les peaux

sont assez fines .

L'approche de Gay [9] est encore plus simpliste :

dans les peaux : σf= +/- M/(t+c)

dans l'âme : τ = V/c

Allen [10] est plus fin dans son analyse, tout en considérant cependant les peaux et

l'âme comme des matériaux homogènes, c'est à dire sans prendre en compte la nature

stratifiée des peaux :

La poutre est toujours considérée dans un cadre de flexion majoritaire par rapport au

cisaillement transverse, soit pour L/h grand . L'équation constitutive en flexion est alors :

M/(EI) = -1/R

Où M est le moment de flexion, 1/R la courbure prise .

E*I est alors la rigidité du matériau; pour un "isotrope", E est le module d'élasticité

classique et I l'inertie en flexion . Cependant pour un sandwich, il est plus judicieux de parler

de "D" (équivalent au "EI"), rigidité en flexion du sandwich .

Page 111: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 111 -

Chapitre 0 : Généralités

D = Ef. bt3/6 + Ef. btd2/2 + Ec . bc3/12

Où Ef et Ec sont respectivement les module d'élasticité des peaux et de l'âme, d =

(h+c)/2, (h l'épaisseur totale et c celle de l'âme) .

Dans le cas de la flexion 4 points, cette rigidité intrinsèque peut même être calculée

expérimentalement :

1/D = -1/(M * R) = - 2∆/(M*AF2)

Où dans le cas d'une déflexion faible AF2= BF2=R2-(R-∆2) .

R R

∆E

A

F

B

∆ est alors la différence de flèche entre les pannes de chargement au niveau de E ou F et

entre la flèche au milieu (A) .

les contraintes longitudinales dues à la flexion sont calculées dans les peaux mais

également dans l'âme :

dans les peaux : σf= M*z*Ef/D

c/2<z<h/2 et -h/2<z<-c/2

z axe ascendant avec pour origine le plan médian de la poutre

dans l'âme : σc= M*z*Ec/D

-c/2<z<c/2

La contrainte de cisaillement transverse est déterminée à travers toute la poutre, elle est

cependant négligée dans les peaux et s'écrit dans l'âme par :

τ = (Q/D) * (Ef td/2 + Ec *(c2/4 - z2)/2)

Dans le cas où l'âme est faible, Ec est négligeable, le cisaillement s'écrit :

Page 112: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 112 -

Chapitre 0 : Généralités

τ = (Q/D) * (Ef td/2)

Et dans le cas où les peaux sont peu épaisses et souples, on peut même écrire pour l'âme

τ = Q/(bd)

Allen évoque alors le concept d'âme "antiplan" ou âme idéale pour laquelle les modules

d'élasticité dans le plan (Ex, Ey) sont nuls, mais le module de cisaillement transverse de

valeur finie .

3- POUR LA FLEXION 3 et 4 POINTS SUR SANDWICHES :

Pour les sandwiches en flexion 4 points, des normes ont été consultées.

Norme : NF T 54-606 "Structures sandwiche à base de plastiques , Essai de flexion" .

Dans cette norme la rigidité de la poutre sandwiche et le module de cisaillement ne

peuvent être déterminées qu'en combinant les résultats expérimentaux tirés des flexions 3 et 4

points . Cependant les contraintes à rupture sont déterminées, toujours suivant l'idée simple

que l'âme travaille en cisaillement et les peaux en flexion :

τ = P/b(h+ea) contrainte de cisaillement dans l'âme en MPa

si la rupture a lieu dans l'âme ou à l'interface âme/peau .

P est la charge à rupture en cisaillement .

h l'épaisseur totale du sandwich, b sa largeur .

ea l'épaisseur de l'âme .

σ = P2d/(4es(h+ea)b) contrainte en flexion de la peau en MPa

si la rupture a lieu dans les peaux .

P2 est la charge à rupture en flexion dans les peaux .

d distance entre appuis .

es correspond à l'épaisseur des peaux .

Pour faciliter les propriétés en cisaillement, le dimensionnement conseillé est d/h=10 et

pour la flexion d/h= 20 .

Norme : ASTM C 393-62 : "Standard Test method for Flexural Properties of Flat

Sandwich Constructions". Norme reprise et détaillée par le "Military Standard : Sandwich

constructions and core materials; general test methods" (MIL-STD-401B, sept. 1967) et

l'article de Feichtinger [14] :

Page 113: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 113 -

Chapitre 0 : Généralités

Dans cette norme la mesure des propriétés du sandwich passe par la connaissance ou

l'estimation des résistances en traction pour la peau (F), en cisaillement pour l'âme (S). On se

place dans des conditions de cisaillement majoritaire pour a/f<4F/S (a est la portée de la

poutre et f l'épaisseur des peaux) . Les contraintes sont alors déterminées de manière suivante.

Dans l'âme :

τ = [P/(h+c)b]k où k=1-e-B B=a(c+f)/8f(finir formule)

où c épaisseur de l'âme, f celle des peaux

G le module de cisaillement de l'âme et E le module de traction des peaux .

Dans les peaux :

σ = Pa/4f(h+c)b

Comme dans la norme NF T 54-606, la rigidité en flexion et le module de cisaillement

sont déterminés par combinaison des flexions 3 et 4 points; cependant en considérant que

l'âme ne participe pas à la flexion , la rigidité s'exprime par :

D= E(h3-c3)b/12 en N.mm4

Page 114: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 114 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 7

DIMENSIONNEMENT ET CONCEPTION DE PIECES COMPOSITES

7-1- Essais sur matériaux et structures composites

Avant de modéliser et concevoir des pièces en composites, il y a nécessité de connaître

les lois de comportement des matériaux constitutifs de la structure voire de la structure elle-

même (pour la structure il s’agit plutôt d’essais de qualification et de vérification post

conception).

Les approches analytiques pour connaître le comportement des stratifiées sont parfois

limitées (exemple : loi des mélanges) et sont souvent utilisées pour un pré-dimensionnement.

Une fois un produit présélectionné (exemple : tissu particulier), les essais sont un bon

moyen de connaître précisément les comportements des plis constitutifs d’un stratifié.

Les essais suivants permettent de remonter aux propriétés intrinsèques du ou des

produit(s) constitutif(s) dits « composants » :

Essais sur composants

Paramètres recherchés

Sollicitations Références

E1, ν12, X+ Traction longitudinale dans le plan 1-2 (1)

E2, ν23, Y+ Traction transversale dans le plan 2-3 (1)

ν13 Traction longitudinale dans le plan 1-3 K. Khellil

Z+ Traction dans l’épaisseur K. Khellil

X- Compression longitudinale guidée Norme NF T 57-103

Y- Compression transversale guidée

Compression sur cubes

Norme NF T 57-103

K. Khellil

(2) et (3)

E3, Z- Compression sur cubes K. Khellil

(2) et (3)

G12

τ12 ultime = S

Traction orientée (off-axis)

ou traction cisaillement plan [+-45°]

Rail-shear avec 2 ou 3 rails

ASTM

D3518-76

G12 et G23 Torsion d’un barreau rectangulaire K. Khellil

τ13 ultime = R Flexion sous appuis rapprochés ASTM D790-71

τ23 ultime = Q Cisaillement type IOSIPESCU ASTM D4250

F12, F13, F23 Double compression sur cubes K. Khellil

Page 115: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 115 -

Chapitre 0 : Généralités

Références utilisées :

(1) : R. J. Lee : « Compression strength of aligned carbon fibre reinforced thermoplastic

laminates » AERE R 12165 United Kingdom Atomic Energy Authority

HARWELL, Materials Development Division Harwell Laboratory, Oxfordshire,

1986

(2) : P.T. Curtis & J. Morton : « The effects of fibre surface treatment on the

compressive strength of CFRP laminates » RAE TR 82047 (April 1982

(3) : Marvin Knight « Three-Dimensional Elastic Moduli of Graphite/Epoxy

Composites » J. Composite Materials, Vol. 16 (March 1982)

K. Khellil, Thèse de doctorat, UTC, « Evaluation expérimentale d’un critère de rupture

tensoriel polynomial tridimensionnel pour matériaux composites », janvier 1993.

Essais sur structures

En règle générale, tous les essais répondant à un cahier des charges pour une application

particulière.

Pour les structures sandwiches, les essais suivants sont les plus représentatifs :

- flexion 3 points (test en flexion / cisaillement transverse suivant le rapport l/h)

- flexion 4 points (test en flexion / cisaillement transverse suivant le rapport l/h mais

avec toujours la partie centrale en flexion pure)

- cisaillement dans le plan (test de la résistance au cisaillement τxz et de l’adhésion peau/âme en cisaillement)

- arrachement peau/âme (test de l’adhésion peau/âme)

- Test en écrasement de l’âme (résistance à la compression de l’âme)

- Test en flambement du sandwich (instabilité de la structure en flexion)

7-2- Dessin d’une pièce composite et choix de la stratification (spécifications)

Il s’agit de parler le même langage entre concepteurs et fabricants afin d’obtenir la

structure en concordance avec les résultats de dimensionnement effectué.

Exemple du passage de la « TVF » vers le « Grammage » du tissu : formule approchée

Gram = epli * Vf * d

Gram : Grammage du pli sec en kg/m2 (à donner au fabricant en g/m

2)

epli : épaisseur du pli sec en m

etotal : épaisseur totale du monolithique (fibres + résine)

Vf : taux volumique de fibres, par approximation : Vf = epli / etotal

d : densité de la fibre utilisée dans le tissu sec

Page 116: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 116 -

Chapitre 0 : Généralités

7-3- Rupture des stratifiés

Partie déjà vue en cours dans le chapitre 4, on a vu que le critère le mieux adapté pour

les stratifiés était le critère de Tsaï-Wu. Il faut cependant faire attention aux hypothèses

simplificatrices qui sont prises en compte pour accéder à certains coefficients du critère.

L’approche la plus générale en dimensionnement est souvent le FPF (First Ply Failure),

bien que parfois pour des applications particulières (exemple : le crash) on prendra la LPF

(Last Ply Failure).

7-3- Prédimensionnement

Voir les exemples traités dans le chapitre 26 du livre de Berthelot : « Matériaux

composites, comportement mécanique et analyse des structures », Ed. Masson.

7-4- Liaisons et assemblages, collage

La liaison d’une pièce composite avec d’autres pièces se fait soit par collage, soit par

assemblage par l’intermédiaire d’un rivet, d’un boulon ou d’une pièce appelée « insert ».

cet insert, dans le cas d’un sandwich, est en général noyé dans l’âme du sandwich et

bloqué par le collage des peaux qui reviennent par dessus.

Les colles sont les mieux adaptées pour l’assemblage des matériaux composites à

matrices organiques. Cependant, il est important de connaître les propriétés de ces colles et

leur domaine d’utilisation (conditions de température et d’humidité importantes).

Pour les colles, il vaut mieux les faire travailler en cisaillement ! ! !

En référence, voir les photocopies tirées d’un recueil du CETIM : « Assemblage des

matériaux composites, structures sandwichs et matières plastiques ».

7-5- Modélisation en calcul EF

Prenez garde à l’approche éléments finis qui peut mener à des solutions séduisantes

mais irréalisables. Ainsi, concevez en connaissant au préalable les possibilités de mise en

œuvre des composites (importances des discussions avec les fournisseurs).

Page 117: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 117 -

Chapitre 0 : Généralités

CHAPITRE 8

BILAN DU COURS - R&D EN COMPOSITES

8-1- Bilan des connaissances

Conception de structures composites par Calcul EF

- linéaire

- non linéaire (matériaux, géométrie, chargement)

- endommagement / délaminage

Composants : renforts / matrice

Lois de comportement des composants : - homogénéisation

- essais

CONNAISSANC

ES ET CHOIX

Lois de comportement des matériaux : - stratifié

- sandwich

- etc.

• Par la théorie (prise en compte ou non du

cisaillement transverse)

• Par les essais

CRITÈRES

Validation de la conception et du process de fabrication : - par les essais (statique, fatigue , dynamique

- par l’analytique (pour les structures simples)

- par les méthodes d’optimisation (affinement des paramètres de fabrication en

fonction des sollicitations : angles de drapage, taux de fibres, épaisseurs, etc.)

Cahier

des

charges

Page 118: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 118 -

Chapitre 0 : Généralités

8-2- Sensibilisation aux domaines de Recherches actuelles

1- L’homogénéisation et L’endommagement (vu aux chapitres 3, 4, 5)

2- Approches analytiques sur structures sandwiches (vu aux chapitres 6, 7 )

Dès que la structure sandwich se complexifie (anisotropie forte, géométrie et chargement

complexes), les solutions analytiques sont rapidement limitées. L’approche par éléments finis

devient plus adéquate.

3- Le comportement dynamique des matériaux et structures (impact, crash)

Ce domaine est de plus en plus d’actualité (exemple des transports : dimensionnement des

structures au crash pour la sécurité des personnes). L’accès aux lois de comportement

dynamique est primordial mais aujourd’hui insatisfaisant :

- Mal connu en général

- Les métalliques sont mieux connus que les composites

- Les propriétés en fonction du taux de déformation sont investies pour des niveaux bas

(dε/dt < 100 s-1) ou haut (dε/dt > 1000 s-1 ), entre ces deux limites la plage est importante

et mal connue, elle concerne particulièrement les transports terrestres (automobile et

ferroviaire).

Exemple de la recherche dans ce domaine effectuée à l’UTC (collaboration contrat Cifre UTC

/ Bombardier Transport, thèse J. Pasquiet) : canon pneumatique pour le crash permettant

d’atteindre des énergies de 10 kJ et des vitesses de 100 m/s soit 400 km/h.

Figure 1 : Canon pneumatique de crash pour essais sur structures et composants

Page 119: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 119 -

Chapitre 0 : Généralités

Figure 2 : Exemple de test sur structure sandwiche composite

Figure 3 : Projectile avec électronique embarqué pour test sur structure sandwiche composite

Figure 4 : Exemple de dommage engendré sur structure sandwiche composite

Page 120: Materiaux Composites

Nadia BAHLOULI IPST-ULP

Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

- 120 -

Chapitre 0 : Généralités

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

J.-M. Berthelot, « Matériaux composites, comportement mécanique et analyse des

structures », Ed. Masson

M.L. Benzeggagh, Polycopié du cours MQ13 en 4 tomes sur les matériaux composites

D. Gay, « Matériaux Composites », 3

ème édition Ed. Hermès, 1991.

Nadia Bahlouli, Cours Composites sur le site Internet « http://www-ipst.u-

strasbg.fr/nadia/courcomp/ »

J. Lemaitre et J.-L. Chaboche, « Mécanique des matériaux solides », Ed. Dunod

E. Dieulesaint et D. Royer, « Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal », Masson et Cie Editeurs, Paris, 1974.

Nadine Bourgeois, « Caractérisation et modélisation micromécanique du comportement et de

l’endommagement d’un composite à matrice métallique : Al/SiCp », thèse de doctorat

soutenue le 18 janvier 1993, Ecole Centrale de Paris

Leif A. Carlsson et R. Byron Pipes, « Experimental characterization of advanced composite

materials », Technomic Publishing Co. Inc.

Kamel Khellil, « Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel polynomial

tridimensionnel pour matériaux composites », thèse de doctorat soutenue le 18 janvier 1993,

Université de Technologie de Compiègne

Zoheir Aboura, « Etude du processus de délaminage Mode I, Mode II et Mode mixte (I plus

II) de matériaux composites à renforts tissés à différentes vitesses de sollicitation », thèse de

doctorat soutenue le 25 novembre 1993, Université de Technologie de Compiègne

S. Barré, «Etude de l’endommagement de matériaux composites à fibres courtes et à matrice

thermoplastique sous chargement statique et cyclique » , rapport de D.E.A., septembre 1991,

Université de technologie de Compiègne

Howard. G. Allen, « Analysis and design of structural sandwich panels », Pergamon Press

INERN, « Les matériaux composites à structure sandwich », recueil des 5èmes Journées

d’automne, 16-17 octobre 1990, Lorient, France