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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(9) Zum Themengebiet
Lineare Gleichungssysteme
Vorschlag 9.1: An der Kinokasse..................................................................3 Einführung Linearer Gleichungssysteme anhand eines unvollständigen Comics Vorschlag 9.2: In der Kneipe ........................................................................4 Bier- und Kornpreise sollen anhand linearer Gleichungssysteme bestimmt werden Vorschlag 9.3: Magie der Münzen................................................................6 Wie kann ein Zaubertrick mathematisch aufgeklärt werden? Vorschlag 9.4: Wanderung im Odenwald.....................................................8 Eine defekte Waschmaschine wirft eine offene Frage auf Vorschlag 9.5: Fahrpläne..............................................................................9 Die Fahrpläne des öffentlichen Personenverkehr (Bus und Bahn) basieren auf zahlreichen (linearen) Gleichungssystemen und sollen diesbezüglich untersucht werden Vorschlag 9.6: Internetadressen zu linearen Gleichungssystemen .............11 Verschiedene Internetadressen zum Thema lineare Gleichungssysteme Vorschlag 9.7: Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben.........................12 Acht Dreiecke verraten über sich nur das Nötigste. Trotzdem kann man sie mit enttarnen. Vorschlag 9.8: Katz und Hund....................................................................14 Welche Geschichte erzählen die Graphen? Vorschlag 9.9: Trimino ...............................................................................15 Erweitertes Domino, bei dem Funktionsterme, Graphen und Schnittpunkte einander zugeordnet werden müssen Vorschlag 9.10: Zahnbürstenmüll...............................................................17 Neue Bürste o der Köpfe wechseln? Das ist hier die Frage Vorschlag 9.11: Geometrie..........................................................................19 Geometrische Aufgaben zur Vernetzung mit linearen Gleichungssystemen Vorschlag 9.12: Unterwegs mit der Bahn ...................................................21 „Wann kommt der Zug wohl an?“ In der Realität eine offenere Fragestellung als in dieser Aufgabe
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Vorschlag 9.13: Jonglieren mit den Tarifen................................................22 Die Frage nach dem günstigsten Telefontarif bietet Anlass zum Aufstellen und Lösen verschiedener linearer Gleichungssysteme Vorschlag 9.14: Fehlerteufel .......................................................................23 Wer schafft es in diesem Spiel dem Fehlerteufel die Hölle heiß zu machen? Vorschlag 9.15: Rückspiegel .......................................................................28 In vielen neueren Schulbüchern finden sich „Rückspiegel“, mit denen die Schüler selbständig überprüfen können, inwieweit sie den Lernstoff anwenden können. Hier ist ein Beispiel zu linearen Gleichungssystemen abgedruckt Vorschlag 9.16: Aufgaben zur Anwendung ................................................30 Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung der Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
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Vorschlag 9.1: An der Kinokasse
An der Kinokasse: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Einstieg in LGS: Schüler finden eine Vielzahl von Lösungsmöglichkeiten, die oft direkt auf
die Standardverfahren lenken. Variationen der Aufgabe: • Obige Fragestellung weglassen und die Schüler selbst fragen entwickeln lassen. • Weitere Aufgabenstellung: „Ändert den Comic so ab, dass die Informationen nicht
ausreichen, um die Preise eindeutig errechnen zu können!“ Lösungen: • Erwachsene: $ 5,25; Kinder: $ 3,75 Eignung, (mögliche) Methoden: • Partner- oder Gruppenarbeit
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Vorschlag 9.2: In der Kneipe
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In der Kneipe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme • Anregen von Argumentieren und Begründen Variationen der Aufgabe: • Nur erste Situation vorgeben: Schüler nach Preisen fragen. „Wie viele Möglichkeiten gibt
es?“ Wie kann man alle Lösungen darstellen?“, „Was müsste gegeben sein, damit man die Preise bestimmen kann?“ (Verbindungen zu Schnittpunkt zweier Geraden herstellen)
• „Unmögliche“ Zahlen vorgeben (Schnittpunkt bei negativem Bierpreis). Schüler selbst sinnvolle Möglichkeiten finden lassen.
• Eine „Bestell-Sprechblase“ leer lassen und nach dem möglichen Inhalt fragen. Lösungen: Erdnüsse: 3,90 € ; Bier: 4,20 € Eignung, (mögliche) Methoden: • Partner- bzw. Gruppenarbeit
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Vorschlag 9.3: Magie der Münzen
(Schröder, M. / Wurl, B.: Mat(h)erialien 7-10 Algebra. Schroedel 1996, S. 150.)
a) Versuche herauszufinden, wie der Zaubertrick des Magiers
funktioniert.
b) Erfinde selber einen (ähnlichen) „mathematischen Zaubertrick“ und teste ihn an deinem Nachbar.
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Magie der Münzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Behandlung eines offenen Problems • Erkennen der eventuell verblüffenden Wirkung von Mathematik und ihrer Bedeutung für
manche Zaubertricks • Aufstellen von einfachen linearen Gleichungssystemen aus einem komplizierten Kontext • Bei der Fragestellung aus der Variation als Einstieg geeignet, ansonsten eher als Vertiefung Variationen der Aufgabe: • Verwenden der original (leichteren da vorstrukturierten) Fragestellung:
(1) 34 wird als Rechenergebnis genannt. Welche Gleichung gilt also für x = Anzahl der Münzen links und y = Anzahl der Münzen rechts?
(2) Es gibt noch eine zweite Gleichung für x und y. An sie denkt der Zauberer im zweiten Bild bei einem schnellen Blick auf die Münzen. Welche ist es?
(3) Könnte der Zauberer auch mit anderen Zahlen als 3 und 4 multiplizieren lassen? Lösungen: • Das Ergebnis liegt zwischen 27, falls alle Münzen in der linken Hand sind und 36, falls alle
Münzen in der rechten Hand sind. Zieht man als Zauberer das genannte Ergebnis von 36 ab, so erhält man die Anzahl der Münzen in der rechten Hand. Dahinter steckt, dass sich der Zauberer irgendwann einmal die beiden linearen Gleichungen 3x + 4y = 34 und x + y = 9 gedacht, für y = 9 – x eingesetzt und so die Gesetzmäßigkeit erkannt hat.
• Bei der Variation sind die beiden eben aufgestellten Gleichungen die Lösungen für Teil (1) und (2). Für Teil (3) gilt: Falls die Zahlen nicht aufeinander folgen, sondern x Schritte auseinander liegen, muss die Differenz durch x dividiert werden.
Eignung, (mögliche) Methoden: • Partner- oder Gruppenarbeit • Der Lehrer führt den Zaubertrick in der Klasse vor und gibt dann den Schülern die Aufgabe
(+ Arbeitsblatt), den Zaubertrick zu enträtseln. Wichtig: Schüler spielen dann selbst in Gruppen
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Vorschlag 9.4: Wanderung im Odenwald
Familie Müller wandert 12 km im Odenwald auf einem Rundweg und plant, da sie mit Freunden und mehreren Kindern unterwegs sind, dafür 4 Stunden ein. Sie starten nach dem Mittagessen um 14 Uhr. Eine Stunde später tropft es bei ihrem Untermieter Herrn Muffig durch die Decke. Müllers Waschmaschine ist defekt! Herr Muffig ist wütend und macht sich auf den Weg, um Familie Müller zu benachrichtigen. Er läuft mit einem Tempo von 5 km/h. Wanderung im Odenwald: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Einstieg in l ineare Gleichungssysteme • Anwendung unterschiedlicher Lösungsstrategien, z.B. graphisches Verfahren,
Zuordnungstabelle, Lösen eines LGS Variationen der Aufgabe: • Schüler entwickeln eigene Fragestellung • Wie kann man diese Aufgabe graphisch lösen? • Wie kann man den jeweiligen Graphen durch eine Gleichung beschreiben? • Wie kann die Aufgabe mit einem LGS gelöst werden? Lösungen: Wenn Herr Muffig hinter der Familie herläuft: nach 2,5 Stunden. Er kann ihnen aber auch entgegen laufen. Eignung, (mögliche) Methoden: • Partnerarbeit Erfahrungen:
• „Die Schüler diskutieren die Lösungsmöglichkeiten sehr intensiv und interessiert. Die meisten Gruppen wählen ein graphisches Lösungsverfahren. Keine Gruppe kommt auf die Idee, dass H. Muffig Fam. Müller entgegen laufen könnte. Die Frage wird anschließend von mir aufgeworfen. Die meisten Gruppen nähern das Ergebnis an (Tabelle oder Rundkurs). Nur eine Schülerin bemüht sich um ein LGS. Dies gelingt ihr zu Hause. In der darauffolgenden Stunde stellt sie dies an der Tafel vor.“
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Vorschlag 9.5: Fahrpläne
Die Bewegungen der Züge im Schienennetz der Bundesbahn werden in Bildfahrplänen dargestellt (siehe nebenstehende Grafik). Im Gegensatz zu der üblichen Darstellung mit horizontaler Zeitachse, sind hier die Strecken waagrecht und die Zeit senkrecht abgetragen.
a) Was könnten die Vorteile eines solchen Bildfahrplans im Gegensatz zu herkömmlichen Fahrplänen sein?
Für die normalen Passagiere werden jedoch lediglich herkömliche Fahrpläne erstellt, in denen man die An- und Abfahrtszeiten eines einzelnen Zuges von bestimmten Bahnhöfen nachlesen kann.
Links abgebildet siehst du einen Fahrplanausschnitt der Züge 8025 / E 3665 / D 319 / E 3020 / 8020 / D 248 für die Strecke Aachen – Düren – Köln.
b) Erstelle für vier Züge deiner Wahl einen Bildfahrplan der Strecke (Hin- oder Rückfahrt) Aachen – Düren - Köln. Bestimme die Zeitpunkte und Orte, wann und wo sich die verschiedenen Züge treffen. Wann und wo finden Überholvorgänge statt?
In der Realität werden Computer für die Erstellung von Fahrplänen benötigt, da eine riesige Anzahl an (linearen) Gleichungen zu lösen ist.
c) Versuche in einem kurzen Text zu beschreiben, welche Bedeutung lineare Gleichungen bei der Erstellung von Fahrplänen haben könnten.
(Verändert entnommen aus: Bachmann, Agathe u.a.: Schnittpunkte 9, Klett, Stuttgart 1995)
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Fahrpläne: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Erkennen der Bedeutung von linearen Gleichungen im alltäglichen Leben • Schreiben eines mathematischen Textes Lösungen: a) An den Unterbrechungen der Linien erkennt man die Haltestationen der Züge. Die
verschiedenen Richtungen der Strecken lassen Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit und die Fahrtrichtung der Züge zu. Die Überschneidungen zweier Linien markieren die Anschlussmöglichkeit von einem zum anderen Zug.
b) Individuell c) Individuell Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit • Fahrpläne regionaler Verkehrsgesellschaften untersuchen • Einen original Bildfahrplan der DB betrachten (weitaus mehr Züge sind darauf dargestellt) • Klassenbrief an die Deutsche Bahn schreiben, um sich eventuell das genauer Vorgehen beim
Erstellen der Fahrpläne erläutern zu lassen
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Vorschlag 9.6: Internetadressen zu linearen Gleichungssystemen
1. http://home.t-online.de/home/rudolf/Link/mathe.htm 2. http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/j08/lings/lings.htm 3. http://www.mathe-material.de/startpage.html 4. http://mathematik.zum.de 5. http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html 6. http://www.mathe-online.at/materialien/TechnikumKaernten/files/
Ungleichungen/ungleichungen_allg1.html 7. http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/
W3/App5/Page1.htm 8. http://www.4teachers.de/unt/stu/klasse.cfm?fach=11&klasse=8 9. http://www.4teachers.de/unt/stu/klasse.cfm?fach=11&klasse=9 10. http://www.acdca.ac.at/material
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Vorschlag 9.7: Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben
Acht Dreiecke verraten so viel von ihren Maßen, dass man sie konstruieren kann. Allerdings haben sie ihre Angaben ein wenig verschlüsselt. – Berechne die Maße und konstruiere dann die Dreiecke.
Übrigens: Eins der Dreiecke hat sich wohl geirrt. Mit seinen Maßen ist beim besten Willen kein Dreieck zu konstruieren. Welches Dreieck ist es?
Dreieck 1: Die Seite c ist 8cm lang. a und b sind zusammen 10cm lang, b ist 3cm größer als a.
Dreieck 2: Die Höhe hc und die Seite a sind gleich lang, und zwar 4cm. Die vierfache Länge von b ist gleich der siebenfachen Länge von a.
Dreieck 3: Es gilt: a < b < c. Je zwei Seiten unterscheiden sich jeweils um 3cm oder um 6cm. a ist halb so groß wie c.
Dreieck 4: Der Umfang beträgt 20 cm. c ist 4 cm länger als b. Die dreifache Länge von b ist um 2 cm länger als die doppelte Länge von c.
Dreieck 5: Die Winkel α und β sind gleich groß. Die doppelte Länge von a ist die dreifache Länge von c. Der Umfang des Dreiecks beträgt 16cm.
Dreieck 6: Der Winkel α beträgt 60°. Die sechsfache Länge von hc ist die dreifache Länge von c. Die Differenz von hc und c beträgt 4cm.
Dreieck 7: a und b sind zusammen 21cm lang. Die Länge von b beträgt 75% der Länge von a. c2 ist um 1 größer als das Vierfache von a.
Dreieck 8: Der Umfang des Dreiecks beträgt 12cm. Die Länge von c beträgt 80% der Länge von b. a und b zusammen sind doppelt so lang wie c.
Quelle: Annelies Paulitsch: Rund ums Dreieck, veröffentlich unter: http://www.a-paulitsch.de/website/rundumsdreieck.doc
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Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme • Vernetzung zur Geometrie • Vernetzung zur Prozentrechnung Variationen der Aufgabe: • Zu anderen geometrischen Figuren sind ist eine ähnliche Aufgabenstellung denkbar (Mögliche) Lösungen: 1: Es wird angegeben: I: c = 8 II: a + b = 10 III: b = a + 3 Lösung: a = 3,5 b = 6,5 c = 8 2: Es wird angegeben: I: â= 90° (da hc = a) II: a = 4 III: 4b = 7a Lösung: a = 4 b = 7 â= 90°. 3: Es wird angegeben: I: a + 3 = b II: a + 6 = c III: 2a = c Lösung: a = 6 b = 9 c = 12 4: Es wird angegeben: I: a + b + c = 20 II: c = b + 4 III: 3b = 2c + 2 Lösung: a = - 4 b = 10 c = 14 Dieses Dreieck kann nicht konstruiert werden! 5: Es wird angegeben: I: a = b (da á =â) II: 2a = 3c III: a + b + c = 16 Lösung: a = 6 b = 6 c = 4
6: Es wird angegeben: I: á = 60° II: 6hc = 3c III: c – hc = 4 Lösung: á = 60° hc = 4 c = 8 7: Es wird angegeben: I: a + b = 21 II: b = 0,75a III: c2 = 4a + 1 Lösung: a = 12 b = 9 c = 7 8: Es wird angegeben: I: a + b +c = 12 II: c = 0,80b III: a +b = 2c Lösung: a = 3 b = 5 c = 4 Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit
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Vorschlag 9.8: Katz und Hund
Die Nachbarshündin Senta jagt oft unsere Katze Minka.
a) Erfinde sinnvolle Geschichten zu den folgenden Graphen (sie sollen Teile von Geraden darstellen):
b) Stelle zu den drei Abbildungen passende Geradengleichungen auf. c) Versuche jeweils die Geschwindigkeit von der Hündin und der Katze
zu bestimmen. Wo findest du diese in der jeweiligen Geradengleichung wieder?
(Cukrowicz, Jutta / Zimmermann, Bernd (Hg.): Mathe Netz9, Westermann, S. 33)
Katz und Hund: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Schreiben eines mathematischen Textes • Aufstellen von Geradengleichungen zu vorgegebenen Graphen Variationen der Aufgabe: • Zu vorgegebenen Geschichten die Graphen zeichnen (auch nicht linear) • Eigene Graphen und Geschichte erfinden Lösungen:
(I) K: y= 41 x+5 (II) K: y=7 (III) K: y= 4
3 x+4
(I) H: y= x43 (II) H: y= x4
3 (III) H: y= x43
Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit
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Vorschlag 9.9: Trimino
Schröder, M. / Wurf, B. (Hg.): Mat(h)erialien 7-10 Algebra, Schroedel 1996, S. 156.
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Trimino: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Zuordnen von Funktionstermen und Lösungen linearer Gleichungen zu den entsprechenden
Graphen • Wiederholung und Festigung Spielbeschreibung: Zu Beginn des Spiels sollte der Aufbau des Spiels für alle Schüler sichtbar aufgezeichnet oder als Skizze ausgeteilt werden. Das Spiel kann zu zweit oder in größeren Gruppen gespielt werden, wobei die Schüler nicht gegeneinander, sondern miteinander spielen. Während des Spiels geht es nicht darum, mit einem Dreieck anzufangen und die passenden Steine für dieses Dreieck zu finden, sondern es ist viel mehr erlaubt, an verschiedenen Dreiecken passende Teile anzulegen (mögliche Binnendifferenzierung), so dass Teilgruppe entstehen. Das gesamte Parallelogramm lässt sich dann aus diesen Teilgruppen zusammensetzen. Variationen des Spiels: • Das Spiel kann man auch in einer Gruppe gespielt werden, so dass die Gruppen
gegeneinander spielen Spieldauer: 20 – 25 Minuten Eignung, (mögliche) Methoden: • Das Spiel ist nach dem Erarbeiten der grafischen Lösung linearer Gleichungssysteme
einsetzbar, und zwar kann es sowohl allein als auch zu zweit gespielt werden. Die Steigung einer Geraden und der Abschnitt auf der y-Achse müssen aber schnell und sicher bestimmt werden können.
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Vorschlag 9.10: Zahnbürstenmüll
Griff behalten, Köpfe wechseln = weniger Müll?
1. Durch die vollständige Um-stellung auf Wechselkopfzahn-bürsten kann viel Abfall vermieden werden. Stimmt die Angabe zur Müllreduzierung? Bitte einen vollständigen Satz notieren!
2. Mit welchem Gewicht für eine Zahnbürste wurde gerechnet?
3. Mit welchem Gewicht für einen Wechselkopf wurde gerechnet, wenn der Griff „ewig“ hält?
4. Mit welchem Gewicht für einen Wechselkopf und für den Griff wurde gerechnet, wenn jedes Jahr ein neuer Griff fällig ist? Tipp: Benenne 2 Variablen und stelle zwei Gleichungen auf!
5. Was stimmt denn das Wechselkopfgewicht aus Nr. 3 oder das aus Nr. 4? Bitte recherchieren
Durch Wegfall der üblichen Metallverankerungen besteht der Wechselkopf aus nur einem Material und ist damit recyclebar. Griff behalten, Köpfe wechseln = weniger Abfall. Für die BRD, mit ca. 80 Millionen Einwohnern, würde z.B. die vollständige Umstellung auf Wechselzahnbürsten bedeuten, dass bei einem durchschnittlichen Verbrauch von 3 Zahnbürsten pro Person jährlich, bei denen 3360 Tonnen Abfall entsteht, dieser auf 1440 Tonnen reduziert würde. D.h. 192 Tonnen weniger Abfall! Wybert Lörrach elmex Forschung
6. Wenn du der „Forderung der Zahnmedizin“ folgst und etwa jeden Monat den Wechselkopf wechselst, wie viel Gramm Müll sparst du dann gegenüber der monatlich ganz neuen Zahnbürste? – Nimm an, der Griff hält ein Jahr.
7. Wie viele Tonnen wären das im Jahr für die BRD?
8. Wechselkopfzahnbürste -„umwelt-freundlich, weil abfallvermeidend und entsorgungs-freundlich“ (Diedenhof) Nimm Stellung dazu!
Abfallvermeidend. 3 Zahnbürsten, 1 Stiel – einfaches
Wechseln des Bürstenkopfes. Alle 4-6 Wochen die Zahnbürste zu
wechseln ist die Forderung der Zahnmedizin
Diedenhofen
Gesundheitspflege
Stalz (Hg.): MUED – Materialien für den Mathematikunterricht – Unterricht in der Sek. I – Nr. 5, Appelhülsen 1996, S. 26-27.
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Zahnbürstenmüll: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Einstieg • Argumentieren • Vernetzung zu Zuordnungen Lösungen: 1. 3360 Tonnen – 1440 Tonnen = 1920 Tonnen – Werden in der BRD Wechselköpfe statt
normaler Zahnbürsten benutzt, so fallen 1920 t weniger Müll an. 2. Beim durchschnittlichen Verbrauch von drei Zahnbürsten pro Person im Jahr ergeben sich bei
80 Millionen Einwohnern 3360 Tonnen Abfall. Pro Person: 3360 Tonnen/80 Mio. = 33360000000 g/80000000 = 42 g für 3 Zahnbürsten. Gewicht einer Zahnbürste (Griff + Kopf) = 42 g : 3 = 14 g.
3. 1440 t/80 Mio. = 18 g pro Person und Jahr für 3 Wechselköpfe. Ein Wechselkopf wiegt 6 g. 4. Werden pro Person im Jahr durchschnittlich ein Griff und drei Köpfe verbraucht, so entsteht
der Müll aus Nr. 3, nämlich 18 g dafür. Sei G das Gewicht des Griffes, K das Gewicht des Kopfes dann gilt:
183:
14:
=+=+
KGII
KGI è K = 2 und G = 12
Der Griff wiegt 12g. Ein Wechselkopf wiegt 2 g. 5. Auswiegen liefert: Ein Wechselkopf wiegt 2 g. Da immer 1 Griff und 3 Wechselköpfe in
einer Packung sind, ist wohl auch gemeint, dass ein Griff ein Jahr lang hält und in der Zeit 3 Wechselköpfe gebraucht werden (sollten) – also alle 4 Monate ein neuer.
6. 12 vollständige Zahnbürsten à 14 g macht 168 g Müll. 1 Griff von 12 g und 12 Wechselköpfe à 2 g (die können auch ohne Griff gekauft werden) ergeben pro Person 36 g Müll im Jahr und somit eine Ersparnis von 132 g.
7. Wenn alle Einwohner vollständige Zahnbürsten verwenden würden wären das 13440 Tonnen Müll für die BRD pro Jahr. Bei Wechselköpfen würde der Zahnbürstenmüllberg jedoch nur 2880 Tonnen wiegen, also 10560 Tonnen Ersparnis.
Eignung, (mögliche) Methoden: • Mitbringen von verschiedenen Zahnbürsten und Auswiegen des jeweiligen Gewichts • Partner- oder Gruppenarbeit
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Vorschlag 9.11: Geometrie
Schröder, M. / Wurf, B. (Hg.): Mat(h)erialien 7-10 Algebra, Schroedel 1996, S. 152.
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Geometrie: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme • Vernetzung zur Geometrie Lösungen: 1. M – U – R – C – I – A
(Stadt im Südosten Spaniens, Hauptstadt der Provinz und der autonomen Region Murcia (11.317 Quadratkilometer, 1,1 Millionen Einwohner) am Ufer des Segura.
2. x = 17 / y = 32 3. x = 21 / y = 30 4. α = 66 / γ = 48 5. x = 120 / y = 240 6. x = 50 / y = 120 7. x = 7 / y = 21 Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit
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Vorschlag 9.12: Unterwegs mit der Bahn
Ein Interregio wird um 6 Uhr in Arbeitsstedt eingesetzt und fährt dann mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km pro Stunde über Freital nach Schlafhausen. Ein Vorortszug startet um 6 Uhr in Freital auf einem Gleis, das neben dem des Interregio verläuft. Sein Ziel ist ebenfalls Schlafhausen, seine
Durchschnittsgeschwindigkeit 100 km/h. Arbeitsstedt und Freital sind 10 km (20 km, 30 km, …) voneinander entfernt, Arbeitsstedt und Schlafhausen 500 km.
a) Versuche möglichst einfach – ggf. auf verschiedenen Wegen – herauszufinden, wann der Interregio den Vorortszug einholt. Du darfst hierbei auch sinnvoll probieren.
b) Bei welcher Entfernung zwischen Arbeitsstedt und Freital treffen sich die Züge vor (in, nach) Schlafhausen?
c) Versucht selbst Probleme zu entwerfen und zu lösen, in denen es um die Frage geht, wann ein schnelleres Fahrzeug (oder eine schnellere Person) ein langsameres (eine langsamere) einholt bzw. sich deren Wege kreuzen(Raumschiff Enterprise; Wettlauf beim Sport; …).
d) Denkt euch passende Aufgaben aus, bei denen die zugehörigen Geraden im Koordinatensystem zusammenfallen oder sich nicht schneiden. Was bedeutet das jeweils für die Lösung des entsprechenden Problems? Begründe deine Vermutung.
e) Fasst zusammen, welche Methoden ihr bislang entwickelt habt, um Probleme mit zwei Unbekannten zu lösen. Diskutiere Vor- und Nachteile.
Unterwegs mit dem Interregio: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Einstieg in Lineare Gleichungssysteme • Erfinden von sinnvollen Aufgaben • Diskutieren mathematischer Sachverhalte Variationen der Aufgabe: • Weglassen der Fragestellungen c) / d) / e) und die Schüler selber weitere Fragestellungen zum
Thema „Fahren mit der Deutsche Bahn“ erfinden und lösen lassen. Lösungen:
a) 180;5,130100
120==⇒
=+=
yxyx
yx
b) Die Züge treffen sich bei weniger (genau, mehr) als 100 km Entfernung zwischen Arbeitsstedt und Freital vor (in, nach) Schlafhausen.
(individuell) Eignung, (mögliche) Methoden: • Partner- oder Gruppenarbeit
[bei einer Entfernung von 30 km zwischen Arbeitsstedt und Freital]
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Vorschlag 9.13: Jonglieren mit den Tarifen
Die Deutsche Telekom bietet ihren Kunden verschiedene Tarife für ihre Telefonanschlüsse an. Die unten abgebildete Tabelle zeigt die beiden Tarife der Anschlüsse T-Net und T-Net 100 in den Zeiten von 7 – 18 Uhr (Stand: März 2002).
T-NET
(Mo.-Fr. 7-18 Uhr) T-NET 100 (Mo.-Fr. 7-18 Uhr)
City (Orts- und Nahbereich)
4 Cent pro Minute 3,1 Cent pro Minute
Deutschland 12,3 Cent pro Minute 4,6 Cent pro Minute
Monatliche Grundgebühr
13,33 € 15,93 €
a) Wie viel muss man telefonieren, wenn sich der T-Net 100 Tarif für einen lohnen soll, vorausgesetzt man ruft nur im Citybereich (nur im Deutschlandbereich) an?
b) Angenommen bei dir sind 80% aller Gespräche Ortsgespräche und 20% Ferngespräche innerhalb Deutschlands, ab wie viel Minuten lohnt sich dann für dich der T-Net 100 Tarif?
c) Die Telekom wirbt mit der neben stehenden Anzeige für den neuen T-Net 100 Tarif. Nimm in einem kurzen Aufsatz (ca. 10 Zeilen) Stellung dazu!
Jonglieren mit den Tarifen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme • Vernetzung mit der Prozentrechnung • Einen mathematischen Text schreiben • Argumentieren
Variationen der Aufgabe: • Die Schüler entwickeln eigene Fragestellunge n • Vergleich von Tarife anderer Branchen (z.B. Internet, Strom …)
Lösungen: a) 289 Minuten (34 Minuten) b) 115
Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit • Als Hausaufgabe können die Schüler nach solchen Tarifvergleichen in ihrer Umwelt schauen
und selbst Fragestellungen dazu entwickeln und lösen
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Vorschlag 9.14 Fehlerteufel:
Der euch allen bekannte Fehlerteufel hat mal wieder zugeschlagen. Eure Aufgabe in dem folgenden Spiel ist es, seine Taten aufzudecken und ihm die Hölle heiß zu machen. Material:
• Kartensatz (à 16 Spielkarten) Spielanleitung:
• Jede Gruppe bestehend aus 4 Mitspielern bekommt einen Kartensatz à 16 Spielkarten.
• Jeder Spieler zieht insgesamt vier Karten, wobei jede Kartenfarbe von ihm einmal gezogen werden muss. Die Karten sind von 1.1, 1.2 usw. bis 4.4 durchnummeriert.
• Jede Karte enthält eine Aufgabe aus dem Bereich Lineare Gleichungssysteme. Zu jeder Aufgabe wurde eine Behauptung oder eine Rechnung aufgestellt. Allerdings befindet sich auf jeder Karte ein Fehler, den es zunächst allein zu finden gilt.
• Nachdem jeder Spieler insgesamt vier Karten bearbeitet hat (d.h. die Fehler gefunden hat), beginnt der Spieler mit der Karte 1.1 den Fehler dieser Karte den anderen Mitspieler der Vierergruppe zu erläutern.
• Wurde der richtige Fehler gefunden, bekommt der Spieler einen Punkt. War die Erklärung falsch oder unvollständig, versucht die Gruppe gemeinsam den Fehler zu finden. Daraufhin fährt der Spieler mit der Karte 1.2 usw. bis 4.4 fort.
• Ziel jeder Vierergruppe ist es, möglichst alle Fehler zu finden und dem Fehlerteufel so richtig einzuheizen.
(Die Grafiken entstammen leicht verändert: Enzensberger, Hans Magnus: Der Zahlenteufel, München 1999.)
Fehlerteufel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Erkennen von „typischen“ Fehlvo rstellungen / Fehlern beim Aufstellen bzw. Bearbeiten von
linearen Gleichungssystemen • Als Gruppe gemeinsam über mathematische Sachverhalte diskutieren Variationen der Aufgabe: • Da es sich hierbei eher um eine Methode handelt, als um ein themenspezifisches Spiel kann
diese Methode je nach Thema durch Gestaltung anderer Karten immer wieder eingesetzt werden.
Eignung, (mögliche) Methoden: • Vor Spielbeginn müssen die Karten möglichst auf verschiedenfarbige Karton entsprechend
der Klassengröße kopiert/geklebt werden und zwar immer die Karten von 1.1-1.4 bzw. 2.1-2.4 … auf die gleiche Farbe.
• Abschließende Behandlung linearer Gleichungssysteme • Gruppenarbeit
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1.1 Lösen eines LGS mit dem Einsetzungsverfahren
Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren: I: 5x + y = 13 II: 4x + 2y = 40 Rechnung:
4024
135
=+=+
yx
yx →umformen
yx
yx
5,010
135
−==+ →
einsetzenxFür 135,050 =+− yy
→umformen
375,0 −=y → 74−=y →Iineinsetzeny 5
87=x
Welcher Fehler wurde hier begangen?
1.2 Lösen eines LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren
Löse das folgende LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren: I: x = – 2y + 3 II: 9 = 6y + 3x Rechnung:
xy
yx
369
32
+=+−=
→umformenxnachII
xy
yx
369
32
=−+−=
→ xy
yx
=−+−=
23
32
→engleichsetznGleichunge
yy 2332 −=+− → 00 = → { }=L
Welcher Fehler wurde hier begangen?
1.3 Lösen eines LGS mit dem Subtraktionsverfahren
Löse das folgende LGS mit dem Subtraktionsverfahren: I: 5x – 7y = 44 II: 3x + 7y =4 Rechnung:
473
4475
=+=−
yx
yx →
ensubtrahierIvonII 40142 =− yx
→ Die Lösungsmenge ist eine Gerade, d.h. es gibt unendlich
viele Lösungen des LGS. Welcher Fehler wurde hier begangen?
1.4 Lösen eines LGS mit dem Additionsverfahren
Löse das folgende LGS mit dem Additionsverfahren: I: 6x + 5 y = 27 II: -5x + 7y = 11 Rechnung:
1175
2756
=+−=+yx
yx →
⋅⋅ III 6;5
664230
1352530
=+−=+yx
yx →
addierennGleichunge 20167 =y
3=y →Iineinsetzenx
2−=x
Welcher Fehler wurde hier begangen?
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2.1 Additionsverfahren
Erläutere das Additionsverfahren beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen. Behauptung:
Man addiert beide Gleichungen. Dadurch entsteht eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen. Welcher Fehler wurde hier begangen?
2.2 Gleichsetzungsverfahren
Erläutere das Gleichsetzungsverfahren beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen. Behauptung:
Beim Gleichsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf. Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält man dann eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen. Welcher Fehler wurde hier begangen?
2.3 Einsetzungsverfahren
Erläutere das Einsetzungsverfahren beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen. Behauptung:
Durch Einsetzen der einen Gleichung in die andere Gleichung erhält man eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen. Welcher Fehler wurde hier begangen?
2.4 Subtraktionsverfahren
Erläutere das Subtraktionsverfahren beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen. Behauptung:
Man formt beide Gleichungen so um, dass beim Subtrahieren der Gleichungen eine Seite der neuen Gleichung gleich Null ist. Somit entsteht eine lösbare Gleichung mit nur einer Variablen. Welcher Fehler wurde hier begangen?
26
3.1 Zahlenrätsel
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf: Das Negative der einen Zahl ist viermal so groß wie die andere Zahl minus 10. Die Summe der beiden Zahlen beträgt 13. Lösung:
14;113
10)(4=−=⇒
=+−=−
yxyx
yx
Welcher Fehler wurde hier begangen?
3.2 Euro
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf: Ein 50-Euro-Schein wird so in 10-Euro-Scheine und 5-Euro-Scheine gewechsel, dass die Anzahl der kleineren Scheine dreimal so groß ist wie die Anzahl der größeren Scheine. Wie viele Scheine sind es jeweils? Lösung:
5,37;5,123
50==⇒
==+
yxyx
yx
Welcher Fehler wurde hier begangen?
3.3 Kapitänsaufgabe
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf: Ein Schiff ist viermal so lang wie der Kapitän alt ist. Die Summe aus beiden ist so hoch wie die Siedetemperatur des Wassers. Wie alt ist der Kapitän und wie lang das Schiff? Lösung:
5,12;501004
4==⇒
=+=
ALAL
AL
Welcher Fehler wurde hier begangen?
3.4 Alter
Stelle zu folgendem Problem ein passendes LGS auf: Birgit ist jetzt 36 Jahre alt. Damit ist sie jetzt dreimal so alt wie Lisa war, als Birgit so alt war, wie Lisa jetzt ist. Wie alt ist Lisa jetzt und wann war Birgit so alt? Lösung:
36;723
36−==⇒
=−=+
JahreBirgitBirgitJahreBirgit
JahreBirgitdamals
heutedamals
damals
Welcher Fehler wurde hier begangen?
27
4.1 Geradengleichungen
Rechts sind zwei Geraden dargestellt. Gib die entsprechenden Geradengleichungen sowie die Koordinaten des Schnittpunktes möglichst genau an. Lösung:
5,152
3
2
1
+=
+=
xy
xy Schnittpunkt (-1/2)
Welcher Fehler wurde hier begangen?
4.2 Koeffizienten
Gegeben ist das neben stehende lineare Gleichungssystem mit den Koeffizienten a, b, c und d. Wie müssen die Koeffizienten jeweils gewählt werden, damit das Gleichungssystem keine, eine, unendliche viele Lösungen hat?
Lösung: Keine Lösung: ca = Eine Lösung: ca ≠ Unendlich viele Lösungen: dbundca ==
Welcher Fehler wurde hier begangen?
4.3 Ungleichungssystem
Stelle ein Ungleichungssystem auf, dessen Lösungsmenge der grau unterlegten Fläche entspricht. Lösung:
45
425,0
+−>
+<
xy
xy
Welcher Fehler wurde hier begangen?
4.4 Schnittpunkte
Aufgabe:
Drei verschiedene Geraden können keinen, einen, zwei oder Schnittpunkte haben. Stelle fest, welcher der vier Fälle im folgenden Beispiel vorliegt:
xy
xy
xy
5,0
25,0
35,0
−=−=+=
� Die drei Geraden liegen parallel zueinander und
haben somit keinen Schnittpunkt. Welcher Fehler wurde hier begangen?
dcxybaxy
+=+=
28
Vorschlag 9.15: Rückspiegel
Mit dem folgenden Rückspiegel sollt ihr eure Kenntnisse der Bereiche Lineare Funktionen und Lineare Gleichungssysteme testen bzw. auffrischen. Es gibt zwei Schwierigkeitsstufen: „mittel“ und „etwas schwieriger“. Für jede richtig gelöste Aufgabe der linken Spalte gibt es drei Punkte und in der rechten Spalte vier Punkte. Am Ende bekommt ihr die Lösungen. Innerhalb des Tests dürft ihr jede Aufgabennummer nur einmal bearbeiten, aber ihr dürft von Nummer zu Nummer in den Spalten wechseln. So ist es z.B. möglich, Aufgabe 1 „mittel“ und Aufgabe 2 „etwas schwieriger“, usw. zu bearbeiten.
1 Gegeben ist eine Gerade g mit Punkt P (0|3) und der Steigung a = 2. a) Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem. b) Gib die zum Graph gehörende Funktions-
gleichung an.
2 Bestimme rechnerisch die Funktions -gleichung der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte P 1 (2|1) und P2 (6|7) verläuft.
3 Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts.
a) 28)(54)(
+=−=
xxgxxf
b) 31
31
21
)(5)(
−=+−=
xxgxxf
4 Entscheide, ob die Funktionsgraphen sich schneiden, parallel verlaufen oder identisch sind.
a) 42)(65)(
+=−=
xxgxxf
b) 12)(52)(
−=+=
xxgxxf
c) 22,0)(
62,0)(+−=
−=xxg
xxf d)
5,15,0)()(
23
21
−=−=xxg
xxf
5 Löse das lineare Gleichungssystem.
a) yxyx
=−=−
113195
b) 20221023
=−=+
yxyx
c) ba
ba51923453
=+=+
d) 06073
0120273=−+
=−+yxyx
6 Die Kosten für eine Fahrt mit einem Funktaxi setzen sich aus der Grundgebühr und den Kosten pro gefahrenem Kilometer zusammen. Für eine 16km lange Fahrt muss man 16,90€, für eine 24km lange Fahrt 24,10€ bezahlen. a) Wie hoch sind die Grundgebühr und die
Kosten pro gefahrenem Kilometer? b) Ein Konkurrenzunternehmen verlangt für eine
Fahrt 3,50€ Grundgebühr und pro gefahrenem Kilometer 80 ct. Welches Unternehmen ist günstiger?
1 Gegeben ist eine Gerade g
mit dem Punkt P (2| –2) und der Steigung a = 21
a) Zeichne die Gerade in ein Koordinatensystem. b) Gib die zum Graph gehörende Funktions-
gleichung an.
2 Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte P 1 (2|0) und P2 (6|–6) verläuft.
3 Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts.
a) 28,0)(14,0)(
+=−=
xxgxxf
b) 51
31
31
21
)()(
−=−=
xxgxxf
4 Entscheide, ob die Funktions graphen sich
schneiden, parallel verlaufen oder identisch sind.
a) 311)(
113)(+=−=
xxgxxf
b) 5)(5)(
2121
−=+=
xxgxxf
c) 5,04,0)(
5,04,0)(+−=
−=xxg
xxf d)
2,025,0)()(
51
41
−=−=xxg
xxf
5 Löse das lineare Gleichungssystem.
a) 4323
−==+
xyyx
b) 47356727
=+=+
xyxy
c) 0539949
=−=−
baba
d)1222113
1651362510+−=−−
+−=−+xyyx
xyyx
6 An einer Theaterkasse bezahlen Herr und
Frau Meyer und ihre drei Kinder zusammen 57 € Eintritt. Familie Grünler bezahlt mit drei Erwachsenen und einem Kind noch 44 €, nachdem sie einen Theatergutschein für 10 € eingelöst haben. a) Wie viel kostet eine Theaterkarte für einen Erwachsenen, wie viel für ein Kind? b) Familie Keinen bezahlt 75 €. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder gehören zur Familie? Es gibt mehrere Lösungen.
Quelle: mathe-live. Klett (2002), S. 122.
* * * * * * *
29
Rückspiegel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel: • Selbständige Überprüfung des Lernstands zu Linearen Funktionen und linearen
Gleichungssystemen Bemerkung: • Solche „Rückspiegel“ f inden sich bei mathe -live zu jedem Kapitel! Eignung, (mögliche) Methoden: • Einzel- oder Partnerarbeit zur Vorbereitung der Klassenarbeit (Mögliche) Lösungen:
1
2 25,1)( −= xxf
3
4
a) Schneiden sich, da unterschiedliche Steigungen.
b) Parallel, da gleiche Steigungen. Nicht identisch, da unterschiedlicher y-Achsen-abschnitt.
c) Schneiden sich, da unterschiedliche Steigungen.
d) Identisch, da gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt.
5 a) 1;4 == yx b) 4;6 −== yx c) 5;3 == ba d) 3;13 == nm
6 a) a bezeichnet die Grundgebühr; b bezeichnet die Kosten pro gefahrenen km:
90,0;50,210,242490,1616 ==⇒=+
=+ bababa
b) Bis 19 km ist das Funktaxi günstiger, danach das Konkurrenzunternehmen.
1
2 35,1)( +−= xxf .
3
4
a) Schneiden sich, da unterschiedliche Steigungen.
b) Parallel, da gleiche Steigungen. Nicht identisch, da unterschiedlicher y-Achsen-abschnitt.
c) Schneiden sich, da unterschiedliche Steigungen.
d) Identisch, da gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt.
5 a) 5;9 == yx b) 10;1 =−= nm c) 9;15 == ba d) 9;10 == yx
6 a) e bezeichnet den Preis für Erwachsene. k bezeichnet den Preis für Kinder.
9;15543
5732 ==⇒=+=+ ke
keke
b) Z.B. „2 Erwachsene und 5 Kinder“ oder „5 Erwachsene“.
* * * * * * *
b) 32)( += xxf b) 3)(21 −= xxf
30
Vorschlag 9.16: Aufgaben zur Anwendung
In einem Stall sind Hasen und Hennen und zwar 9 Tiere mit insgesamt 24 Füßen. Wie viele Hasen und Hennen sind es jeweils? Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 15, die Differenz der Ziffern ist 3. Welche beiden Zahlen können das sein?
In den Vereinigten Staaten von Amerika wird die Temperatur in Grad Fahrenheit gemessen. Bei der Umrechnung von Celsius in Fahrenheit muss zu einem bestimmten Betrag jeweils ein Vielfaches der Celsius-Zahl addiert werden. Wie lautet die Umrechnungsformel, wenn 68°F = 20 °C und 104°F = 40°C ist? Bei welcher Fahrenheittemperatur schmilzt also Eis? Trage die fehlenden Werte in die Grafik ein.
Lötzinn ist eine Legierung aus Zinn und Blei. Aus zwei Sorten mit 30% bzw. 40% Zinngehalt sollen 80 kg einer neuen Sorte Lötzinn mit 33% Zinngehalt hergestellt werden. Berechne, wie viel kg man von jeder Sorte braucht! Begründe anhand der unten abgebildeten Zeichnungen, warum Addieren (entsprechender Seiten) zweier Gleichungen I und II eine neue, richtige Gleichung liefert! Zeichne eine analoge Figur für die Subtraktion zweier Gleichungen und erkläre!
+
=
Aus dem Buch „Vollständige Anleitung zur Algebra“ von Leonhard Euler (1707-1783):
„Zwei Personen sind 29 Rubel schuldig; nun hat zwar jeder Geld, doch nicht so viel, dass er diese gemeinschaftliche Schuld allein bezahlen könnte; drum sagt der Erste zum anderen: Gibst du mir zwei Drittel deines Geldes, so kann ich die Schuld sogleich allein bezahlen. Der andere antwortet dagegen: Gibst du mir drei Viertel deines Geldes, so kann ich die Schuld allein bezahlen.“
Wie viel Geld hat jeder?
1
5
6
3
4
2
31
Bilde aus den vorgegebenen Gleichungen jeweils zwei Gleichungssysteme mit einer Lösung, mit keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen. Zeichne.
Ein Schiff fährt stromabwärts mit 23 km/h, stromaufwärts mit 9 km/h. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Schiffes und die Fließgeschwindigkeit des Wassers? Bemerkung: Es wird angenommen, dass das Schiff stromaufwärts und stromabwärts die gleiche Eigengeschwindigkeit hat.
Kleine Ursache – große Wirkung. Löse beide Gleichungssysteme rechnerisch.
A 123x – 124y = 61 B 123,01x – 124y = 61 248x – 250y = 123 248x – 250y = 123
In welchen Quadranten liegen die Schnittpunkte? Vergleiche die Ergebnisse und versuche zu erklären! Welches Gleichungssystem wird in den Grafiken jeweils graphisch gelöst?
Drei verschiedene Geraden können unterschiedlich viele Schnittpunkte miteinander haben. Erstelle für alle vier Fälle ein Gleichungssystem. Das Alte Land ist ein wichtiges Obstanbaugebiet in Norddeutschland. Hier befindet sich eine kleine Fabrik, die aus dort angebautem Obst drei Sorten von Produkten herstellt: Obstsalat, Multivitaminsaft und Marmelade. In der Hauptsaison sollen aus Äpfeln, Birnen und Kirschen pro Monat 100 kg Obstsalat, 500 l Saft (1 l ≅ 1 kg) und 200 kg Marmelade hergestellt werden. Für den Obstsalat werden zu gleichen Anteilen Äpfel, Birnen und Kirschen verwendet. Pro Liter Multivitaminsaft werden an Gewicht dreimal so viele Äpfel wie Kirschen und doppelt so viele Birnen wie Kirschen verwendet. Für die Herstellung der Marmelade kommen auf ein Kilogramm jeweils gleich viele Äpfel und Birnen. Welche Fruchtmengen sind für die Herstellung dieser Produkte erforderlich?
1
5
6
3
2
4
32
Denk Dir selbst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen aus, dass die Lösungsmenge { }5;2−=L hat und sich besonders gut a) mit dem Einsetzungsverfahren; b) mit dem Gleichsetzungsverfahren; c) mit dem Additionsverfahren
lösen lässt. Vor 6 Jahren war Frau Noether fünfmal so alt wie ihre Tochter Emmy. Heute ist Frau Noether dagegen nur noch dreimal so alt wie ihre Tochter. Wie alt sind die beiden heute? Der Umfang eines Rechtecks beträgt 80 cm. Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten um je 8 cm und verkürzt zugleich die beiden anderen Seiten um je 5 cm, so verringert sich der Flächeninhalt des Rechtecks um 45 cm2. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Verlängert man in einem Rechteck die kürzere Seite um 1 cm und die längere Seite um 4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 56 cm2 zu. Verkürzt man dagegen die kürzere Seite um 4 cm und die längere Seite um 1 cm, dann nimmt der Flächeninhalt um 69 cm2 ab. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? Jeder Zwerg isst 2, jeder Räuber isst 3 Hühner. Jeder Zwerg trinkt 3, jeder Räuber trinkt 5 Flaschen Wein. Zusammen essen sie 134 Hühner und trinken 221 Flaschen Wein. Wie viele Zwerge und wie viele Räuber nehmen an dem Mahl teil? Ein Flugzeug kommt in einer Stunde 760 km weit, wenn es mit dem Wind fliegt, und 690 km, wenn es gegen den Wind fliegt. Wie weit käme es in einer Stunde bei Windstille? Wie groß ist die Windgeschwindigkeit? (Beide Geschwindigkeiten werden als gleichbleibend angenommen.) Für die 150 km lange Strecke zwischen Mellrichstadt und Heilbronn braucht ein Motorsegler auf dem Hinflug bei Rückenwind 1 Stunde 15 Minuten und auf dem Heimflug bei Gegenwind 1 Stunde 40 Minuten. Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Motorseglers; wie groß ist die Windgeschwindigkeit? Die menschliche Nahrung besteht im Wesentlichen aus Kohlenhydraten, Fett und Eiweiß. 1 g Eiweiß liefert dem Körper 17 Kilojoule, 1 g Kohlenhydrate ebenfalls 17 Kilojoule, 1 g Fett liefert 39 Kilojoule. Bei leichter Arbeit benötigt ein Erwachsener täglich etwa 9200 Kilojoule. Die tägliche Eiweißmenge soll 10
1 der täglich umgesetzten Energie
(Kilojoule) liefern. Die Menge des Fettes soll 51 der Menge
der Kohlenhydrate betragen. Welche Mengen an Eiweiß, Fett und Kohlenhydraten soll ein Erwachsener täglich zu sich nehmen?
1
2
3
4
5
6
7
8
33
Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterricht Ziel: • Übung / Anwendung • Vertikale Vernetzung (Mögliche) Lösungen: Blatt (1) • Aufgabe 1: Es sind 6 Hennen und 6 Hasen. • Aufgabe 2: Es kann entweder die Zahl 69 oder die Zahl 96 sein. • Aufgabe 3: Laut Rechnung bei >31 Fahrenheit. • Aufgabe 4: Man benötigt 53,33 kg der Sorte A (30%) und 26,66 kg der Sorte B (40%) • Aufgabe 5: Individuell • Aufgabe 6: Der eine hat 14,5 Rubel; der andere hat 19 1/3 Rubel. Blatt (2) • Aufgabe 1: Individuell • Aufgabe 2: Die Flussgeschwindigkeit beträgt 7 km/h und das Schiff fährt mit 16 km/h. • Aufgabe 3: a) x=1 und y=0,5 b) x=-4 und y=-4,46
Die Ursache dafür liegt darin, dass die beiden Geraden fast die gleiche Steigung haben und folglich eine geringfügige Änderung der Steigung einer Geraden den Schnittpunkt beider Geraden erheblich verschiebt .
• Aufgabe 4: a)2
5,05,0
+−+=
xxy b)
15,0
25,025,0
+−=+=xy
xy c)xy
xy5,0
42
−=+= d)
xyxy
=+−= 43
• Aufgabe 5: Individuell • Aufgabe 6: Man benötigt 383,33 kg Äpfel, 300,33 kg Birnen und 216,33 kg Kirschen. Blatt (3) • Aufgabe 2: Frau Noether: 36; Emmy: 12 • Aufgabe 3: Rechtecksseitenlängen: 15cm und 25cm • Aufgabe 4: Rechtecksseitenlängen: 9cm und 16cm • Aufgabe 5: 7 Zwerge und 40 Räuber • Aufgabe 6: Fluggeschwindigkeit: 725 km/h; Windgeschwindigkeit: 35 km/h • Aufgabe 7: Fluggeschwindigkeit: 105 km/h; Windgeschwindigkeit: 15 km/h
• Aufgabe 8: Eiweiß: 1,5417
920 ≈ ; Fett: 8,6631
2070 ≈ ; Kohlenhydrate: 9,33331
10350 ≈ ;